Nowe kierunki AT. Dr Krzysztof Borowski KBC Securities

Transkrypt

1 Nowe kierunki AT Dr Krzysztof Borowski KBC Securities

2 Spis treści Średnie ruchome Technika Meta Trendów Technika Aktywności Cenowej (PAC) Fazory Topologia Modyfikacje klasycznych technik Fibonacciego.

3 Uwaga W prezentacji zamieszczonych zostało wiele opisów technik i omówienia przykładów, tak aby inwestorzy mogli samodzielnie prześledzić poszczególne metody inwestowania.

4 Nowe tendencje na rynku średnich ruchomych

5 Średnie ruchome waŝone wolumenem (Volume Adjusted) Średnie ruchome ceny waŝone wolumenem - konstrukcja oparta jest na wykładniczych średnich ruchomych Volume Adjusted Moving Averages (VAMA), Są często bardziej pomocne niŝ proste kroczące zwłaszcza przy identyfikacji punktów zwrotnych.

6 Średnie ruchome Średnie ruchome waŝone wolumenem stosuje się zazwyczaj dla ceny zamknięcia lub teŝ dla ceny średniej z danej sesji. VAMA stanowi skrót od Volume Adjusted Moving Averages. Średnie waŝone wolumenem wchodzą w skład najpopularniejszych programów komputerowych do analizy technicznej.

7 Średnie ruchome VAMA jest obliczana jako: n n n C N v v v v C v C v C VAMA = , Gdzie: C i i v i oznaczają odpowiednio cenę i wolumen na i-tej sesji

8 WaŜona wolumenem Badania statystyczne na giełdzie amerykańskiej: stosowanie średniej ruchomej waŝonej wolumenem w stosunku do inwestycji przeprowadzonych w oparciu o zwykłą średnią ruchomą, było najlepsze w przypadku akcji o średniej kapitalizacji i małym wolumenie obrotu oraz akcji o małej kapitalizacji i wysokim współczynniku beta.

9 VAMA Dzięki średniej ruchomej waŝonej wolumenem moŝemy zdefiniować ruchome, tj. podąŝające za ceną, poziomy wsparcia i oporu dla n sesyjnego okna: Poziom 0, n = C 0 v 0 V 0 C V n+ 1 n+ 1 v n+ 1

10 VAMA Poziom n+ 1 gdzie Poziom 0,n - poziom wsparcia lub oporu w oknie czasowym n sesyjnym. C 0 cena średnia w dniu dzisiejszym C -n+1 cena średnia n sesji temu v 0 - wolumen w dniu dzisiejszym v -n+1 - wolumen n sesji temu V 0 skumulowany wolumen w pierwszym oknie czasowym V -n+1 skumulowany wolumen w n dniowym oknie czasowym 0, n = C 0 v 0 V C 0 V n+ 1 v n+ 1

11 VAMA Wybór okna czasowego ma wpływ na to czy otrzymany poziom będzie wsparciem lub oporem. Przykład zastosowania takiego rozwiązania przedstawiony został na rys. poniŝej. Poziom oporu 1 w analizowanym okresie dość dobrze wyznaczał punkty zwrotne. Podobnie jak poziomy wsparcia 1, 2 i 3.

12 Rys. 1. Wykorzystanie poziomów wsparcia i oporu w oparciu o skumulowany wolumen na przykładzie akcjogramu Osicom Technologies (FIBR) z okresu lipiec czerwiec Źródło: Opracowanie własne.

13 evama Elastyczna waŝona wolumenem (evama) bazująca na tzw. free float tj. liczby akcji znajdujących się w obrocie[1]: ( N vt ) evamat 1 + vt Ct evamat = gdzie: N N liczba akcji znajdująca się w obrocie (free float) C t - cena akcji na sesji t v t - wolumen w czasie sesji t [1] W ten sposób uwzględnia się fakt pozostawania znacznej liczby akcji u inwestorów instytucjonalnych.

14 evama Długość średniej ruchomej zaleŝy: od liczby akcji znajdujących się w obrocie i statystycznie odzwierciedla przeciętną cenę zapłaconą za akcję.

15 Układ średnich Rys. 2. EPMA Wykładnicza Cena akcji Zwykła

16 Średnie na wykresie P&F Średnia ruchoma zwykła na wykresie kółko i krzyŝyk obliczona jako punkt środkowy kaŝdej kolumny (składającej się z kółeczek lub krzyŝyków). Szczególnie dobrze uŝyteczne dla sygnalizacji wybicia z bazy.

17 Średnie na wykresie P&F Przecięcie średniej ruchomej dłuŝszej przez krótszą generuje często wskazanie wcześniej niŝ wynika to z samej analizy wykresu P&F (utworzenie się formacji zamiany trendu lub przebicie przez cenę linii trendu). Na rys 3. wskazanie kupna na średnich ruchomych powstaje na poziomie 1,68 podczas gdy z formacji potrójnego dna został on wygenerowany na wysokości 2,05. Kolejnym krokiem moŝliwym do zastosowania na wykresach P&F jest obliczanie średnich ruchomych liniowo waŝonej i wykładniczej.

18 Rys. 3. Wykres P&F dla spółki 7Bulls Źródło: Opracowanie własne.

19 Średnie na wykresie P&F Średnia ruchoma waŝona wolumenem na wykresie kółko i krzyŝyk dla kaŝdej z kolumn wykresu P&F obliczamy wg wzoru: VAMA P& F C1v1 + C2v C = v + v v 1 2 n gdzie: C 1,,C n - ceny w danej kolumnie v i wolumen odpowiadający i tej cenie z analizowanej kolumny. Przykład obliczenia średniej ruchomej waŝonej wolumenem dla pojedynczej kolumny na wykresie kółko i krzyŝy został zamieszczony w tab. 1. n v n

20 Średnia na wykresie P&F Wartośćśredniej ruchomej zwykłej na wykresie P&F w tym samym przykładzie, ale bez uwzględnienia wagi wolumenu wyniosłaby dla analizowanej kolumny: SMA P & F = ( C1 + C2 + C3 + C4 ) / 4 = ( ) / 4 = 16,5 Uwzględnienie wolumenu w obliczeniach średniej ruchomej na wykresie P&F pozwala na wychwycenie negatywnych dywergencji wolumenowych.

21 Przykład obliczenia średniej ruchomej waŝonej wolumenem na wykresie P&F Cena w kolumnie Wolumen dla ceny w kolumnie Cena * wolumen Razem Źródło: Opracowanie własne. VAMA= 15,91

22 FRAMA Fraktalna adaptacyjna średnia ruchoma [1] Skrót FRAMA pochodzi od pierwszych liter angielskiej nazwy tej średniej: Fractal adaptive moving average.

23 Kształty fraktalne Kształty fraktalne mogą powstawać na wiele sposobów. Najprostszym jest wielokrotna iteracja reguły generującej (np. trójkąt Sierpińskiego, zbiór Cantora czy teŝ krzywa Kocha). Wszystkie te figury generowane są w sposób deterministyczny i wszystkie mają wymiar fraktalny, czyli ułamkowy.

24 Wymiar fraktalny Aby określić wymiar fraktalny obserwowanego wykresu, naleŝy pokryć wykres N małymi obiektami, z których kaŝdy ma rozmiar S. Związek pomiędzy liczbą obiektów N 1 i N 2, jakie słuŝą do pokrycia pierwszego i drugiego wykresu obiektami odpowiednio o wielkości S1 i S2, opisuje zaleŝność: N N 2 1 = S S 1 2 D gdzie D jest wymiarem fraktalnym.

