WSTĘP. Rozdział 2.4, informacje o geometrii powierzchni nadwoziowych zebrał i przedstawił mgr inż. Sławomir Kreft.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "WSTĘP. Rozdział 2.4, informacje o geometrii powierzchni nadwoziowych zebrał i przedstawił mgr inż. Sławomir Kreft."

Transkrypt

1 WSTĘP Wspomniane w rozdziale 2.3 generowanie zapisu powierzchni bryły nadwozia na podstawie danych z redukcyjnego lub pełnowymiarowego modelu polega na zdigitalizowaniu (uzyskaniu współrzędnych x,y,z w układzie globalnym) charakterystycznych punktów zmierzonych na modelu. Można posłużyć się w tym celu kilkoma metodami: Fotogrametrycznym pomiarem modelu Skanowaniem wiązką lasera Pomiarem maszyną współrzędnościową W dużym skrócie prace strakerskie polegają na aproksymacji krzywymi przestrzennymi zmierzonych punktów lub na wygładzaniu krzywych pozyskanych poprzez automatyczne generowanie przekrojów warstwicowych z chmury punktów pomiarowych. Na tak przygotowanych krzywych, w dalszej kolejności, rozpina się powierzchnie. Warstwicowe krzywe przestrzenne w płaszczyznach YZ Rozdział 2.4, informacje o geometrii powierzchni nadwoziowych zebrał i przedstawił mgr inż. Sławomir Kreft.

2 2.4 Geometria powierzchni nadwozia Wprowadzenie Powierzchnia zewnętrznego poszycia nadwozia samochodu jest podstawowym czynnikiem decydującym o jego wyglądzie. Walory estetyczne nadwozia, jak również i jego właściwości aerodynamiczne zależą ściśle od płynności i jakości powierzchni oraz głównych linii podziałów na poszczególne elementy i ewentualnych linii przetłoczeń. W procesie projektowania i konstrukcji nadwozia tworzenie powierzchni, a następnie dokładne ich określenie wymiarowe, jest etapem niezbędnym, specyficznym dla nadwozia, a zarazem najbardziej decydującym o ostatecznym efekcie w postaci gotowego produktu. Dlatego zarówno styliści, jak i konstruktorzy muszą wykazać się znajomością zależności geometrycznych związanych z krzywymi i zasadami tworzenia powierzchni opartych na tych krzywych, jak również zasadami ich modyfikacji. Znane są dwie metody opracowywania powierzchni nadwozia: wykreślna i komputerowa. Ponieważ ta pierwsza jest już dzisiaj metodą praktycznie niestosowaną, w niniejszej pracy zostanie opisana jedynie metoda komputerowa. Tą ostatnią metodę zastosowano również w projektowaniu powierzchni nadwozia będącego tematem niniejszej pracy. Metoda komputerowa opracowywania powierzchni polega na bezpośrednim tworzeniu powierzchni w wirtualnej przestrzeni trójwymiarowej. Metoda ta opiera się na wykorzystaniu sprzętu komputerowego o dużej mocy przeliczeniowej oraz odpowiedniego oprogramowania. Do najczęściej stosowanych dzisiaj w tym celu programów należą: Alias Wavefront, ICEMSurf, Unigraphics oraz CATIA V5. Do zalet metody komputerowej należą: - skrócenie czasu kształtowania powierzchni - szybki elektroniczny zapis parametrów powierzchni w postaci cyfrowej - łatwość oceny jakości opracowywanej powierzchni - możliwość przeprowadzania oceny jakości na bieżąco - łatwość wprowadzania ewentualnych korekt lub modyfikacji - znaczne skrócenie całego cyklu tworzenia nadwozia - niewielki czas i łatwość wykonania dokumentacji technicznej na papierze (plotowanie) - możliwość wykorzystania zapisu cyfrowego do kolejnych etapów (obliczenia MES, podstawa dla programów obrabiarek sterowanych numerycznie)

3 - złożenie całego nadwozia w postaci cyfrowej można wykorzystać do różnego rodzaju badań symulacyjnych, jak np. badania aerodynamiki, bezpieczeństwa, akustyki). Rodzaje powierzchni nadwozia Najbardziej podstawowy podział powierzchni nadwozia rozróżnia cztery ich typy. Są to powierzchnie płaskie, obrotowe, prostokreślne i krzywokreślne. Powierzchnie płaskie są bardzo rzadko stosowane na elementy poszycia zewnętrznego, ze względu na nienajlepsze walory estetyczne, ale również i mechaniczne (bardzo mała sztywność i związane z tym drgania własne). Właściwości powierzchni płaskiej mogą poprawić przetłoczenia, ale z zasady unika się dzisiaj elementów płaskich poszyć, nawet w samochodach dostawczych, gdzie jeszcze niedawno stosowano takie powierzchnie. Powierzchnię płaską w systemach CAD buduje się przez utworzenie płaszczyzny, a następnie wygenerowanie krzywych na tej płaszczyźnie ograniczających szukaną powierzchnię. Rys. Powierzchnia płaska i jej wygenerowany obraz z przetłoczeniem Powierzchnie obrotowe buduje się przez obrót płaskiej krzywej wokół prostej stanowiącej oś obrotu. O kształcie powierzchni decyduje więc płaski profil. Obrót krzywej można wykonać o dowolny kąt, niekoniecznie o 360 st. Przykładem powierzchni obrotowej w nadwoziu pojazdu jest wewnętrzne poszycie nadkola tylnego koła. Rys. Powierzchnia obrotowa i reprezentacja jej obrazu Powierzchnia prostokreślna jest to powierzchnia posiadająca krzywiznę tylko w jednym kierunku. Powstaje ona przez zbudowanie powierzchni pierwszego stopnia między dwiema

4 krzywymi przestrzennymi. Stopień wielomianu opisującego powierzchnię w zadanym kierunku wynosi 1, gdy system buduje powierzchnię na podstawie równania parametrycznego prostej. Szczególnym rodzajem powierzchni prostokreślnej jest powierzchnia walcowa, która powstaje przez przesunięcie dowolnego profilu o zadany wektor. Zastosowanie powierzchni tego typu w nadwoziach jest bardzo ograniczone, czasami są stosowane w nadwoziach uniwerslanych i furgonowych na poszycia dachu i boków. Rys. Powierzchnia prostokreślna (walcowa) z siatką kontrolną i reprezentacja jej obrazu Powierzchnie krzywokreślne posiadają krzywiznę w obydwu kierunkach. Jest to typ powierzchni stosowany bardzo szeroko jako poszycia zewnętrzne nadwozi. W systemach CAD rozróżnia się trzy typy powierzchni krzywokreślnych: powierzchnie brzegowe, powierzchnie z profili przesuwanych oraz powierzchnie swobodne. Powierzchnia brzegowa to powierzchnia opisana matematycznie czterema lub rzadziej trzema krzywymi ograniczającymi. Krzywa brzegowa powinna być opisana funkcją spełniającą co najmniej warunek ciągłości C 1. Zmiana charakteru krzywej brzegowej powoduje zmianę kształtu powierzchni, przez co można ją niemal w dowolny sposób modyfikować lub dostosowywać do powierzchni sąsiadujących.

5 . Rys. Powierzchnia krzywokreślna z siatką kontrolną i reprezentacja jej obrazu Powierzchnia z profili przesuwanych ma taki sam opis matematyczny, jak powierzchnia brzegowa, wyznaczana jest jednak inaczej. W systemach CAD wyróżnia się kilka metod tworzenia tego rodzaju powierzchni. Profil może być przesuwany i skalowany wzdłuż krzywych prowadzących, bądź mogą istnieć dwa profile początkowy i końcowy od których zależy kształt powierzchni. Są również przypadki, w których profil bazuje tylko na jednej krzywej prowadzącej. Powierzchnia swobodna jest to powierzchnia krzywokreślna skonstruowana na podstawie zadanego zbioru punktów bądź krzywych generacyjnych. Powierzchnia typu Beziera lub NURBS budowana jest automatycznie przez system za pomocą wewnętrznego narzędzia matematycznego, aproksymującego dane wejściowe. W wyniku tego powierzchnia ta prawie zawsze posiada jakąś odchyłkę w stosunku do danych wejściowych. Jak łatwo zauważyć, im większy stopień wielomianów opisujących powierzchnię, tym odchyłka będzie mniejsza. Należy jednak pamiętać, że zwiększanie stopnia powoduje spadek jakości powierzchni i może ona wtedy posiadać znaczne błędy geometryczne. Powierzchnie swobodne stosuje się zwykle do opisu powierzchni zewnętrznych nadwozia, ponieważ oddają one w możliwie najbliższy sposób kształt architektoniczny nadwozia. Takie powierzchnie mają szerokie zastosowanie np. podczas digitalizacji modelu rzeczywistego w celu utworzenia modelu wirtualnego.

