2013 m. valstybinio brandos egzamino pavyzdinë uþduotis

Transkrypt

1 iš 4 LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 03 m. valstybinio brandos egzamino pavyzdinë uþduotis 03 m. Trukmė 3 val. (80 min.) NURODYMAI. Gavæ uþduoties sàsiuviná bei atsakymø lapà pasitikrinkite, ar juose nëra tuðèiø lapø ar kitokio aiðkiai matomo spausdinimo broko. Pastebëjæ praneðkite egzamino vykdytojui.. Stenkitës iðspræsti kuo daugiau uþdaviniø, neatsiþvelgdami á tai, pagal kokio kurso (bendrojo ar iðplëstinio) programà dalyko mokëtës mokykloje. Neatsakæ á kurá nors klausimà, nenusiminkite ir stenkitës atsakyti á kitus. 3. Uþdaviniø sprendimus / atsakymus pirmiausia galite raðyti uþduoties sàsiuvinyje, kuriame yra palikta vietos juodraðèiui. Galite naudotis raðymo priemonëmis (pieðtuku, tamsiai mëlynai raðanèiu raðikliu), trintuku, braiþybos árankiais, skaièiuotuvu be tekstinës atminties. Jei neabejojate dël atsakymo, ið karto raðykite atsakymø lape. Vertintojams bus pateikiamas tik atsakymų lapas! 4. Atsakymø lape raðykite TIK tamsiai mëlynai raðanèiu raðikliu. Saugokite atsakymø lapà (neáplëðkite ir nesulamdykite), nesinaudokite trintuku ir koregavimo priemonëmis. Sugadintuose lapuose áraðyti atsakymai nebus vertinami. 5. Pasirinktus I dalies uþdaviniø atsakymus atsakymø lape paþymëkite kryþeliu (þymëkite tik vienà atsakymo variantà). Jei bus paþymëta daugiau kaip vienas atsakymo variantas arba paþymëtas neaiðkiai, tas klausimas bus vertinamas 0 taðkø. Suklydæ atsakymà galite taisyti atsakymø lape nurodytoje vietoje. 6. II dalies uþdaviniø atsakymus áraðykite tam skirtoje atsakymø lapo vietoje. 7. Atsakymø lape skirtoje vietoje áraðykite III dalies uždavinių sprendimus ir atsakymus. Uþ ribø paraðyti sprendimai ir atsakymai nebus vertinami. Linkime sëkmës! Nacionalinis egzaminø centras, 03

2 iš 4 03 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO PAVYZDINĖ UŽDUOTIS MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINO PAGRINDINĖS FORMULĖS Prie egzamino užduoties pateikiamas matematinių formulių rinkinys: Greitosios daugybos formulės: (a ± b) = a ± 3a b+ 3ab ± b, a ± b =(a ± b)(a ab +b ) a an Aritmetinės progresijos pirmųjų n narių suma: Sn n n n b qbn b ( q ) Geometrinė progresija: b n b q ; S n q q Nykstamosios geometrinės progresijos narių suma: n b S q p Sudėtinių procentų formulė: Sn S ; čia S pradinis dydis, p palūkanų norma, n 00 laikotarpių skaičius. a b c Trikampis: a b c bccos A, R, sin A sin B sin C abc S absin C p( p a)( p b)( p c) rp, 4R čia a, b, c trikampio kraštinės, A, B, C prieš jas esantys kampai, p pusperimetris, r ir R įbrėžtinio ir apibrėžtinio apskritimų spinduliai, S plotas. R R Skritulio išpjova: S, l ; čia centrinio kampo didumas laipsniais, S išpjovos plotas, l išpjovos lanko ilgis, R apskritimo spindulys. Kūgis: Sšon. pav. Rl, V R H 3 3 Rutulys: S 4R, 4 V R 3 Nupjautinis kūgis: S šon. pav. ( R r) l, V= H( R Rr r ), čia R ir r kūgio pagrindų 3 spinduliai, V tūris, H aukštinė, l sudaromoji. Nupjautinės piramidės tūris: V H( S SS S ), čia S, S pagrindų plotai, H aukštinė. 3 Rutulio nuopjova: S RH, V H (3R H), čia R rutulio spindulys, H nuopjovos 3 aukštinė. Erdvės vektoriaus ilgis: a x y z Vektorių skaliarinė sandauga: a b xx y y zz a b cos, čia kampas tarp vektorių a x ; y; z ir b x ; y; z. Trigonometrinių funkcijų sąryšiai: tg, ctg, cos sin sin cos, cos cos, sin( ) sin cos cossin, cos( ) coscos sin sin, tg tg tg tg tg

