PRACE NAUKOWE AKADEMII EKONOMICZNEJ WE WROCŁAWIU Nr 686 Zastosowania metod ilościowych Marek Walesiak METODY KLASYFIKACJI WIELOWYMIAROWEJ.

Transkrypt

1 PRACE NAUKOWE AKADEMII EKONOMICZNEJ WE WROCŁAWIU Nr 686 Zastosowania metod ilościowych 1994 Marek Walesiak METODY KLASYFIKACJI WIELOWYMIAROWEJ. PRZEGLĄD 1 W literaturze statystycznej zaproponowano bardzo dużo metod klasyfikacji wielowymiarowej. W artykule metody te wstępnie podzielono na trzy grupy podobieństwa, a następnie omówiono te spośród nich, które są często wykorzystywane w praktyce. l. Zagadnienia wstępne Zamiennie zamiast określenia "klasyfikacja" używa się takich terminów, jak: grupowanie, podział, dyskryminacja, delimitacja, taksonomia, taksonomia numeryczna, taksonometria, analiza skupień, identyfikacja. Ta różnorodność terminologiczna wynika m.in. z tego, że metody klasyfikacji są tworzone i stosowane przez przedstawicieli różnych dyscyplin badawczych (biologowie, botanicy, psychologowie, antropologowie, ekonomiści, matematycy, zoologowie). Trudność usystematyzowania tych pojęć jest wynikiem tego, że te same terminy są rozmaicie defmiowane przez różnych autorów (por. np. Ostasiewicz (1980)). Próby usystematyzowania niektórych terminów zawierają m.in. prace: Borysa (1984); Grabińskiego (1992); Pociechy, Podolec, Sokołowskiego i Zająca (1988). Nie wnikając szczegółowo w zakres pojęciowy wymienionych terminów, będziemy używać w prezentowanej pracy terminu klasyfikacja. K.lasyflkowaniem zajmowano się od zarania dziejów (por. Hartigan (1982)). W starożytności Hindusi dzielili ludzi na 6 klas (oznaczając je nazwami zwierząt) ze względu na płeć, warunki fizyczne i psychiczne. Arystoteles wprowadził nowe klasyflkacje w logice, etyce i polityce. Inne bardziej znane tego typu klasyfikacje to klasyfikacja zwierząt i roślin, opracowana przez 1 Praca wykonana w ramach grantu KBN nr pt. Statystyczna klasyfikacja wielowymiarowa. Teoria i zastosowania ekonomiczne.

2 52 Marek Walcsiak Linnaeusa w XVDI wieku, czy klasyfikacja pierwiastków chemicznych, opracowana przez Mendelejewa w XIX wieku. W praktyce zagadnienie klasyfikacji zaczęto wykorzystywać na szerszą skalę po zastosowaniu formalnych procedur klasyfikacji. Pionierem w dziedzinie stosowania metod klasyfikacji był Czekanawski (1913), który zastosował własną oryginalną metodę do klasyfikacji 13 czaszek ludzkich. Metoda ta zwana jest diagraficzną metodą Czekanowskiego. Podstawowe algorytmy metod klasyfikacji powstały w latach pięćdziesiątych i sześćdziesiątych. Z czasem metody klasyfikacji znalazły wszechstronne zastosowanie w różnych dziedzinach nauki. m.in. w antropologii - Czekanowski (1913; 1930); w biologii - Solcal i Sneath (1963), Sneath i Sokal (1973), Jardine i Sibson (1971), Clifford i Stephensan (1975); w geografii - Chojnicki i Czyż (1973), Radne i Reymond (1978). Chojnicki (1977), Kaczmarek i Parysek (1977); w psychologii - Brzeziński (1987); w rolnictwie - Fieńch (1957), Nowak (1985), Gorzelak (1980); w medycynie - Brundage (1988); w wyszukiwaniu i klasyfikacji informacji - Dąbrowski i Laus-Mączyńska (1978). Metody te znajdują również zastosowanie w badaniach ekonomicznych. Świadczą o tym m.in. prace: Jensena (1971); Durana i Odella (1974); Chena, Gnanadesikana i Ketterninga (1977); Grabińskiego, Wydymusa i Zeliasia (1983; 1989); Hellwiga (1968; 1981); Heliwiga i Gospodarawicza (1975); Kolanki (1980); Nowaka (1990); Obrębaiskiego i Walesiaka (1991); Pluty (1977; 1979; 1986); Pociechy, Podolec, Sokołowskiego i Zająca (1988); Rozina (1979); Wydyrnusa (1984); Hirschberga, Maasoumi'ego i Slottje'ego (1991). Spośród zastosowań ekonomicznych szczególna rola przypada zastosowaniom metod klasyfikacji w badaniach marketingowych. W polskiej literaturze metody klasyfikacji w badaniach marketingowych i ich wykorzystanie w tej dziedzinie przedstawiono w pracach: Walesiaka (1993a); Mynarskiego (1990); Pociechy (1986); Bazarnika i in. (1992). Literatura zachodnia w tym zakresie jest bardzo bogata. Można tu wskazać m.in. na prace: Berlage i Legesse (1990); Green., Carmone i Smith (1989); Green, Tuli i Albaurn (1988); Manly (1986); Punj i Stewart (1983); Berlage i Terweduwe (1985); Anderson, ButJer i Sloan (1987); Anderson, Cox i Fulcher (1976); Hair, Anderson i Tatham (1987). Według najogólniejszej koncepcji klasyfikacja jest zbiorem klas odpowiednio wyróżnionym z klasyfikowanego zbioru obiektów. Tak sformułowane zagadnienie klasyfikacji zbioru A o elementach A 1 (i = l,..., n) na klasy P 1,, P. będzie spełniać zatem warunki:.. zupełności: U Pa = A; = 1 rozłączności: Pa fi P~ = f2j (s, s' = l,..., u; s# s'); niepustości: Pa :#= 0(s =l,..., u).

