PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY I TECHNIKUM NA PODBUDOWIE ZSZ

Transkrypt

1 PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY I TECHNIKUM NA PODBUDOWIE ZSZ Lp. I Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe Wielomiany. Uczeń: Uczeń: 1 Zbiór liczb rzeczywistych, jego podzbiory i działania w tych zbiorach - zna pojęcie zbioru, - wymieni elementy zbioru, - wyznaczy podzbiory danego zbioru, - poda działania wykonalne i niewykonalne w danym zbiorze liczbowym, - zna podzbiory zbioru liczb R, 2 Działania na liczbach postaci a + b c. - wykona działania na liczbach postaci a + b c, - zredukuje wyrazy podobne z pierwiastkami; - usunie niewymierność z mianownika, 3 Zbiory i działania na nich. - zna pojecie zbioru, wymieni elementy zbioru, - zna i używa symboli w zapisie działań na zbiorach; - wyznaczy sumę, różnicę i iloczyn zbiorów, 4 Przedziały liczbowe i działania na nich. - zna definicję przedziałów liczbowych, - potrafi zaznaczyć przedziały na osi - zna pojecie dopełnienia zbioru, - wyznaczy różnicę przedziałów, - wyznaczy dopełnienie

2 liczbowej, - wyznaczy sumę iloczyn przedziałów, 5 Wartość bezwzględna liczby i jej własności. - zna definicję wartości bezwzględnej i własności: x = a, x > a, x < a, x 2 = x, - rozwiąże proste równania i nierówności z wartością bezwzględną ax + b = c, x > a, x < a, 6-7 Wyrażenia algebraiczne. - zna pojecie wyrażenia algebraicznego, - obliczy wartość wyrażenia algebraicznego, - wykona działania na wyrażeniach algebraicznych, - zna i stosuje wzory skróconego mnożenia (a + b) 2, (a b) 2, (a b)(a + b), - zna pojęcie określoności (dziedziny) wyrażenia algebraicznego, 8-9 Przypomnienie wiadomości o funkcji. - zna definicję funkcji i sposoby jej określania ( opis słowny, graf), - zna definicję dziedziny i przeciwdziedziny funkcji, - zna definicje wykresu funkcji, - odczyta z wykresu wartości funkcji dla danego argumentu i odwrotnie, - zna definicję miejsca zerowego funkcji, - wskaże miejsca zerowe na wykresie, - obliczy miejsce zerowe funkcji, - zna definicję różnowartściowości funkcji, - rozumie pojęcie różnowartściowości przedziału, - rozwiąże nierówność z wartością bezwzględną postaci ax + b < c, - wyznaczy dziedzinę wyrażenia algebraicznego, - zna i stosuje wzory skróconego mnożenia (a b) 3, (a + b) 3, (a 3 b 3 ), (a 3 + b 3 ), - określi dziedzinę i przeciwdziedzinę funkcji, - zaznaczy w układzie zbiór punktów, których współrzędne spełniają określone warunki, - sporządzi wykres danej funkcji, - obliczy miejsca zerowe danej funkcji, - zbada różnowartościowość funkcji, - zbada monotoniczność funkcji,

3 funkcji, - wskaże wykresy funkcji różnowartościowych, - zna definicję funkcji rosnącej, malejącej i stałej, - rozumie pojęcie funkcji rosnącej, malejącej lub stałej, - rozpozna funkcje okresowe wśród wykresów funkcji, - odczyta okres danej funkcji, - rozpozna funkcję parzystą lub nieparzystą daną wykresem, 10 Omawianie własności funkcji z wykresu. - odczyta z wykresu funkcji i zapisze symbolicznie dziedzinę przeciwdziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, znak funkcji i inne własności w prostych przykładach, 11 Funkcja liniowa. - zna definicję funkcji liniowej, - sporządzi wykres funkcji liniowej i omówi jej własności, - obliczy miejsce zerowe, - obliczy punkty przecięcia wykresu z osiami, 12 Przypomnienie wiadomości o prostej. - zna równanie kierunkowe i ogólne prostej, - zna równanie prostej przechodzącej przez dwa różne punkty, - zna równanie prostej o danym współczynniku kierunkowym - zbada parzystość lub nieparzystość funkcji, - zastosuje własności funkcji w zadaniach, - wyprowadzi wzór na obliczanie współczynnika kierunkowego prostej przechodzącej przez dwa dane punkty, - napisze równanie prostej

