Fale uderzeniowe. Anna Durkalec 06 stycznia 2010

Transkrypt

1 Fale uderzeniowe Anna Durkalec 06 stycznia 2010 Streszczenie Fale uderzeniowe odgrywają kluczową role w wielu zagadnieniach astrofizyki. Ta praca przedstawia podstawowe własności fal uderzeniowych propagujących się w gazie doskonałym. Na początku następuje krótki opis czym jest fala uderzeniowa i jak jej pojawienie się wpływa na ośrodek w którym się rozchodzi. W następnych rozdziałach za pomocą prostych relacji wyprowadzona zostaje Adiabata Hugoniota, a nastepnie przdstawione jest za pomocą współczynników ciśnienia, gęstości i temperatury jak zmieniają sie parametry gazu po przejściu zaburzenia. Na koniec dyskutowane są własności silnych fal uderzeniowych. anna.durkalec@uj.edu.pl 1

2 Spis treści 1 Wstęp 3 2 Czym jest fala uderzeniowa? 4 3 Relacje zaburzenia (szoku) 5 4 Adiabata Hugoniota 8 5 Współczynniki ciśnenia, gęstości i temperatury 10 6 Przybliżenie silnych szoków 12 7 Podsumowanie 15 2

3 1 Wstęp Fale uderzeniowe pojawiają się wszędzie tam gdzie miały miejsce eksplozje, gdzie gaz przepływa przez przeszkody lub tam gdzie jakieś ciało porusza się w ośrodku wypełnionym gazem. Tak więc odgrywają kluczową rolę w wielu różnych dziedzinach astrofizyki. Skoro tak, to użyteczne okazuje się wyprowadzenie kilku ich podstawowych własności, ponieważ znajdują one zastosowanie w takich zagadnieniach, jak np: formowanie się gwiazd w spiralnych ramionach galaktyk, badanie prędkości wypływu materii z młodych gwiazd, badanie własności pozagalaktycznych radioźródeł, a nawet badanie wpływu wiatru słonecznego na pole magnetyczne Ziemi. Podstawową własnością fali uderzeniowej jest to, że propaguje się ona z prędkością większą niż prędkość dźwięku dla danego ośrodka. Tak więc rejon przed falą uderzeniową nie otrzymuje żadnej informacji o nadchodzącym zaburzeniu, ponieważ fala dźwiękowa jest wolniejsza. Zagadnienie jakim jest opis fal uderzeniowych jest bardzo obszernym tematem. W tej pracy zajmiemy się wyprowadzeniem kilku użytecznych relacji dla fal uderzeniowych rozchodzących się w gazie doskonałym. 3

4 2 Czym jest fala uderzeniowa? Na początek rozważymy zaburzenia ciśnienia o małej amplitudzie względnej p /p 1 rozchodzące się w jednorodnym ośrodku gazowym (o gęstości ρ) z prędkoscią dźwięku c s, która jest dana wyrażeniem c 2 s = dp dρ. (1) Jeżeli czas trwania takiego zaburzenia jest krótki w stosunku do czasu chłodzenia sprężonej wówczas jednostki objętości gazu, możemy założyć, że zmiany sa adiabatyczne. Co oznacza, że p = Kρ γ. (2) Gdzie γ = c p /c v to współczynnik cieplny, natomiast K to pewna stała. Możemy więc, wykorzystując powyższe dwie zależności, obliczyć c 2 s = γkρ γ 1 = γkρ γ ρ 1 = γ p ρ. (3) Wykorzystując równanie stanu gazu doskonałego w postaci p = ρrt µ (4) Gdzie R to stała gazowa, T - temperatura, natomiast µ to masa przypadająca na czątkę gazu w jednostkach masy wodoru. Możemy dalej rozwinąc wyrażenie (3) c 2 s = γkρ γ 1 = γkρ γ ρ 1 = γ p ρ = γrt µ. (5) Idąc dalej. Jeżeli możemy założyć, że energia pobrana w czasie ściskania gazu jest natychmiast oddawana do otoczenia, to wówczas możemy założyć, że temperatura w czasie procesu nie ulega zmianie. Dla przemiany izotermicznej (dt/dρ = 0) mamy c 2 s = p ρ + p dt T dρ = RT µ. (6) Izotermiczna prędkość dźwięku może byc zatem obliczona z adiabatycznej prędkości dźwięku przez podstawienie γ = 1. Dla zaburzeń ciśnienia w środowisku międzygwiazdowym, tych związanych np. z rozchodzeniem się w przestrzeni odrzuconej otoczki po wybuchu supernowej, albo ekspansji rejonu H II do otaczjącego środowiska, prędkości 4

