Elektrostatyka, cz. 2

Transkrypt

1 Podstawy elektromagnetyzmu Wykład 4 Elektrostatyka, cz. Praca, energia, pojemność i kondensatory, ekrany elektrostatyczne

2 Energia Praca w polu elektrostatycznym dw =F dl=q E dl W = L F d L=q L E d L=q U AB Załóżmy, że opisujemy pole za pomocą potenjału φ dobranego tak, że φ( )=0 Praca na przeniesienie pojedynczego ładunku q z niekończoności do punktu, w którym φ=v jest równa W =q V W jest energią potencjalną ponieważ praca wykonana nad przeniesieniem ładunku może być odzyskana: ładunek posiada pewien potencjał do wykonania pracy. Możemy określić ten potencjał jako W = Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 4, slajd q

3 Energia układu ładunków q q Rozpatrzmy dwa ładunki: q i q Przenosząc q z nieskończoności nie wykonamy żadnej, pracy, ponieważ nie ma (jeszcze) pola. Ładunek q przemieszczamy w polu wytw. przez q: q W = q φ = q 4 π ε r Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 4, slajd 3

4 Trzy ładunki punktowe Rozpatrzmy trzy ładunki: q, q i q3 System q -q posiada (wyznaczoną na poprzednim slajdzie) energię q q q q W = 4 r q3 Potencjał w docelowym dla q3 miejscu jest wynikiem q i q i może być wyznaczony metodą superpozycji: q q φ3 = + 4 π ε r 3 r 3 ( ) Całkowita energia układu q-q-q3: q q q q3 q q3 W = 4 r r 3 r 3 Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 4, slajd 4

5 Zbiór n ładunków Zwróćmy uwagę, że każdy składnik występuje dwa razy stąd /, gdyż energia jest związana z każdą parą ładunków. Energię układu 3 ładunków q-q-q3 możemy zapisać w postaci q q q q 3 q3 q q q3 q3 q q q W = 4 r 4 r 4 r 3 4 r3 4 r 3 4 r 3 Zmieniając kolejność skłądników i przekształcając otrzymamy: W = q q3 q qn [ q q3 q q3 q q q q q3 4 r 4 r 3 4 r 4 r 3 4 r 3 4 r 3 Pierwszy składnik można rozpatrywać jako energię q w polu wytwarzanym przez q i q3, drugi jako energię q w polu q i q3 itd: 3 W = q q q 3 3 = i= q i i Możemy to uogólnić na n ładunków: n W = i= q i i Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 4, slajd 5 ]

6 Energia ciągłego ładunku Liniowy W = dq dl Powierzchniowy ds W = L dl Objętościowy dv W = V dv Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 4, slajd 6 W dlds W= = L S

7 A co w razie braku ładunków? Matematyka dywergencja iloczynu skalar wektor: ( φ D ) =φ D+ φ D dv V W= dv V Prawo Gaussa: D= φ ρ= ( φ D ) φ D W = V D dv V D dv Stosujemy prawo Gaussa do pierwszej całki i definicję potencjału do drugiej: Objętościowa W = V D ds V E D dv gęstość energii Strumień jest równy 0: jeśli V się zwiększa, to potencjał, maleje do zera jak /r, D maleje E D co najmniej tak, jak /r, W = w dv, w= V a powierzchnia zwiękasza się jak r. Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 4, slajd 7

8 Pojemność =const E,D --A E,D B + =const Jednostką pojemności jest farad F=C/V Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 4, slajd 8 Rozpatrzmy dwa przewodniki otoczone izolatorem i naładowane ładunkami o tej samej wartości Q, ale różnych znakach. Całkowity ładunek wynosi 0. Ładunek jest rozmieszczony na powierzchni przewodników (pow. gęstość) Natężenie pola na zewnątrz przewodników, przy ich powierzchni jest prostopadłe do tej powierzchni. Wektor E wskazuje od dodatnio- do ujemnie naładowanego przewodnika. Oznacza to, że aby przenieść dodatni ładunek z p. A do p. B musimy wykonać pewną pracę. Inaczej mówiąc: taki system przechowuje pewną ilość energii. Możemy zdefiniować pojemność C: C = Q, U gdzie Q jest ładunkiem na okładkach, a U napięciem między okładkami. U =

