|
|
- Lech Kołodziej
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Pierwszy case - przepływy potencjalne i laminarne, wizualizacja Karol Wędołowski, IGF/ICM UW
2 Czym będziemy się zajmować? () Problem fizyczny opływ cylindra Przepływ potencjalny (nieściśliwy i bezwirowy) Lepki, nieściśliwy przepływ laminarny (2) Struktura case'u w praktyce (streamfunctionfoam) Tworzenie siatki blockmesh i blockmeshdict Wstępna uwaga o wizualizacji paraview i parafoam ZADANIE znajdź i popraw błąd w siatce Warunki początkowe i brzegowe folder 0 : psi ZADANIE 2 uzupełnienie warunków brzegowych Wizualizacja c.d. ZADANIE 3 porównania z rozwiązaniem analitycznym (3) Symulacja lepkiego przepływu laminarnego Solver icofoam dodatkowy plik transportproperties, zmiany w katalogu system. ZADANIE 4 uzupełnienie pliku controldict ZADANIE 5 zmiana liczby Reynoldsa, wizualizacja
3 Opływ cylindra przepływ potencjalny 2D Założenia: U =0 U =0 Wnioski: e x ey y x U = e x e z y y 2 =0 U= 2 =0 Równania laplace'a na potencjał skalarny i funkcję prądu. Jeden stopień swobody cyrkulacja wokół cylindra. Przepływ jest zdefiniowany przez warunki brzegowe na funkcję prądu! Rozwiązanie analityczne (dla zerowej cyrkulacji): [ U x =U U y =U Wartość funkcji prądu dla przepływu potencjalnego r cos 2 R r sin 2 R ]
4 Opływ cylindra lepki przepływ nieściśliwy Równania: U =0 U U U = p 2 U t Równania zmienne w czasie, ale dochodzące do stanu stacjonarnego Potrzebne są warunki brzegowe dla prędkości i ciśnienia Brak poślizgu na powierzchni cylindra Wartość prędkości dla Re=50 liczba Reynoldsa R e= RU
5 Co będzie potrzebne do ćwiczeń? () Plik pierwszycase.tar Rozpakowujemy poleceniem tar -xf pierwszycase.tar (2) Otwieramy katalog streamfunctionfoam Uruchamiamy polecenie wmake jest to kompilacja solvera (ale o tym później ) (3) Wracamy i otwieramy katalog cylinderstreamfunction
6 Struktura case'u cylinderstreamfunctionstart 0 constant psi system polymesh controldict fvscheme fvsolution blockmeshdict points faces owner neighbour otwieramy folder polymesh
7 Aplikacja blockmesh Służy do konstrukcji prostych strukturalnych siatek składających się z elementów zwanych blokami Możliwe jest tworzenie różnych kształtów komórek ale najłatwiej używa się komórek heksagonalnych Umożliwia tworzenie krawędzi, nie będących liniami prostymi np. łuków lub spline'ów Komunikacja z użytkownikiem przez plik tekstowy blockmeshdict Wymaga trochę cierpliwości i trójwymiarowej wyobraźni :-)
8 Aplikacja blockmesh
9 Aplikacja blockmesh Widok jednej ściany siatki (z=-0,5 m) wraz z numeracją bloków i punktów.
10 Plik blockmeshdict Jak zdefiniować siatkę? W skrócie: Podzielmy interesującą nas geometrię na bloki (np. heksagonalne) Wypiszmy współrzędne wszystkich wierzchołków występujących w tych blokach (wspólne punkty wypisujemy tylko raz) Zdefiniujmy za ich pomocą bloki (przez podanie 8 punktów w odpowiedniej kolejności) Jeżeli część krawędzi utworzonych bloków ma być krzywymi, to definiujemy ich kształt. Przyporządkowujemy zewnętrzne ściany bloków do odpowiednich fragmentów brzegu obszaru (tzw. patches)
11 Plik blockmeshdict A na przykładzie: Otwórzmy plik blockmeshdict Zwróćmy uwagę z jakich części się składa vertices blocks edges patches mergepairs (nieistotne)
12 Plik blockmeshdict Vertices indeksowanie od 0! dobrze jest ponumerować kolejne punkty ( // oznacza komentarz, tak jak w C++) vertices ( ( ) ( 0-0.5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Uwaga! W OpenFOAM zawsze używamy siatki trójwymiarowej (w przypadku 2D siatka ma jedną komórkę grubości w jednym z kierunków) //0 // //2 //3 //4 //5 //6... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Punkty o numerach 0-8 oraz znajdują się w płaszczyźnie z=-0,5 m. Punkty o numerach 9-37 oraz 5-63 znajdują się w płaszczyźnie z=0,5 m. //3 //32 //33 //34 //35 //36 //37... ); ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) //59 //60 //6 //62 //63
13 Plik blockmeshdict Blocks blocks ( ); ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lista wierzchołków (0 0 ) (0 0 ) (00 0 ) (00 20 ) (0 20 ) (0 0 ) (0 0 ) (20 0 ) (20 20 ) (0 20 ) (0 0 ) (0 0 ) (00 0 ) (00 20 ) (0 20 ) (0 0 ) (0 0 ) (20 0 ) (20 20 ) (0 20 ) liczba komórek w każdym kierunku ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) sposób zagęszczenia komórek //0 // //2 //3 //4 //5 //6 //7 //8 //9 //0 // //2 //3 //4 //5 //6 //7 //8 //9
14 Plik blockmeshdict Blocks Pojedynczy blok dzielimy na odpowiednią liczbę komórek w każdym z kierunków wyznaczonych przez lokalny układ współrzędnych. Sąsiadujące bloki muszą mieć wspólną ścianę podzieloną na komórki w taki sam sposób (inaczej używamy mergepairs). Blok można dzielić na komórki niejednorodnie, (np. lub edgegrading ). Kolejność numerowania wierzchołków w bloku wyznacza w nim lokalny układ współrzędnych.
