Stefan Banach i lwowska szkoła matematyczna

Transkrypt

1 Stefan Banach i lwowska szkoła matematyczna Krzysztof Ciesielski, Zdzisław Pogoda Na początku XX wieku Polacy nie byli narodem mogącym się poszczycić wielkimi tradycjami matematycznymi. Tylko nieliczni uzyskali wyniki dające im istotne miejsce w historii matematyki. A i tacy, jak Jan Śniadecki, Jan Brożek czy Adam Kochański nie byli autorami odkryć o największym znaczeniu. Niewątpliwie istotny wpływ na to miał fakt, że przez cały XIX wiek, gdy matematyka rozwijała się jak nigdy wcześniej, gdy tworzyli między innymi Carl F. Gauss, Augustin L. Cauchy czy Bernhard Riemann, Polska nie istniała jako niepodległe państwo. Jedynym terytorium, gdzie Polacy mieli pewne możliwości działalności naukowej, był zabór austro-węgierski, w którym znalazły się Kraków i Lwów. Do wybuchu I wojny światowej najwybitniejsi polscy uczeni (na przykład Maria Skłodowska-Curie) uzyskiwali swe wyniki głównie za granicą. Za granicą działali także matematycy (między innymi Józef Hoene-Wroński, Franciszek Mertens i Stanisław Zaremba). Ich niebanalne osiągnięcia nie wpłynęły jednak na to, że matematyka polska raczej nie liczyła się na świecie. Kilkanaście lat po odzyskaniu niepodległości sytuacja zmieniła się. Polska stała się światową potęgą matematyczną. Nazwiska Polaków i ich osiągnięcia były powszechnie znane; czołową rolę odgrywała tu lwowska szkoła matematyczna i jej przedstawiciele, wśród których bezdyskusyjnie najwybitniejszym był Stefan Banach. Hugo Steinhaus wielokrotnie twierdził, że jego największym odkryciem matematycznym był Stefan Banach. Wagę tego stwierdzenia podkreśla fakt, że Steinhaus był jednym z najsłynniejszych polskich matematyków i współtwórcą polskiej szkoły matematycznej. Jak to się stało, że Banach został przez Steinhausa odkryty? Otóż w roku 1916 Steinhaus, podczas wieczornego spaceru krakowskimi Plantami, usłyszał nagle słowa całka Lebesgue a. Dziś całka Lebesgue a jest jednym z podstawowych pojęć matematyki wyższej, wtedy jednak było to odkrycie ostatnich lat, znane wyłącznie specjalistom. Zaintrygowany 1

2 Steinhaus podszedł do dwóch młodych ludzi dyskutujących o matematyce. Jednym z nich był Stefan Banach, drugim Otton Nikodym, który później dal się również poznać jako znakomity, wszechstronny matematyk. Okazało się, że mają oni sporą wiedzę matematyczną. Steinhaus włączył się więc do rozmowy. Opowiedział im o problemie, nad którym od dłuższego czasu pracował. Wielkie było jego zdziwienie, gdy kilka dni później Banach który zajmował się wtedy matematyką niejako prywatnie przyniósł gotowe rozwiązanie. Stefan Banach przyszedł na świat 30 marca 1892 roku w Krakowie. Jego dzieciństwo nie jest dokładnie znane, choć wiadomo, że zaraz po urodzeniu oddany został na wychowanie właścicielce pralni i żył w bardzo skromnych warunkach. Nosił nazwisko swojej matki Katarzyny; ojciec nazywał się Stefan Greczek. Według relacji kolegów szkolnych Banach uczył się dobrze, miał zaś szczególne zdolności do nauk przyrodniczych i do matematyki. Niewątpliwie nie bez znaczenia była tu przyjaźń z kolegą gimnazjalnym, Witoldem Wilkoszem, późniejszym profesorem matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego. Po ukończeniu szkoły