Po co informatykom logika?

Transkrypt

1 Piotr Chrząstowski-Wachtel Uniwersytet Warszawski Po co informatykom logika? informatyka + 1

2 Wszystko co da się powiedzieć......da się powiedzieć w prosty sposób. Ludwig Wittgenstein

3 Arystoteles Arystoteles Pierwszy, który zajął się logiką, jako dziedziną nauki Podał zbiór sylogizmów praw wnioskowania Była to pierwsza próba metodologicznego podejścia do badań naukowych

4 Czy logika jest typową nauką? Jako jedyna musi też opisywać samą siebie! Konieczne staje się rozdzielenie metajęzyka od języka, a przynajmniej świadomość tego. Nie sposób uniknąć zapętlenia pojęciowego: mówiąc o logice używamy logicznego myślenia. Tłumacząc np. co to jest koniunkcja, mówimy, że (p & q) jest zdaniem prawdziwym, jeśli zarówno p, jak i q są prawdziwe. Masło maślane?

5 Średniowieczny podział nauki Trivium gramatyka logika - dialektyka, sztuka wnioskowania retoryka Trivium - biegłość w łacinie - sztuka układania mów, przekonywania. było na ogół wstępem do kolejnego etapu nauki.

6 Średniowieczny podział nauki Quadrivium geometria, arytmetyka astronomia muzyka Quadrivium było na ogół wstępem do nauki teologii i filozofii.

7 Zdania obiekty w logice Logika zajmuje się zdaniami pod kątem ich prawdziwości. Zdanie z punktu widzenia logiki klasycznej, to wypowiedź, której można przypisać znaczenie: prawda lub fałsz. Nie interesują nas wszelkie inne poprawne z punktu widzenia lingwistyki zdania: rozkazujące, pytające, czy nawet oznajmujące, ale o niemożliwej do ustalenia prawdziwości.

8 Problemy z językiem naturalnym Język naturalny jest często niejednoznaczny i znaczenie zależy od kontekstu wypowiedzi, albo od niepisanych zwyczajów Często zdanie, które z pozoru daje się jednoznacznie wartościować może się okazać różnie rozumiane przez odbiorców (komputer!)

9 Niejednoznaczność Kupię sobie pizzę lub pójdę do kina Osoby wrażliwe i młode nie powinny tego filmu oglądać. Lekarstwa nie powinny stosować matki karmiące oraz kobiety w ciąży, u których występują zawroty głowy. Jeśli zdam egzamin, to jeśli przyjdzie Paweł to pójdziemy do kina, a jeśli nie, to najwyżej wrócę do domu.

10 Zdania atomowe i złożone Zdania atomowe zazwyczaj dotyczą jakiejś dziedziny i są w niej interpretowane to się dzieje poza rachunkiem logicznym. Logika zaczyna się wtedy, gdy zaczynamy składać zdania atomowe w złożone i prowadzić wnioskowanie, polegające na ustalaniu prawdziwości pewnych zdań na podstawie zależności wyrażonych w języku logiki.

11

12 Brak przecinka ocalił ośrodek dla niewidomych : Gazeta Wyborcza donosi Brak przecinka ocalił ośrodek dla niewidomych Chodziło o to, że ośrodek rehabilitacji niewidomych według przepisów powinien zatrudniać specjalistów psychologów z odpowiednim doświadczeniem, szczególnie gdy chodziło o pracę z dziećmi. Zatem sformułowanie przepisu było następujące:

13 Brak przecinka ocalił ośrodek dla niewidomych... w placówce powinien być zatrudniony psycholog lub psycholog w dziedzinie psychologii klinicznej z pięcioletnim stażem pracy z dziećmi z upośledzeniem widzenia. Przy Karmelickiej - ośrodku dla dorosłych - pracowali psycholodzy (niekliniczni), ale bez doświadczenia pracy z dziećmi. A urzędnicy NFZ i Ministerstwa Zdrowia uważali, że zarówno psycholog, jak i psycholog kliniczny powinni mieć takie doświadczenie. W rezultacie ośrodek miał być zamknięty - NFZ cofnął dotację!

