Jerzy Topp. Wstęp do matematyka

Transkrypt

1 Jerzy Topp Wstęp do matematyka Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej, Gdańsk 2012

2 PRZEWODNICZĄCY KOMITETU REDAKCYJNEGO WYDAWNICTWA POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Romuald Szymkiewicz RECENZENT Andrzej Szepietowski PROJEKT OKŁADKI Katarzyna Olszonowicz WydanieI 2009 Wydano za zgodą Rektora Politechniki Gdańskiej Oferta wydawnicza Politechniki Gdańskiej jest dostępna pod adresem c Copyright by Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej Gdańsk 2012 Utwór nie może być powielany i rozpowszechniany, w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób, bez pisemnej zgody wydawcy ISBN

3 Spis treści PRZEDMOWA... 5 Rozdział1. RACHUNEKZDAŃ Zdaniaiformułyzdaniowe Wartościlogiczne Tautologie Ekstensjonalnośćfunktorów Kwadratlogiczny Reguływnioskowania Metodydowodzeniatwierdzeń Analizarozumowań Ćwiczenia Rozdział2. ZBIORY Czymjestzbiór? Zasadaekstensjonalności Podzbiory Działanianazbiorach Iloczynkartezjańskizbiorów Rachunekkwantyfikatorów Uogólnionasumaiuogólnionyiloczynrodzinyzbiorów Ciałozbiorów Aksjomatykateoriimnogości Ćwiczenia Rozdział 3. INDUKCJA MATEMATYCZNA IREKURENCJA Liczbynaturalneiindukcjamatematyczna Relacjarekurencji Ćwiczenia Rozdział4. FUNKCJE Definicjafunkcji Własnościfunkcji Obcięcieiprzedłużeniefunkcji Operacjearytmetycznenafunkcjach Składaniefunkcji Odwracalnośćfunkcji Obrazyiprzeciwobrazy Ćwiczenia Rozdział5. RELACJE Pojęcierelacji Działanianarelacjach Elementarnewłasnościitypyrelacji Relacjarównoważności Częściowyporządek Elementywyróżnionewczęściowymporządku Kraty Dobryporządek Indukcjapozaskończona Równoważność aksjomatu wyboru, zasady dobrego uporządkowania ilematukuratowskiego-zorna...162

4 5.11.Ćwiczenia Rozdział6. MOCEZBIORÓW Równolicznośćzbiorów Mocezbiorówiporównywaniemocyzbiorów Zbioryprzeliczalne,conajwyżejprzeliczalneinieprzeliczalne Zbiorymocycontinuum Hipotezacontinuum Ćwiczenia Rozdział7. ALGEBRABOOLE A Definicja,przykłady,podstawowewłasności RelacjaporządkującawalgebrzeBoole a Funkcjeboole owskie Analizaisyntezaukładówlogicznych Ćwiczenia Bibliografia Indeks Rozdział8. ODPOWIEDZIIPEŁNEROZWIĄZANIAZADAŃ OdpowiedzidozadańzrozdziałuLogika OdpowiedzidozadańzrozdziałuZbiory OdpowiedzidozadańzrozdziałuIndukcja OdpowiedzidozadańzrozdziałuFunkcje OdpowiedzidozadańzrozdziałuRelacje OdpowiedzidozadańzrozdziałuMocezbiorów OdpowiedzidozadańzrozdziałuAlgebraBoole a Rozdział 9. ODPOWIEDZI I ROZWIĄZANIA UDOSTĘPNIANE STUDENTOM OdpowiedzidozadańzrozdziałuLogika OdpowiedzidozadańzrozdziałuZbiory OdpowiedzidozadańzrozdziałuIndukcja OdpowiedzidozadańzrozdziałuFunkcje OdpowiedzidozadańzrozdziałuRelacje OdpowiedzidozadańzrozdziałuMocezbiorów OdpowiedzidozadańzrozdziałuAlgebraBoole a Rozdział 10. USTERKI ZAOBSERWOWANE W PODRĘCZNIKU.. 344