6 Podstawy modelowania krzywych i powierzchni Wstęp Reprezentacje figur (krzywych i powierzchni) geometrycznych stosowane w projektowaniu przy zastosowaniu technik komputerowych powinny wykazywać się następującymi własnościami: powinny być wygodne dla projektanta, tak aby dzięki nabytemu doświadczeniu oraz wyczuciu mógł on w sposób łatwy i wygodny tworzyć, jak również i modyfikować projekty; powinny umożliwiać łatwą realizację algorytmów przetwarzania, co pozwala obniżyć koszty wprowadzania systemów modelowania; powinny istnieć stosunkowo szybkie algorytmy reprezentacji (rendering) obrazów danych figur, co ma zasadniczy wpływ na wygodę oraz efektywność pracy projektanta; powinny umożliwiać weryfikację założeń projektowych (np. tolerancje kształtu); powinny umożliwiać badanie utworzonego modelu komputerowego jeszcze przed wykonaniem prototypu (np. obliczenie pola powierzchni lub masy) Stosowaną obecnie metodą określania krzywych i powierzchni, spełniającą w wystarczający sposób powyższe założenia, jest metoda oparta o opis parametryczny. Polega ona na wprowadzeniu pewnego odwzorowania, które punktom dziedziny (zbiór parametrów) przyporządkowuje punkty w przestrzeni. Krzywe Béziera Dzisiaj większość zaawansowanych programów wykorzystywanych przy projektowaniu nie tylko nadwozi, ale również i innych form przestrzennych, opiera się na opisie parametrycznym krzywych opracowanym przez Pierre a Béziera. Od jego nazwiska pochodzi też nazwa tych krzywych. Należy w tym miejscu podkreślić, że Pierre Bézier opracował specyficzną tę postać wielomianu opisującego krzywe właśnie dla potrzeb projektowania nadwozi, w firmie Renault. Jedną z definicji krzywej Béziera jest określenie jej jako krzywej p, której każdy punkt p(t) można skonstruować według algorytmu de Casteljau, który opisany jest poniżej. Algorytm de Casteljau. Wybierzmy dowolny ciąg n+1 punktów p 0,...,p n. Rozważmy łamaną, której kolejnymi wierzchołkami są te punkty. Dokonamy podziału wszystkich n odcinków tej łamanej w pewnej ustalonej proporcji t : 1-t. Otrzymujemy n punktów, które

7 tworzą wierzchołki kolejnej łamanej, złożonej z n-1 odcinków. Proces ten powtarzamy aż do chwili, gdy otrzymamy jeden punkt. Rys. Schemat algorytmu de Casteljau Zmieniając parametr liczbowy t otrzymamy zbiór punktów, które wyznaczą nam krzywą. Jest to krzywa Béziera. Punkty zadane na początku nazywane są punktami kontrolnymi, a wyjściowa łamana to łamana kontrolna krzywej Béziera. Wielomiany Bernsteina. Reprezentacja Béziera krzywych wielomianowych opiera się na pewnych funkcjach bazowych. Okazuje się, że funkcjami tymi są wielomiany Bernsteina, ponieważ punkty kontrolne krzywej Béziera są współczynnikami krzywej w bazie wielomianów Bernsteina, tj.: n n p( t) = p B ( t) ; Wielomiany Bernsteina stopnia n są zdefiniowane wzorem: B t n t i i= 0 t n i n i i ( ) = (1 ) dla i = 0,..., n i i Rys. Wykresy wielomianów Bernsteina Wielomiany Bernsteina są liniowo niezależne i jest ich n+1, stanowią więc bazę przestrzeni wielomianów stopnia nie większego niż n. Dodatkowo przyjmuje się umowę B n i ( t) = 0 dla i < 0 lub i > n Wielomiany te spełniają również zależność:

8 B n i ( t) = (1 t) B n 1 i ( t) + tb Ponieważ wielomiany Bernsteina są podstawą reprezentacji Béziera krzywych wielomianowych, poznanie własności tych funkcji umożliwia zbadanie własności reprezentacji. Rozkład jedynki: Dodatniość: n i= 0 B n i ( t) = 1 n t [ 0,1] B ( t) 0 i Rozkład jedynki oraz dodatniość wielomianów Bernsteina są warunkami koniecznymi i dostatecznymi własności otoczki wypukłej krzywych Béziera (oznacza to, że wszystkie łamane tworzone przez obcinanie narożników i krzywa graniczna, która powstaje w wyniku tego, zawierają się zawsze w otoczce wypukłej wierzchołków łamanej wyjściowej). Symetria: B n i n ( t) B (1 t) = n i Oznacza to, że jeśli łamana kontrolna jest symetryczna względem pewnego punktu, to krzywa Béziera również wykazuje tę symetrię. własności. Pochodna: d dt B n i ( t) = n( B n i n 1 i 1 ( t) 1 n 1 1 ( t) Bi ( t)) Powyższy wzór stosuje się do znalezienia pochodnych krzywych Béziera i zbadania ich Podwyższanie i obniżanie stopnia Podwyższenie stopnia krzywej Béziera jest procesem zwiększania liczby punktów kontrolnych. Możliwe jest podwyższenie stopnia krzywej Béziera bez zmiany jej charakteru, gdyż proces ten jest niczym innym tylko obcinaniem narożników łamanej kontrolnej, a można udowodnić, że krzywą Béziera można otrzymać przez obcinanie narożników łamanej kontrolnej przeprowadzone dostatecznie wiele razy. Oznacza to, że istnieje nieskończenie wiele reprezentacji Béziera dowolnej krzywej wielomianowej. Względy praktyczne skłaniają jednak do stosowania w projektowaniu reprezentacji o najniższym stopniu, który umożliwia osiągnięcie założonych celów.

9 Rys. Podwyższanie stopnia krzywej Béziera oraz schemat ogólny obcinania narożników Podwyższanie stopnia krzywej Béziera stosuje się między innymi w celu: - uzyskania większej swobody kształtowania krzywej - uzgodnienia reprezentacji krzywych (m. in. łączenie dwóch krzywych i związane z tym zrównanie stopni) Operacja przeciwna do podwyższania stopnia, a więc obniżanie stopnia krzywej Béziera, może być prowadzona tylko do określonego momentu (w zależności od rzeczywistego opisu parametrycznego krzywej). Dalsze obniżanie odbywa się już na zasadzie aproksymacji, a więc znalezieniu krzywej w jak najmniejszym stopniu odbiegającej od zadanej. Pochodne krzywej Béziera i łączenie krzywych Pochodna krzywej Béziera stopnia n może być przedstawiona jako krzywa Béziera stopnia n-1, której punktami kontrolnymi są wektory n p i, i=0,...,n-1. Rys. Pochodna krzywej Béziera w punkcie t Z powyższego rysunku wynika, że aby wektor pochodnej w połączeniu odpowiednich krzywych Béziera był ciągły, krzywe łamane muszą być połączone w taki sposób, że przedostatni punkt kontrolny pierwszej krzywej, wspólny punkt brzegowy krzywych (n-ty dla pierwszej i zerowy dla drugiej krzywej) oraz pierwszy punkt kontrolny drugiej krzywej, powinny leżeć na jednej prostej. Jest to zilustrowane na poniższym rysunku.

