CZĘŚĆ PIERWSZA O BOGU

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "CZĘŚĆ PIERWSZA O BOGU"

Transkrypt

1 Bez tytułu 1 Strona 1 z 22 Baruch SPINOZA ETYKA W PORZĄDKU GEOMETRYCZNYM DOWIEDZIONA przełożył Ignacy Myślicki, na nowo opracował Leszek Kołakowski CZĘŚĆ PIERWSZA O BOGU DEFINICJE I. Przez przyczynę samego siebie rozumiemy to, czego istota obejmuje istnienie, czyli to, czego naturę pojąć można tylko jako istniejącą. II. Skończoną w swoim rodzaju nazywa się rzecz, która może być ograniczona przez inną tej samej natury. Ciało na przykład nazywa się skończonym, zawsze bowiem pojmujemy inne większe [od niego]. Podobnie jedna myśl jest ograniczana przez inną. Natomiast ciało nie jest ograniczone przez myśl ani myśl - przez ciało. III. Przez substancję rozumiem to, co istnieje samo w sobie i pojmowane jest samo przez siebie, czyli to, czego pojęcie nie wymaga pojęcia innej rzeczy, za pomocą którego musiałoby być utworzone. IV. Przez atrybut rozumiem to, co rozum poznaje z substancji jako stanowiące jej istotę. V. Przez modus rozumiem pobudzenia substancji, czyli to, co jest w czymś innym, przez co też jest pojmowane. VI. Przez Boga rozumiem byt nieskończony bezwzględnie, to znaczy substancję, składającą się z nieskończenie wielu atrybutów, z których każdy wyraża istotę wieczną i nieskończoną. WYJAŚNIENIE. Mówię: nieskończony "bezwzględnie", a nie "w swoim rodzaju", temu bowiem, co jest tylko w swoim rodzaju nieskończone, możemy odmówić nieskończenie wielu atrybutów; do istoty zaś tego, co jest nieskończone bezwzględnie, należy wszystko, cokolwiek wyraża istotę i co nie obejmuje żadnego zaprzeczenia. VII. Wolną nazywa się rzecz, która istnieje jedynie z konieczności swojej natury i sama siebie tylko determinuje do działania; konieczną zaś lub raczej przymuszoną taka, którą inna determinuje do istnienia i oddziaływania w sposób ściśle określony. VIII. Przez wieczność rozumiem samo istnienie, o ile się je pojmuje jako wynikające w sposób konieczny z samej definicji rzeczy wiecznej. WYJAŚNIENIE. Takie bowiem istnienie zostaje pojęte zarówno jako prawda wieczna, jak też - jako istota rzeczy; dlatego też nie można go wyjaśnić przez trwanie ani czas, choćby to trwanie pojęte było jako nie mające początku ani końca. AKSJOMATY I. Wszystko co jest, albo jest w sobie, albo w czymś innym.

2 Bez tytułu 1 II. To, co nie może być pojęte przez coś innego, winno być pojęte samo przez siebie. III. Z danej określonej przyczyny w sposób konieczny wynika skutek, i odwrotnie, jeśli nie ma żadnej określonej przyczyny niemożliwe jest, aby nastąpił skutek. IV. Znajomość skutku zależy od znajomości przyczyny i obejmuje ją w sobie. V. Rzeczy, które nie mają po społu nic wspólnego, nie mogą też jedna przez drugą być zrozumiane, czyli pojęcie jednej z nich nie obejmuje pojęcia drugiej. Idea prawdziwa musi zgadzać się ze swoim przedmiotem. VII. Istota tego, co daje się pojąć jako nieistniejące, nie obejmuje istnienia. TWIERDZENIE I. Substancja z natury poprzedza swoje pobudzenia. DOWÓD. Widoczne jest to z definicji 3 i 5. TWIERDZENIE II. Dwie substancje, mające odmienne atrybuty, nie mają po społu nic wspólnego. DOWÓD. Widoczne jest to również z definicji 3. Każda bowiem substancja musi być w sobie i przez siebie musi być pojmowana, czyli pojęcie jednej nie obejmuje pojęcia drugiej. TWIERDZENIE III. Jeśli rzeczy nie mają między sobą nic wspólnego, jedna z nich nie może być przyczyną drugiej. DOWÓD. Jeżeli nic wspólnego po społu nie mają a więc (na mocy aks. 5) również nie mogą być jedna przez drugą rozumiane, to (na mocy aks. 4) jedna nie może być przyczyną drugiej. C.b.d.o. TWIERDZENIE IV. Dwie lub więcej rzeczy różnych różni się od siebie albo odmiennością atrybutów substancji, albo odmiennością ich pobudzeń. DOWÓD. Wszystko, co jest, albo jest w sobie, albo w czymś innym (na mocy aks. 1), tzn. (na mocy def. 3 i 5) poza rozumem nie ma nic oprócz substancji i ich pobudzeń. Poza rozumem nie ma więc nic, przez co rzeczy mogłyby się różnić między sobą prócz substancji, albo, co znaczy to samo (na mocy def. 4), ich atrybutów oraz pobudzeń. C.b.d.o. TWIERDZENIE V. W przyrodzie (in rerum natura) nie może być dwóch lub więcej substancji o tej samej naturze, czyli o tym samym atrybucie. DOWÓD. Gdyby było więcej różnych substancji musiałyby się one różnić od siebie albo odmiennością atrybutów, albo odmiennością pobudzeń (na mocy tw. poprz.). Gdyby różniły się tylko odmiennością atrybutów, należałoby uznać, że jest tylko jedna substancja o tym samym atrybucie. Gdyby natomiast różniły się odmiennością pobudzeń, to, ponieważ substancja z natury poprzedza swoje pobudzenia (na mocy tw. 1), nie można - jeśli, pomijając pobudzenia, rozważać się ją będzie samą w sobie, tj. (na mocy def. 3 i aks. 6) prawdziwie - pojąć jej jako różnej od innej, tj. (na mocy tw. poprz.) nie może być więcej substancji, lecz tylko jedna. C.b.d.o. TWIERDZENIE VI. Jedna substancja nie może być wytworzona przez inna substancję. DOWÓD. W przyrodzie nie może być dwóch substancji o tym samym atrybucie (na mocy tw. poprz.), czyli (na mocy tw. 2) substancji, mających coś wspólnego po społu. Stąd (na

3 Bez tytułu 1 Strona 3 z 22 mocy tw. 3) jedna nie może być przyczyną drugiej, czyli jedna nie może być przez drugą wytworzona. C.b.d.o. DODATEK. Wynika stąd, że substancja nie może być wytworzona przez coś innego. W przyrodzie (in rerum natura) nie ma bowiem nic, prócz substancji i ich pobudzeń, jak widać z aks. l oraz def. 3 i 5. Ale substancja nie może być wytworzona przez substancję (na mocy tw. poprz.). Zatem w ogóle nie może ona być wytworzona przez coś innego. C.b.d.o. INNY DOWÓD. Łatwiej jeszcze dowodzi się tego na podstawie niedorzeczności twierdzenia sprzecznego. Gdyby mianowicie substancja mogła być wytworzona przez coś innego, wówczas znajomość jej musiałaby zależeć od znajomości jej przyczyny (na mocy aks. 4); wtedy zaś (na mocy def. 3) nie byłaby ona substancją. TWIERDZENIE VII. Do natury substancji należy istnienie. DOWÓD. Substancja nie może być wytworzona przez coś innego (na mocy dod. do tw. poprz.), jest przeto przyczyną samej siebie, tj. (na mocy def. 1) istota jej obejmuje w sposób konieczny istnienie, czyli istnienie należy do jej natury. J C.b.d.o. TWIERDZENIE VIII. Wszelka substancja jest z koniecznością nieskończona. DOWÓD. Substancja o jednym atrybucie istnieje jedna tylko (na mocy tw. 5), a do jej natury należy istnienie (na mocy tw. 7). Będzie przeto [wypływać] z jej natury, że istnieje albo jako skończona, albo jako nieskończona. Atoli jako skończona nie [może istnieć], bowiem wtedy (na mocy def. 2) musiałaby ją ograniczać inna substancja tejże natury, która także (na mocy tw. 7) musiałaby istnieć z koniecznością tak więc byłyby dwie substancje o tym samym atrybucie, co jest niedorzeczne (na mocy tw. 5). Istnieje więc jako nieskończona. C.b.d.o. PRZYPIS I. Skoro skończoność jest w rzeczywistości częściowym zaprzeczeniem, nieskończoność zaś bezwzględnym potwierdzeniem istnienia jakiejkolwiek natury, to z samego twierdzenia 7 wynika, że wszelka substancja musi być nieskończona. PRZYPIS II. Nie wątpię, że wszystkim, którzy sądzą o rzeczach w sposób mętny i nie przywykli poznawać rzeczy przez ich pierwsze przyczyny, trudno jest pojąć dowód twierdzenia 7; nic dziwnego, albowiem nie odróżniają oni odmian substancji od samych substancji, nie wiedzą też, w jaki sposób rzeczy się tworzą. Stąd pochodzi, że uroili sobie przypisywać substancjom początek, który dostrzegają w rzeczach przyrodzonych. Ci bowiem, którzy nie znają prawdziwych przyczyn rzeczy, wszystko gmatwają i wymyślają sobie - bez jakichkolwiek oporów duchowych - że drzewa mówią podobnie jak ludzie oraz [wyobrażają sobie], że ludzie rodzą się równie dobrze z kamieni jak z nasienia i że wszelkie formy przeobrażają się w dowolne inne. Podobnie i ci, co mieszają boską naturę z ludzką łatwo przypisują Bogu ludzkie afekty, w szczególności, dopóki przy tym nie wiedzą w jaki sposób afekty powstają w duszy. Gdyby zaś ludzie wniknęli w naturę substancji, nie mieliby najmniejszej wątpliwości co do prawdziwości twierdzenia 7; przeciwnie, twierdzenie to stałoby się dla wszystkich aksjomatem i zaliczono by je w poczet prawd powszechnie uznanych. Przez substancję bowiem rozumieliby to, co istnieje samo w sobie i pojmowane jest samo przez siebie, czyli to, czego znajomość nie wymaga znajomości innej rzeczy: przez odmiany zaś to, co jest w czymś innym i czego pojęcie wytwarza się przy pomocy pojęcia tej rzeczy, w której [te odmiany] istnieją. Dlatego też możemy mieć idee prawdziwe odmian nieistniejących: jakkolwiek bowiem nie istnieją one aktualnie poza rozumem, istota ich przecież tak jest zawarta w czymś innym, że przez nie samo mogą być pojęte. Natomiast poza rozumem prawdziwość substancji jest wyłącznie w nich samych, gdyż są one pojmowane same przez się. Gdyby więc ktoś