3 Metody klasyfikacji wielowymiarowej 53 W literaturze istnieje dużo propozycji podziałów metod klasyfikacji rozpatrywanych z różnych punktów widzenia. Szczegółowe rozważania na ten temat można znaleźć w pracy Sneatha i Sokala (1973). Nie istnieje jednak rozłączny podział tychże metod uwzględniający choćby większość propozycji Godnymi uwagi monografiami i artykułami traktującymi o metodach klasyfikacji są prace: Anderberga (1973); Sneatha i Sokala (1973); Carmacka (1971); Everitta (1974); Everitta i Dunna (1983); Bijcena (1973); Clifforda i Stephensona (1975); Durana i Odella (1974); Van Ryzina (1977); Mezzicha i Solomona (1980); Gordona (1981; 1987); Hartigana (1975); Handa (1981); Lebarta, Morineau i Warwieka (1984); Aldendeńera i BJashfielda (1984); Jardine'a i Sibsona {1971); Krzanowskiego (1988); Kaufmana i Rousseeuwa (1990); Lorra (1983); Sebera (1984); Chojnickiego i Czyż (1973); Zeliasia (1991); Grabińskiego, Wydymusa i Zeliasia (1982; 1983; 1989); Jajugi (1987; 1990); Kolanki (1980); Nowaka (1990); Pluty (1977); Pociechy, Podolec, Sokołowskiego i Zająca (1988); Podolec i Zająca (1978); Marka (1989). W artykule podzielono metody klasyfikacji na trzy grupy podobieństwa: metody hierarchiczne (aglomeracyjne i deglomeracyjne), metody obszarowe i gęstościowe, metody optymalizujące wstępny podział zbioru obiektów (metody optymalizacji iteracyjnej). 2. Metody hierarchicme Wśród metod hierarchicznych wyróżnia się metody aglomeracyjne oraz deglomeracyjne Hierarchiczne metody aglomeracyjne W praktycznych zastosowaniach metod klasyfikacji w badaniach ekonomicznych szczególne znaczenie przypada hierarchicznym metodom aglomeracyjnym. Są one stosunkowo najlepiej opracowane pod względem metodologicznym i odznaczają się cennymi walorami praktycznymi. Do niewątpliwych zalet tych metod należy zaliczyć to, że: a) działają według jednej procedury (zwanej centralną procedurą aglomeracyjną), b) wyniki klasyfikacji przedstawione są w postaci ciągu klasyfikacji (istnieje zatem możliwość kontrolowania procesu klasyfikacji), c) wyniki klasyfikacji można przedstawić graficznie w formie dendragramo (drzewka połączeń wskazującego na kolejność połączeń między klasami). Uzyskana hierarchia pozwala na dokładne określenie, jak wzajemnie usytuowane są poszczególne klasy oraz obiekty w nich zawarte, d) są one oprogramowane w podstawowych pakietach statystycznych (np. SPSS, CSS Statistica, Systat, Statgraphics).

4 54 Marek Walesiak Hierarchiczna klasyftkacja aglomeracyjna rozpoczyna się od sytuacj~ w której każdy obiekt badania A 1 (i = l,..., n) tworzy początkowo jedną klasę P 1 W związku z tym macierz odległości przybiera postać: O d(p 1, P 2 ) d(p 2, P 1 ) O (l) d(p,., P 1 ) d(p,., P 2 ) Hierarchiczne metody aglomeracyjne charakteryzują się (w ujęciu klasycznym 2 ) następującymi cechami: l) punktem wyjścia jest n klas jednoelementowych (jest tyle klas, ile jest obiektów), 2) po każdym kroku klasyftkacji liczba klas zmniejsza się o jeden, przy czym zmniejszenie liczby klas następuje przez połączenie dwóch istniejących, 3) istnieje n-1 kroków klasyftkacji; po n-1 krokach otrzymuje się jedną klasę zawierającą wszystkie obiekty, 4) proces klasyfikacji można przedstawić graficznie za pomocą dendrogramu (drzewka połączeń), wskazującego na kolejność połączeń między klasami Hierarchiczne metody aglomeracyjne działają według centralnej procedury aglomeracyjnej. Algorytm tej procedury jest następujący (por. np. Anderberg (1973), Gordon (1987)): l. W macierzy odległości szuka się pary klas najbardziej podobnych (najmniej odległych od siebie). Załóżmy, że będą to klasy P 1 oraz P". 2. Redukuje się liczbę klas o jeden, łącząc klasy P 1, P" w nową klasę. 3. Przekształca się odległości (stosownie do metody) między połączonymi klasami P 1, P" oraz pozostałymi klasami. 4. Powtarza się kroki 1-3 do chwili, gdy wszystkie obiekty znajdą się w jednej klasie. Różnice w procedurach metod aglomeracyjnych wynikają z odmienności definiowania odległości międzyklasowej w etapie trzecim. Lance i Williams (1966; 1967; 1968) oraz Jambu (1978) podali ogólny wzór na obliczanie odległości międzyklasowej, uwzględniający wszystkie znane metody klasyfikacji aglomeracyjnej. Odległość między połączonymi klasami P 1 u P" i inną klasą P 1 jest zdefiniowana następująco (por. Gordon (1987)): d(p 1 u Pk> P 1 ) = rx 1 d (Pi, P 1 )+rxk d(pk, P 1 )+ {3d(P 1, P.~J+ O +yid(p 1, P 1 )-d(pk, P 1 )i+ + c5i h (P 1 )+ c5" h (P J + sh (P 1 ). (2) 2 W ujęciu nieklasycznym proces klasyfikacji można zakończyć w ciągu mniejszej liczby kroków niż n-1 (por. Chojnicki i Czyż (1973)). W pracy te metody nie będą omawiane.

