Hydrostatyka i hydrodynamika lekcja ze wspomaganiem komputerowym

Transkrypt

1 Hydrostatyka i hydrodynamika lekcja ze wspomaganiem komputerowym PRACA DYPLOMOWA INśYNIERSKA Tomasz Kocot Opiekun: dr hab. inŝ. Włodzimierz Salejda, prof. nadzw. PWr Wrocław 008

2 Opiekunowi pracy dr. hab. inŝ. Włodzimierzowi Salejdzie serdecznie dziękuję za pomoc, cenne rady i olbrzymią cierpliwość w poprawianiu moich błędów.

3 Spis Treści 1. WPROWADZENIE Cel i układ pracy...4. WYKORZYSTANE TECHNOLOGIE HTML Co to jest HTML? Historia HTML Wygląd strony HTML Przyszłość HTML Flash Opis ActionScript Nawigacja Menu nawigacyjne BIOGRAFIE Archimedes Bernoulli Pascal Reynolds Stokes HYDROSTATYKA Gęstość Ciśnienie Prawo Pascala Prawo Archimedesa Napięcie powierzchniowe Włoskowatość, zjawisko kapilarne HYDRODYNAMIKA Przepływy Lepkość Liczba Reynoldsa Prawo Stokesa Równanie ciągłości Równanie Bernoulliego Efekt Magnusa Kawitacja PODSUMOWANIE BIBLIOGRAFIA

4 Rozdział 1 WPROWADZENIE Cel i układ pracy Celem pracy dyplomowej było opracowanie lekcji ze wspomaganiem komputerowym obejmującej zagadnienia z hydrostatyki i hydrodynamiki. Została zrealizowana w formie strony (witryny) internetowej, w której znalazły się definicje, wzory a takŝe wybrane filmy ilustrujące opisywane zjawiska. PosłuŜono się darmowym edytorem Edytor Znaczników HTML ( [15], [17] ), natomiast menu nawigacyjne wykonano w programie Macromedia Flash MX (wersja próbna 30 dniowa) przy uŝyciu języka ActionScrypt. ( [13], [14], [16], [18] ) Opracowana e lekcja pozwala uŝytkownikom łatwo przyswajać stosowne definicje, poznać podstawowe pojęcia i wielkości fizyczne z zakresu hydrodynamiki. Zaimplementowane filmy wybranych zjawisk i efektów, moŝliwe do przeprowadzenia w domu, pozwalają w pełni zrozumieć fizykę prezentowanych zjawisk i praw. Całość pracy jest podzielona na 7 części. Część I to niniejszy wstęp; część II to opis programów i sposobów ich wykorzystania do wykonania poszczególnych elementów witryny, a takŝe wyjaśnienie sposobu nawigacji po stronie; część III to krótkie biografie osób, które wniosły istotny wkład do rozwoju hydrostatyki i hydrodynamiki; część IV dotyczy hydrostatyki i zawiera podstawowe definicje i pojęcia; część V jest poświecona hydrodynamice; część VI to podsumowanie całości; część VII to spis literatury. 4

5 Rozdział WYKORZYSTANE TECHNOLOGIE.1. HTML.1.1 Co to jest HTML? HTML (ang. HyperText Markup Language, pol. hipertekstowy język znaczników) dominujący język wykorzystywany do tworzenia stron internetowych. Pozwala opisać strukturę informacji zawartych w dokumencie nadając znaczenie poszczególnym fragmentom tekstu (formując linki, nagłówki, akapity, listy, itp.) oraz osadzić w tekście dodatkowe obiekty np. statyczne grafiki, interaktywne formularze, dynamiczne animacje. W składni języka HTML wykorzystuje się znaczniki opatrzone z obu stron nawiasami ostrokątnymi. WaŜną cechą języka, która wyraźnie przyczyniła się do rozwoju i upowszechnienia sieci WWW, jest niezaleŝność od systemu operacyjnego oraz parametrów sprzętowych komputera, na którym strony te będą przeglądane..1. Historia HTML Pierwsza, publicznie dostępna, specyfikacja języka HTML, nazwana HTML Tags, została zamieszczona w Internecie przez Bernersa Lee w 1991 r. Zawierała znaczniki, tworzące początkowy, prosty szkielet HTML. Trzynaście z tych elementów istnieje do tej pory w specyfikacji HTML 4. HTML został napisany w oparciu o język SGML. W połowie 1993 r., organizacja IETF opublikowała pierwszą propozycję specyfikacji języka HTML autorstwa Bernersa Lee i Dana Connolly Hypertext Markup Language (HTML) Internet Draft (pol. szkic) zawierającą opis gramatyki w postaci SGML Document Type Definition (pol. definicja typu dokumentu). Mając ten dokument, twórcy przeglądarek eksperymentowali z HTML em modyfikując atrybuty istniejących juŝ znaczników oraz dodając nowe. Po wygaśnięciu szkiców HTML i HTML+ (1994 r.), organizacja IETF wydzieliła HTML Working Group, która w 1995 r. stworzyła HTML.0 pierwszą oficjalną specyfikację języka HTML, traktowaną jako standard i podstawę przyszłych implementacji kolejnych wersji HTML. Specyfikacja HTML.0, opublikowana w 1996 r. jako Request for Comments, zawierała pomysły zarówno ze szkicu HTML jak i HTML+. HTML 1.0 jako taki nigdy nie istniał. Oznaczenie.0 zostało nadane w celu odróŝnienia nowej specyfikacji od wcześniejszych szkiców. Dalszy rozwój HTML a pod pieczą IETF przeciągał się ze względu na konflikt interesów. Od 1996 r. specyfikacje HTML rozwijane były z udziałem komercyjnych producentów oprogramowania przez organizację World Wide Web Consortium (W3C). W 000 r. HTML stał się międzynarodowym standardem. Ostatnia specyfikacja języka HTML to opublikowana w 1999 przez W3C HTML Jej błędy zostały poprawione przez erratę opublikowaną w 001 r. stycznia 008 został podany do wiadomości publicznej HTML 5, opublikowany przez W3C jako szkic ("Working Draft"). 5

6 .1.3. Wygląd strony HTML. Strony HTML, to zwykłe pliki tekstowe. Dzięki temu, Ŝe nie zawierają w sobie Ŝadnych predyspozycji platformowych lub systemowych, mogą być odczytane na kaŝdej platformie i w kaŝdym edytorze. KaŜdy plik HTML zawiera następujące elementy: znaczniki HTML, określające elementy strony, jej strukturę, sposoby formatowania i hiperłącza do innych stron lub informacji innego rodzaju, właściwy tekst strony. Rozszerzenia dokumenty HTML maja postać.htm lub.html i mogą być zapisane w dowolnym edytorze tekstowym, np. Notatnik u. Aby obejrzeć rezultat napisanego kodu, potrzebna jest przeglądarka internetowa, która go zinterpretuje. Do najpopularniejszych przeglądarek naleŝą: MS Internet Explorer, Mozilla Firefox, Opera, Safari i Netscape. Wszystkie są darmowe, największe udziały w rynku ma MS IE. Rys Przykładowa wyedytowana w standardowym edytorze strona HTML 6

