Rozwiązanie układów równań liniowych algebraicznych dla macierzy rzadkich: metody bezpośrednie
|
|
- Nadzieja Biernacka
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rozwiązanie układów równań liniowych algebraicznych dla macierzy rzadkich: metody bezpośrednie Metody bezpośrednie to są takie metody, które za skończoną ilość operacji doprowadzają do wyniku dokładnego, przynajmniej w arytmetyce precyzyjnej. Dla macierzy rzadkich skuteczność rozwiązania istotnie zależy od: o zdolności metody uporządkowania zmniejszyć ilość niezerowych elementów w macierzy sfaktoryzowanej o zdolności solwera umieścić w pamięci głównej duże tablice danych, zabezpieczyć wirtualizacje (podział danych na bloki, z których tylko część znajduje się w pamięci głównej jednocześnie, a inne bloki są pobierane z dysku) Obliczenia wysokiej wydajności w
2 o zdolności solwera opracowywać bloki danych, znajdujących się w pamięci głównej, na wysokim poziomie wydajności Istnieje wielu różnych typów solwerów na dzień dzisiejszy dla macierzy rzadkich symetrycznych o Solwer skyline to jest metoda Gaussa lub Choleckiego, w której macierz przechowywana w formacie profilowym. Najbardziej używane metody uporządkowania: RCM, metoda Sloana. o są solwery starego typu, dla dużych macierzy ( N > ) wydajność drastycznie spada w skutek powstania znacznej ilości zapełnień. Solwer jest prosty w realizacji, lekko poddaje się wirtualizacji. o Solwer frontalny dla MES. Macierz źródłowa nigdy nie agregowana w postaci jawnej. Nośnikami informacji o elementach macierzy są macierzy elementów skończonych macierzy nie wielkiego rozmiaru. Proces faktoryzacji: po koleje pozostaje wprowadzone asemblowanie macierzy elementów skończonych, wykrycie kompletnie zebranych równań (to są takie równania, współczynniki których nie zmieniają się przy doładowaniu macierzy dowolnych z pozostałych elementów skończonych takie równania można wyeliminować, nie doczekując końca procesu asemblowania) i eliminacji tych równań. W taki sposób idzie równoległe asemblowanie eliminacje równań, przy czym eliminacje przez cały czas Obliczenia wysokiej wydajności w 2
3 jest wykonywana w macierzy gęstej stosownie nie wielkiego rozmiaru tak zwanej macierzy frontalnej. Sfaktoryzowane części macierzy od razu pozostają wypchane na dysk, dalej będzie asemblowana macierz kolejnego elementu skończonego, i tak dokąd faktoryzacje się nie skończy. Sfaktoryzowana macierz powstaje w całości na dysku. Zamiast uporządkowania węzłów lub równań jest wykonywane uporządkowanie grafu przyległości elementów skończonych w celu minimalizacji rozmiaru macierzy frontalnej. Najbardziej używane metody uporządkowania RCM, Sloan. Przy takim podejściu frontalna macierz będzie tylko jedną. o Solver domain decomposition macierz ma specyficzną blokowodiagonalną strukturą z obramowaniem w skutek rozdzielenia obszaru obliczeniowego na nieprzekrywające podobszary. aka struktura macierzy jest bardzo łatwą do zrównoleglenia, solwer jest odnośnie prosty w realizacji, lekko poddaje się wirtualizacji, przecież najczęściej takie metody uporządkowania nie są najlepsze w sensie zmniejszenia zapełnień. Obliczenia wysokiej wydajności w 3
4 o Sparse direct solwer uporządkowanie najczęściej polega na algorytmie minimalnego stopnia, metodzie włożonych przekrojów, metodach wielopoziomowych. Macierz jest przechowywana w jednym z formatów skompresowanych (na przykład, format kompresowany A. H. Shermana). Nie nadaje się do wirtualizacji. Jest bardzo skuteczne podejście, jeśli macierz może być umieszczona w pamięci głównej. o Solwery multifrontalne to jest połączenie idei solwera frontalnego z uporządkowaniem dowolnego typu. Jako wynik, jednocześnie powstaje wielu macierzy frontalnych. Nadaje się do wirtualizacji i do zrównoleglenia. Ilość elementów niezerowych w macierzy sfaktoryzowanej jest taka sama, jak i w solwerach sparse. Metoda multifrontalna nadaje możliwość zredukować operacje nad macierzą rzadką do operacji eliminacji nad kolejnością macierzy gęstych stosownie nie wielkiego rozmiary frontalnych macierzy. Macierz sfaktoryzowana w całości powstaje na dysku. Przynajmniej w MES na dzień dzisiejszy jest najbardziej potężną i wydajną metodą dla rozwiązywania bardzo dużych układów równań ( 5 3 na komputerach klasy PC). Obliczenia wysokiej wydajności w 4
5 Rozważymy solwer domain decomposition z punktu widzenia obliczeń równoległych. Będziemy uważali, że dla wyznaczenia podobszarów była zastosowana metoda przekrojów równoległych: obszar pozostał rozdzielony na podobszary wprowadzeniem separatorów S, S 2. Jeśli równania, odniesione do części wewnętrznej podobszarów I, I 2, I 3, ustawić przed równaniami, odniesionymi do separatorów (I, I 2, I 3, S, S 2 ), to macierz będzie miała postać blokowo-diagonalną z obramieniem. Bloki diagonalne A, A 22, A 33 odpowiadają równaniom wewnętrznym I, I 2, I 3, a blok A 44 równaniom separatorów S, S 2. Bloki A4, A42, A43 obramienia powstają dla współczynników równań dla separatorów przy niewiadomych, odniesionych do równań wewnętrznych. Obliczenia wysokiej wydajności w 5
