WSTĘP. Rozdział 2.4, informacje o geometrii powierzchni nadwoziowych zebrał i przedstawił mgr inż. Sławomir Kreft.

Transkrypt

1 WSTĘP Wspomniane w rozdziale 2.3 generowanie zapisu powierzchni bryły nadwozia na podstawie danych z redukcyjnego lub pełnowymiarowego modelu polega na zdigitalizowaniu (uzyskaniu współrzędnych x,y,z w układzie globalnym) charakterystycznych punktów zmierzonych na modelu. Można posłużyć się w tym celu kilkoma metodami: Fotogrametrycznym pomiarem modelu Skanowaniem wiązką lasera Pomiarem maszyną współrzędnościową W dużym skrócie prace strakerskie polegają na aproksymacji krzywymi przestrzennymi zmierzonych punktów lub na wygładzaniu krzywych pozyskanych poprzez automatyczne generowanie przekrojów warstwicowych z chmury punktów pomiarowych. Na tak przygotowanych krzywych, w dalszej kolejności, rozpina się powierzchnie. Warstwicowe krzywe przestrzenne w płaszczyznach YZ Rozdział 2.4, informacje o geometrii powierzchni nadwoziowych zebrał i przedstawił mgr inż. Sławomir Kreft.

2 2.4 Geometria powierzchni nadwozia Wprowadzenie Powierzchnia zewnętrznego poszycia nadwozia samochodu jest podstawowym czynnikiem decydującym o jego wyglądzie. Walory estetyczne nadwozia, jak również i jego właściwości aerodynamiczne zależą ściśle od płynności i jakości powierzchni oraz głównych linii podziałów na poszczególne elementy i ewentualnych linii przetłoczeń. W procesie projektowania i konstrukcji nadwozia tworzenie powierzchni, a następnie dokładne ich określenie wymiarowe, jest etapem niezbędnym, specyficznym dla nadwozia, a zarazem najbardziej decydującym o ostatecznym efekcie w postaci gotowego produktu. Dlatego zarówno styliści, jak i konstruktorzy muszą wykazać się znajomością zależności geometrycznych związanych z krzywymi i zasadami tworzenia powierzchni opartych na tych krzywych, jak również zasadami ich modyfikacji. Znane są dwie metody opracowywania powierzchni nadwozia: wykreślna i komputerowa. Ponieważ ta pierwsza jest już dzisiaj metodą praktycznie niestosowaną, w niniejszej pracy zostanie opisana jedynie metoda komputerowa. Tą ostatnią metodę zastosowano również w projektowaniu powierzchni nadwozia będącego tematem niniejszej pracy. Metoda komputerowa opracowywania powierzchni polega na bezpośrednim tworzeniu powierzchni w wirtualnej przestrzeni trójwymiarowej. Metoda ta opiera się na wykorzystaniu sprzętu komputerowego o dużej mocy przeliczeniowej oraz odpowiedniego oprogramowania. Do najczęściej stosowanych dzisiaj w tym celu programów należą: Alias Wavefront, ICEMSurf, Unigraphics oraz CATIA V5. Do zalet metody komputerowej należą: - skrócenie czasu kształtowania powierzchni - szybki elektroniczny zapis parametrów powierzchni w postaci cyfrowej - łatwość oceny jakości opracowywanej powierzchni - możliwość przeprowadzania oceny jakości na bieżąco - łatwość wprowadzania ewentualnych korekt lub modyfikacji - znaczne skrócenie całego cyklu tworzenia nadwozia - niewielki czas i łatwość wykonania dokumentacji technicznej na papierze (plotowanie) - możliwość wykorzystania zapisu cyfrowego do kolejnych etapów (obliczenia MES, podstawa dla programów obrabiarek sterowanych numerycznie)

3 - złożenie całego nadwozia w postaci cyfrowej można wykorzystać do różnego rodzaju badań symulacyjnych, jak np. badania aerodynamiki, bezpieczeństwa, akustyki). Rodzaje powierzchni nadwozia Najbardziej podstawowy podział powierzchni nadwozia rozróżnia cztery ich typy. Są to powierzchnie płaskie, obrotowe, prostokreślne i krzywokreślne. Powierzchnie płaskie są bardzo rzadko stosowane na elementy poszycia zewnętrznego, ze względu na nienajlepsze walory estetyczne, ale również i mechaniczne (bardzo mała sztywność i związane z tym drgania własne). Właściwości powierzchni płaskiej mogą poprawić przetłoczenia, ale z zasady unika się dzisiaj elementów płaskich poszyć, nawet w samochodach dostawczych, gdzie jeszcze niedawno stosowano takie powierzchnie. Powierzchnię płaską w systemach CAD buduje się przez utworzenie płaszczyzny, a następnie wygenerowanie krzywych na tej płaszczyźnie ograniczających szukaną powierzchnię. Rys. Powierzchnia płaska i jej wygenerowany obraz z przetłoczeniem Powierzchnie obrotowe buduje się przez obrót płaskiej krzywej wokół prostej stanowiącej oś obrotu. O kształcie powierzchni decyduje więc płaski profil. Obrót krzywej można wykonać o dowolny kąt, niekoniecznie o 360 st. Przykładem powierzchni obrotowej w nadwoziu pojazdu jest wewnętrzne poszycie nadkola tylnego koła. Rys. Powierzchnia obrotowa i reprezentacja jej obrazu Powierzchnia prostokreślna jest to powierzchnia posiadająca krzywiznę tylko w jednym kierunku. Powstaje ona przez zbudowanie powierzchni pierwszego stopnia między dwiema