7 .1.4. Przyszłość HTML Rozwój sprzętu i oprogramowania sprawił, Ŝe surfowanie po Internecie nie stanowi juŝ problemu. Stał się potęŝnym źródłem informacji, zabawy, umoŝliwia pracę i naukę nie ruszając się z domu albo podróŝując. Tu pojawia się problem. Coraz nowszy sprzęt i technologie sprawiają, Ŝe językowi HTML coraz trudniej jest się dostosować do wymagań uŝytkowników. Aby nadąŝyć na rozwojem, stworzono język XHTML (ang. Extensible HyperText Markup Language, rozszerzony hipertekstowy język znaczników). Reformuje on znane zasady języka HTML 4 w taki sposób, aby były zgodne z XML (Extensible Markup Language Rozszerzony Język Znaczników). XML czerpie swoją moc i elastyczność z języka SGML (Standard Generalized Markup Language Standardowy Uogólniony Język Znaczników). Mając te zalety, XML pomija wiele bardziej skomplikowanych cech języka SGML, które stwarzały utrudnienia i powodowały podroŝenie procesu projektowania. Przystosowanie HTML 4.0 do XHTML 1.1 (i vice versa) jest bezproblemowe. Obecnie nowe przeglądarki, takie jak Firefox czy Opera, praktycznie w pełni obsługują XHTML, lecz przeglądarka mająca ciągle największy udział w rynku Internet Explorer w ogóle nie obsługuje XHTML owego typu zawartości. Zmusza to webmasterów do przerabiania XHTML u do zwykłego HTML u, pod warunkiem oczywiście, Ŝe nie ma tam elementów niekompatybilnych z HTML em... Flash..1. Opis Menu wykonano za pomocą programu Macromedia Flash MX 004 Professional (wersja testowa 30 dniowa). To rewelacyjne narzędzie umoŝliwiające tworzenie animacji i interaktywnych elementów oraz grafiki wektorowej do wykorzystania na stronach WWW. Daje moŝliwość połączenia róŝnorodnych elementów takich, jak : dźwięk, grafika bitmapowa, wektorowa czy cyfrowe wideo w atrakcyjną, interaktywną całość. Podstawową zaletą plików tworzonych przez Flasha są niewielkie rozmiary, dzięki czemu proces ich ładowania i otwieranie w przeglądarkach odbywa się bardzo szybko, nawet przy połączeniach poprzez modem. UmoŜliwia tworzenie animacji poklatkowo albo określając tylko klatkę początkową i końcową program obliczy środek. Dzięki językowi Action Script moŝna tworzyć interaktywne elementy, które reagują na zachowanie uŝytkownika. 7

8 ..1. Flash MX PowyŜej jest podstawowe okno programu Flash MX. Na górze znajduje się główne narzędzie, czyli tzw. linia czasowa. Po prawej są narzędzia słuŝące do rysowania. Po prawej mikser kolorów, a poniŝej niego lista gotowych komponentów moŝliwych do uŝycia. NA dole znajdują się opcje pozwalające ustalić sposób opublikowania gotowej pracy.... Action Script ActionScript (AS) jest specjalnym językiem zaprojektowanym do kontroli animacji, dobrym narzędziem do tworzenia zaawansowanych prezentacji multimedialnych jak pokazy slajdów, oraz interaktywnych aplikacji takich jak gry, quizy czy kursy, albo nawet całe strony internetowe. ActionScript jest więc potęŝnym językiem dającym spore moŝliwości, ale i zarazem nie tak trudnym do nauczenia się. ActionScript jest językiem zbliŝonym do JavaScriptu, w swojej pierwszym wydaniu. W wersji ActionScript.0 dostępnej od wersji Flash MX 004 została wprowadzona moŝliwość programowania obiektowego (OOP Object Oriented Programming). Najnowsza wersja ActionScript 3.0 wypuszczana wraz z Flash CS3, jest zorientowana obiektowo rozwijając szereg dotychczasowych moŝliwości. 8

9 Fragment kodu AS (ustawia załadowanemu klipowi przeźroczystość na 0%, a w kaŝdej kolejnej klatce animacji przesuwa go o 4 piksele w prawo) onclipevent(load){ this._alpha = 0;} onclipevent(enterframe){ this._x += 4;}.3. Nawigacja po witrynie.3.1. Menu nawigacyjne witryny.3.1 Menu nawigacyjne Menu składa się z 6 podstawowych pól: Start (kilka słów na początek), Biografie (ludzi waŝnych dla omawianego tematu), Hydrostatyka (własności i prawa dot. płynów nie poruszających się), Hydrodynamika (wraz z ruchem pojawiają się nowe, ciekawe własności), Koniec (podsumowanie), Bibliografia (uŝyte przeze mnie ksiąŝki i witryny internetowe). Podmenu się rozwijają gdy najedziemy na nie myszką, chowają się po zabraniu kursora. 9

10 Rozdział 3 BIOGRAFIE 1. Archimedes 1 Archimedes z Syrakuz (ok p.n.e.) wybitny grecki fizyk i matematyk, urodzony i zmarły w Syrakuzach; wykształcenie zdobył w Aleksandrii. Był synem astronoma Fidiasza i prawdopodobnie krewnym lub powinowatym władcy Syrakuz Hierona II. Autor traktatu o kwadraturze odcinka paraboli, twórca hydrostatyki i statyki, prekursor rachunku nieskończonościowego (infinitezymalnego). Od jego imienia jedną ze spiral nazwano spiralą Archimedesa. Stworzył podstawy rachunku róŝniczkowego. W dziele Elementy mechaniki wyłoŝył podstawy mechaniki teoretycznej. Zajmował się równieŝ astronomią zbudował globus i planetarium. Wyznaczył przybliŝoną wartość liczby π jako < π < Anegdota głosi, Ŝe pochłonięty rozwiązywaniem zadań matematycznych Archimedes przestał się myć, w wyniku czego zaczął śmierdzieć. Gdy siłą nasmarowano go oliwą i ciągnięto by go wykąpać kreślił na swoim ciele koła kontynuując swoje rozwaŝania. W czasie drugiej wojny punickiej kierował pracami inŝynieryjnymi przy obronie Syrakuz. Rzymianie myśleli, Ŝe sami bogowie bronią miasta, gdyŝ za murami 3.1. Archimedes schowane machiny oblęŝnicze jego konstrukcji ciskały pociski w ich stronę. Archimedes został zabity przez Ŝołnierzy rzymskich po zdobyciu miasta, mimo wyraźnego rozkazu dowódcy, Marcellusa, by go ująć Ŝywego. Później gorzko Ŝałowano tego. Na Ŝyczenie Archimedesa na jego nagrobku wyryto kulę, stoŝek i walec (odkrył Ŝe stosunek objętości kuli do opisanego na niej walca wyraŝa się stosunkiem liczb i 3) Zachowane prace Archimedesa: O ciałach pływających, Elementy mechaniki, O kuli i walcu, O figurach obrotowych, O kwadraturze odcinka paraboli, O metodzie, O ślimacznicach, Liczba ziarnek piasku (przedstawił tu moŝliwość tworzenia dowolnie wielkich liczb na przykładzie wypełnienia piaskiem wszechświata jako wydrąŝonej kuli). 1 Na podstawie: i 10

11 BIOGRAFIE. Bernoulli Daniel Bernoulli ur. 8 lutego 1700 Groningen Holandia zm. 17 marca 178 Bazylea Szwajcaria Urodził sie w Groningen, gdzie jego ojciec Jan pracował do roku Daniel uczył się matematyki u ojca i u starszego brata Mikołaja II ( ). Jednocześnie studiował medycynę i w roku 171 złoŝył w Bazylei przepisane egzaminy i obronił rozprawę na temat oddychania. Pewien czas spędził we Włoszech, celem doskonalenia się w praktyce lekarskiej i tamŝe w roku 174 wydał Studia matematyczne, które przyniosły mu rozgłos. Wkrótce powołany został z bratem Mikołajem do Petersburskiej Akademii Nauk, w której czynny był od jesieni 175 r. około ośmiu lat. Zgodnie z umową Daniel Bernoulli miał obowiązek zajmowania się fizjologią i zastosowaniem do niej metod matematycznych; badania w tym kierunku, przede wszystkim nad mechaniką ruchu zwierząt, zapoczątkował Włoch G. Borelli ( ). Fizjologią D. Bernoulli zajmował się zresztą tylko przez krótki czas, na ogół interesował się mechaniką, fizyką i matematyką. W roku 178 oficjalnie przeszedł ze stanowiska profesora akademickiego fizjologii na stanowisko profesora matematyki. Jako matematyk zdefiniował liczbę "e". Wróciwszy w r do Bazylei, otrzymał 3.. Daniel Bernoulli na tamtejszym uniwersytecie katedrę anatomii i botaniki i dopiero od r objął katedrę fizyki. Jako fizyk rozwiązał problem struny drgającej. Akademia Petersburska utrzymała w mocy, po wyjeździe D. Bernoulliego, jego prawo do godności członka honorowego (zagranicznego) i doŝywotniej pensji; do końca Ŝycia pozostawał w związkach naukowych z nią, publikując w jej wydawnictwach większą część swych prac. W Petersburgu D. Bernoulli przygotował większą pracę z hydrodynamiki, zawierającą opis wielu doświadczeń i badanie teoretyczne wielu problemów. W ostatecznej redakcji to klasyczne dzieło, w którym mechanika cieczy i gazów po raz pierwszy potraktowane zostały jako oddzielna dyscyplina, wyszło w Strasburgu w r pod tytułem Hydrodynamika, czyli studia nad siłami i ruchami cieczy (Hydrodynamica sive de viribus et motibus fluidorum commentarii). Podane było w nim, między innymi, równanie Bernoulliego. Na podstawie i pl.wikipedia.org/wiki/daniel_bernoulli 11

