POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY ENERGETYKI I LOTNICTWA PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA. Marek Cel MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY ENERGETYKI I LOTNICTWA PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA. Marek Cel MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA"

Transkrypt

1 POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY ENERGETYKI I LOTNICTWA ZAKŁAD SAMOLOTÓW I ŚMIGŁOWCÓW PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA Marek Cel MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA MODELING AND SIMULATION OF HELICOPTER FLIGHT 98 Mechanika i Budowa Maszyn Lotnictwo Promotor: dr inż. Tomasz Goetzendorf-Grabowski Warszawa, grudzień

2

3 Oświadczenie autora autorów pracy Świadom odpowiedzialności prawnej oświadczam, że przedstawiona praca dyplomowa: została napisana przeze mnie samodzielnie i nie zawiera treści uzyskanych w sposób niezgodny z obowiązującymi przepisami, nie była wcześniej przedmiotem procedur związanych z uzyskaniem tytułu zawodowego lub stopnia naukowego w wyższej uczelni. Oświadczam ponadto, że niniejsza wersja pracy jest identyczna z załączoną wersją elektroniczną.... data... podpis autora autorów pracy SŁOWA KLUCZOWE: lotnictwo, mechanika lotu, mechanika komputerowa, modelowanie symulacyjne, śmigłowce, symulatory

4

5 SPIS TREŚCI SPIS TREŚCI WYKAZ OZNACZEŃ...7 WYKAZ ILUSTRACJI.... WPROWADZENIE..... Rys historyczny rozwoju śmigłowców..... Główne zespoły śmigłowca Podstawowe ruchy łopat wirnika Modelowanie matematyczne...9. MODELOWANIE DYNAMIKI LOTU ŚMIGŁOWCA..... Układy współrzędnych stosowane w analizie dynamiki lotu..... Współrzędne kątowe..... Założenia upraszczające..... Związki kinematyczne Równania ruchu...5. MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO Układy współrzędnych stosowane w analizie wirnika nośnego Poziomy modelowania wirnika nośnego..... Założenia upraszczające..... Teoria strumieniowa Metoda elementu łopaty Składowe prędkości opływu przekroju łopaty Ciąg wirnika Moment oporowy Współczynniki wahań...7 5

6 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA. MODEL SYMULACYJNY ŚMIGŁOWCA Całkowanie numeryczne Wykorzystane narzędzia Struktura oprogramowania ANALIZA WYNIKÓW Opływ przekroju łopaty Kąty wahań łopaty Symulacja manewrów śmigłowcowych PODSUMOWANIE...7 BIBLIOGRAFIA...75 ZAŁĄCZNIK A DANE TECHNICZNE ŚMIGŁOWCA PZL SW ZAŁĄCZNIK B INFORMACJE O PRAWACH AUTORSKICH...78 ZAŁĄCZNIK C STRESZCZENIE...79 ZAŁĄCZNIK D ABSTRACT...8 6

7 WYKAZ OZNACZEŃ WYKAZ OZNACZEŃ a= d CL dα pochodna bezwymiarowego współczynnika siły nośnej względem kąta natarcia [/rad] a,b półosie elipsoidy opisującej kształt Ziemi w układzie WGS- 8 [m] A R =π R pole powierzchni tarczy wirnika [m] B współczynnik strat końcowych łopaty B macierz bezwładności cb cięciwa łopaty wirnika [m] CD bezwymiarowy współczynnik siły oporu CL bezwymiarowy współczynnik siły nośnej CT = T ρ A R ω R R bezwymiarowy współczynnik ciągu wirnika e odległość przegubu wahań od osi wału [m] f spłaszczenie elipsoidy opisującej kształt Ziemi w układzie WGS- 8 =[ F X, F Y, F Z ]T F wektor sił działających na śmigłowiec [N] h wysokość elipsoidalna [m] JB moment bezwładności łopaty wirnika nośnego względem przegubu wahań [kg m] Jb tensor bezwładności śmigłowca względem osi układu samolotowego [kg m] O =[ K X, K Y, K Z ]T K wektor krętu momentu pędu śmigłowca względem początku układu samolotowego [kg m/s] 7

8 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA m masa śmigłowca [kg] O =[ M X, M Y, M Z ]T M wektor momentów sił działających na śmigłowiec względem początku układu samolotowego [N m] NB liczba łopat wirnika P pomocnicza macierz prędkości Q wektor sił i momentów sił działających na śmigłowiec r współrzędna mierzona wzdłuż długości łopaty [m] R promień wirnika [m] { r CG } wektor współrzędnych środka masy śmigłowca [m] s= N B cb πr s=[ u, v, w, p, q, r ] bezwymiarowy współczynnik wypełnienia tarczy wirnika T wektor stanu T S =[ S X, S Y, S Z ] wektor momentów statycznych [kg m] SB moment statyczny łopaty względem przegubu wahań [kg m] T ciąg wirnika [N] =[ u, v, w ]T V wektor prędkości postępowej śmigłowca [m/s] vc, vd prędkość wznoszenia i opadania [m/s] vi prędkość indukowana na tarczy wirnika [m/s] v ih prędkość indukowana na tarczy wirnika w zawisie [m/s] T x= [ x, y, z, ϕ, θ, ψ ] wektor współrzędnych uogólnionych αb kąt natarcia łopaty wirnika [rad] αr kąt natarcia tarczy wirnika [rad] β lokalny/chwilowy kąt wahań łopaty [rad] β kąt stożka wirnika [rad] βc,βs kąty pochylenia i przechylenia tarczy wirnika [rad] βr kąt ślizgu wirnika [rad] 8

9 WYKAZ OZNACZEŃ ρ a c B R γ= JB liczba Locka ε kąt pochylenia wału wirnika dodatni do przodu [rad] θ lokalny/chwilowy kąt skoku łopaty [rad] θ kąt skoku ogólnego łopat wirnika nośnego [rad] θs, θ c podłużny i poprzeczny kąt skoku okresowego wirnika [rad] λ= w cw v i ωr R bezwymiarowa prędkość przepływu przez wirnik λ i= vi ωr R bezwymiarowa prędkość indukowana na tarczy wirnika λ ih = v ih ωr R λ G, ϕg bezwymiarowa prędkość indukowana na tarczy wirnika w zawisie długość i szerokość geodezyjna [rad] u cw ωr R bezwymiarowa prędkość napływu na wirnik μc = vc ωr R bezwymiarowa prędkość wznoszenia μd = vd ωr R bezwymiarowa prędkość opadania μ= =[ Π X, ΠY, ΠZ ]T Π wektor pędu śmigłowca [kg m/s] ρ gęstość powietrza [kg/m] ϕ,θ, ψ kąty Bryanta [rad] χ kąt odchylenie strumienia wirnika nośnego [rad] Ψ kąt azymutu łopaty wirnika [rad] =[ p,q, r ]T Ω wektor prędkości kątowej śmigłowca [rad/s] ωe prędkość kątowa obrotu Ziemi wokół własnej osi [rad/s] ωr prędkość kątowa wału wirnika [rad/s] 9

10 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA Indeksy: c składowa pierwszej harmonicznej przy cosinusie s składowa pierwszej harmonicznej przy sinusie a aerodynamiczny układ współrzędnych b samolotowy układ współrzędnych ang.: body B łopata wirnika nośnego ang.: blade BE element przekrój łopaty wirnika nośnego ang.: blade element ba układ współrzędnych łopaty ang.: blade axes ca płaszczyzna/układ bez przekręceń ang.: control axes cw układ bez przekręceń usytuowany tak, że wektor napływu powietrza ma tylko dwie składowe ang.: control wind CG środek masy ang.: Center of Gravity da płaszczyzna/układ bez wahań ang.: disc axes g grawitacyjny układ współrzędnych G współrzędne geodezyjne i inercjalny układ współrzędnych lub prędkość indukowana l laboratoryjny układ współrzędnych ra układ współrzędnych wirnika ang.: rotor axes rw układ współrzędnych opływu wirnika ang.: rotor-wind R wirnik nośny ang.: rotor RH głowica wirnika nośnego ang. rotor hub Pochodne: u = du dt dβ β= dψ różniczkowanie względem czasu różniczkowanie względem azymutu

11 WYKAZ ILUSTRACJI WYKAZ ILUSTRACJI Ilustracja -: Szkice Leonarda da Vinci... Ilustracja -: Śmigłowiec Paula Cornu... Ilustracja -: Flettner Fl 8... Ilustracja -: Vought-Sikorsky VS-...5 Ilustracja -5: Główne zespoły śmigłowca...6 Ilustracja -6: Kąt azymutu łopaty...7 Ilustracja -7: Głowica wirnika nośnego...8 Ilustracja -8: Stopnie swobody tarczy wirnika...8 Ilustracja -9: Proces modelowania...9 Ilustracja -: World Geodetic System Ilustracja -: Samolotowy układ współrzędnych... Ilustracja -: Kąty Bryanta... Ilustracja -: Układ współrzędnych wirnika...9 Ilustracja -: Płaszczyzny odniesienia wirnika... Ilustracja -: Przepływ przez wirnik w ruchu osiowym... Ilustracja -: Stany pracy wirnika...5 Ilustracja -5: Prędkość indukowana w ruchu osiowym...6 Ilustracja -6: Przepływ przez wirnik w ruchu postępowym...6 Ilustracja -7: Prędkość indukowana w ruchu postępowym...8 Ilustracja -8: Element łopaty wirnika nośnego...9 Ilustracja -9: Składowe kąta natarcia elementu łopaty wirnika...9 Ilustracja -: Składowe prędkości opływu wirnika... Ilustracja -: Siły działające na element łopaty...7 Ilustracja -: Zrzut ekranu interfejsu użytkownika...58 Ilustracja -: Zrzut ekranu wizualizacji stożka wirnika...59 Ilustracja -: Zrzut ekranu oprogramowania FlightGear...59

12 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA Ilustracja -: Diagram klas modelu dynamiki lotu...6 Ilustracja 5-: Składowa opływu przekroju łopaty leżąca w płaszczyźnie tarczy wirnika...6 Ilustracja 5-: Składowa opływu przekroju łopaty prostopadła do płaszczyzny tarczy wirnika...6 Ilustracja 5-: Kąt natarcia przekroju łopaty wirnika...6 Ilustracja 5-: Kąt natarcia przekroju łopaty wirnika...6 Ilustracja 5-5: Kąt natarcia przekroju łopaty wirnika...6 Ilustracja 5-6: Współczynniki wahań łopaty w funkcji prędkości lotu...6 Ilustracja 5-7: Współczynniki wahań łopaty w funkcji prędkości przechylania...65 Ilustracja 5-8: Kąt wahań łopaty w funkcji azymutu...65 Ilustracja 5-9: Współczynniki wahań łopaty w funkcji prędkości lotu model Padfielda...66 Ilustracja 5-: Współczynniki wahań łopaty w funkcji prędkości przechylania model Padfielda 67 Ilustracja 5-: Kąt wahań łopaty w funkcji azymutu model Padfielda...67 Ilustracja 5-: Wysokość lotu śmigłowca podczas wykonywania manewru przeskoku...69 Ilustracja 5-: Współczynnik obciążenia podczas wykonywania manewru przeskoku...69 Ilustracja 5-: Prędkość podłużna śmigłowca podczas wykonywania manewru przeskoku...7 Ilustracja 5-5: Kąt pochylenia śmigłowca podczas wykonywania manewru przeskoku...7 Ilustracja 5-6: Wysokość lotu śmigłowca podczas wykonywania manewru nawrotu...7 Ilustracja 5-7: Współczynnik obciążenia podczas wykonywania manewru nawrotu...7 Ilustracja 5-8: Prędkość podłużna śmigłowca podczas wykonywania manewru nawrotu...7 Ilustracja 5-9: Kąt pochylenia śmigłowca podczas wykonywania manewru nawrotu...7 Ilustracja 5-: Kurs śmigłowca podczas wykonywania manewru nawrotu...7

13 . WPROWADZENIE. WPROWADZENIE.. Rys historyczny rozwoju śmigłowców Idea stworzenia urządzenia zdolnego unieść się pionowo w powietrze, dzięki wykorzystaniu siły aerodynamicznej wytwarzanej przez wirujące elementy, jest bardzo stara i sięga średniowiecza. Prawdopodobnie najbardziej znanym przykładem prac z tego okresu jest, pochodzący z XV wieku, szkic autorstwa Leonarda da Vinci, który uważał że jego maszyna wkręci się w powietrze wykorzystując szybko obracający się wirnik śrubowy. [, ] Ilustracja -: Szkice Leonarda da Vinci W połowie XVIII wieku Michaił Łomonosow prowadził badania nad urządzeniami wykorzystującymi dwa wirniki przeciwbieżne do utrzymywania się w powietrzu. [] Nieco później, bo w 796 roku anglik George Cayley stworzył kilka udanych modeli latających o wirnikach napędzanych elementami sprężystymi, między innymi sprężynami zegarowymi i wielorybim fiszbinem. W 8 roku inny Anglik W. H. Phillips skonstruował ważący około 9 kg model śmigłowca napędzany silnikiem parowym. Inny model napędzany silnikiem parowym skonstruowany został w 878 roku przez profesora inżynierii lądowej Enrico Forlaniniego. []

14 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA listopada 97 roku francuski konstruktor lotniczy Paul Cornu wykonał pierwszy udany lot śmigłowcem własnej konstrukcji. Maszyna Cornu posiadała dwa przeciwbieżne wirniki napędzane konnym silnikiem spalinowym, sterowana była przy pomocy odchylanych powierzchni umieszczonych poniżej wirników. [] Ilustracja -: Śmigłowiec Paula Cornu W roku 9 hiszpański inżynier Juan de la Cierva na potrzeby skonstruowanego przez siebie wiatrakowca C. opracował przełomowe w budowie śmigłowców przegubowe zawieszenie łopat w głowicy wirnika. [, ] Znaczący postęp w budowie śmigłowców został osiągnięty przez konstruktorów niemieckich w latach trzydziestych i czterdziestych XX wieku. Opracowany w 9 roku Focke-Achgelis Fa osiągał prędkość 75 km/h i był w stanie zabrać 7 kg ładunku, wprowadzony został na wyposażenie Luftwaffe. [5] Natomiast śmigłowiec Flettner Fl 8 osiągający prędkość 5 km/h z ładunkiem 6 kg użytkowany był przez Kriegsmarine i Luftwaffe. Zakłady BMW w Monachium otrzymały zlecenie na zbudowanie sztuk maszyn tego typu, rozpoczęcie produkcji nie doszło jednak do skutku ze względu na zniszczenia spowodowane nalotami bombowymi. Ilustracja -: Flettner Fl 8 W latach 99-9 rosyjski konstruktor lotniczy Igor Sikorski opracował śmigłowiec VS-. Projekt zakładał wykorzystanie pojedynczego wirnika nośnego oraz śmigła ogonowego przeciwdziałającego momentowi wytwarzanemu przez wirnik. Kontrolę nad śmigłowcem miał

