FILO MATH ZESPÓŁ SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH GAZETKA KOŁA MATEMATYCZNEGO CO W NUMERZE: PRZEGLĄD MATEMATYKÓW. W KAMIENNEJ GÓRZE

Transkrypt

1 ZESPÓŁ SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH W KAMIENNEJ GÓRZE FILO MATH GAZETKA KOŁA MATEMATYCZNEGO CZERWIEC 2014 NR 3 (5)/2014 CO W NUMERZE: PRZEGLĄD MATEMATYKÓW: Fibonacci.... Ogłoszenie Dzień otwartej szkoły.. CIĄG FIBONACCIEGO Co to takiego?.... Zastosowanie ciągu... ZADANIA FIBONACCIEGO Zadania... GNOMON Co to jest i do czego służy?... Rozrywka Konkurs wakacyjny PRZEGLĄD MATEMATYKÓW. FIBONACCI Włoski matematyk epoki średniowiecza. Żył w latach Wprowadził do Europy cyfry arabskie. Uważał 0 za pierwszą liczbę naturalną. Dodawał i odejmował ułamki o różnych mianownikach sprowadzając je do wspólnego mianownika znajdując najmniejsza wspólną wielokrotność mianowników. Fibonacci

2 Dzień Otwartej Szkoły W dniu r. w Zespole Szkół Ogólnokształcących odbył się Dzień Otwartej Szkoły. Uczniowie klas trzecich gimnazjum mieli możliwość zwiedzenia szkoły, poznania atmosfery panującej w szkole, spotkania z kolegami i koleżankami uczącymi się w Liceum Ogólnokształcącym. Zostały przygotowane trzy ścieżki tematyczne, którymi podążali uczniowie 7 szkół gimnazjalnych wraz z opiekunami. Uczniowie zostali podzieleni na blok humanistyczno przyrodniczy, matematyczno przyrodniczy i blok dodatkowy prezentujący sale komputerowe, bibliotekę oraz prezentację związaną z projektem Lanterna Futuri. W tegorocznej edycji Dnia Otwartej Szkoły prezentację gabinetu matematycznego podjęły się panie Sylwia Cierpikowska, Sylwia Gawerda i Jolanta Myśliwiec. Pod ich opieką uczniowie klasy II a liceum przygotowali prezentację dotyczącą Fibonacciego oraz występowania ciągu Fibonacciego w przyrodzie. Czym jest ciąg Fibonacciego? Spośród wszystkich ciągów liczbowych, które występują, jeden jest szczególnie interesujący. Ciąg ten zawdzięcza swoją nazwę matematykowi z Pizy, Leonardowi, który pod nazwiskiem Fibonacci wydał w 1202 roku słynną księgę Liber Abaci. Ojciec Leonarda nosił przydomek Bonacci, stąd syn został Fibonaccim (filius Bonacci - syn dobrotliwego) Liczby naturalne tworzące ciąg o takiej własności, że kolejny wyraz (z wyjątkiem dwóch pierwszych) jest sumą dwóch poprzednich nazywa się liczbami Fibonacciego i pojawiają się w tak wielu sytuacjach, że wydaje się to niemożliwe. Graficzny zapis ciągu Fibonacciego Liczby Fibonacciego są więc sumami liczb z przekątnych w trójkącie Pascala (rysunek powyżej). Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb określony rekurencyjnie w sposób następujący: F 0 = 0 F 1 = 1 F n = F n-1 + F n-2, dla n 2 Początkowe wartości tego ciągu to: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,... 2

3 Ciąg Fibonacciego Ciąg Fibonacciego ma zastosowanie w geometrii pokrycie płaszczyzny kwadratami będącymi n-tym wyrazem ciągu. Należy do ulubionych ciągów spotykanych w przyrodzie można go odnaleźć w wielu jej aspektach zarówno w kształtach fizycznych struktur, jak i w przebiegu zmian w strukturach dynamicznych. Jeszcze jedną ciekawostką dotyczącą ciągu Leonarda z Pizy jest spirala Fibonacciego. Najlepszym jej przykładem w przyrodzie są muszle. Gdyby spojrzeć na muszlę łodzika (morskiego mięczaka) w przekroju: widać, że ułożona jest spiralnie i zbudowana z szeregu komór, z których każda następna jest większa od poprzedniej dokładnie o tyle, ile wynosi wielkość tej poprzedniej. Wynika to z faktu, że im są większe, tym szybciej rosną. Ciąg Fibonacciego jest przykładem przedziwnego splatania się matematyki z przyrodą. Przypomnijmy sobie bowiem, że sam pomysł ciągu Fibonacciego powstał dzięki idealizacji zjawiska przyrodniczego (rozmnażanie królików), a następnie okazało się, że tak wymyślone pojęcie powraca do przyrody. Przygotowali: Malwina Lebek-Andersz Marlena Zarzycka Jacek Wasilewski Karolina Trojankowska Klaudia Pres 3

