Informatyki i Nauki o Materiałach. Informatyczne systemy dla medycyny. Tomografia komputerowa, rekonstrukcja, przetwarzanie obrazów

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Informatyki i Nauki o Materiałach. Informatyczne systemy dla medycyny. Tomografia komputerowa, rekonstrukcja, przetwarzanie obrazów"

Transkrypt

1 Imię i nazwisko autora pracy Krystian Przybyła Imię i nazwisko promotora pracy dr Marcin Binkowski Wydział Informatyki i Nauki o Materiałach Kierunek studiów Informatyka Specjalność Informatyczne systemy dla medycyny Tytuł pracy Badanie algorytmów rekonstrukcji obrazu tomograficznego Słowa kluczowe Tomografia komputerowa, rekonstrukcja, przetwarzanie obrazów Wyrażam zgodę na udostępnienie mojej pracy magisterskiej dla celów naukowo-dydaktycznych. Nie wyrażam zgody na rozpowszechnianie pracy poprzez publiczne udostępnianie pracy w wersji drukowanej i elektronicznej w taki sposób, aby każdy mógł mieć do niej dostęp w miejscu w którym praca jest przechowywana tj. w Archiwum Uniwersytetu Śląskiego lub w Bibliotece Uniwersytetu Śląskiego Nie wyrażam zgody na rozpowszechnianie pracy poprzez publiczne udostępnienie pracy w wersji elektronicznej w sieci Internet w domenie oraz innych serwisach internetowych tworzonych z udziałem Uniwersytetu Śląskiego Data i podpis: Oświadczenie autora pracy Świadomy odpowiedzialności prawnej oświadczam, że niniejsza praca dyplomowa została napisana przeze mnie samodzielnie i nie zawiera treści uzyskanych w sposób niezgodny z obowiązującymi przepisami. Oświadczam również, że przedstawiona praca nie była wcześniej przedmiotem procedur związanych z uzyskaniem tytułu naukowego wyższej uczelni. Oświadczam ponadto, że niniejsza wersja pracy jest identyczna z wersją elektroniczną Data Podpis autora pracy

2 Badanie algorytmów rekonstrukcji obrazu tomograficznego Wstęp... Cel i zakres pracy... Tomografia komputerowa omówienie techniki... Część badawcza... Dodatek 1 - Dokumentacja użytkowa oprogramowania... Możliwości rozwoju pracy... Wnioski i podsumowanie... Spis tabel... Spis rysunków... Bibliografia

3 Bibliografia Wstęp Odkrycie promieniowania rentgenowskiego przez Wilhelma Röntgena w 1895 roku zapoczątkowało rozwój dziedziny nauki, którą dzisiaj znamy jako obrazowanie medyczne. 73 lata później inżynier elektroniki Godfrey Housfield wykorzystując podstawy matematyczne opracowane przez Johanna Radona oraz możliwości obliczeniowe komputerów umożliwił zajrzenie w głąb ludzkiego ciała i uzyskanie jego dowolnego przekroju. Wynaleziona w ten sposób tomografia komputerowa wraz z problemem rekonstrukcji obrazu utworzyła szerokie pole do badań z zakresu fizyki matematyki oraz informatyki. Niestety nie wszystkie rozwiązania matematyczne odpowiadały możliwościom obliczeniowym komputerów. Część z nich zostało zaniechanych a w ich miejsce pojawiły się rozwiązania alternatywne. Dziś, gdy możliwości komputerów pozwalają na wykonywanie miliardów operacji na sekundę można ponownie rozważyć rozwiązanie problemu rekonstrukcji obrazu za pomocą metod mniej efektywnych i bardziej czasochłonnych, analizując wyniki i przyjmując za podstawowe kryterium oceny jedynie ich jakoś a nie złożoność obliczeniową algorytmów. Wysoka jakość i rozdzielczość wyników rekonstrukcji jest niezbędna do prawidłowej diagnozy wielu schorzeń a także kluczowa w przypadku dużych powiększeń uzyskiwanych w mikrotomografii. Tomograf komputerowy stał się popularnym i dostępnym narzędziem, którego działanie zależne jest nie tylko od parametrów fizycznych ale również od możliwości algorytmów odpowiedzialnych za rekonstrukcję obrazu. W niniejszej pracy przedstawione są podstawowe zagadnienia dotyczące dziedziny obrazowania medycznego tomografii rentgenowskiej. Istotę pracy stanowi zagadnienie tomografii komputerowej w zakresie rekonstrukcji obrazu. Do pełnego przedstawienia tematu konieczne jest jednak wykroczenie poza ramy tematyki rekonstrukcyjnej i analiza całego procesu pozyskiwania danych jak i dalszego ich przetwarzania i interpretacji. -3-

4 Badanie algorytmów rekonstrukcji obrazu tomograficznego Najwięcej uwagi poświęcono problemom informatycznym i algorytmicznym, jednakże poruszenie podstawowych tematów z zakresu fizyki czy medycyny było konieczne dla pełnego przedstawienia tej techniki obrazowania, omówienia jej zastosowania oraz dla opisania współczesnych problemów, które pomimo dynamicznego rozwoju informatyki i medycyny pozostają ciągle nierozwiązane. Część pracy została zrealizowana w Univeristy of Patras w Grecji, gdzie autor poznał podstawy obrazowania medycznego oraz zaimplementował algorytmy w środowisku Matlab. Druga część, zrealizowana w Uniwersytecie Śląskim, polegała na poprawie sposobu działania algorytmów oraz zaimplementowania ich w środowisku Microsoft Visual Studio 2008 a także przyspieszeniu obliczeń poprzez analizę działania i optymalizację algorytmu. -4-

5 Bibliografia Cel i zakres pracy Za główny cel pracy przyjęto implementację i porównanie dwóch algorytmów rekonstrukcyjnych: algorytmu wstecznej projekcji z filtracją - FBP oraz algorytmu rekonstrukcji algebraicznej ART. Implementacja i porównanie składały się z kilku etapów pośrednich. Wymienione algorytmy zostały porównane pod względem jakości uzyskanych wyników, szybkości działania. Implementacja przeprowadzona została w dwóch różnych środowiskach programistycznych: MATLAB oraz Visual Studio. Do badań wykorzystano dane z symulatora promieniowania rentgenowskiego oraz dane uzyskane z mikrotomografu. Oprócz implementacji wyżej wymienionych algorytmów cel pracy stanowiło uzyskanie poprawnych wyników rekonstrukcji oraz ich analiza jakościowa. Ostatecznie otrzymane rezultaty porównane zostały z wynikami uzyskanymi z oprogramowania komercyjnego. Praca składa się z 5 rozdziałów, rozdział pierwszy i drugi opisują zakres tematyczny pracy, rozdział trzeci przedstawia teoretyczne podstawy tomografii komputerowej, rozdział czwarty opisuje zagadnienia związane z implementacją przedstawionych algorytmów oraz zawiera analizę wyników badań. Wnioski przedstawione zostały w rozdziale piątym. Bibliografia zawiera 21 pozycji z czego 7 to pozycje książkowe a 12 to artykuły naukowe. Ponadto załączono spis rysunków, tabel. Do pracy załączono dysk DVD zawierający treść pracy w wersji elektronicznej. Źródła utworzonego oprogramowania oraz wersję skompilowaną. Do prawidłowego działania programu wymagana jest instalacja Microsoft.NET Framework w wersji 3.5 oraz Microsoft Charts. -5-

6 Badanie algorytmów rekonstrukcji obrazu tomograficznego Tomografia komputerowa omówienie techniki Rentgenowska tomografia komputerowa jest metodą obrazowania, pozwalającą na uzyskanie obrazów tomograficznych (przekrojów) badanego obiektu. Wykorzystuje ona złożenie projekcji obiektu uzyskanych pod różnym kątem do utworzenia obrazów przekrojowych. Projekcje uzyskiwane są w sposób podobny do wykonywania klasycznego zdjęcia RTG. Lampa emituje promieniowanie rentgenowskie, które przy przejściu przez badany obiekt (np. ciało pacjenta) ulega osłabieniu a następnie oświetla detektor promieniowania, który umożliwia zapis projekcji w postaci pliku na dysku komputera obsługującego system tomograficzny.[ 1] Uzyskane obrazy przedstawiają zatem absorpcję promieniowania w poszczególnych obszarach badanego przedmiotu, co pozwala uzyskać informacje o strukturze przestrzennej obiektu. Tomografia komputerowa znalazła zastosowanie w takich dziedzinach jak medycyna (diagnoza schorzeń) [Błąd: Nie znaleziono źródła odwołania,błąd: Nie znaleziono źródła odwołania,błąd: Nie znaleziono źródła odwołania,błąd: Nie znaleziono źródła odwołania], technika (testowanie materiałów) [2] czy geologia (poszukiwanie ropy naftowej)[błąd: Nie znaleziono źródła odwołania]. Jej rozwój został zapoczątkowany w 1968 roku przez Godfreya Newbolda Hounsfielda i Allana MacLeoda Cormacka, którzy w 1979 roku za swój wynalazek otrzymali nagrodę Nobla. 1.1 Budowa tomografu Od czasu pierwszego zastosowania tomografu komputerowego w medycynie, w roku 1972 w Londynie, urządzenie to doczekało się wielu udoskonaleń mających na celu poprawienie jakości obrazu oraz skrócenie czasu badania. [Błąd: Nie znaleziono źródła odwołania] -6-

7 Bibliografia Rys. 1 Tomograf komputerowy firmy Philips. Widoczna jest gantra oraz przesuwny stół elementy odpowiedzialne za akwizycję obrazu. Komputer dokonujący rekonstrukcji wraz z systemem służącym do wizualizacji zrekonstruowanych obrazów znajduje się zazwyczaj w osobnym pomieszczeniu. Typowy tomograf komputerowy składa się z następujących elementów: gantry elementu w kształcie pierścienia zawierającego lampy rentgenowskie oraz system detektorów, do którego wsuwany jest stół z pacjentem podczas badania. przesuwnego stołu, na którym leży pacjent komputera wraz z systemem wizualizacji Generowanie promieniowania rentgenowskiego Centralnym elementem każdego tomografu jest lampa emitująca promieniowanie rentgenowskie zwane też promieniowaniem X. Stanowi ono fragment naturalnego widma elektromagnetycznego i może być generowane na drodze dwóch różnych procesów fizycznych. Pierwszą metodą jest wyhamowanie szybko pędzących elektronów w polu elektromagnetycznym. W wyniku tej operacji elektrony tracą energię, która emitowana jest w postaci kwantów promieniowania rentgenowskiego. Ten rodzaj promieniowania X nazywamy promieniowaniem ciągłym. Druga metoda oparta jest o zjawisko emitowania promieniowania podczas przeskoku elektronu z powłoki o wyższym poziomie energetycznym na powłokę o niższym poziomie. Emitowany tedy kwant energii równy jest różnicy energetycznej tych powłok. Ponieważ każdy atom posiada określone poziomy energetyczne powłok -7-

8 Badanie algorytmów rekonstrukcji obrazu tomograficznego emitowane w ten sposób promieniowanie ma charakter dyskretny, charakterystyczny dla danego atomu. w obszarze anody metalowej. W wyniku tej operacji można uzyskać fale o długościach z zakresu od 10-8m do 10-12m, co częściowo wkracza w zakres widma ultrafioletowego oraz promieniowania gamma. Energia promieniowania ściśle zależy od prędkości elektronu, która z kolei zależne jest od wielkości napięcia między katodą a anodą. Wielkości te wiąże zasada zachowania energii, która stanowi, że w układzie izolowanym suma wszystkich rodzajów energii jest stała. Korzystając z tej zasady można sformułować wzór pozwalający określić prędkość elektronu:[ 3,Błąd: Nie znaleziono źródła odwołania] Równanie 1. Ua napięcie akceleracji (napięcie pomiędzy katodą a anodą), me masa elektronu, v prędkość elektronu Napięcie używane do przyspieszenia elektronu (w przypadku diagnostyki medycznej) wynosi od 25kV do 150kV. W zastosowaniach technicznych (nieinwazyjne testowanie materiałów) napięcie to może sięgać aż 500kV. [Błąd: Nie znaleziono źródła odwołania] -8-

9 Bibliografia Rys. 2 Schemat generatora promieniowania rentgenowskiego. Elektrony opuszczają katodę i są rozpędzane w polu elektrycznym, następnie uderzają w wirującą anodę generując promieniowanie. Rysunek na podstawie [4] Przyspieszane elektrony uderzają w metalową anodę zyskując temperaturę rzędu 2400K. Aby zapobiec przegrzaniu i szybkiemu zużyciu anody stosuje się anody wirujące, co pozwala rozłożyć temperaturę na znacznie większą powierzchnię. Prędkość obrotów anody jest bardzo duża (3000 obr/minbłąd: Nie znaleziono źródła odwołania), podlega ona przeciążeniom rzędu 40g, pochłaniając ok. 30% ciepła dostarczanego przez elektrony. Pozostała część energii cieplnej przekształcana jest w promieniowanie. Dlatego idealny materiał z którego wykonana jest anoda powinien charakteryzować się wysoką wytrzymałością, możliwie dużą liczbą atomową, wysoką temperaturą topnienia i dobrym przewodnictwem cieplnym. Materiałem najlepiej spełniającym te wymagania jest wolfram.[błąd: Nie znaleziono źródła odwołania] Parametry wiązki promieniowania wytwarzanego na anodzie mają istotny wpływ na jakość zrekonstruowanego obrazu, dlatego wiązka poddawana jest filtracji oraz kolimacji. Wiązka może być formowana równolegle, wachlarzowo lub stożkowo. Wiązki równoległe i wachlarzowe stosowano tomografach starszej generacji. Obecnie wykorzystuje się wiązkę wachlarzową, która pada na wielorzędową matrycę detektorów -9-

10 Badanie algorytmów rekonstrukcji obrazu tomograficznego o dużej rozdzielczości - umożliwia to rejestrację kilku przekrojów jednocześnie, co znacząco wpływa na czas pozyskiwania danych.[błąd: Nie znaleziono źródła odwołania] Rys. 3 Przykłady różnych geometrii układów projekcyjnych Pomiar absorpcji

11 Bibliografia Rys. 4 Projekcja badanego obiektu na detektor prostokątny. Poszczególne elementy macierzy detektora pozwalają odczytać wartość natężenia promieniowania w danym punkcie. Odczytane wartości zapisywane są do plików a następnie przekazywane do algorytmu odpowiedzialnego za rekonstrukcję obiektu. Pomiar absorpcji dokonywany jest za pomocą elementu nazywanego detektorem. Ponieważ sam proces rozchodzenia się promieniowania jest bardzo złożony należy mieć świadomość, że promieniowanie docierające do detektora nie tylko zostało osłabione na drodze pochłaniania. Część z niego uległa odbiciu, rozproszeniu i załamaniu podczas przechodzenia poprzez ośrodki o różnych gęstościach (skóra, tkanka kostna, tkanka tłuszczowa, mięśnie). Kolejnym problemem jest fakt, że fotony o mniejszej energii są pochłaniane znacznie szybciej, zatem do głębszych warstw badanego obiektu docierają fotony o większej energii, które charakteryzują się lepszym przenikaniem przez badany obiekt. Zjawisko to nazywamy twardnieniem wiązki.[błąd: Nie znaleziono źródła odwołania, Błąd: Nie znaleziono źródła odwołania] Tak osłabione (częściowo pochłonięte promieniowanie) dociera do detektora. Promieniowanie nie jest mierzone bezpośrednio lecz poprzez interakcję z materiałem detektora (np. wyemitowane fotoelektrony). Wyróżniamy detektory: Gazowe (tzw. ksenonowe komory proporcjonalne) gaz zawarty w detektorze (np. ksenon) podlega jonizacji co powoduje powstanie mierzalnego napięcia pomiędzy katodą i anodą detektora. Detektory tego typu były szeroko stosowane w starszych generacjach

