Liczby pierwsze - wstęp
|
|
- Kajetan Sadowski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Artykuł pobrano ze strony eioba.pl Liczby pierwsze - wstęp W latach 60 ubiegłego wieku w Afryce znaleziono kości z wyrytymi na nich karbami liczące ponad 5000 lat. Na jednej z nich (kość z Ishango) karby układają się w liczby 11, 13, 17, 19. Są to liczby pierwsze. Wymieniona kość stanowi drugie najstarsze na Ziemi znalezisko matematyczne i można ją sobie obejrzeć w muzeum brukselskim na ulicy Rue Vautier 9 - B , około 100 metrów od Parlamentu Europejskiego. Jeśli nie wybierasz się do Brukseli, to możesz przeglądnąć z tego miejsca strony internetowe muzeum. Skoro liczby pierwsze pojawiły się już tak wcześnie w naszej historii, to oczywistym jest fakt ich olbrzymiego znaczenia, które nic a nic nie zmniejszyło się do dnia dzisiejszego (można powiedzieć, że obecnie stało się jeszcze większe). Z tego powodu każdy adept sztuk informatycznych powinien doskonale znać zagadnienia związane z liczbami pierwszymi, ponieważ będzie je spotykał ciągle na swojej drodze. W naszym opracowaniu przedstawiamy podstawowe algorytmy generacji liczb pierwszych oraz różne zastosowania tych liczb. Wyjaśnimy również wiele pojęć informatycznych i matematycznych związanych z tym tematem. Prezentowane rozwiązania nie są (i nawet nie mają na celu być) optymalne. Naszym głównym celem jest maksymalna prostota i zrozumiałość. Jeśli w tej prostocie posunęliśmy się za daleko (poniżej twojego poziomu), przepraszamy. Zapraszamy Ponieważ dostaję dużo listów od nieuważnych czytelników, wyjaśniam, iż prezentowane programy są jedynie przykładami realizacji opisywanych algorytmów w wybranych językach programowania. W żadnym razie nie są one celem artykułu. Celem są ALGORYTMY. Znając algorytm można napisać dobry program w dowolnym języku
2 programowania. Dla uzasadnienia mojej postawy przytoczę znany cytat profesora Donalda Knutha (jednego z największych współczesnych autorytetów w dziedzinie informatyki): "Languages come and go, but algorithms stand the test of time" Donald Knuth "Języki programowania pojawiają się i odchodzą, lecz algorytmy wytrzymują próbę czasu" Donald Knuth TRUDNE! Przy analizie algorytmów jednym z kluczowych pojęć jest złożoność obliczeniowa (computational complexity). Charakteryzuje ona ilość zasobów komputera użytych do rozwiązywanego przez algorytm problemu. Wyróżniamy dwa rodzaje złożoności obliczeniowej - czasową oraz pamięciową. Pamięciowa złożoność obliczeniowa informuje nas o ilości pamięci komputera wymaganej przez dany algorytm dla n przetwarzanych danych. Jednostką jest komórka pamięci przechowująca jedną przetwarzaną daną. W obecnych czasach systemy komputerowe są wyposażane w coraz więcej taniej pamięci, zatem parametr ten stracił nieco na swoim znaczeniu - kiedyś walczono o każdy bajt, a dzisiaj nikt nie przejmuje się dziesiątkami megabajtów. Cóż, postęp... Czasowa złożoność obliczeniowa informuje nas o czasie wykonania zadania przez algorytm dla n danych wejściowych. Ponieważ wielkość ta musi być niezależna od typu maszyny, na której uruchamiamy program, za jednostkę czasowej złożoności obliczeniowej przyjęto wykonanie tzw. operacji dominującej, czyli takiej, wokół której koncentruje się przetwarzanie danych w algorytmie. Ilość wykonań operacji dominujących jest proporcjonalna do czasu wykonania algorytmu. Rozróżniamy dwa rodzaje czasowej i pamięciowej złożoności obliczeniowej: Pesymistyczna złożoność obliczeniowa W(n) dotyczy najgorszego przypadku zestawu danych, zatem określa ona największą ilość operacji dominujących (lub komórek pamięci), która może być wymagana dla najgorszego przypadku n danych wejściowych. Oczekiwana złożoność obliczeniowa A(n) dotyczy typowego zestawu danych i określa statystycznie średnią ilość operacji dominujących (komórek pamięci), które należy wykonać dla typowego zestawu danych, aby rozwiązać problem. Dla przykładu rozważmy wyszukiwanie elementu w n elementowym, nieuporządkowanym zbiorze danych. Za operację dominującą przyjmujemy sprawdzenie, czy i-ty element zbioru jest elementem poszukiwanym, i = 1,,3,...,n. W przypadku najgorszym poszukiwany element jest ostatnim, zatem znaleziony będzie po sprawdzeniu wszystkich elementów tego zbioru. Również stwierdzenie, iż elementu w zbiorze nie ma, wymaga przeglądnięcia wszystkich elementów. Stąd:
