ANALIZA ALGORYTMÓW. Analiza algorytmów polega między innymi na odpowiedzi na pytania:
|
|
- Juliusz Wójtowicz
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 ANALIZA ALGORYTMÓW Analiza algorytmów polega między innymi na odpowiedzi na pytania: 1) Czy problem może być rozwiązany na komputerze w dostępnym czasie i pamięci? 2) Który ze znanych algorytmów należy zastosować w danych okolicznościach? 3) Czy istnieje lepszy algorytm od rozważanego? Czy jest on optymalny? Konstruując algorytm należy zwracać uwagę na : - poprawność semantyczną - prostotę - czas działania - ilość zajmowanej pamięci - optymalność - okoliczności w jakich należy go używać, a w jakich nie Złożoność obliczeniową algorytmu definiuje się jako ilość zasobów komputerowych, potrzebnych do jego wykonania. Wyróżniamy złożoność pamięciową i czasową. Będziemy się zajmować głównie złożonością czasową!!! Miara złożoności musi być uniwersalna czyli oderwana od szczegółów natury "sprzętowej" tj. - Jaki komputer jest używany? - Jaka jest częstotliwość zegara taktującego procesor? - Czy program będzie jedynym wykonywanym na komputerze? Jeśli nie to jaki jest jego priorytet? - Jakiego kompilatora używamy? - Czy w kompilatorze włączono opcje optymalizacji kodu?... etc
2 Parametrem najczęściej decydującym o czasie wykonania algorytmu jest rozmiar danych, z którymi ma on do czynienia. Parametr ten może mieć różne znaczenie: - dla funkcji sortującej tablicę, czy funkcji wyszukiwania liniowego lub binarnego parametrem będzie rozmiar tablicy n - dla dodawania, mnożenia macierzy, parametrem również będzie rozmiar tablicy n - dla funkcji liczącej n! będzie to wielkość danej wejściowej n - dla ciągu Fibonacciego rozmiarem danych wejściowych może być również liczba symboli użytych do zakodowania liczny n (dla reprezentacji binarnej lg n +1 ) - jeśli na wejściu algorytmu będzie graf to możemy podawać liczbę wierzchołków i liczbę krawędzi jako rozmiar danych wejściowych (2 liczby) - dla niektórych zagadnień (problemów) mimo zastosowana tego samego algorytmu możemy mieć inny rozmiar danych W algorytmie zawsze można wyróżnić tzw. operacje dominujące lub operacje podstawowe (najbardziej czasochłonne) - takie, że łączna ich liczba jest proporcjonalna do liczby wszystkich operacji jednostkowych w dowolnej realizacji algorytmu. Dla sortowania operacją tą będzie zwykle porównanie dwóch elementów, lub także przestawienie elementów ciągu. Nie jest jednoznacznie określone, które operacje należy traktować jako dominujące, mogą to być porównania, ale również dodawanie lub mnożenie. Podstawowa analiza złożoności czasowej algorytmu określa, ile razy operacja dominująca jest wykonywana dla kazdej wartości rozmiaru danych wejściowych. W niektórych przypadkach liczba
3 ta zależy nie tylko od rozmiaru danych wejściowych, ale również od wartości wejściowych (np. przeszukiwanie liniowe). W innych przypadkach (np. dodawanie tablic), operacja dominująca jest wykonywana zawsze tę samą liczbę razy dla każdej realizacji problemu o rozmiarze n. W takich przypadkach T(n) definiujemy jako liczbę wykonań operacji dominującej przez algorytm dla realizacji o rozmiarze danych n. T(n) jest wówczas nazywane złożonością czasową w każdym wypadku. W niektórych przypadkach dla pełnej analizy algorytmu należy wybrać dwie różne operacje dominujące. Jednostką złożoności czasowej jest czas wykonania jednej operacji dominującej. W ogólności wyróżniamy: - złożoność pesymistyczną - zdefiniowaną jako ilość zasobów komputerowych, potrzebnych przy "najgorszych" danych wejściowych rozmiaru n - złożoność oczekiwaną - definiowaną jako ilość zasobów komputerowych, potrzebnych przy "typowych" danych wejściowych rozmiaru n W definicjach wykorzystujemy następujące wielkości: D n - zbiór zestawów danych wejściowych rozmiaru n t(d) - liczba operacji dominujących dla zestawu danych wejściowych d X n - zmienna losowa równa t(d) dla d D n P nk - rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X n, tzn prawdopodobieństwo, że dla danych rozmiaru n algorytm wykona k operacji dominujących ( k 0 )