5 Metody kltj3yflkacji wielowymiarowej 55 W formule (2) O= (cx 1, ex", p, y, b 1, b", E) oznacza zbiór parametrów. których wartości zależą od konkretnego wariantu metody aglomeracyjnej, a h (P J oznacza poziom przyłączenia klasy P 1 Formuła bez parametrów (es,. csa:. E) została zaproponowana przez Lance'a i Williamsa (1966; 1967). a formuła postaci (2) przez Jambu (1978). Symbol metody Wartości patametrów charakteryzujących hierarchiczne metody aglomeracyjne a:, p Y c5, t Źródło C. l 0,5 o -0,5 o o Florele i in. (1951), Sneath (1957) Tabela l C.2 0,5 o 0,5 o o McQuitty (1960), Solcal i Sneath (1963) C.3 w, -- w 1 +w. o o o o Solcal i Michener (1958), McQuitty (1967) C.4 0,5 o o o o McQuitty (1966; 1967) w C.5 1 +w 1 w 1 +w. -w, -w, o - Jambu (1978) C.6 C.7 w. w. w. w. w 1 +w 1 -w, w. w. o o o Ward (1963). Wisbart (1969) w, -w, w. Solcal i Michener (1958), - - o o o w (w 1 +wj 1 Gower (1967) 1 +w. C.8 0,5-0,25 o o o Lance i Williams (1966), Gower (1967) C.9 l - (1-/1) 2 w.. = w 1 +w.+w 1 ; w 1 - Symbol metody C.l C2 C.3 C.4 c.s C.6 C.7 C.8 C.9 p(< l) o o o Lance i Williams (1967) liczba obiektów w klasie P,. Metoda pojedynczego połączenia (single link) kompletnego połączenia (complete link) średniej klasowej (group average link) ważona średnia kłasowa (weighted average link) wewnątrzkłasowa suma kwadratów odległości (within-group sum of square3 disttlllas) powiększona suma kwadratów odległości (incremental sum of squares) środka ciężkości (centroid) medianowa (median) giętka (flexible) Źródło: Opracowano na podstawie prac Gordona (1987), Corrnacka (1971) Walesiaka (1993b, 1993c).

6 56 Marele Walesiak Tabela 1 zawiera wartości parametrów charakteryzujących hierarchiczne metody aglomeracyjne. W tym miejscu przedstawiona zostanie krótka charakterystyka hierarchicznych metod aglomeracyjnych zawartych w tab. 1. Nazwa metody pojedynczego połączenia (najbli.ższego sąsiedztwa) wywodzi się stąd, że klasy w niej łączy się na zasadzie najmniejszej odjegłości spośród wszystkich odległości między obiektami należącymi do łą(.:zonych klas. Podstawową cechą tej metody jest skłonność do tworzenia klas w kształcie serpentyny (por. Everitt (1974)). Efekt ten czasami zwany jest łańcuchem (od angielskiego słowa chaining). Skutkiem skłonności do tworzenia łańcuchów jest możliwość powstawania klas zawierających obiekty mało do siebie podobne. Stosowanie tej metody prowadzi do dołączania obiektów do klas już istniejących, natomiast rzadziej powstają nowe klasy. Zjawisko to może być pożyteczne w pr.typadku, gdy nie interesuje nas poszukiwanie klas jednorodnych, a jedynie klas o optymalnym połączeniu obiektów (por. Everitt (1974, s. 61)). W praktyce marketingowej jednak użytkownicy metod kjasyfikacji dążą do uzyskania klas jednorodnych, przeto efekt łańcucha stanowi wadę tej metody. Skłonność do tworzenia klas w postaci łańcuchów cechuje również inne metody aglomeracyjne (z wyjątkiem metody kompletnego połączenia), z tym że w metodzie pojedynczego połączenia przejawia się ona najsilniej. Wynika to z tego, że metody te nie posiadają własności wypukłości. W wyniku zastosowania metody pojedynczego połączenia otrzymuje się najkrótszą sieć połączeń między obiektami zbioru A. Nazwa metody kompletnego połączenia pochodzi stąd, że klasy w niej łączy się na zasadzie największej odległości spośród wszystkich odjegłości między obiektami należącymi do łączonych klas (kryterium to uwzględnia więc wszystkie połączenia między obiektami łączonych klas). W efekcie zastosowania tej metody otrzymuje się najdłuższą sieć połączeń między obiektami zbioru A. Pozostale metody przyjmują wartości pośrednie przy ustalaniu odległości międzyklasowej. Wśród tych metod wyróżnia się takie, które uwzględniają liczbę obiektów w danej klasie przy ustajaniu odjegłości międzyklasowej (metody C.3, C.5, C.6, C.7), jak i metody, które łączone klasy traktują równoważnie, bez względu na liczbę obiektów w klasie (metody C.4 i C.8). Metody C.5-C.8 przyjmują założenie, że odległości między obiektami zostały wyznaczone za pomocą kwadratu odległości euklidesowej. Tylko bowiem w tym przypadku metody te mają interpretację geometryczną zgodną z nazwami tych metod. Interpretacja odległości międzyklasowej jest zdefiniowana: w metodzie C.5 jako wewnątrzkjasowa suma kwadratów odległości sumy klas P 1 u Pk; w metodzie C.6 jest to przyrost w sumie kwadratów odległości powstający w wyniku połączenia klas P; i P t; w metodzie C.7 jest to kwadrat odległości pomiędzy środkami ciężkości klas P 1 i P t; w metodzie C.8 jest to kwadrat odległości między ważonymi środkami ciężkości klas P 1, P" (po przyjęciu założenia, że klasy P 1, Pt mają tę samą wagę podczas tworzenia środka ciężkości nowej klasy).