12 Badanie algorytmów rekonstrukcji obrazu tomograficznego tomografów ale również współcześnie można spotkać detektory wykorzystujące sprężony ksenon. Wykorzystujące scyntylatory stałe (tzw. detektory scyntylacyjne) promieniowanie jonizujące przenika przez kryształ (lub element ceramiczny), który emituje światło widzialne, które z kolei jest mierzone za pomocą fotodiod. Jest to najbardziej popularne rozwiązanie w stosowanych obecnie tomografach. Wartość mierzona przez detektor zależy od wielu czynników takich jak temperatura, czas relaksacji po poprzednim pomiarze czy nawet zużycie materiału. Sytuacją idealną jest gdy wszystkie detektory charakteryzują się stałymi (niezmiennymi w czasie), identycznymi parametrami.[błąd: Nie znaleziono źródła odwołania, Błąd: Nie znaleziono źródła odwołania] Detektory łączone są w większe, wielorzędowe segmenty, które (w przypadku geometrii stożkowej) tworzą cylindryczną strukturę panelu detektora (zwaną też matrycą). Jednostki takie mogą mieć rozmiary rzędu kilkudziesięciu centymetrów oraz rozdzielczość rzędu kilku tysięcy pikseli. Jednostką absorpcji promieniowania stosowana w obrazowaniu medycznym jest HU (Hounsfield Unit). Jest to skala opracowana w celu przedstawienia w postaci liczb całkowitych różnicy w współczynniku osłabienia promieniowania rentgenowskiego mającego postać rzeczywistą. Początek zakresu wartości w skali HU wyznacza liczba -1000HU, która odpowiada absorpcji powietrza. Wartość 0 odpowiada absorpcji wody. Teoretycznie skala ta jest prawostronnie otwarta, jednak w większości przypadków najbardziej gęste obszary tkanki kostnej osiągają górną granicę skali rzędu kilku tysięcy HU. [Błąd: Nie znaleziono źródła odwołania] Generacje urządzeń tomograficznych Pierwsze stosowane w diagnostyce medycznej urządzenie do tomografii komputerowej pracowało z rozdzielczością przestrzenną 80x80 pikseli, gdzie każdy piksel reprezentował 3mm2 przy grubości przekroju równej 13mm. Czas skanowania wynosił około 4,5 minuty a czas rekonstrukcji 20 sekund

13 Bibliografia Zwiększenie możliwości tomografu stało się przedmiotem badań trwających po dzień dzisiejszy. Dążono do zwiększenia rozdzielczości oraz poprawy jakości obrazu przy jednoczesnym skróceniu czasu skanowania. Działania te zaowocowały powstaniem kilku generacji skanerów. Układ projekcyjny w tomografach pierwszej generacji składał się z pojedynczej lampy emitującej skolimowaną, punktową wiązkę promieniowania, padającą na detektor znajdujący się po przeciwległej stronie. Skanowanie składało się z dwóch etapów. Najpierw skanowano pojedynczą linię a następnie układ projekcyjny obracany był o 1 i skanowanie odbywało się ponownie. Po uzyskaniu 180 projekcji przystępowano do rekonstrukcji obrazu. Rys. 5 Tomograf pierwszej generacji W skanerach drugiej generacji zastąpiono wiązkę równoległą wiązką wachlarzową oraz zwiększono ilość detektorów, co pozwoliło rozwiązać dwa podstawowe problemy: skróciło czas skanowania poszczególnych linii oraz zredukowało ilość projekcji koniecznych do rekonstrukcji obrazu. Czas akwizycji obrazu zredukowany został do kilkunastu sekund. [Błąd: Nie znaleziono źródła odwołania]

14 Badanie algorytmów rekonstrukcji obrazu tomograficznego Rys. 6 Tomograf drugiej generacji Trzecia generacja urządzeń tomograficznych wyposażona została w szeroką wiązkę wachlarzową (40 do 55 ) oraz równie szeroką tablicę detektorów, co pozwoliło wyeliminować ruch liniowy lampy. Pełny obrót układu źródło-detektor zajmował ok. 2 sekundy. Rys. 7 Tomograf trzeciej generacji Skanery czwartej generacji charakteryzowały się nieruchomą tablicą detektorów w kształcie pierścienia, wewnątrz którego znajdował się badany obiekt oraz obracająca się lampa. Liczba detektorów wynosiła od 600 do Czas badania zmniejszony został do 1 sekundy

15 Bibliografia Rys. 8 Tomograf czwartej generacji Kolejnym krokiem w rozwoju urządzeń skanujących była tomografia spiralna. Ruchomy układ źródło-detektor wykonywał obrót w sposób ciągły podczas gdy stół z pacjentem przesuwał się przez gantrę. Rozwiązany został w ten sposób kolejny problem dotyczący przemieszczania się organów pacjenta w trakcie badania (płuca, serce) ponieważ wyeliminowana została konieczność robienia przerwy na oddech dla pacjenta po każdym skanie. Następnie skanery spiralne wyposażone zostały w wielorzędowy detektor, który umożliwił pomiar kilku przekrojów jednocześnie. Rys. 9 Spiralna tomografia komputerowa Mikrotomografia

16 Badanie algorytmów rekonstrukcji obrazu tomograficznego Mikrotomografia jest stosunkowo nową techniką obrazowania, dzięki której możemy otrzymać mikroskopowy obraz przekroju badanego obiektu, bez ingerencji (niszczenia) obiektu. Podstawy teoretyczne pozyskania obrazu jak i jego rekonstrukcji są identyczne do metod tomograficznych opisanych wcześniej. Różnica polega na tym ze rozmiar badanego obszaru i wysoka jak dla badanego pacjenta dawka promieniowania rentgenowskiego powoduje ze, że technika ta jest rzadko wykorzystywana w medycynie, a znacznie częściej w innych dziedzinach nauki, głownie biologii, naukach o materiałach, geofizyce. Wykorzystanie wiązki stożkowej pozwala na uzyskanie znacznych powiększeń. Badany obiekt zamocowany jest na stole obrotowym który jest obracany, podczas gdy stożkowa wiązka promieniowania prześwietla obiekt i pada na dwuwymiarowy płaski detektor, znajdujący się po przeciwnej stronie. Takie rozwiązanie pozwala na uzyskanie rozdzielczości przestrzennej rzędu 1µm.[Błąd: Nie znaleziono źródła odwołania] Mikrotomograf nie umożliwia skanowania dużych obiektów (takich jak np. ciało pacjenta) ale jego specyfika pozwala na otrzymanie bardzo dokładnych powiększeń obiektów o niewielkich rozmiarach (np. wycinek tkanki kostnej czy tez próbki materiału skalnego)

17 Bibliografia Rys. 10 Powyższy rysunek zaczerpnięty został ze książki Computed Tomography[5], rozdział 3.10 strona 95. Ilustruje on w doskonały sposób różnicę w rozdzielczości przestrzennej (dokładności) pomiędzy skanerami microct (rysunek a i c) i standardowymi CT (rysunek b i d). Skanowanym obiektem był ząb neandertalczyka, żyjącego ok lat temu. Obrazy czarnobiałe ukazują przekrój przez ząb, obrazy w kolorze przedstawiają wynik rekonstrukcji trójwymiarowej całego obiektu Tomosynteza Tomosynteza to badanie diagnostyczne w którym akwizycja i rekonstrukcja obrazu nie odbywa się w zakresie pełnego obrotu wokół osi obiektu badanego ale kąt obrotu jest ograniczony (np. od -40 do 40 )

18 Badanie algorytmów rekonstrukcji obrazu tomograficznego Zrekonstruowany w ten sposób obraz cechuje się gorszą jakością jednak zachowuje np. dobrą rozróżnialność obiektów o kształtach sferycznych w płaszczyźnie prostopadłej do osi źródło-detektor. W niektórych badaniach diagnostycznych taka informacja jest zupełnie wystarczająca (np. mammografia) a dawka promieniowania jakiej poddany jest pacjent jest znacznie zredukowana. Z technicznego punktu widzenia rekonstrukcja obrazu odbywa się w sposób identyczny jak w przypadku tomografii komputerowej. Możliwe jest zastosowanie dowolnej metody rekonstrukcji obrazu, przy czym sugeruje się, że metody algebraiczne mogą dostarczać lepszych wyników rekonstrukcji. Zrekonstruowane przekroje (ang. slices) łączone są w wolumin (volume), które następnie obracane jest o 90 i dzielone na przekroje (slices) w płaszczyźnie prostopadłej do osi źródło-detektor. Rys. 11 a) Zrekonstruowany obiekt widok z góry. Oś źródło-detektor przebiega poziomo; b) Widok w płaszczyźnie prostopadłej do osi źródło-detektor. Widoczne są artefakty związane z ograniczonym kątem projekcji, jednak obiekty sferyczne zachowują dobrą rozróżnialność; c) Widok z boku. Oś źródło-detektor przebiega poziomo. Tomosynteza nie jest oficjalnie zaaprobowaną metodą badania znajduje się jeszcze w trakcie badań, które mają posłużyć znalezieniu prawidłowego miejsca jej zastosowania w medycynie

19 Bibliografia 1.2 Akwizycja obrazu Wyjaśnienie procedury akwizycji obrazu Rys. 12 Układ projekcyjny oraz profil uzyskany po prześwietleniu badanego obiektu wiązką równoległą promieniowania rentgenowskiego. Powyższy rysunek przedstawia układ źródło-detektor systemu tomograficznego w którym pozycja źródła w stosunku do detektora nie ulega zmianie podczas całego procesu skanowania. Wiązka równoległa składa się z promieni rozchodzących się prostoliniowo, skierowanych w stronę detektora. Źródło oświetla zatem obiekt promieniowaniem X, które ulega częściowej absorpcji (pochłonięciu) przechodząc przez obiekt. Promienie padające na detektor są mierzone i zapisywane w pamięci komputera. Taki pojedynczy pomiar nazywany projekcją. Zestawienie kolekcji projekcji dla pojedynczej warstwy nazywamy sinogramem

20 Badanie algorytmów rekonstrukcji obrazu tomograficznego Rys a) obraz wejściowy przedstawiający punkt; b) sinogram uzyskany z obrazu wejściowego a; c) odcinek o grubości 5px; d) sinogram uzyskany z obrazu c; e) fantom Shepp'a-Logan'a; f) sinogram uzyskany z obrazu e. Mimo większego stopnia skomplikowania w dalszym ciągu możemy interpretować go jako geometryczne złożenie sinusoid o różnych parametrach. Wszystkie obliczenia i ich wizualizacje wykonane zostały w środowisku MATLAB. Powyżej zaprezentowano kilka przykładowych obrazów (przekrojów) 2D oraz odpowiadających im sinogramów. Po wykonaniu pojedynczej projekcji układ źródło-detektor obracany jest względem osi obiektu o kąt obrotu Θ. Kąt ten jest wcześniej ustalony i stały dla całego procesu akwizycji obrazu. Łatwo policzyć, że jeśli Θ = 3 oraz jeśli chcemy przeprowadzić akwizycję tak aby układ wykonał pełny obrót (360 ) to ilość projekcji będzie wynosić 120 (0, 3, 6 itd.)

21 Bibliografia Najczęściej układ źródło-detektor wykonuje pełny obrót (360 ), jednak możliwe jest także wykonanie rekonstrukcji na bazie projekcji z zakresu Zwłaszcza w przypadku wiązki równoległej, jakość rekonstrukcji może być w wybranych przypadkach akceptowalna. Wzornik gęstości (fantom) jako narzędzie umożliwiające analizę jakości algorytmów rekonstrukcyjnych. Tomografia komputerowa pozwala nam uzyskać obraz przekroju przez badany obiekt. Z technicznego punktu widzenia jest to informacja bardzo pożądana jednak w praktyce trudna do weryfikacji ponieważ przeważnie nie są znane szczegółowe dane badanego obiektu (takie jak rozmieszczenie jego składowych czy ich względna gęstość i absorpcja). Najczęściej też nie jest możliwe wykonanie przekroju obiektu w celu weryfikacji wyniku (np. gdy skanowana jest głowa pacjenta lub w przypadku nieinwazyjnego testowania materiałów na linii produkcyjnej). Na etapie konstruowania i testowania poprawności działania aparatury tomograficznej oraz oprogramowania do rekonstrukcji obrazu konieczne jest posiadanie obiektu o znanych i precyzyjnie określonych właściwościach. Taka sytuacje pozwala zbadać obiekt (wykonać akwizycję obrazu za pomocą tomografu), zrekonstruować zgromadzone dane, a następnie porównać obraz wyjściowy (wynikowy) ze znanym nam obiektem wejściowym (skanowanym). Porównanie takie jest konieczne w celu weryfikacji poprawności działania całej procedury (w tym oprogramowania) oraz w celu ewentualnej poprawy jakości pozyskiwanego obrazu (poprzez zastosowanie odpowiedniej korekcji czy filtrowania). Obiekt zaprojektowany do testowania procedury rekonstrukcji nazywany jest wzornikiem a częściej fantomem (ang. phantom). Jest to najczęściej zestaw kilku obiektów elementarnych rozmieszczonych w określony sposób, posiadających różny (lecz ściśle określony) rozmiar oraz gęstość. Obiekty te mogą być wykonane z różnego rodzaju żywic epoksydowych lub innych substancji.[błąd: Nie znaleziono źródła odwołania] Użycie fantomu numerycznego tj. opisanego za pomocą odpowiednich wielkości fizycznych, pozwala również na rozpatrywanie całego procesu akwizycji i rekonstrukcji obrazu jako złożonego układu równań matematycznych. Możemy również rozpatrywać proces projekcji jako sumę projekcji poszczególnych elips. Oba te założenia mogą się

22 Badanie algorytmów rekonstrukcji obrazu tomograficznego przyczynić do ułatwienia weryfikacji poprawności działania algorytmu.[błąd: Nie znaleziono źródła odwołania] Rys. 14 Shepp-Logan Phantom zaimplementowany w środowisku MATLAB. Funkcja phantom(n) umożliwia wygenerowanie fantomu o rozmiarze n x n pikseli, co stanowi duże ułatwienie w testowaniu algorytmów.6 W historii tomografii powstały różne rodzaje fantomów, jednak najbardziej popularnym jest fantom Shepp a-logan a (ang. Shepp-Logan Phantom). Składa się on z 10 elips o gęstości określonej za pomocą współczynników względnych, rozmieszczonych w określony sposób (patrz Rys Rys. 15]). Porównując wynik rekonstrukcji z fantomem możemy określić jakość algorytmu rekonstrukcyjnego, występujące artefakty oraz dokładność z jaką odzwierciedla obiekty o niewielkim rozmiarze lub niewielkiej gęstościbłąd: Nie znaleziono źródła odwołania,błąd: Nie znaleziono źródła odwołania. Uznaje się, że rekonstrukcja tomograficzna obszaru czaszki i mózgu człowieka wymaga najwyższej dokładności numerycznej i powinna być przeprowadzona w taki sposób aby powstałe artefakty były jak najmniejsze

23 Bibliografia Rys. 15 Shepp-Logan Phantom. Opis matematyczny zamieszczony w książce Principles of Computerized Tomographic Imaging 7. Podane wartości oznaczają gęstość obiektu. Obiekty ułożone są uproszczonym modelem czaszki człowieka. Elipsy a i b przedstawiają kości czaszki, e móżdżek, h, j oraz i symulują zmiany nowotworowe. Porównując wynik rekonstrukcji z fantomem możemy określić jakość algorytmu rekonstrukcyjnego, występujące artefakty oraz dokładność z jaką odzwierciedla obiekty o niewielkim rozmiarze lub niewielkiej gęstości. W niniejszej pracy wykorzystany został również rozszerzony fantom Shepp alogan a, zaprojektowany na University of Patras, przez dra Zachariasa Kamarianakisa. Charakteryzuje się on zwiększoną liczbą obiektów składowych, co pozwala na bardziej wnikliwą analizę działania algorytmu rekonstrukcyjnego. Jest to tzw. fantom software owy, co oznacza że jego matematyczny opis używany jest przez oprogramowanie symulujące pracę tomografu do wytworzenia odpowiednich danych (projekcji), które są używane następnie do rekonstrukcji

