POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY ENERGETYKI I LOTNICTWA PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA. Marek Cel MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA

Transkrypt

1 POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY ENERGETYKI I LOTNICTWA ZAKŁAD SAMOLOTÓW I ŚMIGŁOWCÓW PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA Marek Cel MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA MODELING AND SIMULATION OF HELICOPTER FLIGHT 98 Mechanika i Budowa Maszyn Lotnictwo Promotor: dr inż. Tomasz Goetzendorf-Grabowski Warszawa, grudzień

2

3 Oświadczenie autora autorów pracy Świadom odpowiedzialności prawnej oświadczam, że przedstawiona praca dyplomowa: została napisana przeze mnie samodzielnie i nie zawiera treści uzyskanych w sposób niezgodny z obowiązującymi przepisami, nie była wcześniej przedmiotem procedur związanych z uzyskaniem tytułu zawodowego lub stopnia naukowego w wyższej uczelni. Oświadczam ponadto, że niniejsza wersja pracy jest identyczna z załączoną wersją elektroniczną.... data... podpis autora autorów pracy SŁOWA KLUCZOWE: lotnictwo, mechanika lotu, mechanika komputerowa, modelowanie symulacyjne, śmigłowce, symulatory

4

5 SPIS TREŚCI SPIS TREŚCI WYKAZ OZNACZEŃ...7 WYKAZ ILUSTRACJI.... WPROWADZENIE..... Rys historyczny rozwoju śmigłowców..... Główne zespoły śmigłowca Podstawowe ruchy łopat wirnika Modelowanie matematyczne...9. MODELOWANIE DYNAMIKI LOTU ŚMIGŁOWCA..... Układy współrzędnych stosowane w analizie dynamiki lotu..... Współrzędne kątowe..... Założenia upraszczające..... Związki kinematyczne Równania ruchu...5. MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO Układy współrzędnych stosowane w analizie wirnika nośnego Poziomy modelowania wirnika nośnego..... Założenia upraszczające..... Teoria strumieniowa Metoda elementu łopaty Składowe prędkości opływu przekroju łopaty Ciąg wirnika Moment oporowy Współczynniki wahań...7 5

6 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA. MODEL SYMULACYJNY ŚMIGŁOWCA Całkowanie numeryczne Wykorzystane narzędzia Struktura oprogramowania ANALIZA WYNIKÓW Opływ przekroju łopaty Kąty wahań łopaty Symulacja manewrów śmigłowcowych PODSUMOWANIE...7 BIBLIOGRAFIA...75 ZAŁĄCZNIK A DANE TECHNICZNE ŚMIGŁOWCA PZL SW ZAŁĄCZNIK B INFORMACJE O PRAWACH AUTORSKICH...78 ZAŁĄCZNIK C STRESZCZENIE...79 ZAŁĄCZNIK D ABSTRACT...8 6

7 WYKAZ OZNACZEŃ WYKAZ OZNACZEŃ a= d CL dα pochodna bezwymiarowego współczynnika siły nośnej względem kąta natarcia [/rad] a,b półosie elipsoidy opisującej kształt Ziemi w układzie WGS- 8 [m] A R =π R pole powierzchni tarczy wirnika [m] B współczynnik strat końcowych łopaty B macierz bezwładności cb cięciwa łopaty wirnika [m] CD bezwymiarowy współczynnik siły oporu CL bezwymiarowy współczynnik siły nośnej CT = T ρ A R ω R R bezwymiarowy współczynnik ciągu wirnika e odległość przegubu wahań od osi wału [m] f spłaszczenie elipsoidy opisującej kształt Ziemi w układzie WGS- 8 =[ F X, F Y, F Z ]T F wektor sił działających na śmigłowiec [N] h wysokość elipsoidalna [m] JB moment bezwładności łopaty wirnika nośnego względem przegubu wahań [kg m] Jb tensor bezwładności śmigłowca względem osi układu samolotowego [kg m] O =[ K X, K Y, K Z ]T K wektor krętu momentu pędu śmigłowca względem początku układu samolotowego [kg m/s] 7

8 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA m masa śmigłowca [kg] O =[ M X, M Y, M Z ]T M wektor momentów sił działających na śmigłowiec względem początku układu samolotowego [N m] NB liczba łopat wirnika P pomocnicza macierz prędkości Q wektor sił i momentów sił działających na śmigłowiec r współrzędna mierzona wzdłuż długości łopaty [m] R promień wirnika [m] { r CG } wektor współrzędnych środka masy śmigłowca [m] s= N B cb πr s=[ u, v, w, p, q, r ] bezwymiarowy współczynnik wypełnienia tarczy wirnika T wektor stanu T S =[ S X, S Y, S Z ] wektor momentów statycznych [kg m] SB moment statyczny łopaty względem przegubu wahań [kg m] T ciąg wirnika [N] =[ u, v, w ]T V wektor prędkości postępowej śmigłowca [m/s] vc, vd prędkość wznoszenia i opadania [m/s] vi prędkość indukowana na tarczy wirnika [m/s] v ih prędkość indukowana na tarczy wirnika w zawisie [m/s] T x= [ x, y, z, ϕ, θ, ψ ] wektor współrzędnych uogólnionych αb kąt natarcia łopaty wirnika [rad] αr kąt natarcia tarczy wirnika [rad] β lokalny/chwilowy kąt wahań łopaty [rad] β kąt stożka wirnika [rad] βc,βs kąty pochylenia i przechylenia tarczy wirnika [rad] βr kąt ślizgu wirnika [rad] 8

9 WYKAZ OZNACZEŃ ρ a c B R γ= JB liczba Locka ε kąt pochylenia wału wirnika dodatni do przodu [rad] θ lokalny/chwilowy kąt skoku łopaty [rad] θ kąt skoku ogólnego łopat wirnika nośnego [rad] θs, θ c podłużny i poprzeczny kąt skoku okresowego wirnika [rad] λ= w cw v i ωr R bezwymiarowa prędkość przepływu przez wirnik λ i= vi ωr R bezwymiarowa prędkość indukowana na tarczy wirnika λ ih = v ih ωr R λ G, ϕg bezwymiarowa prędkość indukowana na tarczy wirnika w zawisie długość i szerokość geodezyjna [rad] u cw ωr R bezwymiarowa prędkość napływu na wirnik μc = vc ωr R bezwymiarowa prędkość wznoszenia μd = vd ωr R bezwymiarowa prędkość opadania μ= =[ Π X, ΠY, ΠZ ]T Π wektor pędu śmigłowca [kg m/s] ρ gęstość powietrza [kg/m] ϕ,θ, ψ kąty Bryanta [rad] χ kąt odchylenie strumienia wirnika nośnego [rad] Ψ kąt azymutu łopaty wirnika [rad] =[ p,q, r ]T Ω wektor prędkości kątowej śmigłowca [rad/s] ωe prędkość kątowa obrotu Ziemi wokół własnej osi [rad/s] ωr prędkość kątowa wału wirnika [rad/s] 9

10 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA Indeksy: c składowa pierwszej harmonicznej przy cosinusie s składowa pierwszej harmonicznej przy sinusie a aerodynamiczny układ współrzędnych b samolotowy układ współrzędnych ang.: body B łopata wirnika nośnego ang.: blade BE element przekrój łopaty wirnika nośnego ang.: blade element ba układ współrzędnych łopaty ang.: blade axes ca płaszczyzna/układ bez przekręceń ang.: control axes cw układ bez przekręceń usytuowany tak, że wektor napływu powietrza ma tylko dwie składowe ang.: control wind CG środek masy ang.: Center of Gravity da płaszczyzna/układ bez wahań ang.: disc axes g grawitacyjny układ współrzędnych G współrzędne geodezyjne i inercjalny układ współrzędnych lub prędkość indukowana l laboratoryjny układ współrzędnych ra układ współrzędnych wirnika ang.: rotor axes rw układ współrzędnych opływu wirnika ang.: rotor-wind R wirnik nośny ang.: rotor RH głowica wirnika nośnego ang. rotor hub Pochodne: u = du dt dβ β= dψ różniczkowanie względem czasu różniczkowanie względem azymutu

11 WYKAZ ILUSTRACJI WYKAZ ILUSTRACJI Ilustracja -: Szkice Leonarda da Vinci... Ilustracja -: Śmigłowiec Paula Cornu... Ilustracja -: Flettner Fl 8... Ilustracja -: Vought-Sikorsky VS-...5 Ilustracja -5: Główne zespoły śmigłowca...6 Ilustracja -6: Kąt azymutu łopaty...7 Ilustracja -7: Głowica wirnika nośnego...8 Ilustracja -8: Stopnie swobody tarczy wirnika...8 Ilustracja -9: Proces modelowania...9 Ilustracja -: World Geodetic System Ilustracja -: Samolotowy układ współrzędnych... Ilustracja -: Kąty Bryanta... Ilustracja -: Układ współrzędnych wirnika...9 Ilustracja -: Płaszczyzny odniesienia wirnika... Ilustracja -: Przepływ przez wirnik w ruchu osiowym... Ilustracja -: Stany pracy wirnika...5 Ilustracja -5: Prędkość indukowana w ruchu osiowym...6 Ilustracja -6: Przepływ przez wirnik w ruchu postępowym...6 Ilustracja -7: Prędkość indukowana w ruchu postępowym...8 Ilustracja -8: Element łopaty wirnika nośnego...9 Ilustracja -9: Składowe kąta natarcia elementu łopaty wirnika...9 Ilustracja -: Składowe prędkości opływu wirnika... Ilustracja -: Siły działające na element łopaty...7 Ilustracja -: Zrzut ekranu interfejsu użytkownika...58 Ilustracja -: Zrzut ekranu wizualizacji stożka wirnika...59 Ilustracja -: Zrzut ekranu oprogramowania FlightGear...59