10 Rys. Łączenie krzywych Béziera w sposób zapewniający ciągłość C 1 Pochodna k-tego rzędu w punkcie brzegowym zależy tylko od punktów p 0,...,p k. Inaczej mówiąc wektory pochodnych do rzędu k w punkcie początkowym i końcowym, są określone przez k+1 pierwszych albo ostatnich punktów kontrolnych. Warunki ciągłości pochodnych rzędu 1,...,k krzywej złożonej z dwóch połączonych krzywych Béziera stopnia n>k, a więc połączonych z ciągłością C k, można otrzymać z podziału krzywej przez wyżej opisany algorytm de Casteljau. W najprostszy sposób można to opisać następująco: jeśli dwie krzywe q i r są połączone z ciągłością C k, to punkty pośrednie w algorytmie de Casteljau, stanowiące dane dla ostatnich k+1 iteracji, powinny być identyczne niezależnie od tego, czy odtwarzamy je na podstawie łamanej krzywej q czy r. Rys. Połączenie krzywych z ciągłością C 2 Rys. Połączenie krzywych z ciągłością C 3 Powyższe rysunki świadczą o tym, że wymieniany i stosowany przez niektórych specjalistów warunek leżenia na jednej prostej odpowiednio k+1 pierwszych i k+1 ostatnich punktów kontrolnych w połączeniu dwóch krzywych z ciągłością C k, nie jest warunkiem

11 koniecznym, a jedynie łatwym do graficznej realizacji. Jednak współczesne programy umożliwiają już automatyczne łączenie krzywych i powierzchni z ciągłością C 2, więc nie zachodzi już potrzeba ręcznego manipulowania punkami kontrolnymi. Poniżej przedstawiony jest efekt działania automatycznej opcji programu Catia V5R10 umożliwiającej łączenie krzywych z zadaną ciągłością. Wygenerowano dwie krzywe Béziera stopnia trzeciego, które początkowo spełniały tylko warunek ciągłości C 0, a więc jedynie stykały się ze sobą końcami. Wbudowaną funkcją Catii połączono krzywe z ciągłością C 1, a więc nadano krzywym styczność i obserwowano zachowanie się punktów kontrolnych. Punkty kontrolne zostały przesunięte zgodnie z teorią podaną wyżej. Nadanie ciągłości krzywizny C 2 również zmieniło położenie punktów kontrolnych według powyższych teorii jedynie trzy punkty kontrolne leżą na wspólnej prostej. Rys. Połączenie krzywych z ciągłością C 0 wygenerowane w programie Catia Rys. Połączenie krzywych z ciągłością C 1 wykonane przez wbudowaną opcję programu Catia V5 Rys. Połączenie krzywych z ciągłością C 2 wykonane przez wbudowaną opcję programu Catia V5

12 Płaty powierzchni Béziera Płat powierzchni jest odwzorowaniem obszaru dwuwymiarowego w przestrzeni i do jego określenia potrzebne są funkcje dwóch zmiennych. Jedną z metod określenia przestrzeni funkcji dwóch zmiennych jest zastosowanie iloczynu tensorowego. Iloczyn tensorowy przestrzeni V 1 i V 2 funkcji jednej zmiennej (np. wielomianów) jest przestrzenią liniową rozpiętą przez iloczyny funkcji f(u)g(v), gdzie f V1, g. Jeżeli zbiory funkcji {f0,...,f n } i {g 0,...,g m } stanowią bazy przestrzeni V 1 i V 2, to V 2 zbiór funkcji {f i (u)g j (v): i=0,...,n, j=0,...,m} jest bazą tensorową przestrzeni V. Rys. Płat powierzchni Béziera z siatką kontrolną Prostokątne płaty powierzchni Béziera stopnia (n,m), są określone wzorem: p( u, v) = n m i= 0 j= 0 p ij B n i ( u) B Aby określić płat stopnia (n,m), należy więc podać (n+1)(m+1) punktów kontrolnych p ij. Zbiór odcinków łączących punkty kontrolne nazywamy siatką kontrolną płata. W siatce kontrolnej wyróżnia się wiersze i kolumny. Sposób określenia płata Béziera umożliwia zastosowanie do niego wszystkich twierdzeń i algorytmów związanych z krzywymi Béziera. Łatwo zauważyć, że skrajne wiersze i kolumny siatki kontrolnej opisują krzywe brzegowe płata. Wyznaczanie punktów płata można przeprowadzić uogólnionym algorytmem de Casteljau przez wyznaczanie punktów na krzywych. Podwyższenie stopnia płata ze względu na jedną ze zmiennych polega na podwyższeniu stopnia odpowiednio wszystkich wierszy lub kolumn w siatce kontrolnej płata. m j ( v) Łączenie płatów Béziera

13 Metoda łączenia płatów powierzchni w celu osiągnięcia ciągłości zadanego rzędu jest bezpośrednim uogólnieniem opisanej wyżej metody łączenia krzywych Béziera. Wiersze i kolumny siatek kontrolnych łączy się podobnie jak łamane krzywych. Utożsamienie łamanych krzywych brzegowych tworzy ciągłość C 0. Narzucenie warunku powstania podziału z większego płata (algorytm de Casteljau z dwóch kierunków) na każdą kolumnę lub wiersz równoległy podwyższa rząd ciągłości połączenia o 1. Rys. Połączenia płatów Béziera z zachowaniem ciągłości C 1 i C 2 Krzywe B-sklejane Opisane wcześniej krzywe i płaty powierzchni Béziera obok licznych zalet mają również poważne wady z punktu widzenia praktycznych zastosowań. Po pierwsze niemożliwe jest wprowadzanie lokalnych zmian, gdyż przesunięcie punktu kontrolnego powoduje zmianę kształtu całej krzywej bądź całego płata. Może to się okazać niewygodne lub nawet niepożądane w przypadku, jeśli pewne fragmenty projektowanego przedmiotu są już ukształtowane oraz dopracowane, i działając w innym miejscu nie chcemy tego popsuć. Po drugie w przypadku modelowania skomplikowanych kształtów konieczne jest korzystanie z krzywych lub płatów wysokiego stopnia. Manipulowanie punktami kontrolnymi staje się wtedy niewygodne dlatego, że dla modyfikacji krzywej należy przesuwać punkty kontrolne na duże odległości, a krzywa coraz bardziej odbiega od charakteru krzywej

14 łamanej. Ponadto obliczenia dla krzywych Béziera wysokiego stopnia są drogie i kłopotliwe w realizacji komputerowej. Rys. Porównanie krzywej Béziera stopnia 7 (a) z kubiczną krzywą B-sklejaną (b) Powyższych wad nie posiadają krzywe składające się z wielu łuków wielomianowych stosunkowo niskiego stopnia, zwane krzywymi sklejanymi lub potocznie splajnami. Krzywe takie pozwalają na modyfikację tylko pewnych ich fragmentów, bez zmiany pozostałych. Jednocześnie dają możliwość modelowania bardzo skomplikowanych kształtów poprzez dobranie odpowiedniej w zależności do potrzeb liczby łuków. Można konstruować krzywe interpolacyjne o kształcie zgodnym z intuicyjnymi oczekiwaniami. W praktyce stosuje się krzywe sklejane z łuków wielomianowych trzeciego stopnia (tzw. kubiczne) z poniższych powodów: stopień 2 jest zbyt mały, ponieważ krzywe drugiego stopnia są krzywymi płaskimi, a krzywa przestrzenna zbudowana na ich podstawie jest kawałkami płaska, co ze względu na estetykę eliminuje praktyczne zastosowanie takich krzywych; stopień 3 jest minimalnym, dla którego można osiągnąć ciągłość pochodnej drugiego rzędu (ciągłość krzywizny) w punkcie wspólnym dwóch łuków opisanych różnymi wielomianami; kubiczne interpolacyjne krzywe sklejane, w odróżnieniu od krzywych wielomianowych wysokiego stopnia, między danymi punktami mają bardzo dobry przebieg i zachowanie; Konstrukcja kubicznych krzywych B-sklejanych opiera się na warunku ciągłości C 2 połączeń krzywych Béziera. Schemat przedstawiony jest na rysunku.

15 Rys. Połączenie dwóch kubicznych krzywych Béziera z zachowaniem warunku ciągłości C 2 Wychodzimy od łamanej o wierzchołkach q 0,q 1,d,r 2,r 3. Punkty q 1, d i r 2 możemy uznać za wierzchołki łamanej kontrolnej krzywej stopnia drugiego i wykonać algorytm de Casteljau, dzieląc jej odcinki w zadanej proporcji. W wyniku powstają punkty q 2, q 3 =r 0 i r 1, spełniające równania ciągłości. Otrzymujemy parę gładko połączonych krzywych Béziera trzeciego stopnia. Powyższą procedurę można uogólnić do konstrukcji dowolnej liczby m gładko połączonych krzywych Béziera. Wymierne krzywe B-sklejane (krzywe NURBS) Nazwa NURBS, używana do określania wymiernych krzywych B-sklejanych, jest skrótem angielskiej nazwy tych krzywych non-uniform rational B-spline. Określenie nonuniform oznacza nierównomierne i odnosi się do ciągu węzłów zastosowanych do określenie funkcji bazowych; węzły te nie muszą być równoodległe. Wymierna krzywa B-sklejana określona jest wzorem: s N n 1 i = i= 0 ( t) N n 1 i= 0 w d i i w N gdzie d i oznaczają punkty kontrolne, a w i współczynniki wagowe lub po prostu wagi. Funkcje bazowe n N i N n i n i ( t) ( t) są określone dla pewnego ciągu węzłów. Dziedziną krzywej jest odcinek [un, u N-n ]. Kształtowanie krzywej wymiernej B-sklejanej polega na rozmieszczaniu lub przesuwaniu punktów kontrolnych i dobieraniu wag poszczególnych punktów. Można też manipulować węzłami użytymi do określenia funkcji bazowych.