5 PRZEDMOWA Niniejszy skrypt powstał po serii wykładów z przedmiotu Wstęp do logiki i teorii mnogości, przeprowadzonych w Politechnice Gdańskiej. Obejmuje on materiał objęty programem tego przedmiotu i przeznaczony jest dla studentów pierwszego semestru matematyki i informatyki. Skrypt podzielono na siedem rozdziałów. Przedstawiony w nich materiał obejmuje rachunek zdań i elementy logiki, rachunek zbiorów, kwantyfikatory, funkcje, relacje, moce zbiorów oraz elementy algebry Boole a. Całość materiału starano się przedstawić bardzo intuicyjnie z jednej strony, a dostatecznie poprawnie i formalnie z drugiej strony. Przedstawiono dowody prawie wszystkich twierdzeń prezentowanych na wykładach. Większość pojęć, własności i twierdzeń zilustrowano przykładami i rysunkami. Powinno to ułatwić czytanie i zrozumienie materiału objętego niniejszym skryptem. Jest to materiał stosunkowo łatwy, alejestonbogatywnowepojęcia,symboleiformalizmy.wżadnymzrozdziałów nie przedstawiono omawianej tematyki w sposób wyczerpujący. W każdym przypadku przedstawiono podstawowe fakty. Zainteresowanych głębszym poznaniem prezentowanej tematyki odsyła się do cytowanej literatury, z której także korzystano opracowując ten skrypt. Do korzystania z tego skryptu nie jest potrzebna znajomość żadnej teorii matematycznej. To właśnie elementarna znajomość materiału przedstawionego w tym skrypcie powinna ułatwić studentom czytanie podręczników, umożliwić słuchanie innych wykładów matematycznych oraz pozwolić na poznawanie nowych teorii. Ważnym celem tego przedmiotu jest także wdrożenie studentów do zwyczaju ścisłego formułowania myśli, do rozwijania w sobie umiejętności poprawnego wnioskowania i adekwatnego argumentowania. Dla pełnego i biegłego opanowania przedstawionego materiału wskazane jest staranne czytanie skryptu, umiejętne słuchanie wykładu, nauczenie się definicji, poznanie dokładnych sformułowań twierdzeń, zrozumienie i zapamiętanie ich dowodów oraz wyćwiczenie w sobie umiejętności dowodzenia nawet intuicyjnie prostych i pozornie oczywistych twierdzeń oraz zwyczaju rozwiązywania zadań różnego stopnia trudności. Dla tych ostatnich potrzeb każdy rozdział zakończono wielką liczbą w większości typowych zadań i testem. Zadania te wymagają znajomości definicji i twierdzeń z danego rozdziału. Ich rozwiązanie powinno doprowadzić do dobrego zrozumienia wcześniejszego materiału, wyrobienia umiejętności stosowania nabytej wiedzy oraz do osiągnięcia niezbędnej biegłości myślowej i rachunkowej. A w końcu także do umiejętności dowodzenia nowych własnych twierdzeń. Jestem świadom tego, że w tym skrypcie występować mogą niedoskonałości i usterki. Wszelkie uwagi o skrypcie i informacje o zauważonych usterkach można przesłać na adres j.topp@inf.ug.edu.pl. Pełna informacja o poprawionychfragmentachdostępnabędziepodadreseminf.ug.edu.pl/ jtopp/.tam też znajdą się wskazówki i odpowiedzi do wszystkich zadań przedstawionych wskrypcie. Gdynia, lipiec 2012 Jerzy Topp

