1 Estymacja i analiza względnych zmian gęstości energii sygnału EEG w przestrzeni czasczęstość
|
|
- Sebastian Sobczak
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Pracownia EEG / Czas-częstość Spis treści 1 Estymacja i analiza względnych zmian gęstości energii sygnału EEG w przestrzeni czasczęstość 1.1 Zasada nieoznaczoności dla przestrzeni czas-częstość 1.2 Estymatory gęstości widmowej dla przestrzeni czas-częstość Dystrybucja energii Implementacja Własności Wyrazy mieszane Rozdzielczość Klasa Cohena MP dopasowanie kroczące Definicja Dystrybucja energii 1.3 Krótkoczasowa transformacja Fouriera i spektrogram Definicja krótkoczasowej transformacji Fouriera Własności Spektrogram Definicja Implementacja Własności Przesunięcia Wyrazy mieszane Ćwiczenie: 1.4 Ciągła transformata falkowa i skalogram Ciągłą transformata falkowa Definicja Skalogram Implementacja Matching pursuit Ćwiczenia Zadanie Zadanie Zadanie Zadanie Literatura
2 Estymacja i analiza względnych zmian gęstości energii sygnału EEG w przestrzeni czas-częstość Moduł tf używany w przykładach można pobrać w wersji Pythona stąd: import numpy as np import pylab as py import scipy.signal as ss def czas(t = 1.0, Fs = 128.0): dt = 1.0/Fs t = np.arange(,t,dt) return t def gauss(t0 = 0.3, sigma = 0.02, T = 1.0, Fs = 128.0): t = czas(t,fs) s = np.exp(-((t-t0)/(sigma))**2/2) return s def g2(t0 = 0.3, sigma = 0.02, T = 1.0, Fs = 128.0): t = czas(t,fs) s = (-(t-t0)/(sigma))*np.exp(-((t-t0)/(sigma))**2/2) return s def g3(t0 = 0.3, sigma = 0.02, T = 1.0, Fs = 128.0): t = czas(t,fs) s = np.exp(-((t-t0)/(sigma))**2/2) s[t<t0] = return s def gabor(t0 = 0.5, sigma = 0.1, T = 1.0, f=10, phi =, Fs = 128.0): t = czas(t,fs) s = np.exp(-((t-t0)/(sigma))**2/2) * np.cos(2*np.pi*f*(t-t0) + phi) return s def sin(f = 10.0, T = 1.0, Fs = 128.0, phi = ): '''sin o zadanej cz?sto?ci (w Hz), d?ugo?ci, fazie i cz?sto?ci próbkowania Domy?lnie wytwarzany jest sygna? reprezentuj?cy 1 sekund? sinusa o cz?sto?ci 1Hz i zerowej fazie próbkowanego 128 Hz ''' t = czas(t,fs) s = np.sin(2*np.pi*f*t + phi)
3 return s def chirp(f0,fk,t,fs): t = czas(t,fs) f = f0 + (fk-f0)/2.0/(t)*t s = np.cos(2*np.pi*t*f) return s def cwt(x, MinF,MaxF,Fs,w=7.0,df=1.0,plot = True): '''w - parametr falki Morleta, wiaze sie z jej czestoscia centralna i skala w nastepujacy sposob: f = 2*s*w / T gdzie: s-skala, T-dlugosc sygnalu w sek.''' T= len(x)/fs M = len(x) t = np.arange(,t,1./fs) freqs = np.arange(minf,maxf,df) P = np.zeros((len(freqs),m)) X = ss.fft(x) for i,f in enumerate(freqs): s = T*f/(2*w) psi = ss.fft(ss.morlet(m, w=w, s=s, complete=true)) psi /= np.sqrt(np.sum(psi*psi.conj())) tmp = np.fft.fftshift(ss.ifft(x*psi)) P[i,:] = (tmp*tmp.conj()).real if plot: py.imshow(p,aspect='auto',origin='lower',extent=(,t,minf, MaxF)) py.show() return P,f,t def wvd(x, Fs, plot=true): samples = len(x) N = samples / 2 z = np.zeros(samples) xh = ss.hilbert(x) x_period_h = np.concatenate((z,xh,z)); t = range(, samples, 1) # czas w samplach tfr = np.zeros((samples, samples), dtype=complex) for ti in t: for tau in range(-samples/2,samples/2): tfr[samples/2 + tau, ti] = x_period_h[samples+ti + tau] * x_period_h[samples+ti - tau].conj() tfr = np.fft.fftshift(tfr,axes = ) Tfr = np.fft.fft(tfr, samples, axis=)/samples
4 ts = np.array(t, dtype=float) / (float(fs)) f = np.linspace(, Fs / 2, N) if plot: py.imshow( Tfr.real, interpolation='nearest', extent=[, ts[-1],, f[-1]], origin='lower', aspect='auto') py.show() return Tfr, ts, f if name == ' main ': t = czas() Fs = T = 1.0 #py.plot(t,sin(),t,gauss(),t,g2(),t,g3(),t,gabor()) ch = chirp(5,fs/2-5,t,fs) py.plot(ch) py.show() #cwt(gabor(),0.1,64,128) #cwt(ch,0.1,fs/2,fs) #ch = gabor(t0=0,f=fs/2) wvd(ch,fs) Zasada nieoznaczoności dla przestrzeni czas-częstość Poniższy rysunek obrazuje koncepcję zasady nieoznaczoności w przypadku analizy czas-częstość: im dokładniej znamy lokalizację interesującego nas fragmentu sygnału (struktury) w czasie tym mniej dokładnie możemy poznać jego częstość.