9 Kondensator płaski Dwie nieskończone, równoległe płyty metalowe rozdzielone warstwą dielektryka o grubości d. Płyty naładowano ładunkiem o różnych znakach i stałej powierzchniowej gęstości σ. Dn D n =, Et E t =0, Pole elektryczne w dielektryku jest równe: S S d C= S d Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 4, slajd 9 E=. Napięcie między płytami prawa U= lewa σε dl=d σε. Dla płyt o powierzchni S Q S U =d, Q= S, C= =. U d

10 Kondensator kulisty Q +Q r Dwie koncentryczne sfery rozdzielone warstwą dielektryka o grubości r-r. Sfery naładowano ładunkiem ±Q. Z prawa Gaussa można wyznaczyć pole w dielektryku r E= Q. 4 r Napięcie między sferami r Q Q U= dr=. r 4 4 r r r Pojemność: 4 r r C= r r Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 4, slajd 0 4 r r 4 C= =. r r r r

11 Kondensator cylindryczny Q l r +Q Dwa współosiowe cylindry o długości l oddzielone warstwą dielektryka o grubości r-r. Cylindry naładowano ładunkiem ±Q. Pomijając zjawiska przy krańcach możemy wyznaczyć pole w dielektryku: Q E=. r l r Napięcie: r r Q Q U= dr= ln. r l r l r Pojemność: l C= r ln r Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 4, slajd l C=. r ln r

12 Życie nie jest takie proste! Rzeczywiste kondensatory mają krańce. Niejednorodność pola przy tych krańcach powoduje, że realistyczne modele są znacznie bardziej złożone, niż proste przypadki pokazane wcześniej. Obejrzyjmy pole w bardziej realistycznym modelu, pokazanym po prawej (tylko ¼ przekroju kondensatora została zasymulowana numerycznie). Jasno widać zniekształcenie pola przy krańcu. Potwierdza to rozkład wartości Dx wzdłuż odcinka AA': A' A d Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 4, slajd

13 Życie nie jest takie proste! (c.d.) Rzeczywiste okładki mają pewną grubość. Odgrywa ona istotną rolę, gdy wyznaczamy pole na krańcach kondensatora. Porównajmy dwa modele : Bardzo cienkie okładki Zwróć uwagę na maksymalne wartości D Realistyczne, okładki, g=mm Teoria: d= cm s= 9 cm C= ff. Simulacje: g=0 C =805.8 ff, g= mm C = 80.6 ff, g=0. mm C = ff Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 4, slajd 3

14 Energia w kondensatorze Rozpatzrmy kondensator płaski (d,s,ε) naładowany ±Q. Pole w dielektryku Q E=, = S lub (jeśli znamy napięcie U) E= S S Objętościowa gęstość energii: E D E U w= = =. d d I całkowita energia: CU W= Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 4, slajd 4 U. d W = V U w dv =w S d= S d= d S U C U = =. d

15 Energia w kondensatorze (c.d.) Rozpatrzmy kondensator cylindryczny (l, r,r,ε). Pole elektryczne: Q E= Q l r +Q r Z def. pojemności: r l Q=C U.. Gęstość energii E C U w= =. 8 l r Element objętości Całkowita energia CU r W = r r l dr= /C 8 l r r ln r C U r C U C U = dr= l =. 4 l r r CU W= Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 4, slajd 5

16 Pojemność wzajemna Rozpatrzmy kabel trójżyłowy. Analizując rozkład pola w przekroju kabla możemy wyznaczyć napięcia między żyłami. Możemy wprowadzić pojęcia pojemności wzajemnych Cij dla każdej pary przewodów i pojemności własnych Ci każdej żyły względem pancerza. C C C3 3 C3 C3 Analiza pojemności własnych i wzajemnych jest istotna, jeśli kablem ma być przesyłana energia lub sygnały. Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 4, slajd 6 C

