POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY ENERGETYKI I LOTNICTWA PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA. Marek Cel MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY ENERGETYKI I LOTNICTWA PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA. Marek Cel MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA"

Transkrypt

1 POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY ENERGETYKI I LOTNICTWA ZAKŁAD SAMOLOTÓW I ŚMIGŁOWCÓW PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA Marek Cel MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA MODELING AND SIMULATION OF HELICOPTER FLIGHT 98 Mechanika i Budowa Maszyn Lotnictwo Promotor: dr inż. Tomasz Goetzendorf-Grabowski Warszawa, grudzień

2

3 Oświadczenie autora autorów pracy Świadom odpowiedzialności prawnej oświadczam, że przedstawiona praca dyplomowa: została napisana przeze mnie samodzielnie i nie zawiera treści uzyskanych w sposób niezgodny z obowiązującymi przepisami, nie była wcześniej przedmiotem procedur związanych z uzyskaniem tytułu zawodowego lub stopnia naukowego w wyższej uczelni. Oświadczam ponadto, że niniejsza wersja pracy jest identyczna z załączoną wersją elektroniczną.... data... podpis autora autorów pracy SŁOWA KLUCZOWE: lotnictwo, mechanika lotu, mechanika komputerowa, modelowanie symulacyjne, śmigłowce, symulatory

4

5 SPIS TREŚCI SPIS TREŚCI WYKAZ OZNACZEŃ...7 WYKAZ ILUSTRACJI.... WPROWADZENIE..... Rys historyczny rozwoju śmigłowców..... Główne zespoły śmigłowca Podstawowe ruchy łopat wirnika Modelowanie matematyczne...9. MODELOWANIE DYNAMIKI LOTU ŚMIGŁOWCA..... Układy współrzędnych stosowane w analizie dynamiki lotu..... Współrzędne kątowe..... Założenia upraszczające..... Związki kinematyczne Równania ruchu...5. MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO Układy współrzędnych stosowane w analizie wirnika nośnego Poziomy modelowania wirnika nośnego..... Założenia upraszczające..... Teoria strumieniowa Metoda elementu łopaty Składowe prędkości opływu przekroju łopaty Ciąg wirnika Moment oporowy Współczynniki wahań...7 5

6 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA. MODEL SYMULACYJNY ŚMIGŁOWCA Całkowanie numeryczne Wykorzystane narzędzia Struktura oprogramowania ANALIZA WYNIKÓW Opływ przekroju łopaty Kąty wahań łopaty Symulacja manewrów śmigłowcowych PODSUMOWANIE...7 BIBLIOGRAFIA...75 ZAŁĄCZNIK A DANE TECHNICZNE ŚMIGŁOWCA PZL SW ZAŁĄCZNIK B INFORMACJE O PRAWACH AUTORSKICH...78 ZAŁĄCZNIK C STRESZCZENIE...79 ZAŁĄCZNIK D ABSTRACT...8 6

7 WYKAZ OZNACZEŃ WYKAZ OZNACZEŃ a= d CL dα pochodna bezwymiarowego współczynnika siły nośnej względem kąta natarcia [/rad] a,b półosie elipsoidy opisującej kształt Ziemi w układzie WGS- 8 [m] A R =π R pole powierzchni tarczy wirnika [m] B współczynnik strat końcowych łopaty B macierz bezwładności cb cięciwa łopaty wirnika [m] CD bezwymiarowy współczynnik siły oporu CL bezwymiarowy współczynnik siły nośnej CT = T ρ A R ω R R bezwymiarowy współczynnik ciągu wirnika e odległość przegubu wahań od osi wału [m] f spłaszczenie elipsoidy opisującej kształt Ziemi w układzie WGS- 8 =[ F X, F Y, F Z ]T F wektor sił działających na śmigłowiec [N] h wysokość elipsoidalna [m] JB moment bezwładności łopaty wirnika nośnego względem przegubu wahań [kg m] Jb tensor bezwładności śmigłowca względem osi układu samolotowego [kg m] O =[ K X, K Y, K Z ]T K wektor krętu momentu pędu śmigłowca względem początku układu samolotowego [kg m/s] 7

8 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA m masa śmigłowca [kg] O =[ M X, M Y, M Z ]T M wektor momentów sił działających na śmigłowiec względem początku układu samolotowego [N m] NB liczba łopat wirnika P pomocnicza macierz prędkości Q wektor sił i momentów sił działających na śmigłowiec r współrzędna mierzona wzdłuż długości łopaty [m] R promień wirnika [m] { r CG } wektor współrzędnych środka masy śmigłowca [m] s= N B cb πr s=[ u, v, w, p, q, r ] bezwymiarowy współczynnik wypełnienia tarczy wirnika T wektor stanu T S =[ S X, S Y, S Z ] wektor momentów statycznych [kg m] SB moment statyczny łopaty względem przegubu wahań [kg m] T ciąg wirnika [N] =[ u, v, w ]T V wektor prędkości postępowej śmigłowca [m/s] vc, vd prędkość wznoszenia i opadania [m/s] vi prędkość indukowana na tarczy wirnika [m/s] v ih prędkość indukowana na tarczy wirnika w zawisie [m/s] T x= [ x, y, z, ϕ, θ, ψ ] wektor współrzędnych uogólnionych αb kąt natarcia łopaty wirnika [rad] αr kąt natarcia tarczy wirnika [rad] β lokalny/chwilowy kąt wahań łopaty [rad] β kąt stożka wirnika [rad] βc,βs kąty pochylenia i przechylenia tarczy wirnika [rad] βr kąt ślizgu wirnika [rad] 8

9 WYKAZ OZNACZEŃ ρ a c B R γ= JB liczba Locka ε kąt pochylenia wału wirnika dodatni do przodu [rad] θ lokalny/chwilowy kąt skoku łopaty [rad] θ kąt skoku ogólnego łopat wirnika nośnego [rad] θs, θ c podłużny i poprzeczny kąt skoku okresowego wirnika [rad] λ= w cw v i ωr R bezwymiarowa prędkość przepływu przez wirnik λ i= vi ωr R bezwymiarowa prędkość indukowana na tarczy wirnika λ ih = v ih ωr R λ G, ϕg bezwymiarowa prędkość indukowana na tarczy wirnika w zawisie długość i szerokość geodezyjna [rad] u cw ωr R bezwymiarowa prędkość napływu na wirnik μc = vc ωr R bezwymiarowa prędkość wznoszenia μd = vd ωr R bezwymiarowa prędkość opadania μ= =[ Π X, ΠY, ΠZ ]T Π wektor pędu śmigłowca [kg m/s] ρ gęstość powietrza [kg/m] ϕ,θ, ψ kąty Bryanta [rad] χ kąt odchylenie strumienia wirnika nośnego [rad] Ψ kąt azymutu łopaty wirnika [rad] =[ p,q, r ]T Ω wektor prędkości kątowej śmigłowca [rad/s] ωe prędkość kątowa obrotu Ziemi wokół własnej osi [rad/s] ωr prędkość kątowa wału wirnika [rad/s] 9

10 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA Indeksy: c składowa pierwszej harmonicznej przy cosinusie s składowa pierwszej harmonicznej przy sinusie a aerodynamiczny układ współrzędnych b samolotowy układ współrzędnych ang.: body B łopata wirnika nośnego ang.: blade BE element przekrój łopaty wirnika nośnego ang.: blade element ba układ współrzędnych łopaty ang.: blade axes ca płaszczyzna/układ bez przekręceń ang.: control axes cw układ bez przekręceń usytuowany tak, że wektor napływu powietrza ma tylko dwie składowe ang.: control wind CG środek masy ang.: Center of Gravity da płaszczyzna/układ bez wahań ang.: disc axes g grawitacyjny układ współrzędnych G współrzędne geodezyjne i inercjalny układ współrzędnych lub prędkość indukowana l laboratoryjny układ współrzędnych ra układ współrzędnych wirnika ang.: rotor axes rw układ współrzędnych opływu wirnika ang.: rotor-wind R wirnik nośny ang.: rotor RH głowica wirnika nośnego ang. rotor hub Pochodne: u = du dt dβ β= dψ różniczkowanie względem czasu różniczkowanie względem azymutu

11 WYKAZ ILUSTRACJI WYKAZ ILUSTRACJI Ilustracja -: Szkice Leonarda da Vinci... Ilustracja -: Śmigłowiec Paula Cornu... Ilustracja -: Flettner Fl 8... Ilustracja -: Vought-Sikorsky VS-...5 Ilustracja -5: Główne zespoły śmigłowca...6 Ilustracja -6: Kąt azymutu łopaty...7 Ilustracja -7: Głowica wirnika nośnego...8 Ilustracja -8: Stopnie swobody tarczy wirnika...8 Ilustracja -9: Proces modelowania...9 Ilustracja -: World Geodetic System Ilustracja -: Samolotowy układ współrzędnych... Ilustracja -: Kąty Bryanta... Ilustracja -: Układ współrzędnych wirnika...9 Ilustracja -: Płaszczyzny odniesienia wirnika... Ilustracja -: Przepływ przez wirnik w ruchu osiowym... Ilustracja -: Stany pracy wirnika...5 Ilustracja -5: Prędkość indukowana w ruchu osiowym...6 Ilustracja -6: Przepływ przez wirnik w ruchu postępowym...6 Ilustracja -7: Prędkość indukowana w ruchu postępowym...8 Ilustracja -8: Element łopaty wirnika nośnego...9 Ilustracja -9: Składowe kąta natarcia elementu łopaty wirnika...9 Ilustracja -: Składowe prędkości opływu wirnika... Ilustracja -: Siły działające na element łopaty...7 Ilustracja -: Zrzut ekranu interfejsu użytkownika...58 Ilustracja -: Zrzut ekranu wizualizacji stożka wirnika...59 Ilustracja -: Zrzut ekranu oprogramowania FlightGear...59

12 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA Ilustracja -: Diagram klas modelu dynamiki lotu...6 Ilustracja 5-: Składowa opływu przekroju łopaty leżąca w płaszczyźnie tarczy wirnika...6 Ilustracja 5-: Składowa opływu przekroju łopaty prostopadła do płaszczyzny tarczy wirnika...6 Ilustracja 5-: Kąt natarcia przekroju łopaty wirnika...6 Ilustracja 5-: Kąt natarcia przekroju łopaty wirnika...6 Ilustracja 5-5: Kąt natarcia przekroju łopaty wirnika...6 Ilustracja 5-6: Współczynniki wahań łopaty w funkcji prędkości lotu...6 Ilustracja 5-7: Współczynniki wahań łopaty w funkcji prędkości przechylania...65 Ilustracja 5-8: Kąt wahań łopaty w funkcji azymutu...65 Ilustracja 5-9: Współczynniki wahań łopaty w funkcji prędkości lotu model Padfielda...66 Ilustracja 5-: Współczynniki wahań łopaty w funkcji prędkości przechylania model Padfielda 67 Ilustracja 5-: Kąt wahań łopaty w funkcji azymutu model Padfielda...67 Ilustracja 5-: Wysokość lotu śmigłowca podczas wykonywania manewru przeskoku...69 Ilustracja 5-: Współczynnik obciążenia podczas wykonywania manewru przeskoku...69 Ilustracja 5-: Prędkość podłużna śmigłowca podczas wykonywania manewru przeskoku...7 Ilustracja 5-5: Kąt pochylenia śmigłowca podczas wykonywania manewru przeskoku...7 Ilustracja 5-6: Wysokość lotu śmigłowca podczas wykonywania manewru nawrotu...7 Ilustracja 5-7: Współczynnik obciążenia podczas wykonywania manewru nawrotu...7 Ilustracja 5-8: Prędkość podłużna śmigłowca podczas wykonywania manewru nawrotu...7 Ilustracja 5-9: Kąt pochylenia śmigłowca podczas wykonywania manewru nawrotu...7 Ilustracja 5-: Kurs śmigłowca podczas wykonywania manewru nawrotu...7

13 . WPROWADZENIE. WPROWADZENIE.. Rys historyczny rozwoju śmigłowców Idea stworzenia urządzenia zdolnego unieść się pionowo w powietrze, dzięki wykorzystaniu siły aerodynamicznej wytwarzanej przez wirujące elementy, jest bardzo stara i sięga średniowiecza. Prawdopodobnie najbardziej znanym przykładem prac z tego okresu jest, pochodzący z XV wieku, szkic autorstwa Leonarda da Vinci, który uważał że jego maszyna wkręci się w powietrze wykorzystując szybko obracający się wirnik śrubowy. [, ] Ilustracja -: Szkice Leonarda da Vinci W połowie XVIII wieku Michaił Łomonosow prowadził badania nad urządzeniami wykorzystującymi dwa wirniki przeciwbieżne do utrzymywania się w powietrzu. [] Nieco później, bo w 796 roku anglik George Cayley stworzył kilka udanych modeli latających o wirnikach napędzanych elementami sprężystymi, między innymi sprężynami zegarowymi i wielorybim fiszbinem. W 8 roku inny Anglik W. H. Phillips skonstruował ważący około 9 kg model śmigłowca napędzany silnikiem parowym. Inny model napędzany silnikiem parowym skonstruowany został w 878 roku przez profesora inżynierii lądowej Enrico Forlaniniego. []

14 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA listopada 97 roku francuski konstruktor lotniczy Paul Cornu wykonał pierwszy udany lot śmigłowcem własnej konstrukcji. Maszyna Cornu posiadała dwa przeciwbieżne wirniki napędzane konnym silnikiem spalinowym, sterowana była przy pomocy odchylanych powierzchni umieszczonych poniżej wirników. [] Ilustracja -: Śmigłowiec Paula Cornu W roku 9 hiszpański inżynier Juan de la Cierva na potrzeby skonstruowanego przez siebie wiatrakowca C. opracował przełomowe w budowie śmigłowców przegubowe zawieszenie łopat w głowicy wirnika. [, ] Znaczący postęp w budowie śmigłowców został osiągnięty przez konstruktorów niemieckich w latach trzydziestych i czterdziestych XX wieku. Opracowany w 9 roku Focke-Achgelis Fa osiągał prędkość 75 km/h i był w stanie zabrać 7 kg ładunku, wprowadzony został na wyposażenie Luftwaffe. [5] Natomiast śmigłowiec Flettner Fl 8 osiągający prędkość 5 km/h z ładunkiem 6 kg użytkowany był przez Kriegsmarine i Luftwaffe. Zakłady BMW w Monachium otrzymały zlecenie na zbudowanie sztuk maszyn tego typu, rozpoczęcie produkcji nie doszło jednak do skutku ze względu na zniszczenia spowodowane nalotami bombowymi. Ilustracja -: Flettner Fl 8 W latach 99-9 rosyjski konstruktor lotniczy Igor Sikorski opracował śmigłowiec VS-. Projekt zakładał wykorzystanie pojedynczego wirnika nośnego oraz śmigła ogonowego przeciwdziałającego momentowi wytwarzanemu przez wirnik. Kontrolę nad śmigłowcem miał