15 Plik blockmeshdict Edges Definiując łuk pomiędzy dwoma punktami podajemy trzeci punkt leżący na tym samym okręgu. edges ( 0 5 ( ) 5 0 ( ) 4 ( ) 4 9 ( ) 9 24 ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ( ) 6 0 ( )... W przypadku spline'ów podajemy listę punktów interpolacyjnych. ); ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
16 ZADANIE Zbudować siatkę poleceniem blockmesh Obejrzeć ją w programie Paraview (polecenie parafoam) Znaleźć błędy w siatce i poprawić je w pliku blockmeshdict Ale najpierw, krótka uwaga o programie Paraview...
17 Program Paraview i polecenie parafoam Paraview jest darmowym (otwartym) programem służącym do wizualizacji danych. Odczytuje wiele formatów danych wejściowych, m.in. jest zintegrowana ze strukturą case'ów w OF. Najłatwiej, uruchomić polecenie parafoam z poziomu głównego katalogu case'u. Można też stworzyć pusty plik z rozszerzeniem.openfoam, uruchomić program poleceniem paraview i otworzyć utworzony plik poprzez file open UWAGA! W razie, gdyby program paraview wyświetlał dziwne kształty należy spróbować przed uruchomieniem wpisać w terminalu linijkę export LC_ALL=C
18 Program Paraview elementy siatki do wyświetlenia pola do załadowania sposób kolorowania obiektu sposób wyświetlania obiektu
19 Program Paraview wybór chwili czasowej linie prądu kalkulator przekrój pole wektorowe Wracamy do zadania...
20 Plik blockmeshdict Patches Jest to podział brzegu obszaru na oddzielne powierzchnie, na których można zadać różne warunki brzegowe. Do każdego zdefiniowanego fragmentu przyporządkowujemy odpowiednie ściany bloków, wykorzystanych w siatce. Ścianę określamy jako listę wierzchołków w kolejności takiej, aby definiowała ona wektor normalny na zewnątrz domeny. W geometrii 2D możemy nie definiować ścian oddzielonych jedną warstwą komórek. Zostaną one dodane do obszaru defaultfaces. patches ( patch down ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) patch outlet ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) patch inletup ( ( ) ( ) ) patch inletdown ( ( ) ( ) ) patch cylinder ( ( ) ( ) ( ) ( ) patch up ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ) ); (40 (45 (48 ( ) 40) 45) 48)
21 Plik blockmeshdict up inletup cylinder inletdown down outlet
22 Warunki brzegowe ZADANIE 2 Uzupełnić warunki brzegowe w pliku psi w katalogu 0. Uruchomić symulację poleceniem streamfunctionfoam
23 ZADANIE 2 Chcemy mieć na wlocie (inlet) jednorodną prędkość 0,25 m/s. Podpowiedź: Stała wartość psi dla ścian up i down oraz dla cylindra Stały gradient na wlocie i wylocie (inletup, inletdown, outlet) Sprawdzić jak zależy przepływ od wartości psi na powierzchni cylindra. dimensions [ ]; internalfield uniform 0; boundaryfield { down { type??? } outlet { type??? } up { type??? } inletup { type??? } inletdown { type??? } cylinder { type??? } defaultfaces { type empty; } }
24 ZADANIE 3 Porównać wyniki z rozwiązaniem analitycznym Wykorzystać funkcję calculator w Paraview y Rozwiązanie analityczne (dla zerowej cyrkulacji): U x =U [ U y =U r cos 2 R r sin 2 R ] r R Θ x
25 Solver icofoam Solver icofoam rozwiązuje zmienne w czasie równania NavierStokes'a dla płynu nieściśliwego z czysto molekularną lepkością. Stosowany jest w nim algorytm PISO do rozwiązania sprzężenia ciśnienie - prędkość. Równania: U =0 U 2 U U = p U t Konieczne są warunki początkowe i brzegowe na U i p. Jeden parametr fizyczny lepkość (transportproperties) Zarządzanie czasem symulacji (controldict) Otwórzmy katalog cylindericofoamstart...
26 Struktura case'u cylindericofoamstart 0 constant transportproperties U p system polymesh blockmeshdict points faces owner neighbour controldict fvscheme fvsolution
27 Plik transportproperties /* * C++ * *\ ========= \\ / F ield OpenFOAM: The Open Source CFD Toolbox \\ / O peration Version:.7. \\ / A nd Web: \\/ M anipulation \* */ FoamFile { version 2.0; format ascii; class dictionary; location "constant"; object transportproperties; } // * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * // nu nu [ ] 0.005; wartość nazwa stałej w symulacji nazwa pozycji w słowniku jednostki
28 Plik controldict Początek symulacji starttime, firsttime lub latesttime Wartość zmiennej starttime Koniec symulacji endtime, writenow, nowritenow lub nextwrite application icofoam; startfrom starttime; starttime???; stopat???; endtime endtime; Wartość zmiennej endtime Krok czasowy Kiedy zapisywać wyniki timestep lub adjustableruntime (przy zmiennym kroku czasowym) DeltaT???; writecontrol timestep; WriteInterval???; Co ile kroków czasowych (timestep) lub co ile sekund (adjustableruntime) purgewrite 0; Nadpisywanie katalogów jeśli różne od zera, definiuje ile ostatnich folderów będzie zapisanych