14 Kłopoty ze spójnikami Kłopot Dla lub/albo. wielu ludzi te spójniki są nierozróżnialne Część ludzi odrzuca przypisanie spójnikowi "lub" prawdy, gdy oba jego składniki są prawdziwe Często w różnych instrukcjach spotyka się dziwaczną konstrukcję "lub/i".

15 Kłopoty ze spójnikami Kłopot lub/i. Dla wielu ludzi te spójniki też są nierozróżnialne (sic!) Oba te spójniki bywają zastępowane przecinkami w wyliczeniach Przykłady: Stosujemy ten lek w stanach grypowych, zaziębieniu i zapaleniu górnych dróg oddechowych. Nie stosujemy leku w przypadkach niewydolności nerek, wątroby i trzustki.

16 Kłopoty ze spójnikami Kłopot To, z implikacją że implikacja jest fałszywa tylko w przypadku gdy przesłanka jest prawdziwa, a wniosek fałszywy budzi u niektórych (uzasadniony) niepokój. O ile spokojnie akceptujemy, jako sensowne, zdanie "Jeśli pada deszcz, to jezdnia jest mokra", o tyle trudniej nam przychodzi zaakceptować zdanie "Jeśli świeci słońce, to dzisiaj odbywa się nagranie naszego wykładu".

17 Kłopoty ze spójnikami Kłopot z implikacją został przez logików zauważony na początku XX wieku i był impulsem do odróżnienia implikacji klasycznej, która może być fałszywa, od tzw. mocnej implikacji (entailment), która wskazuje na związek przyczynowoskutkowy i która zawsze jest prawdziwa. Zdanie "Jeśli świeci słońce, to dzisiaj odbywa się nagranie naszego wykładu" nie byłoby uznane za prawdziwe w mocniejszym sensie.

18 Komunikacja z komputerem Człowiek komunikując się z komputerem musi się nauczyć precyzji! Komputer jest za głupi, żeby domyślać się kontekstu.

19 Spójniki logiczne (negacja) NIE (koniunkcja) I (alternatywa) LUB (implikacja) JEŚLI... TO (równoważność) WTEDY I TYLKO WTEDY (alternatywa wyłączająca) ALBO-ALBO

20 Spójniki metalogiczne nie i / oraz lub (silna implikacja zawsze prawdziwa) (silna równoważność zawsze prawdziwa) albo-albo

21 Semantyka (znaczenie) spójników logicznych Aby określić znaczenie każdego ze spójników, musimy określić wartość zdania złożonego na podstawie wszystkich możliwych kombinacji wartości zdań składowych dla danego spójnika.

22 Semantyka negacji

23 Semantyka alternatywy (lub)

24 Semantyka koniunkcji (i)

25 Semantyka implikacji (jeślito)

26 Semantyka równoważności (wtedy i tylko wtedy)

27 Semantyka alternatywy wyłączającej (xor, albo-albo)

28 Podstawowe bramki logiczne

29 Składanie układów logicznych Alternatywa i koniunkcja złożona z samych bramek NOR

30 Kłopoty ze spójnikami Kłopot Dla lub/albo. wielu ludzi te spójniki są nierozróżnialne Część ludzi odrzuca przypisanie spójnikowi "lub" prawdy, gdy oba jego składniki są prawdziwe Często w różnych instrukcjach spotyka się dziwaczną konstrukcję "lub/i".

31 Kłopoty ze spójnikami Kłopot lub/i. Dla wielu ludzi te spójniki też są nierozróżnialne (sic!) Oba te spójniki bywają zastępowane przecinkami w wyliczeniach Przykłady: Stosujemy ten lek w stanach grypowych, zaziębieniu i zapaleniu górnych dróg oddechowych. Nie stosujemy leku w przypadkach niewydolności nerek, wątroby i trzustki.

32 Kłopoty ze spójnikami Kłopot To, z implikacją że implikacja jest fałszywa tylko w przypadku gdy przesłanka jest prawdziwa, a wniosek fałszywy budzi u niektórych niepokój. O ile spokojnie akceptujemy, jako sensowne, zdanie "Jeśli pada deszcz, to jezdnia jest mokra", o tyle trudniej nam przychodzi zaakceptować zdanie "Jeśli świeci słońce, to wczoraj Tusk rozmawiał z Bushem"

33 Kłopoty ze spójnikami Kłopot z implikacją został przez logików zauważony na początku XX wieku i był impulsem do odróżnienia implikacji klasycznej od tzw. mocnej implikacji (entailment), która wskazuje na związek przyczynowo-skutkowy. Zdanie "Jeśli słońce zajdzie o 15:24, to wczoraj zdobyliśmy 2 złote medale w pływaniu nie byłoby uznane za prawdziwe w mocniejszym sensie.