15 . WPROWADZENIE zapewnić system sterowania ogólnym i okresowym skokiem łopat. Konstrukcja Sikorskiego jest uznawana jako pierwszy współczesny śmigłowiec jednowirnikowy. [5] Ilustracja -: Vought-Sikorsky VS- Do znacznego rozwoju śmigłowców przyczyniło się zastosowanie silników turbinowych. Lepsze parametry i bardziej zwarta konstrukcja, niż w przypadku silników tłokowych, umożliwiła uzyskanie znacznie lepszego stosunku mocy do masy i bardziej efektywne zagospodarowanie wnętrza śmigłowca. [] Rozwój kompozytów polimerowych o zbrojeniu szklanym, węglowym i aramidowym oraz doświadczenie zdobyte przy ich wykorzystaniu w budowie szybowców i samolotów zaowocowały wprowadzeniem ich do konstrukcji wiropłatów. Pomimo wysokiej ceny znaczną rolą w budowie śmigłowców odegrały także stopy na bazie tytanu. Przyczyniło się to do znacznego uproszczenia budowy głowic wirników i poprawienia trwałości konstrukcji. [] Opracowany w 967 roku przez zakłady lotnicze Messerschmitt-Bölkow-Blohm Bo 5 był pierwszym wdrożonym do produkcji śmigłowcem, w którym zastosowano nowy sposób mocowania łopat głowicę o przegubach elastomerowych, dzięki czemu mógł wykonywać figury akrobacji samolotowej, nieosiągalne do tej pory dla śmigłowców. [, 6].. Główne zespoły śmigłowca Do głównych zespołów śmigłowca jednowirnikowego należą: wirnik nośny, śmigło ogonowe, kadłub, zespół napędowy, układ przenoszenia mocy, układ sterowania oraz podwozie. [, 7] Wirnik nośny składa się, przede wszystkim, z łopat przymocowanych do głowicy osadzonej na wale napędowym. Do pozostałych elementów wirnika należą między innymi tłumiki drgań, 5

16 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA ograniczniki ruchów łopat oraz tarcza sterująca i inne elementy układu sterowania umożliwiające zmianę ogólnego i okresowego skoku łopat. Obracający się wirnik nośny wytwarza siłę ciągu przeciwdziałającą ciężarowi i nadającą prędkość postępową śmigłowca. Moment oporowy wytwarzany przez wirnik równoważony jest przez śmigło ogonowe, które wykorzystywane jest także do sterowania odchyleniem. Pomimo tego, że najczęściej spotykane są śmigłowce ze śmigłem ogonowym to stosuje się także inne rozwiązania, należą do nich między innymi fenestron, NOTAR, czy układy z wieloma wirnikami nośnymi obracającymi się w przeciwnych kierunkach. Ilustracja -5: Główne zespoły śmigłowca Pilot do sterowania lotem śmigłowca wykorzystuje: dźwignię skoku ogólnego, której przemieszczenie powoduje jednakową zmianę skoku wszystkich łopat bez względu na ich położenie, drążek skoku okresowego sterujący skokiem zmieniającym się wraz z położeniem azymutem łopaty, pedały sterownicy nożnej służące do zadawania skoku śmigła ogonowego. Jednym z najważniejszych elementów układu sterowania śmigłowca jest tarcza sterująca, która umożliwia zmianę zarówno kąta skoku ogólnego jak i okresowego. Koncepcja tarczy sterującej została opracowana przez rosyjskiego konstruktora Borysa Juriewa. [, ] Napęd wirnika nośnego i śmigła ogonowego zapewnia silnik śmigłowca poprzez wał napędowy oraz odpowiednio przekładnię główną i kątową przekładnię końcową... Podstawowe ruchy łopat wirnika Podstawowym ruchem łopat jest obrót wokół wału wirnika nośnego. Kąt mierzony zgodnie z kierunkiem obrotu wirnika od położenia tylnego nazywany jest azymutem łopaty. 6

17 . WPROWADZENIE Ilustracja -6: Kąt azymutu łopaty Łopaty mają także możliwość ruchu wokół przegubów mocujących je do głowicy wirnika. W najprostszym przypadku głowicy przegubowej są to: przegub osiowy przekręceń umożliwiający obrót łopaty wokół jej osi podłużnej, przegub poziomy wahań umożliwiający ruchy łopaty w górę i w dół, przegub pionowy odchyleń umożliwiający ruch w płaszczyźnie obrotu wirnika. Dzięki zastosowaniu przegubu przekręceń możliwe jest sterowanie skokiem łopat. Przegub wahań zastosowano w celu zmniejszenia dużych naprężeń oraz momentu przechylającego wywołanych asymetrią sił na łopatach nacierających i powracających w locie postępowym. Przegub odchyleń redukuje obciążenia wywołane efektem Coriolisa związanym z wahaniami łopat. [, 7] W nowoczesnych śmigłowcach z głowicami bezprzegubowymi i bezłożyskowymi rolę przegubów pełnią elementy podatne wykonane najczęściej ze stopów tytanu lub materiałów kompozytowych. 7

18 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA Ilustracja -7: Głowica wirnika nośnego Ograniczając rozważania do quasi-stacjonarnych wahań łopat wirnika występujących z częstością jeden na obrót można je przedstawić w postaci: β Ψ =β +βc cos Ψ+βs sin Ψ. gdzie: β kąt stożka wirnika βc współczynnik pierwszej harmonicznej wahań podłużnych przy cosinusie βs współczynnik pierwszej harmonicznej wahań poprzecznych przy sinusie Wahania okresowe można interpretować jako pochylenia i przechylenie tarczy wirnika odpowiednio o kąty βc i βs, co zostało przedstawiono na Ilustracji -8. Ilustracja -8: Stopnie swobody tarczy wirnika Wahania łopat można wymusić poprzez odpowiednie sterowanie kątem przekręceń zależnym od azymutu łopaty, które jest realizowane za pomocą drążka skoku okresowego i tarczy sterującej. Można wykazać, za Stepniewskim [], że kierunek wektora ciągu w stanie ustalonym jest prostopadły do płaszczyzny toru końców łopat. Zakładając, że wahania łopat wirnika występują z częstością jeden na obrót można przyjąć, że wektor ciągu jest obrócony względem wału wirnika o kąty βc i βs. 8

19 . WPROWADZENIE.. Modelowanie matematyczne Pojęcie model odnosi się zarówno do modeli rzeczywistych, będących najczęściej pomniejszonym obiektem np.: do badań w tunelu aerodynamicznym, jak i do modeli abstrakcyjnych np.: fizycznych, matematycznych opisujących dany obiekt, zjawisko lub proces. Natomiast przez modelowanie rozumiany jest całokształt czynności służący do opracowania i weryfikacji modelu. [8, 9] Modelowaniem fizycznym, za K. Sibilskim [8], nazywana jest czynność polegająca na wyodrębnieniu z rozpatrywanego zjawiska istotnych elementów, sprowadzająca się do: ustalenia celu modelowania, praw fizycznych rządzących modelowanym zjawiskiem, jego cech jakościowych i ilościowych oraz charakterystyk sygnałów wejściowych. Proces stworzenia sformalizowanego opisu modelu fizycznego, w postaci układu równań oraz zależności opisujących istniejące ograniczenia, nazywany jest modelowaniem matematycznym. [8, 9] Pod pojęciem modelu symulacyjnego jest rozumiany model matematyczny zapisany w postaci programu komputerowego, natomiast symulacją komputerową nazywane jest wykonanie takiego programu. Ilustracja -9: Proces modelowania Dla zjawisk zależnych od czasu, do których należą zagadnienia dynamiki lotu, wyróżnić można symulacje czasu rzeczywistego, czyli takie, w których czas obliczeń pokrywa się z czasem opisywanego zjawiska. Ważnym aspektem symulacji czasu rzeczywistego jest dostępna moc obliczeniowa, która może wpływać na złożoność modelu matematycznego. 9

20 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA. MODELOWANIE DYNAMIKI LOTU ŚMIGŁOWCA.. Układy współrzędnych stosowane w analizie dynamiki lotu Do analizy i modelowania dynamiki ruchu obiektów latających stosuje się zazwyczaj prostokątne i prawoskrętne układy odniesienia. [8, ] Inercjalny układ współrzędnych Jest to układ współrzędnych względem, którego określana jest pozycja i orientacja przestrzenna opisywanego statku powietrznego. W tej pracy wykorzystano powszechnie stosowany w geodezji i nawigacji układ World Geodetic System 98, przedstawiony na Ilustracji -. Układ współrzędnych WGS-8 opisuje kształt i rozmiar Ziemi za pomocą elipsoidy, o parametrach przedstawionych w Tabeli -, stanowiącej powierzchnię odniesienia do ustalania wysokości tak zwana wysokość elipsoidalna. Ilustracja -: World Geodetic System 98 Początek układu WGS-8 znajduje się w środku masy Ziemi, oś Zi pokrywa się z osią obrotu Ziemi, oś Xi leży w płaszczyźnie równika i skierowana jest w stronę południka, natomiast oś Yi dopełnia prawoskrętny układ współrzędnych. []

21 . MODELOWANIE DYNAMIKI LOTU ŚMIGŁOWCA Parametr Oznaczenie Wartość Jednostka Długość wielkiej półosi elipsoidy a 6787, m Odwrotność spłaszczenia /f 98, Prędkość kątowa Ziemi ωe 795, - rad/s Stała grawitacyjna Ziemi GM 986,8 8 m/s Tabela -: Parametry definiujące układ WGS-8 [] Poniżej przedstawione jest przekształcenie umożliwiające wyznaczenie współrzędnych kartezjańskich układu WGS-8 na podstawie współrzędnych geodezyjnych. e= a b a. χ= e sin ϕg a y = χ +h cos ϕ sin λ. a xi = χ +h cos ϕg cos λ G i G z i= a G e χ +h sin ϕg...5 gdzie: b długość małej półosi elipsoidy h wysokość elipsoidalna λg długość geodezyjna ϕg szerokość geodezyjna Przekształcenie odwrotne ze współrzędnych kartezjańskich WGS-8 na współrzędne geodezyjne wymaga zastosowania metod iteracyjnych. Bezpośrednia metoda piętnastokrokowa została zaproponowana przez Jijie Zhu w []. Należy wspomnieć, że układ WGS-8 nie jest układem inercjalnym, gdyż występują w nim siły pozorne związane, z obrotem Ziemi wokół własnej osi. Pomimo tego, że wpływ tych sił jest niewielki, na potrzeby symulacji dynamiki lotu należy je uwzględnić w równaniach ruchu statku powietrznego. [] W celu uproszczenia zapisu i poprawy czytelności efekty oddziaływań tych sił zostały pominięte. Wartości wyrażane w inercjalnym układzie współrzędnych wyróżniono indeksem i.

22 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA Grawitacyjny układ współrzędnych Grawitacyjny układ współrzędnych porusza się razem z modelowanym obiektem latającym, jego początek pokrywa się z początkiem układu współrzędnych związanego z płatowcem, oś Zg pokrywa się co do kierunku i zwrotu z wektorem przyspieszenia grawitacyjnego, osie Xg i Yg leżą w płaszczyźnie poziomej i skierowane są odpowiednio na północ i wschód. Wartości wyrażane w grawitacyjnym układzie współrzędnych wyróżniono indeksem g. Samolotowy układ współrzędnych Początek układu współrzędnych związany z płatowcem, zwanego także samolotowym, leży w płaszczyźnie symetrii statku powietrznego, w śmigłowcach wygodnie jest przyjąć za początek tego układu punkt przecięcia osi wału wirnika nośnego np. z płaszczyzną montażową kadłuba. Oś Xb samolotowego układu współrzędnych skierowana jest do przodu, oś Zb leży w płaszczyźnie symetrii i skierowana jest w dół, a oś Yb dopełnia prawoskrętny układ współrzędnych. Wartości wyrażane w samolotowym układzie współrzędnych wyróżniono indeksem b. Ilustracja -: Samolotowy układ współrzędnych Aerodynamiczny układ współrzędnych Aerodynamiczny układ współrzędnych związany jest z opływem statku powietrznego, jego początek pokrywa się z początkiem układu związanego z płatowcem, oś Xa posiada kierunek prędkości niezaburzonego napływu powietrza ale przeciwny zwrot, oś Za leży w płaszczyźnie symetrii kadłuba i skierowana jest do dołu, a oś Ya dopełnia prawoskrętny układ współrzędnych. Wartości wyrażane w aerodynamicznym układzie współrzędnych wyróżniono indeksem a.

