GRANIASTOSŁUPY. Graniastosłupy dzielimy na proste i pochyłe. W graniastosłupach prostych krawędzie są prostopadłe do podstaw, w pochyłych nie są.

Transkrypt

1 GRANIASTOSŁUPY Euklides ( p.n.e.) słynny grecki matematyk i fizyk. Jego najwybitniejsze dzieło Elementy składało się z trzynastu ksiąg, z czego trzy ostatnie księgi dotyczą geometrii przestrzennej: kątów w przestrzeni, objętości prostopadłościanów, graniastosłupów i ostrosłupów. Do XIX wieku było ono podstawowym podręcznikiem do nauki geometrii. Okres działalności naukowej tego wielkiego matematyka przypada prawdopodobnie na czasy panowania Ptolemeusza I. Ponoć Król ten miał jakoby zapytać Euklidesa, czy nie ma krótszego dostępu do geometrii niż przestudiowanie napisanych przez uczonego Elementów, na co ten odrzekł: W geometrii nie ma dróg królewskich. Graniastosłupy dzielimy na proste i pochyłe. W graniastosłupach prostych krawędzie są prostopadłe do podstaw, w pochyłych nie są. 207

2 1. Przypomnienie wiadomości o graniastosłupach Graniastosłup jest to taka bryła, której dwie podstawy są równoległymi wielokątami przystającymi, a ściany boczne są równoległobokami. Krawędzie boczne graniastosłupa mają tę samą długość i są równoległe. Wysokością graniastosłupa jest każdy odcinek prostopadły do obu podstaw zawarty między tymi podstawami. Przekątna graniastosłupa jest to odcinek łączący dwa wierzchołki nieleżące na jednej ścianie (np.: BD 1 ). 208

3 Zadanie 1 graniastosłupy Nazwij przedstawione na poniższym rysunku graniastosłupy i zaznacz ich wysokości. a) b) c) a) a) a) b) b) b) Rozwiązanie Graniastosłup prosty o podstawie czworokątnej (jego podstawą jest czworokąt, krawędzie boczne są prostopadłe do obu podstaw, wysokość graniastosłupa jest równa długości krawędzi bocznej). Graniastosłup prosty o podstawie trójkątnej (jego podstawą jest trójkąt, krawędzie boczne są prostopadłe do obu podstaw, wysokość graniastosłupa jest równa długości krawędzi bocznej). c) c) c) Graniastosłup pochyły o podstawie czworokątnej (jego krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstaw, wysokość graniastosłupa jest krótsza od długości krawędzi bocznej). 209

4 Zadanie 2 Narysuj graniastosłup prosty, który w podstawie ma: a) prostokąt, b) kwadrat. Jak nazywamy taki graniastosłup? Podaj jego własności. a) Rozwiązanie Graniastosłup prosty, który w podstawie ma prostokąt, nazywa się prostopadłościanem. Wszystkie ściany boczne prostopadłościanu są prostokątami. Przeciwległe ściany prostopadłościanu są przystające. b) Graniastosłup prosty, który w podstawie ma kwadrat, nazywa się graniastosłupem prawidłowym czworokątnym. Wszystkie ściany boczne tego graniastosłupa są prostokątami przystającymi. Nazwa graniastosłupa ściśle wiążę się z jego podstawą. W zależności od tego, jaki wielokąt jest w podstawie, graniastosłup nazywamy odpowiednio trójkątnym, czworokątnym, pięciokątnym itd. 210

5 1.1. Przerysuj graniastosłupy i pod każdym z nich napisz jego nazwę Wymień 3 przedmioty codziennego użytku, które mają kształt graniastosłupów Ile ścian, ile krawędzi i ile wierzchołków ma graniastosłup: a) trójkątny, b) czworokątny, c) sześciokątny? 1.4. Jak nazywa się graniastosłup, którego wszystkie ściany są prostokątami? 1.5. Jak nazywa się graniastosłup, którego: a) wysokość jest równa długości krawędzi bocznej, b) wysokość jest krótsza od długości krawędzi bocznej? 1.6. Narysuj siatkę sześcianu, jeżeli wiesz, że suma długości jego wszystkich krawędzi jest równa 48 cm Narysuj siatkę graniastosłupa, który w podstawie ma trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 3 cm i 4 cm, a wysokość graniastosłupa jest równa 5 cm W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym obwód podstawy jest równy 24 cm, a krawędź podstawy jest dwa razy krótsza od krawędzi bocznej. Oblicz długość krawędzi bocznej tego graniastosłupa. 211