4 krzywymi przestrzennymi. Stopień wielomianu opisującego powierzchnię w zadanym kierunku wynosi 1, gdy system buduje powierzchnię na podstawie równania parametrycznego prostej. Szczególnym rodzajem powierzchni prostokreślnej jest powierzchnia walcowa, która powstaje przez przesunięcie dowolnego profilu o zadany wektor. Zastosowanie powierzchni tego typu w nadwoziach jest bardzo ograniczone, czasami są stosowane w nadwoziach uniwerslanych i furgonowych na poszycia dachu i boków. Rys. Powierzchnia prostokreślna (walcowa) z siatką kontrolną i reprezentacja jej obrazu Powierzchnie krzywokreślne posiadają krzywiznę w obydwu kierunkach. Jest to typ powierzchni stosowany bardzo szeroko jako poszycia zewnętrzne nadwozi. W systemach CAD rozróżnia się trzy typy powierzchni krzywokreślnych: powierzchnie brzegowe, powierzchnie z profili przesuwanych oraz powierzchnie swobodne. Powierzchnia brzegowa to powierzchnia opisana matematycznie czterema lub rzadziej trzema krzywymi ograniczającymi. Krzywa brzegowa powinna być opisana funkcją spełniającą co najmniej warunek ciągłości C 1. Zmiana charakteru krzywej brzegowej powoduje zmianę kształtu powierzchni, przez co można ją niemal w dowolny sposób modyfikować lub dostosowywać do powierzchni sąsiadujących.

5 . Rys. Powierzchnia krzywokreślna z siatką kontrolną i reprezentacja jej obrazu Powierzchnia z profili przesuwanych ma taki sam opis matematyczny, jak powierzchnia brzegowa, wyznaczana jest jednak inaczej. W systemach CAD wyróżnia się kilka metod tworzenia tego rodzaju powierzchni. Profil może być przesuwany i skalowany wzdłuż krzywych prowadzących, bądź mogą istnieć dwa profile początkowy i końcowy od których zależy kształt powierzchni. Są również przypadki, w których profil bazuje tylko na jednej krzywej prowadzącej. Powierzchnia swobodna jest to powierzchnia krzywokreślna skonstruowana na podstawie zadanego zbioru punktów bądź krzywych generacyjnych. Powierzchnia typu Beziera lub NURBS budowana jest automatycznie przez system za pomocą wewnętrznego narzędzia matematycznego, aproksymującego dane wejściowe. W wyniku tego powierzchnia ta prawie zawsze posiada jakąś odchyłkę w stosunku do danych wejściowych. Jak łatwo zauważyć, im większy stopień wielomianów opisujących powierzchnię, tym odchyłka będzie mniejsza. Należy jednak pamiętać, że zwiększanie stopnia powoduje spadek jakości powierzchni i może ona wtedy posiadać znaczne błędy geometryczne. Powierzchnie swobodne stosuje się zwykle do opisu powierzchni zewnętrznych nadwozia, ponieważ oddają one w możliwie najbliższy sposób kształt architektoniczny nadwozia. Takie powierzchnie mają szerokie zastosowanie np. podczas digitalizacji modelu rzeczywistego w celu utworzenia modelu wirtualnego.