6 Zapełnienia nie pojawią się w blokach, oznaczonych białym kolorem. Każdy blok diagonalny, oprócz ostatniego, może być sfaktoryzowany niezależnie od innego Równania wewnętrzne dla każdego bloku diagonalnego uporządkowujemy algorytmem minimalnego stopnia Przykład: Graf Struktura poziomów Obliczenia wysokiej wydajności w 6
7 Separator S (9, 5); po usunięciu separatora graf się rozpada na niezależne podgrafy ablica permutacji będzie taką: Perm(, 6, 2, 3, 8, 7, 4, 9, 5) Obliczenia wysokiej wydajności w 7
8 Rozwiązanie blokowe: Schemat symetryczny for end A n nn A W A ii ii ni i nn i i, 2,..., n ni nn ii A ni nn loop A nn ii ni ni W ni ni W pętle po i aż do ostatniej instrukcji obliczenia można wykonywać niezależnie od indeksu iteracji i. o nadaje możliwość zrównoleglić operacje. ylko przy modyfikacji ostatniego diagonalnego bloku jest konieczne zastosowanie synchronizacji. Obliczenia wysokiej wydajności w 8
9 9 Obliczenia wysokiej wydajności w A unlock synchroniz. W A A lock synchroniz. W A A unlock synchroniz. W A A lock synchroniz. W A A
10 Schemat asymetryczny: poprawkę do bloku diagonalnego liczymy tak: for end A n nn A W A ii ii ii ni i nn W i Z Y i ni nn ii A A ni nn ni A Z ni nn ii Y ni W ni ni,2,..., n Y ii Z A ni A ni ii ii ni 23 Z Y ( ) A A Y Zaletą schematu asymetrycznego jest to, że jeden z mnożników macierzowych A ni jest pobrany do faktoryzacji jest bardziej rzadki od mnożnika ni schematu symetrycznego (który powstał po faktoryzacji więc oprócz elementów źródłowych zawiera zapełnienia. Jeśli algorytm mnożenia A ni Y zorganizować jako dla macierzy rzadkich (obejść elementy zerowe), to ogólna ilość operacji będzie mniej od schematu symetrycznego. ni Obliczenia wysokiej wydajności w
11 Solwer left-looking Dla macierzy gęstej: i j i k j do j, N update column j do k, j- do ij, N a ij a ij - a jk a ik end do end do factorize column j l jj a jj do ij+,n l ij a ij /l jj end do end do Obliczenia wysokiej wydajności w
12 Solwer left-looking sparse Dla macierzy rzadkiej: i j i k j do j, N update column j do k ϵ ist[j] do i ϵ k a ij a ij - l jk l ki end do end do factorize column j l jj a jj do i ϵ j l ij a ij /l jj end do end do Obliczenia wysokiej wydajności w 2
13 Solwer left-looking sparse Rozważemy ten algorytm na przykładzie: 2 2 j (kolumna ): l a 3.62; l i a i /l j2 (kolumna 2): l 22 a ; l i2 a i2 /l Obliczenia wysokiej wydajności w 3
14 j3 (kolumna 3): Będzie poprawiona kolumną : l 33 (a 33 -l 32 ); l i3 (a i3 l 3 *l i )/l 33 ; Obliczamy kolumnę j: kolumny, umieszczone od lewej strony, poprawiają kolumnę j, jeśli mają niezerowy element o indeksie l jk : s j s j t j, gdzie t j l jk k ist j s k, ist j zbiór indeksów k, które odpowiadają niezerowym elementom w wiersze ij W wektorze s k kolumna k, są utrzymane niezerowe elementy i > j (poniżej diagonali) Poprawienie obejmuje tylko elementy kolumny j, które odpowiadają niezerowym elementom kolumny k. Obliczenia wysokiej wydajności w 4
15 Kolumna j4: l 44 (a 44 -l 42 -l 422 -l 432 ) Obliczenia wysokiej wydajności w 5
16 Kolumna j5: l 55 (a 55 -l 52 -l 522 -l 532 l 542 ) Obliczenia wysokiej wydajności w 6
17 t // wyzerować wektor pomocniczy for( j ; j < N; j + + ) // obliczamy kolumnę j { d ; { } { } } for( k a jj for( i F // F // dla których a { } d for( i F a t i ij t k i zbiór wartosci indeksu i, a d ; // obliczamy element na diagonali ) ) d + a ) t + a jj k j i 2 jk ( a t ) ij k // // dla których a i ik j // petle po indeksach kolumnyк a / a zbiór numerów kolumn, ik jj jk ; ; // a jk jk nie zależa od i ; // wyzerować dla obliczeń kolejnej kolumny Solwer left-looking sparse algorytm ogólny 7
18 . Sparse technique t j H j,2 Ĥ 2
19 . Sparse technique t j H j,2 Hˆ 2 + H j,4 Hˆ 4
20 . Sparse technique t j H j,2 Hˆ 2 + H j,4 Hˆ 4 + H j,5 Hˆ 5
21 . Sparse technique H j H j t j H j H jk H jk Hˆ k
22 Co daje technika sparse?. Przy obliczeniu wektora poprawek t j pobieramy tylko kolumny, które mają niezerowy mnożnik l jk. 2. Przy obliczeniu elementów wektora poprawek t j w pętle po indeksu i uwzględniamy tylko niezerowe elementy kolumny s k ( l ik ), przy czym i<k. Powoduje to istotne zmniejszenie ilości operacji arytmetycznych w stosunku do innych technik, na przykład skyline. Obliczenia wysokiej wydajności w 22
23 Solwer right-looking sparse Macierz gęsta i k j ij do k, N factorize column j l kk a kk do ik+,n l ik a ik /l kk end do update columns, located at right do j k+, N do ij,n a ij a ij - l jk l ik end do end do end do Obliczenia wysokiej wydajności w 23
24 Macierz rzadka: Obliczamy kolumnę k. Kolumna k będzie poprawiała kolumny j i, dla których elementy l ik. Poprawa kolumny j odbywa się tak: a~ ij a l l, ij ik jk i F k F k zbiór indeksów i, dla których l ik Obliczenia wysokiej wydajności w 24
25 Solwer right-looking sparse 2 2 k (kolumna ): l a 3.62; l i a i /l Obliczenia wysokiej wydajności w 25
26 Poprawiamy elementy kolumn, umieszczonych z prawa od kolumny j: iczymy macierz poprawek: i poprawiamy: Obliczenia wysokiej wydajności w 26
27 k2 (kolumna 2): l 22 a ; l i2 a i2 /l Poprawiamy kolumny 4, 5: Obliczenia wysokiej wydajności w 27
28 k3 (kolumna 3): l 33 a ; l i3 a i3 /l Poprawiamy kolumny 5, 6: Obliczenia wysokiej wydajności w 28
