Kiti uºdaviniai yra svetaineje:

Transkrypt

1 Uºdaviniai i²spresti per pratybas pagal uºdavinyn (yra bibliotekoje): D.B.Kletnik, "Sbornik zadach po anliticheskoj geometrii", 1964, Izdatelstvo "Nauka" Maskva. (rusi²kai). Kiti uºdaviniai yra svetaineje: [ ], 802, 803, 799, 808, 823, Namu darbai (ND): [ ] (Kita grupe) 802, 803, 799, 800, 808, 823, 835. ND: 812 Po 1 paskaitos [ ] 802, 808, 799, 800, 823, 835, 840, 1 ir 2 pratimas esantis po pirmos paskaitos. ND : 812, Vektoriai a,b,c kiekvienas su kitu sudaro 60 laipsniu kamp. a = 4, b = 2, c = 6. Rasti vektoriaus p = a + b + c ilgi Duota a = 3, b = 5. Rasti α, jei vektorius a + αb yra statmenas vektoriui a αb Vektoriai a, b, c vienetiniai. a + b + c = 0. Rasti ab + bc + ca Vektoriai a ir b sudaro kamp φ = π/6, a = 3, b = 1. Rasti kamp α tarp vektoriu p = a + b ir q = a b Vektoriai X ir a = (6; 8; 7, 5) kolinear us. Vektorius X so Oz a²imi sudaro smailu kamp. X = 50. Rasti vektoriaus X koordintes Duoti trys vektoriai: a = 2i + j + k, b = i + 5j ir c = 4i + 4j 2k. Rasti proj c (3a 2b). 1

2 812. Duoti vektoriai a = 4; 2; 4, b = 6; 3; 2. Rasti: 1)ab; 2) a 2 ; 3) b 2 ; 4)(2a 3b)(a + 2b); 5)(a + b) 2 ; 6)(a b) Duota: a = 10, b = 2 ir ab = 12. Rasti a b Vektoriai a ir b sudaro kamp φ = 2/3π. a = 1, b = 2. Rasti: 1)(a b) 2 ; 2)((2a + b) (a + 2b)) 2 ; 3)((a + 3b) (3a b)) Trikampio plotas S = 3. Vir² unes A(3; 1) ir B(1; 3), svorio centras yra a²yje Ox. Rasti vir² unes C koordinates [ ] 116, 122, 1,2 ir 4 pratimas esantis po pirmos paskaitos. ND : 126, Rasti trikampio plot, jei jo vir² uniu koordinates: 1) A(2; 3), B(3; 2) ir C( 2; 5); 2) M 1 ( 3; 2), M 2 (5; 2) ir M 3 (1; 3); 3) M(3; 4), N( 2; 3) ir P (4; 5) Trikampio plotas S = 3. Vir² unes A(3; 1) ir B(1; 3), o C yra a²yje Oy. Rasti vir² unes C koordinates Lygiagretainio plotas S = 17. Dvi vir² unes su koordinatem A(2; 1) ir B(5; 3). Rasti dvieju kitu vir² uniu koordinates, jei istriºainiu susikirtimo ta²kas yra ant ordina iu a²ies Vektoriai a ir b sudaro kamp φ = 2/3π. a = 1, b = 2. Rasti: 1)(a b) 2 ; 2)((2a + b) (a + 2b)) 2 ; 3)((a + 3b) (3a b)) 2. Po 2 paskaitos [ ] 2 pratimas esantis po pirmos paskaitos, 227, 237, 245, 259. ND : Rasti ta²ko Q koordinates, simetri²ko ta²kui P ( 5; 13) tieses 2x 3y 3 = 0 atºvilgiu Duotos trikampio vir² unes A(2; 2), B(3; 5) ir C(5; 7). Sudaryti statmens, nuleisto i² vir² unes C i vidinio kampo A pusiaukampin, lygti Duotos trikampio vir² unes A(1; 2), B(5; 4) ir C( 2; 0). Sudaryti vidinio ir 2