3 W(n) = n Jeśli prawdopodobieństwo wystąpienia poszukiwanego elementu na każdej pozycji w zbiorze jest takie samo, to dla każdego elementu wynosi ono: p i = 1 dla i = 1,,...,n n Oczekiwana złożoność obliczeniowa jest równa wartości oczekiwanej zmiennej losowej rozkładu prawdopodobieństwa p i, zatem otrzymujemy wzór: DLA GENIUSZA W teorii złożoności obliczeniowej bardzo duże znaczenie ma notacja Omikron służąca do określania rzędu funkcji złożoności obliczeniowej. Zapis: f(n) = O(g(n)) czytamy: funkcja f jest co najwyżej rzędu g, jeśli istnieje taka stała rzeczywista c i liczba naturalna n o, iż dla każdego n większego lub równego n o funkcja f(n) jest niewiększa od iloczynu c g(n). Notacja O(g(n)) pozwala nam oszacować zachowanie się złożoności obliczeniowej wraz ze wzrostem n do nieskończoności. Załóżmy, iż wyznaczyliśmy oczekiwaną złożoność obliczeniową pewnego algorytmu i otrzymaliśmy następujący wzór: A(n) = n + 3n Gdy n będzie dążyło do nieskończoności czynnik 3n stanie się coraz mniej znaczący w stosunku do czynnika n. Stąd wnioskujemy, iż jest to algorytm o złożoności O(n ). Aby to udowodnić, musimy znaleźć stałą c oraz n o, dla których zachodzi: n + 3n cn dla n n o
4 Wystarczy przyjąć c = 4 i n o = 1: n + 3n 4n dla n 1 co dowodzi, iż podany algorytm ma rzeczywiście rząd złożoności obliczeniowej równy O(n ). Większość algorytmów posiada klasę złożoności zgodną z jedną z podanych niżej klas: Złożoność obliczeniowa stała - O(1) Algorytm wykonuje stałą ilość operacji dominujących bez względu na rozmiar danych wejściowych. W takim algorytmie czas wykonania jest stały i nie zmienia się przy zmianie liczby przetwarzanych elementów. Złożoność obliczeniowa liniowa - O(n) Dla każdej danej algorytm wykonuje stałą ilość operacji dominujących. Czas wykonania jest proporcjonalny do liczby n danych wejściowych. Czas wykonania rośnie liniowo ze wzrostem liczby elementów. Złożoność obliczeniowa kwadratowa - O(n ) Algorytm dla każdej danej wykonuje ilość operacji dominujących proporcjonalną do liczby wszystkich przetwarzanych danych. Czas wykonania jest proporcjonalny do kwadratu liczby danych n. Inne złożoności tego typu O(n 3 ), O(n 4 )... noszą nazwę wielomianowych złożoności obliczeniowych. Złożoność obliczeniowa logarytmiczna - O(log n) W algorytmie zadanie rozmiaru n da się sprowadzić do zadania rozmiaru n /. Typowym przykładem jest wyszukiwanie binarne w zbiorze uporządkowanym. Sprawdzenie środkowego elementu pozwala określić, w której z dwóch połówek zbioru może znajdować się poszukiwany element. Ponieważ uczniowie młodszych klas liceum nie znają pojęcia logarytmu, podajemy jego skróconą definicję: Zapis log a x czytamy: logarytm przy podstawie a z liczby x. Wartością jest wykładnik potęgowy y, do którego należy podnieść podstawę logarytmu a, aby otrzymać liczbę logarytmowaną x. log a x = y wtedy i tylko wtedy, gdy a y = x W określeniu klasy złożoności obliczeniowej nie podajemy podstawy logarytmu, ponieważ logarytmy o różnych podstawach z tej samej wartości różnią się od siebie jedynie iloczynem przez stałą:
5 Niech log a x = y oraz log b x = cy Wtedy a y = x, oraz b cy = x Stąd a y = b cy (a) y = (b c ) y Zatem a = b c oraz log b x = c log a x Ponieważ podstawy a i b są stałe, to i c musi być stałe. Z kolei z definicji notacji Omikron wynika, iż klasa złożoności dwóch funkcji różniących się jedynie iloczynem przez stałą jest taka sama. W informatyce bardzo często stosuje się logarytmy przy podstawie. log 4 =, bo = 4 log 16 = 4, bo 4 = 16 log 56 = 8, bo 8 = 56, itd. Złożoność obliczeniowa liniowo logarytmiczna - O(n log n) Zadanie rozmiaru n daje się sprowadzić do dwóch podzadań rozmiaru n / plus pewna ilość operacji, których liczba jest proporcjonalna do ilości danych n. Tego typu złożoność obliczeniową posiadają dobre algorytmy sortujące. Złożoność obliczeniowa wykładnicza - O( n ), O(n!) Złożoność obliczeniową O( n ) posiada algorytm, w którym wykonywana jest stała liczba operacji dla każdego podzbioru n danych wejściowych. Złożoność obliczeniową