4 Zwykle przyjmujemy, że każdy zestaw danych rozmiaru n może się pojawić z jednakowym prawdopodobieństwem. Pesymistyczna złożoność czasowa to funkcja : W(n) = sup{ t(d) : d D n } czyli kres górny t(d) Możliwe jest również określenie optymistycznej złożoności czasowej B(n) = inf{ t(d) : d D n }, ale jest ona rzadko używana. Oczekiwana złożoność czasowa (złożoność w średnim przypadku) to funkcja: A(n) = k 0 ( k*p nk ) czyli wartość oczekiwana E( X n ) Oczywiście jeśli istnieje T(n) to W(n) = A(n) = T(n) Aby stwierdzić, na ile W(n) i A(n) są reprezentatywne dla wszystkich danych wejściowych wprowadza się dodatkowo: - miarę wrażliwości pesymistycznej (n) = sup{ t(d 1 ) - t(d 2 ) : d 1, d 2 D n } - miarę wrażliwości oczekiwanej ( odchylenie standardowe ) σ(n) = dev( X n ) = var( X n ) = k 0 ( k - E( X n ) ) 2 * P nk Im większe wartości (n) i σ(n) tym algorytm jest bardziej wrażliwy na dane wejściowe i tym bardziej jego zachowanie może odbiegać od tego opisanego funkcjami W(n), A(n). Przykład: Przeszukiwanie liniowe zbioru (ciągu)
5 Problem: czy klucz x znajduje się w tablicy S, zawierającej n kluczy? Dane wejściowe: całkowita liczba dodatnia n, tablica kluczy S indeksowana od 1 do n oraz klucz x. Wynik: location lokalizacja klucza x w tablicy S (0, jeżeli x nie występuje w S) void linsearch(int n, const keytype S[], keytype x, index location) { location = 1; while (location <= n && S[location]!= x) location++; if(location > n) location = 0; } Rozmiar danych wejściowych: n Operacja dominująca: S[location]!= x Pesymistyczna złożoność czasowa: W(n) = n+1 Pesymistyczna wrażliwość czasowa: (n) = n Oczekiwana złożoność czasowa: A(n) =? Zakładamy, że P nk = 1/n dla k=1,2,3,...,n => A(n) = n k = 1 (k* P nk ) = 1/n * k = 1/n * n*(n+1)/2 = (n+1)/2 Oczekiwana wrażliwość czasowa? Var( X n ) = n k = 1 ( k - (n+1)/2 ) 2 *1/n = = 1/n * ( n*(n+1)*(2n+1)/6-2(n+1)/2 *n*(n+1)/2 +n*( (n+1)/2 ) 2 )
6 = (n+1)*(2n+1)/6 - (n+1) 2 /4 = (n+1)* (4n+2-3n-3)/12 = (n 2-1)/12 n 2 /12 zatem σ(n) 0.29*n Ponieważ W(n), A(n) oraz (n), σ(n) są liniowe w n, więc algorytm ma dużą wrażliwość liczby operacji dominujących na dane wejściowe. Faktyczna/praktyczna złożoność czasowa algorytmu (czas działania, T(n) ) zwykle różni się od wyliczonej teoretycznie współczynnikiem proporcjonalności zależnym od konkretnej realizacji algorytmu. Istotną informacją zawarta w W(n), A(n) jest rząd wielkości, czyli zachowanie asymptotyczne, gdy n ->. Przykład (wyznaczanie złożoności praktycznej): 0! = 1 N! = n! = n* (n-1)! gdy n 1 unsigned long int silnia(int x) { if (x==0) return 1; else return x*silnia(x-1); } Przyjmujemy, że operacją dominującą jest instrukcja porównania z czasem t c. Zatem: T(0) = t c T(n) = t c +T(n-1) dla n 1
7 Należy uzyskać nie-rekurencyjną funkcję T(n) T(n) = t c + T(n-1) T(n-1) = t c + T(n-2) T(n-2) = t c + T(n-3) T(1) = t c + T(0) T(0) = t c L = P => T(n) + T(n-1) T(0) = (n+1)* t c + T(n-1) T(0) => T(n) = (n+1)* t c W praktyce nieistotna jest taka dokładność dla złożoności praktycznej T(n) i różnice między np. T(n) = (n+1)* t c i np. T(n) = (n+3)* t c można zaniedbać. Będziemy zatem szukać złożoności teoretycznej, tj. funkcji matematycznej występującej w T(n), która odgrywa w niej najważniejszą rolę, wpływając najsilniej na czas wykonania programu. Złożoność teoretyczną, inaczej klasę algorytmu O( T(n) ) definiujemy: O(T(n)) = {g:t:n->r + ( M R + )( n 0 N )( n n 0 ) [ g(n) M*T(n) ] } ( klasą O dowolnej funkcji T:N->R + jest taka funkcja g, że istnieje M oraz n 0 takie, że dla każdego n n 0 zachodzi g(n) M*T(n) ) np. T(n) = 3n+1 => O(T(n)) = O(n)
8 T(n) = n 2 -n+1 => O(T(n)) = O( n 2 ) T(n) = 2 n +n 2 +4 => O(T(n)) = O( 2 n ) Klasa O (będąca zbiorem funkcji ) jest wielkością asymptotyczną, pozwalającą wyrazić w postaci arytmetycznej wielkości z góry nie znane w postaci analitycznej. Własności funkcji O : c*o( f(n) ) = O( f(n) ) O( f(n) ) + O( f(n) ) = O( f(n) ) O(O( f(n) ) ) = O( f(n) ) O( f(n) ) * O( g(n) ) = O( f(n)*g(n) ) O( f(n) * g(n) ) = f(n)*o( g(n) ) Najczęściej spotykane złożoności czasowe algorytmów: 1) log(n) - występuje, np. dla algorytmów, w których zadanie rozmiaru n zostaje sprowadzone do zadania rozmiaru n/2 + pewna stała liczba działań ( np. przeszukiwanie binarne uporządkowanego ciągu) 2) n - występuje, np. dla algorytmów, w których jest wykonywana pewna stała liczba działań dla każdego z n elementów danych wejściowych (np. algorytm Hornera wyznaczania wartości wielomianu) 3) n*log(n) - występuje, np. dla algorytmów, w których zadanie rozmiaru n zostaje sprowadzone do dwóch podzadań rozmiaru n/2 + pewna liczba działań liniowa w n (np. niektóre metody sortowania - quicksort ) 4) n 2 - występuje, np. dla algorytmów w których jest wykonywana pewna stała liczba działań dla każdej pary elementów danych wejściowych (podwójna instrukcja iteracyjna, np. operacje na tablicach)