29 k4 (kolumna 4): l 44 a ; l i4 a i4 /l k5 (kolumna 5): l 55 a ; Obliczenia wysokiej wydajności w 29
30 for( k { a for( i { aik a ik akk } // poprawiamy elementy kolumn, umieszczonych // sprawa od kolumny k for( j ˆ { kk { } } } ; k ; ) for( i F a ij a kk < N; k + + ) // obliczamy kolumnę k // obliczamy elementy kolumny k, umieszczone pod elementem a k ) // k a k ij // dla których a // ˆ ) // F a zbiór indeksów i, i > k zbiórwartosci indeksów i, i j // dla których a ik k k a jk k ik zbiór indeksów j i, dla których a ik jk kk Solver right-looking sparse algorytm ogólny 3
31 Solwer multifrontalny Jest podana macierz rzadka. Po wykonaniu permutacji, odpowiadających wybranemu algorytmu uporządkowania, portret macierzy oraz graf przyległości są podane na step. Dalej wykonana procedura faktoryzacji symbolicznej z celą wyjaśnienia, gdzie powstają zapełnienia. Rysunek jest pobrany z [7], fig..2 Obliczenia wysokiej wydajności w 3
32 Dostajemy portret macierzy sfaktoryzowanej: Drzewo eliminacji: a) - pierwotne b) - superwęzłowe Analiza struktury tej macierzy polega na tworzeniu drzewa eliminacji. Wierzchołkami tego drzewa są kolumny macierzy. Rodzicem kolumny nazywają pierwszy niezerowy element, umieszczony pod diagonalą. Wskazuje na najbliższą kolumnę sprawa od podanej, która będzie poprawiona elementami podanej kolumny. Obliczenia wysokiej wydajności w 32
33 Na przykład, kolumna będzie modyfikowała kolumnę 3 numer wiersza pierwszego niezerowego elementu w kolumnie jest równy 3. Kolumna 2 będzie modyfikowała elementy kolumny 5, kolumna 3 elementy 4 i t. d. Zależność ta jest przedstawiona w postaci pierwotnego drzewa eliminacji. Faktoryzacje macierzy można zaczynać od kolumny albo od kolumny 2 albo równolegle eliminować kolumny i 2 (dla tego że pomiędzy nimi nie istnieje żadnej zależności). Kluczowym faktorem podniesienia wydajności jest możliwość łączenia kolumn macierzy w grupy nadaje możliwość zastosowania faktoryzacji blokowej. Nie każde sąsiednie kolumny można łączyć w grupę (blok). Zależy to od struktury macierzy rzadkiej. Superwęzłem nazywamy łączenie kilkach wierzchołków drzewa eliminacji, które mają sekwencyjną numeracje, tworzą jedną ścieżkę i mają ten samy wierzchołek ze starszym numerem. W macierzy rzadkiej każdemu superwęzłowi odpowiada gęsta trójkątna podmacierz, umieszczona bezpośrednio pod diagonalą. Kolumny, które odpowiadają superwęzłowi, będą łączone w bloki. Obliczenia wysokiej wydajności w 33
34 k Asemblow anie F k U k C k k 2 3 +U 4 +U 2 +U # # # # # # # # # 4 # # 4 # # 5 4 # 3 2
35 Proces eliminacji odbywa się przez cały czas w szeregu macierzy gęstych frontalnych macierzy F. Macierzy U przechowują poprawki do frontalnych macierzy na następnych krokach faktoryzacji. Macierzy C zawierają części wyników ostatecznych kompletnie faktoryzowanę podmacierzy. Obliczenia wysokiej wydajności w 35
36 Blokowa multifrontalna metoda podkonstrukcji dowolna metoda uporządkowania Uporządkowanie grafu przyległości dla węzłów modelu MES, a nie dla równań: o znacznie mniej objętość danych o szybciej działa metoda uporządkowania o zwykłe mniej elementów niezerowych ponieważ graf spójności jest zgrubiony w porównaniu do grafa dla równań o powstaje blokowanie równań naturalne, a nie na podstawie analizy macierzy lepiej jest skupienie do większych bloków Eliminacje węzeł po węźle - na każdym kroku eliminacji eliminujemy równania, skojarzone z danym węzłem. Front obiekt klasy C++, który zawiera: o numer eliminowanego węzła o listę węzłów, tworzących front o listę frontów poprzednich numery frontów, które tworzą dany front o listę elementów skończonych, które tworzą dany front Obliczenia wysokiej wydajności w 36
37 Przykład: płyta z siatką 22 węzła do wyeliminowania ,2 6 2,4 8 3,4 4,3 5,2,3,4 ista elementów, zawierających podany węzeł MMD nadaje taką kolejność eliminowania węzłów:,3,7,9,2,6,8,4,5.. Rozdzielamy model FEM na oddzielne elementy skończone 2. Uzyskujemy taką kolejność dostarczania elementów skończonych, żeby spełnić podaną przez renumerator kolejność wyeliminowania węzłów. 3. Kompletnie zebrane węzły dostarczanie pozostałych elementów skończonych nie zmienia współczynników tych równań. 4. Kompletnie zebrane równania muszą być wyeliminowane na danym kroku eliminacji 37
38 Eliminujemy węzły, 3, 7, 9 Macierz frontalna dla wyeliminowania węzła. Dla uproszczenia porozumienia będziemy uważali, że każdy węzeł zawiera tylko jedno równanie. Węzły 3, 7, 9 będą wyeliminowane tak samo, jak i węzeł. W macierzy frontalnej umieszczamy węzły w kolejności odwrotnej do podanej przez renumerator kompletnie zebrane równania są w dolnej części 38
39 Eliminujemy węzeł 2 Macierz frontalna dla eliminowania węzła 2 pozostaje zebrana z frontów niezakończonych, 2. Na kroku podanym nowe elementy skończone już nie będą dostarczane. 39
40 Eliminujemy węzeł 6 Macierz frontalna dla eliminowania węzła 6 pozostaje zebrana z frontów niezakończonych 4, 5. Na kroku podanym nowe elementy skończone już nie będą dostarczane. 4
41 Eliminujemy węzły 8, 4, 5 Macierz frontalna dla eliminowania węzłów 8, 4, 5 pozostaje zebrana z frontów niezakończonych 6, 3. Na kroku podanym nowe elementy skończone już nie będą dostarczane. 4