12 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA Ilustracja -: Diagram klas modelu dynamiki lotu...6 Ilustracja 5-: Składowa opływu przekroju łopaty leżąca w płaszczyźnie tarczy wirnika...6 Ilustracja 5-: Składowa opływu przekroju łopaty prostopadła do płaszczyzny tarczy wirnika...6 Ilustracja 5-: Kąt natarcia przekroju łopaty wirnika...6 Ilustracja 5-: Kąt natarcia przekroju łopaty wirnika...6 Ilustracja 5-5: Kąt natarcia przekroju łopaty wirnika...6 Ilustracja 5-6: Współczynniki wahań łopaty w funkcji prędkości lotu...6 Ilustracja 5-7: Współczynniki wahań łopaty w funkcji prędkości przechylania...65 Ilustracja 5-8: Kąt wahań łopaty w funkcji azymutu...65 Ilustracja 5-9: Współczynniki wahań łopaty w funkcji prędkości lotu model Padfielda...66 Ilustracja 5-: Współczynniki wahań łopaty w funkcji prędkości przechylania model Padfielda 67 Ilustracja 5-: Kąt wahań łopaty w funkcji azymutu model Padfielda...67 Ilustracja 5-: Wysokość lotu śmigłowca podczas wykonywania manewru przeskoku...69 Ilustracja 5-: Współczynnik obciążenia podczas wykonywania manewru przeskoku...69 Ilustracja 5-: Prędkość podłużna śmigłowca podczas wykonywania manewru przeskoku...7 Ilustracja 5-5: Kąt pochylenia śmigłowca podczas wykonywania manewru przeskoku...7 Ilustracja 5-6: Wysokość lotu śmigłowca podczas wykonywania manewru nawrotu...7 Ilustracja 5-7: Współczynnik obciążenia podczas wykonywania manewru nawrotu...7 Ilustracja 5-8: Prędkość podłużna śmigłowca podczas wykonywania manewru nawrotu...7 Ilustracja 5-9: Kąt pochylenia śmigłowca podczas wykonywania manewru nawrotu...7 Ilustracja 5-: Kurs śmigłowca podczas wykonywania manewru nawrotu...7

13 . WPROWADZENIE. WPROWADZENIE.. Rys historyczny rozwoju śmigłowców Idea stworzenia urządzenia zdolnego unieść się pionowo w powietrze, dzięki wykorzystaniu siły aerodynamicznej wytwarzanej przez wirujące elementy, jest bardzo stara i sięga średniowiecza. Prawdopodobnie najbardziej znanym przykładem prac z tego okresu jest, pochodzący z XV wieku, szkic autorstwa Leonarda da Vinci, który uważał że jego maszyna wkręci się w powietrze wykorzystując szybko obracający się wirnik śrubowy. [, ] Ilustracja -: Szkice Leonarda da Vinci W połowie XVIII wieku Michaił Łomonosow prowadził badania nad urządzeniami wykorzystującymi dwa wirniki przeciwbieżne do utrzymywania się w powietrzu. [] Nieco później, bo w 796 roku anglik George Cayley stworzył kilka udanych modeli latających o wirnikach napędzanych elementami sprężystymi, między innymi sprężynami zegarowymi i wielorybim fiszbinem. W 8 roku inny Anglik W. H. Phillips skonstruował ważący około 9 kg model śmigłowca napędzany silnikiem parowym. Inny model napędzany silnikiem parowym skonstruowany został w 878 roku przez profesora inżynierii lądowej Enrico Forlaniniego. []

14 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA listopada 97 roku francuski konstruktor lotniczy Paul Cornu wykonał pierwszy udany lot śmigłowcem własnej konstrukcji. Maszyna Cornu posiadała dwa przeciwbieżne wirniki napędzane konnym silnikiem spalinowym, sterowana była przy pomocy odchylanych powierzchni umieszczonych poniżej wirników. [] Ilustracja -: Śmigłowiec Paula Cornu W roku 9 hiszpański inżynier Juan de la Cierva na potrzeby skonstruowanego przez siebie wiatrakowca C. opracował przełomowe w budowie śmigłowców przegubowe zawieszenie łopat w głowicy wirnika. [, ] Znaczący postęp w budowie śmigłowców został osiągnięty przez konstruktorów niemieckich w latach trzydziestych i czterdziestych XX wieku. Opracowany w 9 roku Focke-Achgelis Fa osiągał prędkość 75 km/h i był w stanie zabrać 7 kg ładunku, wprowadzony został na wyposażenie Luftwaffe. [5] Natomiast śmigłowiec Flettner Fl 8 osiągający prędkość 5 km/h z ładunkiem 6 kg użytkowany był przez Kriegsmarine i Luftwaffe. Zakłady BMW w Monachium otrzymały zlecenie na zbudowanie sztuk maszyn tego typu, rozpoczęcie produkcji nie doszło jednak do skutku ze względu na zniszczenia spowodowane nalotami bombowymi. Ilustracja -: Flettner Fl 8 W latach 99-9 rosyjski konstruktor lotniczy Igor Sikorski opracował śmigłowiec VS-. Projekt zakładał wykorzystanie pojedynczego wirnika nośnego oraz śmigła ogonowego przeciwdziałającego momentowi wytwarzanemu przez wirnik. Kontrolę nad śmigłowcem miał

15 . WPROWADZENIE zapewnić system sterowania ogólnym i okresowym skokiem łopat. Konstrukcja Sikorskiego jest uznawana jako pierwszy współczesny śmigłowiec jednowirnikowy. [5] Ilustracja -: Vought-Sikorsky VS- Do znacznego rozwoju śmigłowców przyczyniło się zastosowanie silników turbinowych. Lepsze parametry i bardziej zwarta konstrukcja, niż w przypadku silników tłokowych, umożliwiła uzyskanie znacznie lepszego stosunku mocy do masy i bardziej efektywne zagospodarowanie wnętrza śmigłowca. [] Rozwój kompozytów polimerowych o zbrojeniu szklanym, węglowym i aramidowym oraz doświadczenie zdobyte przy ich wykorzystaniu w budowie szybowców i samolotów zaowocowały wprowadzeniem ich do konstrukcji wiropłatów. Pomimo wysokiej ceny znaczną rolą w budowie śmigłowców odegrały także stopy na bazie tytanu. Przyczyniło się to do znacznego uproszczenia budowy głowic wirników i poprawienia trwałości konstrukcji. [] Opracowany w 967 roku przez zakłady lotnicze Messerschmitt-Bölkow-Blohm Bo 5 był pierwszym wdrożonym do produkcji śmigłowcem, w którym zastosowano nowy sposób mocowania łopat głowicę o przegubach elastomerowych, dzięki czemu mógł wykonywać figury akrobacji samolotowej, nieosiągalne do tej pory dla śmigłowców. [, 6].. Główne zespoły śmigłowca Do głównych zespołów śmigłowca jednowirnikowego należą: wirnik nośny, śmigło ogonowe, kadłub, zespół napędowy, układ przenoszenia mocy, układ sterowania oraz podwozie. [, 7] Wirnik nośny składa się, przede wszystkim, z łopat przymocowanych do głowicy osadzonej na wale napędowym. Do pozostałych elementów wirnika należą między innymi tłumiki drgań, 5

16 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA ograniczniki ruchów łopat oraz tarcza sterująca i inne elementy układu sterowania umożliwiające zmianę ogólnego i okresowego skoku łopat. Obracający się wirnik nośny wytwarza siłę ciągu przeciwdziałającą ciężarowi i nadającą prędkość postępową śmigłowca. Moment oporowy wytwarzany przez wirnik równoważony jest przez śmigło ogonowe, które wykorzystywane jest także do sterowania odchyleniem. Pomimo tego, że najczęściej spotykane są śmigłowce ze śmigłem ogonowym to stosuje się także inne rozwiązania, należą do nich między innymi fenestron, NOTAR, czy układy z wieloma wirnikami nośnymi obracającymi się w przeciwnych kierunkach. Ilustracja -5: Główne zespoły śmigłowca Pilot do sterowania lotem śmigłowca wykorzystuje: dźwignię skoku ogólnego, której przemieszczenie powoduje jednakową zmianę skoku wszystkich łopat bez względu na ich położenie, drążek skoku okresowego sterujący skokiem zmieniającym się wraz z położeniem azymutem łopaty, pedały sterownicy nożnej służące do zadawania skoku śmigła ogonowego. Jednym z najważniejszych elementów układu sterowania śmigłowca jest tarcza sterująca, która umożliwia zmianę zarówno kąta skoku ogólnego jak i okresowego. Koncepcja tarczy sterującej została opracowana przez rosyjskiego konstruktora Borysa Juriewa. [, ] Napęd wirnika nośnego i śmigła ogonowego zapewnia silnik śmigłowca poprzez wał napędowy oraz odpowiednio przekładnię główną i kątową przekładnię końcową... Podstawowe ruchy łopat wirnika Podstawowym ruchem łopat jest obrót wokół wału wirnika nośnego. Kąt mierzony zgodnie z kierunkiem obrotu wirnika od położenia tylnego nazywany jest azymutem łopaty. 6

17 . WPROWADZENIE Ilustracja -6: Kąt azymutu łopaty Łopaty mają także możliwość ruchu wokół przegubów mocujących je do głowicy wirnika. W najprostszym przypadku głowicy przegubowej są to: przegub osiowy przekręceń umożliwiający obrót łopaty wokół jej osi podłużnej, przegub poziomy wahań umożliwiający ruchy łopaty w górę i w dół, przegub pionowy odchyleń umożliwiający ruch w płaszczyźnie obrotu wirnika. Dzięki zastosowaniu przegubu przekręceń możliwe jest sterowanie skokiem łopat. Przegub wahań zastosowano w celu zmniejszenia dużych naprężeń oraz momentu przechylającego wywołanych asymetrią sił na łopatach nacierających i powracających w locie postępowym. Przegub odchyleń redukuje obciążenia wywołane efektem Coriolisa związanym z wahaniami łopat. [, 7] W nowoczesnych śmigłowcach z głowicami bezprzegubowymi i bezłożyskowymi rolę przegubów pełnią elementy podatne wykonane najczęściej ze stopów tytanu lub materiałów kompozytowych. 7