5 Zasadę tą można wyrazić formalnie w następujący sposób. Potraktujmy moc sygnału (o skończonej energii) jak rozkład zmiennej losowej. Aby rozkład był unormowany trzeba podzielić go przez energię sygnału:. Zatem rozkład ten jest postaci:. Jako lokalizację występowania sygnału w czasie przyjmujemy średnie położenie jego energii: zaś jako miarę skupienia energii wokół tego położenia przyjmujemy wariancję: Analogicznie w dziedzinie częstości: Można pokazać (np. Pinsky, 2002), że iloczyn wariancji energii w czasie i w częstości jest ograniczony od dołu:
6 Estymatory gęstości widmowej dla przestrzeni czas-częstość Energię sygnału w jednej z dziedzin, czasu bądź częstości, możemy policzyć tak: i interpretujemy albo jako gęstości energii. Stąd pomysł, żeby rozszerzyć tą koncepcję na obie dziedziny jednocześnie i wprowadzić pojęcie gęstości energii w dziedzinie czas-częstość : muszą też być spełnione własności brzegowe: Dystrybucja energii Podobnie jak widmo mocy, gęstość energii fizycznego sygnału nie może być obliczona, może być jedynie estymowana. W celu estymacji gęstości energii można posłużyć się dwuwymiarowymi dystrybucjami energii. Jedną z podstawowych dystrybucji jest dystrybucja Wigner-Ville'a (WVD): lub Implementacja Przykładowa implementacja WVD dla sygnału rzeczywistego:
7 import numpy as np import pylab as py import scipy.signal as ss def wvd(x, Fs, plot=true): samples = len(x) N = samples / 2 z = np.zeros(samples) xh = ss.hilbert(x) x_period_h = np.concatenate((z,xh,z)); t = range(, samples, 1) # czas w samplach tfr = np.zeros((samples, samples), dtype=complex) for ti in t: for tau in range(-samples/2,samples/2): tfr[samples/2 + tau, ti] = x_period_h[samples+ti + tau] * x_period_h[samples+ti - tau].conj() tfr = np.fft.fftshift(tfr,axes = ) Tfr = np.fft.fft(tfr, samples, axis=)/samples ts = np.array(t, dtype=float) / (float(fs)) f = np.linspace(, Fs / 2, N) if plot: py.imshow( Tfr.real, interpolation='nearest', extent=[, ts[-1],, f[-1]], origin='lower', aspect='auto') py.show() return Tfr, ts, f Własności Własności WVD: zachowanie energii własności brzegowe zachowywanie przesunięcia w czasie i w częstości zachowywanie skalowania
8 Wyrazy mieszane WVD jest reprezentacją kwadratową więc: gdzie Rozdzielczość idealnie dla chirpów liniowych (sygnał o liniowo zmieniającej się częstości chwilowej): import tf as tf import pylab as py Fs = T = 1.0 t = tf.czas(t,fs) ch = tf.chirp(5,fs/2-5,t,fs) Tfr,ts,f = tf.wvd(ch,fs,false) py.subplot(2,1,1) py.plot(t,ch) py.subplot(2,1,2) py.imshow(tfr.real,interpolation= 'nearest',extent=[,ts[-1],,f[-1]],origin='lower',aspect='auto') py.show() struktura wyrazów mieszanych: zaobserwuj, że niezależnie od tego jak bardzo odseparowane są struktury w przestrzeni czas-częstość pomiędzy nimi powstają wyrazy mieszane. Zauważ, że wyrazy mieszane mają wysoką częstość przestrzennej zmienności. import tf as tf import pylab as py Fs = T = 1.0
9 t = tf.czas(t,fs) s1 = tf.gabor(t0=0.3, sigma = 0.05, T = 1.0, f=100, phi =,Fs=Fs) s2 = tf.gabor(t0=0.7, sigma = 0.05, T = 1.0, f=200, phi =,Fs=Fs) s = s1 + s2 Tfr,ts,f = tf.wvd(s,fs,false) py.subplot(2,1,1) py.plot(t,s) py.subplot(2,1,2) py.imshow(tfr.real,interpolation= 'nearest',extent=[,ts[-1],,f[-1]],origin='lower',aspect='auto') py.show() Klasa Cohena WVD jest najprostszym elementem klasy Cohena. Ogólnie klasę tę można zapisać jako: gdzie Najczęściej wybiera się jako pewną funkcję gładzącą w zależności od tego wyboru będziemy mieli w różnym stopniu osłabiane wyrazy mieszane. MP dopasowanie kroczące Definicja Algorytm dopasowania kroczącego (ang. matching pursuit, MP) jest algorytmem iteracyjnie rozkładającym sygnał na funkcje bazowe (tzw. atomy czas-częstość) pochodzące ze zbioru (zwanego słownikiem): gdzie: oznacza tego, który daje największy iloczyn skalarny z aktualnym residuum:. Słowniki mogą być dowolne, ale najczęściej składamy je z funkcji Diraca, sinus i Gabora:
10 normalizacja jest taka, że, to parametry funkcji w słowniku ( translacja w czasie, częstość, szerokość w czasie, faza). Dystrybucja energii Reprezentację czas-częstość uzyskujemy z dekompozycji MP sumując dystrybucje WVD pojedynczych atomów: W wyrażeniu tym nie ma wyrazów mieszanych :-) Krótkoczasowa transformacja Fouriera i spektrogram Definicja krótkoczasowej transformacji Fouriera Krótkoczasowa transformacja Fouriera (ang. short-time Fourier transform, STFT) może być rozumiana jako seria transformacji Fouriera wykonanych na sygnale podzielonym na okienka, przy czym położenie okienka w czasie jest w ramach takiej serii przesuwane monotonicznie. W wersji ciągłej możemy to zapisać tak: Własności Jeśli okienko ma skończoną energię to STFT jest transformacją odwracalną i można odzyskać z niej sygnał w reprezentacji czasowej: gdzie Tak więc sygnał może być rozłożony na liniową kombinację elementarnych falek- atomów postaci:
11 Każdy atom uzyskiwany jest przez translację pojedynczego okna w czasie i jego modulację częstością. Ciekawostka: zbiór wszystkich możliwych transformacji tego typu tworzy grupę Weyl-Heisenberga. Spektrogram Definicja Spektrogram: kwadrat modułu STFT jest estymatą gęstości energii w przestrzeni czas-częstość: Implementacja Spektrogram zaiplementowany jest w module matplotlib.pyplot jako funkcja specgram (dokumentacja). Własności Przesunięcia Spektrogram zachowuje przesunięcie: w czasie import matplotlib.pyplot as py from tf import czas, gabor import numpy as np import scipy.signal as ss # parametry t0 = 1.0 sigma = 0.1 T = 4.0 f = 10 phi = Fs = NFFT = int(fs) sig1 = gabor(t0, sigma, T, f, phi, Fs) # sygnał sig2 = gabor(t0 + 2, sigma, T, f, phi, Fs) # sygnał przesunięty w czasie
12 py.subplot(221) h = ss.hamming(nfft) sig1_padded = (np.concatenate((np.zeros(nfft/2),sig1,np.zeros(nfft/2)))) P,f,t,im1 = py.specgram(sig1_padded,nfft = len(h),fs = Fs,window = h, noverlap = NFFT-1, sides = 'onesided') py.imshow(p,aspect='auto',origin='lower',extent=(t[]-(nfft/2)/fs,t[-1]- (NFFT/2)/Fs,f[],f[-1]),interpolation='nearest') py.subplot(222) sig2_padded = (np.concatenate((np.zeros(nfft/2),sig2,np.zeros(nfft/2)))) P,f,t,im2 = py.specgram(sig2_padded,nfft = len(h),fs = Fs,window = h, noverlap = NFFT-1, sides = 'onesided') py.imshow(p,aspect='auto',origin='lower',extent=(t[]-(nfft/2)/fs,t[-1]- (NFFT/2)/Fs,f[],f[-1]),interpolation='nearest') py.subplot(223) time = czas(t, Fs) py.plot(time,sig1) py.subplot(224) py.plot(time,sig2) py.show() i w częstości: import matplotlib.pyplot as py from tf import czas, gabor import numpy as np import scipy.signal as ss # parametry t0 = 1.0 sigma = 0.1 T = 4.0 f = 10 phi = Fs = NFFT = int(fs) time = czas(t, Fs)
13 sig1 = gabor(t0, sigma, T, f, phi, Fs) # sygnał sig2 = gabor(t0, sigma, T, f+20, phi, Fs)# sygnał przesunięty w częstości py.subplot(221) h = ss.hamming(nfft) sig1_padded = (np.concatenate((np.zeros(nfft/2),sig1,np.zeros(nfft/2)))) P,f,t,im1 = py.specgram(sig1_padded,nfft = len(h),fs = Fs,window = h, noverlap = NFFT-1, sides = 'onesided') py.imshow(p,aspect='auto',origin='lower',extent=(t[]-(nfft/2)/fs,t[-1]- (NFFT/2)/Fs,f[],f[-1]),interpolation='nearest') py.subplot(222) sig2_padded = (np.concatenate((np.zeros(nfft/2),sig2,np.zeros(nfft/2)))) P,f,t,im2 = py.specgram(sig2_padded,nfft = len(h),fs = Fs,window = h, noverlap = NFFT-1, sides = 'onesided') py.imshow(p,aspect='auto',origin='lower',extent=(t[]-(nfft/2)/fs,t[-1]- (NFFT/2)/Fs,f[],f[-1]),interpolation='nearest') py.subplot(223) py.plot(time,sig1) py.subplot(224) py.plot(time,sig2) py.show() Wyrazy mieszane Spektrogram jest reprezentacją kwadratową. Spektrogram sumy sygnałów nie jest sumą spektrogramów sygnałów składowych, jest tam jeszcze coś: gdzie Jak mogą wyglądać wyrazy mieszane ilustruje poniższy kod. Kolejne subploty pokazują spektrogramy uzyskane dla sygnału będącego sumą dwóch funkcji Gabora o częstościach różniących się o 2 Hz i położeniach różniących się o kolejne wielokrotności 0,1 s.