4 13-14 Równania i nierówności stopnia I z jedną niewiadomą. przechodzącej przez dany punkt, - zna warunek równoległości i prostopadłości prostych, - rozwiąże równanie, nierówność z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia, - rozwiąże proste równanie, nierówność z wartością bezwzględną, równoległej do danej przechodzącej przez punkt, - napisze równanie prostej prostopadłej do danej przechodzącej przez punkt, - rozwiąże równanie, nierówność z wartością bezwzględną postaci ax + b + cx + d = e, ax + b + cx + d > e, Równania i nierówności stopnia I z jedną niewiadomą z parametrem. 17 Równania i nierówności stopnia I z dwiema niewiadomymi. - rozwiąże proste równanie z parametrem, - rozwiąże prostą nierówność z parametrem, - rozwiąże równanie, nierówność z parametrem, - rozwiąże proste równanie, - rozwiąże równanie, nierówność stopnia I z dwiema niewiadomymi, Układy równań stopnia I z dwiema niewiadomymi. Metody algebraiczne Układy równań stopnia I z dwiema niewiadomymi. Metoda graficzna. - rozwiąże układ równań metodą podstawienia, przeciwnych współczynników, - potrafi określić rodzaj układu, - rozwiąże układ równań metodą graficzną, - rozwiąże układ równań metodą wyznaczników, Przypomnienie wiadomości o funkcji kwadratowej. - zna postać ogólną, kanoniczną, iloczynową funkcji kwadratowej, - zna wzory Viete a, - potrafi narysować wykres funkcji kwadratowej i omówić jej własności, Równania kwadratowe zupełne i niezupełne. - rozwiąże równanie kwadratowe

5 Nierówności kwadratowe. 26 Wykres funkcji kwadratowej z wartością bezwzględną Układy równań, z których przynajmniej jedno jest stopnia drugiego. zupełne, niezupełne, - rozwiąże nierówność kwadratową, - potrafi opisać w jaki sposób konstruujemy wykres funkcji z wartością bezwzględną. - zna równanie hiperboli i okręgu, - rozwiąże prosty układ metodą algebraiczną i graficzną, - narysuje wykres funkcji z wartością bezwzględną, - rozwiąże układ równań metodą algebraiczną i graficzną, Zadania z parametrem. - rozwiąże zadania z parametrem wykorzystując wzory Viete a, 31 Praca klasowa. 32 Omówienie pracy klasowej Wielomian jednej zmiennej. - zna definicję wielomianu, - poda przykład wielomianu określonego stopnia, - określi stopień wielomianu, - obliczy wartość wielomianu dla danego argumentu, - uporządkuje wielomian rosnąco i malejąco, - zna pojęcie wielomianu zerowego, 35 Działania na wielomianach. - zna działania na potęgach o wykładniku naturalnym, - doda i odejmie wielomiany, - pomnoży wielomiany, - określi stopień sumy, różnicy, iloczynu wielomianów, 36 Wielomiany równe. - zna pojęcie wielomianów równych, - wyznaczy współczynniki wielomianów tak, aby były

6 równe, Iloraz wielomianów. - zna definicję ilorazu wielomianów, - zna algorytm ilorazu wielomianów, - podzieli wielomian przez dwumian z resztą i bez reszty, - określi stopień reszty, 39 Pierwiastek wielomianu. - zna definicję pierwiastka wielomianu, - sprawdzi czy liczba jest pierwiastkiem wielomianu, - na podstawie postaci iloczynowej wielomianu odczyta jego pierwiastki; - zbuduje wielomian danego stopnia znając jego pierwiastki, Twierdzenie Bezout a. - zna twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu, - wyznaczy pierwiastki całkowite wielomianu, Rozkład wielomianu na czynniki. - zna wzory skróconego mnożenia, - rozłoży wielomian na czynniki przez grupowanie wyrazów, wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias i stosowanie wzorów skróconego mnożenia, 44 Równania wielomianowe. - rozwiąże równanie wielomianowe bez stosowania twierdzenia Bezout a, - podzieli dwa wielomiany, - zna twierdzenie o liczbie pierwiastków wielomianu, - zna definicje pierwiastka k-krotnego, - zbada czy pierwiastek jest k- krotny, - stosuje schemat Hornera, - zna twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu, - wyznaczy pierwiastki wymierne wielomianu, - rozłoży wielomian na czynniki stosując twierdzenie Bezout a, - rozwiąże równanie wielomianowe z zastosowaniem twierdzenia Bezout a, - rozwiąże równanie z wartością bezwzględną,

7 45-46 Nierówności stopnia wyższego niż drugi. - zna definicję nierówności wielomianowej, - rozwiąże nierówność metodą siatki znaków, 47 Funkcja wymierna. - zna definicję funkcji wymiernej, - sporządzi wykresy prostych funkcji a a a wymiernych :, + q, + x p x x p q i omówi własności, 48 Równania wymierne. - określi dziedzinę równania, - rozwiąże równanie wymierne, Nierówności wymierne. - rozwiąże nierówność wymierną stosując siatkę znaków, - rozwiąże nierówność wielomianową z wartością bezwzględną, - sporządzi wykres funkcji ax + b wymiernej y =, cx + d - rozwiąże równanie wymierne o podwyższonym stopniu trudności, - rozwiąże nierówność z wartością bezwzględną, 51 Praca klasowa. 52 Omówienie pracy klasowej. II Figury geometryczne na płaszczyźnie. 1-2 Przypomnienie. Figura geometryczna na płaszczyźnie. - zna pojecie figury geometrycznej, - poda przykłady figur geometrycznych, - zna pojecie i narysuje prostą, półprostą, odcinek, - zna pojęcie kąta, miary kąta, - zna pojecie wielokąta, okręgu, koła, - zna pojecie figury wypukłej, - zna pojęcia i potrafi rozróżnić: kąt pełny, kąt półpełny, prosty, kąty przyległe, wierzchołkowe,