25 Wymiar fraktalny Proste przekształcenia matematyczne powyŝszego równania z wykorzystaniem funkcji logarytmu prowadzą do zaleŝności: N log N D = S log S

26 Przykład wymiar fraktalny Przykładowo obliczmy wymiar fraktalny 10 metrowej linii. Wybierzmy dwa rodzaje małych obiektów słuŝących do jej pokrycia o bokach: S1= 1 metr i S2=0,1 metra. W przypadku pierwszego obiektu potrzebnych nam ich będzie 10 dla przykrycia całej 10 metrowej linii. W przypadku drugiego obiektu 100. Stąd teŝ N1=10, a N2=100. Wymiar fraktalny linii wynosi więc: 100 log 10 D = 1 log 0,1 = 1

27 W przestrzenni 2 - wymiarowej Przejdźmy teraz do przestrzeni dwuwymiarowej rozwaŝmy np. akcjogram w kształcie kwadratu o bokach 10 na 10 metrów. Stosując małe kwadraty o bokach 1 metr i 0,1 metra, potrzebujemy odpowiednio N1=100, a N2=10000 obiektów dla pokrycia w całości naszego akcjogramu. Stad wymiar fraktalny akcjogramu: log 100 D = 1 log 0,1 = 2

28 Samopowtarzalność Naturalne fraktale tj. linia brzegowa charakteryzują się brakiem prawdziwej regularności w algorytmicznej strukturze, ale za to są samopowtarzalne w sensie statystycznym. W celu określenia wymiaru fraktalnego struktur naturalnych oblicza się najpierw wymiary fraktalne przy zastosowaniu róŝnych skal, a następnie z otrzymanych wyników wyciąga sięśrednią. N 1 = H K L

29 Wymiar fraktalny na rynku kapitałowym Na rynku kapitałowym istnieje moŝliwość zmierzenia wymiaru fraktalnego pokrywając krzywą ceny (lub indeksu) przy pomocy małych kwadracików. Dzieląc róŝnicę najwyŝszej H i najniŝszej ceny L wykresu przez długość zastosowanej ramy czasowej K otrzymujemy wymaganą do tego celu liczbę prostokątów: N 1 = H K L

30 Rama czasowa Rozpatrzmy ramę czasową od dzisiaj do T sesji wcześniej (Box1), oraz ramę czasową od T do 2T sesji wcześniej (Box2). Stąd w przypadku Box1 liczba potrzebnych prostokątów o szerokości jednej sesji wyniesie T N 1 : T N 1 gdzie: H T najwyŝsza cena w okresie od sesji dzisiejszej do T sesji wcześniej L T najniŝsza cena w okresie od sesji dzisiejszej do T sesji wcześniej = H T T L T

31 W przypadku Box2 liczba potrzebnych prostokątów T N 2 to: gdzie: T N 2 H 2T najwyŝsza cena w okresie od sesji T sesji do sesji 2T wcześniej L 2T najniŝsza cena w okresie od sesji T sesji do sesji 2T wcześniej Zdefiniujmy takŝe 0-2T N 3 jako liczbę prostokątów potrzebnych do pokrycia obszaru od sesji dzisiejszej do 2T sesji wcześniej: 0 2T N 3 = H = 0 2T H 2T 2T L T L 0 2T 2T

32 Z uwagi na fakt, Ŝe przesuwamy się wzdłuŝ osi czasu do tyłu wymiar fraktalny wyniesie: T N1+ T N Log 0 2T N3 D = 2T Log T 2 Log + T N 2 ) Log ( Log (2) i będzie dla róŝnych akcjogramów oscylował w przedziale od 1 do 2. = ( T N 1 0 2T N 3 )

33 Wymiar fraktalny i średnia ruchoma Wymiar fraktalny moŝe zostać wykorzystany do konstrukcji parametru w wykładniczej średniej ruchomej (EMA - Exponential Moving Average)). Przypomnijmy, Ŝe średnia ruchoma wykładnicza, będąca modyfikacją liniowo waŝonej średniej, nadaje większą wagę bardziej aktualnym cenom: EMA N, C C + a C 2 N = 2 N 1 gdzie: parametr a < 1, C 0 cena zamknięcia na sesji ostatniej, C -1 cena zamknięcia na sesji poprzedniej C -2 cena zamknięcia dwie sesje wcześniej itd., + 1+ a a + C a a a C N + 1

34 EMA wzór rekurencyjny Innym sposobem obliczenia tej średniej moŝe być wzór rekurencyjny: EMA gdzie: EMA-1 wartośćśredniej w poprzednim okresie, a parametr α <1 = α C + ( 1 α) EMA 0 1

35 α Przyjmując obecnie, Ŝe parametr alfa jest funkcją wymiaru fraktalnego: α = exp( 4,6 ( D 1)) zauwaŝamy Ŝe: Dla D=1 wartość parametru. W tym przypadku wartość EMA zmienia się najszybciej jak to tylko moŝliwe. W tym przypadku takŝe. EMA = C 0 Dla D=2 wartość parametru, co oznacza, Ŝe wartość EMA zmienia się najwolniej jak to tylko moŝliwe. Szybkość zmiany tej średniej ruchomej moŝna porównać do tempa zmiany 200 sesyjnej zwykłej średniej ruchomej.

36 Zachowanie się fraktalnej średniej ruchomej zmienia się od szybkiej średniej ruchomej (przypadek gdy D=1) do wolnej średniej ruchomej (przypadek gdy D=2). Własność ta ma szczególne znaczenie przy zastosowaniu fraktalnejśredniej ruchomej na rynku kapitałowym: w trendzie horyzontalnym FRAMA zmienia się bardzo wolno potwierdzając tym samym tworzenie się formacji bazy, w trendzie spadkowym lub wzrostowym zmiana FRAMA jest duŝa i odpowiada szybkości zmiany ceny w trendzie.

37 FRAMA - przykład Na rys. 3 przedstawiony został przykład zastosowania FRAMA na wykresie ceny akcji 7Bulls: W okresie kwiecień lipiec 2005 r. cena znajdowała się w lekkim kanale wzrostowym. FRAMA sygnalizuje swoim nachylenie powolną aprecajacę ceny, balansując na przemian nad i pod ceną zamknięcia. Na przełomie lipca i sierpnia 2005 r. dochodzi do wybicia się ceny akcji w dół poprzez dolne ograniczenia kanału wzrostowego. Tendencja spadkowa trwa do połowy września 2005 r. W tym samym okresie FRAMA silnie zniŝkuje potwierdzając tym samym trend spadkowy i działając na cenę jako ruchomy opór. W okresie od połowy września do połowy listopada 2005 r. tworzy się platforma do zmiany trendu ze spadkowego na wzrostowy. W tym samym okresie FRAMA porusza się głównie w trendzie bocznym. Pod koniec listopada cena przechodzi w silny trend wzrostowy trwający do połowy stycznia 2006 r. Aprecjacji ceny towarzyszy zmiana kierunku FRAMA na wzrostowy. W trakcie kilku sesji zwyŝkująca FRAMA staje się wsparciem dla ceny minimalnej na danej sesji.

38 FRAMA i wskaźniki Istnieje moŝliwość zastosowania róŝnego rodzaju wskaźników i oscylatorów analizy technicznej do analizy tempa zmiany FRAMA. Na rys. 3 przedstawiony został 30 sesyjny wskaźnik RSI obliczany na bazie 15 sesyjnej FRAMA. W analizowanym na rys. 3 przykładzie wzrost wskaźnika RSI stanowi potwierdzenie tendencji wzrostowej FRAMA w okresie kwiecień lipiec 2005 r. i w okresie koniec listopada 2005 r. połowa stycznia 2006 r.

39 Rysunek 3. Przykład zastosowania 15 okresowej średniej FRAMA na wykresie ceny akcji spółki 7Bulls 90 Relative Strength Index ( )(FRAMA) sesyjny RSI z 15 sesyjnego FRAMA Wzrost RSI Wzrost RSI BULLS ( , , , , ), FRAMA ( ) Powolny kanał wzrostowy - mała zmiana FRAMA Dynamiczne wybicie w dół - szybkie tempo zmiany FRAMA Trend boczny - mała zmiana wartości FRAMA Dynamiczne wybicie w górę - szybkie tempo zmiany FRAMA x x February March April May June July August September October November December 2006 February Źródło: Opracowanie własne.