6 Podstawy modelowania krzywych i powierzchni Wstęp Reprezentacje figur (krzywych i powierzchni) geometrycznych stosowane w projektowaniu przy zastosowaniu technik komputerowych powinny wykazywać się następującymi własnościami: powinny być wygodne dla projektanta, tak aby dzięki nabytemu doświadczeniu oraz wyczuciu mógł on w sposób łatwy i wygodny tworzyć, jak również i modyfikować projekty; powinny umożliwiać łatwą realizację algorytmów przetwarzania, co pozwala obniżyć koszty wprowadzania systemów modelowania; powinny istnieć stosunkowo szybkie algorytmy reprezentacji (rendering) obrazów danych figur, co ma zasadniczy wpływ na wygodę oraz efektywność pracy projektanta; powinny umożliwiać weryfikację założeń projektowych (np. tolerancje kształtu); powinny umożliwiać badanie utworzonego modelu komputerowego jeszcze przed wykonaniem prototypu (np. obliczenie pola powierzchni lub masy) Stosowaną obecnie metodą określania krzywych i powierzchni, spełniającą w wystarczający sposób powyższe założenia, jest metoda oparta o opis parametryczny. Polega ona na wprowadzeniu pewnego odwzorowania, które punktom dziedziny (zbiór parametrów) przyporządkowuje punkty w przestrzeni. Krzywe Béziera Dzisiaj większość zaawansowanych programów wykorzystywanych przy projektowaniu nie tylko nadwozi, ale również i innych form przestrzennych, opiera się na opisie parametrycznym krzywych opracowanym przez Pierre a Béziera. Od jego nazwiska pochodzi też nazwa tych krzywych. Należy w tym miejscu podkreślić, że Pierre Bézier opracował specyficzną tę postać wielomianu opisującego krzywe właśnie dla potrzeb projektowania nadwozi, w firmie Renault. Jedną z definicji krzywej Béziera jest określenie jej jako krzywej p, której każdy punkt p(t) można skonstruować według algorytmu de Casteljau, który opisany jest poniżej. Algorytm de Casteljau. Wybierzmy dowolny ciąg n+1 punktów p 0,...,p n. Rozważmy łamaną, której kolejnymi wierzchołkami są te punkty. Dokonamy podziału wszystkich n odcinków tej łamanej w pewnej ustalonej proporcji t : 1-t. Otrzymujemy n punktów, które

7 tworzą wierzchołki kolejnej łamanej, złożonej z n-1 odcinków. Proces ten powtarzamy aż do chwili, gdy otrzymamy jeden punkt. Rys. Schemat algorytmu de Casteljau Zmieniając parametr liczbowy t otrzymamy zbiór punktów, które wyznaczą nam krzywą. Jest to krzywa Béziera. Punkty zadane na początku nazywane są punktami kontrolnymi, a wyjściowa łamana to łamana kontrolna krzywej Béziera. Wielomiany Bernsteina. Reprezentacja Béziera krzywych wielomianowych opiera się na pewnych funkcjach bazowych. Okazuje się, że funkcjami tymi są wielomiany Bernsteina, ponieważ punkty kontrolne krzywej Béziera są współczynnikami krzywej w bazie wielomianów Bernsteina, tj.: n n p( t) = p B ( t) ; Wielomiany Bernsteina stopnia n są zdefiniowane wzorem: B t n t i i= 0 t n i n i i ( ) = (1 ) dla i = 0,..., n i i Rys. Wykresy wielomianów Bernsteina Wielomiany Bernsteina są liniowo niezależne i jest ich n+1, stanowią więc bazę przestrzeni wielomianów stopnia nie większego niż n. Dodatkowo przyjmuje się umowę B n i ( t) = 0 dla i < 0 lub i > n Wielomiany te spełniają również zależność:

8 B n i ( t) = (1 t) B n 1 i ( t) + tb Ponieważ wielomiany Bernsteina są podstawą reprezentacji Béziera krzywych wielomianowych, poznanie własności tych funkcji umożliwia zbadanie własności reprezentacji. Rozkład jedynki: Dodatniość: n i= 0 B n i ( t) = 1 n t [ 0,1] B ( t) 0 i Rozkład jedynki oraz dodatniość wielomianów Bernsteina są warunkami koniecznymi i dostatecznymi własności otoczki wypukłej krzywych Béziera (oznacza to, że wszystkie łamane tworzone przez obcinanie narożników i krzywa graniczna, która powstaje w wyniku tego, zawierają się zawsze w otoczce wypukłej wierzchołków łamanej wyjściowej). Symetria: B n i n ( t) B (1 t) = n i Oznacza to, że jeśli łamana kontrolna jest symetryczna względem pewnego punktu, to krzywa Béziera również wykazuje tę symetrię. własności. Pochodna: d dt B n i ( t) = n( B n i n 1 i 1 ( t) 1 n 1 1 ( t) Bi ( t)) Powyższy wzór stosuje się do znalezienia pochodnych krzywych Béziera i zbadania ich Podwyższanie i obniżanie stopnia Podwyższenie stopnia krzywej Béziera jest procesem zwiększania liczby punktów kontrolnych. Możliwe jest podwyższenie stopnia krzywej Béziera bez zmiany jej charakteru, gdyż proces ten jest niczym innym tylko obcinaniem narożników łamanej kontrolnej, a można udowodnić, że krzywą Béziera można otrzymać przez obcinanie narożników łamanej kontrolnej przeprowadzone dostatecznie wiele razy. Oznacza to, że istnieje nieskończenie wiele reprezentacji Béziera dowolnej krzywej wielomianowej. Względy praktyczne skłaniają jednak do stosowania w projektowaniu reprezentacji o najniższym stopniu, który umożliwia osiągnięcie założonych celów.