16 Rys. Działanie wag wymiernej krzywej B-sklejanej Można wykazać następujące własności krzywych NURBS: - jeśli wszystkie wagi są równe pewnej stałej różnej od 0, to krzywa wymierna jest identyczna z krzywą wielomianową; - zmiana wszystkich wag polegająca na przenożeniu ich przez pewną stałą różną od 0, nie powoduje żadnych zmian geometrycznych krzywej; - relacja między punktami kontrolnymi a wymierną krzywą B-sklejaną jest niezmiennicza afinicznie, co oznacza, że obraz punktów kontrolnych w przekształceniu afinicznym określa obraz krzywej w tym przekształceniu; - kontrola kształtu za pomocą punktów kontrolnych jest ściśle lokalna, podobnie jak efekt zmiany wagi jest ograniczony tylko do fragmentu krzywej; Rys. Lokalna kontrola kształtu krzywej B-sklejanej W wielu programach komputerowych, mimo że istnieje możliwość tworzenia krzywych NURBS, zastrzeżona jest zmiana wag (wagi wszystkich punktów są określone na poziomie 1). Wobec tego w rzeczywistości krzywe te są krzywymi wielomianowymi, a nie wymiernymi.

17 Powierzchnie B-sklejane Płaty powierzchni B-sklejanych są określane w podobny sposób jak płaty prostokątne powierzchni Béziera. Mając dane dwie przestrzenie liniowe funkcji sklejanych, stopni n i m, opartych na ciągach węzłów odpowiednio u 0,...,u N i v 0,...,v N, można określić ich iloczyn tensorowy. Płat powierzchni B-sklejanej stopnia (n,m) jest opisany wzorem: s ( u, v) = N n 1 M m 1 i= 0 j= 0 d ij N n i ( u) N Reprezentacja płata składa się z liczb n i m określających stopień płata, dwóch ciągów węzłów oraz (N-n)(M-m) punktów kontrolnych d ij. Punkty kontrolne płata tworzą siatkę, w której wyróżnia się wiersze i kolumny. m j ( v) Rys. Płat powierzchni B-sklejanej z siatką kontrolną W przypadku powierzchni NURBS, a więc wymiernych płatów powierzchni B- sklejanej, oprócz węzłów i punktów kontrolnych, trzeba podać współczynniki wagi po jednym dla każdego punktu kontrolnego. Metody oceny powierzchni Zasadnicze znaczenie podczas modelowania, jak również i po zakończeniu projektu, ma możliwość dokonania oceny kształtu otrzymanej krzywej lub powierzchni. Ocena ta jest podstawą do zaakceptowania badanej powierzchni lub konieczności wprowadzania poprawek. Najprostsza metoda poprzez przedstawienie realnego obrazu z użyciem ustalonego oświetlenia, symulująca określone własności optyczne powierzchni, często jest metodą niewystarczającą.

18 Ocena kształtu powierzchni obejmuje trzy podstawowe elementy: rozkład krzywizny na powierzchni, obecność nieciągłości płaszczyzny stycznej lub krzywizny na połączeniach płatów oraz utrzymanie tolerancji odtworzenia teoretycznego kształtu (ten ostatni stosowany jest przeważnie w przypadku mechanizmów, więc w niniejszej pracy nie będzie opisywany). Obrazowanie kształtu powierzchni można dokonać dwoma podstawowymi sposobami. Pierwszy polega na określeniu funkcji kształtu na powierzchni i przedstawieniu tej funkcji za pomocą kolorów. Jeśli odwzorowanie wartości funkcji na kolory (paleta) jest ciągłe, to otrzymany obraz uwidacznia nieciągłość funkcji kształtu. W przypadku gdy paleta jest nieciągła, otrzymany obraz uwidacznia warstwice tej funkcji. Drugi sposób wizualizacji opiera się na narysowaniu tzw. krzywych charakterystycznych leżących na powierzchni. Krzywymi tymi mogą być warstwice, linie najszybszego spadku itp. Właściwie dobrane narzędzie wizualizacji uwypukla w obrazie negatywne i niepożądane cechy kształtu badanej powierzchni. Jednak interpretacja takich obrazów bywa trudna i wymaga od projektanta dużego doświadczenia i wprawy, aby podjąć właściwą decyzję o modyfikacji powierzchni tak, aby jej skutek był zadawalający. Poniżej opisane są pokrótce podstawowe metody oceny powierzchni stosowane w praktyce. Metoda oświetlania powierzchni Metoda oceny powierzchni przez oświetlanie (ang. shading lub rendering) polega na zastosowaniu punktowego źródła światła skierowanego na sprawdzaną powierzchnię. Funkcja kształtu w tym przypadku przypisuje punktom powierzchni różne odcienie danej barwy w taki sposób, że najjaśniejszy odcień mają punkty, których wektor normalny tworzy z kierunkiem linii światła kąt zbliżony do zera. Im większy jest ten kąt, tym ciemniejsza barwa jest przypisywana przez funkcję kształtu. Obserwacja oświetlonej w ten sposób powierzchni, z jednoczesnym jej wolnym obrotem, pozwala ocenić zmiany odcieni barw. Charakter tych zmian wskazuje na jakość powierzchni pod względem płynności, w szczególności pozwala wykryć nieciągłości styczności i krzywizny. Rys. Ocena powierzchni przez oświetlenie (shading)

19 Metoda izofot Pewnego rodzaju rozwinięciem pierwszej metody jest przedstawienie na powierzchni tzw. izofot. Izofoty są to warstwice intensywności odbitego światła (warstwice funkcji kształtu). Takie warstwice dają użyteczną informację o kształcie powierzchni także na jej nieoświetlonych częściach. Uwidaczniają one w sposób zdecydowanie bardziej wyraźny nieciągłości krzywizny na połączeniach płatów. Na wspomnianą nieciągłość wskazują nieciągłości kierunku stycznej do izofot. Rys. Rozkład izofot na powierzchni błotnika Metoda krzywych konturowych (sylwetkowych) Krzywe konturowe są to krzywe leżące na badanej powierzchni, stanowiące granicę między jej częścią widoczną i niewidoczną z określonego kierunku patrzenia. Są one szczególnym rodzajem izofot. Tworząc linie konturowe na powierzchni nie tylko z zadanego kierunku patrzenia, ale również pod zadanymi kątami od tego kierunku (np. co kilka stopni), otrzymuje się rodzinę krzywych, a wzajemne relacje pomiędzy nimi pozwalają wykryć nawet najmniejsze zaburzenia kształtu powierzchni. Metoda krzywych przekrojowych Gęsta siatka przekrojów danej powierzchni równoodległymi i równoległymi płaszczyznami pozwala również ocenić jakość powierzchni, choć jest ona mniej dokładna niż metoda poprzednia. Tu również ocenia się relacje pomiędzy krzywymi przekrojowymi. Czasami wykorzystuje się płaszczyzny nierównoległe, np. mogą być to płaszczyzny normalne do zadanej krzywej (przy badaniu uwypuklenia przy łuku błotnika tworzy się pęk płaszczyzn, których wspólną częścią jest oś koła). Rys. Krzywe przekrojowe wykonane na podstawie równoległych płaszczyzn