24 Badanie algorytmów rekonstrukcji obrazu tomograficznego Rys. 16 rozszerzony fantom Shepp a-logan a, zaprojektowany na University of Patras, przez dra Zachariasa Kamarianakisa. Rysunek wykonany został przez autora phantomu. Dane matematyczne dotyczące rozmieszczenia i współczynników pochłaniania promieniowania dla obiektów składowych opisuje załączona tabela, gdzie każdy wiersz odpowiada opisowi jednego z rysunku Rys. 16] Nr x0,y0,z0, [mm] obiektu X, Y, Z półosie, [mm] Współczynnik osłabienia [mm-1] 1 (0.0, 0.0, 0.0) (92.0, 90.0, 69.0) (-1.84, 0.0, 0.0) (87.4, 88.0, 66.24) (0.0, -25.0, -22.0) (16.0, 21.0, 41.0) (0.0, -25.0, 22.0) (11.0, 22.0, 31.0) (35.0, -25.0, 0.0) (21.0, ) (10.0, -25.0, 0.0) (4.6, 4.6, 4.6) (-60.5, -25.0, -8.0) (2.3, 2.0, 4.6) (-60.5, ) (2.3, 2.0, 4.6)

25 Bibliografia 9 (-10.5, 62.5, 6.0) (4.0, 10.0, 5.6) (10.0, 62.5, 0.0) (5.6, 10.0, 5.6) (-10.0, -25.0, 0.0) (4.6, 4.60, 4.6) (-60.5, -25.0, 0.0) (2.3, 2.30, 2.3) 1.03 Tabela 1. Matematyczny opis rozszerzonej wersji fantomu skonstruowanego przez dra Zachariasa Kamarianakisa w University of Patras. Rys. 17 Rozszerzony fantom Shepp a-logan a projekcja równoległa obserwowana na detektorze. Powyższy obraz przedstawia symulowany odczyt z detektora podczas projekcji całego fantomu (3D). Widoczne są poszczególne obiekty składowe, ich jasność jest proporcjonalna do gęstości ujętej w tabeli [Tabela 1] Jakość obrazu zrekonstruowanego zawsze będzie niższa niż jakość obrazu wejściowego. Wynika to z faktu, że aby uzyskać obraz wejściowy należałoby wykonać nieskończenie wiele projekcji z nieskończenie małym krokiem obrotu. W praktyce jest

26 Badanie algorytmów rekonstrukcji obrazu tomograficznego to niemożliwe, spotyka się wręcz dodatkowe ograniczenia związane z ujemnym efektem napromieniowania pacjenta czy długim czasem pozyskiwania projekcji. Choć obraz wynikowy nie będzie wolny od drobnych błędów i artefaktów, fantomy są cennym narzędziem pozwalającym na zminimalizowanie jednych i drugich. 1.3 Rekonstrukcja obrazu Transformata Radona Aby lepiej zrozumieć transformatę Radona należy wprowadzić najpierw pojęcie całki liniowej. Całka liniowa to pojęcie opisujące wynik całkowania obiektu po zadanym parametrze wzdłuż linii prostej. Najłatwiej jest zrozumieć to pojęcie poprzez wyobrażenie sobie dowolnej funkcji dwuwymiarowej f(x,y). Standardową całkę takiej funkcji można zobrazować jako objętość pod jej wykresem. Jeśli wytyczyć dowolną linię prostą l w płaszczyźnie osi x, y to całkę liniową dla linii l można zobrazować jako pole powierzchni pod wykresem funkcji f liczone wzdłuż linii l. Każdy obraz dwuwymiarowy możemy rozpatrywać jako funkcję dwuwymiarową f(x,y), która każdemu pikselowi przypisuje pewną wartość c opisującą kolor (lub odcień szarości). f(x,y) = c Równanie 2. Funkcja obrazu f(x,y) przypisuje każdemu pikselowi wartość barwy. Wartości x i y określają współrzędne piksela, c wartość barwy. Jeśli przeprowadzimy przez taki obraz dowolną linię prostą to będziemy w stanie policzyć wartość całki liniowej dla tej linii. W praktyce, prześwietlenie badanego obiektu pojedynczym promieniem rentgenowskim odpowiada właśnie całkowaniu liniowemu funkcji f(x,y) po linii przebiegu promienia. Wyliczoną wartość całki możemy powiązać z wartością projekcji odczytaną w danym detektorze

27 Bibliografia Rys. 18 Przedstawienie problemu pomiaru projekcji jako operacji całkowania liniowego. Każdy promień (prostą) można scharakteryzować określając jego kąt nachylenia θ względem osi OY oraz jego odległość t względem środka układu współrzędnych. Równanie normalne prostej charakteryzuje się takimi właśnie parametrami: Równanie 3. Równanie normalne prostej - x, y współrzędne punktu, θ kąt pomiędzy prostą a osią oy, t odległość prostej od środka układu współrzędnych. Możemy uznać zatem, że powyższe równanie wybiera zbiór wszystkich punktów tworzących linię prostą o zadanych parametrach p i θ spośród wszystkich

28 Badanie algorytmów rekonstrukcji obrazu tomograficznego punktów obrazu. Sumę wartości funkcji f(x,y) dla wszystkich tych punktów można powiązać z wartością mierzoną w detektorze. Pełen zestaw całek liniowych nazywamy transformatą Radona. Jest to narzędzie matematyczne (rodzaj operatora) przekształcające jedną funkcję w drugą. W przedstawionym powyżej przypadku funkcja obrazu f(x,y), która ulega przekształceniu w funkcję profilu obrazu p(θ, t). Takie przedstawienie procesu daje nam matematyczny opis etapu akwizycji danych. Jeśli określić operację transformacji Radona poprzez operator to cały proces transformacji oraz transformacji odwrotnej można przedstawić w następujący sposób: Równanie 4. Transformata Radona. x, y współrzędne punktu, f funkcja obrazu, p funkcja profilu, θ kąt pomiędzy prostą po której odbywa się całkowani a osią oy, t odległość prostej od początku układu współrzędnych. Równanie 5. Odwrotna transformata Radona. g funkcja obrazu zrekonstruowanego. Pozostałe parametry opisane w równaniu Odwrotna transformata Radona W poprzednim rozdziale wykazano, że proces akwizycji danych można przedstawić w postaci transformaty Radona. Dzięki temu można wykorzystać teraz odwrotną transformatę Radona jako narzędzie pozwalające na odtworzenie funkcji obrazu f(x, y) z funkcji profilu p(t, θ). Należy zauważyć, że w praktyce funkcja wejściowa f(x,y) nie jest znana, a proces transformacji Radona nie jest fizycznie wykonywany. Projekcje zostają utworzone poprzez pomiar natężenia promieniowania przechodzącego przez obiekt pod różnym kątem. Po wykonaniu odwrotnej transformaty Radona na otrzymanych projekcjach uzyskuje się aproksymowane wartości funkcji f(x,y)

29 Bibliografia Rysunek Rys. 19] przedstawia ideę odwrotnej transformacji Radona. Dla każdego kąta θ funkcja projekcji p(t, θ) zostaje rozsmarowana wzdłuż linii po których odbywało się całkowanie. Każdemu punktowi znajdującemu się na linii x cos θ + y sin θ = t przypisana zostaje ta sama wartość, równa p(t, θ). Po wykonaniu tej operacji dla całego zakresu wartości θ otrzymujemy obraz wynikowy g(x, y). Rys. 19 Proces odwrotnej transformacji Radona. Kolejno, dla każdego kąta θ funkcja projekcji p(t, θ) zostaje rozsmarowana wzdłuż linii po których odbywało się całkowanie. Każdemu punktowi znajdującemu się na linii x cos θ + y sin θ = t przypisana zostaje ta sama wartość, równa p(t, θ). Wykonanie transformacji odwrotnej dla pojedynczej projekcji nie zwraca obrazu źródłowego ale już transformacja w zakresie wszystkich wartości θ pozwala na uzyskanie obrazu bardzo zbliżonego do wejściowego. Otrzymujemy w ten sposób funkcję g(x,y), która jest aproksymacją funkcji f(x,y) Aby otrzymać obraz o satysfakcjonującej jakości konieczne jest wcześniejsze przygotowanie projekcji. Wykonuje się je poprzez filtrację każdej projekcji w dziedzinie częstotliwości

30 Badanie algorytmów rekonstrukcji obrazu tomograficznego Odwrotna transformata Radona jest narzędziem matematycznym, które wykorzystywane jest w algorytmie rekonstrukcyjnym opartym na wstecznej projekcji (ang. Back Projection, BP). Jeśli projekcje wejściowe zostały wcześniej specjalnie przygotowane (przefiltrowane), mówimy o algorytmie wstecznej projekcji z filtracją (ang. Filtered Back Projection, FBP). Metody te zostały opisane w rozdziałach: 1.4.2, 1.4.3, Zniekształcenia obrazu Podstawowym warunkiem uzyskania obrazu bez zniekształceń jest zdefiniowanie funkcji projekcyjnej p(t, θ) w postaci ciągłej, tzn. dla wartości zarówno t jak i θ należących do zbioru liczb rzeczywistych. W praktyce zakres wartości t odpowiada liczbie detektorów w urządzeniu (których liczba jest skończona i posiadają określoną szerokość) natomiast zakres wartości θ ulega dyskretyzacji najczęściej ze względów medycznych ilość promieniowania jaką może przyjąć pacjent jest mocno ograniczona. W takiej sytuacji należy liczyć się z faktem, że funkcja g(x,y) będzie jedynie przybliżeniem obrazu rzeczywistego, zależnym od rozdzielczości przestrzennej tablicy detektorów oraz kroku obrotu Δθ. Kolejny problem dotyczy dyskretyzacji obrazu (czyli wartości funkcji g(x,y)). Skończona jest zarówno rozdzielczość przestrzenna rekonstruowanego obrazu (zazwyczaj rzędu kilku tysięcy pikseli) jak i zakres wartości samej funkcji, który w celu zaprezentowania na ekranie często ograniczany jest do 256 odcieni szarości, ze względu na specyfikę ludzkiego oka. Ograniczenie rozdzielczości przestrzennej powoduje konieczność zastosowania interpolacji przy obracaniu obrazu (każda rozsmarowana projekcja obrócona zostaje o odpowiadającą jej wartość kąta θ). Problem interpolacji zilustrowany został na rysunku Rys. 23]

31 Bibliografia Rys. 20 Fragment fantomu Shepp a-logana z zastosowaniem różnego rodzaju interpolacji. Rysunek a interpolacja nearest-neighbor, b spline interpolation, c obraz oryginalny. Można zaobserwować różne rodzaje artefaktów w zależności od zastosowanego rodzaju interpolacji

32 Badanie algorytmów rekonstrukcji obrazu tomograficznego Rys. 21 Artefakt spowodowany twardnieniem wiązki. Rysunek a ilustruje rzeczywisty przekrój obiektu wraz z profilem. Rysunek b przedstawia artefakt obecny na obrazie rekonstruowanym. Profile pod rysunkami przedstawiają gęstość badanego obiektu. Artefakt tego rodzaju występuje głównie, gdy obiekt o mniejszej gęstości otoczony jest obiektem o gęstości znacznie większej. Sytuacja taka charakterystyczna jest dla tomografii głowy człowieka, gdzie mózg otoczony jest kościami czaski. Dodatkowym ograniczeniem jest jakość wytworzonego promieniowania rentgenowskiego. Należy zapewnić stałość jego natężenia w trakcie wykonywania badania oraz równomierny rozkład wiązki. Bardzo ważnym czynnikiem jest też monochromatyczność promieniowania, czyli stała długość fali w całej wiązce. Wszystkie wyemitowane elektrony powinny charakteryzować się jednakową energią, co w praktyce nie jest możliwe do uzyskania. Prowadzi to do sytuacji gdzie natężenie promieniowania nie jest zależne jedynie od odległości od jego źródła ale również od interakcji pomiędzy promieniowaniem a materiałem przez który ono przenika. W efekcie fotony o mniejszej energii są pochłaniane znacznie szybciej, zatem do

33 Bibliografia głębszych warstw badanego obiektu docierają fotony o większej energii, które charakteryzują się lepszym przenikaniem przez badany obiekt. Jest to zjawisko twardnienia wiązki, opisane w rozdziale Rys. 22 Artefakty wynikające z obecności przedmiotów o relatywnie dużej gęstości (wypełnienie stałe zęba) podczas tomografii szczęki. Obraz a przedstawia schemat poglądowy (prześwietlenie z boku), obrazy b, c, d to kolejne przekroje przez szczękę pacjenta (wykonane na różnej wysokości ). Wyraźnie widoczne jest zjawisko zwiększania się artefaktów w zależności od ilości materiału o podwyższonej gęstości. Obraz zaczerpnięty został z książki Computed Tomography[Błąd: Nie znaleziono źródła odwołania] Zniekształcenia powstałe w opisany wyżej sposób nazywa się artefaktami. Przyczyny ich powstawania mogą wynikać z procesów fizycznych zachodzących podczas skanowania obiektu ale mogą też być efektem działania algorytmu rekonstrukcyjnego (błędy zaokrągleń lub zbyt mała ilość danych)

34 Badanie algorytmów rekonstrukcji obrazu tomograficznego Rys. 23 Wizualizacja zależności pomiędzy jakością obrazu a wartością Θ; a) Θ = 20 ; b) Θ = 8 ; c) Θ = 3 ; d) Θ = 1 ; Przypadkiem idealnym jest sytuacja gdy Θ dąży do Techniki rekonstrukcji obrazu Omówienie rekonstrukcji na przykładzie wstecznej projekcji i wiązki równoległej

35 Bibliografia Układ projekcyjny w którym wykorzystuje się wiązkę równoległą oraz obracający się układ źródło-detektor jest pod względem geometrycznym, najłatwiejszy do opisania i przedstawienia. Również metoda wstecznej projekcji jest jedną z prostszych do zrozumienia metod rekonstrukcji. Profil uzyskany podczas projekcji pod każdym z kątów ulega rozsmarowaniu na powierzchnię o rozmiarach równych rozmiarom rekonstruowanego obrazu. W uproszczeniu możemy określić ten proces jako operację odwrotną do procedury całkowania liniowego, opisanej w rozdziale i zbieżną z procedurą odwrotnej transformaty Radona opisanej w rozdziale Rys. 24 Uzyskany profil oraz rozsmarowana projekcja. Następnie tak przygotowane obrazy są normalizowane oraz nakładane na siebie (łączone). Proces normalizacji polega na podzieleniu wartości każdego piksela poprzez ilość wszystkich projekcji. W ten sposób po złożeniu obrazów oryginalny zakres wartości pozostanie zachowany

36 Badanie algorytmów rekonstrukcji obrazu tomograficznego Rys. 25 Uproszczony schemat rekonstrukcji techniką wstecznej projekcji. Zrekonstruowany obraz jest złożeniem trzech rozsmarowanych projekcji, uzyskanych z profili zmierzonych pod kątem 0, 45 i