3 Trigonometrinių funkcijų reikšmių lentelė 0 sin 0 cos tg 0 Trigonometrinės lygtys: iš 4 03 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO PAVYZDINĖ UŽDUOTIS sin x a, k x ( ) arcsin a k; čia k Z, a ; cos x a, x arccos a k ; čia k Z, a ; tgx a, x arctg a k; čia k Z, a R. Išvestinių skaičiavimo taisyklės: ( cu) cu; ( u v) u v ; ( uv) uv uv; čia u ir v diferencijuojamosios funkcijos, c konstanta. Funkcijų išvestinės: (a x ) = a x lna, loga x x ln a 0 u v uv uv ; v Sudėtinės funkcijos h(x) = g(f(x)) išvestinė: h (x) g (f (x))f (x). Funkcijos grafiko liestinės taške x, f ( )) lygtis: y f x ) f ( x )( x ) ( 0 x0 ( 0 0 x0 x Pagrindinės logaritmų savybės: log a ( xy) log a x log a y, log a log a x log a y, y k logc b log a x k log a x, loga b. logc a k nk n! Derinių skaičius: Cn Cn k!( n k)! n! Gretinių skaičius: A k n ( n k)! Tikimybių teorija: Atsitiktinio dydžio X matematinė viltis yra EX x p x p... x n p n, dispersija DX= ( x EX ) p ( x EX ) p... ( x EX p. n ) n

4 4 iš 4 03 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO PAVYZDINĖ UŽDUOTIS I dalis Kiekvienas teisingas 3 uždavinio atsakymas vertinamas tašku. Atsakymų lape pasirinktą atsakymą pažymėkite. 0. Kurio reiškinio reikšmė didžiausia? A cos 60 B sin0 C cos50 D sin80 0. Kūgio sudaromoji dvigubai ilgesnė už jo pagrindo 3 spindulį. Kuris teiginys apie šį kūgį yra neteisingas? A B C D Kūgio ašinis pjūvis 4 yra lygiašonis trikampis. Kūgio sudaromoji su kūgio aukštine sudaro 30 kampą. Kūgio aukštinė nelygi kūgio pagrindo skersmeniui. Kūgio pagrindo skersmuo dvigubai ilgesnis už kūgio sudaromąją. a 03. a A a B a C a D a kūgis stożek конус sudaromoji tworząca образующая 3 pagrindas podstawa основание 4 ašinis pjūvis przekrój osiowy осевое сечение NEPAMIRŠKITE ATSAKYMŲ PERKELTI Į ATSAKYMŲ LAPĄ

5 5 iš 4 03 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO PAVYZDINĖ UŽDUOTIS 04. Visi dėžėje esantys rutuliukai yra vienodo dydžio. Ant kiekvieno rutuliuko užrašytas skaičius arba, arba 3, arba 4. Tikimybė ištraukti rutuliuką su skaičiumi lygi, su skaičiumi lygi 5, su skaičiumi 4 lygi. Kokiu skaičiumi pažymėtų rutuliukų dėžėje yra daugiausia? 5 0 A B C 3 D Jei A x > ( x ), tai: x R B x > C x < D x > 06. Per apskritimo tašką A nubrėžta liestinė AB. Taškas O apskritimo centras, AD skersmuo, CAB 68. Kokio didumo 3 yra kampas DOC? O A 68 o B A B 34 C 44 D 68 D C tikimybė prawdopodobieństwo вероятность liestinė styczna касательная 3 didumas miara величина NEPAMIRŠKITE ATSAKYMŲ PERKELTI Į ATSAKYMŲ LAPĄ

6 6 iš 4 03 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO PAVYZDINĖ UŽDUOTIS 07. Kokiu kampu kertasi dvi plokštumos, iš kurių viena eina per kubo viršūnes A, B, C, o kita per viršūnes A, B, C? A 30 B 45 C 60 D Tris skaičius a, b ir c sieja lygybė a b (b c). Vienas iš šių skaičių yra teigiamas, kitas neigiamas, o trečiasis lygus nuliui. Kuris teiginys apie skaičius a, b ir c yra teisingas? A a < 0, b > 0, c = 0 B a = 0, b > 0, c < 0 C a > 0, b = 0, c < 0 D a > 0, b < 0, c = Nelygybės (4 x ) log 6 visų sprendinių aibė 3 yra: 0,3 0, 3 A (; ) B ( 4; ) C ( 4; ) D ( ; ) viršūnė wierzchołek вершина nelygybė nierówność неравенство 3 sprendinių aibė mnogość / zbiór rozwiązań множество решений NEPAMIRŠKITE ATSAKYMŲ PERKELTI Į ATSAKYMŲ LAPĄ

