HARMONOGRAMOWANIE PRZEDSIĘWZIĘĆ WIELOOBIEKTOWYCH Z CIĄGŁĄ REALIZACJĄ PROCESÓW NA DZIAŁKACH ROBOCZYCH

Transkrypt

1 ZESZYTY NAUKOWE WSOWL Nr 3 (57) 200 ISSN Sławomir BIRUK Piotr JAŚKOWSKI HARMONOGRAMOWANIE PRZEDSIĘWZIĘĆ WIELOOBIEKTOWYCH Z CIĄGŁĄ REALIZACJĄ PROCESÓW NA DZIAŁKACH ROBOCZYCH W artykule jest rozwaŝany problem zapewnienia ciągłości robót na frontach (działkach) roboczych przy projektowaniu realizacji przedsięwzięć wieloobiektowych. Szybka realizacja zadań na obiektach i równomierne wykorzystanie (czy zuŝycie zasobów) są moŝliwe do uzyskania dzięki zastosowaniu potokowych metod organizacji, stanowiących rozwinięcie klasycznej metody pracy równomiernej. Brygady realizujące poszczególne procesy realizują je na wydzielonych frontach roboczych. Kolejność realizacji niejednorodnych obiektów lub ich części ustalona w sposób jednakowy dla wszystkich wykonawców wpływa na czas realizacji przedsięwzięcia. Problem ustalenia optymalnej kolejności powierzania frontów robót brygadom zalicza się do klasy permutacyjnych problemów szeregowania zadań. W artykule przedstawiono sposoby modelowania dodatkowych ograniczeń charakterystycznych równieŝ dla działań w warunkach kryzysowych umoŝliwiające zastosowanie w harmonogramowaniu algorytmów opracowanych do rozwiązania problemu komiwojaŝera. Słowa kluczowe: szeregowanie zadań, harmonogramowanie, ciągłość realizacji robót na działkach roboczych, potokowe metody organizacji, przedsięwzięcia budowlane wieloobiektowe WPROWADZENIE Sporządzając harmonogram robót, moŝna stosować dwa podejścia: predyktywne zwane teŝ proaktywnym, w którym tworzy się harmonogram odporny na zakłócenia (ang. robust schedule), oraz reaktywne, które polega na aktualizacji harmonogram jako reakcji na wpływ zjawisk losowych. Sytuacje kryzysowe mogą powodować konieczność weryfikacji istniejących planów lub opracowywania nowych. Stosowane metody harmonogramowania, w odpowiedzi na pojawiające się zaburzenia, powinny dawać moŝliwość dostosowania planów do nowych warunków realizacyjnych. Zaktuali- dr inŝ. Sławomir BIRUK, dr inŝ. Piotr JAŚKOWSKI Wydział Budownictwa i Architektury Politechniki Lubelskiej