4 Zadania Fibonacciego Prace Fibonacciego zawierają szereg matematycznych problemów: 1. Dwa ptaki wylatują w tym samym momencie ze szczytów dwóch wież, odległych od siebie o 50 metrów. Wysokość jednej wieży wynosi 30 metrów, a drugiej 40 metrów. Lecąc z tą sama prędkością dolatują w tym samym momencie do fontanny, usytuowanej na prostej pomiędzy dwiema wieżami (na poziomie gruntu). W jakiej odległości od podstawy każdej wieży znajduje się fontanna? 2. Kupiec podczas swojej podróży handlowej do Wenecji podwoił tam swój początkowy kapitał, a następnie wydał 12 denarów. Potem udał się do Florencji, gdzie znowu podwoił liczbę posiadanych denarów i wydał 12. Po powrocie do Pizy po raz kolejny podwoił swój majątek, wydał dwanaście denarów i... został bez grosza. Ile denarów miał na początku? 3. Trzech mężczyzn znalazło sakiewkę zawierającą 23 denary. Pierwszy powiedział do drugiego: Jeżeli dodam te pieniądze do swoich, to będę miał dwa razy więcej od ciebie. Drugi podobnie zwrócił się do trzeciego: Ja zaś, jeżeli wezmę te pieniądze, będę miał trzy razy więcej od ciebie. W końcu trzeci powiedział do pierwszego: Ja dodając te pieniądze do swoich będę miał cztery razy więcej niż ty. Ile denarów miał każdy z nich? Przykład ciągu Fibonacciego 3. Ile par królików może spłodzić jedna para w ciągu roku, jeśli - każda para rodzi nową parę w ciągu miesiąca, - para staje się płodną po miesiącu, - króliki nie zdychają? 4

5 Gnomon Mamy równanie A 2 = x 2 + B 2 + 2Bx. Znamy wartości a i b, poszukujemy A i B. Co to jest gnomon i do czego służy? Jest to zacieniowana figura złożona z dwóch prostokątów i kwadratu Nic wam to nie mówi jak na razie W skrócie wykorzystuje się go do rozwiązywania równań kwadratowych. Zegar słoneczny, przykład gnomonu B =, =, = b + = b +, Ostatecznie x = A B = B =, Rozwiążemy przykład + 6x = 55 Wykreślmy kwadrat o boku x, dorysujmy prostokąty, których jeden z boków jest równy połowie współczynnika przy x, czyli 3. Zacieniowaną figurę na rysunku, utworzoną z kwadratu i dwóch prostokątów, greccy matematycy nazywali gnomonem. Nasz gnomon x 2 + 6x ma pole równe 55. Dopełniamy nasz gnomon do pełnego kwadratu, którego bok ma długość x + 3. Pole całego kwadratu równe jest = 64. Otrzymujemy równanie (x + 3) 2 = 64, skąd x + 3 = 8. Zostało oczywiście pominięte nieznane wtenczas rozwiązanie ujemne, ostatecznie otrzymujemy x = 5. Arabski sposób rozwiązywania równań kwadratowych: Perski matematyk Alchwarizmi w dziele Hisab al-dżabr wa-al mukabala czyli Sztuka redukcji i przenoszenia zawarł swoje rozważania na temat rozwiązań równań liniowych i kwadratowych. Praca zawiera kompletne rozwiązania równań stopnia pierwszego i drugiego. Ponieważ nie uznawano wówczas liczb ujemnych, równań kwadratowych były trzy rodzaje. x 2 + ax = b, x 2 + b = ax, x 2 = ax + b, A oto arabski sposób rozwiązywania równań kwadratowych x 2 + ax = b Gnomon jest to również jeden z najstarszych i najprostszych przyrządów astronomicznych, wykorzystywany między innymi w zegarach słonecznych. Taki właśnie zegar jest na terenie naszej szkoły. Najczęściej jest to odpowiednio osadzony pręt (kolumna, pionowy słup lub kijek wbity w ziemię), którego cień wskazuje położenie Słońca (deklinacja). Długość i kierunek cienia gnomonu wyznaczają wysokość i azymut słońca. Gnomon był używany przez astronomów starożytnych do oznaczania wysokości i zboczeń ciał niebieskich. Kreślimy kwadrat o boku długości A, wycinamy w rogu kwadrat o boku x. W przeciwległym rogu kwadrat o największym możliwym boku B. Kwadrat dopełniają dwa prostokąty o bokach x i B. Przygotowała Kasia Gil 5

6 Konkurs wakacyjny Redakcja gazetki Filo-math ogłasza konkurs fotograficzny dla uczniów gimnazjum i liceum. Temat prac: izometrie w architekturze Termin nadsyłania prac: r. Adres na który można przysyłać prace: filo-math@wp.pl Dla autorów najlepszych prac przewidziane zostały nagrody. Zapraszamy do udziału w konkursie i życzymy przyjemnego wypoczynku. Redaktorzy: Jan Cieślik, Kasia Gil, Malwina Lebek -Andersz, Marlena Zarzycka, Jacek Wasilewski, Karolina Trojankowska, Klaudia Pres Opieka merytoryczna: Danuta Ruchała 6