maj/czerwiec/2008 nr 33 Czasopismo dla nauczycieli szkó³ œrednich cena 7 z³ ISSN

Transkrypt

1 nr 33 maj/czerwiec/2008 Czasopismo dla nauczycieli szkó³ œrednich cena 7 z³ ISSN

2 ZAPRASZAM DO LEKTURY! 1 Za cztery lata koniec świata Zapowiadane przez panią minister K. Hall rozporządzenie o podstawie programowej ma całkowicie zmienić zasady organizacji pracy w szkołach średnich. Możemy się pocieszać, że w tych szkołach wejdzie ono w życie dopiero za cztery lata, ale lepiej się już przygotowywać, ponieważ rzeczywiście zmiany idą ogromne, a po drodze mamy jeszcze obowiązkową maturę z matematyki. Na razie dziennikarze straszą, że obniży się poziom nauczania, bo uczniowie przestaną się uczyć niektórych przedmiotów już po pierwszej klasie. Te obawy w części wynikają z nieznajomości projektu zmian, ale głównie są skutkiem silnie zakorzenionego przekonania, że trzeba pobierać lekcje z jak największej liczby przedmiotów, choćby tylko raz w tygodniu, aby być wszechstronnie wykształconym. O tym skąd się wzięło takie przekonanie i jak słabe ma ono podstawy, pisze Agnieszka Piecewska-Łoś w artykule Hall kontra Romanow (s. 7 8). O zmianach, które nadchodzą, można także przeczytać w kilku innych artykułach z działu Edukacja. A co ze zmianami, które wprowadzono już rok temu? Mam wrażenie, że niewielu nauczycieli zdaje sobie z nich sprawę. Mam na myśli na przykład fakt, że uczniowie po gimnazjum mogą teraz dużo mniej wiedzieć o funkcjach. Na przykład wcale nie muszą poznać definicji funkcji i mogą nic nie wiedzieć o funkcji liniowej. Warto zatem zmienić sposób prowadzenia lekcji o funkcjach. Zachęcam do przeczytania artykułów z działu Temat numeru, które są poświęcone właśnie pomysłom na lekcje o funkcjach. PS W poprzednim numerze w tym miejscu popełniłem przykrą pomyłkę. Artykuł pani Dominiki Szpic-Siwińskiej błędnie przypisałem panu Marcinowi Braunowi. Autorkę serdecznie za ten błąd przepraszam.

3 Matematyka wszkole Czasopismo dla nauczycieli szkół średnich Adres redakcji: Gdańsk al. Grunwaldzka 413 tel fax Dział sprzedaży: tel Adres do korespondencji: Matematyka w Szkole Czasopismo dla nauczycieli szkół średnich skr. poczt Gdańsk 52 gazetamws@gwo.pl Wydawca: Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, Sp. z o.o Gdańsk, al. Grunwaldzka 413 KRS przy Sądzie Rejonowym w Gdańsku Redaktor naczelny: Marcin Karpiński Redaguje kolegium: Marcin Braun Małgorzata Domian Agnieszka Frączyk Aleksandra Golecka-Mazur Jacek Lech Agnieszka Szulc Projekt graficzny: Rafał Szczawiński / Pracownia Ilustracje: Sławomir Kilian SPIS TREŚCI EDUKACJA 3 Michał Szurek Co by tu jeszcze...? 5 Tomasz Malec Funkcje potrzebne i niepotrzebne 7 Agnieszka Piecewska-Łoś Hall kontra Romanow 9 Marcin Karpiński Inna podstawa TEMAT NUMERU FUNKCJE 11 Adrian Pająk Wykres z komputera 13 Leszek Marcinkiewicz Funkcje, których nie znamy 16 Mariusz Dynek Funkcje w Winplocie 20 Nikodem Misterski Pierwiastek trzeciego stopnia 21 Grażyna Miłosz Zobacz dziedzinę 24 Marcin Braun Pochodna dla normalnych ludzi 27 Jerzy Janowicz Kilka innych zadań o funkcji NAUCZANIE MATEMATYKI 29 Robert Stefaniuk Więcej szkody czy pożytku? 31 Wiktor Żarnowiecki Ostrożnie z upraszczaniem 32 List od Czytelnika zł za matematykę. Ogólnopolski konkurs na film 35 Konkurs dla zdolnych Europejczyków 36 Michał Szurek Niezależność zdarzeń i schemat Bernoullego 41 Bożenna Kukier, Paweł Soboń Czarne dziury matematyki 43 Mirosława Goljasz, Edward Zych Śladami Euklidesa. Boki i środkowe boków w trójkącie ZOSTATNIEJŁAWKI 46 Matematyk wie lepiej Skład: Maria Chojnicka Łukasz Sitko Joanna Szyller Zdjęcie na okładce: Magdalena Tomczyk Druk i oprawa: Normex, Gdańsk Nakład: 1200 egz.