40 Przykład Na rys. 4 i rys. 5 zaprezentowana została 15 sesyjna FRAMA i 15 sesyjna średnia ruchoma zwykła (SMA). Pierwsza z tych dwu średnich, jako rodzaj adaptacyjnej średniej ruchomej jest połoŝona bliŝej ceny niŝ druga średnia. FRAMA znacznie szybciej sygnalizuje zmianę trendu z horyzontalnego na wzrostowy lub spadkowy.

41 Przykład W okresie silnej fali zwyŝkowej maj czerwiec 2005 r. i silnej deprecjacji ceny akcji Jutrzenki z okresu grudzień 2005 luty 2006 r. - rys. 5, sygnały kupna i sprzedaŝy na FRAMA wyprzedzają analogiczne wskazania na SMA. W trendzie horyzontalnym FRAMA i SMA połoŝone są blisko siebie, a w lekkim trendzie wzrostowym czasami zdarza się, Ŝe SMA jest połoŝona bliŝej ceny niŝ FRAMA (np. lipiec październik 2005 r. na rys. 5).

42 Rysunek sesyjna FRAMA i 15 sesyjna średnia ruchoma zwykła na wykresie ceny akcji KGHM 90 KGHM Polska Miedz ( , , , , ), FRAMA ( ) FRAMA l eŝy bliŝej ceny niŝ SMA October November De cember February Źródło: Opracowanie własne.

43 Rysunek sesyjna FRAMA i 15 sesyjna średnia ruchoma zwykła na wykresie ceny akcji Jutrzenki 90 JUTRZENKA Przedsiebiorstwo Cukiernicze ( , , , , ), FRAMA ( ) FRAMA leŝy bliŝej ceny niŝ SMA FRAMA leŝy bliŝej ceny niŝ SMA May June July August September October November December 2006 February Źródło: Opracowanie własne.

44 Technika Meta Trendów

45 Wprowadzenie Bardzo wiele narzędzi analizy technicznej jest opartych na róŝnego rodzaju interwałach czasowych (np. interwały: 5, 3, 15, 45 godzinowe, jednosesyjne, tygodniowe imiesięczne).

46 Wprowadzenie NajwaŜniejszym pytaniem, na jakie muszą odpowiedzieć inwestorzy stosujący tego typu narzędzia jest: jaki jest najlepszy interwał czasowy w przypadku obserwowanego akcjogramu?.

47 Wprowadzenie Technika Meta Trendów umoŝliwia prześledzenie zachowania danego narzędzia AT w wielu interwałach czasowych jednocześnie. Fakt wykorzystania przez technikę Meta Trendów kilku interwałów czasowych stanowi unikalność tej metody.

48 Meta Trendy zasady rysowania Na początku naleŝy narysować wykres instrumentu bazowego będącego przedmiotem analizy w dowolnym horyzoncie czasowym (wykres w układzie godzinowym, dziennym, tygodniowym) zazwyczaj wykorzystuje się do tego celu ceny zamknięcia (metoda nie wyklucza teŝ stosowania innych cen tj. otwarcia, najwyŝszej lub najniŝszej). Następnie w linii poniŝej najniŝszego punktu na otrzymanym w ten sposób wykresie, rozpoczynamy rysowanie linii Meta Trendu kierując się poniŝszymi zasadami.

49 Meta Trendy - zasady W pierwszym kroku musi jednak zostać określony najmniejszy interwał czasowy. W naszym przykładzie na wykresie dziennym, najmniejszym interwałem czasowym jest jeden dzień.

50 Meta Trendy Niech C n oznacza cenę zamknięcia na n-tej sesji. 2. Kolejnym krokiem jest znalezienie róŝnicy cen: C n C n-1, gdzie C n-1 oznacza cenę zamknięcia na sesji wcześniejszej w stosunku ceny zamknięcia na sesji n- tej (tj. C n ). 3. W pierwszej linii poniŝej najniŝszego notowania widocznego na wykresie, w kolumnie odpowiadającej cenie C n, umieszczamy odpowiedni kolor w zaleŝności od tego czy róŝnica ceny na n tej i n-1 sesji tj. C n C n-1, wzrosła czy teŝ spadła.

51 Meta Trendy 1 4. Dla wzrostów ceny stosuje się kolor zielony, dla spadków czerwony. 5. Jeśli zmiana ceny akcji w analizowanej róŝnicy interwałów jest równa zero stosuje się kolor czarny. 6. Im silniejszy trend tym odcień stosowanego koloru powinien być jaśniejszy. 7. Koloru Ŝółtego uŝywa się w przypadku bardzo silnego trendu wzrostowego (najjaskrawszy odcień koloru zielonego), a koloru fioletowego dla zaznaczenia silnego trendu spadkowego (najjaskrawszy odcień koloru czerwonego).

52 Meta Trendy -2 Następnie powtarzamy procedurę z pkt. 1 dla kolejnej ceny zamknięcia tj. C n+1, następnej tj. C n+2 itd. W ten sposób otrzymujemy pierwszą linię Meta Trendu.

53 Meta Trendy - 3 W następnym kroku wykorzystujemy interwał czasowy będący podwojeniem pierwotnego interwału czasowego. PoniŜej ceny C n w drugiej linii Meta Trendu umieszczamy odpowiedni kolor w zaleŝności od tego czy róŝnica C n C n-2 jest dodatnia czy teŝ ujemna (dla wybranego w naszym przykładzie najmniejszego interwału czasowego równego jedną sesję, podwojeniem najmniejszego interwału czasowego są dwie sesje).

54 Meta Trendy - 4 Przechodzimy do następnego notowania, dla którego cena zamknięcia wynosi C n+1 i liczymy róŝnicę C n+1 C n-1, itd.

55 Meta Trendy - 5 W ten sposób zwiększając najmniejszy interwał czasowy (stosując jego wielokrotność) przechodzimy do kolejnych linii Meta Trendu, co w konsekwencji prowadzi do uzyskania odpowiedniej mapy kolorów.

56 Meta Trendy uogólnienie Dla ceny zamknięcia C n wartość i-tej linii Meta Trendu, przy wyborze najmniejszego interwału czasowego równego odległości dwu sąsiadujących ze sobą cen, otrzymujemy ze wzoru: W i = C n C n i

57 Rys. 1. Sposób tworzenia linii Meta Trendu Cena C n C n -C n-1 Cena waloru w stosuje się cenę zamknięcia C n -C n-2 C n -C n-3 Analizowane ceny w poszczególnych interwałach Poszczególne linie Meta Trendu Linia czasu na ekranie komputera Kierunek rozwiania się średnio i długoterminowych trendów Źródło: Opracowanie własne

58 Kolory Kolory zielone i czerwone reprezentują odpowiednio trendy wzrostowe i spadkowe zgrupowane na jednym wykresie. Kolor czarny sygnalizuje zmianę trendu ze wzrostowego na spadkowy i odwrotnie. Sposób uporządkowania poszczególnych obszarów na otrzymanej mapie trendów nie jest przypadkowy. Pola obszarów o tym samym kolorze zielonym lub czerwonym nazywają się Meta Trendami.

59 Rys. 2. Przykład zastosowania techniki Meta Trend na przykładzie cen akcji IBM (IBM) Rys. 2. Źródło: Opracowanie własne na podstawie Boomers R., Meta Trend, Technical Analysis of Stock & Commodities, June 2001, pp

60 Omówienie rysunku nr 2 Pole obszaru między końcami strzałek oznaczonych jako 1 oznacza Meta Trend spadkowy. Na początku tego obszaru cena akcji wchodzi w wyraźną tendencję spadkową. Na końcu zaznaczonego obszaru moŝna juŝ mówić o trendzie wzrostowym. Obszar między strzałkami o nr 2. sygnalizuje lokalny trend wzrostowy. ZauwaŜmy, Ŝe na początku tego obszaru cena akcji zwyŝkuje, a na końcu zniŝkuje. Dla określonych wielokrotności interwału podstawowego trend wzrostowy lub spadkowy jest na tyle silny, Ŝe na wykresie zostały zaznaczone linie Ŝółte i fioletowe.