3 i²orinio kampu A pusiaukampiniu lygtis viesos spindulys nukreiptas pagal ties x 2y + 5 = 0. Pasiek s ties 3x 2y + 7 = 0, spindulys atsispindi nuo jos. Rasti tieses, pagal kuri nukreiptas atsispind s spindulys, lygti Sudaryti trikampio kra²tiniu lygis. Vir² une B(2; 6), auk²tines lygtis: x 7y+15 = 0 ir (i²orines) pusiaukampines lygtis: 7x+y+5 = 0. Pusiaukampine ir auk²tine nuleisti i² tos pa ios vir² unes. Po 3 paskaitos [ ] [ ] Rasti plok²tumos eina ios per ta²k (1,2,-1) ir statmenos plok²tumoms: x + y + z = 1, 2x y + 2z = 0 lygti b. Rasti atstum tarp lygiagre iu plok²tumu: x 3y 2z + 3 = 0, x 3y 2z 2 = Rasti plok²tum, kuri dalintu pusiau t dvisieni kamp tarp plok²tumu x + 2y + 2z 1 = 0, 3x + 2y 6z + 5 = 0, kuriame yra ta²kas (-2,1,3) Nustatyti ar ta²kai: (2,4,3),(6,5,5),(2,5,3),(-2,7,1) yra vienoje plok²tumoje. Taip pat pratimai 1039, ND : Rasti plok²tumu bendraj lygti, kurios prizm, sudaryt i² plok²tumu x = 0, y = 0, x + y 1 = 0, kirstu pagal lygiakra²ti trikampi. Po 4 paskaitos [ ] 395, 413, 449, 457, 462, 473 -ND : Para²yti apskritimu, lie ian iu tris tieses: 4x 3y 5 = 0, 3x 4y 5 = 0, 3x 4y 15 = 0, lygtis Para²yti apskritimo, einan io per koordina iu pradºi ir dvieju apskritimu (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 25, (x 2) 2 + (y + 4) 2 = 9 susikirtimo ta²kus, lygti Duota elipse 9x 2 + 5y 2 = 45. Rasti: 1) jos pusa²es, 2) ºidinius, 3

4 3) ekscentricitet, 4) direktrisiu lygtis Elipses ekscentricitetas e = 2, atstumas nuo elipses 5 ta²ko M iki direktrises lygus 20. Rasti atsum nuo ta²ko M iki ºidinio, atinkanti paminet direktris Rasti elipses x2 + y ºidinio. = 1 ta²kus, kurie yra 14 vienetu atstume nuo de²iniojo 473. Para²yti elipses lygti, ºinodami, kad: 1) jos didºioji pusa²e lygi 26 ir ºidiniai F 1 ( 10; 0), F 2 (14; 0) 2) jos maºioji pusa²e lygi 2 ir ºidiniai F 1 ( 1; 1), F 2 (1; 1) 3) jos ºidiniai F 1 ( 2; 3), F 2 2(2; 3) ir 2 ekscentricitetas e = 2 2 4) jos ºidiniai F 1 (1; 3), F 2 (3; 1) ir atstumas tarp direktrisiu lygus ND 396. Para²yti apskritimu, lie ian iu tris tieses: 3x + 4y 35 = 0, 3x 4y 35 = 0, x 1 = 0 lygtis. Po 5 paskaitos [ ] 474, 515 4), 516 3), 528, 542, 541. ND : Para²yti elipses lygti, jei ºinomi jos ekscentricitetas e = 2, ºidinys F (2; 1) ir ji 3 atitinka ios direktrises lygtis x 5 = (4). Para²yti lygti hiperboles, kurios ºidiniai yra abscisu a²yje, simetri²ki koordina iu pradºios atºvilgiu. šinodami, kad pusa²e 2a = 16 ir ekscentricitetas e = (3). Para²yti lygti hiperboles, kurios ºidiniai yra ordina iu a²yje, simetri²ki koordina iu pradºios atºvilgiu. šinodami asimpto iu lygtis: y = ± 12 x ir atstum tarp vir² uniu: Rasti hiperboles x2 y ,5. = 1 ta²kus nuo kuriu atstumas iki de²iniojo ºidinio lygus 532. Para²yti lygti hiperboles, kurios ºidiniai yra abscisu a²yje, simetri²ki koordina iu pradºios atºvilgiu, jei duoti: 4

