i ich przepływy październik 2013 Zawiesiny cząsteczkowe o niskich koncentracjach i ic

Transkrypt

1 Zawiesiny cząsteczkowe o niskich koncentracjach i ich przepływy październik 2013

2 Ruch małych cząstek Zagadnienia środowiskowe transportu często koncentrują się na transporcie małych cząsteczek (sadza, popiół, organiczne cząsteczki w ściekach) małe?? d 10 5 m. Nie tylko same cząsteczki są ważne, ale to co potrafi się przykleić do ich powierzchni (np. pestycydy zaadsorbowane na cząsteczkach iłu w strumieniu). Jakie siły decydują o ruchu cząsteczek w takich ośrodkach?

3 Siły oporu działające na sferę Rysunki Opływ cząsteczki dla niskich wartości liczby Reynoldsa. Komentarze Rozważamy opływ cząsteczki (średnica d cz) przez płyn (gęstość ρ pl ; lepkość µ), poruszający się ze stałą prędkością U (prędkość daleko od cząsteczki to jest bardzo ważny warunek brzegowy). Pamiętamy (?), że podstawowym (i bezwymiarowym) parametrem określającym przepływy jest liczba Reynoldsa, Re (1) Re cz = d czuρ pl. µ Dla Re 1 mamy tzw. przepływ Stokes a symetryczny (przód/tył, góra/dół), bez efektów powierzchniowych.

4 Siły oporu działające na sferę, c.d. Siła oporu całkowitego, na który składa się tzw. opór kształtu i opór naskórkowy to dobrze nam znany wzór Stokesa: (2) F op = 3πd cz Uµ = 6πr cz Uµ. liczba Reynoldsa??? stosunek charakterystycznych skali czasu dla procesów lepkości i konwekcji, albo (odwrotności) sił potrzebnych do pokonania oporu lepkiego i sił bezwładności (czyli sił potrzebnych do nadania określonej energii kinetycznej). Dla Re 1 charakterystyczny czas lepki (jego jednostka) jest dużo mniejszy od czasu bezwładnego, albo siły lepkości są znacznie skuteczniejsze niż bezwładnościowe. Dla takiej właśnie sytuacji równanie (2) jest poprawne. Dla Re > 1 siły oporu już trzeba wyznaczać inaczej, np. eksperymentalnie. U podstaw takich metod eksperymentalnych leży wzór Newtona...

5 wzór Newtona (3) F op = 1 2 C opρ pl U 2 A, gdzie F op to siła oporu przy przepływie ustalonym, C op współczynnik oporu, A pole powierzchni przekroju cząsteczki, widzianego przez poruszający się płyn. Właśnie współczynniki C op są określane eksperymentalnie (wykresy, lub formuły empiryczne). Np. dla sfer C op = 24 Re cz 0 Re cz 2, C op = 18, Re cz 2 Re cz 500, C op = Re cz

6 wzór Newtona, współczynniki C op Wykresy współczynnika C op dla sfer, walców i dysków, w funkcji liczby Reynoldsa.

7 wzór Newtona, c.d. Dla małych (malutkich!) cząsteczek możemy mieć kłopoty z utrzymaniem pojęcia ośrodka ciągłego cząsteczka o wymiarach porównywalnych z wymiarami cząsteczek ośrodka ciągłego porusza się pomiędzy takimi cząsteczkami swobodniej, wykorzystując luki w (ziarnistej już) strukturze ośrodka. Prowadzi to do pewnej modyfikacji prawa Stokesa (4) F op = 3πdUµ C C, d d cz, C C to tzw. współczynnik poślizgu Cunninghama: (5) C C = 1 + Kn [α + β exp( γ/kn)] ; (α = 1.257; β = 0.40; γ = 1.10 współczynniki liczbowe). Powyższy wzór, zastosowany do powietrza jako medium w którym poruszają się nasze cząsteczki (średnica d) daje następujące wyniki:

8 Współczynnik poślizgu Cunninghama dla powietrza w funkcji średnicy cząstek (p = 1 atm; t = 25 C). średnica d [µm] C C (Flagan, Seinfeld, Fundamentals of Air Pollution Engineering,, Prentice Hall 1988) Tak jest dla cząsteczek o kształcie sferycznym.

