Lista liniowa dwukierunkowa

Transkrypt

1 53 Lista liniowa dwukierunkowa Jest to lista złożona z elementów, z których każdy posiada, oprócz wskaźnika na element następny, również wskaźnik na element poprzedni. Zdefiniujmy element listy dwukierunkowej struct ELEMD { int klucz; ELEMD * left, * right; }; name p Rys. 53 Lista liniowa dwukierunkowa Lista liniowa dwukierunkowa nie ma wyróżnionego początku ani końca jest symetryczna. Rolę wskaźnika do całej listy pełni tutaj wskaźnik name, którego położenie jest w zasadzie dowolne, może więc być używany, na przykład, do wyszukiwania elementów. Z powyższego wynika również, że algorytmy usuwające elementy powinny sprawdzać, czy usuwany element nie jest aktualnie wskazywany przez wskaźnik do całej listy. Jeśli tak, wskaźnik do całej listy należy wcześniej przesunąć na inny element.

2 54 ELEMD *q = new ELEMD; p left right = q; q left = p left; p left = q; q right = p; Rys. 54 Przykładowy algorytm wstawiania nowego elementu, wskazywanego przez q, przed element wskazywany przez p (założono, że element stojący na lewo od p istnieje) p left right = p right; p right left = p left; delete p; Rys. 55 Przykładowy algorytm usuwania elementu wskazywanego przez p (przy założeniu, że element usuwany nie jest elementem skrajnie prawym, ani skrajnie lewym) Drzewa i lasy Rekurencyjna definicja drzewa Drzewo, podobnie jak omawiana w rozdziale poprzednim lista, jest strukturą, którą możemy zdefiniować w sposób rekurencyjny.

3 55 Oto ta definicja: Niech wierzchołek w (element drzewa) będzie pewnego typu T, wtedy: 1. Jeżeli dowolna, skończona, rozłączna i nie należąca do drzewa liczba wierzchołków typu T, do niego dowiązanych jest drzewami, to w jest drzewem. 2. Zbiór pusty wierzchołków jest drzewem. Jest to typowa definicja rekurencyjna, w której punkt 2 stanowi warunek stopu definicji. Pojęcie wierzchołek (węzeł) i dowiązanie (łuk) zostały zapożyczone z teorii grafów. Poniższy rysunek objaśnia podaną definicję. w w a) n w 1 w 2 b) w 11 w 12 w 13 Rys. 56 Rekurencyjna definicja drzewa: a) drzewo puste, b) drzewo niepuste....

4 56 Definicje podstawowych pojęć 1. Wierzchołki, które są bezpośrednio dowiązane do danego wierzchołka, nazywamy jego bezpośrednimi potomkami, albo bezpośrednimi następnikami (synami węzła). 2. Z kolei wierzchołek taki nazywać będziemy bezpośrednim poprzednikiem (ojcem) tych węzłów. 3. Synów tego samego ojca nazywamy braćmi. 4. Wierzchołek, który nie ma bezpośredniego poprzednika nazywamy korzeniem drzewa. Korzeniem drzewa nazywa się też wskazanie do tego elementu. Jest to jednocześnie wskazanie do całego drzewa. 5. Wierzchołki, które nie mają bezpośrednich następników, nazywamy liśćmi drzewa. 6. Elementy nie będące liśćmi nazywamy węzłami wewnętrznymi drzewa. 7. Drzewem uporządkowanym nazywamy drzewo, w którym dla każdego węzła wewnętrznego na jego synach określona jest ta sama relacja liniowego porządku. 8. Jeżeli dany węzeł ma poziom i, to wszystkie jego bezpośrednie następniki mają poziom i+1. Założymy, że korzeń drzewa ma poziom 1.