5 Rysunek 1: Formowanie się fali uderzeniowej rozchodzenia się takiego zaburzenia często znacznie przekraczają prędkość dźwięku w danym ośrodku i nie możemy ich dłużej przybliżać jako względnie małych p /p 1. W ogólnym przypadku silnych perturbacji cisnienia okazuje się, że nie możemy mówić o jednakowej propagacji prędkości wzdłuż całej perturbacji: c s wzrasta wraz ze wzrastającą gęstością. Zaobserwowano, że punkty na profilu zaburzenia dla których ρ jest wyższe poruszają się szybciej (Rysunek 1), a części przekroju oznaczające wzrost ciśnienia stają się stopniowo coraz bardziej strome. To co pokazane jest jako skok (pik) nazywamy falą uderzeniową lub frontem fali uderzeniowej. Im większa początkowa dawka energii (np. silna eksplozja) tym wyższy skok w profilach ciśnienia i gęstości i tym bardziej prędkość U frontu przekracza prędkosć dźwięku w niezaburzonym środowisku. 3 Relacje zaburzenia (szoku) W dalszej części zastosujemy proste przybliżenie zagadnienia rozwoju i propagacji fali uderzeniowej. Mamy do dyspozycji jednorodny gaz znajdujący się w spoczynku w ograniczonej przestrzeni. W pewnym momencie czasu płaski tłok zaczyna poruszać się przez ten gaz ze stałą prędkością. Rozwija się front fali uderzeniowej, który porusza się z prędkością różną od prędkości tłoka. Rozróżniać będziemy dwa regiony przed i za frontem fali uderzeniowej. Region przed falą uderzeniową jest niezaburzony. Znajduje się w nim gaz w stanie spoczynku o temperaturze T 1, gęstości ρ 1 i ciśnieniu p 1. Natomiast za falą uderzeniową gaz porusza się z prędkością większyą niż prędkość dźwięku, a jego temperatura, gęstość i ciśnienie wynoszą odpowiednio T 2, ρ 2 i p 2. Sam front falowy porusza się z prędkością U (Rysunek 2). Wygodnie jest jednak przejść do układu odniesienia poruszającego się z prędkością rozchodzenia się szoku U, w którym front fali uderzeniowej znaj- 5

6 Rysunek 2: Fala uderzeniowa propagująca się przez gaz z prędkością U. Rysunek 3: Przepływ gazu przez front fali uderzeniowej w układzie odniesienia związanym z poruszającym sie szokiem. duje się w spoczynku (Rysunek 3). Wówczas obserwujemy przepływ niezburzonego gazu przez front. Najpierw z prędkością v 1 = U przed frontem fali uderzeniowej, a po przejściu przez front z prędkością v 2. Ilościowe relacje pomiędzy ciśnieniem, gęstością i temperaturą przed i 6