6 1.9. Narysuj w naturalnej wielkości zaznaczony przekrój prostopadłościanu, którego wymiary podano na poniższym rysunku Narysuj graniastosłup prosty, który w podstawie ma równoległobok i zaznacz w nim czworokąt, który jest przekrojem przechodzącym przez przeciwległe krawędzie jego podstaw. Na jakie dwie bryły podzielony został ten graniastosłup? Jakie może mieć wymiary graniastosłup prawidłowy trójkątny, jeżeli długości jego wszystkich krawędzi wyrażają się liczbami naturalnymi, a ich suma jest równa 36 cm? Podaj wszystkie możliwości. Zadanie Obliczanie pól powierzchni graniastosłupów Narysuj w skali 1 : 2 siatkę graniastosłupa trójkątnego, który w podstawie ma trójkąt równoramienny o bokach 6 cm, 5 cm i 5 cm, a wysokość tej bryły jest równa 8 cm. Zmierz wysokość podstawy i oblicz: a) pole podstawy, b) pole powierzchni bocznej, c) pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

7 Rysujemy siatkę w skali 1 : 2. Rozwiązanie a) Obliczamy pole podstawy: rysujemy podstawę graniastosłupa w naturalnej wielkości i mierzymy jej wysokość. Trójkąt, którego długości boków są kolejnymi liczbami naturalnymi (3, 4, 5) jest trójkątem prostokątnym, zwanym trójkątem egipskim. Był on używany przez Egipcjan do wyznaczania kąta prostego. W słynnej piramidzie Cheopsa w Gizie nieopodal Kairu, znajduje się komnata królewska o wymiarach: 3, 4, P P p p 1 = = 12 cm 213

8 b) Obliczamy pole powierzchni bocznej graniastosłupa: P b P b P b = 8 ( ) = 816 = 128 cm 2 c) Obliczamy pole powierzchni całkowitej graniastosłupa: Pc = 2Pp + Pb Pc = P = 152 cm c Odp.: Pole podstawy jest równe 12 cm 2, pole powierzchni bocznej 128 cm 2, pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 152 cm 2. Zadanie 2 Narysuj siatkę graniastosłupa prostego przedstawionego na poniższym rysunku, którego podstawą jest trapez równoramienny. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. 214

9 Rozwiązanie Rysujemy siatkę tego graniastosłupa. a) Obliczamy pole podstawy (trapezu) 1 P p = ( + ) = cm b) Obliczamy pole powierzchni bocznej P 5 ( 4 1 2, 5 2, 5) b P 510 b P 50 cm b 2 c) Obliczamy pole powierzchni całkowitej: P 2P P c p b P cm 2 c Odp.: Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 60 cm

10 Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jest równe sumie pól dwóch jego podstaw i pola powierzchni bocznej. P c = 2P p + P b 2.1. Oblicz pole powierzchni bocznej i pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość 3 cm, a wysokość bryły jest równa 7 cm Oblicz pole powierzchni całkowitej sześcianu, jeżeli wiesz, że suma długości jego wszystkich krawędzi jest równa 60 cm Oblicz, jaką powierzchnię boczną ma plastikowe pudełko, którego podstawą jest prostokąt o wymiarach 12 cm i 8 cm, a wysokość pudełka jest równa 9 cm Oblicz wysokość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy równej 3 cm, jeżeli jego pole powierzchni bocznej jest równe 144 cm Podaj wymiary graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, którego powierzchnia całkowita jest równa 256 cm 2, a pole powierzchni dwóch jego podstaw jest równe polu jego powierzchni bocznej Ile metrów kwadratowych szkła zużyto na akwarium w kształcie prostopadłościanu o podstawie 1,5 m 0,8 m i wysokości 60 cm? 2.7. Wieża w kształcie graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma wysokość 12 m. Oblicz pole powierzchni bocznej tej wieży, jeżeli obwód jej podstawy jest o 6 m dłuższy od wysokości wieży Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa mającego w podstawie romb jest równe 208 cm 2. Oblicz wysokość tego graniastosłupa, jeżeli bok rombu ma 0,5 dm, a przekątne rombu mają długość 0,8 dm i 0,6 dm. 216