9 Współczynnik kształtu Dla innych cząsteczek, takich jak wydłużone (bakterie, cząsteczki włókien) lub zgoła nieregularne (sadza, węglan wapna)? W oparciu o wyniki różnych pomiarów można wprowadzić kolejną poprawkę do wzoru Stokesa; wyliczona z niego siła oporu zostaje w zależności od kształtu przemnożona przez pewien współczynnik kształtu χ większy od jedności, a występująca we wzorze średnica cząstki zostaje zastąpiona średnicą równoważną (ekwiwalentną) d eq (średnicą sfery o takiej samej objętości jaką ma niesferyczna cząstka). (6) F op = 3πχd eq Uµ. Wartości χ dla różnych kształtów geometrycznych i dla różnych, konkretnych materiałów można znaleźć w tabelach.

10 Wzór Stokesa niskie wartości Re Rozważamy (znany nam z Pracowni Fizycznej) przypadek sferycznej cząsteczki, opadającej z prędkością v = v(t) w (nieruchomym) płynie. Równanie Newtona dla tego jednowymiarowego ruchu ma postać dv M cz dt (7) = F ciążenia F wyporu F oporu stacjonarnego F oporu niestacjonarnego F c F w F S F n. Różnica sił ciążenia i wyporu = różnicy ciężarów: cząstki i wypartej przez cząstkę objętości płynu: F c F w = M cz g M pl g = V cz (ρ cz ρ pl )g. Siła F S to wzór Stokesa. F n = 1 2 M pl dv dt d2 πρpl µ t 0 dv dt dt. t t Pierwszy z nich pochodzi od konieczności przyspieszenia nie tylko samej cząstki, ale także płynu będącego w jej bezpośrednim sąsiedztwie; drugi (tzw. przyczynek Basseta) to historia cząstki (całkujemy względem czasu t mierzonego wstecz, od aktualnej chwili t; t t to czas który upłynął od momentu t do chwili t).

11 Wzór Stokesa niskie wartości Re, c.d. W przypadku opadania w powietrzu, wyraz niestacjonarnego oporu jest praktycznie zawsze do zaniedbania (małe wartości M pl i ρ pl ). Wykorzystujemy jawną postać wzoru na F S (ze współczynnikiem poślizgu) w równ. Newtona: (8) dv dt + ( 18µ C C ρ cz d 2 ) v = ρ cz ρ pl g ρ cz proste równanie różniczkowe (niejednorodne, pierwszego rzędu), z warunkiem v(t = 0) = 0 i z rozwiązaniem (9) v = v(t) = ρ cz ρ pl ρ cz gτ[1 e ( t/τ) ].

12 Wzór Stokesa niskie wartości Re, c.d. Prędkość cząstki opadającej w stacjonarnym płynie.

13 Wzór Stokesa niskie wartości Re, c.d. Występująca w równaniu wielkość τ ma (jak wynika z postaci równania) wymiar czasu: (10) τ = C Cρ cz d 2 18µ i jest czasem charakterystycznym problemu. Dla t, w praktyce dla t równego paru wielokrotnościom czasu charakterystycznego τ, człon eksponencjalny w (9) jest do zaniedbania i prędkość osiąga wartość graniczną v gr : (11) v = v gr = ρ cz ρ pl gτ = C C(ρ cz ρ pl )d 2. ρ cz 18µ

14 Wzór Stokesa niskie wartości Re, c.d. Warto policzyć τ dla powietrza w warunkach pokojowych i na przykład cząstki o średnicy mikrona. Korzystamy z (10) (12) τ = C Cρ cz d 2 18µ = kg/m 3 ( m) ( kg/m s) s. Wniosek: procesy sedymentacji kurzu odbywają się praktycznie ze stałą (graniczną) prędkością. Dla cząsteczek aerozoli wypór hydrostatyczny jest praktycznie do zaniedbania i wzór (11) upraszcza się do (13) v gr = gτ = C Cρ cz d 2 18µ g. Z kolei, dla cieczy C C 1 (brak poślizgu) i (14) v gr = (ρ cz ρ pl )d 2 g. 18µ

15 Cząstka w polu elektrycznym Cząstki aerozoli często posiadają powierzchniowe ładunki elektryczne. na cząstkę taką, o ładunku q, w polu elektrycznym E, działa siła elektryczna : F e = qe. W równaniach ruchu zaniedbujemy mało istotne siły grawitacji i wyporu (uwzględniamy jedynie siłę elektryczną i siłę oporu stacjonarnego) prosty wzór na v gr : (15) v gr = C CqE 3πµd =... = τ qe M cz. Wyraz qe/m cz to siła (elektryczna) na jednostkę masy; tak więc v gr to iloczyn tej siły i czasu charakterystycznego.