5 57 9. Maksymalny poziom wierzchołków drzewa nazywamy wysokością, albo głębokością drzewa. 10. Stopniem drzewa nazywamy maksymalną liczbę wierzchołków, jakie można dowiązać do każdego z węzłów. 11. Ścieżką w drzewie jest ciąg jego wierzchołków a 1, a 2,...,a n taki, że dla każdego i = 2, 3,..., n para (a i-1, a i ) jest krawędzią, łączącą dany wierzchołek wewnętrzny z jego bezpośrednim potomkiem. Wierzchołki wewnętrzne to zbiór wszystkich wierzchołków drzewa za wyjątkiem liści. 12. Liczba krawędzi, jaką trzeba przejść od korzenia do poziomu danego wierzchołka w nazywamy długością drogi wierzchołka w. Długość drogi korzenia wynosi 1. Ogólnie - długość drogi wierzchołka na poziomie i wynosi i. 13. Lasem nazywać będziemy uporządkowany zbiór drzew. Uporządkowanie drzew w lesie polega na uporządkowaniu korzeni kolejnych drzew. Spina się je w las poprzez umieszczenie wskaźników do ich korzeni w tablicy, lub w liście wskaźników. Lista liniowa jednokierunkowa jest szczególnym przypadkiem drzewa. Jest to drzewo stopnia pierwszego. Drzewo binarne W praktyce używa się zwykle drzew niewysokiego stopnia, na przykład drugiego (mówimy wtedy o drzewie binarnym).

6 58 ptr Rys. 57 Przykład drzewa binarnego ( ptr - wskazanie dowolnego węzła drzewa) Algorytm tak zwanego naturalnego przekształcenia dowolnego lasu w drzewo binarne Jest to algorytm, który umożliwia przekształcenie dowolnego lasu, złożonego z dowolnej ilości drzew o różnych stopniach, w pojedyncze drzewo binarne. Jest zupełnie naturalnym, że algorytmy obsługi drzew o ustalonym, niewysokim stopniu, będą prostsze i bardziej efektywne niż algorytmy dotyczące drzew charakteryzujących się dość dużą dowolnością. Algorytm tak zwanego naturalnego przekształcenia dowolnego lasu w drzewo binarne skonstruować można wg. poniższych kroków: 1. Przyjmij za korzeń drzewa binarnego korzeń pierwszego drzewa w lesie. 2. Przenoś kolejne węzły drzew lasu do drzewa binarnego w ten sposób, aby: 2.1. ich pola left wskazywały listę wiązaną synów tego węzła w drzewie oryginalnym, 2.2. lista ta była wiązana poprzez pola right każdego z przenoszonych węzłów, 2.3. zasada ta dotyczy również wiązania korzeni poszczególnych drzew lasu.

7 59 las N Rys. 58 Las złożony z dwóch drzew. N-elementowa tablica wskaźników las przechowuje wskazania do kolejnych drzew w lesie Rys. 58 przedstawia przykładowy las złożony z dwóch drzew o różnym stopniu, rys. 59 drzewo binarne otrzymane z przekształcenia tego lasu za pomocą wyżej omawianego algorytmu. Po przekształceniu lasu w drzewo binarne i wykonaniu na nim wszystkich niezbędnych operacji, takich jak: wyszukanie węzła, modyfikacja jego zawartości, bądź nawet usunięcie lub wstawienie nowego węzła, drzewo binarne można z powrotem przekształcić do pierwotnej, naturalnej postaci.

8 Rys. 59 Drzewo binarne powstałe z przekształcenia lasu przedstawionego na rys.58 Przeglądanie drzewa binarnego Niech Q(ptr) będzie operacją, którą trzeba wykonać na węźle wskazywanym przez ptr, oraz wszystkich węzłach leżących poniżej węzła wskazywanego przez ptr (patrz rys. 36). Jeśli ptr =, czyli wywołamy procedurę Q dla wskazania korzenia drzewa, wtedy procedura ta wykonana zostanie dla całego drzewa. ptr A B C Rys. 60 Węzły drzewa binarnego