4 TEMAT NUMERU 13 Leszek Marcinkiewicz FUNKCJE, KTÓRYCH NIE ZNAMY Funkcje to dla uczniów temat dość trudny i często wprowadzany na lekcjach w oprawie dość schematycznych, algorytmicznych zadań. Na dodatek od czasu nowej matematyki (w Polsce lata 70. ubiegłego wieku) funkcje są osadzone w bardzo nieintuicyjnym kontekście teoriomnogościowym. Na lekcjach matematyki prawie w ogóle nie pojawia się traktowanie funkcji jako opisu zależności między dwiema zmieniającymi się wielkościami, mimo że taki jest główny cel posługiwania się funkcjami w innych dziedzinach wiedzy. W tym artykule znajdziecie Państwo zarówno typowe, jak i nietypowe zadania o funkcjach, dzięki którym będziecie mogli ćwiczyć z uczniami rozumienie wielu istotnych cech zależności funkcyjnej. C przesunięcie o 3 jednostki w lewo D część wykresu leżąca powyżej osi x zostaje bez zmian, a pozostała część jest odbijana w symetrii względem tej osi Wypełniajcie w grupach kolejne wiersze poniższych tabel (zawsze zaczynajcie od funkcji y = x), na folii narysujcie odpowiedni wykres i oznaczcie go odpowiednią literą (A, B, C lub D). Zadanie 1 Dzielimy uczniów na cztery grupy. Każda grupa otrzymuje czystą folię, pisak (każda grupa innego koloru) oraz kartkę formatu A4. Na jednej stronie tej kartki narysowany jest układ współrzędnych i wykres funkcji y = x, a na drugiej stronie znajduje się następujące polecenie: Przyłóżcie folię do kartki i przerysujcie na folię ten wykres. Literami A, B, C, D oznaczamy następujące operacje na wykresie funkcji: A odbicie w symetrii względem osi x B przesunięcie o 1 jednostkę w dół

5 14 TEMAT NUMERU Zadanie 2 W poniższej tabeli podano kursy niektórych walut w NBP (kupna i sprzedaży) w pewnym dniu. Oznaczmy literą x kwotę w złotych, a literą y kwotę w dolarach. c) Oznacz literą b, ile dolarów można kupić za a złotych. d) Oznacz literą c, ile złotych można otrzymać, sprzedając b dolarów. Na rysunku zaznaczono kwotę p dolarów. e) Oznacz literą q, ile złotych można otrzymać, sprzedając p dolarów. f) Oznacz literą r, ile dolarów można otrzymać, sprzedając q złotych. Jak można zinterpretować różnicę a c, ajakróżnicęp r? Zadanie 3 Winda budowlana porusza się ze stałą prędkością 20 m/min. Gdy znajduje się na wysokości 45 m nad powierzchnią ziemi, wypada z niej cegła. Przedstawione wykresy opisują zależność między tymi kwotami. Zapisz literę f przy wykresie odpowiadającym zakupowi dolarów przez klienta oraz literę g przy wykresie odpowiadającym sprzedaży dolarów przez klienta. Wzory na odległość: windy od ziemi: y = x, gdzie x czas w sekundach od momentu, gdy wypadła cegła cegły od ziemi: y =45 5x 2 Zapisz wzór funkcji opisującej, w jaki sposób y zależy od x wprzypadku: a) zakupu dolarów (funkcja f ), b) sprzedaży dolarów (funkcja g). Na rysunku zaznaczono kwotę a w złotych. a) Oblicz długość odcinka AB. Zinterpretuj znaczenie tej wielkości. b) Oblicz, w jakiej odległości od ziemi znajdowała się winda w momencie, gdy cegła uderzyła o ziemię. c) Oszacuj: w jakiej odległości od ziemi była winda, gdy cegła była 30 m od ziemi, po jakim czasie winda była na tej samej wysokości nad ziemią co cegła po 1 sekundzie.

