WSTĘP. Rozdział 2.4, informacje o geometrii powierzchni nadwoziowych zebrał i przedstawił mgr inż. Sławomir Kreft.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "WSTĘP. Rozdział 2.4, informacje o geometrii powierzchni nadwoziowych zebrał i przedstawił mgr inż. Sławomir Kreft."

Transkrypt

1 WSTĘP Wspomniane w rozdziale 2.3 generowanie zapisu powierzchni bryły nadwozia na podstawie danych z redukcyjnego lub pełnowymiarowego modelu polega na zdigitalizowaniu (uzyskaniu współrzędnych x,y,z w układzie globalnym) charakterystycznych punktów zmierzonych na modelu. Można posłużyć się w tym celu kilkoma metodami: Fotogrametrycznym pomiarem modelu Skanowaniem wiązką lasera Pomiarem maszyną współrzędnościową W dużym skrócie prace strakerskie polegają na aproksymacji krzywymi przestrzennymi zmierzonych punktów lub na wygładzaniu krzywych pozyskanych poprzez automatyczne generowanie przekrojów warstwicowych z chmury punktów pomiarowych. Na tak przygotowanych krzywych, w dalszej kolejności, rozpina się powierzchnie. Warstwicowe krzywe przestrzenne w płaszczyznach YZ Rozdział 2.4, informacje o geometrii powierzchni nadwoziowych zebrał i przedstawił mgr inż. Sławomir Kreft.

2 2.4 Geometria powierzchni nadwozia Wprowadzenie Powierzchnia zewnętrznego poszycia nadwozia samochodu jest podstawowym czynnikiem decydującym o jego wyglądzie. Walory estetyczne nadwozia, jak również i jego właściwości aerodynamiczne zależą ściśle od płynności i jakości powierzchni oraz głównych linii podziałów na poszczególne elementy i ewentualnych linii przetłoczeń. W procesie projektowania i konstrukcji nadwozia tworzenie powierzchni, a następnie dokładne ich określenie wymiarowe, jest etapem niezbędnym, specyficznym dla nadwozia, a zarazem najbardziej decydującym o ostatecznym efekcie w postaci gotowego produktu. Dlatego zarówno styliści, jak i konstruktorzy muszą wykazać się znajomością zależności geometrycznych związanych z krzywymi i zasadami tworzenia powierzchni opartych na tych krzywych, jak również zasadami ich modyfikacji. Znane są dwie metody opracowywania powierzchni nadwozia: wykreślna i komputerowa. Ponieważ ta pierwsza jest już dzisiaj metodą praktycznie niestosowaną, w niniejszej pracy zostanie opisana jedynie metoda komputerowa. Tą ostatnią metodę zastosowano również w projektowaniu powierzchni nadwozia będącego tematem niniejszej pracy. Metoda komputerowa opracowywania powierzchni polega na bezpośrednim tworzeniu powierzchni w wirtualnej przestrzeni trójwymiarowej. Metoda ta opiera się na wykorzystaniu sprzętu komputerowego o dużej mocy przeliczeniowej oraz odpowiedniego oprogramowania. Do najczęściej stosowanych dzisiaj w tym celu programów należą: Alias Wavefront, ICEMSurf, Unigraphics oraz CATIA V5. Do zalet metody komputerowej należą: - skrócenie czasu kształtowania powierzchni - szybki elektroniczny zapis parametrów powierzchni w postaci cyfrowej - łatwość oceny jakości opracowywanej powierzchni - możliwość przeprowadzania oceny jakości na bieżąco - łatwość wprowadzania ewentualnych korekt lub modyfikacji - znaczne skrócenie całego cyklu tworzenia nadwozia - niewielki czas i łatwość wykonania dokumentacji technicznej na papierze (plotowanie) - możliwość wykorzystania zapisu cyfrowego do kolejnych etapów (obliczenia MES, podstawa dla programów obrabiarek sterowanych numerycznie)

3 - złożenie całego nadwozia w postaci cyfrowej można wykorzystać do różnego rodzaju badań symulacyjnych, jak np. badania aerodynamiki, bezpieczeństwa, akustyki). Rodzaje powierzchni nadwozia Najbardziej podstawowy podział powierzchni nadwozia rozróżnia cztery ich typy. Są to powierzchnie płaskie, obrotowe, prostokreślne i krzywokreślne. Powierzchnie płaskie są bardzo rzadko stosowane na elementy poszycia zewnętrznego, ze względu na nienajlepsze walory estetyczne, ale również i mechaniczne (bardzo mała sztywność i związane z tym drgania własne). Właściwości powierzchni płaskiej mogą poprawić przetłoczenia, ale z zasady unika się dzisiaj elementów płaskich poszyć, nawet w samochodach dostawczych, gdzie jeszcze niedawno stosowano takie powierzchnie. Powierzchnię płaską w systemach CAD buduje się przez utworzenie płaszczyzny, a następnie wygenerowanie krzywych na tej płaszczyźnie ograniczających szukaną powierzchnię. Rys. Powierzchnia płaska i jej wygenerowany obraz z przetłoczeniem Powierzchnie obrotowe buduje się przez obrót płaskiej krzywej wokół prostej stanowiącej oś obrotu. O kształcie powierzchni decyduje więc płaski profil. Obrót krzywej można wykonać o dowolny kąt, niekoniecznie o 360 st. Przykładem powierzchni obrotowej w nadwoziu pojazdu jest wewnętrzne poszycie nadkola tylnego koła. Rys. Powierzchnia obrotowa i reprezentacja jej obrazu Powierzchnia prostokreślna jest to powierzchnia posiadająca krzywiznę tylko w jednym kierunku. Powstaje ona przez zbudowanie powierzchni pierwszego stopnia między dwiema

4 krzywymi przestrzennymi. Stopień wielomianu opisującego powierzchnię w zadanym kierunku wynosi 1, gdy system buduje powierzchnię na podstawie równania parametrycznego prostej. Szczególnym rodzajem powierzchni prostokreślnej jest powierzchnia walcowa, która powstaje przez przesunięcie dowolnego profilu o zadany wektor. Zastosowanie powierzchni tego typu w nadwoziach jest bardzo ograniczone, czasami są stosowane w nadwoziach uniwerslanych i furgonowych na poszycia dachu i boków. Rys. Powierzchnia prostokreślna (walcowa) z siatką kontrolną i reprezentacja jej obrazu Powierzchnie krzywokreślne posiadają krzywiznę w obydwu kierunkach. Jest to typ powierzchni stosowany bardzo szeroko jako poszycia zewnętrzne nadwozi. W systemach CAD rozróżnia się trzy typy powierzchni krzywokreślnych: powierzchnie brzegowe, powierzchnie z profili przesuwanych oraz powierzchnie swobodne. Powierzchnia brzegowa to powierzchnia opisana matematycznie czterema lub rzadziej trzema krzywymi ograniczającymi. Krzywa brzegowa powinna być opisana funkcją spełniającą co najmniej warunek ciągłości C 1. Zmiana charakteru krzywej brzegowej powoduje zmianę kształtu powierzchni, przez co można ją niemal w dowolny sposób modyfikować lub dostosowywać do powierzchni sąsiadujących.

5 . Rys. Powierzchnia krzywokreślna z siatką kontrolną i reprezentacja jej obrazu Powierzchnia z profili przesuwanych ma taki sam opis matematyczny, jak powierzchnia brzegowa, wyznaczana jest jednak inaczej. W systemach CAD wyróżnia się kilka metod tworzenia tego rodzaju powierzchni. Profil może być przesuwany i skalowany wzdłuż krzywych prowadzących, bądź mogą istnieć dwa profile początkowy i końcowy od których zależy kształt powierzchni. Są również przypadki, w których profil bazuje tylko na jednej krzywej prowadzącej. Powierzchnia swobodna jest to powierzchnia krzywokreślna skonstruowana na podstawie zadanego zbioru punktów bądź krzywych generacyjnych. Powierzchnia typu Beziera lub NURBS budowana jest automatycznie przez system za pomocą wewnętrznego narzędzia matematycznego, aproksymującego dane wejściowe. W wyniku tego powierzchnia ta prawie zawsze posiada jakąś odchyłkę w stosunku do danych wejściowych. Jak łatwo zauważyć, im większy stopień wielomianów opisujących powierzchnię, tym odchyłka będzie mniejsza. Należy jednak pamiętać, że zwiększanie stopnia powoduje spadek jakości powierzchni i może ona wtedy posiadać znaczne błędy geometryczne. Powierzchnie swobodne stosuje się zwykle do opisu powierzchni zewnętrznych nadwozia, ponieważ oddają one w możliwie najbliższy sposób kształt architektoniczny nadwozia. Takie powierzchnie mają szerokie zastosowanie np. podczas digitalizacji modelu rzeczywistego w celu utworzenia modelu wirtualnego.