15 . WPROWADZENIE zapewnić system sterowania ogólnym i okresowym skokiem łopat. Konstrukcja Sikorskiego jest uznawana jako pierwszy współczesny śmigłowiec jednowirnikowy. [5] Ilustracja -: Vought-Sikorsky VS- Do znacznego rozwoju śmigłowców przyczyniło się zastosowanie silników turbinowych. Lepsze parametry i bardziej zwarta konstrukcja, niż w przypadku silników tłokowych, umożliwiła uzyskanie znacznie lepszego stosunku mocy do masy i bardziej efektywne zagospodarowanie wnętrza śmigłowca. [] Rozwój kompozytów polimerowych o zbrojeniu szklanym, węglowym i aramidowym oraz doświadczenie zdobyte przy ich wykorzystaniu w budowie szybowców i samolotów zaowocowały wprowadzeniem ich do konstrukcji wiropłatów. Pomimo wysokiej ceny znaczną rolą w budowie śmigłowców odegrały także stopy na bazie tytanu. Przyczyniło się to do znacznego uproszczenia budowy głowic wirników i poprawienia trwałości konstrukcji. [] Opracowany w 967 roku przez zakłady lotnicze Messerschmitt-Bölkow-Blohm Bo 5 był pierwszym wdrożonym do produkcji śmigłowcem, w którym zastosowano nowy sposób mocowania łopat głowicę o przegubach elastomerowych, dzięki czemu mógł wykonywać figury akrobacji samolotowej, nieosiągalne do tej pory dla śmigłowców. [, 6].. Główne zespoły śmigłowca Do głównych zespołów śmigłowca jednowirnikowego należą: wirnik nośny, śmigło ogonowe, kadłub, zespół napędowy, układ przenoszenia mocy, układ sterowania oraz podwozie. [, 7] Wirnik nośny składa się, przede wszystkim, z łopat przymocowanych do głowicy osadzonej na wale napędowym. Do pozostałych elementów wirnika należą między innymi tłumiki drgań, 5

16 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA ograniczniki ruchów łopat oraz tarcza sterująca i inne elementy układu sterowania umożliwiające zmianę ogólnego i okresowego skoku łopat. Obracający się wirnik nośny wytwarza siłę ciągu przeciwdziałającą ciężarowi i nadającą prędkość postępową śmigłowca. Moment oporowy wytwarzany przez wirnik równoważony jest przez śmigło ogonowe, które wykorzystywane jest także do sterowania odchyleniem. Pomimo tego, że najczęściej spotykane są śmigłowce ze śmigłem ogonowym to stosuje się także inne rozwiązania, należą do nich między innymi fenestron, NOTAR, czy układy z wieloma wirnikami nośnymi obracającymi się w przeciwnych kierunkach. Ilustracja -5: Główne zespoły śmigłowca Pilot do sterowania lotem śmigłowca wykorzystuje: dźwignię skoku ogólnego, której przemieszczenie powoduje jednakową zmianę skoku wszystkich łopat bez względu na ich położenie, drążek skoku okresowego sterujący skokiem zmieniającym się wraz z położeniem azymutem łopaty, pedały sterownicy nożnej służące do zadawania skoku śmigła ogonowego. Jednym z najważniejszych elementów układu sterowania śmigłowca jest tarcza sterująca, która umożliwia zmianę zarówno kąta skoku ogólnego jak i okresowego. Koncepcja tarczy sterującej została opracowana przez rosyjskiego konstruktora Borysa Juriewa. [, ] Napęd wirnika nośnego i śmigła ogonowego zapewnia silnik śmigłowca poprzez wał napędowy oraz odpowiednio przekładnię główną i kątową przekładnię końcową... Podstawowe ruchy łopat wirnika Podstawowym ruchem łopat jest obrót wokół wału wirnika nośnego. Kąt mierzony zgodnie z kierunkiem obrotu wirnika od położenia tylnego nazywany jest azymutem łopaty. 6

17 . WPROWADZENIE Ilustracja -6: Kąt azymutu łopaty Łopaty mają także możliwość ruchu wokół przegubów mocujących je do głowicy wirnika. W najprostszym przypadku głowicy przegubowej są to: przegub osiowy przekręceń umożliwiający obrót łopaty wokół jej osi podłużnej, przegub poziomy wahań umożliwiający ruchy łopaty w górę i w dół, przegub pionowy odchyleń umożliwiający ruch w płaszczyźnie obrotu wirnika. Dzięki zastosowaniu przegubu przekręceń możliwe jest sterowanie skokiem łopat. Przegub wahań zastosowano w celu zmniejszenia dużych naprężeń oraz momentu przechylającego wywołanych asymetrią sił na łopatach nacierających i powracających w locie postępowym. Przegub odchyleń redukuje obciążenia wywołane efektem Coriolisa związanym z wahaniami łopat. [, 7] W nowoczesnych śmigłowcach z głowicami bezprzegubowymi i bezłożyskowymi rolę przegubów pełnią elementy podatne wykonane najczęściej ze stopów tytanu lub materiałów kompozytowych. 7

18 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA Ilustracja -7: Głowica wirnika nośnego Ograniczając rozważania do quasi-stacjonarnych wahań łopat wirnika występujących z częstością jeden na obrót można je przedstawić w postaci: β Ψ =β +βc cos Ψ+βs sin Ψ. gdzie: β kąt stożka wirnika βc współczynnik pierwszej harmonicznej wahań podłużnych przy cosinusie βs współczynnik pierwszej harmonicznej wahań poprzecznych przy sinusie Wahania okresowe można interpretować jako pochylenia i przechylenie tarczy wirnika odpowiednio o kąty βc i βs, co zostało przedstawiono na Ilustracji -8. Ilustracja -8: Stopnie swobody tarczy wirnika Wahania łopat można wymusić poprzez odpowiednie sterowanie kątem przekręceń zależnym od azymutu łopaty, które jest realizowane za pomocą drążka skoku okresowego i tarczy sterującej. Można wykazać, za Stepniewskim [], że kierunek wektora ciągu w stanie ustalonym jest prostopadły do płaszczyzny toru końców łopat. Zakładając, że wahania łopat wirnika występują z częstością jeden na obrót można przyjąć, że wektor ciągu jest obrócony względem wału wirnika o kąty βc i βs. 8

19 . WPROWADZENIE.. Modelowanie matematyczne Pojęcie model odnosi się zarówno do modeli rzeczywistych, będących najczęściej pomniejszonym obiektem np.: do badań w tunelu aerodynamicznym, jak i do modeli abstrakcyjnych np.: fizycznych, matematycznych opisujących dany obiekt, zjawisko lub proces. Natomiast przez modelowanie rozumiany jest całokształt czynności służący do opracowania i weryfikacji modelu. [8, 9] Modelowaniem fizycznym, za K. Sibilskim [8], nazywana jest czynność polegająca na wyodrębnieniu z rozpatrywanego zjawiska istotnych elementów, sprowadzająca się do: ustalenia celu modelowania, praw fizycznych rządzących modelowanym zjawiskiem, jego cech jakościowych i ilościowych oraz charakterystyk sygnałów wejściowych. Proces stworzenia sformalizowanego opisu modelu fizycznego, w postaci układu równań oraz zależności opisujących istniejące ograniczenia, nazywany jest modelowaniem matematycznym. [8, 9] Pod pojęciem modelu symulacyjnego jest rozumiany model matematyczny zapisany w postaci programu komputerowego, natomiast symulacją komputerową nazywane jest wykonanie takiego programu. Ilustracja -9: Proces modelowania Dla zjawisk zależnych od czasu, do których należą zagadnienia dynamiki lotu, wyróżnić można symulacje czasu rzeczywistego, czyli takie, w których czas obliczeń pokrywa się z czasem opisywanego zjawiska. Ważnym aspektem symulacji czasu rzeczywistego jest dostępna moc obliczeniowa, która może wpływać na złożoność modelu matematycznego. 9

20 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA. MODELOWANIE DYNAMIKI LOTU ŚMIGŁOWCA.. Układy współrzędnych stosowane w analizie dynamiki lotu Do analizy i modelowania dynamiki ruchu obiektów latających stosuje się zazwyczaj prostokątne i prawoskrętne układy odniesienia. [8, ] Inercjalny układ współrzędnych Jest to układ współrzędnych względem, którego określana jest pozycja i orientacja przestrzenna opisywanego statku powietrznego. W tej pracy wykorzystano powszechnie stosowany w geodezji i nawigacji układ World Geodetic System 98, przedstawiony na Ilustracji -. Układ współrzędnych WGS-8 opisuje kształt i rozmiar Ziemi za pomocą elipsoidy, o parametrach przedstawionych w Tabeli -, stanowiącej powierzchnię odniesienia do ustalania wysokości tak zwana wysokość elipsoidalna. Ilustracja -: World Geodetic System 98 Początek układu WGS-8 znajduje się w środku masy Ziemi, oś Zi pokrywa się z osią obrotu Ziemi, oś Xi leży w płaszczyźnie równika i skierowana jest w stronę południka, natomiast oś Yi dopełnia prawoskrętny układ współrzędnych. []

21 . MODELOWANIE DYNAMIKI LOTU ŚMIGŁOWCA Parametr Oznaczenie Wartość Jednostka Długość wielkiej półosi elipsoidy a 6787, m Odwrotność spłaszczenia /f 98, Prędkość kątowa Ziemi ωe 795, - rad/s Stała grawitacyjna Ziemi GM 986,8 8 m/s Tabela -: Parametry definiujące układ WGS-8 [] Poniżej przedstawione jest przekształcenie umożliwiające wyznaczenie współrzędnych kartezjańskich układu WGS-8 na podstawie współrzędnych geodezyjnych. e= a b a. χ= e sin ϕg a y = χ +h cos ϕ sin λ. a xi = χ +h cos ϕg cos λ G i G z i= a G e χ +h sin ϕg...5 gdzie: b długość małej półosi elipsoidy h wysokość elipsoidalna λg długość geodezyjna ϕg szerokość geodezyjna Przekształcenie odwrotne ze współrzędnych kartezjańskich WGS-8 na współrzędne geodezyjne wymaga zastosowania metod iteracyjnych. Bezpośrednia metoda piętnastokrokowa została zaproponowana przez Jijie Zhu w []. Należy wspomnieć, że układ WGS-8 nie jest układem inercjalnym, gdyż występują w nim siły pozorne związane, z obrotem Ziemi wokół własnej osi. Pomimo tego, że wpływ tych sił jest niewielki, na potrzeby symulacji dynamiki lotu należy je uwzględnić w równaniach ruchu statku powietrznego. [] W celu uproszczenia zapisu i poprawy czytelności efekty oddziaływań tych sił zostały pominięte. Wartości wyrażane w inercjalnym układzie współrzędnych wyróżniono indeksem i.

22 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA Grawitacyjny układ współrzędnych Grawitacyjny układ współrzędnych porusza się razem z modelowanym obiektem latającym, jego początek pokrywa się z początkiem układu współrzędnych związanego z płatowcem, oś Zg pokrywa się co do kierunku i zwrotu z wektorem przyspieszenia grawitacyjnego, osie Xg i Yg leżą w płaszczyźnie poziomej i skierowane są odpowiednio na północ i wschód. Wartości wyrażane w grawitacyjnym układzie współrzędnych wyróżniono indeksem g. Samolotowy układ współrzędnych Początek układu współrzędnych związany z płatowcem, zwanego także samolotowym, leży w płaszczyźnie symetrii statku powietrznego, w śmigłowcach wygodnie jest przyjąć za początek tego układu punkt przecięcia osi wału wirnika nośnego np. z płaszczyzną montażową kadłuba. Oś Xb samolotowego układu współrzędnych skierowana jest do przodu, oś Zb leży w płaszczyźnie symetrii i skierowana jest w dół, a oś Yb dopełnia prawoskrętny układ współrzędnych. Wartości wyrażane w samolotowym układzie współrzędnych wyróżniono indeksem b. Ilustracja -: Samolotowy układ współrzędnych Aerodynamiczny układ współrzędnych Aerodynamiczny układ współrzędnych związany jest z opływem statku powietrznego, jego początek pokrywa się z początkiem układu związanego z płatowcem, oś Xa posiada kierunek prędkości niezaburzonego napływu powietrza ale przeciwny zwrot, oś Za leży w płaszczyźnie symetrii kadłuba i skierowana jest do dołu, a oś Ya dopełnia prawoskrętny układ współrzędnych. Wartości wyrażane w aerodynamicznym układzie współrzędnych wyróżniono indeksem a.

23 . MODELOWANIE DYNAMIKI LOTU ŚMIGŁOWCA Laboratoryjny układ współrzędnych Laboratoryjny układ współrzędnych jest podobny do aerodynamicznego z tą różnicą, że oś Xl ma zwrot zgodny z prędkością niezaburzonego napływu, oś Zl skierowana jest do góry, a oś Yl posiada niezmieniony kierunek i zwrot. Wartości wyrażane w laboratoryjnym układzie współrzędnych wyróżniono indeksem l... Współrzędne kątowe Do określenia wzajemnego położenia różnych układów odniesienia, wykorzystano quasi-eulerowskie kąty Bryanta, zwane także kątami samolotowymi. [8, 9, ] Dzięki przyjęciu takiej konwencji kąty obrotu z układu grawitacyjnego do samolotowego układu współrzędnych, przedstawione na Ilustracji -, są jednocześnie kątami przechylenia, pochylenia i odchylenia. Kąty obrotów wokół osi X, Y, Z oznaczone są odpowiednio φ, θ, ψ. Ilustracja -: Kąty Bryanta Transformację współrzędnych z układu odniesienia do można przedstawić w postaci: r =T / r + { R O } gdzie: r wektor współrzędnych punktu w układzie r wektor współrzędnych punktu w układzie T / macierz obrotu z układu współrzędnych do.6

24 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA { RO } wektor współrzędnych początku układu wyrażony w układzie Dla znanych kątów Bryanta φ, θ, ψ obrotu z układu współrzędnych do macierz rotacji T/ można przedstawić w postaci: [ ][ ][ cos θ sin θ cos ψ sin ψ T / = cos ϕ sin ϕ sin ψ cos ψ sin ϕ cos ϕ sin θ cos θ ].7 a po przemnożeniu: [ cos θcos ψ cos θ sin ψ sin θ T / = cos ψ sin ϕsin θ cos ϕsin ψ cos ϕ cos ψ+sin ϕ sin θ sin ψ cos θ sin ϕ sin ϕ sin ψ+cos ϕ cos ψsin θ cos ϕ sin θ sin ψ cos ψ sin ϕ cos ϕ cos θ ].8 Dla przekształcenia odwrotnego macierz obrotu jest równa transformowanej macierzy T/ : T / =T T/.9.. Założenia upraszczające W wielu zastosowaniach szczegółowa analiza dynamiki lotu śmigłowców nie jest niezbędna, a czasami wręcz pożądana. Wykorzystanie bardziej dokładnego modelu nie gwarantuje uzyskania bardziej wiarygodnych wyników, a może skomplikować obliczenia i utrudnić interpretację wyników. [] Stosując się do zasady mówiącej, że model matematyczny powinien być tak prosty jak to tylko możliwe [6], przyjęte zostały następujące założenia upraszczające opis dynamiki lotu śmigłowca [6, 8, ]: kadłub śmigłowca jest nieodkształcalny, masa i momenty bezwładności śmigłowca są znanymi funkcjami ilości paliwa, pominięte są zjawiska aerodynamiki nieustalonej, wirnik nośny traktowany jest jak tarcza o trzech stopniach swobody tarcza wirnika posiada możliwość ruchu stożkowego, przechylania oraz pochylania, model wirnika nośnego jest quasi-stacjonarny przyjmuje nowe położenie bez opóźnień, obciążenia aerodynamiczne od wirnika nośnego wyrażone są analitycznie w postaci sił i momentów sił działających na głowicę.