14 import matplotlib.pyplot as py from tf import czas, gabor import numpy as np import scipy.signal as ss # parametry t0 = 1.0 sigma = 0.05 T = 2.0 f0 = 20 phi = Fs = NFFT = int(fs) time = czas(t, Fs) h = ss.hamming(nfft) for i in range(9): py.subplot(3,3,i+1) sig1 = gabor(t0, sigma, T, f0, phi, Fs) # sygnal sig2 = gabor(t0+i*0.1, sigma, T, f0+2, phi, Fs)# sygnał przesunięty w częstości o 2 Hz i w czasie o i*0.1 s sig1_padded = (np.concatenate((np.zeros(nfft/2),sig1,np.zeros(nfft/2)))) sig2_padded = (np.concatenate((np.zeros(nfft/2),sig2,np.zeros(nfft/2)))) P,f,t,im1 = py.specgram(sig1_padded+sig2_padded,nfft = len(h),fs = Fs,window = h, noverlap = NFFT-1, sides = 'onesided') py.imshow(p,aspect='auto',origin='lower',extent=(t[]-(nfft/2)/fs,t[-1]- (NFFT/2)/Fs,f[],f[-1]),interpolation='nearest') py.show() Wyrazy mieszane występują także w przypadku pojedynczej struktury dla sygnału rzeczywistego. Mieszające się obiekty to energia zlokalizowana w dodatniej i ujemnej części widma częstości. Efekt jest stosunkowo słaby i uwidacznia się dopiero na mapach czas-częstość logarytmu gęstości energii. Problem ten można obejść stosując transformację Hilberta, gdyż po tej transformacji cała energia skupiona jest w dodatniej części widma. Własność tę ilustruje poniższy program: from matplotlib.pyplot import specgram, plot, subplot, show, imshow from tf import czas, gabor from numpy import pi, log from scipy.signal import hamming, hilbert # parametry t0 = 0.5
15 sigma = 0.1 T = 1.0 f = 30 phi = Fs = s = gabor(t0, sigma, T, f, phi, Fs) t = czas(t, Fs) subplot(411) plot(t,s) subplot(412) h = hamming(32) NFFT =len(h) P,f,t,im1 = specgram(s,nfft = len(h),fs = Fs,window = h, noverlap = 31,sides = 'twosided') imshow(p,aspect='auto',origin='lower',extent=(t[]-(nfft/2)/fs,t[-1]- (NFFT/2)/Fs,f[],f[-1]),interpolation='nearest') subplot(413) imshow(log(p),aspect='auto',origin='lower',extent=(t[]-(nfft/2)/fs,t[-1]- (NFFT/2)/Fs,f[],f[-1]),interpolation='nearest') subplot(414) s_ana = hilbert(s) # sygnał analityczny P,f,t,im2 = specgram(s_ana,nfft = len(h),fs = Fs,window = h, noverlap = 31, sides = 'twosided') imshow(log(p),aspect='auto',origin='lower',extent=(t[]-(nfft/2)/fs,t[-1]- (NFFT/2)/Fs,f[],f[-1]),interpolation='nearest') show() Ćwiczenie: Proszę zbadać rozdzielczość czasową spektrogramu posługując się funkcją delta oraz rozdzielczość częstotliwościową posługując się funkcją sinus (Trzeba przeskanować czas funkcją delta, a częstości sinusem). Proszę wykonać to dla kilku długości okienek h. Proszę zbadać rozdzielczość spektrogramu przy pomocy dwóch funkcji Gabora, dla różnych ich odległości w czasie i w częstości. Zaobserwować strukturę wyrazów mieszanych.
16 Ciągła transformata falkowa i skalogram Ciągłą transformata falkowa Definicja Ciągła transformacja falkowa (ang. Continuous Wavelet Transform, CWT) dana jest wzorem: gdzie a jest skalą. Od falki wymagamy żeby miała średnią 0. Transformację tę można interpretować jako rzutowanie sygnału na kolejne wersje falki przesunięte o t i przeskalowane o a. Inne spojrzenie na transformację falkową uwidacznia się gdy połączymy dwa powyższe wzory: Tu widać, że dla ustalonej skali a transformacja falkowa jest splotem sygnału z falką o skali a. Ten sposób myślenia o transformacji falkowej umożliwia zastosowanie szybkiego algorytmu obliczeniowego bazującego na tym, że splot w dziedzinie czasu odpowiada mnożeniu w dziedzinie częstości. Skalogram Podobnie jak dla STFT i spektrogramu, możemy dla CWT wprowadzić pojęcie skalogramu, będącego estymatą gęstości energii w przestrzeni czas-skala. Dla falek, które są dobrze skupione wokół częstości dla skali można wprowadzić utożsamienie. Utożsamienie to pozwala przekształcić reprezentację czas-skala w reprezentację czas-częstość:
17 Implementacja Przykładowa implementacja obliczania skalogramu dla falek Morleta przedstawiona jest poniżej. Korzysta ona z własności splotu. def cwt(x, MinF,MaxF,Fs,w=7.0,df =1.0,plot = True): '''w - parametr falki Morleta, wiąże się z jej częstościa centralną i skalą w następujacy sposób: f = 2*a*w / T gdzie: a-skala, T-długość sygnału w sek.''' T= len(x)/fs M = len(x) t = np.arange(,t,1./fs) freqs = np.arange(minf,maxf,df) P = np.zeros((len(freqs),m)) X = np.fft.fft(x) # transformacja sygnału do dziedziny czestosci for i,f in enumerate(freqs): # petla po kolejnych czestosciach a = T*f/(2*w) # obliczenie skali dla danej czestosci psi = np.fft.fft(ss.morlet(m, w=w, s=a, complete=true)) # transformacja falki Morleta do dziedziny czestosci. W bardziej wydajnym kodzie moznaby zastosowac analityczna postac tej falki w dziedzinie czestosci. psi /= np.sqrt(np.sum(psi*psi.conj())) # normalizacja energii falki CWT = np.fft.fftshift(ss.ifft(x*psi)) P[i,:] = (CWT*CWT.conj()).real if plot: py.imshow(p,aspect='auto',origin='lower',extent=(,t,minf, MaxF)) py.show() return P,f,t Matching pursuit Dopasowanie kroczące (ang. matching pursuit, MP) jest procedurą polegającą na rozłożeniu sygnału na funkcje składowe pochodzące z określonego zbioru funkcji (słownika). Słowniki wykorzystywane w metodach czas-częstość często składają się z funkcji Gabora tj. funkcji sinus modulowanej funkcją Gaussa. MP jest algorytmem iteracyjnym. W pierwszym kroku wybierana jest funkcja dająca największy iloczyn skalarny z sygnałem. W każdym następnym kroku funkcja jest analogicznie dopasowywana do residuum sygnału, pozostałego po odjęciu wyniku poprzedniej iteracji.