6 TEMAT NUMERU 15 d) Narysuj wykres przedstawiający odległość między windą a cegłą w pierwszych 6 sekundach. Zadanie 4 Do kilku naczyń o jednakowej wysokości i jednakowej pojemności 10 litrów wlewano wodę w tym samym tempie. Na wykresach przedstawiono poziom wody w tych naczyniach w czasie ich napełniania. Połącz w pary te wykresy, które odpowiadają tym samym naczyniom. Zadanie 6 Na wykresie przedstawiono, jak zmieniał się poziom wody wlewanej do pewnego naczynia. Naszkicuj kształt naczynia. Zadanie 5 Naszkicuj wykres ilustrujący, w jaki sposób zmienia się poziom wody wlewanej stałym strumieniem do naczynia o kształcie przedstawionym na rysunku. Zadanie 7 Znajdź wzór, który opisuje, jak zmienia się poziom wody wlewanej do naczynia w kształcie stożka o promieniu podstawy r i wysokości h.

7 24 TEMAT NUMERU POCHODNA Marcin Braun DLA NORMALNYCH LUDZI Gdyby Matematyka w Szkole miała wersję dźwiękową, podkładem muzycznym do artykułu o nauczaniu pochodnych mogłaby być piosenka Pojawiasz się i znikasz. Kiedyś o pochodnych uczono się dopiero na studiach, później trafiły do szkół średnich. W ramach reformy Handkego ograniczono je do zakresu rozszerzonego. Teraz znikły zupełnie, ale według nowego projektu mają wrócić do rozszerzenia. Szkoda, że w ramach tych ciągłych zmian nie pojawia się jeszcze jedno rozwiązanie: nauczać, ale inaczej niż do tej pory. Z mojego bowiem doświadczenia wynika, że trudne dla uczniów nie jest samo pojęcie pochodnej, ale sposób, w jaki jest wprowadzane. Uczniowie mają je zrozumieć na podstawie skomplikowanej definicji wykorzystującej pojęcie granicy pojęcie trudne, a przy tym ledwo wprowadzone i nieugruntowane. Tymczasem formalną definicję zrozumieć i docenić może ten, kto wcześniej dobrze poznał i zrozumiał definiowane pojęcie. Czy możemy sobie wyobrazić, że dzieci w przedszkolu, poznając kształt koła, słyszą, że składa się ono z punktów, których odległość... itd.? Chociaż na ogół rozumieją pojęcie odległości, po takiej definicji nikt nie umiałby sobie wyobrazić, co to jest koło. Dopiero kiedy ktoś doskonale to wie, niejedno koło już zobaczył i narysował, może poznać jego ścisłą definicję. Z pochodnymi może być tak samo. Uczniowie szkoły średniej powinni rozumieć to pojęcie intuicyjnie i posługiwać się nim jako wygodnym narzędziem. Na formalną definicję przyjdzie czas później można ją spokojnie zostawić na studia. Podobnie było zresztą w historycznym rozwoju matematyki. Najpierw uczeni wynaleźli pochodne i zaczęli się nimi posługiwać. Zanim powstała ścisła definicja pochodnej, biegle rozwiązywali wiele równań różniczkowych i rozwijali funkcje w szeregi. Skąd pomysł, że dzisiejszy uczeń jest w stanie przeskoczyć prawie dwieście lat pracy uczonych w czasie jednej lekcji?