29 Plik fvschemes Zestaw schematów dyskretyzacji dla poszczególnych członów w równaniach. Może być podana wartość domyślna. Gauss - oznacza, że wykorzystuje się naturalną dla FVM zamianę całek objętościowych na powierzchniowe (twierdzenie Gaussa). np. linear schemat interpolacji wartości ze środków komórek na ściany Aby sprawdzić dostępne schematy najlepiej wpisać błędną nazwę i uruchomić solver. ddtschemes { default Euler; } gradschemes { default Gauss linear; grad(p) Gauss linear; } divschemes { default none; div(phi,u) Gauss linear; } laplacianschemes { default none; laplacian(nu,u) Gauss linear corrected; laplacian(( A(U)),p) Gauss linear corrected; } div(phi,u) Gauss ddsaf;
30 ZADANIE 4 Uzupełnić plik controldict (dobrać odpowiedni krok czasowy) Uruchomić solver icofoam i obejrzeć wyniki Powiększyć domenę, aby zmniejszyć wpływ brzegów (zachować rozdzielczość siatki) Użyć stabilnego schematu z większym krokiem czasowym
31 ZADANIE 5 Wykonać kilka symulacji dla różnych liczb Reynoldsa. Czy zmiania się charakter przepływu? Wyrysować linie prądu, wokół cylindra oraz w obszarze recyrkulacji Parametry schematu całkowania Źródło, z którego wypuszczamy próbki Point Source lub Line Source Stream tracer
32 Bardzo dziękuję za uwagę
Od żłobka do przedszkola - mini szkolenie z użytkowania pakietu OpenFOAM. Karol Wędołowski 06.04.2011
Od żłobka do przedszkola - mini szkolenie z użytkowania pakietu OpenFOAM Karol Wędołowski 06.04.2011 Część 2. Struktura case'u na przykładzie przepływu w zagłębieniu 1. Potrzebne katalog i pliki W tej
Bardziej szczegółowoOtwarte oprogramowanie OpenFOAM 28-30 stycznia 2014 r. 1 / 61
Otwarte oprogramowanie OpenFOAM 28-30 stycznia 2014 r. 1 / 61 Otwarte oprogramowanie OpenFOAM podstawy, wybrane zastosowania Kamil Kwiatkowski Paweł J. Żuk Interdyscyplinarne Centrum Modelowania Matematycznego
Bardziej szczegółowoProjekt badawczy N N209 374139 Badania doświadczalne i numeryczne przepływu płynów lepkosprężystych
Tworzenie siatek numerycznych na przykładzie układu cylinder cylinder przepływ Couette Układ, dla którego przedstawiono w ramach niniejszego rozdziału sposób generowania siatek numerycznych, stanowiły
Bardziej szczegółowoMgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL
Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL We wstępnej analizie przyjęto następujące założenia: Dwuwymiarowość
Bardziej szczegółowoPolitechnika Poznańska
Politechnika Poznańska Metoda Elementów Skończonych-Projekt Prowadzący: Dr hab. Tomasz Stręk prof. nadzw. Wykonali : Grzegorz Paprzycki Grzegorz Krawiec Wydział: BMiZ Kierunek: MiBM Specjalność: KMiU Spis
Bardziej szczegółowoAerodynamika I Efekty lepkie w przepływach ściśliwych.
Aerodynamika I Efekty lepkie w przepływach ściśliwych. przepłw wokół profilu RAE-2822 (M = 0.85, Re = 6.5 10 6, α = 2 ) Efekty lepkie w przepływach ściśliwych Równania ruchu lepkiego płynu ściśliwego Całkowe
Bardziej szczegółowoTeoria pola elektromagnetycznego
Teoria pola elektromagnetycznego Odpowiedzialny za przedmiot (wykłady): prof. dr hab. inż. Stanisław Gratkowski Ćwiczenia i laboratoria: dr inż. Krzysztof Stawicki ks@zut.edu.pl e-mail: w temacie wiadomości
Bardziej szczegółowoLaboratorium komputerowe z wybranych zagadnień mechaniki płynów
FORMOWANIE SIĘ PROFILU PRĘDKOŚCI W NIEŚCIŚLIWYM, LEPKIM PRZEPŁYWIE PRZEZ PRZEWÓD ZAMKNIĘTY Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia będzie analiza formowanie się profilu prędkości w trakcie przepływu płynu przez
Bardziej szczegółowoObliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
Bardziej szczegółowoPolitechnika Poznańska. Zakład Mechaniki Technicznej
Politechnika Poznańska Zakład Mechaniki Technicznej Metoda Elementów Skończonych Lab. Temat: Analiza przepływu stopionego tworzywa sztucznego przez sitko filtra tworzywa. Ocena: Czerwiec 2010 1 Spis treści:
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr Wykład nr 19 Warstwy przyścienne i ślady 1
J. Szantyr Wykład nr 19 Warstwy przyścienne i ślady 1 Warstwa przyścienna jest to część obszaru przepływu bezpośrednio sąsiadująca z powierzchnią opływanego ciała. W warstwie przyściennej znaczącą rolę
Bardziej szczegółowoMETODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH
METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH Krzysztof Bochna Michał Sobolewski M-2 WBMiZ MiBM 2013/2014 1 SPIS TREŚCI 1. Analiza opływu wody wokół okrętu podwodnego USS Minnesota...3 1.1 Opis obiektu...3 1.2 Przebieg
Bardziej szczegółowo1. Zaczynamy! (9) 2. Edycja dokumentów (33)
1. Zaczynamy! (9) Uruchamiamy program Word i co z tego wynika... (10) o Obszar roboczy, czyli miejsce do pracy (12) Otwieranie dokumentów w programie Word (14) o Tworzenie nowego dokumentu (14) o Otwieranie
Bardziej szczegółowoInformatyka I Lab 06, r.a. 2011/2012 prow. Sławomir Czarnecki. Zadania na laboratorium nr. 6
Informatyka I Lab 6, r.a. / prow. Sławomir Czarnecki Zadania na laboratorium nr. 6 Po utworzeniu nowego projektu, dołącz bibliotekę bibs.h.. Największy wspólny dzielnik liczb naturalnych a, b oznaczamy
Bardziej szczegółowoAnaliza wektorowa. Teoria pola.