8 3 Odległość na płaszczyźnie. - zna definicje odległości dwóch punktów na płaszczyźnie, - potrafi obliczyć długość odcinka (we współrzędnych, - potrafi obliczyć współrzędne środka odcinka, 4 Proste równoległe i prostopadłe. - zna warunek równoległości i prostopadłości prostych (ujecie analityczne i geometryczne), 5-6 Odległość punktu od prostej, odległość prostych równoległych zna wzór na odległość punktu od prostej, - potrafi obliczyć odległość punktu od prostej, - zna wzór na odległość prostych równoległych, - potrafi obliczyć odległość prostych równoległych Wzajemne położenie prostej i okręgu. - potrafi podać i narysować różne przypadki wzajemnego położenia prostej i okręgu, - zna definicję stycznej do okręgu, - zna równanie okręgu, Wzajemne położenie dwóch okręgów. - potrafi podać i narysować różne przypadki wzajemnego położenia dwóch okręgów, - zna własności odległości i potrafi je zastosować w zadaniach, - potrafi obliczyć odległość punktu od prostej bez użycia wzoru, - potrafi obliczyć odległość prostych równoległych bez użycia wzoru, - wyznaczy konstrukcyjnie styczną do okręgu, - poda warunki wzajemnego położenia prostej i okręgu (ujęcie analityczne), - poda warunki wzajemnego położenia dwóch okręgów (ujęcie analityczne),

9 11 Kąty w kole. - zna pojęcie kąta wpisanego i środkowego, - rozpozna kąt wpisany i środkowy na przykładzie, - zna twierdzenie o kątach wpisanych opisanych na tym samym łuku, - zna twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym opisanym na tym samym łuku, - zna wnioski z tych twierdzeń, Wektor. - zna definicję wektora, długości, zwrotu i kierunku wektora, - zna pojęcie wektora swobodnego i zaczepionego, - wskaże wektory równe i przeciwne, - zbuduje wektor będący sumą, różnicą dwóch wektorów i iloczynem wektora przez liczbę, - zapisze wektor za pomocą współrzędnych, - obliczy długość, środek wektora, wektor przeciwny, - obliczy współrzędne i długość wektora będącego sumą, różnicą, iloczynem wektora przez liczbę danych wektorów, 14 Przekształcenia geometryczne. - zna definicję przekształcenia geometrycznego, - zna definicję przekształcenia odwrotnego i tożsamościowego, - zna definicję izometrii - udowodni twierdzenie o kątach wpisanych opartych na tym samym łuku, - udowodni twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym opartym na tym samym łuku, - wyprowadzi wzór na współrzędne środka odcinka, - rozstrzygnie czy dane przekształcenie jest izometrią, - zna zasady składania przekształceń, Symetria osiowa. - zna definicję symetrii osiowej, - wykaże, że symetria osiowa

10 - wyznaczy konstrukcyjnie obraz punktów w symetrii osiowej, - wyznaczy obraz dowolnej figury geometrycznej w symetrii osiowej, - zna definicję osi symetrii figury oraz symetralnej, dwusiecznej kąta i potrafi konstrukcyjnie je wyznaczyć, Symetria środkowa. - zna definicję symetrii środkowej., - wyznaczy konstrukcyjnie obraz punktów w symetrii środkowej., - wyznaczy obraz dowolnej figury geometrycznej w symetrii środkowej., - zna definicję środka symetrii figury i potrafi konstrukcyjnie go wyznaczyć, 19 Translacja i obrót. - zna definicję translacji, - przesunie dany punkt o dany wektor, - przesunie figurę o wektor, - zna definicję obrotu, - obróci dany punkt o dany kąt, - obróci figurę o dany kąt, Obrazy wykresów funkcji w przekształceniach izometrycznych. - przekształci dany wykres funkcji w S x, S y, S o, - napisze, mając wzór danej funkcji, wzór funkcji będącej jej obrazem w S x, S y, S o, Przystawanie figur. - zna definicję figur przystających, - zna cechy przystawania trójkątów, - potrafi wykazać przystawanie trójkątów, Trójkąt podział i własności. - zna podział trójkątów ze względu na boki i kąty, jest izometrią, - wykaże, że symetria środkowa jest izometrią, - zna pojęcie analityczne translacji i obrotu, - wykaże, że translacja i obrót są izometriami, - przekształci dany wykres w S y = x, - napisze, mając wzór danej funkcji, wzór funkcji będący jej obrazem w S y = x, - potrafi konstrukcyjnie wpisać trójkąt oraz opisać trójkąt na

11 - potrafi rozróżnić trójkąty, - zna twierdzenie dotyczące sumy miar kątów wewnętrznych w trójkącie, - zna własności trójkąta wpisanego i opisanego na okręgu, Czworokąt podział i własności. - zna podział czworokątów ze względu na boki i kąty, - potrafi rozróżnić czworokąty, - zna własności dotyczące sumy miar kątów wewnętrznych, boków i przekątnych w czworokącie, - zna warunki czworokąta wpisanego i opisanego na okręgu, Wielokąty foremne. - Zna definicję wielokąta foremnego, - zna podział wielokątów ze względu na boki i kąty, - potrafi rozróżnić wielokąty, - zna własności wielokątów, - zna warunki wielokąta wpisanego i opisanego na okręgu, okręgu, - potrafi konstrukcyjnie wpisać czworokąt oraz opisać czworokąt na okręgu, - potrafi konstrukcyjnie wpisać oraz opisać wielokąt na okręgu, Rozwiązywanie zadań z wykorzystaniem własności wielokątów. 34 Praca klasowa. 35 Omówienie pracy klasowej. - potrafi podać rozwiązanie konstrukcyjne zadania, - potrafi przedstawić rozwiązanie analityczne zadania, - potrafi przedstawić dowód danego problemu,