9 Rys. Podwyższanie stopnia krzywej Béziera oraz schemat ogólny obcinania narożników Podwyższanie stopnia krzywej Béziera stosuje się między innymi w celu: - uzyskania większej swobody kształtowania krzywej - uzgodnienia reprezentacji krzywych (m. in. łączenie dwóch krzywych i związane z tym zrównanie stopni) Operacja przeciwna do podwyższania stopnia, a więc obniżanie stopnia krzywej Béziera, może być prowadzona tylko do określonego momentu (w zależności od rzeczywistego opisu parametrycznego krzywej). Dalsze obniżanie odbywa się już na zasadzie aproksymacji, a więc znalezieniu krzywej w jak najmniejszym stopniu odbiegającej od zadanej. Pochodne krzywej Béziera i łączenie krzywych Pochodna krzywej Béziera stopnia n może być przedstawiona jako krzywa Béziera stopnia n-1, której punktami kontrolnymi są wektory n p i, i=0,...,n-1. Rys. Pochodna krzywej Béziera w punkcie t Z powyższego rysunku wynika, że aby wektor pochodnej w połączeniu odpowiednich krzywych Béziera był ciągły, krzywe łamane muszą być połączone w taki sposób, że przedostatni punkt kontrolny pierwszej krzywej, wspólny punkt brzegowy krzywych (n-ty dla pierwszej i zerowy dla drugiej krzywej) oraz pierwszy punkt kontrolny drugiej krzywej, powinny leżeć na jednej prostej. Jest to zilustrowane na poniższym rysunku.

10 Rys. Łączenie krzywych Béziera w sposób zapewniający ciągłość C 1 Pochodna k-tego rzędu w punkcie brzegowym zależy tylko od punktów p 0,...,p k. Inaczej mówiąc wektory pochodnych do rzędu k w punkcie początkowym i końcowym, są określone przez k+1 pierwszych albo ostatnich punktów kontrolnych. Warunki ciągłości pochodnych rzędu 1,...,k krzywej złożonej z dwóch połączonych krzywych Béziera stopnia n>k, a więc połączonych z ciągłością C k, można otrzymać z podziału krzywej przez wyżej opisany algorytm de Casteljau. W najprostszy sposób można to opisać następująco: jeśli dwie krzywe q i r są połączone z ciągłością C k, to punkty pośrednie w algorytmie de Casteljau, stanowiące dane dla ostatnich k+1 iteracji, powinny być identyczne niezależnie od tego, czy odtwarzamy je na podstawie łamanej krzywej q czy r. Rys. Połączenie krzywych z ciągłością C 2 Rys. Połączenie krzywych z ciągłością C 3 Powyższe rysunki świadczą o tym, że wymieniany i stosowany przez niektórych specjalistów warunek leżenia na jednej prostej odpowiednio k+1 pierwszych i k+1 ostatnich punktów kontrolnych w połączeniu dwóch krzywych z ciągłością C k, nie jest warunkiem

11 koniecznym, a jedynie łatwym do graficznej realizacji. Jednak współczesne programy umożliwiają już automatyczne łączenie krzywych i powierzchni z ciągłością C 2, więc nie zachodzi już potrzeba ręcznego manipulowania punkami kontrolnymi. Poniżej przedstawiony jest efekt działania automatycznej opcji programu Catia V5R10 umożliwiającej łączenie krzywych z zadaną ciągłością. Wygenerowano dwie krzywe Béziera stopnia trzeciego, które początkowo spełniały tylko warunek ciągłości C 0, a więc jedynie stykały się ze sobą końcami. Wbudowaną funkcją Catii połączono krzywe z ciągłością C 1, a więc nadano krzywym styczność i obserwowano zachowanie się punktów kontrolnych. Punkty kontrolne zostały przesunięte zgodnie z teorią podaną wyżej. Nadanie ciągłości krzywizny C 2 również zmieniło położenie punktów kontrolnych według powyższych teorii jedynie trzy punkty kontrolne leżą na wspólnej prostej. Rys. Połączenie krzywych z ciągłością C 0 wygenerowane w programie Catia Rys. Połączenie krzywych z ciągłością C 1 wykonane przez wbudowaną opcję programu Catia V5 Rys. Połączenie krzywych z ciągłością C 2 wykonane przez wbudowaną opcję programu Catia V5