4 Bez tytułu 1 Strona 4 z 22 powiedział, że posiada jasną i wyraźną czyli prawdziwą ideę substancji, niemniej jednak wątpi, czy substancja taka istnieje, byłoby to zaprawdę to samo, jak gdyby powiadał, że posiada ideę prawdziwą niemniej jednak waha się, czy nie jest ona fałszywa (co jest oczywiste dla każdego, kto należycie uważa). Podobnie, gdyby ktoś utrzymywał, że substancja jest stwarzana, twierdziłby tym samym, że idea fałszywa stała się prawdziwą a nie sposób pomyśleć coś bardziej niedorzecznego. Trzeba tedy nieuchronnie przyznać, że istnienie substancji, podobnie jak jej istota, jest prawdą wieczną. Stąd w inny jeszcze sposób możemy wywnioskować, że jest tylko jedna jedyna substancja tej samej natury, okazanie zaś tego uważam za warte wysiłku. śeby zaś tego dokonać w porządku, należy zauważyć: I. że prawdziwa definicja jakiejkolwiek rzeczy nic nie obejmuje ani nic nie wyraża, prócz natury rzeczy definiowanej; wynika stąd II. że żadna definicja nie obejmuje ani nie wyraża zgoła jakiejkolwiek określonej liczby przedmiotów jednostkowych [hol: przez jednostkowe przedmioty trzeba rozumieć takie, które należą do jednego gatunku], nie wyraża bowiem nic innego, jak naturę rzeczy definiowanej. Na przykład definicja trójkąta nie wyraża nic innego jak prostą naturę trójkąta, nie zaś jakąś określoną liczbę trójkątów; III. należy nadmienić, że dla każdej rzeczy istniejącej musi być nieuchronnie dana jakaś określona przyczyna, dzięki której rzecz ta istnieje; IV. trzeba na koniec zauważyć, że przyczyna ta, dzięki której rzecz jakaś istnieje, albo zawierać się musi w samej naturze i definicji rzeczy istniejącej (mianowicie [w wypadku], gdy istnienie należy do jej natury), albo też musi być poza nią samą. Z tych założeń wynika, że jeśli w przyrodzie istnieje jakaś określona ilość przedmiotów jednostkowych, musi być nieuchronnie przyczyna, dlaczego istnieją te właśnie przedmioty jednostkowe i dlaczego nie więcej ani nie mniej. Jeśli np. w przyrodzie istnieje dwudziestu ludzi (dla większej przejrzystości zakładam, że istnieją oni jednocześnie i że przed nimi nie istnieli w przyrodzie inni), to nie wystarczy (aby mianowicie podać rację, dla której istnieje dwudziestu ludzi) wskazać ogólnie na przyczynę natury ludzkiej, ale trzeba będzie nadto ukazać przyczynę, dla której nie więcej ludzi istnieje ani nie mniej, jak dwudziestu; dla każdego bowiem człowieka z osobna (na mocy uwagi III) koniecznie musi być przyczyna, dlaczego on istnieje. Przyczyna zaś ta (na mocy uwag II i III) nie może zawierać się w samej naturze ludzkiej, do prawdziwej bowiem definicji człowieka nie wchodzi liczba dwadzieścia. Tak więc (na mocy uwagi IV) przyczyna, dla której istnieje tych dwudziestu ludzi, a zatem, dlaczego istnieje każdy z nich z osobna, przyczyna ta musi koniecznie znajdować się poza każdym z nich. Stąd zaś bezwzględnie należy wysnuć wniosek, że wszystko, co ma taką naturę iż może istnieć wiele przedmiotów jednostkowych tej natury, wszystko to musi koniecznie, by [te przedmioty jednostkowe] istniały, posiadać przyczynę zewnętrzną. Otóż, skoro do natury substancji należy istnienie (jak to zostało już okazane w niniejszym przypisie), definicja jej musi zawierać w sobie jej konieczne istnienie, a więc istnienie jej musi być wywiedzione z samej jej definicji. A z definicji jej (jak okazaliśmy już na podstawie uwagi II i III) nie może wynikać istnienie wielu substancji; wynika więc z niej nieuchronnie, że istnieje tylko jedna jedyna substancja o tej samej naturze, jak [właśnie] głosi twierdzenie. TWIERDZENIE IX. Im więcej jakakolwiek rzecz posiada rzeczywistości albo istnienia, tym więcej przysługuje jej atrybutów. DOWÓD. Widoczne jest to z definicji 4. TWIERDZENIE X. Każdy poszczególny atrybut jednej substancji winien być pojęty sam przez się. DOWÓD. Atrybut bowiem jest tym, co rozum poznaje z substancji jako stanowiące jej istotę (na mocy def. 4), a więc (na mocy def. 3) musi być pojęty sam przez się. C.b.d.o.

5 Bez tytułu 1 Strona 5 z 22 PRZYPIS. Okazuje się stąd, że choćby dwa atrybuty pojęte były jako istotnie różne, tzn. jeden [byłby pojmowany] bez pomocy drugiego, to nie możemy jednak z tego wnosić, że stanowią one dwa byty, czyli dwie różne substancje; należy to bowiem do natury substancji, że każdy poszczególny jej atrybut pojmowany jest sam przez się, gdyż wszystkie atrybuty, jakie posiada, były w niej zawsze jednocześnie i żaden z nich nie mógł być wytworzony przez inny, ale każdy wyraża rzeczywistość, czyli istnienie substancji. Dalekie jest przeto od niedorzeczności przypisywanie wielu atrybutów jednej substancji; nie ma nawet w przyrodzie nic jaśniejszego niż to, że każdy poszczególny byt winien być pojmowany z punktu widzenia, jakiegoś atrybutu, oraz że im więcej posiada rzeczywistości albo istnienia, tym więcej ma też atrybutów, które wyrażają zarówno konieczność, czyli wieczność, jak i nieskończoność. Stąd nie ma także nic jaśniejszego niż to, że byt bezwzględnie nieskończony musi zostać koniecznie zdefiniowany (jak powiedzieliśmy w def. 6) jako byt, składający się z nieskończenie wielu atrybutów, z których każdy wyraża określoną istotę, wieczną i nieskończoną. Gdyby zaś kto zapytał, na podstawie jakiego znamienia rozpoznać możemy różność substancji, niech przeczyta następne twierdzenia, które okazują że w przyrodzie istnieje tylko jedna jedyna substancja i że jest ona nieskończona bezwzględnie; daremne tedy byłoby poszukiwanie owego znamienia. TWIERDZENIE XI. Bóg, czyli substancja składająca się z nieskończenie wielu atrybutów, z których każdy wyraża istotę wieczną i nieskończoną, koniecznie istnieje. DOWÓD. Kto temu przeczy, niechaj pomyśli, jeśli to jest możliwe, że Bóg nie istnieje. W takim razie (na mocy aks. 7) istota jego nie obejmuje istnienia. Ale to jest (na mocy tw. 7) niedorzeczne. Bóg przeto istnieje koniecznie. C.b.d.o. INNY DOWÓD. Dla każdej rzeczy musi być podana przyczyna, czyli racja, zarówno dlaczego ona istnieje, jak też dlaczego nie istnieje. Jeśli np. istnieje trójkąt, musi być dana racja, czyli przyczyna, dlaczego istnieje; jeśli zaś nie istnieje, musi być także dana racja, czyli przyczyna, która stoi na przeszkodzie jego istnieniu, czyli istnienie jego obala. Ta zaś racja, czyli ta przyczyna, musi albo zawierać się w naturze tej rzeczy, albo [leżeć] poza nią. (Na przykład rację, dlaczego nie istnieje kwadratowe koło, ukazuje sama jego natura: wszakże [natura ta] zawiera sprzeczność. Natomiast przeciwnie to, dlaczego substancja istnieje, wynika także z samej jej natury: albowiem przecież natura jej (ob. tw. 7) obejmuje istnienie. Racja zaś, dlaczego istnieje koło lub trójkąt lub dlaczego nie istnieje, nie wynika z ich natury, lecz z porządku całej przyrody cielesnej; z niego bowiem musi wynikać albo, że trójkąt już [w tej chwili] z koniecznością istnieje, albo, że jest niemożliwe, żeby już [w tej chwili] istniał. Wszystko to jest samo przez się oczywiste. Wynika stąd, że z koniecznością istnieje to, dla czego nie ma racji żadnej ani przyczyny, która by przeszkadzała jego istnieniu. Jeśli tedy nie można podać racji żadnej ani przyczyny, która stoi na przeszkodzie istnieniu Boga lub istnienie to obala, to wnioskować stąd trzeba bezwarunkowo, że Bóg z koniecznością istnieje. Gdyby zaś istniała taka racja, czyli przyczyna, musiałaby ona być albo w samej naturze Boga, albo poza nią to znaczy w drugiej substancji o innej naturze. Gdyby bowiem była tej samej natury, już przez to przyznałoby się, że jest Bóg. Natomiast substancja o innej naturze [niż boska] nie mogłaby z Bogiem mieć nic wspólnego (na mocy tw. 2), a więc nie mogłaby jego istnienia ani ustanawiać, ani obalać. Skoro tedy racja, czyli przyczyna, która obalałaby boskie istnienie, nie może być poza boską naturą musi być ona koniecznie, o ile Bóg rzeczywiście nie istnieje, w jego własnej naturze, która wobec tego zawierałaby sprzeczność. Stwierdzenie zaś takie, odnoszące się do Bytu bezwzględnie nieskończonego i w najwyższym stopniu doskonałego, jest niedorzecznością ani w Bogu zatem, ani poza Bogiem nie ma żadnej przyczyny, czyli żadnej racji, która obalałaby jego istnienie; tak więc Bóg z koniecznością istnieje. C.b.d.o.

6 Bez tytułu 1 Strona 6 z 22 INNY DOWÓD. Móc nie istnieć jest niemocą przeciwnie zaś, móc istnieć jest mocą (jak się rozumie samo przez się). Jeśliby przeto tym, co teraz z koniecznością istnieje, były jedynie byty skończone, to byty skończone byłyby większej mocy, niż byt nieskończony bezwzględnie; to zaś jest (jak się rozumie samo przez się) niedorzecznością. Albo więc nic nie istnieje, albo też Byt bezwzględnie nieskończony z koniecznością istnieje. Wszelako my istniejemy albo w sobie samych, albo w czymś innym, co z koniecznością istnieje (ob. aks. 1 i tw. 7). Tak więc Byt nieskończony bezwzględnie, czyli (na mocy def. 6) Bóg, z koniecznością istnieje C.b.d.o. PRZYPIS. W tym ostatnim dowodzie pragnąłem istnienie Boga okazać a posteriori, aby dowód dał się łatwiej zrozumieć, nie zaś dlatego, iżby z tych samych przesłanek nie miało a priori wynikać istnienie Boga. Skoro bowiem móc istnieć jest mocą to stąd wynika, że natura jakiejkolwiek rzeczy ma sama z siebie tym więcej sił do istnienia, im więcej rzeczywistości jej przysługuje. Stąd też Byt nieskończony bezwzględnie, czyli Bóg, ma sam z siebie bezwzględnie nieskończoną moc istnienia i dlatego istnieje bezwzględnie. Może jednak wielu nie zdoła łatwo dojrzeć oczywistości tego dowodu, ponieważ przywykli rozważać te rzeczy, które powstają z przyczyn zewnętrznych; widzą przy tym, że te spośród nich, które szybko powstają czyli łatwo istnieją również łatwo giną sądzą nadto, że przeciwnie, te rzeczy trudniej powstają czyli nie tak łatwo dochodzą do istnienia, którym, wedle ich przekonania, więcej przysługuje. Dla wyzwolenia zaś ich z takich przesądów, nie potrzeba tu okazywać, na jakiej podstawie prawdziwe jest powiedzenie: "co szybko powstaje, szybko ginie", ani też, czy z punktu widzenia całości przyrody wszystko jest równie łatwe, czy też nie; ale wystarczy tylko zauważyć, że nie mówię tutaj o rzeczach, które powstają z przyczyn zewnętrznych, lecz jedynie o substancjach, które (na mocy tw. 6) nie mogą być wytworzone przez żadną przyczynę zewnętrzną. Rzeczy bowiem, które powstają z przyczyn zewnętrznych, niezależnie od tego, czy składają się z wielu części, czy z niewielu, wszelką doskonałość, czyli rzeczywistość, jaką mają zawdzięczają sile przyczyny zewnętrznej, istnienie ich ma tedy źródło wyłącznie w doskonałości przyczyny zewnętrznej, nie zaś ich własnej. Natomiast substancja nic z doskonałości, jaką posiada, nie zawdzięcza jakiejkolwiek przyczynie zewnętrznej; dlatego również jej istnienie wynikać musi wyłącznie z jej własnej natury, która nie jest więc niczym innym, jak jej istotą. Doskonałość rzeczy nie obala przeto jej istnienia, lecz przeciwnie, utwierdza je; natomiast niedoskonałość właśnie je obala; stąd, co do istnienia żadnej rzeczy nie możemy mieć większej pewności, niż co do istnienia Bytu bezwzględnie nieskończonego, czyli doskonałego, tj. Boga. Skoro bowiem istota jego wyklucza wszelką niedoskonałość, obejmuje zaś doskonałość bezwzględną tym samym usuwa wszelki powód do powątpiewania w jego istnienie i daje co do niego pewność najwyższą. Sądzę, że będzie to jasne również dla czytelnika średnio uważnego. TWIERDZENIE XII. Nie może być pojęty prawdziwie żaden atrybut substancji, z którego wynikałoby, że substancja jest podziel na. DOWÓD. Części bowiem, na jakie dzieliłaby się tak pojęta substancja albo zachowają naturę substancji, albo nie. W pierwszym przypadku (na mocy tw. 8) każda część będzie musiała być nieskończona oraz będzie musiała (na mocy tw. 6) być przyczyną samej siebie i (na mocy tw. 5) składać się z odmiennego atrybutu; i tak z jednej substancji będzie mogło utworzyć się ich więcej, co (na mocy tw. 6) jest niedorzeczne. Nadto części (na mocy tw. 2) nie miałyby nic wspólnego ze swoją całością całość zaś (na mocy def. 4 i tw. 10) mogłaby bez swoich części i być, i dać się pojąć. A o niedorzeczności tego nikt nie będzie mógł wątpić. Natomiast przy drugim założeniu, mianowicie, że części nie zachowają natury substancji, to, ponieważ cała substancja byłaby podzielona na równe części, straciłaby naturę substancji i przestałaby istnieć (esse), co (na mocy tw. 7) jest niedorzeczne.