18 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA Ilustracja -7: Głowica wirnika nośnego Ograniczając rozważania do quasi-stacjonarnych wahań łopat wirnika występujących z częstością jeden na obrót można je przedstawić w postaci: β Ψ =β +βc cos Ψ+βs sin Ψ. gdzie: β kąt stożka wirnika βc współczynnik pierwszej harmonicznej wahań podłużnych przy cosinusie βs współczynnik pierwszej harmonicznej wahań poprzecznych przy sinusie Wahania okresowe można interpretować jako pochylenia i przechylenie tarczy wirnika odpowiednio o kąty βc i βs, co zostało przedstawiono na Ilustracji -8. Ilustracja -8: Stopnie swobody tarczy wirnika Wahania łopat można wymusić poprzez odpowiednie sterowanie kątem przekręceń zależnym od azymutu łopaty, które jest realizowane za pomocą drążka skoku okresowego i tarczy sterującej. Można wykazać, za Stepniewskim [], że kierunek wektora ciągu w stanie ustalonym jest prostopadły do płaszczyzny toru końców łopat. Zakładając, że wahania łopat wirnika występują z częstością jeden na obrót można przyjąć, że wektor ciągu jest obrócony względem wału wirnika o kąty βc i βs. 8

19 . WPROWADZENIE.. Modelowanie matematyczne Pojęcie model odnosi się zarówno do modeli rzeczywistych, będących najczęściej pomniejszonym obiektem np.: do badań w tunelu aerodynamicznym, jak i do modeli abstrakcyjnych np.: fizycznych, matematycznych opisujących dany obiekt, zjawisko lub proces. Natomiast przez modelowanie rozumiany jest całokształt czynności służący do opracowania i weryfikacji modelu. [8, 9] Modelowaniem fizycznym, za K. Sibilskim [8], nazywana jest czynność polegająca na wyodrębnieniu z rozpatrywanego zjawiska istotnych elementów, sprowadzająca się do: ustalenia celu modelowania, praw fizycznych rządzących modelowanym zjawiskiem, jego cech jakościowych i ilościowych oraz charakterystyk sygnałów wejściowych. Proces stworzenia sformalizowanego opisu modelu fizycznego, w postaci układu równań oraz zależności opisujących istniejące ograniczenia, nazywany jest modelowaniem matematycznym. [8, 9] Pod pojęciem modelu symulacyjnego jest rozumiany model matematyczny zapisany w postaci programu komputerowego, natomiast symulacją komputerową nazywane jest wykonanie takiego programu. Ilustracja -9: Proces modelowania Dla zjawisk zależnych od czasu, do których należą zagadnienia dynamiki lotu, wyróżnić można symulacje czasu rzeczywistego, czyli takie, w których czas obliczeń pokrywa się z czasem opisywanego zjawiska. Ważnym aspektem symulacji czasu rzeczywistego jest dostępna moc obliczeniowa, która może wpływać na złożoność modelu matematycznego. 9

20 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA. MODELOWANIE DYNAMIKI LOTU ŚMIGŁOWCA.. Układy współrzędnych stosowane w analizie dynamiki lotu Do analizy i modelowania dynamiki ruchu obiektów latających stosuje się zazwyczaj prostokątne i prawoskrętne układy odniesienia. [8, ] Inercjalny układ współrzędnych Jest to układ współrzędnych względem, którego określana jest pozycja i orientacja przestrzenna opisywanego statku powietrznego. W tej pracy wykorzystano powszechnie stosowany w geodezji i nawigacji układ World Geodetic System 98, przedstawiony na Ilustracji -. Układ współrzędnych WGS-8 opisuje kształt i rozmiar Ziemi za pomocą elipsoidy, o parametrach przedstawionych w Tabeli -, stanowiącej powierzchnię odniesienia do ustalania wysokości tak zwana wysokość elipsoidalna. Ilustracja -: World Geodetic System 98 Początek układu WGS-8 znajduje się w środku masy Ziemi, oś Zi pokrywa się z osią obrotu Ziemi, oś Xi leży w płaszczyźnie równika i skierowana jest w stronę południka, natomiast oś Yi dopełnia prawoskrętny układ współrzędnych. []

21 . MODELOWANIE DYNAMIKI LOTU ŚMIGŁOWCA Parametr Oznaczenie Wartość Jednostka Długość wielkiej półosi elipsoidy a 6787, m Odwrotność spłaszczenia /f 98, Prędkość kątowa Ziemi ωe 795, - rad/s Stała grawitacyjna Ziemi GM 986,8 8 m/s Tabela -: Parametry definiujące układ WGS-8 [] Poniżej przedstawione jest przekształcenie umożliwiające wyznaczenie współrzędnych kartezjańskich układu WGS-8 na podstawie współrzędnych geodezyjnych. e= a b a. χ= e sin ϕg a y = χ +h cos ϕ sin λ. a xi = χ +h cos ϕg cos λ G i G z i= a G e χ +h sin ϕg...5 gdzie: b długość małej półosi elipsoidy h wysokość elipsoidalna λg długość geodezyjna ϕg szerokość geodezyjna Przekształcenie odwrotne ze współrzędnych kartezjańskich WGS-8 na współrzędne geodezyjne wymaga zastosowania metod iteracyjnych. Bezpośrednia metoda piętnastokrokowa została zaproponowana przez Jijie Zhu w []. Należy wspomnieć, że układ WGS-8 nie jest układem inercjalnym, gdyż występują w nim siły pozorne związane, z obrotem Ziemi wokół własnej osi. Pomimo tego, że wpływ tych sił jest niewielki, na potrzeby symulacji dynamiki lotu należy je uwzględnić w równaniach ruchu statku powietrznego. [] W celu uproszczenia zapisu i poprawy czytelności efekty oddziaływań tych sił zostały pominięte. Wartości wyrażane w inercjalnym układzie współrzędnych wyróżniono indeksem i.

22 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA Grawitacyjny układ współrzędnych Grawitacyjny układ współrzędnych porusza się razem z modelowanym obiektem latającym, jego początek pokrywa się z początkiem układu współrzędnych związanego z płatowcem, oś Zg pokrywa się co do kierunku i zwrotu z wektorem przyspieszenia grawitacyjnego, osie Xg i Yg leżą w płaszczyźnie poziomej i skierowane są odpowiednio na północ i wschód. Wartości wyrażane w grawitacyjnym układzie współrzędnych wyróżniono indeksem g. Samolotowy układ współrzędnych Początek układu współrzędnych związany z płatowcem, zwanego także samolotowym, leży w płaszczyźnie symetrii statku powietrznego, w śmigłowcach wygodnie jest przyjąć za początek tego układu punkt przecięcia osi wału wirnika nośnego np. z płaszczyzną montażową kadłuba. Oś Xb samolotowego układu współrzędnych skierowana jest do przodu, oś Zb leży w płaszczyźnie symetrii i skierowana jest w dół, a oś Yb dopełnia prawoskrętny układ współrzędnych. Wartości wyrażane w samolotowym układzie współrzędnych wyróżniono indeksem b. Ilustracja -: Samolotowy układ współrzędnych Aerodynamiczny układ współrzędnych Aerodynamiczny układ współrzędnych związany jest z opływem statku powietrznego, jego początek pokrywa się z początkiem układu związanego z płatowcem, oś Xa posiada kierunek prędkości niezaburzonego napływu powietrza ale przeciwny zwrot, oś Za leży w płaszczyźnie symetrii kadłuba i skierowana jest do dołu, a oś Ya dopełnia prawoskrętny układ współrzędnych. Wartości wyrażane w aerodynamicznym układzie współrzędnych wyróżniono indeksem a.

23 . MODELOWANIE DYNAMIKI LOTU ŚMIGŁOWCA Laboratoryjny układ współrzędnych Laboratoryjny układ współrzędnych jest podobny do aerodynamicznego z tą różnicą, że oś Xl ma zwrot zgodny z prędkością niezaburzonego napływu, oś Zl skierowana jest do góry, a oś Yl posiada niezmieniony kierunek i zwrot. Wartości wyrażane w laboratoryjnym układzie współrzędnych wyróżniono indeksem l... Współrzędne kątowe Do określenia wzajemnego położenia różnych układów odniesienia, wykorzystano quasi-eulerowskie kąty Bryanta, zwane także kątami samolotowymi. [8, 9, ] Dzięki przyjęciu takiej konwencji kąty obrotu z układu grawitacyjnego do samolotowego układu współrzędnych, przedstawione na Ilustracji -, są jednocześnie kątami przechylenia, pochylenia i odchylenia. Kąty obrotów wokół osi X, Y, Z oznaczone są odpowiednio φ, θ, ψ. Ilustracja -: Kąty Bryanta Transformację współrzędnych z układu odniesienia do można przedstawić w postaci: r =T / r + { R O } gdzie: r wektor współrzędnych punktu w układzie r wektor współrzędnych punktu w układzie T / macierz obrotu z układu współrzędnych do.6

24 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA { RO } wektor współrzędnych początku układu wyrażony w układzie Dla znanych kątów Bryanta φ, θ, ψ obrotu z układu współrzędnych do macierz rotacji T/ można przedstawić w postaci: [ ][ ][ cos θ sin θ cos ψ sin ψ T / = cos ϕ sin ϕ sin ψ cos ψ sin ϕ cos ϕ sin θ cos θ ].7 a po przemnożeniu: [ cos θcos ψ cos θ sin ψ sin θ T / = cos ψ sin ϕsin θ cos ϕsin ψ cos ϕ cos ψ+sin ϕ sin θ sin ψ cos θ sin ϕ sin ϕ sin ψ+cos ϕ cos ψsin θ cos ϕ sin θ sin ψ cos ψ sin ϕ cos ϕ cos θ ].8 Dla przekształcenia odwrotnego macierz obrotu jest równa transformowanej macierzy T/ : T / =T T/.9.. Założenia upraszczające W wielu zastosowaniach szczegółowa analiza dynamiki lotu śmigłowców nie jest niezbędna, a czasami wręcz pożądana. Wykorzystanie bardziej dokładnego modelu nie gwarantuje uzyskania bardziej wiarygodnych wyników, a może skomplikować obliczenia i utrudnić interpretację wyników. [] Stosując się do zasady mówiącej, że model matematyczny powinien być tak prosty jak to tylko możliwe [6], przyjęte zostały następujące założenia upraszczające opis dynamiki lotu śmigłowca [6, 8, ]: kadłub śmigłowca jest nieodkształcalny, masa i momenty bezwładności śmigłowca są znanymi funkcjami ilości paliwa, pominięte są zjawiska aerodynamiki nieustalonej, wirnik nośny traktowany jest jak tarcza o trzech stopniach swobody tarcza wirnika posiada możliwość ruchu stożkowego, przechylania oraz pochylania, model wirnika nośnego jest quasi-stacjonarny przyjmuje nowe położenie bez opóźnień, obciążenia aerodynamiczne od wirnika nośnego wyrażone są analitycznie w postaci sił i momentów sił działających na głowicę.