25 . MODELOWANIE DYNAMIKI LOTU ŚMIGŁOWCA.. Związki kinematyczne Do jednoznacznego opisu nieodkształcalnego statku powietrznego w przestrzeni potrzebne są trzy współrzędne liniowe określające jego położenie oraz trzy współrzędne kątowe określające orientację przestrzenną. [8] Wykorzystano do tego współrzędne początku, związanego z płatowcem, układu samolotowego wyrażone w układzie inercjalnym x, y, z oraz kąty Bryanta obrotu z układu inercjalnego do samolotowego φ, θ, ψ. W poruszającym się razem ze statkiem powietrznym układzie samolotowym wyznaczany jest T b= [ p, q, r ]T. W celu wektor chwilowej prędkości liniowej V b =[ u, v, w ] oraz kątowej Ω powiązania wartości prędkości chwilowych wyrażonych w układzie samolotowym z pochodnymi współrzędnych w układzie inercjalnym należy określić związki kinematyczne. Przyjmują one następującą postać dla prędkości liniowej: [][ ][ ] cos θ cos ψ cos ψsin ϕsin θ cos ϕ sin ψ sin ϕ sin ψ+cos ϕ cos ψsin θ u x y = cos θsin ψ cos ϕ cos ψ+sin ϕsin θ sin ψ cos ϕ sin θsin ψ cos ψsin ϕ v z sin θ cos θ sin ϕ cos ϕ cos θ w. oraz dla prędkości kątowej: [][ ][ ] sin ϕ tan θ cos ϕ tan θ ϕ p cos ϕ sin ϕ = θ q sin ϕ cos ϕ ψ r cos θ cos θ. Wyrażenie. posiada punkty osobliwe dla θ = ±9 [8], dlatego dla wartości kąta θ bliskich ±9 stosuje się związki kinematyczne w następującej postaci: [][ ϕ = cos ϕ sin ϕ θ ψ ][ ] p q r..5. Równania ruchu Dynamiczne równania ruchu śmigłowca wyprowadzone zostały w poruszającym się razem ze statkiem powietrznym, samolotowym układzie współrzędnych z wykorzystaniem znanej zasady zmiany pędu oraz krętu: dπ, =F dt O dk Π =M O +V dt 5..

26 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA Przedstawiając prędkość środka masy śmigłowca w postaci: {V CG }b= V b +Ω b { r CG }b.5 b+ Ω b { r CG } b =m V Π b.6 b +m { r CG } V b Ob= J b Ω K b.7 pęd wyrażony jest jako: natomiast kręt [, 5]: gdzie: m masa śmigłowca Jb tensor momentów bezwładności śmigłowca względem osi układu samolotowego { r CG }b współrzędne środka masy śmigłowca wyrażone w układzie samolotowym Oznaczając wektor momentów statycznych jako: T S b=[ S X, S Y, S Z ] =m { r CG }b.8 i podstawiając.8 do wyrażeń.6 i.7 zależności na pęd i kręt przyjmują postać: b b =m V b +Ω Π Sb.9 b+ Ob= J b Ω b K S b V. Korzystając z reprezentacji macierzowej iloczynu wektorowego: [][][ ][ ] [ ][ ] a a b b b a a b a b= a b = a = a b b b a a a b b a a b b. wyrażenia na pęd i kręt przyjmują postać: [ ] [][ S Z S Y ΠX u b = Π =m v + S Z Π SX Y w S Y S X ΠZ [ ][ J X J XY J XZ KX Ob= K = J XY K JY J YZ Y J XZ J YZ JZ KZ ][ ] [ ][ ] p q r S Z S Y p + SZ S X q r S Y S X 6. ][ ] u v w.

27 . MODELOWANIE DYNAMIKI LOTU ŚMIGŁOWCA Zasady zmiany pędu i krętu w układzie samolotowym wyrażone są następująco: b δπ b Π b=f +Ω δt. Ob δk b K b Π b +Ω Ob= M Ob +V δt.5 δ gdzie δ t oznacza pochodną lokalną w układzie nieinercjalnym. [, 5] Podstawiając wyrażenia. i. do równań. i.5 otrzymujemy: [][ ][ ] [ ][ [ ][ ] [ [ ][ [ ][ [ ][ S Z S Y u m v + S Z SX w S Y S X [ S Z S Y r q + r p S Z SX q p S Y S X J X J XY J XZ J XY JY J YZ J XZ J YZ JZ ][ ] r q u p p v + q +m r q p w r.6 ][ ] [ ] FX p = q FY r FZ S Z S Y p S X q + S Z r S Y S X J X J XY J XZ r q + r p J XY JY J YZ q p J XZ J YZ JZ S Z S Y r q + r p SZ S X q p S Y S X S Z S Y w v + w u S Z SX v u S Y S X ][ ] u v + w ][ ] p q + r.7 ][ ] ][ ] [ ] u v + w MX p q = MY r MZ Równania.6 i.7 wygodnie jest zapisać w formie równania macierzowego [8]: B s + P B s=q.8 gdzie: s wektor stanu: s=[ u, v, w, p, q, r ] T Q wektor sił i momentów sił: Q=[ F X, F Y, F Z, M X, M Y, M Z ] 7 T

28 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA B macierz bezwładności: [ m SZ S Y m S Z SX m SY S X B= S Z S Y J X J XY J XZ SZ S X J XY JY J YZ S Y S X J XZ J YZ JZ ].9 P pomocnicza macierz prędkości: [ r q r p q p P= w v r q w u r p v u q p ]. Mnożąc lewostronnie równanie macierzowe.8 przez macierz odwrotną B- można otrzymać postać łatwą do całkowania numerycznego [9]: s =B Q P B s. Przy czym wektor sił i momentów sił Q można przedstawić jako: [ Q= F W + F A+ F P + F G M W + M A+ M P + M G ] gdzie: FW, MW siły i momenty sił grawitacyjnych FA, MA siły i momenty sił aerodynamicznych FP, MP siły i momenty sił od zespołu napędowego w tym od wirujących mas FG, MG siły i momenty sił od podwozia 8.

29 . MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO. MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO.. Układy współrzędnych stosowane w analizie wirnika nośnego Układ współrzędnych wirnika Jest to układ związany z głowicą wirnika, nieruchomy względem kadłuba, o początku w punkcie przecięcia osi wału z płaszczyzną obrotu piasty. Płaszczyzna obrotu piasty jest prostopadła do wału wirnika. Oś Zra pokrywa się z osią wału wirnika i skierowana jest w dół, oś Xra leży w płaszczyźnie obrotu piasty i leży w płaszczyźnie symetrii kadłuba i skierowana jest do przodu, a oś Yra dopełnia prawoskrętny układ współrzędnych. Ilustracja -: Układ współrzędnych wirnika Wartości wyrażane w układzie współrzędnych wirnika wyróżniono indeksem ra. Układ współrzędnych opływu wirnika Jest to układ związany z głowicą wirnika, o początku w punkcie przecięcia osi wału z płaszczyzną obrotu piasty. Płaszczyzna obrotu piasty jest prostopadła do wału wirnika. Oś Zrw pokrywa się z osią wału wirnika i skierowana jest w dół, oś Xrw leży w płaszczyźnie obrotu piasty 9

30 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA i skierowana jest w taki sposób, że wektor prędkości napływu strumienia niezaburzonego ma tylko dwie składowe, a oś Yrw dopełnia prawoskrętny układ współrzędnych: {V }rw=u rw i +wrw k = [ u rw,, wrw ]T. Wartości wyrażane w układzie współrzędnych opływu głowicy wyróżniono indeksem rw. Płaszczyzny odniesienia wirnika W analizie dynamiki wirnika nośnego śmigłowca wygodnie jest stosować układ współrzędnych płaszczyzny toru końców łopat układ bez wahań oraz układ bez przekręceń, w których znacznemu uproszczeniu ulegają wyrażenia na obciążenia pochodzące od wirnika. [6] Płaszczyzny bez wahań i bez przekręceń przedstawiono na Ilustracji -, przyjmując dla uproszczenia, że sterowanie skokiem odbywa się jedynie w kanale podłużnym. Ilustracja -: Płaszczyzny odniesienia wirnika Oś wału zaznaczona jest jako aa' i pokrywa się z osią Zra układu współrzędnych wirnika, oś bb' jest prostopadła do cięciwy łopaty oraz płaszczyzny bez przekręceń, natomiast oś cc' jest prostopadła do płaszczyzny toru końców łopat. Wartości wyrażane w układzie bez wahań wyróżniono indeksem da, natomiast w układzie bez przekręceń indeksem ca. Układ współrzędnych łopaty Jest to układ współrzędnych związany z łopatą, o początku w punkcie przecięcia osi przekręceń z osią wahań. Oś Xba pokrywa się z osią przekręceń i skierowana jest w stronę końca łopaty, oś Yba leży w wybranej płaszczyźnie odniesienia wirnika i skierowana jest w stronę krawędzi natarcia, natomiast oś Zba dopełnia prawoskrętny układ współrzędnych. Wartości wyrażane w układzie współrzędnych głowicy wyróżniono indeksem ba.

31 . MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO.. Poziomy modelowania wirnika nośnego Wymagania odnoszące się do dokładności modelu wirnika nośnego zależą od zastosowania i zazwyczaj klasyfikuje się je według trzech kategorii [6]:. Założenia modelowania poziomu pierwszego: opływ wirnika jest dwuwymiarowy, nieściśliwy i quasi-stacjonarny, obciążenia siły i momenty sił aerodynamiczne są liniowo zależne od kątów natarcia, wszystkie elementy wirnika nośnego traktowane są jako idealnie sztywne, ruch wszystkich elementów wirnika traktowany jest jako quasi-stacjonarny, łopaty wirnika mają możliwość ruchu o trzech stopniach swobody obrót wokół wału wirnika, ruch wokół przegubu wahań oraz ruch wokół przegubu przekręceń lub o sześciu stopniach swobody obrót wokół wału wirnika, ruch wokół przegubu wahań, ruch wokół przegubu przekręceń oraz ruch wokół przegubu odchyleń;. Założenia modelowania poziomu drugiego: niestacjonarny, uproszczony trójwymiarowy opis opływu wirnika uwzględniający lokalne efekty oddziaływania wirów łopat oraz ściśliwość powietrza, obciążenia aerodynamiczne nieliniowo zależne od kątów natarcia, łopaty wirnika modelowane jako ciała odkształcalne o ograniczonej liczbie postaci odkształceń i sześciu stopniach swobody;. Założenia modelowania poziomu trzeciego: niestacjonarny, trójwymiarowy opis opływu wirnika z pełną analizą śladu wirowego, obciążenia aerodynamiczne nieliniowo zależne od kątów natarcia, łopaty wirnika modelowane, z wykorzystaniem metody elementów skończonych, jako ciała odkształcalne i sprężyste. W analizie dynamiki lotu zazwyczaj stosuje się modelowanie poziomu pierwszego, które jest wystarczające do opisania podstawowych cech lotu śmigłowca, dając wyniki różniące się od rzeczywistości nie więcej niż o %. [6] Dla niektórych zagadnień dynamiki lotu niezbędne jest wykorzystanie modelowania poziomu drugiego, natomiast modelowanie poziomu trzeciego stosuje się zazwyczaj w procesie projektowania.

32 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA.. Założenia upraszczające W dalszych rozważaniach przyjęte zostały założenia modelowania poziomu pierwszego oraz dalsze uproszczenia opisu opływu oraz obciążeń pochodzących od wirnika: Pominięte zostały zjawiska związane z oderwaniem opływu na łopatach wirnika, co może skutkować otrzymaniem nierzeczywistych rezultatów w postaci dalszego wzrostu ciągu wirnika poza granicą przeciągnięcia. Efekt ten może wystąpić szczególnie przy dużych prędkościach postępowych śmigłowca, kiedy to kąty natarcia na łopatach powracających bliskie są wartości krytycznej; Przyjęto, że łopaty wirnika mają możliwość ruchu o trzech stopniach swobody; Przyjęty został jednorodny rozkład prędkości indukowanej wzdłuż długości łopaty; Pominięte zostały skutki opływu odwrotnego; Przyjęto, że opływ łopaty jest quasi-stacjonarny i nieściśliwy; Przyjęto, że siła nośna jest funkcją liniową lokalnego kąta natarcia, natomiast opór jest funkcją kwadratową siły nośnej; [6] Przyjęto, że ciąg wirnika jest równy co do wartości wypadkowej sile aerodynamicznej pochodzącej od wirnika i jest prostopadły do płaszczyzny toru końców łopat. [].. Teoria strumieniowa Powyższe założenia spełnia strumieniowa teoria wirnika ang.: Momentum Theory, która umożliwia wyprowadzenie zależności między ciągiem i momentem oporowym wirnika oraz prędkością indukowaną. [6] Według teorii strumieniowej wirnik jest nieskończenie cienką tarczą, na której następuje skokowy przyrost ciśnienia, ciąg jest równomiernie rozłożony na całej powierzchni tej tarczy, natomiast strumień powietrza przepływający przez nią jest jednorodny i wyraźnie rozgraniczony od otoczenia. [6] Zakładając jednorodny rozkład prędkości indukowanej na tarczy wirnika wyrażenia na strumień masy, prędkość zmiany pędu oraz zmianę energii kinetycznej w strumieniu, dla lotu pionowego z prędkością wznoszenia vc, można przedstawić odpowiednio jako [6]: m =ρ A v c =ρ A R v c +vi =ρ A v c +v.