12 PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM NA PODBUDOWIE ZASADNICZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ Lp. I 1-2 Temat lekcji Funkcje wykładnicze i logarytmiczne. Uczeń: Podstawowe Potęga o wykładniku całkowitym. - zna definicję potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym; - obliczy potęgę o wykładniku całkowitym ujemnym; - zna własności działań na potęgach; - wykona działania na potęgach o wykładnikach ujemnych; - wykona proste działania łączne na potęgach o wykładnikach całkowitych; Umiejętności Ponadpodstawowe Uczeń: - udowodni twierdzenia o działaniach na potęgach o wykładnikach całkowitych; - wykona działania łączne na potęgach o wykładnikach całkowitych; 3-4 Potęga o wykładniku wymiernym. - wykona proste działania na potęgach o wykładnikach wymiernych; - zna definicję potęgi o wykładniku wymiernym; - zna i stosuje twierdzenia o działaniach na potęgach o wykładnikach wymiernych w działaniach łącznych na potęgach; - wykona działania na potęgach o wykładnikach wymiernych; 5-6 Działania na potęgach o wykładnikach - wykona proste działania łączne na - obliczy wartość wyrażenia

13 wymiernych. potęgach; arytmetycznego zawierającego potęgi, wymagającego wielokrotnego stosowania definicji i twierdzeń o działaniach na potęgach; 7 Funkcje potęgowe y = x n, gdzie n N, n-liczba parzysta i n-liczba nieparzysta 8 Funkcje potęgowe y = x n, gdzie n jest liczbą całkowitą ujemną. 9 Funkcje potęgowe y = x n, gdzie n jest liczbą wymierną wyznaczy dziedzinę funkcji; - narysuje wykres i omówi własności (na wybranych przykładach); - wyznaczy dziedzinę funkcji; - narysuje wykres dla n parzystych i nieparzystych i omówi własności; - wyznaczy dziedzinę funkcji; - narysuje i omówi własności funkcji y = x (1/2) i y = x (1/3) ; Funkcja wykładnicza. - zna definicję funkcji wykładniczej; - poda przykłady funkcji; - narysuje wykresy wybranych funkcji i omówi ich własności; Przekształcanie wykresów funkcji wykładniczej. - zastosuje monotoniczność funkcji do porównania wykładników lub oceny podstaw; - uogólni własności funkcji ze względu na n; - sporządzi wykres funkcji z wartością bezwzględną - sporządzi wykres dokonując przekształceń; - poda podobieństwa i różnice we własnościach funkcji dla n parzystych i n nieparzystych; - sporządzi wykres z wartością bezwzględną; - sporządzi wykres dokonując przekształceń; - narysuje i omówi własności funkcji y = x -(1/2) i y = x -(1/3) ; - sporządzi wykresy dokonując przekształceń; - uogólni własności funkcji wykładniczej; - narysuje wykres funkcji y = a x, y = a x-p + q; - przekształci wykres przez

14 posługując się wykresem da odpowiedź na żądane warunki zadania; - narysuje wykres funkcji y = a x + q, y = a x-p, y = -a x, y = a -x ; S OX, S OY, S (0,0), T p, T q, T p+q i zbuduje wzór otrzymanej funkcji; Rozwiązywanie równań wykładniczych. - rozwiąże elementarne równanie; - rozwiąże równanie wykładnicze o zwiększonym stopniu trudności; Rozwiązywanie nierówności wykładniczych. - rozwiąże elementarną nierówność wykładniczą z zastosowaniem monotoniczności funkcji; - rozwiąże nierówność wykładniczą o zwiększonym stopniu trudności; Praca klasowa i jej omówienie. 19 Pojęcie logarytmu. - poda definicję logarytmu; - obliczy logarytm o danej podstawie danej liczby, obliczy liczbę logarytmowaną mając dany logarytm i podstawę logarytmu; Własności logarytmu. - zna podstawowe własności logarytmu log a (xy), log a (x/y), log a x n ; - zastosuje własności w prostych przykładach; 23 Zastosowanie definicji i własności logarytmów w zadaniach. - zastosuje definicje i własności logarytmu w obliczeniach; - zamieni liczbę na logarytm o danej podstawie; - obliczy podstawę logarytmu mając dany logarytm i liczbę logarytmowaną; - udowodni podstawowe własności logarytmu; - zna inne własności logarytmu (np. o zmianie podstaw logarytmu); - zastosuje własności logarytmu w uproszczeniu wyrażeń; - zastosuje definicję i własności logarytmu w obliczeniach oraz przekształceniach wyrażeń; - zna i potrafi zastosować twierdzenie o zamianie