2 HARMONOGRAMOWANIE PRZEDSIĘWZIĘĆ WIELOOBIEKTOWYCH Z CIĄGŁĄ zowany harmonogram powinien spełniać pierwotne załoŝenia, jak np. ciągłość realizacji obiektów budowlanych, dotrzymanie terminu dyrektywnego. Obiekty, a takŝe ich części (działki robocze), w wielu przypadkach, mogą być wykonywane w dowolnej kolejności, np. budowa osiedla domków jednorodzinnych, rozbudowa sieci dróg czy prowadzenie prac remontowych lub realizacja zleceń dla róŝnych inwestorów. Problem ustalania optymalnej kolejności realizacji obiektów budowlanych dla róŝnych funkcji celu i ograniczeń był przedmiotem badań m.in. w Politechnice Wrocławskiej (J. Mrozowicz [20], Z. Hejducki [2] model macierzowy, sprzęŝenia czasowe, minimalizacja czasu) oraz w Wojskowej Akademii Technicznej (R. Marcinkowski [7] kryteria czasowo-kosztowe; róŝna kolejność zajmowania obiektów przez poszczególne brygady). Autorską metodę rozwiązania analizowanego problem bazującą na metodzie podziału i ograniczeń, przedstawił J. Mrozowicz [20], określając ciągłą realizację procesów na działkach roboczych mianem metody organizacji budowy z zerowymi sprzęŝeniami między frontami robót. Analiza dokonana przez M. Podolskiego [22] wskazuje na istotny związek zagadnień harmonogramowania robót budowlanych z teorią szeregowania zadań. Modeluje ona funkcjonowanie rzeczywistych systemów wytwarzania i produkcji przemysłowej. Problemy szeregowania zadań znajdują się w obszarze zagadnień poruszanych w ramach badań operacyjnych, optymalizacji dyskretnej, programowania kombinatorycznego. Analizowany problem w teorii szeregowania zadań jest określany mianem permutacyjnego problemu przepływowego z ograniczeniem no-wait (bez czekania). Do jego rozwiązania opracowano wiele specjalizowanych algorytmów dokładnych, wykorzystujących schemat podziału i ograniczeń oraz algorytmy heurystyczne i metaheurystyczne. Problem ten jest równieŝ rozwiązywany za pomocą algorytmów opracowanych dla zagadnienia komiwojaŝera [2]. Podejście to stanowiło podstawę dalszych badań budowy modelu zagadnienia ustalania minimalnego czasu realizacji przedsięwzięcia z uwzględnieniem dodatkowych warunków w postaci ustalonej kolejności dla wybranych obiektów czy działek oraz ograniczeń czasowych ciągłej realizacji procesów na działkach.. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU Przedsięwzięcie obejmuje realizację złoŝonego procesu budowlanego na n niejednorodnych działkach roboczych. ZłoŜony proces budowlany podzielono na procesy prostsze powierzane do wykonania brygadom roboczym (o niezmiennym składzie kwalifikacyjnym i liczebności) zajmującym w ustalonej kolejności poszczególne działki robocze (wydzielone fronty robót na obiektach). Pomiędzy wielkością działek a pracochłonnością robót na działkach roboczych (a tym samym czasami wykonania procesów na działkach roboczych) brakuje zaleŝności wprost proporcjonalnej lub jeŝeli taka zaleŝność istnieje jest ona róŝna dla poszczególnych procesów. Celem projektowania jest harmonogram z minimalnym cyklem realizacji przedsięwzięcia. Na czas realizacji wpływa kolejność zajmowania działek roboczych przez brygady, a takŝe czas realizacji poszczególnych procesów przez brygady. Szybka reali- 34

3 Sławomir BIRUK, Piotr JAŚKOWSKI zacja zadań na działkach roboczych wymaga maksymalnego stopnia wykorzystania dostępnych frontów robót. Liczebność poszczególnych brygad zgodnie z zasadami projektowania pracy równomiernej [4] naleŝy ustalać jako maksymalne tak, aby długości ich frontów pracy były równe długości frontów robót na działkach o najmniejszych pracochłonnościach. Na kaŝdej działce i ( i I, I = {, 2,..., n} j ( j J, J = {, 2,..., m} ) musi być zrealizowany ciąg procesów ) w tej samej, ustalonej kolejności technologicznej. Czas wykonania robót przez brygadę j na działce i wynosi. Termin rozpoczęcia pierwszego r = t i, j procesu na pierwszej działce jest równy 0 ( t, 0 ) (rysunek ). brygada / proces t,m t 2,m t 3,m t n-2,m t n-,m t n,m m t,m- t 2,m- t 3,m- t n-2,m- t n-,m- t n,m- m-. t,2 t 2,2 t 3,2 t n-2,2 t n-,2 t n,2 2 t, t 2, t 3, t n-2, t n-, t n, d,2 d 2,3 d n-2,n- d n-,n czas Rys.. Cyklogram dla ciągłej realizacji procesów na działkach roboczych Źródło: Opracowanie własne Ciągła realizacja procesów na działkach roboczych oznacza rozpoczynanie kolejnego procesu w ciągu technologicznym na poszczególnych działkach bezpośrednio po zakończeniu procesu poprzedzającego. Warunek ciągłości moŝna zapisać w postaci następującej zaleŝności: r z t i j t i, j z r i, j i, j \ t { m} = t +, i I j J, () gdzie:,, odpowiednio termin rozpoczęcia i zakończenia procesu realizowanego przez brygadę j na działce i. Pomiędzy terminem rozpoczęcia i zakończenia procesu istnieje zaleŝność: z j r j t i, = t i, + ti, j, i I j J. (2) KaŜda brygada moŝe rozpocząć wykonanie procesu na kolejnej działce, po jego zakończeniu na działce poprzedniej: r i+ \ t { } j J z, j t i, j, i I. (3) Warunki () (3) determinują minimalny okres ( v u = ) pomiędzy rozpoczynaniem pierwszego procesu w ciągu technologicznym przez pierwszą brygadę na d v 342