O(n!) posiada algorytm, w którym wykonywana jest stała liczba operacji dla każdej permutacji n danych wejściowych. Złożoność obliczeniowa wykładnicza jest bardzo niekorzystna, ponieważ czas wykonania rośnie szybko wraz ze wzrostem liczby danych wejściowych. Dla porównania załóżmy, iż posiadamy dwa komputery. Pierwszy potrafi wykonać milion operacji dominujących w ciągu sekundy. Drugi jest superkomputerem i potrafi tych operacji wykonać milion razy więcej (bardzo optymistyczne założenie), czyli 1000 miliardów w ciągu sekundy. W poniższej tabeli zebraliśmy dane o czasie wykonania algorytmu klasy O( n ) na tych dwóch komputerach. Czasy wykonania algorytmu klasy O( n )
6 Rozmiar danych n Czas wykonania dla komputera 1 Czas wykonania dla superkomputera 1,05 sekund ,7 lat 116 sekund sekund ,17 5 x x Z tabelki jasno wynika, iż zastosowanie superszybkiego komputera niewiele pomaga algorytmowi. Czas wyznaczenia rozwiązania może stać się niewyobrażalnie duży (już dla n = 100 w obu przypadkach raczej nie doczekamy się wyników). Dlatego algorytm o wykładniczej złożoności obliczeniowej uważa się za wewnętrznie nierealizowalny i należy go unikać. Klasa złożoności obliczeniowej Porównanie klas złożoności obliczeniowych Nazwa klasy złożoności obliczeniowej Cechy algorytmu O(1) stała działa prawie natychmiast O(log n) logarytmiczna niesamowicie szybki O(n) liniowa szybki O(n log n) liniowo-logarytmiczna dosyć szybki O(n ) kwadratowa wolny dla dużych n O(n 3 ) sześcienna wolny dla większych n O( n ), O(n!) wykładnicza nierealizowalny dla większych n Nieformalnie mówiąc klasa złożoność obliczeniowej informuje nas, iż czas t w funkcji liczby elementów n jest proporcjonalny do funkcji określonej przez klasę złożoności, a stała c jest współczynnikiem tej proporcjonalności. Spostrzeżenie to pozwala w przybliżeniu oszacować czas wykonania algorytmu dla n elementów, jeśli jest znana jego klasa złożoności obliczeniowej oraz czas wykonania dla innej liczby elementów. Załóżmy, iż dla n 1 = 100 elementów algorytm o klasie złożoności obliczeniowej O(n ) wykonywał się przez czas t 1 = 5 sekund. Ile przypuszczalnie czasu t zajmie przetworzenie w tym algorytmie n = 400 elementów? Rozwiązanie Skoro klasa złożoności obliczeniowej algorytmu jest rzędu O(n ), to czas wykonania jest proporcjonalny do kwadratu liczby przetwarzanych elementów. Zatem możemy zapisać: t cn t 1 cn 1 t t 1 cn cn 1 Stąd Z otrzymanej nierówności wyznaczamy czas t :
7 Do otrzymanego wzoru podstawiamy wartości liczbowe i otrzymujemy wynik: Dokument ten rozpowszechniany jest zgodnie z zasadami licencji GNU Free Documentation License. Autor: mgr Jerzy Wałaszek Przedruk ze strony: Artykuł pobrano ze strony eioba.pl
INFORMATYKA SORTOWANIE DANYCH.
INFORMATYKA SORTOWANIE DANYCH http://www.infoceram.agh.edu.pl SORTOWANIE Jest to proces ustawiania zbioru obiektów w określonym porządku. Sortowanie stosowane jest w celu ułatwienia późniejszego wyszukania
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki. Sprawność algorytmów
Podstawy Informatyki Sprawność algorytmów Sprawność algorytmów Kryteria oceny oszczędności Miara złożoności rozmiaru pamięci (złożoność pamięciowa): Liczba zmiennych + liczba i rozmiar struktur danych
Bardziej szczegółowoZłożoność obliczeniowa algorytmu ilość zasobów komputera jakiej potrzebuje dany algorytm. Pojęcie to
Złożoność obliczeniowa algorytmu ilość zasobów komputera jakiej potrzebuje dany algorytm. Pojęcie to wprowadzili J. Hartmanis i R. Stearns. Najczęściej przez zasób rozumie się czas oraz pamięć dlatego
Bardziej szczegółowoZaawansowane algorytmy i struktury danych
Zaawansowane algorytmy i struktury danych u dr Barbary Marszał-Paszek Opracowanie pytań teoretycznych z egzaminów. Strona 1 z 12 Pytania teoretyczne z egzaminu pisemnego z 25 czerwca 2014 (studia dzienne)
Bardziej szczegółowoPorównanie czasów działania algorytmów sortowania przez wstawianie i scalanie
Więcej o sprawności algorytmów Porównanie czasów działania algorytmów sortowania przez wstawianie i scalanie Załóżmy, że możemy wykonać dane zadanie przy użyciu dwóch algorytmów: jednego o złożoności czasowej
Bardziej szczegółowoZasady analizy algorytmów