7 za szokiem mogą być obliczone bez wchodzenia w szczegóły procesów jakie zachodzą w czasie przejścia fali uderzeniowej. Gaz przechodzący przez front falowy szoku można opisać wykorzystując proste zasady zachowania. 1. Zasada zachowania masy, z której wynika ρ 1 v 1 = ρ 2 v 2. (7) 2. Zasada zachowania energii. Strumień energii tj. ilośc energii przechodzącej w danej jednostce czasu przez daną jednostkę powierzchni równolegle do v 1 nie ulega zmianie. Jednym z podstawowych wyników dynamiki płynów jest to, że strumień energii wzdłuż płaszczyzny normalnej do wektora v opisywany jest równaniem: ρv( 1 2 v2 + w) (8) Gdzie w to entalpia na jednostkę masy, dana wzorem w = ε m + pv (9) ε m to energia wewnętrzna na jednostkę masy, natomiast V = ρ 1 to objętość na jenostkę masy. Rozważamy tylko płaskie fale uderzeniowe prostopadłe do v 1 i v 2 więc ostatecznie, korzystając ze wzoru (8), możemy zapisać relację obrazującą niezmienność strumienia energii. ρ 1 v 1 ( 1 2 v2 1 + w 1) = ρ 2 v 2 ( 1 2 v2 2 + w 2). (10) 3. Zasada zachowania pędu. Strumień pędu przy przejściu przez szok nie ulega zmianie. Dla frontu falowego prostopadłego do wektora prędkości gazu strumień pędu dany jest wzorem: p + ρv 2, (11) więc następująco możemy zapisać zasadę zachowania strumienia pędu p 1 + ρ 1 v 2 1 = p 2 + ρ 2 v 2 2. (12) Te trzy relacje (7), (10) oraz (12) są często nazywane relacjami szoku (zaburzenia) dla adiabatycznej fali uderzeniowej. 7

8 4 Adiabata Hugoniota Dla uproszczenia będziemy rozważać falę uderzeniową rozchodzącą się w gazie doskonałym. Wówczas możnemy zapisać wzór na entalpię: w = γpv (γ 1), (13) gdzie γ to współczynnik cieplny. Definiujemy strumień masy na jednostkę powierzchni jako Wiedząc, że V = 1, możemy zapisać ρ j = ρ 1 v 1 = ρ 2 v 2. (14) j = 1 V 1 v 1 = 1 V 2 v 2 (15) Jednocześnie przekształcając relację (12) otrzymujemy p V 1 v 2 1 = p V 2 v 2 2 (16) Co daje, p 1 + V 1 V 2 1 v 2 1 = p 2 + V 2 v 2 V 2 2. (17) 2 Przekształacjąc otrzymujemy relację p 1 + j 2 V 1 = p 2 + j 2 V 2 (18) j 2 = (p 2 p 1 ) (V 1 V 2 ). (19) Poniżej opiszemy sposób w jaki można otrzymać wyrażenie na różnicę prędkości za i przed frontem falowym. Wykorzystując relację (14) przekształcamy równość (12) do postaci: Co daje, p 1 + jv 1 = p 2 + jv 2. (20) j = (p 2 p 1 ) (v 1 v 2 ). (21) Podstawiając równanie (21) do (19) otrzymujemy równość: (p 2 p 1 ) 2 (v 1 v 2 ) = (p 2 p 1 ) 2 (V 1 V 2 ). (22) 8

