KONSTRUKCJA I WYPOSAŻENIE MOSTÓW

Transkrypt

1 III OGÓLNOPOLSKA KONFERENCJA MOSTOWCÓW - WISŁA 1997 KONSTRUKCJA I WYPOSAŻENIE MOSTÓW Piotr Bętkowski, Politechnika Śląska MATEMATYCZNE UJĘCIE ROZBIEŻNOŚCI ZDAŃ W BUDOWNICTWIE W PROCESIE PODEJMOWANIA DECYZJI PRZY WYBORZE OPTYMALNEGO ROZWIĄZANIA W referacie przedstawiono nową metodę dotyczącą wyboru optymalnego rozwiązania w takich sytuacjach, gdy na końcową decyzję wpływa wiele różnych i często przeciwstawnych czynników. Każdy z czynników oceniany jest oddzielnie i przypisywana jest mu odpowiednia waga, czyli jego udział w końcowej decyzji. W referacie pokazano sposób, który pozwala na ujęcie rozbieżności zdań co do oceny poszczególnych czynników i wielkości ich wag. Wszystkie opinie mają udział w końcowej decyzji. Proponowana metoda używa prostych rozmytych operacji arytmetycznych na liczbach rozmytych. Pokazano prosty sposób porównywania trójkątnych i trapezowych liczb rozmytych. Zaproponowana metoda nie używa skomplikowanego systemu wag opartych na entropii lub probabilistycznych funkcji gęstości, jest szybka i łatwa w zastosowaniu. Przykład obliczeniowy ilustruje metodę. MATHEMATICAL WAY GRASPS DIFFERENCES OF OPINIONS IN BUILDING IN THE PROCESS OF DECISION MAKING IN THE SELECTION OF THE OPTIMUM SOLUTION In this paper, I present a new method to deal with the selection of the optimum solution in such situations when many different and often contradictory attributes influence the final decision. Each of factors is estimated separately and a satisfactory weight is ascribed to it, it is its participation in the final decision. This report shows the way which permits to grasp differences of opinions in estimation particular factors and the sizes of they weights. It means that all of the opinions take part in the final decision. The proposed method uses simplified fuzzy arithmetic operations of fuzzy numbers. The easy way of comparing triangular and trapezoidal fuzzy numbers is shown. The proposed method doesn t use the complicated system of entropy weights and probability density functions, its execution is fast and easy. The ical example illustrates the method. 1.Wprowadzenie Z procesem podejmowania decyzji przy wyborze optymalnego rozwiązania wiele osób spotyka się na co dzień. Przykładem mogą tu być: procedury przetargowe stosowane powszechnie zgodnie z obowiązującymi przepisami; wybór wykonawcy robót przez inwestora; wybór jednego z wariantów wstępnych jako wariantu wiodącego do szczegółowych obliczeń; poszczególnych wariantów przy robotach ziemnych czy drogowych w zależności od rodzaju zastosowanego sprzętu. Przykładów na ten temat można znaleźć o wiele więcej. STR. 29

2 W budownictwie o podjęciu decyzji decyduje wiele często sprzecznych ze sobą czynników, np.: niskie koszty wykonania obiektu, krótki czas jego realizacji, wysoka estetyka i jakość wykonania, niskie koszty eksploatacji. Każdy z tych czynników może być głosowany niezależnie i mieć różny udział w końcowej ocenie. Nie zawsze członkowie komisji podejmują swoje decyzje jednomyślnie. Również pojedyncza osoba może się wahać. co do słuszności podjętej decyzji. Klasyczne metody podejmowania decyzji