7 Bez tytułu 1 Strona 7 z 22 TWIERDZENIE XIII. Substancja bezwzględnie nieskończona jest niepodzielna. DOWÓD. Gdyby bowiem była podzielna, wówczas części, na które by się dzieliła albo zachowywałyby naturę substancji bezwzględnie nieskończonej, albo nie. W pierwszym przypadku będzie więc kilka substancji o tej samej naturze, co (na mocy tw. 5) jest niedorzeczne. Przy drugim założeniu (jak wyżej) substancja bezwzględnie nieskończona będzie mogła przestać istnieć, co (na mocy tw. 11) jest również niedorzeczne. DODATEK. Wynika stąd, że żadna substancja, a więc także żadna substancja cielesna, o ile jest substancją nie jest podzielna. PRZYPIS. śe substancja jest niepodzielna, prościej jeszcze daje się zrozumieć na podstawie tego chociażby, że natury substancji nie można pojąć inaczej, jak tylko jako nieskończoną i że przez część substancji nie można rozumieć nic innego, jak substancję skończoną co (na mocy tw. 8) zawiera oczywistą sprzeczność. TWIERDZENIE XIV. śadna substancja prócz Boga nie może ani istnieć, ani być pojęta. DOWÓD. Ponieważ Bóg jest bytem nieskończonym bezwzględnie, któremu (na mocy def. 6) nie można odmówić posiadania żadnego atrybutu wyrażającego istotę substancji, i ponieważ nadto istnieje on z koniecznością (na mocy tw. 11), przeto gdyby istniała jakakolwiek substancja prócz Boga, musiałaby ona być wyjaśniona przez jakiś atrybut Boga i w ten sposób istniałyby dwie substancje o tym samym atrybucie, co (na mocy tw. 5) jest niedorzeczne. Stąd też żadna substancja poza Bogiem nie może istnieć, a więc także [nie może] być pojęta. Gdyby bowiem mogła być pojęta, musiałaby być koniecznie pojęta jako istniejąca. To zaś (na mocy pierwszej części niniejszego dowodu) jest niedorzeczne. Zatem poza Bogiem żadna substancja nie może ani istnieć, ani być pojęta. C.b.d.o. DODATEK I. Wynika stąd jak najjaśniej, po pierwsze, że Bóg jest jeden (na mocy def. 6), że w przyrodzie istnieje tylko jedna substancja i że jest ona bezwzględnie nieskończona, na co już zgodziliśmy się w przypisie do twierdzenia 10. DODATEK II. Wynika stąd po wtóre, że rzecz rozciągła i rzecz myśląca są albo atrybutami Boga, albo (na mocy aks. 1) pobudzeniami atrybutów Boga. TWIERDZENIE XV. Cokolwiek istnieje, jest w Bogu, i nic bez Boga nie może ani istnieć, ani być pojęte. DOWÓD. Poza Bogiem nie ma żadnej substancji ani żadna substancja nie może być pojęta (na mocy tw. 14), tj. (na mocy def. 3) żadna rzecz, która istnieje sama w sobie i przez siebie samą jest pojmowana. Natomiast modi (na mocy def. 5) bez substancji nie mogą ani istnieć, ani być pojęte; stąd też mogą one istnieć tylko w boskiej naturze i tylko przez nią być pojmowane. Otóż (na mocy aks. 1) nie ma nic oprócz substancji i ich modi. Zatem nic bez Boga nie może ani istnieć, ani być pojęte. C.b.d.o. PRZYPIS. Niektórzy zmyślają sobie, że Bóg na podobieństwo człowieka składa się z ciała i duszy oraz podlega namiętnościom. Atoli, jak daleko odbiegli oni od prawdziwej znajomości Boga, widać dostatecznie z tego, czegośmy już dowiedli. Ale dajmy im pokój: wszyscy przecież, którzy w jakikolwiek sposób rozważali boską naturę, przeczą temu, iżby Bóg był cielesny. Doskonale także dowodzą oni tego [twierdzenia] na tej podstawie, że przez ciało rozumiemy jakąś wielkość długą szeroką i głęboką ograniczoną jakimś określonym kształtem, nic zaś bardziej niedorzecznego nie da się orzec o Bogu, a więc o Bycie nieskończonym bezwzględnie. Tymczasem jednak w innych rozważaniach, przy których pomocy zamierzają dowodzić tego samego, okazują wyraźnie, że samą

8 Bez tytułu 1 Strona 8 z 22 substancję cielesną czyli rozciągłą oddzielają całkowicie od boskiej natury i stwierdzają że została ona stworzona przez Boga. Ale nie wiedzą zupełnie, przez jaką moc boską mogłaby być ona stworzona, skąd widać jasno, że ludzie ci nie rozumieją co sami mówią. Ja w każdym razie z dostateczną jasnością wedle mego przynajmniej zdania, dowiodłem (ob. dod. do tw. 6 i przyp. 2 do tw. 8), że żadna substancja nie może być wytworzona ani stworzona przez inną. Następnie w twierdzeniu 14 okazaliśmy, że poza Bogiem żadna substancja nie może ani istnieć, ani być pojęta; stąd zaś wysnuliśmy wniosek, że substancja rozciągła jest jednym spośród nieskończenie wielu atrybutów Boga. śeby jednak w sposób pełniejszy sprawę wyjaśnić, obalę argumenty przeciwników, które sprowadzają się do następujących: Po pierwsze: substancja cielesna, o ile jest substancją składa się, ich zdaniem, z części; stąd też przeczą oni, iżby mogła być ona nieskończona, a więc należeć do Boga. Wyjaśniają to przy pomocy licznych przykładów, z których tutaj niektóre przytoczę. Jeśli, powiadają substancja cielesna jest nieskończona, to pomyślmy sobie, że dzieli się ona na dwie części; każda z tych części będzie albo skończona, albo nieskończona. W pierwszym wypadku coś nieskończonego składa się więc z dwóch części skończonych; co jest niedorzecznością w drugim - jest więc coś nieskończonego, co jest dwakroć większe od innego nieskończonego, co jest również niedorzeczne. Dalej, gdyby się wielkość nieskończoną mierzyło przy pomocy części długości jednej stopy, to musiałaby ona składać się z nieskończonej ilości takich części, a to samo byłoby, gdybyśmy za miarę przyjęli cal. W ten sposób jedna liczba nieskończona byłaby dwanaście razy większa od innej nieskończonej. Wreszcie, pomyślmy sobie, że dwie linie, jak AB i AC, wychodzące z jednego punktu jakiejś wielkości nieskończonej, znajdujące się na początku w ściśle określonej od siebie odległości, rozciągają się w nieskończoność; wówczas niewątpliwie odstęp między B i C będzie się nieustannie zwiększać, aż z określonego stanie się nie dającym się określić. Skoro więc takie niedorzeczności wynikają ich zdaniem, z założenia wielkości nieskończonej, wnioskują stąd, że substancja cielesna musi być skończona, nie należy przeto do istoty Boga. Drugi argument również bierze za punkt wyjścia najwyższą doskonałość Boga. Bóg bowiem, powiadają jako byt w najwyższym stopniu doskonały, nie może być bierny: atoli substancja cielesna może być bierna, gdyż jest podzielna; wynika stąd, że nie należy ona do istoty Boga. Oto są argumenty, które znajduję u pisarzy, a którymi usiłują oni okazać, że substancja cielesna niegodna jest boskiej natury i nie może do niej należeć. Jednakże uważny czytelnik dostrzeże, że dałem już na nie odpowiedź; argumenty te bowiem oparte są jedynie na założeniu, że substancja cielesna składa się z części, co, jak już okazałem (tw. 12 wraz z dod. do tw. 13), jest niedorzeczne. Następnie, jeśli kto zechce sprawę rozważyć należycie, przekona się, że wszystkie te niedorzeczności (jeśli tylko to są wszystko niedorzeczności, o co już się nie spieram), z których chcą wnioskować, że substancja rozciągła jest skończona, nie wynikają bynajmniej stąd, że zakłada się wielkość nieskończoną ale z ich założenia, że wielkość nieskończona jest mierzalna i daje się złożyć z części skończonych. Dlatego z niedorzeczności stąd wynikających, mogą oni to tylko wywnioskować, że wielkość nieskończona nie jest mierzalna i nie może powstać ze złożenia części skończonych. A to jest właśnie to samo, czegośmy już wyżej (tw. 12 i nast.) dowiedli. W ten sposób broń, wymierzoną przeciwko nam, zwracają w rzeczywistości przeciwko samym sobie. Jeżeli więc mimo to chcą oni na podstawie tych swoich niedorzeczności wnioskować, że substancja rozciągła musi być skończona, to postępują zaiste tak samo, jak ktoś, kto by uroiwszy sobie, iż koło ma własności kwadratu, wnioskował stąd, że koło nie ma środka takiego, że wszystkie linie poprowadzone zeń do obwodu są równe. Albowiem substancję cielesną która może być pojmowana tylko jako nieskończona,