42 Struktura danych Deskryptor procesu : Elimina tion step Elimina ted node ist of frontal nodes ist of previous fronts 5, 4, 2, , 6, 2, , 4, 8, , 8, 6, , 4, 6, 2, , 4, 8, 6 5, , 4, 8 6, , ist of assembling FE Рис. 2. Struktura poziomów drzewa frontów Uporządkowanie drzewa frontalnego z celą zmniejszenia objętości danych dla przechowywania niezakończonych frontów Łączenie frontów sekwencyjnych powoduje zwiększenie rozmiaru bloku równań kompletnie zebranych klucz do podniesienia wydajności przy faktoryzacji. Optymalny rozmiar bloku: M 6 8. Obliczenia wysokiej wydajności w 42
43 Proces eliminowania jest wykonany krok po kroku zgodnie kolejności eliminowania węzłów Obliczenia wysokiej wydajności w 43
44 Proces eliminowania jest wykonany krok po kroku zgodnie kolejności eliminowania węzłów Obliczenia wysokiej wydajności w 44
45 Proces eliminowania jest wykonany krok po kroku zgodnie kolejności eliminowania węzłów Obliczenia wysokiej wydajności w 45
46 Proces eliminowania jest wykonany krok po kroku zgodnie kolejności eliminowania węzłów Obliczenia wysokiej wydajności w 46
47 Proces eliminowania jest wykonany krok po kroku zgodnie kolejności eliminowania węzłów Obliczenia wysokiej wydajności w 47
48 Proces eliminowania jest wykonany krok po kroku zgodnie kolejności eliminowania węzłów Obliczenia wysokiej wydajności w 48
49 Proces eliminowania jest wykonany krok po kroku zgodnie kolejności eliminowania węzłów Obliczenia wysokiej wydajności w 49
50 5 Obliczenia wysokiej wydajności w Blokowa faktoryzacja Choleskiego w macierzy frontalnej S W I I I W C D W W C ~ ~ ~ S S S S S W I W C C W I W C C W W I W I I D ~ ~ ~ ~ ~ ~ 3. ~ ~ 2.,. +
51 Symetryczny schemat przechowywania: Ponieważ kolejność lokalnego numerowania węzłów jest odwrotną do numerowania globalnego Perm, blok kompletnie zebranych równań jest umieszczony w dolnej części macierzy unikamy wolnej procedury kopiowania elementów bloku C przy modyfikowaniu Bufor dla kompletnie zebranej i sfaktoryzowanej części macierzy Niezakończony front Obliczenia wysokiej wydajności w 5
52 Faktoryzacja macierzy frontalnej: ~ C C ~ W ~ IS W 23 Wˆ // # pragma for ( jb { } Pack // for (ib { } Pack ~ C ~ W ; ib, jb omp jb < Wˆ ~ C parallel jb Nb ; jb; ib < ib, jb jb for Nb ; ib ~ W + + ) ib Wˆ jb private + + ) (ib, jb ) scheduler (dynamic Symetryczny schemat przechowywania wymaga utrzymywać w pamięci RAM dla każdej macierzy frontalnej ~N 2 /2 elementów zamiast N 2. Jednak uniemożliwia to zastosowanie procedur wysokiej wydajności DGEMM, DSYRK z bibliotek BAS, Intel MK, IMS,, którzy wymagają ogólnego schematu przechowywania nawet dla macierzy symetrycznych. Rozwiązanie: stworzyć swoi własne procedury wysokiej wydajności. )
53 Cache blocking and register s blocking: C lb ~ W mr N mr lb - ib nr lb ^ W jb N M Dzielimy macierzy na bloki: Grube linie cache blocking, cienkie register s blocking m r n r
54 m r K times M Pakowanie danych dla bloków macierzy z celą minimalizowania cache misses: n n r m r m r r lb - lb lb C ib,jb M W ib lb ~ ^ W jb Blokowanie of XMM rejestrów (platforma Intel 64) i rozwijanie petli wewnętrznej: j k j i + i.... K times k.. nr C ib,jb ~ W ^ W ib jb
55 Wyniki: Komputer: Intel Core 2 Quad CPU GHz, RAM DDR2 8 MHz 8 GB. est dla macierzy gęstej (N 4 8, rozmiar bloku kompletnie zebranych równań M 48). Cel: oszacowanie wydajności i skalowalności faktoryzacji macierzy frontalnej Performance of factoring of frontal matri (blocking of XMM registers, cache blocking, pack of data ) Platform ia32 Intel 64 (64) Number of processors MFOPS S p / p Performance of factoring of frontal matri (cache blocking only) Platform ia32 Intel 64 (64) Number of processors MFOPS S p / p
56 2. Płyta kwadratowa z siatką 4 4 ( równań) Numerical factoring of the stiffness matri, s ANSYS. multifrontalna metoda klasyczna BSMFM: Blokowa multifrontalna metoda podkonstrukcji Number of processors Platform ia32 Platform Intel 64 ANSYS. BSMFM BSMFM Number of processors 3. Płyta kwadratowa z siatką 8 8 ( równań) Numerical factoring of the stiffness matri, s Platform ia32 Platform Intel 64 ANSYS. BSMFM BSMFM Insufficient RAM Insufficient RAM Insufficient RAM 67 46
57 4. Model MES budynku wielopiętrowego ( równań) PARDISO (Intel MK): Insufficient RAM (8 GB) on platforms ia32, Intel 64 BSMFM on 4 processors: Ia32 : 443 s Intel 64: 43 s Size of factored stiffness matri: 7.2 GB
58 5. Zadanie interakcji grunt-budynek ( równań), rozmiar macierzy sfaktoryzowanej - 4 GB
59 BSMFM, platform Intel 64, 4 processors: duration of numerical factoring is 57 s (9 m 7 s ) Underground part of structure
60 Rozwinięcie blokowej multifrontalnej metody podkonstrukcji v 22 : wersja nie blokowa, U faktoryzacja macierzy frontalnej wierz po - wierszę (Robot Millennium, SCAD v. 3) v 24 28: cache blocking only, brakuje łączenie bloków kompletnie zebranych równań, S faktoryzacja macierzy frontalnej (SCAD v. 3, v ) v 29 : wektoryzowanie, XMM register s blocking, cache blocking, pakowanie danych, wielowątkowość (SCAD v..3 ) est: cube 5 5 5, objętościowe elementy skończone, równań Duration of numerical factoring, s Version, Platform Number of processors year ia ia ia ia Intel Duration of numerical factoring on single processor, s Factoring time, s v 22 v v 29 ia32 v 29 Intel 64 v 29 Intel 64 4 proc ANSYS. ia32