Banach uznał podobno, że matematyka jest wprawdzie niezwykle ciekawa, ale też bardzo rozbudowana i zapewne wiele nowego już się w niej nie da zrobić. Zdecydował więc poświęcić się studiom inżynierskim, które jednak przerwała I wojna światowa. Jako matematyk był samoukiem. Bardzo wiele czytał oraz dyskutował z Wilkoszem i Nikodymem. Aż doszło do spotkania ze Steinhausem... Dalsza matematyczna edukacja Banacha również przebiegała oryginalnie. Po paru latach, za wstawiennictwem Steinhausa, mimo że nie miał ukończonych studiów wyższych, został asystentem na Politechnice Lwowskiej. Wkrótce potem uzyskał stopień doktora, dwa lata później habilitację i niemal natychmiast po niej co było praktycznie niespotykane nominację na profesora nadzwyczajnego. Ksiądz Andrzej Turowicz, profesor matematyki, wykładający przed wojną na Politechnice Lwowskiej, opowiadał, że Banach nie tylko nie skończył studiów, lecz i doktorem zestal w sposób dość niezwykły. Otóż, gdy rozpoczął pracę we Lwowie, był już autorem kilku znaczących publikacji. Jednak na uwagi, iż powinien wkrótce przedstawić pracę doktorską, odpowiadał, że ma jeszcze dużo czasu i że może wymyślić coś lepszego niż to, co uzyskał do tej pory. W końcu zwierzchnicy Banacha zniecierpliwili się ktoś spisał jego najnowsze rezultaty, które zostały uznane za znakomitą pracę doktorską. Przepisy jednak wymagały również egzaminu. Pewnego dnia zaczepiono Banacha na korytarzu Uniwersytetu Jana Kazimierza: Czy mógłby pan wpaść 2

3 do dziekanatu, są tam jacyś ludzie, którzy mają pewne problemy matematyczne, a pan na pewno potrafi im wszystko wyjaśnić... Banach udał się do wskazanego pokoju i chętnie odpowiedział na wszystkie pytania, nie zdając sobie sprawy, że właśnie zdaje egzamin doktorski przed specjalnie w tym celu przybyłą z Warszawy komisją. Wykłady na uniwersytecie rozpoczął Banach bardzo szybko. Ci, którzy go znali, twierdzili, że praktycznie nic poza matematyką nie miało dla niego większego znaczenia. Wciąż miał nowe pomysły. Tylko skromna część jego idei i wyników została zapisana i to nie dlatego, że nie chciał, lecz dlatego, że było ich bardzo dużo, a on wolał badanie problemów niż spisywanie tego, co zrobił. Mówiono, że stale powinno za nim chodzić trzech sekretarzy i notować wszystko, co mówił może wtedy większość jego rezultatów przetrwałaby dla potomności. Choć Banach był niewątpliwie największą indywidualnością matematycznego Lwowa, nie był tam jedynym wybitnym matematykiem. O niepowtarzalnej atmosferze w środowisku lwowskich matematyków opowiada się dziś legendy. Oprócz Banacha i Steinhausa pracował we Lwowie Stanisław Mazur, przyjaciel i uczeń Banacha, wybitny specjalista w koronnej dziedzinie polskiej matematyki okresu międzywojennego analizie funkcjonalnej. Byli tam inni uczniowie Banacha, wielcy polscy matematycy: Juliusz Paweł Schauder i Władysław Orlicz. Przez pewien okres działał we Lwowie Kazimierz Kuratowski, a jego uczniem był Stanisław Ułam, matematyk wyjątkowo wszechstronny, który w roku 1935 wyjechał na stałe do USA i zasłynął ze wspólnych prac z Johnem von Neumannem nad bombą atomową. We Lwowie pracowało też wiele innych znakomitości. Matematyką zajmowano się tam w pięciu katedrach na Uniwersytecie Jana Kazimierza (czterech matematycznych i katedrze filozofii) oraz dwóch na Politechnice Lwowskiej. Niebagatelną rolę w kształtowaniu atmosfery pracy lwowskich matematyków miały spotkania w Kawiarni Szkockiej. Lokal ten mieścił się nie opodal uniwersytetu, na ulicy Akademickiej. W nim to matematycy przesiadywali niezwykle często. Tam jedli, pili i dyskutowali o matematyce stawiali problemy i rozwiązywali je. Rozwiązania zapisywali na papierowych serwetkach i blatach marmurowych stolików. Po zakończeniu tych długich sesji wszystkie notatki były pieczołowicie wycierane przez obsługę kawiarni i w ten sposób niejedno twierdzenie zniknęło bezpowrotnie. W końcu żona Banacha, Łucja, kupiła zeszyt, w którym bywalcy kawiarni zapisywali stawiane przez siebie zagadnienia. Zeszyt ten, nazwany Księgą Szkocką, był stale w kawiarni i kelner przynosił go na każde żądanie matematyków. 3

4 Stawianiu problemów towarzyszyło często fundowanie nagród za ich rozwiązanie, a nagrody bywały osobliwe: m. in. Stanisław Mazur obiecał za rozwiązanie jednego z zagadnień żywą gęś. Było to w 1936 roku. Dopiero po 36 latach zadanie zostało pokonane, a dokonał tego 28-letni Szwed Per Enflo. Przyjechał on do Warszawy i odebrał nagrodę od Mazura. Spotkania w kawiarni bywały niezwykle długie. Wiadomo o 17-godzinnym, którego efektem był ciekawy rezultat, niestety starty przez kelnera i przez to zapomniany. Są tacy, którzy twierdzą, że nie było to najdłuższe spotkanie i razu pewnego dwaj matematycy tak zapalili się w dyskusji, że siedzieli w kawiarni przez 40 godzin bez przerwy! O sesjach w kawiarni do dziś krąży wiele anegdot, legend i opowieści. Warto przytoczyć kilka z nich. Ongiś jeden ze stałych bywalców kawiarni podsunął problem, a drugi zaczął nad nim myśleć. Po chwili pierwszy, by uczynić zadanie bardziej interesującym, powiedział, że funduje za rozwiązanie butelkę wina. Na to drugi: A, w takim razie ja rezygnuję. Mnie wino szkodzi. Kawiarnia Szkocka w 1978 Inna interesująca historia przydarzyła się podczas wizyty Henriego Lebesgue a we Lwowie w roku Francuski matematyk przyjechał tam w celu odebrania doktoratu honoris causa. Wygłosił dwa odczyty i oczywiście został bardzo szybko zaproszony do Kawiarni Szkockiej. Kelner podał mu jadłospis, Lebesgue jednakże nie znał języka polskiego; chwilę patrzył na 4

5 kartę, po czym oddał ją, mówiąc: Dziękuję, jadam jedynie potrawy dobrze zdefiniowane. Niewątpliwie, na tak niezwykle częste wizyty w Kawiarni Szkockiej miały wpływ osobowość i charakter Banacha. Praktycznie cały czas wolny od wykładów spędzał on w kawiarni. Atmosfera kawiarnianego gwaru bardzo mu odpowiadała. Tam mógł bez końca mówić o matematyce, rozwiązywać problemy, stawiać nowe. Z reguły następnego dnia po długiej sesji matematycznej przychodził z naszkicowanymi dowodami większości zagadnień. Podczas zajęć ze studentami Banach wykładał precyzyjnie, nie dbał jednak o przejrzystość wykładu i nie przejmował się zbytnim tłumaczeniem szczegółów. Wychodził z założenia: nie rozumiesz nie musisz być matematykiem. Był też autorem kilku podręczników. Książki te napisane zostały językiem zwięzłym, ale nietrudnym. Nie były powieleniem podręczników już istniejących, lecz wyróżniały się oryginalnym i właściwym ich autorowi