4 HARMONOGRAMOWANIE PRZEDSIĘWZIĘĆ WIELOOBIEKTOWYCH Z CIĄGŁĄ kolejnych działkach u i v. Minimalny okres d, moŝna obliczyć na podstawie zaleŝności [20]: d v u v t t + t 2 tv, = max L, u I \ { n}, v I. (4) m m t j tv, j j= j= Analizowany problem polega na wyznaczeniu optymalnej permutacji działek, dla której czas realizacji przedsięwzięcia jest minimalny. Czas realizacji wszystkich procesów na wszystkich działkach roboczych moŝna wyznaczyć ze wzoru: n u= m u v + tn, j, j= 2. MODEL MATEMATYCZNY PROBLEMU ( v = u + ) T = d,. (5) Analizowany problem moŝna modelować, stosując analogiczne podejście, jak w zagadnieniu komiwojaŝera. Niech G = V, A oznacza graf skierowany, w którym V = {, 2,..., n} jest zbiorem wierzchołków grafu (toŝsamym ze zbiorem działek roboczych), a A = V V = {( v) v =, 2,..., n + } jest zbiorem łuków łączących wierzchołki grafu. Dla kaŝdej moŝliwej kombinacji par obiektów ustalamy c, przyrost czasu realizacji przedsięwzięcia przy realizacji procesów w pierwszej kolejności na działce następnie na działce v: m m r = r = u v c v = d v + tv, r t r v. (6) Wartości te moŝna zestawić w macierzy kwadratowej, odpowiadającej macierzy odległości (czasu) w zagadnieniu komiwojaŝera: [ ], u v C =,. (7) c u, v Zagadnienie minimalizacji łącznego czasu bezczynności brygad z zachowaniem ciągłości pracy na obiektach moŝemy sprowadzić do problemu komiwojaŝera (poszukiwania minimalnego cyklu Hamiltona), wprowadzając fikcyjny obiekt (wierzchołek n+) połączony łukami ( n + ), ( n +, u) u ), dla których: m c = t v c = u n+ v,,, 0,. (8) v j n+ j=, Zadanie ustalenia optymalnej kolejności realizacji obiektów moŝna zapisać w następującej postaci: 343