25 . MODELOWANIE DYNAMIKI LOTU ŚMIGŁOWCA.. Związki kinematyczne Do jednoznacznego opisu nieodkształcalnego statku powietrznego w przestrzeni potrzebne są trzy współrzędne liniowe określające jego położenie oraz trzy współrzędne kątowe określające orientację przestrzenną. [8] Wykorzystano do tego współrzędne początku, związanego z płatowcem, układu samolotowego wyrażone w układzie inercjalnym x, y, z oraz kąty Bryanta obrotu z układu inercjalnego do samolotowego φ, θ, ψ. W poruszającym się razem ze statkiem powietrznym układzie samolotowym wyznaczany jest T b= [ p, q, r ]T. W celu wektor chwilowej prędkości liniowej V b =[ u, v, w ] oraz kątowej Ω powiązania wartości prędkości chwilowych wyrażonych w układzie samolotowym z pochodnymi współrzędnych w układzie inercjalnym należy określić związki kinematyczne. Przyjmują one następującą postać dla prędkości liniowej: [][ ][ ] cos θ cos ψ cos ψsin ϕsin θ cos ϕ sin ψ sin ϕ sin ψ+cos ϕ cos ψsin θ u x y = cos θsin ψ cos ϕ cos ψ+sin ϕsin θ sin ψ cos ϕ sin θsin ψ cos ψsin ϕ v z sin θ cos θ sin ϕ cos ϕ cos θ w. oraz dla prędkości kątowej: [][ ][ ] sin ϕ tan θ cos ϕ tan θ ϕ p cos ϕ sin ϕ = θ q sin ϕ cos ϕ ψ r cos θ cos θ. Wyrażenie. posiada punkty osobliwe dla θ = ±9 [8], dlatego dla wartości kąta θ bliskich ±9 stosuje się związki kinematyczne w następującej postaci: [][ ϕ = cos ϕ sin ϕ θ ψ ][ ] p q r..5. Równania ruchu Dynamiczne równania ruchu śmigłowca wyprowadzone zostały w poruszającym się razem ze statkiem powietrznym, samolotowym układzie współrzędnych z wykorzystaniem znanej zasady zmiany pędu oraz krętu: dπ, =F dt O dk Π =M O +V dt 5..

26 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA Przedstawiając prędkość środka masy śmigłowca w postaci: {V CG }b= V b +Ω b { r CG }b.5 b+ Ω b { r CG } b =m V Π b.6 b +m { r CG } V b Ob= J b Ω K b.7 pęd wyrażony jest jako: natomiast kręt [, 5]: gdzie: m masa śmigłowca Jb tensor momentów bezwładności śmigłowca względem osi układu samolotowego { r CG }b współrzędne środka masy śmigłowca wyrażone w układzie samolotowym Oznaczając wektor momentów statycznych jako: T S b=[ S X, S Y, S Z ] =m { r CG }b.8 i podstawiając.8 do wyrażeń.6 i.7 zależności na pęd i kręt przyjmują postać: b b =m V b +Ω Π Sb.9 b+ Ob= J b Ω b K S b V. Korzystając z reprezentacji macierzowej iloczynu wektorowego: [][][ ][ ] [ ][ ] a a b b b a a b a b= a b = a = a b b b a a a b b a a b b. wyrażenia na pęd i kręt przyjmują postać: [ ] [][ S Z S Y ΠX u b = Π =m v + S Z Π SX Y w S Y S X ΠZ [ ][ J X J XY J XZ KX Ob= K = J XY K JY J YZ Y J XZ J YZ JZ KZ ][ ] [ ][ ] p q r S Z S Y p + SZ S X q r S Y S X 6. ][ ] u v w.

27 . MODELOWANIE DYNAMIKI LOTU ŚMIGŁOWCA Zasady zmiany pędu i krętu w układzie samolotowym wyrażone są następująco: b δπ b Π b=f +Ω δt. Ob δk b K b Π b +Ω Ob= M Ob +V δt.5 δ gdzie δ t oznacza pochodną lokalną w układzie nieinercjalnym. [, 5] Podstawiając wyrażenia. i. do równań. i.5 otrzymujemy: [][ ][ ] [ ][ [ ][ ] [ [ ][ [ ][ [ ][ S Z S Y u m v + S Z SX w S Y S X [ S Z S Y r q + r p S Z SX q p S Y S X J X J XY J XZ J XY JY J YZ J XZ J YZ JZ ][ ] r q u p p v + q +m r q p w r.6 ][ ] [ ] FX p = q FY r FZ S Z S Y p S X q + S Z r S Y S X J X J XY J XZ r q + r p J XY JY J YZ q p J XZ J YZ JZ S Z S Y r q + r p SZ S X q p S Y S X S Z S Y w v + w u S Z SX v u S Y S X ][ ] u v + w ][ ] p q + r.7 ][ ] ][ ] [ ] u v + w MX p q = MY r MZ Równania.6 i.7 wygodnie jest zapisać w formie równania macierzowego [8]: B s + P B s=q.8 gdzie: s wektor stanu: s=[ u, v, w, p, q, r ] T Q wektor sił i momentów sił: Q=[ F X, F Y, F Z, M X, M Y, M Z ] 7 T

28 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA B macierz bezwładności: [ m SZ S Y m S Z SX m SY S X B= S Z S Y J X J XY J XZ SZ S X J XY JY J YZ S Y S X J XZ J YZ JZ ].9 P pomocnicza macierz prędkości: [ r q r p q p P= w v r q w u r p v u q p ]. Mnożąc lewostronnie równanie macierzowe.8 przez macierz odwrotną B- można otrzymać postać łatwą do całkowania numerycznego [9]: s =B Q P B s. Przy czym wektor sił i momentów sił Q można przedstawić jako: [ Q= F W + F A+ F P + F G M W + M A+ M P + M G ] gdzie: FW, MW siły i momenty sił grawitacyjnych FA, MA siły i momenty sił aerodynamicznych FP, MP siły i momenty sił od zespołu napędowego w tym od wirujących mas FG, MG siły i momenty sił od podwozia 8.

29 . MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO. MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO.. Układy współrzędnych stosowane w analizie wirnika nośnego Układ współrzędnych wirnika Jest to układ związany z głowicą wirnika, nieruchomy względem kadłuba, o początku w punkcie przecięcia osi wału z płaszczyzną obrotu piasty. Płaszczyzna obrotu piasty jest prostopadła do wału wirnika. Oś Zra pokrywa się z osią wału wirnika i skierowana jest w dół, oś Xra leży w płaszczyźnie obrotu piasty i leży w płaszczyźnie symetrii kadłuba i skierowana jest do przodu, a oś Yra dopełnia prawoskrętny układ współrzędnych. Ilustracja -: Układ współrzędnych wirnika Wartości wyrażane w układzie współrzędnych wirnika wyróżniono indeksem ra. Układ współrzędnych opływu wirnika Jest to układ związany z głowicą wirnika, o początku w punkcie przecięcia osi wału z płaszczyzną obrotu piasty. Płaszczyzna obrotu piasty jest prostopadła do wału wirnika. Oś Zrw pokrywa się z osią wału wirnika i skierowana jest w dół, oś Xrw leży w płaszczyźnie obrotu piasty 9

30 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA i skierowana jest w taki sposób, że wektor prędkości napływu strumienia niezaburzonego ma tylko dwie składowe, a oś Yrw dopełnia prawoskrętny układ współrzędnych: {V }rw=u rw i +wrw k = [ u rw,, wrw ]T. Wartości wyrażane w układzie współrzędnych opływu głowicy wyróżniono indeksem rw. Płaszczyzny odniesienia wirnika W analizie dynamiki wirnika nośnego śmigłowca wygodnie jest stosować układ współrzędnych płaszczyzny toru końców łopat układ bez wahań oraz układ bez przekręceń, w których znacznemu uproszczeniu ulegają wyrażenia na obciążenia pochodzące od wirnika. [6] Płaszczyzny bez wahań i bez przekręceń przedstawiono na Ilustracji -, przyjmując dla uproszczenia, że sterowanie skokiem odbywa się jedynie w kanale podłużnym. Ilustracja -: Płaszczyzny odniesienia wirnika Oś wału zaznaczona jest jako aa' i pokrywa się z osią Zra układu współrzędnych wirnika, oś bb' jest prostopadła do cięciwy łopaty oraz płaszczyzny bez przekręceń, natomiast oś cc' jest prostopadła do płaszczyzny toru końców łopat. Wartości wyrażane w układzie bez wahań wyróżniono indeksem da, natomiast w układzie bez przekręceń indeksem ca. Układ współrzędnych łopaty Jest to układ współrzędnych związany z łopatą, o początku w punkcie przecięcia osi przekręceń z osią wahań. Oś Xba pokrywa się z osią przekręceń i skierowana jest w stronę końca łopaty, oś Yba leży w wybranej płaszczyźnie odniesienia wirnika i skierowana jest w stronę krawędzi natarcia, natomiast oś Zba dopełnia prawoskrętny układ współrzędnych. Wartości wyrażane w układzie współrzędnych głowicy wyróżniono indeksem ba.