12 Płaty powierzchni Béziera Płat powierzchni jest odwzorowaniem obszaru dwuwymiarowego w przestrzeni i do jego określenia potrzebne są funkcje dwóch zmiennych. Jedną z metod określenia przestrzeni funkcji dwóch zmiennych jest zastosowanie iloczynu tensorowego. Iloczyn tensorowy przestrzeni V 1 i V 2 funkcji jednej zmiennej (np. wielomianów) jest przestrzenią liniową rozpiętą przez iloczyny funkcji f(u)g(v), gdzie f V1, g. Jeżeli zbiory funkcji {f0,...,f n } i {g 0,...,g m } stanowią bazy przestrzeni V 1 i V 2, to V 2 zbiór funkcji {f i (u)g j (v): i=0,...,n, j=0,...,m} jest bazą tensorową przestrzeni V. Rys. Płat powierzchni Béziera z siatką kontrolną Prostokątne płaty powierzchni Béziera stopnia (n,m), są określone wzorem: p( u, v) = n m i= 0 j= 0 p ij B n i ( u) B Aby określić płat stopnia (n,m), należy więc podać (n+1)(m+1) punktów kontrolnych p ij. Zbiór odcinków łączących punkty kontrolne nazywamy siatką kontrolną płata. W siatce kontrolnej wyróżnia się wiersze i kolumny. Sposób określenia płata Béziera umożliwia zastosowanie do niego wszystkich twierdzeń i algorytmów związanych z krzywymi Béziera. Łatwo zauważyć, że skrajne wiersze i kolumny siatki kontrolnej opisują krzywe brzegowe płata. Wyznaczanie punktów płata można przeprowadzić uogólnionym algorytmem de Casteljau przez wyznaczanie punktów na krzywych. Podwyższenie stopnia płata ze względu na jedną ze zmiennych polega na podwyższeniu stopnia odpowiednio wszystkich wierszy lub kolumn w siatce kontrolnej płata. m j ( v) Łączenie płatów Béziera

13 Metoda łączenia płatów powierzchni w celu osiągnięcia ciągłości zadanego rzędu jest bezpośrednim uogólnieniem opisanej wyżej metody łączenia krzywych Béziera. Wiersze i kolumny siatek kontrolnych łączy się podobnie jak łamane krzywych. Utożsamienie łamanych krzywych brzegowych tworzy ciągłość C 0. Narzucenie warunku powstania podziału z większego płata (algorytm de Casteljau z dwóch kierunków) na każdą kolumnę lub wiersz równoległy podwyższa rząd ciągłości połączenia o 1. Rys. Połączenia płatów Béziera z zachowaniem ciągłości C 1 i C 2 Krzywe B-sklejane Opisane wcześniej krzywe i płaty powierzchni Béziera obok licznych zalet mają również poważne wady z punktu widzenia praktycznych zastosowań. Po pierwsze niemożliwe jest wprowadzanie lokalnych zmian, gdyż przesunięcie punktu kontrolnego powoduje zmianę kształtu całej krzywej bądź całego płata. Może to się okazać niewygodne lub nawet niepożądane w przypadku, jeśli pewne fragmenty projektowanego przedmiotu są już ukształtowane oraz dopracowane, i działając w innym miejscu nie chcemy tego popsuć. Po drugie w przypadku modelowania skomplikowanych kształtów konieczne jest korzystanie z krzywych lub płatów wysokiego stopnia. Manipulowanie punktami kontrolnymi staje się wtedy niewygodne dlatego, że dla modyfikacji krzywej należy przesuwać punkty kontrolne na duże odległości, a krzywa coraz bardziej odbiega od charakteru krzywej