18 Ćwiczenia Zadanie 1 Zadanie 2 Zapoznać się z opisem metod czas-częstość, wykonując polecenia opisane przy każdej z metod. Zbadać własności metod czas-częstość, m.in.: Proszę przyjrzeć się definicjom transformaty falkowej i STFT i opowiedzieć o analogiach i różnicach. Proszę zbadać własności przesunięć w czasie i w częstości dla skalogramu w sposób analogiczny jak było to pokazane dla spektrogramu. Proszę zbadać strukturę wyrazów mieszanych w sposób analogiczny jak było to pokazane dla spektrogramu. Zbadaj działanie algorytmu MP na samodzielnie wytworzonych sygnałach symulowanych: Trzech funkcjach Gabora o różnych częstościach, amplitudach i położeniach w czasie i o podobnej rozciągłości w czasie tak, aby zasadniczo nie nachodziły na siebie (patrz rysunek). Wykonaj dopasowanie dla trzech atomów, narysuj sygnał oryginalny i nałożony na niego sygnał zrekonstruowany z wyliczonych atomów, różnicę tych sygnałów (residuum) oraz mapę czasczęstość. Dwóch jednakowych funkcji Gabora położonych w pewnej odległości od siebie w czasie. Zbadaj jakość dopasowania dokonując rekonstrukcji dwoma i trzema atomami na rysunkach podobnych jak w poprzedniej części zadania. Sprawdź co się dzieje przy zwiększaniu odległości w czasie pomiędzy tymi funkcjami Gabora.
19 Zadanie 4 Pobrać plik z danymi: Opis danych: dane zawierają zapisy z lokalnych potencjałów polowych (LFP) z kory czuciowej małpy podczas podawania bodźca wibracyjnego do palca. Macierz zawiera 50 powtórzeń po 3 sekundy. Częstość próbkowania wynosi 5000 Hz. Bodziec podawany był pomiędzy 1 a 2 sekundą. Analiza zapisów LFP z kory czuciowej małpy podczas podawania bodźca wibracyjnego do palca, o częstości 50 Hz. Mapa czas-częstość przedstawia względną gęstość energii (w skali db) względem okresu referencyjnego ms przed początkiem stymulacji. Dane opisane są w pracy: Supratim Ray, Steven S. Hsiao, Nathan E. Crone, Piotr J. Franaszczuk, and Ernst Niebur. Effect of Stimulus Intensity on the Spike Local Field Potential Relationship in the Secondary Somatosensory Cortex. The Journal of Neuroscience, 2008, 28(29): Zadania do wykonania:
20 Otrzymać mapy czas-częstość dla pojedynczych realizacji a następnie uśrednić je po realizacjach. Na średniej mapie poszukać występowania odpowiedzi w częstościach high-gamma ( Hz). W przypadku braku widocznej odpowiedzi, rozważyć następujące operacje: usunąć częstości sieci (60 Hz i wyższe harmoniczne); zastosować logarytmiczną skalę energii; policzyć zmiany gęstości energii względem jej wartości w okresie referencyjnym. Mapa czas-częstość średniej gęstości energii otrzymaną metodą Matching Pursuit jest przedstawiona na rys. 1. Zadanie 5 Wykonać analizę metodą MP dla danych z zadania 3. Literatura S. Mallat and Z. Zhang (1993) Matching pursuit with time-frequency dictionaries. IEEE Transactions on Signal Processing, 41: Pinsky, Mark (2002), Introduction to Fourier Analysis and Wavelets, Brooks/Cole, ISBN
Definicja. x(u)h (u t)e i2πuf du. F x (t,f ;h) = Krótko czasowa transformata Fouriera Ciągłą transformata falkowa
Definicja Krótko czasowa transformata Fouriera(STFT) może być rozumiana jako seria transformat Fouriera wykonanych na sygnale okienkowanym, przy czym położenie okienka w czasie jest w ramach takiej serii
Bardziej szczegółowoSpis treści. Widmo mocy. Obliczanie mocy sygnału. Analiza_sygnałów_-_ćwiczenia/Fourier_4
Analiza_sygnałów_-_ćwiczenia/Fourier_4 Spis treści 1 Widmo mocy 1.1 Obliczanie mocy sygnału 1.1.1 Zadanie 1: Moc i energia sygnału w dziedzinie czasu 1.1.2 Zadanie 2: Moc i energia sygnału w dziedzinie
Bardziej szczegółowoLaboratorium Przetwarzania Sygnałów Biomedycznych
Laboratorium Przetwarzania Sygnałów Biomedycznych Ćwiczenie 3 Analiza sygnału o nieznanej strukturze Opracowali: - prof. nzw. dr hab. inż. Krzysztof Kałużyński - mgr inż. Tomasz Kubik Politechnika Warszawska,
Bardziej szczegółowoTwierdzenie o splocie
Twierdzenie o splocie g(t) = (s h) (t) G(f ) = S(f ) H(f ) (1) To twierdzenie działa też w drugą stronę: G(f ) = (S H) (f ) g(t) = s(t) h(t) (2) Zastosowania: zamiana splotu na mnożenie daje wgląd w okienkowanie
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM AKUSTYKI MUZYCZNEJ. Ćw. nr 12. Analiza falkowa dźwięków instrumentów muzycznych. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE ANALIZY FALKOWEJ.