9 Bez tytułu 1 Strona 9 z 22 tylko jako jedyna i tylko jako niepodzielna (ob. tw. 8, 5 i 12), pojmują oni jako złożoną z części skończonych, niejednorodną i podzielną a to w celu uzyskania wniosku, że jest ona skończona. Podobnie inni, uroiwszy sobie, że linia składa się z punktów, potrafią wynajdywać liczne argumenty dla okazania, że linii nie można dzielić w nieskończoność. A doprawdy przypuszczanie, że substancja cielesna składa się z ciał, czyli części, jest równie niedorzeczne, jak [przypuszczanie], że ciało składa się z płaszczyzn, płaszczyzny z linii, linie wreszcie - z punktów. Przystać na to muszą ci wszyscy, którzy wiedzą że jasny rozum jest nieomylny, a zwłaszcza ci, którzy przeczą istnieniu próżni. Gdyby bowiem substancja cielesna dawała się dzielić w ten sposób, żeby części jej były realnie [od siebie] oddzielone, dlaczego wówczas jedna część nie mogłaby ulec unicestwieniu przy pozostaniu innych, połączonych z sobą tak samo, jak przedtem? I dlaczego wszystkie miałyby tak być spojone, żeby nie było próżni? Z rzeczy, rzeczywiście od siebie oddzielonych, może przecież jedna istnieć bez drugiej i pozostawać w swoim stanie. Ponieważ więc nie ma w przyrodzie próżni (o czym gdzie indziej), lecz wszystkie części tak muszą przylegać do siebie, aby próżni nie było, wynika stąd także, że części nie mogą być realnie [od siebie] oddzielone, czyli, że substancja cielesna, o ile jest substancją nie może być dzielona. Gdyby jednak ktoś spytał, dlaczego tak jesteśmy z natury skłonni do dzielenia wielkości, odpowiem mu, że wielkość bywa przez nas pojmowana dwojako, mianowicie: bądź abstrakcyjnie, tj. w sposób powierzchowny, tak, jak ją sobie wyobrażamy, bądź jako substancja, co jest już dziełem samego tylko rozumu. Kiedy więc bierzemy pod uwagę wielkość taką jaką jest w wyobraźni, co zdarza się często i jest dla nas łatwiejsze, ukazuje się ona jako skończona, podzielna i złożona z części. Jeśli zaś bierzemy ją pod uwagę taką jaką jest w rozumie i pojmujemy ją o ile jest substancją co jest nadzwyczaj trudne, wówczas, jak już dostatecznie dowiedliśmy, ukazuje się ona jako nieskończona, jedyna i niepodzielna. Będzie to dostatecznie oczywiste dla każdego, kto nauczył się odróżniać wyobraźnię od rozumu; w szczególności, skoro się nadto zważy, że materia jest wszędzie ta sama, i że o tyle i tylko rozróżniać w niej można części, o ile pojmuje się ją jako pobudzoną w rozmaity sposób, skąd tez części jej dają się rozróżnić tylko modalnie, nie zaś realnie. Pojmujemy np., że woda, o ile jest wodą podlega podziałowi, a części jej dają się wzajemnie od siebie odłączyć; nie zachodzi to natomiast, o ile woda jest substancją cielesną o tyle bowiem nie dzieli się jej ani nie rozłącza. Dalej: woda, o ile jest wodą powstaje i ulega zniszczeniu, o ile natomiast jest substancją ani nie powstaje, ani zniszczeniu nie ulega. Tym samym odpowiedziałem już, jak sądzę, również na drugi argument: i ten także bowiem opiera się na założeniu, że materia jako substancja jest podzielna i że składa się z części. Ale choćby nawet miało być inaczej, nie wiem dlaczego [materia] miałaby być boskiej natury: nie może przecież (na mocy tw. 14) poza Bogiem być żadnej substancji, której [działaniu] podlegałaby [boska natura]. Wszystko, powiadam, jest w Bogu, i wszystko, co się dzieje, dzieje się wyłącznie na mocy praw nieskończonej natury Boga i wynika z konieczności jego istoty (jak to zaraz wykażę). Dlatego żadną miarą nie da się powiedzieć, że Bóg podlega działaniu czegoś innego, albo, że substancja rozciągła niegodna jest boskiej natury, nawet gdybyśmy założyli, że jest i podzielna, o ile tylko zgodzimy się, że jest wieczna i nieskończona. Ale na razie dość o tym. TWIERDZENIE XVI. Z konieczności boskiej natury musi wynikać nieskończenie wiele (tj. wszystko, co może być przedmiotem rozumu nieskończonego) na nieskończenie wiele sposobów. DOWÓD. Twierdzenie to musi być oczywiste dla każdego, kto tylko zwróci uwagę na to, że z danej definicji jakiejkolwiek rzeczy, rozum wywnioskowuje wiele własności, które z niej (tj. z samej istoty rzeczy) rzeczywiście z koniecznością wynikają i to tym więcej własności, im więcej rzeczywistości wyraża definicja rzeczy, to znaczy, im więcej rzeczywistości obejmuje istota rzeczy definiowanej. Ponieważ zaś natura boska posiada bezwzględnie nieskończenie wiele atrybutów (na mocy def. 6), z których znów każdy

10 Bez tytułu 1 Strona 10 z 22 wyraża w swoim rodzaju istotę nieskończoną przeto z konieczności jej musi nieuchronnie wynikać nieskończenie wiele (tj. wszystko, co może być przedmiotem rozumu nieskończonego) na nieskończenie wiele sposobów. C.b.d.o. DODATEK I. Wynika stąd, że Bóg jest przyczyną sprawczą wszystkich rzeczy, które mogą być przedmiotem rozumu nieskończonego. DODATEK II. Wynika stąd, po drugie, że Bóg jest przyczyną sam przez się, nie zaś przez przypadek. DODATEK III. Wynika stąd, po trzecie, że Bóg jest bezwzględnie przyczyną pierwszą. TWIERDZENIE XVII. Bóg działa wyłącznie wedle praw swojej natury, przez nikogo nie przymuszany. DOWÓD. Wykazaliśmy właśnie w twierdzeniu 16, że wyłącznie z konieczności boskiej natury, czyli (co jest tym samym) wyłącznie z praw jego natury wynika bezwzględnie nieskończenie wiele; w twierdzeniu 15 zaś dowiedliśmy, że bez Boga nic ani istnieć, ani być pojętym nie może, ale że wszystko jest w Bogu; dlatego też nie może być nic poza nim, co by go powodowało albo zmuszało do działania, a więc Bóg działa wyłącznie wedle praw swojej natury i nie przymuszany przez nikogo. C.b.d.o. DODATEK I. Wynika stąd po pierwsze, że nie ma żadnej przyczyny, która by z zewnątrz czy od wewnątrz pobudzała Boga do działania, prócz doskonałości jego własnej natury. DODATEK II. Wynika stąd po wtóre, że tylko Bóg jest przyczyną wolną. Bóg jeden bowiem istnieje wyłącznie z konieczności swojej własnej natury (na mocy tw. 11 dod. 1 do tw. 14) i wyłącznie z konieczności swojej natury działa (na mocy twierdzenia poprzedniego). A więc (na mocy def. 7) on jeden tylko jest przyczyną wolną. C.b.d.o. PRZYPIS. Inni sądzą że Bóg jest przyczyną wolną dlatego, że może on, ich zdaniem, sprawić, aby nie działo się to, co, jak powiedzieliśmy, wynika z konieczności jego natury, czyli to, co znajduje się w jego władzy, czy też, aby on tego nie tworzył. Atoli jest to to samo, jak gdyby powiedzieli, że Bóg może sprawić, by z natury trójkąta nie wynikało, że trzy jego kąty są równe dwóm prostym, albo, by z danej przyczyny nie wynikał skutek, co jest niedorzecznością. W dalszym ciągu wykażę później, bez pomocy tego twierdzenia, że do natury Boga nie należy ani rozum, ani wola. Wiem wprawdzie, że jest wielu takich, którzy sądzą iż potrafią dowieść, że do natury Boga należy najwyższy rozum i wolna wola; twierdzą bowiem, że nie znają nic doskonalszego, co by mogli przypisać Bogu nad to, co jest w nas [ludziach] najwyższą doskonałością. Jakkolwiek jednak pojmują Boga jako aktualnie obdarzonego rozumem w najwyższym stopniu, nie wierzą jednak, żeby mógł sprawić, aby istniało to wszystko, co posiada on aktualnie w rozumie; sądzą bowiem, że tym sposobem niweczyliby moc Boga. Gdyby Bóg, powiadają stworzył był wszystko, co znajduje się w jego rozumie, wówczas nic więcej nie mógłby już stwarzać, to zaś, jak myślą przeczy wszechmocy Boga. Dlatego woleli uważać, że Bóg na wszystko jest obojętny i nie tworzy nic ponad to, co postanowił stworzyć z jakiejś woli bezwzględnej. Myślę jednak, że okazałem dość jasno (ob. tw. 16), iż z najwyższej mocy Boga, czyli z nieskończonej jego natury, wypłynęło nieskończenie wiele na nieskończenie wiele sposobów, tj. że wypłynęło wszystko z koniecznością lub zawsze z tą samą koniecznością wynika, podobnie jak wynika odwiecznie i na wieki z natury trójkąta, że trzy jego kąty równe są dwóm prostym. Wszechmoc Boga była tedy czynna odwiecznie i na wieki tak samo czynna pozostanie. l w ten sposób wszechmoc Boga ustalona zostaje, według mego przynajmniej zdania, jako znacznie doskonalsza. Przeciwnicy (niechaj wolno mi będzie mówić otwarcie) przeczą wręcz, jak się wydaje, wszechmocy Boga.