14 łamanej. Ponadto obliczenia dla krzywych Béziera wysokiego stopnia są drogie i kłopotliwe w realizacji komputerowej. Rys. Porównanie krzywej Béziera stopnia 7 (a) z kubiczną krzywą B-sklejaną (b) Powyższych wad nie posiadają krzywe składające się z wielu łuków wielomianowych stosunkowo niskiego stopnia, zwane krzywymi sklejanymi lub potocznie splajnami. Krzywe takie pozwalają na modyfikację tylko pewnych ich fragmentów, bez zmiany pozostałych. Jednocześnie dają możliwość modelowania bardzo skomplikowanych kształtów poprzez dobranie odpowiedniej w zależności do potrzeb liczby łuków. Można konstruować krzywe interpolacyjne o kształcie zgodnym z intuicyjnymi oczekiwaniami. W praktyce stosuje się krzywe sklejane z łuków wielomianowych trzeciego stopnia (tzw. kubiczne) z poniższych powodów: stopień 2 jest zbyt mały, ponieważ krzywe drugiego stopnia są krzywymi płaskimi, a krzywa przestrzenna zbudowana na ich podstawie jest kawałkami płaska, co ze względu na estetykę eliminuje praktyczne zastosowanie takich krzywych; stopień 3 jest minimalnym, dla którego można osiągnąć ciągłość pochodnej drugiego rzędu (ciągłość krzywizny) w punkcie wspólnym dwóch łuków opisanych różnymi wielomianami; kubiczne interpolacyjne krzywe sklejane, w odróżnieniu od krzywych wielomianowych wysokiego stopnia, między danymi punktami mają bardzo dobry przebieg i zachowanie; Konstrukcja kubicznych krzywych B-sklejanych opiera się na warunku ciągłości C 2 połączeń krzywych Béziera. Schemat przedstawiony jest na rysunku.

15 Rys. Połączenie dwóch kubicznych krzywych Béziera z zachowaniem warunku ciągłości C 2 Wychodzimy od łamanej o wierzchołkach q 0,q 1,d,r 2,r 3. Punkty q 1, d i r 2 możemy uznać za wierzchołki łamanej kontrolnej krzywej stopnia drugiego i wykonać algorytm de Casteljau, dzieląc jej odcinki w zadanej proporcji. W wyniku powstają punkty q 2, q 3 =r 0 i r 1, spełniające równania ciągłości. Otrzymujemy parę gładko połączonych krzywych Béziera trzeciego stopnia. Powyższą procedurę można uogólnić do konstrukcji dowolnej liczby m gładko połączonych krzywych Béziera. Wymierne krzywe B-sklejane (krzywe NURBS) Nazwa NURBS, używana do określania wymiernych krzywych B-sklejanych, jest skrótem angielskiej nazwy tych krzywych non-uniform rational B-spline. Określenie nonuniform oznacza nierównomierne i odnosi się do ciągu węzłów zastosowanych do określenie funkcji bazowych; węzły te nie muszą być równoodległe. Wymierna krzywa B-sklejana określona jest wzorem: s N n 1 i = i= 0 ( t) N n 1 i= 0 w d i i w N gdzie d i oznaczają punkty kontrolne, a w i współczynniki wagowe lub po prostu wagi. Funkcje bazowe n N i N n i n i ( t) ( t) są określone dla pewnego ciągu węzłów. Dziedziną krzywej jest odcinek [un, u N-n ]. Kształtowanie krzywej wymiernej B-sklejanej polega na rozmieszczaniu lub przesuwaniu punktów kontrolnych i dobieraniu wag poszczególnych punktów. Można też manipulować węzłami użytymi do określenia funkcji bazowych.

16 Rys. Działanie wag wymiernej krzywej B-sklejanej Można wykazać następujące własności krzywych NURBS: - jeśli wszystkie wagi są równe pewnej stałej różnej od 0, to krzywa wymierna jest identyczna z krzywą wielomianową; - zmiana wszystkich wag polegająca na przenożeniu ich przez pewną stałą różną od 0, nie powoduje żadnych zmian geometrycznych krzywej; - relacja między punktami kontrolnymi a wymierną krzywą B-sklejaną jest niezmiennicza afinicznie, co oznacza, że obraz punktów kontrolnych w przekształceniu afinicznym określa obraz krzywej w tym przekształceniu; - kontrola kształtu za pomocą punktów kontrolnych jest ściśle lokalna, podobnie jak efekt zmiany wagi jest ograniczony tylko do fragmentu krzywej; Rys. Lokalna kontrola kształtu krzywej B-sklejanej W wielu programach komputerowych, mimo że istnieje możliwość tworzenia krzywych NURBS, zastrzeżona jest zmiana wag (wagi wszystkich punktów są określone na poziomie 1). Wobec tego w rzeczywistości krzywe te są krzywymi wielomianowymi, a nie wymiernymi.