9 5) 2 n - występuje, np. dla algorytmów, w których jest wykonywana stała liczba działań dla każdego podzbioru danych wejściowych 6) n! - występuje, np. dla algorytmów, w których jest wykonywana stała liczba działań dla każdej permutacji danych wejściowych
10 Czas działania algorytmu/ programu o danym rozmiarze danych n silnie zależy od złożoności algorytmu: Tc = 1 µs Należy zawsze pamiętać o asymptotycznym charakterze klasy algorytmu O. Przykład: Mamy dwa algorytmy: W1 klasy O(logN) (złożoność praktyczna 100*log 2 N) W2 klasy O(N) (złożoność praktyczna 10*N) Dla N=2, dla W1, T(N)=100 > dla W2, T(N)=20 Dla N=1024, dla W1, T(N)=1000 < dla W2, T(N)=10240 Zatem dla wystarczająco dużego N algorytm W1 jest bardziej efektywny niż W2. Jeszcze jeden przykład wyznaczania złożoności czasowej algorytmu (zerowanie tablicy poniżej przekątnej wraz z nią):
11 int tab[n][n]; void zerowanie( ) { int i,j; i=0; // ta while (i< n) // tc { j=0; // ta while (j<=i) // tc } { j (tc+2ta) tab[i,j]=0; // ta j=j+1; // ta } i=i+1; // ta } gdzie ta - czas wykonania instrukcji przypisania tc - czas wykonania instrukcji porównania Pamiętając, że instrukcja while powtarza n razy instrukcje zawarte pomiędzy nawiasami, a warunek jest sprawdzany n+1 razy można zapisać:
12 T(N) = tc + ta + N i=1 ( 2*ta + 2*tc + i j=1 (tc + 2*ta) ) i po usunięciu wewnętrznej sumy dostajemy: T(N) = tc + ta + N i=1 ( 2*ta + 2*tc + i*(tc + 2*ta) ) = tc + ta + 2*N*(ta + tc) + N*(N+1)*(tc+2*ta)/2 ) i po uproszczeniu T(N) = ta (1+3*N+N 2 ) + tc*(1+2.5*tc+ N 2 /2 ) program jest klasy O(n 2 ) Powyższe przykłady miały jedną wspólną cechę: czas wykonania programu nie zależał od wartości danych, a jedynie od ich rozmiarów. Przykład (fragment programu) const n=10; int t[n]; void sumowanie( ) { int i,k; int suma=0; i=0; // ta = 0 while (i<n) // tc = 1 { j=0; // ta = 0 while (j<=t[i]) // tc = 1 { suma=suma+2; // ta = 0 j=j+1; // ta = 0 } i=i+1; // ta = 0 } } Problemem jest fakt, że nie znamy zawartości tablicy t[n]. T(n) = tc + N i=1 ( tc + t[i] j=1 ( tc ) )
13 T(n) = tc + N*tc + N i=1 (t[i]*tc ) T(n) = tc + N*tc + N*t[i]*tc T(n) = tc*( 1 + N + N*t[i] ) T(n) max( N, N*t[i] ) Możemy zatem jedynie powiedzieć, że czas wykonania jest proporcjonalny do większej z liczb N i N*t[i], ale nie jesteśmy w stanie określić dokładnej wartości. Problemem jest nieznajomość zawartości tablicy, która jest potrzebna do otrzymania ostatecznego wyniku. Jedyne co można zrobić to przeprowadzić analizę statystyczną zadania. Niekiedy możemy znacząco uprościć obliczenia zakładając: - zwracamy uwagę tylko na najbardziej czasochłonne operacje (najczęściej instrukcje porównania). - wybieramy wiersz programu znajdujący się w najgłębiej położonej instrukcji iteracyjnej (pętle w pętlach...) i obliczamy ile razy jest on wykonywany. Z wyniku dedukujemy złożoność teoretyczną. i=0; while (i<n) { j=0; while (j<=n) { suma=suma+2; j=j+1; } i=i+1; }
14 Wybierając instrukcję suma:=suma+2 obliczamy w prosty sposób, że wykona się ona N(N+1) razy. Zatem fragment programu ma złożoność teoretyczną O(n 2 ). Analiza równań rekurencyjnych W rozwiązaniach równań rekurencyjnych stosuje się zwykle dwie metody: - rozwinięcie równania do sumy - znalezienia funkcji tworzącej Rozwinięcie do sumy Przykłady wyznaczania praktycznej złożoności czasowej T(n) : 1) T(1) = 0 T(n) = T( n/2 ) + c dla n > 1 Zależność tą otrzymujemy jako równanie złożoności, gdy problem rozmiaru n sprowadza się do pod-problemu rozmiaru o połowę mniejszego. Podstawiamy n=2 k. T(n) = T( 2 k ) = T( 2 k-1 ) + c = T( 2 k-2 ) + c + c = T( 2 0 ) + k*c = k*c = c*logn O(T(n)) = logn 2) T(1) = 0 T(n) = T( n/2 ) + T( n/2 ) + c dla n > 1
15 Zależność tą otrzymujemy jako równanie złożoności, gdy problem rozmiaru n sprowadza się do dwóch pod-problemów rozmiaru n/2 + stała liczba działań. Podstawiamy n=2 k. T(n) = T( 2 k ) = 2*T( 2 k - 1 ) + c = 2*( 2*T( 2 k - 2 ) + c ) + c = 2 2 *T( 2 k - 2 )+2 1 *c *c = 2 k *T(2 0 ) + c*( 2 k k ) = 0 + c*(2 k - 1) / (2-1) = c * (n-1) O(T(n)) = n 3) T(1) = 0 T(n) = T( n/2 ) + T( n/2 ) + c*n dla n > 1 Zależność tą otrzymujemy jako równanie złożoności, gdy problem rozmiaru n sprowadza się do dwóch pod-problemów rozmiaru n/2 + liniowa liczba działań. Podstawiamy n=2 k. T(n) =T(2 k ) = 2*T( 2 k - 1 ) + c* 2 k = 2*( 2*T( 2 k - 2 ) + c*2 k - 1 ) + c*2 k = 2 2 *T( 2 k - 2 ) + c*2 k + c*2 k = 2 k *T(2 0 ) + k*c* 2 k = = 0 + c*n*logn = c*n*logn O(T(n)) = n*logn