61 References. Duff I. S., Reid J. K. he multifrontal solution of indefinite sparse symmetric linear systems, ACM ransactions on Mathematical Software, 9, pp , Fialko S. Yu. Stress-Strain Analysis of hin-walled Shells with Massive Ribs, Int. App. Mech., 4, N4, pp , Fialko S. Yu. he block substructure multifrontal method for solution of large finite element equation SES. echnical ransactions, -NP/29, issue 8, p Fialko S. Yu. A block sparse shared-memory multifrontal finite element solver for problems of structural mechanics. Computer Assisted Mechanics and Engineering Sciences, 6, 29. p Fialko S. Yu. PARFES: A method for solving finite element linear equations on multi-core computers. Advances in Engineering software. v 4, 2, 2, pp Goto K., Van De Geijn R. A. Anatomy of High-Performance Matri Multiplication, ACM ransactions on Mathematical Software, V. 34, 3, pp. 25, Schenk O., Gartner K. wo-level dynamic scheduling in PARDISO: Improved scalability on shared memory multiprocessing systems. Parallel Computing 28, 87 97, 22.
62 References 7. Dobrian F., Kumfert G., Pothen A., 2. he Design of Sparse Direct Solvers using Object-Oriented echniques, In: Bruaset A M, angtangen H P, Quak E (eds.) Modern Software ools in Scientific Computing. Springer-Verlag, pp 89 3.
Rozwiązanie układów równań liniowych algebraicznych dla macierzy rzadkich: metody bezpośrednie
Rozwiązanie układów równań liniowych algebraicznych dla macierzy rzadkich: metody bezpośrednie Metody bezpośrednie to są takie metody, które za skończoną ilość operacji doprowadzają do wyniku dokładnego,
Bardziej szczegółowoMetody, alternatywne metodzie wielofrontalnej
Metody, alternatywne metodzie wielofrontalnej Zalety. Metoda wielofrontalna oszczędnie pracuje z pamięcią główną, nadaje się do wirtualizacji jeśli rozmiar zadania przekracza możliwości pamięci głównej,
Bardziej szczegółowoMetody, alternatywne metodzie wielofrontalnej
Metody, alternatywne metodzie wielofrontalnej Zalety. Metoda wielofrontalna oszczędnie pracuje z pamięcią główną, nadaje się do wirtualizacji jeśli rozmiar zadania przekracza możliwości pamięci głównej,
Bardziej szczegółowoMetody uporządkowania
Metody uporządkowania W trakcie faktoryzacji macierzy rzadkiej ilość zapełnień istotnie zależy od sposobu numeracji równań. Powstaje problem odnalezienia takiej numeracji, przy której: o ilość zapełnień
Bardziej szczegółowoMetody uporządkowania
Metody uporządkowania W trakcie faktoryzacji macierzy rzadkiej ilość zapełnień istotnie zależy od sposobu numeracji równań. Powstaje problem odnalezienia takiej numeracji, przy której ilość zapełnień będzie
Bardziej szczegółowoBLOKOWA WIELOFRONTALNA METODA PODSTRUKTUR DO ROZWIĄZYWANIA DUśYCH UKŁADÓW RÓWNAŃ MES
SERGIY FIALKO BLOKOWA WIELOFRONALNA MEODA PODSRUKUR DO ROZWIĄZYWANIA DUśYCH UKŁADÓW RÓWNAŃ MES HE BLOCK SUBSRUCURE MULIFRONAL MEHOD FOR SOLUION OF LARGE FINIE ELEMEN EQUAION SES S t r e s z c z e n i e
Bardziej szczegółowoSposoby tworzenia uwarunkowania wstępnego dla metody gradientów sprzężonych
Sposoby tworzenia uwarunkowania wstępnego dla metody gradientów sprzężonych Ten fakt, że matematyka obliczeniowa nie daje żadnych przepisów dla tworzenia operatora uwarunkowania wstępnego B, doprowadzi
Bardziej szczegółowoDr inż. hab. Siergiej Fialko, IF-PK,
Dr inż. hab. Siergiej Fialko, IF-PK, http://torus.uck.pk.edu.pl/~fialko sfialko@riad.pk.edu.pl 1 Osobliwości przedmiotu W podanym kursie główna uwaga będzie przydzielona osobliwościom symulacji komputerowych
Bardziej szczegółowoWykład 5. Metoda eliminacji Gaussa
1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne
Bardziej szczegółowoNumeryczna algebra liniowa. Krzysztof Banaś Obliczenia Wysokiej Wydajności 1
Numeryczna algebra liniowa Krzysztof Banaś Obliczenia Wysokiej Wydajności 1 Numeryczna algebra liniowa Numeryczna algebra liniowa obejmuje szereg algorytmów dotyczących wektorów i macierzy, takich jak
Bardziej szczegółowoNumeryczna algebra liniowa
Numeryczna algebra liniowa Numeryczna algebra liniowa obejmuje szereg algorytmów dotyczących wektorów i macierzy, takich jak podstawowe operacje na wektorach i macierzach, a także rozwiązywanie układów
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych
Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych. Krzysztof Patan
Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych
Bardziej szczegółowoObliczenia naukowe Wykład nr 8
Obliczenia naukowe Wykład nr 8 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna,
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Co można zrobić z układem równań... tak, aby jego rozwiazania się nie zmieniły? Rozważam
Bardziej szczegółowoMetoda eliminacji Gaussa
Metoda eliminacji Gaussa Rysunek 3. Rysunek 4. Rozpoczynamy od pierwszego wiersza macierzy opisującej nasz układ równań (patrz Rys.3). Zakładając, że element a 11 jest niezerowy (jeśli jest, to niezbędny
Bardziej szczegółowodet[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...
Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech A i, A j będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k K: det[a 1,, A i,, A j,, A n ] det[a 1,, A i
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych
Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 13 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoProjekt 6: Równanie Poissona - rozwiązanie metodą algebraiczną.
Projekt 6: Równanie Poissona - rozwiązanie metodą algebraiczną. Tomasz Chwiej 9 sierpnia 18 1 Wstęp 1.1 Dyskretyzacja n y V V 1 V 3 1 j= i= 1 V 4 n x Rysunek 1: Geometria układu i schemat siatki obliczeniowej
Bardziej szczegółowoAlgorytmy numeryczne 1
Algorytmy numeryczne 1 Wprowadzenie Obliczenie numeryczne są najważniejszym zastosowaniem komputerów równoległych. Przykładem są symulacje zjawisk fizycznych, których przeprowadzenie sprowadza się do rozwiązania
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne II. Układy równań liniowych
Metody numeryczne II. Układy równań liniowych Oleksandr Sokolov Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej UMK (2016/17) http://fizyka.umk.pl/~osokolov/mnii/ Układ równań liniowych Układem równań
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Bardziej szczegółowoMacierzowe algorytmy równoległe
Macierzowe algorytmy równoległe Zanim przedstawimy te algorytmy zapoznajmy się z metodami dekompozycji macierzy, możemy wyróżnić dwa sposoby dekompozycji macierzy: Dekompozycja paskowa - kolumnowa, wierszowa
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Wykład 4
Metody numeryczne Wykład 4 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Metody skończone rozwiązywania
Bardziej szczegółowoWykład 6. Metoda eliminacji Gaussa: Eliminacja z wyborem częściowym Eliminacja z wyborem pełnym
1 Wykład 6 Metoda eliminacji Gaussa: Eliminacja z wyborem częściowym Eliminacja z wyborem pełnym ELIMINACJA GAUSSA Z WYBOREM CZĘŚCIOWYM ELEMENTÓW PODSTAWOWYCH 2 Przy pomocy klasycznego algorytmu eliminacji
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Kurs INP002009W. Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych. Karol Tarnowski A-1 p.
Analiza numeryczna Kurs INP002009W Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.wroc.pl A-1 p.223 Plan wykładu Podstawowe pojęcia Własności macierzy Działania
Bardziej szczegółowo3. Wykład Układy równań liniowych.
31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
Bardziej szczegółowoObliczenia równoległe w zagadnieniach inżynierskich. Wykład 6
Wykład 6 p. 1/?? Obliczenia równoległe w zagadnieniach inżynierskich Wykład 6 Dr inż. Tomasz Olas olas@icis.pcz.pl Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Plan wykładu
Bardziej szczegółowoO MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Bardziej szczegółowoSkalowalność obliczeń równoległych. Krzysztof Banaś Obliczenia Wysokiej Wydajności 1
Skalowalność obliczeń równoległych Krzysztof Banaś Obliczenia Wysokiej Wydajności 1 Skalowalność Przy rozważaniu wydajności przetwarzania (obliczeń, komunikacji itp.) często pojawia się pojęcie skalowalności
Bardziej szczegółowoRównoległy algorytm wyznaczania bloków dla cyklicznego problemu przepływowego z przezbrojeniami
Równoległy algorytm wyznaczania bloków dla cyklicznego problemu przepływowego z przezbrojeniami dr inż. Mariusz Uchroński Wrocławskie Centrum Sieciowo-Superkomputerowe Agenda Cykliczny problem przepływowy
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowoPorównanie wydajności CUDA i OpenCL na przykładzie równoległego algorytmu wyznaczania wartości funkcji celu dla problemu gniazdowego
Porównanie wydajności CUDA i OpenCL na przykładzie równoległego algorytmu wyznaczania wartości funkcji celu dla problemu gniazdowego Mariusz Uchroński 3 grudnia 2010 Plan prezentacji 1. Wprowadzenie 2.
Bardziej szczegółowoMetoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra
Metoda eliminacji Gaussa Autorzy: Michał Góra 9 Metoda eliminacji Gaussa Autor: Michał Góra Przedstawiony poniżej sposób rozwiązywania układów równań liniowych jest pewnym uproszczeniem algorytmu zwanego
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Bardziej szczegółowoNUMERYCZNE ALGORYTMY PRZECHOWYWANIA MACIERZY RZADKICH
Scientific Bulletin of Che lm Section of Mathematics and Computer Science No 1/2008 NUMERYCZNE ALGORYTMY PRZECHOWYWANIA MACIERZY RZADKICH RADOSŁAW MATUSIK Katedra Analizy Matematycznej i Teorii Sterowania,
Bardziej szczegółowoStruktura programu. Projekty złożone składają się zwykłe z różnych plików. Zawartość każdego pliku programista wyznacza zgodnie z jego przeznaczeniem.