23 . MODELOWANIE DYNAMIKI LOTU ŚMIGŁOWCA Laboratoryjny układ współrzędnych Laboratoryjny układ współrzędnych jest podobny do aerodynamicznego z tą różnicą, że oś Xl ma zwrot zgodny z prędkością niezaburzonego napływu, oś Zl skierowana jest do góry, a oś Yl posiada niezmieniony kierunek i zwrot. Wartości wyrażane w laboratoryjnym układzie współrzędnych wyróżniono indeksem l... Współrzędne kątowe Do określenia wzajemnego położenia różnych układów odniesienia, wykorzystano quasi-eulerowskie kąty Bryanta, zwane także kątami samolotowymi. [8, 9, ] Dzięki przyjęciu takiej konwencji kąty obrotu z układu grawitacyjnego do samolotowego układu współrzędnych, przedstawione na Ilustracji -, są jednocześnie kątami przechylenia, pochylenia i odchylenia. Kąty obrotów wokół osi X, Y, Z oznaczone są odpowiednio φ, θ, ψ. Ilustracja -: Kąty Bryanta Transformację współrzędnych z układu odniesienia do można przedstawić w postaci: r =T / r + { R O } gdzie: r wektor współrzędnych punktu w układzie r wektor współrzędnych punktu w układzie T / macierz obrotu z układu współrzędnych do.6

24 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA { RO } wektor współrzędnych początku układu wyrażony w układzie Dla znanych kątów Bryanta φ, θ, ψ obrotu z układu współrzędnych do macierz rotacji T/ można przedstawić w postaci: [ ][ ][ cos θ sin θ cos ψ sin ψ T / = cos ϕ sin ϕ sin ψ cos ψ sin ϕ cos ϕ sin θ cos θ ].7 a po przemnożeniu: [ cos θcos ψ cos θ sin ψ sin θ T / = cos ψ sin ϕsin θ cos ϕsin ψ cos ϕ cos ψ+sin ϕ sin θ sin ψ cos θ sin ϕ sin ϕ sin ψ+cos ϕ cos ψsin θ cos ϕ sin θ sin ψ cos ψ sin ϕ cos ϕ cos θ ].8 Dla przekształcenia odwrotnego macierz obrotu jest równa transformowanej macierzy T/ : T / =T T/.9.. Założenia upraszczające W wielu zastosowaniach szczegółowa analiza dynamiki lotu śmigłowców nie jest niezbędna, a czasami wręcz pożądana. Wykorzystanie bardziej dokładnego modelu nie gwarantuje uzyskania bardziej wiarygodnych wyników, a może skomplikować obliczenia i utrudnić interpretację wyników. [] Stosując się do zasady mówiącej, że model matematyczny powinien być tak prosty jak to tylko możliwe [6], przyjęte zostały następujące założenia upraszczające opis dynamiki lotu śmigłowca [6, 8, ]: kadłub śmigłowca jest nieodkształcalny, masa i momenty bezwładności śmigłowca są znanymi funkcjami ilości paliwa, pominięte są zjawiska aerodynamiki nieustalonej, wirnik nośny traktowany jest jak tarcza o trzech stopniach swobody tarcza wirnika posiada możliwość ruchu stożkowego, przechylania oraz pochylania, model wirnika nośnego jest quasi-stacjonarny przyjmuje nowe położenie bez opóźnień, obciążenia aerodynamiczne od wirnika nośnego wyrażone są analitycznie w postaci sił i momentów sił działających na głowicę.

25 . MODELOWANIE DYNAMIKI LOTU ŚMIGŁOWCA.. Związki kinematyczne Do jednoznacznego opisu nieodkształcalnego statku powietrznego w przestrzeni potrzebne są trzy współrzędne liniowe określające jego położenie oraz trzy współrzędne kątowe określające orientację przestrzenną. [8] Wykorzystano do tego współrzędne początku, związanego z płatowcem, układu samolotowego wyrażone w układzie inercjalnym x, y, z oraz kąty Bryanta obrotu z układu inercjalnego do samolotowego φ, θ, ψ. W poruszającym się razem ze statkiem powietrznym układzie samolotowym wyznaczany jest T b= [ p, q, r ]T. W celu wektor chwilowej prędkości liniowej V b =[ u, v, w ] oraz kątowej Ω powiązania wartości prędkości chwilowych wyrażonych w układzie samolotowym z pochodnymi współrzędnych w układzie inercjalnym należy określić związki kinematyczne. Przyjmują one następującą postać dla prędkości liniowej: [][ ][ ] cos θ cos ψ cos ψsin ϕsin θ cos ϕ sin ψ sin ϕ sin ψ+cos ϕ cos ψsin θ u x y = cos θsin ψ cos ϕ cos ψ+sin ϕsin θ sin ψ cos ϕ sin θsin ψ cos ψsin ϕ v z sin θ cos θ sin ϕ cos ϕ cos θ w. oraz dla prędkości kątowej: [][ ][ ] sin ϕ tan θ cos ϕ tan θ ϕ p cos ϕ sin ϕ = θ q sin ϕ cos ϕ ψ r cos θ cos θ. Wyrażenie. posiada punkty osobliwe dla θ = ±9 [8], dlatego dla wartości kąta θ bliskich ±9 stosuje się związki kinematyczne w następującej postaci: [][ ϕ = cos ϕ sin ϕ θ ψ ][ ] p q r..5. Równania ruchu Dynamiczne równania ruchu śmigłowca wyprowadzone zostały w poruszającym się razem ze statkiem powietrznym, samolotowym układzie współrzędnych z wykorzystaniem znanej zasady zmiany pędu oraz krętu: dπ, =F dt O dk Π =M O +V dt 5..

26 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA Przedstawiając prędkość środka masy śmigłowca w postaci: {V CG }b= V b +Ω b { r CG }b.5 b+ Ω b { r CG } b =m V Π b.6 b +m { r CG } V b Ob= J b Ω K b.7 pęd wyrażony jest jako: natomiast kręt [, 5]: gdzie: m masa śmigłowca Jb tensor momentów bezwładności śmigłowca względem osi układu samolotowego { r CG }b współrzędne środka masy śmigłowca wyrażone w układzie samolotowym Oznaczając wektor momentów statycznych jako: T S b=[ S X, S Y, S Z ] =m { r CG }b.8 i podstawiając.8 do wyrażeń.6 i.7 zależności na pęd i kręt przyjmują postać: b b =m V b +Ω Π Sb.9 b+ Ob= J b Ω b K S b V. Korzystając z reprezentacji macierzowej iloczynu wektorowego: [][][ ][ ] [ ][ ] a a b b b a a b a b= a b = a = a b b b a a a b b a a b b. wyrażenia na pęd i kręt przyjmują postać: [ ] [][ S Z S Y ΠX u b = Π =m v + S Z Π SX Y w S Y S X ΠZ [ ][ J X J XY J XZ KX Ob= K = J XY K JY J YZ Y J XZ J YZ JZ KZ ][ ] [ ][ ] p q r S Z S Y p + SZ S X q r S Y S X 6. ][ ] u v w.

27 . MODELOWANIE DYNAMIKI LOTU ŚMIGŁOWCA Zasady zmiany pędu i krętu w układzie samolotowym wyrażone są następująco: b δπ b Π b=f +Ω δt. Ob δk b K b Π b +Ω Ob= M Ob +V δt.5 δ gdzie δ t oznacza pochodną lokalną w układzie nieinercjalnym. [, 5] Podstawiając wyrażenia. i. do równań. i.5 otrzymujemy: [][ ][ ] [ ][ [ ][ ] [ [ ][ [ ][ [ ][ S Z S Y u m v + S Z SX w S Y S X [ S Z S Y r q + r p S Z SX q p S Y S X J X J XY J XZ J XY JY J YZ J XZ J YZ JZ ][ ] r q u p p v + q +m r q p w r.6 ][ ] [ ] FX p = q FY r FZ S Z S Y p S X q + S Z r S Y S X J X J XY J XZ r q + r p J XY JY J YZ q p J XZ J YZ JZ S Z S Y r q + r p SZ S X q p S Y S X S Z S Y w v + w u S Z SX v u S Y S X ][ ] u v + w ][ ] p q + r.7 ][ ] ][ ] [ ] u v + w MX p q = MY r MZ Równania.6 i.7 wygodnie jest zapisać w formie równania macierzowego [8]: B s + P B s=q.8 gdzie: s wektor stanu: s=[ u, v, w, p, q, r ] T Q wektor sił i momentów sił: Q=[ F X, F Y, F Z, M X, M Y, M Z ] 7 T

28 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA B macierz bezwładności: [ m SZ S Y m S Z SX m SY S X B= S Z S Y J X J XY J XZ SZ S X J XY JY J YZ S Y S X J XZ J YZ JZ ].9 P pomocnicza macierz prędkości: [ r q r p q p P= w v r q w u r p v u q p ]. Mnożąc lewostronnie równanie macierzowe.8 przez macierz odwrotną B- można otrzymać postać łatwą do całkowania numerycznego [9]: s =B Q P B s. Przy czym wektor sił i momentów sił Q można przedstawić jako: [ Q= F W + F A+ F P + F G M W + M A+ M P + M G ] gdzie: FW, MW siły i momenty sił grawitacyjnych FA, MA siły i momenty sił aerodynamicznych FP, MP siły i momenty sił od zespołu napędowego w tym od wirujących mas FG, MG siły i momenty sił od podwozia 8.

29 . MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO. MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO.. Układy współrzędnych stosowane w analizie wirnika nośnego Układ współrzędnych wirnika Jest to układ związany z głowicą wirnika, nieruchomy względem kadłuba, o początku w punkcie przecięcia osi wału z płaszczyzną obrotu piasty. Płaszczyzna obrotu piasty jest prostopadła do wału wirnika. Oś Zra pokrywa się z osią wału wirnika i skierowana jest w dół, oś Xra leży w płaszczyźnie obrotu piasty i leży w płaszczyźnie symetrii kadłuba i skierowana jest do przodu, a oś Yra dopełnia prawoskrętny układ współrzędnych. Ilustracja -: Układ współrzędnych wirnika Wartości wyrażane w układzie współrzędnych wirnika wyróżniono indeksem ra. Układ współrzędnych opływu wirnika Jest to układ związany z głowicą wirnika, o początku w punkcie przecięcia osi wału z płaszczyzną obrotu piasty. Płaszczyzna obrotu piasty jest prostopadła do wału wirnika. Oś Zrw pokrywa się z osią wału wirnika i skierowana jest w dół, oś Xrw leży w płaszczyźnie obrotu piasty 9

30 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA i skierowana jest w taki sposób, że wektor prędkości napływu strumienia niezaburzonego ma tylko dwie składowe, a oś Yrw dopełnia prawoskrętny układ współrzędnych: {V }rw=u rw i +wrw k = [ u rw,, wrw ]T. Wartości wyrażane w układzie współrzędnych opływu głowicy wyróżniono indeksem rw. Płaszczyzny odniesienia wirnika W analizie dynamiki wirnika nośnego śmigłowca wygodnie jest stosować układ współrzędnych płaszczyzny toru końców łopat układ bez wahań oraz układ bez przekręceń, w których znacznemu uproszczeniu ulegają wyrażenia na obciążenia pochodzące od wirnika. [6] Płaszczyzny bez wahań i bez przekręceń przedstawiono na Ilustracji -, przyjmując dla uproszczenia, że sterowanie skokiem odbywa się jedynie w kanale podłużnym. Ilustracja -: Płaszczyzny odniesienia wirnika Oś wału zaznaczona jest jako aa' i pokrywa się z osią Zra układu współrzędnych wirnika, oś bb' jest prostopadła do cięciwy łopaty oraz płaszczyzny bez przekręceń, natomiast oś cc' jest prostopadła do płaszczyzny toru końców łopat. Wartości wyrażane w układzie bez wahań wyróżniono indeksem da, natomiast w układzie bez przekręceń indeksem ca. Układ współrzędnych łopaty Jest to układ współrzędnych związany z łopatą, o początku w punkcie przecięcia osi przekręceń z osią wahań. Oś Xba pokrywa się z osią przekręceń i skierowana jest w stronę końca łopaty, oś Yba leży w wybranej płaszczyźnie odniesienia wirnika i skierowana jest w stronę krawędzi natarcia, natomiast oś Zba dopełnia prawoskrętny układ współrzędnych. Wartości wyrażane w układzie współrzędnych głowicy wyróżniono indeksem ba.

31 . MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO.. Poziomy modelowania wirnika nośnego Wymagania odnoszące się do dokładności modelu wirnika nośnego zależą od zastosowania i zazwyczaj klasyfikuje się je według trzech kategorii [6]:. Założenia modelowania poziomu pierwszego: opływ wirnika jest dwuwymiarowy, nieściśliwy i quasi-stacjonarny, obciążenia siły i momenty sił aerodynamiczne są liniowo zależne od kątów natarcia, wszystkie elementy wirnika nośnego traktowane są jako idealnie sztywne, ruch wszystkich elementów wirnika traktowany jest jako quasi-stacjonarny, łopaty wirnika mają możliwość ruchu o trzech stopniach swobody obrót wokół wału wirnika, ruch wokół przegubu wahań oraz ruch wokół przegubu przekręceń lub o sześciu stopniach swobody obrót wokół wału wirnika, ruch wokół przegubu wahań, ruch wokół przegubu przekręceń oraz ruch wokół przegubu odchyleń;. Założenia modelowania poziomu drugiego: niestacjonarny, uproszczony trójwymiarowy opis opływu wirnika uwzględniający lokalne efekty oddziaływania wirów łopat oraz ściśliwość powietrza, obciążenia aerodynamiczne nieliniowo zależne od kątów natarcia, łopaty wirnika modelowane jako ciała odkształcalne o ograniczonej liczbie postaci odkształceń i sześciu stopniach swobody;. Założenia modelowania poziomu trzeciego: niestacjonarny, trójwymiarowy opis opływu wirnika z pełną analizą śladu wirowego, obciążenia aerodynamiczne nieliniowo zależne od kątów natarcia, łopaty wirnika modelowane, z wykorzystaniem metody elementów skończonych, jako ciała odkształcalne i sprężyste. W analizie dynamiki lotu zazwyczaj stosuje się modelowanie poziomu pierwszego, które jest wystarczające do opisania podstawowych cech lotu śmigłowca, dając wyniki różniące się od rzeczywistości nie więcej niż o %. [6] Dla niektórych zagadnień dynamiki lotu niezbędne jest wykorzystanie modelowania poziomu drugiego, natomiast modelowanie poziomu trzeciego stosuje się zazwyczaj w procesie projektowania.