31 . MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO.. Poziomy modelowania wirnika nośnego Wymagania odnoszące się do dokładności modelu wirnika nośnego zależą od zastosowania i zazwyczaj klasyfikuje się je według trzech kategorii [6]:. Założenia modelowania poziomu pierwszego: opływ wirnika jest dwuwymiarowy, nieściśliwy i quasi-stacjonarny, obciążenia siły i momenty sił aerodynamiczne są liniowo zależne od kątów natarcia, wszystkie elementy wirnika nośnego traktowane są jako idealnie sztywne, ruch wszystkich elementów wirnika traktowany jest jako quasi-stacjonarny, łopaty wirnika mają możliwość ruchu o trzech stopniach swobody obrót wokół wału wirnika, ruch wokół przegubu wahań oraz ruch wokół przegubu przekręceń lub o sześciu stopniach swobody obrót wokół wału wirnika, ruch wokół przegubu wahań, ruch wokół przegubu przekręceń oraz ruch wokół przegubu odchyleń;. Założenia modelowania poziomu drugiego: niestacjonarny, uproszczony trójwymiarowy opis opływu wirnika uwzględniający lokalne efekty oddziaływania wirów łopat oraz ściśliwość powietrza, obciążenia aerodynamiczne nieliniowo zależne od kątów natarcia, łopaty wirnika modelowane jako ciała odkształcalne o ograniczonej liczbie postaci odkształceń i sześciu stopniach swobody;. Założenia modelowania poziomu trzeciego: niestacjonarny, trójwymiarowy opis opływu wirnika z pełną analizą śladu wirowego, obciążenia aerodynamiczne nieliniowo zależne od kątów natarcia, łopaty wirnika modelowane, z wykorzystaniem metody elementów skończonych, jako ciała odkształcalne i sprężyste. W analizie dynamiki lotu zazwyczaj stosuje się modelowanie poziomu pierwszego, które jest wystarczające do opisania podstawowych cech lotu śmigłowca, dając wyniki różniące się od rzeczywistości nie więcej niż o %. [6] Dla niektórych zagadnień dynamiki lotu niezbędne jest wykorzystanie modelowania poziomu drugiego, natomiast modelowanie poziomu trzeciego stosuje się zazwyczaj w procesie projektowania.

32 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA.. Założenia upraszczające W dalszych rozważaniach przyjęte zostały założenia modelowania poziomu pierwszego oraz dalsze uproszczenia opisu opływu oraz obciążeń pochodzących od wirnika: Pominięte zostały zjawiska związane z oderwaniem opływu na łopatach wirnika, co może skutkować otrzymaniem nierzeczywistych rezultatów w postaci dalszego wzrostu ciągu wirnika poza granicą przeciągnięcia. Efekt ten może wystąpić szczególnie przy dużych prędkościach postępowych śmigłowca, kiedy to kąty natarcia na łopatach powracających bliskie są wartości krytycznej; Przyjęto, że łopaty wirnika mają możliwość ruchu o trzech stopniach swobody; Przyjęty został jednorodny rozkład prędkości indukowanej wzdłuż długości łopaty; Pominięte zostały skutki opływu odwrotnego; Przyjęto, że opływ łopaty jest quasi-stacjonarny i nieściśliwy; Przyjęto, że siła nośna jest funkcją liniową lokalnego kąta natarcia, natomiast opór jest funkcją kwadratową siły nośnej; [6] Przyjęto, że ciąg wirnika jest równy co do wartości wypadkowej sile aerodynamicznej pochodzącej od wirnika i jest prostopadły do płaszczyzny toru końców łopat. [].. Teoria strumieniowa Powyższe założenia spełnia strumieniowa teoria wirnika ang.: Momentum Theory, która umożliwia wyprowadzenie zależności między ciągiem i momentem oporowym wirnika oraz prędkością indukowaną. [6] Według teorii strumieniowej wirnik jest nieskończenie cienką tarczą, na której następuje skokowy przyrost ciśnienia, ciąg jest równomiernie rozłożony na całej powierzchni tej tarczy, natomiast strumień powietrza przepływający przez nią jest jednorodny i wyraźnie rozgraniczony od otoczenia. [6] Zakładając jednorodny rozkład prędkości indukowanej na tarczy wirnika wyrażenia na strumień masy, prędkość zmiany pędu oraz zmianę energii kinetycznej w strumieniu, dla lotu pionowego z prędkością wznoszenia vc, można przedstawić odpowiednio jako [6]: m =ρ A v c =ρ A R v c +vi =ρ A v c +v.

33 . MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO T = m v c +v m v c = m v. T v c +v = m v c +v m v c = m v c v +v. gdzie: A=π R pole przekroju strumienia nad wirnikiem A R =π R pole powierzchni tarczy wirnika A =π R pole przekroju strumienia pod wirnikiem m strumień masy powietrza v c prędkość wznoszenia v i prędkość indukowana na tarczy wirnika v prędkość indukowana w pełni rozwiniętym strumieniu T siła ciągu wirnika Ilustracja -: Przepływ przez wirnik w ruchu osiowym

34 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA Z powyższych zależności wynika, że prędkość indukowana w pełni rozwiniętym strumieniu równa jest podwojonej prędkości indukowanej na tarczy wirnika: v = v i.5 Podstawiając wyrażenia. i.5 do. ciąg wirnika można zapisać jako: T = ρ A R v c +v i v i.6 Dla zawisu zależność na ciąg wirnika redukuje się do postaci: T = ρ A R v ih.7 gdzie vih oznacza prędkość indukowaną przez wirnik w zawisie. Przekształcając wyrażenia.6 i.7 zależności na prędkość indukowaną, odpowiednio w locie ze wznoszeniem i w zawisie, mają postać: v i= T ρ A R v c +v i v ih = T ρ A R.8.9 Oznaczając jako: vi ωr R. λ ih = v ih ωr R. μc = vc ωr R. λ i= oraz wprowadzając pojęcie współczynnika ciągu wirnika: CT = T ρ A R ω R R. wyrażenia.8 i.9 można przedstawić w postaci: λ i= CT μc +λ i λ ih = CT..5

35 . MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO Łatwo zauważyć, że: λ ih =λ i μ c +λi.6 Równanie.6 można sprowadzić do następującej postaci: μ λ i = c + μc +λ ih.7 Zależność na prędkość indukowaną dla opadania z prędkością vd = vc otrzymać można w wyniku analogicznego rozumowania: μ λ i= d μd λ ih.8 Należy jednak zwrócić uwagę, że rozwiązanie.8 ma sens fizyczny jedynie dla stanu, w którym pole przepływu nad wirnikiem jest w pełni rozwinięte, a przepływ odbywa się z dołu do góry Ilustracja -d. [6] Można przyjąć, że taki stan występuje dla prędkości opadania co najmniej dwukrotnie większej od prędkości indukowanej na tarczy wirnika w zawisie. [] Ilustracja -: Stany pracy wirnika 5

36 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA Poza obszarem stosowalności teorii strumieniowej znajdują się takie stany pracy wirnika jak pierścień wirowy Ilustracja -b oraz stan śladu turbulentnego Ilustracja -c, dla których przybliżone wartości prędkości indukowanej uzyskać można za pomocą zależności doświadczalnych Younga [6]: μd λ ih μ λ =λ 7 λ λ i =λ ih + d i ih ih dla μd,5λ ih.9 dla,5 λ ih <μd λ ih. Ilustracja -5: Prędkość indukowana w ruchu osiowym Teoria strumieniowa w locie z prędkością postępową Ilustracja -6: Przepływ przez wirnik w ruchu postępowym Jedna z pierwszych metod wyznaczania prędkości indukowanej przez wirnik w locie z prędkością postępową V została zaproponowana przez Glauerta. [, 6] Przyjmując, że prędkość indukowana w odległym śladzie ma, podobnie jak w przypadku ruchu osiowego, wartość dwukrotnie większą niż na tarczy wirnika, wyrażenie na ciąg można zapisać w postaci [6]: T = m v i = ρ A R V ' v i 6.

37 . MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO Zależność na prędkość indukowaną można więc zapisać jako: v i= T ρ AR V '. gdzie V' jest prędkością wypadkową na wirniku [6, 6]: V ' = V cos α R+ V sin α R v i. u rw =V cos α R. w rw =V sin α R.5 Oznaczając jako: wyrażenie. można przedstawić w postaci: v i= T ρ A R u rw + w rw v i.6 Można zauważyć, że dla vx = rozwiązanie.6 obejmuje także przypadki zawisu oraz ruchu osiowego. [6] Wprowadzając analogiczne jak dla ruchu osiowego oznaczenia bezwymiarowe: λ i= μ x= u rw ωr R vi ωr R, μ z=.7 w rw ωr R.8.9 wyrażenie na prędkość indukowaną można zapisać w postaci: λ i= CT μ x +μ z λ i. Należy zwrócić uwagę, że dla znacznych prędkości postępowych efekt sumowania się prędkości wynikających z obrotu wału wirnika oraz ruchu śmigłowca prowadzi do powstania znacznych niejednorodności w rozkładzie prędkości indukowanej na tarczy wirnika. Do opisu tego zjawiska wykorzystać można model zaproponowany przez Glauerta [6, 6]: v i r, Ψ =v i + r k cos Ψ R. gdzie vi jest średnią prędkością indukowaną na tarczy wirnika określoną zależnością.6. 7

38 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA Współczynnik niejednorodności rozkładu k wyznaczany jest z zależności: k =v i χ χ cot k =v i tan dla χ< π. dla χ> π.. gdzie kąt śladu χ określony jest wyrażeniem: χ=arctan u rw w rw v i Powyższe zależności można zapisać w postaci bezwymiarowej: λ i r, Ψ =λ i + k λ=λ i χ χ cot k λ=λ i tan r k cos Ψ R λ.5 dla χ< π.6 dla χ> π.7 Wyniki obliczeń prędkości indukowanej na tarczy wirnika względem prędkości lotu postępowego przedstawiono na Ilustracji -7. Ilustracja -7: Prędkość indukowana w ruchu postępowym αr = 8