11 2.9. Budowla składa się z dwóch graniastosłupów: prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy równej 4 m i prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy równej 4 m złączonych jedną ścianą boczną. Oblicz pole powierzchni bocznej tej budowli, jeżeli jej wysokość ma 9 m (patrz rysunek) W prostopadłościennej wnęce łazienki wysokości 3 m i podstawie będącej kwadratem o boku 90 cm zaplanowano kabinę prysznicową. Na trzech ścianach tej wnęki ułożono glazurę. Oblicz, jaką powierzchnię pokryto glazurą Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 336 cm 2. Oblicz wysokość tego graniastosłupa, jeżeli pole powierzchni bocznej jest równe 2,64 dm Podstawą graniastosłupa prostego o wysokości H = 1 dm jest trójkąt ABC, w którym AC = BC i AB = 8 cm. Oblicz długość krawędzi AC, jeśli pole powierzchni bocznej graniastosłupa jest równe mm Drewniany klocek w kształcie prostopadłościanu rozcięto na dwa graniastosłupy (patrz rysunek poniżej). Oblicz pole powierzchni całkowitej każdego z tych graniastosłupów. 217

12 3. Obliczanie objętości graniastosłupów Zadanie 1 Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy równej 6 cm i wysokości 10 cm. Rozwiązanie V = P p H V = V = 360 cm 3 Odp.: Objętość tego graniastosłupa jest równa 360 cm 3. Zadanie 2 Oblicz objętość graniastosłupa, który w podstawie ma trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 3 cm i 4 cm, a wysokość graniastosłupa jest dwa razy dłuższa od dłuższej przyprostokątnej. Rozwiązanie V = P p H 1 P p P p = 4 3 P 2 p = 6 cm 2 H = 2 4 = 8 cm V = 6 8 V = 48 cm 3 Odp.: Objętość tego graniastosłupa jest równa 48 cm 3. Objętość graniastosłupa jest równa iloczynowi pola jego podstawy i wysokości. V = P p H 218

13 W zadaniach praktycznych na obliczanie objętości brył musimy umieć zamieniać i przeliczać jednostki objętości. Poniższe tabele ułatwią wykonywanie takich przeliczeń. Jednostki długości Jednostki objętości Zapis potęgowy l m = 10 dm 1 m 3 = ( ) dm 3 = 1000 dm 3 l m 3 = 10 3 dm 3 1 m = 100 cm 1 m 3 = ( ) cm 3 = cm 3 l m 3 = 10 6 cm 3 l m = 1000 mm 1 m3 = ( ) mm 3 = = mm 3 1 m 3 = 10 9 mm 3 l dm = 10 cm 1 dm 3 = ( ) cm 3 = cm 3 l dm 3 = 10 3 cm 3 l dm = 100 mm 1 dm 3 = ( ) mm 3 = mm 3 1 dm 3 = 10 6 mm 3 1 cm = 10 mm 1 cm 3 = ( ) mm 3 = 1000 mm 3 l cm 3 = 10 3 mm 3 1 mm = 0,1 cm 1 mm 3 = (0,1 0,1 0,1) cm 3 = 0,001 cm 3 1 mm 3 = (0,1) 3 cm 3 1 mm = 0,01 dm 1 mm3 = (0,01 0,01 0,01) dm 3 = = 0, dm 3 1 mm 3 = (0,1) 6 dm 3 1 mm = 0,001 m 1 mm3 = (0,001 0,001 0,001) m 3 = = 0, m 3 1 mm 3 = (0,1) 9 m 3 l cm = 0,l dm 1 cm 3 = (0,1 0,1 0,1) dm 3 = 0,001 dm 3 1 cm 3 = (0,1) 3 dm 3 1 cm = 0,01 m 1 cm 3 = (0,01 0,01 0,01) m 3 = 0, m 3 1 cm 3 = (0,1) 6 m 3 l dm = 0,l m 1 dm 3 = (0,1 0,1 0,1) m 3 = 0,001 m 3 1 dm 3 = (0,1) 3 m 3 1 m = 0,001 km 1 m3 = (0,001 0,001 0,001) km 3 = = 0, km 3 1 m 3 = (0,1) 9 km 3 Jednostki pojemności 1 ml (mililitr) = 1 cm (litr) = 1 dm 3 1 hl (hektolitr) = = 1000 ml 1 ml = 0, = 0, 01 hl 219

