Egzaminy, styczeń/luty 2004

Transkrypt

1 Egzaminy, styczeń/luty 2004 Trzeci termin Trzeci termin egzaminu poniedziałek 8/03/04 godz (4-5 osób) i (4-5 osób). Zainteresowane osoby proszę o wysłanie mail a z określeniem, który z podanych dwóch terminów wybierają. Na egzaminie obowiązuje w pierwszym rzędzie znajomość problemów z dwóch poprzednich terminów egzaminu (patrz niżej), oraz podanych wcześniej zagadnień.. Pierwszy termin 1. Do jeziora o objętości V = 10 6 m 3 wpływa i równocześnie wypływa woda z szybkością Q we = Q wy = 1 m 3 /s. W chwili oznaczonej jako t = 0 s do jeziora dostają się wraz z wpływającą wodą zanieczyszczenia o stężeniu C = 25 mg/litr. Jaką interpretację fizyczną ma wielkość τ = V/Q we? Oblicz koncentrację zanieczyszczeń w funkcji czasu przyjmując ich jednorodny rozkład w całej objętości jeziora jeżeli C(t 0) = 0. Jakie jest stężenie zanieczyszczeń po bardzo długim czasie (t )? 2. W celu usunięcia cząsteczek aerozolu ze strugi powietrza płynącej przez przewód o przekroju kwadratowym użyto jednorodnego pola elektrycznego o zmiennym w czasie natężeniu E(t) = E 0 sin(2πt/t ), gdzie T okres zmian pola elektrycznego, skierowanego prostopadle do prędkości U strugi powietrza (rysunek). Napisz równanie ruchu cząsteczki aerozolu wzdłuż osi 0y pomijając siłę wyporu i przyjmując, że działa na nią opór cieczy opisany prawem Stokesa F D = 3πµd/C c, gdzie µ współczynnik lepkości; d średnica cząsteczki; C c współczynnik poślizgu (trzeba go uwzględnić, gdy ruch odbywa się w powietrzu). Dana jest także gęstość cząsteczki aerozolu ρ i jej ładunek q. Następnie wprowadzając ewentualnie bezwymiarowy czas i prędkość: x = t/t ; u y = V y /U a także czas charakterystyczny cząsteczki aerozolu τ = C cρd 2 18µ wykaż, że jeśli τ T, a także τ t (czyli rozważamy stan quasi stacjonarny), to wówczas u y (t) = 6qE 0 τ sin(2πt/t ). πρd3 Oblicz jaka powinna być szerokość przewodu, h, aby cząsteczki aerozolu zostały całkowicie usunięte z przewodu na drodze o długości L?

2 3. W procesie sedymentacji przy przepływie tłokowym można zastosować płyty umieszczane wewnątrz zbiornika sedymentacyjnego, które zwiększają skuteczność sedymentacji (rysunek). Oblicz efektywny współczynnik sedymentacji, R eff, jeśli włożono do zbiornika N symetrycznie rozmieszczonych płyt w przypadku (JEDNO DO WYBORU): sedymentacji objętościowej bez mieszania, (czy można osiągnąć R eff = 1?) sedymentacji objętościowej w z idealnym mieszaniem, jeżeli współczynnik sedymentacji w zbiorniku bez płyt wynosi R. 4. Znajdź pole prędkości składową transwersalną u φ (r) cieczy lepkiej o gęstości ρ między dwoma współśrodkowymi cylindrami (szary obszar) obracającymi się z przeciwnie skierowanymi prędkościami kątowymi o wartości ω. Oblicz ponadto a) strumień cieczy między walcami J = j ds, gdzie j = ρu φ (r) ˆφ gęstość strumienia cieczy, b) średnią prędkość kątową obrotu cieczy ω sr = u φ (r)/r (wsk.: średniujemy po powierzchni prostopadłej do kierunku prędkości u φ (r) ). Czy ciecz wiruje efektywnie zgodnie czy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara? Wsk.: Równanie Naviera-Stokesa redukuje się tutaj do postaci [ ] 1 r r r (ru φ(r)) = Oblicz strumień tlenu dyfundującego do powierzchni cząsteczki kulistej (grudki czystego węgla) o średnicy d = 10 2 cm w procesie spalania C + O 2 CO 2 kontrolowanego wyłącznie dyfuzją tlenu. Spalanie zachodzi w temperaturze T = 1145 K, współczynnik dyfuzji tlenu O 2 w powietrzu o tej temperaturze wynosi D = jednostek w układzie SI, natomiast ciśnienie parcjalne tlenu w powietrzu daleko od cząsteczki węgla wynosi p O2 = Pa. Jaka jest jednostka D w układzie SI? wskazówka: jeżeli nie pamiętasz równania na strumień W A = 4πr 2 N A,r (r) na powierzchni cząstki, wyprowadź go, rozwiązując równanie d ( ) r 2 N A,r = 0, dr (za N A,r (r) podstawiamy z prawa Ficka) z warunkami: x A,r x A, ; x A,r=a =?