39 . MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO Należy zwrócić uwagę, że teoria strumieniowa w locie z prędkością postępową nie uwzględnia efektu przekroczenia krytycznego kąta natarcia na łopatach powracających związanego z sumowaniem się prędkości wynikającej z ruchu obrotowego wirnika z prędkością napływu powietrza będącą rezultatem ruchu postępowego śmigłowca..5. Metoda elementu łopaty Ilustracja -8: Element łopaty wirnika nośnego W celu wyznaczenia obciążeń aerodynamicznych działających na kolejne segmenty łopaty wirnika nośnego przyjmuje się, że łopata złożona jest z nieskończenie cienkich, niezależnych aerodynamicznie elementów rozlokowanych wzdłuż jej długości. [] Duże wydłużenia łopat uzasadnia stosowanie płaskiego modelu opływu, a spadek siły nośnej na końcu i u nasady łopaty uwzględnić można wykorzystując tak zwany efektywny promień łopaty zazwyczaj mniejszy od promienia wirnika o kilka procent. [, 6, 6] Ilustracja -9: Składowe kąta natarcia elementu łopaty wirnika W większości przypadków wykorzystanie w obliczeniach układu współrzędnych wirnika prowadzi do niepotrzebnych komplikacji ze względu na jednoczesne występowanie zmiennych wraz z azymutem wahań jak i przekręceń. [] W celu uproszczenia zapisu zastosowano układ współrzędnych bez przekręceń, który dodatkowo usytuowany jest w taki sposób, że wektor 9

40 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA prędkości napływającego powietrza ma tylko dwie składowe. Wyznaczone w tym układzie odniesienia siły i momentu są następnie transformowane do samolotowego układu współrzędnych. W dalszych rozważaniach przyjęto, że przepływ jest quasi-stacjonarny i nieściśliwy, siła nośna działająca na element łopaty jest funkcją liniową lokalnego kąta natarcia, natomiast opór jest funkcją kwadratową siły nośnej. [6] Wyrażenia na elementarną siłę nośną oraz opór działające na przekrój łopaty zapisać można odpowiednio w postaci: dl= ρ U r, Ψ C L c B dr.8 dd= ρ U r, Ψ C D c B dr.9 Bezwymiarowe współczynniki siły nośnej i oporu wyrażone są zależnościami: C L=a α BE r, Ψ. C D=δ +δ C T. Kąt natarcia przekroju łopaty można zapisać w postaci: α BE r, Ψ =θ+ϕ r, Ψ. gdzie: ϕ r, Ψ =arctan U P r, Ψ U T r, Ψ..6. Składowe prędkości opływu przekroju łopaty W najbardziej ogólnym przypadku na prędkość opływu łopaty wpływ mają: prędkość obrotowa wału wirnika, ruch postępowy i obrotowy śmigłowca w przestrzeni oraz ruchy łopaty wokół przegubu poziomego i pionowego. W celu uproszczenia zapisu pominięty został wpływ prędkości odchylania łopaty oraz ruchu obrotowego śmigłowca wokół wału wirnika. Aby wyprowadzić wyrażenia na składowe prędkości opływu elementu łopaty, w pierwszej kolejności, należy wyznaczyć prędkość głowicy w układzie współrzędnych wirnika: {V RH }ra =T b/ ra V b +Ω b { r RH }b. ra =T b/ ra Ω b Ω.5

41 . MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO Macierz Tb/ra obrotu z układu samolotowego do układu współrzędnych wirnika ma postać: [ cosε sin ε T b/ ra= sin ε cos ε ].6 gdzie ε to kąt pochylenia osi wału wirnika. Otrzymane prędkości należy następnie wyrazić w układzie bez przekręceń: {V RH }ca=t ra /ca {V RH }ra.7 ca =T ra /ca Ω ra Ω.8 gdzie Tra/ca to macierz obrotu z układu współrzędnych wirnika do układu bez przekręceń, która przyjmuje postać: dla wirnika obracającego się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara: [ ][ cos θs sin θs T ra / ca = cos θc sin θc sin θc cos θc sin θs cos θs ].9 dla wirnika obracającego się zgodnie z ruchem wskazówek zegara: [ ][ cos θs sin θs T ra / ca = cos θc sin θc sin θc cos θc sin θs cos θs ].5 Układ współrzędnych bez przekręceń należy jeszcze obrócić w taki sposób aby wektor prędkości napływającego powietrza miał tylko dwie współrzędne. {V RH }cw=t ca/ cw {V RH }ca.5 cw =T ca/ cw Ω ca Ω.5 W powyższych wyrażeniach macierz obrotu Tca/cw ma postać: [ cosβ R sin β R T ca /cw = sin β R cosβ R ].5 gdzie βr to kąt ślizgu wirnika wyrażony zależnością: β R=arcsin v ca u ca+v ca+w ca.5

42 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA Ilustracja -: Składowe prędkości opływu wirnika Wprowadzając oznaczenia: {V RH }cw=[ ucw,,w cw ]T.55 cw =[ p cw, qcw, ]T Ω.56 oraz przyjmując dodatni zwrot wahań do góry, składowe prędkości opływu elementu łopaty można zapisać jako: dla wirnika obracającego się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara: U T =ω R r cosβ+u cw sin Ψ.57 U P =w cw cos β v i cosβ β r u cw sin β cos Ψ+ p cw r sin Ψ +q cw r cos Ψ.58 dla wirnika obracającego się zgodnie z ruchem wskazówek zegara: U T =ω R r cosβ+u cw sin Ψ.59 U P =w cw cos β v i cosβ β r u cw sin β cos Ψ p cw r sin Ψ +q cw r cos Ψ.6 Zakładając, że dla małych kątów wahań: sin β β.6 cos β.6 powyższe wyrażenia można przedstawić w postaci uproszczonej: dla wirnika obracającego się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara: U T =ω R r +ucw sin Ψ.6 U P =w cw v i β r u cw β cos Ψ+ p cw r sin Ψ +q cw r cos Ψ.6

43 . MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO dla wirnika obracającego się zgodnie z ruchem wskazówek zegara: U T =ω R r +ucw sin Ψ.65 U P =w cw v i β r u cw βcos Ψ p cw r sin Ψ +q cw r cos Ψ.66 Oznaczając jako: u cw ωr R.67 w cw v i ωr R.68 μ= λ= wyrażenia na składowe prędkości opływu elementu łopaty można zapisać w postaci: dla wirnika obracającego się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara: U T =ω R r +μ ω R Rsin Ψ.69 U P =λ ω R R β r μ ω R Rβ cos Ψ + p cw r sin Ψ+qcw r cos Ψ.7 dla wirnika obracającego się zgodnie z ruchem wskazówek zegara: U T =ω R r +μ ω R Rsin Ψ.7 U P =λ ω R R β r μ ω R Rβ cos Ψ p cw r sin Ψ+qcw r cos Ψ.7.7. Ciąg wirnika Zakładając, że dla małych kątów φ: ϕ=arctan UP UP UT U T U U T.7 dt dl zależność na kąt natarcia elementu łopaty można przedstawić w postaci: α BE =θ+.7 UP UT Wyrażenie. przyjmie zatem postać: C L=a θ+ UP UT.77

44 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA Uwzględniając uproszczenia.7,.7 i.75 oraz podstawiając wyrażenie.8 zależność na ciąg wirnika można zapisać jako: U dt ρ a c B U T θ+ P dr UT.78 co po przekształceniu daje: dt ρ a c B θ U T +U P U T dr.79 Całkowity ciąg wytwarzany przez wirnik o Nb łopatach wyznaczany jest poprzez scałkowanie równania różniczkowego.79 najpierw względem azymutu, a następnie wzdłuż rozpiętości łopaty. [] Wyrażenie na ciąg wirnika można zatem przedstawić w następującej postaci: N b π BR dt T= dr d Ψ π dr.8 gdzie B to współczynnik strat końcowych. Po podstawieniu zależności.79 wyrażenie.8 przyjmie postać: π BR π BR UT T = ρ a cb N b θ dr d Ψ + U P U T dr dr d Ψ π dr π.8 Pomijając wpływ prędkości kątowej kadłuba śmigłowca wyrażenia na U T i U P U T można przedstawić w postaci: U T =r ω R + ω R R r μ sin Ψ +μ R ω R sin Ψ.8 U P U T =λ ω R R r β ω R r βμ ωr R r cos Ψ + +λ μ ωr R sin Ψ β μ ωr R r sin Ψ β μ ω R R sin Ψ cos Ψ +.8 Zakładając stałą prędkość obrotową wału oraz wykorzystując wyrażenie. pochodne kąta wahań względem czasu można wyrazić jako pochodne względem kąta azymutu: β = dβ dβ d Ψ = =β ω R =ω R βs cos Ψ βc sin Ψ dt d Ψ dt.8 β = d β d β d Ψ =β ω R = ω R βc cos Ψ+βs sin Ψ = dt dt dψ.85

45 . MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO wyrażenia na U T i U P U T można zapisać jako: U T =r ω R + ω R R r μ sin Ψ +μ R ω R sin Ψ.86 U P U T =λ ωr R r βs ωr r cos Ψ+βc ω R r sin Ψ β μ ωr R r cos Ψ + +λ μ ωr R sin Ψ βs μ ω R R r sin Ψ cos Ψ+βc μ ω R R r sin Ψ β μ ω R R sin Ψ cos Ψ.87 Wiedząc, że: π π sin Ψ d Ψ= π sin Ψ d Ψ= π π π sin Ψ cos Ψ d Ψ= π π cos Ψ d Ψ= π cos Ψ d Ψ = π.88 zależność na ciąg wirnika nośnego przyjmie postać: [ λ B θ βc B T = ρ a cb N b ωr R B + B+ μ + μ ].89 Wykorzystując wyrażenie. współczynnik ciągu dla wirnika obracającego się przeciwnie i zgodnie do ruchu wskazówek zegara przyjmie odpowiednio postać: [ λ B θ βc B CT = a s B + B+ μ + μ ].9 gdzie s to bezwymiarowy współczynnik wypełnienia tarczy wirnika..8. Moment oporowy Wyrażenie na elementarny moment oporowy wirnika można zapisać jako: [, 6] dq=r dd cos ϕ dlsin ϕ dr.9 Przyjmując, że dla małych wartości kąta φ: sin ϕ ϕ.9 cos ϕ.9 oraz zakładając, że współczynnik oporu przekroju łopaty jest stały wzdłuż jej rozpiętości wyrażenie.9 przyjmie postać: [, 6] dq= ρ U T C D c B r dr ρ U T C L c B r ϕ dr 5.9

