Wykład 8. Drzewa AVL i 2-3-4

Transkrypt

1 Wykład 8 Drzewa AVL i

2 Drzewa AVL Ø Drzewa AVL Definicja drzewa AVL Operacje wstawiania i usuwania Złożoność obliczeniowa Ø Drzewa Definicja drzewa Operacje wstawiania i usuwania Złożoność obliczeniowa Literatura R. Sedgewick, Algorytmy w C++, rozdz. 13 2

3 Drzewa AVL Definicja: drzewem AVL nazywamy drzewo BST, takie że dla każdego z węzłów różnica wysokości jego lewego i prawego poddrzewa wynosi co najwyżej 1. Skrót AVL pochodzi od nazwisk twórców: Adelson-Velskii oraz Landis x h h-1 S h-1 S h-2 h-2 S h S h = S h 1 + S h 2 3

4 Przykład drzewa AVL

5 Wysokość drzewa AVL Twierdzenie:wysokość drzewa AVL przechowującego n węzłów wynosi O(log n). n(2) 3 4 n(1) Dowód: ograniczymy najpierw n(h): minimalną ilość wewnętrznych węzłów w drzewie AVL o wysokości h. widać, że n(1) = 1 i n(2) = 2 dla n > 2, drzewo o wysokości h zawiera korzeń oraz dwa poddrzewa o wysokościach h-1 i h-2. stąd: n(h) = 1 + n(h-1) + n(h-2) wiemy, że n(h-1) > n(h-2), więc n(h) > 2n(h-2). Dalej n(h) > 2n(h-2), n(h) > 4n(h-4), n(h) > 8n(n-6),,n(h) > 2 i n(h-2i) rozwiązując powyższe dostaniemy n(h) > 2 h/2-1, czyli h < 2log n(h) +2 Ø Stąd wysokość drzewa AVL wynosi O(log n) 5

6 Wstawianie Ø Wstawiamy tak jak do drzewa BST Ø Zawsze dodajemy nowy liść. Ø Przykład : a=y c=z b=x w 54 przed Po wstawieniu 54 6

7 Rotacje Rotacja w prawo y x x δ Rotacja w lewo α y α β β δ α x β i x y δ α x y i β y δ 7

8 Left-Rotate Left-Rotate(T,x) y ß right[x] right[x] ß left[y] parent[left[y]] ß x parent[y] ß parent[x] if parent[x] = null then root[t] ß y else if x = left[parent[x]] then left[parent[x]] ß y left[y] ß x else right[parent[x]] ß y parent[x] ß y Inicjuj y Zamień lewe poddrzewo y na prawe poddrzewo x Przyłącz ojca x jako ojca y Przyłącz x jako lewego syna y 8

9 Przykład: Left-Rotate (1) x y

10 Przykład: Left-Rotate (2) x α y β δ 10

11 Przykład: Left-Rotate (3) y x α β δ 11

12 Przykład: Left-Rotate (4) y x

13 Rotacje Ø Zachowują własność drzewa BST. Ø Zajmują stały czas O(1) stała ilość operacji na wskaźnikach. Ø Rotacje w lewo i w prawo są symetryczne. 13

14 Przebudowa drzewa Ø niech (a,b,c) będzie pożądaną listą wierzchołków w porządku inorder Ø Przeprowadzamy rotacje, niezbędne do przemieszczenia b na górę poddrzewa a=z b=y (pozostałe dwa przypadki są symetryczne) a=z c=y przypadek 2: podwójna rotacja (prawa c, a potem lewa a) T 0 c=x T 0 b=x T 1 b=y T 3 b=x T 2 T 3 a=z c=x T 1 T 2 a=z c=y przypadek 1: pojedyncza rotacja (lewa rotacja a) T 0 T 1 T 2 T 3 T 0 T 1 T 2 T 3 14

15 Przykład wstawiania niezbalansowane z y x T T 0 2 T zbalansowane T y Nie można wyświetlić obrazu. Na komputerze może brakować pamięci do otwarcia obrazu lub obraz może być uszkodzony. Uruchom ponownie komputer, a następnie otwórz plik ponownie. Jeśli czerwony znak x nadal będzie wyświetlany, konieczne może być usunięcie obrazu, a następnie ponowne wstawienie go. 62 x T 2 z T 0 T 1 T 3 15