16 Zmiana dziedziny równania rekurencyjnego Niektóre równania charakteryzują się nieprzyjemnym wyglądem i nie dają się rozwiązać wcześniejszymi wzorami. Czasem skutkuje zmiana dziedziny. Przykładowo: a n = (3*a n-1 ) 2 a 0 = 1 Podstawiamy b n = log 2 a n, b n-1 = log 2 a n-1 i logarytmujemy obie strony równania b n = log 2 a n = log 2 (3*a n-1 ) 2 b 0 = log 2 1 = 0 Dostajemy wersję rozwiązania. b n = 2* log *b n-1 która nadaje się już do Funkcje tworzące Czasem trudno wyznaczyć rozwiązanie T(n) bezpośrednio z równania rekurencyjnego (brak zwięzłego wzoru). Poszukujemy wówczas funkcji tworzącej, definiowanej jako: F(z) = n 0 T(n)* z n Metodę tę stosuje się do znajdowania wartości oczekiwanej i wariancji zmiennej losowej X n. Funkcja tworząca dla rozkładu prawdopodobieństwa P nk zmiennej losowej X n ma postać: P n (z) = k 0 P nk * z k i wtedy k 0 P nk = 1 Wartość oczekiwaną i wariancję można wyznaczyć jako funkcję pochodnych funkcji P n (z) dla z = 1 :
17 E( X n ) = P n (1) (*) var( X n ) = P n (1) + P n (1) - P n (1) 2 (**) Ponieważ: P n (z) = k 1 k*p nk * z k - 1 P n (z) = k 2 k*(k-1)*p nk * z k - 2 Stąd: P n (1) = k 1 k*p nk (*) P n (1) = k 2 k*(k-1)*p nk Zatem: Var( X n ) = k 0 ( k - P n (1) ) 2 * P nk = k 0 k 2 * P nk - 2*P n (1)*( k 0 k*p nk ) + P n (1) 2 *( k 0 P nk ) = k 0 k*(k-1)*p nk + k 0 k*p nk - 2*P n (1) 2 + P n (1) 2 = P n (1) + P n (1) - P n (1) 2 Wielkości E( X n ) i var( X n ), a także złożoność oczekiwaną i wrażliwość algorytmu, można wyznaczyć nie znając rozkładu P nk, a tylko funkcję tworzącą. Funkcja Ackermanna Przykład pokazuje jak niegroźna z wyglądu funkcja rekurencyjna może być bardzo kosztowna w użyciu.
18 int A(int n, int p) { if (n==0) return 1; if ((p==0) && (n>=1)) if (n==1) return 2; else return n+2; if ((p>=1) && (n>=1)) return A( A(n-1,p), p-1 ); } Dlaczego pojawia się komunikat Stack, overflow (przepełnienie stosu)? Komunikat sugeruje, że podczas wykonania programu nastąpiła znaczna ilość wywołań funkcji Ackermanna. Z analizy funkcji A uzyskujemy: n 1, A(n,1) = A(A(n-1,1),0) = A(n-1,1) + 2 co daje n 1, A(n,1) = 2n Analogicznie dla 2 otrzymamy: n 1, A(n,2) = A(A(n-1,2),1) = 2A(n-1,2) co pozwala napisać n 1, A(n,2) = 2 n
19 W przypadku funkcji Ackermanna trudno jest nawet nazwać jej klasę. Stwierdzenie, że zachowuje się wykładniczo jest zdecydowanie niepoprawne. Rekurencja w postaci: Niehomogeniczna rekurencja liniowa a 0 t n + a 1 t n a j t n-j = f(n) gdzie j oraz składniki a 0, a 1,, a j są stałymi, natomiast f(n) jest funkcją niezerową nazywamy niehomogenicznym liniowym równaniem rekurencyjnym ze stałymi współczynnikami.
20 Jeśli funkcja f(n) jest zerowa ( f(n)=0 ) to dostajemy homeogeniczne liniowe równanie rekurencyjne. Nie istnieje ogólna metoda rozwiązywania niehomogenicznych równań liniowych. Rozwiązanie jest możliwe gdy niehomeogeniczna rekurencja liniowa ma postać a 0 t n + a 1 t n a j t n-j = b n p(n) gdzie b jest stałą, natomiast p(n) jest wielomianem zmiennej n. Wówczas można ją przekształcić w homeogeniczna rekurencja liniowa mającą równanie charakterystyczne postaci: (a 0 r j + a 1 r j a j )(r-b) d+1 =0 gdzie d jest stopniem wielomianu p(n). Równanie charakterystyczne ma dwie składowe: część odpowiadającą rekurencji homogenicznej oraz część związaną z rekurencją niehomogeniczną. Jeśli po prawej stronie równania wyjściowego jest więcej wyrazów postaci b n p(n) to wszystkie wchodzą do równania charakterystycznego. Przykład: Rozważmy rekurencje T(n) = 2*T(n/2)+n-1 dla n>1 n i będącego potęgą 2 T(1) = 0 podstawiamy n=2 k
21 T(n) = T(2 k ) = 2T(2 k-1 )+2 k -1 t k = T(2 k ) t k-1 = T(2 k-1 ) t k -2t k-1 = 2 k -1 t k -2t k-1 = 2 k *k 0 + (-1)*k 0 *1 k [a 0 t n + a 1 t n a j t n-j = b n p(n)] zatem d=0 zaś b przymuje dwie wartości 1 i 2 (r k -2r k-1 )(r-2) 1 (r-1) 1 = 0 [( a 0 r j + a 1 r j a j )(r-b) d+1 =0] więc pierwiastkami równania są r = 1 i r = 2 (pierwiastek podwójny). Przydatne jest również twierdzenie o pierwiastku wielokrotnym. Jeżeli r jest pierwiatkiem wielokrotnym (m-krotnym) równania charakterystycznego dla rekurencji liniowej to wszystkie t n =r n, t n =n*r n, t n =n 2 *r n,, t n =n m-1 *r n, są rozwiązaniami rekurencji i każdy składnik wchodzi do rozwiązania ogólnego rekurencji. Zatem ogólne rozwiązanie w powyższym problemie to: tk= c1*1 k + c2*2 k + c3*k*2 k zaś współczynniki c1, c2, c3 można wyznaczyć z kilku (trzech) równań rekurencyjnych dla kilku (trzech) pierwszych wartości k (lub n). Należy jeszcze zwrócić uwagę, że mówiąc o analizie złożoności (czasowej lub pamięciowej) zwykle mamy na myśli analizę konkretnego algorytmu. Niemniej obok analizy samego algorytmu powinniśmy z zasadzie przeanalizować problem jako całość.