LABORATORIUM AKUSTYKI MUZYCZNEJ. Ćw. nr 1. Analiza falkowa dźwięków instrumentów muzycznych. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE ANALIZY FALKOWEJ. Transformacja falkowa (ang. wavelet falka) przeznaczona jest do analizy
Bardziej szczegółowoCyfrowe przetwarzanie i kompresja danych
Cyfrowe przetwarzanie i kompresja danych dr inż.. Wojciech Zając Wykład 5. Dyskretna transformata falkowa Schemat systemu transmisji danych wizyjnych Źródło danych Przetwarzanie Przesył Przetwarzanie Prezentacja
Bardziej szczegółowoPrzetwarzanie Sygnałów. Zastosowanie Transformaty Falkowej w nadzorowaniu
Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Przetwarzanie Sygnałów Studia Podyplomowe, Automatyka i Robotyka Zastosowanie Transformaty Falkowej
Bardziej szczegółowoAkwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych
Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011 Analiza czas - częstotliwość analiza częstotliwościowa: problem dla sygnału niestacjonarnego zwykła transformata
Bardziej szczegółowoĆwiczenia z przetwarzania tablic 2D
Ćwiczenia z przetwarzania tablic 2D Wyświetlanie tablic 2D Jako wstęp do przetwarzania obrazów w pythonie przećwiczmy podstawowe operacje na dwuwymiarowych tablicach numpy w postaci których będziemy takie
Bardziej szczegółowo2. Próbkowanie Sygnały okresowe (16). Trygonometryczny szereg Fouriera (17). Częstotliwość Nyquista (20).
SPIS TREŚCI ROZDZIAŁ I SYGNAŁY CYFROWE 9 1. Pojęcia wstępne Wiadomości, informacje, dane, sygnały (9). Sygnał jako nośnik informacji (11). Sygnał jako funkcja (12). Sygnał analogowy (13). Sygnał cyfrowy
Bardziej szczegółowoAkustyka muzyczna ANALIZA DŹWIĘKÓW MUZYCZNYCH
Akustyka muzyczna ANALIZA DŹWIĘKÓW MUZYCZNYCH Dźwięk muzyczny Dźwięk muzyczny sygnał wytwarzany przez instrument muzyczny. Najważniejsze parametry: wysokość związana z częstotliwością podstawową, barwa
Bardziej szczegółowoPrzedmowa Wykaz oznaczeń Wykaz skrótów 1. Sygnały i ich parametry 1 1.1. Pojęcia podstawowe 1 1.2. Klasyfikacja sygnałów 2 1.3.
Przedmowa Wykaz oznaczeń Wykaz skrótów 1. Sygnały i ich parametry 1 1.1. Pojęcia podstawowe 1 1.2. Klasyfikacja sygnałów 2 1.3. Sygnały deterministyczne 4 1.3.1. Parametry 4 1.3.2. Przykłady 7 1.3.3. Sygnały
Bardziej szczegółowoDYSKRETNA TRANSFORMACJA FOURIERA
Laboratorium Teorii Sygnałów - DFT 1 DYSKRETNA TRANSFORMACJA FOURIERA Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest przeprowadzenie analizy widmowej sygnałów okresowych za pomocą szybkiego przekształcenie Fouriera
Bardziej szczegółowo9. Dyskretna transformata Fouriera algorytm FFT
Transformata Fouriera ma szerokie zastosowanie w analizie i syntezie układów i systemów elektronicznych, gdyż pozwala na połączenie dwóch sposobów przedstawiania sygnałów reprezentacji w dziedzinie czasu
Bardziej szczegółowo1 s(t) 2 t s(t) 2 dt 1. s(t) 2
Rozdział 3 Pomiędzy czasem a częstością 3.1 Zasada nieoznaczoności Zasada nieoznaczoności (Heisenberga) w mechanice kwantowej nie opisuje granic dokładności pomiarów, lecz fakt, że cząstka nie może jednocześnie
Bardziej szczegółowoAnalizy Ilościowe EEG QEEG
Analizy Ilościowe EEG QEEG Piotr Walerjan PWSIM MEDISOFT 2006 Piotr Walerjan MEDISOFT Jakościowe vs. Ilościowe EEG Analizy EEG na papierze Szacunkowa ocena wartości częstotliwości i napięcia Komputerowy
Bardziej szczegółowoLaboratorium Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z przetwarzaniem sygnałów w MATLAB. 2. Program ćwiczenia. Przykład 1 Wprowadź
Podstawy Informatyki 1 Laboratorium 9 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z przetwarzaniem sygnałów w MATLAB 2. Program ćwiczenia Przykład 1 Wprowadź fo = 4; %frequency of the sine wave
Bardziej szczegółowoKlasyczna rekonstrukcja obrazu (Beamforming)
Spis treści 1 Klasyczna rekonstrukcja obrazu (Beamforming) 1.1 Dane RF 1.2 Opóźnienia nadawczo-odbiorcze 1.3 Rekonstrukcja obrazu 1.3.1 Zakres dynamiki 1.3.2 Filtrowanie obrazu 1.4 Obraz B-mode 1.5 Położenie
Bardziej szczegółowoPrzekształcenie Fouriera i splot
Zastosowania Procesorów Sygnałowych dr inż. Grzegorz Szwoch greg@multimed.org p. 732 - Katedra Systemów Multimedialnych Przekształcenie Fouriera i splot Wstęp Na tym wykładzie: przekształcenie Fouriera
Bardziej szczegółowoLaboratorium Przetwarzania Sygnałów Biomedycznych
PSB - laboratorium Laboratorium Przetwarzania Sygnałów Biomedycznych Ćwiczenie 5 Analiza sygnału świergotowego przy zastosowaniu transformacji Hilberta Opracowali: - prof. dr hab. inż. Krzysztof Kałużyński
Bardziej szczegółowo8. Analiza widmowa metodą szybkiej transformaty Fouriera (FFT)
8. Analiza widmowa metodą szybkiej transformaty Fouriera (FFT) Ćwiczenie polega na wykonaniu analizy widmowej zadanych sygnałów metodą FFT, a następnie określeniu amplitud i częstotliwości głównych składowych
Bardziej szczegółowoLaboratorium Przetwarzania Sygnałów
PTS - laboratorium Laboratorium Przetwarzania Sygnałów Ćwiczenie 4 Transformacja falkowa Opracował: - prof. dr hab. inż. Krzysztof Kałużyński Zakład Inżynierii Biomedycznej Instytut Metrologii i Inżynierii
Bardziej szczegółowoTransformacje Fouriera * podstawowe własności
Transformacje Fouriera * podstawowe własności * podejście mało formalne Funkcja w domenie czasowej Transformacja Fouriera - wstęp Ta sama funkcja w domenie częstości Transformacja Fouriera polega na rozkładzie
Bardziej szczegółowoZadania z rysowania i dopasowania funkcji
Spis treści 1 Zadania z rysowania i dopasowania funkcji 1.1 Znajdowanie miejsca zerowego funkcji 1.2 Wczytywanie danych i wykres 1.3 Dopasowywanie krzywej do danych i wykres 1.3.1 Wskazówki Zadania z rysowania
Bardziej szczegółowoUkłady i Systemy Elektromedyczne
UiSE - laboratorium Układy i Systemy Elektromedyczne Laboratorium 1 Stetoskop elektroniczny parametry sygnałów rejestrowanych. Opracował: dr inż. Jakub Żmigrodzki Zakład Inżynierii Biomedycznej, Instytut
Bardziej szczegółowoTransformata Fouriera
Transformata Fouriera Program wykładu 1. Wprowadzenie teoretyczne 2. Algorytm FFT 3. Zastosowanie analizy Fouriera 4. Przykłady programów Wprowadzenie teoretyczne Zespolona transformata Fouriera Jeżeli
Bardziej szczegółowoZadanie: Filtr adaptywny
Spis treści 1 Zadanie: Filtr adaptywny 1.1 Przygotuj sygnały: 1.2 Symulacja sieci 1.3 Wykresy 1.4 Szkielet rozwiązania: 1.5 Pytania Zadanie: Filtr adaptywny W tym zadaniu symulujemy działanie filtra, który
Bardziej szczegółowoZmiany fazy/okresu oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego.