6 Podstawy modelowania krzywych i powierzchni Wstęp Reprezentacje figur (krzywych i powierzchni) geometrycznych stosowane w projektowaniu przy zastosowaniu technik komputerowych powinny wykazywać się następującymi własnościami: powinny być wygodne dla projektanta, tak aby dzięki nabytemu doświadczeniu oraz wyczuciu mógł on w sposób łatwy i wygodny tworzyć, jak również i modyfikować projekty; powinny umożliwiać łatwą realizację algorytmów przetwarzania, co pozwala obniżyć koszty wprowadzania systemów modelowania; powinny istnieć stosunkowo szybkie algorytmy reprezentacji (rendering) obrazów danych figur, co ma zasadniczy wpływ na wygodę oraz efektywność pracy projektanta; powinny umożliwiać weryfikację założeń projektowych (np. tolerancje kształtu); powinny umożliwiać badanie utworzonego modelu komputerowego jeszcze przed wykonaniem prototypu (np. obliczenie pola powierzchni lub masy) Stosowaną obecnie metodą określania krzywych i powierzchni, spełniającą w wystarczający sposób powyższe założenia, jest metoda oparta o opis parametryczny. Polega ona na wprowadzeniu pewnego odwzorowania, które punktom dziedziny (zbiór parametrów) przyporządkowuje punkty w przestrzeni. Krzywe Béziera Dzisiaj większość zaawansowanych programów wykorzystywanych przy projektowaniu nie tylko nadwozi, ale również i innych form przestrzennych, opiera się na opisie parametrycznym krzywych opracowanym przez Pierre a Béziera. Od jego nazwiska pochodzi też nazwa tych krzywych. Należy w tym miejscu podkreślić, że Pierre Bézier opracował specyficzną tę postać wielomianu opisującego krzywe właśnie dla potrzeb projektowania nadwozi, w firmie Renault. Jedną z definicji krzywej Béziera jest określenie jej jako krzywej p, której każdy punkt p(t) można skonstruować według algorytmu de Casteljau, który opisany jest poniżej. Algorytm de Casteljau. Wybierzmy dowolny ciąg n+1 punktów p 0,...,p n. Rozważmy łamaną, której kolejnymi wierzchołkami są te punkty. Dokonamy podziału wszystkich n odcinków tej łamanej w pewnej ustalonej proporcji t : 1-t. Otrzymujemy n punktów, które

7 tworzą wierzchołki kolejnej łamanej, złożonej z n-1 odcinków. Proces ten powtarzamy aż do chwili, gdy otrzymamy jeden punkt. Rys. Schemat algorytmu de Casteljau Zmieniając parametr liczbowy t otrzymamy zbiór punktów, które wyznaczą nam krzywą. Jest to krzywa Béziera. Punkty zadane na początku nazywane są punktami kontrolnymi, a wyjściowa łamana to łamana kontrolna krzywej Béziera. Wielomiany Bernsteina. Reprezentacja Béziera krzywych wielomianowych opiera się na pewnych funkcjach bazowych. Okazuje się, że funkcjami tymi są wielomiany Bernsteina, ponieważ punkty kontrolne krzywej Béziera są współczynnikami krzywej w bazie wielomianów Bernsteina, tj.: n n p( t) = p B ( t) ; Wielomiany Bernsteina stopnia n są zdefiniowane wzorem: B t n t i i= 0 t n i n i i ( ) = (1 ) dla i = 0,..., n i i Rys. Wykresy wielomianów Bernsteina Wielomiany Bernsteina są liniowo niezależne i jest ich n+1, stanowią więc bazę przestrzeni wielomianów stopnia nie większego niż n. Dodatkowo przyjmuje się umowę B n i ( t) = 0 dla i < 0 lub i > n Wielomiany te spełniają również zależność:

8 B n i ( t) = (1 t) B n 1 i ( t) + tb Ponieważ wielomiany Bernsteina są podstawą reprezentacji Béziera krzywych wielomianowych, poznanie własności tych funkcji umożliwia zbadanie własności reprezentacji. Rozkład jedynki: Dodatniość: n i= 0 B n i ( t) = 1 n t [ 0,1] B ( t) 0 i Rozkład jedynki oraz dodatniość wielomianów Bernsteina są warunkami koniecznymi i dostatecznymi własności otoczki wypukłej krzywych Béziera (oznacza to, że wszystkie łamane tworzone przez obcinanie narożników i krzywa graniczna, która powstaje w wyniku tego, zawierają się zawsze w otoczce wypukłej wierzchołków łamanej wyjściowej). Symetria: B n i n ( t) B (1 t) = n i Oznacza to, że jeśli łamana kontrolna jest symetryczna względem pewnego punktu, to krzywa Béziera również wykazuje tę symetrię. własności. Pochodna: d dt B n i ( t) = n( B n i n 1 i 1 ( t) 1 n 1 1 ( t) Bi ( t)) Powyższy wzór stosuje się do znalezienia pochodnych krzywych Béziera i zbadania ich Podwyższanie i obniżanie stopnia Podwyższenie stopnia krzywej Béziera jest procesem zwiększania liczby punktów kontrolnych. Możliwe jest podwyższenie stopnia krzywej Béziera bez zmiany jej charakteru, gdyż proces ten jest niczym innym tylko obcinaniem narożników łamanej kontrolnej, a można udowodnić, że krzywą Béziera można otrzymać przez obcinanie narożników łamanej kontrolnej przeprowadzone dostatecznie wiele razy. Oznacza to, że istnieje nieskończenie wiele reprezentacji Béziera dowolnej krzywej wielomianowej. Względy praktyczne skłaniają jednak do stosowania w projektowaniu reprezentacji o najniższym stopniu, który umożliwia osiągnięcie założonych celów.

9 Rys. Podwyższanie stopnia krzywej Béziera oraz schemat ogólny obcinania narożników Podwyższanie stopnia krzywej Béziera stosuje się między innymi w celu: - uzyskania większej swobody kształtowania krzywej - uzgodnienia reprezentacji krzywych (m. in. łączenie dwóch krzywych i związane z tym zrównanie stopni) Operacja przeciwna do podwyższania stopnia, a więc obniżanie stopnia krzywej Béziera, może być prowadzona tylko do określonego momentu (w zależności od rzeczywistego opisu parametrycznego krzywej). Dalsze obniżanie odbywa się już na zasadzie aproksymacji, a więc znalezieniu krzywej w jak najmniejszym stopniu odbiegającej od zadanej. Pochodne krzywej Béziera i łączenie krzywych Pochodna krzywej Béziera stopnia n może być przedstawiona jako krzywa Béziera stopnia n-1, której punktami kontrolnymi są wektory n p i, i=0,...,n-1. Rys. Pochodna krzywej Béziera w punkcie t Z powyższego rysunku wynika, że aby wektor pochodnej w połączeniu odpowiednich krzywych Béziera był ciągły, krzywe łamane muszą być połączone w taki sposób, że przedostatni punkt kontrolny pierwszej krzywej, wspólny punkt brzegowy krzywych (n-ty dla pierwszej i zerowy dla drugiej krzywej) oraz pierwszy punkt kontrolny drugiej krzywej, powinny leżeć na jednej prostej. Jest to zilustrowane na poniższym rysunku.

10 Rys. Łączenie krzywych Béziera w sposób zapewniający ciągłość C 1 Pochodna k-tego rzędu w punkcie brzegowym zależy tylko od punktów p 0,...,p k. Inaczej mówiąc wektory pochodnych do rzędu k w punkcie początkowym i końcowym, są określone przez k+1 pierwszych albo ostatnich punktów kontrolnych. Warunki ciągłości pochodnych rzędu 1,...,k krzywej złożonej z dwóch połączonych krzywych Béziera stopnia n>k, a więc połączonych z ciągłością C k, można otrzymać z podziału krzywej przez wyżej opisany algorytm de Casteljau. W najprostszy sposób można to opisać następująco: jeśli dwie krzywe q i r są połączone z ciągłością C k, to punkty pośrednie w algorytmie de Casteljau, stanowiące dane dla ostatnich k+1 iteracji, powinny być identyczne niezależnie od tego, czy odtwarzamy je na podstawie łamanej krzywej q czy r. Rys. Połączenie krzywych z ciągłością C 2 Rys. Połączenie krzywych z ciągłością C 3 Powyższe rysunki świadczą o tym, że wymieniany i stosowany przez niektórych specjalistów warunek leżenia na jednej prostej odpowiednio k+1 pierwszych i k+1 ostatnich punktów kontrolnych w połączeniu dwóch krzywych z ciągłością C k, nie jest warunkiem