32 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA.. Założenia upraszczające W dalszych rozważaniach przyjęte zostały założenia modelowania poziomu pierwszego oraz dalsze uproszczenia opisu opływu oraz obciążeń pochodzących od wirnika: Pominięte zostały zjawiska związane z oderwaniem opływu na łopatach wirnika, co może skutkować otrzymaniem nierzeczywistych rezultatów w postaci dalszego wzrostu ciągu wirnika poza granicą przeciągnięcia. Efekt ten może wystąpić szczególnie przy dużych prędkościach postępowych śmigłowca, kiedy to kąty natarcia na łopatach powracających bliskie są wartości krytycznej; Przyjęto, że łopaty wirnika mają możliwość ruchu o trzech stopniach swobody; Przyjęty został jednorodny rozkład prędkości indukowanej wzdłuż długości łopaty; Pominięte zostały skutki opływu odwrotnego; Przyjęto, że opływ łopaty jest quasi-stacjonarny i nieściśliwy; Przyjęto, że siła nośna jest funkcją liniową lokalnego kąta natarcia, natomiast opór jest funkcją kwadratową siły nośnej; [6] Przyjęto, że ciąg wirnika jest równy co do wartości wypadkowej sile aerodynamicznej pochodzącej od wirnika i jest prostopadły do płaszczyzny toru końców łopat. [].. Teoria strumieniowa Powyższe założenia spełnia strumieniowa teoria wirnika ang.: Momentum Theory, która umożliwia wyprowadzenie zależności między ciągiem i momentem oporowym wirnika oraz prędkością indukowaną. [6] Według teorii strumieniowej wirnik jest nieskończenie cienką tarczą, na której następuje skokowy przyrost ciśnienia, ciąg jest równomiernie rozłożony na całej powierzchni tej tarczy, natomiast strumień powietrza przepływający przez nią jest jednorodny i wyraźnie rozgraniczony od otoczenia. [6] Zakładając jednorodny rozkład prędkości indukowanej na tarczy wirnika wyrażenia na strumień masy, prędkość zmiany pędu oraz zmianę energii kinetycznej w strumieniu, dla lotu pionowego z prędkością wznoszenia vc, można przedstawić odpowiednio jako [6]: m =ρ A v c =ρ A R v c +vi =ρ A v c +v.

33 . MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO T = m v c +v m v c = m v. T v c +v = m v c +v m v c = m v c v +v. gdzie: A=π R pole przekroju strumienia nad wirnikiem A R =π R pole powierzchni tarczy wirnika A =π R pole przekroju strumienia pod wirnikiem m strumień masy powietrza v c prędkość wznoszenia v i prędkość indukowana na tarczy wirnika v prędkość indukowana w pełni rozwiniętym strumieniu T siła ciągu wirnika Ilustracja -: Przepływ przez wirnik w ruchu osiowym

34 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA Z powyższych zależności wynika, że prędkość indukowana w pełni rozwiniętym strumieniu równa jest podwojonej prędkości indukowanej na tarczy wirnika: v = v i.5 Podstawiając wyrażenia. i.5 do. ciąg wirnika można zapisać jako: T = ρ A R v c +v i v i.6 Dla zawisu zależność na ciąg wirnika redukuje się do postaci: T = ρ A R v ih.7 gdzie vih oznacza prędkość indukowaną przez wirnik w zawisie. Przekształcając wyrażenia.6 i.7 zależności na prędkość indukowaną, odpowiednio w locie ze wznoszeniem i w zawisie, mają postać: v i= T ρ A R v c +v i v ih = T ρ A R.8.9 Oznaczając jako: vi ωr R. λ ih = v ih ωr R. μc = vc ωr R. λ i= oraz wprowadzając pojęcie współczynnika ciągu wirnika: CT = T ρ A R ω R R. wyrażenia.8 i.9 można przedstawić w postaci: λ i= CT μc +λ i λ ih = CT..5

35 . MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO Łatwo zauważyć, że: λ ih =λ i μ c +λi.6 Równanie.6 można sprowadzić do następującej postaci: μ λ i = c + μc +λ ih.7 Zależność na prędkość indukowaną dla opadania z prędkością vd = vc otrzymać można w wyniku analogicznego rozumowania: μ λ i= d μd λ ih.8 Należy jednak zwrócić uwagę, że rozwiązanie.8 ma sens fizyczny jedynie dla stanu, w którym pole przepływu nad wirnikiem jest w pełni rozwinięte, a przepływ odbywa się z dołu do góry Ilustracja -d. [6] Można przyjąć, że taki stan występuje dla prędkości opadania co najmniej dwukrotnie większej od prędkości indukowanej na tarczy wirnika w zawisie. [] Ilustracja -: Stany pracy wirnika 5

36 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA Poza obszarem stosowalności teorii strumieniowej znajdują się takie stany pracy wirnika jak pierścień wirowy Ilustracja -b oraz stan śladu turbulentnego Ilustracja -c, dla których przybliżone wartości prędkości indukowanej uzyskać można za pomocą zależności doświadczalnych Younga [6]: μd λ ih μ λ =λ 7 λ λ i =λ ih + d i ih ih dla μd,5λ ih.9 dla,5 λ ih <μd λ ih. Ilustracja -5: Prędkość indukowana w ruchu osiowym Teoria strumieniowa w locie z prędkością postępową Ilustracja -6: Przepływ przez wirnik w ruchu postępowym Jedna z pierwszych metod wyznaczania prędkości indukowanej przez wirnik w locie z prędkością postępową V została zaproponowana przez Glauerta. [, 6] Przyjmując, że prędkość indukowana w odległym śladzie ma, podobnie jak w przypadku ruchu osiowego, wartość dwukrotnie większą niż na tarczy wirnika, wyrażenie na ciąg można zapisać w postaci [6]: T = m v i = ρ A R V ' v i 6.

37 . MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO Zależność na prędkość indukowaną można więc zapisać jako: v i= T ρ AR V '. gdzie V' jest prędkością wypadkową na wirniku [6, 6]: V ' = V cos α R+ V sin α R v i. u rw =V cos α R. w rw =V sin α R.5 Oznaczając jako: wyrażenie. można przedstawić w postaci: v i= T ρ A R u rw + w rw v i.6 Można zauważyć, że dla vx = rozwiązanie.6 obejmuje także przypadki zawisu oraz ruchu osiowego. [6] Wprowadzając analogiczne jak dla ruchu osiowego oznaczenia bezwymiarowe: λ i= μ x= u rw ωr R vi ωr R, μ z=.7 w rw ωr R.8.9 wyrażenie na prędkość indukowaną można zapisać w postaci: λ i= CT μ x +μ z λ i. Należy zwrócić uwagę, że dla znacznych prędkości postępowych efekt sumowania się prędkości wynikających z obrotu wału wirnika oraz ruchu śmigłowca prowadzi do powstania znacznych niejednorodności w rozkładzie prędkości indukowanej na tarczy wirnika. Do opisu tego zjawiska wykorzystać można model zaproponowany przez Glauerta [6, 6]: v i r, Ψ =v i + r k cos Ψ R. gdzie vi jest średnią prędkością indukowaną na tarczy wirnika określoną zależnością.6. 7

38 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA Współczynnik niejednorodności rozkładu k wyznaczany jest z zależności: k =v i χ χ cot k =v i tan dla χ< π. dla χ> π.. gdzie kąt śladu χ określony jest wyrażeniem: χ=arctan u rw w rw v i Powyższe zależności można zapisać w postaci bezwymiarowej: λ i r, Ψ =λ i + k λ=λ i χ χ cot k λ=λ i tan r k cos Ψ R λ.5 dla χ< π.6 dla χ> π.7 Wyniki obliczeń prędkości indukowanej na tarczy wirnika względem prędkości lotu postępowego przedstawiono na Ilustracji -7. Ilustracja -7: Prędkość indukowana w ruchu postępowym αr = 8

39 . MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO Należy zwrócić uwagę, że teoria strumieniowa w locie z prędkością postępową nie uwzględnia efektu przekroczenia krytycznego kąta natarcia na łopatach powracających związanego z sumowaniem się prędkości wynikającej z ruchu obrotowego wirnika z prędkością napływu powietrza będącą rezultatem ruchu postępowego śmigłowca..5. Metoda elementu łopaty Ilustracja -8: Element łopaty wirnika nośnego W celu wyznaczenia obciążeń aerodynamicznych działających na kolejne segmenty łopaty wirnika nośnego przyjmuje się, że łopata złożona jest z nieskończenie cienkich, niezależnych aerodynamicznie elementów rozlokowanych wzdłuż jej długości. [] Duże wydłużenia łopat uzasadnia stosowanie płaskiego modelu opływu, a spadek siły nośnej na końcu i u nasady łopaty uwzględnić można wykorzystując tak zwany efektywny promień łopaty zazwyczaj mniejszy od promienia wirnika o kilka procent. [, 6, 6] Ilustracja -9: Składowe kąta natarcia elementu łopaty wirnika W większości przypadków wykorzystanie w obliczeniach układu współrzędnych wirnika prowadzi do niepotrzebnych komplikacji ze względu na jednoczesne występowanie zmiennych wraz z azymutem wahań jak i przekręceń. [] W celu uproszczenia zapisu zastosowano układ współrzędnych bez przekręceń, który dodatkowo usytuowany jest w taki sposób, że wektor 9

40 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA prędkości napływającego powietrza ma tylko dwie składowe. Wyznaczone w tym układzie odniesienia siły i momentu są następnie transformowane do samolotowego układu współrzędnych. W dalszych rozważaniach przyjęto, że przepływ jest quasi-stacjonarny i nieściśliwy, siła nośna działająca na element łopaty jest funkcją liniową lokalnego kąta natarcia, natomiast opór jest funkcją kwadratową siły nośnej. [6] Wyrażenia na elementarną siłę nośną oraz opór działające na przekrój łopaty zapisać można odpowiednio w postaci: dl= ρ U r, Ψ C L c B dr.8 dd= ρ U r, Ψ C D c B dr.9 Bezwymiarowe współczynniki siły nośnej i oporu wyrażone są zależnościami: C L=a α BE r, Ψ. C D=δ +δ C T. Kąt natarcia przekroju łopaty można zapisać w postaci: α BE r, Ψ =θ+ϕ r, Ψ. gdzie: ϕ r, Ψ =arctan U P r, Ψ U T r, Ψ..6. Składowe prędkości opływu przekroju łopaty W najbardziej ogólnym przypadku na prędkość opływu łopaty wpływ mają: prędkość obrotowa wału wirnika, ruch postępowy i obrotowy śmigłowca w przestrzeni oraz ruchy łopaty wokół przegubu poziomego i pionowego. W celu uproszczenia zapisu pominięty został wpływ prędkości odchylania łopaty oraz ruchu obrotowego śmigłowca wokół wału wirnika. Aby wyprowadzić wyrażenia na składowe prędkości opływu elementu łopaty, w pierwszej kolejności, należy wyznaczyć prędkość głowicy w układzie współrzędnych wirnika: {V RH }ra =T b/ ra V b +Ω b { r RH }b. ra =T b/ ra Ω b Ω.5

41 . MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO Macierz Tb/ra obrotu z układu samolotowego do układu współrzędnych wirnika ma postać: [ cosε sin ε T b/ ra= sin ε cos ε ].6 gdzie ε to kąt pochylenia osi wału wirnika. Otrzymane prędkości należy następnie wyrazić w układzie bez przekręceń: {V RH }ca=t ra /ca {V RH }ra.7 ca =T ra /ca Ω ra Ω.8 gdzie Tra/ca to macierz obrotu z układu współrzędnych wirnika do układu bez przekręceń, która przyjmuje postać: dla wirnika obracającego się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara: [ ][ cos θs sin θs T ra / ca = cos θc sin θc sin θc cos θc sin θs cos θs ].9 dla wirnika obracającego się zgodnie z ruchem wskazówek zegara: [ ][ cos θs sin θs T ra / ca = cos θc sin θc sin θc cos θc sin θs cos θs ].5 Układ współrzędnych bez przekręceń należy jeszcze obrócić w taki sposób aby wektor prędkości napływającego powietrza miał tylko dwie współrzędne. {V RH }cw=t ca/ cw {V RH }ca.5 cw =T ca/ cw Ω ca Ω.5 W powyższych wyrażeniach macierz obrotu Tca/cw ma postać: [ cosβ R sin β R T ca /cw = sin β R cosβ R ].5 gdzie βr to kąt ślizgu wirnika wyrażony zależnością: β R=arcsin v ca u ca+v ca+w ca.5

42 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA Ilustracja -: Składowe prędkości opływu wirnika Wprowadzając oznaczenia: {V RH }cw=[ ucw,,w cw ]T.55 cw =[ p cw, qcw, ]T Ω.56 oraz przyjmując dodatni zwrot wahań do góry, składowe prędkości opływu elementu łopaty można zapisać jako: dla wirnika obracającego się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara: U T =ω R r cosβ+u cw sin Ψ.57 U P =w cw cos β v i cosβ β r u cw sin β cos Ψ+ p cw r sin Ψ +q cw r cos Ψ.58 dla wirnika obracającego się zgodnie z ruchem wskazówek zegara: U T =ω R r cosβ+u cw sin Ψ.59 U P =w cw cos β v i cosβ β r u cw sin β cos Ψ p cw r sin Ψ +q cw r cos Ψ.6 Zakładając, że dla małych kątów wahań: sin β β.6 cos β.6 powyższe wyrażenia można przedstawić w postaci uproszczonej: dla wirnika obracającego się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara: U T =ω R r +ucw sin Ψ.6 U P =w cw v i β r u cw β cos Ψ+ p cw r sin Ψ +q cw r cos Ψ.6

43 . MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO dla wirnika obracającego się zgodnie z ruchem wskazówek zegara: U T =ω R r +ucw sin Ψ.65 U P =w cw v i β r u cw βcos Ψ p cw r sin Ψ +q cw r cos Ψ.66 Oznaczając jako: u cw ωr R.67 w cw v i ωr R.68 μ= λ= wyrażenia na składowe prędkości opływu elementu łopaty można zapisać w postaci: dla wirnika obracającego się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara: U T =ω R r +μ ω R Rsin Ψ.69 U P =λ ω R R β r μ ω R Rβ cos Ψ + p cw r sin Ψ+qcw r cos Ψ.7 dla wirnika obracającego się zgodnie z ruchem wskazówek zegara: U T =ω R r +μ ω R Rsin Ψ.7 U P =λ ω R R β r μ ω R Rβ cos Ψ p cw r sin Ψ+qcw r cos Ψ.7.7. Ciąg wirnika Zakładając, że dla małych kątów φ: ϕ=arctan UP UP UT U T U U T.7 dt dl zależność na kąt natarcia elementu łopaty można przedstawić w postaci: α BE =θ+.7 UP UT Wyrażenie. przyjmie zatem postać: C L=a θ+ UP UT.77