33 . MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO T = m v c +v m v c = m v. T v c +v = m v c +v m v c = m v c v +v. gdzie: A=π R pole przekroju strumienia nad wirnikiem A R =π R pole powierzchni tarczy wirnika A =π R pole przekroju strumienia pod wirnikiem m strumień masy powietrza v c prędkość wznoszenia v i prędkość indukowana na tarczy wirnika v prędkość indukowana w pełni rozwiniętym strumieniu T siła ciągu wirnika Ilustracja -: Przepływ przez wirnik w ruchu osiowym

34 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA Z powyższych zależności wynika, że prędkość indukowana w pełni rozwiniętym strumieniu równa jest podwojonej prędkości indukowanej na tarczy wirnika: v = v i.5 Podstawiając wyrażenia. i.5 do. ciąg wirnika można zapisać jako: T = ρ A R v c +v i v i.6 Dla zawisu zależność na ciąg wirnika redukuje się do postaci: T = ρ A R v ih.7 gdzie vih oznacza prędkość indukowaną przez wirnik w zawisie. Przekształcając wyrażenia.6 i.7 zależności na prędkość indukowaną, odpowiednio w locie ze wznoszeniem i w zawisie, mają postać: v i= T ρ A R v c +v i v ih = T ρ A R.8.9 Oznaczając jako: vi ωr R. λ ih = v ih ωr R. μc = vc ωr R. λ i= oraz wprowadzając pojęcie współczynnika ciągu wirnika: CT = T ρ A R ω R R. wyrażenia.8 i.9 można przedstawić w postaci: λ i= CT μc +λ i λ ih = CT..5

35 . MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO Łatwo zauważyć, że: λ ih =λ i μ c +λi.6 Równanie.6 można sprowadzić do następującej postaci: μ λ i = c + μc +λ ih.7 Zależność na prędkość indukowaną dla opadania z prędkością vd = vc otrzymać można w wyniku analogicznego rozumowania: μ λ i= d μd λ ih.8 Należy jednak zwrócić uwagę, że rozwiązanie.8 ma sens fizyczny jedynie dla stanu, w którym pole przepływu nad wirnikiem jest w pełni rozwinięte, a przepływ odbywa się z dołu do góry Ilustracja -d. [6] Można przyjąć, że taki stan występuje dla prędkości opadania co najmniej dwukrotnie większej od prędkości indukowanej na tarczy wirnika w zawisie. [] Ilustracja -: Stany pracy wirnika 5

36 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA Poza obszarem stosowalności teorii strumieniowej znajdują się takie stany pracy wirnika jak pierścień wirowy Ilustracja -b oraz stan śladu turbulentnego Ilustracja -c, dla których przybliżone wartości prędkości indukowanej uzyskać można za pomocą zależności doświadczalnych Younga [6]: μd λ ih μ λ =λ 7 λ λ i =λ ih + d i ih ih dla μd,5λ ih.9 dla,5 λ ih <μd λ ih. Ilustracja -5: Prędkość indukowana w ruchu osiowym Teoria strumieniowa w locie z prędkością postępową Ilustracja -6: Przepływ przez wirnik w ruchu postępowym Jedna z pierwszych metod wyznaczania prędkości indukowanej przez wirnik w locie z prędkością postępową V została zaproponowana przez Glauerta. [, 6] Przyjmując, że prędkość indukowana w odległym śladzie ma, podobnie jak w przypadku ruchu osiowego, wartość dwukrotnie większą niż na tarczy wirnika, wyrażenie na ciąg można zapisać w postaci [6]: T = m v i = ρ A R V ' v i 6.

37 . MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO Zależność na prędkość indukowaną można więc zapisać jako: v i= T ρ AR V '. gdzie V' jest prędkością wypadkową na wirniku [6, 6]: V ' = V cos α R+ V sin α R v i. u rw =V cos α R. w rw =V sin α R.5 Oznaczając jako: wyrażenie. można przedstawić w postaci: v i= T ρ A R u rw + w rw v i.6 Można zauważyć, że dla vx = rozwiązanie.6 obejmuje także przypadki zawisu oraz ruchu osiowego. [6] Wprowadzając analogiczne jak dla ruchu osiowego oznaczenia bezwymiarowe: λ i= μ x= u rw ωr R vi ωr R, μ z=.7 w rw ωr R.8.9 wyrażenie na prędkość indukowaną można zapisać w postaci: λ i= CT μ x +μ z λ i. Należy zwrócić uwagę, że dla znacznych prędkości postępowych efekt sumowania się prędkości wynikających z obrotu wału wirnika oraz ruchu śmigłowca prowadzi do powstania znacznych niejednorodności w rozkładzie prędkości indukowanej na tarczy wirnika. Do opisu tego zjawiska wykorzystać można model zaproponowany przez Glauerta [6, 6]: v i r, Ψ =v i + r k cos Ψ R. gdzie vi jest średnią prędkością indukowaną na tarczy wirnika określoną zależnością.6. 7

38 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA Współczynnik niejednorodności rozkładu k wyznaczany jest z zależności: k =v i χ χ cot k =v i tan dla χ< π. dla χ> π.. gdzie kąt śladu χ określony jest wyrażeniem: χ=arctan u rw w rw v i Powyższe zależności można zapisać w postaci bezwymiarowej: λ i r, Ψ =λ i + k λ=λ i χ χ cot k λ=λ i tan r k cos Ψ R λ.5 dla χ< π.6 dla χ> π.7 Wyniki obliczeń prędkości indukowanej na tarczy wirnika względem prędkości lotu postępowego przedstawiono na Ilustracji -7. Ilustracja -7: Prędkość indukowana w ruchu postępowym αr = 8

39 . MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO Należy zwrócić uwagę, że teoria strumieniowa w locie z prędkością postępową nie uwzględnia efektu przekroczenia krytycznego kąta natarcia na łopatach powracających związanego z sumowaniem się prędkości wynikającej z ruchu obrotowego wirnika z prędkością napływu powietrza będącą rezultatem ruchu postępowego śmigłowca..5. Metoda elementu łopaty Ilustracja -8: Element łopaty wirnika nośnego W celu wyznaczenia obciążeń aerodynamicznych działających na kolejne segmenty łopaty wirnika nośnego przyjmuje się, że łopata złożona jest z nieskończenie cienkich, niezależnych aerodynamicznie elementów rozlokowanych wzdłuż jej długości. [] Duże wydłużenia łopat uzasadnia stosowanie płaskiego modelu opływu, a spadek siły nośnej na końcu i u nasady łopaty uwzględnić można wykorzystując tak zwany efektywny promień łopaty zazwyczaj mniejszy od promienia wirnika o kilka procent. [, 6, 6] Ilustracja -9: Składowe kąta natarcia elementu łopaty wirnika W większości przypadków wykorzystanie w obliczeniach układu współrzędnych wirnika prowadzi do niepotrzebnych komplikacji ze względu na jednoczesne występowanie zmiennych wraz z azymutem wahań jak i przekręceń. [] W celu uproszczenia zapisu zastosowano układ współrzędnych bez przekręceń, który dodatkowo usytuowany jest w taki sposób, że wektor 9

40 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA prędkości napływającego powietrza ma tylko dwie składowe. Wyznaczone w tym układzie odniesienia siły i momentu są następnie transformowane do samolotowego układu współrzędnych. W dalszych rozważaniach przyjęto, że przepływ jest quasi-stacjonarny i nieściśliwy, siła nośna działająca na element łopaty jest funkcją liniową lokalnego kąta natarcia, natomiast opór jest funkcją kwadratową siły nośnej. [6] Wyrażenia na elementarną siłę nośną oraz opór działające na przekrój łopaty zapisać można odpowiednio w postaci: dl= ρ U r, Ψ C L c B dr.8 dd= ρ U r, Ψ C D c B dr.9 Bezwymiarowe współczynniki siły nośnej i oporu wyrażone są zależnościami: C L=a α BE r, Ψ. C D=δ +δ C T. Kąt natarcia przekroju łopaty można zapisać w postaci: α BE r, Ψ =θ+ϕ r, Ψ. gdzie: ϕ r, Ψ =arctan U P r, Ψ U T r, Ψ..6. Składowe prędkości opływu przekroju łopaty W najbardziej ogólnym przypadku na prędkość opływu łopaty wpływ mają: prędkość obrotowa wału wirnika, ruch postępowy i obrotowy śmigłowca w przestrzeni oraz ruchy łopaty wokół przegubu poziomego i pionowego. W celu uproszczenia zapisu pominięty został wpływ prędkości odchylania łopaty oraz ruchu obrotowego śmigłowca wokół wału wirnika. Aby wyprowadzić wyrażenia na składowe prędkości opływu elementu łopaty, w pierwszej kolejności, należy wyznaczyć prędkość głowicy w układzie współrzędnych wirnika: {V RH }ra =T b/ ra V b +Ω b { r RH }b. ra =T b/ ra Ω b Ω.5

41 . MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO Macierz Tb/ra obrotu z układu samolotowego do układu współrzędnych wirnika ma postać: [ cosε sin ε T b/ ra= sin ε cos ε ].6 gdzie ε to kąt pochylenia osi wału wirnika. Otrzymane prędkości należy następnie wyrazić w układzie bez przekręceń: {V RH }ca=t ra /ca {V RH }ra.7 ca =T ra /ca Ω ra Ω.8 gdzie Tra/ca to macierz obrotu z układu współrzędnych wirnika do układu bez przekręceń, która przyjmuje postać: dla wirnika obracającego się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara: [ ][ cos θs sin θs T ra / ca = cos θc sin θc sin θc cos θc sin θs cos θs ].9 dla wirnika obracającego się zgodnie z ruchem wskazówek zegara: [ ][ cos θs sin θs T ra / ca = cos θc sin θc sin θc cos θc sin θs cos θs ].5 Układ współrzędnych bez przekręceń należy jeszcze obrócić w taki sposób aby wektor prędkości napływającego powietrza miał tylko dwie współrzędne. {V RH }cw=t ca/ cw {V RH }ca.5 cw =T ca/ cw Ω ca Ω.5 W powyższych wyrażeniach macierz obrotu Tca/cw ma postać: [ cosβ R sin β R T ca /cw = sin β R cosβ R ].5 gdzie βr to kąt ślizgu wirnika wyrażony zależnością: β R=arcsin v ca u ca+v ca+w ca.5

42 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA Ilustracja -: Składowe prędkości opływu wirnika Wprowadzając oznaczenia: {V RH }cw=[ ucw,,w cw ]T.55 cw =[ p cw, qcw, ]T Ω.56 oraz przyjmując dodatni zwrot wahań do góry, składowe prędkości opływu elementu łopaty można zapisać jako: dla wirnika obracającego się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara: U T =ω R r cosβ+u cw sin Ψ.57 U P =w cw cos β v i cosβ β r u cw sin β cos Ψ+ p cw r sin Ψ +q cw r cos Ψ.58 dla wirnika obracającego się zgodnie z ruchem wskazówek zegara: U T =ω R r cosβ+u cw sin Ψ.59 U P =w cw cos β v i cosβ β r u cw sin β cos Ψ p cw r sin Ψ +q cw r cos Ψ.6 Zakładając, że dla małych kątów wahań: sin β β.6 cos β.6 powyższe wyrażenia można przedstawić w postaci uproszczonej: dla wirnika obracającego się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara: U T =ω R r +ucw sin Ψ.6 U P =w cw v i β r u cw β cos Ψ+ p cw r sin Ψ +q cw r cos Ψ.6

43 . MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO dla wirnika obracającego się zgodnie z ruchem wskazówek zegara: U T =ω R r +ucw sin Ψ.65 U P =w cw v i β r u cw βcos Ψ p cw r sin Ψ +q cw r cos Ψ.66 Oznaczając jako: u cw ωr R.67 w cw v i ωr R.68 μ= λ= wyrażenia na składowe prędkości opływu elementu łopaty można zapisać w postaci: dla wirnika obracającego się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara: U T =ω R r +μ ω R Rsin Ψ.69 U P =λ ω R R β r μ ω R Rβ cos Ψ + p cw r sin Ψ+qcw r cos Ψ.7 dla wirnika obracającego się zgodnie z ruchem wskazówek zegara: U T =ω R r +μ ω R Rsin Ψ.7 U P =λ ω R R β r μ ω R Rβ cos Ψ p cw r sin Ψ+qcw r cos Ψ.7.7. Ciąg wirnika Zakładając, że dla małych kątów φ: ϕ=arctan UP UP UT U T U U T.7 dt dl zależność na kąt natarcia elementu łopaty można przedstawić w postaci: α BE =θ+.7 UP UT Wyrażenie. przyjmie zatem postać: C L=a θ+ UP UT.77

44 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA Uwzględniając uproszczenia.7,.7 i.75 oraz podstawiając wyrażenie.8 zależność na ciąg wirnika można zapisać jako: U dt ρ a c B U T θ+ P dr UT.78 co po przekształceniu daje: dt ρ a c B θ U T +U P U T dr.79 Całkowity ciąg wytwarzany przez wirnik o Nb łopatach wyznaczany jest poprzez scałkowanie równania różniczkowego.79 najpierw względem azymutu, a następnie wzdłuż rozpiętości łopaty. [] Wyrażenie na ciąg wirnika można zatem przedstawić w następującej postaci: N b π BR dt T= dr d Ψ π dr.8 gdzie B to współczynnik strat końcowych. Po podstawieniu zależności.79 wyrażenie.8 przyjmie postać: π BR π BR UT T = ρ a cb N b θ dr d Ψ + U P U T dr dr d Ψ π dr π.8 Pomijając wpływ prędkości kątowej kadłuba śmigłowca wyrażenia na U T i U P U T można przedstawić w postaci: U T =r ω R + ω R R r μ sin Ψ +μ R ω R sin Ψ.8 U P U T =λ ω R R r β ω R r βμ ωr R r cos Ψ + +λ μ ωr R sin Ψ β μ ωr R r sin Ψ β μ ω R R sin Ψ cos Ψ +.8 Zakładając stałą prędkość obrotową wału oraz wykorzystując wyrażenie. pochodne kąta wahań względem czasu można wyrazić jako pochodne względem kąta azymutu: β = dβ dβ d Ψ = =β ω R =ω R βs cos Ψ βc sin Ψ dt d Ψ dt.8 β = d β d β d Ψ =β ω R = ω R βc cos Ψ+βs sin Ψ = dt dt dψ.85