22 Przykładowo wiemy, że podstawowy algorytm mnożenia macierzy ma złożoność czasową n 3. Funkcja n 3 jest własnością tego konkretnego algorytmu i wcale nie musi być ogólną własnością mnożenia macierzy. Wiemy przecież, że algorytm Strassena charakteryzuje się złożonością n 2.81., a istnieje również metoda o klasie O(n 2.38 ). Ważne jest w takiej sytuacji określenie czy istnieje możliwość znalezienia jeszcze bardziej efektywnego algorytmu tzn. określenie dolnej granicy efektywności dla danego problemu (dla mnożenia macierzy jest to O(n 2 ) ).
ANALIZA ALGORYTMÓW. Analiza algorytmów polega między innymi na odpowiedzi na pytania:
ANALIZA ALGORYTMÓW Analiza algorytmów polega między innymi na odpowiedzi na pytania: 1) Czy problem może być rozwiązany na komputerze w dostępnym czasie i pamięci? 2) Który ze znanych algorytmów należy
Bardziej szczegółowoANALIZA ALGORYTMÓW. Analiza algorytmów polega między innymi na odpowiedzi na pytania:
ANALIZA ALGORYTMÓW Analiza algorytmów polega między innymi na odpowiedzi na pytania: 1) Czy problem może być rozwiązany na komputerze w dostępnym czasie i pamięci? 2) Który ze znanych algorytmów należy
Bardziej szczegółowoTEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI 16/01/2017 WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Repetytorium złożoność obliczeniowa 2 Złożoność obliczeniowa Notacja wielkie 0 Notacja Ω i Θ Rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoZaawansowane algorytmy i struktury danych
Zaawansowane algorytmy i struktury danych u dr Barbary Marszał-Paszek Opracowanie pytań teoretycznych z egzaminów. Strona 1 z 12 Pytania teoretyczne z egzaminu pisemnego z 25 czerwca 2014 (studia dzienne)
Bardziej szczegółowoJeśli czas działania algorytmu zależy nie tylko od rozmiaru danych wejściowych i przyjmuje różne wartości dla różnych danych o tym samym rozmiarze,
Oznaczenia: Jeśli czas działania algorytmu zależy nie tylko od rozmiaru danych wejściowych i przyjmuje różne wartości dla różnych danych o tym samym rozmiarze, to interesuje nas złożoność obliczeniowa
Bardziej szczegółowoZadanie 1 Przygotuj algorytm programu - sortowanie przez wstawianie.
Sortowanie Dane wejściowe: ciąg n-liczb (kluczy) (a 1, a 2, a 3,..., a n 1, a n ) Dane wyjściowe: permutacja ciągu wejściowego (a 1, a 2, a 3,..., a n 1, a n) taka, że a 1 a 2 a 3... a n 1 a n. Będziemy
Bardziej szczegółowoZaawansowane algorytmy i struktury danych
Zaawansowane algorytmy i struktury danych u dr Barbary Marszał-Paszek Opracowanie pytań praktycznych z egzaminów. Strona 1 z 12 Pytania praktyczne z kolokwium zaliczeniowego z 19 czerwca 2014 (studia dzienne)
Bardziej szczegółowoTeoretyczne podstawy informatyki
Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 4a: Rozwiązywanie rekurencji http://kiwi.if.uj.edu.pl/~erichter/dydaktyka2010/tpi-2010 Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs 1 Czas działania programu Dla konkretnych
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki. Sprawność algorytmów
Podstawy Informatyki Sprawność algorytmów Sprawność algorytmów Kryteria oceny oszczędności Miara złożoności rozmiaru pamięci (złożoność pamięciowa): Liczba zmiennych + liczba i rozmiar struktur danych
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Algorytm 1. Termin algorytm jest używany w informatyce
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoTEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 3 2 Złożoność obliczeniowa algorytmów Notacja wielkie 0 Notacja Ω i Θ Algorytm Hornera Przykłady rzędów
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do złożoności obliczeniowej
problemów Katedra Informatyki Politechniki Świętokrzyskiej Kielce, 16 stycznia 2007 problemów Plan wykładu 1 2 algorytmów 3 4 5 6 problemów problemów Plan wykładu 1 2 algorytmów 3 4 5 6 problemów problemów
Bardziej szczegółowoZłożoność Obliczeniowa Algorytmów
Algorytmów Pożądane cechy dobrego algorytmu Dobry algorytm mający rozwiązywać jakiś problem powinien mieć 2 naturalne cechy: 1 (poprawność) zwracać prawidłowy wynik (dokładniej: zgodność z warunkiem końcowym
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i Struktury Danych
POLITECHNIKA KRAKOWSKA WYDZIAŁ INŻYNIERII ELEKTRYCZNEJ i KOMPUTEROWEJ Katedra Automatyki i Technik Informacyjnych Algorytmy i Struktury Danych www.pk.edu.pl/~zk/aisd_hp.html Wykładowca: dr inż. Zbigniew
Bardziej szczegółowoAnaliza algorytmów zadania podstawowe
Analiza algorytmów zadania podstawowe Zadanie 1 Zliczanie Zliczaj(n) 1 r 0 2 for i 1 to n 1 3 do for j i + 1 to n 4 do for k 1 to j 5 do r r + 1 6 return r 0 Jaka wartość zostanie zwrócona przez powyższą
Bardziej szczegółowoRekurencja (rekursja)
Rekurencja (rekursja) Rekurencja wywołanie funkcji przez nią samą wewnątrz ciała funkcji. Rekurencja może być pośrednia funkcja jest wywoływana przez inną funkcję, wywołaną (pośrednio lub bezpośrednio)
Bardziej szczegółowoTechnologie informacyjne Wykład VII-IX
Technologie informacyjne -IX A. Matuszak 19 marca 2013 A. Matuszak Technologie informacyjne -IX Rekurencja A. Matuszak (2) Technologie informacyjne -IX Gotowanie jajek na miękko weż czysty garnek włóż
Bardziej szczegółowoEfektywność algorytmów