Analiza wektorowa. Teoria pola. Pole skalarne Pole wektorowe ϕ = ϕ(x, y, z) A = A x (x, y, z) i x + A y (x, y, z) i y + A z (x, y, z) i z Gradient grad ϕ = ϕ x i x + ϕ y i y + ϕ z i z Jeśli przemieścimy
Bardziej szczegółowoOpis postępowania przy eksportowaniu geometrii z systemu Unigraphics NX do pakietu PANUKL (ver. A)
1 Opis postępowania przy eksportowaniu geometrii z systemu Unigraphics NX do pakietu PANUKL (ver. A) Przedstawiony poniżej schemat przygotowania geometrii w systemie Unigraphics NX na potrzeby programu
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 2 Numeryczna symulacja swobodnego spadku ciała w ośrodku lepkim (Instrukcja obsługi interfejsu użytkownika)
Ćwiczenie 2 Numeryczna symulacja swobodnego spadku ciała w ośrodku lepkim (Instrukcja obsługi interfejsu użytkownika) 1 1 Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest rozwiązanie równań ruchu ciała (kuli) w ośrodku
Bardziej szczegółowoStudentom zostaną dostarczone wzory lub materiały opisujące. Zachęcamy do wykonania projektów programistycznych w postaci apletów.
W niniejszym dokumencie znajdują się propozycje projektów na rok 2008. Tematy sformułowane są ogólnie, po wyborze tematu i skontaktowaniu z prowadzącym zostaną określone szczegółowe wymagania co do projektu.
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 8 RÓWNANIE NAVIERA-STOKESA 1/17
WYKŁAD 8 RÓWNANIE NAVIERA-STOKESA /7 Zaczniemy od wyprowadzenia równania ruchu dla płynu newtonowskiego. Wcześniej wyprowadziliśmy z -ej Zasady Dynamiki ogólne równanie ruchu, którego postać indeksowa
Bardziej szczegółowoAERODYNAMIKA I WYKŁAD 4 ELEMENTY TEORII WARSTWY PRZYŚCIENNEJ CZĘŚĆ 1
WYKŁAD 4 ELEMENTY TEORII WARSTWY PRZYŚCIENNEJ CZĘŚĆ 1 Pojęcie warstwy przyściennej w płynie. Równania Prandtla Warstwa przyścienna (WP) warstwa płynu przylegająca do powierzchni opływanego ciała, charakteryzującą
Bardziej szczegółowoMetoda Elementów Brzegowych LABORATORIUM
Akademia Techniczno-Humanistyczna W Bielsku-Białej Metoda Elementów Brzegowych LABORATORIUM INSTRUKCJE DO ĆWICZEŃ Ćwiczenie 1. Zapoznanie z obsługą systemu BEASY Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z obsługą
Bardziej szczegółowoOPŁYW PROFILU. Ciała opływane. profile lotnicze łopatki. Rys. 1. Podział ciał opływanych pod względem aerodynamicznym
OPŁYW PROFILU Ciała opływane Nieopływowe Opływowe walec kula profile lotnicze łopatki spoilery sprężarek wentylatorów turbin Rys. 1. Podział ciał opływanych pod względem aerodynamicznym Płaski np. z blachy
Bardziej szczegółowoProjektowanie graficzne. Wykład 2. Open Office Draw
Projektowanie graficzne Wykład 2 Open Office Draw Opis programu OpenOffice Draw OpenOffice Draw umożliwia tworzenie prostych oraz złożonych rysunków. Posiada możliwość eksportowania rysunków do wielu różnych
Bardziej szczegółowo1. Prymitywy graficzne
1. Prymitywy graficzne Prymitywy graficzne są elementarnymi obiektami jakie potrafi bezpośrednio rysować, określony system graficzny (DirectX, OpenGL itp.) są to: punkty, listy linii, serie linii, listy
Bardziej szczegółowoMetoda Elementów Skończonych- Laboratorium
Politechnika Poznańska Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania Metoda Elementów Skończonych- Laboratorium Projekt COMSOL Multiphysics 3.4 Prowadzący: dr hab. T. Stręk Wykonali: Michał Bąk Mateusz Chwast Aron
Bardziej szczegółowoLaboratorium komputerowe z wybranych zagadnień mechaniki płynów
ANALIZA PRZEKAZYWANIA CIEPŁA I FORMOWANIA SIĘ PROFILU TEMPERATURY DLA NIEŚCIŚLIWEGO, LEPKIEGO PRZEPŁYWU LAMINARNEGO W PRZEWODZIE ZAMKNIĘTYM Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia będzie obserwacja procesu formowania
Bardziej szczegółowoPodstawy i języki programowania
Podstawy i języki programowania Laboratorium 1 - wprowadzenie do przedmiotu mgr inż. Krzysztof Szwarc krzysztof@szwarc.net.pl Sosnowiec, 16 października 2017 1 / 25 mgr inż. Krzysztof Szwarc Podstawy i
Bardziej szczegółowoWykład pt Plik DXF. Jarosław Bydłosz
Wykład pt Plik DXF Jarosław Bydłosz 1 Tematyka wykładu: Pojęcie DXF Ogólna charakterystyka pliku DXF Budowa pliku Wybrane kody grup pliku DXF Zawartość wybranych sekcji pliku 2 Pojęcie DXF Drawing Interchange
Bardziej szczegółowoSPOSOBY POMIARU KĄTÓW W PROGRAMIE AutoCAD
Dr inż. Jacek WARCHULSKI Dr inż. Marcin WARCHULSKI Mgr inż. Witold BUŻANTOWICZ Wojskowa Akademia Techniczna SPOSOBY POMIARU KĄTÓW W PROGRAMIE AutoCAD Streszczenie: W referacie przedstawiono możliwości
Bardziej szczegółowoModele symulacyjne PyroSim/FDS z wykorzystaniem rysunków CAD
Modele symulacyjne PyroSim/FDS z wykorzystaniem rysunków CAD Wstęp Obecnie praktycznie każdy z projektów budowlanych, jak i instalacyjnych, jest tworzony z wykorzystaniem rysunków wspomaganych komputerowo.