45 . MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO wyrażenia na U T i U P U T można zapisać jako: U T =r ω R + ω R R r μ sin Ψ +μ R ω R sin Ψ.86 U P U T =λ ωr R r βs ωr r cos Ψ+βc ω R r sin Ψ β μ ωr R r cos Ψ + +λ μ ωr R sin Ψ βs μ ω R R r sin Ψ cos Ψ+βc μ ω R R r sin Ψ β μ ω R R sin Ψ cos Ψ.87 Wiedząc, że: π π sin Ψ d Ψ= π sin Ψ d Ψ= π π π sin Ψ cos Ψ d Ψ= π π cos Ψ d Ψ= π cos Ψ d Ψ = π.88 zależność na ciąg wirnika nośnego przyjmie postać: [ λ B θ βc B T = ρ a cb N b ωr R B + B+ μ + μ ].89 Wykorzystując wyrażenie. współczynnik ciągu dla wirnika obracającego się przeciwnie i zgodnie do ruchu wskazówek zegara przyjmie odpowiednio postać: [ λ B θ βc B CT = a s B + B+ μ + μ ].9 gdzie s to bezwymiarowy współczynnik wypełnienia tarczy wirnika..8. Moment oporowy Wyrażenie na elementarny moment oporowy wirnika można zapisać jako: [, 6] dq=r dd cos ϕ dlsin ϕ dr.9 Przyjmując, że dla małych wartości kąta φ: sin ϕ ϕ.9 cos ϕ.9 oraz zakładając, że współczynnik oporu przekroju łopaty jest stały wzdłuż jej rozpiętości wyrażenie.9 przyjmie postać: [, 6] dq= ρ U T C D c B r dr ρ U T C L c B r ϕ dr 5.9

46 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA Moment pochodzący od oporu profilowego można przedstawić jako: Q p= N b R π ρ U T C D c B r d Ψ dr π.95 Po scałkowaniu wyrażenie.9 przyjmie postać: Q p = ρ N b c B ωr R C D + μ.96 Moment pochodzący od oporu indukowanego można przedstawić jako: N b R π Qi= ρ U T C L c B r ϕ d Ψ dr π.97 Podstawiając zależności.7 i.77 otrzyma się: Qi= R π Nb ρ a c B θ U P U T r +U P r d Ψ dr π.98 Całkując wyrażenie.9 najpierw względem azymutu, a następnie wzdłuż rozpiętości łopaty ostatecznie przyjmie ono postać: [] Qi = ρ a c B N b ωr R [ ].99 ]. λ θ+ λ βc +βs + 8 β + μ βc βs μ λ βc+ μ β βs 8 8 Moment oporowy wirnika można zatem wyrazić jako: [ CD +μ λ θ λ + 8 βc+βs + a Q= ρ a c B N b ω R R β μ βc βs + μ λ βc μβ βs 8 8 a w postaci bezwymiarowej jako: [ CD +μ λ θ λ + βc +βs + a 8 C Q = as β μ βc βs + μ λ βc μβ βs ].

47 . MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO.9. Współczynniki wahań Wahania łopaty można przedstawić w postaci szeregu Fouriera, w którym zmienną niezależną jest kąt azymutu łopaty Ψ: β Ψ =β +βc cos Ψ+βs sin Ψ+βc cos Ψ+βs sin Ψ+βc cos Ψ+βs sin Ψ W analizie dynamiki lotu istotne są obciążenia, które mogą zmienić trajektorię statku powietrznego i którymi pilot lub urządzenie automatyczne w jakiś sposób bezpośrednio steruje. [6] Ponadto z danych pozyskanych w drodze eksperymentu wiadomo, że amplitudy harmonicznych trzeciego i wyższych rzędów są pomijalnie małe. [] Ograniczając rozważenia najwyżej do wahań występujących z częstością jeden na obrót wyrażenie. można uprościć do następującej postaci: β Ψ =β +βc cos Ψ+βs sin Ψ. Ilustracja -: Siły działające na element łopaty Zależności na współczynniki wahań zostały wyprowadzone na podstawie metody przedstawionej przez Mila w [7] z równania równowagi momentów sił działających na łopatę względem przegubu wahań, które można zapisać w postaci: M T +M I +M CF +M C +M W =. W wyrażeniu. MT, MI, MCF, MC i MW oznaczają momenty sił względem przegubu poziomego pochodzące odpowiednio od ciągu, siły bezwładności w ruchu wahań, siły odśrodkowej, siły Coriolisa oraz ciężaru. Momenty od sił bezwładności Zależności na momenty pochodzące od sił bezwładności wyprowadzone zostały przy następujących założeniach: wirnik obraca się wokół osi wału ze stałą prędkością kątową; 7

48 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA łopaty wirnika mają możliwość ruchu wokół przegubu wahań, ruch wokół pozostałych przegubów został pominięty; kadłub śmigłowca wykonuje ruch obrotowy ze stałą prędkością przechylania i pochylania, ruch odchylania został pominięty. Wyrażenie na siłę odśrodkową można zapisać jako: df CF =mb ωr r dr.5 Składowa siły Coriolisa prostopadła do płaszczyzny obrotu przyjmuje postać: dla wirnika obracającego się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara: df C = mb p cw ω R r cos Ψ dr mb qcw ω R r sin Ψ dr.6 dla wirnika obracającego się zgodnie z ruchem wskazówek zegara: df C = m B p cw ωr r cos Ψ dr m B q cw ω R r sin Ψ dr.7 Moment od sił bezwładności w ruchu wahań można przedstawić jako: R M I = β m B r dr.8 Traktując łopatę wirnika jak jednorodny pręt można założyć, że [7]: R m B r dr J B.9 R m B r dr S B. gdzie: JB moment bezwładności łopaty względem przegubu wahań SB moment statyczny łopaty względem przegubu wahań Wykorzystując uproszczenie.9 wyrażenie na moment pochodzący od sił bezwładności w ruchu wahań można przedstawić w postaci: M I = β J B 8.

49 . MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO Uwzględniając uproszczenia.6 i.6 moment pochodzący od siły odśrodkowej można wyrazić jako: R R M CF = β mb ωr r dr= ωr β mb r dr. Korzystając z zależności.9 wyrażenie na moment od siły odśrodkowej można zapisać w postaci: M CF = ωr β J B. Moment pochodzący od sił Coriolisa można zapisać następująco: dla wirnika obracającego się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara: R R M C = mb p cw ω R r cos Ψ dr m B q cw ω R r sin Ψ dr =. = pcw ω R J B cos Ψ q cw ωr J B sin Ψ dla wirnika obracającego się zgodnie z ruchem wskazówek zegara: R R M C = m B p cw ω R r cos Ψ dr mb qcw ω R r sin Ψ dr =.5 = p cw ω R J B cos Ψ q cw ω R J B sin Ψ Korzystając z uproszczenia. moment pochodzący od ciężaru wyrazić można jako: R M W = g m B r dr= g S B.6 Moment od siły ciągu Wykorzystując zależność.79 wyrażenie na moment względem przegubu wahań pochodzący od siły ciągu przyjmie następującą postać: BR BR M T = dt r= ρ a c B θ U T +U P U T dr.7 Równowaga momentów względem przegubu wahań Podstawiając do równania. wyrażenia na momenty sił pochodzące od ciągu, siły bezwładności w ruchu wahań, siły odśrodkowej, siły Coriolisa oraz ciężaru otrzyma się równanie równowagi momentów w następującej postaci: verte 9

50 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA dla wirnika obracającego się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara: BR dt r β J B β ωr J B+ p cw ω R J B cos Ψ q cw ω R J B sin Ψ g S B=.8 BR R J B β J B β ω + dt r = J B qcw ω R sin Ψ J B p cw ω R cos Ψ+ g S B.9 dla wirnika obracającego się zgodnie z ruchem wskazówek zegara: BR dt r β J B β ωr J B p cw ω R J B cos Ψ q cw ω R J B sin Ψ g S B=. BR R J B β J B β ω + dt r = J B qcw ω R sin Ψ+ J B p cw ω R cos Ψ+ g S B. Dzieląc wyrażenia.9 i. stronami przez J B ωr otrzyma się odpowiednio: β+β= BR q cw p cw g SB dt r ω R sin Ψ+ ω R cos Ψ J B ωr J B ωr. β+β= BR q cw p cw g SB dt r ω R sin Ψ ω R cos Ψ J B ωr J B ωr. Wykorzystując zależności na U T i U P U T wyrażenie na moment od siły ciągu dla wirnika obracającego przeciwnie i zgodnie do ruchu wskazówek zegara przyjmie odpowiednio postać: BR BR M T = dt r = ρ a c B θ U T +U P U T r dr = B B θ+ B θμ sin Ψ+ θμ sin Ψ + B B B B p cw + λ β βμ cos Ψ + sin Ψ + ωr = ρ a c B R ω R B B B + λ μ sin Ψ β μ sin Ψ cos Ψ β μ sin Ψ + p q q B cw B cw B cw + μ sin Ψ+ cos Ψ+ μ sin Ψ cos Ψ ωr ωr ωr 5.

51 . MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO BR BR M T = dt r= ρ a c B θu T +U P U T dr = B B θ+ B θμ sin Ψ+ θμ sin Ψ + B B B B p cw + λ β βμ cos Ψ sin Ψ + ωr = ρ a c B R ω R B B B + λ μ sin Ψ βμ sin Ψ cos Ψ β μ sin Ψ + p q q B cw B cw B cw μ sin Ψ+ cos Ψ+ μ sin Ψ cos Ψ ωr ωr ωr.5 Wiedząc, że: sin Ψ cos Ψ= sin Ψ sin Ψ = cos Ψ +cos Ψ cos Ψ = cos Ψ sin Ψ = sin Ψ+sin Ψ cos Ψ cos Ψ sin Ψ sin Ψ =.6 oraz podstawiając zależność. do. i.5 do. otrzyma się odpowiednio: γ B B B B β+ β + μ sin Ψ +β + γ μ cos Ψ+ γ μ sin Ψ = 6 8 B B p cw B B p cw B pcw λ+ sin Ψ+ λ μ sin Ψ + μ μ cos Ψ ωr 6 ωr 6 ωr γ B q cw B q cw B = + + cos Ψ+ μ sin Ψ + θ ωr 6 ωr B B + B θμ sin Ψ+ θμ θμ cos Ψ q p g SB ωcwr sin Ψ+ ωcw cos Ψ R J ω B.7 R γ B B B B β+ β + μ sin Ψ +β + γμ cos Ψ+ γμ sin Ψ = 6 8 B B p cw B B p cw B p cw λ sin Ψ+ λ μ sin Ψ μ+ μ cos Ψ + ωr 6 ωr 6 ωr γ B q cw B q cw B = + + cos Ψ+ μ sin Ψ + θ+ ωr 6 ωr B B + B θμ sin Ψ + θμ θμ cos Ψ q p g SB ωcwr sin Ψ ωcw cos Ψ R J ω B gdzie γ to liczba Locka. 5 R.8

52 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA Wyrażenia.7 i.8 po przekształceniu przyjmą odpowiednio postać: β+β γ B + B μ sin Ψ +β + B γμ cos Ψ+ B γμ sin Ψ = 6 8 = [ ] g SB γ B B p cw B B λ+ μ+ θ+ θμ + ω 6 R J B ω R + [ ] p γ B q cw + ωcw cos Ψ + ω R R [.9 ] ] q cw γ B p cw B + + λ μ+ B θμ ω ω R sin Ψ + R + [ γ B pcw B μ θμ cos Ψ + 6 ωr [ ] γ B q cw + μ sin Ψ 6 ωr γ B B B B β+β + μ sin Ψ +β + γμ cos Ψ + γμ sin Ψ = 6 8 = [ ] g SB γ B B p cw B B λ μ+ θ+ θμ + ω 6 R J B ω R + [ ] p γ B q cw ωcw cos Ψ + ω R R [ ] q cw γ B p cw B + + λ μ+ B θμ ω ω R sin Ψ + R + [ ] γ B p cw B μ θμ cos Ψ + 6 ωr [ ] γ B q cw + μ sin Ψ 6 ωr 5.

53 . MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO Podstawiając zależności na pochodne kąta wahań względem azymutu oraz wykorzystując tożsamości trygonometryczne.6 wyrażenia.9 i. można zapisać jako: B μ B μ +B cos Ψ +βc γ B sin Ψ β+βs γ B B B μ cos Ψ + βs γ μ+β γ μ sin Ψ B B +βc γ μ sin Ψ βs γ μ cos Ψ = 6 6 g SB γ B B pcw B B = λ+ μ+ θ+ θμ + ω 6 R J B ωr +βc γ [ + + ] [ ] pcw γ B q cw B β μ + cos Ψ + ω ω R R [. ] ] q γ B pcw B + λ μ+ B θμ ωcw sin Ψ + ω R R + [ γ B p cw B μ θμ cos Ψ + 6 ωr + [ ] γ B q cw μ sin Ψ 6 ωr B μ B μ β+βs γ +B cos Ψ+βc γ B sin Ψ B B B μ cos Ψ + βs γ μ+β γ μ sin Ψ B B - βs γ μ cos Ψ +βc γ μ sin Ψ = 6 6 g SB γ B B pcw B B = λ μ+ θ+ θμ + 6 ωr J B ωr +βc γ [ ] + [ ] pcw γ B q cw B β μ cos Ψ + ω ω R R [ ] q γ B p cw B + + λ μ+ B θμ ωcw sin Ψ + ω R R + [ ] γ B p cw B μ θμ cos Ψ + 6 ωr + [ ] γ B qcw μ sin Ψ 6 ωr 5.