11 Bez tytułu 1 Strona 11 z 22 Zmuszeni są bowiem przyznać, że Bóg ma w swym rozumie nieskończenie wiele [rzeczy] dających się stworzyć, których jednak nigdy nie będzie mógł stworzyć. W przeciwnym razie bowiem, gdyby mianowicie wszystko stworzył, co ma w rozumie, wyczerpałby, ich zdaniem, wszechmoc swoją i uczynił siebie niedoskonałym. Aby więc uznać Boga za doskonałego, dochodzą oni do tego, że muszą zarazem twierdzić, iż nie może on sprawić wszystkiego, na co rozciąga się jego moc; nie wiem, czy można sobie wyobrazić coś bardziej niedorzecznego lub bardziej przeciwnego boskiej wszechmocy. W dalszym ciągu powiem tu również coś o rozumie i woli, które powszechnie przypisujemy Bogu. Otóż, jeśli rozum i wola mają należeć do wiecznej istoty Boga, to trzeba najwidoczniej przez każdy z tych atrybutów rozumieć coś innego, niż to, co ludzie zwykli pospolicie rozumieć. Rozum bowiem i wola, które stanowić by miały istotę Boga, o całe niebo musiałyby się różnić od naszego rozumu i naszej woli i poza nazwą w niczym nie mogłyby być z nimi zgodne; nie inaczej chyba, jak zgodne są ze sobą pies -konstelacja niebieska i pies - zwierzę szczekające. Dowiodę tego w sposób następujący. Jeśli rozum należy do boskiej natury, nie może on, jak nasz rozum, z natury swojej być od rzeczy rozumianych późniejszy (jak się to przeważnie sądzi), lub jednoczesny z nimi, albowiem Bóg przecież przyczynowo wszystkie rzeczy poprzedza (na mocy dod. 1 do tw. 16). Przeciwnie, prawda i istota formalna rzeczy jest taka właśnie, jaka jest, dlatego, że taka obiektywnie istnieje w rozumie Boga. Dlatego rozum Boga, o ile pojmuje się go jako stanowiącego istotę Boga, jest zaprawdę przyczyną rzeczy, zarówno ich istoty, jak i ich istnienia. Zdaje się, że zauważyli to także ci, którzy uznali, że rozum, wola i moc Boga to jedno i to samo. Skoro więc rozum Boga jest jedyną przyczyną rzeczy, mianowicie (jak wykazaliśmy) zarówno istoty ich jak ich istnienia, to sam on musi koniecznie się od nich różnić, zarówno co do istoty jak i co do istnienia. Albowiem to, co spowodowane, różni się od swojej przyczyny po prostu tym, co ma od tej przyczyny. Człowiek na przykład, jest przyczyną istnienia innego człowieka, lecz nie jego istoty, gdyż ta jest prawdą wieczną: toteż mogą być oni właśnie zgodni całkowicie co do istoty, muszą zaś różnić się co do istnienia. Dlatego, jeżeli ginie istnienie jednego, istnienie drugiego nie ulega przez to zniszczeniu. Gdyby natomiast istota jednego mogła ulec zniszczeniu i stać się fałszywą to istota drugiego uległaby także zniszczeniu. Dlatego też rzecz, która jest przyczyną zarówno istoty jak i istnienia jakiegoś skutku, musi od tego skutku się różnić zarówno co do istoty jak i co do istnienia. Otóż rozum Boga jest przyczyną zarówno istoty jak i istnienia naszego rozumu; rozum Boga zatem, o ile pojmuje się go jako stanowiący istotę boską różni się od naszego rozumu zarówno co do istoty jak co do istnienia, oraz, jak powiedzieliśmy, nie może się zgadzać z nim w niczym poza nazwą. Odnośnie do woli postępuje się [w dowodzie] w ten sam sposób, jak każdy łatwo może dostrzec. TWIERDZENIE XVIII. Bóg jest przyczyną immanentną wszystkich rzeczy, nie zaś transcendentną. DOWÓD. Wszystko, co jest, jest w Bogu i przez Boga musi być pojmowane (na mocy tw. 15); a zatem (na mocy dod. 1 do tw. 16 niniejszej części) Bóg jest przyczyną rzeczy, które w nim są. To jest punkt pierwszy. Dalej, poza Bogiem nie może być (na mocy tw. 14) żadnej substancji, tj. (na mocy def. 3) żadnej rzeczy, która poza Bogiem byłaby sama w sobie. To był punkt drugi. Bóg jest więc przyczyną immanentną wszystkich rzeczy, nie zaś transcendentną. C.b.d.o. TWIERDZENIE XIX. Bóg, czyli wszystkie atrybuty Boga, są wieczne. DOWÓD. Bóg bowiem (na mocy def. 6) jest substancją która (na mocy tw. 11) z konieczności istnieje, to znaczy (na mocy tw. 7), do której natury należy istnienie, czyli (co jest tym samym), z której definicji wynika, że On istnieje; a więc (na mocy def. 8) jest on wieczny. Dalej, przez atrybuty Boga należy rozumieć to, co (na mocy def. 4) wyraża istotę boskiej substancji, to znaczy to, co należy do substancji: to samo, powiadam, muszą obejmować i same atrybuty. Otóż do natury substancji (jak już dowiodłem na

12 Bez tytułu 1 Strona 12 z 22 podstawie tw. 7) należy wieczność; a zatem każdy z jej atrybutów musi obejmować wieczność, a więc wszystkie one są wieczne. C.b.d.o. PRZYPIS. Twierdzenie to widoczne jest także jak najjaśniej ze sposobu, w jaki dowiodłem istnienia Boga (tw. 11). Z dowodu tego, powiadam, widać, że istnienie Boga, podobnie jak jego istota, jest prawdą wieczną. Wreszcie (twierdzenie 19 Zasad Descartes'a) w inny jeszcze sposób dowiodłem wieczności Boga i nie ma potrzeby go tutaj powtarzać. TWIERDZENIE XX. Istnienie Boga i jego istota są jednym i tym samym. DOWÓD. Bóg (na mocy tw. poprzedniego) oraz wszystkie jego atrybuty są wieczne, to znaczy (na mocy def. 8) każdy z jego atrybutów wyraża istnienie. Te same więc atrybuty Boga, które (na mocy def. 4) wyjaśniają wieczną istotę Boga, wyjaśniają zarazem jego wieczne istnienie, to znaczy, to samo, co stanowi istotę Boga, stanowi zarazem jego istnienie, istnienie więc jego i jego istota są jednym i tym samym. DODATEK l. Wynika stąd, po pierwsze, że istnienie Boga, tak samo jak jego istota, jest prawdą wieczną. DODATEK II. Wynika, po wtóre, że Bóg, czyli wszystkie atrybuty Boga są niezmienne. Gdyby bowiem zmieniały się co do istnienia, musiałyby także (na mocy tw. poprzedniego) zmieniać się co do istoty, to znaczy (co się rozumie samo przez się) z prawdziwych stać się fałszywymi, co jest niedorzecznością. TWIERDZENIE XXI. Wszystko, co wynika z bezwzględnej natury jakiegoś atrybutu Boga, musiało istnieć zawsze i jako nieskończone, czyli przez ten właśnie atrybut jest wieczne i nieskończone. DOWÓD. Kto temu przeczy, niechaj pomyśli sobie, jeśli to możliwe, że w jakimś atrybucie Boga wynika z jego bezwzględnej natury coś, co by było skończone i miało istnienie albo trwanie ograniczone, na przykład idea Boga w myśleniu. Otóż myślenie, ponieważ zakłada się je tutaj jako atrybut Boga, jest z natury swojej (na mocy tw. 11) koniecznie nieskończone. Tymczasem zakłada się, że jest ono skończone, o ile posiada ideę Boga. Jednakże (na mocy def. 2) można je pojąć jako skończone wtedy tylko, jeśli by było ograniczone przez samo myślenie. Ale nie przez samo myślenie, o ile stanowi ono ideę Boga, o tyle bowiem ma być ono według założenia skończone, a więc przez myślenie, o ile nie stanowi ono idei Boga; to [myślenie] jednakże z koniecznością musi (na mocy tw. 11) istnieć. Jest przeto myślenie, które nie stanowi idei Boga, a zatem z natury Boga, o ile jest nią myślenie bezwzględne, nie wynika koniecznie idea Boga (pojmuje się bowiem myślenie jako stanowiące ideę Boga i nie stanowiące jej). To zaś jest sprzeczne z założeniem. Dlatego też, jeśli idea Boga w myśleniu lub cokolwiek w jakimś atrybucie Boga (wszystko jedno, co się weźmie, dowód jest bowiem ogólny) wynika z konieczności natury bezwzględnej tego atrybutu, to koniecznie musi być nieskończone. To był punkt pierwszy. Następnie to, co wynika w ten sposób z konieczności natury jakiegoś atrybutu, nie może mieć istnienia albo trwania ograniczonego. Jeśli bowiem kto temu przeczy, niech założy, że rzecz, która wynika z konieczności natury jakiegoś atrybutu, jest w jakimś atrybucie Boga, np. idea Boga w myśleniu, i niech przypuści, że rzecz ta kiedyś nie istniała lub kiedyś istnieć nie będzie. Otóż, ponieważ przyjmuje się, że myślenie jest atrybutem Boga, musi ono zarówno istnieć z konieczności i jako niezmienne (na mocy tw. 11 oraz dod. 2 do tw. 20). A zatem poza granicami trwania idei Boga (zakładamy bowiem [co do niej], że kiedyś nie istniała, lub kiedyś istnieć nie będzie) będzie musiało istnieć myślenie bez idei Boga. Jednakże to jest sprzeczne z założeniem, zakłada się bowiem, że skoro dane jest myślenie, wynika zeń koniecznie idea Boga. Tak tedy idea Boga w

13 Bez tytułu 1 Strona 13 z 22 myśleniu, albo cokolwiek, co wynika w sposób konieczny z bezwzględnej natury jakiegoś atrybutu Boga, nie może mieć trwania ograniczonego, lecz przez ten sam atrybut jest wieczne. To był punkt drugi. Należy zauważyć, że to samo trzeba stwierdzić o każdej rzeczy, która w jakimś atrybucie Boga wynika w sposób konieczny z bezwzględnej natury Boga. TWIERDZENIE XXII. Cokolwiek wynika z jakiegoś atrybutu Boga, o ile uległ on takiej odmianie, która przez ten atrybut istnieje koniecznie i jako nieskończona, musi takie istnieć koniecznie i jako nieskończone. DOWÓD. Dowód tego twierdzenia przeprowadza się w ten sam sposób, jak dowód poprzedniego. TWIERDZENIE XXIII. Każdy modus, który istnieje z koniecznością i jako nieskończony, musiał wyniknąć z koniecznością albo z bezwzględnej natury jakiegoś atrybutu Boga, albo z jakiegoś atrybutu, który uległ odmianie istniejącej z koniecznością i jako nieskończona. DOWÓD. Modus jest bowiem w czymś innym, przez co musi zostać pojęty (na mocy def. 5), to znaczy (na mocy tw. 15) jest on jedynie w Bogu i przez Boga jedynie może zostać pojęty. Jeśli więc pojmuje się modus jako istniejący z koniecznością i jako nieskończony, to jedno i drugie musi się dać z koniecznością wywnioskować, czyli poznać przez jakiś atrybut Boga, o ile się ten atrybut pojmuje jako wyrażający nieskończoność i konieczność istnienia, czyli (co jest tym samym na mocy def. 8) wieczność, to znaczy (na mocy def. 6 i tw. 19), o ile się go rozważa bezwzględnie. A zatem modus, który istnieje z koniecznością i jako nieskończony, musi wynikać z bezwzględnej natury jakiegoś atrybutu Boga; a to bądź bezpośrednio (o tym w tw. 21), bądź za pośrednictwem jakiejś odmiany, która wynika z bezwzględnej jego natury, to znaczy (na mocy tw. poprzedniego) takiej, która istnieje z koniecznością i jako nieskończona. C.b.d.o. TWIERDZENIE XXIV. Istota rzeczy wytworzonych przez Boga nie obejmuje istnienia. DOWÓD. Twierdzenie to widoczne jest z definicji 1. To bowiem, czego natura (rozważana oczywiście sama w sobie) obejmuje istnienie, jest przyczyną siebie samego i istnieje jedynie z konieczności swojej własnej natury. DODATEK. Wynika stąd, że Bóg jest przyczyną nie tylko tego, że rzeczy zaczynają istnieć, lecz także i tego, że trwają one w istnieniu, czyli (że posłużę się wyrażeniem scholastycznym) Bóg jest przyczyną bytowania rzeczy. Albowiem [bez względu na to], czy rzeczy istnieją czy nie istnieją ilekroć wnikamy w ich istotę, stwierdzamy, że nie obejmuje ona ani istnienia, ani trwania. Dlatego też ich istota nie może być przyczyną ani ich istnienia, ani ich trwania; przyczyną ta może być tylko Bóg, do natury którego jedynie należy istnienie (na mocy dod. 1 do tw. 14). TWIERDZENIE XXV. Bóg jest przyczyną sprawczą nie tylko istnienia rzeczy, lecz także [ich] istoty. DOWÓD. Jeśli temu zaprzeczymy, to Bóg nie jest przyczyną istoty rzeczy; a zatem (na mocy aks. 4) istota rzeczy może być pojęta bez Boga. Jednakże jest to (na mocy tw. 15) niedorzeczne. A więc Bóg jest przyczyną także istoty rzeczy. C.b.d.o. PRZYPIS. Twierdzenie to jaśniej wynika z twierdzenia 16. Wynika z niego mianowicie, że z danej natury boskiej musi koniecznie dać się wywnioskować zarówno istota rzeczy, jak istnienie. Krótko mówiąc, w tym sensie, w jakim Bóg nazywa się przyczyną siebie