Zasady analizy algorytmów A więc dziś w programie: - Kilka ważnych definicji i opisów formalnych - Złożoność: czasowa i pamięciowa - Kategorie problemów - Jakieś przykłady Problem: Zadanie możliwe do rozwiązania
Bardziej szczegółowoJeśli czas działania algorytmu zależy nie tylko od rozmiaru danych wejściowych i przyjmuje różne wartości dla różnych danych o tym samym rozmiarze,
Oznaczenia: Jeśli czas działania algorytmu zależy nie tylko od rozmiaru danych wejściowych i przyjmuje różne wartości dla różnych danych o tym samym rozmiarze, to interesuje nas złożoność obliczeniowa
Bardziej szczegółowoInformatyka 1. Złożoność obliczeniowa
Informatyka 1 Wykład XI Złożoność obliczeniowa Robert Muszyński ZPCiR ICT PWr Zagadnienia: efektywność programów/algorytmów, sposoby zwiększania efektywności algorytmów, zasada 80 20, ocena efektywności
Bardziej szczegółowoZłożoność algorytmów. Wstęp do Informatyki
Złożoność algorytmów Złożoność pamięciowa - liczba i rozmiar struktur danych wykorzystywanych w algorytmie Złożoność czasowa - liczba operacji elementarnych wykonywanych w trakcie przebiegu algorytmu Złożoność
Bardziej szczegółowoZłożoność Obliczeniowa Algorytmów
Algorytmów Pożądane cechy dobrego algorytmu Dobry algorytm mający rozwiązywać jakiś problem powinien mieć 2 naturalne cechy: 1 (poprawność) zwracać prawidłowy wynik (dokładniej: zgodność z warunkiem końcowym
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 2/14 Funkcji podłogi z logarytmu można użyć do wyliczenia liczby cyfr liczby naturalnej k (k>0): w układzie dziesiętnym log 10 (k)
Bardziej szczegółowoTEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI 16/01/2017 WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Repetytorium złożoność obliczeniowa 2 Złożoność obliczeniowa Notacja wielkie 0 Notacja Ω i Θ Rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Algorytm 1. Termin algorytm jest używany w informatyce
Bardziej szczegółowoZadanie 1 Przygotuj algorytm programu - sortowanie przez wstawianie.
Sortowanie Dane wejściowe: ciąg n-liczb (kluczy) (a 1, a 2, a 3,..., a n 1, a n ) Dane wyjściowe: permutacja ciągu wejściowego (a 1, a 2, a 3,..., a n 1, a n) taka, że a 1 a 2 a 3... a n 1 a n. Będziemy
Bardziej szczegółowoPodstawy Programowania
Podstawy Programowania Wykład X Złożoność obliczeniowa Robert Muszyński ZPCiR ICT PWr Zagadnienia: efektywność programów/algorytmów, sposoby zwiększania efektywności algorytmów, zasada 80 20, ocena efektywności
Bardziej szczegółowoPodstawy Programowania. Złożoność obliczeniowa
Podstawy Programowania Wykład X Złożoność obliczeniowa Robert Muszyński Katedra Cybernetyki i Robotyki, PWr Zagadnienia: efektywność programów/algorytmów, sposoby zwiększania efektywności algorytmów, zasada
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do złożoności obliczeniowej
problemów Katedra Informatyki Politechniki Świętokrzyskiej Kielce, 16 stycznia 2007 problemów Plan wykładu 1 2 algorytmów 3 4 5 6 problemów problemów Plan wykładu 1 2 algorytmów 3 4 5 6 problemów problemów
Bardziej szczegółowoPodstawy Programowania. Złożoność obliczeniowa
Podstawy Programowania Wykład X Złożoność obliczeniowa Robert Muszyński Katedra Cybernetyki i Robotyki, PWr Zagadnienia: efektywność programów/algorytmów, sposoby zwiększania efektywności algorytmów, zasada
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i Struktury Danych
Algorytmy i Struktury Danych Podstawowe informacje Prowadzący: Jan Tuziemski Email: jan.tuziemski@pg.edu.pl Konsultacje: pokój 412 GB (do ustalenia 412 GB) Podstawowe informacje literatura K. Goczyła Struktury
Bardziej szczegółowoZa pierwszy niebanalny algorytm uważa się algorytm Euklidesa wyszukiwanie NWD dwóch liczb (400 a 300 rok przed narodzeniem Chrystusa).
Algorytmy definicja, cechy, złożoność. Algorytmy napotykamy wszędzie, gdziekolwiek się zwrócimy. Rządzą one wieloma codziennymi czynnościami, jak np. wymiana przedziurawionej dętki, montowanie szafy z
Bardziej szczegółowo1. Analiza algorytmów przypomnienie
1. Analiza algorytmów przypomnienie T.H. Cormen, C.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein Wprowadzenie do algorytmów, rozdziały 1-4 Wydawnictwa naukowo-techniczne (2004) Jak mierzyć efektywność algorytmu?