7 7 iš 4 03 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO PAVYZDINĖ UŽDUOTIS 0. Žinoma, kad f ( x) 0, kai x 0, f ( x) 0, kai x 0 ir f ( x) 0, kai x 0. Kuris iš pateiktų eskizų galėtų būti funkcijos y = f(x) grafiko eskizas? y y O x O x A B C D. Paveiksle pavaizduotas funkcijos f ( x) ax c grafiko eskizas. Kuris grafiko eskizas atitinka funkciją g( x) cx a? y O x A B C D NEPAMIRŠKITE ATSAKYMŲ PERKELTI Į ATSAKYMŲ LAPĄ

8 8 iš 4 03 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO PAVYZDINĖ UŽDUOTIS 6. Per tašką (0; 0) nubrėžta funkcijos f ( x) 5x x grafiko liestinė. Apskaičiuokite šios liestinės su teigiama Ox ašies kryptimi sudaromo kampo didumą. A 35 B 0 C 60 D Atsakymuose pateiktos 4 imčių diagramos. Kurio imties vidurkis yra didžiausias? Dažnis Dažnis Dažnis Reikšmės Reikšmės A B Dažnis Reikšmės Reikšmės C D NEPAMIRŠKITE SPRENDIMŲ IR ATSAKYMŲ PERKELTI Į ATSAKYMŲ LAPĄ

9 9 iš 4 03 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO PAVYZDINĖ UŽDUOTIS II dalis Kiekvienas teisingas 4 5 uždavinio atsakymas vertinamas taškais (kitu atveju vertinama 0 taškų). Atsakymų lapo tam skirtoje vietoje įrašykite tik gautą atsakymą. 4. Dovana ir atvirukas kartu kainuoja 4 Lt. Dovana yra 80 proc. brangesnė už atviruką. Kiek kainuoja atvirukas? 5. Paveiksle pavaizduotas funkcijos f (x) = lg x grafiko eskizas. Užrašykite taško, kuriame grafikas kerta Ox ašį, koordinates. y x NEPAMIRŠKITE ATSAKYMŲ PERKELTI Į ATSAKYMŲ LAPĄ

10 0 iš 4 03 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO PAVYZDINĖ UŽDUOTIS 6. Kortelės sunumeruotos skirtingais sveikaisiais skaičiais nuo 7 iki 34 imtinai. Atsitiktinai ištraukta viena kortelė. Kokia tikimybė, kad jos numeris yra skaičiaus 6 kartotinis? 7. Imtį sudaro trys natūralieji skaičiai a, 4, c. Žinoma, kad a < 4 < c, o šios imties vidurkis lygus 5. Kokia galima didžiausia skaičiaus c reikšmė? atsitiktinai losowo случайно kartotinis wielokratność кратное NEPAMIRŠKITE ATSAKYMŲ PERKELTI Į ATSAKYMŲ LAPĄ

11 iš 4 03 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO PAVYZDINĖ UŽDUOTIS 8. Kūgio pagrindo spindulys lygus pusrutulio spinduliui. Kiek kartų kūgio aukštinė H turi būti ilgesnė už pusrutulio spindulį R, kad abu kūnai būtų lygiatūriai? 9. Žinomi du aritmetinės progresijos nariai 0 a 9 3. Apskaičiuokite šios progresijos narį a. NEPAMIRŠKITE ATSAKYMŲ PERKELTI Į ATSAKYMŲ LAPĄ

12 iš 4 03 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO PAVYZDINĖ UŽDUOTIS 0. Kubo ABCDA BC D tūris lygus 7. Apskaičiuokite piramidės D ACD tūrį.. Su kuria x reikšme vektoriai c ( x 5) i j ir d ( x ) i j yra kolinearūs? ( i ir j vienetiniai vektoriai) tūris objętość объём NEPAMIRŠKITE ATSAKYMŲ PERKELTI Į ATSAKYMŲ LAPĄ

13 3 iš 4 03 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO PAVYZDINĖ UŽDUOTIS. Išspręskite lygtį sin x cos5 cos Stačiakampio įstrižainių susikirtimo taškas sutampa su skritulio centru. Stačiakampio ilgis lygus 8, o plotis lygus. Skritulio spindulio ilgis lygus. Apskaičiuokite stačiakampio ir skritulio bendrosios dalies (pilkosios) plotą. stačiakampis prostokąt прямоугольник plotas pole площадь NEPAMIRŠKITE ATSAKYMŲ PERKELTI Į ATSAKYMŲ LAPĄ