11 koniecznym, a jedynie łatwym do graficznej realizacji. Jednak współczesne programy umożliwiają już automatyczne łączenie krzywych i powierzchni z ciągłością C 2, więc nie zachodzi już potrzeba ręcznego manipulowania punkami kontrolnymi. Poniżej przedstawiony jest efekt działania automatycznej opcji programu Catia V5R10 umożliwiającej łączenie krzywych z zadaną ciągłością. Wygenerowano dwie krzywe Béziera stopnia trzeciego, które początkowo spełniały tylko warunek ciągłości C 0, a więc jedynie stykały się ze sobą końcami. Wbudowaną funkcją Catii połączono krzywe z ciągłością C 1, a więc nadano krzywym styczność i obserwowano zachowanie się punktów kontrolnych. Punkty kontrolne zostały przesunięte zgodnie z teorią podaną wyżej. Nadanie ciągłości krzywizny C 2 również zmieniło położenie punktów kontrolnych według powyższych teorii jedynie trzy punkty kontrolne leżą na wspólnej prostej. Rys. Połączenie krzywych z ciągłością C 0 wygenerowane w programie Catia Rys. Połączenie krzywych z ciągłością C 1 wykonane przez wbudowaną opcję programu Catia V5 Rys. Połączenie krzywych z ciągłością C 2 wykonane przez wbudowaną opcję programu Catia V5

12 Płaty powierzchni Béziera Płat powierzchni jest odwzorowaniem obszaru dwuwymiarowego w przestrzeni i do jego określenia potrzebne są funkcje dwóch zmiennych. Jedną z metod określenia przestrzeni funkcji dwóch zmiennych jest zastosowanie iloczynu tensorowego. Iloczyn tensorowy przestrzeni V 1 i V 2 funkcji jednej zmiennej (np. wielomianów) jest przestrzenią liniową rozpiętą przez iloczyny funkcji f(u)g(v), gdzie f V1, g. Jeżeli zbiory funkcji {f0,...,f n } i {g 0,...,g m } stanowią bazy przestrzeni V 1 i V 2, to V 2 zbiór funkcji {f i (u)g j (v): i=0,...,n, j=0,...,m} jest bazą tensorową przestrzeni V. Rys. Płat powierzchni Béziera z siatką kontrolną Prostokątne płaty powierzchni Béziera stopnia (n,m), są określone wzorem: p( u, v) = n m i= 0 j= 0 p ij B n i ( u) B Aby określić płat stopnia (n,m), należy więc podać (n+1)(m+1) punktów kontrolnych p ij. Zbiór odcinków łączących punkty kontrolne nazywamy siatką kontrolną płata. W siatce kontrolnej wyróżnia się wiersze i kolumny. Sposób określenia płata Béziera umożliwia zastosowanie do niego wszystkich twierdzeń i algorytmów związanych z krzywymi Béziera. Łatwo zauważyć, że skrajne wiersze i kolumny siatki kontrolnej opisują krzywe brzegowe płata. Wyznaczanie punktów płata można przeprowadzić uogólnionym algorytmem de Casteljau przez wyznaczanie punktów na krzywych. Podwyższenie stopnia płata ze względu na jedną ze zmiennych polega na podwyższeniu stopnia odpowiednio wszystkich wierszy lub kolumn w siatce kontrolnej płata. m j ( v) Łączenie płatów Béziera

13 Metoda łączenia płatów powierzchni w celu osiągnięcia ciągłości zadanego rzędu jest bezpośrednim uogólnieniem opisanej wyżej metody łączenia krzywych Béziera. Wiersze i kolumny siatek kontrolnych łączy się podobnie jak łamane krzywych. Utożsamienie łamanych krzywych brzegowych tworzy ciągłość C 0. Narzucenie warunku powstania podziału z większego płata (algorytm de Casteljau z dwóch kierunków) na każdą kolumnę lub wiersz równoległy podwyższa rząd ciągłości połączenia o 1. Rys. Połączenia płatów Béziera z zachowaniem ciągłości C 1 i C 2 Krzywe B-sklejane Opisane wcześniej krzywe i płaty powierzchni Béziera obok licznych zalet mają również poważne wady z punktu widzenia praktycznych zastosowań. Po pierwsze niemożliwe jest wprowadzanie lokalnych zmian, gdyż przesunięcie punktu kontrolnego powoduje zmianę kształtu całej krzywej bądź całego płata. Może to się okazać niewygodne lub nawet niepożądane w przypadku, jeśli pewne fragmenty projektowanego przedmiotu są już ukształtowane oraz dopracowane, i działając w innym miejscu nie chcemy tego popsuć. Po drugie w przypadku modelowania skomplikowanych kształtów konieczne jest korzystanie z krzywych lub płatów wysokiego stopnia. Manipulowanie punktami kontrolnymi staje się wtedy niewygodne dlatego, że dla modyfikacji krzywej należy przesuwać punkty kontrolne na duże odległości, a krzywa coraz bardziej odbiega od charakteru krzywej

14 łamanej. Ponadto obliczenia dla krzywych Béziera wysokiego stopnia są drogie i kłopotliwe w realizacji komputerowej. Rys. Porównanie krzywej Béziera stopnia 7 (a) z kubiczną krzywą B-sklejaną (b) Powyższych wad nie posiadają krzywe składające się z wielu łuków wielomianowych stosunkowo niskiego stopnia, zwane krzywymi sklejanymi lub potocznie splajnami. Krzywe takie pozwalają na modyfikację tylko pewnych ich fragmentów, bez zmiany pozostałych. Jednocześnie dają możliwość modelowania bardzo skomplikowanych kształtów poprzez dobranie odpowiedniej w zależności do potrzeb liczby łuków. Można konstruować krzywe interpolacyjne o kształcie zgodnym z intuicyjnymi oczekiwaniami. W praktyce stosuje się krzywe sklejane z łuków wielomianowych trzeciego stopnia (tzw. kubiczne) z poniższych powodów: stopień 2 jest zbyt mały, ponieważ krzywe drugiego stopnia są krzywymi płaskimi, a krzywa przestrzenna zbudowana na ich podstawie jest kawałkami płaska, co ze względu na estetykę eliminuje praktyczne zastosowanie takich krzywych; stopień 3 jest minimalnym, dla którego można osiągnąć ciągłość pochodnej drugiego rzędu (ciągłość krzywizny) w punkcie wspólnym dwóch łuków opisanych różnymi wielomianami; kubiczne interpolacyjne krzywe sklejane, w odróżnieniu od krzywych wielomianowych wysokiego stopnia, między danymi punktami mają bardzo dobry przebieg i zachowanie; Konstrukcja kubicznych krzywych B-sklejanych opiera się na warunku ciągłości C 2 połączeń krzywych Béziera. Schemat przedstawiony jest na rysunku.

15 Rys. Połączenie dwóch kubicznych krzywych Béziera z zachowaniem warunku ciągłości C 2 Wychodzimy od łamanej o wierzchołkach q 0,q 1,d,r 2,r 3. Punkty q 1, d i r 2 możemy uznać za wierzchołki łamanej kontrolnej krzywej stopnia drugiego i wykonać algorytm de Casteljau, dzieląc jej odcinki w zadanej proporcji. W wyniku powstają punkty q 2, q 3 =r 0 i r 1, spełniające równania ciągłości. Otrzymujemy parę gładko połączonych krzywych Béziera trzeciego stopnia. Powyższą procedurę można uogólnić do konstrukcji dowolnej liczby m gładko połączonych krzywych Béziera. Wymierne krzywe B-sklejane (krzywe NURBS) Nazwa NURBS, używana do określania wymiernych krzywych B-sklejanych, jest skrótem angielskiej nazwy tych krzywych non-uniform rational B-spline. Określenie nonuniform oznacza nierównomierne i odnosi się do ciągu węzłów zastosowanych do określenie funkcji bazowych; węzły te nie muszą być równoodległe. Wymierna krzywa B-sklejana określona jest wzorem: s N n 1 i = i= 0 ( t) N n 1 i= 0 w d i i w N gdzie d i oznaczają punkty kontrolne, a w i współczynniki wagowe lub po prostu wagi. Funkcje bazowe n N i N n i n i ( t) ( t) są określone dla pewnego ciągu węzłów. Dziedziną krzywej jest odcinek [un, u N-n ]. Kształtowanie krzywej wymiernej B-sklejanej polega na rozmieszczaniu lub przesuwaniu punktów kontrolnych i dobieraniu wag poszczególnych punktów. Można też manipulować węzłami użytymi do określenia funkcji bazowych.