9 61 Rekurencyjną metodę zapewniającą przejrzenie całego drzewa o dowolnym kształcie i rozmiarach począwszy od węzła wskazywanego przez ptr (węzeł A na rys. 60) sformułować można następująco: Wykonaj żądaną operację na węźle, w którym się znajdujesz a następnie zgodnie z przyjętą zasadą odwiedź lewy wierzchołek dowiązany, następnie zgodnie z przyjętą zasadą odwiedź prawy wierzchołek dowiązany. W tym opisie metody najważniejszym jest sformułowanie zgodnie z przyjętą zasadą. Tutaj bowiem ukryte jest rekurencyjne wywołanie metody. Uzyskany efekt najlepiej obrazuje poniższy rysunek. ptr Rys. 61 Kolejność wykonywania operacji Q(ptr) na węzłach drzewa binarnego przy użyciu metody preorder. Mamy tu do czynienia ze schematem odwiedzania węzłów drzewa binarnego, który nazwany został metodą zstępującą, albo metoda porządku poprzedzającego (z ang. preorder ).

10 62 Jest to schemat A B C. A oznacza wykonanie operacji na węźle, B lub C - jedynie jego odwiedzenie. Dwa dalsze możliwe schematy to: B A C inorder - metoda wstępująca lub porządek następujący, B C A postorder - metoda symetryczna lub porządek wewnętrzny. Rekurencyjna funkcja zapewniająca, przy zastosowaniu metody preorder, wykonanie procedury Q(ptr) dla całego poddrzewa wskazywanego przez ptr będzie miała w notacji języka C/C++ postać: void preorder ( BIN *ptr) { if (ptr) { Q(ptr); preorder(ptr left); preorder(ptr right); } } Drzewa binarnych poszukiwań Niech poniższy ciąg nie powtarzających się liczb całkowitych będzie ciągiem kluczy, które chcemy wstawić do drzewa binarnego w sposób uporządkowany

11 63 Poszukując liścia, którego następnikiem ma być kolejny wstawiany wierzchołek, zastosujmy następującą rekurencyjną metodę: 1. jeżeli wartość wstawiana jest mniejsza od wartości klucza badanego węzła, należy poprzez pole left przejść do lewego węzła, 2. jeżeli wartość wstawiana jest większa od wartości klucza badanego węzła, należy poprzez pole right przejść do prawego węzła, 3. powyższe można zakończyć po napotkaniu węzła, którego lewe, lub prawe wskazanie jest wskazaniem pustym, wskazania tego należy użyć w celu wstawienia węzła. Zauważmy, że poszukując miejsca wstawienia nowego węzła poruszamy się wzdłuż jednej tylko ścieżki w drzewie i że miejsce wstawienia jest tylko jedno. Wyżej opisana metoda wstawiania węzłów do drzewa binarnego, chociaż ma w istocie charakter rekurencyjny (pk. 3 metody stanowi warunek stopu), to ze względu na to, że poruszamy się wzdłuż jednej tylko ścieżki, może być łatwo zrealizowana za pomocą algorytmu iteracyjnego. Otrzymane w ten sposób drzewa binarne, ze względu na swe szczególne, opisane niżej, własności nazywamy drzewami binarnych poszukiwań (DBP).

12 64 ptr Rys. 62 Drzewo binarnych poszukiwań wygenerowane po otrzymaniu ciągu kluczy Generowanie drzew binarnych poszukiwań stanowi jedną z najdoskonalszych metod sortowania informacji. Aby bowiem znaleźć w drzewie wierzchołek o określonej wartości klucza, lub stwierdzić, że klucz o takiej wartości nie występuje w drzewie, wystarczy poruszać się wzdłuż jednej tylko ścieżki. Oto pełna definicja drzewa binarnych poszukiwań: Drzewem binarnych poszukiwań nazywać będziemy drzewo binarne, w którym dla każdego węzła wewnętrznego, klucz jego lewego następnika jest mniejszy, a klucz prawego następnika większy, od klucza tego węzła. Maksymalna liczba porównań, jakie trzeba wykonać, aby znaleźć jakikolwiek wierzchołek, jest równa wysokości DBP. Oczywiście im drzewo jest mniej zrównoważone (ma większą wysokość), tym maksymalna liczba porównań jest większa.