8 TEMAT NUMERU 25 Wspomnienia Miałem to szczęście, że nie zdążyłem się dowiedzieć, jakie trudne są pochodne, bo już w pierwszej klasie liceum potrzebowałem ich do rozwijania moich zainteresowań fizycznych. Dowiedziałem się więc z jakiejś popularnej książki, że pochodna opisuje, jak szybko funkcja rośnie albo maleje. Prędkość to pochodna położenia po czasie, przyspieszenie pochodna prędkości. Pochodna opisuje także nachylenie stycznej do wykresu. A jak się liczy pochodne? Ano, trzeba zajrzeć do Bronsztajna. Po kilku latach z przyjemnością dowiedziałem się, że istnieje formalna definicja, której piękno mogłem docenić, skoro samo pojęcie rozumiałem już od dawna. Czy zrozumiałbym ją, gdybym wcześniej nie wiedział, o co chodzi? Wątpię. Kiedy więc zostałem nauczycielem, nie miałem wątpliwości, że wszyscy moi uczniowie powinni rozumieć, o co chodzi w pojęciu pochodnej. A definicję możemy omówić z najlepszymi. I okazało się, że nawet ci, którzy mieli problemy z działaniami na ułamkach, bez problemu wskazywali na wykresie, gdzie funkcja ma dodatnią, a gdzie ujemną pochodną. Ba! Widzieli, gdzie pochodna jest większa, a gdzie mniejsza. Chyba więc pojęcie nie było dla nich zbyt trudne. Podobne doświadczenia opisywał niedawno na tych łamach Adam Miziołek 1. Pisze on: wielu uczniów i tak jej [formalnej definicji pochodnej] nie zrozumie, już bowiem zrozumienie pojęcia granicy wymaga zdolności w abstrakcyjnym myśleniu. Ważne jest, że prawie każdy zrozumie sens pochodnej i jej podstawowe zastosowania. Fizyka czy geometria? Nowy projekt podstawy programowej obejmuje zarówno geometryczną, jak i fizyczną interpretację pochodnej. Pewnie słusznie. Można się jednak zastanawiać, od której zacząć. Moim zdaniem lepiej od geometrii. Pojęcie prędkości to świetna interpretacja, problem w tym, że czasem bywa fatalnie wyjaśniane w szkole, a wtedy odwołanie do niego nie będzie żadnym ułatwieniem. Z wykresami uczniowie spotykają się dziś w szkole znacznie częściej niż kiedyś, a co ważniejsze znają je także z życia codziennego, choćby z ilustracji w gazetach. Dla większości uczniów nie stanowi problemu odczytanie z wykresu, kiedy WIG rósł, kiedy spadał, a kiedy osiągnął minimum. A nawet, kiedy spadał wolniej, a kiedy szybciej. Jeśli się odwołamy do tych umiejętności, wprowadzenie pochodnej nie będzie problemem. Pięć kroków Lekcję o pochodnych możemy przeprowadzić w kilku krokach: 1. Przypominamy pojęcie nachylenia wykresu. Uczniowie odczytują (ujemne, dodatnie i zerowe) nachylenia różnych (narysowanych, a nie danych w postaci wzoru!) prostych. Niech jednak te proste coś przedstawiają, np. wzrost/spadek kursu akcji. Możemy tutaj zapytać od razu, o ile akcje drożały w ciągu dnia. Umowa, że obniżka ceny to ujemna podwyżka nie będzie dla uczniów zaskoczeniem. I możemy nawet od razu powiedzieć, że to się nazywa pochodna. 2. Pokazujemy wykres funkcji kawałkami liniowej. Możemy odczytać pochodną na prostych kawałkach, a przy okazji widzimy, że w punktach zgięcia pochodnej nie ma. 3. Pokazujemy krzywą. Niech to będzie na przykład wykres przedstawiający wysokość, na której leciał samolot, w zależności od czasu. Łatwo się zgodzić, kiedy pochodna powinna być dodatnia, a kiedy ujemna, kiedy większa, a kiedy mniejsza. Ale jak wyrazić