5 Sławomir BIRUK, Piotr JAŚKOWSKI gdzie: x u, v n + n+ u= v= x n = + n+ u= v= min : T c u, vx v (9) n + u= n + v= v x v x v =, u =, v S, S V { n + } { n + } { n + }, S 2 (0) (), (2), jeŝeli obiekt v jest realizowany bezpośrednio po u =, v n 0, w przeciwnym przypadku { + } Warunki (0) () zapewniają uzyskanie zamkniętej drogi przechodzącej przez wszystkie wierzchołki grafu (łącznie z fikcyjnym), natomiast warunek (2) Ŝe droga ta zawiera tylko jeden cykl. 3. METODY ROZWIĄZANIA PROBLEMU Z DODATKOWYMI OGRANICZENIAMI Problem komiwojaŝera (ATSP Assymetric Travel Salesman Problem) jest przykładem problemu NP-trudnego. Do rozwiązania tego problemu opracowano wiele algorytmów dokładnych i przybliŝonych. Metody dokładne bazują na metodzie podziału i ograniczeń (m.in. metoda Little a [6], D.L. Millera i J.F. Pekny ego [8]). Model matematyczny problemu bez ograniczenia (2) jest toŝsamy z modelem zagadnienia rozmieszczenia, do rozwiązania którego moŝna zastosować m.in. algorytm R. L. Ackoffa i M. Sasieniego R. L. (tzw. węgierski) oraz J. Munkresa [, 3, 23]. Eliminacja subcykli moŝe być dokonana za pomocą procedury zaproponowanej przez W.L. Eastmana [0]. Ze względu na przestrzeń rozwiązań dopuszczalnych o liczebności n!, zło- Ŝoność obliczeniowa algorytmów dokładnych ogranicza moŝliwość ich zastosowania do rozwiązywania duŝych zagadnień praktycznych. Z tego powodu są tworzone algorytmy heurystyczne, m.in. J. Bresta i J. Zerovnika [5], J. Cirasella [8], H. Kaplana [5], T. Zhanga [24] oraz są stosowane metaheurystyki [25]. Przykłady zastosowania wybranych algorytmów do rozwiązania problemu harmonogramowania przedstawiono w pracy [4]. Zastosowany sposób modelowania rozwaŝanego problemu harmonogramowania umoŝliwia w prosty sposób uwzględnienie dodatkowych ograniczeń. Poprzez zmianę parametrów modelu moŝna ustalać m.in. numer działki, która musi być zrealizowana w pierwszej kolejności, lub kolejność realizacji podzbioru działek. Konieczność realizacji robót w pierwszej kolejności na ustalonym froncie i * wynika zazwyczaj ze względów ekonomicznych (przyspieszenie obrotu środków finansowych poprzez realizację zlecenia najbardziej dochodowego, zachowanie płynności finansowej przedsiębiorstwa) lub z pilnej potrzeby zaspokojenia oczekiwań społecznych (np. przy działaniu w sytuacji kryzysowej). Ustalona działka będzie realizowana 344

6 HARMONOGRAMOWANIE PRZEDSIĘWZIĘĆ WIELOOBIEKTOWYCH Z CIĄGŁĄ w pierwszej kolejności, gdy zmodyfikowane zostaną niektóre dane w macierzy C w sposób następujący: * * p p ip Konieczność realizacji zbioru działek * c { * } n+, v =, v \ i. (3) V * V w ustalonej kolejności i + p... p ik moŝe wynikać ze względów konstrukcyjnych (np. w budynkach wielokondygnacyjnych, gdzie działkę stanowi kondygnacja obiektu) lub uŝytkowych (przekazywanie obiektów do uŝytkowania zgodnie z ustalonymi etapami). Dane w macierzy C dla takich ograniczeń realizacyjnych naleŝy zmodyfikować w sposób następujący: a) usunąć z macierzy wiersze i kolumny o numerach * * * p+, ip+ 2,..., ik i ; * b) pozostałe wartości zmienić następująco: c, \ { } i * u i k p c =, v \ { i * } oraz c * =. i *, v k p i * k, i p =, W obu przypadkach do rozwiązania zadań moŝna zastosować opisane wyŝej algorytmy opracowane dla ATSP. Bardziej złoŝonym zagadnieniem jest problem harmonogramowania przedsięwzięć z ustalonymi przedziałami czasu ciągłej realizacji działek. W warunkach deterministycznych, gdy znany jest czas realizacji wszystkich procesów na poszczególnych działkach roboczych, ograniczenia czasowe moŝna odnieść do terminów zakończenia robót na działkach roboczych. W modelu problemu komiwojaŝera są one toŝsame z podaniem przedziałów czas w których muszą odbyć się wizyty w poszczególnych miejscowościach (wierzchołkach grafu). Taka modyfikacja zagadnienia jest znana w literaturze jako problem komiwoja- Ŝera z ograniczeniami czasowymi (ATSPTW Assymetric Travel Salesman Problem with Time Windows). Do jego rozwiązania stworzono szereg algorytmów dokładnych, heurystycznych i metaheurystycznych, m.in. [, 3, 9, 9, 2], równieŝ dla warunków niedeterministycznych [6,7]. 4. PRZYKŁAD Dana jest macierz czasów wykonania czterech procesów na pięciu działkach: t = i, j [ ] Na podstawie zaleŝności (4) obliczono wzajemne opóźnienia d, : u v 345