16 Rys. Działanie wag wymiernej krzywej B-sklejanej Można wykazać następujące własności krzywych NURBS: - jeśli wszystkie wagi są równe pewnej stałej różnej od 0, to krzywa wymierna jest identyczna z krzywą wielomianową; - zmiana wszystkich wag polegająca na przenożeniu ich przez pewną stałą różną od 0, nie powoduje żadnych zmian geometrycznych krzywej; - relacja między punktami kontrolnymi a wymierną krzywą B-sklejaną jest niezmiennicza afinicznie, co oznacza, że obraz punktów kontrolnych w przekształceniu afinicznym określa obraz krzywej w tym przekształceniu; - kontrola kształtu za pomocą punktów kontrolnych jest ściśle lokalna, podobnie jak efekt zmiany wagi jest ograniczony tylko do fragmentu krzywej; Rys. Lokalna kontrola kształtu krzywej B-sklejanej W wielu programach komputerowych, mimo że istnieje możliwość tworzenia krzywych NURBS, zastrzeżona jest zmiana wag (wagi wszystkich punktów są określone na poziomie 1). Wobec tego w rzeczywistości krzywe te są krzywymi wielomianowymi, a nie wymiernymi.

17 Powierzchnie B-sklejane Płaty powierzchni B-sklejanych są określane w podobny sposób jak płaty prostokątne powierzchni Béziera. Mając dane dwie przestrzenie liniowe funkcji sklejanych, stopni n i m, opartych na ciągach węzłów odpowiednio u 0,...,u N i v 0,...,v N, można określić ich iloczyn tensorowy. Płat powierzchni B-sklejanej stopnia (n,m) jest opisany wzorem: s ( u, v) = N n 1 M m 1 i= 0 j= 0 d ij N n i ( u) N Reprezentacja płata składa się z liczb n i m określających stopień płata, dwóch ciągów węzłów oraz (N-n)(M-m) punktów kontrolnych d ij. Punkty kontrolne płata tworzą siatkę, w której wyróżnia się wiersze i kolumny. m j ( v) Rys. Płat powierzchni B-sklejanej z siatką kontrolną W przypadku powierzchni NURBS, a więc wymiernych płatów powierzchni B- sklejanej, oprócz węzłów i punktów kontrolnych, trzeba podać współczynniki wagi po jednym dla każdego punktu kontrolnego. Metody oceny powierzchni Zasadnicze znaczenie podczas modelowania, jak również i po zakończeniu projektu, ma możliwość dokonania oceny kształtu otrzymanej krzywej lub powierzchni. Ocena ta jest podstawą do zaakceptowania badanej powierzchni lub konieczności wprowadzania poprawek. Najprostsza metoda poprzez przedstawienie realnego obrazu z użyciem ustalonego oświetlenia, symulująca określone własności optyczne powierzchni, często jest metodą niewystarczającą.

18 Ocena kształtu powierzchni obejmuje trzy podstawowe elementy: rozkład krzywizny na powierzchni, obecność nieciągłości płaszczyzny stycznej lub krzywizny na połączeniach płatów oraz utrzymanie tolerancji odtworzenia teoretycznego kształtu (ten ostatni stosowany jest przeważnie w przypadku mechanizmów, więc w niniejszej pracy nie będzie opisywany). Obrazowanie kształtu powierzchni można dokonać dwoma podstawowymi sposobami. Pierwszy polega na określeniu funkcji kształtu na powierzchni i przedstawieniu tej funkcji za pomocą kolorów. Jeśli odwzorowanie wartości funkcji na kolory (paleta) jest ciągłe, to otrzymany obraz uwidacznia nieciągłość funkcji kształtu. W przypadku gdy paleta jest nieciągła, otrzymany obraz uwidacznia warstwice tej funkcji. Drugi sposób wizualizacji opiera się na narysowaniu tzw. krzywych charakterystycznych leżących na powierzchni. Krzywymi tymi mogą być warstwice, linie najszybszego spadku itp. Właściwie dobrane narzędzie wizualizacji uwypukla w obrazie negatywne i niepożądane cechy kształtu badanej powierzchni. Jednak interpretacja takich obrazów bywa trudna i wymaga od projektanta dużego doświadczenia i wprawy, aby podjąć właściwą decyzję o modyfikacji powierzchni tak, aby jej skutek był zadawalający. Poniżej opisane są pokrótce podstawowe metody oceny powierzchni stosowane w praktyce. Metoda oświetlania powierzchni Metoda oceny powierzchni przez oświetlanie (ang. shading lub rendering) polega na zastosowaniu punktowego źródła światła skierowanego na sprawdzaną powierzchnię. Funkcja kształtu w tym przypadku przypisuje punktom powierzchni różne odcienie danej barwy w taki sposób, że najjaśniejszy odcień mają punkty, których wektor normalny tworzy z kierunkiem linii światła kąt zbliżony do zera. Im większy jest ten kąt, tym ciemniejsza barwa jest przypisywana przez funkcję kształtu. Obserwacja oświetlonej w ten sposób powierzchni, z jednoczesnym jej wolnym obrotem, pozwala ocenić zmiany odcieni barw. Charakter tych zmian wskazuje na jakość powierzchni pod względem płynności, w szczególności pozwala wykryć nieciągłości styczności i krzywizny. Rys. Ocena powierzchni przez oświetlenie (shading)

19 Metoda izofot Pewnego rodzaju rozwinięciem pierwszej metody jest przedstawienie na powierzchni tzw. izofot. Izofoty są to warstwice intensywności odbitego światła (warstwice funkcji kształtu). Takie warstwice dają użyteczną informację o kształcie powierzchni także na jej nieoświetlonych częściach. Uwidaczniają one w sposób zdecydowanie bardziej wyraźny nieciągłości krzywizny na połączeniach płatów. Na wspomnianą nieciągłość wskazują nieciągłości kierunku stycznej do izofot. Rys. Rozkład izofot na powierzchni błotnika Metoda krzywych konturowych (sylwetkowych) Krzywe konturowe są to krzywe leżące na badanej powierzchni, stanowiące granicę między jej częścią widoczną i niewidoczną z określonego kierunku patrzenia. Są one szczególnym rodzajem izofot. Tworząc linie konturowe na powierzchni nie tylko z zadanego kierunku patrzenia, ale również pod zadanymi kątami od tego kierunku (np. co kilka stopni), otrzymuje się rodzinę krzywych, a wzajemne relacje pomiędzy nimi pozwalają wykryć nawet najmniejsze zaburzenia kształtu powierzchni. Metoda krzywych przekrojowych Gęsta siatka przekrojów danej powierzchni równoodległymi i równoległymi płaszczyznami pozwala również ocenić jakość powierzchni, choć jest ona mniej dokładna niż metoda poprzednia. Tu również ocenia się relacje pomiędzy krzywymi przekrojowymi. Czasami wykorzystuje się płaszczyzny nierównoległe, np. mogą być to płaszczyzny normalne do zadanej krzywej (przy badaniu uwypuklenia przy łuku błotnika tworzy się pęk płaszczyzn, których wspólną częścią jest oś koła). Rys. Krzywe przekrojowe wykonane na podstawie równoległych płaszczyzn

20 Metoda linii odblasku Linia odblasku to obraz powstający przez odbicie zwierciadlane na powierzchni określonej linii w przestrzeni. Linie odblasku mogą być zależne od obserwatora lub niezależne. Linie odblasku niezależne od obserwatora są rzutem zadanej linii na powierzchnię o kierunku normalnym do danej powierzchni. Podobnie jak izofoty, linie odblasku lepiej niż krzywe przekrojowe uwidaczniają nieciągłości kształtu. Załamanie takiej linii świadczy o nieciągłości krzywizny powierzchni. Rys. Rozkład linii odblasku na przykładowej powierzchni Powierzchnie klasy A nadwozi samochodów Do budowania powierzchni zewnętrznych nadwozia samochodu wymagane jest stosowane wyłącznie powierzchni o najwyższej klasie jakości, tzw. powierzchni klasy A. Poszycie zewnętrzne samochodu stanowi jedną z form kształtujących otaczające nas środowisko, a więc musi być estetyczne. Powszechnie stosowana zasada mówi, że wszystkie powierzchnie widoczne w samochodzie powinny być klasy A. Jednak tak wysoka jakość powierzchni nie jest konieczna w przypadku wnętrza pojazdu, gdzie końcowy wyrób przyjmuje postać powierzchni matowego tworzywa sztucznego. Inaczej sytuacja wygląda na powierzchniach poszycia zewnętrznego, które dodatkowo lakierowane jest wysoko połyskującym lakierem. Refleksy świetlne powodują, że nawet niewielka wada powierzchni jest widoczna gołym okiem i z pewnością nie wygląda estetycznie. Wymagania stawiane powierzchniom klasy A Pojęcie powierzchni klasy A jest ściśle związane z powstaniem komputerowych technik generowania powierzchni nadwozia, w związku z tym wymagania stawiane tym powierzchniom odnoszą się bezpośrednio do technik ich tworzenia w systemach CAD. Do