15 podstawy logarytmu; 24 Funkcja logarytmiczna. - zna definicję funkcji logarytmicznej; - poda przykład funkcji; - sporządzi wykres wybranych funkcji logarytmicznych i omówi ich własności; Zastosowanie własności funkcji logarytmicznej w zadaniach. - wyznaczy dziedzinę funkcji logarytmicznej; - przekształci wykres funkcji logarytmicznej T [p,0], T [0,q] ; Rozwiązywanie równań logarytmicznych. - rozwiąże proste równanie logarytmiczne; - uogólni własności funkcji logarytmicznej; - przekształci wykresy funkcji logarytmicznej i zbuduje wzór otrzymanej funkcji oraz omówi jej własności; - sporządzi wykres funkcji z wartością bezwzględną; - rozwiąże równania logarytmiczne o podwyższonym stopniu trudności; Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych. 31 Rozwiązywanie równań i nierówności logarytmicznych z niewiadomą w podstawie logarytmu. 32 Rozwiązywanie równań i nierówności w których podstawa jak i liczba logarytmowana zależą od niewiadomej. - rozwiąże prostą nierówność logarytmiczną; - ustali dziedzinę równania i nierówności; - rozwiąże proste równanie typu log x 4 = 2 - rozwiąże nierówności logarytmiczne o podwyższonym stopniu trudności; - ustali dziedzinę równania i nierówności; - rozwiąże równanie i nierówność z niewiadomą w podstawie logarytmu; - ustali dziedzinę równania i nierówności; - rozwiąże równanie i nierówność;

16 33-34 Praca klasowa i jej omówienie. II Ciągi liczbowe. 1 Pojęcie ciągu i sposoby jego określania. - zna pojecie nieskończonego ciągu i skończonego; - poda przykład ciągu liczbowego i nieliczbowego; - obliczy kolejne jak i dowolne wskazane wyrazy ciągu liczbowego podanego wzorem ogólnym; - przedstawi wykres ciągu podanego wzorem; - obliczy kilka początkowych wyrazów ciągu określonego wzorem rekurencyjnym; - zapisze wzorem ogólnym ciąg, dla którego podane są jego wyrazy; 2-3 Ciągi monotoniczne. - zna definicję ciągu rosnącego, malejącego, stałego, nierosnącego, niemalejącego; - zbada, czy podany ciąg jest rosnący, 4-5 czy malejący; Ciąg arytmetyczny- określenie i własności. - zna definicję ciągu arytmetycznego; - zna wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu; - obliczy dowolny wyraz ciągu w którym dane są a 1 i r ; - przedstawi wykres ciągu rosnącego i malejącego; 6-7 Zastosowanie ciągu arytmetycznego w zadaniach. - wyznaczy ciąg arytmetyczny (a 1 i r) mając podane warunki np. a 5 i a 10 ; - wyznaczy szukaną wielkość mając dane 3 spośród czterech a 1, r, a n, n; - - udowodni wzór na a n ; - zastosuje definicję ciągu arytmetycznego i wzór na a n do zadań z tekstem; 8 Suma n wyrazów ciągu arytmetycznego. - zna wzór na sumę n początkowych - udowodni wzór na S n ;

17 wyrazów ciągu arytmetycznego; - stosuje wzór na sumę; 9-10 Ciąg arytmetyczny w zadaniach. - stosuje wzory na a n i S n w zadaniach; Ciąg geometryczny określenie i własności. - zna definicję ciągu geometrycznego; - zna wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego; - obliczy kilka początkowych wyrazów ciągu geometrycznego; - wyznaczy ciąg (a 1, q) przy zadanych warunkach; 13 Suma n wyrazów ciągu geometrycznego. - zna wzór na sumę i stosuje go w zadaniach; - udowodni wzór na a n ; - udowodni wzór na S n ; Ciąg geometryczny w zadaniach. - sprawnie stosuje wzory na a n i S n w zadaniach dotyczących ciągu geometrycznego; Rozwiązywanie różnych zadań dotyczących ciągów: arytmetycznego i geometrycznego. - rozwiąże proste zadania korzystając z własności obu ciągów; Praca klasowa i jej omówienie. 21 Pojęcie granicy ciągu. - na przykładach wykaże rozumienie granicy ciągu zbieżnego do zera; - naszkicuje wykres ciągu zbieżnego do zera; 22 Ciągi zbieżne i ich własności. - na przykładach wykaże rozumienie granicy ciągu zbieżnego do g; - naszkicuje wykres ciągu zbieżnego do g; - zastosuje wiadomości dotyczące ciągów do rozwiązywania problemów; - rozwiąże zadanie typu maturalnego; - zna definicję granicy ciągu wg Heinego i Cauchy ego; - wykaże, że granicą danego ciągu jest podana liczba;