14 Bez tytułu 1 Strona 14 z 22 samego, trzeba go też nazwać przyczyną wszystkich rzeczy, co jeszcze jaśniej wyjdzie na jaw w następującym dodatku. DODATEK. Rzeczy poszczególne nie są niczym innym, jak pobudzeniami atrybutów Boga, czyli modi, przez które wyrażone są atrybuty Boga w ściśle określony sposób. Dowód tego widoczny jest z twierdzenia 15 i definicji 5. TWIERDZENIE XXVI. Rzecz zdeterminowana do jakiegoś działania została do tego z koniecznością zdeterminowana przez Boga; natomiast rzecz nie zdeterminowana przez Boga sama siebie nie może zdeterminować do działania. DOWÓD. To, ze względu na co rzeczy nazywają się zdeterminowanymi do jakiegoś działania, jest koniecznie czymś pozytywnym (jak się rozumie samo przez się). Dlatego też przyczyną sprawczą zarówno istoty tego, jak i jego istnienia, jest Bóg z konieczności swojej natury (na mocy tw. 25 i 16). To był punkt pierwszy. Wynika stąd jak najjaśniej i druga część twierdzenia. Gdyby bowiem rzecz nie zdeterminowana przez Boga mogła się sama zdeterminować, pierwsza część tego twierdzenia byłaby fałszywa, co, jak okazaliśmy, jest niedorzeczne. TWIERDZENIE XXVII. Rzecz zdeterminowana do jakiegoś działania przez Boga nie może sama siebie uczynić niezdeterminowaną. DOWÓD. Twierdzenie to jest widoczne z aksjomatu 3. TWIERDZENIE XXVIII. Wszystko co jednostkowe, czyli każda rzecz, która jest skończona i ma istnienie ograniczone, może istnieć i być zdeterminowana do działania jedynie przez inną przyczynę, która jest także skończona i ma istnienie ograniczone, i z kolei ta przyczyna nie może także istnieć ani być zdeterminowana do działania, jeżeli jej nie determinuje do istnienia i działania inna, również skończona i mająca ograniczone istnienie, i tak u nieskończoność. DOWÓD. Cokolwiek zdeterminowane jest do istnienia i działania, jest tak zdeterminowane przez Boga (na mocy tw. 26 i dod. do tw. 24). Atoli to, co jest skończone i ma istnienie ograniczone, nie mogło zostać wytworzone przez bezwzględną naturę jakiegoś atrybutu Boga; cokolwiek bowiem wynika z bezwzględnej natury jakiegoś atrybutu Boga, jest nieskończone i wieczne (na mocy tw. 21). Musiało więc wyniknąć z Boga albo z jakiegoś jego atrybutu, o ile rozważa się go jako pobudzonego przez jakiś modus; nie ma bowiem nic prócz substancji i modi (na mocy aks. 1 oraz def. 3 i 5); modi zaś nie są niczym innym (na mocy dod. do tw. 25) jak pobudzeniami atrybutów Boga. Nie mogło jednak także wyniknąć z Boga lub z jakiegoś jego atrybutu, o ile pobudzony został przez odmianę wieczną i nieskończoną (na mocy tw. 22). Musiało więc być wywołane albo zdeterminowane do istnienia i działania przez Boga lub przez jakiś jego atrybut, o ile uległ on odmianie skończonej i mającej istnienie ograniczone. To był punkt pierwszy. Dalej, ta z kolei przyczyna, czyli ten modus (na tej samej podstawie, na której dowiedliśmy właśnie pierwszej części niniejszego twierdzenia), musiała także być zdeterminowana przez inną która jest także skończona i ma istnienie ograniczone, ta ostatnia zaś (na tejże podstawie) z kolei przez inną i tak dalej (na tejże samej podstawie) w nieskończoność. C.b.d.o. PRZYPIS. Ponieważ jakieś [rzeczy] musiały być stworzone bezpośrednio przez Boga, mianowicie te, które wynikają w sposób konieczny z jego bezwzględnej natury, a za pośrednictwem tych pierwszych inne, które jednak bez Boga nie mogą ani istnieć, ani być pojęte, przeto wynika stąd po pierwsze, że Bóg jest najbliższą przyczyną rzeczy bezpośrednio przez siebie stworzonych - bezwzględnie, nie zaś, jak powiadają [niektórzy], [przyczyną] w swoim rodzaju. Wytwory Boga nie mogą bowiem bez swojej

Rodzaje argumentów za istnieniem Boga

Rodzaje argumentów za istnieniem Boga Rodzaje argumentów za istnieniem Boga Podział argumentów argument ontologiczny - w tym argumencie twierdzi się, że z samego pojęcia bytu doskonałego możemy wywnioskować to, że Bóg musi istnieć. argumenty

Bardziej szczegółowo

Koncepcja substancji u Spinozy Autor tekstu: Łukasz Siciński. (analiza podstawowych kategorii)

Koncepcja substancji u Spinozy Autor tekstu: Łukasz Siciński. (analiza podstawowych kategorii) Koncepcja substancji u Spinozy Autor tekstu: Łukasz Siciński (analiza podstawowych kategorii) Uwagi wstępne Myśl filozoficzna Spinozy jest zjawiskiem złożonym; obejmuje ona wiele zagadnień i może być rozpatrywana

Bardziej szczegółowo

Czy możemy coś powiedzieć o istocie Boga?

Czy możemy coś powiedzieć o istocie Boga? Przymioty Boga Czy możemy coś powiedzieć o istocie Boga? dowody na istnienie Boga ustaliły, że On jest, ale czy poza wiedzą o Jego istnieniu możemy coś wiedzieć o Jego istocie? Św. Tomasz twierdzi, że

Bardziej szczegółowo

Baruch Spinoza ( )

Baruch Spinoza ( ) Baruch Spinoza (1632-1677) Dla jednych: najszlachetniejszy i najbardziej godny miłości z wielkich filozofów (B. Russell). Dla innych: Największy heretyk XVII wieku. Obrońca diabła. Duchowy sabotaŝysta.

Bardziej szczegółowo

Immanuel Kant: Fragmenty dzieł Uzasadnienie metafizyki moralności

Immanuel Kant: Fragmenty dzieł Uzasadnienie metafizyki moralności Immanuel Kant: Fragmenty dzieł Uzasadnienie metafizyki moralności Rozdział II Pojęcie każdej istoty rozumnej, która dzięki wszystkim maksymom swej woli musi się uważać za powszechnie prawodawczą, by z

Bardziej szczegółowo

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

Filozofia przyrody - Filozofia Eleatów i Demokryta

Filozofia przyrody - Filozofia Eleatów i Demokryta 5 lutego 2012 Plan wykładu 1 Filozofia Parmenidesa z Elei Ontologia Parmenidesa Epistemologiczny aspekt Parmenidejskiej filozofii 2 3 4 Materializm Ontologia Parmenidesa Epistemologiczny aspekt Parmenidejskiej

Bardziej szczegółowo

Weronika Łabaj. Geometria Bolyaia-Łobaczewskiego

Weronika Łabaj. Geometria Bolyaia-Łobaczewskiego Weronika Łabaj Geometria Bolyaia-Łobaczewskiego Tematem mojej pracy jest geometria hiperboliczna, od nazwisk jej twórców nazywana też geometrią Bolyaia-Łobaczewskiego. Mimo, że odkryto ją dopiero w XIX

Bardziej szczegółowo

Św. Augustyn, Wyznania, przekład Z. Kubiak, Znak, Kraków 1997

Św. Augustyn, Wyznania, przekład Z. Kubiak, Znak, Kraków 1997 Św. Augustyn, Wyznania, przekład Z. Kubiak, Znak, Kraków 1997 ks. XI 1. Wyznania nie informują Boga, o czym i tak wie, lecz są wyrazem miłości Augustyna do Boga jako Ojca. 2. Augustyn pragnie poznać Prawo

Bardziej szczegółowo

Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:

Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny: Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach

Bardziej szczegółowo

ARGUMENTY KOSMOLOGICZNE. Sformułowane na gruncie nauk przyrodniczych

ARGUMENTY KOSMOLOGICZNE. Sformułowane na gruncie nauk przyrodniczych ARGUMENTY KOSMOLOGICZNE Sformułowane na gruncie nauk przyrodniczych O CO CHODZI W TYM ARGUMENCIE Argument ten ma pokazać, że istnieje zewnętrzna przyczyna wszechświata o naturze wyższej niż wszystko, co

Bardziej szczegółowo

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości

Bardziej szczegółowo

UJĘCIE SYSTEMATYCZNE ARGUMENTY PRZECIWKO ISTNIENIU BOGA

UJĘCIE SYSTEMATYCZNE ARGUMENTY PRZECIWKO ISTNIENIU BOGA UJĘCIE SYSTEMATYCZNE ARGUMENTY PRZECIWKO ISTNIENIU BOGA ARGUMENTY PRZECIW ISTNIENIU BOGA ARGUMENTY ATEISTYCZNE 1 1. Argument z istnienia zła. (Argument ten jest jedynym, który ateiści przedstawiają jako

Bardziej szczegółowo

RENÉ DESCARTES (KARTEZJUSZ)

RENÉ DESCARTES (KARTEZJUSZ) (1596-1650) mal. Frans Hals (1648) RENÉ DESCARTES (KARTEZJUSZ) NAJWAŻNIEJSZE DZIEŁA Discours de la Méthode (Rozprawa o metodzie) 1637 Meditationes de prima philosophia (Medytacje o filozofii pierwszej)

Bardziej szczegółowo

George Berkeley (1685-1753)

George Berkeley (1685-1753) George Berkeley (1685-1753) Biskup Dublina Bezkompromisowy naukowiec i eksperymentator Niekonwencjonalny teoretyk poznania Zwalczał ateizm Propagował idee wyższego szkolnictwa w Ameryce Podstawą badań

Bardziej szczegółowo

Filozofia, Historia, Wykład IX - Filozofia Kartezjusza

Filozofia, Historia, Wykład IX - Filozofia Kartezjusza Filozofia, Historia, Wykład IX - Filozofia Kartezjusza 2010-10-01 Plan wykładu 1 Krytyka nauk w Rozprawie o metodzie 2 Zasady metody Kryteria prawdziwości 3 Rola argumentów sceptycznych Argumenty sceptyczne

Bardziej szczegółowo

Filozofia, ISE, Wykład X - Filozofia średniowieczna.