37 Bibliografia Poniżej przedstawiony jest proces rekonstrukcji obrazu metodą wstecznej projekcji na przykładzie fantomu Shepp a-logan a wykonanej dla obrazu wejściowego o wymiarach pikseli. Rys. 26 Etapy rekonstrukcji fantomu Shepp a-logan a. a) Pierwszy slice rozsmarowana projekcja wykonana pod kątem 0 ; b) Projekcje w zakresie 0-10 po połączeniu obrazów składowych; c) Projekcje w zakresie 0-90 po połączeniu obrazów składowych; d) Projekcje w zakresie po połączeniu obrazów składowych obraz zrekonstruowany

38 Badanie algorytmów rekonstrukcji obrazu tomograficznego Metody oparte na technice wstecznej projekcji Choć użycie odwrotnej transformaty Radona wydaje się idealnym rozwiązaniem problemu rekonstrukcji, w praktyce konieczne jest uwzględnienie wielu ograniczeń, które przedstawione zostały w rozdziale Metody oparte na wstecznej projekcji charakteryzują się akceptowalną jakością rekonstrukcji oraz (co istotne) niewielką ilością czasu (nakładu obliczeniowego) potrzebnego do zrekonstruowania obrazu. Zyskały sobie one dużą popularność również ze względu na łatwość implementacji Metoda wstecznej projekcji bez filtracji Metoda projekcji wstecznej, niepoprzedzona procesem filtracji nie daje dobrych wyników rekonstrukcyjnych. Uzyskane w ten sposób obrazy cechują się niską jakością, szczegóły są niewyraźne i zamazane. Metoda została przedstawiona jedynie w celu wprowadzenia do metody wstecznej projekcji z filtracją. Proces rekonstrukcji odbywa się zgodnie z zasadą działania odwrotnej transformacji Radona, przedstawioną w rozdziale 1.3.2, jednak uzyskany obraz charakteryzuje się wszystkimi niedoskonałościami opisanymi w rozdziale Funkcja projekcyjna p(θ, t) nie jest w żaden sposób przygotowana ani filtrowana. Na rysunku Rys. 27] przedstawiony został wynik rekonstrukcji omawianą metodą. Rekonstrukcję wykonano z 180 projekcji wykonanych wiązką równoległą, co 1 stopień, z użyciem 1024 detektorów. Projekcje uzyskano poprzez symulację wykonaną w środowisku MATLAB

39 Bibliografia Rys. 27 Powyższy obraz przedstawia rekonstrukcję fantomu Shepp a-logan a. Wykonane zostało 180 projekcji wiązką równoległą (co 1 stopień), przy użyciu 1024 detektorów. Uzyskany obraz ma wymiary 1024x1024 piksele Metoda wstecznej projekcji z filtracją Metoda wstecznej projekcji z filtracją różni się od metody bez filtracji, przedstawionej w rozdziale 1.4.3, operacją filtrowania funkcji projekcyjnej. Każda projekcja podlega filtrowaniu w dziedzinie częstotliwości. Ponieważ funkcję projekcyjną możemy przedstawić w postaci sinogramu (który jest zestawem kolejnych projekcji pod określonym kątem) można powiedzieć, że proces filtrowania projekcji tożsamy jest z filtrowaniem sinogramu

40 Badanie algorytmów rekonstrukcji obrazu tomograficznego Rys. 28 Różne rodzaje funkcji filtrujących. a Ramachadran and Lakshminarayanan, b- filtr kosinusowy I, c- Shepp and Logan, d filtr kosinusowy II. Po lewej stronie przedstawiono charakterystykę filtra w

41 Bibliografia dziedzinie przestrzennej a po prawej stronie widmo w dziedzinie częstotliwości. Obrazek zaczerpnięto z książki Computed Tomography [Błąd: Nie znaleziono źródła odwołania] Filtrowanie obrazu (sinogram możemy traktować jako obraz) w dziedzinie częstotliwości polega na przekształceniu każdego wiersza obrazu do postaci widma, za pomocą transformacji Fouriera. Następnie wynik mnożony jest przez funkcję filtrującą. Możliwe jest zastosowanie różnych rodzajów funkcji. Po wymnożeniu wykonywana jest wsteczna transformacja Fouriera. Przefiltrowany w ten sposób sinogram używany jest do dalszego procesu rekonstrukcji, który jest identyczny z wcześniej już opisanym. Rys. 29 Powyższy obraz przedstawia rekonstrukcję z filtrowaniem fantomu Shepp a-logan a. Wykonane zostało 180 projekcji wiązką równoległą (co 1 stopień), przy użyciu 1024 detektorów. Uzyskany obraz ma wymiary 1024x1024 piksele. Zastosowany został filtr Ramachadran and Lakshminarayanan

42 Badanie algorytmów rekonstrukcji obrazu tomograficznego Rys. 30 Sinogram zawierający projekcje fantomu zrekonstruowanego na rysunkach Rys. 27] a (wersja bez filtracji) i [Rys. 29] b (wersja z filtracją). Sinogram przedstawiony na rysunku b odpowiada sino gramowi przedstawionemu na rysunku b przefiltrowanemu za pomocą funkcji Ramachadran and Lakshminarayanan. Mnożenie w dziedzinie częstotliwości odpowiada operacji konwolucji w dziedzinie przestrzennej. W zależności od zastosowanego filtra można otrzymać różny efekt na obrazie wynikowym. Różne rodzaje filtrów przedstawiono na rysunku Rys. 28]

43 Bibliografia 1.5 Metody algebraiczne ART. W rozdziale [1.3.1] przedstawiona została problematyka przedstawienia projekcji jako operacji całkowania liniowego w dziedzinie ciągłej. Bazując na tej metodzie można w przystępny sposób wyjaśnić podstawy rekonstrukcji algebraicznej. O ile rozpatrywanie procesu projekcji jako procesu wyliczania całek liniowych może wydawać się nieco skomplikowane dla dziedziny ciągłej, o tyle dla dziedziny dyskretnej ulega ono znacznemu uproszczeniu. Możliwość przejścia do dziedziny dyskretnej wynika ze specyfiki układu projekcyjnego. Układ źródło-detektor wykonuje skończoną ilość obrotów i mierzy projekcje skończoną ilością detektorów. Z kolei od algorytmu rekonstrukcyjnego oczekujemy aby wygenerował wynik w postaci obrazu złożonego ze skończonej ilości pikseli o skończonej wartości odcieni szarości. Poruszając się w dyskretnej dziedzinie wartości, funkcję opisującą obraz możemy zdefiniować jako tablicę pikseli, z których każdy charakteryzowany jest numerem wiersza i kolumny. Funkcję f(x,y) możemy zatem zastąpić funkcją g(m,n), gdzie m i n odpowiadają numerowi wiersza i kolumny. Należy przyjąć również założenie dotyczące promienia. O ile w przypadku transformacji Radona promień charakteryzował się nieskończenie małą szerokością o tyle w przypadku metod algebraicznych zakłada się określoną szerokość promienia i ściśle wyróżnia się prostą wyznaczającą jego początek oraz koniec. Takie podejście pozwala nam obliczyć dla każdego promienia i dla każdego piksela współczynnik przecięcia (promienia r z pikselem s). Jak łatwo zauważyć w większości przypadków współczynnik ten będzie równy zero pozwala to na znaczną optymalizację procesu obliczeniowego

44 Badanie algorytmów rekonstrukcji obrazu tomograficznego Rys. 31 Przedstawienie problemu pomiaru projekcji jako operacji całkowania liniowego w dziedzinie dyskretnej. Całkowanie zastępujemy operacją sumowania. Suma liniowa 1 funkcji obrazu g(m,n) po linii l odpowiada więc sumie wartości wszystkich pikseli z tablicy, przez które przebiega prosta opisana równaniem x cos θ y sin θ = t. Suma ta jest dla nas wartością projekcji p generowanej przez promień. W praktyce dysponujemy skończoną, znaną liczbą detektorów. Możemy przyjąć, że dla każdego detektora d istnieje dokładnie jedna prosta l a wartość projekcji p odczytana na detektorze d odpowiada wartości powstałej w wyniku operacji całkowania liniowego funkcji obrazu g(m,n) po linii l. 1 Suma liniowa nie jest ścisłym pojęciem matematycznym. Autor wprowadził pojęcie sumy liniowej aby umożliwić czytelnikowi łatwiejsze zrozumienie problemu. Sumę liniową należy rozumieć jako wynik operacji całkowania liniowego w dziedzinie dyskretnej

45 Bibliografia Sytuację przedstawioną na rysunku Rys. 31] można rozpatrywać jako układ równań, gdzie każdy promień odpowiada pojedynczemu równaniu. Niech p1 oznacza wartość natężenia promienia r1 zmierzoną na detektorze. Promień r1 posiada współczynnik przecięcia z każdym pikselem s. Współczynnik ten wyraża stosunek powierzchni przecięcia do powierzchni całego piksela i może przyjmować wartości z zakresu <0, 1>. Współczynnik przecięcia promienia r1 z pikselem s1 oznacza się symbolem. Piksel s1 posiada gęstość oznaczaną poprzez ds1 Wartość zmierzona na detektorze zależna jest od gęstości pikseli które przeciął promień. Dla każdego detektora (zatem również dla każdego promienia) możemy zapisać równanie: Równanie 6. Układ równań rekonstrukcyjnych. Opis parametrów w treści rozdziału. Powyższe równania tworzą układ równań projekcyjnych. Ilość wszystkich równań można wyznaczyć wymnażając ilość wszystkich promieni przez ilość wszystkich obrotów układu źródło-detektor wokół obiektu. Rozwiązanie układu równań prowadzi do otrzymania zrekonstruowanego obrazu (czyli funkcji wyjściowej g(m, n) ). Rozwiązanie przedstawionego układu równań metodą podstawiania jest bardzo czasochłonne dlatego stosuje się metodę zaproponowaną przez polskiego uczonego S. Kaczmarza w roku 1937, zwaną też metodą rzutowania, opisaną w książce Angenaherte auflosung von systemen linearer gleichungen [ 8]. Metoda rzutowania

46 Badanie algorytmów rekonstrukcji obrazu tomograficznego pozwala uzyskać przybliżony wynik, który charakteryzuje się dokładnością zwiększającą się w miarę wykonywania kolejnych iteracji. Zasadę działania metody rzutowania opisać można w następujących krokach: 1. Zdefiniowanie obrazu początkowego (przyjmuje się, że wartość funkcji g(m, n) dla wszystkich pikseli wynosi 0 2. Dla każdego kąta obrotu: o Dla każdego promienia: Obliczenie wartości projekcji dla obrazu wyjściowego Porównanie obliczonej wartości z rzeczywistą wartością funkcji projekcyjnej pozyskanej z obrazu źródłowego.. Obliczenie wartości współczynnika korekcji Aktualizacja wartości każdego piksela w obrazie wynikowym. 3. Jeśli jakość uzyskanego w ten sposób obrazu jest akceptowalna można zakończyć algorytm. W przeciwnym wypadku należy powrócić do kroku

47 Bibliografia Rys. 32 Kolejne kroki rekonstrukcji obrazu o wymiarach 4x4 piksele. a if wartość projekcji dla obrazu wynikowego, pi rzeczywista wartość projekcji dla obrazu wejściowego, a if- pi Wartość współczynnika korekcji dla promienia. Rysunek zaadaptowany z książki Computed Tomography [Błąd: Nie znaleziono źródła odwołania] Metoda rzutowania wykorzystana w algorytmie nie jest przedmiotem pracy magisterskiej. Szczegółowy opis metody, wraz z uzasadnieniem matematycznym można znaleźć w książce Principles of Computed Tomography [Błąd: Nie znaleziono źródła odwołania]

48 Badanie algorytmów rekonstrukcji obrazu tomograficznego Odmiany metody ART Podstawowa metoda rekonstrukcji algebraicznej doczekała się wielu odmian, z których najpopularniejsze noszą nazwę SIRT (ang. Simultaneous Iterative Reconstruction Tomography) i SART (ang. Simultaneous Algebraic Reconstruction Technique). Wprowadzono w nich drobne modyfikacje polegające na zmianie momentu aktualizacji obrazu wynikowego współczynnikiem korekcyjnym oraz zastąpieniu tradycyjnego podejścia polegającego na przedstawianiu obrazu jako zbioru pikseli nowym podejściem, wykorzystującym elementy bilinearne (ang. bilinear elements). Zastosowane zmiany pozwoliły zmniejszyć nakład obliczeniowy niezbędny do rekonstrukcji oraz zwiększyć dokładność obrazu wynikowego a także ilość iteracji koniecznych do uzyskania obrazu o dobrej jakości. Metoda rekonstrukcji algebraicznej opisana w rozdziale wykorzystywana była w algorytmie rekonstrukcyjnym pierwszego skonstruowanego tomografu. Rekonstruowany obraz posiadał wymiary 80x80 pikseli a jego rekonstrukcja trwała 9 dni. 1.6 Oddziaływanie promieniowania rentgenowskiego na człowieka Szkodliwe działanie promieniowania jonizującego Szkodliwe oddziaływanie promieniowania rentgenowskiego odnotowano już wkrótce po jego wynalezieniu. Lekarze wykorzystujący promieniowanie X do celów diagnostycznych zwrócili uwagę na uszkodzenia skóry kończyn badanych pacjentów. Kolejnym krokiem na drodze pogłębiania świadomości szkodliwego działania promieniowania jonizującego był raport ONZ z 1962 r. w którym przedstawiono wyniki badań wykazujące, że udział promieniowania pochodzącego z rentgenodiagnostyki jest

49 Bibliografia dziesięciokrotnie większy niż promieniowania pochodzącego z opadu radioaktywnego po wybuchu jądrowym.[9] Zaproponowanych zostało wiele rozwiązań mających na celu zminimalizowanie dawki promieniowania na jaką narażony jest pacjent w trakcie badania. Do najbardziej popularnych należą: Skrócenie czasu badania a tym samym czasu ekspozycji pacjenta na promieniowanie rentgenowskie Zwiększenie ilości detektorów w matrycy Zastosowanie przysłon głębinowych i filtrów Tomografia spiralna Tomosynteza Obecnie każdy pacjent objęty jest ochroną radiologiczną, która szczegółowo określa graniczne wartości dawki promieniowania jaka może zostać przyjęta w okresie czasu. Przeprowadzono również szereg badań dotyczących rzeczywistej szkodliwości promieniowania w zabiegach medycznych. Korzyści płynące z zastosowania promieniowania X do celów diagnostycznych są oczywiste, jednak wykorzystanie promieniowania rentgenowskiego np. do badań przesiewowych (tzw. Screeningu) jest mocno dyskutowane, zwłaszcza w kontekście przewagi rzeczywistych korzyści nad potencjalnym ryzykiem związanym z ekspozycją na promieniowanie. [10,11] Potencjalne zagrożenia dla pacjenta Ekspozycja na promienie rentgenowskie może prowadzić do uszkodzenia łańcucha DNA w komórkach ciała człowieka oraz do mutacji genów. Dodatkowo, przyjęcie dużej dawki promieniowania (np. w skutek wadliwego działania aparatury) może prowadzić do poparzenia ciała i choroby popromiennej. W normalnych warunkach komórki z uszkodzonym łańcuchem DNA powinny być w stanie wykryć uszkodzenie i zregenerować fragment łańcucha. Jeśli operacja ta nie jest możliwa komórka powinna uruchomić mechanizmy prowadzące do jej zaplanowanej śmierci (tzw. apoptoza). Rzeczywisty problem powstaje w sytuacji gdy pod wpływem promieniowania jonizującego dojdzie do takiego uszkodzenia kodu