Bardziej szczegółowoElektrostatyka, cz. 1
Podstawy elektromagnetyzmu Wykład 3 Elektrostatyka, cz. 1 Prawo Coulomba F=k q 1 q 2 r 2 1 q1 q 2 Notka historyczna: 1767: John Priestley - sugestia 1771: Henry Cavendish - eksperyment 1785: Charles Augustin
Bardziej szczegółowoRóżniczkowe prawo Gaussa i co z niego wynika...
Różniczkowe prawo Gaussa i co z niego wynika... Niech ładunek będzie rozłożony w objętości V z ciągłą gęstością ρ(x,y,z). Wytworzone przez ten ładunek pole elektryczne będzie również zmieniać się w przestrzeni
Bardziej szczegółowoElektrostatyka. Prawo Coulomba Natężenie pola elektrycznego Energia potencjalna pola elektrycznego
Elektrostatyka Prawo Coulomba Natężenie pola elektrycznego Energia potencjalna pola elektrycznego 1 Prawo Coulomba odpychanie naelektryzowane szkło nie-naelektryzowana miedź F 1 4 0 q 1 q 2 r 2 0 8.85
Bardziej szczegółowoMETODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1 Analiza
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu
J. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu Siły wewnętrzne wzajemne oddziaływania elementów mas wydzielonego obszaru płynu, siły o charakterze powierzchniowym, znoszące się parami. Siły zewnętrzne wynik oddziaływania
Bardziej szczegółowoSchematy blokowe I. 1. Dostępne bloki: 2. Prosty program drukujący tekst.
Schematy blokowe I Jeżeli po schematach blokowych będzie używany język C, to należy używać operatorów: '&&', ' ', '!=', '%' natomiast jeśli Ruby to 'and', 'or', '%', '!='. 1. Dostępne bloki: a) początek:
Bardziej szczegółowoNowoczesne narzędzia obliczeniowe do projektowania i optymalizacji kotłów
Nowoczesne narzędzia obliczeniowe do projektowania i optymalizacji kotłów Mateusz Szubel, Mariusz Filipowicz Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie AGH University of Science and
Bardziej szczegółowoMetoda Elementów Skończonych. Projekt: COMSOL Multiphysics 3.4.
Politechnika Poznańska Metoda Elementów Skończonych Projekt: COMSOL Multiphysics 3.4. Prowadzący: dr hab. Tomasz Stręk Wykonali: Widerowski Karol Wysocki Jacek Wydział: Budowa Maszyn i Zarządzania Kierunek:
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr Wykład nr 27 Przepływy w kanałach otwartych I
J. Szantyr Wykład nr 7 Przepływy w kanałach otwartych Przepływy w kanałach otwartych najczęściej wymuszane są działaniem siły grawitacji. Jako wstępny uproszczony przypadek przeanalizujemy spływ warstwy
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do programowania w języku Visual Basic. Podstawowe instrukcje języka
Wprowadzenie do programowania w języku Visual Basic. Podstawowe instrukcje języka 1. Kompilacja aplikacji konsolowych w środowisku programistycznym Microsoft Visual Basic. Odszukaj w menu startowym systemu
Bardziej szczegółowo= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3
ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +
Bardziej szczegółowodr inż. Cezary Żrodowski Wizualizacja Informacji WETI PG, sem. V, 2015/16
Zadanie 3 - Karuzela 1. Budowa geometrii felgi i opony a) Szkic i wyciagnięcie obrotowe korpusu karuzeli (1 pkt) b) Szkic i wyciagnięcie liniowe podstawy karuzeli (1pkt) 1 c) Odsunięta płaszczyzna, szkic
Bardziej szczegółowodr inż. Cezary Żrodowski Wizualizacja Informacji WETI PG, sem. V, 2015/16
Zadanie 4 - Holonur 1. Budowa geometrii felgi i opony a) Szkic i wyciągnięcie obrotowe dyszy (1pkt) b) Zaokrąglenie krawędzi natarcia dyszy (1pkt) 1 c) Wyznaczenie płaszczyzny stycznej do zewnętrznej powierzchni
Bardziej szczegółowoProjekt Metoda Elementów Skończonych. COMSOL Multiphysics 3.4
Projekt Metoda Elementów Skończonych w programie COMSOL Multiphysics 3.4 Wykonali: Dawid Trawiński Wojciech Sochalski Wydział: BMiZ Kierunek: MiBM Semestr: V Rok: 2015/2016 Prowadzący: dr hab. inż. Tomasz
Bardziej szczegółowoKsięgarnia PWN: Andrzej Jaskulski - AutoCAD 2010/LT Podstawy projektowania parametrycznego i nieparametrycznego
Księgarnia PWN: Andrzej Jaskulski - AutoCAD 2010/LT2010+. Podstawy projektowania parametrycznego i nieparametrycznego Spis treści 1. Koncepcja i zawartość podręcznika...11 1.1. Zawartość programowa...11
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego
MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/ daniel.lewandowski@pwr.edu.pl
Bardziej szczegółowoĆwiczenie Stany nieustalone w obwodach liniowych pierwszego rzędu symulacja komputerowa
INSTYTUT SYSTEMÓW INŻYNIERII ELEKTRYCZNEJ TEORIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH LABORATORIUM Ćwiczenie Stany nieustalone w obwodach liniowych pierwszego rzędu symulacja komputerowa Grupa nr:. Zespół nr:. Skład
Bardziej szczegółowoInżynierskie metody numeryczne II. Konsultacje: wtorek 8-9:30. Wykład