Filozofia, ISE, Wykład X - Filozofia średniowieczna. Filozofia, ISE, Wykład X - Filozofia średniowieczna. 2011-10-01 Plan wykładu 1 Filozofia średniowieczna a starożytna 2 3 Ogólna charakterystyka filozofii średniowiecznej Ogólna charakterystyka filozofii

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI. Część pierwsza KRYTYKA ESTETYCZNEJ WŁADZY SĄDZENIA

SPIS TREŚCI. Część pierwsza KRYTYKA ESTETYCZNEJ WŁADZY SĄDZENIA SPIS TREŚCI Przedmowa tłumacza................. XI KRYTYKA WŁADZY SĄDZENIA Przedmowa do pierwszego wydania............ 3 Wstęp...................... 11 I. O podziale filozofii............... 11 II. O suwerennej

Bardziej szczegółowo

Chcę poznać Boga i duszę. Filozofowie o Absolucie

Chcę poznać Boga i duszę. Filozofowie o Absolucie Chcę poznać Boga i duszę Filozofowie o Absolucie W jaki sposób można poznać Boga? Jak poznać Kogoś, Kto pozostaje niewidzialny i niepoznawalny? Szukając argumentów na istnienie Boga Świat (np. Teoria Wielkiego

Bardziej szczegółowo

Troszkę Geometrii. Kinga Kolczyńska - Przybycień

Troszkę Geometrii. Kinga Kolczyńska - Przybycień Spis tresci O Geometrii 1 O Geometrii 2 3 4 5 6 7 Spis tresci O Geometrii 1 O Geometrii 2 3 4 5 6 7 Kilka słów o mierzeniu Otóż jak sama nazwa Geometria (z gr geo-ziemia, metria-miara) ma ona coś wspólnego

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr. 3 notatki

Zajęcia nr. 3 notatki Zajęcia nr. 3 notatki 22 kwietnia 2005 1 Funkcje liczbowe wprowadzenie Istnieje nieskończenie wiele funkcji w matematyce. W dodaktu nie wszystkie są liczbowe. Rozpatruje się funkcje które pobierają argumenty

Bardziej szczegółowo

IMMANUEL KANT ETYKA DEONTOLOGICZNA

IMMANUEL KANT ETYKA DEONTOLOGICZNA IMMANUEL KANT ETYKA DEONTOLOGICZNA PROJEKT ETYKI KANTA W POSZUKIWANIU OBIEKTYWNYCH PODSTAW ETYKI Wobec krytyki Huma Immanuel Kant stara się znaleść jakąś obiektywną podstawę dla etyki, czyli wykazać, że

Bardziej szczegółowo

Filozofia, Germanistyka, Wykład VIII - Kartezjusz

Filozofia, Germanistyka, Wykład VIII - Kartezjusz 2013-10-01 Plan wykładu 1 Krytyka nauk w Rozprawie o metodzie 2 Idea uniwersalnej metody Prawidła metody 3 4 5 6 Krytyka Kartezjusza Podstawą wiedzy jest doświadczenie Krytyka nauk Kartezjusz - krytyka

Bardziej szczegółowo

Poznanie substancji oddzielonych. środa, 9 stycznia 13

Poznanie substancji oddzielonych. środa, 9 stycznia 13 Poznanie substancji oddzielonych Czym jest władza? władza - narzędzie duszy do wykonywania określonych aktów władza jako proprietas (własność, właściwość) - specjalny rodzaj przypadłości. władza jako możność

Bardziej szczegółowo

Tomasz Dreinert Zagadnienie "rzeczy samej w sobie" w transcendentalizmie Immanuela Kanta. Pisma Humanistyczne 3,

Tomasz Dreinert Zagadnienie rzeczy samej w sobie w transcendentalizmie Immanuela Kanta. Pisma Humanistyczne 3, Tomasz Dreinert Zagadnienie "rzeczy samej w sobie" w transcendentalizmie Immanuela Kanta Pisma Humanistyczne 3, 137-143 2001 Tomasz D reinert ZAGADNIENIE RZECZY SAMEJ W SOBIE W TRANSCENDENTALIZMIE IMMANUELA

Bardziej szczegółowo

NOWE ODKRYCIA W KLASYCZNEJ LOGICE?

NOWE ODKRYCIA W KLASYCZNEJ LOGICE? S ł u p s k i e S t u d i a F i l o z o f i c z n e n r 5 * 2 0 0 5 Jan Przybyłowski, Logika z ogólną metodologią nauk. Podręcznik dla humanistów, Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk 2003 NOWE

Bardziej szczegółowo

Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011).

Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Poprzedniczka tej notatki zawierała błędy! Ta pewnie zresztą też ; ). Ćwiczenie 3 zostało zmienione, bo żądałem, byście dowodzili czegoś,

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji odwrotnej

Pochodna funkcji odwrotnej Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie

Bardziej szczegółowo

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka

Bardziej szczegółowo

1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia

1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia 1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia kwadratów i sześcianów przez małe liczby, cechy podzielności przez 2, 4, 8, 5, 25, 125, 3, 9. 26 września 2009 r. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie

Bardziej szczegółowo

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013 Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

Filozofia, ISE, Wykład V - Filozofia Eleatów.

Filozofia, ISE, Wykład V - Filozofia Eleatów. 2011-10-01 Plan wykładu 1 Filozofia Parmenidesa z Elei Ontologia Parmenidesa Epistemologiczny aspekt Parmenidejskiej filozofii 2 3 Ontologia Parmenidesa Epistemologiczny aspekt Parmenidejskiej filozofii

Bardziej szczegółowo

5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH

5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH 5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH Temat, którym mamy się tu zająć, jest nudny i żmudny będziemy się uczyć techniki obliczania wartości logicznej zdań dowolnie złożonych. Po co? możecie zapytać.

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Argument teleologiczny

Argument teleologiczny tekst Argument teleologiczny i piąta droga św. Tomasza z Akwinu Tekst piątej drogi (z celowości): Piąta Droga wywodzi się z faktu kierowania rzeczami. Stwierdzamy bowiem, że pewne rzeczy, które są pozbawione

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań 1 Struktury modelowe Przedstawimy teraz pewien

Bardziej szczegółowo

Instrukcje dla zawodników

Instrukcje dla zawodników Instrukcje dla zawodników Nie otwieraj arkusza z zadaniami dopóki nie zostaniesz o to poproszony. Instrukcje poniżej zostaną ci odczytane i wyjaśnione. 1. Arkusz składa się z 3 zadań. 2. Każde zadanie

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację

Bardziej szczegółowo

Klasyfikacja światopoglądów

Klasyfikacja światopoglądów Bóg Wszechświat Klasyfikacja światopoglądów Zebranie obrazków i przemyśleń Jesień 2018 wojtek@pp.org.pl http://wojtek.pp.org.pl Klasyfikacja światopoglądów Od pewnego czasu przekonany jestem, że istnieją

Bardziej szczegółowo

Dialektycy i antydialektycy. Filozofia XI w.

Dialektycy i antydialektycy. Filozofia XI w. Dialektycy i antydialektycy Filozofia XI w. Stanowiska Odrodzenie filozofii w XI w. rozpoczęło się od postawienia pytania o to, jak możemy poznać prawdy wiary. Czy możemy je w pełni zrozumieć przy pomocy

Bardziej szczegółowo

Argument teleologiczny

Argument teleologiczny tekst Argument teleologiczny i piąta droga św. Tomasza z Akwinu Argument z celowości 1. W świecie obserwujemy celowe działanie rzeczy, które nie są obdarzone poznaniem (np. działanie zgodnie z prawami

Bardziej szczegółowo

Filozofia, Historia, Wykład IV - Platońska teoria idei

Filozofia, Historia, Wykład IV - Platońska teoria idei Filozofia, Historia, Wykład IV - Platońska teoria idei 2010-10-01 Tematyka wykładu 1 Metafora jaskini 2 Świat materialny - świat pozoru Świat idei - świat prawdziwy Relacja między światem idei i światem

Bardziej szczegółowo

Szeregi o wyrazach dodatnich. Kryteria zbieżności d'alemberta i Cauchy'ego

Szeregi o wyrazach dodatnich. Kryteria zbieżności d'alemberta i Cauchy'ego Szeregi o wyrazach dodatnich. Kryteria zbieżności d'alemberta i Cauchy'ego Przy założeniu, że wszystkie składniki szeregu jest rosnący. Wynika stąd natychmiast stwierdzenie: są dodatnie, ciąg jego sum

Bardziej szczegółowo

Spór o poznawalność świata

Spór o poznawalność świata ROMAN ROŻDŻEŃSKI FILOZOFIA A RZECZYWISTOŚĆ Spór o poznawalność świata Wydawnictwo WAM Kraków 2012 Spis treści Przedmowa 11 Rozdział I Myślenie filozoficzne w cieniu zwątpienia 15 1. Wprowadzenie 15 2.

Bardziej szczegółowo

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego:

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego: Podstawowe definicje Iloraz różnicowy funkcji Def. Niech funkcja będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawierającym punkt. Ilorazem różnicowym funkcji w punkcie dla przyrostu nazywamy funkcję Pochodna

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:

Bardziej szczegółowo

MIND-BODY PROBLEM. i nowe nadzieje dla chrześcijańskiej antropologii

MIND-BODY PROBLEM. i nowe nadzieje dla chrześcijańskiej antropologii MIND-BODY PROBLEM i nowe nadzieje dla chrześcijańskiej antropologii CZŁOWIEK JEST MASZYNĄ (THOMAS HOBBES) Rozumienie człowieka znacząco zmienia się wraz z nastaniem epoki nowożytnej. Starożytne i średniowieczne

Bardziej szczegółowo

Filozofia, Pedagogika, Wykład III - Filozofia archaiczna

Filozofia, Pedagogika, Wykład III - Filozofia archaiczna Filozofia, Pedagogika, Wykład III - Filozofia archaiczna 2009-09-04 Plan wykładu 1 Jońska filozofia przyrody - wprowadzenie 2 3 Jońska filozofia przyrody - problematyka Centralna problematyka filozofii

Bardziej szczegółowo

Drzewa Semantyczne w KRZ

Drzewa Semantyczne w KRZ Drzewa Semantyczne w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 7 XII 2006, 13:30 15:00 Jerzy Pogonowski (MEG) Drzewa Semantyczne w KRZ 7 XII 2006, 13:30 15:00

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język

Bardziej szczegółowo

Logika. Zadanie 4. Sprawdź, czy poniższe funkcje zdaniowe są tautologiami: i) (p q) = ( p q), ii) (p = q) ( p q). Rozwiązanie.

Logika. Zadanie 4. Sprawdź, czy poniższe funkcje zdaniowe są tautologiami: i) (p q) = ( p q), ii) (p = q) ( p q). Rozwiązanie. Logika Zadanie 4. Sprawdź, czy poniższe funkcje zdaniowe są tautologiami: i) (p q) = ( p q), ii) (p = q) ( p q). Rozwiązanie. i) Wprowadźmy oznaczenie F (p, q) ((p q) = ( p q)). Funkcja zdaniowa F nie

Bardziej szczegółowo

Zatem może wyjaśnijmy sobie na czym polega różnica między człowiekiem świadomym, a Świadomym.