14 Zadanie 3 Do postawienia ogrodzenia użyto 25 metalowych słupków o przekroju prostokątnym 60 mm 40 mm i długości 2,4 m. Oblicz, ile decymetrów sześciennych metalu zużyto na te słupki. Obliczenia w cm 60 mm = 6 cm, 40 mm = 4 cm 2,4 m = 240 cm V = = 5760 cm 3 Rozwiązanie Obliczamy objętość jednego słupka Obliczamy objętość wszystkich słupków cm 3 = cm 3 1 cm 3 = 0,001 dm cm 3 = ( ,001) dm 3 = = 144 dm 3 Odp. Na te słupki zużyto 144 dm 3 metalu. Obliczenia w dm 60 mm = 0,6 dm, 40 mm = 0,4 dm, 2,4 m = 24 dm V = 0,6 0,4 24 = 5,76 dm ,76 dm 3 = 144 dm 3 Zadanie 4 Podstawą graniastosłupa pochyłego o wysokości H = 0,6 dm jest równoległobok, w którym jeden bok jest równy 9 cm, a wysokość opuszczona na ten bok stanowi 2 jego długości. Oblicz objętość tego graniastosłupa. 3 Rozwiązanie 220

15 Obliczamy pole podstawy: P p = = 9 6 = 54 cm2 3 Obliczamy objętość: V = P p H H = 0,6 dm = 6 cm V = 54 6 = 324 cm 3. Odp. Objętość tego graniastosłupa jest równa 324 cm Wyraź: a) w centymetrach sześciennych: 30 dm 3, 5 mm 3, 4 m 3 ; b) w decymetrach sześciennych: 25 m 3, 2500 cm 3, 1 km 3 ; c) w metrach sześciennych: 200 dm 3, 4 km 3, 2000 cm Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o wysokości H = 8 cm, którego obwód podstawy jest równy 24 cm Oblicz objętości graniastosłupów o podstawach podanych na poniższych rysunkach, wiedząc, że wysokość każdego z nich jest równa 12 cm. Uporządkuj te objętości rosnąco Oblicz objętość sześcianu, którego pole powierzchni całkowitej jest równe 294 cm

16 3.5. Objętość sześcianu jest równa 1000 cm 3. Oblicz pole powierzchni bocznej tej bryły Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość prostopadłościanu o krawędziach 5 cm, 8 cm i 10 cm Oblicz, ile metrów sześciennych ziemi wybrano z prostopadłościennego wykopu długości 1 km, szerokości 6 m i głębokości 2 m Na budowę dostarczono cegły ułożone na paletach w prostopadłościennych stosach. Oblicz objętość stosu na jednej palecie, jeżeli cegła ma wymiary mm, a na palecie jest 15 warstw po 60 cegieł w każdej. Wynik podaj w metrach sześciennych Oblicz, ile litrów wody można wlać do prostopadłościennego akwarium o wymiarach 1,2 m 80 cm 60 cm Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, którego pole powierzchni bocznej jest równe 9,6 dm 2, a jego wysokość 20 cm Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 312 cm 2, a pole powierzchni bocznej jest równe mm 2. Oblicz objętość tego graniastosłupa Zapisz za pomocą wyrażeń objętość każdego z przedstawionych na rysunkach graniastosłupów. a) graniastosłup prosty, którego podstawą jest równoległobok; 222

17 b) graniastosłup prosty, którego podstawą jest romb; graniastosłupy c) graniastosłup prosty, którego podstawą jest trójkąt Jeden centymetr sześcienny miedzi waży 8,9 g. Oblicz w kilogramach masę miedzianej sztabki, która w podstawie ma trapez, przyjmując wymiary podane na rysunku Jaką objętość ma buda psa przedstawiona na rysunku? 223

18 3.15. Basen w kształcie prostopadłościanu ma 25 m długości i 6 m szerokości. Ile litrów wody trzeba wlać do tego basenu, aby powierzchnia wody znajdowała się na 3 jego wysokości, jeżeli wiesz, 4 że powierzchnia boczna ścian tego basenu jest równa 148,8 m 2? Jaką kubaturę ma lokal o wysokości 2,8 m, którego podstawa ma kształt wielokąta o wymiarach podanych na poniższym rysunku? Uwaga. Pojęcie kubatura należy rozumieć jako pojemność lub objętość obiektu Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej bryły o wymiarach podanych na rysunku. 224