44 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA Uwzględniając uproszczenia.7,.7 i.75 oraz podstawiając wyrażenie.8 zależność na ciąg wirnika można zapisać jako: U dt ρ a c B U T θ+ P dr UT.78 co po przekształceniu daje: dt ρ a c B θ U T +U P U T dr.79 Całkowity ciąg wytwarzany przez wirnik o Nb łopatach wyznaczany jest poprzez scałkowanie równania różniczkowego.79 najpierw względem azymutu, a następnie wzdłuż rozpiętości łopaty. [] Wyrażenie na ciąg wirnika można zatem przedstawić w następującej postaci: N b π BR dt T= dr d Ψ π dr.8 gdzie B to współczynnik strat końcowych. Po podstawieniu zależności.79 wyrażenie.8 przyjmie postać: π BR π BR UT T = ρ a cb N b θ dr d Ψ + U P U T dr dr d Ψ π dr π.8 Pomijając wpływ prędkości kątowej kadłuba śmigłowca wyrażenia na U T i U P U T można przedstawić w postaci: U T =r ω R + ω R R r μ sin Ψ +μ R ω R sin Ψ.8 U P U T =λ ω R R r β ω R r βμ ωr R r cos Ψ + +λ μ ωr R sin Ψ β μ ωr R r sin Ψ β μ ω R R sin Ψ cos Ψ +.8 Zakładając stałą prędkość obrotową wału oraz wykorzystując wyrażenie. pochodne kąta wahań względem czasu można wyrazić jako pochodne względem kąta azymutu: β = dβ dβ d Ψ = =β ω R =ω R βs cos Ψ βc sin Ψ dt d Ψ dt.8 β = d β d β d Ψ =β ω R = ω R βc cos Ψ+βs sin Ψ = dt dt dψ.85

45 . MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO wyrażenia na U T i U P U T można zapisać jako: U T =r ω R + ω R R r μ sin Ψ +μ R ω R sin Ψ.86 U P U T =λ ωr R r βs ωr r cos Ψ+βc ω R r sin Ψ β μ ωr R r cos Ψ + +λ μ ωr R sin Ψ βs μ ω R R r sin Ψ cos Ψ+βc μ ω R R r sin Ψ β μ ω R R sin Ψ cos Ψ.87 Wiedząc, że: π π sin Ψ d Ψ= π sin Ψ d Ψ= π π π sin Ψ cos Ψ d Ψ= π π cos Ψ d Ψ= π cos Ψ d Ψ = π.88 zależność na ciąg wirnika nośnego przyjmie postać: [ λ B θ βc B T = ρ a cb N b ωr R B + B+ μ + μ ].89 Wykorzystując wyrażenie. współczynnik ciągu dla wirnika obracającego się przeciwnie i zgodnie do ruchu wskazówek zegara przyjmie odpowiednio postać: [ λ B θ βc B CT = a s B + B+ μ + μ ].9 gdzie s to bezwymiarowy współczynnik wypełnienia tarczy wirnika..8. Moment oporowy Wyrażenie na elementarny moment oporowy wirnika można zapisać jako: [, 6] dq=r dd cos ϕ dlsin ϕ dr.9 Przyjmując, że dla małych wartości kąta φ: sin ϕ ϕ.9 cos ϕ.9 oraz zakładając, że współczynnik oporu przekroju łopaty jest stały wzdłuż jej rozpiętości wyrażenie.9 przyjmie postać: [, 6] dq= ρ U T C D c B r dr ρ U T C L c B r ϕ dr 5.9

46 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA Moment pochodzący od oporu profilowego można przedstawić jako: Q p= N b R π ρ U T C D c B r d Ψ dr π.95 Po scałkowaniu wyrażenie.9 przyjmie postać: Q p = ρ N b c B ωr R C D + μ.96 Moment pochodzący od oporu indukowanego można przedstawić jako: N b R π Qi= ρ U T C L c B r ϕ d Ψ dr π.97 Podstawiając zależności.7 i.77 otrzyma się: Qi= R π Nb ρ a c B θ U P U T r +U P r d Ψ dr π.98 Całkując wyrażenie.9 najpierw względem azymutu, a następnie wzdłuż rozpiętości łopaty ostatecznie przyjmie ono postać: [] Qi = ρ a c B N b ωr R [ ].99 ]. λ θ+ λ βc +βs + 8 β + μ βc βs μ λ βc+ μ β βs 8 8 Moment oporowy wirnika można zatem wyrazić jako: [ CD +μ λ θ λ + 8 βc+βs + a Q= ρ a c B N b ω R R β μ βc βs + μ λ βc μβ βs 8 8 a w postaci bezwymiarowej jako: [ CD +μ λ θ λ + βc +βs + a 8 C Q = as β μ βc βs + μ λ βc μβ βs ].

47 . MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO.9. Współczynniki wahań Wahania łopaty można przedstawić w postaci szeregu Fouriera, w którym zmienną niezależną jest kąt azymutu łopaty Ψ: β Ψ =β +βc cos Ψ+βs sin Ψ+βc cos Ψ+βs sin Ψ+βc cos Ψ+βs sin Ψ W analizie dynamiki lotu istotne są obciążenia, które mogą zmienić trajektorię statku powietrznego i którymi pilot lub urządzenie automatyczne w jakiś sposób bezpośrednio steruje. [6] Ponadto z danych pozyskanych w drodze eksperymentu wiadomo, że amplitudy harmonicznych trzeciego i wyższych rzędów są pomijalnie małe. [] Ograniczając rozważenia najwyżej do wahań występujących z częstością jeden na obrót wyrażenie. można uprościć do następującej postaci: β Ψ =β +βc cos Ψ+βs sin Ψ. Ilustracja -: Siły działające na element łopaty Zależności na współczynniki wahań zostały wyprowadzone na podstawie metody przedstawionej przez Mila w [7] z równania równowagi momentów sił działających na łopatę względem przegubu wahań, które można zapisać w postaci: M T +M I +M CF +M C +M W =. W wyrażeniu. MT, MI, MCF, MC i MW oznaczają momenty sił względem przegubu poziomego pochodzące odpowiednio od ciągu, siły bezwładności w ruchu wahań, siły odśrodkowej, siły Coriolisa oraz ciężaru. Momenty od sił bezwładności Zależności na momenty pochodzące od sił bezwładności wyprowadzone zostały przy następujących założeniach: wirnik obraca się wokół osi wału ze stałą prędkością kątową; 7

48 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA łopaty wirnika mają możliwość ruchu wokół przegubu wahań, ruch wokół pozostałych przegubów został pominięty; kadłub śmigłowca wykonuje ruch obrotowy ze stałą prędkością przechylania i pochylania, ruch odchylania został pominięty. Wyrażenie na siłę odśrodkową można zapisać jako: df CF =mb ωr r dr.5 Składowa siły Coriolisa prostopadła do płaszczyzny obrotu przyjmuje postać: dla wirnika obracającego się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara: df C = mb p cw ω R r cos Ψ dr mb qcw ω R r sin Ψ dr.6 dla wirnika obracającego się zgodnie z ruchem wskazówek zegara: df C = m B p cw ωr r cos Ψ dr m B q cw ω R r sin Ψ dr.7 Moment od sił bezwładności w ruchu wahań można przedstawić jako: R M I = β m B r dr.8 Traktując łopatę wirnika jak jednorodny pręt można założyć, że [7]: R m B r dr J B.9 R m B r dr S B. gdzie: JB moment bezwładności łopaty względem przegubu wahań SB moment statyczny łopaty względem przegubu wahań Wykorzystując uproszczenie.9 wyrażenie na moment pochodzący od sił bezwładności w ruchu wahań można przedstawić w postaci: M I = β J B 8.

49 . MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO Uwzględniając uproszczenia.6 i.6 moment pochodzący od siły odśrodkowej można wyrazić jako: R R M CF = β mb ωr r dr= ωr β mb r dr. Korzystając z zależności.9 wyrażenie na moment od siły odśrodkowej można zapisać w postaci: M CF = ωr β J B. Moment pochodzący od sił Coriolisa można zapisać następująco: dla wirnika obracającego się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara: R R M C = mb p cw ω R r cos Ψ dr m B q cw ω R r sin Ψ dr =. = pcw ω R J B cos Ψ q cw ωr J B sin Ψ dla wirnika obracającego się zgodnie z ruchem wskazówek zegara: R R M C = m B p cw ω R r cos Ψ dr mb qcw ω R r sin Ψ dr =.5 = p cw ω R J B cos Ψ q cw ω R J B sin Ψ Korzystając z uproszczenia. moment pochodzący od ciężaru wyrazić można jako: R M W = g m B r dr= g S B.6 Moment od siły ciągu Wykorzystując zależność.79 wyrażenie na moment względem przegubu wahań pochodzący od siły ciągu przyjmie następującą postać: BR BR M T = dt r= ρ a c B θ U T +U P U T dr.7 Równowaga momentów względem przegubu wahań Podstawiając do równania. wyrażenia na momenty sił pochodzące od ciągu, siły bezwładności w ruchu wahań, siły odśrodkowej, siły Coriolisa oraz ciężaru otrzyma się równanie równowagi momentów w następującej postaci: verte 9

50 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA dla wirnika obracającego się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara: BR dt r β J B β ωr J B+ p cw ω R J B cos Ψ q cw ω R J B sin Ψ g S B=.8 BR R J B β J B β ω + dt r = J B qcw ω R sin Ψ J B p cw ω R cos Ψ+ g S B.9 dla wirnika obracającego się zgodnie z ruchem wskazówek zegara: BR dt r β J B β ωr J B p cw ω R J B cos Ψ q cw ω R J B sin Ψ g S B=. BR R J B β J B β ω + dt r = J B qcw ω R sin Ψ+ J B p cw ω R cos Ψ+ g S B. Dzieląc wyrażenia.9 i. stronami przez J B ωr otrzyma się odpowiednio: β+β= BR q cw p cw g SB dt r ω R sin Ψ+ ω R cos Ψ J B ωr J B ωr. β+β= BR q cw p cw g SB dt r ω R sin Ψ ω R cos Ψ J B ωr J B ωr. Wykorzystując zależności na U T i U P U T wyrażenie na moment od siły ciągu dla wirnika obracającego przeciwnie i zgodnie do ruchu wskazówek zegara przyjmie odpowiednio postać: BR BR M T = dt r = ρ a c B θ U T +U P U T r dr = B B θ+ B θμ sin Ψ+ θμ sin Ψ + B B B B p cw + λ β βμ cos Ψ + sin Ψ + ωr = ρ a c B R ω R B B B + λ μ sin Ψ β μ sin Ψ cos Ψ β μ sin Ψ + p q q B cw B cw B cw + μ sin Ψ+ cos Ψ+ μ sin Ψ cos Ψ ωr ωr ωr 5.

51 . MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO BR BR M T = dt r= ρ a c B θu T +U P U T dr = B B θ+ B θμ sin Ψ+ θμ sin Ψ + B B B B p cw + λ β βμ cos Ψ sin Ψ + ωr = ρ a c B R ω R B B B + λ μ sin Ψ βμ sin Ψ cos Ψ β μ sin Ψ + p q q B cw B cw B cw μ sin Ψ+ cos Ψ+ μ sin Ψ cos Ψ ωr ωr ωr.5 Wiedząc, że: sin Ψ cos Ψ= sin Ψ sin Ψ = cos Ψ +cos Ψ cos Ψ = cos Ψ sin Ψ = sin Ψ+sin Ψ cos Ψ cos Ψ sin Ψ sin Ψ =.6 oraz podstawiając zależność. do. i.5 do. otrzyma się odpowiednio: γ B B B B β+ β + μ sin Ψ +β + γ μ cos Ψ+ γ μ sin Ψ = 6 8 B B p cw B B p cw B pcw λ+ sin Ψ+ λ μ sin Ψ + μ μ cos Ψ ωr 6 ωr 6 ωr γ B q cw B q cw B = + + cos Ψ+ μ sin Ψ + θ ωr 6 ωr B B + B θμ sin Ψ+ θμ θμ cos Ψ q p g SB ωcwr sin Ψ+ ωcw cos Ψ R J ω B.7 R γ B B B B β+ β + μ sin Ψ +β + γμ cos Ψ+ γμ sin Ψ = 6 8 B B p cw B B p cw B p cw λ sin Ψ+ λ μ sin Ψ μ+ μ cos Ψ + ωr 6 ωr 6 ωr γ B q cw B q cw B = + + cos Ψ+ μ sin Ψ + θ+ ωr 6 ωr B B + B θμ sin Ψ + θμ θμ cos Ψ q p g SB ωcwr sin Ψ ωcw cos Ψ R J ω B gdzie γ to liczba Locka. 5 R.8

52 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA Wyrażenia.7 i.8 po przekształceniu przyjmą odpowiednio postać: β+β γ B + B μ sin Ψ +β + B γμ cos Ψ+ B γμ sin Ψ = 6 8 = [ ] g SB γ B B p cw B B λ+ μ+ θ+ θμ + ω 6 R J B ω R + [ ] p γ B q cw + ωcw cos Ψ + ω R R [.9 ] ] q cw γ B p cw B + + λ μ+ B θμ ω ω R sin Ψ + R + [ γ B pcw B μ θμ cos Ψ + 6 ωr [ ] γ B q cw + μ sin Ψ 6 ωr γ B B B B β+β + μ sin Ψ +β + γμ cos Ψ + γμ sin Ψ = 6 8 = [ ] g SB γ B B p cw B B λ μ+ θ+ θμ + ω 6 R J B ω R + [ ] p γ B q cw ωcw cos Ψ + ω R R [ ] q cw γ B p cw B + + λ μ+ B θμ ω ω R sin Ψ + R + [ ] γ B p cw B μ θμ cos Ψ + 6 ωr [ ] γ B q cw + μ sin Ψ 6 ωr 5.