20 Metoda linii odblasku Linia odblasku to obraz powstający przez odbicie zwierciadlane na powierzchni określonej linii w przestrzeni. Linie odblasku mogą być zależne od obserwatora lub niezależne. Linie odblasku niezależne od obserwatora są rzutem zadanej linii na powierzchnię o kierunku normalnym do danej powierzchni. Podobnie jak izofoty, linie odblasku lepiej niż krzywe przekrojowe uwidaczniają nieciągłości kształtu. Załamanie takiej linii świadczy o nieciągłości krzywizny powierzchni. Rys. Rozkład linii odblasku na przykładowej powierzchni Powierzchnie klasy A nadwozi samochodów Do budowania powierzchni zewnętrznych nadwozia samochodu wymagane jest stosowane wyłącznie powierzchni o najwyższej klasie jakości, tzw. powierzchni klasy A. Poszycie zewnętrzne samochodu stanowi jedną z form kształtujących otaczające nas środowisko, a więc musi być estetyczne. Powszechnie stosowana zasada mówi, że wszystkie powierzchnie widoczne w samochodzie powinny być klasy A. Jednak tak wysoka jakość powierzchni nie jest konieczna w przypadku wnętrza pojazdu, gdzie końcowy wyrób przyjmuje postać powierzchni matowego tworzywa sztucznego. Inaczej sytuacja wygląda na powierzchniach poszycia zewnętrznego, które dodatkowo lakierowane jest wysoko połyskującym lakierem. Refleksy świetlne powodują, że nawet niewielka wada powierzchni jest widoczna gołym okiem i z pewnością nie wygląda estetycznie. Wymagania stawiane powierzchniom klasy A Pojęcie powierzchni klasy A jest ściśle związane z powstaniem komputerowych technik generowania powierzchni nadwozia, w związku z tym wymagania stawiane tym powierzchniom odnoszą się bezpośrednio do technik ich tworzenia w systemach CAD. Do

21 kryteriów, jakie musi spełniać powierzchnia, aby móc być uważaną za powierzchnię klasy A, należą: brak segmentacji płatów (jeden płat jeden segment) jednosegmentowe płaty jest znacznie łatwiej kontrolować i modyfikować; jak najniższa liczba punktów kontrolnych - płaty nie powinny przekraczać liczby punktów kontrolnych 6x6; taki rząd płata pozwala na uzyskanie ciągłości krzywizny z obu stron, tzn. pomiędzy dwoma innymi płatami; siatkowa struktura rozkładu punktów kontrolnych rozkład punktów kontrolnych powierzchni jest ściśle związany z przebiegiem krzywizny na płacie, a więc im bardziej regularny jest rozkład, tym bardziej gładka i ciągła jest krzywizna; harmonijny rozkład punktów kontrolnych pozycja punktów kontrolnych powinna być opisana przez funkcję wypukłą lub wklęsłą; odnosi się to do obydwu kierunków, tzn. do wierszy i kolumn siatki kontrolnej; gładki przebieg krzywizny rozkład krzywizny wzdłuż powierzchni powinien być tak gładki, jak to tylko możliwe; Rys. Prawidłowy rozkład siatki kontrolnej płata powierzchni maski W połączeniach płatów nie wynikających w połączeń technologicznych bądź zadanych zmian powierzchni, wymagane jest zachowanie ciągłości co najmniej C 2, a więc zachowanie ciągłości krzywizny. Krzywizna powinna mieć gładki przebieg wzdłuż całego danego elementu i gwałtowne jej zmiany, jeśli nie są zaprojektowane przez stylistę, nie mogą mieć miejsca. Izofoty nadwozia nie powinny mieć nagłych i niezamierzonych zafalowań i powinny mieć tak gładki przebieg, jak to tylko możliwe. Linie refleksów powinny być odzwierciedleniem refleksów na nadwoziu z rysunków perspektywicznych wykonanych przez stylistę (szkiców i rysunków renderingowych).

Modelowanie krzywych i powierzchni

Modelowanie krzywych i powierzchni 3 Modelowanie krzywych i powierzchni Modelowanie powierzchniowe jest kolejną metodą po modelowaniu bryłowym sposobem tworzenia części. Jest to też sposób budowy elementu bardziej skomplikowany i wymagający

Bardziej szczegółowo

Grafika komputerowa Wykład 8 Modelowanie obiektów graficznych cz. II

Grafika komputerowa Wykład 8 Modelowanie obiektów graficznych cz. II Grafika komputerowa Wykład 8 Modelowanie obiektów graficznych cz. II Instytut Informatyki i Automatyki Państwowa Wyższa Szkoła Informatyki i Przedsiębiorczości w Łomży 2 0 0 9 Spis treści Spis treści 1

Bardziej szczegółowo

Grafika komputerowa Wykład 7 Modelowanie obiektów graficznych cz. I

Grafika komputerowa Wykład 7 Modelowanie obiektów graficznych cz. I Grafika komputerowa Wykład 7 Modelowanie obiektów graficznych cz. I Instytut Informatyki i Automatyki Państwowa Wyższa Szkoła Informatyki i Przedsiębiorczości w Łomży 2 0 0 9 Spis treści Spis treści 1

Bardziej szczegółowo

10.3. Typowe zadania NMT W niniejszym rozdziale przedstawimy podstawowe zadania do jakich może być wykorzystany numerycznego modelu terenu.

10.3. Typowe zadania NMT W niniejszym rozdziale przedstawimy podstawowe zadania do jakich może być wykorzystany numerycznego modelu terenu. Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT 91 10.3. Typowe zadania NMT W niniejszym rozdziale przedstawimy podstawowe zadania do jakich może być wykorzystany numerycznego modelu terenu. 10.3.1. Wyznaczanie

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja geometrii wypraski oraz jej modyfikacja z zastosowaniem Technologii Synchronicznej systemu NX

Weryfikacja geometrii wypraski oraz jej modyfikacja z zastosowaniem Technologii Synchronicznej systemu NX Weryfikacja geometrii wypraski oraz jej modyfikacja z zastosowaniem Technologii Synchronicznej systemu NX Projektowanie i wytwarzanie form wtryskowych, przeznaczonych do produkcji wyprasek polimerowych,

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia

Bardziej szczegółowo

PRZEKROJE RYSUNKOWE CZ.1 PRZEKROJE PROSTE. Opracował : Robert Urbanik Zespół Szkół Mechanicznych w Opolu

PRZEKROJE RYSUNKOWE CZ.1 PRZEKROJE PROSTE. Opracował : Robert Urbanik Zespół Szkół Mechanicznych w Opolu PRZEKROJE RYSUNKOWE CZ.1 PRZEKROJE PROSTE Opracował : Robert Urbanik Zespół Szkół Mechanicznych w Opolu IDEA PRZEKROJU stosujemy, aby odzwierciedlić wewnętrzne, niewidoczne z zewnątrz, kształty przedmiotu.

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Wykład 3. Rzutowanie prostokątne, widoki, przekroje, kłady. Rzutowanie prostokątne - geneza. Rzutowanie prostokątne - geneza

Plan wykładu. Wykład 3. Rzutowanie prostokątne, widoki, przekroje, kłady. Rzutowanie prostokątne - geneza. Rzutowanie prostokątne - geneza Plan wykładu Wykład 3 Rzutowanie prostokątne, widoki, przekroje, kłady 1. Rzutowanie prostokątne - geneza 2. Dwa sposoby wzajemnego położenia rzutni, obiektu i obserwatora, metoda europejska i amerykańska

Bardziej szczegółowo

Definicja obrotu: Definicja elementów obrotu:

Definicja obrotu: Definicja elementów obrotu: 5. Obroty i kłady Definicja obrotu: Obrotem punktu A dookoła prostej l nazywamy ruch punktu A po okręgu k zawartym w płaszczyźnie prostopadłej do prostej l w kierunku zgodnym lub przeciwnym do ruchu wskazówek

Bardziej szczegółowo

Opis ćwiczenia. Cel ćwiczenia Poznanie budowy i zrozumienie istoty pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Henry ego Katera.

Opis ćwiczenia. Cel ćwiczenia Poznanie budowy i zrozumienie istoty pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Henry ego Katera. ĆWICZENIE WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA REWERSYJNEGO Opis ćwiczenia Cel ćwiczenia Poznanie budowy i zrozumienie istoty pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

Bardziej szczegółowo

CZĘŚĆ II PARAMETRYCZNE PROJEKTOWANIE 2D

CZĘŚĆ II PARAMETRYCZNE PROJEKTOWANIE 2D CZĘŚĆ II PARAMETRYCZNE PROJEKTOWANIE 2D Projektowanie parametryczne jest możliwe wyłącznie za pomocą pełnej wersji programu AutoCAD. AutoCAD LT ma bardzo ograniczone możliwości w tym zakresie. Pozwala

Bardziej szczegółowo

Temat: Zaprojektowanie procesu kontroli jakości wymiarów geometrycznych na przykładzie obudowy.

Temat: Zaprojektowanie procesu kontroli jakości wymiarów geometrycznych na przykładzie obudowy. Raport z przeprowadzonych pomiarów. Temat: Zaprojektowanie procesu kontroli jakości wymiarów geometrycznych na przykładzie obudowy. Spis treści 1.Cel pomiaru... 3 2. Skanowanie 3D- pozyskanie geometrii

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Oświetlenie. Modelowanie oświetlenia sceny 3D. Algorytmy cieniowania.