21 kryteriów, jakie musi spełniać powierzchnia, aby móc być uważaną za powierzchnię klasy A, należą: brak segmentacji płatów (jeden płat jeden segment) jednosegmentowe płaty jest znacznie łatwiej kontrolować i modyfikować; jak najniższa liczba punktów kontrolnych - płaty nie powinny przekraczać liczby punktów kontrolnych 6x6; taki rząd płata pozwala na uzyskanie ciągłości krzywizny z obu stron, tzn. pomiędzy dwoma innymi płatami; siatkowa struktura rozkładu punktów kontrolnych rozkład punktów kontrolnych powierzchni jest ściśle związany z przebiegiem krzywizny na płacie, a więc im bardziej regularny jest rozkład, tym bardziej gładka i ciągła jest krzywizna; harmonijny rozkład punktów kontrolnych pozycja punktów kontrolnych powinna być opisana przez funkcję wypukłą lub wklęsłą; odnosi się to do obydwu kierunków, tzn. do wierszy i kolumn siatki kontrolnej; gładki przebieg krzywizny rozkład krzywizny wzdłuż powierzchni powinien być tak gładki, jak to tylko możliwe; Rys. Prawidłowy rozkład siatki kontrolnej płata powierzchni maski W połączeniach płatów nie wynikających w połączeń technologicznych bądź zadanych zmian powierzchni, wymagane jest zachowanie ciągłości co najmniej C 2, a więc zachowanie ciągłości krzywizny. Krzywizna powinna mieć gładki przebieg wzdłuż całego danego elementu i gwałtowne jej zmiany, jeśli nie są zaprojektowane przez stylistę, nie mogą mieć miejsca. Izofoty nadwozia nie powinny mieć nagłych i niezamierzonych zafalowań i powinny mieć tak gładki przebieg, jak to tylko możliwe. Linie refleksów powinny być odzwierciedleniem refleksów na nadwoziu z rysunków perspektywicznych wykonanych przez stylistę (szkiców i rysunków renderingowych).

Grafika komputerowa Wykład 7 Modelowanie obiektów graficznych cz. I

Grafika komputerowa Wykład 7 Modelowanie obiektów graficznych cz. I Grafika komputerowa Wykład 7 Modelowanie obiektów graficznych cz. I Instytut Informatyki i Automatyki Państwowa Wyższa Szkoła Informatyki i Przedsiębiorczości w Łomży 2 0 0 9 Spis treści Spis treści 1

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia

Bardziej szczegółowo

PRZEKROJE RYSUNKOWE CZ.1 PRZEKROJE PROSTE. Opracował : Robert Urbanik Zespół Szkół Mechanicznych w Opolu

PRZEKROJE RYSUNKOWE CZ.1 PRZEKROJE PROSTE. Opracował : Robert Urbanik Zespół Szkół Mechanicznych w Opolu PRZEKROJE RYSUNKOWE CZ.1 PRZEKROJE PROSTE Opracował : Robert Urbanik Zespół Szkół Mechanicznych w Opolu IDEA PRZEKROJU stosujemy, aby odzwierciedlić wewnętrzne, niewidoczne z zewnątrz, kształty przedmiotu.

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja geometrii wypraski oraz jej modyfikacja z zastosowaniem Technologii Synchronicznej systemu NX

Weryfikacja geometrii wypraski oraz jej modyfikacja z zastosowaniem Technologii Synchronicznej systemu NX Weryfikacja geometrii wypraski oraz jej modyfikacja z zastosowaniem Technologii Synchronicznej systemu NX Projektowanie i wytwarzanie form wtryskowych, przeznaczonych do produkcji wyprasek polimerowych,

Bardziej szczegółowo

Definicja obrotu: Definicja elementów obrotu:

Definicja obrotu: Definicja elementów obrotu: 5. Obroty i kłady Definicja obrotu: Obrotem punktu A dookoła prostej l nazywamy ruch punktu A po okręgu k zawartym w płaszczyźnie prostopadłej do prostej l w kierunku zgodnym lub przeciwnym do ruchu wskazówek

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

CZĘŚĆ II PARAMETRYCZNE PROJEKTOWANIE 2D

CZĘŚĆ II PARAMETRYCZNE PROJEKTOWANIE 2D CZĘŚĆ II PARAMETRYCZNE PROJEKTOWANIE 2D Projektowanie parametryczne jest możliwe wyłącznie za pomocą pełnej wersji programu AutoCAD. AutoCAD LT ma bardzo ograniczone możliwości w tym zakresie. Pozwala

Bardziej szczegółowo

Oświetlenie. Modelowanie oświetlenia sceny 3D. Algorytmy cieniowania.

Oświetlenie. Modelowanie oświetlenia sceny 3D. Algorytmy cieniowania. Oświetlenie. Modelowanie oświetlenia sceny 3D. Algorytmy cieniowania. Chcąc osiągnąć realizm renderowanego obrazu, należy rozwiązać problem świetlenia. Barwy, faktury i inne właściwości przedmiotów postrzegamy

Bardziej szczegółowo

Opis postępowania przy eksportowaniu geometrii z systemu Unigraphics NX do pakietu PANUKL (ver. A)

Opis postępowania przy eksportowaniu geometrii z systemu Unigraphics NX do pakietu PANUKL (ver. A) 1 Opis postępowania przy eksportowaniu geometrii z systemu Unigraphics NX do pakietu PANUKL (ver. A) Przedstawiony poniżej schemat przygotowania geometrii w systemie Unigraphics NX na potrzeby programu

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych

Bardziej szczegółowo

Temat: Zaprojektowanie procesu kontroli jakości wymiarów geometrycznych na przykładzie obudowy.

Temat: Zaprojektowanie procesu kontroli jakości wymiarów geometrycznych na przykładzie obudowy. Raport z przeprowadzonych pomiarów. Temat: Zaprojektowanie procesu kontroli jakości wymiarów geometrycznych na przykładzie obudowy. Spis treści 1.Cel pomiaru... 3 2. Skanowanie 3D- pozyskanie geometrii

Bardziej szczegółowo

Projekt połowicznej, prostej endoprotezy stawu biodrowego w programie SOLIDWorks.

Projekt połowicznej, prostej endoprotezy stawu biodrowego w programie SOLIDWorks. 1 Projekt połowicznej, prostej endoprotezy stawu biodrowego w programie SOLIDWorks. Rysunek. Widok projektowanej endoprotezy według normy z wymiarami charakterystycznymi. 2 3 Rysunek. Ilustracje pomocnicze

Bardziej szczegółowo

TUTORIAL: wyciągni. gnięcia po wielosegmentowej ście. cieżce ~ 1 ~

TUTORIAL: wyciągni. gnięcia po wielosegmentowej ście. cieżce ~ 1 ~ ~ 1 ~ TUTORIAL: Sprężyna skrętna w SolidWorks jako wyciągni gnięcia po wielosegmentowej ście cieżce ce przykład Sprężyny występują powszechnie w maszynach, pojazdach, meblach, sprzęcie AGD i wielu innych

Bardziej szczegółowo

Problematyka budowy skanera 3D doświadczenia własne

Problematyka budowy skanera 3D doświadczenia własne Problematyka budowy skanera 3D doświadczenia własne dr inż. Ireneusz Wróbel ATH Bielsko-Biała, Evatronix S.A. iwrobel@ath.bielsko.pl mgr inż. Paweł Harężlak mgr inż. Michał Bogusz Evatronix S.A. Plan wykładu

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE. Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej.

LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE. Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej. LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej.. Wprowadzenie Soczewką nazywamy ciało przezroczyste ograniczone

Bardziej szczegółowo

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO:

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO: KRZYŻÓWKA.Wyznaczają ją dwa punkty.. Jego pole to π r² 3. Jego pole to a a 4.Figura przestrzenna, której podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku. 5.Prosta mająca

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Pytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3)

Pytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3) Pytania zamknięte / TEST : Wybierz 1 odp prawidłową. 1. Punkt: A) jest aksjomatem in. pewnikiem; B) nie jest aksjomatem, bo można go zdefiniować. 2. Prosta: A) to zbiór punktów; B) to zbiór punktów współliniowych.