50 Badanie algorytmów rekonstrukcji obrazu tomograficznego DNA, które nie jest możliwe do regeneracji i nie jest możliwe zadziałanie mechanizmu apoptozy. Taka sytuacja może prowadzić do powstania nowotworu. 1.7 Analiza literatury Literatura dotycząca zagadnień związanych z tomografią komputerową jest bardzo obszerna i stale poszerzana o nowe publikacje. Oprócz pozycji traktujących o fizycznych i medycznych aspektach tego zjawiska można przytoczyć listę źródeł dotyczących matematycznych i algorytmicznych zagadnień związanych z tematyką rekonstrukcji danych. Większość publikacji jest napisana w języku angielskim. Ich szeroka dostępność (także poprzez Internet) pozwoliła autorowi wybrać i opracować krótki opis stanu obecnego, z którego bezpośrednio wynikają sprecyzowane obszary badań oraz cele niniejszej pracy. W książce Principles of Computerized Tomographic Imaging [Błąd: Nie znaleziono źródła odwołania] autor bardzo przekrojowo opisuje cały proces obrazowania medycznego z wykorzystaniem tomografu. Książka wydana została w roku 1988, gdy moc obliczeniowa ówczesnych komputerów była absolutnie niewystarczająca do rekonstrukcji obrazów o wysokiej rozdzielczości technikami algebraicznymi na skalę użytkową. Mimo tego faktu, autor w rozdziale 7 szczegółowo opisuje podstawy działania algorytmów opartych na technikach algebraicznych, analizuje ich przydatność oraz przedstawia dwie modyfikacje algorytmów SIRT (ang. Simultaneous Iterative Reconstruction Technique) oraz SART (Simultaneous Algebraic Reconstruction Technique). Dodatkowo, w publikacji przedstawionych jest kilka propozycji uproszczeń związanych z obliczaniem wartości współczynnika wagowego dla pikseli. Autor proponuje zastąpienie procedury obliczania dokładnej wartości tych współczynników procedurą uproszczoną, zwracającą binarny wynik: 1 jeśli promień ma część wspólną z promieniem i 0 w przeciwnym przypadku. Zaproponowana modyfikacja jest kompromisem wynikającym z dużej złożoności obliczeniowej algorytmu. Autor prezentuje wyniki swojej pracy na przykładzie rekonstrukcji niewielkiego obiektu rozmiarach 128 x 128 pikseli dla 100 projekcji, wykorzystując fantom Shepp alogan a. Wybrany rozmiar obszaru rekonstrukcyjnego jest zrozumiały ze względu na

51 Bibliografia możliwości obliczeniowe, jednak uzyskane wyniki są trudne do porównania ze względu na ich niewielkie rozmiary oraz niewielką ilość wykonanych projekcji. Dodatkowo, zastosowane uproszczenia nie wpływają pozytywnie na jakość przedstawionych wyników Rys. 33 Wynik rekonstrukcji fantomu Shepp a-logan a o rozmiarach 128 x 128 pikseli. Rekonstrukcję wykonano za pomocą algorytmu SART. Rysunek zaczerpnięty z książki Principles of Computerized Tomographic Imaging [Błąd: Nie znaleziono źródła odwołania] Od czasu publikacji książki Principles of Computerized Tomographic Imaging [Błąd: Nie znaleziono źródła odwołania] oraz artykułu Art.: Mathematics and Applications [12], techniki algebraiczne zostają porzucone na rzecz technik opartych na metodzie wstecznej projekcji (ang. FBP Filtered Back Projection), co potwierdza i krytykuje Thorsten M.Buzug - autor książki Computed Tomography [Błąd: Nie znaleziono źródła odwołania], wydanej w roku 2008 w Niemczech przez wydawnictwo Springer. Pozycja zawiera szeroki i kompleksowy opis problematyki związanej z rekonstrukcją algebraiczną. Przedstawione zostają bardzo szczegółowe przykłady działania metody algebraicznej oraz załączona zostaje uogólniona propozycja implementacji algorytmu w środowisku MATLAB. Autor wyraźnie podkreśla, że technika wstecznej projekcji charakteryzuje się znacznymi artefaktami oraz, że nie dostrzega wyraźnego uzasadnienia faktu dominacji tej techniki w obszarze rekonstrukcji tomograficznej innego niż aspekt obliczeniowy. Autor zaznacza, że podejście algebraiczne, przedstawiające proces rekonstrukcji jako rozwiązywanie złożonego układu równań matematycznych jest bardziej poprawne, również pod względem dydaktycznym, a także znacznie łatwiejsze do zrozumienia od technik częstotliwościowych, opartych na transformacji Fouriera. Wyraża jednocześnie

52 Badanie algorytmów rekonstrukcji obrazu tomograficznego nadzieję, że rozwój komputerów i postępujący wzrost ich możliwości przyczyni się do spopularyzowania algebraicznych technik rekonstrukcyjnych. Rys. 34 Wizualizacja niezwykle szczegółowych przykładów przedstawiona w książce Computed Tomography [Błąd: Nie znaleziono źródła odwołania] autorstwa Thorsten a Buzug a W książce zostają przedstawione również modyfikacje ART. i SIRT, zostaje przedstawiona zbieżność metody iteracyjnej, dla niewielkiego. Autor poświęca dużo uwagi również metodą statystycznym przedstawiając je jako równorzędną z ART. alternatywę dla metody FBP. Książki Principles of Computerized Tomographic Imaging [Błąd: Nie znaleziono źródła odwołania] oraz Computed Tomography [Błąd: Nie znaleziono źródła odwołania] stanowią absolutną bazę w zakresie algebraicznych metod rekonstrukcyjnych, dobrze obrazują różnice pomiędzy tymi metodami a algorytmami opartymi na wstecznej projekcji. Robert Cierniak w książce Tomografia komputerowa. Budowa urządzeń CT. Algorytmy rekonstrukcyjne [Błąd: Nie znaleziono źródła odwołania] poświęca krótki rozdział algebraicznym algorytmom rekonstrukcyjnym. Jest to publikacja bardzo wartościowa ze względu na ogólną wiedzę dotyczącą tomografii komputerowej, przedstawioną w języku polskim, jednak w kontekście metod algebraicznych wnosi stosunkowo niewiele

53 Bibliografia Oprócz pozycji książkowych dostępne są liczne publikacje naukowe traktujące a wybranych zagadnieniach i problemach związanych z technikami rekonstrukcji tomograficznej i mikrotomgraficznej w tym metodach ART. Bardzo interesującą publikacją jest artykuł, który powstał w wyniku prac dr Wojciecha Chlewickiego wykonanych podczas pobytu w University of Patras w Grecji. Tytuł artykułu to Cone based 3D reconstruction: a fdk - sart comparison for limited number of projections [ 13], autorzy opisują w nim porównanie metod FBP i ART dla niepełnego zakresu kąta projekcji. W podsumowaniu artykułu autorzy podkreślają przewagę metody algebraicznej oraz wykazują mniejszą ilość artefaktów, jednak rekonstrukcja jest wykonywana dla danych pochodzących z symulatora (a nie danych rzeczywistych). Podobne badania zostały przedstawione w artykule Algebraic Reconstruction in CT from Limited Views [14], jednak badano obraz o niewielkich rozmiarach (80 x 80 pikseli) i nie wykonano porównania z algorytmem FBP. Badania zakończone zostały wnioskami podkreślającymi wysoką dokładność metody ART i możliwość zastosowania jej do ograniczonego kąta projekcji. W publikacji zamieszczonej w periodyku pt. Studies in Computational Mathematics w roku 2001 [15] autorzy informują o pierwszym zastosowaniu techniki ART do rekonstrukcji danych pochodzących z tomografii spiralnej. Otrzymane wyniki są poprawne ale autorzy zapowiadają dalszą pracę związaną z optymalizacją złożonego algorytmu. Artykuł pt. Near Real Time Tomographic 3D Reconstruction with the use of the PC Graphics Accelerator [16] zaprezentowany na konferencji Multisensor Fusion and Integration for Intelligent Systems opisuje zastosowanie metod algebraicznych do rekonstrukcji danych w czasie rzeczywistym. Rekonstruowane dane pochodzą ze obrotowego aparatu rentgenowskiego typu C-arm, który może być wykorzystywany na sali operacyjnej do badania bieżącego stanu pacjenta w tym także do pozyskania zdjęć warstwowych podobnych do uzyskiwanych z tomografii komputerowej.. Skaner tego typu obsługiwany jest ręcznie i wykonuje projekcje w niepełnym kącie obrotu. Ma to zasadnicze znaczenie dla pacjenta ze względu na procedury ochrony radiologicznej. Niepełny kąt skanowania pozwala zmniejszyć ilość promieniowania które absorbuje pacjent, dzięki czemu badanie może być wykonane nawet kilkukrotnie w trakcie jednej operacji. Autorzy podkreślają, że w takim przypadku zastosowanie algorytmu FBP nie

54 Badanie algorytmów rekonstrukcji obrazu tomograficznego jest możliwe ze względu na jego ograniczone możliwości rekonstrukcji niepełnego zestawu projekcji. Zdaniem autorów jedyną metodą rekonstrukcji, która może podołać temu zadaniu jest ART. lub jego modyfikacja SART. Przedstawione wyniki pochodzą z rzeczywistego skanera i cechują się dobrą jakością. Zaproponowane rozwiązanie polegające na wykorzystaniu akceleratora graficznego pozwala uzyskać wyniki rekonstrukcji w czasie porównywalnym do czasu skanowania obiektu. Artykuł ograniczony jest jednak tylko do tematu zastosowania skanera C-arm, a przedstawione w nim oprogramowanie nie jest w żaden sposób dostępne. Zaproponowano liczne modyfikacje algorytmu ART w celu poprawy jakości obrazu wynikowego. Tego typu publikacje świadczą wyraźnie o wzroście zainteresowania algebraicznym podejściem do problematyki rekonstrukcji obrazu [17, 18, 19 20, ] Za wyjątkiem pracy Buzug a żadna z przedstawionych publikacji nie zawiera szczegółów implementacyjnych, nie są dostępne też źródła powstałych programów. Uniemożliwia to przeprowadzenie jakichkolwiek badań w zakresie modyfikacji algorytmów i ich parametrów. Niniejsza praca uzupełnia tę lukę, umożliwiając dalszy rozwój zaimplementowanych algorytmów, w tym algorytmu ART i badanie tematyki rekonstrukcji algebraicznej

55 Bibliografia Część badawcza 1.8 Implementacja rekonstrukcji z wykorzystaniem algorytmu FBP Podstawowe problemy dotyczące implementacji rekonstrukcji metodą wstecznej projekcji związane są z interpolacją obracanych obrazów. Funkcja projekcyjna jest rozsmarowywana wzdłuż linii rozchodzenia się promieniowania rentgenowskiego. Tak przygotowany obraz jest obracany (zależnie od kąta projekcji) a następnie podlega interpolacji w celu zapewnienia dobrej jakości obrazu wynikowego. Większość środowisk programistycznych udostępnia gotowe biblioteki zawierające funkcje umożliwiające obrót obrazu wraz z zastosowaniem jednego z kilku dostępnych sposobów interpolacji. Implementacje wykonano w środowisku Matlab i Microsoft Visual Studio Implementacja w środowisku MATLAB Środowisko MATLAB udostępnia szereg funkcji matematycznych związanych z procedurą transformacji Radona oraz odwrotnej transformacji Radona. Dostarczone narzędzia w zupełności wystarczają do przeprowadzenia procesu rekonstrukcji. Autor zaprojektował własny skrypt umożliwiający rekonstrukcję obrazu, poszerzając go o możliwość włączenia lub wyłączenia filtracji sinogramu. Podstawową część rekonstrukcji realizuje fragment funkcji przedstawiony poniżej. % zdefiniuj macierz reprezentującą obraz wejściowy IR = zeros(imagesize); % dla każdej wartości projekcji zawartej w macierzy theta for t = 1:length(theta); % utwórz macierz roboczą TMP = zeros(length(xp)); % odczytaj odpowiedni wiersz sinogramu

56 Badanie algorytmów rekonstrukcji obrazu tomograficznego SinogramRow = R(:,t); % dla każdego wiersza obrazu for y = 1:length(ImageSize) % rozsmaruj projekcję end TMP(y,:) = SinogramRow'; % obróć rozsmarowaną projekcję I dodaj do obrazu wynikowego IR = IR + (imrotate(tmp, theta(t), 'nearest', 'crop') / length(theta)); end Niemal identyczny rezultat (w zależności od przekazanych parametrów) można uzyskać stosując funkcję iradon. Minimalna ilość parametrów jaką przyjmuje ta funkcja to 2 (macierz zawierającą sinogram oraz wartości kątów projekcji). W ramach parametrów opcjonalnych można określić jeden z kilku dostępnych filtrów oraz sposobów interpolacji. Szczegółowo możliwości funkcji iradon opisuje pomoc programu MATLAB[Błąd: Nie znaleziono źródła odwołania] Alternatywnym sposobem jest oprogramowanie obrotu samodzielnie z wykorzystaniem transformacji trygonometrycznych Implementacja C# W środowisku C# również istnieje możliwość użycia gotowych funkcji wykonujących obrót i interpolację. Dodatkowo autor samodzielnie zaimplementował funkcję wykonującą obrót i interpolacje metodą najbliższego sąsiedztwa. Kod źródłowy realizujący obrót z interpolacją znajduje się poniżej: // Obliczenie połowy wysokości obrazu // w celu przyspieszenia obliczeń int h05 = height / 2; //Dla każdego wiersza for (int i = 0; i < height; i++) { // Dla każdego piksela w wierszu for (int j = 0; j < height; j++) { // Wylicz nową współrzędną I int newi = (int)math.round((i-h05) * Math.Cos(angle) - (j-h05) * Math.Sin(angle)) + h05; // Wylicz nową współrzędną J int newj = (int)math.round((i-h05) * Math.Sin(angle) + (j-h05) * Math.Cos(angle)) + h05; // Jeśli współrzędne nie wykraczają poza obraz

57 Bibliografia if (newi > 0 && newi < height && newj > 0 && newj < height) { } // dodaj je do obrazu wynikowego rotatedimage[newi, newj] = image[i, j]; } } Pozostała część algorytmu działa w sposób identyczny z przedstawionym w rozdziale Dodatkowo zaimplementowano funkce pomocnicze dotyczące konwersji tablic do bitmapy, rozsmarowania sinogramu, skalowania i dodawania obrazów, filtracji sinogramu czy transformaty fouriera. Poniżej zaprezentowano kod funkcji odpowiedzialnej za wykonanie filtracji z użyciem filtra medianowego: // Dla każdego wiersza for (int i = 2; i < height - 2; i++) { // dla każdego piksela w wierszu for (int j = 2; j < height - 2; j++) { // Utwórz listę i dodaj do niej piksele sąsiadujące List<double> medianlist = new List<double>(); medianlist.add(image[i - 1, j - 1]); medianlist.add(image[i, j - 1]); medianlist.add(image[i + 1, j - 1]); medianlist.add(image[i - 1, j]); medianlist.add(image[i, j]); medianlist.add(image[i + 1, j]); medianlist.add(image[i - 1, j + 1]); medianlist.add(image[i, j + 1]); medianlist.add(image[i + 1, j + 1]); // Posortuj listę medianlist.sort(); } // Pobierz środkowy element outputimage[i, j] = medianlist[5]; }