nie zawsze dobrze sobie radzą z opisem różnego rodzaju niepewności i niejasności. Zakładane daleko idące uproszczenia prowadzą często do wypatrzenia wyniku, a ważne aspekty sprawy pojawiające się jedynie lokalnie są odrzucane. W procesie podejmowania decyzji prowadzi to do zawężania liczby osób i opinii mających wpływ na końcowy wybór. Odosobnione opinie czy zdania niektórych fachowców niepodzielane przez ogół mogą zostać pominięte. Dzieje się tak zwłaszcza w tych sytuacjach, gdzie występuje duża rozbieżność zdań. Wyraźnie widać tu konieczność poszukiwania skutecznych metod analizy zróżnicowanych czynników. Naukę zajmującą się tego typu problemami nazywa są polioptymalizacją. Polioptymalizacja jest to nauka zajmująca się dopasowaniem produktu do wiele często sprzecznych ze sobą kryteriów w możliwie maksymalnym stopniu. Zwykłą optymalizację przeprowadzić łatwo, bo decyduje tylko jedno kryterium, np. koszty wykonania. W polioptymalizacji przy operowaniu na wielu sprzecznych celach, np.: koszty wykonania i niezawodność, polepszenie cech produktu pod kątem jednego kryterium prowadzi do pogorszenia się jego oceny wg innych kryteriów. Należy tu poszukiwać proporcji optymalnych tak, aby żadne z kryteriów nie pozostało niespełnione. W tym celu ustala się system wag, czyli udziałów poszczególnych kryteriów w końcowej decyzji. Takie postępowanie zabezpiecza przed przyjęciem nieprzemyślanych kompromisów lub przeoczeniem niektórych ważnych aspektów, bez których może zostać pominięte optimum. 2. Metody wyboru optymalnego rozwiązania Uniwersalne i poprawne metody wyboru optymalnego rozwiązania muszą uwzględniać niejednorodności wynikające z rozbieżności zdań co do oceny produktu wg poszczególnych kryteriów i wielkości ich udziałów w ostatecznej decyzji. Oceny, uwagi i wnioski są przy takim podejściu rozmyte, co nie oznacza, że są nieprecyzyjne. Metody tego typu można pogrupować w zależności od rodzaju zastosowanego aparatu matematycznego. Metody w których obserwuje się wpływ czynników przypadkowych na końcowy wynik oparte są na entropii wag, wyznaczaniu: średniej wartości oczekiwanej i odchylenia standardowego, czyli wariancji. Są to sposoby znane ze statystyki [6]. Inna metoda to budowa zbioru możliwych kompromisów. Takie podejście ma charakter analityczny. Kompromisy mogą być liniowe lub nieliniowe. Poszukuje się w zbiorze kompromisów tzw. kompromisu optymalnego. Dla kompromisów liniowych buduje się funkcje ciągłe i ustala metody poszukiwania ekstremum. Optymalny kompromis musi pokrywać się z ekstremum funkcji. Metody poszukiwania kompromisów nieliniowych są znacznie bardziej skomplikowane pod kątem złożoności sposobów wnioskowania w fazie wstępnej i potrzebnego do rozwiązania zagadnienia aparatu matematycznego. Złożoność problemów obliczeniowych i skomplikowane sposoby formułowania założeń wstępnych utrudniają powszechne zastosowanie w praktyce. Obecnie metody oparte o powyższe kryteria najczęściej można spotkać przy projektowaniu przemysłowych układów sterowania [6]. Kolejną grupę stanowią metody w których zagadnienia niejasności i niejednorodności ocen opisuje się przy użyciu teorii zbiorów rozmytych [3,4,7]. Teoria