14 4 iš 4 03 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO PAVYZDINĖ UŽDUOTIS 4. Su kuria n reikšme yra teisinga lygybė: log 3 log3 4 log logn ( n ) 4? 5. Nuo vietovės A iki vietovės B yra 99 km. Pakelėje kas kilometrą įkasti stulpai. Ant kiekvieno stulpo yra du skaičiai: vienas rodo atstumą iki vietovės A, kitas atstumą iki vietovės B; kiekvienas skaičius užrašomas dviem skaitmenimis : 00 99, 0 98, 0 97,..., Kiek yra stulpų, ant kurių esantys du skaičiai užrašyti keturiais skirtingais skaitmenimis? skaitmenys cyfry цифры NEPAMIRŠKITE ATSAKYMŲ PERKELTI Į ATSAKYMŲ LAPĄ

15 5 iš 4 03 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO PAVYZDINĖ UŽDUOTIS III dalis Atsakymų lape skirtoje vietoje įrašykite šios dalies uždavinių sprendimus ir atsakymus. 6. Išspręskite lygčių sistemą Sprendimas 4x y, x y 8. (3 taškai) 3 x x 7. Funkcijos f ( x) mx išvestinė lygi x x Apskaičiuokite koeficientą m. Sprendimas ( taškai) 7.. Išspręskite lygtį f ( x) 4. Sprendimas ( taškai) NEPAMIRŠKITE SPRENDIMŲ IR ATSAKYMŲ PERKELTI Į ATSAKYMŲ LAPĄ

16 6 iš 4 03 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO PAVYZDINĖ UŽDUOTIS 8. Funkcijos y x grafiko liestinės taške D lygtis yra y y x. 4 y x 4 D 8.. Užrašykite funkcijos y x apibrėžimo sritį. ( taškas) O x 8.. Apskaičiuokite taško D koordinates. Sprendimas (3 taškai) NEPAMIRŠKITE SPRENDIMŲ IR ATSAKYMŲ PERKELTI Į ATSAKYMŲ LAPĄ

17 7 iš 4 03 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO PAVYZDINĖ UŽDUOTIS 9. Iš trikampio ABC viršūnės B į priešais esančią kraštinę AC nubrėžta atkarpa BD taip, kad BDC 45. BC =. B 9.. Pritaikę sinusų teoremą trikampiui BDC, apskaičiuokite apie jį apibrėžto apskritimo spindulio ilgį. ( taškai) Sprendimas A D 45 o C 9.. Žinoma, kad apie trikampius ADB ir BDC apibrėžtų apskritimų spinduliai yra to paties ilgio. Įrodykite, kad trikampis ABC yra lygiašonis. ( taškai) Įrodymas NEPAMIRŠKITE SPRENDIMŲ IR ATSAKYMŲ PERKELTI Į ATSAKYMŲ LAPĄ

18 8 iš 4 03 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO PAVYZDINĖ UŽDUOTIS 30. Apskaičiuokite funkcijos Sprendimas x 3 f ( x) didžiausią ir mažiausią reikšmes intervale [0; ]. x (3 taškai) 3. Teniso varžybose dalyvauja 9 sportininkai. Kiekvienas sportininkas rungtyniaus su priešininku po vieną kartą. Rungtynių eilė sudaroma atsitiktinai. Reitingų lentelėje dalyviai surašyti nuo stipriausio iki silpniausio. Jonas yra trečias. Tikimybė Jonui nugalėti stipresnį varžovą lygi 0,3, nugalėti silpnesnį 0, Kurią visų planuojamų rungtynių dalį sudaro rungtynės, kuriose turėtų dalyvauti Jonas? ( taškas) Sprendimas Reitingų lentelė Jonas Kokia tikimybė, kad pirmąsias rungtynes Jonas žais su stipresniu už save varžovu ir šias rungtynes pralaimės? ( taškai) Sprendimas NEPAMIRŠKITE SPRENDIMŲ IR ATSAKYMŲ PERKELTI Į ATSAKYMŲ LAPĄ

19 9 iš 4 03 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO PAVYZDINĖ UŽDUOTIS 3. Figūros, kurią riboja parabolė y 5 x ir Ox ašis, plotas lygus stačiakampio ABCD plotui. Apskaičiuokite stačiakampio ABCD dviejų gretimų kraštinių ilgius. y y 5 x x Sprendimas (4 taškai) NEPAMIRŠKITE SPRENDIMŲ IR ATSAKYMŲ PERKELTI Į ATSAKYMŲ LAPĄ

20 0 iš 4 03 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO PAVYZDINĖ UŽDUOTIS NEPAMIRŠKITE SPRENDIMŲ IR ATSAKYMŲ PERKELTI Į ATSAKYMŲ LAPĄ