6

7 Rozdział 1 RACHUNEK ZDAŃ 1.1. Zdania i formuły zdaniowe W tym rozdziale przedstawiamy podstawy logiki matematycznej. Logika w sposób formalny opisuje dedukcję, czyli sposoby wyprowadzania prawdziwych stwierdzeń z prawdziwych przesłanek. Nasze rozważania zaczynamy od rachunku zdań, czyli od analizy związków zachodzących pomiędzy wartością logiczną zdania złożonego a wartościami logicznymi zdań prostszych, z których utworzono zdanie złożone. Ten rachunek wyrósł z poszukiwania formalnych kryteriów prawdziwości zdań i jest bazą reguł wnioskowania i podstawą kultury logicznego myślenia, dedukcyjnej metody wyprowadzania stwierdzeń z wcześniej udowodnionych stwierdzeńbądźzaksjomatów.tutaj zewzględówroboczychiinaczejniżwjęzyku potocznym przez zdanie rozumiemy stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo fałszywe. Zatem zdanie jest stwierdzeniem, któremu można przypisać wartość logiczną prawdy, albo przeciwstawną jej wartość logiczną fałszu.(z przypisaniem zdaniu jego wartości logicznej mogą być związane pewne trudności, albo wręcz może to być niemożliwe. Alfred Tarski, genialny logik amerykański polskiego pochodzenia, uważany za jednego z największych logików wszech czasów, przedstawił następujące kryterium prawdziwości zdania: dane zdanie jest prawdziwe wtedy, gdy jest tak, jak ono orzeka.) Przykład Następujące stwierdzenia są zdaniami: 1. Liczba 6 jest dodatnia. 2.Istniejeliczbanaturalnantaka,że21212=13 n. 1 3.JeśliwGdańskupadadeszcz,to2+3=5. 4.Liczbpierwszychjestnieskończeniewiele Każda parzysta liczba naturalna większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych. 3 Tak rozumiane zdania są obiektami naszych rozważań w tzw. rachunku zdań. Zatem, nie każde zdanie wypowiedziane w języku polskim(albo w dowolnym innym języku) jest zdaniem w sensie rachunku zdań. Przykład Żadne z następujących wyrażeń nie jest zdaniem: 1. Czy Paryż jest stolicą Francji? 2. Siedź prosto! Jeślimn=0,tom=0lubn=0. 1 Tuiwszędziedalejzakładamy,żewiemyczymjestrównośćzapisywanazapomocą symbolu=,aprzynajmniejwiemy,żemaonanastępująceczterywłasności:(a)x=x;(b)jeśli x=y,toy=x;(c)jeślix=yiy=z,tox=z;(d)jeślix=yiz=t,toxnależy dozwtedyitylkowtedy,gdyynależydot.taostatniawłasnośćumożliwiapodstawianie równych do równych bez tracenia równości. Własności(a) (d) są zaproponowanymi przez G. W. Leibniza aksjomatami równości. 2 Definicjęliczbypierwszejprzypominamynastronie28.Natomiastprawdziwościtego stwierdzenia dowodzimy na stronie ZdanietojestsłynnąhipoteząChristianaGoldbacha,którąsformułowałonw1742roku w swoim liście do Leonarda Eulera.

8 8 1. Rachunek zdań Funktor zdaniotwórczy Spójnik logiczny Operator 5.m<n 2. Ostatnie dwa wyrażenia stają się zdaniami, gdy zmiennym m i n przypiszemy konkretne wartości liczbowe. Wyrażenia tego typu nazywa się predykatami. Poświecimy im więcej uwagi w następnym rozdziale. Przykład Często posługujemy się zdaniami niejednoznacznymi: 1. Politechnika Gdańska jest wspaniałą uczelnią. 2. Kocham matematykę. 3. Student zna odpowiedź na każde pytanie. Z danych zdań tworzy się nowe, bardziej złożone zdania, za pomocą tzw. funktorów zdaniotwórczych(zwanych też operatorami lub spójnikami logicznymi), używając standardowych symboli: dla nie,czylidlanegacji; dla i,czylidlakoniunkcji; dla lub, czyli dla alternatywy; dla implikacji, czyli dla zdania warunkowego; dla wtedyitylkowtedy,gdy,czylidlarównoważności. Funktor jest funktorem jednoargumentowym, następne cztery funktory,, i sądwuargumentowe 4.Zdanie,wktórymwystępujeconajmniejjeden funktor zdaniotwórczy, nazywamy zdaniem złożonym. Natomiast zdanie bez funktora zdaniotwórczego zdaniem prostym. Zatem, jeśli p, q i r są zdaniami, towyrażenia p,p q,p r,p qiq roraz(( p) q) (r q), (p ( p)) q,((p q) (q r)) (p r)sązdaniamizłożonymi. Negacja Koniunkcja Alternatywa Implikacja Poprzednik implikacji Następnik implikacji Równoważność Niechpiqbędązdaniami.Wtedyzdanie p, czytamy nie p lub nieprawda, że p, nazywamy negacją zdania p(lub zaprzeczeniem zdania p). Zdanie p q, czytamy p i q, nazywamy koniunkcją(lub iloczynem logicznym) zdań p i q. Wtakimprzypadkuozdaniachpiqmówisię,żesączynnikami koniunkcji p q.natomiastzdanie p q, czytamy plubq,nazywamyalternatywą (lubsumąlogiczną)zdańpiq.tym razemzdaniapiqnazywasięskładnikamialternatywyp q.zdanie p q, czytamy pimplikujeq, jeślip,toq, q,jeślip lub q,oilep,jestimplikacją. W tym przypadku zdanie p nazywamy poprzednikiem, zaś q następnikiem implikacji p q. Zdanie p q, czytamy pwtedyitylkowtedy,gdyq,nazywamyrównoważnościązdańpiq. Przykład Jeśli p i q są odpowiednio zdaniami 4 Przyjętaprzeznasnotacjafunktorówzdaniotwórczychjestzgodnaznotacjąstosowaną w wielu podręcznikach. Jednakże w niektórych podręcznikach negację p oznacza się przez p,p lubp,symbol zastępujesięsymbolem,asymbol symbolem.wostatnim rozdzialetegoskryptutakżeimybędziemypisaćp lubpzamiast p.