zbiorów rozmytych i oparta na niej koncepcja liczb rozmytych została sformułowana w 1965r. przez L.A.Zadeh a. Od tego czasu, a zwłaszcza w ostatnich lat zaobserwować można gwałtowny rozwój teorii i liczne przykłady jej zastosowań w praktyce. Metody tej grupy posługują się liczbami i wagami uwzględniającymi nieprecyzyjność za pomocą liczb rozmytych. Stopień złożoności operacji matematycznych zależy od przyjętego modelu obliczeniowego, sposobu reprezentacji liczb rozmytych i metody ich porównywania [1,2,5,8]. STR. 30

3 3. Liczby rozmyte 3.1. Liczby rozmyte i arytmetyka Liczba może mieć dowolny kształt. Jej reprezentacją nie jest konkretna wartość, ale zbiór wartości. Liczba taka przypomina zbiór liczb znany z algebry Boole a. W przeciwieństwie operacji na zbiorach dla liczb rozmytych zostały podane podstawowe operacje arytmetyczne często nazywane arytmetyką rozmytą. Proponowana metoda wyboru optymalnego rozwiązania opiera się na liczbach rozmytych trójkątnych i trapezowych - rys.1. Rys.1. Liczby rozmyte: A) - liczba trapezowa, B) - liczba trójkątna. Liczba w postaci trapezowej może być scharakteryzowana przez funkcję dystrybucji f (x) i opisana jako uporządkowana czwórka (a,b,c,d), gdzie: a b c d. 0, x a, x a, b a a x b, f ( x) 1, b x c, d x, d c c x d, 0, x d. Liczba w postaci trójkątnej może być scharakteryzowana przez funkcję dystrybucji f (x) i opisana jako uporządkowana trójka (a,b,c), gdzie: a b c. 0, x a, x a, b a a x b, f ( x) c x, c b b x c, 0, x c. Na tak opisanych liczbach rozmytych można wykonywać operacje arytmetyczne. Operacje te są proste ze względy na prostą trój- lub czteroparametryczą postać liczby. W proponowanej w referacie metodzie wykorzystano operacje dodawania i mnożenia liczby rozmytej przez liczbą rozmytą, czyli sumą rozmytą i iloczyn rozmyty. Sumą rozmytą i iloczyn rozmyty dla liczb trapezowych dodatnich opisują wzory: ~ n = (a1,b 1,c 1,d 1 ); ~ m = (a2,b 2,c 2,d 2 ); ~ n, ~ m 0, tzn. a 1,b 1,c 1,d 1,a 2,b 2,c 2,d 2 0; ~ n ~ m = (a1,b 1,c 1,d 1 ) (a 2,b 2,c 2,d 2 ) = (a 1 + a 2,b 1 +b 2,c 1 +c 2,d 1 +d 2 ), ~ n ~ m = (a1,b 1,c 1,d 1 ) (a 2,b 2,c 2,d 2 ) = (a 1 a 2,b 1 b 2,c 1 c 2,d 1 d 2 ). STR. 31

4 Sumą rozmytą i iloczyn rozmyty dla liczb trójkątnych dodatnich opisują wzory: ~ n = (a1,b 1,c 1 ); ~ m = (a2,b 2,c 2 ); ~ n, ~ m 0, tzn. a1,b 1,c 1,a 2,b 2,c 2 0; ~ n ~ m = (a1,b 1,c 1 ) (a 2,b 2,c 2 ) = (a 1 + a 2,b 1 +b 2,c 1 +c 2 ), ~ n ~ m = (a1,b 1,c 1 ) (a 2,b 2,c 2 ) = (a 1 a 2,b 1 b 2,c 1 c 2 ) Porównywanie liczb rozmytych Rys.2. Liczby rozmyte trójkątne. W wyniku prostych operacji arytmetycznych proponowana metoda prowadzi do uzyskania rozwiązania w postaci liczby rozmytej. Każdy z ocenianych wariantów wstępnych będzie miał rozwiązanie podane liczbą rozmytą. Skuteczność wybory wariantu optymalnego zależy od skuteczności porównania otrzymanych liczb rozmytych. Jeżeli dla liczb trójkątnych dodatnich : ~ n = (a1,b 1,c 1 ), ~m = (a 2,b 2,c 2 ) zachodzi zależność : a 1 < a 2, b 1 < b 2, c 1 < c 2 to ~ n < ~ m. Trudność polega na porównaniu dwóch liczb rozmytych, gdy wszystkie parametry jednej liczby nie są mniejsze od odpowiadających im parametrów drugiej liczby, rys.2. Istnieją różne metody porównywania liczb rozmytych. Jedne metody korzystają ze sposobów znanych ze statystyki i po przekształceniu liczby rozmytej na funkcję probabilistyczną podają sposoby wyznaczenia wartości średniej oczekiwanej i wariancji. Im wyższa wartość średniej oczekiwanej tym liczba jest większa, dla liczb o tej samej wartości średniej oczekiwanej wyżej klasyfikowana jest liczba o mniejszej wartości wariancji [2,8]. Inne metody, również oparte na probabilistyce próbują poszeregować liczby rozmyte za pomocą opartych na transformacjach i gęstości funkcji skomplikowanych wzorów matematycznych [8]. W tym referacie zaproponowano metodą porównania liczb rozmytych o regularnych kształtach opartą na zależnościach geometrycznych [1,2] i polegającą na znalezieniu środka ciężkości e trapezu (a,d,c,d), rys.3. Rys.3. Liczba trapezowa o środku ciężkości w punkcie e. a b c d (e-b)(1)+0,5(b-a) (1) = (c-e) (1)+0,5(d-c) (1) e 4. STR. 32

5 Ta z dwóch liczb rozmytych jest większa, której środek ciężkości ma większą wartość. Taki sposób porównywania liczb trapezowych jest najprostszy. Dla liczb rozmytych trójkątnych obowiązuje ten sam wzór. Liczbę trójkątną należy przekształcić na liczbę trapezową wg transformacji : (a,b,c) = (a,b,b,c). Otrzymaną liczbę należy traktować tak jak liczbę rozmytą trapezową, gdzie: b,b - wierzchołki trapezu; a, c - zasięgi ramion. Środek ciężkości e wyznacza się ze wzoru: a b c e Metoda wyboru optymalnego rozwiązania. Przykład obliczeniowy 4.1. Przykłady zastosowania metody wyboru optymalnego rozwiązania Algorytm postępowania zaprezentowano na przykładzie obliczeniowym. Przykład opatrzono komentarzami. Takie podejście powinno przyczynić się do lepszego zrozumienia metody i ułatwić jej zastosowanie w praktyce. Wybór optymalnego rozwiązania dotyczy w budownictwie wielu zagadnień. W biurze projektów będzie to wybór jednego z wariantów wstępnych różniących się np. zużyciem materiałów, nakładem robocizny i czas realizacji związanym z wybraną technologią realizacji obiektu jako wariantu wiodące do dalszych, szczegółowych obliczeń. Dla robót ziemnych kryteriami mogą być: koszty wynajmu danego rodzaju maszyn, czas, stopień wykorzystania środków własnych, jakość wykonania przedsięwzięcia. Dla inwestora przy wyborze wykonawcy decydującymi kryteriami będą : koszt roboty zaproponowany przez wykonawcę w kosztorysie, jakość kosztorysu, renoma wykonawcy, dotychczasowe doświadczenia związane z danym wykonawcą, przestrzeganie terminów, jakość wykonywanych robót, wielkość firmy i posiadany przez nią sprzęt Algorytm postępowania. Przykład obliczeniowy Przedstawiony przykład dotyczy zagadnień z dziedziny mostownictwa. Inwestor ogłasza przetarg na projekt mostu. Do przetargu staje siedem projektów. Inwestor postanawia oceniać projekty wg pięciu kryteriów : A - całkowity koszt realizacji obiektu, B - estetyka obiektu oceniana na podstawie jego wizualizacji komputerowej, C - czas realizacji, który nie może przekraczać jednego roku, D - jakość rozwiązań technicznych związanych z elementami wyposażenia oraz szacunkowe koszty eksploatacji obiektu, E - renoma projektanta. Zgodnie z założeniami polioptymalizacji odrzucono te rozwiązania, które nie spełniały choćby jednego z wyżej wymienionych kryteriów. Odrzucono cztery projekt: jeden nie zawierał wizualizacji komputerowej, jeden zawierał jedynie wariant wstępny zbyt powierzchownie przeliczony, aby ocenić rzeczywiste koszty realizacji przedsięwzięcia, dwa projekty odrzucono ze względu na technologię - cechował je zbyt długi okres realizacji obiektu. Do dalszej oceny zakwalifikowano trzy projekty. Do oceny projektów użyto liczb rozmytych trójkątnych typu (a,b,c), gdzie : b - zwyczajowa, a,c - najbardziej skrajne oceny wg danego kryterium pojawiające się w czasie dyskusji. Aby lepiej zilustrować zalety proponowanej metody opartej na liczbach rozmytych i pokazać jej wyższość nad klasycznym podejściem przeprowadzono obliczenie porównawcze dla tradycyjnie stosowanych wartości średnich i liczb rozmytych. Projekty poowano cyframi rzymskimi : I, II, III. Ocena dla każdego z kryteriów była niezależna i polegała jedynie na uszeregowaniu projektów wg danego kryterium, czyli na przyznaniu odpowiedniego miejsca. Najlepszy projekt otrzymywał 1, najgorszy 3. STR. 33

6 Kryterium A I 3 (3,3,3) II 2 (2,2,2) III 1 (1,1,1) kryterium B I 3 (2,3,3) II 1 (1,1,2) III 2 (1,2,3) kryterium C I 1 (1,1,1) II 2 (2,2,3) III 3 (2,3,3) kryterium D I 3 (2,3,3) II 1 (1,1,2) III 2 (1,2,3) kryterium E I 2 (2,2,2) II 3 (1,3,3) III 1 (1,1,3) Wielkości wag ustalono podobną metodą, tzn. użyto liczb rozmytych trójkątnych typu (a,b,c), gdzie : b - zwyczajowa, a,c - najbardziej skrajne oceny. Wielkości wag to mnożniki, które odpowiadają procentowemu udziałowi poszczególnych kryteriów w końcowej decyzji. Im ważniejsze dla inwestora jest dane kryterium tym większa jest przypisana do niego waga. Waga wielkość wagi kryterium A 0.40 (0.35,0.40,0.50) B 0.20 (0.15,0.20,0.40) C 0.20 (0.15,0.20,0.20) D 0.10 (0.05,0.10,0.25) E 0.10 (0.05,0.10,0.15) Końcowe wyniki dotyczące wyboru optymalnego rozwiązania otrzymano przemnażając otrzymane przez projekt wg danego kryterium przez odpowiadającą mu wagę i sumując wyniki. Im niższy końcowy wynik dla danego tym lepiej, np. przy ch końcowych 1.9 i 2.5 lepiej do wymagań inwestora dostosowany jest projekt, który uzyskał ocenę 1.9. Rozwiązanie wg kryterium wag oparte o algebrę klasyczną i uśrednione oceny: Projekt I : = 2.50 Projekt II : = 1.80 Projekt III : = 1.70 STR. 34

7 Przy zastosowaniu tradycyjnego podejścia i systemu uśrednionych ocen optymalnym wyborem jest projekt III. Rozwiązanie wg kryterium wag oparte o liczby rozmyte i arytmetykę rozmytą: Projekt I : (3,3,3) (0.35,0.40,0.50) (2,3,3)(0.15,0.20,0.40) (1,1,1) (0.15,0.20,0,20) (2,3,3) (0.05,0.10,0.25) (2,2,2) (0.05,0.10,0.15) = (1.70,2.50,3.80) Projekt II : (2,2,2) (0.35,0.40,0.50) (1,1,1)(0.15,0.20,0.40) (2,2,3) (0.15,0.20,0,20) (1,1,2) (0.05,0.10,0.25) (1,3,3) (0.05,0.10,0.15) = (1.25,1.80,2,95) Projekt III : (1,1,1) (0.35,0.40,0.50) (2,2,3)(0.15,0.20,0.40) (2,3,3) (0.15,0.20,0,20) (1,2,3) (0.05,0.10,0.25) (1,1,3) (0.05,0.10,0.15) = (1.05,1.70,3.50) Łatwo zauważyć, że projekt I najgorzej spełnia wymagania inwestora. Jednak trudno ocenić, który z projektów jest lepszy : projekt II czy projekt III. Konieczne jest porównanie dwóch