34 Wzajemna wyrażalność spójników logicznych Nasz język mógłby się składać z tylko dwóch spójników: negacji i alternatywy. Zachodzą bowiem tożsamości q p q p q p q p ( p q) p q (p q) (q p) (p q)

35 Wzajemna wyrażalność spójników logicznych Dowód tożsamości p q ( p q) (prawo de Morgana) za pomocą matrycy logicznej:

36 Binegacja Okazuje się, że cały rachunek zdań można wyrazić za pomocą jednej tylko operacji logicznej: binegacji, zwanej też strzałką Scheffera lub NOR (negacja "or"), czytanej jako "ani ani:

37 Binegacja wystarcza! Wyrażalność negacji i alternatywy za pomocą binegacji: negacja: alternatywa:

38 Podstawowe bramki logiczne

39 Składanie układów logicznych Alternatywa i koniunkcja złożona z samych bramek NOR

40 NAND Operator NAND przyjmuje wartość fałsz wtedy i tylko wtedy gdy oba argumenty są fałszywe (strzałka lub kreska Sheffera)

41 Implikacja i fałsz też wystarczają Okazuje się, że bramka implikacji i fałszu (ta ostatnia wyjątkowo łatwa do zaimplementowania) też wystarczają.

42 Nieoczekiwany wniosek Komputer jest układem bramek logicznych Można go zbudować z jednego typu bramek: NAND lub NOR I tak się wiele razy działo!

43 Poprawność programów Logika jest nieoceniona przy dowodzeniu poprawności programów. Więcej: przy konstrukcji algorytmów. Projektowanie pętli w programach jest najłatwiej zrobić stosując niezmienniki - warunki logiczne prawdziwe po każdym obrocie pętli.

44 Logika Hoare a Formuły są typu {α}p{β}, gdzie α i β są formułami klasycznymi, opisującymi stan zmiennych przed wykonaniem i po wykonaniu programu P. Czytamy tę formułę następująco:

45 {α}p{β} Jeśli program P zacznie się wykonywać w momencie, w którym zmienne spełniają warunek α i jeśli zakończy swoje działanie, to w stanie końcowym jego zmienne będą spełniać warunek β.

46 Przykład {i>=0} i:=i+1 {i>0} jest formułą prawdziwą, bo dla każdych danych, jeśli tylko i jest nieujemne, to po dodaniu jedynki i będzie dodatnie. Ogólnie może się zdarzyć, że zmienna i po wykonaniu instrukcji i:=i+1 przyjmie wartość <=0, ale nie w przypadku, gdy bezpośrednio przed jej wykonaniem miała wartość nieujemną, co jest zagwarantowane przez α.

47 Przykład nieco ciekawszy {} x:=x0; y:=y0; z:=0; while x<>0 do begin if (x mod 2 = 0) then z:=z+y; x:=x div 2; y:=y*2; end {z=f(x0,y0)}

48 Algorytm mnożenia chłopów rosyjskich {} x:=x0; y:=y0; z:=0; {x=x0, y=y0, z=0} while x<>0 do begin {z+xy=x0*y0} if (x mod 2 = 0) then z:=z+y; x:=x div 2; y:=y+y; end {z=x0*y0}

49 Zmieniony algorytm mnożenia chłopów rosyjskich {} x:=x0; y:=y0; z:=1; {x=x0, y=y0, z=1} while x<>0 do begin {?} if (x mod 2 = 0) then z:=z*y; x:=x div 2; y:=y*y; end {z=g(x0,y0)}

50 Potęgowanie binarne (Binpower) {} x:=x0; y:=y0; z:=1; {x=x0 i y=y0 i z=1} x<>0 do begin {zyx=y0x0} if (x mod 2 = 0) then z:=z*y; x:=x div 2; y:=y*y; end {z=y0x0} while

51 Zdania służą m.in. do definiowania pojęć Często używamy formalizmu logicznego, aby zdefiniować pewne pojęcia, np. Jeżeli oznaczymy przez L(s) zdanie, że student s zdał egzamin z logiki, to za pomocą następującej notacji: { s: L(s) } oznaczamy zbiór wszystkich studentów, którzy zdali egzamin z logiki. Ogólnie przez {x: p(x)} rozumiemy zbiór obiektów x, które spełniają warunek p(x).

