Badania w zakresie zaawansowanej infrastruktury sieci fotonicznych (COST-291)

Transkrypt

1 Zakład Teletransmisji i Technik Optycznych (Z-14) Badania w zakresie zaawansowanej infrastruktury sieci fotonicznych (COST-91) Etap 1: Badania nowych formatów modulacji w systemach łączności optycznej Praca nr Warszawa, grudzień 008

2 Badania w zakresie zaawansowanej infrastruktury sieci fotonicznych (COST-91) Etap 1: Badania nowych formatów modulacji w systemach łączności optycznej Praca nr Słowa kluczowe (maksimum 5 słów): Kierownik pracy: doc. dr hab. Marian Marciniak Wykonawcy pracy: dr inż. Marek Jaworski spec. Hanna Skrobek mgr inż. Olga Bolszo mgr inż. Mariusz Zdanowicz Kierownik Zakładu: doc. dr hab. Marian Marciniak Copyright by Instytut Łączności, Warszawa 008

3 SPIS TREŚCI 1. Wprowadzenie Kompensacja nieliniowego szumu fazowego SPM dla przypadku granicznego Detekcja PSK Detekcja DPSK Uzyskane wyniki symulacji Nieliniowy szum fazowy indukowany modulacją skrośną XPM Model "pompa-sonda" Kaskadowe połączenie odcinków regeneracyjnych WDM Prawdopodobieństwo błędu dla modulacji DPSK Wpływ szumu fazowego lasera na różnicową detekcję M-DPSK Wpływ wewnątrz-kanałowego mieszania czterofalowego Podsumowanie Badanie efektywnych obliczeniowo metod symulacji propagacji sygnału w światłowodzie... Bibliografia

4 1. Wprowadzenie W sprawozdaniu przedstawiono wyniki prac prowadzonych w ramach Akcji COST 91 "Badania w zakresie zaawansowania infrastruktury sieci fotonicznych", objętych projektem badawczym specjalnym pt."badanie zaawansowanych formatów modulacji optycznej, metod symulacji propagacji sygnału oraz mechanizmów zapewnienia jakości usług w sieciach z grupową komutacją pakietów (OBS), stosowanych w optycznych sieciach telekomunikacyjnych", w zakresie dotyczącym zadania 1 "Badanie wielopoziomowych formatów modulacji optycznej": etap 1: "Opracowanie modeli symulacji formatów modulacji i okreslenie ograniczeń spowodowanych niedoskonałością poszczególnych elementów systemu" etap : "Weryfikacja opracowanych modeli" Całość projektu realizowana jest w okresie Niniejsze sprawozdanie obejmuje rezultaty prac prowadzonych w I i II kwartale 008 roku. Zadanie realizowane jest w ramach grupy roboczej WG1 COST 91 Przetwarzanie optyczne w sieciach cyfrowych ( Optical Processing for Digital Network Performance ). Grupa robocza WG1 COST 91 zajmuje się, między innymi, charakterystykami transmisyjnymi łączy optycznych w sieci WDM.. Kompensacja nieliniowego szumu fazowego SPM dla przypadku granicznego W poprzednim sprawozdaniu [6] (rozdział 3) przedstawiono statystyczne metody szacowania wpływu zniekształceń nieliniowych spowodowanych efektem Kerra w systemach z modulacją fazy. Przedmiotem analizy był system składający się z kaskadowego połączenia odcinków regeneracyjnych, zawierających wzmacniacze optyczne, będące źródłem szumów ASE. Poniżej przedstawiamy rozwinięcie tych metod, umożliwiające oszacowanie skuteczności kompensacji nieliniowego szumu fazowego SPM. W pracy posłużyliśmy się modelem opisanym w [4], rozszerzając jego funkcjonalność na analizę wielostanowych formatów modulacji M-PSK i M-DPSK. Korzystając z opisanego modelu zrealizowano symulator nieliniowego szumu fazowego, indukowanego szumem kaskady wzmacniaczy optycznych, łącznie z modelem układu kompensacji tego nieliniowego szumu. Nieliniowe przesunięcie fazy jest sumą składowych pochodzących od skończonej liczby odcinków regeneracyjnych. Dla bardzo dużej liczby odcinków regeneracyjnych sumowanie można zastąpić całkowaniem [7]. Taki ciągły model, z rozproszonym wzmocnieniem, opisywany jest za pomocą stochastycznego procesu Wienera [1], [4]. Aby uprościć analizę wprowadzana jest normalizacja, gdyż właściwości poszukiwanego rozkładu prawdopodobieństwa nieliniowego przesunięcia fazy zależą tylko od dwóch parametrów: stosunku mocy sygnału do szumu ρ s oraz średniego przesunięcia fazy Φ NL. W rozpatrywanym procesie Wenera stosowana jest jednostkowa amplituda sygnału i jednostkowa wariancja szumu Zależność między zmienną losową Φ, stosowaną w analizie teoretycznej a rzeczywistym nieliniowym przesunięciem fazy Φ NL jest następująca: Φ NL Φ NL = Φ. (1) 1 ρ s + Dla systemów jednokanałowych możliwa jest częściowa kompensacja nieliniowego szumu fazowy spowodowanego samomodulacją fazy (SPM), gdyż wartość średnia szumu fazy Φ NL jest skorelowana z mocą sygnału P N. 4