znakomitym podejściem do tematu. Dzieła te zapewne nie powstałyby, gdyby nie finansowe kłopoty Banacha. W przeciwieństwie do czasów dzisiejszych pensja profesorska w Polsce międzywojennej w zupełności wystarczała na dostatnie życie. Banach, choć nie miał specjalnych życiowych wymagań, nie przywykł jednak do oszczędzania, a spędzanie większości czasu w kawiarni spowodowało, że popadł w długi i musiał szukać dodatkowych źródeł zarobków. Banach nie był jedyną wielką indywidualnością wśród lwowskich matematyków. Hugo Steinhaus był człowiekiem o niezwykle szerokiej wiedzy, nie tylko matematycznej. Niejednego zaskakiwał umiejętnością matematycznego spojrzenia na rozmaite zagadnienia z niesłychanie odległych dziedzin. Do dziś sławne są jego aforyzmy, dowcipne reakcje w wielu sytuacjach. Oto niektóre z nich: Łatwo jest usunąć Boga z jego miejsca we wszechświecie. Ale takie dobre posady niedługo wakują. Strip-tease powinien być absolutnie zakazany jest to jedyny sposób utrzymania tego pięknego i pożytecznego zwyczaju. Łatwo z domu rzeczywistości zajść do lasu matemtyki, ale nieliczni tylko umieją wrócić. Gdy pewnego razu ktoś został odznaczony medalem, Steinhaus skomentował to słowami: Już wiem, co należy robić, aby dostać medal. Nic, ale za to bardzo długo. Właśnie Steinhaus twierdził, że komputer to taki niesłychanie sprawny idiota. Był wielkim bojownikiem o czystość polskiego języka. Jest autorem znakomitej, popularnej książki Kalejdoskop matematyczny, 5

6 przetłumaczonej na wiele języków. Co ciekawe, w Polsce w latach nie została ona ani razu wznowiona! Wielką indywidualnością i znakomitym matematykiem był także Stanisław Mazur. Tak jak w przypadku Banacha, wiele jego rezultatów nie zostało opublikowanych z innej jednakże przyczyny. Banach miał pomysłów i wyników zbyt wiele; Mazur natomiast publikować nie lubił. W czasach lwowskich najważniejsze dla Mazura były dwie rzeczy: matematyka i komunizm. Do wybuchu wojny niemal nikt nie wiedział o tym, że Mazur był członkiem Komunistycznej Partii Polski. Stanisław Mazur był o 13 lat młodszy od Banacha. Gdy ten ostatni był już profesorem, on rozpoczynał dopiero studia. Mimo różnicy wieku Banach traktował go jak równego sobie partnera. Mazur niejednokrotnie pełnił rolę cenzora pomysłów Banacha, weryfikował je, krytykował oraz uzupełniał szczegóły dowodów. Dziś nazwiska przedstawicieli szkoły lwowskiej znane są niemal wszystkim matematykom na świecie, najczęściej jednak pojawia się nazwisko Banacha. Dlaczego? Albowiem oprócz wielu ważnych twierdzeń, noszących jego imię (twierdzenia: Hahna-Banacha, Banacha-Steinhausa, Banacha o operatorze odwrotnym, Banacha-Alaoglu, Banacha o wykresie domkniętym, Banacha o punkcie stałym), istnieją także a raczej przede wszystkim przestrzenie Banacha. Jest to pojęcie o ogromnym znaczeniu, pojawiające się w sposób istotny w przeróżnych działach matematyki. Prosta, płaszczyzna, przestrzeń trójwymiarowa są nam znakomicie znane ze szkoły. Te twory geometryczne możemy opisać za pomocą liczb: prostą utożsamić ze zbiorem liczb rzeczywistych, punkty płaszczyzny z parami, zaś punkty przestrzeni z trójkami liczb. Możemy, w sposób naturalny, rozważać, zamiast par czy trójek, skończone ciągi liczbowe o ustalonej z góry