7 Metody kla:syflktu:ji wklowymiarowej 57 Metody C.5-C.8 mogą być stosowane (por. Anderberg (1973, s. 141)), gdy macierz odległości jest liczona na podstawie innych miar odległości. ale interpretacja tak otrzymanych wyników (w sensie odległości międzyklasowej) nie jest zgodna z nazwami tych metod (przekształcenie w kroku 3 tych metod nie ma wartości interpretacyjnej). Charakterystyczną cechą metod centroidalnych (środka ciężkości i mediany: metody C.7 i C.8) jest to, że wartości poziomu połączenia klas h(p 1, P,J mogą podnosić się i spadać w momencie przechodzenia z kroku na krok w klasyfikacji hierarchicznej (por. Anderberg (1973, s. 141); Gordon (1981)), czyli metody te nie mają własności poprawnej struktury według drzewka połączeń Hierarchiczne metody deglomeracyjne Klasyfikacja deglomeracyjna, zwana także klasyfikacją dedukcyjną, zstępującą lub klasyfikacją przez podział, rozpoczyna się od sytuacji, w której punktem wyjścia jest jedna klasa obejmująca wszystkie obiekty badania A 1,...,A". W każdym kroku klasyflk:acji liczba klas zwiększa się o jeden, przy czym jej zwiększenie następuje prżez rozdzielenie jednej z istniejących klas. Po n -l krokach otrzymuje się liczbę klas równą liczbie obiektów badania, tzn. każdy obiekt tworzy jedną klasę. Do grupy tej należą trzy metody Huberta działające według ogólnej procedury deglomeracyjnej oraz metody dendrytowe, tj. metoda taksonomii wrocławskiej (por. Florek i in. (1951); Perkal (1953)) i metoda najkrótszej sieci połączeń Prima (por. Sneath (1957); Prim (1957)). Algorytm postępowania w metodach Huberta działających według ogólnej procedury deglomeracyjnej jest następujący (Kucharczyk (1982); Szczotka (1975)): l. Dla każdej istniejącej klasy wyznaczyć parę obiektów najbardziej odległych i spośród tych par wybrać tę, dla której odległość jest największa (w pierwszej iteracji będzie tylko jedna para). Niech będą to obiekty A 1 i A 1 należące do klasy P. (s= l,..., u). 2. Klasa P. zostaje podzielona na dwie klasy o numerach i oraz k. Przydzielić obiekt A 1 do klasy P 1, a obiekt A 1 do klasy P 1 Usunąć obydwa obiekty z klasy P. 3. Rozdzielić pozostałe obiekty klasy P. między klasy P 1 i P 1 Sposób podziału jest różny dla każdej z wersji. Wersja A. Dla każdego obiektu pozostałego w klasie P. wyznaczyć najbardziej odległy obiekt z klas P 1 i Pk i wybrać ten z klasy P., dla którego odległość jest największa. Jeżeli jest on najbardziej odległy od obiektu będącego w klasie P 1 (odpowiednio P,J, przydzielić go do klasy P 1 (odpowiednio P J i usunąć z klasy P.

8 58 Marek Walesiak Wersja B. Dla każdego obiektu pozostałego w klasie P. wymaczyć najmniej odległy obiekt z klas P 1 i Pa: i wybrać ten z klasy P., dla którego odległość jest najmniejsza. Przydzielić go do tej klasy, w której majduje się obiekt najmniej od niego odległy, i usunąć z klasy P. Wersja C. Dla każdego obiektu pozostałego w klasie P. wyznaczyć najmniej odległy obiekt z klas P 1 i Pa: i wybrać ten z klasy P., dla którego odległość ta jest największa. Przydzielić go do tej samej klasy, do której należy obiekt realizujący tę odległość. Usunąć wymaczany obiekt z klasy P. Wadą hierarchicznych metod deglomeracyjnych Huberta jest to, że w każdym kroku podział determinowany jest największą odległością wewnątrzklasową dwóch obiektów, natomiast odległości pozostałe nie są uwzględniane. Można tę niedogodność wyeliminować, stosując w kroku l tej procedury inne kryterium uwzględniające wszystkie odległości między obiektami w klasie. Autor proponuje do tego celu wykorzystać średnią odległość wewnątrzklasową (por. Walesiak (1986)). Zatem treść kroku l po tej modyfikacjijest następująca: 1. Dla każdej istniejącej klasy policzyć wartość funkcji " l' =i-ł L L d(a,, Al') 1=2 1'=1 (3) gdzie: n - liczba w klasie o numerze s, l, l'= l,..., n. Spośród tych klas wybieramy do podziału tę, dla której funkcja (3) osiąga maksimum. Dla klasy tej wyznaczamy parę obiektów najbardziej odległych. Niech będą to obiekty A 1 i A 1 należące do klasy P. Pozostale kroki nie ulegają zmianie. Zaletą tego podejścia jest to, że w pierwszej kolejności zostają rozdzielone klasy o mniejszej zwartości przestrzennej. W wypadku kryterium wprowadzonego przez Huberta zwartość przestrzenna obiektów nie miała znaczenia. W tym miejscu należy zwrócić uwagę na pewne nieścisłości zawarte w polskiej literaturze omawiającej metody dendrytowe. Otóż wyniki otrzymane metodą Prima, taksonomii wrocławskiej (jak również pojedynczego połączenia) są identyczne, gdyż w rezultacie zastosowania każdej z nich otrzymuje się najkrótszą sieć połączeń między obiektami ze zbioru A. Między innymi w pracy (Pociecha i in. (1988, s. 158)) poddaje się w wątpliwość ten oczywisty fakt, stwierdzając, że "w przypadku klasyfllcacji dużych zbiorów wyniki otrzymane tymi metodami są zazwyczaj inne". W badaniach empirycznych często te trzy metody stosuje się równolegle, otrzymując różne wyniki (por. np. pracę: Pociecha i in. (1988, s. 227 i dalsze)). Niedopuszczalne jest stosowanie i porównywanie wyników uzyskanych w danym badaniu za pomocą tych metod. Zastosowanie jednej z tych metod w badaniu automatycznie wyklucza użycie pozostałych. Zdarza się w badaniach empirycznych, że istnieje możliwość konstrukcji więcej niż jednej sieci połączeń o tej samej minimalnej długości (w przypadku, gdy w macierzy odległości występują takie same odległości między różnymi