61 Zastosowanie Meta Trendów NajwaŜniejszym zastosowaniem techniki Meta Trend jest sygnalizacja głównych trendów wzrostowych i spadkowych widocznych na analizowanym akcjogramie. Jeśli kolor tła analizowanego wykresu jest w technice Meta Trendu zielony, to dominującym trendem w prezentowanym na wykresie horyzoncie czasowym jest trend wzrostowy. Jeśli zaś kolorem tła (tj. dominującym) jest kolor czerwony, w dłuŝszym horyzoncie czasowym mamy do czynienia z tendencją spadkową.

62 Zastosowanie Meta Trendów Dominacja określonej barwy po prawej stronie wykresu sygnalizuje przewagę jednego z trendów: wzrostowego lub spadkowego w krótszym horyzoncie czasowym poprzedzającym ostatnią sesję widoczną na wykresie. Na rys. powyŝej dominującym kolorem tła jest kolor zielony sygnalizacja tendencji wzrostowej w dłuŝszym okresie czasu. Na prawym skraju wykresu przewaŝającą barwą jest zielona, co skłania nas do wyciągnięcia wniosku o silnym trendzie wzrostowym w ostatniej części analizowanego wykresu.

63 Zastosowanie Meta Trendów Drugim moŝliwym zastosowaniem tej techniki jest wskazanie początku i końca trendu wzrostowego i spadkowego. W momencie zmiany trendu ze wzrostowego na spadkowy lub odwrotnie cena przez pewien czas będzie przybierała barwę czarną. Wielkość pola obszaru o kolorze czarnym sygnalizuje szybkość zmiany trendu ze wzrostowego na spadkowy lub odwrotnie. I jest to zaleŝność odwrotnie proporcjonalna tj. szybkim zmianom trendów odpowiadają małe pola na mapie trendów o barwie czarnej.

64 Zastosowanie Meta Trendów Trzecim sposobem wykorzystania techniki Meta Trendów jest sygnalizacja stanów skrajnych rynku. W momencie silnej tendencji wzrostowej lub spadkowej barwa na wykresie Meta Trendów przybierze kolor odpowiednio Ŝółty lub fioletowy. Fakt ten oznacza wyraźną dominację na wykresie jednego z trendów aprecjacja lub deprecjacja ceny przybiera wyraźnie na sile.

65 Zastosowanie Meta Trendów Czwarta metoda zastosowania Meta Trendów bazuje na sposobie rysowania mapy trendów. ZauwaŜmy, Ŝe trendy krótkoterminowe nanoszone są na wykresie na samej górze mapy, podczas gdy trendy średnio i długoterminowe w miarę rozwijania się na wykresie ceny, przesuwają się w kierunku prawego dolnego naroŝnika. W takim bowiem razie obszary jednego koloru rozpoczynające się w pobliŝu górnego krańca mapy trendów i rozciągające się w jej głąb mają duŝe znaczenie prognostyczne.

66 Rys. 3.Przykład zastosowania techniki Meta Trend na przykładzie cen akcji Microsoft (MSFT) Źródło: Opracowanie własne na podstawie Boomers R., Meta Trend, Technical Analysis of Stock & Commodities, June 2001, pp

67 Rys. 4. Przykład zastosowania techniki Meta Trend na przykładzie cen 30 letnich obligacji rządowych USA (TYX) Rys. 4. Źródło: Opracowanie własne na podstawie Boomers R., Meta Trend, Technical Analysis of Stock & Commodities, June 2001, pp

68 Uwagi do rysunku nr. 3 Na rys. 3. dobrze widoczna staje się długoterminowa (DT) tendencja spadkowa, która zaczyna się wewnątrz odcinka nr 1. (strzałka na prawym skraju tego odcinka sygnalizująca zmianę trendu ze wzrostowego na spadkowy obszar czarny na mapie trendów) strzałka koloru czerwonego. DT tendencja spadkowa jest od czasu do czasu poprzecinana lokalnymi korektami wzrostowymi: odcinek 2 i 3, którym odpowiadają zielone obszary krótkoterminowych (KT) trendów wzrostowych, połoŝone w górnej części mapy trendów.

69 Uwagi do rysunku nr. 4. Na wykresie nr 4 mamy do czynienia z mapą trendów charakterystyczną dla trendu bocznego. Po wcześniejszym średnioterminowym (ST) trendzie spadkowym (czerwony obszar po lewej stronie mapy trendów), który przeszedł w trend wzrostowy (zielony obszar w części środkowej mapy), w dalszej części mapy zauwaŝamy przeplatanie się obszarów zielonych, czerwonych i czarnych, ze zdecydowaną przewagą tych ostatnich (trend boczny).

70 Technika Aktywności Cenowej (Price Activity PAC)

71 Zasady konstruowania wykresów -1 Narysowanie wykresu waloru zawierającego ceny: otwarcia, najwyŝszą, najniŝszą zamknięcia oznaczone jako dane wejściowe na rys. nr 5.

72 Zasady konstruowania wykresów - 2 Ustalenie tzw. minimalnego ruchu ceny (tzw. pudełko) na podstawie techniki kółko i krzyŝyk (point & figure). Następnie narysowanie odpowiednich minimalnych zmian ceny na otrzymanym w pkt 1 wykresie patrz wykres 1 na rys. nr 5. Minimalna zmiana ceny tj. pudełko wynosi w tym przypadku 1 zł.

73 Zasady konstruowania wykresów - 3 Dla pierwszego widocznego dnia na wykresie dokonujemy równego podziału wolumenu obrotu między ilość minimalnych ruchów cenowych przypadających tego dnia. Na wykresie nr 2 na rys. 5 wolumen 60 akcji z pierwszego dnia notowań został podzielony na 2 minimalne ruchy cenowe, co daje po 30 akcji na kaŝde pudełko. Innymi słowy średnio po 30 akcji zmieniło właściciela w przedziale zł oraz zł.

74 Zasady konstruowania wykresów - 4 Liczba akcji, jakie zmieniły właściciela w trakcie pierwszej sesji ma wpływ na istotności poziomów wsparcia i oporu w ciągu następnych sesji, lecz wpływ ten systematycznie maleje (tzw. stopień zmniejszenia wolumenu). Na wykresie waloru w ciągu następnych sesji dokonujemy systematycznego zmniejszenia udziału akcji, jakie zmieniły właściciela w trakcie pierwszej sesji. Na wykresie 3 na rys. 5 w trakcie drugiej sesji istotność kaŝdego z przedziałów i zł została zmniejszona do 25 akcji. Na tym samym wykresie istotność wolumenu obrotu z pierwszej sesji w trakcie kolejnych sesji systematycznie spada o 5 akcji i wynosi w trakcie sesji trzeciej 20, a w trakcie sesji czwartej 15 akcji dla kaŝdego z przedziałów i zł.

75 Zasady konstruowania wykresów - 5 Powtarzając kroki 3-4 dla kaŝdego notowania i przeprowadzając odpowiednie sumowanie w ten sposób zakumulowanego wolumenu (dla kaŝdego przedziału cenowego i kaŝdego dnia) uzyskujemy istotność kaŝdego z pudełek cenowych w ciągu następnych notowań wykres 4 na rys. 5.

76 Zasady konstruowania wykresów - 6 Zamieniając otrzymane w ten sposób istotności poszczególnych pudełek cenowych na określone kolory (czarny = zero, zielony = wartośćśrednia, czerwony = wartość wysoka) otrzymujemy wykres w technice PAC wykres 5 na rys. 5. W rzeczywistości wykorzystuje się całą paletę kolorów stosując zaleŝności: im cieplejszy kolor tym większy zakumulowany wolumen, wzrost intensywności (odcienia) danego koloru oznacza większy zakumulowany wolumen na danym poziomie cenowym.