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 DEFINICJE PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 Czworokąt to wielokąt o 4 bokach i 4 kątach. Przekątną czworokąta nazywamy odcinek łączący przeciwległe wierzchołki. Wysokością czworokąta nazywamy

Bardziej szczegółowo

Kąty Ustawienia Kół. WERTHER International POLSKA Sp. z o.o. dr inż. Marek Jankowski 2007-01-19

Kąty Ustawienia Kół. WERTHER International POLSKA Sp. z o.o. dr inż. Marek Jankowski 2007-01-19 WERTHER International POLSKA Sp. z o.o. dr inż. Marek Jankowski 2007-01-19 Kąty Ustawienia Kół Technologie stosowane w pomiarach zmieniają się, powstają coraz to nowe urządzenia ułatwiające zarówno regulowanie

Bardziej szczegółowo

9. Podstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych

9. Podstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT 75 9. odstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych Niniejszy rozdział służy ogólnemu przedstawieniu metod matematycznych wykorzystywanych w zagadnieniu

Bardziej szczegółowo

Układ kierowniczy. Potrzebę stosowania układu kierowniczego ze zwrotnicami przedstawia poniższy rysunek:

Układ kierowniczy. Potrzebę stosowania układu kierowniczego ze zwrotnicami przedstawia poniższy rysunek: 1 Układ kierowniczy Potrzebę stosowania układu kierowniczego ze zwrotnicami przedstawia poniższy rysunek: Definicja: Układ kierowniczy to zbiór mechanizmów umożliwiających kierowanie pojazdem, a więc utrzymanie

Bardziej szczegółowo

TUTORIAL: Konwersja siatek i chmur punktów na powierzchnie a następnie odtworzenie drzewa operacji.

TUTORIAL: Konwersja siatek i chmur punktów na powierzchnie a następnie odtworzenie drzewa operacji. ~ 1 ~ TUTORIAL: Konwersja siatek i chmur punktów na powierzchnie a następnie odtworzenie drzewa operacji. 1. Wstęp. W dobie skanerów i drukarek 3D okazuje się, że w niektórych gałęziach przemysłu projekty

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

Geometryczne podstawy obróbki CNC. Układy współrzędnych, punkty zerowe i referencyjne. Korekcja narzędzi

Geometryczne podstawy obróbki CNC. Układy współrzędnych, punkty zerowe i referencyjne. Korekcja narzędzi Geometryczne podstawy obróbki CNC. Układy współrzędnych, punkty zerowe i referencyjne. Korekcja narzędzi 1 Geometryczne podstawy obróbki CNC 1.1. Układy współrzędnych. Układy współrzędnych umożliwiają

Bardziej szczegółowo

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Wariant nr (klasa I 4 godz., klasa II godz., klasa III godz.) Klasa I 7 tygodni 4 godziny = 48 godzin Lp. Tematyka zajęć

Bardziej szczegółowo

Opis matematyczny odbicia światła od zwierciadła kulistego i przejścia światła przez soczewki.

Opis matematyczny odbicia światła od zwierciadła kulistego i przejścia światła przez soczewki. Opis matematyczny odbicia światła od zwierciadła kulistego i przejścia światła przez soczewki. 1. Równanie soczewki i zwierciadła kulistego. Z podobieństwa trójkątów ABF i LFD (patrz rysunek powyżej) wynika,

Bardziej szczegółowo

Podstawy 3D Studio MAX

Podstawy 3D Studio MAX Podstawy 3D Studio MAX 7 grudnia 2001 roku 1 Charakterystyka programu 3D Studio MAX jest zintegrowanym środowiskiem modelowania i animacji obiektów trójwymiarowych. Doświadczonemu użytkownikowi pozwala

Bardziej szczegółowo

TOLERANCJE WYMIAROWE SAPA

TOLERANCJE WYMIAROWE SAPA TOLERANCJE WYMIAROWE SAPA Tolerancje wymiarowe SAPA zapewniają powtarzalność wymiarów w normalnych warunkach produkcyjnych. Obowiązują one dla wymiarów, dla których nie poczyniono innych ustaleń w trakcie

Bardziej szczegółowo

PRO/ENGINEER. ĆW. Nr. MODELOWANIE SPRĘŻYN

PRO/ENGINEER. ĆW. Nr. MODELOWANIE SPRĘŻYN PRO/ENGINEER ĆW. Nr. MODELOWANIE SPRĘŻYN 1. Śruba walcowa o stałym skoku W programie Pro/Engineer modelowanie elementów typu sprężyny można realizować poleceniem Insert/Helical Sweep/Protrusin. Dla prawozwojnej

Bardziej szczegółowo

Analiza korespondencji

Analiza korespondencji Analiza korespondencji Kiedy stosujemy? 2 W wielu badaniach mamy do czynienia ze zmiennymi jakościowymi (nominalne i porządkowe) typu np.: płeć, wykształcenie, status palenia. Punktem wyjścia do analizy

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia geometryczne

Podstawowe pojęcia geometryczne PLANIMETRIA Podstawowe pojęcia geometryczne Geometria (słowo to pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi) jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych

Bardziej szczegółowo

Badanie przy użyciu stolika optycznego lub ławy optycznej praw odbicia i załamania światła. Wyznaczanie ogniskowej soczewki metodą Bessela.

Badanie przy użyciu stolika optycznego lub ławy optycznej praw odbicia i załamania światła. Wyznaczanie ogniskowej soczewki metodą Bessela. Badanie przy użyciu stolika optycznego lub ławy optycznej praw odbicia i załamania światła. Wyznaczanie ogniskowej soczewki metodą Bessela. I LO im. Stefana Żeromskiego w Lęborku 20 luty 2012 Stolik optyczny

Bardziej szczegółowo

Politechnika Warszawska Wydział Mechatroniki Instytut Automatyki i Robotyki. Ćwiczenie laboratoryjne 1

Politechnika Warszawska Wydział Mechatroniki Instytut Automatyki i Robotyki. Ćwiczenie laboratoryjne 1 Politechnika Warszawska Wydział Mechatroniki Instytut Automatyki i Robotyki Ćwiczenie laboratoryjne 1 Temat: Modelowanie krzywych 2D i 3D przy użyciu programu Autodesk Inventor 2009 Spis treści 1. Wprowadzenie...

Bardziej szczegółowo

PL 215409 B3. BORCZYK MONIKA, Bielsko-Biała, PL 22.06.2009 BUP 13/09. MONIKA BORCZYK, Bielsko-Biała, PL 31.12.2013 WUP 12/13 RZECZPOSPOLITA POLSKA

PL 215409 B3. BORCZYK MONIKA, Bielsko-Biała, PL 22.06.2009 BUP 13/09. MONIKA BORCZYK, Bielsko-Biała, PL 31.12.2013 WUP 12/13 RZECZPOSPOLITA POLSKA PL 215409 B3 RZECZPOSPOLITA POLSKA Urząd Patentowy Rzeczypospolitej Polskiej (12) OPIS PATENTOWY (19) PL (11) 215409 (21) Numer zgłoszenia: 384078 (22) Data zgłoszenia: 17.12.2007 (61) Patent dodatkowy

Bardziej szczegółowo

AutoCAD Mechanical - Konstruowanie przekładni zębatych i pasowych. Radosław JABŁOŃSKI Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechnika Śląska, Gliwice

AutoCAD Mechanical - Konstruowanie przekładni zębatych i pasowych. Radosław JABŁOŃSKI Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechnika Śląska, Gliwice AutoCAD Mechanical - Konstruowanie przekładni zębatych i pasowych Radosław JABŁOŃSKI Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechnika Śląska, Gliwice Streszczenie: W artykule opisano funkcje wspomagające

Bardziej szczegółowo

Politechnika Warszawska Wydział Mechatroniki Instytut Automatyki i Robotyki

Politechnika Warszawska Wydział Mechatroniki Instytut Automatyki i Robotyki Politechnika Warszawska Wydział Mechatroniki Instytut Automatyki i Robotyki Ćwiczenie laboratoryjne 2 Temat: Modelowanie powierzchni swobodnych 3D przy użyciu programu Autodesk Inventor Spis treści 1.

Bardziej szczegółowo

PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA

PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA KATEDRA WYTRZYMAŁOSCI MATERIAŁÓW I METOD KOMPUTEROWYCH MACHANIKI PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA Analiza kinematyki robota mobilnego z wykorzystaniem MSC.VisualNastran PROMOTOR Prof. dr hab. inż. Tadeusz Burczyński

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

pt.: KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE PROCESÓW OBRÓBKI PLASTYCZNEJ

pt.: KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE PROCESÓW OBRÓBKI PLASTYCZNEJ Ćwiczenie audytoryjne pt.: KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE PROCESÓW OBRÓBKI PLASTYCZNEJ Autor: dr inż. Radosław Łyszkowski Warszawa, 2013r. Metoda elementów skończonych MES FEM - Finite Element Method przybliżona

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

Wykonanie w 3ds max dowolnego samochodu

Wykonanie w 3ds max dowolnego samochodu Wykonanie w 3ds max dowolnego samochodu Napisał: mgr. inż. Lew Łukasz Rzeszów 2010 W celu rozwiązania tego zadania student powinien znać: - interfejs 3ds max 2009, - bryły parametryczne z podkategorii:

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Dowodzenie twierdzeń przy pomocy kartki. Część I

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Dowodzenie twierdzeń przy pomocy kartki. Część I MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH Dowodzenie twierdzeń przy pomocy kartki. Część I Z trójkątem, jako figurą geometryczną, uczeń spotyka się już na etapie nauczania początkowego. W czasie dalszego procesu kształcenia

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne.

Ćwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne. Ćwiczenie 4 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ Wprowadzenie teoretyczne. Soczewka jest obiektem izycznym wykonanym z materiału przezroczystego o zadanym kształcie i symetrii obrotowej. Interesować

Bardziej szczegółowo

WYBÓR PUNKTÓW POMIAROWYCH

WYBÓR PUNKTÓW POMIAROWYCH Scientific Bulletin of Che lm Section of Technical Sciences No. 1/2008 WYBÓR PUNKTÓW POMIAROWYCH WE WSPÓŁRZĘDNOŚCIOWEJ TECHNICE POMIAROWEJ MAREK MAGDZIAK Katedra Technik Wytwarzania i Automatyzacji, Politechnika

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

czyli Arkuszy / Układów na podstawie modelu

czyli Arkuszy / Układów na podstawie modelu Przygotowanie dokumentacji technicznej czyli Arkuszy / Układów na podstawie modelu Przygotowanie dokumentacji technicznej w AutoCAD 1 Wydruk rysunku z AutoCAD można przygotować na dwa sposoby 1. na zakładce

Bardziej szczegółowo

Politechnika Śląska. Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki. Praca dyplomowa inżynierska. Wydział Mechaniczny Technologiczny

Politechnika Śląska. Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki. Praca dyplomowa inżynierska. Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechnika Śląska Wydział Mechaniczny Technologiczny Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki Praca dyplomowa inżynierska Temat pracy Symulacja komputerowa działania hamulca tarczowego

Bardziej szczegółowo

Inżynieria odwrotna w modelowaniu inżynierskim przykłady zastosowań

Inżynieria odwrotna w modelowaniu inżynierskim przykłady zastosowań Inżynieria odwrotna w modelowaniu inżynierskim przykłady zastosowań Dr inż. Marek Wyleżoł Politechnika Śląska, Katedra Podstaw Konstrukcji Maszyn O autorze 1996 mgr inż., Politechnika Śląska 2000 dr inż.,

Bardziej szczegółowo

Metoda elementów skończonych

Metoda elementów skończonych Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r. Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,

Bardziej szczegółowo

Techniki animacji komputerowej

Techniki animacji komputerowej Techniki animacji komputerowej 1 Animacja filmowa Pojęcie animacji pochodzi od ożywiania i ruchu. Animować oznacza dawać czemuś życie. Słowem animacja określa się czasami film animowany jako taki. Animacja

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 1. Kliknij myszką w trójkąt, aby otrzymać dostęp do uchwytów obrotów:

Ćwiczenie nr 1. Kliknij myszką w trójkąt, aby otrzymać dostęp do uchwytów obrotów: Ćwiczenie nr 1 Wybierz narzędzie wielokąt, ustaw na pasku własności liczbę boków równą 3 i z pomocą klawisza Ctrl narysuj trójkąt równoboczny, po czym naciśnij spację, aby przełączyć się na wskaźnik: Kliknij

Bardziej szczegółowo

Piotr Targowski i Bernard Ziętek WYZNACZANIE MACIERZY [ABCD] UKŁADU OPTYCZNEGO

Piotr Targowski i Bernard Ziętek WYZNACZANIE MACIERZY [ABCD] UKŁADU OPTYCZNEGO Instytut Fizyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika Piotr Targowski i Bernard Ziętek Pracownia Optoelektroniki Specjalność: Fizyka Medyczna WYZNAZANIE MAIERZY [ABD] UKŁADU OPTYZNEGO Zadanie II Zakład Optoelektroniki

Bardziej szczegółowo

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że 4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio

Bardziej szczegółowo

Technika świetlna. Przegląd rozwiązań i wymagań dla tablic rejestracyjnych. Dokumentacja zdjęciowa

Technika świetlna. Przegląd rozwiązań i wymagań dla tablic rejestracyjnych. Dokumentacja zdjęciowa Technika świetlna Przegląd rozwiązań i wymagań dla tablic rejestracyjnych. Dokumentacja zdjęciowa Wykonał: Borek Łukasz Tablica rejestracyjna tablica zawierająca unikatowy numer (kombinację liter i cyfr),

Bardziej szczegółowo

Zasady rzutowania prostokątnego. metodą europejską. Opracował: Robert Urbanik Zespół Szkół Mechanicznych w Opolu. Zasady rzutowania prostokątnego

Zasady rzutowania prostokątnego. metodą europejską. Opracował: Robert Urbanik Zespół Szkół Mechanicznych w Opolu. Zasady rzutowania prostokątnego Zasady rzutowania prostokątnego metodą europejską Opracował: Robert Urbanik Zespół Szkół Mechanicznych w Opolu Wiadomości ogólne Rzutem nazywamy rysunkowe odwzorowanie przedmiotu lub bryły geometrycznej

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE

PODSTAWOWE KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE PODSTAWOWE KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE Dane będę rysował na czarno. Różne etapy konstrukcji kolorami: (w kolejności) niebieskim, zielonym, czerwonym i ewentualnie pomarańczowym i jasnozielonym. 1. Prosta

Bardziej szczegółowo

KGGiBM GRAFIKA INŻYNIERSKA Rok III, sem. VI, sem IV SN WILiŚ Rok akademicki 2011/2012

KGGiBM GRAFIKA INŻYNIERSKA Rok III, sem. VI, sem IV SN WILiŚ Rok akademicki 2011/2012 Rysowanie precyzyjne 7 W ćwiczeniu tym pokazane zostaną wybrane techniki bardzo dokładnego rysowania obiektów w programie AutoCAD 2012, między innymi wykorzystanie punktów charakterystycznych. Narysować

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

WPROWADZENIE. Niniejsze opracowanie jest zbiorem zasad, które systematyzują reguły stosowania projektu okleiny dla autobusów PKP Intercity.

WPROWADZENIE. Niniejsze opracowanie jest zbiorem zasad, które systematyzują reguły stosowania projektu okleiny dla autobusów PKP Intercity. Wersja 1.1. BUS SPIS TREŚCI Wprowadzenie................................................................ 2 Znak konstrukcja............................................................. 3 Znak pole ochronne..........................................................

Bardziej szczegółowo

Przestrzenne układy oporników

Przestrzenne układy oporników Przestrzenne układy oporników Bartosz Marchlewicz Tomasz Sokołowski Mateusz Zych Pod opieką prof. dr. hab. Janusza Kempy Liceum Ogólnokształcące im. marsz. S. Małachowskiego w Płocku 2 Wstęp Do podjęcia

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Nr ćwiczenia : 1

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Nr ćwiczenia : 1 Przedmiot : OBRÓBKA SKRAWANIEM I NARZĘDZIA Temat: Geometria ostrzy narzędzi skrawających KATEDRA TECHNIK WYTWARZANIA I AUTOMATYZACJI INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Nr ćwiczenia : 1 Kierunek: Mechanika

Bardziej szczegółowo

2 Przygotował: mgr inż. Maciej Lasota

2 Przygotował: mgr inż. Maciej Lasota Laboratorium nr 2 1/6 Grafika Komputerowa 3D Instrukcja laboratoryjna Temat: Manipulowanie przestrzenią 2 Przygotował: mgr inż. Maciej Lasota 1) Manipulowanie przestrzenią Istnieją dwa typy układów współrzędnych:

Bardziej szczegółowo

Temat ćwiczenia: Zasady stereoskopowego widzenia.