16 Przebudowa drzewa (pojedyncza rotacja) T 0 a = z T 1 b = y Nie moż na wyś wietl ić obra zu. Na kom pute rze moż e brak ować T 2 c = x 1 rotacja T 3 a = z b = y Nie moż na wyś wietl ić obra zu. Na kom pute rze moż e brak ować T 0 T 1 T 2 c = x T 3 T 0 a = x T 1 Nie mo żna wyś wiet lić obr azu. Na ko mp uter b = y T 2 c = z T 3 1 rotacja T 3 a = x T 2 Nie mo żna wyś wiet lić obr azu. Na ko mp uter b = y T 1 c = z T 0 16

17 Przebudowa drzewa (podwójna rotacja) T 0 a = z Nie możn a wyświ etlić obraz u. Na komp uterz e może brako wać pamię ci do otwar b = x T 2 c = y 2 rotacje T 3 T 0 a = z Nie możn a wyświ etlić obraz u. Na komp uterz e może brako wać pamię ci do otwar T 1 b = x T 2 c = y T 3 T 1 a = y b = x Nie mo żna wyś wiet lić obr azu. Na ko mp uter c = z 2 rotacje b = x a = y T 0 T 3 T 2 T 3 T 1 T 0 T 1 T 2 Nie mo żna wyś wiet lić obr azu. Na ko mp uter c = z 17

18 Usuwanie z drzewa AVL Ø Usuwamy, jak z drzewa BST może spowodować to zaburzenie zbalansowania drzewa. Ø Przykład: Przed usunięciem 32 Po usunięciu 18

19 Przywracanie zbalansowania po usunięciu Ø Niech z będzie pierwszym niezbalansowanym węzłem, na który natrafiamy idąc od w. Niech y będzie dzieckiem z o większej wysokości, a x jego dzieckiem o większej wysokości. Ø Przeprowadzamy przebudowę drzewa w x, tak aby przywrócić zbalansowanie w z. Ø Ponieważ operacja taka może zachwiać balans w węźle powyżej - musimy sprawdzać zbalansowanie drzewa powyżej (aż do korzenia) a=z w b=y c=x

20 Złożoność obliczeniowa operacji na drzewach AVL Ø Pojedyncza przebudowa zabiera czas O(1) Jeśli korzystamy ze struktury łączonego drzewa binarnego Ø Wyszukiwanie zajmuje O(log n) Wysokość drzewa wynosi O(log n), nie potrzeba przebudowywać drzewa Ø Wstawianie zajmuje O(log n) Odnalezienie miejsca O(log n) ze względu na wysokość drzewa Przebudowa drzewa O(1) Ø Usuwanie - O(log n) Odnalezienie zabiera czas O(log n) Naprawa drzewa O(log n) ze względuu na wysokość drzewa 20

21 Drzewa

22 Drzewa poszukiwań o wielu drogach Ø Drzewem poszukiwań o wielu drogach (B-drzewem) nazywamy uporządkowane drzewo o następujących cechach: Każdy węzeł wewnętrzny posiada co najmniej 2 potomków i przechowuje d -1 elementów-kluczy (k i, o i ), gdzie d jest ilością potomków węzła Dla każdego węzła o potomkach v 1 v 2 v d przechowującego klucze k 1 k 2 k d-1 Klucze w poddrzewie v 1 są mniejsze od k 1 Klucze w poddrzewie v i są pomiędzy k i-1 i k i (i = 2,, d - 1) Klucze w poddrzewie v d są większe od k d-1 Liście nie przechowują kluczy

23 Przechodzenie InOrder w drzewach o wielu drogach Ø Możliwe jest rozszerzenie notacji odwiedzania węzłów InOrder z drzew binarnych na drzewa o wielu drogach Ø Odwiedzamy element (k i, o i ) w węźle v pomiędzy rekursywnymi odwiedzinami poddrzew v o korzeniu w v i i v i + 1 Ø Odwiedzane węzły w tak zdefiniowanym porządku InOrder są uporządkowane rosnąco

24 Poszukiwanie w drzewach o wielu drogach Ø Podobnie do poszukiwania w drzewie BST Ø Dla każdego węzła wewnętrznego o potomkach v 1 v 2 v d o kluczach k 1 k 2 k d-1 : k = k i (i = 1,, d - 1):poszukiwanie zakończone sukcesem k < k 1 : poszukiwanie kontynuujemy w poddrzewie v 1 k i-1 < k < k i (i = 2,, d - 1): poszukiwanie kontynuujemy w poddrzewie v i k > k d-1 : poszukiwania kontynuujemy w poddrzewie v d Ø Dotarcie do liścia kończy poszukiwania (porażka) Ø Przykład : odszukujemy klucza