Bardziej szczegółowoTEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 3 2 Złożoność obliczeniowa algorytmów Notacja wielkie 0 Notacja Ω i Θ Algorytm Hornera Przykłady rzędów
Bardziej szczegółowoZaawansowane algorytmy i struktury danych
Zaawansowane algorytmy i struktury danych u dr Barbary Marszał-Paszek Opracowanie pytań praktycznych z egzaminów. Strona 1 z 12 Pytania praktyczne z kolokwium zaliczeniowego z 19 czerwca 2014 (studia dzienne)
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania
Wstęp do programowania Złożoność obliczeniowa, poprawność programów Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2013 P. Daniluk(Wydział Fizyki) WP w. XII Jesień 2013 1 / 20 Złożoność obliczeniowa Problem Ile czasu
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i ich poprawność
Algorytmy i ich poprawność Poprawność programów Jeśli uważasz, że jakiś program komputerowy jest bezbłędny, to się mylisz. Po prostu nie zauważyłeś jeszcze skutków błędu, który jest w nim zawarty Błędy
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania INP001213Wcl rok akademicki 2017/18 semestr zimowy. Wykład 13. Karol Tarnowski A-1 p.
Wstęp do programowania INP001213Wcl rok akademicki 2017/18 semestr zimowy Wykład 13 Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.edu.pl A-1 p. 411B Plan prezentacji (1) Złożoność algorytmów czy to istotne, skoro
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania INP001213Wcl rok akademicki 2018/19 semestr zimowy. Wykład 13. Karol Tarnowski A-1 p.
Wstęp do programowania INP001213Wcl rok akademicki 2018/19 semestr zimowy Wykład 13 Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.edu.pl A-1 p. 411B Plan prezentacji (1) Złożoność algorytmów czy to istotne, skoro
Bardziej szczegółowoPodstawy Programowania
Podstawy Programowania Wykład X Złożoność obliczeniowa Robert Muszyński Katedra Cybernetyki i Robotyki, PWr Zagadnienia: efektywność programów/algorytmów, sposoby zwiększania efektywności algorytmów, zasada
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
WYŻSZA SZKOŁA IFORMATYKI STOSOWAEJ I ZARZĄDZAIA Złożoność algorytmów Złożoność pamięciowa algorytmu wynika z liczby i rozmiaru struktur danych wykorzystywanych w algorytmie. Złożoność czasowa algorytmu
Bardziej szczegółowoEfektywność algorytmów
Efektywność algorytmów Algorytmika Algorytmika to dział informatyki zajmujący się poszukiwaniem, konstruowaniem i badaniem własności algorytmów, w kontekście ich przydatności do rozwiązywania problemów
Bardziej szczegółowoAnaliza algorytmów zadania podstawowe
Analiza algorytmów zadania podstawowe Zadanie 1 Zliczanie Zliczaj(n) 1 r 0 2 for i 1 to n 1 3 do for j i + 1 to n 4 do for k 1 to j 5 do r r + 1 6 return r 0 Jaka wartość zostanie zwrócona przez powyższą
Bardziej szczegółowoAlgorytmy, reprezentacja algorytmów.
Algorytmy, reprezentacja algorytmów. Wprowadzenie do algorytmów Najważniejszym pojęciem algorytmiki jest algorytm (ang. algorithm). Nazwa pochodzi od nazwiska perskiego astronoma, astrologa, matematyka
Bardziej szczegółowoWstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami
Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami Przykład 1. Napisz program, który dla podanej liczby n wypisze jej rozkład na czynniki pierwsze. Oblicz asymptotyczną złożoność
Bardziej szczegółowoAlgorytm i złożoność obliczeniowa algorytmu
Algorytm i złożoność obliczeniowa algorytmu Algorytm - przepis postępowania, którego wykonanie prowadzi do rozwiązania określonego problemu określa czynności, jakie należy wykonać wyszczególnia wszystkie
Bardziej szczegółowoAlgorytmy w teorii liczb
Łukasz Kowalik, ASD 2004: Algorytmy w teorii liczb 1 Algorytmy w teorii liczb Teoria liczb jest działem matemtyki dotyczącym własności liczb naturalnych. Rozważa się zagadnienia związane z liczbami pierwszymi,
Bardziej szczegółowoPROBLEMY NIEROZSTRZYGALNE
PROBLEMY NIEROZSTRZYGALNE Zestaw 1: T Przykład - problem domina T Czy podanym zestawem kafelków można pokryć dowolny płaski obszar zachowując odpowiedniość kolorów na styku kafelków? (dysponujemy nieograniczoną
Bardziej szczegółowoANALIZA ALGORYTMÓW. Analiza algorytmów polega między innymi na odpowiedzi na pytania:
ANALIZA ALGORYTMÓW Analiza algorytmów polega między innymi na odpowiedzi na pytania: 1) Czy problem może być rozwiązany na komputerze w dostępnym czasie i pamięci? 2) Który ze znanych algorytmów należy
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5 Prof. dr hab. inż. Jan Magott DMT rozwiązuje problem decyzyjny π przy kodowaniu e w co najwyżej wielomianowym czasie, jeśli dla wszystkich łańcuchów wejściowych
Bardziej szczegółowoLogarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: 1. JĘZYK MATEMATYKI I FUNKCJE LICZBOWE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą
Bardziej szczegółowoAnaliza algorytmów zadania podstawowe
Analiza algorytmów zadania podstawowe 15 stycznia 2019 Zadanie 1 Zliczanie Zliczaj(n) 1 r 0 2 for i 1 to n 1 3 do for j i + 1 to n 4 do for k 1 to j 5 do r r + 1 6 return r P Jaka wartość zostanie zwrócona
Bardziej szczegółowoTeoretyczne podstawy informatyki
Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 3a: Złożoność obliczeniowa algorytmów http://kiwi.if.uj.edu.pl/~erichter/dydaktyka2010/tpi-2010 Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs 1 Złożoność obliczeniowa i asymptotyczna
Bardziej szczegółowoKompletna dokumentacja kontenera C++ vector w - http://www.cplusplus.com/reference/stl/vector/
STL, czyli o co tyle hałasu W świecie programowania C++, hasło STL pojawia się nieustannie i zawsze jest o nim głośno... często początkujące osoby, które nie znają STL-a pytają się co to jest i czemu go
Bardziej szczegółowoInformacja w perspektywie obliczeniowej. Informacje, liczby i obliczenia
Informacja w perspektywie obliczeniowej Informacje, liczby i obliczenia Cztery punkty odniesienia (dla pojęcia informacji) ŚWIAT ontologia fizyka UMYSŁ psychologia epistemologia JĘZYK lingwistyka nauki
Bardziej szczegółowo1. LICZBY DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA L.P. NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia
L.P. DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia 1. LICZBY 1. Znam pojęcie liczby naturalne, całkowite, wymierne, dodatnie, ujemne, niedodatnie, odwrotne, przeciwne. 2. Potrafię zaznaczyć
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY
ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór
Bardziej szczegółowoTechnologie informacyjne Wykład VII-IX
Technologie informacyjne -IX A. Matuszak 19 marca 2013 A. Matuszak Technologie informacyjne -IX Rekurencja A. Matuszak (2) Technologie informacyjne -IX Gotowanie jajek na miękko weż czysty garnek włóż
Bardziej szczegółowoStruktura danych. Sposób uporządkowania informacji w komputerze.
Struktura danych Sposób uporządkowania informacji w komputerze. Algorytm Skończony, uporządkowany ciąg jasno zdefiniowanych czynności, koniecznych do wykonania pewnego zadania. Al-Khwarizmi perski matematyk
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)
PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
Bardziej szczegółowoPodstawy programowania. Podstawy C# Przykłady algorytmów
Podstawy programowania Podstawy C# Przykłady algorytmów Proces tworzenia programu Sformułowanie problemu funkcje programu zakres i postać danych postać i dokładność wyników Wybór / opracowanie metody rozwiązania
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 1. Teoria błędów, notacja O
Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 1. Teoria błędów, notacja O 1.1. Błąd bezwzględny, błąd względny 1.2. Ogólna postać błędu 1.3. Problem odwrotny teorii błędów - zasada równego wpływu
Bardziej szczegółowo6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).
6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 0 grudnia 008 r. 88. Obliczyć podając wynik w postaci ułamka zwykłego a) 0,(4)+ 3 3,374(9) b) (0,(9)+1,(09)) 1,() c) (0,(037))
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne
Bardziej szczegółowoANALIZA ALGORYTMÓW. Analiza algorytmów polega między innymi na odpowiedzi na pytania:
ANALIZA ALGORYTMÓW Analiza algorytmów polega między innymi na odpowiedzi na pytania: 1) Czy problem może być rozwiązany na komputerze w dostępnym czasie i pamięci? 2) Który ze znanych algorytmów należy
Bardziej szczegółowoTeoria obliczeń i złożoność obliczeniowa
Teoria obliczeń i złożoność obliczeniowa Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.wroc.pl materiały + informacje na stronie www. Zaliczenie: Egzamin Literatura Problemy
Bardziej szczegółowoKatalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym.
Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego
Bardziej szczegółowoOBLICZALNOŚĆ I NIEOBLICZALNOŚĆ
OBLICZALNOŚĆ I NIEOBLICZALNOŚĆ Dwa konteksty obliczalności OBLICZALNE i NIEOBLICZALNE problemy (kontekst informatyczny) liczby (kontekst matematyczny) Problem nieobliczalny jest to problem nierozwiązywalny
Bardziej szczegółowoSortowanie. Tomasz Żak zak. styczeń Instytut Matematyki i Informatyki, Politechnika Wrocławska
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/ zak Instytut Matematyki i Informatyki, Politechnika Wrocławska styczeń 2014 Przypuśćmy, że po sprawdzeniu 30 klasówek układamy je w kolejności alfabetycznej autorów. Jak
Bardziej szczegółowoKONSPEKT ZAJĘĆ KOŁA INFORMATYCZNEGO LUB MATEMATYCZNEGO W KLASIE III GIMNAZJUM LUB I LICEUM ( 2 GODZ.)
Joanna Osio asiaosio@poczta.onet.pl Nauczycielka matematyki w Gimnazjum im. Macieja Rataja w Żmigrodzie KONSPEKT ZAJĘĆ KOŁA INFORMATYCZNEGO LUB MATEMATYCZNEGO W KLASIE III GIMNAZJUM LUB I LICEUM ( 2 GODZ.)