77 Rys. 5. Sposób tworzenia wykresu w technice PAC Źródło: opracowanie własne na podstawie Bertrand F. Vizualize Price Movement, Technical Analysis of Stock & Commodities, June 2005, pp

78 Zalety metody Metoda PAC stanowi połączenie metod wolumenowych, cenowych i czasowych. Jej głównymi atutami są: Doskonała wizualizacja wybić w górę i w dół z poziomów konsolidacji, Sygnalizacja poziomów wsparcia i oporu, Uwidacznianie formacji kontynuacji trendu takich jak: trójkąty, proporczyki i flagi.

79 Rysunek 6. Spadek znaczenia danego poziomu wsparcia / oporu w czasie na przykładzie akcjogramu HPQ (układ dzienny, horyzont jednoroczny), średnie ruchome (20 sesyjna - niebieska i 100 sesyjna biała) Źródło: opracowanie własne na podstawie programu PAC Chart.

80 Zalety Wykorzystanie kolorów w technice PAC umoŝliwia stworzenie wykresów z przedziałami bez zakumulowanego wolumenu (kolor czarny) aŝ po przedziały z maksymalną kumulacją wolumenu (kolor czerwony). Na wykresie stworzonym w technice PAC obejmującym notowania w okresie dwuletnim kolor czerwony będzie odpowiadał najwyŝszemu zakumulowanemu wolumenowi w horyzoncie dwuletnim. Analogiczne na wykresie obejmującym trzymiesięczne notowania kolor czerwony odpowiada największej akumulacji wolumenu w przedziale czasowym trzymiesięcznym. Konsekwentnie określony punkt czerwony na wykresie trzymiesięcznym moŝe okazać się jedynie niebieskim na wykresie w horyzoncie dwuletnim. Im dłuŝszy jest horyzont czasowy wykresu tym większe znaczenie mają poszczególne obszary kolorów czerwonego i Ŝółtego.

81 Rysunek 7. Wykres w technice PAC dla amerykańskiej spółki Pfizer (PFE) Źródło: opracowanie własne na podstawie Bertrand F. Vizualize Price Movement, Technical Analysis of Stock & Commodities, June 2005, pp

82 PAC a inne metody AT Na wykresie w technice PAC kolory tła pełnią rolę sygnalizacji poszczególnych poziomów wsparcia i oporu. Stanowią one alternatywę dla techniki equivolume i candelvolume. W technice PAC nie dochodzi jednak do zniekształcenia osi poziomej jak to ma miejsce w obu tych metodach. Fakt ten umoŝliwia stosowanie na jednym wykresie oscylatorów i wskaźników bez zniekształceń ich osi czasowej.

83 Rysunek 8. Wykres IBM w technice PAC (układ dzienny, horyzont jednoroczny), średnie ruchome (20 sesyjna - niebieska i 100 sesyjna biała) Źródło: opracowanie własne na podstawie programu PAC Chart.

84 Stopnie swobody Technika PAC posiada trzy stopnie swobody: Minimalny ruch ceny (tzw. pudełko), Stopień zmniejszenia wolumenu, Horyzont czasowy prezentacji danych (wykresy w ujęciu godzinowym, dziennym, tygodniowym, miesięcznym, rocznym)

85 Fazory

86 Teoria cykli W literaturze finansowej przedstawia się zazwyczaj teorię cykli za pomocą sumy określonych fal sinusoidalnych. W celu obliczenia stóp zwrotu z portfela inwestycji składającego się z szeregu aktywów, których ceny wykazują fluktuacje cykliczne, niezbędne jest wykorzystanie specyficznego narzędzia. System taki został juŝ wcześniej rozwinięty przez fizykę, gdzie wiele zmiennych jest reprezentowanych przez wektory.

87 Wektory W przypadku inwestycji na rynku kapitałowym, kierunek wektora wskazuje punkt środkowy wyznaczony jako średnia arytmetyczna ceny najwyŝszej i najniŝszej w czasie danej sesji. Bardzo często do obliczeń przyjmuje się cenę zamknięcia. Długość wektora (amplituda) reprezentuje odległość lokalnego szczytu lub dołka od linii zero w aktualnie trwającym cyklu inwestycyjnym. W szczególności wektor o określonej amplitudzie obracający się wokół swojego początku nazywa się fazorem.

88 Fala sinusoidalna Falę sinusoidalna moŝe zostać opisana przy pomocy wektora o amplitudzie równej amplitudzie fali i kierunku wyznaczonym przez kąt fazowy w chwili czasu 0. Kąt fazowy związany jest z translacją czasową a nie przestrzenną.

89 Rysunek 1. Ilustracja powstawania fazora Źródło: opracowanie własne

90 Wyobraźmy sobie teraz, Ŝe obracamy wektor L wokół jego początku z prędkością kątową ω w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Rzut długości wektora L na oś OY[1] w kaŝdej chwili czasu t daje w konsekwencji falę sinusoidalną. Jeden obrót wektora wokół jego początku przedstawia jeden pełny cykl fali sinusoidalnej. Matematyczne równanie opisujące fazor moŝe zostać przedstawione w postaci: r( t) = L sin( ω t + θ ) gdzie: r(t) oznacza długość rzutu wektora L na oś OY w chwili czasu t kąt θ oznacza kąt między wektorem a osią OX w chwili czasu t=0. [1] Długość rzutu wektora L na oś OY wynosi L sinθ, podczas gdy długość rzutu wektora L na oś OX wynosi L cosθ.

91 Przeanalizujmy portfel składający się z dwu aktywów, których stopa zwrotu moŝe zostać opisana przy pomocy fali sinusoidalnej o tej samej częstości. Niech x 0 oznacza ilość pieniędzy wpływających do portfela, a x 1 i x 2 oznaczająśrodki zainwestowane odpowiednio w aktywa nr 1 i 2, podlegających falowym fluktuacjom. Oznaczmy przez m 1 (t) i m 2 (t) stopy zwrotu uzyskane z inwestycji w aktywa 1 i 2 w funkcji czasu t, a x 3 (t) określa ilość pieniędzy jaka moŝe opuścić portfel po czasie t patrz rys. 2.

92 Rysunek 2. Portfel inwestycyjny złoŝony z dwu aktywów. x1 m1(t) x0 x3(t) x2 m2(t) Źródło: opracowanie własne

93 Rysunek 3. Dwie fale sinusoidalne i związane z nim fazory. r m 2 (t) θ R 1 m 1 (t) t R 2 θ Źródło: opracowanie własne

94 Uwagi do rys. nr 3. Na rysunku nr 3 pokazane zostały fale sinusoidalne stóp zwrotu poszczególnych składników portfela i związane z nimi fazory: R1 i R2. Czcionką pogrubioną oznaczać będziemy w dalszej części artykułu wielkości wektorowe. Amplituda fazora R2 jest większa od amplitudy R1, a fazor drugi pozostaje w tyle za pierwszym dokładnie o kąt θ. Innymi słowy między fazorami występuje tzw. przesunięcie wynoszące θ stopni.