5 .1 Detekcja PSK Najprostszą metodą kompensacji jest zastosowanie korekcyjnego przesunięcia fazy o wartość proporcjonalną do mocy chwilowej: Φ α =Φ αr =Φ αy, () gdzie Φ α jest odbieraną fazą po korekcji, Y mocą odbieranego sygnału, R jest jego amplitudą pola elektrycznego, oraz α jest współczynnikiem proporcjonalności. Jest to przykład kompensacji liniowej, gdyż występuje tu liniowa zależność między wprowadzaną korekcją fazy a mocą Y. Dokładniejszą kompensację można uzyskać stosując wielomian wyższego rzędu, lepiej dopasowany do korelacji między fazą a amplitudą odbieranego sygnału. Optymalizacja kompensacji liniowej polega na dobraniu wartości współczynnika α. Jako kryterium można przyjąć minimalizację wariancji nieliniowego szumu fazowego po korekcji lub minimalizację stopy błędów. To pierwsze podejście (zwane MMSE Minimum Mean Square Error) jest łatwiejsze do analizy teoretycznej, a jednocześnie daje zadowalające rezultaty w praktyce. Drugie podejście (zwane ML Minimum Likelihood) jest trudne do analizy teoretycznej i w większości przypadków nie znajduje praktycznego zastosowania. Wartość średnia fazy sygnału po korekcji wyznaczana jest jako pochodna funkcji charakterystycznej [4]: d 1 Φ α = j Ψ Φ ( v) = ρs + α( ρs + 1) (3) α dv v= 0 Wariancja fazy sygnału po korekcji wyznaczana jest jako różnica drugiej pochodnej funkcji charakterystycznej i kwadratu średniej [4]: d 1 1 σ Φ = Ψ ( v) s s ( s 1) α Φ Φ α α = ρ + ρ + α + ρ + α. (4) dv v= 0 Minimalną wartość wariancji znajdujemy szukając miejsca zerowego pochodnej wyrażenia (4), dσφ dα = 0 : α 1 1 ρs + 3 αmse = 1 ρs +. (5) Dla dużego odstępu sygnał/szum αmse 1. Dla optymalnie dobranego współczynnika α mse wartość średnia i wariancja nieliniowej fazy po korekcji wynoszą odpowiednio: Φ = α σ mse 1 ρ + ρ + 1 s 3 s 6 1 ρs + 1 ρ + ρ + 1 s s 6 α = mse 1 6 ρs +, (6). (7) W [4] wyznaczono również funkcję charakterystyczną rozkładu prawdopodobieństwa odbieranej skompensowanej fazy, potrzebną do wyznaczenia stopy błędów: m ΦNL m ΦNL Ψ Φ ( m) =Ψ,,,, cm Φ Y Θ α m n 1 1 (8) ρs + ρs + gdzie: 3/ πγv, ω γv, ω γv, ω γv, ω Ψ Φ, Y, Θ ( v, ω, m) =Ψ ( v) exp n Φ γv + Im 1 + Im+ 1 γ v (9) 5

6 jest wspólną funkcją charakterystyczną nieliniowego szumu fazy, amplitudy sygnału i fazy szumu wzmacniacza, oraz: jv γv = ρs, (10) sin jv γ v, ω = ( ) jv ( jv jω tan jv ) sin ( jv ) ( ) sec exp tan ρ, (11) Ψ Φ jν = jν ρ jν jν Prawdopodobieństwo błędnego odebrania sygnału dla detekcji synchronicznej PSK wynosi: gdzie c s s. (1) ( θ) π θ c pe 1 p d π θ Φcm c = θ, (13) ± π θ stanowi progowe wartości fazy, a θ c jest jej wartością średnią, stąd korzystając z rozwinięcia funkcji charakterystycznej ( m) otrzymujemy: gdzie: k = 0 ( 1) k Ψ w szereg Fouriera, Φcm * j( k+ 1) θc { Φ ( 1) } cm 1 pe = R Ψ k+ e, (14) π k + 1 ( k 1) 3/ π r * r k, k, NL rk, r ω ω + Φ ω k, ω Ψ Φ ( k+ 1) = exp r cm k + Ψ Φ I 1 k + Ik+ 1, (15) rk ρs + oraz: ( k + 1) ΦNL j 1 ρs + rk = ρs, (16) ( k + 1) Φ NL sin j 1 ρ s + rk rk, ω =. (17) ( k+ 1) Φ NL ( k+ 1) Φ NL 1+ α j tan j 1 1 ρs + ρ s + Aby kryteria optymalizacji MMSE były spełnione, należy przyjąć α = α oraz Φ θc = Φ RES = Φ ρ s NL 1 + α mse mse. (18) Jeśli zakładamy niezależność nieliniowego szumu fazy i szumu wzmacniaczy, to zależność (18) upraszcza się do postaci: ( 1) k 1 ρ exp s ρs ρs ρs e k + k+ 1 π k = 0 k + 1 p I I. (19) ( k + 1) ΦNL j( k+ 1) Φ RES R ΨΦ e α mse ρs + 1 6