12 BIOGRAFIE 3. Pascal 3 Blaise Pascal (ur. 19 czerwca 163 w Clermont Ferrand, zm. 19 sierpnia 166 w ParyŜu). Jego matka Antoinette Begon, zmarła gdy miał trzy lata, ojciec Étienne Pascal ( ) przeprowadził się z rodziną do ParyŜa. Blaise miał dwie siostry: Jacqueline Pascal i Gilberte Pascal. Był słabowity, dlatego ojciec sprowadzał do swego domu prywatnych nauczycieli. Młody naukowiec przebywał w towarzystwie wybitnych osobistości, takich jak: Marin Mersenne, Pierre de Fermat, Gilles de Roberval, Gérard Desargues, Claude Mydorge, Pierre Gassendi i Descartes, kształcąc się i rozwijając swe zainteresowania. Blaise Pascal odznaczał się nieprzeciętnymi zdolnościami juŝ w wieku młodzieńczym. W wieku 16 lat napisał krótką rozprawę o przecięciach stoŝkowych oraz odkrył twierdzenie Pascala. W wieku 4 lat odkrył prawo ciśnienia w cieczach tzw. Prawo Pascala oraz rachunek prawdopodobieństwa. Wymyślił Trójkąt Pascala i maszynę liczącą pascalinę, by pomóc swemu ojcu, poborcy podatkowemu. Wybudował w 166 roku pierwszą linię komunikacji miejskiej, po której kursował omnibus projektu Blaise Pascala. 3.3 Blaise Pascal Poświęcił się początkowo studiom matematycznym i fizycznym (pierwszy uŝył barometru do oznaczenia wzniesienia nad poziom morza). W roku 1640 rodzina Pascalów przeniosła się do Rouen, gdzie Blaise pomagał swemu ojcu w prowadzeniu księgowości. Wskutek nieszczęśliwego wypadku, którego padł ofiarą na moście Neuilly, skierował swój umysł w stronę zagadnień filozoficzno religijnych. W roku 1656 zerwał z paryskim Ŝyciem towarzyskim i osiedlił się w pobliŝu Port Royal, zbliŝył się do jansenistów i oddał studiom religijno filozoficznym. Zaczął utrzymywać bliskie kontakty z klasztorem Port Royal w ParyŜu, jednym z największych centrów jansenizmu. Zmarł wyczerpany chorobami w ParyŜu. 3 Na podstawie: i 1

13 BIOGRAFIE 4. Reynolds 4 Osborne Reynolds (urodzony 3 sierpnia 184 w Belfaście (Irlandia) zmarł 1 lutego 191 w Watchet, w hrabstwie Somerset (Anglia), irlandzki inŝynier. Naukę rozpoczął w szkole w Collegiate Schooll, gdzie jego ojciec był dyrektorem. Odbywał praktykę w firmie Edward Hayes w Studiował matematykę na Uniwersytecie w Cambridge, którą ukończył w W 1868 został (pierwszym w Manchesterze, a drugim w Anglii) profesorem inŝynierii na Uniwersytecie w Manchesterze (wtedy Owen's College). Od 1877 członek Royal Society, a 11 lat później zdobył Royal Medal. W 1884 został mu nadany stopień honorowy na Uniwersytecie w Glasgow. Od 1873 zajął się głównie dynamiką płynów, która wtedy była witalna dla światowej nauki Osborne Reynolds Zasłynął swoimi pracami z dziedziny hydrodynamiki, zwłaszcza dotyczącymi podobieństwa dynamicznego przepływów płynów w przewodach oraz teorii smarowania. W 1883 podał warunek przejścia przepływu laminarnego w przepływ turbulentny. Sformułował prawo które mówi, Ŝe dwa zjawiska są podobne jeŝeli obliczona dla nich liczba (Liczba Reynoldsa) jest taka sama. Prawo to jest do dziś stosowane w inŝynierii. Na początku roku 1900 stan jego zdrowia, zarówno fizycznego jak i psychicznego zaczął się pogarszać. Reynolds zaczął wycofywać się z Ŝycia zawodowego, by ostatecznie porzucić je w Na podstawie i 13

14 BIOGRAFIE 5. Stokes 5 Sir George Gabriel Stokes, 1st Baronet (ur. 13 sierpnia 1819, zm. 1 lutego 1903) irlandzki matematyk i fizyk, powiązany z Uniwersytetem Cambridge, syn Clergymana, rektora Skreen w hrabstwie Sligo, w Irlandii, pochodził z angielskiej, od dawna oddanej studiom naukowym, rodziny. Od roku 1849 zajmował w Cambridge katedrę matematyki, tzw. Lucasian Chair, opromienioną blaskiem imienia Newtona. Prosty i skromny, spokojny i opanowany, przysłowiowo małomówny, w sobie zamknięty, skupiony, Stokes był wzorem badacza, myśliciela i mędrca. Członek Royal Society (od 1851). Był równieŝ prezesem Instytutu Victoria od 1886 aŝ do śmierci w 1903 roku. Prace nad hydrodynamiką, nad teorią spręŝystości, zwłaszcza nad optyką zapisały imię Stokesa w dziejach fizyki w XIX stuleciu. Około roku 1850 Stokes rozumiał juŝ jasno zasady spektralnej analizy; lordowi Kelvin (z którym przez długie lata Ŝył w niezamąconej przyjaźni) doniósł o wielkim odkryciu; lecz będąc badaczem nadzwyczajnie oględnym, ostroŝnym, rozwaŝnym, nie chciał zawiadomić o nim publicznie; aŝ wreszcie w roku 1859 Kirchhoff i Bunsen ogłosili światu o wspaniałym postępie, niezrównanym w następstwach. W 1854 Stokes teoretycznie wyjaśnił linie Fraunhofera w widmie słonecznym. Autor znaczących prac z dziedziny fizyki matematycznej (twiedzenie Stokesa), hydrodynamiki (prawo Stokesa) i optyki (reguła Stokesa) Sir George Gabriel Stokes Stokes był zaangaŝowany w kilka dochodzeń w sprawie wypadków kolejowych, zwłaszcza w katastrofie mostu Dee, w maju 1847, oraz pełnił funkcję członka Royal do wykorzystania Ŝeliwa w kolejnictwie. Brał udział w charakterze biegłego w sprawie klęski Tay Bridge (8 grudnia 1879), gdzie udowodnił wpływ wiatru na most (sekcja środkowa została całkowicie zniszczona podczas burzy, co spowodowało śmierć 75 osób). Dzięki temu został członkiem Komisji Królewskiej ds. skutków wpływu wiatru na budowle (w tym czasie skutki wiatrów były zaniedbywane przy projektowaniu). 5 Za i 14