3 6. Zapisz równanie dyfuzji, dla przypadku jednowymiarowego tzn. dla ρ A ρ A (x, t) i jego rozwiązanie dla injekcji punktowej w przestrzeni: ρ A (x, t = 0) = M A δ(x); (M A masa, którą w chwili t = 0 generuje każdy metr kwadratowy płaszczyzny prostopadłej do osi Ox. W oparciu o to rozwiązanie, skonstruuj rozwiązanie dla injekcji: { C0, dla x < 0; C(x, t = 0) = 0, dla x > Równanie bilansu: V dc uk = Q we C we Q wy C wy. dt Ponieważ rozkład zanieczyszczeń jednorodny C uk = C wy, a więc dc wy dt = Q V C we C wy. Całkujemy (albo od razu jako r.r. o zmiennych rozdzielonych, albo jako równanie niejednorodne metoda zgadywania całki szczególnej, bądź uzmienniania stałej) z warunkiem: C wy (t = 0) = C uk (t = 0) = 0. Wynik C wy (t) = C uk (t) = C we [1 exp ( Q )] [ ( V t C we 1 exp t )], τ gdzie τ = V/Q to czas potrzebny do napełnienia zbiornika. Przy t mamy C uk C we. 2. Równanie dv dt + 1 τ v = qe 0 sin ω 0 t, gdzie masa cząstki (można wyrazić przez podaną gęstość i średnicę. Dla odpowiednio dużego czasu (stan stacjonarny!) prędkość jest stała a więc Całkując y(t) = qe 0 Stąd (dla cząstek które wchodzą przy dolnej ściance ) v 1 τ = qe 0 sin ω 0 t, v = qe 0 sin ω 0 tτ. τ ω 0 (1 cos ω 0 t) ; jeżeli y(0) = 0. h = qe 0 τ ω 0 ( 1 cos ω 0 L U. ) 3. Najprościej jest posłużyć się wzorami na R eff : a) dla przepływu bez mieszania R = v gr V 0 = v gr Q/A = Av gr Q.

4 (V 0 prędkość przelewu). Widać, że skuteczność osadzania jest proporcjonalna do powierzchni, jaką mają do dyspozycji sedymentujące cząstki; wstawiając dodatkowe N płyt zwiększamy powierzchnię ( a więc i R) N + 1 razy. Oczywiście, zawsze R 1 może być równy 1. b) dla przepływu z mieszaniem R = v gr V 0 = v gr Q/A Zwiększenie (N + 1)-krotne powierzchni zwiększa oczywiście R, ale nigdy nie osiągniemy R = Jedyny kłopot to odpowiednie warunki brzegowe: u φ = { ωr1 r = R 1 ωr 2 r = R 2. Wynik całkowania (prostego!!) Strumień to całka podobnie średnia prędkość kątowa to u φ = ω R 2 2 R 1 2 J = ω sr = [ ( R R ) 2 1 r + 2R 1 2 ] 2 R 2. r R2 R 1 R2 R 1 u φ (r)ρ 2πr dr, u φ (r) 2πr dr r π(r 2 2 R 2. 1 ) 5. Całkowity strumień na powierzchni cząsteczki to Jeżeli zapomniałeś tego wzoru, to można było go natychmiast wyprowadzić: W A = 4πr 2 N A,r = constans. Z kolei: N A,r = cd AB dx A dr W A = 4πacD AB x A,. (0-1) i mamy W A dr r 2 = 4πacD ABdx A ; a dr; xa, x A (a) dx A. 6. Ponieważ dyfuzja w pełni kontroluje proces x A (a) = 0 stąd wzór (0-1). Mamy a więc x A, = p O 2 p ; c = n V = p RT, W A = 4πaD p p O2 RT p c t = = mol/s. 2 c x 2

5 Rozwiązanie: ( ) 1 x 2 c(x, t) = exp. 4Dπt 4Dt Tak jest dla transportu w obie strony (ujemne i dodatnie wartości x). Dla transportu tylko w jedną (np. dodatnie x) koncentracje są dwa razy większe c(x, t) = 1 ( ) x 2 exp. Dπt 4Dt Rozwiązanie dla injekcji ciągłej można uzyskać całkując powyższe równanie po pół-nieskończonym układzie źródeł płaskich Drugi termin c = C 0 ξ 2 4Dt u2 ; x ( ) 1 exp ξ2 =... Dπt 4Dt ξ 2 Dt u; dξ 2 Dt du 2... = C 0 π e u2 du C x 0 erfc 2 Dt 1. W zbiorniku bez odpływu znajduje z czysta woda o objętości V 0. W chwili t = 0 zaczyna do zbiornika wpływać woda ze stałą szybkością objętościową (stałym wydatkiem) Q(m 3 /s) zawierająca zanieczyszczenia o stężeniu C 0 = 10 mg/litr. ( x 2 Dt ). Przyjmując, że współczynnik sedymentacji zanieczyszczeń przy całkowitym mieszaniu wynosi R = 1 (1 + v p /v gr ) 1 (gdzie v p oraz v gr to odpowiednio, prędkość przelewu i opadania zanieczyszczeń oblicz: a) stężenie zanieczyszczeń w funkcji czasu, C(t); b) w końcowym wzorze wprowadź czas τ = V 0 /Q (jaka jest jego interpretacja?) i oblicz stężenie jakie ustali się dla t τ; c) jak z powyższego doświadczenia można obliczyć współczynnik sedymentacji R? Rozwiązanie Objętość zbiornika zmienia się według wzoru stąd dv/dt = Q. Równanie bilansu to V (t) = V 0 + Qt,