9 Ostatecznie róznica prędkości wynosi: v 1 v 2 = [(p 2 p 1 )(V 1 V 2 )] 1 2. (23) Następnym krokiem jest znalezienie zależności V 2 /V 1 w funkcji p 1 i p 2 dla gazu doskonałego. Zaczynamy od zasady zachowania strumienia energii (równanie (10)). Skoro z równania (7) wiemy, że ρ 1 v 1 = ρ 2 v 2 to aby zalezność (10) była spełniona wyrażenia w nawiasach muszą być sobie równe. w v2 1 = w v2 2 (24) Korzystając z równania (15) możemy zapisać, że v 2 = j 2 V 2. Wówczas, Podstawiając (19) otrzymamy: Upraszczając do postaci w j2 V 2 1 = w j2 V 2 2 (25) w (p 2 p 1 ) 2 (V 1 V 2 ) V2 1 = w (p 2 p 1 ) 2 (V 1 V 2 ) V2 2. (26) (w 1 w 2 ) (p 2 p 1 )(V 1 V 2 ) = 0 (27) oraz podstawiając wzór na entalpię (13), uzyskujemy ostatecznie zależność pomiędzy p i V gazu po obu stronach frontu fali uderzeniowej. Wiedząc, że V = ρ 1 możemy zapisać, V 2 V 1 = p 1(γ + 1) + p 2 (γ 1) p 1 (γ 1) + p 2 (γ + 1). (28) ρ 2 ρ 1 = V 2 V 1 = p 1(γ + 1) + p 2 (γ 1) p 1 (γ 1) + p 2 (γ + 1). Ta relacja jest zwana adiabatą Hugoniota. Od razu możemy również uzyskać stosunek temperatur T 2 /T 1 wykorzystując równanie stanu gazu doskonałego p 1 V 1 /T 1 = p 2 V 2 /T 2. T 2 = p 2 V 2 = p 2 p 1 (γ + 1) + p 2 (γ 1) T 1 p 1 V 1 p 1 p 1 (γ 1) + p 2 (γ + 1) (29) 9

10 5 Współczynniki ciśnenia, gęstości i temperatury Przekształcając zalezność (28) do postaci: V 2 = p 1(γ + 1) + p 2 (γ 1) p 1 (γ 1) + p 2 (γ + 1) V 1 (30) a następnie podstawiając ją do równania (19) możemy wyeliminować wielkość V 2 z wyrażenia na gęstość strumienia j: j 2 = (γ 1)p 1 + (γ + 1)p 2 2V 1 (31) Pamiętając, że v 2 = j 2 V 2 (patrz równanie (15)) oraz wykorzystując powyższą zależność możemy obliczyć prędkości gazu przed v 1 i za v 2 frontem falowym. v 2 1 = j2 V 2 1 = V 1 2 [(γ 1)p 1 + (γ + 1)p 2 ] (32) v 2 2 = j2 V 2 2 = V2 2 2V 1 [(γ 1)p 1 + (γ + 1)p 2 ]. (33) Z równania (33) możemy wyeliminować V 2 podstawiając zależność (30). Wówczas uzyskamy następujący wynik: v 2 2 = V 1 2 [(γ + 1)p 1 + (γ 1)p 2 ] 2 (γ 1)p 1 + (γ + 1)p 2 (34) Wygodnie jest wyprowadzić współczynniki ciśnienia, gęstości i temperatury wykorzystując liczbę Macha M 1, która jest definiowana nastepująco: M 1 = v 1 c s (35) Gdzie c s to prędkosć dźwięku w niezaburzonym gazie, c s = (γp 1 /ρ 1 ) 2 1 (patrz wzór (3)). Przez proste podstawienie możemy obliczyć kwadrat liczby Macha. M 2 1 = v2 1 c 2 1 = v 2 1 (γp 1 )/ρ 1 = v2 1 γp 1 V 1. (36) Następnie podstawiając wyrażenie na kwadrat prędkości v 2 1 (32) otrzymamy: M 2 1 = (γ 1)p 1 + (γ + 1)p 2 2γp 1. (37) Co po prostych przekształceniach da nam współczynnik ciśnienia: 10