9 Merody klasy.ftkacjl wielowymiarowej 59 obiektami). Wszystkie możliwe sieci połączeń uzyskuje się jednak za pomocą każdej z metod. Nie można przyjmować więc jednej z możliwych sieci jako ostatecznej dla metody Prima, innej dla metody taksonomii wrocławskiej, a jeszcze innej dla metody pojedynczego połączenia Do hierarchicznych metod deglomeracyjnych zalicza się również metodę k-średnich Howarda-Harrisa (por. Green, Carmone i Smith (1989, s i )). 3. Metody obszarowe i gęstościowe Ogólna filozofia tych metod klasyftkacji polega na tym, że wydzielonymi przy ich użyciu klasami są takie obszary w przestrzeni m-wymiarowej, które charakteryzują się większą gęstością obiektów i są oddzielone obszarami o mniejszej gęstości obiektów. Według Grabińskiego (por. Mynarski (1992)) metody obszarowe to takie, w których "... przestrzeń klasyfikacji dzieli się na rozłączne podobszary zgodnie z odpowiednio ustalonymi zasadami oraz traktuje jednostki znajdujące się w tych obszarach jako odrębne klasy. Porlobszary te stanowić mogą hipersfery, hiperkule lub hiperkostki...". Między innymi klasy budowane są w tych metodach na zasadzie gwiazdy (metoda kul - Bukietyński, Hellwig, Królik i Smoluk (1969), metoda taksonomii stochastycznej - Siedlecka (1976)) oraz jako klasy pełne (algorytm eliminacji wektorów - Chomątowski i Sokołowski (1978)). Gwiazda jest to zbiór obiektów, których podobieństwo do ustalonego obiektu - zwanego środkiem gwiazdy - jest nie mniejsze niż ustalona wartość progowa.. Klasa pełna jest to zbiór obiektów, w którym podobieństwo każdej pary obiektów jest nie mniejsze niż ustalona wartość progowa. Do tej grupy metod zalicza się również metodę prostopadłościanów (por. Kolonko, Stolarska i Zadora (1970)). Metody gęstościowe (density search techniques) powstały w celu eliminacji "efektu łańcuchowego" właściwego hierarchicznym metodom aglomeracyjnym. Do tej grupy można zaliczyć m.in. metodę grafową Pluty (1977) oraz metodę T AXMAP Carmichaela i Sneatha (por. Everitt (1974)). 4. Metody optymalizujące wstępny podział zbioru obiektów (metody optymalizacji iteracyjnej) Punktem wyjścia metod optymalizacji iteracyjnej jest wstępny podział zbioru obiektów na s klas otrzymany np. przy użyciu dowolnej metody klasyfikacji lub ustalony losowo. Zadaniem tych metod jest "poprawienie" z punktu widzenia pewnej zdefiniowanej funkcji-kryterium wstępnego podziału zbioru obiektów na s klas.