54 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA Zgodnie z przyjętym założeniem rozważania ograniczają się jedynie do wahań występujących z częstością jeden na obrót, zatem równania. i. uproszczą się odpowiednio do postaci: β+βs γ = B μ B μ +B cos Ψ +βc γ B sin Ψ = 8 8 [ ] g SB γ B B p cw B B λ+ μ+ θ+ θμ + ω 6 R J B ω R [. ] pcw γ B qcw B + β μ + cos Ψ + ω ω R R + [ β+βs γ = ] q γ B pcw B + λ μ+ B θμ ωcw sin Ψ ω R R B μ B μ +B cos Ψ +βc γ B sin Ψ = 8 8 [ ] g SB γ B B p cw B B λ μ+ θ+ θμ + ω 6 R J B ω R [. ] p γ B qcw B + β μ ωcw cos Ψ + ω R R + [ ] q γ B p cw B + λ μ+ B θμ ωcw sin Ψ ω R R Porównując lewe i prawe strony równań. i. wyznaczyć można współczynniki wahań. Ostatecznie przyjmują one następującą postać: dla wirnika obracającego się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara: g SB γ B B p cw B B β = λ+ μ+ θ+ θμ ω 6 R J B ωr βc =μ λ + B θ μ B p q + B ωcw 6 cw R γω R.5 B μ B q p B βs= β μ + B ωcw +6 cw R γ ω R μ μ +B B +B 5.6.7

55 . MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO dla wirnika obracającego się zgodnie z ruchem wskazówek zegara: g SB γ B B p cw B B β= λ μ+ θ+ θμ 6 ωr J B ωr βc =μ λ + B θ μ B p q B ωcw +6 cw R γ ωr.8 B μ B q p B βs= β μ + B ωcw 6 cw R γ ω R μ μ + B B +B.9. Należy zwrócić uwagę, że powyższe wyrażenia odnoszą się do współczynników wahań względem płaszczyzny bez przekręceń. 55

56 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA. MODEL SYMULACYJNY ŚMIGŁOWCA Do opracowania modelu symulacyjnego wykorzystane zostały przedstawione w poprzednich częściach równania ruchu śmigłowca oraz model wirnika poziomu pierwszego... Całkowanie numeryczne Wyznaczenia trajektorii statku powietrznego oznacza rozwiązanie zagadnienia początkowego równania różniczkowego w następującej postaci: tk x t k = x t + x dt. t gdzie: T. x= [ x, y, x, ϕ,θ, ψ ] Wektor pochodnych współrzędnych uogólnionych x wyznaczyć można korzystając ze związków kinematycznych. i. wiążących pochodne współrzędnych uogólnionych z wektorem stanu, który natomiast wyznaczany jest poprzez rozwiązanie zagadnienia początkowego następującego równania: tk s t k =s t + s dt. t gdzie pochodna wektora stanu s określona jest zależnością.. Numeryczne rozwiązanie zagadnienia początkowego równania różniczkowego zwyczajnego polega na obliczeniu kolejnych wartości przybliżonych rozwiązania dokładnego dla niektórych wartości zmiennej niezależnej t w przedziale od t do tk wychodząc od znanego warunku początkowego. Do najważniejszych klas metod numerycznych zalicza się liniowe metody wielokrokowe oraz metody Rungego-Kutty. [8] Na potrzeby obliczeń dynamiki lotu śmigłowca w tej pracy wykorzystana została jawna metoda Rungego-Kutty czwartego rzędu. 56

57 . MODEL SYMULACYJNY ŚMIGŁOWCA Metoda Rungego-Kutty Metody Rungego-Kutty są grupą jednokrokowych metod numerycznych rozwiązywania zagadnień początkowych równań różniczkowych zwyczajnych, charakteryzujących się następującymi cechami [8]: pierwszy krok obliczeń nie wymaga żadnych dodatkowych zabiegów; zależności opisujące metodę są bardzo prostej postaci; wykonanie zmiany długości kroku całkowania nie wymaga specjalnych zabiegów. metoda rzędu p wymaga co najmniej p-krotnego obliczenia w jednych kroku funkcji prawych stron równania różniczkowego; zwiększenie rzędu aproksymacji oznacza jednoznacznie wzrost kosztu obliczeń; błąd metody jest trudny do określenia. Metody Rungego-Kutty określa się ogólnie wzorem [8]: m y n+= y n +h w i k i, n=,,,.... k = f t n, y n.5 i= gdzie: i k i = f t n+c i h, y n +h a ij k j j=, i>.6 przy czym: i c i = a ij, i>.7 j= Jedną z najbardziej popularnych metod Rungego-Kutty jest metoda rzędu czwartego, którą opisać można w następujący sposób [8]: y n+= y n + h k + k + k +k 6 verte 57.8

58 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA gdzie: k = f t n, y n.9 k = f t + h, y + h k k = f t n + h, y n+ h k n n k = f t n +h, y n+h k... Wyprowadzenie zależności określających metodę Rungego-Kutty -rzędu rozwiązywania zagadnień początkowych równań różniczkowych zwyczajnych znaleźć można w [8]... Wykorzystane narzędzia Model symulacyjny stworzony został w postaci programu komputerowego napisanego w języku C++ i przeznaczonego dla maszyn o architekturze zgodnej ze standardem IBM PC. Oprogramowanie umożliwia interakcję z człowiekiem poprzez sterowanie symulowanym obiektem, które odbywa się za pomocą joysticka i klawiatury. Zobrazowanie wyników symulacji i sterowanie symulacją odbywa się poprzez graficzny interfejs użytkownika stworzony za pomocą biblioteki Qt. Ilustracja -: Zrzut ekranu interfejsu użytkownika 58

59 . MODEL SYMULACYJNY ŚMIGŁOWCA Oprogramowanie umożliwia także wizualizację w osobnym oknie stożka wirnika nośnego w oparciu o OpenGL otwartą bibliotekę do generowania grafiki trójwymiarowej. Ilustracja -: Zrzut ekranu wizualizacji stożka wirnika Zobrazowanie przyrządów pilotażowych oraz widoku z kokpitu zapewnia oprogramowanie FlightGear, które jest otwartym symulatorem lotu umożliwiającym podłączenie zewnętrznego modelu dynamiki lotu poprzez gniazdo UDP. [9] Ilustracja -: Zrzut ekranu oprogramowania FlightGear 59

60 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA.. Struktura oprogramowania Model dynamiki lotu ma strukturę modułową, której uproszczony schemat został przedstawiony poniżej w postaci diagramu klas UML: Ilustracja -: Diagram klas modelu dynamiki lotu 6

61 5. ANALIZA WYNIKÓW 5. ANALIZA WYNIKÓW 5.. Opływ przekroju łopaty Wyniki obliczeń składowych prędkości opływu oraz kąta natarcia przekroju łopaty dla wirnika obracającego się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara przedstawiono poniżej: Ilustracja 5-: Składowa opływu przekroju łopaty leżąca w płaszczyźnie tarczy wirnika V m/s; αr = 6

62 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA Ilustracja 5-: Składowa opływu przekroju łopaty prostopadła do płaszczyzny tarczy wirnika V m/s; αr = Ilustracja 5-: Kąt natarcia przekroju łopaty wirnika V m/s; αr = 6

63 5. ANALIZA WYNIKÓW Ilustracja 5-: Kąt natarcia przekroju łopaty wirnika V m/s; αr = Ilustracja 5-5: Kąt natarcia przekroju łopaty wirnika V 6 m/s; αr = 6

Symulacyjne określenie obciążeń wirnika nośnego śmigłowca z indywidualnym Sterowaniem kąta nastawienia łopat w warunkach lotu ustalonego

Symulacyjne określenie obciążeń wirnika nośnego śmigłowca z indywidualnym Sterowaniem kąta nastawienia łopat w warunkach lotu ustalonego Symulacyjne określenie obciążeń wirnika nośnego śmigłowca z indywidualnym Sterowaniem kąta nastawienia łopat w warunkach lotu ustalonego Jarosław Stanisławski Instytut Lotnictwa Streszczenie Przedstawiono

Bardziej szczegółowo

Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL

Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL We wstępnej analizie przyjęto następujące założenia: Dwuwymiarowość

Bardziej szczegółowo

Dokument Obliczeniowo-Analityczny

Dokument Obliczeniowo-Analityczny Obliczeniowo-nalityczny Strona / Stron 1/32 nr naliza w ramach realizacji Projektu Wiatrakowiec STOL o unikalnej konstrukcji Projekt realizowany w ramach programu INNOTECH2, Hi-Tech, dofinansowany przez

Bardziej szczegółowo

J. Szantyr Wykład 2 - Podstawy teorii wirnikowych maszyn przepływowych

J. Szantyr Wykład 2 - Podstawy teorii wirnikowych maszyn przepływowych J. Szantyr Wykład 2 - Podstawy teorii wirnikowych maszyn przepływowych a) Wentylator lub pompa osiowa b) Wentylator lub pompa diagonalna c) Sprężarka lub pompa odśrodkowa d) Turbina wodna promieniowo-

Bardziej szczegółowo

Metoda elementów skończonych

Metoda elementów skończonych Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną

Bardziej szczegółowo

PF11- Dynamika bryły sztywnej.

PF11- Dynamika bryły sztywnej. Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Uniwersytetu Jagiellońskiego Zajęcia laboratoryjne w I Pracowni Fizycznej dla uczniów szkół ponadgimnazjalych

Bardziej szczegółowo

SYMULACJA OBROTU ŚMiGŁOWCA WOKÓŁ OSi PiONOWEJ W WARUNKACH WYSTĘPOWANiA LTE

SYMULACJA OBROTU ŚMiGŁOWCA WOKÓŁ OSi PiONOWEJ W WARUNKACH WYSTĘPOWANiA LTE PRACE instytutu LOTNiCTWA 219, s. 182-188, Warszawa 2011 SYMULACJA OBROTU ŚMiGŁOWCA WOKÓŁ OSi PiONOWEJ W WARUNKACH WYSTĘPOWANiA LTE KatarzyNa GrzeGorczyK Instytut Lotnictwa Streszczenie W artykule przedstawiono

Bardziej szczegółowo

Notacja Denavita-Hartenberga

Notacja Denavita-Hartenberga Notacja DenavitaHartenberga Materiały do ćwiczeń z Podstaw Robotyki Artur Gmerek Umiejętność rozwiązywania prostego zagadnienia kinematycznego jest najbardziej bazową umiejętność zakresu Robotyki. Wyznaczyć

Bardziej szczegółowo

Wektor położenia. Zajęcia uzupełniające. Mgr Kamila Rudź, Podstawy Fizyki. http://kepler.am.gdynia.pl/~karudz

Wektor położenia. Zajęcia uzupełniające. Mgr Kamila Rudź, Podstawy Fizyki. http://kepler.am.gdynia.pl/~karudz Kartezjański układ współrzędnych: Wersory osi: e x x i e y y j e z z k r - wektor o współrzędnych [ x 0, y 0, z 0 ] Wektor położenia: r t =[ x t, y t,z t ] każda współrzędna zmienia się w czasie. r t =

Bardziej szczegółowo

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą

Bardziej szczegółowo

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 METODY OBLICZENIOWE Projekt nr 3.4 Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 Zadanie Nasze zadanie składało się z dwóch części: 1. Sformułowanie, przy użyciu metody Lagrange a II rodzaju, równania różniczkowego

Bardziej szczegółowo

PAiTM - zima 2014/2015

PAiTM - zima 2014/2015 PAiTM - zima 204/205 Wyznaczanie przyspieszeń mechanizmu płaskiego metodą planu przyspieszeń (metoda wykreślna) Dane: geometria mechanizmu (wymiary elementów, ich położenie i orientacja) oraz stała prędkość

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Lesiak. Podstawy mechaniki Newtona Kinematyka punktu materialnego

Tadeusz Lesiak. Podstawy mechaniki Newtona Kinematyka punktu materialnego Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 2 Podstawy mechaniki Newtona Kinematyka punktu materialnego Kinematyka punktu materialnego Kinematyka: zajmuje się matematycznym opisem ruchów układów mechanicznych

Bardziej szczegółowo

Dynamika ruchu postępowego, ruchu punktu materialnego po okręgu i ruchu obrotowego bryły sztywnej

Dynamika ruchu postępowego, ruchu punktu materialnego po okręgu i ruchu obrotowego bryły sztywnej Dynamika ruchu postępowego, ruchu punktu materialnego po okręgu i ruchu obrotowego bryły sztywnej Dynamika ruchu postępowego 1. Balon opada ze stałą prędkością. Jaką masę balastu należy wyrzucić, aby balon

Bardziej szczegółowo

Rys. 11.11. Przeciągniecie statyczne szybowca

Rys. 11.11. Przeciągniecie statyczne szybowca Cytat z książki: MECHANIKA LOTU SZYBOWCÓW Dr inż. WIESŁAWA ŁANECKA MAKARUK 11.5. LOT NA KRYTYCZNYCH KĄTACH NATARCIA Przeciągnięcie" szybowca. Lot szybowca na ytycznym kącie natarcia i powyżej niego różni

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM TERMODYNAMIKI I TECHNIKI CIEPLNEJ. Badanie charakterystyki wentylatorów połączenie równoległe i szeregowe. dr inż.

LABORATORIUM TERMODYNAMIKI I TECHNIKI CIEPLNEJ. Badanie charakterystyki wentylatorów połączenie równoległe i szeregowe. dr inż. LABORATORIUM TERMODYNAMIKI I TECHNIKI CIEPLNEJ Badanie charakterystyki wentylatorów połączenie równoległe i szeregowe. dr inż. Jerzy Wiejacha ZAKŁAD APARATURY PRZEMYSŁOWEJ POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Zasada zachowania energii

Zasada zachowania energii Zasada zachowania energii Praca i energia Praca Najprostszy przypadek: Stała siła działa na ciało P powodując jego przesunięcie wzdłuż kierunku działania siły o. Praca jaką wykona przy tym siła W przypadku

Bardziej szczegółowo

W NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ

W NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska Instrukcja do zajęć laboratoryjnych Temat ćwiczenia: POWIERZCHNIA SWOBODNA CIECZY W NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ Ćwiczenie

Bardziej szczegółowo

R o z w i ą z a n i e Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej P x i P y

R o z w i ą z a n i e Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej P x i P y Przykład 1 Dane są trzy siły: P 1 = 3i + 4j, P 2 = 2i 5j, P 3 = 7i + 3j (składowe sił wyrażone są w niutonach), przecinające się w punkcie A (1, 2). Wyznaczyć wektor wypadkowej i jej wartość oraz kąt α

Bardziej szczegółowo

DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI

DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI (Wprowadzenie) Drgania elementów konstrukcji (prętów, wałów, belek) jak i całych konstrukcji należą do ważnych zagadnień dynamiki konstrukcji Przyczyna: nawet niewielkie drgania

Bardziej szczegółowo

Hale o konstrukcji słupowo-ryglowej

Hale o konstrukcji słupowo-ryglowej Hale o konstrukcji słupowo-ryglowej SCHEMATY KONSTRUKCYJNE Elementy konstrukcji hal z transportem podpartym: - prefabrykowane, żelbetowe płyty dachowe zmonolityzowane w sztywne tarcze lub przekrycie lekkie

Bardziej szczegółowo

Sztuczny satelita Ziemi. Ruch w polu grawitacyjnym

Sztuczny satelita Ziemi. Ruch w polu grawitacyjnym Sztuczny satelita Ziemi Ruch w polu grawitacyjnym Sztuczny satelita Ziemi Jest to obiekt, któremu na pewnej wysokości nad powierzchnią Ziemi nadano prędkość wystarczającą do uzyskania przez niego ruchu

Bardziej szczegółowo

Kinematyka. zmiennym(przeprowadza złożone. kalkulatora)

Kinematyka. zmiennym(przeprowadza złożone. kalkulatora) Kinematyka Ocena podaje przykłady zjawisk fizycznych występujących w przyrodzie wyjaśnia, w jaki sposób fizyk zdobywa wiedzę o zjawiskach fizycznych wymienia przyczyny wprowadzenia Międzynarodowego Układu