18 23-24 Obliczanie granic ciągów. - stosuje twierdzenia o granicach ciągów zbieżnych do granic; - na przykład wskaże ciągi rozbieżne; - zna twierdzenia o granicach ciągów zbieżnych oraz rozbieżnych; Ciąg geometryczny nieskończony zbieżny i jego suma. - zna warunek zbieżności nieskończonego ciągu geometrycznego; - obliczy sumę szeregu geometrycznego; - udowodni twierdzenie o sumie szeregu geometrycznego; Szereg geometryczny w zadaniach. - zamieni ułamek okresowy na zwykły; - rozwiąże równanie, nierówność, w którym jedna ze stron jest sumą szeregu geometrycznego; Praca klasowa i jej omówienie. III Figury geometryczne w przestrzeni. 1 Wzajemne położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni. 2 - wskaże na modelach proste równoległe, skośne, płaszczyzny równoległe, przecinające się, prostą równoległą do płaszczyzny; - zna twierdzenie o prostych i płaszczyznach oraz zilustruje je rysunkiem; Prostopadłość prostych i płaszczyzn. - zna definicję prostej prostopadłej do płaszczyzny i płaszczyzn prostopadłych; - zna twierdzenia o prostej prostopadłej do płaszczyzny; 3-4 Rzut równoległy na płaszczyznę. - zna definicje rzutu; - narysuje rzut równoległy odcinka, prostej na płaszczyznę; - zastosuje w praktyce własności rzutu - zastosuje wzór na sumę szeregu w zadaniach problemowych; - udowodni twierdzenia o prostych i płaszczyznach; - udowodni twierdzenie o prostej prostopadłej do płaszczyzny; - narysuje rzut równoległy figury płaskiej; - udowodni twierdzenia o rautach równoległych

19 równoległego odcinków; 5-6 Rzut prostokątny na płaszczyznę. - zna definicję rzutu prostokątnego; - zna definicję odległości punktu od płaszczyzny i odległości płaszczyzn równoległych; - wykona rzut prostokątny odcinka, prostej na płaszczyznę; - zastosuje w praktyce własności rzutu prostokątnego odcinków; 7-9 Powtórzenie wiadomości o związkach - zna definicje funkcji miarowych w trójkącie. trygonometrycznych; - zna wartości funkcji trygonometrycznych kąta o mierze 30, 45, 60, 90 ; - zna wzory redukcyjne; - zna i stosuje twierdzenie sinusów, cosinusów, twierdzenie Pitagorasa w prostych zadaniach; Kąty w przestrzeni. - zna definicje kąta między prostą a płaszczyzną, kąta dwuściennego; - wskaże na modelach poznane kąty; - zastosuje definicję w prostych zadaniach; - zna twierdzenie o trzech prostych prostopadłych; Graniastosłup. - wskaże wierzchołki, krawędzie, ściany, wysokość graniastosłupa; - wykona siatkę; - zna definicję graniastosłupa prawidłowego; - zna klasyfikację graniastosłupa; - wskaże na modelach przekątną odcinków; - wyprowadzi wzory redukcyjne; - udowodni twierdzenie sinusów, cosinusów; - udowodni twierdzenie o trzech prostych prostopadłych; - narysuje przekroje graniastosłupa płaszczyzną;

20 graniastosłupa, kąt miedzy przekątną a ścianą; - zastosuje własności graniastosłupów w prostych zadaniach; Ostrosłup - - wskaże na modelu wierzchołki, krawędzie, ściany, wysokość ostrosłupa, wysokość ściany bocznej, kąt między krawędzią boczną a krawędzią podstawy, kąt między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy, kąt między ścianą boczną a podstawą, kąt między ścianami bocznymi; - wykona siatkę; - zna definicję ostrosłupa prawidłowego; - zna klasyfikację graniastosłupa; - wskaże na modelach przekątną graniastosłupa, kąt miedzy przekątną a ścianą; - zastosuje własności ostrosłupów w prostych zadaniach; Wielościany foremne. - zna definicję wielościanu foremnego; - wykona siatkę czworościanu, sześcianu, ośmiościanu; - zna własności wielościanów foremnych i stosuje je w prostych zadaniach; Figury obrotowe. - zna definicję figury obrotowej; - wykona siatkę walca, stożka; - określi rodzaj bryły obrotowej na podstawie jej przekroju osiowego; Praca klasowa i jej omówienie. - narysuje przekroje ostrosłupa płaszczyzną; - stosuje własności wielościanów foremnych w zadaniach problemowych;

21 IV Jednokładność i podobieństwo. 1-2 Twierdzenie Talesa i jego zastosowanie. - zna treść twierdzenia Talesa i twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa; - podzieli odcinek w danym stosunku; - konstrukcyjnie rozwiąże daną proporcję; - stosuje twierdzenie Talesa do obliczania długości pewnych odcinków; - stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa w prostych zadaniach; 3-4 Przypomnienie wiadomości jednokładność. - zna definicję jednokładności; - znajdzie obraz danej figury w jednokładności; - zna definicję figur jednokładnych; - wskaże figury jednokładne; 5 Podobieństwo figur. - zna definicję podobieństwa; - zna definicję i własności figur podobnych; - rozpozna figury podobne; - wskaże w figurach podobnych odpowiednie kąty i zapisze proporcjonalność odpowiednich boków; 6 Cechy podobieństwa trójkątów. - zna cechy podobieństwa trójkątów; - rozpozna na rysunku trójkąty podobne i uzasadni ich podobieństwo; 7 Zastosowanie cech podobieństwa trójkątów. - stosuje cechy podobieństwa trójkątów do rozwiązywania zadań; - zna dowody twierdzeń; - obliczy współrzędne punktu dzielącego odcinek w danym stosunku; - udowodni twierdzenia o obrazie odcinka, wektora, prostej w jednokładności; - udowodni twierdzenie o podobieństwie jako złożeniu jednokładności z izomerią; - formułuje cech podobieństwa niektórych figur (czworokątów, kół, trójkątów prostokątnych); - zna wzór na wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzoną z wierzchołka