Bardziej szczegółowoAlgorytmy asymetryczne
Algorytmy asymetryczne Klucze występują w parach jeden do szyfrowania, drugi do deszyfrowania (niekiedy klucze mogą pracować zamiennie ) Opublikowanie jednego z kluczy nie zdradza drugiego, nawet gdy można
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i Struktury Danych.
Algorytmy i Struktury Danych. Organizacja wykładu. Problem Sortowania. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 1 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury
Bardziej szczegółowoV. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE
V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny
Bardziej szczegółowoZadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:
Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11
Bardziej szczegółowo1. FUNKCJE DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA L.P. NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia
L.P. DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA 1. FUNKCJE 2. POTĘGI I PIERWIASTKI NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia 1. Wiem, co to jest układ współrzędnych, potrafię nazwać osie układu. 2. Rysuję układ współrzędnych
Bardziej szczegółowoRozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony
Rozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony ZBIORY TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY
Bardziej szczegółowoOpis efektów kształcenia dla programu kształcenia (kierunkowe efekty kształcenia) WIEDZA. rozumie cywilizacyjne znaczenie matematyki i jej zastosowań
TABELA ODNIESIEŃ EFEKTÓW KSZTAŁCENIA OKREŚLONYCH DLA PROGRAMU KSZTAŁCENIA DO EFEKTÓW KSZTAŁCENIA OKREŚLONYCH DLA OBSZARU KSZTAŁCENIA I PROFILU STUDIÓW PROGRAM KSZTAŁCENIA: POZIOM KSZTAŁCENIA: PROFIL KSZTAŁCENIA:
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY DRUGIEJ
MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY 1. SUMY ALGEBRAICZNE DLA KLASY DRUGIEJ 1. Rozpoznawanie jednomianów i sum algebraicznych Obliczanie wartości liczbowych wyrażeń algebraicznych
Bardziej szczegółowoW planie dydaktycznym założono 172 godziny w ciągu roku. Treści podstawy programowej. Propozycje środków dydaktycznych. Temat (rozumiany jako lekcja)
Ramowy plan nauczania (roczny plan dydaktyczny) dla przedmiotu matematyka w zakresie rozszerzonym dla klasy I liceum ogólnokształcącego uwzględniający kształcone i treści podstawy programowej W planie
Bardziej szczegółowooperacje porównania, a jeśli jest to konieczne ze względu na złe uporządkowanie porównywanych liczb zmieniamy ich kolejność, czyli przestawiamy je.
Problem porządkowania zwanego również sortowaniem jest jednym z najważniejszych i najpopularniejszych zagadnień informatycznych. Dane: Liczba naturalna n i ciąg n liczb x 1, x 2,, x n. Wynik: Uporządkowanie
Bardziej szczegółowoZłożoność obliczeniowa zadania, zestaw 2
Złożoność obliczeniowa zadania, zestaw 2 Określanie złożoności obliczeniowej algorytmów, obliczanie pesymistycznej i oczekiwanej złożoności obliczeniowej 1. Dana jest tablica jednowymiarowa A o rozmiarze
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ
ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ ZBIORY TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z
Bardziej szczegółowoOgólne zasady projektowania algorytmów i programowania
Ogólne zasady projektowania algorytmów i programowania Pracuj nad właściwie sformułowanym problemem dokładna analiza nawet małego zadania może prowadzić do ogromnych korzyści praktycznych: skrócenia długości
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne w przykładach
Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach
Bardziej szczegółowoTeraz bajty. Informatyka dla szkół ponadpodstawowych. Zakres rozszerzony. Część 1.
Teraz bajty. Informatyka dla szkół ponadpodstawowych. Zakres rozszerzony. Część 1. Grażyna Koba MIGRA 2019 Spis treści (propozycja na 2*32 = 64 godziny lekcyjne) Moduł A. Wokół komputera i sieci komputerowych
Bardziej szczegółowoKształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
Bardziej szczegółowoWYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.
Bardziej szczegółowo2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.
ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)
Bardziej szczegółowoZłożoność informacyjna Kołmogorowa. Paweł Parys
Złożoność informacyjna Kołmogorowa Paweł Parys Serock 2012 niektóre liczby łatwiej zapamiętać niż inne... (to zależy nie tylko od wielkości liczby) 100...0 100 100... 100 100 100 25839496603316858921 31415926535897932384
Bardziej szczegółowoO ISTOTNYCH OGRANICZENIACH METODY
O ISTOTNYCH OGRANICZENIACH METODY ALGORYTMICZNEJ Dwa pojęcia algorytmu (w informatyce) W sensie wąskim Algorytmem nazywa się każdy ogólny schemat procedury możliwej do wykonania przez uniwersalną maszynę
Bardziej szczegółowoSortowanie - wybrane algorytmy
Sortowanie - wybrane algorytmy Aleksandra Wilkowska Wydział Matematyki - Katedra Matematyki Stosowanej Politechika Wrocławska 2 maja 2018 1 / 39 Plan prezentacji Złożoność obliczeniowa Sortowanie bąbelkowe
Bardziej szczegółowoANALIZA ALGORYTMÓW. Analiza algorytmów polega między innymi na odpowiedzi na pytania:
ANALIZA ALGORYTMÓW Analiza algorytmów polega między innymi na odpowiedzi na pytania: 1) Czy problem może być rozwiązany na komputerze w dostępnym czasie i pamięci? 2) Który ze znanych algorytmów należy
Bardziej szczegółowoSortowanie Shella Shell Sort
Sortowanie Shella Shell Sort W latach 50-tych ubiegłego wieku informatyk Donald Shell zauważył, iż algorytm sortowania przez wstawianie pracuje bardzo efektywnie w przypadku gdy zbiór jest w dużym stopniu
Bardziej szczegółowoWykład na Politechnice Krakowskiej w dniu 18 stycznia 2012 r. ZADAŃ I ALGORYTMÓW W OPTYMALIZACJI DYSKRETNEJ
Wykład na Politechnice Krakowskiej w dniu 18 stycznia 2012 r. ZŁOŻONOŚĆ OBLICZENIOWA ZADAŃ I ALGORYTMÓW W OPTYMALIZACJI DYSKRETNEJ dr hab. Krzysztof SZKATUŁA, prof. PAN Instytut Badań Systemowych PAN Uniwersytet
Bardziej szczegółowoO LICZBACH NIEOBLICZALNYCH I ICH ZWIĄZKACH Z INFORMATYKĄ
O LICZBACH NIEOBLICZALNYCH I ICH ZWIĄZKACH Z INFORMATYKĄ Jakie obiekty matematyczne nazywa się nieobliczalnymi? Jakie obiekty matematyczne nazywa się nieobliczalnymi? Najczęściej: a) liczby b) funkcje
Bardziej szczegółowoOSTASZEWSKI Paweł (55566) PAWLICKI Piotr (55567) Algorytmy i Struktury Danych PIŁA
OSTASZEWSKI Paweł (55566) PAWLICKI Piotr (55567) 20.11.2002 Algorytmy i Struktury Danych PIŁA ZŁOŻONE STRUKTURY DANYCH C za s tw or ze nia s tr uk tur y (m s ) TWORZENIE ZŁOŻONYCH STRUKTUR DANYCH: 00 0
Bardziej szczegółowoPrzykładowe sprawozdanie. Jan Pustelnik
Przykładowe sprawozdanie Jan Pustelnik 30 marca 2007 Rozdział 1 Sformułowanie problemu Tematem pracy jest porównanie wydajności trzech tradycyjnych metod sortowania: InsertionSort, SelectionSort i BubbleSort.
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym
Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające, W wymagania wykraczające. Plan wynikowy lasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń
Bardziej szczegółowoPRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań
PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Kartoteka
Bardziej szczegółowoPorównanie Heap Sort, Counting Sort, Shell Sort, Bubble Sort. Porównanie sortowao: HS, CS, Shs, BS
Czas sortowania w milisekundach Czas sortowania w milisekundach Sortowanie Porównanie, Counting Sort, Shell Sort, Bubble Sort 4 Porównanie sortowao: HS, CS, Shs, BS 35 3 25 2 15 5 Counting Sort Shell Sort
Bardziej szczegółowoRozkład materiału nauczania
Dział/l.p. Ilość godz. Typ szkoły: TECHNIKUM Zawód: TECHNIK USŁUG FRYZJERSKICH Rok szkolny 2016/2017 Przedmiot: MATEMATYKA Klasa: II 96 godzin numer programu T5/O/5/12 Rozkład materiału nauczania Temat
Bardziej szczegółowoZadanie projektowe 1: Struktury danych i złożoność obliczeniowa
Łukasz Przywarty 171018 Data utworzenia: 24.03.2010r. Mariusz Kacała 171058 Prowadzący: prof. dr hab. inż. Adam Janiak oraz dr inż. Tomiasz Krysiak Zadanie projektowe 1: Struktury danych i złożoność obliczeniowa
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych Matematyka III sem.
Algorytmy i struktury danych Matematyka III sem. 30 godz. wykł. / 15 godz. ćw. / 15 godz. projekt dr inŝ. Paweł Syty, 413GB, sylas@mif.pg.gda.pl, http://sylas.info Literatura T.H. Cormen i inni, Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/61
Metody numeryczne I Dokładność obliczeń numerycznych. Złożoność obliczeniowa algorytmów Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/61 ... the purpose of
Bardziej szczegółowoGrzegorz Mazur. Zak lad Metod Obliczeniowych Chemii UJ. 14 marca 2007
Zak lad Metod Obliczeniowych Chemii UJ 14 marca 2007 Rzad 1 Zamiast wst epu 2 Rzad Notacja dużego O Notacja Ω Notacja Θ 3 S lowniczek Rzad Algorytm W matematyce oraz informatyce to skończony, uporzadkowany
Bardziej szczegółowo1. Granice funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic
1. Granice funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji -
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i Struktury Danych, 2. ćwiczenia
Algorytmy i Struktury Danych, 2. ćwiczenia 2017-10-13 Spis treści 1 Optymalne sortowanie 5 ciu elementów 1 2 Sortowanie metodą Shella 2 3 Przesunięcie cykliczne tablicy 3 4 Scalanie w miejscu dla ciągów
Bardziej szczegółowoKlasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowo