Wykład 8 - Perturbacje ruchu keplerowskiego Ograniczone zagadnienie trzech ciał

Transkrypt

1 Wykład 8 - Perturbacje ruchu keplerowskiego Ograniczone zagadnienie trzech ciał

2 Formalne rozwiązanie równań wariacyjnych Lagrange a Rozwiązania równań wariacyjnych Lagrange a dokonuje się metodą rozwinięcia funkcji perturbacyjnej na szereg w postaci R = C cos D gdzie, w przypadku dwóch planet o masach m i m C = C(a, a, e, e, i, i ), a czynniki D mają postać D = j 0 (nt + ɛ) + j 1 (n t + ɛ ) + j 2 π + j 3 π + j 4 Ω + j 5 Ω, gdzie j 0, j 1,.., j 5 są dowolnymi, całkowitymi liczbami dodatnimi, ujemnymi, lub równymi zeru, które spełniają warunek 5 i=0 j i = 0. Po prawej stronie równań wariacyjnych Lagrange a znajduje się n - średni ruch własny zależny od a, przez co różniczkowanie R a = C dn cos D t C sin D a da Obecność czasu w drugim członie powoduje to trudność w całkowaniu równania dɛ/dt.

3 Modyfikacja równań wariacyjnych Lagrange a c.d Pochodną R/ a możemy zapisać jako ( ) R R a = + R ( ) dn R a n da = a n n + R ɛ t dn da ponieważ R ɛ = 1 2 nada dt to równianie możemy zapisać jako ( ) R R a = + 1 ( ) da dn R nat a n 2 dt da = + 1 dn nat a n 2 dt

4 Modyfikacja równań wariacyjnych Lagrange a c.d Równanie na dɛ/dt będzie miało postać dɛ dt + t dn dt = 2 na ( R a + )n + (1 e2 ) 1/2 na 2 e tg i 2 R na 2 (1 e 2 ) 1/2 i [1 (1 e 2 ) 1/2 ] R e W celu wyeliminowania t występującego poza argumentami D wprowadzamy zmienną ɛ I określoną równaniem dɛ I dt = dɛ dt + t dn dt i równanie różniczkowe na ɛ I będzie miało postać wyjściowego równania na ɛ dɛ I dt = 2 ( ) R + (1 e2 ) 1/2 na a na 2 [1 (1 e 2 ) 1/2 ] R e e + tg i 2 R na 2 (1 e 2 ) 1/2 i n

5 Interpretacja zmiennej ɛ I Znaczenie zmiennej ɛ I wynika ze zróżniczkowania średniej długości λ = nt + ɛ dλ dt = n + t dn dt + dɛ dt stąd dλ dt = n + dɛi dt i całkując równanie otrzymamy, że λ = nt + ɛ = ndt + ɛ I przy założeniu, że stała całkowania zawarta jest w ɛ I jeżeli n jest znane. Z tego równania wynika, że R/ ɛ = R/ ɛ I Wielkość ndt nazywamy średnim ruchem na orbicie perturbowanej.

6 Modyfikacja równań wariacyjnych Lagrange a c.d Zmodyfikowane równania wariacyjne Lagrange a różnią się od pierwotnych tym, że ɛ i R/ a zastąpione są przez ɛ I i ( R/ a) n i w funkcji perturbacyjnej należy zastąpić nt + ɛ przez ndt + ɛ I Oznaczając ndt = ρ otrzymamy n = dρ/dt oraz d 2 ρ/dt 2 = dn/dt i skąd d 2 ρ dt 2 = 3 R a 2 ɛ = 3 R a 2 λ ρ = 3 1 a 2 R ɛ dtdt

7 Przypadek dwóch planet Funkcja perturbacyjna w przypadku zaburzenia ruchu ciała względem Słońca przez odległe punktowe masy ma postać ( ) n 1 R ij = k 2 1 m j x ix j + y i y j + z i z j r ij j=1 W przypadku dwóch planet o masach m i m i o współrzędnych względem Słońca (x, y, z) i (x, y, z ) (badamy wpływ perturbacji jednej planety na drugą i odwrotnie) ( 1 R = k 2 m xx + yy + zz ) r 3 rjn 3 ( 1 R = k 2 m xx + yy + zz ) r 3 2 = (x x ) 2 + (y y ) 2 + (z z ) 2

8 Formalne rozwiązanie równań wariacyjnych Lagrange a Rozwiązania równań wariacyjnych Lagrange a dokonuje się metodą rozwinięcia funkcji perturbacyjnej na szereg w postaci R = C cos D R = C cos D gdzie, w przypadku dwóch planet o masach m i m ρ = ndt i ρ = n dt C = C(a, a, e, e, i, i ), czynniki D mają postać D = j 0 (nt + ɛ) + j 1 (n t + ɛ ) + j 2 π + j 3 π + j 4 Ω + j 5 Ω ), gdzie j 0, j 1,.., j 5 są dowolnymi, całkowitymi liczbami dodatnimi, ujemnymi, lub równymi zeru, które spełniają warunek 5 i=0 j i = 0 Masy wchodzą do współczynników C i C : C = C(m ) i C = C (m)

9 Formalne rozwiązanie równań wariacyjnych Lagrange a Metodą kolejnych przybliżeń można otrzymać rozwiązania na elementy orbitalne c i c w postaci szeregów: c = c 0 + δ 1 c + δ 2 c +... c = c 0 + δ 1 c + δ 2 c +..., gdzie δ p zawiera równania rzędu p względem mas m i m. Podobnie gdzie n 0 = k 1 + ma 3/2 o n = n 0 + δ 1 n + δ 2 n +..., ( n = n 0 + δ 1 n + δ 2 n +... = n δ 1a + δ ) 3/2 2a +... = a 0 a 0 [ n δ 1 a 3 δ 2 a + 15 ( ) δ1 a ] 2 a 0 2 a 0 8 a 0

10 Ruch własny δ 2 n = n 0 [ δ 1 n = 3 δ 1 a n 0 2 a δ 2 a + 15 a 0 8 ( ) ] δ1 a 2 ze zmian ruchu własnego otrzymujemy kolejne poprawki uśrednionego ruchu własnego: ρ 0 = n 0 t, δ 1 ρ = δ 1 ndt, δ 2 ρ = δ 2 ndt i ρ = ρ 0 + δ 1 ρ + δ 2 ρ a 0

11 Perturbacje pierwszego rzędu R 0 = C 0 cos D 0 R 0 = C 0 cos D 0 C = C(a 0, a 0, e 0, e 0, i 0, i 0 ), C = C (a 0, a 0, e 0, e 0, i 0, i 0 ), D = j 0 (n 0 t + ɛ 0 ) + j 1 (n 0 t + ɛ 0 ) + j 2π 0 + j 3 π 0 + j 4Ω 0 + j 5 Ω 0 ) dδ 1 a dt = 2 n 0 a 0 R 0 ɛ 0... dδ 1 Ω 1 R dt = 0 n 0 a0 2(1 e2 0 )1/2 sin i 0 i 0 dδ 1 a dt = 2 R 0 n 0 a 0 ɛ 0... dδ 1 Ω dt = 1 n 0a 2 0 (1 e 2 0 )1/2 sin i 0 R 0 i 0

12 Perturbacje pierwszego rzędu dδ 1 a = 2 R0 n 0 a 0 ɛ 0 dt = 2 n 0 a 0 ɛ R0 0 dt... dδ 1 Ω = 1 n 0 a 2 0 (1 e2 0 )1/2 sin i 0 R0 i 0 = 1 n 0 a 2 0 (1 e2 0 )1/2 sin i 0 R 0 ɛ 0 = R j 0 C 0 sin D 0 0 a 0 = C 0 a 0 cos D 0 R 0 π 0 = R j 2 C 0 sin D 0 0 e 0 = C 0 e 0 cos D 0 R 0 Ω 0 = R j 4 C 0 sin D 0 0 i 0 = C 0 i 0 cos D 0 dδ 1 a = 2 n 0 a 0 j0 C 0 sin D0 dt... 1 dδ 1 Ω = C0 n 0 a0 2(1 e2 0 )1/2 sin i 0 i 0 cos D0 dt i 0 R0 dt

13 Perturbacje pierwszego rzędu - perturbacje okresowe Ponieważ prawe strony zawierają tylko całki cos D 0 dt = sin D 0 j 0 n 0 +j 1 n 0 i sin D 0 dt = cos D 0 j 0 n 0 +j 1 n 0 to dla c = a, e, i δ 1 c = J j 0 n 0 + j 1 n cos D 0 0 a dla c = ɛ, π, Ω δ 1 c = K j 0 n 0 + j 1 n sin D 0 0 Analogiczne wzory otrzymujemy dla planety P Perturbacje pierwszego rzędu są perturbacjami okresowymi o okresie T równym okresowi argumentu D 0 2π T = j 0 n 0 + j 1 n 0

14 Perturbacje pierwszego rzędu - perturbacje wiekowe W przypadku j 0 = j 1 = 0 mamy do czynienia z sytuacją że j 0 n 0 + j 1 n 0 = 0, nawet jeżeli średnie ruchy n 0 i n 0 są niewspółmierne. Jeżeli j 0 = j 1 = 0 to D 0 ma stałą wielkość D 0 = D 0 = j 2 π 0 + j 3 π 0 + j 4 Ω 0 + j 5 Ω 0 i cos D 0 dt = t cos D 0 i sin D 0 dt = t sin D 0. Perturbacje wiekowe pierwszego rzędu otrzymujemy dla wyrazów funkcji perturbacyjnej, w których argumenty D 0 nie zależą od czasu. [R] - część wiekowa funkcji perturbacyjnej. [R] ɛ 0 = 0 [R ] ɛ 0 = 0

15 Zatem uwzględniając perturbacje pierwszego rzędu możemy zapisać dla c = e, i oraz j 0 0 i j 1 0 a = a 0 + J j 0 n 0 + j 1 n cos D 0 0 c = c 0 + At + J j 0 n 0 + j 1 n cos D 0 0 a dla c = ɛ, π, Ω oraz j 0 0 i j 1 0 c = c 0 + Bt + K j 0 n 0 + j 1 n sin D 0 0 W pierwszy rzędzie rachunku perturbacyjnego rozmiary wielkich półosi a i i średni ruch własny n nie zawierają wyrazów wiekowych.

16 Perturbacje długookresowe W układzie planetarnym często możemy mieć sytuację, że T = 2π j 0 n 0 + j 1 n 0 jest znacznie większy od okresów planet T 0 = 2π n 0 i T 0 = 2π n. 0 Takie perturbacje nazywamy długookresowymi i mają one istotną rolę w układzie planetarnym. Są one bardzo znaczne w średniej długości (λ = ρ + ɛ). λ = ρ 0 + ɛ 0 + δ 1 (ρ + ɛ) +... δ 1 λ = δ 1 ρ + δ 1 ɛ δ 1 ρ = 3 n 0 δ 1 adt = 3 j0 C 2 a 0 a δ 1 ρ = 3 j0 C 0 sin D 0 a 2 0 (j 0 n 0 + j 1 n 0) 2 sin D 0 dtdt

17 Przypadek Jowisza i Saturna Średni ruch dzienny Jowisza (na epokę 1900) n 0 = Średni ruch dzienny Saturna (na epokę 1900) n 0 = n 0 2n 0 = , co odpowiada T = 61 lat - okres dość krótki ale wyrazy zawierające w argumentach D 0 wielkość (λ 2λ ) lub jej wielokrotność mogą występować w wyrazach pierwszego rzędu rozwinięcia względem mimośrodów i nachyleń. 2n 0 5n 0 = , co odpowiada T = 880 lat - wyrazy perturbacyjne o największym wpływie na długości planet (wyrazy co najmniej trzeciego rzędu względem e, i) amplituda zmian długości 48 dla Saturna i 20 dla Jowisza. 29n 0 72n 0 = , co odpowiada T = 1800 lat, ale wyrazy odpowiadające (29λ 72λ ) nie pojawiają się przy wyrazach rozwinięcia wzlędem e, i o rzędzie niższym niż 43.

18 Zależność Laplace a Długookresowe perturbacje δρ i δρ w średnich długościach λ = ρ + ɛ i λ = ρ + ɛ dwóch planet, które wywołane są ich wzajemnym przyciąganiem związane są zależnością Laplace a (1799): m aδρ = m a δρ

19 Ważniejsze rezonanse w układzie Słonecznym Księżyce Jowisza Io - Europa: λ I 2λ E +(ω E lub ω I ) = 0 o lub 180 o Europa - Ganimedes: λ E 2λ G + ω E = 0 o Io - Europa - Ganimedes: λ I 3λ E + 2λ G = 180 o Układ Saturna Mimas - Tetyda: 2λ M 4λ T + Ω M + Ω T = 0 o Enceladus - Dione: λ E 2λ D + ω E = 0 o Tytan - Hiperion: 3λ T 4λ H + ω H = 180 o Mimas - przerwa Cassiniego: λ C 2λ M + ω C = 0 o Tytyda - Telesto (L4) - Kalipso (L5) Dione - Helena (L4) - Polideukes (L5)

20 Ważniejsze rezonanse w układzie Słonecznym c.d. Planetoidy - Jowisz Grecy (L4), Trojanie (L5) (λ λ J = ±60 o ) Thule: 3λ T 4λ J + ω T = 0 o Hilda: 2λ H 3λ J + ω H = 0 o Gringua: λ G 4λ J + ω G = 0 o przerwy Kirkwooda 3:1, 5:2, 7:3, 2:1 Neptun - Pluton: 2λ N 3λ P + ω P = 180 o

21 Ograniczone kołowe zagadnienie trzech ciał. Dwie masy poruszają się względem siebie po orbitach kołowych, trzecie ciało ma pomijalną masę i nie wpływa na ruch dwóch pozostałych. Jeżeli trzecie ciało porusza się w płaszczyźnie orbitalnej dwóch pozostałych mówimy o płaskim ograniczonym zagadnieniu trzech ciał. Naszym zadaniem jest wyznaczenie ruchu ciała trzeciego. Równania zapiszemy w układzie współrotującym z dwoma masami. n 2 a 3 = k 2 (m 1 + m 2 ) Oś z będzie prostopadła do płaszczyzny orbitalnej m 1 i m 2.

22 Równania ruchu ẍ ϕy 2 ϕẏ ϕ 2 x = U x ÿ + ϕx + 2 ϕẋ ϕ 2 y = U y z = U z ( U = k 2 m1 + m ) 2 ρ 1 ρ 2 W naszej sytuacji ϕ = n ẍ = 2nẏ n 2 x k 2 m 1 x x 1 ρ 3 1 ÿ = 2nẋ n 2 y k 2 m 1 y y 1 ρ 3 1 z = k 2 z m 1 ρ 3 k 2 z m 2 1 ρ 3 2 k 2 m 2 x x 2 ρ 3 2 k 2 m 2 y y 2 ρ 3 2

23 Wygodne jednostki Najlepiej wyrazić nasze równania w jednostkach w których n = 1 i a = [k 2 (m 1 + m 2 )] 1/3 = 1 µ = m 2 m 1 + m 2, 1 µ = m 1 m 1 + m 2 czyli k 2 m 1 = 1 µ i k 2 m 2 = µ, współrzędne m 1 to x 1 = µ, a współrzędne m 2 to x 2 = 1 µ Otrzymujemy równania ẍ 2ẏ = Ω x ÿ + 2ẋ = Ω y z = Ω z Ω = 1 2 (x 2 + y 2 ) + 1 µ + µ + 1 µ(1 µ) ρ 1 ρ 2 2

24 Całka Jacobiego Mnożymy równania przez odpowiednio 2ẋ, 2ẏ, 2ż, dodajemy stronami i otrzymujemy: 2(ẍẋ + ÿẏ + zż) = 2 dω dt co możemy scałkować i otrzymać całkę Jacobiego: ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 = 2Ω + C C - stała Jacobiego Jedyna dodatkowa znana całka ruchu w ograniczonym zagadnieniu trzech ciał Można otrzymać powierzchnie zerowej prędkości 2Ω = C Potencjał z dodatkową stałą można zapisać jako ( ρ 2 Ω = (1 µ) ) ( ρ 2 + µ 2 ρ ) ρ 2

25 Ciasne układy podwójne gwiazd Potencjał, z którego korzystamy omawiając ograniczone zagadnienie trzech ciał ma wielkie znaczenie przy badaniu ewolucji układów podwójnych. Powierzchnia Roche a - powierzchnia o potencjale punktu L1 (pomiędzy masami). Przepływ materii przez punkt L1 powoduje wymianę masy składników układu Gdy przepływ następuje z gwiazdy masywniejszej na mniej masywną mamy skrócenie okresu i zmniejszenie rozmiarów orbity. Transfer z gwiazdy mniej masywnej na bardziej masywną powoduje zwiększenie okresu orbitalnego i rozmiarów orbity.

26 Ciasne układy podwójne gwiazd c.d. Z tego powodu transfer masy przez wewnętrzny punkt Lagrange a jest niestabilny gdy traci masę składnik masywniejszy W przypadku orbity kołowej: J 2 = Gm2 1 m2 2 a m 1 + m 2 tak więc a = J2 (m 1 + m 2 ) m 2 1 m2 2 = J 2 M m 2 1 (M m 1) 2 M - całkowita masa układu Widać, że dla danej masy i momentu pędu najmniejszy promień orbity jest w przypadku równych mas składników

27 Stabilność ruchu w pobliżu współliniowych punktów Lagrange a Współrzędne współliniowych punktów Lagrange a (x 0 i i = 1,2,3) Współrzędne mas x 1 = µ, x 2 = 1 µ r 1 = ( (x x 1 ) 2 + y 2 + z 2) 1/2 r 2 = ( (x x 2 ) 2 + y 2 + z 2) 1/2

28 Pochodna potencjału w układzie współrotującym f x = x (1 µ) x x 1 r 3 1 µ x x 2 r 3 2 f y = y (1 µ) y r 3 1 µ y r 3 2 f z = (1 µ) z r 3 1 µ z r 3 2 Ponieważ wypadkowa sił działająca na spoczywające w punkcie Lagrange a ciało wynosi 0, możemy siły działające na ciało w pobliżu punktów Lagrange a rozwinąć na szereg potęgowy względem współrzędnych i zachować wyrazy liniowe.

29 Pamiętamy, że yi 0 = 0 i zi 0 = 0 (i = 1,2,3). [ ] fx 2(1 µ) = 1 + x 1,2,3 xi 0 x µ xi 0 x 2 3 [ ] fy (1 µ) = 1 y 1,2,3 xi 0 x 1 3 µ xi 0 x 2 3 [ ] fz (1 µ) = z xi 0 x 1 3 µ xi 0 x 2 3 1,2,3

30 Przyjmiemy oznaczenie K i = 1 µ x 0 i x µ x 0 i x 2 3 Zlineraryzowane równania ruchu wokół liniowych punktów Lagrange a ẍ 2ẏ = (1 + 2K i )x ÿ + 2ẋ = (1 K i )y z = K i z Widzimy, że trzecie równanie jest odseparowane od dwóch pierwszych i ruch w kierunku z jest ruchem harmoniczynym z częstotliwością 2π/K 1/2 i.

31 Rozwiązania dwóch pierwszych równań szukamy w postaci x = Ae λt, ẋ = Aλe λt, ẍ = Aλ 2 e λt i y = Be λt, ẏ = Bλe λt, ÿ = Bλ 2 e λt Podstawienie daje równanie na wartości λ A rozwiązania są postaci λ 4 + (2 K i )λ 2 + (1 + K i 2K 2 i ) = 0 x = y = 4 A i e λt i=1 4 B i e λt i=1