Strona 1 z 38 Zmiany fazy/okresu oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego. Alicja Rzeszótko alicja@cbk.waw.pl 2 czerwca 2006 1 Omówienie danych 3 Strona główna Strona 2 z 38 2
Bardziej szczegółowoKARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Cyfrowe przetwarzanie sygnałów pomiarowych_e2s
Bardziej szczegółowoAlgorytmy, które estymują wprost rozkłady czy też mapowania z nazywamy algorytmami dyskryminacyjnymi.
Spis treści 1 Wstęp: generatywne algorytmy uczące 2 Gaussowska analiza dyskryminacyjna 2.1 Gaussowska analiza dyskryminacyjna a regresja logistyczna 3 Naiwny Klasyfikator Bayesa 3.1 Wygładzanie Laplace'a
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia widmowe Transformata Fouriera. Adam Wojciechowski
Przekształcenia widmowe Transformata Fouriera Adam Wojciechowski Przekształcenia widmowe Odmiana przekształceń kontekstowych, w których kontekstem jest w zasadzie cały obraz. Za pomocą transformaty Fouriera
Bardziej szczegółowoPrzekształcenie Fouriera obrazów FFT
Przekształcenie ouriera obrazów T 6 P. Strumiłło, M. Strzelecki Przekształcenie ouriera ourier wymyślił sposób rozkładu szerokiej klasy funkcji (sygnałów) okresowych na składowe harmoniczne; taką reprezentację
Bardziej szczegółowouzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem próbkowania t takim, że T = t N 1 t
4. 1 3. " P r ze c ie k " w idm ow y 1 0 2 4.13. "PRZECIEK" WIDMOWY Rozważmy szereg czasowy {x r } dla r = 0, 1,..., N 1 uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem
Bardziej szczegółowoPrzetwarzanie sygnałów biomedycznych
Przetwarzanie sgnałów biomedcznch Człowiek- najlepsza inwestcja Projekt współfinansowan przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Wkład XIII Dstrbucje czasowo częstotliwościowe
Bardziej szczegółowoZakładamy, że są niezależnymi zmiennymi podlegającymi (dowolnemu) rozkładowi o skończonej wartości oczekiwanej i wariancji.
Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład Spis treści 1 Centralne Twierdzenie Graniczne 1.1 Twierdzenie Lindeberga Levy'ego 1.2 Dowód 1.2.1 funkcja tworząca sumy zmiennych niezależnych 1.2.2 pochodna funkcji
Bardziej szczegółowo4 Zasoby językowe Korpusy obcojęzyczne Korpusy języka polskiego Słowniki Sposoby gromadzenia danych...
Spis treści 1 Wstęp 11 1.1 Do kogo adresowana jest ta książka... 12 1.2 Historia badań nad mową i językiem... 12 1.3 Obecne główne trendy badań... 16 1.4 Opis zawartości rozdziałów... 18 2 Wyzwania i możliwe
Bardziej szczegółowoAlgorytmy detekcji częstotliwości podstawowej
Algorytmy detekcji częstotliwości podstawowej Plan Definicja częstotliwości podstawowej Wybór ramki sygnału do analizy Błędy oktawowe i dokładnej estymacji Metody detekcji częstotliwości podstawowej czasowe
Bardziej szczegółowoAnaliza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy.
Analiza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy. P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Splot Jedna z najważniejszych własności transformaty Fouriera jest to, że transformata
Bardziej szczegółowoCyfrowe Przetwarzanie Obrazów i Sygnałów
Cyfrowe Przetwarzanie Obrazów i Sygnałów Laboratorium EX3 Globalne transformacje obrazów Joanna Ratajczak, Wrocław, 2018 1 Cel i zakres ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z własnościami globalnych
Bardziej szczegółowoMetody analizy zapisu EEG. Piotr Walerjan
Metody analizy zapisu EEG Piotr Walerjan Metody automatyczne i semiautomatyczne w EEG automatyczna detekcja (i zliczanie) zdarzeń wykrywanie wyładowań, napadów tworzenie hipnogramów analizy widmowe, wykresy
Bardziej szczegółowoLaboratorium Przetwarzania Sygnałów Biomedycznych
Laboratorium Przetwarzania Sygnałów Biomedycznych Ćwiczenie 1 Wydobywanie sygnałów z szumu z wykorzystaniem uśredniania Opracowali: - prof. nzw. dr hab. inż. Krzysztof Kałużyński - mgr inż. Tomasz Kubik
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L
Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera 1. Podstawowe właściwości przekształcenia
Bardziej szczegółowoPrzetwarzanie sygnałów
Spis treści Przetwarzanie sygnałów Ćwiczenie 3 Właściwości przekształcenia Fouriera 1 Podstawowe właściwości przekształcenia Fouriera 1 1.1 Kompresja i ekspansja sygnału................... 2 1.2 Właściwości
Bardziej szczegółowoTeoria Sygnałów. Inżynieria Obliczeniowa II rok 2018/19. Wykład 10. ( t) Wykorzystanie transformacji Fouriera w analizie korelacyjnej
Teoria Synałów Inżynieria Obliczeniowa II rok 208/9 Wykład 0 Wykorzystanie transformacji Fouriera w analizie korelacyjnej Na początek krótkie przypomnienie podstawowych definicji: Funkcja autokorelacji
Bardziej szczegółowo7. Szybka transformata Fouriera fft
7. Szybka transformata Fouriera fft Dane pomiarowe sygnałów napięciowych i prądowych często obarczone są dużym błędem, wynikającym z istnienia tak zwanego szumu. Jedną z metod wspomagających analizę sygnałów
Bardziej szczegółowoSpis treści. Metody nieparametryczne. Transformacja Fouriera
Spis treści 1 Metody nieparametryczne 1.1 Transformacja Fouriera 1.2 Bliżej życia 1.3 Splot 2 Transformacja Z 3 Filtry 4 Metody parametryczne 5 Analiza danych wielokanałowych 5.1 Koherencje 5.2 Związki
Bardziej szczegółowoCyfrowe Przetwarzanie Obrazów i Sygnałów
Cyfrowe Przetwarzanie Obrazów i Sygnałów Laboratorium EX Lokalne transformacje obrazów Joanna Ratajczak, Wrocław, 28 Cel i zakres ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z własnościami lokalnych
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA OPOLSKA
POLITECHNIKA OPOLSKA KATEDRA MECHANIKI I PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN MECHATRONIKA Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych Analiza sygnałów czasowych Opracował: dr inż. Roland Pawliczek Opole 2016 1 2 1. Cel
Bardziej szczegółowoFFT i dyskretny splot. Aplikacje w DSP
i dyskretny splot. Aplikacje w DSP Marcin Jenczmyk m.jenczmyk@knm.katowice.pl Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii 10 maja 2014 M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 1 / 17 Transformata
Bardziej szczegółowoAnaliza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy.