58 Badanie algorytmów rekonstrukcji obrazu tomograficznego 1.9 Implementacja rekonstrukcji z wykorzystaniem algorytmu ART. Algorytm rekonstrukcji algebraicznej (ang. Algebraic Reconstruction Technique) różni się zasadniczo od przedstawionego wcześniej algorytmu wstecznej projekcji. Dane wejściowe (a także proces akwizycji obrazu) nie ulegają zmianie, różny jest natomiast proces rekonstrukcji obrazu. Pierwszy etap działania algorytmu polega na obliczeniu pola przekroju każdego promienia z każdym pikselem obrazu. Biorąc pod uwagę ilość wszystkich promieni, pikseli oraz projekcji oraz kształt przekrojów (głównie wielokąty) jest to bardzo rozbudowany proces obliczeniowy. Kolejny etap polega na obliczeniu wartości funkcji projekcyjnej dla bieżącej wartości obrazu, porównaniu jej z rzeczywistą wartością tej funkcji (uzyskaną w procesie skanowania), wyliczeniu współczynnika korekcji a następnie zastosowaniu korekcji dla każdego piksela obrazu, zależnie od wielkości pola przecięcia z promieniem. Opisane powyżej etapy powtarza się dla każdej wartości kąta projekcji, dzięki czemu każdy kolejny krok algorytmu pozwala uzyskać lepsze przybliżenie wyniku. Po wykonaniu algorytmu dla pełnego zbioru projekcji można przeprowadzić kolejną iterację, zwiększając zbieżność pomiędzy obrazem rekonstruowanym a rzeczywistym. Iteracje można wykonywać tak długo aż uzyskana zbieżność uznana zostanie za wystarczającą. Problem algebraiczny Podstawowym wyzwaniem rekonstrukcji algebraicznej jest wydajne obliczenie pola powierzchni przecięcia zadanego promienia z pikselem (lub z vokselem w przypadku geometrii 3D. Należy pamiętać, że w przypadku tej metody rekonstrukcyjnej przyjmujemy, że każdy promień ma określone wymiary (przeciwnie niż w metodzie wstecznej projekcji. Choć poczynione założenie stanowi pewne wyzwanie algebraiczne i obliczeniowe, daje ono istotną korzyść w postaci uniezależnienia dalszej części rekonstrukcji od geometrii układu projekcyjnego

59 Bibliografia Pole powierzchni przecięcia promienia z pikselem służy następnie jako współczynnik wagowy przy dalszych obliczeniach. Autor zaproponował dwie metody obliczania tych współczynników. Rys. 35 Przedstawienie różnych ułożeń promień-piksel wraz z odpowiadającymi im wartościami współczynnika wagowego. Współczynnik wagowy wyraża stosunek pola powierzchni przecięcia do całkowitego pola powierzchni piksela Metoda wyznaczania współczynników Z przedstawionych na rysunku Rys. 35] przykładów możemy wnioskować, że pole przecięcia zawsze przyjmuje kształt wielokąta wypukłego. Może być ono trójkątem, czworokątem, pięciokątem lub sześciokątem. Figura ta wyznaczana jest przez punkty przecięcia brzegów promienia z brzegami piksela oraz przez narożniki piksela. Współrzędne narożników piksela są znane natomiast współrzędne punktów przecięcia brzegów promienia i brzegów piksela stanowią niewiadomą, którą należy obliczyć. Punktów takich może być od 0 do

60 Badanie algorytmów rekonstrukcji obrazu tomograficznego Przyjmijmy, że współrzędne wierzchołków piksela to (x1,y1), (x1,y2), (x2,y1), (x2,y2) oraz równania prostych wyznaczających brzegi promienia to funkcje f1(x) i f2(x). Wykonują kilka obliczeń możemy wyznaczyć 8 hipotetycznych punktów przecięcia, które następnie należy zweryfikować pod kątem przynależności do brzegu piksela. Interesujące nas punkty to: x1,f1(x1) x2,f1(x2) f1-1(y1),y1 f1-1(y2),y2 x1,f2(x1) x2,f2(x2) f2-1(y1),y1 f2-1(y2),y2 Funkcje f1 i f2 to równania normalne prostej w kartezjańskim układzie współrzędnych, gdzie f1 odpowiada jednemu a f2 drugiemu brzegowi piksela. Równanie normalne prostej przedstawia poniższy wzór Równanie odwrotne po przekształceniu ma postać: gdzie w obu równaniach α jest kątem projekcji (w niektórych opracowaniach oznaczanym także jako θ) a d jest odległością prostej od środka układu współrzędnych. Wartość opisana symbolem d może być rozumiana inaczej jako odległość brzegu promienia od środka układu współrzędnych. Proste stanowiące brzegi piksela są równoległe zatem Funkcje f1 i f2 różnią się tylko wartością d, która zawsze odpowiada odległości brzegu promienia od początku układu współrzędnych

61 Bibliografia Rys 36. Wyznaczanie pola przecięcia promienia nr 4 i Piela nr 1. Pole zostanie obliczone na podstawie wielokąta złożonego z dwóch wierzchołków piksela oraz punktów h3, v3, h2, v2. Algorytm obliczania współczynników wagowych można zatem przedstawić następująco: 1. Dla każdego piksela o znanych współrzędnych {(x1,y1), (x1,y2), (x2,y1), (x2,y2)} oraz dla każdej pary prostych f1 i f2 wyznaczających brzegi zadanego promienia oblicz współrzędne następujących punktów: x1,f1(x1) x2,f1(x2) f1-1(y1),y1 f1-1(y2),y2 x1,f2(x1) x2,f2(x2) f2-1(y1),y1 f2-1(y2),y2 2. Zweryfikuj każdy z obliczonych punktów pod kątem przynależności do brzegu piksela, sprawdzając czy współrzędne punktu zawierają się w

62 Badanie algorytmów rekonstrukcji obrazu tomograficznego przedziałach <x1,x2>, <y1,y2>. Odrzuć punkty nie zawierające się w tym przedziale. Dodaj do zbioru punkty będące narożnikami piksela Uszereguj punkty wg współrzędnych Oblicz pole wielokąta rozpiętego na uszeregowanych punktach Podziel uzyskaną wartość przez pole powierzchni piksela Kroki 5 i 6 wykonano z wykorzystaniem gotowych funkcji programu MATLAB Alternatywna metoda wyznaczania współczynników Podstawową zaletą proponowanej niżej metody alternatywnej jest pełna niezależność od środowiska MATLAB. Dodatkowo nie są wykonywane żadne zbędne kroki obliczeniowe, co jest zaletą w stosunku do wcześniejszej metody gdzie część uprzednio obliczonych punktów była odrzucana). Podstawowym założeniem jest przyjęta zasada, że kąt α oraz długość wektora x są wystarczającymi danymi do obliczenia pola przecięcia. Jest tak w istocie znając te wartości możemy w prosty sposób określić jaką figurą geometryczną będzie szukany przekrój. Dysponując taką informacją możemy podzielić powierzchnię przekroju na zestaw trójkątów lub trójkątów i prostokąta. W każdej z tych figur wystąpi z pewnością kąt wewnętrzny o wartości α lub 90 α. Zależność ta wynika z zasady przystawania kątów. Dodatkowo, znając długość wektora x i wykorzystując funkcje trygonometryczne możemy obliczyć długość co najmniej jednego z boków każdego z trójkątów a zatem także jego pole. Długość wektora x wyliczamy mnożąc odległość między punktem przecięcia brzegu promienia i brzegu piksela a narożnikiem piksela przez wartość sin α. Następnie na podstawie otrzymanej długości rozstrzygamy z jakim przypadkiem mamy do czynienia (patrz rys Rys. 35]) i w zależności od przypadku obliczamy pole. W istocie definiujemy więc funkcję. Funkcja ta jest określona przedziałami zależnymi od przypadku (dla pola przekroju w kształcie trójkąta, czworokąta, pięciokąta lub sześciokąta)

63 Bibliografia Rys. 37 Sześciokątne pole przekroju podzielone na trójkąty i prostokąt. Łatwo jest zauważyć, że znajomość długości wektora x oraz kąta α jest wystarczająca do obliczenia pola powierzchni przedstawionych figur Implementacja w środowisku MATLAB Algorytm przedstawiony w poprzednich rozdziałach można podzielić na dwie części: związaną ze znalezieniem pola przekroju piksela i promienia oraz związaną z obliczeniem projekcji i korekcją obrazu. Zaimplementowane zostały odpowiednio dwie funkcje: function [ AREA ] = area(j, theta, i, imagesize, N) oraz: function [ F ] = buzugart( directory, ImageSize, angleshift, rayscount, F, filename ) Funkcja area zwraca współczynnik przecięcia piksela j z promieniem i w projekcji pod kątem theta (wyrażonym w radianach). Piksele numerowane są

64 Badanie algorytmów rekonstrukcji obrazu tomograficznego kolejno, począwszy od lewego dolnego narożnika obrazu. Promienie numerowane są kolejno dla każdej projekcji. Parametry imagesize oraz N określają kolejno rozmiar obrazu oraz ilość detektorów (lub liczbę promieni). Funkcja area ustala wszystkie punkty wchodzące w skład wielokąta stanowiącego przecięcie piksela i promienia, zgodnie z opisem w rozdziale i oblicza pole wielokąta. Punkty przechowywane są w macierzy D. Pierwotnie wykorzystano gotowe funkcje convhull oraz polyarea, których zadaniem było uszeregowanie wierzchołków wielokąta oraz obliczenie jego powierzchni. Ostatecznie funkcje zostały zastąpione bardziej wydajnymi odpowiednikami, dostosowanymi do specyfiki obliczeń. Obliczenie pola sprowadza się do obliczenia pola poszczególnych trójkątów składających się na wielokąt i jest realizowane poprzez następujący fragment kodu: AREA = 0; % wyznacz punkt początkowy p1x = D(1,1); p1y = D(1,2); % dla pozostałych punktów For i = 1:size(D,1)-2 p2x = D(1+i,1); p2y = D(1+i,2); p3x = D(2+i,1); p3y = D(2+i,2); % Oblicz pole kolejnego trójkąta i dodaj do sumy End AREA = AREA + 1/2 * abs( -p1y*p2x + p1x*p2y + p1y*p3x - p2y*p3x - p1x*p3y + p2x*p3y ); Obliczenie wartości projekcji oraz korekcji możliwe było do zrealizowania przy pomocy jednej linii kodu. Wynika to z faktu, że w środowisku MATLAB możliwe jest zastosowanie standardowych operatorów do całych macierzy. Wyklucza to konieczność stosowania rozbudowanych struktur kontrolnych i pętli. Macierz W zawiera obliczone wcześniej współczynniki przecięcia dla bieżącej projekcji oraz promienia i i piksela n. Operator : pozwala wybrać cały wiersz lub całą kolumnę z macierzy. Macierz F reprezentuje rekonstruowany obraz. W macierzy R

65 Bibliografia przechowywany jest sinogram reprezentujący funkcję projekcyjną. Równanie opisane zostało również w książce Computed Tomography [Błąd: Nie znaleziono źródła odwołania] % dla każdego promienia For i = 1:raysCount % oblicz projekcję i korekcję F = F - ( ( W(i, :) * F - R(sinogramShift + i,currentangle) ) / End W(i, :) * W(i, :)' * W(i, :)' ); Implementacja c# W przypadku implementacji w języku c# funkcja area, wcześniej zaimplementowana w Matlab, nie zmienia znacząco swojego kształtu (punkty wielokąta przechowywane są w kolekcji E: AREA = 0; for (int i = 0; i <= E.Count - 3; i++) { AREA = (float) ( AREA + 0.5F * Math.Abs( -E[0].Y * E[1 + i].x + E[0].X * E[1 + i].y + E[0].Y * E[2 + i].x - E[1 + i].y * E[2 + i].x - E[0].X * E[2 + i].y + E[1 + i].x * E[2 + i].y ) ); } Postać fragmentu kodu odpowiedzialnego za obliczenie projekcji i korekcji ulega znaczącej zmianie rozbiciu na dwie instrukcje foreach. Funkcja pomocnicza GetCrossingPixels zwraca kolekcję CrossingPixels, zawierającą wszystkie piksele obrazu dla których funkcja przecięcia ma szanse zwrócić wartość niezerową. Pozwala to na znaczne przyspieszenie obliczeń

66 Badanie algorytmów rekonstrukcji obrazu tomograficznego Funkcje areapara i areafan zwracają dokładną wartość pola przecięcia. Tablica F reprezentuje obraz wynikowy a zmienna currentsinogramvalue wartość funkcji projekcyjnej dla rozważanego promienia. // Dla każdego piksela foreach (int pixel in CrossingPixels) { // Jeśli wybrano algorytm rekonstrukcji równoległej if (listboxgeometryclass.selectedindex == 0) { // Oblicz współczynnik przecięcia W[pixel] = areapara( pixel, projinradians, ray, projimgw, projrayscount ); } // Jeśli wybrano algorytm rekonstrukcj wachlarzowej else { // Oblicz współczynnik przecięcia W[pixel] = areafan( pixel, projinradians, ray, projimgw, projrayscount, (float)numfod.value, (float)numfdd.value, (float)numpixelsize.value ); } // Przygotuj sumę kwadratów wsqrsum += W[pixel] * W[pixel]; // Przygotuj sumę W * F WxF += W[pixel] * F[pixel]; } // Oblicz korekcję Correction = (float)((wxf - currentsinogramvalue) / wsqrsum); // Dla każdego piksela foreach (int pixel in CrossingPixels) { // Zastosuj korekcję F[pixel] -= (Correction * W[pixel]); } Porównanie środowisk MATLAB i Microsoft Visual Studio Zaimplementowanie algorytmu tak złożonego pod względem obliczeniowym pozwoliło porównać wydajność wybranych przez autora środowisk programistycznych oraz ich użyteczność w zakresie rozwiązywania problemów rekonstrukcyjnych

67 Bibliografia Środowisko MATLAB okazało się bardzo wygodnym narzędziem w zakresie projektowania algorytmu oraz szybkiej wizualizacji wyników pośrednich. Zestaw gotowych funkcji umożliwiał łatwe i szybkie zweryfikowanie obliczonych danych na każdym z etapów projektowania i testowania. Duże ułatwienie stanowiła rozbudowana dokumentacja użytkowa programu, obejmujące nie tylko kwestie techniczne i programistyczne ale także szeroki zakres zagadnień matematycznych. Zdecydowanym utrudnieniem był skąpy interfejs użytkownika, brak możliwości automatycznego uzupełniania i porządkowania składni. Środowisko Microsoft Visual Studio charakteryzowało się znacznie większymi możliwościami w zakresie organizowania aplikacji oraz interfejsu użytkownika. Poruszanie się w strukturze obiektów było znacznie bardziej wygodne i intuicyjne. Skompilowany kod charakteryzował się krótszym czasem wykonywania obliczeń, dodatkowo umożliwiał wykonanie na dowolnym komputerze wyposażonym w.net Framework. Zdaniem autora, zdecydowanie najlepszym rozwiązaniem było projektowanie i wstępne testowanie algorytmów w środowisku MATLAB a następnie ich implementacja i testowanie w Microsoft Visual Studio. Taka organizacja pracy pozwalała na dostarczenie dobrej jakości programu, który może być obsługiwany przez każdego użytkownika Wyniki rekonstrukcji Do porównania wyników rekonstrukcji wybrano dwa zestawy danych: a) Projekcje w geometrii równoległej pochodzące z symulatora opracowanego w University of Patras w Grecji przez dr Kristinę Bliznakovą. Krok obrotu wirtualnej próbki wynosił 2. b) Projekcje w geometrii stożkowej pochodzące z Laboratorio di Tecnologia Medica z Bolonii. Skanowanym obiektem był wycinek szyjki kości udowej. Rekonstruowano 490 linię przekroju, której projekcje odpowiadały geometrii

68 Badanie algorytmów rekonstrukcji obrazu tomograficznego wachlarzowej. Dane są dostępne na otwartej stronie internetowej [21]. Krok obrotu próbki skanowanej mikrotomograficznie wynosił Rekonstrukcja zestawu danych A geometria równoległa b) a) Rys. 38 Rysunek przedstawia wyniki rekonstrukcji rozszerzonego fantomu Shepp a-logan a opisanego w rozdziale 1.2.1, a metodą FBP, b metodą ART. Rekonstrukcja z projekcji wykonanych co 2 stopnie w zakresie od Rys. 39 Wybrany obszar zainteresowania, zawierający obiekty o różnej gęstości