11 p 2 = 2M2 1γ (γ 1) p 1 γ + 1 (38) Podobnie możemy uzyskać stosunek gęstości. Przekształcając (7) otrzymujemy związek pomiędzy stosnkiem gęstości gazu, a stosunkiem jego prędkosci: ρ 2 ρ 1 = v 1 v 2. (39) Podstawiając wyrażenia na prędkości v 1 i v 2 (odpowiednio przekształcone równania (32) i (34)) dostajemy: ρ 2 ρ 1 = v 1 v 2 = (γ 1)p 1 + (γ + 1)p 2 (γ + 1)p 1 + (γ 1)p 2. (40) Możemy przedstawić powyższy związek w inny sposób. Wykorzystajmy liczbę Macha, przekształcając równanie (37) do postaci (γ 1)p 1 +(γ+1)p 2 = 2M 2 1 γp 1 i podstawiając je do zależności (40). Wówczas otrzymamy ρ 2 ρ 1 = 2M 2 1 γp 1 (γ + 1)p 1 + (γ 1)p 2 = 1 (γ+1) 2M 2 1 γ + (γ 1)p 2 2M 2 1 γp 1 Podstawiając (38) uzyskujemy współczynnik gęstości. (41) ρ 2 ρ 1 = (γ + 1) (γ 1) + 2/M 2 1 Na koniec podstawiając do równania (29) zależność (38) otrzymamy (42) T 2 = 2γM2 1 (γ 1) p 1 (γ + 1) + p 2 (γ 1) T 1 (γ + 1) p 1 (γ 1) + p 2 (γ + 1). (43) Wykonując podobny zabieg jak przy wyprowadzaniu współczynnika gęstości t.j podstawiając wyrażenie (γ 1)p 1 + (γ + 1)p 2 = 2M 2 1 γp 1 do powyższej równości dostajemy T 2 = 2γM2 1 (γ 1) p 1 (γ + 1) + p 2 (γ 1) T 1 (γ + 1) 2M 2 1 γp 1 [ = 2γM2 1 (γ 1) (γ + 1) (γ + 1) 2M 2 1 γ + (γ 1)p ] 2 2M 2 1 γp. (44) 1 Nastepnie podstawiając równanie (38) oraz upraszczając wyrażenie otrzymujemy współczynnik temperatury 11

12 T 2 = [2γM2 1 (γ 1)][M2 1 (γ 1) + 2] T 1 M 2 1 (γ +. (45) 1)2 6 Przybliżenie silnych szoków Teraz, po wyprowadzeniu wszyskich zależności, warto przyjrzeć się im gdy mamy do czynienia z bardzo silnym szokiem, tzn gdy liczba Macha przyjmuje duże wartości, M 1 1. Wówczas interesujące nas współczynniki ciśnienia, gęstości i temperatury (odpowiednio (38),(42) i (46)) przyjmują postać: W wyrażeniu (38) człon (γ 1)/(γ + 1) jest pomijalnie mały w stosunku do pierwszego członu zawierającego bardzo duża liczbę Macha podniesioną do kwadratu. Więc możemy zapisać p 2 p 1 = 2γM2 1 γ + 1. (46) Stosunek gęstości (42) zawiera człon 2/M 2 1. Przy naszym załozeniu staje się on pomijalnie mały. Więc zależność przyjmuje postać ρ 2 ρ 1 = γ + 1 γ 1. (47) Po wykonaniu obliczeń człony, które nie zawierają liczby Macha pomijamy, ponieważ ich wartości są niewelkie w porównaniu do liczby Macha. W pozostałych członach ta liczba znajduje się w mianowniku, więc one również nie odgrywają roli. Ostatecznie po eliminacji pozostaje tylko jeden człon, który przy założeniu silnego szoku jest znaczący T 2 = 2γM2 1 (γ 1). (48) T 1 (γ + 1) 2 Powyższe wyniki pokazują nam, że dla bardzo silnych fal uderzeniowych różnica temepratur i ciśnień przed i za frontem fali uderzeniowej jest bardzo duża, przy skończonej gęstości gazu. Czyli ukazują jak skutecznie silne szoki mogą podgrzewać gaz do bardzo wysokich temperatur. Taki efekt można zaobserwować na przykład w pozostałościach po supernowch. Ich granice są wyznaczone przez rozchodzącą się falę uderzeniową powstałą po wybuchu supernowej. Fala ta oddziałuje z materią międzygwiazdową powodując jej 12