15 Rozdział 4 HYDROSTATYKA 1. Gęstość Gęstość jest wielkością słuŝącą do porównywania róŝnych materiałów. Wiadomo, Ŝe ołów jest cięŝszy aluminium, Ŝe styropian jest bardzo lekki, a rtęć cięŝka. Aby jednak powiedzieć dokładnie jak cięŝki, trzeba podać jego gęstość. W przypadku ciał stałych jest to stosunek masy do objętości. Matematycznie wygląda to tak: ρ m V kg m [ ρ] = = 3 W przypadku cieczy i gazów, które nie mają określonego kształtu, gęstość zaleŝy od punktu substancji i określana wówczas jest jako granica stosunku masy do objętości, gdy objętość obejmuje coraz mniejsze objętości obejmujące punkt: ρ = dm dv Gęstość ciał stałych moŝna wyznaczyć przez waŝenie próbek o znanej objętości, przy wyznaczaniu gęstości cieczy stosuje się areometry. Przy wyznaczaniu gęstości gazów stosuje się metody waŝenia naczyń z gazem o róŝnym ciśnieniu gazu. Areometr przyrząd słuŝący do wyznaczania gęstości cieczy. Areometr po zanurzeniu w cieczy pływa po jej powierzchni w pozycji pionowej (dzięki obciąŝeniu np. ołowianymi kulkami). Głębokość, na jaką się zanurza dolna część areometru wynika z róŝnicy między cięŝarem areometru a cięŝarem wypartej przez areometr cieczy. Znając masę i objętość areometru, na podstawie głębokości, na jaką się zanurzył i w oparciu o prawo Archimedesa moŝna w przybliŝeniu obliczyć gęstość analizowanej cieczy Areometr 15

16 Gęstość większości substancji zmniejsza się wraz ze wzrostem temperatury (jednym z wyjątków jest woda w temperaturze poniŝej 4 C). Zjawisko to wynika z rozszerzalności cieplnej ciał. Podczas przemian fazowych gęstość zmienia się skokowo (w temperaturze przemiany), podczas krzepnięcia zazwyczaj wzrasta (najbardziej znanymi wyjątkami są woda, Ŝeliwo, a z pierwiastków bizmut, gal i german). Gęstość wody w róŝnych temperaturach; temp<0 odnosi się do superschłodzonej wody (bez obecności zanieczyszczeń, wodę moŝna schłodzić poniŝej 0, bez krystalizacji) Gęstość powietrza w róŝnych temperaturach (przy ciśnieniu 1 atmosfery) 16

17 Gęstość róŝnych cieczy w temperaturze pokojowej Ciecz ρ [kg/m 3 ] w 0 C aceton 790 alkohol etylowy 790 alkohol metylowy 790 benzen 880 benzyna 700 eter etylowy 716 krew ludzka 1050 kwas azotowy 1410 kwas octowy 1050 kwas siarkowy 1840 kwas solny 1190 mleko 1030 nafta 810 oliwa 90 olej rycynowy 950 rtęć toluen 870 Gęstość róŝnych gazów w temperaturze pokojowej Gaz ρ [kg/m 3 ] w 0 0 C acetylen 1,16 amoniak 0,76 argon 1,780 azot 1,5 butan,703 chlor 3,1 chlorowodór 1,64 deuter 0,188 dwutlenek azotu,05 dwutlenek siarki,83 dwutlenek węgla 1,96 etan 1,3 fluor 1,69 hel 0,178 metan 0,71 powietrze 1,9 propan,019 siarkowodór 1,59 tlen 1,43 tlenek węgla 1,5 wodór 0,

18 HYDROSTATYKA. Ciśnienie Ciśnienie płynu (określenie dla cieczy i gazów) moŝna scharakteryzować wielkością sił działających na siebie poszczególnych warstw płynu lub na stykające się z nimi ciała (np. ścianki naczynia). JeŜeli rozdzielimy objętość płynu płaszczyzną, to dwie części oddziałują na siebie określonymi siłami (tzw. siły parcia). I właśnie stosunek siły parcia na dowolną powierzchnię w płynie do wielkości tej powierzchni nazywamy ciśnieniem. Stosunek ten ilościowo określa wzór: p F S N Pa = m = Jednostką ciśnienia jest paskal (Pa) siła 1 niutona wywierana na powierzchnię 1m. Ciśnienie hydrostatyczne (dla powietrza aerostatyczne) to ciśnienie wywierane przez ciecz na dno naczynia p ρgh = gdzie ρ to gęstość cieczy m v kg 3 m, h wysokość słupa cieczy Patrząc na powyŝszy wzór moŝna dojść do ciekawego wniosku. Ciśnienie na dnie naczynia nie zaleŝy od kształtu naczynia, a jedynie od wysokości słupa cieczy (im większe zanurzenie, tym większe ciśnienie). Jest to tzw. paradoks hydrostatyczny. 4.a 4.b 4.a) Doświadczenie Pascala pokazujące jak niewielka ilość cieczy, ale za to "wysoka" potrafi rozsadzić beczkę. 4.b) Paradoks hydrostatyczny ciśnienie na dnie w kaŝdym naczyniu jest takie samo. 18

19 Im wyŝszy słup płynu, typ większy nacisk. Np. na Ziemi ciśnienie w wodzie (ciśnienie hydrostatyczne) zwiększa się co 10 m o jedną atmosferę. Inny wniosek z tego faktu wynikający to fakt, Ŝe cięŝar słupa powietrza nad nami jest równy cięŝarowi słupa wody o wysokości 10m (a jest to nie byle co, bo 10 ton wody na kaŝdy metr kwadratowy!). A wewnątrz ciała musimy wytworzyć takie samo ciśnienie by móc normalnie funkcjonować! Na podstawie średniej wielkości ciśnienia atmosferycznego na Ziemi na poziomie morza wprowadzono jednostkę ciśnienia atmosferę równą 1013,5 hpa. Ciśnienie na wysokości 0 n.p.m., p(0), wynosi ok Pa (10135 Pa), stąd dla wysokości h otrzymamy: p p(0) h Przykładowo, ciśnienie na wierzchołku Mount Everest (8848 m n.p.m.) wynosi ok. 80 hpa, czyli jest w przybliŝeniu 3,5 razy mniejsze niŝ na poziomie morza. Natomiast połowa ciśnienia z poziomu morza, czyli 500 hpa, występuje na wysokości ok m n.p.m. Ciśnienie rzeczywiste przeliczone do wysokości poziomu morza nazywa się ciśnieniem znormalizowanym. Polskie rekordy ciśnienia: 1054 hpa 16 grudnia 1997, 1051,1 hpa stycznia 006 roku, 1050 hpa 3 stycznia 1993 roku, 1048 hpa 10 grudnia 1991 roku. NajniŜsze zaś (965, hpa) notowano 6 lutego 1989 w Szczecinie i Łodzi, w Białymstoku 1 marca 008 roku 96 hpa. JeŜeli chodzi o rekordy globalne to najwyŝsze zarejestrowano 19 grudnia roku 001 w miejscowości Tosontsengel w Mongolii wyniosło wtedy 1086 hpa. Natomiast najniŝsze znormalizowane ciśnienie atmosferyczne, wynoszące 870 hpa, spowodowane przejściem tajfunu Tip, zarejestrowano 1 października roku 1979 na Północnym Pacyfiku. Dla Oceanu Atlantyckiego rekord padł 19 października 005 roku. W oku huraganu Wilma, który potem spustoszył Florydę, zanotowano ciśnienie 88 hpa. 19