Bardziej szczegółowo

Oddziaływania te mogą być różne i dlatego można podzieli je np. na:

Oddziaływania te mogą być różne i dlatego można podzieli je np. na: DYNAMIKA Oddziaływanie między ciałami można ilościowo opisywać posługując się pojęciem siły. Działanie siły na jakieś ciało przejawia się albo w zmianie stanu ruchu tego ciała (zmianie prędkości), albo

Bardziej szczegółowo

Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa

Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe 1. Wyprowadzenie równania na ugięcie membrany... 13 2. Sformułowanie zagadnień brzegowych we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych... 15 3. Wybrane zagadnienia

Bardziej szczegółowo

2. Charakterystyki geometryczne przekroju

2. Charakterystyki geometryczne przekroju . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1.. Charakterystyki geometryczne przekroju.1 Podstawowe definicje Z przekrojem pręta związane są trzy wielkości fizyczne nazywane charakterystykami geometrycznymi

Bardziej szczegółowo

(12) OPIS PATENTOWY (19) PL (11) 174940 (13) B1

(12) OPIS PATENTOWY (19) PL (11) 174940 (13) B1 RZECZPOSPOLITA POLSKA (12) OPIS PATENTOWY (19) PL (11) 174940 (13) B1 Urząd Patentowy Rzeczypospolitej Polskiej (21) Numer zgłoszenia: 305007 (22) Data zgłoszenia: 12.09.1994 (51) IntCl6: B25J 9/06 B25J

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

m Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki):

m Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki): Ruch drgający -. Ruch drgający Ciało jest sprężyste, jeżei odzyskuje pierwotny kształt po ustaniu działania siły, która ten kształt zmieniła. Właściwość sprężystości jest ograniczona, to znaczy, że przy

Bardziej szczegółowo

Oddziaływanie wirnika

Oddziaływanie wirnika Oddziaływanie wirnika W każdej maszynie prądu stałego, pracującej jako prądnica lub silnik, może wystąpić taki szczególny stan pracy, że prąd wirnika jest równy zeru. Jedynym przepływem jest wówczas przepływ

Bardziej szczegółowo

AnAlizA zjawiska pierścienia wirowego na wirniku nośnym śmigłowca

AnAlizA zjawiska pierścienia wirowego na wirniku nośnym śmigłowca AnAlizA zjawiska pierścienia wirowego na wirniku nośnym śmigłowca Katarzyna Grzegorczyk Instytut Lotnictwa Streszczenie W pracy przeprowadzono analizę zjawiska pierścienia wirowego na wirniku nośnym śmigłowca,

Bardziej szczegółowo

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 1 4. 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4.1. Elementy trójkątne Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementów

Bardziej szczegółowo

Ruch drgający i falowy

Ruch drgający i falowy Ruch drgający i falowy 1. Ruch harmoniczny 1.1. Pojęcie ruchu harmonicznego Jednym z najbardziej rozpowszechnionych ruchów w mechanice jest ruch ciała drgającego. Przykładem takiego ruchu może być ruch

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

Badanie własności aerodynamicznych samochodu

Badanie własności aerodynamicznych samochodu 1 Badanie własności aerodynamicznych samochodu Polonez (Instrukcję opracowano na podstawie ksiąŝki J. Piechny Podstawy aerodynamiki pojazdów, Wyd. Komunikacji i Łączności, Warszawa 000) Cele ćwiczenia

Bardziej szczegółowo

Politechnika Poznańska Instytut Technologii Mechanicznej. Laboratorium MASZYN I URZĄDZEŃ TECHNOLOGICZNYCH. Nr 2

Politechnika Poznańska Instytut Technologii Mechanicznej. Laboratorium MASZYN I URZĄDZEŃ TECHNOLOGICZNYCH. Nr 2 Politechnika Poznańska Instytut Technologii Mechanicznej Laboratorium MASZYN I URZĄDZEŃ TECHNOLOGICZNYCH Nr 2 POMIAR I KASOWANIE LUZU W STOLE OBROTOWYM NC Poznań 2008 1. CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczenia jest

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU 1/5. Wydział Mechaniczny PWR

KARTA PRZEDMIOTU 1/5. Wydział Mechaniczny PWR Wydział Mechaniczny PWR KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Mechanika analityczna Nazwa w języku angielskim: Analytical Mechanics Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Mechanika i Budowa Maszyn Specjalność

Bardziej szczegółowo

Ć W I C Z E N I E N R E-15

Ć W I C Z E N I E N R E-15 NSTYTUT FZYK WYDZAŁ NŻYNER PRODUKCJ TECNOLOG MATERAŁÓW POLTECNKA CZĘSTOCOWSKA PRACOWNA ELEKTRYCZNOŚC MAGNETYZMU Ć W C Z E N E N R E-15 WYZNACZANE SKŁADOWEJ POZOMEJ NATĘŻENA POLA MAGNETYCZNEGO ZEM METODĄ

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 5. Energia, praca, moc Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html ENERGIA, PRACA, MOC Siła to wielkość

Bardziej szczegółowo

Dynamika układów mechanicznych. dr hab. inż. Krzysztof Patan

Dynamika układów mechanicznych. dr hab. inż. Krzysztof Patan Dynamika układów mechanicznych dr hab. inż. Krzysztof Patan Wprowadzenie Modele układów mechanicznych opisują ruch ciał sztywnych obserwowany względem przyjętego układu odniesienia Ruch ciała w przestrzeni

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Położenie punktu w przestrzeni określamy za pomocą trzech liczb (x, y, z). Liczby te odpowiadają rzutom na osie układu współrzędnych: każdy rzut wzdłuż płaszczyzny równoległej

Bardziej szczegółowo

PL 210006 B1. POLITECHNIKA WARSZAWSKA, Warszawa, PL

PL 210006 B1. POLITECHNIKA WARSZAWSKA, Warszawa, PL RZECZPOSPOLITA POLSKA Urząd Patentowy Rzeczypospolitej Polskiej (12) OPIS PATENTOWY (19) PL (11) 210006 (21) Numer zgłoszenia: 380722 (22) Data zgłoszenia: 01.10.2006 (13) B1 (51) Int.Cl. A61G 5/02 (2006.01)

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Obowiązkowa znajomość zagadnień Charakterystyka drgań gasnących i niegasnących, ruch harmoniczny. Wahadło fizyczne, długość zredukowana

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie modułu sprężystości za pomocą wahadła torsyjnego

Wyznaczanie modułu sprężystości za pomocą wahadła torsyjnego Wyznaczanie modułu sprężystości za pomocą wahadła torsyjnego Obowiązkowa znajomość zagadnień Charakterystyka odkształceń sprężystych, pojęcie naprężenia. Prawo Hooke a, moduł Kirchhoffa i jego wpływ na

Bardziej szczegółowo

Dokument Obliczeniowo-Analityczny

Dokument Obliczeniowo-Analityczny Obliczeniowo-nalityczny Strona / Stron 1/17 nr FC.w0.DOB.JBR.003.ver1 naliza w ramach realizacji Projektu Wiatrakowiec STOL o unikalnej konstrukcji Projekt realizowany w ramach programu INNOTECH, Hi-Tech,

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy (propozycja 61 godzin)

Plan wynikowy (propozycja 61 godzin) 1 Plan wynikowy (propozycja 61 godzin) Kinematyka (19 godzin) *W nawiasie podano alternatywny temat lekcji (jeśli nazwa zagadnienia jest długa) bądź tematy lekcji realizowanych w ramach danego zagadnienia.

Bardziej szczegółowo

Żyroskopy w technice lotniczej. Żyroskopem nazywamy także różne typy czujników mierzących prędkość kątową (np. żyroskopy laserowe i światłowodowe).

Żyroskopy w technice lotniczej. Żyroskopem nazywamy także różne typy czujników mierzących prędkość kątową (np. żyroskopy laserowe i światłowodowe). Żyroskopy w technice lotniczej Klaudia Magda Żyroskop - każde ciało sztywne wirujące z dużą prędkością kątową wokół osi chwilowego obrotu przechodzącej przez to ciało, które jest wykorzystywane do pomiaru

Bardziej szczegółowo

pobrano z serwisu Fizyka Dla Każdego - http://fizyka.dk - zadania fizyka, wzory fizyka, matura fizyka

pobrano z serwisu Fizyka Dla Każdego - http://fizyka.dk - zadania fizyka, wzory fizyka, matura fizyka 7. Pole magnetyczne zadania z arkusza I 7.8 7.1 7.9 7.2 7.3 7.10 7.11 7.4 7.12 7.5 7.13 7.6 7.7 7. Pole magnetyczne - 1 - 7.14 7.25 7.15 7.26 7.16 7.17 7.18 7.19 7.20 7.21 7.27 Kwadratową ramkę (rys.)

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: ENERGETYKA Rodzaj przedmiotu: Kierunkowy ogólny Rodzaj zajęć: Wykład, ćwiczenia MECHANIKA Mechanics Forma studiów: studia stacjonarne Poziom kwalifikacji: I stopnia Liczba godzin/tydzień:

Bardziej szczegółowo

Zasady dynamiki Newtona. Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd

Zasady dynamiki Newtona. Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd Zasady dynamiki Newtona Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd Siły - wektory Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd Zasady dynamiki Newtona I Każde ciało trwa w stanie spoczynku lub

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE NUMERYCZNE POLA PRZEPŁYWU WOKÓŁ BUDYNKÓW

MODELOWANIE NUMERYCZNE POLA PRZEPŁYWU WOKÓŁ BUDYNKÓW 1. WSTĘP MODELOWANIE NUMERYCZNE POLA PRZEPŁYWU WOKÓŁ BUDYNKÓW mgr inż. Michał FOLUSIAK Instytut Lotnictwa W artykule przedstawiono wyniki dwu- i trójwymiarowych symulacji numerycznych opływu budynków wykonanych

Bardziej szczegółowo

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

17. 17. Modele materiałów

17. 17. Modele materiałów 7. MODELE MATERIAŁÓW 7. 7. Modele materiałów 7.. Wprowadzenie Podstawowym modelem w mechanice jest model ośrodka ciągłego. Przyjmuje się, że materia wypełnia przestrzeń w sposób ciągły. Możliwe jest wyznaczenie

Bardziej szczegółowo

(13) B1 (12) OPIS PATENTOWY (19) PL (11) 177181 PL 177181 B1 F03D 3/02

(13) B1 (12) OPIS PATENTOWY (19) PL (11) 177181 PL 177181 B1 F03D 3/02 RZECZPOSPOLITA POLSKA (12) OPIS PATENTOWY (19) PL (11) 177181 (13) B1 Urząd Patentowy Rzeczypospolitej Polskiej (21) Numer zgłoszenia 298286 (22) Data zgłoszenia 26.03.1993 (51) IntCl6: F03D 3/02 (54)

Bardziej szczegółowo

(12) TŁUMACZENIE PATENTU EUROPEJSKIEGO (19) PL (11) PL/EP 2241785. (96) Data i numer zgłoszenia patentu europejskiego: 02.10.2008 08872337.

(12) TŁUMACZENIE PATENTU EUROPEJSKIEGO (19) PL (11) PL/EP 2241785. (96) Data i numer zgłoszenia patentu europejskiego: 02.10.2008 08872337. RZECZPOSPOLITA POLSKA (12) TŁUMACZENIE PATENTU EUROPEJSKIEGO (19) PL (11) PL/EP 224178 (96) Data i numer zgłoszenia patentu europejskiego: 02..08 08872337.4 (13) (1) T3 Int.Cl. F16H 33/ (06.01) F03G 3/00

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ LABORATORIUM FIZYCZNE

WYDZIAŁ LABORATORIUM FIZYCZNE 1 W S E i Z W WARSZAWIE WYDZIAŁ LABORATORIUM FIZYCZNE Ćwiczenie Nr 3 Temat: WYZNACZNIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI METODĄ STOKESA Warszawa 2009 2 1. Podstawy fizyczne Zarówno przy przepływach płynów (ciecze

Bardziej szczegółowo

SZCZEGÓŁOWE CELE EDUKACYJNE

SZCZEGÓŁOWE CELE EDUKACYJNE Program nauczania: Fizyka z plusem, numer dopuszczenia: DKW 4014-58/01 Plan realizacji materiału nauczania fizyki w klasie I wraz z określeniem wymagań edukacyjnych DZIAŁ PRO- GRA- MOWY Pomiary i Siły

Bardziej szczegółowo

Modelowanie biomechaniczne. Dr inż. Sylwia Sobieszczyk Politechnika Gdańska Wydział Mechaniczny KMiWM 2005/2006

Modelowanie biomechaniczne. Dr inż. Sylwia Sobieszczyk Politechnika Gdańska Wydział Mechaniczny KMiWM 2005/2006 Modelowanie biomechaniczne Dr inż. Sylwia Sobieszczyk Politechnika Gdańska Wydział Mechaniczny KMiWM 2005/2006 Zakres: Definicja modelowania Modele kinematyczne ruch postępowy, obrotowy, przemieszczenie,

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA PŁYNÓW LABORATORIUM

MECHANIKA PŁYNÓW LABORATORIUM MECANIKA PŁYNÓW LABORATORIUM Ćwiczenie nr 4 Współpraca pompy z układem przewodów. Celem ćwiczenia jest sporządzenie charakterystyki pojedynczej pompy wirowej współpracującej z układem przewodów, przy różnych

Bardziej szczegółowo

Układ kierowniczy. Potrzebę stosowania układu kierowniczego ze zwrotnicami przedstawia poniższy rysunek:

Układ kierowniczy. Potrzebę stosowania układu kierowniczego ze zwrotnicami przedstawia poniższy rysunek: 1 Układ kierowniczy Potrzebę stosowania układu kierowniczego ze zwrotnicami przedstawia poniższy rysunek: Definicja: Układ kierowniczy to zbiór mechanizmów umożliwiających kierowanie pojazdem, a więc utrzymanie

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

Podstawy Robotyki Określenie kinematyki oraz dynamiki manipulatora

Podstawy Robotyki Określenie kinematyki oraz dynamiki manipulatora Podstawy Robotyki Określenie kinematyki oraz dynamiki manipulatora AiR V sem. Gr. A4/ Wicher Bartłomiej Pilewski Wiktor 9 stycznia 011 1 1 Wstęp Rysunek 1: Schematyczne przedstawienie manipulatora W poniższym

Bardziej szczegółowo

Ć W I C Z E N I E N R M-2

Ć W I C Z E N I E N R M-2 INSYU FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I ECHNOLOGII MAERIAŁÓW POLIECHNIKA CZĘSOCHOWSKA PRACOWNIA MECHANIKI Ć W I C Z E N I E N R M- ZALEŻNOŚĆ OKRESU DRGAŃ WAHADŁA OD AMPLIUDY Ćwiczenie M-: Zależność

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Dynamiki Maszyn

Laboratorium Dynamiki Maszyn Laboratorium Dynamiki Maszyn Laboratorium nr 5 Temat: Badania eksperymentane drgań wzdłużnych i giętnych układów mechanicznych Ce ćwiczenia:. Zbudować mode o jednym stopniu swobody da zadanego układu mechanicznego.