Struktura programu Projekty złożone składają się zwykłe z różnych plików. Zawartość każdego pliku programista wyznacza zgodnie z jego przeznaczeniem. W ostatnich latach najbardziej używanym stylem oprogramowania
Bardziej szczegółowoIII TUTORIAL Z METOD OBLICZENIOWYCH
III TUTORIAL Z METOD OBLICZENIOWYCH ALGORYTMY ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH Opracowanie: Agata Smokowska Marcin Zmuda Trzebiatowski Koło Naukowe Mechaniki Budowli KOMBO Spis treści: 1. Wstęp do
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. wykład. konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30. dr inż. Grażyna Kałuża pokój
METODY NUMERYCZNE wykład dr inż. Grażyna Kałuża pokój 103 konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30 www.kwmimkm.polsl.pl Program przedmiotu wykład: 15 godzin w semestrze laboratorium: 30 godzin
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Faktoryzacja LU. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Faktoryzacja LU P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2014 Co można zrobić z układem równań... tak, aby jego rozwiazania się nie zmieniły? Rozważam
Bardziej szczegółowoWykład III Układy równań liniowych i dekompozycje macierzy
Wykład III Układy równań liniowych i dekompozycje macierzy Metody eliminacji i podstawienia wstecz Metoda dekompozycji LU i jej zastosowania Metody dla macierzy specjalnych i rzadkich Metody iteracyjne
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoRACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
RACHUNEK MACIERZOWY METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a11x1 a12x2... a1nxn b1 a21x1 a22x2... a2nxn b2... an 1x1 an2x2...
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Obliczenia równoległe w zagadnieniach inżynierskich. Wykład 6 p. Rozwiazywanie układów równań. metody bezpośrednie,
Plan wykładu Obliczenia równoległe w zagadnieniach inżynierskich Wykład 6 Dr inż. Tomasz Olas olas@icis.pcz.pl Układy równań liniowych i metody ich rozwiazywania Metoda sprzężonych gradientów Macierze
Bardziej szczegółowoA A A A A A A A A n n
DODTEK NR GEBR MCIERZY W dodatku tym podamy najważniejsze definicje rachunku macierzowego i omówimy niektóre funkcje i transformacje macierzy najbardziej przydatne w zastosowaniach numerycznych a w szczególności
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowoObliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
Bardziej szczegółowoWłasności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Bardziej szczegółowoZrównoleglenie i przetwarzanie potokowe
Zrównoleglenie i przetwarzanie potokowe Zrównoleglenie wysoka wydajność pozostaje osiągnięta w efekcie jednoczesnego wykonania różnych części zagadnienia. Przetwarzanie potokowe proces jest rozdzielony
Bardziej szczegółowoKolejny krok iteracji polega na tym, że przechodzimy do następnego wierzchołka, znajdującego się na jednej krawędzi z odnalezionym już punktem, w
Metoda Simpleks Jak wiadomo, problem PL z dowolną liczbą zmiennych można rozwiązać wyznaczając wszystkie wierzchołkowe punkty wielościanu wypukłego, a następnie porównując wartości funkcji celu w tych
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych i metody ich rozwiązywania
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH -Metody dokładne
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH -Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a + a +... + ann b a + a +... + ann b... an + an+... + annn bn który
Bardziej szczegółowo2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
Bardziej szczegółowoANALIZA EFEKTYWNOŚCI MNOŻENIA MACIERZY W SYSTEMACH Z PAMIĘCIĄ WSPÓŁDZIELONĄ
ANALIZA EFEKTYWNOŚCI MNOŻENIA MACIERZY W SYSTEMACH Z PAMIĘCIĄ WSPÓŁDZIELONĄ 1 Mnożenie macierzy dostęp do pamięci podręcznej [język C, kolejność - j,i,k][1] A,B,C są tablicami nxn for (int j = 0 ; j
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa i faktoryzacja LU. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa i faktoryzacja LU P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2018 Co można zrobić z układem równań... tak, aby jego rozwiazania się nie zmieniły? Rozważam
Bardziej szczegółowoPODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Bardziej szczegółowo1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50
Metody numeryczne Układy równań liniowych, część II Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50 Układy równań liniowych, część II 1. Iteracyjne poprawianie
Bardziej szczegółowoEFEKTYWNOŚĆ MNOŻENIA MACIERZY W SYSTEMACH Z PAMIĘCIĄ WSPÓŁDZIELONĄ
EFEKTYWNOŚĆ MNOŻENIA MACIERZY W SYSTEMACH Z PAMIĘCIĄ WSPÓŁDZIELONĄ 1 Mnożenie macierzy dostęp do pamięci podręcznej [język C, kolejność - j,i,k][1] A[i][*] lokalność przestrzenna danych rózne A,B,C są
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Badania operacyjne Problem Model matematyczny Metoda rozwiązania Znaleźć optymalny program produkcji. Zmaksymalizować 1 +3 2 2 3 (1) Przy ograniczeniach 3 1 2 +2 3 7 (2) 2 1 +4 2 12 (3) 4 1 +3 2 +8 3 10
Bardziej szczegółowoKrótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników
Radosław Marczuk Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników 12 listopada 2005 1. Macierze Macierzą nazywamy układ liczb(rzeczywistych, bądź zespolonych), funkcji, innych macierzy w postaci: A a 11
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Równania macierzowe Faktoryzacja LU i Cholesky ego. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Równania macierzowe Faktoryzacja LU i Cholesky ego P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2017 Uwagi o eliminacji Gaussa Przypuśćmy, że mamy rozwiazać kilka układów
Bardziej szczegółowoDefinicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowo"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub
"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub Def. Macierzą odwrotną do macierzy A M(n) i deta nazywamy macierz A - M(n) taką, że A A - A - A Tw.