10 60 Man:lc Walesiak Metody optymalizacji iteracyjnej działają według następującego schematu (por. Aldenderfer i Blashfield (1984, s. 45)): a) dla każdej klasy wstępnego podziału oblicza się.środki ciężkości oraz odległości każdego obiektu od środków ciężkości tych klas; b) zmienia się przyporządkowanie obiektów do klas o najbliższym środku ciężkości; c) oblicza się nowe środki ciężkości dla każdej klasy; d) powtarza się kroki "b" i "c" do chwili, gdy nie nastąpią przesunięcia obiektów między klasami. Po każdej iteracji oblicza się wartość funkcji-kryterium jakości klasyfikacji. Wśród metod optymalizacji iteracyjnej Anderberg (1973) wyróżnia metody: Forgy'ego, Janceya, k-średnich McQueena, k-średnich Wisharta, ISODAT A Balla i Hałła. Literatura Ajvazjan S.A., Bezaeva Z.I., Staroverov O.V.: Klassifikacija mnogomiernych nabludenij. Moskva: Statistika Aldenderfer M.S., Blashfield R.K.: Gluster analysis. Beverly Hills: Sage Anderberg M.R.: Gluster analysisfor applications. New York, San Francisco, London: Academic Press Anderson W.T., Cox. E.P., Fulcher D.G.: Bank selection decisions and market segmentation. "Joumal of Marketing January" 1976 vol. 40, Anderson K.H., Butler J.S., Sloan F.A.: Labor market segmentation: a eluster analysis ofjob groupings and barriers to entry. "Southem Economic Joumal" 1987 vol. 53, Atchley W.R., Bryant E.H.: Multivariate statistical1n2thods: among-groups covariation. Stroudsburg, Pennsylvania: Halsted Press Bazarnik J., Grabiński T., Kąciak E., Mynarski s.. Sagan A.: Badania marketingowe. Metody i oprogramowanie komputerowe. Warszawa-Kraków: Canadian Consortium of Management Schools, Akademia Ekonomiczna w Krakowie Berlage L., Terweduwe D.: The classification ofcountries by eluster and by factor analysis. Research paper in economic development no. 8. Leuven: KUL Berlag e L., Legesse H.: Classifications of countries on the basisof different sets of socioeconomic variables. Research paper in economic development no. 13. Leuven: KUL Bijnen E.J.: Gluster analysis. The Netherlands: Tilburg University Press 1973.

11 Metody klasyfikacji wielowymiarowej 61 Borys T.: Kategoria jakości w statystycznej analizie porównawczej. Wrocław: AE Prace Naukowe AE we Wrocławiu nr 284. Seria: Monografie i opracowania nr 23. Borys T., StrahJ D., Walesiak M.: Wkład ośrodka wrocławskiego w rozwój teorii i zastosowań metod taksonomicznych. Materiały z konferencji naukowej w Mogilanach, Kraków: AE Brundage T.W.: Use and stability of classifications offirms in Oregon's Health Care Industry. Proceedings of the Business and Economics Statistics Section. New Orleans, Luisiana, August, 22-25, 1988, Brzeziński J. (red.): Wielozmienne modele statystyczne w badaniach psychologicznych. Warszawa, Poznań: PWN Bukietyński W., Heliwig Z., Królik U., Smoluk A.: Uwagi o dyskryminacji zbiorów skończonych. Prace Naukowe WSE we Wrocławiu 1969 z. 21. Chen H., Gnanadesikan R., Kettenring J.R. : Statistical methods for grouping corporations. "Sankhya" 1974 ser. B Chojnicki Z., Czyż T.: Metody taksonomii numerycznej w regionalizacji geograficznej. Warszawa: PWN Chojnicki Z. (red.): Metody ilościowe i modele w geografii. Warszawa: PWN Chomąt o w ski S., Sokołowski A.: Taksonomia struktur. "Przegląd Statystyczny" 1978 z. 2. Clifford H.T., Stephenson W.: An introduction to numerical classification. New York: Academic Press Cormack R.M. : A reuiew of classification (with discussion). "Joumal of the Royal Statistical Society" 1971 ser. A part 3, Czekanowski J.: Zarys metod statystycznych w zastosowaniu do antropologii. Warszawa: Towarzystwo Naukowe Warszawskie Czekanowski J. : Zarys antropologii Polski. Lwów: Jakubowski i sp Dąbrowski M., Laus-Mączyńska K.: Metody wyszukiwania i klasyfikacji informacji. Warszawa: WNT Duran B.S., Odell P.L. : Cłuster analysis. A survey. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag Everitt B.S.: Cłuster analysis. London: Heinemann Everitt B.S., Dunn G.: Advanced methods of data exploration and modelling. London: Heinemann Ficrich J.: Próba zastosowania metod taksonomicznych do rejonizacji systemów rolniczych w województwie krakowskim. "Myśl Gospodarcza" 1957 nr l, Florek K., Łukasiewicz J., Perka) J., Steinhaus H., Zubrzycki S. : Taksonomia wrocławsk a. "Przegląd Antropologiczny" (17), Gordon A.D.: Classification. London: Chapman and Hall Gordon A.D.: A review of hierarchical classification. "Joumal of the RoyaJ Statistical Society" 1987 ser. A,