Efektywność algorytmów Algorytmika Algorytmika to dział informatyki zajmujący się poszukiwaniem, konstruowaniem i badaniem własności algorytmów, w kontekście ich przydatności do rozwiązywania problemów
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
Bardziej szczegółowoZłożoność obliczeniowa algorytmu ilość zasobów komputera jakiej potrzebuje dany algorytm. Pojęcie to
Złożoność obliczeniowa algorytmu ilość zasobów komputera jakiej potrzebuje dany algorytm. Pojęcie to wprowadzili J. Hartmanis i R. Stearns. Najczęściej przez zasób rozumie się czas oraz pamięć dlatego
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych
Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy
Bardziej szczegółowoRekurencje. Jeśli algorytm zawiera wywołanie samego siebie, jego czas działania moŝe być określony rekurencją. Przykład: sortowanie przez scalanie:
Rekurencje Jeśli algorytm zawiera wywołanie samego siebie, jego czas działania moŝe być określony rekurencją. Przykład: sortowanie przez scalanie: T(n) = Θ(1) (dla n = 1) T(n) = 2 T(n/2) + Θ(n) (dla n
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Co można zrobić z układem równań... tak, aby jego rozwiazania się nie zmieniły? Rozważam
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego
Rozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego WMS, 2019 1 Wstęp Niniejszy dokument ma na celu prezentację w teorii i na przykładach rozwiązywania szczególnych typów równań
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych. Wykład 6 Tablice rozproszone cz. 2
Algorytmy i struktury danych Wykład 6 Tablice rozproszone cz. 2 Na poprzednim wykładzie Wiele problemów wymaga dynamicznych zbiorów danych, na których można wykonywać operacje: wstawiania (Insert) szukania
Bardziej szczegółowoWykład 5. Metoda eliminacji Gaussa
1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015
Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane
Bardziej szczegółowoZłożoność algorytmów. Wstęp do Informatyki
Złożoność algorytmów Złożoność pamięciowa - liczba i rozmiar struktur danych wykorzystywanych w algorytmie Złożoność czasowa - liczba operacji elementarnych wykonywanych w trakcie przebiegu algorytmu Złożoność
Bardziej szczegółowoProgramowanie dynamiczne
Programowanie dynamiczne Programowanie rekurencyjne: ZALETY: - prostota - naturalność sformułowania WADY: - trudność w oszacowaniu zasobów (czasu i pamięci) potrzebnych do realizacji Czy jest możliwe wykorzystanie
Bardziej szczegółowo1. Analiza algorytmów przypomnienie
1. Analiza algorytmów przypomnienie T.H. Cormen, C.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein Wprowadzenie do algorytmów, rozdziały 1-4 Wydawnictwa naukowo-techniczne (2004) Jak mierzyć efektywność algorytmu?
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca
Bardziej szczegółowoGrzegorz Mazur. Zak lad Metod Obliczeniowych Chemii UJ. 14 marca 2007
Zak lad Metod Obliczeniowych Chemii UJ 14 marca 2007 Rzad 1 Zamiast wst epu 2 Rzad Notacja dużego O Notacja Ω Notacja Θ 3 S lowniczek Rzad Algorytm W matematyce oraz informatyce to skończony, uporzadkowany
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoObliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
Bardziej szczegółowoWykład 2. Poprawność algorytmów
Wykład 2 Poprawność algorytmów 1 Przegląd Ø Poprawność algorytmów Ø Podstawy matematyczne: Przyrost funkcji i notacje asymptotyczne Sumowanie szeregów Indukcja matematyczna 2 Poprawność algorytmów Ø Algorytm
Bardziej szczegółowoAlgorytm poprawny jednoznaczny szczegółowy uniwersalny skończoność efektywność (sprawność) zmiennych liniowy warunkowy iteracyjny
Algorytm to przepis; zestawienie kolejnych kroków prowadzących do wykonania określonego zadania; to uporządkowany sposób postępowania przy rozwiązywaniu zadania, problemu, z uwzględnieniem opisu danych
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp. Definicja 1. Operatorem
Bardziej szczegółowoALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH
KATEDRASYSTEMÓWOBLICZENIOWYCH ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH 1.Rekurencja Rekurencja inaczej rekursja (ang. recursion) to wywołanie z poziomu metody jej samej. Programowanie z wykorzytaniem rekurencji pozwala
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoPODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Bardziej szczegółowoObliczenia naukowe Wykład nr 8
Obliczenia naukowe Wykład nr 8 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna,
Bardziej szczegółowoUwaga: Funkcja zamień(a[j],a[j+s]) zamienia miejscami wartości A[j] oraz A[j+s].
Zadanie 1. Wiązka zadań Od szczegółu do ogółu Rozważmy następujący algorytm: Dane: Algorytm 1: k liczba naturalna, A[1...2 k ] tablica liczb całkowitych. n 1 dla i=1,2,,k wykonuj n 2n s 1 dopóki s
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i Struktury Danych.
Algorytmy i Struktury Danych. Metoda Dziel i zwyciężaj. Problem Sortowania, cd. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 2 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy
Bardziej szczegółowoRekurencja. Dla rozwiązania danego problemu, algorytm wywołuje sam siebie przy rozwiązywaniu podobnych podproblemów. Przykład: silnia: n! = n(n-1)!