16 Sedymentacja objętościowa przypadek zerowego i pełnego mieszania Prawo Stokesa odnosi się do pojedynczych cząstek. Problemy środowiskowe koncentrują się na układach cząstek: sedymentacja szczątków roślinności na dnie jeziora, opadanie frakcji stałej aerozoli (pyły, pyłki roślinne), albo tzw. eutrofizacja. Rozpatrzmy tutaj (w sumie) trzy proste przypadki sedymentacji układów monodyspersyjnych (składających się z identycznych cząstek, tworzących zawiesinę w pewnym płynie). sedymentacji objętościowej w nieruchomym płynie sedymentacji objętościowej w nieruchomym płynie z pełnym mieszaniem sedymentacji ciągłej, w tzw. przepływie tłokowym

17 Sedymentacja objętościowa (nieruchomy płyn) trzy fazy. Cząstki są takie same, a więc wszystkie mają taką samą prędkość graniczną v gr Mówimy o sedymentacji objętościowej w nieruchomym płynie aby podkreślić, że cała objętość pudełka bierze udział w tym procesie (nic nie dopływa do objętości kontrolnej, nic z niej nie wypływa).

18 Sedymentacja objętościowa (nieruchomy płyn) Rysunki Komentarze sedymentacja odbywa się praktycznie od początku z prędkością v gr. objętość kontrolna V c: wysokość h = D v grt (D to wysokość dla t = 0), pole podstawy jest równe A. Prędkość sedymentacji to t V c CdV. (Minus bo cząstek ubywa z objętości kontrolnej.) C stężenie cząstek w zawiesinie jest stałe (bo stała jest v gr ); prędkość sedymentacji to po prostu (16) C dv dt = C d dt [A(D v grt)] = CAv gr. Sedymentacja (ilość osadzonych cząstek) jest proporcjonalna do: stężenia, powierzchni dna i oczywiście czasu.

19 Sedymentacja objętościowa (pełne mieszanie) trzy fazy. Warunek mieszania oznacza, że w jej wyniku cząstki tracone są z początkowej objętości kontrolnej, ale monodyspersyjna zawiesina doznaje w każdej chwili homogenizacji (ujednorodnienia) objętość kontrolna pozostaje cały czas taka sama, ale koncentracja opadających cząstek maleje z biegiem czasu (koncentracja ta natomiast jest taka sama równa C w całej objętości kontrolnej).

20 Sedymentacja objętościowa (pełne mieszanie) trzy fazy. Rysunki Komentarze Równanie bilansu (17) AD dc dt = CAv gr, rozwiązanie to (18) ( ) vgr t C = C 0 exp, D gdzie C 0 = C(t = 0). Strumień cząstek, osadzających się na dnie pudełka ( ) vgr t (19) Φ cz = v gr C = v gr C 0 exp. D

21 Sedymentacja ciągła dla przepływu plug-flow. Powyższe dwa przykłady zakładały, że do objętości kontrolnej nic nie dopływa z zewnątrz i nic nie wypływa z niej na zewnątrz. Jeżeli jednak do- i wypływy nie mogą być zaniedbane mamy do czynienia z procesami, które określamy jako sedymentację ciągłą. płyn pojawia się na wejściu układu z pewną stałą prędkością U, przepływa przez układ i opuszcza go z tą samą prędkością. Stałość prędkości oznacza też stałość wydatku (Q). Koncentracja na wejściu układu to C.

22 Sedymentacja ciągła dla przepływu plug-flow, c.d. Rysunki Komentarze prosty bilans wejścia i wyjścia : d(v C uk ) dt = QC Q ( ) D C C(lw)v gr, D gdzie w to głębokość (w głąb rysunku) objętości kontrolnej, C uk to koncentracja układu pojęcie pomocnicze (możemy myśleć o niej jako o pewnej koncentracji uśrednionej).

23 Sedymentacja ciągła dla przepływu plug-flow, c.d. Dla sytuacji stacjonarnej (ustalonej) pochodna czasowa po lewej stronie jest równa zeru. Możemy zdefiniować współczynnik sedymentacji R stosunek masy, która (w jednostkowym czasie) osadza się na dnie do masy pojawiającej się na wejściu systemu (w tym samym, jednostkowym czasie) : (20) R = v grlwc QC QC Q( D/D)C = QC Wzór powyższy łatwo przekształcić do postaci = 1 D D. (21) R = v grlwc QC = v gr Q/lw = v gr Q/A v gr V 0. (A powierzchnia dna). Ten wzór ma sens dla v gr V 0 (R 1 ). V 0 to prędkość przelewu iloraz wydatku i powierzchni dna (powierzchni górnej) układu Jest to kolejna wartość graniczna dla... prędkości granicznej; dla v gr > V 0 współczynnik sedymentacji R = 1.