Inżynierskie metody numeryczne II Konsultacje: wtorek 8-9:30 Wykład Metody numeryczne dla równań hiperbolicznych Równanie przewodnictwa cieplnego. Prawo Fouriera i Newtona. Rozwiązania problemów 1D metodą
Bardziej szczegółowoDelphi podstawy programowania. Środowisko Delphi
Delphi podstawy programowania Środowisko Delphi Olsztyn 2004 Delphi Programowanie obiektowe - (object-oriented programming) jest to metodologia tworzeniu programów komputerowych definiująca je jako zbiór
Bardziej szczegółowoNieustalony wypływ cieczy ze zbiornika przewodami o różnej średnicy i długości
LABORATORIUM MECHANIKI PŁYNÓW Nieustalony wypływ cieczy ze zbiornika przewodami o różnej średnicy i długości dr inż. Jerzy Wiejacha ZAKŁAD APARATURY PRZEMYSŁOWEJ POLITECHNIKA WARSZAWSKA, WYDZ. BMiP, PŁOCK
Bardziej szczegółowoNumeryczne Metody Obliczeniowe
Numeryczne Metody Obliczeniowe Multi Flower 2D Wojciech Sobieski Olsztyn 2003-2006 Program Multi Flower 2D powstał w Instytucie Maszyn Przepływowych PAN w Gdańsku, na bazie trójwymiarowej wersji kodu numerycznego,
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Laboratorium 2
Metody numeryczne Laboratorium 2 1. Tworzenie i uruchamianie skryptów Środowisko MATLAB/GNU Octave daje nam możliwość tworzenia skryptów czyli zapisywania grup poleceń czy funkcji w osobnym pliku i uruchamiania
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 1: Pierwsze kroki
Ćwiczenie 1: Pierwsze kroki z programem AutoCAD 2010 1 Przeznaczone dla: nowych użytkowników programu AutoCAD Wymagania wstępne: brak Czas wymagany do wykonania: 15 minut W tym ćwiczeniu Lekcje zawarte
Bardziej szczegółowoSpis treści. I. Skuteczne. Od autora... Obliczenia inżynierskie i naukowe... Ostrzeżenia...XVII
Spis treści Od autora..................................................... Obliczenia inżynierskie i naukowe.................................. X XII Ostrzeżenia...................................................XVII
Bardziej szczegółowoPolitechnika Poznańska. Projekt Metoda Elementów Skończonych
Politechnika Poznańska Projekt Metoda Elementów Skończonych Prowadzący: Dr hab. T. Stręk, prof. nadzw. Wykonali: Piotr Czajka Piotr Jabłoński Mechanika i Budowa Maszyn Profil dypl. : IiRW 2 Spis treści
Bardziej szczegółowoMateriały pomocnicze z Aparatury Przemysłu Chemicznego
Materiały pomocnicze z Aparatury Przemysłu Chemicznego Odstojnik dr inż. Szymon Woziwodzki Materiały dydaktyczne v.1. Wszelkie prawa zastrzeżone. Szymon.Woziwodzki@put.poznan.pl Strona 1 POLITECHNIKA POZNAŃSKA
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do programu Mathcad 15 cz. 1
Wpisywanie tekstu Wprowadzenie do programu Mathcad 15 cz. 1 Domyślnie, Mathcad traktuje wpisywany tekst jako wyrażenia matematyczne. Do trybu tekstowego można przejść na dwa sposoby: Zaczynając wpisywanie
Bardziej szczegółowoAutor: dr inż. Katarzyna Rudnik
Bazy danych Wykład 2 MS Access Obiekty programu, Reprezentacja danych w tabeli, Indeksy, Relacje i ich sprzężenia Autor: dr inż. Katarzyna Rudnik Obiekty programu MS ACCESS Obiekty typu Tabela są podstawowe
Bardziej szczegółowoArkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 6.1. Obliczyć długości podanych wektorów a) a = [, 4, 12] b) b = [, 5, 2 2 ] c) c = [ρ cos φ, ρ sin φ, h], ρ 0, φ, h R c) d = [ρ cos φ cos
Bardziej szczegółowo- prędkość masy wynikająca z innych procesów, np. adwekcji, naprężeń itd.
4. Równania dyfuzji 4.1. Prawo zachowania masy cd. Równanie dyfuzji jest prostą konsekwencją prawa zachowania masy, a właściwie to jest to prawo zachowania masy zapisane dla procesu dyfuzji i uwzględniające
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoJan A. Szantyr tel
Katedra Energetyki i Aparatury Przemysłowej Zakład Mechaniki Płynów, Turbin Wodnych i Pomp J. Szantyr Wykład 1 Rozrywkowe wprowadzenie do Mechaniki Płynów Jan A. Szantyr jas@pg.gda.pl tel. 58-347-2507
Bardziej szczegółowoRys. 1. Widok uruchomienia polecenia apt-get install build-essential. Rys. 2. Widok uruchomienia polecenia apt-get install apache2
1. Instalacja serwera WWW Aby zainstalować serwer WWW w systemie Linux, należy wykorzystać menedżer pakietów apt-get. Polecenia które należy wpisać w terminalu użytkownika root 1 : apt-get install build-essential
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE OBRABIAREK CNC W JĘZYKU SINUMERIC
Uniwersytet im. Kazimierza Wielkiego w Bydgoszczy Instytut Techniki Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych Opracował: Marek Jankowski PROGRAMOWANIE OBRABIAREK CNC W JĘZYKU SINUMERIC Cel ćwiczenia: Napisanie
Bardziej szczegółowoWYKONANIE APLIKACJI OKIENKOWEJ OBLICZAJĄCEJ SUMĘ DWÓCH LICZB W ŚRODOWISKU PROGRAMISTYCZNYM. NetBeans. Wykonał: Jacek Ventzke informatyka sem.