7 Sławomir BIRUK, Piotr JAŚKOWSKI d u, v = [ ] Elementy macierzy C (przyrosty czasu realizacji przedsięwzięcia przy realizacji procesów w pierwszej kolejności na działce następnie na działce v) ustalono na podstawie zaleŝności (8) (9); przyjmują one następujące wartości: c u, v = [ ] Przykład rozwiązano za pomocą algorytmu heurystycznego [5], stosując gotowe oprogramowanie dostępne na stronie Optymalna kolejność działek (po odrzuceniu z optymalnego cyklu działki fikcyjnej o numerze 6) jest następująca: 3p 2p 4p p 5. Harmonogram robót realizowanych na działkach w optymalnej kolejności przedstawiono na rysunku 2 (czas realizacji 37 dni, krótszy o 8 dni w stosunku do kolejności działek zgodnej z ich numeracją). NajdłuŜszy czas realizacji przedsięwzięcia jest równy 50 dni, przy realizacji działek w odwrotnej kolejności: 5p p 4p 2p 3. Rys. 2. Harmonogram realizacji przedsięwzięcia dla optymalnej kolejności działek roboczych Źródło: Opracowanie własne 346

8 HARMONOGRAMOWANIE PRZEDSIĘWZIĘĆ WIELOOBIEKTOWYCH Z CIĄGŁĄ PODSUMOWANIE Opracowanie (lub aktualizacja) harmonogramu realizacji robót budowlanych, zapewniającego ciągłość pracy na działkach roboczych (czy obiektach), przy jednoczesnym skróceniu czasu realizacji, moŝe być jednym z kluczowych czynników zwiększenia efektywności działania przedsiębiorstwa budowlanego, poprzez skracanie cykli realizacji obiektów i okresu zamraŝania środków obrotowych. Proponowana metoda optymalizacji harmonogramu z zapewnieniem ciągłości pracy na działkach roboczych, która sprowadza permutacyjny problem szeregowania zadań do powszechnie znanego i dobrze opisanego w literaturze badań operacyjnych problemu komiwojaŝera ma tę zaletę, Ŝe moŝna wykorzystać gotowe, łatwo dostępne oprogramowanie. W prosty sposób moŝna modyfikując parametry modelu uwzględniać dodatkowe ograniczenia (np. numer działki realizowanej w pierwszej kolejności), istotne do uwzględnienia w sytuacjach kryzysowych. Rozwiązanie zadania z ograniczeniami czasowymi jest moŝliwe przy zastosowaniu gotowych algorytmów opracowanych dla problemu ATSPTW. Praca została sfinansowana przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa WyŜszego (grant nr N N ). LITERATURA [] Ascheuer N., Fischetti M., M. Grötschel M., Solving asymmetric travelling salesman problem with time windows by branch-and-cut, [in:] Mathematical Programming, 90 (200), pp [2] Bagchi T.P., Gupta J.N.D., Sriskandarajah Ch., A review of TSP based approaches for flowshop scheduling, [in:] European Journal of Operational Research, 69(3) (2006), pp [3] Bianco L., Mingozzi A., Ricciardelli S., Dynamic programming strategies and reduction techniques for the travelling salesman problem with tie windows and precedence constraints, [in:] Operations Research, 45 (997), pp [4] Biruk S., Jaśkowki P., Analiza algorytmów minimalizacji przestoju brygad roboczych przy ciągłej realizacji obiektów budowlanych, [w:] Przegląd Budowlany, (2005), s [5] Brest J., Žerovnik J., An approximation algorithm for the asymmetric traveling salesman problem, [in:] Ricerca Operativa, 28 (999), pp [6] Campbell A.M., Thomas B.W., Runtime reduction techniques for the probabilistic traveling salesman problem with deadlines, [in:] Computers & Operations Research, 36(4) (2009), pp [7] Chang T.-S., Wan Y.-W., OOI W.T., A stochastic dynamic traveling salesman problem with hard time windows, [in:] European Journal of Operational Research, 98(3) (2009), pp [8] Cirasella J., Johnson D.S., McGeoch L.A., Zhang W., The asymmetric traveling salesman problem: Algorithms, instance generators, and tests, [in:] Lecture Notes in Computer Science, 253 (200), pp