liczbie elementów. W ten sposób określamy przestrzenie skończenie wymiarowe. Ich elementy możemy dodawać, mnożyć przez liczby tak jak to się robi z wektorami. Ale podobnych operacji możemy dokonywać także na innych tworach, na przykład na funkcjach możemy dodawać do siebie dwie funkcje (liczbowe) przyjmując, w sposób naturalny, za wartość sumy funkcji w danym punkcie sumę wartości w tym punkcie funkcji dodawanych do siebie. Tu już trudno mówić o skończonym wymiarze. Okazało się, że, z rozmaitych powodów, przestrzenie funkcyjne są bardzo przydatne w różnych badaniach i zastosowaniach. W matematyce współczesnej ważnym przedmiotem badań są struktury ogólne, których różne modele znane są od bardzo dawna. Zamiast dowodzić danego twierdzenia kilkakrot- 6

7 nie, w przypadkach szczególnych, wystarczy je wykazać raz, w sytuacji ogólnej, po czym zastosować. Ma to także tę zaletę, że przy dowodzie ogólnym lepiej widać, z jakich dokładnie własności się korzysta. Rozumowanie bywa więc bardziej przejrzyste i co brzmi może paradoksalnie nieraz okazuje się łatwiejsze. Ponadto twierdzenie ogólne niejednokrotnie przydaje się w sytuacjach, których wcześniej nie można było przewidzieć. Niezwykle istotne jest jednak znalezienie uogólnienia właściwego. Rozważanie tworów zbyt szczegółowych daje niewiele; z kolei przesadne uogólnienie może okazać się zbyt daleko idące, nie mieć wielu zastosowań. Geniusz Banacha polegał na tym, że wprowadzając uogólnienie trafił idealnie w samo sedno problemu. Z punktu widzenia analizy matematycznej oraz jej rozmaitych odgałęzień sama przestrzeń wektorowa (czyli taka, w której możemy wektory dodawać i mnożyć przez skalary) jest mało ciekawa. Ważne jest, byśmy w przestrzeni mogli rozważać odległość między jej elementami. W tym celu wprowadza się w przestrzeniach wektorowych normę (mówiąc potocznie, jest to coś w rodzaju długości wektora). Ale i to daje twory zbyt ogólne. Pojęcie przestrzeni Hilberta, pozwalające rozważać w takich przestrzeniach prostopadłość, było dla wielu zagadnień zbyt szczegółowe. Przestrzeń Banacha, czyli przestrzeń wektorowa, unormowana, zupełna okazała się idealna! Banach zażądał dodatkowo warunku, dziś nazywanego zupełnością. Warunek ten mówi mniej więcej tyle, że jeśli odległość między wyrazami ciągu maleje do zera, to ciąg taki musi mieć granicę (używając matematycznej terminologii, każdy ciąg spełniający warunek Cauchy ego jest zbieżny). Najbardziej elementarne przykłady przestrzeni Banacha to prosta, płaszczyzna, przestrzeń trójwymiarowa, ale z reguły rozważa się przestrzenie bardziej skomplikowane. Bardzo ważne na przykład są pewne przestrzenie, których elementami są funkcje. Nazwy przestrzeń Banacha po raz pierwszy użył, prawdopodobnie, francuski matematyk René Fréchet w roku Matematycy lwowscy bardzo szybko wykazali użyteczność tego pojęcia, dowodząc w zadziwiająco prosty sposób wielu trudnych twierdzeń uogólniających jeszcze trudniejsze, wydawałoby się, przypadki. Co prawda, niezależnie od Banacha, na pomysł rozważania takich przestrzeni wpadł wybitny matematyk amerykański Norbert Wiener (przez jakiś czas przestrzenie nazywane były przestrzeniami Banacha- Wienera), ale uznał, że żądane aksjomaty dają twory zbyt ogólne i niepraktyczne z punktu widzenia zastosowań. Jednak po kilku latach, widząc wspaniałe ich wykorzystanie, zmienił zdanie i przyznał się do błędnego osądu. Ogromną zaletą przestrzeni Banacha jest to, że mimo abstrakcyjności i dużej ogólności są w nich spełnione rozmaite własności ściśle związane z in- 7