Bardziej szczegółowo

Tematy zadań do rozwiązania przy użyciu modułu symulacji dynamicznej programu Autodesk Inventor

Tematy zadań do rozwiązania przy użyciu modułu symulacji dynamicznej programu Autodesk Inventor Tematy zadań do rozwiązania przy użyciu modułu symulacji dynamicznej programu Autodesk Inventor (na podstawie J.Giergiel, L.Głuch, A.Łopata: Zbiór zadań z mechaniki.wydawnictwo AGH, Kraków 2011r.) Temat

Bardziej szczegółowo

SKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH

SKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH KRĘCANIE AŁÓ OKRĄGŁYCH kręcanie występuje wówczas gdy para sił tworząca moment leży w płaszczyźnie prostopadłej do osi elementu konstrukcyjnego zwanego wałem Rysunek pokazuje wał obciążony dwiema parami

Bardziej szczegółowo

1. Obliczenia wytrzymałościowe elementów maszyn przy obciążeniu zmiennym PRZEDMOWA 11

1. Obliczenia wytrzymałościowe elementów maszyn przy obciążeniu zmiennym PRZEDMOWA 11 SPIS TREŚCI 1. Obliczenia wytrzymałościowe elementów maszyn przy obciążeniu zmiennym PRZEDMOWA 11 1. ZARYS DYNAMIKI MASZYN 13 1.1. Charakterystyka ogólna 13 1.2. Drgania mechaniczne 17 1.2.1. Pojęcia podstawowe

Bardziej szczegółowo

SYmULACYjNE OkREśLANiE PARAmETRóW PRzELOTU śmigłowca PONAd PRzESzkOdą

SYmULACYjNE OkREśLANiE PARAmETRóW PRzELOTU śmigłowca PONAd PRzESzkOdą PRACE instytutu LOTNiCTWA 219, s. 297-314, Warszawa 2011 SYmULACYjNE OkREśLANiE PARAmETRóW PRzELOTU śmigłowca PONAd PRzESzkOdą JaroSłaW StaNISłaWSkI Instytut Lotnictwa Streszczenie Zadania stawiane załogom

Bardziej szczegółowo

Praca, moc, energia. 1. Klasyfikacja energii. W = Epoczątkowa Ekońcowa

Praca, moc, energia. 1. Klasyfikacja energii. W = Epoczątkowa Ekońcowa Praca, moc, energia 1. Klasyfikacja energii. Jeżeli ciało posiada energię, to ma również zdolnoć do wykonania pracy kosztem częci swojej energii. W = Epoczątkowa Ekońcowa Wewnętrzna Energia Mechaniczna

Bardziej szczegółowo

Zwój nad przewodzącą płytą METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH

Zwój nad przewodzącą płytą METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH (2) (3) (10) (11) Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 1 Rozwiązania równań (10-11) mają ogólną postać: (12) (13) Modelowanie i symulacje obiektów w

Bardziej szczegółowo

BADANIA GRUNTU W APARACIE RC/TS.

BADANIA GRUNTU W APARACIE RC/TS. Str.1 SZCZEGÓŁOWE WYPROWADZENIA WZORÓW DO PUBLIKACJI BADANIA GRUNTU W APARACIE RC/TS. Dyka I., Srokosz P.E., InŜynieria Morska i Geotechnika 6/2012, s.700-707 III. Wymuszone, cykliczne skręcanie Rozpatrujemy

Bardziej szczegółowo

Przyspieszenie dośrodkowe w pomiarach momentu obrotowego - często niedoceniane, jednak bardzo skuteczne.

Przyspieszenie dośrodkowe w pomiarach momentu obrotowego - często niedoceniane, jednak bardzo skuteczne. Przyspieszenie dośrodkowe w pomiarach momentu obrotowego - często niedoceniane, jednak bardzo skuteczne. Co kolejka górska w parku rozrywki, suszarka i wirówka mają wspólnego z technologią pomiaru momentu

Bardziej szczegółowo

WiRTUALNE PROJEKTOWANiE ŚMiGŁOWCA

WiRTUALNE PROJEKTOWANiE ŚMiGŁOWCA PRACE instytutu LOTNiCTWA 219, s. 194-202, Warszawa 2011 WiRTUALNE PROJEKTOWANiE ŚMiGŁOWCA MateuSz KaNIa Instytut Lotnictwa Streszczenie W referacie przedstawione zostały metody i narzędzia stosowane do

Bardziej szczegółowo

Q t lub precyzyjniej w postaci różniczkowej. dq dt Jednostką natężenia prądu jest amper oznaczany przez A.

Q t lub precyzyjniej w postaci różniczkowej. dq dt Jednostką natężenia prądu jest amper oznaczany przez A. Prąd elektryczny Dotychczas zajmowaliśmy się zjawiskami związanymi z ładunkami spoczywającymi. Obecnie zajmiemy się zjawiskami zachodzącymi podczas uporządkowanego ruchu ładunków, który często nazywamy

Bardziej szczegółowo

Ładunki elektryczne i siły ich wzajemnego oddziaływania. Pole elektryczne. Copyright by pleciuga@ o2.pl

Ładunki elektryczne i siły ich wzajemnego oddziaływania. Pole elektryczne. Copyright by pleciuga@ o2.pl Ładunki elektryczne i siły ich wzajemnego oddziaływania Pole elektryczne Copyright by pleciuga@ o2.pl Ładunek punktowy Ładunek punktowy (q) jest to wyidealizowany model, który zastępuje rzeczywiste naelektryzowane

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE KÓŁK ZĘBATYCH

OBLICZANIE KÓŁK ZĘBATYCH OBLICZANIE KÓŁK ZĘBATYCH koło podziałowe linia przyporu P R P N P O koło podziałowe Najsilniejsze zginanie zęba następuje wówczas, gdy siła P N jest przyłożona u wierzchołka zęba. Siłę P N można rozłożyć

Bardziej szczegółowo

30R4 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - IV POZIOM ROZSZERZONY

30R4 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - IV POZIOM ROZSZERZONY 30R4 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - IV POZIOM ROZSZERZONY Magnetyzm Indukcja elektromagnetyczna Prąd przemienny Rozwiązanie zadań należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod

Bardziej szczegółowo

Kąty Ustawienia Kół. WERTHER International POLSKA Sp. z o.o. dr inż. Marek Jankowski 2007-01-19

Kąty Ustawienia Kół. WERTHER International POLSKA Sp. z o.o. dr inż. Marek Jankowski 2007-01-19 WERTHER International POLSKA Sp. z o.o. dr inż. Marek Jankowski 2007-01-19 Kąty Ustawienia Kół Technologie stosowane w pomiarach zmieniają się, powstają coraz to nowe urządzenia ułatwiające zarówno regulowanie

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi. Fizyka

Klucz odpowiedzi. Fizyka Klucz odpowiedzi. Fizyka Zadanie Oczekiwana odpowiedź Liczba punktów za czynność zadanie 1.1. Δs = 2π(R r) Δs = 2 3,14 (0,35 0,31) m Δs = 0,25 m. 1 p. za zauważenie, że różnica dróg to różnica obwodów,

Bardziej szczegółowo

Piotr Targowski i Bernard Ziętek WYZNACZANIE MACIERZY [ABCD] UKŁADU OPTYCZNEGO

Piotr Targowski i Bernard Ziętek WYZNACZANIE MACIERZY [ABCD] UKŁADU OPTYCZNEGO Instytut Fizyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika Piotr Targowski i Bernard Ziętek Pracownia Optoelektroniki Specjalność: Fizyka Medyczna WYZNAZANIE MAIERZY [ABD] UKŁADU OPTYZNEGO Zadanie II Zakład Optoelektroniki

Bardziej szczegółowo

Tematy prac dyplomowych w Katedrze Awioniki i Sterowania Studia II stopnia (magisterskie)

Tematy prac dyplomowych w Katedrze Awioniki i Sterowania Studia II stopnia (magisterskie) Tematy prac dyplomowych w Katedrze Awioniki i Sterowania Studia II stopnia (magisterskie) Temat: Analiza właściwości pilotażowych samolotu Specjalność: Pilotaż lub Awionika 1. Analiza stosowanych kryteriów

Bardziej szczegółowo

Rozdział 8. Analiza fourierowska. 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera

Rozdział 8. Analiza fourierowska. 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera Rozdział 8 Analiza fourierowska 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera Rozważmy funkcję rzeczywistą f określoną na okręgu o promieniu jednostkowym. Parametryzując okrąg przy pomocy kąta φ [, π] otrzymujemy

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA ŁÓDZKA INSTYTUT OBRABIAREK I TECHNOLOGII BUDOWY MASZYN. Ćwiczenie D - 4. Zastosowanie teoretycznej analizy modalnej w dynamice maszyn

POLITECHNIKA ŁÓDZKA INSTYTUT OBRABIAREK I TECHNOLOGII BUDOWY MASZYN. Ćwiczenie D - 4. Zastosowanie teoretycznej analizy modalnej w dynamice maszyn POLITECHNIKA ŁÓDZKA INSTYTUT OBRABIAREK I TECHNOLOGII BUDOWY MASZYN Ćwiczenie D - 4 Temat: Zastosowanie teoretycznej analizy modalnej w dynamice maszyn Opracowanie: mgr inż. Sebastian Bojanowski Zatwierdził:

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne.

Ćwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne. Ćwiczenie 4 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ Wprowadzenie teoretyczne. Soczewka jest obiektem izycznym wykonanym z materiału przezroczystego o zadanym kształcie i symetrii obrotowej. Interesować

Bardziej szczegółowo

Wewnętrzny stan bryły

Wewnętrzny stan bryły Stany graniczne Wewnętrzny stan bryły Bryła (konstrukcja) jest w równowadze, jeżeli oddziaływania zewnętrzne i reakcje się równoważą. P α q P P Jednak drugim warunkiem równowagi jest przeniesienie przez

Bardziej szczegółowo

PRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU

PRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU PROGRAM WALL1 (10.92) Autor programu: Zbigniew Marek Michniowski Program do wyznaczania głębokości posadowienia ścianek szczelnych. PRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU Program służy do wyznaczanie minimalnej

Bardziej szczegółowo

Czego można się nauczyć z prostego modelu szyny magnetycznej

Czego można się nauczyć z prostego modelu szyny magnetycznej Czego można się nauczyć z prostego modelu szyny magnetycznej 1) Hamowanie magnetyczne I B F L m v L Poprzeczka o masie m może się przesuwać swobodnie po dwóch równoległych szynach, odległych o L od siebie.

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH Wydział Mechaniczny Technologiczny PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA

POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH Wydział Mechaniczny Technologiczny PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH Wydział Mechaniczny Technologiczny PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA Wykorzystanie pakietu MARC/MENTAT do modelowania naprężeń cieplnych Spis treści Pole temperatury Przykład

Bardziej szczegółowo

Politechnika Poznańska

Politechnika Poznańska Politechnika Poznańska Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania Mechanika i Budowa Maszyn Grupa M3 Metoda Elementów Skończonych Prowadzący: dr hab. Tomasz Stręk, prof. nadzw. Wykonał: Miłek Mateusz 1 2 Spis

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne do nowej podstawy programowej z fizyki realizowanej w zakresie rozszerzonym Kinematyka

Wymagania edukacyjne do nowej podstawy programowej z fizyki realizowanej w zakresie rozszerzonym Kinematyka 1 edukacyjne do nowej podstawy programowej z fizyki realizowanej w zakresie rozszerzonym Kinematyka *W nawiasie podano alternatywny temat lekcji (jeśli nazwa zagadnienia jest długa) bądź tematy lekcji

Bardziej szczegółowo

Spis treści PRZEDMOWA DO WYDANIA PIERWSZEGO...

Spis treści PRZEDMOWA DO WYDANIA PIERWSZEGO... Spis treści PRZEDMOWA DO WYDANIA PIERWSZEGO....................... XI 1. WPROWADZENIE DO GEODEZJI WYŻSZEJ..................... 1 Z historii geodezji........................................ 1 1.1. Kształt

Bardziej szczegółowo

3. Zadanie nr 21 z rozdziału 7. książki HRW

3. Zadanie nr 21 z rozdziału 7. książki HRW Lista 3. do kursu Fizyka; rok. ak. 2012/13 sem. letni W. Inż. Środ.; kierunek Inż. Środowiska Tabele wzorów matematycznych (http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/mat-wzory.pdf) i fizycznych (http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/wzf1.pdf;

Bardziej szczegółowo

Potencjał pola elektrycznego

Potencjał pola elektrycznego Potencjał pola elektrycznego Pole elektryczne jest polem zachowawczym, czyli praca wykonana przy przesunięciu ładunku pomiędzy dwoma punktami nie zależy od tego po jakiej drodze przesuwamy ładunek. Spróbujemy

Bardziej szczegółowo

Analiza kinematyczna i dynamiczna mechanizmów za pomocą MSC.visualNastran

Analiza kinematyczna i dynamiczna mechanizmów za pomocą MSC.visualNastran Analiza kinematyczna i dynamiczna mechanizmów za pomocą MSC.visualNastran Spis treści Omówienie programu MSC.visualNastran Analiza mechanizmu korbowo wodzikowego Analiza mechanizmu drgającego Analiza mechanizmu

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do technik regulacji automatycznej. prof nzw. dr hab. inż. Krzysztof Patan

Wprowadzenie do technik regulacji automatycznej. prof nzw. dr hab. inż. Krzysztof Patan Wprowadzenie do technik regulacji automatycznej prof nzw. dr hab. inż. Krzysztof Patan Czym jest AUTOMATYKA? Automatyka to dziedzina nauki i techniki zajmująca się teorią i praktycznym zastosowaniem urządzeń

Bardziej szczegółowo

1. Przepływ ciepła - 3 - Rysunek 1.1 Projekt tarczy hamulcowej z programu SOLIDWORKS

1. Przepływ ciepła - 3 - Rysunek 1.1 Projekt tarczy hamulcowej z programu SOLIDWORKS POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWY MASZYN I ZARZĄDZANIA METODY ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH PROJEKT PROWADZĄCY: PROF. NADZW. TOMASZ STRĘK WYKONALI: TOMASZ IZYDORCZYK, MICHAŁ DYMEK GRUPA: TPM2 SEMESTR: VII

Bardziej szczegółowo