5 1) hiperboles ta²kai M 1 (6; 1), M 2 ( 8; 2 2) 2) hiperboles ta²kas M 1 ( 5; 3) ir ekscentricitetas e = 2 3) hiperboles ta²kas M 1 ( 9 2 ; 1) ir asimpto iu lygtys y = ± 2 3 x 4) hiperboles ta²kas M 1 ( 3; 5 2 ) ir direktrisiu lygtys x = ± 4 3 5) asimpto iu lygtys y = ± 3 4 ir direktrisiu lygtys x = ± Po 6 paskaitos [ ] 587, 599 4), 602, Para²yti lygti paraboles, einan ios per koordina iu pradºi ir turin ios ºidini F (0; 3). Paraboles a²is yra ordina iu a²is ). Nustatyti, kokios linijos i²reik²tos ²i lygtimi: y = 5+ 3x 21. Nubraiºyti Para²yti hiperboles lygti, jei duotas ºidinys F (2; 1) ir direktrise x y 1 = Duota paraboles vir² une A( 2; 1) ir direktrises lygtis x + 2y 1 = 0. Para²yti paraboles lygti. Po kontrolinio [ ] 665 1), 669, 674 1), 673 1), 675 1). ND : 676 1) 665 1) Nustatyti kokios i² pateiktu liniju centrines (t.y. turi vieninteli centr ), kokios neturi centro, kokios turi be galo daug centru. 1) 3x 2 4xy 2y 2 + 3x 12y 7 = Kokie turetu b uti m ir n, kad lygtis mx xy + 9y 2 + 4x + ny 13 = 0 b utu: a) centrine linij ; b) linija be centro; c) linij turinti galo daug centru ). Suvesti lygti 32x 2 +52xy 7y = 0 i kakonini pavidal ; nustatyti jos tip ; kokius geometrinius vaizdus apibreºia ir nubreºti kreiv nauju ir senu koordina iu a²iu atºvilgiu ) Suvesti lygti 4x 2 + 9y 2 40x + 36y = 0 i kanonini pavidal ; nustatyti jos tip ; kokius geometrinius vaizdus apibreºia ir nubreºti kreiv nauju ir senu koordina iu a²iu atºvilgiu ) Rasti lygties 2x xy + 12y 2 7x + 18y 15 = 0 tip, naudojant invariantus. ND:676 1). Suvesti lygti 3x xy + 3y 2 2x 14y 13 = 0 i kanonini pavi- 5