12 62 Marek: Walesiak Gorzelak G.: Zastosowanie statystycznej analizy porównawczej do badania przestrzennej struktury rolnictwa w Polsce (według województw). Praca doktorska. Wrocław: AE G ower J.C. : A comparison of some methods oj eluster analysis. "Biometńcs" 1967 (23), Gower J.C.: Discussion on dr Cormack's paper. "Journal of the Royal Statistical Society" 1971 ser. A part 3, Grabiński T., Wydymus S., Zeliaś A.: Metody doboru zmiennych w modelach ekonometrycznych. Warszawa: PWN Grabiński T., Wydymus S., Zeliaś A.: Metody prognozowania rozwoju społeczno-gospodarczego. Warszawa: PWE Grabiński T.: Wielowymiarowa analiza porównawcza w badaniach dynamiki zjawisk ekonomicznych. Kraków: AE Zeszyty Naukowe AE w Krakowie. Seria specjalna: Monografie nr 61. Grabiński T., Wydymus S., Zeliaś A.: Metody taksonomii numerycznej w modelowaniu zjawisk społeczno-gospodarczych. Warszawa: PWN Grabiński T.: Metody taksonometrii. Kraków: Akademia Ekonomiczna Green P.E., Tuli D.S., Albaurn G.: Research for marketing decisions. Englewood Cliffs: Prentice-Hall Green P.E., Carmone FJ., Smith S.M.: Multidimensional scaling. Concepts and applications. Boston, London, Sydney, Toronto: Allyn and Bacon Hair J.F., Anderson R.E., Tatham R.L.: Multivariate data analysis with readings. New York: Macmilłan Hand D.J.: Discrimination and classification. New York: Wiley Hartigan J.A.: Cłustering algorithms. New York, London, Sydney, Toronto: Wiley H ar t igan J.A.: Classification. W: Encyclopedia oj statistical sciences. Vol. 2. New York: Wiley 1982, Heliwig Z.: Zastosowanie metody taksonomicznej do typologicznego podziału krajów ze względu na poziom ich rozwoju i strukturę wykwalifikowanych kadr. "Przegląd Statystyczny" 1968 z. 4, H e II w i g Z.: Wielowymiarowa analiza porównawcza i jej zastosowanie w badaniach wie/ocechowych obiektów gospodarczych. W: W. Welfe (red.): Metody i modele ekonomiczno-matematyczne w doskonaleniu zarządzania gospodarką socjalistyczną. Warszawa: PWE Heliwig Z.: Nieuzgodnione problemy WAP. Wrocław : AE Prace Naukowe AE we Wrocławiu nr 449, 5-9. Heliwig Z., Gospodarawicz A.: Zastosowanie analizy porównawczej w badaniach międzynarodowych. Prace Zakładu Badań Statystyczno-Ekonomicznych nr 83. Warszawa: GUS Hirschberg J.G., Maasoumi E., Slottje D.J.: Cłuster analysis for measuring welfare and quality of life across countries. "Joumal of Econometrics" 1991 (50),

13 Metody klasyfikacji wielowymiarowej 63 Hussain M.: Taksonomiczne metody podziału zbiorów skończonych. Kraków: AE Praca doktorska. Jajuga K.: Metody analizy wielowymiarowej w ilościowych badaniach przestrzennych. Wrocław: AE 1981 (praca doktorska~ Jajuga K.: Statystyka ekonomicznych zjawisk złożonych- wykrywanie i analiza niejednorodnych rozkładów wielowymiarowych. Wrocław: AE Prace Naukowe AE we Wrocławiu nr 371. Seria: Monografie i opracowania nr 39. Jajuga K.: Statystyczna teoria rozpoznawania obrazów. Warszawa: PWN Ja m bu M.: Classification automatique pour l'analyse des donnees. Tome L Paris: Dunod Jardine N., Sibson R.: Mathematical taxonomy. New York: Wiley Jensen R.E.: A eluster analysis study of financial performance of selected business firms. "The Accounting Review" January 1971 vol. 46, Kaczmarek Z., Parysek J.J.: Zastosowanie analizy wielowymiarowej w badaniach geograficzno-ekonomicznych. W: Z. Chojnicki (red.): Metody ilościowe i modele w geografii. Warszawa: PWN 1977, Kaufman L., Rousseeuw P.J.: Finding groups in data: an introduction to eluster analysis. New York: Wiley Kend a li M.G.: Multivariate analysis. London: Griffin Kolonko J., Stolarska E., Zadora K.: Prosta metoda dyskryminacji zbiorów skończonych. "Przegląd Statystyczny" 1970 nr 2. Kolonko J.: Analiza dyskryminacyjna i jej zastosowania w ekonomii. Warszawa: PWN Krzanawski W.J.: Principles of multivariate analysis. Oxford: Cłarendon Press Kucharczyk J.: Algorytmy analizy skupień w języku Algol 60. Warszawa: PWN Lance G.N., Williams W.T.: A generalized sorting strategy for computer classifications. "Nature" 1966 (212), 218. Lance G.N., Williams W.T.: A generał theory of classificatory sorting strategies. I. Hierarchical systems. "Computer Journal" 1967 (9), Lance G.N., Williams W.T.: A generał theory of classificatory sorting strategies. II. Cłustering systems. "Computer Journal" 1968 (10), Lebart L., Morineau A., Warwiek K.M.: Multivariate descriptive statistical analysis. Correspondence analysis and related techniques for large matrices. New York: Wiley Lorr M.: Cłuster analysisfor social scientists. San Francisco: Jossey-Bass Manly B.FJ.: Multivariate statistical methods. A primer. London: Chapman and Hall Marek T.: Analiza skupień w badaniach empirycznych. Warszawa: PWN McQuitty L.L.: Hierarchical linkage analysis for the isolation of types. "Educational Psychological Measurement" 1960 (20),