13 65 W idealnym przypadku - drzewa dokładnie wyważonego, drzewo binarne o wysokości n zawiera aż 2 n 1 węzłów. Korzyści, jakie osiągamy z użycia DBP do sortowania danych, wzrastają więc nieprawdopodobnie szybko ze wzrostem ilości tych danych, co jest kolejną pozytywną cechą DBP. Obrazuje to poniższa tabela Ilość węzłów w DBP Maksymalna liczba porównań Rys. 63 Zależność między ilością węzłów w DBP a maksymalną ilością porównań, jakich trzeba dokonać, aby znaleźć wierzchołek o żądanym kluczu w dokładnie wyważonym DBP. Algorytm usuwania węzłów różnych od korzenia w DBP rozbić można na trzy przypadki: jeśli węzeł usuwany jest liściem, wystarczy zwolnić pamięć dla tego węzła a jego wskazaniu przypisać wskazanie puste, jeśli węzeł usuwany ma jednego potomka, należy wskazaniu usuwanego węzła przypisać wskazanie tego potomka, natomiast jeśli węzeł usuwany ma dwóch potomków, należy wskazaniu tego węzła przypisać wskazanie lewego potomka, a następnie wypięte w ten sposób poddrzewo, rozpoczynające się od prawego następnika

14 66 usuwanego węzła, wpiąć do DBP tak jakby się wpinało nowy pojedynczy węzeł. Drzewa zrównoważone i idealnie zrównoważone Jak już zauważyliśmy, korzyści jakie wynosimy, używając drzew binarnych poszukiwań, są tym mniejsze, im bardziej uporządkowany jest ciąg kluczy kolejno wstawianych węzłów. W skrajnym przypadku, to jest uporządkowanego ciągu kluczy, drzewo binarnych poszukiwań degeneruje się do uporządkowanej listy liniowej, gdzie średni czas wyszukiwania jest tylko rzędu n/2 (n jest ilością węzłów). W takich sytuacjach warto konstruować tak zwane drzewa zrównoważone i drzewa idealnie zrównoważone. Drzewem zrównoważonym nazywamy drzewo binarne, w którym dla każdego węzła wysokość jego lewego i prawego poddrzewa różni się nie więcej niż o jeden. Od nazwisk odkrywców zostały one również nazwane drzewami AVL a) 6 b) Rys. 64 Przykłady drzew: a) drzewo zrównoważone, b) drzewo idealnie zrównoważone

15 67 Z kolei drzewem idealnie zrównoważonym nazywać będziemy drzewo binarne, w którym wszystkie liście znajdują się na jednym, lub dwóch poziomach. Oczywiście nie każde drzewo zrównoważone musi być drzewem idealnie zrównoważonym. Drzewa z priorytetem (HPO-drzewa albo Kopce). Sterty W rozdziale poświęconym listom omówiliśmy listy z priorytetem (HPO-kolejki). Zupełnie podobne zastosowania mają drzewa z priorytetem, zwane również HPO-drzewami, lub kopcami. HPO-drzewa są to drzewa binarne uporządkowane według priorytetów i zbudowane według zasady: Dla każdego węzła wewnętrznego priorytety jego następników są nie większe od priorytetu tego węzła. ptr Rys. 65 Przykładowy kopiec. Dymki z wartością 11 w środku wskazują dopuszczalne miejsca wstawienia węzła o wartości priorytetu równej 11.