20 HYDROSTATYKA 3. Prawo Pascala Prawo Pascala (patrz 3.3) moŝna sformułować następująco: Ciśnienie zewnętrzne wywierane na płyn (ciecz lub gaz) jest przenoszone wewnątrz płynu we wszystkich kierunkach jednakowo Prawo Pascala Jest to wersja stara; w nowej wersji naleŝy jeszcze uwzględnić siłę grawitacji. Naturalne jest, Ŝe na płyn w dolnej części działa większe ciśnienie, bo naleŝy dodać ciśnienie wywierane przez ciecz nad miejscem pomiaru właściwego ciśnienia. Ciśnienie w płynie na tym samym poziomie jest jednakowe. RóŜnicę ciśnień między dwiema wysokościami opisuje wzór p p = ρ g( h 1) 1 h gdzie ρ to gęstość płynu, g to przyspieszenie ziemskie, a h 1, h to wysokości. Intuicyjna interpretacja tej prawidłowości to: ciśnienie na danej głębokości wywołuje cięŝar słupa płynu o jednostkowym przekroju, który jest nad danym punktem. Czyli np. w szklance wody, ciśnienie nie jest jednakowe wszędzie. Wysokość wody podzielimy na cienkie poziome warstwy, to w takiej warstwie ciśnienie jest jednakowe. PoniŜej jest większe, a powyŝej mniejsze. Jakie zastosowania ma prawo Pascala? Mamy z nim do czynienia nawet tego nie wiedząc. Gdy dmuchamy materac lub dętkę w rowerze, gdy naciskamy pedał hamulca w samochodzie. Odrębna grupą są zastosowania czysto techniczne prasy i podnośniki hydrauliczne, młot pneumatyczny. 0

21 Schemat działania prasy hydraulicznej. Mały tłok zostaje naciśnięty z małą siłą, a na drugim końcu mamy odpowiedź duŝego tłoka siła jest większa o tyle, ile razy większa jest powierzchnia S wyj od S wej Schemat działania prasy hydraulicznej F wyj = S S wyj wej F wej 1

22 HYDROSTATYKA 4. Prawo Archimedesa Eureka (gr. heureka znalazłem), z tym słowem nierozłącznie kojarzy się prawo Archimedesa: Na ciało zanurzone w cieczy działa siła wyporu, skierowana do góru i równa co do wartości cieczy wypartej przez to ciało. Według legendy Król Syrakuz zwrócił się do Archimedesa (parz 3.1), aby ten zbadał, czy korona, którą wykonał dla Hierona II pewien złotnik, zawiera tylko złoto, czy jest to jedynie pozłacane srebro. Archimedes długo nad tym rozmyślał, aŝ wreszcie pewnego razu w czasie kąpieli w wannie poczuł jak w miarę zanurzania się w wodzie cięŝar jego ciała się zmniejsza. Oszołomiony swoim odkryciem, wyskoczył z wanny i z okrzykiem Eureka! nago wybiegł na ulicę i udał się do króla. Po otrzymaniu odpowiedniej wartości dla cięŝaru właściwego korony Archimedes porównał ją z cięŝarem właściwym czystego złota. Wyprowadzanie wzoru na siłę wyporu Na boczne ścianki działają siły, które się równowaŝą, a na dna cylindra siły proporcjonalne do głębokości Sp1 = S( p0 + ρgh1) siła działająca na górne dno, Sp ( ) = S p0 + ρgh siła działająca na dolne dno. Siła wypadkowa W = ( p + ρ gh )S ( p + ρgh )S = ρ gv, gdzie V = S h h ) objętość. ( Proste wyprowadzenie wzoru na siłę wyporu Wynika stąd Ŝe siła wypierająca jest równa cięŝarowi cieczy wypartej i nie zaleŝy od kształtu.

23 Siłę wyporu da się zatem zapisać wzorem F = ρ g V, wyporu plynu zanurzona ρ płynu gęstość płynu (cieczy, gazu) w którym zanurzone jest ciało [w układzie SI w kg/m 3 ], V zanurzona objętość tej części ciała, która jest zanurzona w płynie (w układzie SI w m 3 ), g przyspieszenie ziemskie [w układzie SI w m/s ] Pływanie ciał Na ciało zanurzone działa siła wyporu F w = ρ g V i siła cięŝkości Q=ρgV. c Ich róŝnica to siła wypadkowa R F Q = Vg( ρ ρ). = w c MoŜliwe są 3 przypadki: I. ρ>ρ c ciało gęstsze niŝ ciecz R<0 ciało tonie, II. III. ρ=ρ c R=0 ciało w równowadze z cieczą na dowolnej głębokości. ρ<ρ c ciecz gęstsza niŝ ciało R>0 ciało pływa częś ciowo zanurzone. Ilustruje to rysunek poniŝej Pływanie ciał. 3

24 Czasami da się zaobserwować, Ŝe ciało tańczy po powierzchni wody. Dzieje się tak dlatego, Ŝe punkty przyłoŝenia F w i Q nie są w tym samym miejscu. Gdy Q jest powyŝej F w, to takie ciało moŝe się przechylić aby znaleźć połoŝenie równowagi. Dzieje się tak gdy ciało jest niejednorodne, bo punkt przyłoŝenia Q jest w środku cięŝkości ciała, a niejednorodność środek ten "przesuwa". Prawo Archimedesa wykorzystuje się przy budowie statków, łodzi podwodnych (te mają moŝliwość regulowania siły wyporu), ale teŝ balonów na hel, wodór lub gorące powietrze (które mają mniejszą gęstość niŝ powietrze otaczające balon) i baniek mydlanych. Ryby mają pęcherz pławny, który umoŝliwia im pływanie na róŝnych głębokościach Balony na Morze Martwe Pęcherz pławny ryb rozgrzane powietrze 4

25 HYDROSTATYKA 5. Napięcie powierzchniowe Napięcie powierzchniowe zjawisko fizyczne występujące na styku powierzchni cieczy z ciałem stałym, gazowym lub inną cieczą. Polega na powstawaniu dodatkowych sił działających na powierzchnię cieczy w sposób kurczący ją (dla powierzchni wypukłej przyciągający do wnętrza cieczy, dla wklęsłej odwrotnie). Zjawisko to ma swoje źródło w siłach przyciągania pomiędzy molekułami cieczy. Występuje ono zawsze na granicy faz termodynamicznych, dlatego zwane jest teŝ napięciem międzyfazowym. Jest to naturalna skłonność powierzchni do kurczenia się spowodowana siłami wciągającymi cząsteczki powierzchniowe do wnętrza. W wyniku działania napięcia powierzchniowego wszędzie, gdzie powierzchnia jest zakrzywiona, ciśnienie po stronie wklęsłości jest większe niŝ po stronie wypukłości. Ilościowo napięcie powierzchniowe jest równe pracy potrzebnej do powiększenia powierzchni o 1 m, co moŝna wyrazić wzorem: W A J m γ =, gdzie: γ napięcie powierzchniowe, W praca potrzebna do utworzenia powierzchni A. Zgodnie z ogólnym prawem przyrody kaŝdy układ cząsteczek dąŝy do znalezienia się w stanie o minimalnej energii. Skoro energia cząsteczek przy powierzchni jest duŝa to w nieobecności sił zewnętrznych ciecz dąŝy do przybrania takiego kształtu, dla którego przy określonej objętości powierzchnia jest jak najmniejsza. Z geometrii wiadomo, Ŝe taki kształt ma kula. Dlatego krople deszczu mają kształt kulisty i w stanie niewaŝkości kaŝda ciecz przyjmuje kształt kuli. UmoŜliwia to takŝe powstawanie baniek mydlanych. Gdy ciecz jest w naczyniu, w pobliŝu ścianek oprócz sił spójności działają siły oddziaływania między cząsteczkami cieczy i cząsteczkami ciała stałego nazwane siłami przylegania. JeŜeli siły spójności są większe niŝ siły przylegania, to tworzy się menisk wklęsły, jak w przypadku wylanej rtęci. MoŜna to równieŝ zaobserwować jeśli naczynie szklane natłuścimy i wlejemy wodę, bowiem siły przylegania między cząsteczkami wody i tłuszczu są znacznie mniejsze od sił spójności między cząsteczkami wody. W przeciwnym razie (siły spójności < siły przylegania) powstaje menisk wypukły Menisk wklęsły Menisk wypukły 5