14 64 Marek WaJesiak McQuitty L.L.: Similarity analysis by redprocal pairs for discrete and continuous data. "Educational Psychological Measurement" 1966 (26), M c Q u i tt y L. L.: Expansion ofsimilarity analysis by redprocal pairs for discrete and continuous data. "Educational Psychological Measurement" 1967 (27), Mezzich J.E., Solomon H.: Taxonomy and behavioral science: comparative performance of grouping methods. London: Academic Press Mynarski S.: Metody badań marketingowych. Warszawa: PWE Mynarski S. (red.): Badania przestrzenne rynku i konsumpcji. Przewodnik metodyczny. Warszawa: PWN N o w ak E.: Metodyka statystycznych analiz porównawczych efektywności obiektów rolniczych. Wrocław: AE Prace Naukowe AE we Wrocławiu nr 292. Seria: Monografie i opracowania nr 25. N o w ak E.: Metody taksonomiczne w klasyfikacji obiektów społeczno-gospodarczych. Warszawa: PWE Obrębalski M., Walesiak M.: Pomiar i identyfikacja zmian poziomu warunków mieszkaniowych ludności miejskiej regionu jeleniogórskiego w latach Prace Naukowe AE we Wrocławiu nr 600 (1991), Ostasiewicz W.: Dyskryminacja, klasyfikacja, rozpoznawanie. Wrocław: AE Prace Naukowe AE we Wrocławiu nr 165. Perkal J.: Taksonomia wrocławska. "Przegląd Antropologiczny" Poznań 1953 t 19. Pluta W.: Wielowymiarowa analiza porównawcza w badaniach ekonomicznych. Warszawa: PWE Pl u ta W.: Metody wielowymiarowej analizy porównawczej w modelowaniu infomwcji ekonomicznej kombinatu przemysłowego. Wrocław: AE Prace Naukowe AE we Wrocławiu nr 156. Pl u ta W.: Wielowymiarowa analiza porównawcza w modelowaniu ekonometrycznym. Warszawa: PWN Pociecha J.: Statystyczne metody segmentacji rynku. Kraków: AE Zeszyty Naukowe AE w Krakowie. Seria specjalna: Monografie nr 71. Pociecha J., Podolec B., Sokołowski A., Zając K.: Metody taksonomiczne w badaniach społeczno-ekonomicznych. Warszawa: PWN Podolec B., Zając K.: Ekonometryczne metody ustalania rejonów konsumpcji. Warszawa: PWE Prim R.C.: Shortest connection networks and same generalizations. "Bell System Technical Journal" 1957 (36), Punj G., Stewart D.W.: Cłuster analysis in marketing research: review and suggestions for application. "Journal of Marketing Research" May 1983, Racine J.B., Reymond H.: Analiza ilościowa w geografii. Warszawa: PWE 1978.

15 Metody klasxflluicji wielowymiarowej 65 Rozin B.B.: Teoria rozpoznawania obrazów w badaniach ekonomicznych. Warszawa: PWN Seber G.AF.: Multivariate observations. New York: Wiley Siedlecka U.: Zastosowanie metody taksonomii stochastycznej do dyskryminacji zbiorów skończonych. "Przegląd Statystyczny" 1976 z. 3. Sneath P.H.A: The application of computers to taxonomy. "Joumal Gen. Microbiol." 1957 (17), Sneath P.H.A.: Evaluation of clustering methods (with discussion). W: AJ. Cole (ed.): Numerical taxonomy. London: Academic Press 1969, Sneath P.H.A., Solcal RR.: Numerical taxonomy. San Francisco: W.H. Freeman and Co Sok al R.R, Michener C.D.: A statistical method for evaluating systematic relationships. Univ. Kansas Sci. Bull (38), Sokal R.R., Sneath P.H.A.: Principles ofnumerical taxonomy. San Francisco: W.H. Freeman Sok a l R.R: Cłustering and classification: background and current directions. W: J. Van Ryzin (ed.): Classijication and clustering. New York: Academic Press 1977, Sokal R.R: Unsolved problemsin numerical taxonomy. W: H.H. Bock (ed.): Classijication and related methods oj data analysis. Amsterdam: North -Holland 1988, Sokołowski A.: Empiryczne testy istotności w taksonomii. Kraków: AE 1992 Zeszyty Naukowe Akademii Ekonomicznej w Krakowie. Seria specjalna: Monografie nr 108. Szczotka F.A.: Podstawy taksonomii numerycznej. Warszawa Problem węzłowy Grupa tematyczna 03. Temat AL Maszynopis IGiPZ PAN. Van Ryzin J. (ed.): Classij'ication and clustering. New York, San Francisco, London: Academic Press Walesiak M.: Metody klasyfikacji w badaniach strukturalnych. Wrocław: AE Rozprawa doktorska. Walesiak M.: Kilka uwag o niektórych hierarchicznych metodach klasyfikacji. Wrocław: AE Prace Naukowe AE we Wrocławiu nr 328, Walesiak M.: Przegląd zastosowań metod klasyfikacji i porządkowania liniowego w rozwiązywaniu problemów marketingowych. "Wiadomości Statystyczne" 1993a nr 2, Walesiak M.: O problemie wyboru właściwej metody w klasyfikacji hierarchicznej. Zeszyty Naukowe AE w Katowicach. Materiały z XXVIII Konferencji Ekonometryków, Statystyków i Matematyków Akademii Ekonomicznych Wrocławia, Katowic i Krakowa. Katowice 1993b (w redakcji). Walesiak M.: Statystyczna analiza wielowymiarowa w badaniach marketingowych. Prace Naukowe AE we Wrocławiu nr 654. Seria: Monografie i opracowania. Wrocław: AE 1993.

16 66 Marek Walesiak Ward J.H.: Hierarchical grouping to optimize an objectivefunction... Joumal of the Ameńcan Statistical Association" 1963 (58), Wishart D.: An.algorithm for hierarchical classi.fication. "Biometńcs" 1969 (25), Wydymus S.: Metody wielowymiarowej analizy rozwoju społeczno-gospodarczego. Kraków: AE Zeszyty Naukowe AE w Krakowie. Seria specjalna: Monografie nr 62. Ze] iaś A. (red.): Ekonometria przestrzenna. Warszawa: PWE Zukowska V.M., Mucnik J.G.: Faktomyj analiz v socialno-ekonomiceskich issledovanijach. Moskva: Statistika MULTIVARIATE CLASSIFICATION METHODS. A SURVEY Summary Classi.fication methods are important and frequently applied tool of multivańate stallitical analysis. lbe artide contains a review of multivańate classification methods from thc viewpoint of the practicaj user.