9 Sławomir BIRUK, Piotr JAŚKOWSKI [9] Dumas Y., Desrosiers J., Gelinas E., Solomon M.M., An optimal algorithm for the travelig salesman problem with time windows, [in:] Operations Research, 4(2) (995), pp [0] Filipowicz B., Badania operacyjne, [w:] Wybrane metody obliczeniowe i algorytmy, cz., F.H.U Poldex, Kraków 997. [] Goddard L., S., Metody matematyczne w badaniach operacyjnych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 966. [2] Hejducki Z., SprzęŜenia czasowe w metodach organizacji złoŝonych procesów budowlanych, [w:] Prace Naukowe Instytutu Budownictwa Politechniki Wrocławskiej, Monografie nr 34, [3] Ignasiak E., Badania operacyjne, Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa 200. [4] Jaworski K.M., Metodologia projektowania budowy, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 999. [5] Kaplan H., Lewenstein M., Nira S., Sviridenko M., A 2/3 Aproximation For Maximum Asymmetric TSP Be Decomposing Directed Regular Multigraphs, Foundations of Computer Science (FOCS) (2003), pp [6] Little J.D.C., Murty K.G., Sweeney D.W., Karel C., An Algorithm for the Traveling Salesman Problem, [in:] Operations Research, (6) (963), pp [7] Marcinkowski R., Metody rozdziału zasobów realizatora w działalności inŝynieryjno - budowlanej, WAT, Warszawa [8] Miller D.L., Pekny J.F., Exact Solution of Large Asymmetric Traveling Salesman Problems, [in:] Science, 25(4995) (99), pp [9] Mingozzi A., Bianco L., Ricciardelli S., Dynamic programming strategies for the travelling salesman problem with time windows and precedence constraints, [in:] Operations Research, 45 (997), pp [20] Mrozowicz J., Metody organizacji procesów budowlanych uwzględniające sprzę- Ŝenia czasowe, Dolnośląskie Wydawnictwa Edukacyjne, Wrocław 997. [2] Pesant G., Gendreau M., Potvin J.-Y., Rousseau J.M., 998. An exact constraint logic programming algorithm for the travelling salesman problem with time windows, Transportation Science 32 (998), pp [22] Podolski M., Analiza nowych zastosowań teorii szeregowania zadań w organizacji robot budowlanych, Praca doktorska, Wrocław [23] Stark R. M., Nicholls R.L., Matematyczne podstawy projektowania inŝynierskiego, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 979. [24] Zhang T., Li W., Li J., An improved approximation algorithm for the ATSP with parameterized triangle inequality, [in:] Journal of Algorithms, 64 (2-3) (2009), pp [25] Xing L.-N., Chen Y.-W, Yang K.-W., Hou F., Shen X.-S., Cai H.-P., A hybrid approach combining an improved genetic algorithm and optimization strategies for the 348

10 HARMONOGRAMOWANIE PRZEDSIĘWZIĘĆ WIELOOBIEKTOWYCH Z CIĄGŁĄ asymmetric traveling salesman problem, Engineering Applications of Artificial Intelligence 2(8) (2008), pp SCHEDULING CONSTRUCTION OF MULTI-OBJECT PROJECTS: PROBLEM OF WORKS CONTINUITY IN CONSECUTIVE UNITS Summary The paper investigates the problem of works continuity in consecutive units (sections) the whole scope of works of a multi-object project has been divided into. Rapid completion of tasks is possible to achieve owing to a classic Line-of-Balance approach being the extension of planning methods used for repetitive production processes. Crews of workers responsible for particular processes complete their tasks related to the units. The problem described in the paper concerns a situation when the units are non-uniform in terms of workload, and the order in which the crews move from unit to unit is fixed and the same for all crews. This order is the key factor affecting the project makespan. The problem of finding the optimal order of units can be classified as a permutation flowshop sequencing problem. The paper presents a modeling method that facilitates the application of the travelling salesman problem algorithm to solving scheduling problems with additional constraints. Key words: sequencing of tasks, scheduling, works continuity in consecutive units, stream methods of work organization, multi-object projects Artykuł recenzował: płk dr hab. inŝ. Dariusz SKORUPKA, prof. nadzw. WSOWL 349