Zatem może wyjaśnijmy sobie na czym polega różnica między człowiekiem świadomym, a Świadomym. KOSMICZNA ŚWIADOMOŚĆ Kiedy mowa jest o braku świadomi, przeciętny człowiek najczęściej myśli sobie: O czym oni do licha mówią? Czy ja nie jesteś świadomy? Przecież widzę, słyszę i myślę. Tak mniej więcej

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE POJĘCIA DOTYCZĄCE RELACJI

PODSTAWOWE POJĘCIA DOTYCZĄCE RELACJI PODSTAWOWE POJĘCIA DOTYCZĄCE RELACJI (niniejsze opracowanie jest nieznacznie skróconą wersją opracowania zawartego w książce Zygmunta Ziembińskiego Logika pragmatyczna. (wyd. XIX, s. 95 99). Polecam lekturę

Bardziej szczegółowo

Filozofia, Germanistyka, Wykład IX - Immanuel Kant

Filozofia, Germanistyka, Wykład IX - Immanuel Kant Filozofia, Germanistyka, Wykład IX - Immanuel Kant 2011-10-01 Plan wykładu 1 Immanuel Kant - uwagi biograficzne 2 3 4 5 6 7 Immanuel Kant (1724-1804) Rysunek: Immanuel Kant - niemiecki filozof, całe życie

Bardziej szczegółowo

Medytacja czwarta O prawdzie i fałszu

Medytacja czwarta O prawdzie i fałszu Medytacja czwarta O prawdzie i fałszu W ciągu ostatnich dni tak bardzo przyzwyczaiłem się oddzielać swój umysł od zmysłów i tak dokładnie zrozumiałem, jak niewiele poznaję w sposób pewny na temat rzeczy

Bardziej szczegółowo

Gdzie widać rybę? Marcin Braun Autor podręczników szkolnych

Gdzie widać rybę? Marcin Braun Autor podręczników szkolnych FOTON 128, Wiosna 2015 35 Gdzie widać rybę? Marcin Braun Autor podręczników szkolnych Jednym z najbardziej znanych przykładów załamania światła jest fakt, że gdy znad wody patrzymy na przepływającą rybę,

Bardziej szczegółowo

ARGUMENT KOSMOLOGICZNY PROBLEM POCZĄTKU WSZECHŚWIATA I JEGO PRZYCZYNY

ARGUMENT KOSMOLOGICZNY PROBLEM POCZĄTKU WSZECHŚWIATA I JEGO PRZYCZYNY ARGUMENT KOSMOLOGICZNY PROBLEM POCZĄTKU WSZECHŚWIATA I JEGO PRZYCZYNY O CO CHODZI W TYM ARGUMENCIE Argument ten ma pokazać, że istnieje zewnętrzna przyczyna wszechświata o naturze wyższej niż wszystko,

Bardziej szczegółowo

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej V Konkurs Matematyczny Politechniki iałostockiej Rozwiązania - klasy pierwsze 27 kwietnia 2013 r. 1. ane są cztery liczby dodatnie a b c d. Wykazać że przynajmniej jedna z liczb a + b + c d b + c + d a

Bardziej szczegółowo

Czym jest religia i czy filozofia może ją badać. Problem wiary, rozumu i logiki Definicja religii

Czym jest religia i czy filozofia może ją badać. Problem wiary, rozumu i logiki Definicja religii Czym jest religia i czy filozofia może ją badać Problem wiary, rozumu i logiki Definicja religii Wiara i rozum Czy rozum potrafi udowodnić wszystkie prawdy religijne, czy tylko niektóre, czy może nie jest

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

wiecznie samotny, bo któreż ze stworzonych serc mogłoby nasycić Jego miłość? Tymczasem Bóg jest całą społecznością w wiecznym ofiarowywaniu się z

wiecznie samotny, bo któreż ze stworzonych serc mogłoby nasycić Jego miłość? Tymczasem Bóg jest całą społecznością w wiecznym ofiarowywaniu się z TRUDNY TEMAT Nauczyliśmy się słuchać łatwych kazań. Wygłaszanych, jak to się mówi, pod publiczkę. Nieraz kokieteryjnych, zalotnych, brzdąkających w bardzo serdeczną i łatwą strunę budzenia miłości do bliźniego.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 FILOZOFIA

EGZAMIN MATURALNY 2010 FILOZOFIA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 2010 FILOZOFIA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ 2010 2 Zadanie 1. (0 2) problemów i tez z zakresu ontologii, epistemologii,

Bardziej szczegółowo

Zdrowie jako sprawność i jakość u Tomasza z Akwinu

Zdrowie jako sprawność i jakość u Tomasza z Akwinu Zdrowie jako sprawność i jakość u Tomasza z Akwinu Wstęp Zdrowie to pozytywny stan samopoczucia fizycznego, psychicznego i społecznego, a nie tylko brak choroby lub niedomaganie (Światowa Organizacja Zdrowia

Bardziej szczegółowo

Wstęp. Historia Fizyki. dr Ewa Pawelec

Wstęp. Historia Fizyki. dr Ewa Pawelec Wstęp Historia Fizyki dr Ewa Pawelec 1 Co to jest historia, a co fizyka? Po czym odróżnić fizykę od reszty nauk przyrodniczych, nauki przyrodnicze od humanistycznych a to wszystko od magii? Szkolne przedstawienie

Bardziej szczegółowo

Filozofia przyrody, Wykład V - Filozofia Arystotelesa

Filozofia przyrody, Wykład V - Filozofia Arystotelesa Filozofia przyrody, Wykład V - Filozofia Arystotelesa 2011-10-01 Tematyka wykładu 1 Arystoteles - filozof systematyczny 2 3 4 Różnice w metodzie uprawiania nauki Krytyka platońskiej teorii idei Podział

Bardziej szczegółowo

Całki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych

Całki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 4/14 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n

Bardziej szczegółowo

Czy świat istnieje w umyśle?

Czy świat istnieje w umyśle? Czy świat istnieje w umyśle? W XVIII wieku żył pewien anglikański biskup irlandzkiego pochodzenia, nazwiskiem George Berkeley (1685-1753). Ten erudyta, który za cel postawił sobie zwalczanie ateizmu, studiował

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

Pomyślny los, o traf szczęśliwy. W takim znaczeniu, i tylko w takim, przysłowie mówi o szczęściu, że łut jego więcej wart niż funt rozumu.

Pomyślny los, o traf szczęśliwy. W takim znaczeniu, i tylko w takim, przysłowie mówi o szczęściu, że łut jego więcej wart niż funt rozumu. Pomyślny los, o traf szczęśliwy. W takim znaczeniu, i tylko w takim, przysłowie mówi o szczęściu, że łut jego więcej wart niż funt rozumu. Rodzaj przeżycia Arystoteles określał, że być szczęśliwym to

Bardziej szczegółowo

Paradygmaty dowodzenia

Paradygmaty dowodzenia Paradygmaty dowodzenia Sprawdzenie, czy dana formuła rachunku zdań jest tautologią polega zwykle na obliczeniu jej wartości dla 2 n różnych wartościowań, gdzie n jest liczbą zmiennych zdaniowych tej formuły.

Bardziej szczegółowo

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 2 szkice rozwiązań zadań 1. Dana jest taka liczba rzeczywista, której rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d

Matematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d C. Bagiński Materiały dydaktyczne 1 Matematyka Dyskretna /008 rozwiązania 1. W każdym z następujących przypadków podać jawny wzór na s n i udowodnić indukcyjnie jego poprawność: (a) s 0 3, s 1 6, oraz

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne niezbędne do otrzymania przez ucznia śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych. z przedmiotu etyka

Wymagania edukacyjne niezbędne do otrzymania przez ucznia śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych. z przedmiotu etyka Wymagania edukacyjne niezbędne do otrzymania przez ucznia śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z przedmiotu etyka Klasa 5, rok szkolny 2017/2018 dr Grzegorz Rostkowski Odniesienia do podstawy

Bardziej szczegółowo

Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające

Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające Tomasz Tkocz 10 X 2010 Streszczenie Tekst zawiera notatki do referatu z seminarium monograficznego Wybrane zagadnienia geometrii. Całość jest oparta na artykule

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

Wstęp. Krystalografia geometryczna

Wstęp. Krystalografia geometryczna Wstęp Przedmiot badań krystalografii. Wprowadzenie do opisu struktury kryształów. Definicja sieci Bravais go i bazy atomowej, komórki prymitywnej i elementarnej. Podstawowe typy komórek elementarnych.

Bardziej szczegółowo

1. Dyscypliny filozoficzne. Andrzej Wiśniewski Wstęp do filozofii Materiały do wykładu 2015/2016

1. Dyscypliny filozoficzne. Andrzej Wiśniewski Wstęp do filozofii Materiały do wykładu 2015/2016 1. Dyscypliny filozoficzne Andrzej Wiśniewski Andrzej.Wisniewski@amu.edu.pl Wstęp do filozofii Materiały do wykładu 2015/2016 Pochodzenie nazwy filozofia Wyraz filozofia pochodzi od dwóch greckich słów:

Bardziej szczegółowo

O argumentach sceptyckich w filozofii

O argumentach sceptyckich w filozofii O argumentach sceptyckich w filozofii - Czy cokolwiek można wiedzieć na pewno? - Czy cokolwiek można stwierdzić na pewno? Co myśli i czyni prawdziwy SCEPTYK? poddaje w wątpliwość wszelkie metody zdobywania

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów

Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów Jadwiga Czyżewska Pisane pod kierunkiem W.Guzickiego W 2013 roku na II etapie VIII edycji Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów pojawiło się zadanie o następującej

Bardziej szczegółowo

STRESZCZENIE METAFIZYKI ZE ZBIORU KSIĘGA WIEDZY 1 (tłum. Mieczysław Gogacz)

STRESZCZENIE METAFIZYKI ZE ZBIORU KSIĘGA WIEDZY 1 (tłum. Mieczysław Gogacz) M. Achena, H. Massé STRESZCZENIE METAFIZYKI ZE ZBIORU KSIĘGA WIEDZY 1 (tłum. Mieczysław Gogacz) Awicenna poszukuje najpierw przedmiotu każdej z trzech nauk teoretycznych, aby wykryć przedmiot metafizyki:

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki i teorii mnogości

Elementy logiki i teorii mnogości Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 2 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 27 Plan wykładu

Bardziej szczegółowo

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 0 grudnia 008 r. 88. Obliczyć podając wynik w postaci ułamka zwykłego a) 0,(4)+ 3 3,374(9) b) (0,(9)+1,(09)) 1,() c) (0,(037))

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.

Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór

Bardziej szczegółowo

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów 1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i

Bardziej szczegółowo

Co to jest niewiadoma? Co to są liczby ujemne?

Co to jest niewiadoma? Co to są liczby ujemne? Co to jest niewiadoma? Co to są liczby ujemne? Można to łatwo wyjaśnić przy pomocy Edukrążków! Witold Szwajkowski Copyright: Edutronika Sp. z o.o. www.edutronika.pl 1 Jak wyjaśnić, co to jest niewiadoma?

Bardziej szczegółowo

Czy świat istnieje w umyśle?

Czy świat istnieje w umyśle? Czy świat istnieje w umyśle? W XVIII wieku żył pewien anglikański biskup irlandzkiego pochodzenia, nazwiskiem George Berkeley (1685-1753). Ten erudyta, który za cel postawił sobie zwalczanie ateizmu, studiował

Bardziej szczegółowo

Kultura logiczna Wnioskowania dedukcyjne

Kultura logiczna Wnioskowania dedukcyjne Kultura logiczna Wnioskowania dedukcyjne Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 25 IV 2010 Plan wykładu: Intuicje dotyczące poprawności wnioskowania Wnioskowanie dedukcyjne Reguły niezawodne a

Bardziej szczegółowo

Ciągi komplementarne. Autor: Krzysztof Zamarski. Opiekun pracy: dr Jacek Dymel

Ciągi komplementarne. Autor: Krzysztof Zamarski. Opiekun pracy: dr Jacek Dymel Ciągi komplementarne Autor: Krzysztof Zamarski Opiekun pracy: dr Jacek Dymel Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Pojęcia podstawowe 3 2.1 Oznaczenia........................... 3 2.2 "Ciąg odwrotny"........................

Bardziej szczegółowo

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne.

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 78. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 a) 4 2+log 27 = (2 2 ) log 27 4 = 28 2 = 784 29 listopada 2008

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia

Bardziej szczegółowo

Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń

Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 22 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja

Bardziej szczegółowo

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to

Bardziej szczegółowo

Czy kwadrat da się podzielić na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach? Michał Kieza

Czy kwadrat da się podzielić na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach? Michał Kieza Czy kwadrat da się podzielić na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach? Michał Kieza Łatwo zauważyć, że kwadrat można podzielić na 2, 4, 6,..., a także na dowolną parzystą liczbę trójkątów o równych

Bardziej szczegółowo