liczb rozmytych trójkątnych. Porównania przeprowadzono metodą omówioną w punkcie 3.2. Projekt II : Projekt II : , , Przy zastosowaniu liczb rozmytych i arytmetyki rozmytej optymalnym rozwiązaniem okazał się wybór II. Rozwiązania optymalne uzyskane w sposób klasyczny i za pomocą liczb rozmytych różnią się. Ze względu na sprzeczność kryteriów cząstkowych można się zastanawiać w nieskończoność, który projekt jest rzeczywiście lepszy. Przyglądając się oceną projektów wg poszczególnych kryteriów widać duże rozbieżności zdań, np.: projekt III wg kryterium B jest oceniony na 2 miejscu, ale były głosy przyznające mu miejsca 1 i 3. Podobne różnice dotyczyły oceny ważności poszczególnych kryteriów, czyli wielkości wag. Polioptymalizaja przyznaje wyższość metodzie opartej na liczbach rozmytych. W metodzie uśrednionych ocen wiele opinii zostało pominiętych. Dodatkową zaleta proponowanej metody jest dobre samopoczucie wszystkich osób biorących udział w ocenie projektów, ponieważ żaden głos nie został pominięty, każdy miał swój udział w końcowym wyborze. Niepewność co do oceny niektórych zjawisk jest rzeczą ludzką i nie należy się jej wstydzić. Proponowana metoda matematycznego ujęcia rozmytości i niejednorodności nie neguje ludzkiego prawa do niepewności, ale uwzględniając jej wpływ na końcowy wynik prowadzi do lepszych jakościowo rozwiązań. 5. Wnioski końcowe Zaproponowano matematyczny sposób ujęcia rozbieżności zdań przy wyborze optymalnego rozwiązania. Każde zdanie dotyczące oceny kryterium i jego wagi ma wpływ na końcową decyzję. Analityczne podejście zapobiega przyjęciu nieprzemyślanych kompromisów i pominięciu jednostkowych opinii, których odrzucenie przez większość osób mających wpływ na końcową decyzję może wypaczyć wybór i doprowadzić do przeoczenia optymalnego rozwiązania. Sposób poszukiwania optimum podano w oparciu o arytmetykę rozmytą i liczby rozmyte trapezowe i trójkątne. Regularne kształty proponowanych liczb rozmytych skracają rachunki. Jednoznaczność zaproponowanego toku postępowania umożliwia przeniesienie go na komputer. Algorytm postępowania jest prosty, posługiwanie się nim szybkie i łatwe. Mam nadzieję, że proponowana metoda znajdzie zastosowanie praktyczne i będzie pomocna przy znajdowaniu rozwiązań optymalnych. STR. 35

8 Literatura [1] S.M. Chen. Evaluating weapon systems using fuzzy arytmetic operations. Fuzzy Sets and Systems 77, 1996, s [2] S.M. Chen. Fuzzy system reliability analysis using fuzzy number arytmetic operations. Fuzzy Sets and Systems 64, 1994, s [3] E.Czogała, W.Pedrycz. Elementy i metody teorii zbiorów rozmytych. PWN, Warszawa, [4] J. Kacprzyk. Zbiory rozmyte w analizie systemowej. PWN, Warszawa, [5] D.L.Mon,C.H.Cheng,J.C.Lin. Evaluating weapon systems using fuzzy analytic hierarchy process based on entropy weight. Fuzzy Sets and Systems 62, 1994, s [6] M.Peschel, C.Riedel. Polioptymalizacja. Metody podejmowania decyzji kompromisowych w zagadnieniach technicznych. WNT, Warszawa, [7] R.R. Yager, D.P. Filev. Podstawy modelowania i sterowania rozmytego. WNT, Warszawa, [8] K.P. Yoon. A probalilistic approach to rank complex fuzzy numbers. Fuzzy Sets and Systems 80, 1996, s STR. 36