95 Stopa zwrotu z kaŝdej inwestycji w chwili czasu t moŝe być opisana jako: Z rysunku nr 3 wynika, Ŝe : Strumieńśrodków finansowych opuszczających nasz portfel po okresie t wyniesie zatem: m m ( t) = R1 sin( ω t + 1) 1 θ ( t) = R2 sin( ω t + 2) 2 θ θ 1 = 0 θ2 = 360 θ x3( t) = x1 m1 ( t) + x2 m2( t)

96 Rysunek 4. Dodawanie fazorów. r α m 3 (t) m 2 (t) R 2 R 1 α R 3 m 1 (t) t Źródło: opracowanie własne

97 ZauwaŜamy, Ŝe fala złoŝona m3(t) będąca sumą fal m 1 (t) i m 2 (t) opóźnia się w stosunku do fali pierwszej o kąt α. Stopa zwrotu z portfela x 3 (t) w przypadku gdy x1 = x2 moŝe zostać obliczona w wyniku dodawania (wektorowego) fazorów R1 i R2 tak jak to obrazuje wykres 4. Tak, więc stopę zwrotu z portfela reprezentuje fazor R3 tworzący z wektorem R1 kąt α. W wyniku stosunkowo prostych obliczeń matematycznych otrzymujemy wzór na kąt α w postaci: R α = arctan R cos(90 θ ) + R cosθ W przypadku inwestycji, w których wzór ten przyjmuje postać: α = arctan x2 R2 cos(90 θ ) x R + x R cosθ

98 ZauwaŜmy, Ŝe poziomą składową wektora R3 opisuje wyraŝenie: x R + x R cosθ co prowadzi do pionowej składowej w postaci wzoru:. x2 R2 cos(90 θ )

99 Regulację kąta α uzyskujemy dzięki odpowiedniemu doborowi wag środków zainwestowanych w poszczególne aktywa. PowyŜsze rozumowanie moŝe zostać przeniesione na przypadek, w którym oddziaływanie poszczególnych czynników, a tym samym ich stóp zwrotu: m 1 (t) i m 2 (t) ma przeciwstawny wpływ na wynik inwestycji patrz rys. 5.

100 Rysunek 5. Portfel poddany działaniu dwu przeciwstawnych czynników. m1(t) - m2(t) x0 x1 x3(t) Źródło: opracowanie własne

101 Wypadkową stopę zwrotu naszej inwestycji moŝemy opisać w tym przypadku równaniem: m3( t) = m1 ( t) m2 ( t) = R3 =R1 - R2

102 Uwagi Z rachunku wektorowego wiadomo, Ŝe róŝnicę wektorów R1 i R2 moŝna przedstawić jako sumę wektora R1 i wektora R2. W tym celu do uzyskanych wcześniej obliczeń naleŝy konsekwentnie wstawić wartość R2. Analogiczne rozumowanie moŝe zostać przeprowadzone dla obliczenia końcowej stopy zwrotu z n składnikowego portfela.

103 Fazory - zastosowanie Na przestrzeni ostatnich dwu lat fazory znalazły nowe zastosowanie w analizie technicznej. W tym przypadku jednakŝe przyjmuje się załoŝenie obrotu fazora zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a składowa pozioma jest wyznacznikiem upływu czasu. Proces rozkładu cyklu (fali) tworzonego przez cenę akcji na składową pionową i poziomą fazora nosi nazwę przekształcenia Hilberta. Metoda ta umoŝliwia otrzymanie współrzędnych końca wektora (x, y) w czasie t. Łącząc otrzymane w ten sposób punkty uzyskujemy wykres fazora odpowiadający upływowi określonego czasu. W przypadku idealnego cyklu w jakim mogłaby znajdować się cena akcji, współrzędne otrzymanych punktów utworzyłyby pełen okrąg. Niestety na rynku kapitałowym takie sytuacje zdarzają się niezmiernie rzadko.

104 Fazory - zastosowanie PoniŜej przedstawione zostały dwa przykłady wykorzystania fazorów do analizy cykli na polskim rynku kapitałowym. Na rysunku 6 zaprezentowany został wykres akcji Banku Rozwoju Exportu (BRE)

105 Rysunek 6. Kurs akcji BRE BRE Bank Sesja nr 36 k h Sesja nr Etap October November Źródło: opracowanie własne December

106 Omówienie Początek analizowanego okresu przedstawia pierwsza pionowa linia na rysunku nr 6, a koniec druga. Rysunek nr 7 ilustruje wykres fazora uzyskany dla pierwszych 40 sesji badanego okresu. Punkt startowy usytuowany jest w pierwszej ćwiartce i oznaczony numerem pierwszym. Z uwagi na fakt, Ŝe cena znajduje się w silnym trendzie wzrostowym, wykres fazora do punktu 19 przemieszcza się z trudem. Następnie po spadku ceny i wybiciu w górę, rozpoczyna się cykl 12 sesyjny. Po kilkunastu sesjach wzrostowych, siła cyklu słabnie i do głosu dochodzi ponownie wcześniejszy trend wzrostowy, który będzie trwał aŝ do końca pierwszego analizowanego etapu.

107 Rysunek 7. Fazor otrzymany dla analizowanego okresu czasu. 3 4 Składowa pionowa II I Start Składowa 3 13 pozioma 9-1 Koniec sesji = cykl 20 III IV -3 Źródło: opracowanie własne

108 Analiza wykresu Big Banku (Millennium) Na rysunku nr 8 przedstawiony został wykres akcji Banku Inicjatyw Gospodarczych (BIG) na przełomie lat 2001 / Rysunek 9 przedstawia wykres fazora uzyskany na tej podstawie. ZauwaŜmy, Ŝe w ciągu 23 sesji nie występuje Ŝaden określony trend za wyjątkiem połowy 14 sesyjnego cyklu (punkty od 8 do 14), po którym następuje 13 sesyjny marsz fazora w miejscu. W pewnym momencie dochodzi nawet do zwrotu w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara - punkty (pogrubione na rysunku). Z teoretycznego punktu widzenia naleŝałoby przyjąć, Ŝe w czas między tymi punktami biegnie w kierunku przeciwnym, co jest oczywiście niemoŝliwe. W związku z tym jedynym właściwym wytłumaczeniem tego procesu moŝe być fakt, Ŝe cena znajduje się nadal pod wpływem trendu, ale takim, Ŝe upływ czasu nie ma tutaj znaczenia.

109 Rysunek 8. Kurs akcji BIGu na przełomie 2001 / BIG Bank Gdanski Sesja nr 30 k h Sesja nr h Sesja nr 8 h Sesja nr December Źródło: opracowanie własne February 11

110 Rysunek 9. Fazor uzyskany na podstawie analizy danych w badanym okresie. II , sesji = cykl 0, Koniec 30 9 Składowa 0 pozioma ,5 13 III ,51-2 Składowa pionowa 27 Start sesji = cykl 34 9 I 32 IV 33 Źródło: opracowanie własne

111 Pętle na wykresie fazorów Stosunkowo rzadkim zjawiskiem występującym na wykresach fazorów są małe, pętle (czasami wielokrotne) usytuowane wewnątrz większych, określane mianem przesunięcia (ang. whiffles) patrz rys. 10. Zewnętrzna pętla o stosunkowo duŝej amplitudzie została przesunięta do środka układu współrzędnych tworząc dwie wewnętrzne pętle: o cyklach wynoszących 5 i 14 sesji. Początek tej translacji przypada w punkcie nr 21. W rezultacie otrzymany fazor jest wypadkową złoŝenia fazora 16, 14 i 5 sesyjnego.

112 Pętle na wykresie fazorów Zjawisko to moŝe zostać wytłumaczone w następujący sposób patrz rys. 11. Cykl krótszy został przedstawiony jako fazor wirujący na końcu fazora reprezentującego cykl główny (dominujący). Prędkość obrotowa fazora krótszego cyklu jest znacznie większa niŝ prędkość obrotowa fazora cyklu głównego. Cykle podrzędne nie muszą być widoczne na wykresie fazora w całości bardzo często ujawniają się jedynie w pewnej tylko części. Jedynie wykres fazora pozwala zidentyfikować cykle niemoŝliwe do odfiltrowania przy pomocy wielu metod matematycznych.