16 68 W HPO-drzewie węzeł o najwyższym priorytecie znajduje się zawsze w korzeniu. Podobnie jak w HPO-kolejce do węzła tego istnieje bezpośredni (a więc bardzo szybki) dostęp poprzez wskazanie do całego drzewa. Jak już o tym wcześniej mówiono, im z wyższym drzewem mamy do czynienia, tym dłuższy jest czas wyszukiwania węzłów. Czas ten jest najkrótszy z możliwych dla drzewa idealnie zrównoważonego, gdzie złożoność obliczeniowa algorytmu wyszukiwania wynosi O(log N). Otrzymanie drzewa idealnie zrównoważonego dla kopca nie jest oczywiście zawsze możliwe. (Ćwiczenie: dlaczego?). Można jedynie zadbać o to, aby algorytmy wstawiające, lub usuwające węzły dbały o możliwie największe zrównoważenie HPO-drzewa. Natomiast, jeśli zrezygnować z uporządkowania węzłów w wyżej omawianym drzewie i zażądać, aby drzewo było idealnie zrównoważone, otrzymamy drzewo binarne o nazwie sterta. Drzewa decyzyjne Drzewa decyzyjne najczęściej służą do wyodrębniania wiedzy z zestawu przykładów (eksploracja danych). Załóżmy, że posiadamy zestaw przykładów, opisanych przy pomocy kilku atrybutów. Z każdym obiektem zwiążmy jakąś decyzję (to co otrzymaliśmy nazywamy tabelą decyzyjną). Wiek Płeć Wykształcenie Języki obce Doświadczenie Ogólna prezentacja Przyjęty 25 m nie 22 k nie 21 m tak 29 m nie Rys. 66. Przykładowa tabela decyzyjna

17 69 Załóżmy, że tabelę decyzyjną stworzono w celu zautomatyzowania procesu przyjmowania kandydatów do pracy w dużej firmie. Rzeczywiste tabele tego typu liczą nawet setki wierszy. W naszym przykładzie wprowadzono atrybuty decyzyjne: Płeć, Wykształcenie, Języki obce, Doświadczenie i Ogólna prezentacja, oraz - atrybut decyzyjny: Przyjęty. Wartości atrybutów decyzyjnych (za wyjątkiem płci) są kodowane w skali od 1 do 5. Atrybut decyzyjny przyjmuje dwie wartości: tak, nie. Na podstawie tabeli decyzyjnej tworzymy drzewo, którego węzłami są poszczególne atrybuty, gałęziami wartości odpowiadające tym atrybutom, a liście tworzą poszczególne decyzje. Na podstawie przykładowych danych wygenerowano następujące drzewo: Rys. 67. Przykładowe drzewo decyzyjne stopnia trzeciego

18 70 Drzewo w takiej postaci odzwierciedla, w jaki sposób na podstawie atrybutów były podejmowane decyzje klasyfikujące. Zaletą tej reprezentacji jest jej czytelność dla człowieka. Łatwo tez zapisać algorytm klasyfikujący. Wyrażenia kropkowe Bardzo szczególną postacią drzew są drzewa przechowujące tzw. wyrażenia kropkowe. Reprezentantem wyrażenia kropkowego jest drzewo binarne uzupełnione (w którym wszystkie węzły wewnętrzne mają dwóch następników), posiadające etykiety (wartości) tylko na liściach. a b c d ( ( a. ( b. c ) ). d ) a) b) Rys. 68 Przykład wyrażenia kropkowego: a) reprezentacja w postaci drzewa, b) zapis kropkowy

19 71 Wyrażenia kropkowe mają dwa rodzaje węzłów: węzły wewnętrzne bez etykiet (ich celem jest przechowanie informacji o strukturze całego wyrażenia kropkowego), oraz normalne węzły na liściach drzewa. Możemy więc przy ich pomocy, na przykład: przedstawić strukturę rozgrywek piłkarskich: ( ( Wisła. ( Legia. Widzew ) ). Amica ) albo też przypisując węzłom kropkowym operatory arytmetyczne, przedstawić strukturę wyrażenia arytmetycznego: (( a * ( b + c )) d ). W pierwszym przykładzie, kropka pełnić może role operatora wyłaniającego zwycięzcę lewego i prawego argumentu, w drugim operatora pozwalającego znaleźć wartość wyrażenia arytmetycznego lewego i prawego argumentu. Jest to więc bardzo wygodna, w pełni dynamiczna, forma przechowywania informacji o strukturze. K o n i e c c z ę ś c i 4