46 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA Moment pochodzący od oporu profilowego można przedstawić jako: Q p= N b R π ρ U T C D c B r d Ψ dr π.95 Po scałkowaniu wyrażenie.9 przyjmie postać: Q p = ρ N b c B ωr R C D + μ.96 Moment pochodzący od oporu indukowanego można przedstawić jako: N b R π Qi= ρ U T C L c B r ϕ d Ψ dr π.97 Podstawiając zależności.7 i.77 otrzyma się: Qi= R π Nb ρ a c B θ U P U T r +U P r d Ψ dr π.98 Całkując wyrażenie.9 najpierw względem azymutu, a następnie wzdłuż rozpiętości łopaty ostatecznie przyjmie ono postać: [] Qi = ρ a c B N b ωr R [ ].99 ]. λ θ+ λ βc +βs + 8 β + μ βc βs μ λ βc+ μ β βs 8 8 Moment oporowy wirnika można zatem wyrazić jako: [ CD +μ λ θ λ + 8 βc+βs + a Q= ρ a c B N b ω R R β μ βc βs + μ λ βc μβ βs 8 8 a w postaci bezwymiarowej jako: [ CD +μ λ θ λ + βc +βs + a 8 C Q = as β μ βc βs + μ λ βc μβ βs ].

47 . MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO.9. Współczynniki wahań Wahania łopaty można przedstawić w postaci szeregu Fouriera, w którym zmienną niezależną jest kąt azymutu łopaty Ψ: β Ψ =β +βc cos Ψ+βs sin Ψ+βc cos Ψ+βs sin Ψ+βc cos Ψ+βs sin Ψ W analizie dynamiki lotu istotne są obciążenia, które mogą zmienić trajektorię statku powietrznego i którymi pilot lub urządzenie automatyczne w jakiś sposób bezpośrednio steruje. [6] Ponadto z danych pozyskanych w drodze eksperymentu wiadomo, że amplitudy harmonicznych trzeciego i wyższych rzędów są pomijalnie małe. [] Ograniczając rozważenia najwyżej do wahań występujących z częstością jeden na obrót wyrażenie. można uprościć do następującej postaci: β Ψ =β +βc cos Ψ+βs sin Ψ. Ilustracja -: Siły działające na element łopaty Zależności na współczynniki wahań zostały wyprowadzone na podstawie metody przedstawionej przez Mila w [7] z równania równowagi momentów sił działających na łopatę względem przegubu wahań, które można zapisać w postaci: M T +M I +M CF +M C +M W =. W wyrażeniu. MT, MI, MCF, MC i MW oznaczają momenty sił względem przegubu poziomego pochodzące odpowiednio od ciągu, siły bezwładności w ruchu wahań, siły odśrodkowej, siły Coriolisa oraz ciężaru. Momenty od sił bezwładności Zależności na momenty pochodzące od sił bezwładności wyprowadzone zostały przy następujących założeniach: wirnik obraca się wokół osi wału ze stałą prędkością kątową; 7

48 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA łopaty wirnika mają możliwość ruchu wokół przegubu wahań, ruch wokół pozostałych przegubów został pominięty; kadłub śmigłowca wykonuje ruch obrotowy ze stałą prędkością przechylania i pochylania, ruch odchylania został pominięty. Wyrażenie na siłę odśrodkową można zapisać jako: df CF =mb ωr r dr.5 Składowa siły Coriolisa prostopadła do płaszczyzny obrotu przyjmuje postać: dla wirnika obracającego się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara: df C = mb p cw ω R r cos Ψ dr mb qcw ω R r sin Ψ dr.6 dla wirnika obracającego się zgodnie z ruchem wskazówek zegara: df C = m B p cw ωr r cos Ψ dr m B q cw ω R r sin Ψ dr.7 Moment od sił bezwładności w ruchu wahań można przedstawić jako: R M I = β m B r dr.8 Traktując łopatę wirnika jak jednorodny pręt można założyć, że [7]: R m B r dr J B.9 R m B r dr S B. gdzie: JB moment bezwładności łopaty względem przegubu wahań SB moment statyczny łopaty względem przegubu wahań Wykorzystując uproszczenie.9 wyrażenie na moment pochodzący od sił bezwładności w ruchu wahań można przedstawić w postaci: M I = β J B 8.

49 . MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO Uwzględniając uproszczenia.6 i.6 moment pochodzący od siły odśrodkowej można wyrazić jako: R R M CF = β mb ωr r dr= ωr β mb r dr. Korzystając z zależności.9 wyrażenie na moment od siły odśrodkowej można zapisać w postaci: M CF = ωr β J B. Moment pochodzący od sił Coriolisa można zapisać następująco: dla wirnika obracającego się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara: R R M C = mb p cw ω R r cos Ψ dr m B q cw ω R r sin Ψ dr =. = pcw ω R J B cos Ψ q cw ωr J B sin Ψ dla wirnika obracającego się zgodnie z ruchem wskazówek zegara: R R M C = m B p cw ω R r cos Ψ dr mb qcw ω R r sin Ψ dr =.5 = p cw ω R J B cos Ψ q cw ω R J B sin Ψ Korzystając z uproszczenia. moment pochodzący od ciężaru wyrazić można jako: R M W = g m B r dr= g S B.6 Moment od siły ciągu Wykorzystując zależność.79 wyrażenie na moment względem przegubu wahań pochodzący od siły ciągu przyjmie następującą postać: BR BR M T = dt r= ρ a c B θ U T +U P U T dr.7 Równowaga momentów względem przegubu wahań Podstawiając do równania. wyrażenia na momenty sił pochodzące od ciągu, siły bezwładności w ruchu wahań, siły odśrodkowej, siły Coriolisa oraz ciężaru otrzyma się równanie równowagi momentów w następującej postaci: verte 9

50 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA dla wirnika obracającego się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara: BR dt r β J B β ωr J B+ p cw ω R J B cos Ψ q cw ω R J B sin Ψ g S B=.8 BR R J B β J B β ω + dt r = J B qcw ω R sin Ψ J B p cw ω R cos Ψ+ g S B.9 dla wirnika obracającego się zgodnie z ruchem wskazówek zegara: BR dt r β J B β ωr J B p cw ω R J B cos Ψ q cw ω R J B sin Ψ g S B=. BR R J B β J B β ω + dt r = J B qcw ω R sin Ψ+ J B p cw ω R cos Ψ+ g S B. Dzieląc wyrażenia.9 i. stronami przez J B ωr otrzyma się odpowiednio: β+β= BR q cw p cw g SB dt r ω R sin Ψ+ ω R cos Ψ J B ωr J B ωr. β+β= BR q cw p cw g SB dt r ω R sin Ψ ω R cos Ψ J B ωr J B ωr. Wykorzystując zależności na U T i U P U T wyrażenie na moment od siły ciągu dla wirnika obracającego przeciwnie i zgodnie do ruchu wskazówek zegara przyjmie odpowiednio postać: BR BR M T = dt r = ρ a c B θ U T +U P U T r dr = B B θ+ B θμ sin Ψ+ θμ sin Ψ + B B B B p cw + λ β βμ cos Ψ + sin Ψ + ωr = ρ a c B R ω R B B B + λ μ sin Ψ β μ sin Ψ cos Ψ β μ sin Ψ + p q q B cw B cw B cw + μ sin Ψ+ cos Ψ+ μ sin Ψ cos Ψ ωr ωr ωr 5.

51 . MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO BR BR M T = dt r= ρ a c B θu T +U P U T dr = B B θ+ B θμ sin Ψ+ θμ sin Ψ + B B B B p cw + λ β βμ cos Ψ sin Ψ + ωr = ρ a c B R ω R B B B + λ μ sin Ψ βμ sin Ψ cos Ψ β μ sin Ψ + p q q B cw B cw B cw μ sin Ψ+ cos Ψ+ μ sin Ψ cos Ψ ωr ωr ωr.5 Wiedząc, że: sin Ψ cos Ψ= sin Ψ sin Ψ = cos Ψ +cos Ψ cos Ψ = cos Ψ sin Ψ = sin Ψ+sin Ψ cos Ψ cos Ψ sin Ψ sin Ψ =.6 oraz podstawiając zależność. do. i.5 do. otrzyma się odpowiednio: γ B B B B β+ β + μ sin Ψ +β + γ μ cos Ψ+ γ μ sin Ψ = 6 8 B B p cw B B p cw B pcw λ+ sin Ψ+ λ μ sin Ψ + μ μ cos Ψ ωr 6 ωr 6 ωr γ B q cw B q cw B = + + cos Ψ+ μ sin Ψ + θ ωr 6 ωr B B + B θμ sin Ψ+ θμ θμ cos Ψ q p g SB ωcwr sin Ψ+ ωcw cos Ψ R J ω B.7 R γ B B B B β+ β + μ sin Ψ +β + γμ cos Ψ+ γμ sin Ψ = 6 8 B B p cw B B p cw B p cw λ sin Ψ+ λ μ sin Ψ μ+ μ cos Ψ + ωr 6 ωr 6 ωr γ B q cw B q cw B = + + cos Ψ+ μ sin Ψ + θ+ ωr 6 ωr B B + B θμ sin Ψ + θμ θμ cos Ψ q p g SB ωcwr sin Ψ ωcw cos Ψ R J ω B gdzie γ to liczba Locka. 5 R.8

52 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA Wyrażenia.7 i.8 po przekształceniu przyjmą odpowiednio postać: β+β γ B + B μ sin Ψ +β + B γμ cos Ψ+ B γμ sin Ψ = 6 8 = [ ] g SB γ B B p cw B B λ+ μ+ θ+ θμ + ω 6 R J B ω R + [ ] p γ B q cw + ωcw cos Ψ + ω R R [.9 ] ] q cw γ B p cw B + + λ μ+ B θμ ω ω R sin Ψ + R + [ γ B pcw B μ θμ cos Ψ + 6 ωr [ ] γ B q cw + μ sin Ψ 6 ωr γ B B B B β+β + μ sin Ψ +β + γμ cos Ψ + γμ sin Ψ = 6 8 = [ ] g SB γ B B p cw B B λ μ+ θ+ θμ + ω 6 R J B ω R + [ ] p γ B q cw ωcw cos Ψ + ω R R [ ] q cw γ B p cw B + + λ μ+ B θμ ω ω R sin Ψ + R + [ ] γ B p cw B μ θμ cos Ψ + 6 ωr [ ] γ B q cw + μ sin Ψ 6 ωr 5.