113 Rysunek 10. Ilustracja zjawiska przesunięcia fazora II 2 I 3 Start sesji = cykl 0, sesji = cykl Składowa -1,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 pozioma 14 5 sesji = cykl III 41 1 Koniec ,5-1 -1,5 Składowa pionowa Przesunięcie - główny fazor zatrzymuje się, początek trendu 9 8 IV Źródło: opracowanie własne

114 Rysunek 11. Wytłumaczenie zjawiska przesunięcia Cykl mniejszego rzędu Cykl dominujący Źródło: opracowanie własne

115 Jeszcze trudniejszą kwestię stanowią przypadki, w których fazor cyklu mniejszego wiruje z prędkością obrotową znacznie mniejszą niŝ prędkość obrotowa cyklu głównego. W takim przypadku naleŝy spodziewać się przesunięcia trajektorii fazora cyklu głównego od centrum (translacja) widoczny jest tutaj stały wpływ (stałe tło) oddziaływania fazora cyklu mniejszego. Stosunek długości obu wektorów nie ma w tym przypadku Ŝadnego znaczenia zastosowanie dodatkowych metod filtracyjnych pozwala dość skutecznie prześledzić oba cykle.

116 Strategia inwestycyjna Strategia inwestycyjna stworzona przez analizę techniczną, oparta na wykorzystaniu fazorów przewiduje: otwarcie pozycji długiej w momencie kiedy składowa pozioma osiąga swoje minimum, zamknięcie pozycji długiej kiedy składowa pozioma osiąga swoje maksimum

117 RóŜnice Składowa pozioma osiąga swoje maksimum w momencie przebicia osi OX przy przejściu z pierwszej do czwartej ćwiartki układu, a swoje minimum w przypadku przebicia przez fazor osi OX z trzeciej do drugiej ćwiartki. Strategia inwestycyjna oparta na technice fazorów przynosi wyŝszą stopę zwrotu niŝ bazująca na wykorzystaniu połowy cyklu.

118 Topologia na rynku akcji

119 Odległość W współczesnej analizie rynków finansowych wykorzystuje się pojęcie odległości między zmianami cen akcji i oraz j, których ceny mogą fluktuować w sposób mniej lub bardziej zsynchronizowany. Wprowadźmy pojęcie wielkości zredukowanej gdzie: ~ S ( t) = S ( t) = ln( Y ( t)) ln( Y ( t 1)) i i i i < ( S S ( t) < S ( t)) Y i (t) cena akcji i w chwili czasu t <S i (t)> - wartośćśrednia S i (t) w przedziale czasu t. i i 2 i > < ( t) > S i ( t) > 2 Wielkość zredukowana jest to wielkość po scentrowaniu (tj. po odjęciu wartości średniej) i wyskalowaniu (podzieleniu przez odchylenie standardowe) w danym przedziale czasu.

120 Konsekwencje

121 Metryka ZauwaŜmy, Ŝe zdefiniowanie odległości między zmianami cen akcji w postaci równania (1) określającego metrykę euklidesową, narzuca spełnianie trzech podstawowych kryteriów opisujących taką właśnie metrykę: d d d ij ij ij = 0 i = j Warunki 3. = d d ji ik + d kj

122 Odległość między zmianami cen akcji i i j w okresie czasu t jest wykorzystywana przy budowie portfela inwestycyjnego. RozwaŜmy przypadek spółek i i j, których zmiany cen charakteryzowały się silnie dodatnią i silnie ujemną korelacją w okresie czasu t. Dla przypadku pierwszego przyjmijmy, Ŝe ρij = 1, a dla drugiego, Ŝe ρij = -1. Wtedy dij obliczona ze wzoru (2) przyjmie wartości odpowiednio: 0 i 2. Zmiany cen akcji o zerowym współczynniku korelacji w okresie czasu t, oddalone będą o w metryce dij. ZaleŜność odległości zmian cen akcji i i j w funkcji współczynnika korelacji zmian cen akcji w okresie czasu t przedstawiona została na rys. 1.

123 Rysunek 1. ZaleŜność odległości zmian cen akcji od współczynnika korelacji. 2,5 Odległość cen akcji 2 1,5 1 0, ,8-0,6-0,4-0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Współczynnik korelacji Źródło: opracowanie własne

124 Korelacja Spółki, których zmiany cen wykazywały w okresie czasu t: Silną korelację dodatnią - będą charakteryzowały się małą odległością zmian cen w metryce d ij. Silną korelację ujemną - są najbardziej oddalone od siebie w metryce d ij. Akcje te będą wybierane przez inwestorów, których głównym celem jest minimalizacja ryzyka tworzonego portfela akcji. Zerową korelację odległość między zmianami cen akcji będzie wynosiła w metryce d ij.

125 Przestrzeń ultrametryczna d^ Do badania powiązań między zmianami cen akcji wykorzystuje się przestrzenie ultrametryczne, w które włączone zostało pojęcie hierarchiczności. ij Przestrzeń ultrametryczna to taka przestrzeń, w której odległość między obiektami jest odległością ultrametryczną. Odległość ultrametryczna spełnia dwa pierwsze warunki ( z warunku 3), a w miejscu nierówności trójkąta zachodzi nierówność ultrametryczna: ^ ^ ^ d ij max{ d ik, d kj }

126 Ultrametryka subdominująca Spośród wszystkich moŝliwych struktur ultrametrycznych, ze względu na swoją prostotę i wiele waŝnych własności, do badania odległości między zmianami cen akcji wykorzystuje się tzw. ultrametrykę subdominującą, która moŝe zostać otrzymana za pomocą drzewa powiązań o minimalnej rozpiętości (minimum spanning tree MST). MST jest pojęciem z teorii grafów opartym o algorytm Kruskala. W przypadku grafu składającego się z n wierzchołków, MST jest drzewem o n-1 krawędziach, minimalizującego łączną odległość. W zaleŝności od wagi poszczególnych punktów i ich odległości otrzymujemy róŝne drzewa patrz rys. 2. Zamiast długich tablic korelacji między cenami analizowanych firm otrzymujemy znacznie prostsze w odbiorze i interpretacji wykresy.

127 Rysunek 2. Przykłady ustalenia najmniejszej odległości wg algorytmu Kruskala Źródło: opracowanie własne

128 Przykład Na rys. 3 przedstawiony został graf MST dla składników indeksu Dow Jones Industrial Average. Kluczowe znaczenie mają łańcuchy spółek: sektora komputerowego (HPQ, INTC, IBM i MSFT) oraz finansowego (AXP, C, JPM) stanowiące dobry przykład wzajemnej korelacji. Kolejnym przykładem silnej korelacji zmian cen akcji są tzw. rozgałęzienia w naszym przypadku akcje sektora chemicznego: IP, JNJ, EK, PG i DD, których zmiany cen są dobrze skorelowane ze zmianą ceny XOM. Podobną zaleŝność zauwaŝamy dla walorów naleŝących do sektora spoŝywczego: MCD, KO i HD

129 Zalety Najmniej naraŝone na zmiany na rynku finansowym są spółki leŝące na końcach drzewa MST. Walory, od których odchodzi wiele odgałęzień naleŝą do grupy spółek wiodących (tj. w znacznym stopniu wyznaczających zmiany indeksu giełdowego). Zmiana ceny takiej akcji bardzo często pociąga za sobą zmianę cen akcji leŝących w jej pobliŝu i połączonych z nią odgałęzieniami. Wykres MST pozwala szybko odnaleźć sektory silnie i słabo ze sobą skorelowane. Jest on szczególnie uŝyteczny w przypadku tworzenia portfela akcji. Minimalizacja ryzyka portfela nakazuje wybieranie akcji, których ceny są bardzo oddalone od siebie na wykresie. Wybór spółek leŝących blisko siebie będzie prowadził do zwiększenia całkowitego ryzyka portfela, z uwagi na fakt, Ŝe ich ceny są ze sobą silnie skorelowane.