9 1.1. Zdania i formuły zdaniowe 9 Pada deszcz i Chmury zakrywają niebo, tozdaniami p,p q,p q,p qip qsąodpowiednio: Nieprawda, że pada deszcz, Pada deszcz lub chmury zakrywają niebo, Pada deszcz i chmury zakrywają niebo, Jeśli pada deszcz, to chmury zakrywają niebo, Pada deszcz wtedy i tylko wtedy, gdy chmury zakrywają niebo. W naszych dalszych rozważaniach więcej uwagi poświęcamy symbolom zdań i tzw. formułom zdaniowym niż samym zdaniom. W tych rozważaniach elementy zbiorup={p,q,r,s,...}będąsymbolizowałyzdaniaibędziemyjenazywać p,q,r,s symbolezdań zmiennymi zdaniowymi, zdaniami atomowymi lub atomami. Zgodnie z niżej Zmienne zdaniowe, atomy przedstawioną definicją rekurencyjną, ze zmiennych zdaniowych tworzymy zbiór wszystkich możliwych formuł zdaniowych. Definicja Zbiór F nazywamy zbiorem formuł zdaniowych(schematów Formuła zdaniowa Schemat zdaniowy zdaniowych lub poprawnie zbudowanych wyrażeń rachunku zdań) wtedy i tylko wtedy, gdy: 1 każdazmiennazdaniowapnależydozbioruf; 2 jeślipiqsąelementamizbioruf,towtedytakże P, P Q, P Q, P Q, P Q są elementami zbioru F; 3 każdyelementzbioruf,któryniejestzmiennązdaniową,możnautworzyć ze zmiennych zdaniowych w wyniku zastosowania skończenie wiele razy regułzpunktu2 i byćmoże parnawiasów. Każdy element tak zdefiniowanego zbioru F nazywamy formułą zdaniową (lub po prostu formułą, gdy nie powoduje to niejednoznaczności), schematem zdaniowym lub poprawnie zbudowanym wyrażeniem rachunku zdań. Jeśli P jest formułą,towyrażenie P nazywamynegacjąformułyp.jeślipiqsąformułami,towyrażeniap Q,P Q,P QiP Qnazywamyodpowiednio alternatywą, koniunkcją, implikacją i równoważnością formuł P i Q. Przykład Przykładami formuł zdaniowych, czyli przykładami poprawnie zbudowanych wyrażeń rachunku zdań, są p, p ( q), p (( q) p) oraz ((p q) r) p (q r). W przykładach tych, celem uniknięcia niejednoznaczności i dla potrzeb wyodrębnienia pewnych części, korzystaliśmy z nawiasów. Niekiedy będziemy z nich rezygnować, ale wtedy będziemy trzymać się umowy o sile wiązania funktorów: negacja wiąże najsilniej, koniunkcja wiąże w takim samym stopniu jak alternatywa i silniej niż implikacja, a implikacja silniej niż równoważność. Zatem przykładowo schemat p q utożsamiamy ze schematem( p) q i odróżniamy good (p q).jednocześniezauważmy,żeniemożemynapisaćp q r,bonie wiedzielibyśmy, czy mamy to wyrażenie utożsamiać z(p q) r, czy też z p (q r). W odróżnieniu od powyższych wyrażeń, które są formułami zdaniowymi, żadne z następujących wyrażeń ( p), p q, p (q r), (p 1 p 2 ) (p 2 p 3 )... nie jest formułą zdaniową, czyli nie jest przykładem poprawnie zbudowanego wyrażenia rachunku zdań.