6 dal ; nustatyti jos tip ; kokius geometrinius vaizdus i²rei²kia ir nubreºti nauju ir senu koordina iu a²iu atºvilgiu. Po 7 paskaitos [ ] 697 1), 681 1), 699 1), 700 1), 613, 625. ND : ). Nustatyti, jog lygtis 9x xy + 16y 2 120x + 90y = 0 yra parabole ir rasti paraboles parametr ). Nustatyti, jog lygtis 3x 2 + 4xy + y 2 2x 1 = 0 yra dvi susikertan ios tieses (i²sigimusi parabole) ir rasti ²iu tiesiu lygtis ). Nustatyti, jog lygtis 4x 2 + 4xy + y 2 12x 6y + 5 = 0 yra dvi lygiagre ios tieses ir rasti ²iu tiesiu lygtis ). Nustatyti, jog lygtis x 2 6xy + 9y 2 + 4x 12y + 4 = 0 yra tiese, rasti jos lygti Para²yti lygti tieses, kuri lie ia parabol y 2 = 8x ir lygiagreti tiesei: 2x+2y 3 = I² paraboles y 2 = 12x ºidinio smailu kampu α prie Ox a²ies nukreiptas ²viesos spindulys. šinoma, kad tgα = 3. Pasiek s parabol, spindulys atsispindi. Para²yti 4 lygti tieses, kuriai priklauso atsispind s spindulys. ND: 682. Rasti geometrinius vaizdus, kurios rei²kia lygstys: 1)8x 2 12xy + 17y x 12y + 3 = 0; 2)17x 2 18xy 7y x 18y + 7 = 0; 3)2x 2 + 3xy 2y 2 + 5x + 10y = 0; 4)6x 2 6xy + 9y 2 4x + 18y + 14 = 0; 5)5x 2 2xy + 5y 2 4x + 20y + 20 = 0. Po 8 paskaitos [ ] 480, 491, 499, 563, 568. ND : Rasti tieses 3x 4y 40 = 0 ir elipses x2 + y = 1 susikirtimo ta²kus Rasti elipses x y2 8 = 1 ta²k M 1, artimiausi tiesei 2x 3y +25 = 0 bei atstum d nuo M 1 iki tieses. 6

7 499. Tiese x y 5 = 0 lie ia elips, kurios ºidiniai yra F 1 ( 3; 0) ir F 2 (3; 0). Para²yti elipses lygti Duota hiperbole x2 y2 = 1 ir bet kuri jos liestine, P - liestines ir Ox a²ies a 2 b 2 susikirtimo ta²kas, Q - lietiomosi ta²ko projekcija i Ox a²i. Irodyti: OP OQ = a Nustatykite, kad elipses x2 + y2 x2 = 1 ir hiperboles y yra sta iakampio vir² unes, para²yti jo kra²tiniu lygtis. = 1 susikirtimo ta²kai ND: 566. Hiperbole eina per ta²k A( 6; 3) ir lie ia ties 9x + 2y 15 = 0. Para²yti ²itos hiperboles lygti, laikant koordina iu a²is hiperboles a²imis. Po 9 paskaitos [ ] 1s. Duoti ta²kai P 0 = (0, 0), P 1 = (1, 1), P 2 = (0, 1). Rasti ta²k priklausanti Bezier kreivei 2 X(t) = P i Bi 2 (t), kai parametras yra t = 1/3. Taip pat rasti liestin tame rastame ta²ke. 2s. Rasti nei²reik²tin Bezier kreives lygti, kuri yra apibreºta 1s uºdavinyje. 1085,1086, 1094 b), 1104, 1108 ND : i= Para²yti lygti sferos su spinduliu r = 3, lie ian ios plok²tum x+2y +2z +3 = 0 ta²ke M 1 (1; 1; 3) Rasti sferos, lie ian ios plok²tumas 3x + 2y 6z 15 = 0, 3x + 2y 6z + 55 = 0, spinduli b). Rasti trumpiausi atstum nuo ta²ko A(9; 4; 3) iki sferos x 2 + y 2 + z x 16y 24z = Para²yti lygti sferos, einan ios per koordina iu pradºi ir apskritim : { x 2 + y 2 + z 2 = 25, 2x 3y + 5z 5 = 0. ND Irodyti, kad plok²tum 2x 6y + 3z 49 = 0 lie ia sfer x 2 + y 2 + z 2 = 49. Rasti lietimosi ta²k. 7

8 Po 10 paskaitos [ ] 1153, 1157, K ugio vir² une yra ta²ke (0, 0, 4), jo sudaromosios kerta kreiv rasti k ugio lygti. x 2 + y 2 = 4, x + y + z = 2 3. Rasti k ugio lygti, kurio vir² une yra ta²ke A(2, 0, 0) ir kuri gaubia sfer Atsakymai Po 10 paskaitos [ ] ), 1181,1182,1183 ND: : p = : α = ± : ab + bc + ca = : α = arccos : X=(-24; 32; 30). 835: -11. x 2 + y 2 + z 2 = (ND): 1) 22; 2) 6; 3) 7; 4) -200; 5) 129; 6) : a b = : (5; 2) arba (2; 2). 116: 1) 14; 2) 12; 3) : (0; 8) arba (0; 2) 126: C 1 ( 2; 12), D 1 ( 5; 16) arba C 2 ( 2; 2/3), D 2 ( 5; 14/3). 843: 1) 3; 2) 27; 3)