52 Formuły spełnialne Ważną rolę odgrywają formuły spełnialne: opisują one sytuacje, które mogą zaistnieć. Formuła jest spełnialna, jeśli istnieje takie wartościowanie zmiennych, że formuła staje się prawdziwa. (p q) ( p q r) (p r) jest spełnialna, np. dla wartościowania p=1, q=0, r=1. A co z (p q) ( p q r) (p r)?

53 Tautologie Tautologie, to takie formuły, które są zwsze prawdziwe Przykłady tautologii: Jak nie umrze, to żyć będzie Pójdę do kina albo nie pójdę Tautologie nie definiują niczego. Nie rozszerzają wiedzy o świecie, są pustosłowiem.

54

55 Co wyrażają formuły spełnialne? Modelując systemy często obawiamy się, że będą posiadały niepożądane własności. (np. dwie rezerwacje na jedno miejsce w systemie rezerwacji lotów). Jeśli uda się nam wyrazić taką sytuację za pomocą formuły rachunku zdań, to pytanie o jej spełnialność jest pytaniem o możliwość zaistnienia takiego zbiegu okoliczności, którego się obawiamy.

56 Jak badać spełnialność? Oczywiście można za pomocą matryc logicznych. Ale co zrobić, jeśli zmiennych jest np. 100? Powodzenia! :) W praktycznych zastosowaniach liczba zmiennych w formułach zdaniowych bywa znacznie większa (nawet rzędu miliona!)

57 Największy nierozwiązany problem logiczny To jest właśnie problem, czy da się stwierdzić spełnialność dowolnej formuły istotnie szybciej, niż za pomocą matrycy logicznej. Niektórzy uważają ten problem za w ogóle największy otwarty problem matematyczny. Została ufundowana nagroda za jego rozwiązanie: 1 milion dolarów. Serio! Jest to słynny problem P=NP?

58 Logiki nieklasyczne Okazuje się, że klasyczna logika w wielu wypadkach jest zbyt słaba. Brakuje: kwantyfikowania po zbiorach (logika drugiego rzędu) co najmniej jeszcze jednej wartości logicznej (np. oznaczającej niepewność) dynamiki uchwycenia efektów zmian zachodzących w czasie (logiki modalne).

59 Weryfikacja w modelu (model checking) Często badamy złożone systemy, które ewoluują w czasie. Liczba stanów rośnie bardzo szybko (zazwyczaj wykładniczo). Logika daje narzędzia analizy tych dynamicznie zmieniających się światów. Często aby wykluczyć jakąś chorą sytuację kodujemy ją w postaci formuły logicznej i pytamy o jej spełnialność. Mamy nadzieję usłyszeć odpowiedź NIE.

60 Logika w programach komputerowych W programach bardzo często manipulujemy wartościami logicznymi, które sterują wykonaniem programu Biegłość w przekształceniach bardzo się przydaje.

61 Podsumowanie Dbałość o precyzję wypowiedzi jest niezwykle istotna, szczególnie gdy używamy logiki do komunikowania się z komputerem (choćby języki zapytań w bazach danych).

62 Podsumowanie (2) Precyzja w logice polega w szczególności na jednoznaczności. Pamiętajmy, że niektóre wypowiedzi są niejednoznaczne w języku naturalnym. Stosując spójniki logiczne pamiętajmy o tym, że często wartość końcowa zależy od odpowiedniego narzucenia kolejności ich wykonania (nawiasy).

63 Podsumowanie (3) Trzeba pamiętać o typowych błędach rachunkowych w logice: przy negowaniu kwantyfikatorów przy negowaniu koniunkcji lub alternatywy (p q) ( p q) (p q) ( p q) przy zapominaniu o zależności wyniku od kolejności wykonywania działań na zdaniach w szczególności (p q) r p (q r)... a także (p q) r p (q r)

64 O czym nie można mówić o tym należy milczeć. Ludwig Wittgenstein