Analiza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy. P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2006/07 Splot Jedna z najważniejszych własności transformaty Fouriera jest to, że transformata
Bardziej szczegółowoPrzetwarzanie sygnałów biomedycznych
Przetwarzanie sygnałów biomedycznych dr hab. inż. Krzysztof Kałużyński, prof. PW Człowiek- najlepsza inwestycja Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2018 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny jeżeli jego odpowiedź na wymuszenie (zakłócenie)
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoDYSKRETNE PRZEKSZTAŁCENIE FOURIERA C.D.
CPS 6 DYSKRETE PRZEKSZTAŁCEIE FOURIERA C.D. Twierdzenie o przesunięciu Istnieje ważna właściwość DFT, znana jako twierdzenie o przesunięciu. Mówi ono, że: Przesunięcie w czasie okresowego ciągu wejściowego
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowoCHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE
CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie
Bardziej szczegółowoLaboratorium Przetwarzania Sygnałów Biomedycznych
Laboratorium Przetwarzania Sygnałów Biomedycznych Ćwiczenie 2 Analiza sygnału EKG przy użyciu transformacji falkowej Opracowali: - prof. nzw. dr hab. inż. Krzysztof Kałużyński - inż. Tomasz Kubik Politechnika
Bardziej szczegółowoModel autoregresyjny stochastycznego szeregu czasowego
Pracownia EEG / Widmowa analiza parametryczna Spis treści 1 Model autoregresyjny stochastycznego szeregu czasowego 1.1 Wstęp 1.2 Parametryczna analiza widmowa 1.3 Wybór rzędu modelu 1.4 Sygnały wielokanałowe
Bardziej szczegółowoTransformata Fouriera i analiza spektralna
Transformata Fouriera i analiza spektralna Z czego składają się sygnały? Sygnały jednowymiarowe, częstotliwość Liczby zespolone Transformata Fouriera Szybka Transformata Fouriera (FFT) FFT w 2D Przykłady
Bardziej szczegółowoWprowadzenie. Spis treści. Analiza_sygnałów_-_ćwiczenia/Filtry
Analiza_sygnałów_-_ćwiczenia/Filtry Spis treści 1 Wprowadzenie 2 Filtry cyfrowe: powtórka z wykładu 2.1 Działanie filtra w dziedzinie czasu 2.2 Nazewnictwo 2.3 Przejście do dziedziny częstości 2.3.1 Działanie
Bardziej szczegółowoAutomatyczne rozpoznawanie mowy - wybrane zagadnienia / Ryszard Makowski. Wrocław, Spis treści
Automatyczne rozpoznawanie mowy - wybrane zagadnienia / Ryszard Makowski. Wrocław, 2011 Spis treści Przedmowa 11 Rozdział 1. WPROWADZENIE 13 1.1. Czym jest automatyczne rozpoznawanie mowy 13 1.2. Poziomy
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera
Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera 1. Podstawowe właściwości przekształcenia
Bardziej szczegółowoSposoby opisu i modelowania zakłóceń kanałowych
INSTYTUT TELEKOMUNIKACJI ZAKŁAD RADIOKOMUNIKACJI Instrukcja laboratoryjna z przedmiotu Podstawy Telekomunikacji Sposoby opisu i modelowania zakłóceń kanałowych Warszawa 2010r. 1. Cel ćwiczeń: Celem ćwiczeń
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność - definicja 1 O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy wytrącony ze stanu równowagi
Bardziej szczegółowoAnaliza porównawcza wybranych transformat w kontekście zobrazowania zaszumionego sygnału harmonicznego
Bi u l e t y n WAT Vo l. LXIV, Nr 3, 2015 Analiza porównawcza wybranych transformat w kontekście zobrazowania zaszumionego sygnału harmonicznego Artur Zacniewski Akademia Marynarki Wojennej w Gdyni, Wydział
Bardziej szczegółowoPo zapoznaniu się z funkcją liniową możemy przyjśd do badania funkcji kwadratowej.
Po zapoznaniu się z funkcją liniową możemy przyjśd do badania funkcji kwadratowej. Definicja 1 Jednomianem stopnia drugiego nazywamy funkcję postaci: i a 0. Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych
Bardziej szczegółowoANALIZA SEMANTYCZNA OBRAZU I DŹWIĘKU
ANALIZA SEMANTYCZNA OBRAZU I DŹWIĘKU obraz dr inż. Jacek Naruniec Analiza Składowych Niezależnych (ICA) Independent Component Analysis Dąży do wyznaczenia zmiennych niezależnych z obserwacji Problem opiera
Bardziej szczegółowoRozkłady dwóch zmiennych losowych
Rozkłady dwóch zmiennych losowych Uogólnienie pojęć na rozkład dwóch zmiennych Dystrybuanta i gęstość prawdopodobieństwa Rozkład brzegowy Prawdopodobieństwo warunkowe Wartości średnie i odchylenia standardowe
Bardziej szczegółowoCelem tych ćwiczeń jest zapoznanie się z klasyfikacją za pomocą sieci neuronowych.
Spis treści 1 Wstęp 1.1 Importy 2 Zbiór uczący 3 Klasyfikacja 3.1 Rysunki dodatkowe 4 Polecenia dodatkowe Wstęp Celem tych ćwiczeń jest zapoznanie się z klasyfikacją za pomocą sieci neuronowych. Importy
Bardziej szczegółowoSzukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)
Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości
Bardziej szczegółowoCyfrowe przetwarzanie sygnałów. Wykład 10. Transformata cosinusowa. Falki. Transformata falkowa. dr inż. Robert Kazała
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Wykład 10 Transformata cosinusowa. Falki. Transformata falkowa. dr inż. Robert Kazała 1 Transformata cosinusowa Dyskretna transformacja kosinusowa, (DCT ang. discrete cosine
Bardziej szczegółowoZmiany fazy/okresu oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego.