17 Powierzchnie B-sklejane Płaty powierzchni B-sklejanych są określane w podobny sposób jak płaty prostokątne powierzchni Béziera. Mając dane dwie przestrzenie liniowe funkcji sklejanych, stopni n i m, opartych na ciągach węzłów odpowiednio u 0,...,u N i v 0,...,v N, można określić ich iloczyn tensorowy. Płat powierzchni B-sklejanej stopnia (n,m) jest opisany wzorem: s ( u, v) = N n 1 M m 1 i= 0 j= 0 d ij N n i ( u) N Reprezentacja płata składa się z liczb n i m określających stopień płata, dwóch ciągów węzłów oraz (N-n)(M-m) punktów kontrolnych d ij. Punkty kontrolne płata tworzą siatkę, w której wyróżnia się wiersze i kolumny. m j ( v) Rys. Płat powierzchni B-sklejanej z siatką kontrolną W przypadku powierzchni NURBS, a więc wymiernych płatów powierzchni B- sklejanej, oprócz węzłów i punktów kontrolnych, trzeba podać współczynniki wagi po jednym dla każdego punktu kontrolnego. Metody oceny powierzchni Zasadnicze znaczenie podczas modelowania, jak również i po zakończeniu projektu, ma możliwość dokonania oceny kształtu otrzymanej krzywej lub powierzchni. Ocena ta jest podstawą do zaakceptowania badanej powierzchni lub konieczności wprowadzania poprawek. Najprostsza metoda poprzez przedstawienie realnego obrazu z użyciem ustalonego oświetlenia, symulująca określone własności optyczne powierzchni, często jest metodą niewystarczającą.

18 Ocena kształtu powierzchni obejmuje trzy podstawowe elementy: rozkład krzywizny na powierzchni, obecność nieciągłości płaszczyzny stycznej lub krzywizny na połączeniach płatów oraz utrzymanie tolerancji odtworzenia teoretycznego kształtu (ten ostatni stosowany jest przeważnie w przypadku mechanizmów, więc w niniejszej pracy nie będzie opisywany). Obrazowanie kształtu powierzchni można dokonać dwoma podstawowymi sposobami. Pierwszy polega na określeniu funkcji kształtu na powierzchni i przedstawieniu tej funkcji za pomocą kolorów. Jeśli odwzorowanie wartości funkcji na kolory (paleta) jest ciągłe, to otrzymany obraz uwidacznia nieciągłość funkcji kształtu. W przypadku gdy paleta jest nieciągła, otrzymany obraz uwidacznia warstwice tej funkcji. Drugi sposób wizualizacji opiera się na narysowaniu tzw. krzywych charakterystycznych leżących na powierzchni. Krzywymi tymi mogą być warstwice, linie najszybszego spadku itp. Właściwie dobrane narzędzie wizualizacji uwypukla w obrazie negatywne i niepożądane cechy kształtu badanej powierzchni. Jednak interpretacja takich obrazów bywa trudna i wymaga od projektanta dużego doświadczenia i wprawy, aby podjąć właściwą decyzję o modyfikacji powierzchni tak, aby jej skutek był zadawalający. Poniżej opisane są pokrótce podstawowe metody oceny powierzchni stosowane w praktyce. Metoda oświetlania powierzchni Metoda oceny powierzchni przez oświetlanie (ang. shading lub rendering) polega na zastosowaniu punktowego źródła światła skierowanego na sprawdzaną powierzchnię. Funkcja kształtu w tym przypadku przypisuje punktom powierzchni różne odcienie danej barwy w taki sposób, że najjaśniejszy odcień mają punkty, których wektor normalny tworzy z kierunkiem linii światła kąt zbliżony do zera. Im większy jest ten kąt, tym ciemniejsza barwa jest przypisywana przez funkcję kształtu. Obserwacja oświetlonej w ten sposób powierzchni, z jednoczesnym jej wolnym obrotem, pozwala ocenić zmiany odcieni barw. Charakter tych zmian wskazuje na jakość powierzchni pod względem płynności, w szczególności pozwala wykryć nieciągłości styczności i krzywizny. Rys. Ocena powierzchni przez oświetlenie (shading)

19 Metoda izofot Pewnego rodzaju rozwinięciem pierwszej metody jest przedstawienie na powierzchni tzw. izofot. Izofoty są to warstwice intensywności odbitego światła (warstwice funkcji kształtu). Takie warstwice dają użyteczną informację o kształcie powierzchni także na jej nieoświetlonych częściach. Uwidaczniają one w sposób zdecydowanie bardziej wyraźny nieciągłości krzywizny na połączeniach płatów. Na wspomnianą nieciągłość wskazują nieciągłości kierunku stycznej do izofot. Rys. Rozkład izofot na powierzchni błotnika Metoda krzywych konturowych (sylwetkowych) Krzywe konturowe są to krzywe leżące na badanej powierzchni, stanowiące granicę między jej częścią widoczną i niewidoczną z określonego kierunku patrzenia. Są one szczególnym rodzajem izofot. Tworząc linie konturowe na powierzchni nie tylko z zadanego kierunku patrzenia, ale również pod zadanymi kątami od tego kierunku (np. co kilka stopni), otrzymuje się rodzinę krzywych, a wzajemne relacje pomiędzy nimi pozwalają wykryć nawet najmniejsze zaburzenia kształtu powierzchni. Metoda krzywych przekrojowych Gęsta siatka przekrojów danej powierzchni równoodległymi i równoległymi płaszczyznami pozwala również ocenić jakość powierzchni, choć jest ona mniej dokładna niż metoda poprzednia. Tu również ocenia się relacje pomiędzy krzywymi przekrojowymi. Czasami wykorzystuje się płaszczyzny nierównoległe, np. mogą być to płaszczyzny normalne do zadanej krzywej (przy badaniu uwypuklenia przy łuku błotnika tworzy się pęk płaszczyzn, których wspólną częścią jest oś koła). Rys. Krzywe przekrojowe wykonane na podstawie równoległych płaszczyzn