53 . MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO Podstawiając zależności na pochodne kąta wahań względem azymutu oraz wykorzystując tożsamości trygonometryczne.6 wyrażenia.9 i. można zapisać jako: B μ B μ +B cos Ψ +βc γ B sin Ψ β+βs γ B B B μ cos Ψ + βs γ μ+β γ μ sin Ψ B B +βc γ μ sin Ψ βs γ μ cos Ψ = 6 6 g SB γ B B pcw B B = λ+ μ+ θ+ θμ + ω 6 R J B ωr +βc γ [ + + ] [ ] pcw γ B q cw B β μ + cos Ψ + ω ω R R [. ] ] q γ B pcw B + λ μ+ B θμ ωcw sin Ψ + ω R R + [ γ B p cw B μ θμ cos Ψ + 6 ωr + [ ] γ B q cw μ sin Ψ 6 ωr B μ B μ β+βs γ +B cos Ψ+βc γ B sin Ψ B B B μ cos Ψ + βs γ μ+β γ μ sin Ψ B B - βs γ μ cos Ψ +βc γ μ sin Ψ = 6 6 g SB γ B B pcw B B = λ μ+ θ+ θμ + 6 ωr J B ωr +βc γ [ ] + [ ] pcw γ B q cw B β μ cos Ψ + ω ω R R [ ] q γ B p cw B + + λ μ+ B θμ ωcw sin Ψ + ω R R + [ ] γ B p cw B μ θμ cos Ψ + 6 ωr + [ ] γ B qcw μ sin Ψ 6 ωr 5.

54 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA Zgodnie z przyjętym założeniem rozważania ograniczają się jedynie do wahań występujących z częstością jeden na obrót, zatem równania. i. uproszczą się odpowiednio do postaci: β+βs γ = B μ B μ +B cos Ψ +βc γ B sin Ψ = 8 8 [ ] g SB γ B B p cw B B λ+ μ+ θ+ θμ + ω 6 R J B ω R [. ] pcw γ B qcw B + β μ + cos Ψ + ω ω R R + [ β+βs γ = ] q γ B pcw B + λ μ+ B θμ ωcw sin Ψ ω R R B μ B μ +B cos Ψ +βc γ B sin Ψ = 8 8 [ ] g SB γ B B p cw B B λ μ+ θ+ θμ + ω 6 R J B ω R [. ] p γ B qcw B + β μ ωcw cos Ψ + ω R R + [ ] q γ B p cw B + λ μ+ B θμ ωcw sin Ψ ω R R Porównując lewe i prawe strony równań. i. wyznaczyć można współczynniki wahań. Ostatecznie przyjmują one następującą postać: dla wirnika obracającego się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara: g SB γ B B p cw B B β = λ+ μ+ θ+ θμ ω 6 R J B ωr βc =μ λ + B θ μ B p q + B ωcw 6 cw R γω R.5 B μ B q p B βs= β μ + B ωcw +6 cw R γ ω R μ μ +B B +B 5.6.7

55 . MODELOWANIE WIRNIKA NOŚNEGO dla wirnika obracającego się zgodnie z ruchem wskazówek zegara: g SB γ B B p cw B B β= λ μ+ θ+ θμ 6 ωr J B ωr βc =μ λ + B θ μ B p q B ωcw +6 cw R γ ωr.8 B μ B q p B βs= β μ + B ωcw 6 cw R γ ω R μ μ + B B +B.9. Należy zwrócić uwagę, że powyższe wyrażenia odnoszą się do współczynników wahań względem płaszczyzny bez przekręceń. 55

56 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA. MODEL SYMULACYJNY ŚMIGŁOWCA Do opracowania modelu symulacyjnego wykorzystane zostały przedstawione w poprzednich częściach równania ruchu śmigłowca oraz model wirnika poziomu pierwszego... Całkowanie numeryczne Wyznaczenia trajektorii statku powietrznego oznacza rozwiązanie zagadnienia początkowego równania różniczkowego w następującej postaci: tk x t k = x t + x dt. t gdzie: T. x= [ x, y, x, ϕ,θ, ψ ] Wektor pochodnych współrzędnych uogólnionych x wyznaczyć można korzystając ze związków kinematycznych. i. wiążących pochodne współrzędnych uogólnionych z wektorem stanu, który natomiast wyznaczany jest poprzez rozwiązanie zagadnienia początkowego następującego równania: tk s t k =s t + s dt. t gdzie pochodna wektora stanu s określona jest zależnością.. Numeryczne rozwiązanie zagadnienia początkowego równania różniczkowego zwyczajnego polega na obliczeniu kolejnych wartości przybliżonych rozwiązania dokładnego dla niektórych wartości zmiennej niezależnej t w przedziale od t do tk wychodząc od znanego warunku początkowego. Do najważniejszych klas metod numerycznych zalicza się liniowe metody wielokrokowe oraz metody Rungego-Kutty. [8] Na potrzeby obliczeń dynamiki lotu śmigłowca w tej pracy wykorzystana została jawna metoda Rungego-Kutty czwartego rzędu. 56

57 . MODEL SYMULACYJNY ŚMIGŁOWCA Metoda Rungego-Kutty Metody Rungego-Kutty są grupą jednokrokowych metod numerycznych rozwiązywania zagadnień początkowych równań różniczkowych zwyczajnych, charakteryzujących się następującymi cechami [8]: pierwszy krok obliczeń nie wymaga żadnych dodatkowych zabiegów; zależności opisujące metodę są bardzo prostej postaci; wykonanie zmiany długości kroku całkowania nie wymaga specjalnych zabiegów. metoda rzędu p wymaga co najmniej p-krotnego obliczenia w jednych kroku funkcji prawych stron równania różniczkowego; zwiększenie rzędu aproksymacji oznacza jednoznacznie wzrost kosztu obliczeń; błąd metody jest trudny do określenia. Metody Rungego-Kutty określa się ogólnie wzorem [8]: m y n+= y n +h w i k i, n=,,,.... k = f t n, y n.5 i= gdzie: i k i = f t n+c i h, y n +h a ij k j j=, i>.6 przy czym: i c i = a ij, i>.7 j= Jedną z najbardziej popularnych metod Rungego-Kutty jest metoda rzędu czwartego, którą opisać można w następujący sposób [8]: y n+= y n + h k + k + k +k 6 verte 57.8

58 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA gdzie: k = f t n, y n.9 k = f t + h, y + h k k = f t n + h, y n+ h k n n k = f t n +h, y n+h k... Wyprowadzenie zależności określających metodę Rungego-Kutty -rzędu rozwiązywania zagadnień początkowych równań różniczkowych zwyczajnych znaleźć można w [8]... Wykorzystane narzędzia Model symulacyjny stworzony został w postaci programu komputerowego napisanego w języku C++ i przeznaczonego dla maszyn o architekturze zgodnej ze standardem IBM PC. Oprogramowanie umożliwia interakcję z człowiekiem poprzez sterowanie symulowanym obiektem, które odbywa się za pomocą joysticka i klawiatury. Zobrazowanie wyników symulacji i sterowanie symulacją odbywa się poprzez graficzny interfejs użytkownika stworzony za pomocą biblioteki Qt. Ilustracja -: Zrzut ekranu interfejsu użytkownika 58

59 . MODEL SYMULACYJNY ŚMIGŁOWCA Oprogramowanie umożliwia także wizualizację w osobnym oknie stożka wirnika nośnego w oparciu o OpenGL otwartą bibliotekę do generowania grafiki trójwymiarowej. Ilustracja -: Zrzut ekranu wizualizacji stożka wirnika Zobrazowanie przyrządów pilotażowych oraz widoku z kokpitu zapewnia oprogramowanie FlightGear, które jest otwartym symulatorem lotu umożliwiającym podłączenie zewnętrznego modelu dynamiki lotu poprzez gniazdo UDP. [9] Ilustracja -: Zrzut ekranu oprogramowania FlightGear 59

60 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA.. Struktura oprogramowania Model dynamiki lotu ma strukturę modułową, której uproszczony schemat został przedstawiony poniżej w postaci diagramu klas UML: Ilustracja -: Diagram klas modelu dynamiki lotu 6

61 5. ANALIZA WYNIKÓW 5. ANALIZA WYNIKÓW 5.. Opływ przekroju łopaty Wyniki obliczeń składowych prędkości opływu oraz kąta natarcia przekroju łopaty dla wirnika obracającego się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara przedstawiono poniżej: Ilustracja 5-: Składowa opływu przekroju łopaty leżąca w płaszczyźnie tarczy wirnika V m/s; αr = 6

62 MODELOWANIE I SYMULACJA LOTU ŚMIGŁOWCA Ilustracja 5-: Składowa opływu przekroju łopaty prostopadła do płaszczyzny tarczy wirnika V m/s; αr = Ilustracja 5-: Kąt natarcia przekroju łopaty wirnika V m/s; αr = 6

63 5. ANALIZA WYNIKÓW Ilustracja 5-: Kąt natarcia przekroju łopaty wirnika V m/s; αr = Ilustracja 5-5: Kąt natarcia przekroju łopaty wirnika V 6 m/s; αr = 6