24 Sedymentacja ciągła dla przepływu plug-flow z pełnym mieszaniem.

25 Sedymentacja ciągła dla przepływu plug-flow z pełnym mieszaniem, c.d. Rysunki Komentarze bilans d(v C uk ) dt = QC we QC wy C uk (lw)v gr, gdzie zgodnie z idealizacją mieszania C uk = C wy. Dla stanu stacjonarnego mamy (22) QC wy = QC we C wy (lw)v gr, albo (23) C wy C we = v. gr V 0

26 Sedymentacja ciągła dla przepływu plug-flow z pełnym mieszaniem, c.d. Współczynnik sedymentacji dla tego przypadku to (24) R = 1 C wy C we = v. gr V 0

27 Sedymentacja objętościowa współczynniki sedymentacji w funkcji v gr /V 0.

28 Sedymentacja objętościowa współczynniki sedymentacji w funkcji v gr /V 0. Rysunki Komentarze dla sedymentacji ciągłej bez mieszania strumień osadzającej się na dnie masy jest proporcjonalny do prędkości v gr, dla idealnego mieszania mamy R = 1 Cwy C we = vgr V 0 Pośrednia krzywa to mieszanie (tylko) w pionie przypadek, który jest być może bardziej realistyczny niż te dwa skrajne (mieszanie w pionie może być np. wywołane istniejącym pionowym gradientem temperatury). Dość oczywisty wniosek: im lepsze mieszanie (im go więcej) tym mniej skuteczna sedymentacja.

29 odległość hamowania U podstaw prezentowanych modeli leżało założenie, że cząstki o zerowej prędkości początkowej osiągają prędkość graniczną praktycznie natychmiast. Odwróćmy problem: załóżmy, że cząstka ma już pewną prędkość v 0, która maleje na skutek siły oporu ośrodka. Interesuje nas czas, po którym prędkość cząstki zmaleje w określonym stosunku do prędkości początkowej, a konkretnie stanie się równa zeru. Taki problem jest szczególnie istotny dla aerozoli możemy zaniedbać F n, a także F g F w ; pozostaje dv (25) M cz dt = F op. F op z prawa Stokesa, M cz = V cz ρ cz dv (26) v = 18µ C C ρ cz d dt = 1 2 τ dt, z warunkiem początkowym v(0) = v 0. (27) v = v 0 e t/τ.

30 odległość hamowania, c.d. Odległość, jaką przebędzie cząstka w medium do momentu kompletnego wyhamowania odległość hamowania x h obliczamy całkując dx = v(t)dt = v 0 e t/τ dt względem t od 0 do. x h = t 0 v 0 e t/τ dt = v 0 τ jeszcze raz pojawia się czas charakterystyczny τ = C Cρ cz d 2 18µ.

31 Siły bezwładności w przepływach cząstek Dotąd rozważaliśmy cząstki poruszające się względem nieruchomego płynu, lub odwrotnie. Ogólniej załóżmy, że cząstki poruszają się z prędkością v, a płyn z prędkością u. Uproszczone równanie ruchu (tylko siła oporu Stokesa, proporcjonalna do prędkości względnej) dv (28) M cz dt = F op = 3πµd (u v). Wprowadzając nasz ulubiony czas charakterystyczny τ i rozbijając wektorowe równanie na dwa równania skalarne (rozważamy przepływ dwuwymiarowy) dostajemy układ (29) (30) τ dv x dt + v x = u x, C C τ dv y dt + v y = u y, którego rozwiązanie wymaga znajomości u x i u y.

32 Siły bezwładności w przepływach cząstek, c.d. (33) St = τu 0 L stosunek odległości hamowania i długości charakterystycznej L. Liczba Stokesa charakteryzuje ilościowo udział sił bezwładności, związanych z odniesieniem ruchu cząstek do poruszającego się układu (płyn, poruszający się z prędkością u). Obrazuje to rysunek: Jeżeli wprowadzić: charakterystyczną długość przepływu L i charakterystyczną prędkość przepływu U 0, można pozbawić powyższe równania wymiarów: (31) ṽ x v x ; ũ x u x ; t tu 0 U 0 U 0 L i podobnie dla składowych y-owych. Po takiej transformacji równ. (29) to τu 0 dṽ x (32) L dt + ṽ x = ũ x. Pojawia się jeszcze jedna (bezwymiarowa) liczba, tzw. liczba Stokesa

33 Siły bezwładności w przepływach cząstek, c.d. Cząstki poruszające się w płynie, który przepływa względem przeszkody z dwoma różnymi prędkościami U 0 (różne wartości St)

34 Siły bezwładności w przepływach cząstek, c.d.

35 Siły bezwładności w przepływach cząstek, c.d. Efekty bezwładnościowe pojawiają się także w przypadku kiedy transportujący cząstki płyn wykonuje ruch obrotowy, a ich ciekawym praktycznym wykorzystaniemodwirowywanie cząstek zawiesin z ich nośników.