20 Metoda linii odblasku Linia odblasku to obraz powstający przez odbicie zwierciadlane na powierzchni określonej linii w przestrzeni. Linie odblasku mogą być zależne od obserwatora lub niezależne. Linie odblasku niezależne od obserwatora są rzutem zadanej linii na powierzchnię o kierunku normalnym do danej powierzchni. Podobnie jak izofoty, linie odblasku lepiej niż krzywe przekrojowe uwidaczniają nieciągłości kształtu. Załamanie takiej linii świadczy o nieciągłości krzywizny powierzchni. Rys. Rozkład linii odblasku na przykładowej powierzchni Powierzchnie klasy A nadwozi samochodów Do budowania powierzchni zewnętrznych nadwozia samochodu wymagane jest stosowane wyłącznie powierzchni o najwyższej klasie jakości, tzw. powierzchni klasy A. Poszycie zewnętrzne samochodu stanowi jedną z form kształtujących otaczające nas środowisko, a więc musi być estetyczne. Powszechnie stosowana zasada mówi, że wszystkie powierzchnie widoczne w samochodzie powinny być klasy A. Jednak tak wysoka jakość powierzchni nie jest konieczna w przypadku wnętrza pojazdu, gdzie końcowy wyrób przyjmuje postać powierzchni matowego tworzywa sztucznego. Inaczej sytuacja wygląda na powierzchniach poszycia zewnętrznego, które dodatkowo lakierowane jest wysoko połyskującym lakierem. Refleksy świetlne powodują, że nawet niewielka wada powierzchni jest widoczna gołym okiem i z pewnością nie wygląda estetycznie. Wymagania stawiane powierzchniom klasy A Pojęcie powierzchni klasy A jest ściśle związane z powstaniem komputerowych technik generowania powierzchni nadwozia, w związku z tym wymagania stawiane tym powierzchniom odnoszą się bezpośrednio do technik ich tworzenia w systemach CAD. Do

21 kryteriów, jakie musi spełniać powierzchnia, aby móc być uważaną za powierzchnię klasy A, należą: brak segmentacji płatów (jeden płat jeden segment) jednosegmentowe płaty jest znacznie łatwiej kontrolować i modyfikować; jak najniższa liczba punktów kontrolnych - płaty nie powinny przekraczać liczby punktów kontrolnych 6x6; taki rząd płata pozwala na uzyskanie ciągłości krzywizny z obu stron, tzn. pomiędzy dwoma innymi płatami; siatkowa struktura rozkładu punktów kontrolnych rozkład punktów kontrolnych powierzchni jest ściśle związany z przebiegiem krzywizny na płacie, a więc im bardziej regularny jest rozkład, tym bardziej gładka i ciągła jest krzywizna; harmonijny rozkład punktów kontrolnych pozycja punktów kontrolnych powinna być opisana przez funkcję wypukłą lub wklęsłą; odnosi się to do obydwu kierunków, tzn. do wierszy i kolumn siatki kontrolnej; gładki przebieg krzywizny rozkład krzywizny wzdłuż powierzchni powinien być tak gładki, jak to tylko możliwe; Rys. Prawidłowy rozkład siatki kontrolnej płata powierzchni maski W połączeniach płatów nie wynikających w połączeń technologicznych bądź zadanych zmian powierzchni, wymagane jest zachowanie ciągłości co najmniej C 2, a więc zachowanie ciągłości krzywizny. Krzywizna powinna mieć gładki przebieg wzdłuż całego danego elementu i gwałtowne jej zmiany, jeśli nie są zaprojektowane przez stylistę, nie mogą mieć miejsca. Izofoty nadwozia nie powinny mieć nagłych i niezamierzonych zafalowań i powinny mieć tak gładki przebieg, jak to tylko możliwe. Linie refleksów powinny być odzwierciedleniem refleksów na nadwoziu z rysunków perspektywicznych wykonanych przez stylistę (szkiców i rysunków renderingowych).