53 . MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO Podstawiając zależności na pochodne kąta wahań względem azymutu oraz wykorzystując tożsamości trygonometryczne.6 wyrażenia.9 i. można zapisać jako: B μ B μ +B cos Ψ +βc γ B sin Ψ β+βs γ B B B μ cos Ψ + βs γ μ+β γ μ sin Ψ B B +βc γ μ sin Ψ βs γ μ cos Ψ = 6 6 g SB γ B B pcw B B = λ+ μ+ θ+ θμ + ω 6 R J B ωr +βc γ [ + + ] [ ] pcw γ B q cw B β μ + cos Ψ + ω ω R R [. ] ] q γ B pcw B + λ μ+ B θμ ωcw sin Ψ + ω R R + [ γ B p cw B μ θμ cos Ψ + 6 ωr + [ ] γ B q cw μ sin Ψ 6 ωr B μ B μ β+βs γ +B cos Ψ+βc γ B sin Ψ B B B μ cos Ψ + βs γ μ+β γ μ sin Ψ B B - βs γ μ cos Ψ +βc γ μ sin Ψ = 6 6 g SB γ B B pcw B B = λ μ+ θ+ θμ + 6 ωr J B ωr +βc γ [ ] + [ ] pcw γ B q cw B β μ cos Ψ + ω ω R R [ ] q γ B p cw B + + λ μ+ B θμ ωcw sin Ψ + ω R R + [ ] γ B p cw B μ θμ cos Ψ + 6 ωr + [ ] γ B qcw μ sin Ψ 6 ωr 5.

54 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA Zgodnie z przyjętym założeniem rozważania ograniczają się jedynie do wahań występujących z częstością jeden na obrót, zatem równania. i. uproszczą się odpowiednio do postaci: β+βs γ = B μ B μ +B cos Ψ +βc γ B sin Ψ = 8 8 [ ] g SB γ B B p cw B B λ+ μ+ θ+ θμ + ω 6 R J B ω R [. ] pcw γ B qcw B + β μ + cos Ψ + ω ω R R + [ β+βs γ = ] q γ B pcw B + λ μ+ B θμ ωcw sin Ψ ω R R B μ B μ +B cos Ψ +βc γ B sin Ψ = 8 8 [ ] g SB γ B B p cw B B λ μ+ θ+ θμ + ω 6 R J B ω R [. ] p γ B qcw B + β μ ωcw cos Ψ + ω R R + [ ] q γ B p cw B + λ μ+ B θμ ωcw sin Ψ ω R R Porównując lewe i prawe strony równań. i. wyznaczyć można współczynniki wahań. Ostatecznie przyjmują one następującą postać: dla wirnika obracającego się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara: g SB γ B B p cw B B β = λ+ μ+ θ+ θμ ω 6 R J B ωr βc =μ λ + B θ μ B p q + B ωcw 6 cw R γω R.5 B μ B q p B βs= β μ + B ωcw +6 cw R γ ω R μ μ +B B +B 5.6.7

55 . MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO dla wirnika obracającego się zgodnie z ruchem wskazówek zegara: g SB γ B B p cw B B β= λ μ+ θ+ θμ 6 ωr J B ωr βc =μ λ + B θ μ B p q B ωcw +6 cw R γ ωr.8 B μ B q p B βs= β μ + B ωcw 6 cw R γ ω R μ μ + B B +B.9. Należy zwrócić uwagę, że powyższe wyrażenia odnoszą się do współczynników wahań względem płaszczyzny bez przekręceń. 55

56 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA. MODEL SYMULACYJNY ŚMIGŁOWCA Do opracowania modelu symulacyjnego wykorzystane zostały przedstawione w poprzednich częściach równania ruchu śmigłowca oraz model wirnika poziomu pierwszego... Całkowanie numeryczne Wyznaczenia trajektorii statku powietrznego oznacza rozwiązanie zagadnienia początkowego równania różniczkowego w następującej postaci: tk x t k = x t + x dt. t gdzie: T. x= [ x, y, x, ϕ,θ, ψ ] Wektor pochodnych współrzędnych uogólnionych x wyznaczyć można korzystając ze związków kinematycznych. i. wiążących pochodne współrzędnych uogólnionych z wektorem stanu, który natomiast wyznaczany jest poprzez rozwiązanie zagadnienia początkowego następującego równania: tk s t k =s t + s dt. t gdzie pochodna wektora stanu s określona jest zależnością.. Numeryczne rozwiązanie zagadnienia początkowego równania różniczkowego zwyczajnego polega na obliczeniu kolejnych wartości przybliżonych rozwiązania dokładnego dla niektórych wartości zmiennej niezależnej t w przedziale od t do tk wychodząc od znanego warunku początkowego. Do najważniejszych klas metod numerycznych zalicza się liniowe metody wielokrokowe oraz metody Rungego-Kutty. [8] Na potrzeby obliczeń dynamiki lotu śmigłowca w tej pracy wykorzystana została jawna metoda Rungego-Kutty czwartego rzędu. 56

57 . MODEL SYMULACYJNY ŚMIGŁOWCA Metoda Rungego-Kutty Metody Rungego-Kutty są grupą jednokrokowych metod numerycznych rozwiązywania zagadnień początkowych równań różniczkowych zwyczajnych, charakteryzujących się następującymi cechami [8]: pierwszy krok obliczeń nie wymaga żadnych dodatkowych zabiegów; zależności opisujące metodę są bardzo prostej postaci; wykonanie zmiany długości kroku całkowania nie wymaga specjalnych zabiegów. metoda rzędu p wymaga co najmniej p-krotnego obliczenia w jednych kroku funkcji prawych stron równania różniczkowego; zwiększenie rzędu aproksymacji oznacza jednoznacznie wzrost kosztu obliczeń; błąd metody jest trudny do określenia. Metody Rungego-Kutty określa się ogólnie wzorem [8]: m y n+= y n +h w i k i, n=,,,.... k = f t n, y n.5 i= gdzie: i k i = f t n+c i h, y n +h a ij k j j=, i>.6 przy czym: i c i = a ij, i>.7 j= Jedną z najbardziej popularnych metod Rungego-Kutty jest metoda rzędu czwartego, którą opisać można w następujący sposób [8]: y n+= y n + h k + k + k +k 6 verte 57.8

58 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA gdzie: k = f t n, y n.9 k = f t + h, y + h k k = f t n + h, y n+ h k n n k = f t n +h, y n+h k... Wyprowadzenie zależności określających metodę Rungego-Kutty -rzędu rozwiązywania zagadnień początkowych równań różniczkowych zwyczajnych znaleźć można w [8]... Wykorzystane narzędzia Model symulacyjny stworzony został w postaci programu komputerowego napisanego w języku C++ i przeznaczonego dla maszyn o architekturze zgodnej ze standardem IBM PC. Oprogramowanie umożliwia interakcję z człowiekiem poprzez sterowanie symulowanym obiektem, które odbywa się za pomocą joysticka i klawiatury. Zobrazowanie wyników symulacji i sterowanie symulacją odbywa się poprzez graficzny interfejs użytkownika stworzony za pomocą biblioteki Qt. Ilustracja -: Zrzut ekranu interfejsu użytkownika 58

59 . MODEL SYMULACYJNY ŚMIGŁOWCA Oprogramowanie umożliwia także wizualizację w osobnym oknie stożka wirnika nośnego w oparciu o OpenGL otwartą bibliotekę do generowania grafiki trójwymiarowej. Ilustracja -: Zrzut ekranu wizualizacji stożka wirnika Zobrazowanie przyrządów pilotażowych oraz widoku z kokpitu zapewnia oprogramowanie FlightGear, które jest otwartym symulatorem lotu umożliwiającym podłączenie zewnętrznego modelu dynamiki lotu poprzez gniazdo UDP. [9] Ilustracja -: Zrzut ekranu oprogramowania FlightGear 59

60 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA.. Struktura oprogramowania Model dynamiki lotu ma strukturę modułową, której uproszczony schemat został przedstawiony poniżej w postaci diagramu klas UML: Ilustracja -: Diagram klas modelu dynamiki lotu 6

61 5. ANALIZA WYNIKÓW 5. ANALIZA WYNIKÓW 5.. Opływ przekroju łopaty Wyniki obliczeń składowych prędkości opływu oraz kąta natarcia przekroju łopaty dla wirnika obracającego się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara przedstawiono poniżej: Ilustracja 5-: Składowa opływu przekroju łopaty leżąca w płaszczyźnie tarczy wirnika V m/s; αr = 6

62 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA Ilustracja 5-: Składowa opływu przekroju łopaty prostopadła do płaszczyzny tarczy wirnika V m/s; αr = Ilustracja 5-: Kąt natarcia przekroju łopaty wirnika V m/s; αr = 6

63 5. ANALIZA WYNIKÓW Ilustracja 5-: Kąt natarcia przekroju łopaty wirnika V m/s; αr = Ilustracja 5-5: Kąt natarcia przekroju łopaty wirnika V 6 m/s; αr = 6

Symulacyjne określenie obciążeń wirnika nośnego śmigłowca z indywidualnym Sterowaniem kąta nastawienia łopat w warunkach lotu ustalonego

Symulacyjne określenie obciążeń wirnika nośnego śmigłowca z indywidualnym Sterowaniem kąta nastawienia łopat w warunkach lotu ustalonego Symulacyjne określenie obciążeń wirnika nośnego śmigłowca z indywidualnym Sterowaniem kąta nastawienia łopat w warunkach lotu ustalonego Jarosław Stanisławski Instytut Lotnictwa Streszczenie Przedstawiono

Bardziej szczegółowo

Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL

Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL We wstępnej analizie przyjęto następujące założenia: Dwuwymiarowość

Bardziej szczegółowo

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas 3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas oddziaływanie między ciałami, ani też rola, jaką to

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

Fizyka 1 (mechanika) AF14. Wykład 9

Fizyka 1 (mechanika) AF14. Wykład 9 Fizyka 1 (mechanika) 1100-1AF14 Wykład 9 Jerzy Łusakowski 05.12.2016 Plan wykładu Żyroskopy, bąki, etc. Toczenie się koła Ruch w polu sił centralnych Żyroskopy, bąki, etc. Niezrównoważony żyroskop L m

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE PIONOWYCH DRGAŃ ŁOPAT ŚMIGŁOWCA W SYSTEMIE CATIA V5

MODELOWANIE PIONOWYCH DRGAŃ ŁOPAT ŚMIGŁOWCA W SYSTEMIE CATIA V5 Mateusz Kania 1) MODELOWANIE PIONOWYCH DRGAŃ ŁOPAT ŚMIGŁOWCA W SYSTEMIE CATIA V5 Streszczenie: Zjawisko drgań układów mechanicznych jest istotnym problemem w projektowaniu części maszyn i mechanizmów.

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe opisujące ruch fotela z pilotem:

Równania różniczkowe opisujące ruch fotela z pilotem: . Katapultowanie pilota z samolotu Równania różniczkowe opisujące ruch fotela z pilotem: gdzie D - siłą ciągu, Cd współczynnik aerodynamiczny ciągu, m - masa pilota i fotela, g przys. ziemskie, ρ - gęstość

Bardziej szczegółowo

J. Szantyr Wykład 2 - Podstawy teorii wirnikowych maszyn przepływowych

J. Szantyr Wykład 2 - Podstawy teorii wirnikowych maszyn przepływowych J. Szantyr Wykład 2 - Podstawy teorii wirnikowych maszyn przepływowych a) Wentylator lub pompa osiowa b) Wentylator lub pompa diagonalna c) Sprężarka lub pompa odśrodkowa d) Turbina wodna promieniowo-

Bardziej szczegółowo

Dokument Obliczeniowo-Analityczny

Dokument Obliczeniowo-Analityczny Obliczeniowo-nalityczny Strona / Stron 1/32 nr naliza w ramach realizacji Projektu Wiatrakowiec STOL o unikalnej konstrukcji Projekt realizowany w ramach programu INNOTECH2, Hi-Tech, dofinansowany przez

Bardziej szczegółowo

Mechanika i Budowa Maszyn

Mechanika i Budowa Maszyn Mechanika i Budowa Maszyn Materiały pomocnicze do ćwiczeń Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych Andrzej J. Zmysłowski Andrzej J. Zmysłowski Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach

Bardziej szczegółowo

PF11- Dynamika bryły sztywnej.

PF11- Dynamika bryły sztywnej. Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Uniwersytetu Jagiellońskiego Zajęcia laboratoryjne w I Pracowni Fizycznej dla uczniów szkół ponadgimnazjalych

Bardziej szczegółowo

Metoda elementów skończonych

Metoda elementów skończonych Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną

Bardziej szczegółowo

Wykład 10. Ruch w układach nieinercjalnych

Wykład 10. Ruch w układach nieinercjalnych Wykład 10 Ruch w układach nieinercjalnych Prawa Newtona są słuszne jedynie w układach inercjalnych. Ściśle mówiąc układami inercjalnymi nazywamy takie układy odniesienia, które albo spoczywają, albo poruszają

Bardziej szczegółowo

SYMULACJA OBROTU ŚMiGŁOWCA WOKÓŁ OSi PiONOWEJ W WARUNKACH WYSTĘPOWANiA LTE

SYMULACJA OBROTU ŚMiGŁOWCA WOKÓŁ OSi PiONOWEJ W WARUNKACH WYSTĘPOWANiA LTE PRACE instytutu LOTNiCTWA 219, s. 182-188, Warszawa 2011 SYMULACJA OBROTU ŚMiGŁOWCA WOKÓŁ OSi PiONOWEJ W WARUNKACH WYSTĘPOWANiA LTE KatarzyNa GrzeGorczyK Instytut Lotnictwa Streszczenie W artykule przedstawiono

Bardziej szczegółowo

DYNAMIKA KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH

DYNAMIKA KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH DYNAMIKA KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH Roman Lewandowski Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 2006 Książka jest przeznaczona dla studentów wydziałów budownictwa oraz inżynierów budowlanych zainteresowanych

Bardziej szczegółowo

Dobór silnika serwonapędu. (silnik krokowy)

Dobór silnika serwonapędu. (silnik krokowy) Dobór silnika serwonapędu (silnik krokowy) Dane wejściowe napędu: Masa całkowita stolika i przedmiotu obrabianego: m = 40 kg Współczynnik tarcia prowadnic = 0.05 Współczynnik sprawności przekładni śrubowo

Bardziej szczegółowo

R o z d z i a ł 4 MECHANIKA CIAŁA SZTYWNEGO

R o z d z i a ł 4 MECHANIKA CIAŁA SZTYWNEGO R o z d z i a ł 4 MECHANIKA CIAŁA SZTYWNEGO 4.1. Bryła sztywna W dotychczasowych rozważaniach traktowaliśmy wszystkie otaczające nas ciała jako punkty materialne lub zbiory punktów materialnych. Jest to

Bardziej szczegółowo

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )

Bardziej szczegółowo

Numeryczne modelowanie procesów przepł ywowych

Numeryczne modelowanie procesów przepł ywowych Numeryczne modelowanie procesów przepł ywowych dr inż. Grzegorz Grodzki Temat: Ć wiczenie 3 Numeryczna symulacja ruchu elastycznie umocowanego płata lotniczego umieszczonego w tunelu aerodynamicznym 1.