36 Przepływy rotacyjne Cząstki płynu zataczają okręgi; ich prędkości rozkładamy na składową radialną u r i transwersalną u θ = ωr, gdzie ω = θ to prędkość kątowa, charakteryzująca rotację.

37 Przepływy rotacyjne równanie ruchu Rozważamy cząstkę płynu (masa M cz, średnica d; współrzędne r i θ) Jej równanie ruchu dla składowej radialnej prędkości i w układzie poruszającym się z prędkością kątową ω (34) M cz dv r dt = M czω 2 r 3πµv r d M plynu ω 2 r. Nie uwzględniamy tutaj żadnych sił grawitacyjnych, a więc i wyporu hydrostatycznego (jesteśmy na stałej głębokości ). Siła odśrodkowa jest proporcjonalna do odległości r od środka rotacji, podobnie jak siła parcia jest proporcjonalna do wysokości (głębokości) słupa cieczy. Dlatego możemy zastosować prostą kalkę z opisu wyporu hydrostatycznego siła tego wyporu odśrodkowego to masa płynu wypieranego przez cząstkę razy przyspieszenie odśrodkowe. A.L.

38 Przepływy rotacyjne równanie ruchu dv r M cz dt = M czω 2 r 3πµv r d M plynu ω 2 r. Wprowadzając gęstość cząstki ρ cz i gęstość płynu ρ pl ( dv r (35) M cz dt = M czω 2 r 1 ρ ) pl 3πµv r d. ρ cz Dla aerozoli można pominąć stosunek dwóch gęstości, ale warto uwzględnić ew. poślizg: (ρ cz ρ pl ) ( ) dvr (36) M cz dt rω2 = 3πµv r d cz /C C.

39 Przepływy rotacyjne odwirowywanie Odwirowywanie stosowane w rozdziale (separacji) cząstek i makro-cząsteczek, znajdujących się w zawiesinie.

40 Odwirowywanie równania ruchu ( dv r M cz dt = M czω 2 r 1 ρ ) pl 3πµv r d. ρ cz Podobnie jak w przypadku,klasycznego eksperymentu Stokesa i tu wprowadzamy koncepcję stanu ustalonego Tylko: to nie jest prawdziwy stan ustalony. Siła w kierunku radialnym nie jest stała, ale zmienia się proporcjonalnie od r. W związku z tym nie ustala się tak jak przy opadaniu kulki stała prędkość radialna v gr. Przybliżenie quasi-stałej prędkości radialnej jest do zaakceptowania przy spełnieniu pewnych stosunków ilościowych pomiędzy parametrami ruchu (masa, średnica, prędkość cząstki, stosunek dwóch gęstości). W interesujących nas sytuacjach praktycznych założenie o quasi-stałej prędkości radialnego dryfu jest spełnione.

41 Odwirowywanie równania ruchu stan ustalony dv r /dt = 0 ( (37) M cz ω 2 r 1 ρ pl ρ cz M cz = πd 3 ρ cz /6; po prostych przekształceniach (v r dr/dt) ) = 3πµv r d. (38) v r = (ρ cz ρ pl )d 2 rω 2, 18µ albo (dla sferycznych cząstek) 18µ dr (39) d = dt rω 2 (ρ cz ρ pl ) Ten ostatni wzór stanowi podstawę metody odwirowywania cząstki o określonej średnicy d przesuwają w okresie od chwili t 1 do chwili t 2 od pozycji opisanej współrzędną radialną r 1 do pozycji r 2. 1/2.

42 Odwirowywanie równania robocze nazywa się współczynnikiem sedymentacji, jednostka swedberg (1Sv = s), na cześć szwedzkiego wynalazcy wirówki Svedberga (Nobel, chemia, 1926). Odpowiednie robocze wzory, wynikające z (39) (40) d 2 ω 2 (ρ cz ρ pl ) 18µ t2 t 1 dt = r2 r 1 dr r, po wycałkowaniu ( ) r2 1/2 ln 18µ (41) d = r 1 (ρ cz ρ pl ) ω 2 (t 2 t 1 ). Pierwszy czynnik po prawej stronie to parametry fizyczne płynu i cząstki; drugi współrzędne grupy cząstek. Ten drugi czynnik to ( ) r2 ln (42) S d = r 1 ω 2 (t 2 t 1 ),

43 odwirowywanie przemieszczenie cząstek o określonej średnicy