69 Bibliografia a) b) Rys. 40 Wynik rekonstrukcji a FBP, b ART. Wybrany obszar o rozmiarach 190 x 190 px. Rys. 41 Histogramy wyników rekonstrukcji. FBP po lewej i ART. po prawej. Wyznaczono profil pionowy (x = 110px) oraz poziomy (y = 92px). Oraz zmierzono odległość zaznaczoną na rysunku. W przypadku FBP wynosiła ona 171 px, w przypadku ART 169 px

70 Badanie algorytmów rekonstrukcji obrazu tomograficznego Rys. 42 Profile obrazów. FBP po lewej i ART. - po prawej. Profil poziomy znajduje się w środkowym rzędzie, profil pionowy na dole. Rys. 43 Odległość zmierzona wzdłuż profilu pionowego

71 Bibliografia Rekonstrukcja zestawu danych B geometria wachlarzowa a) b) c) Rys. 44 Rysunek przedstawia zestawienie wyników rekonstrukcji wycinka szyjki kości udowej. A) rekonstrukcja algorytmem FBP, rekonstrukcja algorytmem ART., c) wynik rekonstrukcji oryginalnym oprogramowaniem skanera SkyScan [Błąd: Nie znaleziono źródła odwołania] Do porównania wycinków wybrano obszar środkowy rekonstruowanego obrazu o rozmiarach 230 x 230 pikseli. Obrazy zostały odpowiednio przygotowane i przycięte tak aby wybrany wycinek przedstawiał zawsze ten sam fragment obrazu. Rys. 45 Wybrany obszar obrazu Wybrany obszar obrazu jest reprezentatywny, zawiera niezbędne cechy porównawcze fragment kości korowej i fragment kości gąbczastej

72 Badanie algorytmów rekonstrukcji obrazu tomograficznego Wynik rekonstrukcji algorytmem FBP zaimplementowanym przez autora (opis w rozdziale 1.8. Wycinek wybrany do porównania rozmiar 230 x 230 px. Wynik rekonstrukcji algorytmem FBP zaimplementowanym przez autora (opis w rozdziale 1.9. Wycinek wybrany do porównania rozmiar 230 x 230 px. Wynik rekonstrukcji oprogramowaniem skanera oryginalnym SkyScan [2]. Wycinek wybrany do porównania rozmiar 230 x 230 px. [Tabela 2] Zestawienie wyników rekonstrukcji w wybranym obszarze. Zostały przedstawione (od góry): wynik rekonstrukcji algorytmem FBP, wynik rekonstrukcji algorytmem FBP, wynik rekonstrukcji pochodzący z oprogramowania komercyjnego

73 Bibliografia Rys. 46 Zestawienie histogramów uzyskanych obrazów. A) rekonstrukcja algorytmem FBP, rekonstrukcja algorytmem ART., c) wynik rekonstrukcji oryginalnym oprogramowaniem skanera SkyScan [2]

74 Badanie algorytmów rekonstrukcji obrazu tomograficznego Rys. 47 Profil obrazów wzdłuż poziomej linii profilu (y = 70px). A) rekonstrukcja algorytmem FBP, rekonstrukcja algorytmem ART., c) wynik rekonstrukcji oryginalnym oprogramowaniem skanera SkyScan [2]

75 Bibliografia Rys. 48 Profil obrazów wzdłuż pionowej linii profilu (x = 125px). A) rekonstrukcja algorytmem FBP, rekonstrukcja algorytmem ART., c) wynik rekonstrukcji oryginalnym oprogramowaniem skanera SkyScan [2] 1.11 Dyskusja wyników Zarówno w przypadku danych pochodzących z symulatora jak i z rzeczywistego mikrotomografu uzyskano wyniki zgodne z oczekiwanymi, przedstawiające właściwy przekrój skanowanego obiektu Rekonstrukcja zestawu danych A wirtualnego fantomu geometria równoległa Wyniki rekonstrukcji są zbieżne wizualnie z opisem rekonstruowanego fantomu (rozdział 1.2.1). Na obu obrazach można zauważyć artefakty wynikające z przyjętego kroku obrotu (co 2 ), jednak w przypadku algorytmu rekonstrukcyjnego ART artefakty są znacznie mniejsze a obraz dużo bardziej wyraźny potwierdzają to również profile

Laboratorium Optyki Falowej

Laboratorium Optyki Falowej Marzec 2019 Laboratorium Optyki Falowej Instrukcja do ćwiczenia pt: Filtracja optyczna Opracował: dr hab. Jan Masajada Tematyka (Zagadnienia, które należy znać przed wykonaniem ćwiczenia): 1. Obraz fourierowski

Bardziej szczegółowo

Podstawy OpenCL część 2

Podstawy OpenCL część 2 Podstawy OpenCL część 2 1. Napisz program dokonujący mnożenia dwóch macierzy w wersji sekwencyjnej oraz OpenCL. Porównaj czasy działania obu wersji dla różnych wielkości macierzy, np. 16 16, 128 128, 1024

Bardziej szczegółowo

Sprzęt stosowany w pozytonowej tomografii emisyjnej

Sprzęt stosowany w pozytonowej tomografii emisyjnej Sprzęt stosowany w pozytonowej tomografii emisyjnej Skaner PET-CT stanowi połączony w jedno urządzenie zespół dwóch tomografów, tomografu rentgenowskiego oraz tomografu PET. W artykule przedstawiono opis

Bardziej szczegółowo

Obraz jako funkcja Przekształcenia geometryczne

Obraz jako funkcja Przekształcenia geometryczne Cyfrowe przetwarzanie obrazów I Obraz jako funkcja Przekształcenia geometryczne dr. inż Robert Kazała Definicja obrazu Obraz dwuwymiarowa funkcja intensywności światła f(x,y); wartość f w przestrzennych

Bardziej szczegółowo

BIBLIOTEKA PROGRAMU R - BIOPS. Narzędzia Informatyczne w Badaniach Naukowych Katarzyna Bernat

BIBLIOTEKA PROGRAMU R - BIOPS. Narzędzia Informatyczne w Badaniach Naukowych Katarzyna Bernat BIBLIOTEKA PROGRAMU R - BIOPS Narzędzia Informatyczne w Badaniach Naukowych Katarzyna Bernat Biblioteka biops zawiera funkcje do analizy i przetwarzania obrazów. Operacje geometryczne (obrót, przesunięcie,

Bardziej szczegółowo

Elementy rachunku różniczkowego i całkowego

Elementy rachunku różniczkowego i całkowego Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna

Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(x), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(x), zwaną funkcją aproksymującą

Bardziej szczegółowo

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie profilu wiązki promieniowania używanego do cechowania tomografu PET

Wyznaczanie profilu wiązki promieniowania używanego do cechowania tomografu PET 18 Wyznaczanie profilu wiązki promieniowania używanego do cechowania tomografu PET Ines Moskal Studentka, Instytut Fizyki UJ Na Uniwersytecie Jagiellońskim prowadzone są badania dotyczące usprawnienia

Bardziej szczegółowo

ABC tomografii komputerowej

ABC tomografii komputerowej ABC tomografii komputerowej Tomografia (od gr.: tome cięcie i grafein pisanie) metoda pozwalająca na uzyskiwanie obrazów przekrojów badanej okolicy ciała. Określenie o szerokim znaczeniu, najczęściej kojarzone

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości

Bardziej szczegółowo

Ćw. nr 31. Wahadło fizyczne o regulowanej płaszczyźnie drgań - w.2

Ćw. nr 31. Wahadło fizyczne o regulowanej płaszczyźnie drgań - w.2 1 z 6 Zespół Dydaktyki Fizyki ITiE Politechniki Koszalińskiej Ćw. nr 3 Wahadło fizyczne o regulowanej płaszczyźnie drgań - w.2 Cel ćwiczenia Pomiar okresu wahań wahadła z wykorzystaniem bramki optycznej

Bardziej szczegółowo

w analizie wyników badań eksperymentalnych, w problemach modelowania zjawisk fizycznych, w analizie obserwacji statystycznych.

w analizie wyników badań eksperymentalnych, w problemach modelowania zjawisk fizycznych, w analizie obserwacji statystycznych. Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(), zwaną funkcją aproksymującą

Bardziej szczegółowo

Funkcja liniowa - podsumowanie

Funkcja liniowa - podsumowanie Funkcja liniowa - podsumowanie 1. Funkcja - wprowadzenie Założenie wyjściowe: Rozpatrywana będzie funkcja opisana w dwuwymiarowym układzie współrzędnych X. Oś X nazywana jest osią odciętych (oś zmiennych

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

I. PROMIENIOWANIE CIEPLNE

I. PROMIENIOWANIE CIEPLNE I. PROMIENIOWANIE CIEPLNE - lata '90 XIX wieku WSTĘP Widmo promieniowania elektromagnetycznego zakres "pokrycia" różnymi rodzajami fal elektromagnetycznych promieniowania zawartego w danej wiązce. rys.i.1.

Bardziej szczegółowo

Fala jest zaburzeniem, rozchodzącym się w ośrodku, przy czym żadna część ośrodka nie wykonuje zbyt dużego ruchu

Fala jest zaburzeniem, rozchodzącym się w ośrodku, przy czym żadna część ośrodka nie wykonuje zbyt dużego ruchu Ruch falowy Fala jest zaburzeniem, rozchodzącym się w ośrodku, przy czym żadna część ośrodka nie wykonuje zbyt dużego ruchu Fala rozchodzi się w przestrzeni niosąc ze sobą energię, ale niekoniecznie musi

Bardziej szczegółowo

Implementacja filtru Canny ego

Implementacja filtru Canny ego ANALIZA I PRZETWARZANIE OBRAZÓW Implementacja filtru Canny ego Autor: Katarzyna Piotrowicz Kraków,2015-06-11 Spis treści 1. Wstęp... 1 2. Implementacja... 2 3. Przykłady... 3 Porównanie wykrytych krawędzi

Bardziej szczegółowo

Promieniowanie rentgenowskie. Podstawowe pojęcia krystalograficzne

Promieniowanie rentgenowskie. Podstawowe pojęcia krystalograficzne Promieniowanie rentgenowskie Podstawowe pojęcia krystalograficzne Krystalografia - podstawowe pojęcia Komórka elementarna (zasadnicza): najmniejszy, charakterystyczny fragment sieci przestrzennej (lub

Bardziej szczegółowo

Automatyczne tworzenie trójwymiarowego planu pomieszczenia z zastosowaniem metod stereowizyjnych

Automatyczne tworzenie trójwymiarowego planu pomieszczenia z zastosowaniem metod stereowizyjnych Automatyczne tworzenie trójwymiarowego planu pomieszczenia z zastosowaniem metod stereowizyjnych autor: Robert Drab opiekun naukowy: dr inż. Paweł Rotter 1. Wstęp Zagadnienie generowania trójwymiarowego

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

Opis ćwiczenia. Cel ćwiczenia Poznanie budowy i zrozumienie istoty pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Henry ego Katera.

Opis ćwiczenia. Cel ćwiczenia Poznanie budowy i zrozumienie istoty pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Henry ego Katera. ĆWICZENIE WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA REWERSYJNEGO Opis ćwiczenia Cel ćwiczenia Poznanie budowy i zrozumienie istoty pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

Bardziej szczegółowo

Analiza obrazów - sprawozdanie nr 2

Analiza obrazów - sprawozdanie nr 2 Analiza obrazów - sprawozdanie nr 2 Filtracja obrazów Filtracja obrazu polega na obliczeniu wartości każdego z punktów obrazu na podstawie punktów z jego otoczenia. Każdy sąsiedni piksel ma wagę, która

Bardziej szczegółowo

Laboratorium z Krystalografii. 2 godz.

Laboratorium z Krystalografii. 2 godz. Uniwersytet Śląski Instytut Chemii Zakład Krystalografii Laboratorium z Krystalografii 2 godz. Zbadanie zależności intensywności linii Ka i Kb promieniowania charakterystycznego X emitowanego przez anodę

Bardziej szczegółowo

Klasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Klasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne.

Ćwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne. Ćwiczenie 4 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ Wprowadzenie teoretyczne. Soczewka jest obiektem izycznym wykonanym z materiału przezroczystego o zadanym kształcie i symetrii obrotowej. Interesować

Bardziej szczegółowo

Podstawy Rentgenowskiej Tomografii Komputerowej

Podstawy Rentgenowskiej Tomografii Komputerowej Rentgenowska Tomografia Komputerowa Rentgenowska Tomografia Komputerowa (ang. Computed Tomography, CT), nazywana w żargonie medycznym po prostu tomografią, była historycznie pierwszą metodą umożliwiającą

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 363. Polaryzacja światła sprawdzanie prawa Malusa. Początkowa wartość kąta 0..

Ćwiczenie 363. Polaryzacja światła sprawdzanie prawa Malusa. Początkowa wartość kąta 0.. Nazwisko... Data... Nr na liście... Imię... Wydział... Dzień tyg.... Godzina... Polaryzacja światła sprawdzanie prawa Malusa Początkowa wartość kąta 0.. 1 25 49 2 26 50 3 27 51 4 28 52 5 29 53 6 30 54

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE. Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej.

LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE. Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej. LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej.. Wprowadzenie Soczewką nazywamy ciało przezroczyste ograniczone

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

Programowanie celowe #1

Programowanie celowe #1 Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia punktowe

Przekształcenia punktowe Przekształcenia punktowe Przekształcenia punktowe realizowane sa w taki sposób, że wymagane operacje wykonuje sie na poszczególnych pojedynczych punktach źródłowego obrazu, otrzymujac w efekcie pojedyncze

Bardziej szczegółowo

Przetwarzanie obrazów rastrowych macierzą konwolucji

Przetwarzanie obrazów rastrowych macierzą konwolucji Przetwarzanie obrazów rastrowych macierzą konwolucji 1 Wstęp Obrazy rastrowe są na ogół reprezentowane w dwuwymiarowych tablicach złożonych z pikseli, reprezentowanych przez liczby określające ich jasność

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych

Bardziej szczegółowo

Piotr Targowski i Bernard Ziętek WYZNACZANIE MACIERZY [ABCD] UKŁADU OPTYCZNEGO

Piotr Targowski i Bernard Ziętek WYZNACZANIE MACIERZY [ABCD] UKŁADU OPTYCZNEGO Instytut Fizyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika Piotr Targowski i Bernard Ziętek Pracownia Optoelektroniki Specjalność: Fizyka Medyczna WYZNAZANIE MAIERZY [ABD] UKŁADU OPTYZNEGO Zadanie II Zakład Optoelektroniki

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

Wektory, układ współrzędnych

Wektory, układ współrzędnych Wektory, układ współrzędnych Wielkości występujące w przyrodzie możemy podzielić na: Skalarne, to jest takie wielkości, które potrafimy opisać przy pomocy jednej liczby (skalara), np. masa, czy temperatura.

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015

Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

Promieniowanie X. Jak powstaje promieniowanie rentgenowskie Budowa lampy rentgenowskiej Widmo ciągłe i charakterystyczne promieniowania X

Promieniowanie X. Jak powstaje promieniowanie rentgenowskie Budowa lampy rentgenowskiej Widmo ciągłe i charakterystyczne promieniowania X Promieniowanie X Jak powstaje promieniowanie rentgenowskie Budowa lampy rentgenowskiej Widmo ciągłe i charakterystyczne promieniowania X Lampa rentgenowska Lampa rentgenowska Promieniowanie rentgenowskie

Bardziej szczegółowo

Laboratorium z Krystalografii. 2 godz.