6 szybkość zmian masy w objętości V = szybkość dopływu szybkość sedymentacji czyli Porządkujemy Po rozdzieleniu zmiennych d dt (CV ) = QC 0 J S V dc dt + C dv dt = QC 0 Cv gr S. dc dt = 1 V 0 + Qt [QC 0 C(Q + v gr S)] dc QC 0 C(Q + v gr S) = dt V 0 + Qt Po wycałkowaniu po t od 0 do pewnej wartości t (koncentracja w chwili t = 0 jest równa 0) mamy C(t) = 1 ( V0 V 0 + Qt ) Q+vgrS Q QC 0 Q + v gr S Z kolei a więc Podobnie Wprowadzając τ = V 0 /Q mamy Dla t τ a więc QC 0 Q + v gr S = C v gr S/Q = C vgr v p R = vgr v p QC 0 Q + v gr S = C 0(1 R) Q + v gr S Q c(t) = C 0 (1 R) 1 = 1 + v gr v p = 1 1 R ( t/τ c( ) = C 0 (1 R) R = 1 c( ) C 0. ) 1 1 R.

7 2. Wyjaśnij zjawisko liniowego spadku ciśnienia przy lepkirzepływie wody przez poziomą rurę. Korzystając ze wzoru Poiseuille a dla pola prędkości cieczy w rurze U(r) = 1 dp ( a 2 r 2) 4µ dz oblicz prędkość średnią U sr (zaznaczoną na rysunku) i oblicz współczynnik lepkości µ cieczy jeśli dana jest objętościowa szybkość przepływu cieczy (wydatek) Q, promień rury a oraz spadek ciśnienia p na drodze L. Rozwiązanie: Siła oporu lepkiego jest proporcjonalna do długości rury: F D = αl; aby zachować stałą prędkość przepływu musimy ją zrównoważyć odpowiednią różnica ciśnień p; stąd p = F D = αl. Tak więc dp/dz we wzorze Poiseuille a to pewna ujemna stała β i Wydatek spełnia równanie (bilans masy) U(r) = 1 4µ β ( a 2 r 2) U sr = 1 a 2πr β ( a 2 r 2) dr =... = βa2 πa 2 0 4µ 8µ. ρq = a jeżeli tak to zgodnie z określenierędkości średniej Q = a 0 a 0 2πrJdr = a 0 2πrρU(r)dr 2πrU(r)dr = (πa 2 )U sr = πa4 β 8µ. Dostajemy więc prosty wzór µ = πa4 β 8Q ; β = dp/dz. 3. Na dnie pionowej otwartej probówki o długości L znajduje się pewna ilość amoniaku, którego współczynnik dyfuzji do powietrza o temperaturze t = 20 i ciśnieniu p = 1 atm wynosi D Ap = 0.28 cm 2 /s.

8 Korzystając z prawa Ficka wykaż, że gęstość strumienia cząsteczek amoniaku N A wydostających się z probówki wynosi N A = p D A p kt L ln(x p2/x p1 ), gdzie k stała Boltzmanna, x p1 i x p2 frakcje molowe powietrza, odpowiednio na dnie i u wylotu z probówki. Uwaga: Równanie określające gęstość strumienia to N A (1 x A ) = cd Ap x A przy czym x A + x p = 1; gdzie x A to frakcja molowa amoniaku, x p frakcja molowa powietrza. Skomentuj to równanie (to już jest nieco uproszczona postać bardziej ogólnego równania) w jakim to jest układzie, jaki jest jego związek z 2. prawem Ficka? Rozwiązanie: W stanie ustalonym składowa z-owa gęstości strumienia jest stała Podane w temacie równanie przybiera postać d dz N A,z = 0. N A,z dz = cd Ap dx A 1 x A. Całkujemy go w granicach Z 1 i z 2 : x A (z 1 ) x A1 = 1 x p1 i x A (z 2 ) x A2 = 1 x p2. W dodatku z 2 z 1 = L. Mamy więc N A,z z2 z 1 dz = cd Ap ln 1 x A2 1 x A1 = cd Ap ln(x p2 /x p1 ).