22 kąta prostego i stosuje go do konstruowania odcinka o długości ab; 8-9 Powtórzenie wiadomości o funkcjach trygonometrycznych. - zna definicje i własności funkcji trygonometrycznych oraz wzory redukcyjne; - zna wartości funkcji trygonometrycznych kąta o mierze 30, 45, 60 ; - odczyta wartość funkcji trygonometrycznej z tablic matematycznych; Twierdzenie sinusów. - zna twierdzenie sinusów; - stosuje twierdzenie sinusów do rozwiązywania trójkątów; - obliczy promień okręgu opisanego na trójkącie; Twierdzenie cosinusów. - zna twierdzenie cosinusów; - zna związek między tw. Cosinusów i tw. Pitagorasa; 14 Zastosowanie twierdzenia cosinusów. - stosuje tw. Cosinusów; - rozwiąże trójkąt; Pole wielokąta foremnego. - zna definicję wielokąta foremnego; - obliczy pole wielokąta foremnego; - obliczy pole koła opisanego i wpisanego w wielokąt foremny; 17 Pole koła. - obliczy pole i obwód koła; - obliczy pole wycinka kołowego; - obliczy pole pierścienia kołowego; 18 Pola i obwody figur podobnych. - zna i stosuje zależności pomiędzy obwodami i polami figur podobnych; - udowodni twierdzenie sinusów; - udowodni tw. Cosinusów;

23 19-20 Pola figur. - rozwiąże zadanie dotyczące pól figur; - rozwiąże zadania typu maturalnego; Praca klasowa i jej omówienie.

24 PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY III TECHNIKUM NA PODBUDOWIE ZASADNICZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ Lp. I Temat lekcji Rachunek prawdopodobieństwa. Uczeń: Podstawowe 1-2 Permutacje. - zna symbol n!; - stosuje symbol n! W prostych zadaniach; - zna definicję permutacji; - zna wzór na liczbę permutacji; - rozwiąże proste zadania z zastosowaniem permutacji; 3-4 Kombinacje. - zna symbol Newtona; - stosuje symbol Newtona; - zna definicje kombinacji k- elementowej zbioru n-elementowego; - rozwiąże proste zadania z zastosowaniem wariacji; 5-6 Wariacje bez powtórzeń, wariacje z powtórzeniami. 7 Zdarzenia elementarne. Podzbiory zbioru zdarzeń elementarnych. - zna definicję wariacji; - zna wzór na liczbę wariacji; - rozwiąże proste zadania z zastosowaniem wariacji; - opisze zbiór zdarzeń elementarnych danego zdarzenia losowego; - zna definicje zdarzenia ; Umiejętności Ponadpodstawowe Uczeń: - uzasadni wzór na liczbę permutacji; - udowodni własności symbolu Newtona; - uzasadni wzór na liczbę wariacji bez powtórzeń i z powtórzeniami;

25 8 Klasyczna i aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa. 9 - zna definicję zdarzenia pewnego, niemożliwego; - wskaże zdarzenia elementarne sprzyjające danemu zdarzeniu; - wykona działania na zdarzeniach; - zna definicję prawdopodobieństwa; - zapisze model probabilistyczny doświadczenia; - stosując klasyczną definicje prawdopodobieństwa obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia; Własności prawdopodobieństwa. - zna własności prawdopodobieństwa; - stosuje własności w zadaniach; - udowodni własności prawdopodobieństwa; Określenie prawdopodobieństwa przy pomocy drzewka Obliczanie prawdopodobieństwa z wykorzystaniem elementów kombinatoryki i drzew. - przedstawi dane doświadczenie przy pomocy drzewka; - obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia na podstawie drzewka; - przy pomocy drzewa obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia; - rozwiąże zadanie z wykorzystaniem elementów kombinatoryki; Prawdopodobieństwo warunkowe. - zna definicję prawdopodobieństwa warunkowego; - zna i stosuje wzór na prawdopodobieństwo warunkowe; 16 Niezależność pary zdarzeń. - zna definicję niezależności dwóch zdarzeń; - sprawdzi czy dane dwa zdarzenia są niezależne; - obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia z wykorzystaniem własności pary - zna definicję niezależności większej liczby zdarzeń;