8 tuicją geometrii płaszczyzny i przestrzeni. Dziś, mimo upływu niemal 70 lat, przestrzeń Banacha jest ciągle fundamentalnym pojęciem w wielu działach matematyki, centralnym obiektem badań, bowiem wciąż ogromna liczba nowych problemów czeka na rozwiązanie. Banach i jego współpracownicy przyczynili się w sposób istotny do powstania niezwykle ważnej dziedziny matematyki analizy funkcjonalnej. Mówiąc bardzo nieściśle, dział ten zajmuje się badaniem własności pewnych specyficznych funkcji, określonych na rozmaitych przestrzeniach Banacha. Dzięki analizie funkcjonalnej można rozstrzygnąć wiele problemów związanych m. in. z badaniem równań różniczkowych. Dziś klasyczną podstawową monografią poświęconą analizie funkcjonalnej jest książka Banacha Operacje liniowe, wydana w roku 1931; rok później ukazał się jej przekład w języku francuskim. Choć najsłynniejsze wyniki Banacha dotyczą analizy funkcjonalnej, to jego zainteresowania matematyczne były bardzo szerokie. Ma na swym koncie także wiele wyników z innych dziedzin. Opublikował prace zawierające rezultaty z topologii, teorii funkcji rzeczywistych i teorii miary, szeregów ortogonalnych, teorii mnogości... Nie wszystkie problemy Księgi Szkockiej wymagały w swym sformułowaniu znajomości matematyki wyższej. Szczególnie elementarne jest zadanie Stanisława Ruziewicza: Czy można złożyć kwadrat z mniejszych kwadratów tak, by przy składaniu nie wykorzystać dwóch kwadratów jednakowych, czyli o takich samych bokach? Ruziewicz nie był autorem tego problemu; twierdził, że usłyszał go w latach dwudziestych od któregoś z matematyków Uniwersytetu Jagiellońskiego. Po postawieniu zagadnienia w Kawiarni Szkockiej próbowano zadanie rozwiązać, ale bezskutecznie. Dopiero w roku 1939 dokonał tego R. Sprague, który, wykorzystując pewną obserwację Zbigniewa Moronia, skonstruował rozkład kwadratu na 55 mniejszych, parami różnych. Później kilkakrotnie tę liczbę zmniejszano. Definitywnie sprawę zamknięto w 1978 roku. Wtedy to Holender Duijvestijn pokazał metodę ułożenia kwadratu z 21 różnych kwadratowych cegiełek (ryc. obok) i udowodnił, że nie można tego zrobić mając do dyspozycji jedynie 20 (lub mniej) kwadracików. 8

9 Podział kwadratu na 21 mniejszych, parami różnych Proste w sformułowaniu jest też udowodnione przez Banacha twierdzenie, które nosi dziś nazwę twierdzenia o kanapkach. Problem postawił Hugo Steinhaus: Dane są trzy bryły rozłączne; pytamy, czy istnieje jedna płaszczyzna, która tnie każdą z nich na dwie równe części. Z pozytywnej odpowiedzi Banacha wynika na przykład, że kanapkę z szynką i ogórkiem można podzielić jednym cięciem tak, żeby w każdej z dwóch pozostałych części było tyle samo chleba, szynki i ogórka. Wspaniały rozwój lwowskiej szkoły matematycznej przerwała druga wojna światowa. We wrześniu 1939 roku Lwów znalazł się pod okupacją radziecką. Nowe władze natychmiast przystąpiły do wyniszczania polskości na zajętych terenach. Ponad 2 min