9 26 TEMAT NUMERU ją liczbowo? Pokazujemy, że styczna najlepiej oddaje nachylenie wykresu w danym punkcie. Styczną rozumiemy oczywiście tylko intuicyjnie, zresztą nie da się inaczej bez popadania w błędne koło: ścisła definicja stycznej opiera się na pojęciu pochodnej. 4. Możemy teraz wyznaczać przybliżoną wartość pochodnej funkcji danej w postaci wykresu, rysując styczną na oko od przyłożonej do wykresu przezroczystej linijki. 5. Od razu, nie czekając na jakiekolwiek rachunki, możemy odpowiedzieć na pytania o pochodną funkcji rosnącej, malejącej i o pochodną w maksimum lub minimum. Teraz uczniowie rozumieją już, co to jest pochodna. Oczywiście intuicyjne rozumienie pochodnej nie pozwala jeszcze wykonywać obliczeń. Cóż więc zrobić, aby uczniowie mogli rozwiązywać choćby proste zadania rachunkowe? Pewnie niektórzy uznają moją radę za kontrowersyjną, ale wzory na pochodną sumy, różnicy i iloczynu możemy podać bez dowodu. A z nich łatwo przejść do pochodnych wielomianów; nie musimy prowadzić formalnej indukcji, aby zobaczyć, co wyjdzie. Można oczywiście argumentować, że w matematyce wszystko powinno mieć swoje ścisłe uzasadnienie. Jednak w praktyce wcale tak nie jest. Wiele faktów podaje się bez dowodu. Skoro więc wszystkiego udowodnić w szkole nie zdołamy, a chcielibyśmy zapoznać uczniów z matematycznym dowodzeniem, warto się zastanowić, czy akurat wyprowadzanie wzorów na pochodne jest najlepszą okazją do nauki rozumowania. Moim zdaniem jest to raczej jedna z najgorszych okazji. W długich przekształceniach algebraicznych i tak nie widać toku myślenia. Znacznie lepiej pokazywać dowody geometryczne. Możemy udowodnić własności czworokątów, jak choćby to, że jeśli czworokąt ma przeciwległe boki równe, to jest równoległobokiem. Można przy tym nawet zwrócić uwagę na to, że twierdzenie równoległobok ma przeciwległe boki równe to inne twierdzenie i wymaga osobnego dowodu. A każdy z tych dowodów uczeń może zobaczyć na rysunku i zrozumieć. Formalizm dla każdego? Taki schemat lekcji każdy może sobie zaadaptować do własnych warunków. Kto jednak chciałby zobaczyć szczegółowe rozwiązanie, znajdzie je w drugiej części tego artykułu (w następnym numerze pisma). Ajakjąliczyć? I jeszcze jedna uwaga. Pisałem wcześniej, że aby zrozumieć i docenić formalną definicję, trzeba najpierw dobrze rozumieć intuicyjnie definiowane pojęcie. Warto dodać, że jest to warunek konieczny, ale nie dostateczny. Poza tym trzeba jeszcze w ogóle doceniać piękno formalnych teorii. Czyli mieć duszę matematyka. A czy każdy musi ją mieć? Zatrważająco wiele dowcipów matematycznych zaczyna się od: Matematyk i normalny człowiek.... Spróbujmy popatrzeć na pochodne z innego punktu widzenia niż punkt widzenia zawodowego matematyka. 1 A. Miziołek, Pochodna bez granic, Matematyka w Szkole, nr 25, listopad/grudzień 2005, s

10