9 227: Q( 11; -11). 237: x 5 = : 5x + y 3 = 0 vidinio kampo pusiaukampines lygtis; x 5y 11 = 0 i²orinio kampo pusiakampines lygtis. 259: 29x 2y + 33 = : 4x 3y + 10 = 0, 7x + y 20 = 0, 3x + 4y 5 = : (x )2 + (y )2 = 1, (x 30 7 )2 + (y 5 7 )2 = ( )2. 396: (x 5) 2 + y 2 = 16, (x + 15) 2 + y 2 = 256, (x 35 3 )2 + (y 40 3 )2 = ( 32 3 )2, (x 35 3 )2 + (y )2 = : 13x y 2 + 3x + 71y = :1) 5 ir 3; 2) F 1 (0; 2), F 2 (0; 2) 3) e = 2 3 ; 4) y = ± : 8 462: ( 5; 3 3)ir( 5; 3 3) 473: 1) (x 2) y2 25 = 1 2) 2x 2 2xy + 2y 2 3 = 0 3) 68x xy + 82y = 0 4) 11x 2 + 2xy + 11y 2 48x 48y 24 = : 5x 2 + 9y 2 + 4x 18y 55 = (4): x2 64 y2 36 = (3): x y2 576 = : (10; 9 2 ) arba (10; 9 2 ). 532: 1) x2 32 y2 8 = 1; 9

10 2) x 2 y 2 = 16; 3) x2 y ) x2 y2 18 5) x2 y2 16 = 1 arba x = 1; 8 = : x 2 = 12y y = 1; 599: 4)paraboles (y + 5) 2 = 3(x + 7) dalis, esanti po ties y + 5 = : x 2 + 2xy + y 2 6x + 2y + 9 = 0 604: 4x 2 4xy + y x + 34y + 89 = : 1)turi vieniteli centr. 669: a) m 4, n-bet kuris skai ius; b)m=4, n 6; c) m=4, n=6. 674: 1)hiperbole x 2 y cosα = 1 5, sinα = 2 673: 1)elipse x 2 + y : 1)hiperboline. 5. = 1, tgα = 2, = 1, nauja koordina iu pradºia O(5; 2). 676: 1)hiperbole x 2 y 2 = 1, pertvarkymai: x = x + 2, y = y 1 ir x = x y 4 2, y = x +y : 1) : 1) x + y 1 = 0, 3x + y + 1 = : 1) 2x + y 5 = 0, 2x + y 1 = : 1) x 3y + 2 = : x + y + 2 = : y 18 = : 1) elipse; 2) hiperbole; 3) susikertan ios tieses (i²sigimusi hiperbole); 4) menama elipse; 5) ta²kas (i²sigimusi elipse). 10

11 480: (4; 3 ), (3; 2) : M 1 (3; 2), d = : x y2 8 = : x = 1, x = 1, y = 1, y = : x2 5 y2 45 = 1, x2 10 y2 45 = 1. 1s. X(1/3) = (4/9, 5/9) 2s. x 2 4y 2 + 4xy + 4y 4x = : (x 2) 2 + (y 3) 2 + (z + 1) 2 = 9 ir x 2 + (y + 1) 2 + (z + 5) 2 = : R = b): : x 2 + y 2 + z 2 10x + 15y 2 5z = z 2 + 2xy + 2xz + 2yz 8x 8y 8z + 16 = 0 3. x 2 3y 2 3z 2 4x + 4 = 0 11