25 Drzewa Ø Drzewa nazywane też (2,4) są drzewami poszukiwań o wielu drogach o następujących własnościach własność ilości potomków: każdy węzeł wewnętrzny ma co najwyżej 4 potomków własność wysokości: wszystkie liście mają tę samą wysokość Ø W zależności od ilości potomków, wewnętrzne węzły będziemy nazywać 2-węzłami, 3-węzłami i 4-węzłami

26 Wysokość w drzewach Ø Twierdzenie: Drzewo przechowujące n elementów ma wysokość O(log n) dowód: niech h będzie wysokością drzewa o n elementach ponieważ mamy co najmniej 2 i elementów na poziomie i = 0,, h - 1 i nie ma elementów ma poziomie h, więc stąd, h log (n + 1) n h-1 = 2 h - 1 Ø Wyszukiwanie w drzewie o n elementach zajmuje czas O(log n) poziom 0 1 h-1 h elementy h

27 Wstawianie Ø Nowy element (k, o) wstawiamy do węzła v ostatniego wewnętrznego węzła, przez który przechodziliśmy poszukując k Nie psujemy własności wysokości drzewa Możemy spowodować przepełnienie węzła (v może stać się 5-węzłem) Ø Przykład: wstawianie 30 powoduje przepełnienie v v 27

28 Przepełnienie i rozdzielanie węzła Ø Problem przepełnienia można rozwiązać przez podział węzła v: niech v 1 v 5 będą potomkami v i k 1 k 4 będą kluczami w v węzeł v zastępujemy 2 węzłami v' i v" v' jest 3-węzłem o kluczach k 1 k 2 i potomkach v 1 v 2 v 3 v" jest 2-węzłem o kluczach k 4 i potomkach v 4 v 5 klucz k 3 jest wstawiany do rodzica u węzła v (to może tworzyć nowy korzeń) Ø Przepełnienie może teraz nastąpić w węźle u u u v v' 35 v" v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 28

29 Analiza wstawiania Algorytm insertitem(k, o) 1. Odszukujemy klucz k w celu zlokalizowania węzła do wstawienia wartości v 2. Dodajemy nowy element (k, o) w węźle v 3. while overflow(v) if isroot(v) twórz nowy pusty korzeń nad v v split(v) Ø Niech T będzie drzewem o n elementach T ma wysokość O(log n) krok 1 zajmuje czas O(log n), ponieważ odwiedzamy O(log n) węzłów krok 2 zajmuje czas O(1) krok 3 zabiera O(log n) czasu, ponieważ każde rozdzielanie zabiera O(1) i możemy mieć O(log n) takich operacji Ø Stąd wstawianie do drzewa zajmuje czas O(log n) 29

30 Usuwanie Ø Rozważania na temat usuwania można sprowadzić tylko do przypadku usuwania wartości z węzła nie posiadającego potomków Ø W przeciwnym razie zastępujemy element kolejnym w porządku inorder Ø Przykład: usuwanie 24 zastępujemy 24 prze następnik w porządku inorder

31 Niedobór i łączenie Ø Usunięcie elementu z węzła v może spowodować niedobór - v może stać się 1-węzłem (0 klucz, 1 potomek) Ø Dla obsługi tej sytuacji należy połączyć v z rodzicem u, rozpatrzmy dwa przypadki Ø przypadek 1: sąsiedni brat v jest 2-węzłem operacja łączenia: łączymy v z bratem w i przenosimy element z u do połączonego węzła v' po połączeniu, niedobór może nastąpić w węźle powyżej (u) u 9 14 u w v v' 31

32 Niedobór i łączenie Ø przypadek 2: sąsiedni brat w węzła v jest 3-węzłem lub 4-węzłem przenosimy: 1. potomka w do v 2. element z u do v 3. element z w do u po przeniesieniu nie występują przepełnienia u 4 9 u w v w v 32

33 Analiza usuwania Ø Niech T będzie drzewem o n elementach wysokość T wynosi O(log n) Ø Operacja usuwania: odwiedzamy O(log n) węzłów aby odszukać węzeł, z którego usuwamy element obsługa niedoborów może prowadzić do wykonania serii O(log n) łączeń węzłów (przyp. 1) oraz jednego przesuwania (przyp. 2) każde łączenie zajmuje O(1) Ø Stąd operacja usuwania w drzewie zajmuje czas O(log n) 33