WYKONANIE APLIKACJI OKIENKOWEJ OBLICZAJĄCEJ SUMĘ DWÓCH LICZB W ŚRODOWISKU PROGRAMISTYCZNYM NetBeans Wykonał: Jacek Ventzke informatyka sem. VI 1. Uruchamiamy program NetBeans (tu wersja 6.8 ) 2. Tworzymy
Bardziej szczegółowoMentorGraphics ModelSim
MentorGraphics ModelSim 1. Konfiguracja programu Wszelkie zmiany parametrów systemu symulacji dokonywane są w menu Tools -> Edit Preferences... Wyniki ustawień należy zapisać w skrypcie startowym systemu
Bardziej szczegółowoRys 1 Schemat modelu masa- sprężyna- tłumik
Rys 1 Schemat modelu masa- sprężyna- tłumik gdzie: m-masa bloczka [kg], ẏ prędkośćbloczka [ m s ]. 3. W kolejnym energię potencjalną: gdzie: y- przemieszczenie bloczka [m], k- stała sprężystości, [N/m].
Bardziej szczegółowoOperacje na gotowych projektach.
1 Operacje na gotowych projektach. I. Informacje wstępne. -Wiele firm udostępnia swoje produkty w postaci katalogów wykonanych w środowisku projektowania AutoCad. Podstawowym rozszerzeniem projektów stworzonych
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH
LABORATORIUM METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH Projekt z wykorzystaniem programu COMSOL Multiphysics Prowadzący: dr hab. Tomasz Stręk, prof. PP Wykonali: Aleksandra Oźminkowska, Marta Woźniak Wydział: Elektryczny
Bardziej szczegółowoPolitechnika Poznańska. Metoda Elementów Skończonych
Politechnika Poznańska Metoda Elementów Skończonych Prowadzący: dr hab. Tomasz Stręk, prof. nadzw. Wykonały: Górna Daria Krawiec Daria Łabęda Katarzyna Spis treści: 1. Analiza statyczna rozkładu ciepła
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 5 RÓWNANIE EULERA I JEGO CAŁKI PIERWSZE 1/14
WYKŁAD 5 RÓWNANIE EULERA I JEGO CAŁKI PIERWSZE /4 RÓWNANIE EULERA W Wykładzie nr 4 wyprowadziliśmy ogólne r-nie ruchu płynu i pokazaliśmy jego szczególny (de facto najprostszy) wariant zwany Równaniem
Bardziej szczegółowoOpis szybkiego uruchomienia programu APBSoft
Opis szybkiego uruchomienia programu APBSoft www.telmatik.pl Program APBSoft należy instalować z otrzymanej płyty CD albo pobrać ze strony www.telmatik.pl. W drugim przypadku program dostarczany jest w
Bardziej szczegółowoII. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
Bardziej szczegółowoPROE wykład 2 operacje na wskaźnikach. dr inż. Jacek Naruniec
PROE wykład 2 operacje na wskaźnikach dr inż. Jacek Naruniec Zmienne automatyczne i dynamiczne Zmienne automatyczne: dotyczą kontekstu, po jego opuszczeniu są usuwane, łatwiejsze w zarządzaniu od zmiennych
Bardziej szczegółowoZACHODNIOPOMORSKI UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNY w Szczecinie
ZACHODNIOPOMORSKI UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNY w Szczecinie KATEDRA MECHANIKI I PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN ZACHODNIOPOM UNIWERSY T E T T E CH OR NO SKI LOGICZNY Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z metody
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem..1. Całka podwójna po prostokącie.. CAŁKA POWÓJNA.. Całka podwójna po obszarach normalnych..3. Całka podwójna po obszarach regularnych..4.
Bardziej szczegółowoMetoda elementów brzegowych
Metoda elementów brzegowych Tomasz Chwiej, Alina Mreńca-Kolasińska 9 listopada 8 Wstęp Rysunek : a) Geometria układu z zaznaczonymi: elementami brzegu (czerwony), węzłami (niebieski). b) Numeracja: elementów
Bardziej szczegółowoAerodynamika I. wykład 3: Ściśliwy opływ profilu. POLITECHNIKA WARSZAWSKA - wydz. Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa A E R O D Y N A M I K A I
Aerodynamika I Ściśliwy opływ profilu transoniczny przepływ wokół RAE-8 M = 0.73, Re = 6.5 10 6, α = 3.19 Ściśliwe przepływy potencjalne Teoria pełnego potencjału Wprowadźmy potencjał prędkości (zakładamy
Bardziej szczegółowoSpis treści CZĘŚĆ I. NIEPARAMETRYCZNE PROJEKTOWANIE 2D...31
Spis treści 1. Koncepcja i zawartość podręcznika...13 1.1. Zawartość programowa...13 1.2. Zakładany efekt i metodyka szkolenia...14 1.3. Przeznaczenie...14 1.4. Autor...14 1.4.1. Blog...15 1.4.2. Kanał
Bardziej szczegółowodr inż. Cezary Żrodowski Wizualizacja Informacji WETI PG, sem. V, 2015/16 b) Operacja wyciągnięcia obrotowego z dodaniem materiału - uchwyt (1pkt)
Zadanie 5 - Jacht 1. Budowa geometrii koła sterowego a) Szkic (1pkt) b) Operacja wyciągnięcia obrotowego z dodaniem materiału - uchwyt (1pkt) 1 c) Operacja wyciagnięcia liniowego z dodaniem materiału obręcze
Bardziej szczegółowoRównania dla potencjałów zależnych od czasu
Równania dla potencjałów zależnych od czasu Potencjały wektorowy A( r, t i skalarny ϕ( r, t dla zależnych od czasu pola elektrycznego E( r, t i magnetycznego B( r, t definiujemy poprzez następujące zależności
Bardziej szczegółowoInstrukcja do wykonania symulacji numerycznych CFD w programie PolyFlow 14.0 przepływu płynów nienewtonowskich o właściwościach lepkosprężystych
Instrukcja do wykonania symulacji numerycznych CFD w programie PolyFlow 14.0 przepływu płynów nienewtonowskich o właściwościach lepkosprężystych 1. Uruchamianie programu PolyFlow W ramach projektu symulacje
Bardziej szczegółowoWykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ B Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry B Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność
Bardziej szczegółowoUruchomić programu AUI kliknięciem ikony znajdującej się na pulpicie. Zadanie rozwiązać za pomocą systemu ADINA.