Bardziej szczegółowoMacierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =
Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2
Bardziej szczegółowoLaboratorium Techniki Obliczeniowej i Symulacyjnej
Ćwiczenie 10. Metody numeryczne rozwiązywania układów równań liniowych. Opracował: dr inż. Sebastian Dudzik 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z algorytmami numerycznymi przetwarzania
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładów Błędy obliczeń Błędy można podzielić na: modelu, metody, wejściowe (początkowe), obcięcia, zaokrągleń..
Bardziej szczegółowoMACIERZE. Sobiesiak Łukasz Wilczyńska Małgorzata
MACIERZE Sobiesiak Łukasz Wilczyńska Małgorzata Podstawowe pojęcia dotyczące macierzy Nie bez przyczyny zaczynamy od pojęcia macierzy, które jest niezwykle przydatne we wszystkich zastosowaniach, obliczeniach
Bardziej szczegółowoE: Rekonstrukcja ewolucji. Algorytmy filogenetyczne
E: Rekonstrukcja ewolucji. Algorytmy filogenetyczne Przypominajka: 152 drzewo filogenetyczne to drzewo, którego liśćmi są istniejące gatunki, a węzły wewnętrzne mają stopień większy niż jeden i reprezentują
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoSzybka wielobiegunowa metoda elementów brzegowych w analizie układów liniowosprężystych
Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki Politechnika Śląska, Gliwice Szybka wielobiegunowa metoda elementów brzegowych w analizie układów liniowosprężystych Algorytm SWMEB. Część
Bardziej szczegółowoNajprostszy element. F+R = 0, u A = 0. u A = 0. Mamy problem - równania zawierają siły, a warunek umocowania - przemieszczenia
MES skończony Najprostszy element Część I Najprostszy na świecie przykład rozwiązania zagadnienia za pomocą MES Dwie sprężyny Siły zewnętrzne i wewnętrzne działające na element A B R F F+R, u A R f f F
Bardziej szczegółowo, A T = A + B = [a ij + b ij ].
1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba a ij, to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = a ij typu m
Bardziej szczegółowoWydajność systemów a organizacja pamięci. Krzysztof Banaś, Obliczenia wysokiej wydajności. 1
Wydajność systemów a organizacja pamięci Krzysztof Banaś, Obliczenia wysokiej wydajności. 1 Wydajność obliczeń Dla wielu programów wydajność obliczeń można traktować jako wydajność pobierania z pamięci
Bardziej szczegółowo15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoWydajność systemów a organizacja pamięci. Krzysztof Banaś, Obliczenia wysokiej wydajności. 1
Wydajność systemów a organizacja pamięci Krzysztof Banaś, Obliczenia wysokiej wydajności. 1 Wydajność obliczeń Dla wielu programów wydajność obliczeń można traktować jako wydajność pobierania z pamięci
Bardziej szczegółowoF + R = 0, u A = 0. u A = 0. f 0 f 1 f 2. Relację pomiędzy siłami zewnętrznymi i wewnętrznymi
MES Część I Najprostszy na świecie przykład rozwiązania zagadnienia za pomocą MES Dwie sprężyny Siły zewnętrzne i wewnętrzne działające na element A B R F F + R, u A R f f F R + f, f + f, f + F, u A Równania
Bardziej szczegółowoTworzenie programów równoległych. Krzysztof Banaś Obliczenia równoległe 1
Tworzenie programów równoległych Krzysztof Banaś Obliczenia równoległe 1 Tworzenie programów równoległych W procesie tworzenia programów równoległych istnieją dwa kroki o zasadniczym znaczeniu: wykrycie
Bardziej szczegółowoProgramowanie Współbieżne. Algorytmy
Programowanie Współbieżne Algorytmy Sortowanie przez scalanie (mergesort) Algorytm :. JEŚLI jesteś rootem TO: pobierz/wczytaj tablice do posortowania JEŚLI_NIE to pobierz tablicę do posortowania od rodzica
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych 9a. Układy równań algebraicznych. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych 9a. Układy równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Układy równań algebraicznych Niech g:r N równanie R N będzie funkcja klasy co najmniej
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Lista nr 3 (ćwiczenia) x x 2 n x.
Analiza numeryczna Lista nr 3 (ćwiczenia) Sprawdzić że macierz ma wartości własne2+ 222 2 2 Niechx R n Udowodnić że 2 0 0 x x 2 n x 3 NiechA R n n będzie macierzą symetryczną Wiadomo że wówczas istnieje
Bardziej szczegółowoSystem pamięci. Pamięć wirtualna
System pamięci Pamięć wirtualna Pamięć wirtualna Model pamięci cache+ram nie jest jeszcze realistyczny W rzeczywistych systemach działa wiele programów jednocześnie Każdy może używać tej samej przestrzeni
Bardziej szczegółowoObliczenia równoległe na klastrze opartym na procesorze CELL/B.E.
Obliczenia równoległe na klastrze opartym na procesorze CELL/B.E. Łukasz Szustak Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki Kierunek informatyka, Rok V szustak.lukasz@gmail.com Streszczenie W artykule
Bardziej szczegółowo; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze...
Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie. Dane są macierze: A D 0 ; E 0 0 0 ; B 0 5 ; C Wykonaj poniższe obliczenia: 0 4 5 Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Faktoryzacja QR i SVD. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja QR i SVD P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Transformacja Householdera Niech u R N, u 0. Tworzymy macierz W sposób oczywisty P T = P. Obliczmy
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3 Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. Przykład Symetryczne błądzenie przypadkowe na prostej. 1 2 Łańcuchem
Bardziej szczegółowoMetody rozwiązania równania Schrödingera
Metody rozwiązania równania Schrödingera Równanie Schrödingera jako algebraiczne zagadnienie własne Rozwiązanie analityczne dla skończonej i nieskończonej studni potencjału Problem rozwiązania równania
Bardziej szczegółowo