Oświetlenie. Modelowanie oświetlenia sceny 3D. Algorytmy cieniowania. Oświetlenie. Modelowanie oświetlenia sceny 3D. Algorytmy cieniowania. Chcąc osiągnąć realizm renderowanego obrazu, należy rozwiązać problem świetlenia. Barwy, faktury i inne właściwości przedmiotów postrzegamy

Bardziej szczegółowo

Opis postępowania przy eksportowaniu geometrii z systemu Unigraphics NX do pakietu PANUKL (ver. A)

Opis postępowania przy eksportowaniu geometrii z systemu Unigraphics NX do pakietu PANUKL (ver. A) 1 Opis postępowania przy eksportowaniu geometrii z systemu Unigraphics NX do pakietu PANUKL (ver. A) Przedstawiony poniżej schemat przygotowania geometrii w systemie Unigraphics NX na potrzeby programu

Bardziej szczegółowo

RZUTOWANIE PROSTOKĄTNE

RZUTOWANIE PROSTOKĄTNE RZUTOWANIE PROSTOKĄTNE WPROWADZENIE Wykonywanie rysunku technicznego - zastosowanie Rysunek techniczny przedmiotu jest najczęściej podstawą jego wykonania, dlatego odwzorowywany przedmiot nie powinien

Bardziej szczegółowo

Topologia działek w MK 2013

Topologia działek w MK 2013 Topologia działek w MK 2013 Podział działki nr 371 w środowisku Microstation 1. Uruchomić program Microstation. 2. Wybrać przestrzeń roboczą MK2013-Rozp.MAiCprzez Użytkownik. 3. Założyć nowy plik roboczy.

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych

Bardziej szczegółowo

Π 1 O Π 3 Π Rzutowanie prostokątne Wiadomości wstępne

Π 1 O Π 3 Π Rzutowanie prostokątne Wiadomości wstępne 2. Rzutowanie prostokątne 2.1. Wiadomości wstępne Rzutowanie prostokątne jest najczęściej stosowaną metodą rzutowania w rysunku technicznym. Reguły nim rządzące zaprezentowane są na rysunkach 2.1 i 2.2.

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

STATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA

STATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: STATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA oprac. dr inż. Jarosław Filipiak Cel ćwiczenia 1. Zapoznanie się ze sposobem przeprowadzania statycznej

Bardziej szczegółowo

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III Program nauczania matematyki w gimnazjum Matematyka dla przyszłości DKW 4014 162/99 Opracowała: mgr Mariola Bagińska 1. Liczby i działania Podaje rozwinięcia

Bardziej szczegółowo

Problematyka budowy skanera 3D doświadczenia własne

Problematyka budowy skanera 3D doświadczenia własne Problematyka budowy skanera 3D doświadczenia własne dr inż. Ireneusz Wróbel ATH Bielsko-Biała, Evatronix S.A. iwrobel@ath.bielsko.pl mgr inż. Paweł Harężlak mgr inż. Michał Bogusz Evatronix S.A. Plan wykładu

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

VI. FIGURY GEOMETRYCZNE i MODELE

VI. FIGURY GEOMETRYCZNE i MODELE VI. FIGURY GEOMETRYCZNE i MODELE 6.1. Wprowadzenie Jednym z głównych zastosowań grafiki komputerowej jest modelowanie obiektów, czyli ich opis matematyczny, na podstawie którego na ekranie można stworzyć

Bardziej szczegółowo

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO:

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO: KRZYŻÓWKA.Wyznaczają ją dwa punkty.. Jego pole to π r² 3. Jego pole to a a 4.Figura przestrzenna, której podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku. 5.Prosta mająca

Bardziej szczegółowo

Zadanie I. 2. Gdzie w przestrzeni usytuowane są punkty (w której ćwiartce leży dany punkt): F x E' E''

Zadanie I. 2. Gdzie w przestrzeni usytuowane są punkty (w której ćwiartce leży dany punkt): F x E' E'' GEOMETRIA WYKREŚLNA ĆWICZENIA ZESTAW I Rok akademicki 2012/2013 Zadanie I. 1. Według podanych współrzędnych punktów wykreślić je w przestrzeni (na jednym rysunku aksonometrycznym) i określić, gdzie w przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Projekt połowicznej, prostej endoprotezy stawu biodrowego w programie SOLIDWorks.

Projekt połowicznej, prostej endoprotezy stawu biodrowego w programie SOLIDWorks. 1 Projekt połowicznej, prostej endoprotezy stawu biodrowego w programie SOLIDWorks. Rysunek. Widok projektowanej endoprotezy według normy z wymiarami charakterystycznymi. 2 3 Rysunek. Ilustracje pomocnicze

Bardziej szczegółowo

Podstawy 3D Studio MAX

Podstawy 3D Studio MAX Podstawy 3D Studio MAX 7 grudnia 2001 roku 1 Charakterystyka programu 3D Studio MAX jest zintegrowanym środowiskiem modelowania i animacji obiektów trójwymiarowych. Doświadczonemu użytkownikowi pozwala

Bardziej szczegółowo

Kąty Ustawienia Kół. WERTHER International POLSKA Sp. z o.o. dr inż. Marek Jankowski 2007-01-19

Kąty Ustawienia Kół. WERTHER International POLSKA Sp. z o.o. dr inż. Marek Jankowski 2007-01-19 WERTHER International POLSKA Sp. z o.o. dr inż. Marek Jankowski 2007-01-19 Kąty Ustawienia Kół Technologie stosowane w pomiarach zmieniają się, powstają coraz to nowe urządzenia ułatwiające zarówno regulowanie

Bardziej szczegółowo

Pytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3)

Pytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3) Pytania zamknięte / TEST : Wybierz 1 odp prawidłową. 1. Punkt: A) jest aksjomatem in. pewnikiem; B) nie jest aksjomatem, bo można go zdefiniować. 2. Prosta: A) to zbiór punktów; B) to zbiór punktów współliniowych.

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE. Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej.

LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE. Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej. LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej.. Wprowadzenie Soczewką nazywamy ciało przezroczyste ograniczone

Bardziej szczegółowo

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie

Bardziej szczegółowo

Tolerancje kształtu i położenia

Tolerancje kształtu i położenia Strona z 7 Strona główna PM Tolerancje kształtu i położenia Strony związane: Podstawy Konstrukcji Maszyn, Tolerancje gwintów, Tolerancje i pasowania Pola tolerancji wałków i otworów, Układy pasowań normalnych,

Bardziej szczegółowo

9. Podstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych

9. Podstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT 75 9. odstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych Niniejszy rozdział służy ogólnemu przedstawieniu metod matematycznych wykorzystywanych w zagadnieniu

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Co należy zauważyć Rzuty punktu leżą na jednej prostej do osi rzutów x 12, którą nazywamy prostą odnoszącą Wysokość punktu jest odległością rzutu

Co należy zauważyć Rzuty punktu leżą na jednej prostej do osi rzutów x 12, którą nazywamy prostą odnoszącą Wysokość punktu jest odległością rzutu Oznaczenia A, B, 1, 2, I, II, punkty a, b, proste α, β, płaszczyzny π 1, π 2, rzutnie k kierunek rzutowania d(a,m) odległość punktu od prostej m(a,b) prosta przechodząca przez punkty A i B α(1,2,3) płaszczyzna

Bardziej szczegółowo

Materiały pomocnicze do programu AutoCAD 2014

Materiały pomocnicze do programu AutoCAD 2014 Łukasz Przeszłowski Politechnika Rzeszowska im. I. Łukasiewicza Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa Katedra Konstrukcji Maszyn Materiały pomocnicze do programu AutoCAD 2014 UWAGA: Są to materiały pomocnicze

Bardziej szczegółowo

WIDOKI I PRZEKROJE PRZEDMIOTÓW LINIE PRZENIKANIA BRYŁ

WIDOKI I PRZEKROJE PRZEDMIOTÓW LINIE PRZENIKANIA BRYŁ Zapis i Podstawy Konstrukcji Widoki i przekroje przedmiotów 1 WIDOKI I PRZEKROJE PRZEDMIOTÓW LINIE PRZENIKANIA BRYŁ Rzutami przedmiotów mogą być zarówno widoki przestawiające zewnętrzne kształty przedmiotów

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

Animowana grafika 3D. Opracowanie: J. Kęsik.