10 10 1. Rachunek zdań Zdefinicji1.1.1wynika,żejeśliRjestformułązdaniową,toalboRjest zmienną zdaniową, albo R jest jedną z formuł P, P Q, P Q, P QlubP Q Indukcja strukturalna dla pewnych formuł zdaniowych P i Q. Inną konsekwencją powyższej definicji jest tzw. zasada indukcji strukturalnej, która umożliwia dowodzenie własności wszystkich formuł zdaniowych. Zgodnie z tą zasadą każda formuła zdaniowa ze zbiorufmapewnąustalonąwłasnośćω 5,gdyspełnionesąnastępującetrzy warunki:1 każdazmiennazdaniowapmawłasnośćω;2 jeśliformułapma własnośćω,totakżeformuła Pmawłasnośćω;3 jeśliformułypiqmają własnośćω,totakżeformułyp Q,P Q,P QiP Qmająwłasnośćω. W podrozdziale 1.4 odnotujemy, że negację i wszystkie funktory dwuargumentowe można będzie zdefiniować za pomocą jednego konkretnego operatora dwuargumentowego. Zatem teoretycznie będzie można przedstawić prostszą definicję zbioru formuł zdaniowych i prostszą wersję zasady indukcji strukturalnej Wartości logiczne Niech1i0będąodpowiedniosymbolemprawdyisymbolemfałszu.Jeżelip 0 jestzdaniem,toprzezω(p 0 )oznaczamyjegowartośćlogiczną.piszemyω(p 0 )= 1,gdyzdaniep 0 jestprawdziwe.natomiastfałszywośćzdaniap 0 wyrażamy zapisemω(p 0 )=0.DladalszychpotrzebwzbiorzeB ={0,1}zapomocą tablic z rysunku 1.1 określamy działanie jednoargumentowe oraz działania dwuargumentowe,, i. x x i x y x y x y x y x y Rysunek1.1.Tablicedziałań,,, i wzbiorze{0,1} Wartościowanie Interpretacja Działaniom, i wzbiorze{0,1}więcejuwagipoświęcimywrozdziale7mówiąc o algebrze Boole a. Natomiast teraz opiszemy sposób wyznaczania wartości logicznych formuły zdaniowej w zależności od wartości logicznych przypisanych poszczególnym zmiennym zdaniowym. Definicja Wartościowaniem nazywamy funkcję σ: P {0, 1}, czyli funkcję przyporządkowującą każdej zmiennej zdaniowej p wartość logiczną σ(p). Interpretacjąwartościowaniaσ:P {0,1}nazywamyfunkcjęω σ :F {0,1}, przyporządkowującą każdej formule zdaniowej wartość logiczną uwzględniającą rekurencyjną definicję formuł zdaniowych i to taką, że: 1 ω σ (p)=σ(p)dlakażdejzmiennejzdaniowejp; 2 ω σ ( F)= ω σ (F)dlakażdejformułyF; 3 ω σ (F G)=ω σ (F) ω σ (G)dlakażdychformułFiGorazkażdegodwuargumentowego funktora zdaniotwórczego (i działania w zbiorze{0, 1}). Interpretacjęω σ czasaminazywasięsemantyką(lubznaczeniem)formułzdaniowych. Za pomocą indukcji strukturalnej można wykazać, że każda interpretacja jest jednoznacznie wyznaczona przez wartościowanie. 5 Literaω(czytamyomega)jestostatniąliterąalfabetugreckiego.Całyalfabetgrecki wielokrotnie wykorzystywany w tekstach matematycznych przedstawiliśmy na stronie 42.