17 Przesłuch Porównaj poniższe rysunki. Zauważ, jak różni się D w pobliżu -drugiego (nie zasilanego!) przewodu. Pamiętaj, że Dn=σ na powierzchni przewodu! Zmiany UAO (lewy przewód) mogą być obserwowane w prawym przewodzie! Fig. A: UA0=V, UB0=0.44 V Obrazki są podobne, ale wartości pola RÓŻŃE! UAO Fig. B: UA0=V, UB0=0.885 V Analizując model obwodowy powinniśmy uwzględniać pojemności wzajemne. Przesłuch między przewodami będzie tym większy im wyższa jest częstotliwość. Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 4, slajd 7 C3

18 Jak zmniejszyć przesłuch? Można umieścić przeodzącą płytę pomiędzy przewodami Fig. A: UA0=V, no plate UB0=0.44 V Płyta nie jest połączona z masą Fig. B: UA0=V, with plate UB0= V C3 Fig. B: UA0=V, UB0=0.885 V Wygląda lepiej? Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 4, slajd 8

19 Jak zmniejszyć przesłuch? Płyta nie jest połączona z masą Ale problem wciąż istnieje! Fig.A:A:UUA0 =V,no plate Fig. =V, A0 UB0= V UB0=0.44 V Fig.A:B:UUA0 =V,no plate Fig. =V, A0 UB0=0.467 V UB0=0.44 V Przewody wciąż się,,widzą. Zmiany UA0 można obserwować w drugim przewodzie jako UB0. Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 4, slajd 9 (c.d.)

20 Rozwiązanie Łączymy płytę z masą. Płyta jest połączona z masą. Fig.A:A:UUA0 =V,no plate Fig. =V, A0 UB0=.36 μv UB0=0.44 V Fig.A:B:UUA0 =V,no plate Fig. =V, A0 UB0=.7 μv UB0=0.44 V W modelu numerycznym UB0 zmienia się, gdy zmienia się UA0 ale wartość UB0 jest poniżej progu błędu. Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 4, slajd 0

21 Ekrany przewodzące Porównaj obrazki. Obydwa przedstawiają pole wewnątrz płaskiego kondensatora, zasilanego ± V. Odległość między okładkami to 4 cm, a więc natężenie pola to 500 V/m (lewy obrazek). Po wstawieniu do kondensatora przewodzącej rury (przerywana linia na prawym obrazku) pole wewnątrz rury jest równe zero (prawy obrazek) pole elektrostatyczne wewnątrz przewodnika jest = 0. Zero! Wydrążony przewodnik umożliwia całkowitą osłonę przed zewnętrznym polem elektrostatycznym! Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 4, slajd

22 Ekranowanie (c.d.) Ekran nie musi być całkowicie zamknięty. Nawet spore otwory w powierzchni przewodnika nie zmieniają tego, że pole wewnątrz jest ciągle mniejsze niż poza ekranem. E < 9 V/m Metalowa siatka może skutecznie osłonić duże obiekty. Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 4, slajd E < 5 V/m

23 Ekranowanie (c.d.) Zastosowanie zapewne najczęściej spotykane Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 4, slajd 3

24 Ekrany z dielektryków Warstwa Warstwadielektryka dielektrykaooinnej innejprzenikalności przenikalnościtakże takżeekranuje! ekranuje! Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 4, slajd 4 Moduł E jest ponad 0 razy mniejszy.

25 Ekrany dielektryczne Ekranem Ekranemmoże możebyć byćdielektryk dielektrykoomniejszej mniejszejlub lubwiększej większejprzenikalności. przenikalności Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 4, slajd 5 Moduł E jest ponad 0 razy mniejszy.

26 Ekrany dielektryczne Liczy Liczysię sięrelacja relacjawzględnych względnychprzenikalności przenikalnościekranu ekranui iotoczenia. otoczenia Wprawdzie w inny sposób, ale pole wewnątrz ekranów jest tak samo osłabione. Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 4, slajd 6