Animowana grafika 3D. Opracowanie: J. Kęsik. Animowana grafika 3D Opracowanie: J. Kęsik kesik@cs.pollub.pl Rzutowanie Równoległe Perspektywiczne Rzutowanie równoległe Rzutowanie równoległe jest powszechnie używane w rysunku technicznym - umożliwienie

Bardziej szczegółowo

Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy)

Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 3. PAZDRO Plan jest wykazem wiadomości i umiejętności, jakie powinien mieć uczeń ubiegający się o określone oceny na poszczególnych etapach edukacji

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy

Bardziej szczegółowo

TUTORIAL: Konwersja siatek i chmur punktów na powierzchnie a następnie odtworzenie drzewa operacji.

TUTORIAL: Konwersja siatek i chmur punktów na powierzchnie a następnie odtworzenie drzewa operacji. ~ 1 ~ TUTORIAL: Konwersja siatek i chmur punktów na powierzchnie a następnie odtworzenie drzewa operacji. 1. Wstęp. W dobie skanerów i drukarek 3D okazuje się, że w niektórych gałęziach przemysłu projekty

Bardziej szczegółowo

1 Wstęp teoretyczny. Temat: Obcinanie odcinków do prostokąta. Grafika komputerowa 2D. Instrukcja laboratoryjna Prostokąt obcinający

1 Wstęp teoretyczny. Temat: Obcinanie odcinków do prostokąta. Grafika komputerowa 2D. Instrukcja laboratoryjna Prostokąt obcinający Instrukcja laboratoryjna 3 Grafika komputerowa 2D Temat: Obcinanie odcinków do prostokąta Przygotował: dr inż. Grzegorz Łukawski, mgr inż. Maciej Lasota, mgr inż. Tomasz Michno 1 Wstęp teoretyczny 1.1

Bardziej szczegółowo

1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza

1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza 1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza Tematyka zajęć: WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY KL. 3 POZIOM PODSTAWOWY Potęga o wykładniku rzeczywistym powtórzenie Funkcja wykładnicza i jej własności

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2 WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY (zakres podstawowy) klasa 2 1. Funkcja liniowa Tematyka zajęć: Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej Miejsce zerowe funkcji liniowej.

Bardziej szczegółowo

3.3. dwie płaszczyzny równoległe do siebie α β Dwie płaszczyzny równoległe do siebie mają ślady równoległe do siebie

3.3. dwie płaszczyzny równoległe do siebie α β Dwie płaszczyzny równoległe do siebie mają ślady równoległe do siebie Widoczność A. W rzutowaniu europejskim zakłada się, że przedmiot obserwowany znajduje się między obserwatorem a rzutnią, a w amerykańskim rzutnia rozdziela przedmiot o oko obserwatora. B. Kierunek patrzenia

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 9. Rzutowanie i wymiarowanie Strona 1 z 5

Ćwiczenie 9. Rzutowanie i wymiarowanie Strona 1 z 5 Ćwiczenie 9. Rzutowanie i wymiarowanie Strona 1 z 5 Problem I. Model UD Dana jest bryła, której rzut izometryczny przedstawiono na rysunku 1. (W celu zwiększenia poglądowości na rysunku 2. przedstawiono

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

TUTORIAL: wyciągni. gnięcia po wielosegmentowej ście. cieżce ~ 1 ~

TUTORIAL: wyciągni. gnięcia po wielosegmentowej ście. cieżce ~ 1 ~ ~ 1 ~ TUTORIAL: Sprężyna skrętna w SolidWorks jako wyciągni gnięcia po wielosegmentowej ście cieżce ce przykład Sprężyny występują powszechnie w maszynach, pojazdach, meblach, sprzęcie AGD i wielu innych

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc 1, Ciągi zna definicję ciągu (ciągu liczbowego); potrafi wyznaczyć dowolny wyraz ciągu liczbowego określonego wzorem ogólnym;

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 DEFINICJE PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 Czworokąt to wielokąt o 4 bokach i 4 kątach. Przekątną czworokąta nazywamy odcinek łączący przeciwległe wierzchołki. Wysokością czworokąta nazywamy

Bardziej szczegółowo

Geometryczne podstawy obróbki CNC. Układy współrzędnych, punkty zerowe i referencyjne. Korekcja narzędzi

Geometryczne podstawy obróbki CNC. Układy współrzędnych, punkty zerowe i referencyjne. Korekcja narzędzi Geometryczne podstawy obróbki CNC. Układy współrzędnych, punkty zerowe i referencyjne. Korekcja narzędzi 1 Geometryczne podstawy obróbki CNC 1.1. Układy współrzędnych. Układy współrzędnych umożliwiają

Bardziej szczegółowo

PRO/ENGINEER. ĆW. Nr. MODELOWANIE SPRĘŻYN

PRO/ENGINEER. ĆW. Nr. MODELOWANIE SPRĘŻYN PRO/ENGINEER ĆW. Nr. MODELOWANIE SPRĘŻYN 1. Śruba walcowa o stałym skoku W programie Pro/Engineer modelowanie elementów typu sprężyny można realizować poleceniem Insert/Helical Sweep/Protrusin. Dla prawozwojnej

Bardziej szczegółowo

FRAKTALE I SAMOPODOBIEŃSTWO

FRAKTALE I SAMOPODOBIEŃSTWO FRAKTALE I SAMOPODOBIEŃSTWO Mariusz Gromada marzec 2003 mariusz.gromada@wp.pl http://multifraktal.net 1 Wstęp Fraktalem nazywamy każdy zbiór, dla którego wymiar Hausdorffa-Besicovitcha (tzw. wymiar fraktalny)

Bardziej szczegółowo

PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA

PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA KATEDRA WYTRZYMAŁOSCI MATERIAŁÓW I METOD KOMPUTEROWYCH MACHANIKI PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA Analiza kinematyki robota mobilnego z wykorzystaniem MSC.VisualNastran PROMOTOR Prof. dr hab. inż. Tadeusz Burczyński

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

Narysujemy uszczelkę podobną do pokazanej na poniższym rysunku. Rys. 1

Narysujemy uszczelkę podobną do pokazanej na poniższym rysunku. Rys. 1 Narysujemy uszczelkę podobną do pokazanej na poniższym rysunku. Rys. 1 Jak zwykle, podczas otwierania nowego projektu, zaczynamy od ustawienia warstw. Poniższy rysunek pokazuje kolejne kroki potrzebne

Bardziej szczegółowo

Układ kierowniczy. Potrzebę stosowania układu kierowniczego ze zwrotnicami przedstawia poniższy rysunek:

Układ kierowniczy. Potrzebę stosowania układu kierowniczego ze zwrotnicami przedstawia poniższy rysunek: 1 Układ kierowniczy Potrzebę stosowania układu kierowniczego ze zwrotnicami przedstawia poniższy rysunek: Definicja: Układ kierowniczy to zbiór mechanizmów umożliwiających kierowanie pojazdem, a więc utrzymanie

Bardziej szczegółowo

5.1. Powstawanie i rozchodzenie się fal mechanicznych.

5.1. Powstawanie i rozchodzenie się fal mechanicznych. 5. Fale mechaniczne 5.1. Powstawanie i rozchodzenie się fal mechanicznych. Ruch falowy jest zjawiskiem bardzo rozpowszechnionym w przyrodzie. Spotkałeś się z pewnością w życiu codziennym z takimi pojęciami

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016

PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016 PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016 Wymagania wykraczające zawierają w sobie wymagania dopełniające, te zaś zawierają wymagania podstawowe. Ocenę dopuszczającą powinien otrzymać

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

1. Prymitywy graficzne

1. Prymitywy graficzne 1. Prymitywy graficzne Prymitywy graficzne są elementarnymi obiektami jakie potrafi bezpośrednio rysować, określony system graficzny (DirectX, OpenGL itp.) są to: punkty, listy linii, serie linii, listy

Bardziej szczegółowo

KONSTRUKCJA TRÓJKĄTA 1 KONSTRUKCJA TRÓJKĄTA 2 KONSTRUKCJA CZWOROKĄTA KONSTRUKCJA OKRĘGU KONSTRUKCJA STYCZNYCH

KONSTRUKCJA TRÓJKĄTA 1 KONSTRUKCJA TRÓJKĄTA 2 KONSTRUKCJA CZWOROKĄTA KONSTRUKCJA OKRĘGU KONSTRUKCJA STYCZNYCH Wstęp Ten multimedialny program edukacyjny zawiera zadania konstrukcyjne pozwalające na samodzielne ćwiczenie i sprawdzenie wiadomości w zakresie konstrukcji podstawowych figur geometrycznych. Jest przeznaczony

Bardziej szczegółowo

Obróbka po realnej powierzchni o Bez siatki trójkątów o Lepsza jakość po obróbce wykańczającej o Tylko jedna tolerancja jakości powierzchni

Obróbka po realnej powierzchni o Bez siatki trójkątów o Lepsza jakość po obróbce wykańczającej o Tylko jedna tolerancja jakości powierzchni TEBIS Wszechstronny o Duża elastyczność programowania o Wysoka interaktywność Delikatne ścieżki o Nie potrzebny dodatkowy moduł HSC o Mniejsze zużycie narzędzi o Mniejsze zużycie obrabiarki Zarządzanie

Bardziej szczegółowo

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Wariant nr (klasa I 4 godz., klasa II godz., klasa III godz.) Klasa I 7 tygodni 4 godziny = 48 godzin Lp. Tematyka zajęć

Bardziej szczegółowo

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór

Bardziej szczegółowo

Opis matematyczny odbicia światła od zwierciadła kulistego i przejścia światła przez soczewki.