13 Rysunek 4: Pozostałość Supernowej Keplera (SN 1604) obserwowana teleskopem VLA. Rysunek 5: Łukowy szok obserwowany Teleskopem Hubblea w Magławicy Oriona. podgrzanie. Na zdjęciach obszary gorącego gazu widoczne są jako stosunkowo cienka sferyczna otoczka wokół centralnego punktu niegdyś zajmowanego przez gwiazdę (Rysunek 4). Nie tylko w supernowych obserwujemy fale uderzeniwe. Silne szoki możemy również obserwować w miejscach gdzie gaz i pył niesione przez wiatr gwiazdowy zwalniają do prędkości poddźwiękowej. Powstała wówczas fala uderzeniowa (szok końcowy) ma charakterystyczny łukowy kształt (Rysunek 5). Innym przykładem są tzw. obiekty Herbriga-Haro (Rysunek 6). Są to mgławicopodobne struktury tworzące się na końcach dżetów wytwarzanych przez bardzo młode gwiazdy. Materiał wyrzucony w dwóch kierunkach zderza się z ośrodkiem międzygwiazdowym powodując powstanie fali uderzeniowej, która podgrzewa gaz do temperatur rzędu K. Podobny efekt obserwujemy w radiogalaktykach (Rysunek 7). Na końcach Rysunek 6: Obiekt Herbiga-Haro HH47, zdjęcie wykonane przez Kosmiczny Teleskop Hubble a. 13

14 dżetów, w miejscu gdzie wyrzucona materia zaczyna oddziaływać z ośrodkiem międzygwiazdowym, tworzą się obszary gorącego gazu tzw. gorące plamy. Jednak największa zaobserwowana fala uderzeniowa powstała w wyniku zde- Rysunek 7: Radiogalaktyka Cygnus A z widocznymi gorącymi plamai obserwowana teleskopem VLA. rzenia galaktyk w grupie galaktyk zwanych Kwinetem Stephena (Rysunek 8). W układzie tym jedna galaktyka NGC 7318b przechodzi z prędkością ok miliona km/h przez centralne regiony 4 innych galaktyk (NGC 7317, NGC 7318b i NGC 7319). Podgrzany przez falę uderzeniową gaz świeci w zakresie rentgenowskim, co jest widoczne na obrazie w postaci błękitnej smugi. Obszar ten jest większy niż Droga Mleczna. Rysunek 8: Fala uderzeniowa powstała w wyniku zderzenia galaktyk obserwowana przez telekop Chandra. 14

15 7 Podsumowanie Przy przejściu przez szok zachodzą skomplikowane procesy fizyczne. Aby jednak je zrozumieć wystarczająca jest prosta postać adiabaty Hugoniota. Tak więc, co dokładnie dzieje się na froncie fali uderzeniowej? Okazuje się, że gdy niezaburzony gaz przechodzi przez front szoku jest zarówno podgrzewany jak i przyspieszany za pośrednictwem lepkości atomów lub molekuł. Można wykazać, że przyspieszenie i podgrzewanie gazu odbywa się na obszarze rzędu drogi swobodnej atomów, molekuł lub jonów gazu. Ma to swoje fizyczne uzasadnienie ponieważ tylko tak energia i pęd mogą być przenoszone pomiędzy molekułami gazu. Tak więc front fali uderzeniowej jest bardzo cienki (rzędu 10 5 pc dla gęstości 10 3 cm 3 ), a podgrzewanie na tym krótkim dystansie bardzo silne. Tak podgrzane obszary możemy obserwować np. w pozostałościach po supernowych, w obietktach Herbiga-Haro, w galaktykach aktywnych oraz w wyniku zderzeń galaktyk. 15

16 Literatura [1] Scheffler H. Elsässer H. Physics of the Galaxy and Interstellar Matter, chapter 6, Springer-Verlang (1982). [2] Zel dovich Ya. B., Raizer Yu. P. Physics of shock waves and hightemperature hydrodynamic phenomena, chapter 2, Academic Press (2002). [3] Courant R., Friedrichs K. O. Supersonic flow and shock waves,springer (1999). [4] Raymond J. C., ApJS, 39:1-27 (1979) [5] Mc.Kee Ch. F., Hollenbach D. J., Ann. Rev. Astron. Astrophys., 18: (1980) 16