Określić deformacje kratownicy (rys1) poddanej obciążeniu siłami F 1 =1MN i F 2 =0.2MN przyłożonymi do jej wierzchołków oraz siłą ciężkości. Kratownica składa się z prętów o przekroju 0.016 m 2 połączonych
Bardziej szczegółowoSieci obliczeniowe poprawny dobór i modelowanie
Sieci obliczeniowe poprawny dobór i modelowanie 1. Wstęp. Jednym z pierwszych, a zarazem najważniejszym krokiem podczas tworzenia symulacji CFD jest poprawne określenie rozdzielczości, wymiarów oraz ilości
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA POZNAŃSKA
POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWY MASZYN I ZARZĄDZANIA Metoda Elementów Skończonych PROJEKT COMSOL Multiphysics 3.4 Prowadzący: dr hab. inż. Tomasz Stręk prof. PP Wykonali: Maciej Bogusławski Mateusz
Bardziej szczegółowoSieci Komputerowe 2 / Ćwiczenia 2
Tematyka Sieci Komputerowe 2 / Ćwiczenia 2 Opracował: Konrad Kawecki na podstawie materiałów: http://www.isi.edu/nsnam/ns/tutorial/index.html Na ćwiczeniach zapoznamy się z symulatorem
Bardziej szczegółowox y
Przykłady pytań na egzamin końcowy: (Uwaga! Skreślone pytania nie obowiązują w tym roku.). Oblicz wartość interpolacji funkcjami sklejanymi (przypadek (case) a), dla danych i =[- 4 5], y i =[0 4 -]. Jaka
Bardziej szczegółowoNazwa implementacji: Nauka języka Python pętla for. Autor: Piotr Fiorek
Nazwa implementacji: Nauka języka Python pętla for Autor: Piotr Fiorek Opis implementacji: Poznanie innego rodzaju pętli, jaką jest pętla for w języku Python. Składnia pętli for jest następująca: for
Bardziej szczegółowoW naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.
1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy
Bardziej szczegółowoProgram BEST_RE. Pakiet zawiera następujące skoroszyty: BEST_RE.xls główny skoroszyt symulacji RES_VIEW.xls skoroszyt wizualizacji wyników obliczeń
Program BEST_RE jest wynikiem prac prowadzonych w ramach Etapu nr 15 strategicznego programu badawczego pt. Zintegrowany system zmniejszenia eksploatacyjnej energochłonności budynków. Zakres prac obejmował
Bardziej szczegółowoZESPÓŁ SZKÓŁ W OBRZYCKU
Matematyka na czasie Program nauczania matematyki w gimnazjum ZGODNY Z PODSTAWĄ PROGRAMOWĄ I z dn. 23 grudnia 2008 r. Autorzy: Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek ZESPÓŁ SZKÓŁ W OBRZYCKU Wymagania edukacyjne
Bardziej szczegółowoInstrukcja Obsługi. Instrukcja do pracy z programem AnTherm Zadanie 1: Dwuwymiarowa analiza
Instrukcja Obsługi Instrukcja do pracy z programem AnTherm Zadanie 1: Dwuwymiarowa analiza 1) Przygotowania Przed rozpoczęciem pracy z programem warto narysować szkic komponentów znajdujących się w przegrodzie,
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Twierdzenia całkowe. 5.1 Twierdzenie o potencjale. Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej C w przestrzeni
Rozdział 5 Twierdzenia całkowe 5.1 Twierdzenie o potencjale Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej w przestrzeni trójwymiarowej, I) = A d r, 5.1) gdzie A = A r) jest funkcją polem)
Bardziej szczegółowoTWORZENIE SCHEMATÓW BLOKOWYCH I ELEKTRYCZNYCH
Wydział Elektryczny Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Metrologii Instrukcja do pracowni z przedmiotu Podstawy Informatyki Kod przedmiotu: TS1C 100 003 Ćwiczenie pt. TWORZENIE SCHEMATÓW BLOKOWYCH I
Bardziej szczegółowo1 Symulacja procesów cieplnych 1. 2 Algorytm MES 2. 3 Implementacja rozwiązania 2. 4 Całkowanie numeryczne w MES 3. k z (t) t ) k y (t) t )
pis treści ymulacja procesów cieplnych Algorytm ME 3 Implementacja rozwiązania 4 Całkowanie numeryczne w ME 3 ymulacja procesów cieplnych Procesy cieplne opisuje równanie różniczkowe w postaci: ( k x (t)
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum
Przedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum I. POTĘGI I PIERWIASTKI oblicza wartości potęg o wykładnikach całkowitych liczb różnych od zera zapisuje liczbę
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE NUMERYCZNE POLA PRZEPŁYWU WOKÓŁ BUDYNKÓW
1. WSTĘP MODELOWANIE NUMERYCZNE POLA PRZEPŁYWU WOKÓŁ BUDYNKÓW mgr inż. Michał FOLUSIAK Instytut Lotnictwa W artykule przedstawiono wyniki dwu- i trójwymiarowych symulacji numerycznych opływu budynków wykonanych
Bardziej szczegółowoROZWIAZANIE PROBLEMU USTALONEGO PRZEPLYWU CIEPLA W SYSTEMIE ADINA 900 Nodes Version 8.2
1 Wstęp ROZWIAZANIE PROBLEMU USTALONEGO PRZEPLYWU CIEPLA W SYSTEMIE ADINA 900 Nodes Version 8.2 Struktura systemu ADINA (Automatic Dynamic Incremental Nonlinear Analysis) jest to system programów opartych
Bardziej szczegółowo