Opis matematyczny odbicia światła od zwierciadła kulistego i przejścia światła przez soczewki. Opis matematyczny odbicia światła od zwierciadła kulistego i przejścia światła przez soczewki. 1. Równanie soczewki i zwierciadła kulistego. Z podobieństwa trójkątów ABF i LFD (patrz rysunek powyżej) wynika,

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 6 Temat: BADANIE ŚWIATEŁ DO JAZDY DZIENNEJ

Ćwiczenie nr 6 Temat: BADANIE ŚWIATEŁ DO JAZDY DZIENNEJ 60-965 Poznań Grupa: Elektrotechnika, sem 3., Podstawy Techniki Świetlnej Laboratorium wersja z dn. 03.11.2015 Ćwiczenie nr 6 Temat: BADANIE ŚWIATEŁ DO JAZDY DZIENNEJ Opracowanie wykonano na podstawie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM 1. 2. 3. 4. 5. 6. czytać dane przedstawione na diagramach i w tabelach przekształcać równania liniowe na równania równoważne ekształcać układy równań

Bardziej szczegółowo

Analiza korespondencji

Analiza korespondencji Analiza korespondencji Kiedy stosujemy? 2 W wielu badaniach mamy do czynienia ze zmiennymi jakościowymi (nominalne i porządkowe) typu np.: płeć, wykształcenie, status palenia. Punktem wyjścia do analizy

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

POMIARY OPTYCZNE 1. Wykład 1. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

POMIARY OPTYCZNE 1. Wykład 1.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak POMIARY OPTYCZNE Wykład Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej Pokój 8/ bud. A- http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/ OPTYKA GEOMETRYCZNA Codzienne obserwacje: światło

Bardziej szczegółowo

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI Zbiory liczbowe: 1. Wymień znane Ci zbiory liczbowe. 2. Co to są liczby rzeczywiste? 3. Co to są liczby naturalne? 4. Co to są liczby całkowite? 5. Co to są liczby wymierne? 6. Co to są liczby niewymierne?

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

Wykonanie w 3ds max dowolnego samochodu

Wykonanie w 3ds max dowolnego samochodu Wykonanie w 3ds max dowolnego samochodu Napisał: mgr. inż. Lew Łukasz Rzeszów 2010 W celu rozwiązania tego zadania student powinien znać: - interfejs 3ds max 2009, - bryły parametryczne z podkategorii:

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym.

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym. Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

Podstawy Konstrukcji Maszyn

Podstawy Konstrukcji Maszyn 0-05-7 Podstawy Konstrukcji Maszyn Część Wykład nr.3. Przesunięcie zarysu przypomnienie znanych zagadnień (wykład nr. ) Zabieg przesunięcia zarysu polega na przybliżeniu lub oddaleniu narzędzia od osi

Bardziej szczegółowo

Zajęcia techniczne rozkładu materiału kl.3gim. /moduł zajęcia modelarskie/

Zajęcia techniczne rozkładu materiału kl.3gim. /moduł zajęcia modelarskie/ Zajęcia techniczne rozkładu materiału kl.3gim. /moduł zajęcia modelarskie/ Nr lekcjii 1 2 3 4 5 6 Temat lekcji Liczba godzin Rozkład materiału, kryteria ocen, BHP 1 Dokumentacja techniczna 1 Ćwiczenia

Bardziej szczegółowo

Dopasowywanie modelu do danych

Dopasowywanie modelu do danych Tematyka wykładu dopasowanie modelu trendu do danych; wybrane rodzaje modeli trendu i ich właściwości; dopasowanie modeli do danych za pomocą narzędzi wykresów liniowych (wykresów rozrzutu) programu STATISTICA;

Bardziej szczegółowo

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 2 6 + 3 1. Oblicz 3. 3 x 1 3x 2. Rozwiąż nierówność > x. 2 3 3. Funkcja f przyporządkowuje każdej

Bardziej szczegółowo

PL 215409 B3. BORCZYK MONIKA, Bielsko-Biała, PL 22.06.2009 BUP 13/09. MONIKA BORCZYK, Bielsko-Biała, PL 31.12.2013 WUP 12/13 RZECZPOSPOLITA POLSKA

PL 215409 B3. BORCZYK MONIKA, Bielsko-Biała, PL 22.06.2009 BUP 13/09. MONIKA BORCZYK, Bielsko-Biała, PL 31.12.2013 WUP 12/13 RZECZPOSPOLITA POLSKA PL 215409 B3 RZECZPOSPOLITA POLSKA Urząd Patentowy Rzeczypospolitej Polskiej (12) OPIS PATENTOWY (19) PL (11) 215409 (21) Numer zgłoszenia: 384078 (22) Data zgłoszenia: 17.12.2007 (61) Patent dodatkowy

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia geometryczne

Podstawowe pojęcia geometryczne PLANIMETRIA Podstawowe pojęcia geometryczne Geometria (słowo to pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi) jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych

Bardziej szczegółowo

TOLERANCJE WYMIAROWE SAPA

TOLERANCJE WYMIAROWE SAPA TOLERANCJE WYMIAROWE SAPA Tolerancje wymiarowe SAPA zapewniają powtarzalność wymiarów w normalnych warunkach produkcyjnych. Obowiązują one dla wymiarów, dla których nie poczyniono innych ustaleń w trakcie

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

Techniki animacji komputerowej

Techniki animacji komputerowej Techniki animacji komputerowej 1 Animacja filmowa Pojęcie animacji pochodzi od ożywiania i ruchu. Animować oznacza dawać czemuś życie. Słowem animacja określa się czasami film animowany jako taki. Animacja

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1

Aproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1 Założenie: f(x) funkcja którą aproksymujemy X jest przestrzenią liniową Aproksymacja liniowa funkcji f(x) polega na wyznaczeniu współczynników a 0,a 1,a 2,...,a m funkcji: Gdzie: - są funkcjami bazowymi

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury STEREOMETRIA Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wskazać płaszczyzny równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny wskazać proste równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

Politechnika Śląska. Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki. Praca dyplomowa inżynierska. Wydział Mechaniczny Technologiczny

Politechnika Śląska. Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki. Praca dyplomowa inżynierska. Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechnika Śląska Wydział Mechaniczny Technologiczny Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki Praca dyplomowa inżynierska Temat pracy Symulacja komputerowa działania hamulca tarczowego

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Dowodzenie twierdzeń przy pomocy kartki. Część I

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Dowodzenie twierdzeń przy pomocy kartki. Część I MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH Dowodzenie twierdzeń przy pomocy kartki. Część I Z trójkątem, jako figurą geometryczną, uczeń spotyka się już na etapie nauczania początkowego. W czasie dalszego procesu kształcenia

Bardziej szczegółowo

Badanie przy użyciu stolika optycznego lub ławy optycznej praw odbicia i załamania światła. Wyznaczanie ogniskowej soczewki metodą Bessela.

Badanie przy użyciu stolika optycznego lub ławy optycznej praw odbicia i załamania światła. Wyznaczanie ogniskowej soczewki metodą Bessela. Badanie przy użyciu stolika optycznego lub ławy optycznej praw odbicia i załamania światła. Wyznaczanie ogniskowej soczewki metodą Bessela. I LO im. Stefana Żeromskiego w Lęborku 20 luty 2012 Stolik optyczny

Bardziej szczegółowo

Ekstrema globalne funkcji

Ekstrema globalne funkcji SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością

Bardziej szczegółowo