26 Własność tą wykorzystują kaczki i inne ptaki wodne. Pióra są nasiąknięte tłuszczem i woda nie dostaje się pomiędzy pióra. Podobnie woda nie moŝe zwilŝać owadów wodnych ślizgających się po powierzchni stawów, więc pokryte są substancją, której siły przylegania z wodą są małe. Parasole i ubrania przeciwdeszczowe wykonujemy z takich materiałów aby woda spływała. Z tego powodu pastujemy buty. Substancje zmniejszające napięcie powierzchniowe zwane są detergentami. Dzięki temu moŝemy tworzyć bańki mydlane a takŝe prać ubrania, bo wtedy woda moŝe wnikać głębiej w materiał. Jak powstają bańki mydlane? Skoro bańki mydlane tworzymy z detergentów, a wiadomo Ŝe detergenty obniŝają napięcie powierzchniowe, to dlaczego bańki się nie rozpadają? Zwykle woda chce przybrać formę kropli. Detergenty umoŝliwiają wodzie rozciągnięcie się. Napięcie powierzchniowe nie znika jednak zupełnie. Zostaje go na tyle, Ŝe tęczowa bańka moŝe powstać Bańka mydlana No właśnie dlaczego tęczowa? Bańka to naprawdę dwie warstwy rozdzielone wodą. Kolor to obraz interferencyjny, który powstaje z nakładania się fal. Część zwykłego białego światła padającego na bańkę przechodzi przez nią, część odbija się od zewnętrznej, a część od jej wewnętrznej powierzchni. Wiązka światła odbita od wewnętrznej części ścianki nakłada się na wiązkę światła odbitą od ścianki zewnętrznej i powstaje barwny obraz, zaleŝny od grubości bańki. Bańka z czasem staje się coraz mniejsza, poniewaŝ wyparowuje z niej woda, wówczas barwne plamy zmieniają się i stają mniej wyraźne Dyfrakcja światła na bańce mydlanej 6

27 Napięcia powierzchniowe róŝnych substancji Ciecz nap. pow. [mn/m ] Eter dietylowy 17,0 Alkohol etylowy,3 Alkohol metylowy,6 Aceton 3,7 Czterochlorek węgla 6,9 Toluen 8,4 Benzen 8,9 Olej rycynowy 36,0 Nitrobenzen 41,8 Anilina 4,9 Gliceryna 63,4 Woda destylowana 7,75 Szkło sodowo wapniowe (1000 o C) 300,0 Rtęć 475,0 ZaleŜność od temperatury Napięcie powierzchniowe silnie zaleŝy od temperatury cieczy zmniejszając się wraz ze wzrostem temperatury i ginąc (osiągając zero) w temperaturze krytycznej lub kilka stopni poniŝej niej. Istnieją wzory określające zaleŝność napięcia powierzchniowego od temperatury: 3 γ V = k( T T ), C gdzie V to objętość molowa substancji, T C to temperatura krytyczna, k współczynnik zaleŝny od substancji (dla wody k = 1.03 erg/ C, V= 18 ml/mol a T C = 374 C). Ciśnienie wytarzane prze napięcie powierzchniowe Zakrzywiona powierzchnia cieczy wytwarza ciśnienie określone wzorem zwanym wzorem Laplace'a da P = γ dv gdzie da zmiana powierzchni cieczy, wywołana dv zmianą objętości. da dv Dla płaskiej powierzchni = 0. Dla kuli lub sfery (np. kropla deszczu) P I = γ P +. 0 R Dla bańki mydlanej zamiast naleŝy wstawić 4, gdyŝ bańka ma dwie warstwy. 7

28 HYDROSTATYKA 6. Włoskowatość, zjawisko kapilarne Zjawisko włoskowatości zachodzi tylko i wyłącznie w kapilarach. Kapilara (łac. capillus włos) to cienka rurka, której średnica jest tak mała, Ŝe ciecz w niej jest całkowicie w polu oddziaływania sił przylegania. Wytworzone jest ciśnienie powierzchniowe które unosi ciecz powyŝej poziomu cieczy swobodnej na zewnątrz (rys A). Na rys B jest sytuacja gdy kapilara jest posmarowana tłuszczem wtedy sytuacja jest odwrotna. rys B rys B 4.6a,b Zjawisko włoskowate Zjawiska włoskowate często spotykamy w przyrodzie. Występowanie ich tłumaczy higroskopijność szeregu ciał, tzn. ich zdolność do pochłaniania wilgoci. Substancją higroskopijna jest wata, tkaniny, gleba, beton. Te substancje składają się z mikroskopijnych naczyń i są one zwilŝane przez wodę, czyli siły przylegania są większe niŝ spójności. Higroskopijność betonu musi być uwzględniona w praktyce budowlanej. Pomiędzy fundament budynku i ściany wkłada się warstwę papy, smoły czy teŝ jakiejkolwiek innej substancji, która zapobiega przenikaniu wilgoci poprzez ściany do mieszkań. Zjawisko włoskowatości jest podstawą Ŝycia na naszej planecie. Dzięki niemu rośliny są w stanie pobierać wodę z gleby i transportować ją do górnych partii. Naczynia włoskowate w organizmach Ŝywych mogą dzięki temu transportować krew nawet do najdalszych komórek. Spotkać je moŝna takŝe w pieluchach (hasło ekstra chłonne jest jak najbardziej prawdziwe właśnie dzięki kapilarnej strukturze), ubraniach z tzw. goretexu, a nawet w świecach (knot zasysa płynny wosk z dolnych partii świecy). 8

29 Rozdział 5 HYDRODYNAMIKA 1. Przepływy Ruch płynów nazywamy przepływem, a uporządkowany ruch cząstek płynów poruszających się w jednym kierunku nazywamy strumieniem (strugą). Przepływy dzielą się na 3 kategorie: ustalony jeŝeli w danym punkcie prędkość przepływu nie zaleŝy od czasu (dla małych prędkości), laminarny jeŝeli płynącą ciecz da się podzielić na warstwy i w kaŝdej warstwie ciecz ma stałą prędkość, turbulentny występuje mieszanie się warstw. a) przepływ ustalony b) przepływ laminarny c) przepływ turbulentny prędkość w warstwach jest taka sama 5.1a,b,c Przepływy Oczywiście to nie są jedyne kryteria podziału. Biorąc pod uwagę inne własności, moŝna wyróŝnić inne koncepcje, kilka z nich jest omówionych poniŝej. Przepływ moŝe być wirowy lub bezwirowy. Przepływ jest wirowy jeśli w jakimś punkcie przestrzeni element płynu ma niezerową wypadkową prędkość kątową. Dla ilustracji tych pojęć wyobraźmy sobie kółko z łopatkami zanurzone w poruszającym się płynie. Jeśli kółko nie obraca się podczas ruchu mamy do czynienia z przepływem bezwirowym. 9

30 Przepływ moŝe być ściśliwy lub nieściśliwy. Jeśli moŝna przyjąć, Ŝe gęstość płynu jest stała, niezaleŝna od czasu i współrzędnych przestrzennych, wówczas mówimy o przepływie nieściśliwym. Zazwyczaj przyjmuje się, Ŝe przepływ cieczy jest nieściśliwy, a gazów ściśliwy. Przepływ moŝe być lepki lub nielepki. Lepkość jest odpowiednikiem tarcia w ruchu ciał stałych, dlatego nazywa się ją takŝe tarciem wewnętrznym. Powodowana jest przez siły styczne działające pomiędzy warstwami cieczy przesuwającymi się względem siebie. Lepkość powoduje stopniowe rozpraszanie (dyssypację) energii mechanicznej w ośrodku. W niektórych zagadnieniach (np. związanych ze smarowaniem) lepkość odgrywa bardzo istotna rolę, jednak czasem moŝna zaniedbać opory ruchu związane z lepkością, mówimy wówczas o przepływie nielepkim. Najpopularniejszym a zarazem najbardziej wzgardzanym (tzw. sucha woda) jest podział na ustalony, laminarny i turbulentny. Jakie jest kryterium podziału? O tym w rozdziale 3. 30