Rekurencja Dla rozwiązania danego problemu, algorytm wywołuje sam siebie przy rozwiązywaniu podobnych podproblemów. Przykład: silnia: n! = n(n-1)! Pseudokod: silnia(n): jeżeli n == 0 silnia = 1 w przeciwnym
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Bardziej szczegółowoTeoretyczne podstawy informatyki
Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 3a: Złożoność obliczeniowa algorytmów http://kiwi.if.uj.edu.pl/~erichter/dydaktyka2010/tpi-2010 Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs 1 Złożoność obliczeniowa i asymptotyczna
Bardziej szczegółowoProgramowanie dynamiczne cz. 2
Programowanie dynamiczne cz. 2 Wykład 7 16 kwietnia 2019 (Wykład 7) Programowanie dynamiczne cz. 2 16 kwietnia 2019 1 / 19 Outline 1 Mnożenie ciągu macierzy Konstruowanie optymalnego rozwiązania 2 Podstawy
Bardziej szczegółowo1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Bardziej szczegółowoZasady analizy algorytmów
Zasady analizy algorytmów A więc dziś w programie: - Kilka ważnych definicji i opisów formalnych - Złożoność: czasowa i pamięciowa - Kategorie problemów - Jakieś przykłady Problem: Zadanie możliwe do rozwiązania
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji
Bardziej szczegółowoWykład z Technologii Informacyjnych. Piotr Mika
Wykład z Technologii Informacyjnych Piotr Mika Uniwersalna forma graficznego zapisu algorytmów Schemat blokowy zbiór bloków, powiązanych ze sobą liniami zorientowanymi. Jest to rodzaj grafu, którego węzły
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Wykład 4
Metody numeryczne Wykład 4 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Metody skończone rozwiązywania
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych i metody ich rozwiązywania
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +
Bardziej szczegółowoStrategia "dziel i zwyciężaj"
Strategia "dziel i zwyciężaj" W tej metodzie problem dzielony jest na kilka mniejszych podproblemów podobnych do początkowego problemu. Problemy te rozwiązywane są rekurencyjnie, a następnie rozwiązania
Bardziej szczegółowoEGZAMIN - Wersja A. ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH Lisek89 opracowanie kartki od Pani dr E. Koszelew
1. ( pkt) Dany jest algorytm, który dla dowolnej liczby naturalnej n, powinien wyznaczyd sumę kolejnych liczb naturalnych mniejszych od n. Wynik algorytmu jest zapisany w zmiennej suma. Algorytm i=1; suma=0;
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych. Krzysztof Patan
Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych
Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 13 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowoLogarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Bardziej szczegółowoPętle i tablice. Spotkanie 3. Pętle: for, while, do while. Tablice. Przykłady
Pętle i tablice. Spotkanie 3 Dr inż. Dariusz JĘDRZEJCZYK Pętle: for, while, do while Tablice Przykłady 11/26/2016 AGH, Katedra Informatyki Stosowanej i Modelowania 2 Pętla w największym uproszczeniu służy
Bardziej szczegółowoJęzyk ludzki kod maszynowy
Język ludzki kod maszynowy poziom wysoki Język ludzki (mowa) Język programowania wysokiego poziomu Jeśli liczba punktów jest większa niż 50, test zostaje zaliczony; w przeciwnym razie testu nie zalicza
Bardziej szczegółowoWstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami
Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami Przykład 1. Napisz program, który dla podanej liczby n wypisze jej rozkład na czynniki pierwsze. Oblicz asymptotyczną złożoność
Bardziej szczegółowoZłożoność obliczeniowa zadania, zestaw 2
Złożoność obliczeniowa zadania, zestaw 2 Określanie złożoności obliczeniowej algorytmów, obliczanie pesymistycznej i oczekiwanej złożoności obliczeniowej 1. Dana jest tablica jednowymiarowa A o rozmiarze
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania. Dziel i rządź. Piotr Chrząstowski-Wachtel
Wstęp do programowania Dziel i rządź Piotr Chrząstowski-Wachtel Divide et impera Starożytni Rzymianie znali tę zasadę Łatwiej się rządzi, jeśli poddani są podzieleni Nie chodziło im jednak bynajmniej o
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne w przykładach
Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach
Bardziej szczegółowo6. Pętle while. Przykłady
6. Pętle while Przykłady 6.1. Napisz program, który, bez użycia rekurencji, wypisze na ekran liczby naturalne od pewnego danego n do 0 włącznie, w kolejności malejącej, po jednej liczbie na linię. Uwaga!
Bardziej szczegółowoO MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Bardziej szczegółowoAlgorytm selekcji Hoare a. Łukasz Miemus
Algorytm selekcji Hoare a Łukasz Miemus 1 lutego 2006 Rozdział 1 O algorytmie 1.1 Problem Mamy tablicę A[N] różnych elementów i zmienną int K, takie że 1 K N. Oczekiwane rozwiązanie to określenie K-tego
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 6/14 Sumy Oto dwie konwencje zapisu skończonych sum wyrazów: (notacja Sigma, Fourier, 1820) Czasami stosowana jest ogólniejsza notacja,
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3 Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. Przykład Symetryczne błądzenie przypadkowe na prostej. 1 2 Łańcuchem
Bardziej szczegółowoAnaliza algorytmów zadania podstawowe
Analiza algorytmów zadania podstawowe 15 stycznia 2019 Zadanie 1 Zliczanie Zliczaj(n) 1 r 0 2 for i 1 to n 1 3 do for j i + 1 to n 4 do for k 1 to j 5 do r r + 1 6 return r P Jaka wartość zostanie zwrócona
Bardziej szczegółowo2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
Bardziej szczegółowoEfektywna metoda sortowania sortowanie przez scalanie
Efektywna metoda sortowania sortowanie przez scalanie Rekurencja Dla rozwiązania danego problemu, algorytm wywołuje sam siebie przy rozwiązywaniu podobnych podproblemów. Metoda dziel i zwycięŝaj Dzielimy
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Kurs INP002009W. Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych. Karol Tarnowski A-1 p.
Analiza numeryczna Kurs INP002009W Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.wroc.pl A-1 p.223 Plan wykładu Podstawowe pojęcia Własności macierzy Działania
Bardziej szczegółowoPoprawność semantyczna
Poprawność składniowa Poprawność semantyczna Poprawność algorytmu Wypisywanie zdań z języka poprawnych składniowo Poprawne wartościowanie zdań języka, np. w języku programowania skutki wystąpienia wyróżnionych
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3 Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. 2 Łańcuchem Markowa nazywamy proces będący ciągiem zmiennych
Bardziej szczegółowojest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru.
Układy liniowe Układ liniowy pierwszego rzędu, niejednorodny. gdzie Jeśli to układ nazywamy jednorodnym Pamiętamy, Ŝe kaŝde równanie liniowe rzędu m moŝe zostać sprowadzone do układu n równań liniowych
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoPodstawy programowania. Wykład Funkcje. Krzysztof Banaś Podstawy programowania 1
Podstawy programowania. Wykład Funkcje Krzysztof Banaś Podstawy programowania 1 Programowanie proceduralne Pojęcie procedury (funkcji) programowanie proceduralne realizacja określonego zadania specyfikacja
Bardziej szczegółowoLiczby pierwsze - wstęp
Artykuł pobrano ze strony eioba.pl Liczby pierwsze - wstęp W latach 60 ubiegłego wieku w Afryce znaleziono kości z wyrytymi na nich karbami liczące ponad 5000 lat. Na jednej z nich (kość z Ishango) karby
Bardziej szczegółowoSchemat programowania dynamicznego (ang. dynamic programming)
Schemat programowania dynamicznego (ang. dynamic programming) Jest jedną z metod rozwiązywania problemów optymalizacyjnych. Jej twórcą (1957) był amerykański matematyk Richard Ernest Bellman. Schemat ten
Bardziej szczegółowo5. Podstawowe algorytmy i ich cechy.
23 5. Podstawowe algorytmy i ich cechy. 5.1. Wyszukiwanie liniowe i binarne 5.1.1. Wyszukiwanie liniowe Wyszukiwanie jest jedną z najczęściej wykonywanych operacji na strukturach danych i dotyczy wszystkich,
Bardziej szczegółowoMetoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra
Metoda eliminacji Gaussa Autorzy: Michał Góra 9 Metoda eliminacji Gaussa Autor: Michał Góra Przedstawiony poniżej sposób rozwiązywania układów równań liniowych jest pewnym uproszczeniem algorytmu zwanego
Bardziej szczegółowoZa pierwszy niebanalny algorytm uważa się algorytm Euklidesa wyszukiwanie NWD dwóch liczb (400 a 300 rok przed narodzeniem Chrystusa).
Algorytmy definicja, cechy, złożoność. Algorytmy napotykamy wszędzie, gdziekolwiek się zwrócimy. Rządzą one wieloma codziennymi czynnościami, jak np. wymiana przedziurawionej dętki, montowanie szafy z
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 6/15 Sumy Oto dwie konwencje zapisu skończonych sum wyrazów: (notacja Sigma, Fourier, 1820) Czasami stosowana jest ogólniejsza notacja,
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/61
Metody numeryczne I Dokładność obliczeń numerycznych. Złożoność obliczeniowa algorytmów Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/61 ... the purpose of
Bardziej szczegółowoInformacje wstępne #include <nazwa> - derektywa procesora umożliwiająca włączenie do programu pliku o podanej nazwie. Typy danych: char, signed char
Programowanie C++ Informacje wstępne #include - derektywa procesora umożliwiająca włączenie do programu pliku o podanej nazwie. Typy danych: char, signed char = -128 do 127, unsigned char = od
Bardziej szczegółowoWykład 6. Metoda eliminacji Gaussa: Eliminacja z wyborem częściowym Eliminacja z wyborem pełnym
1 Wykład 6 Metoda eliminacji Gaussa: Eliminacja z wyborem częściowym Eliminacja z wyborem pełnym ELIMINACJA GAUSSA Z WYBOREM CZĘŚCIOWYM ELEMENTÓW PODSTAWOWYCH 2 Przy pomocy klasycznego algorytmu eliminacji
Bardziej szczegółowoAlgorytmy w teorii liczb
Łukasz Kowalik, ASD 2004: Algorytmy w teorii liczb 1 Algorytmy w teorii liczb Teoria liczb jest działem matemtyki dotyczącym własności liczb naturalnych. Rozważa się zagadnienia związane z liczbami pierwszymi,
Bardziej szczegółowoINFORMATYKA SORTOWANIE DANYCH.
INFORMATYKA SORTOWANIE DANYCH http://www.infoceram.agh.edu.pl SORTOWANIE Jest to proces ustawiania zbioru obiektów w określonym porządku. Sortowanie stosowane jest w celu ułatwienia późniejszego wyszukania
Bardziej szczegółowo0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania INP001213Wcl rok akademicki 2017/18 semestr zimowy. Wykład 13. Karol Tarnowski A-1 p.
Wstęp do programowania INP001213Wcl rok akademicki 2017/18 semestr zimowy Wykład 13 Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.edu.pl A-1 p. 411B Plan prezentacji (1) Złożoność algorytmów czy to istotne, skoro
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania INP001213Wcl rok akademicki 2018/19 semestr zimowy. Wykład 13. Karol Tarnowski A-1 p.
Wstęp do programowania INP001213Wcl rok akademicki 2018/19 semestr zimowy Wykład 13 Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.edu.pl A-1 p. 411B Plan prezentacji (1) Złożoność algorytmów czy to istotne, skoro
Bardziej szczegółowoKlasa 2 INFORMATYKA. dla szkół ponadgimnazjalnych zakres rozszerzony. Założone osiągnięcia ucznia wymagania edukacyjne na. poszczególne oceny
Klasa 2 INFORMATYKA dla szkół ponadgimnazjalnych zakres rozszerzony Założone osiągnięcia ucznia wymagania edukacyjne na poszczególne oceny Algorytmy 2 3 4 5 6 Wie, co to jest algorytm. Wymienia przykłady
Bardziej szczegółowo