26 17-18 zdarzeń niezależnych; Prawdopodobieństwo całkowite. - obliczy prawdopodobieństwo całkowite przy pomocy drzewa; Zastosowanie poznanych wzorów do obliczania prawdopodobieństwa zdarzeń. - rozwiąże zadania o niewielkim stopniu trudności; - zna i udowodni wzór na prawdopodobieństwo całkowite; - obliczy prawdopodobieństwo całkowite z wykorzystaniem wzoru; - rozwiąże zadania o podwyższonym stopniu trudności (zadania typu maturalnego); 21 Schemat Bernouliego. - określi zdarzenie będące sukcesem, porażką; - zna i stosuje twierdzenie o prawdopodobieństwie otrzymania k-sukcesów w n-próbach Bernouliego; 22 Zastosowanie schematu Bernouliego. - stosuje poznane twierdzenie w zadaniach o niewielkim stopniu trudności; Praca klasowa i jej omówienie II Pola powierzchni i objętości wielościanów oraz brył obrotowych. 1 Powtórzenie wiadomości o polach figur. - zna klasyfikację czworokątów i wzory na ich pola; - zna wzory na pole trójkąta, pole i - stosuje poznane twierdzenia w zadaniach o podwyższonym stopniu trudności (zadania typu maturalnego); - zna definicję pola figury ; - stosuje wzory na pole figury w zadaniach;

27 obwód koła; - zna wzory na pole wielokąta foremnego; - stosuje wzory na pole figury w prostych zadaniach; 2-3 Objętość i pole powierzchni graniastosłupa. - zna wzory na objętość i pole powierzchni graniastosłupa; - obliczy objętość i pole powierzchni graniastosłupa prostego; 4 Ćwiczenia w obliczaniu objętości i pola powierzchni graniastosłupa. - stosuje wzory na objętość i pole powierzchni graniastosłupa prostego w zadaniach z zastosowaniem funkcji trygonometrycznych; 5-6 Objętość i pole powierzchni ostrosłupa. - zna wzory na objętość i pole powierzchni ostrosłupa; - obliczy objętość i pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego; 7 Ćwiczenia w obliczaniu objętości i pola powierzchni ostrosłupa. - stosuje wzory na objętość i pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego w zadaniach z zastosowaniem funkcji trygonometrycznych; - zna definicję objętości bryły; - obliczy objętość i pole powierzchni graniastosłupa, który nie jest prosty; - stosuje wzory na objętość i pole powierzchni graniastosłupa w zadaniach problemowych; - obliczy objętość i pole powierzchni ostrosłupa, który nie jest prawidłowy; - stosuje wzory na objętość i pole powierzchni ostrosłupa w zadaniach problemowych; 8-9 Objętość i pola powierzchni wielościanów podobnych. - zna definicję podobieństwa i figur podobnych; - zna twierdzenie o stosunkach objętości i pól powierzchni wielościanów podobnych; - stosuje twierdzenie w prostych zadaniach; - udowodni twierdzenie o stosunkach objętości i pól powierzchni niektórych graniastosłupów i ostrosłupów; Praca klasowa i jej omówienie. 12 Objętość i pole powierzchni walca. - zna wzory na objętość i pole - wyprowadzi wzór na pole

28 13-14 Ćwiczenia w obliczaniu objętości i pola powierzchni walca. powierzchni walca; - stosuje poznane wzory w prostych zadaniach; - stosuje wzory na objętość i pole powierzchni walca w zadaniach z zastosowaniem funkcji trygonometrycznych; 15 Objętość i pole powierzchni stożka. - zna wzory na objętość i pole powierzchni stożka; - stosuje poznane wzory w prostych zadaniach; Ćwiczenia w obliczaniu objętości i pola powierzchni stożka. - stosuje wzory na objętość i pole powierzchni stożka w zadaniach z zastosowaniem funkcji trygonometrycznych; Objętość i pole powierzchni kuli. - zna wzory na objętość i pole powierzchni kuli; - stosuje wzory w prostych zadaniach; Kula opisana na wielościanie. - zna definicję kuli opisanej na wielościanie; - rozwiąże proste zadania dotyczące kuli opisanej na prostopadłościanie, sześcianie, ostrosłupie prawidłowym; Kula wpisana w wielościan. - zna definicję kuli wpisanej w wielościan; - rozwiąże proste zadania dotyczące kuli wpisanej w sześcian, ostrosłup prawidłowy; powierzchni bocznej i całkowitej walca; - stosuje wzory na objętość i pole powierzchni walca w zadaniach problemowych; - wyprowadzi wzór na pole powierzchni stożka; - stosuje wzory na objętość i pole powierzchni stożka w zadaniach problemowych; - stosuje wzory na objętość i pole powierzchni kuli w zadaniach problemowych; - rozwiąże zadania dotyczące kuli opisanej na wielościanie; - rozwiąże zadania dotyczące kuli wpisanej w wielościan;

29 25 Kula opisana na walcu, stożku. - zna definicję kuli opisanej na walcu, stożku; - narysuje przekrój osiowy walca, stożka i kuli opisanej na tym walcu, stożku oraz uzasadni położenie środka kuli; - rozwiąże proste zadania dotyczące kuli opisanej na walcu, stożku; 26 Kula wpisana w stożek. - zna definicję kuli wpisanej w stożek; - narysuje przekrój osiowy stożka i kuli wpisanej w ten stożek oraz uzasadni położenie środka kuli; - rozwiąże proste zadania dotyczące kuli Obliczanie objętości i pola powierzchni brył obrotowych. wpisanej w stożek; - rozwiąże zadanie o niewielkim stopniu trudności; - rozwiąże zadania dotyczące kuli opisanej na walcu, stożku; - rozwiąże zadania dotyczące kuli wpisanej w stożek; - rozwiąże zadanie o podwyższonym stopniu trudności; Praca klasowa i jej omówienie.