Strona 1 z 27 Zmiany fazy/okresu oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego. Alicja Rzeszótko Wiesław Kosek Waldemar Popiński Seminarium Sekcji Dynamiki Ziemi Komitetu Geodezji PAN
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 12/13. Komputerowy hologram Fouriera. Wprowadzenie teoretyczne
Ćwiczenie 12/13 Komputerowy hologram Fouriera. Wprowadzenie teoretyczne W klasycznej holografii w wyniku interferencji dwóch wiązek: wiązki światła zmodyfikowanej przez pewien przedmiot i spójnej z nią
Bardziej szczegółowoTransformacje i funkcje statystyczne
Generacja okien: win = window(@fwin,n); Generacja okien gui: wintool; Rodzaje niektórych okien: @bartlett - Bartletta. @blackman - Blackmana. @chebwin - Czebyszewa. @gausswin - gausowskie. @hamming - Hamminga.
Bardziej szczegółowoGenerowanie sygnałów na DSP
Zastosowania Procesorów Sygnałowych dr inż. Grzegorz Szwoch greg@multimed.org p. 732 - Katedra Systemów Multimedialnych Generowanie sygnałów na DSP Wstęp Dziś w programie: generowanie sygnałów za pomocą
Bardziej szczegółowoWykład VI Dalekie pole
Wykład VI Dalekie pole Schemat przypomnienie Musimy znać rozkład fali padającej u pad (x,y) w płaszczyźnie układu optycznego Musimy znać funkcję transmitancji układu optycznego t(x,y) Określamy falę właśnie
Bardziej szczegółowoMETODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Jednym z zastosowań metod numerycznych jest wyznaczenie pierwiastka lub pierwiastków równania nieliniowego. W tym celu stosuje się szereg metod obliczeniowych np:
Bardziej szczegółowoPodstawy Przetwarzania Sygnałów
Adam Szulc 188250 grupa: pon TN 17:05 Podstawy Przetwarzania Sygnałów Sprawozdanie 6: Filtracja sygnałów. Filtry FIT o skończonej odpowiedzi impulsowej. 1. Cel ćwiczenia. 1) Przeprowadzenie filtracji trzech
Bardziej szczegółowoZastosowanie falek w przetwarzaniu obrazów
Informatyka, S2 sem. Letni, 2013/2014, wykład#1 Zastosowanie falek w przetwarzaniu obrazów dr inż. Paweł Forczmański Katedra Systemów Multimedialnych, Wydział Informatyki ZUT 1 / 61 Alfréd Haar Alfréd
Bardziej szczegółowoSzereg i transformata Fouriera
Analiza danych środowiskowych III rok OŚ Wykład 3 Andrzej Leśniak KGIS, GGiOŚ AGH Szereg i transformata Fouriera Cel wykładu: Wykrywanie i analiza okresowości w szeregach czasowych Przepływ wody w rzece
Bardziej szczegółowoWykład 2. Transformata Fouriera
Wykład 2. Transformata Fouriera Transformata Fouriera jest podstawowym narzędziem analizy harmonicznej i teorii analizy i przetwarzania sygnału. Z punktu widzenia teorii matematycznej transformata Fouriera
Bardziej szczegółowoKADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe
Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji
Bardziej szczegółowoDiagnostyka obrazowa
Diagnostyka obrazowa Ćwiczenie szóste Transformacje obrazu w dziedzinie częstotliwości 1. Cel ćwiczenia Ćwiczenie ma na celu zapoznanie uczestników kursu Diagnostyka obrazowa z podstawowymi przekształceniami
Bardziej szczegółowoLaboratorium Przetwarzania Sygnałów. Ćwiczenie 2. Analiza widmowa
PTS laboratorium Laboratorium Przetwarzania Sygnałów Ćwiczenie 2 Analiza widmowa Opracowali: - prof. dr hab. inż. Krzysztof Kałużyński - dr inż. Beata Leśniak-Plewińska - dr inż. Jakub Żmigrodzki Zakład
Bardziej szczegółowoAkwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych
Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011 Czasowo-częstotliwościowa analiza sygnałów Metody analizy sygnału Do tej pory - analiza sygnału jako funkcji
Bardziej szczegółowoTemat ćwiczenia. Analiza częstotliwościowa
POLIECHNIKA ŚLĄSKA W YDZIAŁ RANSPORU emat ćwiczenia Analiza częstotliwościowa Analiza częstotliwościowa sygnałów. Wprowadzenie Analizę częstotliwościową stosuje się powszechnie w wielu dziedzinach techniki.
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Bardziej szczegółowoZad. 3: Układ równań liniowych
1 Cel ćwiczenia Zad. 3: Układ równań liniowych Wykształcenie umiejętności modelowania kluczowych dla danego problemu pojęć. Definiowanie właściwego interfejsu klasy. Zwrócenie uwagi na dobór odpowiednich
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy układ ten wytrącony ze stanu równowagi
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM PODSTAW TELEKOMUNIKACJI
WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA im. Jarosława Dąbrowskiego w Warszawie Wydział Elektroniki LABORATORIUM PODSTAW TELEKOMUNIKACJI Grupa Podgrupa Data wykonania ćwiczenia Ćwiczenie prowadził... Skład podgrupy:
Bardziej szczegółowoĆwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.
Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny
Bardziej szczegółowoV. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE
V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora
Bardziej szczegółowoKomputerowa Analiza Danych Doświadczalnych
Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura
Bardziej szczegółowoSystemy i Sieci Telekomunikacyjne laboratorium. Modulacja amplitudy
Systemy i Sieci Telekomunikacyjne laboratorium Modulacja amplitudy 1. Cel ćwiczenia: Celem części podstawowej ćwiczenia jest zbudowanie w środowisku GnuRadio kompletnego, funkcjonalnego odbiornika AM.
Bardziej szczegółowoTeoria sygnałów Signal Theory. Elektrotechnika I stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)
. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 Teoria sygnałów Signal Theory A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW
Bardziej szczegółowoAkademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki
Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Przetwarzanie Sygnałów Studia Podyplomowe, Automatyka i Robotyka. Wstęp teoretyczny Zmienne losowe Zmienne losowe
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 11. Wprowadzenie teoretyczne
Ćwiczenie 11 Komputerowy hologram Fouriera. I Wstęp Wprowadzenie teoretyczne W klasycznej holografii w wyniku interferencji wiązki światła zmodyfikowanej przez pewien przedmiot i spójnej z nią wiązki odniesienia
Bardziej szczegółowoW języku C dostępne są trzy instrukcje, umożliwiające tworzenie pętli: for, while oraz do. for (w1;w2;w3) instrukcja
Pętle W języku C dostępne są trzy instrukcje, umożliwiające tworzenie pętli: for, while oraz do. Instrukcja for ma następującą postać: for (w1;w2;w3) instrukcja w1, w2, w3 są wyrażeniami Schemat blokowy
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE III ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW DYSKRETNYCH. ver.3
1 Zakład Elektrotechniki Teoretycznej ver.3 ĆWICZEIE III AALIZA WIDMOWA SYGAŁÓW DYSKRETYCH (00) Celem ćwiczenia jest przeprowadzenie analizy widmowej dyskretnych sygnałów okresowych przy zastosowaniu szybkiego
Bardziej szczegółowo