Bardziej szczegółowo

Notacja Denavita-Hartenberga

Notacja Denavita-Hartenberga Notacja DenavitaHartenberga Materiały do ćwiczeń z Podstaw Robotyki Artur Gmerek Umiejętność rozwiązywania prostego zagadnienia kinematycznego jest najbardziej bazową umiejętność zakresu Robotyki. Wyznaczyć

Bardziej szczegółowo

Obliczeniowo-Analityczny

Obliczeniowo-Analityczny Obliczeniowo-nalityczny Strona / Stron 1/28 nr naliza w ramach realizacji Projektu Wiatrakowiec STOL o unikalnej konstrukcji Projekt realizowany w ramach programu INNOTECH2, Hi-Tech, dofinansowany przez

Bardziej szczegółowo

Karta (sylabus) przedmiotu Transport Studia I stopnia. Podstawy budowy i lotu statków powietrznych. Język polski

Karta (sylabus) przedmiotu Transport Studia I stopnia. Podstawy budowy i lotu statków powietrznych. Język polski Karta (sylabus) przedmiotu Transport Studia I stopnia Przedmiot: Podstawy budowy i lotu statków powietrznych Rodzaj przedmiotu: Podstawowy Kod przedmiotu: TR 1 N 0 5 49-1_0 Rok: 3 Semestr: 5 Forma studiów:

Bardziej szczegółowo

Wektory, układ współrzędnych

Wektory, układ współrzędnych Wektory, układ współrzędnych Wielkości występujące w przyrodzie możemy podzielić na: Skalarne, to jest takie wielkości, które potrafimy opisać przy pomocy jednej liczby (skalara), np. masa, czy temperatura.

Bardziej szczegółowo

Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego

Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego Nazwisko i imię: Zespół: Data: Cel ćwiczenia: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego wyznaczenie momentów bezwładności brył sztywnych Literatura

Bardziej szczegółowo

2. Charakterystyki geometryczne przekroju

2. Charakterystyki geometryczne przekroju . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1.. Charakterystyki geometryczne przekroju.1 Podstawowe definicje Z przekrojem pręta związane są trzy wielkości fizyczne nazywane charakterystykami geometrycznymi

Bardziej szczegółowo

ANALizA możliwości zwiększenia PRędkOśCi PRzELOTOWEj i zmniejszenia POziOmU hałasu WiATRAkOWCA

ANALizA możliwości zwiększenia PRędkOśCi PRzELOTOWEj i zmniejszenia POziOmU hałasu WiATRAkOWCA PRACE instytutu LOTNiCTWA 219, s. 31-38, Warszawa 2011 ANALizA możliwości zwiększenia PRędkOśCi PRzELOTOWEj i zmniejszenia POziOmU hałasu WiATRAkOWCA SłaWomIr CIeślak Instytut Lotnictwa Streszczenie Praca

Bardziej szczegółowo

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Moment bezwładności Prawa ruchu Energia ruchu obrotowego Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym Przypomnienie Równowaga bryły

Bardziej szczegółowo

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,

Bardziej szczegółowo

Materiały pomocnicze 5 do zajęć wyrównawczych z Fizyki dla Inżynierii i Gospodarki Wodnej

Materiały pomocnicze 5 do zajęć wyrównawczych z Fizyki dla Inżynierii i Gospodarki Wodnej Materiały pomocnicze 5 do zajęć wyrównawczych z Fizyki dla Inżynierii i Gospodarki Wodnej 1. Wielkości dynamiczne w ruchu postępowym. a. Masa ciała jest: - wielkością skalarną, której wielkość jest niezmienna

Bardziej szczegółowo

Wektor położenia. Zajęcia uzupełniające. Mgr Kamila Rudź, Podstawy Fizyki. http://kepler.am.gdynia.pl/~karudz

Wektor położenia. Zajęcia uzupełniające. Mgr Kamila Rudź, Podstawy Fizyki. http://kepler.am.gdynia.pl/~karudz Kartezjański układ współrzędnych: Wersory osi: e x x i e y y j e z z k r - wektor o współrzędnych [ x 0, y 0, z 0 ] Wektor położenia: r t =[ x t, y t,z t ] każda współrzędna zmienia się w czasie. r t =

Bardziej szczegółowo

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH

MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH dr inż. Robert Szmit Przedmiot: MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH WYKŁAD nr Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Katedra Geotechniki i Mechaniki Budowli Opis stanu odkształcenia i naprężenia powłoki

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą

Bardziej szczegółowo

Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe

Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 1 10. 10. Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe 10.1 Podstawowy zapisu wskaźnikowego Elementy konstrukcji znajdują się w przestrzeni fizycznej.

Bardziej szczegółowo

Przykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym

Przykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym Przykład 4.1. Ściag stalowy Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym rysunku jeśli naprężenie dopuszczalne wynosi 15 MPa. Szukana siła P przyłożona jest

Bardziej szczegółowo

PAiTM - zima 2014/2015

PAiTM - zima 2014/2015 PAiTM - zima 204/205 Wyznaczanie przyspieszeń mechanizmu płaskiego metodą planu przyspieszeń (metoda wykreślna) Dane: geometria mechanizmu (wymiary elementów, ich położenie i orientacja) oraz stała prędkość

Bardziej szczegółowo

Karta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechanika i Budowa Maszyn Studia drugiego stopnia

Karta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechanika i Budowa Maszyn Studia drugiego stopnia Karta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechanika i Budowa Maszyn Studia drugiego stopnia Przedmiot: Mechanika analityczna Rodzaj przedmiotu: Obowiązkowy Kod przedmiotu: MBM 2 S 0 1 02-0_1 Rok: 1 Semestr: 1

Bardziej szczegółowo

BADANIE DRGAŃ TŁUMIONYCH WAHADŁA FIZYCZNEGO

BADANIE DRGAŃ TŁUMIONYCH WAHADŁA FIZYCZNEGO ĆWICZENIE 36 BADANIE DRGAŃ TŁUMIONYCH WAHADŁA FIZYCZNEGO Cel ćwiczenia: Wyznaczenie podstawowych parametrów drgań tłumionych: okresu (T), częstotliwości (f), częstotliwości kołowej (ω), współczynnika tłumienia

Bardziej szczegółowo

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 METODY OBLICZENIOWE Projekt nr 3.4 Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 Zadanie Nasze zadanie składało się z dwóch części: 1. Sformułowanie, przy użyciu metody Lagrange a II rodzaju, równania różniczkowego

Bardziej szczegółowo

WYZNACZENIE WSPÓŁCZYNNIKA OPORU TOCZENIA I WSPÓŁCZYNNIKA OPORU POWIETRZA

WYZNACZENIE WSPÓŁCZYNNIKA OPORU TOCZENIA I WSPÓŁCZYNNIKA OPORU POWIETRZA Cel ćwiczenia WYZNACZENIE WSPÓŁCZYNNIKA OPORU TOCZENIA I WSPÓŁCZYNNIKA OPORU POWIETRZA Celem cwiczenia jest wyznaczenie współczynników oporu powietrza c x i oporu toczenia f samochodu metodą wybiegu. Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Dynamika ruchu postępowego, ruchu punktu materialnego po okręgu i ruchu obrotowego bryły sztywnej

Dynamika ruchu postępowego, ruchu punktu materialnego po okręgu i ruchu obrotowego bryły sztywnej Dynamika ruchu postępowego, ruchu punktu materialnego po okręgu i ruchu obrotowego bryły sztywnej Dynamika ruchu postępowego 1. Balon opada ze stałą prędkością. Jaką masę balastu należy wyrzucić, aby balon

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA ŚWIĘTOKRZYSKA w Kielcach WYDZIAŁ MECHATRONIKI I BUDOWY MASZYN KATEDRA URZĄDZEŃ MECHATRONICZNYCH LABORATORIUM FIZYKI INSTRUKCJA

POLITECHNIKA ŚWIĘTOKRZYSKA w Kielcach WYDZIAŁ MECHATRONIKI I BUDOWY MASZYN KATEDRA URZĄDZEŃ MECHATRONICZNYCH LABORATORIUM FIZYKI INSTRUKCJA POLITECHNIKA ŚWIĘTOKRZYSKA w Kielcach WYDZIAŁ MECHATRONIKI I BUDOWY MASZYN KATEDRA URZĄDZEŃ MECHATRONICZNYCH LABORATORIUM FIZYKI INSTRUKCJA ĆWICZENIE LABORATORYJNE NR 1 Temat: Wyznaczanie współczynnika

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM TERMODYNAMIKI I TECHNIKI CIEPLNEJ. Badanie charakterystyki wentylatorów połączenie równoległe i szeregowe. dr inż.

LABORATORIUM TERMODYNAMIKI I TECHNIKI CIEPLNEJ. Badanie charakterystyki wentylatorów połączenie równoległe i szeregowe. dr inż. LABORATORIUM TERMODYNAMIKI I TECHNIKI CIEPLNEJ Badanie charakterystyki wentylatorów połączenie równoległe i szeregowe. dr inż. Jerzy Wiejacha ZAKŁAD APARATURY PRZEMYSŁOWEJ POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Lesiak. Podstawy mechaniki Newtona Kinematyka punktu materialnego

Tadeusz Lesiak. Podstawy mechaniki Newtona Kinematyka punktu materialnego Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 2 Podstawy mechaniki Newtona Kinematyka punktu materialnego Kinematyka punktu materialnego Kinematyka: zajmuje się matematycznym opisem ruchów układów mechanicznych

Bardziej szczegółowo

Linia dwuprzewodowa Obliczanie pojemności linii dwuprzewodowej

Linia dwuprzewodowa Obliczanie pojemności linii dwuprzewodowej Linia dwuprzewodowa Obliczanie pojemności linii dwuprzewodowej 1. Wstęp Pojemność kondensatora można obliczyć w prosty sposób znając wartości zgromadzonego na nim ładunku i napięcia między okładkami: Q

Bardziej szczegółowo

8. WIADOMOŚCI WSTĘPNE

8. WIADOMOŚCI WSTĘPNE Część 2 8. MECHNIK ELEMENTÓW PRĘTOWYCH WIDOMOŚCI WSTĘPNE 1 8. WIDOMOŚCI WSTĘPNE 8.1. KLSYFIKCJ ZSDNICZYCH ELEMENTÓW KONSTRUKCJI Podstawą klasyfikacji zasadniczych elementów konstrukcji jest kształt geometryczny

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html Siły oporu (tarcia)

Bardziej szczegółowo

W NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ

W NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska Instrukcja do zajęć laboratoryjnych Temat ćwiczenia: POWIERZCHNIA SWOBODNA CIECZY W NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ Ćwiczenie

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki sezon 1 V. Ruch obrotowy 1 (!)

Podstawy fizyki sezon 1 V. Ruch obrotowy 1 (!) Podstawy fizyki sezon 1 V. Ruch obrotowy 1 (!) Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Kinematyka ruchu

Bardziej szczegółowo

Mechanika klasyczna opiera się na trzech podstawowych prawach noszących nazwę zasad dynamiki Newtona. Przykładowe sformułowania tych zasad:

Mechanika klasyczna opiera się na trzech podstawowych prawach noszących nazwę zasad dynamiki Newtona. Przykładowe sformułowania tych zasad: III. DYAMIKA 7. Dynamika ruchu postępowego Mechanika klasyczna opiera się na trzech podstawowych prawach noszących nazwę zasad dynamiki ewtona. Przykładowe sformułowania tych zasad: I. Istnieje taki układ

Bardziej szczegółowo

PL B1. POLBUD SPÓŁKA AKCYJNA, Bielsk Podlaski, PL BUP 16/13. BOGUSŁAW GRĄDZKI, Stok, PL WUP 06/16

PL B1. POLBUD SPÓŁKA AKCYJNA, Bielsk Podlaski, PL BUP 16/13. BOGUSŁAW GRĄDZKI, Stok, PL WUP 06/16 PL 221919 B1 RZECZPOSPOLITA POLSKA (12) OPIS PATENTOWY (19) PL (11) 221919 (13) B1 (21) Numer zgłoszenia: 397946 (51) Int.Cl. F03D 3/06 (2006.01) F03D 7/06 (2006.01) Urząd Patentowy Rzeczypospolitej Polskiej

Bardziej szczegółowo

DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI

DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI (Wprowadzenie) Drgania elementów konstrukcji (prętów, wałów, belek) jak i całych konstrukcji należą do ważnych zagadnień dynamiki konstrukcji Przyczyna: nawet niewielkie drgania

Bardziej szczegółowo

R o z w i ą z a n i e Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej P x i P y

R o z w i ą z a n i e Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej P x i P y Przykład 1 Dane są trzy siły: P 1 = 3i + 4j, P 2 = 2i 5j, P 3 = 7i + 3j (składowe sił wyrażone są w niutonach), przecinające się w punkcie A (1, 2). Wyznaczyć wektor wypadkowej i jej wartość oraz kąt α

Bardziej szczegółowo

Rys. 11.11. Przeciągniecie statyczne szybowca

Rys. 11.11. Przeciągniecie statyczne szybowca Cytat z książki: MECHANIKA LOTU SZYBOWCÓW Dr inż. WIESŁAWA ŁANECKA MAKARUK 11.5. LOT NA KRYTYCZNYCH KĄTACH NATARCIA Przeciągnięcie" szybowca. Lot szybowca na ytycznym kącie natarcia i powyżej niego różni

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy. Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił.

Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy. Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił. Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił. Wektor główny układu sił jest równy Moment główny układu wynosi Przykład

Bardziej szczegółowo

Hale o konstrukcji słupowo-ryglowej

Hale o konstrukcji słupowo-ryglowej Hale o konstrukcji słupowo-ryglowej SCHEMATY KONSTRUKCYJNE Elementy konstrukcji hal z transportem podpartym: - prefabrykowane, żelbetowe płyty dachowe zmonolityzowane w sztywne tarcze lub przekrycie lekkie

Bardziej szczegółowo

MiBM sem. III Zakres materiału wykładu z fizyki

MiBM sem. III Zakres materiału wykładu z fizyki MiBM sem. III Zakres materiału wykładu z fizyki 1. Dynamika układów punktów materialnych 2. Elementy mechaniki relatywistycznej 3. Podstawowe prawa elektrodynamiki i magnetyzmu 4. Zasady optyki geometrycznej

Bardziej szczegółowo

Zasada zachowania energii

Zasada zachowania energii Zasada zachowania energii Praca i energia Praca Najprostszy przypadek: Stała siła działa na ciało P powodując jego przesunięcie wzdłuż kierunku działania siły o. Praca jaką wykona przy tym siła W przypadku

Bardziej szczegółowo

(12) OPIS PATENTOWY (19) PL (11) 174940 (13) B1

(12) OPIS PATENTOWY (19) PL (11) 174940 (13) B1 RZECZPOSPOLITA POLSKA (12) OPIS PATENTOWY (19) PL (11) 174940 (13) B1 Urząd Patentowy Rzeczypospolitej Polskiej (21) Numer zgłoszenia: 305007 (22) Data zgłoszenia: 12.09.1994 (51) IntCl6: B25J 9/06 B25J

Bardziej szczegółowo

M2. WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI WAHADŁA OBERBECKA

M2. WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI WAHADŁA OBERBECKA M WYZNACZANE MOMENTU BEZWŁADNOŚC WAHADŁA OBERBECKA opracowała Bożena Janowska-Dmoch Do opisu ruchu obrotowego ciał stosujemy prawa dynamiki ruchu obrotowego, w których występują wielkości takie jak: prędkość

Bardziej szczegółowo

Sztuczny satelita Ziemi. Ruch w polu grawitacyjnym

Sztuczny satelita Ziemi. Ruch w polu grawitacyjnym Sztuczny satelita Ziemi Ruch w polu grawitacyjnym Sztuczny satelita Ziemi Jest to obiekt, któremu na pewnej wysokości nad powierzchnią Ziemi nadano prędkość wystarczającą do uzyskania przez niego ruchu

Bardziej szczegółowo

m Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki):

m Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki): Ruch drgający -. Ruch drgający Ciało jest sprężyste, jeżei odzyskuje pierwotny kształt po ustaniu działania siły, która ten kształt zmieniła. Właściwość sprężystości jest ograniczona, to znaczy, że przy

Bardziej szczegółowo

TEMAT: PARAMETRY PRACY I CHARAKTERYSTYKI SILNIKA TŁOKOWEGO

TEMAT: PARAMETRY PRACY I CHARAKTERYSTYKI SILNIKA TŁOKOWEGO TEMAT: PARAMETRY PRACY I CHARAKTERYSTYKI SILNIKA TŁOKOWEGO Wielkościami liczbowymi charakteryzującymi pracę silnika są parametry pracy silnika do których zalicza się: 1. Średnie ciśnienia obiegu 2. Prędkości

Bardziej szczegółowo

AUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI

AUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI UTORK: ELŻBIET SZUMIŃSK NUCZYCIELK ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTŁCĄCYCH SCHOLSTICUS W ŁODZI ZNNE RÓWNNI PROSTEJ N PŁSZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI SPIS TREŚCI: PROST N PŁSZCZYŻNIE Str 1. Równanie kierunkowe prostej

Bardziej szczegółowo

Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa

Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe 1. Wyprowadzenie równania na ugięcie membrany... 13 2. Sformułowanie zagadnień brzegowych we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych... 15 3. Wybrane zagadnienia

Bardziej szczegółowo

2. Charakterystyki geometryczne przekroju

2. Charakterystyki geometryczne przekroju . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1.. Charakterystyki geometryczne przekroju.1 Podstawowe definicje Z przekrojem pręta związane są trzy wielkości fizyczne nazywane charakterystykami geometrycznymi

Bardziej szczegółowo

Mechanika teoretyczna

Mechanika teoretyczna Inne rodzaje obciążeń Mechanika teoretyczna Obciążenie osiowe rozłożone wzdłuż pręta. Obciążenie pionowe na pręcie ukośnym: intensywność na jednostkę rzutu; intensywność na jednostkę długości pręta. Wykład

Bardziej szczegółowo

Oddziaływanie wirnika

Oddziaływanie wirnika Oddziaływanie wirnika W każdej maszynie prądu stałego, pracującej jako prądnica lub silnik, może wystąpić taki szczególny stan pracy, że prąd wirnika jest równy zeru. Jedynym przepływem jest wówczas przepływ

Bardziej szczegółowo

Zwój nad przewodzącą płytą

Zwój nad przewodzącą płytą Zwój nad przewodzącą płytą Z potencjału A można też wyznaczyć napięcie u0 jakie będzie się indukować w pojedynczym zwoju cewki odbiorczej: gdzie: Φ strumień magnetyczny przenikający powierzchnię, której

Bardziej szczegółowo

Karta (sylabus) modułu/przedmiotu [Mechanika i Budowa Maszyn] Studia drugiego stopnia

Karta (sylabus) modułu/przedmiotu [Mechanika i Budowa Maszyn] Studia drugiego stopnia Karta (sylabus) modułu/przedmiotu [Mechanika i Budowa Maszyn] Studia drugiego stopnia Przedmiot: Drgania lotniczych zespołów napędowych Rodzaj przedmiotu: podstawowy Kod przedmiotu: MBM S 3 5-0_1 Rok:

Bardziej szczegółowo

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 1 4. 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4.1. Elementy trójkątne Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementów

Bardziej szczegółowo

Oddziaływania te mogą być różne i dlatego można podzieli je np. na:

Oddziaływania te mogą być różne i dlatego można podzieli je np. na: DYNAMIKA Oddziaływanie między ciałami można ilościowo opisywać posługując się pojęciem siły. Działanie siły na jakieś ciało przejawia się albo w zmianie stanu ruchu tego ciała (zmianie prędkości), albo

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU 1/5. Wydział Mechaniczny PWR

KARTA PRZEDMIOTU 1/5. Wydział Mechaniczny PWR Wydział Mechaniczny PWR KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Mechanika analityczna Nazwa w języku angielskim: Analytical Mechanics Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Mechanika i Budowa Maszyn Specjalność

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów

Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów Ćwiczenie 63 Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów 63.1. Zasada ćwiczenia W ćwiczeniu określa się współczynnik sprężystości pojedynczych sprężyn i ich układów, mierząc wydłużenie

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

Politechnika Poznańska Instytut Technologii Mechanicznej. Laboratorium MASZYN I URZĄDZEŃ TECHNOLOGICZNYCH. Nr 2

Politechnika Poznańska Instytut Technologii Mechanicznej. Laboratorium MASZYN I URZĄDZEŃ TECHNOLOGICZNYCH. Nr 2 Politechnika Poznańska Instytut Technologii Mechanicznej Laboratorium MASZYN I URZĄDZEŃ TECHNOLOGICZNYCH Nr 2 POMIAR I KASOWANIE LUZU W STOLE OBROTOWYM NC Poznań 2008 1. CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczenia jest

Bardziej szczegółowo

Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze 15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: mechatronika systemów energetycznych Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA METODĄ STRZAŁKI UGIĘCIA

WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA METODĄ STRZAŁKI UGIĘCIA Ćwiczenie 58 WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA METODĄ STRZAŁKI UGIĘCIA 58.1. Wiadomości ogólne Pod działaniem sił zewnętrznych ciała stałe ulegają odkształceniom, czyli zmieniają kształt. Zmianę odległości między

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA do ćwiczenia Wyważanie wirnika maszyny w łożyskach własnych

INSTRUKCJA do ćwiczenia Wyważanie wirnika maszyny w łożyskach własnych ZAKŁAD PODSTAW KONSTRUKCJI I EKSPLOATACJI MASZYN ENERGETYCZNYCH Instytut Maszyn i Urządzeń Energetycznych Politechnika Śląska INSTRUKCJA do ćwiczenia Wyważanie wirnika maszyny w łożyskach własnych Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Ruch drgający i falowy

Ruch drgający i falowy Ruch drgający i falowy 1. Ruch harmoniczny 1.1. Pojęcie ruchu harmonicznego Jednym z najbardziej rozpowszechnionych ruchów w mechanice jest ruch ciała drgającego. Przykładem takiego ruchu może być ruch

Bardziej szczegółowo

Badanie własności aerodynamicznych samochodu

Badanie własności aerodynamicznych samochodu 1 Badanie własności aerodynamicznych samochodu Polonez (Instrukcję opracowano na podstawie ksiąŝki J. Piechny Podstawy aerodynamiki pojazdów, Wyd. Komunikacji i Łączności, Warszawa 000) Cele ćwiczenia

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 5. Energia, praca, moc Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html ENERGIA, PRACA, MOC Siła to wielkość

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego

MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/ daniel.lewandowski@pwr.edu.pl

Bardziej szczegółowo

5.1. Powstawanie i rozchodzenie się fal mechanicznych.

5.1. Powstawanie i rozchodzenie się fal mechanicznych. 5. Fale mechaniczne 5.1. Powstawanie i rozchodzenie się fal mechanicznych. Ruch falowy jest zjawiskiem bardzo rozpowszechnionym w przyrodzie. Spotkałeś się z pewnością w życiu codziennym z takimi pojęciami

Bardziej szczegółowo

Dynamika układów mechanicznych. dr hab. inż. Krzysztof Patan

Dynamika układów mechanicznych. dr hab. inż. Krzysztof Patan Dynamika układów mechanicznych dr hab. inż. Krzysztof Patan Wprowadzenie Modele układów mechanicznych opisują ruch ciał sztywnych obserwowany względem przyjętego układu odniesienia Ruch ciała w przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Zasady i kryteria zaliczenia: Zaliczenie pisemne w formie pytań opisowych, testowych i rachunkowych.

Zasady i kryteria zaliczenia: Zaliczenie pisemne w formie pytań opisowych, testowych i rachunkowych. Jednostka prowadząca: Wydział Techniczny Kierunek studiów: Inżynieria bezpieczeństwa Nazwa przedmiotu: Mechanika techniczna Charakter przedmiotu: podstawowy, obowiązkowy Typ studiów: inżynierskie pierwszego

Bardziej szczegółowo

Ć W I C Z E N I E N R E-15

Ć W I C Z E N I E N R E-15 NSTYTUT FZYK WYDZAŁ NŻYNER PRODUKCJ TECNOLOG MATERAŁÓW POLTECNKA CZĘSTOCOWSKA PRACOWNA ELEKTRYCZNOŚC MAGNETYZMU Ć W C Z E N E N R E-15 WYZNACZANE SKŁADOWEJ POZOMEJ NATĘŻENA POLA MAGNETYCZNEGO ZEM METODĄ

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Położenie punktu w przestrzeni określamy za pomocą trzech liczb (x, y, z). Liczby te odpowiadają rzutom na osie układu współrzędnych: każdy rzut wzdłuż płaszczyzny równoległej

Bardziej szczegółowo

podać przykład wielkości fizycznej, która jest iloczynem wektorowym dwóch wektorów.

podać przykład wielkości fizycznej, która jest iloczynem wektorowym dwóch wektorów. PLAN WYNIKOWY FIZYKA - KLASA TRZECIA TECHNIKUM 1. Ruch postępowy i obrotowy bryły sztywnej Lp. Temat lekcji Treści podstawowe 1 Iloczyn wektorowy dwóch wektorów podać przykład wielkości fizycznej, która

Bardziej szczegółowo

Nieustalony wypływ cieczy ze zbiornika przewodami o różnej średnicy i długości

Nieustalony wypływ cieczy ze zbiornika przewodami o różnej średnicy i długości LABORATORIUM MECHANIKI PŁYNÓW Nieustalony wypływ cieczy ze zbiornika przewodami o różnej średnicy i długości dr inż. Jerzy Wiejacha ZAKŁAD APARATURY PRZEMYSŁOWEJ POLITECHNIKA WARSZAWSKA, WYDZ. BMiP, PŁOCK

Bardziej szczegółowo

AnAlizA zjawiska pierścienia wirowego na wirniku nośnym śmigłowca

AnAlizA zjawiska pierścienia wirowego na wirniku nośnym śmigłowca AnAlizA zjawiska pierścienia wirowego na wirniku nośnym śmigłowca Katarzyna Grzegorczyk Instytut Lotnictwa Streszczenie W pracy przeprowadzono analizę zjawiska pierścienia wirowego na wirniku nośnym śmigłowca,

Bardziej szczegółowo

Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Obowiązkowa znajomość zagadnień Charakterystyka drgań gasnących i niegasnących, ruch harmoniczny. Wahadło fizyczne, długość zredukowana

Bardziej szczegółowo

UKŁADY WIELOCZŁONOWE Z WIĘZAMI JEDNOSTRONNYMI W ZASTOSOWANIU DO MODELOWANIA ZŁOŻONYCH UKŁADÓW MECHANICZNYCH

UKŁADY WIELOCZŁONOWE Z WIĘZAMI JEDNOSTRONNYMI W ZASTOSOWANIU DO MODELOWANIA ZŁOŻONYCH UKŁADÓW MECHANICZNYCH POLITECHNIKA GDAŃSKA KRZYSZTOF LIPIŃSKI UKŁADY WIELOCZŁONOWE Z WIĘZAMI JEDNOSTRONNYMI W ZASTOSOWANIU DO MODELOWANIA ZŁOŻONYCH UKŁADÓW MECHANICZNYCH GDAŃSK 2012 PRZEWODNICZĄCY KOMITETU REDAKCYJNEGO WYDAWNICTWA

Bardziej szczegółowo

Kinematyka. zmiennym(przeprowadza złożone. kalkulatora)

Kinematyka. zmiennym(przeprowadza złożone. kalkulatora) Kinematyka Ocena podaje przykłady zjawisk fizycznych występujących w przyrodzie wyjaśnia, w jaki sposób fizyk zdobywa wiedzę o zjawiskach fizycznych wymienia przyczyny wprowadzenia Międzynarodowego Układu

Bardziej szczegółowo

TRANFORMACJA GALILEUSZA I LORENTZA

TRANFORMACJA GALILEUSZA I LORENTZA TRANFORMACJA GALILEUSZA I LORENTZA Wykład 4 2012/2013, zima 1 Założenia mechaniki klasycznej 1. Przestrzeń jest euklidesowa 2. Przestrzeń jest izotropowa 3. Prawa ruchu Newtona są słuszne w układzie inercjalnym

Bardziej szczegółowo