Laboratorium z Krystalografii. 2 godz. Uniwersytet Śląski Instytut Chemii Zakład Krystalografii Laboratorium z Krystalografii 2 godz. Zbadanie zależności intensywności linii Kα i Kβ promieniowania charakterystycznego X emitowanego przez anodę

Bardziej szczegółowo

Laboratorium techniki laserowej Ćwiczenie 2. Badanie profilu wiązki laserowej

Laboratorium techniki laserowej Ćwiczenie 2. Badanie profilu wiązki laserowej Laboratorium techniki laserowej Ćwiczenie 2. Badanie profilu wiązki laserowej 1. Katedra Optoelektroniki i Systemów Elektronicznych, WETI, Politechnika Gdaoska Gdańsk 2006 1. Wstęp Pomiar profilu wiązki

Bardziej szczegółowo

Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.

Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Joanna Szulczyk Politechnika Warszawska Instytut Techniki Lotniczej i Mechaniki

Bardziej szczegółowo

Laboratorium. Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Ćwiczenie 9. Przetwarzanie sygnałów wizyjnych. Politechnika Świętokrzyska.

Laboratorium. Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Ćwiczenie 9. Przetwarzanie sygnałów wizyjnych. Politechnika Świętokrzyska. Politechnika Świętokrzyska Laboratorium Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Ćwiczenie 9 Przetwarzanie sygnałów wizyjnych. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie studentów z funkcjami pozwalającymi na

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie stereowizji do śledzenia trajektorii obiektów w przestrzeni 3D

Zastosowanie stereowizji do śledzenia trajektorii obiektów w przestrzeni 3D Zastosowanie stereowizji do śledzenia trajektorii obiektów w przestrzeni 3D autorzy: Michał Dajda, Łojek Grzegorz opiekun naukowy: dr inż. Paweł Rotter I. O projekcie. 1. Celem projektu było stworzenie

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM OPTYKI GEOMETRYCZNEJ

LABORATORIUM OPTYKI GEOMETRYCZNEJ LABORATORIUM OPTYKI GEOMETRYCZNEJ POMIAR OGNISKOWYCH SOCZEWEK CIENKICH 1. Cel dwiczenia Zapoznanie z niektórymi metodami badania ogniskowych soczewek cienkich. 2. Zakres wymaganych zagadnieo: Prawa odbicia

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Inżynieria Biomedyczna Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy moduł kierunkowy ogólny Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium TECHNIKI OBRAZOWANIA MEDYCZNEGO Medical Imaging Techniques Forma

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys. Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny

Bardziej szczegółowo

Urządzenia do planowania radioterapii (Symulatory i TK)

Urządzenia do planowania radioterapii (Symulatory i TK) Urządzenia do planowania radioterapii (Symulatory i TK) Plan wykładu Historia Zasada działanie symulatora Zasada działania TK Rola i miejsce urządzeń w procesie planowania radioterapii. Historia W. C.

Bardziej szczegółowo

SYMULACJA GAMMA KAMERY MATERIAŁ DLA STUDENTÓW. Szacowanie pochłoniętej energii promieniowania jonizującego

SYMULACJA GAMMA KAMERY MATERIAŁ DLA STUDENTÓW. Szacowanie pochłoniętej energii promieniowania jonizującego SYMULACJA GAMMA KAMERY MATERIAŁ DLA STUDENTÓW Szacowanie pochłoniętej energii promieniowania jonizującego W celu analizy narażenia na promieniowanie osoby, której podano radiofarmaceutyk, posłużymy się

Bardziej szczegółowo

Optyka stanowi dział fizyki, który zajmuje się światłem (także promieniowaniem niewidzialnym dla ludzkiego oka).

Optyka stanowi dział fizyki, który zajmuje się światłem (także promieniowaniem niewidzialnym dla ludzkiego oka). Optyka geometryczna Optyka stanowi dział fizyki, który zajmuje się światłem (także promieniowaniem niewidzialnym dla ludzkiego oka). Założeniem optyki geometrycznej jest, że światło rozchodzi się jako

Bardziej szczegółowo

Mechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi)

Mechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi) Kinematyka Mechanika ogólna Wykład nr 7 Elementy kinematyki Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez wnikania w związek

Bardziej szczegółowo

Monochromatyzacja promieniowania molibdenowej lampy rentgenowskiej

Monochromatyzacja promieniowania molibdenowej lampy rentgenowskiej Uniwersytet Śląski Instytut Chemii Zakładu Krystalografii ul. Bankowa 14, pok. 133, 40 006 Katowice tel. (032)359 1503, e-mail: izajen@wp.pl, opracowanie: dr Izabela Jendrzejewska Laboratorium z Krystalografii

Bardziej szczegółowo

3. WYNIKI POMIARÓW Z WYKORZYSTANIEM ULTRADŹWIĘKÓW.

3. WYNIKI POMIARÓW Z WYKORZYSTANIEM ULTRADŹWIĘKÓW. 3. WYNIKI POMIARÓW Z WYKORZYSTANIEM ULTRADŹWIĘKÓW. Przy rozchodzeniu się fal dźwiękowych może dochodzić do częściowego lub całkowitego odbicia oraz przenikania fali przez granice ośrodków. Przeszkody napotykane

Bardziej szczegółowo

Maciej Piotr Jankowski

Maciej Piotr Jankowski Reduced Adder Graph Implementacja algorytmu RAG Maciej Piotr Jankowski 2005.12.22 Maciej Piotr Jankowski 1 Plan prezentacji 1. Wstęp 2. Implementacja 3. Usprawnienia optymalizacyjne 3.1. Tablica ekspansji

Bardziej szczegółowo

Ładunki elektryczne i siły ich wzajemnego oddziaływania. Pole elektryczne. Copyright by pleciuga@ o2.pl

Ładunki elektryczne i siły ich wzajemnego oddziaływania. Pole elektryczne. Copyright by pleciuga@ o2.pl Ładunki elektryczne i siły ich wzajemnego oddziaływania Pole elektryczne Copyright by pleciuga@ o2.pl Ładunek punktowy Ładunek punktowy (q) jest to wyidealizowany model, który zastępuje rzeczywiste naelektryzowane

Bardziej szczegółowo

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A Przykład 1.4. Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, kołowy, ze ściągiem. Łuk obciążony jest obciążeniem stycznym do łuku, o stałej gęstości na jednostkę długości

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją symbolami:

Bardziej szczegółowo

Podstawy Przetwarzania Sygnałów

Podstawy Przetwarzania Sygnałów Adam Szulc 188250 grupa: pon TN 17:05 Podstawy Przetwarzania Sygnałów Sprawozdanie 6: Filtracja sygnałów. Filtry FIT o skończonej odpowiedzi impulsowej. 1. Cel ćwiczenia. 1) Przeprowadzenie filtracji trzech

Bardziej szczegółowo

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować

Bardziej szczegółowo

Za pierwszy niebanalny algorytm uważa się algorytm Euklidesa wyszukiwanie NWD dwóch liczb (400 a 300 rok przed narodzeniem Chrystusa).

Za pierwszy niebanalny algorytm uważa się algorytm Euklidesa wyszukiwanie NWD dwóch liczb (400 a 300 rok przed narodzeniem Chrystusa). Algorytmy definicja, cechy, złożoność. Algorytmy napotykamy wszędzie, gdziekolwiek się zwrócimy. Rządzą one wieloma codziennymi czynnościami, jak np. wymiana przedziurawionej dętki, montowanie szafy z

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny, niepewność standardowa typu A

Rozkład normalny, niepewność standardowa typu A Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Laboratorium Rozkład normalny, niepewność standardowa typu A Instrukcja do ćwiczenia nr 1 Zakład Miernictwa i Ochrony Atmosfery Wrocław, listopad 2010 r. Podstawy

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne w przykładach

Metody numeryczne w przykładach Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach

Bardziej szczegółowo

Grafika Komputerowa Wykład 2. Przetwarzanie obrazów. mgr inż. Michał Chwesiuk 1/38

Grafika Komputerowa Wykład 2. Przetwarzanie obrazów. mgr inż. Michał Chwesiuk 1/38 Wykład 2 Przetwarzanie obrazów mgr inż. 1/38 Przetwarzanie obrazów rastrowych Jedna z dziedzin cyfrowego obrazów rastrowych. Celem przetworzenia obrazów rastrowych jest użycie edytujących piksele w celu

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 10. kodem pierwotnym krzywej jest ciąg par współrzędnych x, y kolejnych punktów krzywej: (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),...

WYKŁAD 10. kodem pierwotnym krzywej jest ciąg par współrzędnych x, y kolejnych punktów krzywej: (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),... WYKŁAD 10 Kompresja krzywych dyskretnych Kompresja krzywych dyskretnych KP SK = KW SK - stopień kompresji krzywej. KP [bajt] - obszar pamięci zajmowany przez kod pierwotny krzywej. KW [bajt] - obszar pamięci

Bardziej szczegółowo

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas 3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas oddziaływanie między ciałami, ani też rola, jaką to

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 6. Transformacje skali szarości obrazów

Ćwiczenie 6. Transformacje skali szarości obrazów Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 6. Transformacje skali szarości obrazów 1. Obraz cyfrowy Obraz w postaci cyfrowej

Bardziej szczegółowo

Laboratorium z Krystalografii specjalizacja: Fizykochemia związków nieorganicznych

Laboratorium z Krystalografii specjalizacja: Fizykochemia związków nieorganicznych Uniwersytet Śląski - Instytut Chemii Zakład Krystalografii ul. Bankowa 14, pok. 133, 40-006 Katowice tel. 0323591197, e-mail: izajen@wp.pl opracowanie: dr Izabela Jendrzejewska Laboratorium z Krystalografii

Bardziej szczegółowo

4/4/2012. CATT-Acoustic v8.0

4/4/2012. CATT-Acoustic v8.0 CATT-Acoustic v8.0 CATT-Acoustic v8.0 Oprogramowanie CATT-Acoustic umożliwia: Zaprojektowanie geometryczne wnętrza Zadanie odpowiednich współczynników odbicia, rozproszenia dla wszystkich planów pomieszczenia

Bardziej szczegółowo

Modelowanie pola akustycznego. Opracowała: prof. dr hab. inż. Bożena Kostek

Modelowanie pola akustycznego. Opracowała: prof. dr hab. inż. Bożena Kostek Modelowanie pola akustycznego Opracowała: prof. dr hab. inż. Bożena Kostek Klasyfikacje modeli do badania pola akustycznego Modele i metody wykorzystywane do badania pola akustycznego MODELE FIZYCZNE MODELE

Bardziej szczegółowo

IR II. 12. Oznaczanie chloroformu w tetrachloroetylenie metodą spektrofotometrii w podczerwieni

IR II. 12. Oznaczanie chloroformu w tetrachloroetylenie metodą spektrofotometrii w podczerwieni IR II 12. Oznaczanie chloroformu w tetrachloroetylenie metodą spektrofotometrii w podczerwieni Promieniowanie podczerwone ma naturę elektromagnetyczną i jego absorpcja przez materię podlega tym samym prawom,

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie równań nieliniowych

Rozwiązywanie równań nieliniowych Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej

Bardziej szczegółowo

Pomiar drogi koherencji wybranych źródeł światła

Pomiar drogi koherencji wybranych źródeł światła Politechnika Gdańska WYDZIAŁ ELEKTRONIKI TELEKOMUNIKACJI I INFORMATYKI Katedra Optoelektroniki i Systemów Elektronicznych Pomiar drogi koherencji wybranych źródeł światła Instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego

Bardziej szczegółowo

Algorytm. a programowanie -

Algorytm. a programowanie - Algorytm a programowanie - Program komputerowy: Program komputerowy można rozumieć jako: kod źródłowy - program komputerowy zapisany w pewnym języku programowania, zestaw poszczególnych instrukcji, plik

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.

Bardziej szczegółowo

Potencjalne pole elektrostatyczne. Przypomnienie

Potencjalne pole elektrostatyczne. Przypomnienie Potencjalne pole elektrostatyczne Wszystkie rysunki i animacje zaczerpnięto ze strony http://webmitedu/802t/www/802teal3d/visualizations/electrostatics/indexhtm Tekst jest wolnym tłumaczeniem pliku guide03pdf

Bardziej szczegółowo

FIZYKA klasa 1 Liceum Ogólnokształcącego (4 letniego)

FIZYKA klasa 1 Liceum Ogólnokształcącego (4 letniego) 2019-09-01 FIZYKA klasa 1 Liceum Ogólnokształcącego (4 letniego) Treści z podstawy programowej przedmiotu POZIOM ROZSZERZONY (PR) SZKOŁY BENEDYKTA Podstawa programowa FIZYKA KLASA 1 LO (4-letnie po szkole

Bardziej szczegółowo

Układy stochastyczne

Układy stochastyczne Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego 21 stycznia 2009 Definicja Definicja Proces stochastyczny to funkcja losowa, czyli funkcja matematyczna, której wartości leżą w przestrzeni zdarzeń losowych.

Bardziej szczegółowo

Zajęcia: VBA TEMAT: VBA PROCEDURY NUMERYCZNE Metoda bisekcji i metoda trapezów

Zajęcia: VBA TEMAT: VBA PROCEDURY NUMERYCZNE Metoda bisekcji i metoda trapezów Zajęcia: VBA TEMAT: VBA PROCEDURY NUMERYCZNE Metoda bisekcji i metoda trapezów W ramach zajęć oprogramujemy jedną, wybraną metodę numeryczną: metodę bisekcji numerycznego rozwiązywania równania nieliniowego

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja) Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się

Bardziej szczegółowo

REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH

REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Reprezentacja

Bardziej szczegółowo

f = -50 cm ma zdolność skupiającą

f = -50 cm ma zdolność skupiającą 19. KIAKOPIA 1. Wstęp W oku miarowym wymiary struktur oka, ich wzajemne odległości, promienie krzywizn powierzchni załamujących światło oraz wartości współczynników załamania ośrodków, przez które światło

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM LICZBY, WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE umie obliczyć potęgę o wykładniku naturalnym; umie obliczyć

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO

PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Skalar Definicja Skalar wielkość fizyczna (lub geometryczna)

Bardziej szczegółowo

Łukasz Januszkiewicz Technika antenowa

Łukasz Januszkiewicz Technika antenowa Instrukcja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego w projekcie Innowacyjna dydaktyka bez ograniczeń zintegrowany rozwój Politechniki Łódzkiej zarządzanie Uczelnią,

Bardziej szczegółowo

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych

Bardziej szczegółowo

5.1. Powstawanie i rozchodzenie się fal mechanicznych.

5.1. Powstawanie i rozchodzenie się fal mechanicznych. 5. Fale mechaniczne 5.1. Powstawanie i rozchodzenie się fal mechanicznych. Ruch falowy jest zjawiskiem bardzo rozpowszechnionym w przyrodzie. Spotkałeś się z pewnością w życiu codziennym z takimi pojęciami

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

M10. Własności funkcji liniowej

M10. Własności funkcji liniowej M10. Własności funkcji liniowej dr Artur Gola e-mail: a.gola@ajd.czest.pl pokój 3010 Definicja Funkcję określoną wzorem y = ax + b, dla x R, gdzie a i b są stałymi nazywamy funkcją liniową. Wykresem funkcji

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY BARWY, PIGMENTY CERAMICZNE

PODSTAWY BARWY, PIGMENTY CERAMICZNE PODSTAWY BARWY, PIGMENTY CERAMICZNE Barwa Barwą nazywamy rodzaj określonego ilościowo i jakościowo (długość fali, energia) promieniowania świetlnego. Głównym i podstawowym źródłem doznań barwnych jest

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 12/13. Komputerowy hologram Fouriera. Wprowadzenie teoretyczne

Ćwiczenie 12/13. Komputerowy hologram Fouriera. Wprowadzenie teoretyczne Ćwiczenie 12/13 Komputerowy hologram Fouriera. Wprowadzenie teoretyczne W klasycznej holografii w wyniku interferencji dwóch wiązek: wiązki światła zmodyfikowanej przez pewien przedmiot i spójnej z nią

Bardziej szczegółowo