31 HYDRODYNAMIKA. Lepkość Lepkość najprościej rzecz ujmując, jest to tarcie wewnętrzne występujące w gazach i cieczach, które stawia opór płynięciu. Występuje między warstwami płynu o róŝnych prędkościach, a nie na granicy płyn naczynie. Gdy dwie warstwy mają róŝne prędkości, to wolniejsza warstwa zostaje przyspieszona, a ta o większej prędkości zostaje zwolniona (następuje przekazywanie pędu). Na granicy powstają siły ścinające prostopadłe do powierzchni stykających się. Taki model warstwowy działa tylko właśnie przy warstwach, ale przy turbulencjach zawodzi. Lepkość podzielić moŝna na kategorie, z czego ta druga jest bardzo rzadko uŝywana: lepkość dynamiczna stosunek napręŝeń ścinających do prędkości ścinania τ kg µ = [ µ ] = Pa s = γ m s W układzie SI jednostką jest paskal * sekunda Pa*s W układzie CGS jednostką lepkości dynamicznej jest puaz (P) dyn s g 1 P = 1 = 1, cm cm s 1 Pa s = 10 P. lepkość kinetyczna lepkość dynamiczna do gęstości cieczy w danej temperaturze µ m υ =, [ υ] =. ρ s Współczynnik lepkości dynamicznej dla rozrzedzonych gazów doskonałych jest proporcjonalny do pierwiastka z temperatury (nie zaleŝy od ciśnienia), dla cieczy współczynnik ten jest odwrotnie proporcjonalny do temperatury, a rośnie wraz ze wzrostem ciśnienia. 31

32 Tabela przedstawiająca lepkość róŝnych substancji, przy róŝnych temperaturach. Jak widać wzrost temperatury to obniŝenie lepkości. Wynika to stąd Ŝe wzrasta ruchliwość cząsteczek, a tym samym maleje przyciąganie międzycząsteczkowe. 3

33 HYDRODYNAMIKA 3. Liczba Reynoldsa OtóŜ by rozróŝnić z jakim przypadkiem mamy do czynienia, naleŝy wyznaczyć dla danej cieczy jej tzw. liczbę Reynoldsa (patrz 3.4), którą zaproponował irlandzki inŝynier w XIX w. Osborne Reynolds rozwaŝał jaka jest siła oporu F ośrodka ciągłego o lepkości µ i gęstości ρ na poruszającą się w nim kulę o promieniu r i prędkości v. Wziął pod uwagę następujące wielkości oraz ich wymiary: N s kg kg m [ µ ] = =, [ ρ] =, [ r] = m, [ v ] =. 3 m m s m s Chciał z tych parametrów otrzymać wielkość bezwymiarową. Najpierw podzielił lepkość przez gęstość, potem prędkość przez to co otzrymał, a na koniec wynik pomnoŝył przez r. W rezultacie otrzymał liczbę bezwymiarową Re = ρvr µ ZauwaŜmy, Ŝe ostatni wzór moŝna wyprowadzić posługując się analizą wymiarową zapisując wyraŝenie na liczbę Reynoldsa w postaci a b c d Re ρ v r µ. = Znając wymiary wielkości stojących po prawej stronie ostatniego wyraŝenia oraz Ŝądając aby było ono bezwymiarowe otrzymujemy 33 [/] a b d kg m c kg Re = ( m). 3 m s m s Warunek bezwymiarowości prowadzi do układu czterech równań algebraicznych na trzy niewiadome, którymi są nieznane wartości wykładników a, b, c, d, a + d = 0, 3a + b + c d = 0, b d = 0, z którego otrzymujemy równości a = c = b = d. Najprostszym z moŝliwych rozwiązań jest przyjęcie wartości jeden dla wykładnika a, co prowadzi do poprawnego wzoru na liczbę Reynoldsa. kg m [N] = s Szukana siła oporu (wymiar prędkości, promienia i bezwymiarowej liczby Reynoldsa powinna mieć postać. ) będąca z załoŝenia iloczynem gęstości płynu,

34 a b c F = Re ρ v r. oporu MoŜemy zastosować elementarną analizę wymiarową Ŝądając, aby obie strony ostatniej równości miały takie same jednostki (a tym samym wymiary), co prowadzi do warunku z którego wynika układ równań kg m kg m N = = 3 s m s a = 1, b =, 3a + b + c = 1. Rozwiązanie jest tym razem jednoznacznie określone i ma postać a = 1, b =, c =. Tak więc F oporu jest kombinacją ρv r i liczby Reynoldsa. a b ( m) Jak w praktyce stosować liczbę Rynoldsa? OtóŜ są wartości Re, powyŝej których przepływ z laminarnego staje się turbulentnym. Nie jest to jednak kryterium uniwersalne. Dla róŝnych cieczy i przekrojów rur liczby graniczne są róŝne, nie mniej jednak dla podobnych warunków jest to bardzo uŝyteczne narzędzie. Ogólnie przyjmuje się, Ŝe dla Re<100 przepływ jest laminarny; przy Re>3000 przepływ jest turbulentny. Nie jest to doskonały sposób określania turbulentności, ale jak dotąd nie wymyślono niczego lepszego. c, ZaleŜność liczby Reynoldsa od przekroju (1cal=5,4 mm) i wielkości przepływającej wody w litrach i galonach (1 galon = 3,79 litra) na minutę. 34

35 HYDRODYNAMIKA 4. Prawo Stokesa Odkryte w 1851 r. przez Sir George'a Stokesa (patrz 3.5), odnosi się do ciała poruszającego się w płynie i określa wartość siły oporu działającej na ruchomą kulę, gdy opływ jest laminarny Drugi wzór to uogólniona wersja pierwszego. Wg obliczeń teoretycznych dla kuli const = 6π. Wzór ten jest prawdziwy dla małych wartości (około 10) liczby Reynoldsa. Kulka o gęstości większej od gęstości cieczy wrzucona do tej cieczy porusza się w niej ruchem przyspieszonym, aŝ osiągnie stałą prędkość graniczną, kiedy to siła oporu ośrodka F osiągnie wartość równą sile cięŝkości kulki zmniejszonej o siłę wyporu. Wzór na prędkość graniczną jest następujący: ( ρ ρ P f ) r g - V =, S 9 η V s prędkość graniczna, g przyspieszenie ziemskie, ρ p gęstość kulki, ρ f gęstość płynu. Dla kulki spadającej w powietrzu, jego gęstość moŝna pominąć (wynosi około 1, kg/m 3 ) i wzór przyjmuje postać V S = 9 r g η ρ P Wzór ten jest prawdziwy dla kropel deszczu o średnicy poniŝej 0,3 mm. Dla większych występują za duŝe zaburzenia przepływu powietrza wokół kropli i stosuje się wzory aproksymujące dane eksperymentalne lub wynikające z rozwiązania pełnego równania Naviera Stokesa Turbulencje wokół kropli 35

36 HYDRODYNAMIKA 5. Równanie ciągłości Wyobraźmy sobie stacjonarny przepływ strugi cieczy, który rozdzielimy dwoma płaszczyznami 1 i prostopadłymi do płaszczyzny prędkości V1 i V. Przekroje strug wynoszą odpowiednie S1 i S Wyprowadzanie równania ciągłości JeŜeli ciecz jest nieściśliwa, to przez obie te powierzchnie powinny przepłynąć w jednostce czasu te same masy (objętości) cieczy, zatem v v 1 S v = S v lub = 1 1 S S 1 Otrzymany związek nosi nazwę równania ciągłości, z którego wynika, Ŝe prędkości cieczy w strudze są odwrotnie proporcjonalne do powierzchni przekrojów strugi. 36