Polaków deportowano w głąb ZSRR, do łagrów i na zesłanie. Deportacje te obejmowały przede wszystkim rodziny wojskowych i rodziny inteligenckie, by uniemożliwić odrodzenie polskości i wsparcie dla ewentualnej partyzantki oraz armii podziemnej. Banachowi udało się uniknąć zesłania. Pozwolono mu nawet kontynuować pracę na uniwersytecie. Może zawdzięczał to wstawiennictwu Mazura, którego poglądy komunistyczne wyszły wtedy na jaw, może poparciu matematyków radzieckich, którzy zdawali sobie sprawę z jego nieprzeciętnego talentu (przed wojną kontakty naukowe między nimi istniały i współpraca układała się znakomicie). Banach ponadto nie był wojskowym, interesowała go wyłącznie matematyka, nie był także bogaty bardziej majętnych również wywożono, by zagarnąć ich mienie. Władze radzieckie były jednak konsekwentne w niszczeniu wszystkiego, co polskie. Chcąc wykładać matematykę, Banach musiał to robić w języku ukraińskim. 9

10 W roku 1941 rozpoczęła się wojna niemiecko-radziecka i Lwów zajęli Niemcy. Banach nie mógł już wtedy kontynuować pracy na uniwersytecie. Żył w nadzwyczaj trudnych warunkach. By przeżyć, zarabiał jako karmiciel wszy w Instytucie Bakteriologicznym profesora Weigla (chroniło go to przed wywozem na przymusowe roboty do Niemiec). Wkrótce po zakończeniu wojny, 31 sierpnia 1945 roku, zmarł na raka. Miał objąć katedrę na Uniwersytecie Jagiellońskim w Krakowie. Dzieje lwowskiej szkoły matematycznej skończyły się wraz z wybuchem wojny. Zginęło około 25 polskich wybitnych matematyków; byli wśród nich także i matematycy lwowscy. Juliusz Schauder został zamordowany przez gestapo w roku Znakomity lwowski matematyk Herman Auerbach też zginął z rąk hitlerowców. Nie przeżyli wojny również inni stali bywalcy Kawiarni Szkockiej Stefan Kaczmarz i Antoni Łomnicki. Ale nie tylko lwowianie stali się ofiarami wojny. W wieku lat 30 został zamordowany w Katyniu przez NKWD wraz z kilkoma tysiącami polskich oficerów jeden z najlepiej zapowiadających się młodych matematyków, Józef Marcinkiewicz z Wilna (stypendysta we Lwowie w połowie lat trzydziestych), autor kilkudziesięciu ważnych prac. W czasie wojny zmarli Stanisław Zaremba i Witold Wilkosz. Na mocy układu jałtańskiego Lwów został po wojnie zagarnięty przez ZSRR. Matematycy, którzy przeżyli, rozjechali się po różnych ośrodkach. Hugo Steinhaus przeniósł się do Wrocławia, Stanisław Mazur znalazł się w Warszawie, zaś Władysław Orlicz w Poznaniu. Andrzej Turowicz wstąpił do zakonu benedyktynów w Tyńcu, ale kontynuował badania naukowe i po kilkunastu latach został profesorem matematyki w Krakowie. Otton Nikodym wyjechał na stałe do USA; Stanisław Ulam i Mark Kac wyemigrowali jeszcze przed wojną. Niewątpliwie czasy lwowskie wywarły istotny wpływ na ich dalszą działalność, ale okres lwowskiej szkoły definitywnie się zakończył. Stefan Banach został pochowany na Cmentarzu Łyczakowskim we Lwowie, w grobowcu rodziny Riedlów. 10

11 Grób Banacha we Lwowie Hugo Steinhaus twierdził, że największą zasługą Banacha było definitywne przełamanie i zniszczenie kompleksu niższości Polaków w naukach ścisłych. Polska, nie licząca się w zasadzie w matematyce, w ciągu kilkunastu lat stała się w tej dyscyplinie potęgą. 1 Jagiellonian University, Kraków, Poland 11