130 Rysunek 3. Graf MST dla zmian cen akcji wchodzących w skład DJIA w okresie DIS BA UTX HON MO GM JPM MRC IP JNJ GE AA AXP C HPQ INTC IBM MSFT EK DJIA XOM WMT CAT T DD PG MMM MCD KO HD SBC Źródło: opracowanie własne Punkt zaczerniony przedstawia indeks DJIA. Liniami przerywanymi zaznaczono linie łączące indeks z odpowiednimi spółkami, których narysowanie znacznie zaciemniłoby obraz. Wykres wykonany został przy pomocy pakietu Mathematica 4.2. Skróty uŝyte na rysunku zostały wyjaśnione w tabeli 1.

131 Tabela 1. Spółki występujące na wykresie nr 2 Źródło: opracowanie własne Nazwa spółki Alcoa Inc. American Express Co. AT&T Corp. Boeing Co. Caterpillar Inc. Citigroup Inc. Coca-Cola Co. DuPont Co. Eastman Kodak Co. Exxon Mobil Corp. General Electric Co. General Motors Corp. Hewlett-Packard Co. Home Depot Honeywell International Inc. Intel Corp. International Business Machines Corp. International Paper Co. JP Morgan Chase & Co. Johnson & Johnson McDonald's Corp. Merck & Co. Microsoft Corp. Minnesota Mining & Manufacturing Co. Philip Morris Cos. Procter & Gamble Co. SBC Communications United Technologies Corp. Walt Disney Co. Wal-Mart Stores Inc. Skrót AA AXP T BA CAT C KO DD EK XOM GE GM HPQ HD HON INTC IBM IP JPM JNJ MCD MRC MSFT MMM MO PG SBC UTX DIS WMT

132 Pakiet Przykłady bardziej skomplikowanych drzew mogą być tworzone m.in. przy wykorzystaniu specjalistycznego pakietu Impactopia.

133 Rysunek 4. Graf MST dla zmian cen firmy ISHARES RUSSEL MIDCAP VALUE Źródło: opracowanie własne - przy wykorzystaniu programu Impactopia

134 Na rysunkach 4 i 5 przedstawiony został graf dla zmian cen akcji funduszu inwestycyjnego ISHARES RUSSEL MIDCAP VALUE (w skrócie oznaczonego jako IWS) notowanego na giełdzie nowojorskiej. Ponad 250 zmian cen amerykańskich spółek wykazywało w okresie korelację większą niŝ 0,2 w stosunku do zmiany ceny akcji funduszu IWS. Drzewo korelacyjne obejmujące powiązania ze wszystkimi firmami notowanymi na Wall Street jest niesłychanie trudne do dokładnego zbadania w całości przedstawione ono zostało na rys. 4. Na rys. nr 5 zaprezentowano najwaŝniejszy fragment grafu MST obejmujący spółki, których zmiany cen były najsilniej skorelowane ze zmianą cen akcji IWS.

135 Rysunek 5. Wybrany fragment grafu MST dla spółki zmiany cen akcji ISHARES RUSSEL MIDCAP VALUE Źródło: opracowanie własne - przy wykorzystaniu programu Impactopia Skróty poszczególnych spółek są zgodne z oficjalnym oznaczeniem giełdy nowojorskiej i mogą być odczytane przy wykorzystaniu np. strony internetowej:

136 Metro Program Impactopia umoŝliwia analizę odległości zmian cen dwu firm na grafie MST. Na rys. nr 6. zaprezentowano część grafu MST odpowiadającą za połączenie zmiany ceny akcji Coca Coli ze zmianą ceny akcji Pepsi Co. w okresie Przyjęło się nazywać taki sposób analizy jako Metro.

137 Korelacja Korelacja zmian cen akcji Coca Coli i Pepsi Co. w badanym okresie wyniosła 0,58. Co ciekawsze silniej ze zmianą ceny akcji Coca Coli skorelowana była zmiana ceny akcji potentata chemicznego Proctel & Gamble 0,60. W przypadku spółki Wrigley - znanego producenta gumy do Ŝucia korelacja ta wyniosła niewiele mniej niŝ między zmianami cen spółek z branŝy napojów chłodzących i ukształtowała się na poziomie 0,55.

138 Rysunek 6. Odległość zmian cen akcji Coca Cola (KO:N) od zmian cen akcji Pepsi Co. (PEP:N) przy wykorzystaniu grafu MST. Źródło: opracowanie własne - przy wykorzystaniu programu Impactopia Inne oznaczenia to : WWY:N -Wm Wrigley JR i PG:N - Proctel & Gamble

139 Odległość utltrametryczna d^ ij Odległość utrametryczną wykorzystuje się równieŝ przy konstrukcji drzewa hierarchicznego jest to inne ujęcie zagadnienia minimalizacji odległości między zmianami cen akcji (pierwszym był system MST). Dla waŝonego grafu o n wierzchołkach, MST jest drzewem o n-1 krawędziach, przedstawionego jako poziome odcinki na rys. 7, które minimalizuje łączną odległość. Drzewo to składa się w naszym przypadku z dwu grup akcji. Do pierwszej naleŝą walory oznaczone jako A1, A2 i A3.

140 Odległość utltrametryczna d^ ij Do drugiej zaś pozostałe. Wraz z upływem czasu moŝe zmieniać się poziom bazowy odległości i wewnętrzna struktura takiego drzewa. Dlatego teŝ drzewa hierarchiczne są szczególnie uŝyteczne do analizy zmiany odległości cen poszczególnych walorów w czasie. Badania empiryczne dowodzą jednak, Ŝe zasadnicza struktura takiego drzewa pozostaje stała na przestrzeni lat, co ma ogromne znaczenie w przypadku taksonomii ekonomicznej.

141 Rysunek 7. Indeksowane drzewo hierarchiczne dla zmian cen akcji spółek A1,..., A6. Ď IJ 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 A1 A2 A3 A4 A5 A6 Źródło: opracowanie własne.

142 Modyfikacje zasięgów Fibonacciego 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,... gdzie n - naleŝy do naturalnych oraz k0 = 1 i k1 = 1 k + k n + 2 = kn + 1 n k n+ lim 1 n kn = 1, = Φ Inne waŝne wielkości to: 1/Φ = 0,618, 1/Φ 2 = 0,382 i Φ 2 = 2,618 będące przybliŝeniami odpowiednich granic ciągów tzn.: 1/ Φ lim n k k n n + 1 = 0,618 1/ Φ 2 lim n k k n n + 2 = 0,382 k 2 n+ Φ lim 2 = n k n 2,618

143 Inne relacje Φ =1,272 1 = 0,786 Φ

144 Wzór Gartleya Pierwszy wzór wykorzystujący ww. potęgi liczby Φ w prognozowaniu formacji cenowych został podany po raz pierwszy przez H. M. Gartleya. Na rys. 1 przedstawiony został trend wzrostowy XA, z wyraźnym punktem zmiany trendu w A. Zgodnie z sugestią Gartleya korekta spadkowa zakończona w punkcie B powinna wynieść dokładnie 61,8% zasięgu ceny XA. Po zwrocie trendu na wzrostowym w punkcie B, cena aktywu rośnie do punktu C. Idealny wzór Gartleya ma miejsce wtedy, gdy zasięg ruchu między punktem B i C będzie zawierał się w przedziale pomiędzy 61,8% a 78,6% zasięgu ruchu AB.

145 Po zmianie tendencji w punkcie C obserwujmy spadek ceny aktywu aŝ do punktu D. Zasięg ruchu CD powinien naleŝeć do przedziału od 127% do 161,8% zasięgu ruchu BC. W punkcie D inwestorzy otrzymują sygnał zajęcia pozycji długiej. Minimalny zasięg zwyŝki DT wynosi 61,8% zasięgu CD. Całkowity zasięg ruchu XD wynosi 78,6% zasięgu ruchu XA i ma kluczowe znaczenie przy rozpoznawaniu idealnego wzoru Gartleya. Jeśli w punkcie T dojdzie do przebicia linii trendu wyznaczonej przez punkty A i C, wtedy naleŝy mówić o formacji zmiany trendu wyŝszego stopnia.