37 HYDRODYNAMIKA 6. Równanie Bernoulliego W celu znalezienia ogólnych zaleŝności opisujących zachowanie płynącej cieczy, rozpatrzmy przepływ ustalony doskonałej cieczy, jak na rysunku poniŝej Wyprowadzanie równania Bernoulliego. Ciecz płynie od przekroju S 1 do S. Na górną powierzchnię działa siła parcia F 1 =p 1 S 1, a na dolną F =p S. W elementarnym przedziale czasu dt struga cieczy przemieści się w prawo powierzchnia S 1 o odcinek v 1 S 1 w połoŝenie S' 1, a powierzchnia S o odcinek v S w połoŝenie S'. Siły działające na ciecz w tym czasie wykonają pracę F v dt Fv dt = p S v dt p S v dt = ( p p )V, (1) gdzie V objętość rozpatrywanej cieczy. Parcie na ściany boczne równowaŝą się, więc moŝna je pominąć. Praca sił lepkości jest równa zero (bo jest to ciecz doskonała). Dlatego praca sił parcia na drodze od S 1 do S' 1 i od S do S' będzie równa zmianom energii kinetycznej i potencjalnej cieczy. Wynoszą one odpowiednio: gdzie h 1 i h to odpowiednie wysokości (rysunek). mv mv 1 + mgh + mgh, () 1 Porównując pracę (1) z przyrostem energii () otrzymujemy wyraŝenie mv mv 1 ( p p )V mgh = + mgh, (3) oraz równanie 37

38 mv mv 1 + mgh + pv = + mgh + p V. (4) 1 1 PoniewaŜ rozwaŝaliśmy dwa dowolne odcinki strugi cieczy, moŝemy równanie (4) uogólnić do postaci mv które jest równaniem Bernoulliego (patrz 3.). + mgh + pv = const, (5) Dzieląc je stronami przez V i wstawiając zamiast m/v gęstość cieczy ρ mamy jeszcze inną postać równania Bernoulliego ρv p + + ρgh = const (6) Na podstawie równań (5) i (6) moŝna słownie sformułować prawo Bernoulliego: Suma energii kinetycznej, potencjalnej i ciśnienia jednostki masy (lub jednostki objętości) ustalonego przepływu cieczy doskonałej jest wielkością stałą. To nie wszystko. Najczęściej mamy do czynienia z cieczą na jednej wysokości (kanalizacja, rzeki), więc człon ρgh moŝna pominąć (a dokładnie włączyć do const) i równanie przyjmuje jeszcze inną postać: v p + ρ = const = p (7) 0 p 0 ciśnienie statyczne, qv / ciśnienie dynamiczne. RozwaŜmy równanie (4), w którym pomijamy róŝne wysokości (co oznacza, Ŝe struga cieczy płynie poziomo). Wtedy mv1 p V = p V + 1 mv + (8) 38

39 PoniewaŜ obie strony są sobie równe, to zmniejszenie jednego parametru po lewej musi skutkować zwiększeniem innego parametru po prawej (oprócz masy oczywiście). Stąd da się wyciągnąć dwa wnioski: 1. Ciecz płynąc w rurze o zmieniającym się przekroju ma mniejsze ciśnienie na odcinku gdzie przekrój jest mniejszy Rurka Venturiego obrazująca prawo Bernoulliego Podana wyŝej własność cieczy była znana przed sformułowaniem równania przez Bernoullego (patrz 3.) i nie potrafiono jej wytłumaczyć. Stwierdzenie to kłóci się ze "zdrowym rozsądkiem" wielu ludzi i dlatego znane jest pod nazwą paradoksu hydrodynamicznego. Ten efekt obecny jest równieŝ w organizmach Ŝywych. Przejawia się pod postacią migotania tętnicy. Krew płynie przez tętnice, w stanie równowagi ciśnienie wewnątrz jak i na zewnątrz nich są takie same. Ale złogi cholesterolowe mogą powodować zmniejszenie średnicy tętnicy dostępnej do przepływu krwi. PoniewaŜ krew musi krąŝyć, to w tym miejscu zaczyna przyspieszać, a w rezultacie maleje ciśnienie wewnątrz takiej tętnicy. Zaczynają na nią napierać siły zewnętrzne, co jeszcze zmniejsza średnicę tętnicy. Dochodzi do chwilowego zatoru, a potem (wskutek ciśnienia krew cały czas napływa!) szybkiego rozszerzenia tejŝe tętnicy. Sytuacja powtarza się. Człowiek doznaje działania efektu migotania tętnicy. Gdy mamy do czynienia z drugorzędną tętnicą, to ryzyko jest małe, ale gdy jest to jedna z tętnic sercowych, grozi to atakiem serca. Dobry przykładem na zobrazowanie paradoksu hydrodynamicznego jest zwykły kran w domu. W początkowej fazie tuŝ przy kranie strumień wypływającej wody jest szeroki. Nieco poniŝej zauwaŝalnie zwęŝa się, bo woda opadając w dół przyspiesza Paradoks hydrodynamiczny większa prędkość przy takiej samej objętości skutkuje mniejszym przekrojem. 39

40 . Ciecz opływając ciało zanurzone w cieczy wywołuje mniejsze ciśnienie od strony gdzie droga przepływu jest dłuŝsza. Do tej kategorii na pewno trzeba zaliczyć zrywanie dachów podczas silnych wichur, wskutek róŝnicy ciśnień nad i w budynku (na rysunku widać, Ŝe dach jest wypychany za zewnątrz). MoŜna to zademonstrować uŝywając kartki z zeszytu. Wystarczy dmuchnąć na nią by się uniosła (patrz rysunek 1) Demonstracja prawa Beroulliego Zrywanie dachów wskutek róŝnicy ciśnień. 40

41 7. Efekt Magnusa HYDRODYNAMIKA Zgodnie z równaniem Bernoulliego wiemy, Ŝe przy większej prędkości ciśnienie maleje. Kiedy popatrzymy na obracającą się wokół osi poziomej piłkę w locie, to zobaczymy, Ŝe u góry piłki prędkość cząsteczek powietrza jest większa niŝ u dołu. Jest to wynik lepkości powietrza, która powoduje zwiększenie prędkości powietrza nad górna powierzchnią piłki (ruch obrotowy piłki przyczynia się do wzrostu prędkości opływu piłki przez cząsteczki powietrza; prędkość powietrza jest w przybliŝeniu sumą prędkości ruchu postępowego i obrotowego piłki, które się dodają; patrz rysunek). TakŜe lepkość jest przyczyną tego, Ŝe prędkość powietrza u dołu piłki jest mniejsza, poniewaŝ w przybliŝeniu jest ona wypadkową prędkości ruchu postępowego i obrotowego piłki, które się odejmują; patrz rysunek. Na podstawie wzoru (7) wnioskujemy, Ŝe ciśnienie w strumieniu opływającego powietrza z góry piłkę jest mniejsze od jej ciśnienia u dołu piłki. W efekcie pojawia się siła powodująca wznoszenie się piłki do góry. Jest to tzw. efekt Magnusa Efekt Magnusa Do samodzielnej analizy pozostawiamy przypadek, w którym piłka obraca się w kierunku przeciwnym do pokazanego na rysunku. Interesującym jest równieŝ lot i siły działające na piłkę (np. futbolową), która lecąc w powietrzu wiruje wokół osi pionowej (poprzednio wirowała wokół osi poziomej). Z takim zjawiskiem mamy do czynienie wówczas, gdy piłkarz uderza nogą w piłkę futbolową nadając jej ruch postępowo-obrotowy (noga nie uderza w piłkę centralnie). Piłka nie wykonuje wówczas lotu po krzywej balistycznej połoŝonej w jednej pionowej płaszczyźnie (tak, jak to obserwujemy przy rzucaniu w powietrzu kamieniem lub kulką metalową). Jeśli wyobrazimy sobie, Ŝe rysunek przedstawia widok z góry piłki futbolowej wirującej wokół osi pionowej (zgodnie z ruchem wskazówek zegara), to analogiczne rozumowanie do przeprowadzonego powyŝej, prowadzi do wniosku, Ŝe piłka zbacza w kierunku obszaru zaznaczonego na rysunku słowem podciśnienie. Jaki będzie lot piłki, która wirowałaby w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara? Zjawisko Magnusa odkryto w czasie prób celności pocisków armatnich wystrzeliwanych z gwintowanych luf nadających pociskom ruch wirowy. 41