Strumień pola elektrycznego i prawo Gaussa

Transkrypt

1 Strumień pola elektrycznego i prawo Gaussa Ryszard J. Barczyński, Politechnika Gdańska, Wydział FTiMS, Katedra Fizyki Ciała Stałego Materiały dydaktyczne do użytku wewnętrznego

2 Strumień pola elektrycznego Natężenie pola elektrycznego niektórych rozkładów ładunku da się znaleźć w wyjątkowo prosty sposób, ale musimy w tym celu wprowadzić nowe pojęcie strumienia pola elektrycznego

3 Strumień Zastanów się, jak opisać strumień wody przepływający przez powierzchnię A. Prawda, że wyrażenie (A * v * cos ) jest tym, czego szukamy?

4 Strumień pola elektrycznego Podobnie zdefiniujemy wielkość zwaną strumieniem pola elektrycznego E przez powierzchnię A. Gdy powierzchnia A jest prostopadła do wektora natężenia pola elektrycznego mamy E = A E cos = A E = A E pamiętajmy, że jako kąt wybieramy kąt między wektorem E, a normalną do powierzchni A

5 Strumień pola elektrycznego Podobnie zdefiniujemy wielkość zwaną strumieniem pola elektrycznego E przez powierzchnię A. W ogólnym przypadku mamy E = A E cos = A E pamiętajmy, że jako kąt wybieramy kąt między wektorem E, a normalną do powierzchni A

6 Strumień pola elektrycznego Podobnie zdefiniujemy wielkość zwaną strumieniem pola elektrycznego E przez powierzchnię A. Gdy powierzchnia A jest równoległa do wektora natężenia pola elektrycznego mamy E = A E cos = A E = 0 pamiętajmy, że jako kąt wybieramy kąt między wektorem E, a normalną do powierzchni A

7 Strumień pola elektrycznego W życiu nic nie jest proste, a powierzchnie są zwykle dosyć skomplikowane. Całkowity strumień pola elektrycznego możemy policzyć jako sumę strumieni cząstkowych: = E ds S Wektor elementu powierzchni jest zdefiniowany jako wektor o wartości równej powierzchni elementu, a o kierunku normalnej (zewnętrznej) do powierzchni.

8 Strumień pola elektrycznego Spróbujemy teraz policzyć wyrażenie na strumień pola elektrycznego przechodzący przez powierzchnię kulistą, w środku której znajduje się punktowy ładunek q.

9 Strumień pola elektrycznego = A E da= A q r 4 0 r 2 da= q da= 4 0 r 2 A q 4 r = q 4 0 r Widzimy, że całkowity strumień przez naszą powierzchnię sferyczną wynosi q/ 0

10 Strumień pola elektrycznego Uogólnimy teraz nasz rezultat i policzymy wyrażenie na strumień pola elektrycznego przechodzący przez dowolną zamkniętą powierzchnię.

11 Strumień pola elektrycznego Rozważmy kontur o dowolnym kształcie otaczający kulę. Przeprowadźmy stożek o wierzchołku w q, wycinający z kuli element o powierzchni a, a z konturu element A. Porównajmy strumienie przez te dwa elementy: d A = E r A=E r A cos =[E R R 2 r ][a r 2 R 1 cos ]cos =E R a=d a

12 Strumień pola elektrycznego Rozważmy kontur o dowolnym kształcie otaczający kulę. Przeprowadźmy stożek o wierzchołku w q, wycinający z kuli element o powierzchni a, a z konturu element A. Porównajmy strumienie przez te dwa elementy: d A = E r A=E r A cos =[E R R 2 r ][a r 2 R 1 cos ]cos =E R a=d a

13 Strumień pola elektrycznego Udowodniliśmy, że strumienie przez oba elementy są sobie równe. Ponieważ każdemu elementowi powierzchni zewnętrznej możemy przypisać element sfery, zatem całkowity strumień jest jednakowy dla obu powierzchni.

14 Strumień pola elektrycznego Jeżeli będziemy rozważać wiele ładunków zawartych w naszej powierzchni możemy zastosować zasadę superpozycji: natężenie pola elektrycznego od wielu źródeł można przedstawić jako sumę natężeń pola od pojedynczych źródeł = S E ds= S E 1... E n ds= q q n 0 = q 0

15 Otrzymaliśmy w ten sposób prawo Gaussa: Strumień pola elektrycznego przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest równy całkowitemu ładunkowi zawartemu w tej powierzchni podzielonemu przez 0 : S E ds= q 0

16 Prawo Gaussa Prawo Gaussa wyprowadziliśmy korzystając z prawa Coulomba (w rzeczywistości prawo Gaussa okazuje się ogólniejsze). Prawo Gaussa umożliwia nam rozwiązanie wielu na pozór bardzo skomplikowanych problemów.

17 Policzymy... Prawo Gaussa umożliwia łatwe policzenie natężenia pola elektrycznego w sytuacjach, gdy potrafimy wykorzystać symetrię ładunku. Policzmy na przykład natężenie pola elektrycznego we wnętrzu oraz w sąsiedztwie: jednorodnego ładunku kulistego; jednorodnego ładunku w kształcie walca; nieskończenie rozciągłej cienkiej płyty naładowanej ze stałą gęstością powierzchniową.

18 Policzymy... Policzmy na przykład natężenie pola elektrycznego we wnętrzu oraz w sąsiedztwie: jednorodnego ładunku kulistego

19 Policzymy... Policzmy na przykład natężenie pola elektrycznego w sąsiedztwie: jednorodnego długiego ładunku liniowego

20 Policzymy... Policzmy na przykład natężenie pola elektrycznego w sąsiedztwie: nieskończenie rozciągłej cienkiej płyty naładowanej ze stałą gęstością powierzchniową.

21 Do przemyślenia w długie zimowe wieczory Czy możliwa jest taka konfiguracja pola elektrycznego, w którym istniał by punkt zapewniający umieszczonemu tam ładunkowi stan równowagi trwałej?