Temat ćwiczenia: Zasady stereoskopowego widzenia. Uniwersytet Rolniczy w Krakowie Wydział Inżynierii Środowiska i Geodezji Katedra Fotogrametrii i Teledetekcji Temat ćwiczenia: Zasady stereoskopowego widzenia. Zagadnienia 1. Widzenie monokularne, binokularne

Bardziej szczegółowo

Numeryczna symulacja opływu wokół płata o zmodyfikowanej krawędzi natarcia. Michał Durka

Numeryczna symulacja opływu wokół płata o zmodyfikowanej krawędzi natarcia. Michał Durka Numeryczna symulacja opływu wokół płata o zmodyfikowanej krawędzi natarcia Michał Durka Politechnika Poznańska Inspiracja Inspiracją mojej pracy był artykuł w Świecie Nauki opisujący znakomite charakterystyki

Bardziej szczegółowo

Rysowanie precyzyjne. Polecenie:

Rysowanie precyzyjne. Polecenie: 7 Rysowanie precyzyjne W ćwiczeniu tym pokazane zostaną różne techniki bardzo dokładnego rysowania obiektów w programie AutoCAD 2010, między innymi wykorzystanie punktów charakterystycznych. Z uwagi na

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja

Bardziej szczegółowo

Obróbka po realnej powierzchni o Bez siatki trójkątów o Lepsza jakość po obróbce wykańczającej o Tylko jedna tolerancja jakości powierzchni

Obróbka po realnej powierzchni o Bez siatki trójkątów o Lepsza jakość po obróbce wykańczającej o Tylko jedna tolerancja jakości powierzchni TEBIS Wszechstronny o Duża elastyczność programowania o Wysoka interaktywność Delikatne ścieżki o Nie potrzebny dodatkowy moduł HSC o Mniejsze zużycie narzędzi o Mniejsze zużycie obrabiarki Zarządzanie

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do rysowania w 3D. Praca w środowisku 3D

Wprowadzenie do rysowania w 3D. Praca w środowisku 3D Wprowadzenie do rysowania w 3D 13 Praca w środowisku 3D Pierwszym krokiem niezbędnym do rozpoczęcia pracy w środowisku 3D programu AutoCad 2010 jest wybór odpowiedniego obszaru roboczego. Można tego dokonać

Bardziej szczegółowo

TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI

TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI PRACA BADAWCZA autor Agnieszka Duszeńko Uniwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Informatyki 2005 Na płaszczyźnie: Najpopularniejsza, powszechnie znana wersja twierdzenia

Bardziej szczegółowo

dla symboli graficznych O bardzo dużej liczbie szczegółów 0,18 0,35 0,70 0,25 A3 i A4 O dużej liczbie szczegółów

dla symboli graficznych O bardzo dużej liczbie szczegółów 0,18 0,35 0,70 0,25 A3 i A4 O dużej liczbie szczegółów 6/ LINIE RYSUNKOWE Normy rysunkowe PN-EN ISO 128-20:2002 Rysunek techniczny. Zasady ogólne przedstawiania Część 20: Wymagania podstawowe dotyczące linii PN-ISO 128-23:2002 Rysunek techniczny. Ogólne zasady

Bardziej szczegółowo

METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH.

METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH. METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH. W programie COMSOL multiphisics 3.4 Wykonali: Łatas Szymon Łakomy Piotr Wydzał, Kierunek, Specjalizacja, Semestr, Rok BMiZ, MiBM, TPM, VII, 2011 / 2012 Prowadzący: Dr hab.inż.

Bardziej szczegółowo

Notacja Denavita-Hartenberga

Notacja Denavita-Hartenberga Notacja DenavitaHartenberga Materiały do ćwiczeń z Podstaw Robotyki Artur Gmerek Umiejętność rozwiązywania prostego zagadnienia kinematycznego jest najbardziej bazową umiejętność zakresu Robotyki. Wyznaczyć

Bardziej szczegółowo

Przykładowe plany zajęć lekcyjnych Design the Future Poland

Przykładowe plany zajęć lekcyjnych Design the Future Poland Przykładowe plany zajęć lekcyjnych Design the Future Poland 1 Spis treści Plik projektu... 3 Brelok Krok po kroku... 5 Tron dla komórki krok po kroku... 15 Plik projektu... 15 Tron na komórkę... 17 Figury

Bardziej szczegółowo

Rys. 1. Rozpoczynamy rysunek pojedynczej części

Rys. 1. Rozpoczynamy rysunek pojedynczej części Inventor cw1 Otwieramy nowy rysunek typu Inventor Part (ipt) pojedyncza część. Wykonujemy to następującym algorytmem, rys. 1: 1. Na wstędze Rozpocznij klikamy nowy 2. W oknie dialogowym Nowy plik klikamy

Bardziej szczegółowo

6 Grafika 2D. 6.1 Obiekty 2D

6 Grafika 2D. 6.1 Obiekty 2D 6 Grafika 2D. J a c e k Ta r a s i u k 6.1 Obiekty 2D W wektorowej grafice dwuwymiarowej obraz opisuje się jako zbiór prostych obiektów geometrycznych takich jak: odcinki, elipsy, prostokąty itp 1. Każdy

Bardziej szczegółowo

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby Zadania 1 Przedsiębiorstwo wytwarza cztery rodzaje wyrobów: A, B, C, D, które są obrabiane na dwóch maszynach M 1 i M 2. Czas pracy maszyn przypadający na obróbkę jednostki poszczególnych wyrobów podany

Bardziej szczegółowo

Programy CAD Modelowanie geometryczne

Programy CAD Modelowanie geometryczne Programy CAD Modelowanie geometryczne Komputerowo wspomagane projektowanie CAD Narzędzia i techniki wspomagające prace w zakresie: projektowania, modelowania geometrycznego, obliczeniowej analizy FEM,

Bardziej szczegółowo

Mini tablice matematyczne. Figury geometryczne

Mini tablice matematyczne. Figury geometryczne Mini tablice matematyczne Figury geometryczne Spis treści Własności kwadratu Ciekawostka:Kwadrat magiczny Prostokąt Własności prostokąta Trapez Własności trapezu Równoległobok Własności równoległoboku

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy

Bardziej szczegółowo

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 3 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

Instrukcja obsługi programu PowRek

Instrukcja obsługi programu PowRek Instrukcja obsługi programu PowRek środa, 21 grudnia 2011 Spis treści Przeznaczenie programu... 4 Prezentacja programu... 5 Okno główne programu... 5 Opis poszczególnych elementów ekranu... 5 Nowy projekt...

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

Wirtualny model samochodu

Wirtualny model samochodu Wirtualny model samochodu Cel projektu: opracowanie komputerowego modelu bryłowego 3D analiza opływu nadwozia wykonanie realistycznej wizualizacji pojazdu Realizacja projektu przebiegła w oparciu o istniejący

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM Na ocenę dopuszczającą uczeń umie : WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM stosować cztery podstawowe działania na liczbach wymiernych, zna kolejność wykonywania działań

Bardziej szczegółowo

Technologia wykrawania w programie SigmaNEST

Technologia wykrawania w programie SigmaNEST Technologia wykrawania w programie SigmaNEST 1. Wstęp Wykrawanie - obok cięcia plazmą, laserem, nożem, tlenem oraz wodą - jest kolejnym procesem, obsługiwanym przez program SigmaNEST. Jednak w tym przypadku,

Bardziej szczegółowo

Optyka w fotografii Ciemnia optyczna camera obscura wykorzystuje zjawisko prostoliniowego rozchodzenia się światła skrzynka (pudełko) z małym okrągłym otworkiem na jednej ściance i przeciwległą ścianką

Bardziej szczegółowo

4. Rysowanie krzywych

4. Rysowanie krzywych 1. Operator plot y x \begin{tikzpicture} \draw[->] (-0.2,0) -- (4.2,0) node[right] {$x$}; \draw[->] (0,-1.2) -- (0,4.2) node[above] {$y$}; \draw (3,4) -- (3,3) plot coordinates{(2,3) (3,0) (4,3)}; \end{tikzpicture}

Bardziej szczegółowo

Materiały do laboratorium Przygotowanie Nowego Wyrobu dotyczące metody elementów skończonych (MES) Opracowała: dr inŝ.

Materiały do laboratorium Przygotowanie Nowego Wyrobu dotyczące metody elementów skończonych (MES) Opracowała: dr inŝ. Materiały do laboratorium Przygotowanie Nowego Wyrobu dotyczące metody elementów skończonych (MES) Opracowała: dr inŝ. Jolanta Zimmerman 1. Wprowadzenie do metody elementów skończonych Działanie rzeczywistych

Bardziej szczegółowo

Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej. ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE III (zakres podstawowy)

Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej. ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE III (zakres podstawowy) Program nauczania: Matematyka z plusem, Liczba godzin nauki w tygodniu: 3 Planowana liczba godzin w ciągu roku: 72 ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE III (zakres podstawowy)

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie: Część teoretyczna

Rozwiązanie: Część teoretyczna Zgodnie z prawem Hooke a idealnie sprężysty pręt o długości L i polu przekroju poprzecznego S pod wpływem przyłożonej wzdłuż jego osi siły F zmienia swoją długość o L = L F/(S E), gdzie współczynnik E

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Parametryzacja i więzy w Design View i Pro/Desktop (podsumowanie)

Parametryzacja i więzy w Design View i Pro/Desktop (podsumowanie) Parametryzacja i więzy w Design View i Pro/Desktop (podsumowanie) PARAMETRYZACJA CZYLI: wprowadzenie zmiennych do modelu geometrycznego, Przypisanie zmiennych (parametrów) liczbowym wymiarom daje możliwość

Bardziej szczegółowo