7 Zależność (19) uogólniamy dla dowolnego formatu różnicowej detekcji M-DPSK z M-stanowym kluczowaniem fazy: 1 ρ sin s ρ ( mπ M) s ρs ρs 1 exp I m 1 + I m+ 1 1 M π m= 1 m pe log ( M ), (0) m Φ NL jm Φ RES R ΨΦ e α mse ρs + 1 gdzie M jest liczbą stanów symbolu. Czynnik 1log ( M ) wynika z faktu, że przy kodowaniu Graya błąd symbolu pociąga za sobą przekłamanie tylko jednego z log ( M ) bitów informacji.. Detekcja DPSK Dla detekcji różnicowej DPSK z kompensacją, faza różnicowa wynosi: Φ = Φ t Φ t T = Θ t Φ t Θ t T + Φ t T (1) () ( ) () () ( ) ( ) cm cm cm n RES n RES gdzie T jest czasem trwania bitu. Fazy w momentach t i t T są niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie. Suma dwóch zmiennych losowych posiada funkcję charakterystyczną będącą iloczynem funkcji charakterystycznych tych funkcji, stąd: 1 1 p Φ ( θ) = + ( m) cos( mθ) cm ΨΦ. () cm π π Rozkład prawdopodobieństwa p ( θ ) Φ jest symetryczny względem θ = 0. cm Prawdopodobieństwo błędu obliczane jest z ogólnej zależności: m= 1 π c π ( θ) p = 1 p dθ. (3) e Φcm Przy założeniu niezależności zmiennych losowych można aproksymować zależnością: Θ n i k ( 1) ( k 1) Φ NL prawdopodobieństwo błędu ρs 1 ρse ρs ρs + ΦNL pe Ik + Ik= 1 ΨΦ α mse k = 0 k + 1 ρs + 1. (4) Zależność (4) uogólniamy dla dowolnego formatu różnicowej detekcji M-DPSK z M-stanowym kluczowaniem fazy: p ( mπ M) 1 σ e sin σ σ =, (5) σ s s s s 1 Im 1 + Im 1 1 M m= 1 m e, fl log ( M ) m Φ NL ΨΦ αmse ρs + 1 gdzie M jest liczbą stanów symbolu. Czynnik 1log ( M ) wynika z faktu, że przy kodowaniu Graya błąd symbolu pociąga za sobą przekłamanie tylko jednego z log ( M ) bitów informacji..3 Uzyskane wyniki symulacji Bazując na modelu (37) przedstawionym w sprawozdaniu [6] zrealizowano symulator nieliniowych zniekształceń fazy spowodowanych szumem kaskady wzmacniaczy optycznych, 7

8 w którym generowany jest szum fazowy skorelowany z szumem amplitudowym wzmacniaczy. Dodatkowo wzmacniacze są również źródłem szumu fazowego (liniowego). Tak skonstruowany sygnał poddawany jest detekcji synchronicznej PSK lub różnicowej DPSK. W symulatorze obliczana jest bitowa stopa błędów transmisji bitów (BER) lub symboli (SER). Ze względu na stosowaną metodę Monte-Carlo dolnym pułapem uzyskiwanych wartości jest BER = Wiarygodny wynik na tym poziomie BER uzyskuje się przy 10 7 powtórzeń [5]. Ze względu na stosowane obecnie powszechnie kodowanie z detekcją błędów (kod Reeda-Solomona) przed detekcją blokową, poziom BER = 10-6 jest akceptowalny w praktyce. Działanie symulatora zostało zweryfikowane najpierw dla systemów PSK i DPSK bez korekcji nieliniowości fazy, poprzez porównanie uzyskiwanych charakterystyk BER w funkcji stosunku sygnału do szumu dla różnych mocy sygnału, a co za tym idzie dla różnych wartości nieliniowego szumu fazy, z zależnościami teoretycznymi (68), (70), (7), przedstawionymi w sprawozdaniu [6]. Uzyskano dobrą zgodność teorii z symulacją, zarówno dla detekcji synchronicznej PSK i różnicowej DPSK (rys. 1). Następnie symulator wyposażono w moduł kompensacji liniowej MMSE, w którym wykorzystywane są zależności przedstawione w punkcie.1. Zweryfikowano skuteczność kompensacji, porównując wyniki symulacji z zależnościami teoretycznymi (14) i (19) dla detekcji synchronicznej i (4) dla detekcji DPSK. Uzyskano dobrą zgodność wyników symulacji i teorii (rys. 1). DPSK PSK Rys. 1. Symulowana (punkty) i obliczona teoretycznie zależność stopy błędów transmisji od stosunku sygnału do szumu dla modulacji PSK i DPSK z kompensacją nieliniowych zniekształceń fazy (linia przerywana) i bez kompensacji dla Φ = 1, 4 rad. NL 8

9 W następnym etapie przystosowano symulator do detekcji formatów wielopoziomowych (M-PSK i M-DPSK) i przeprowadzono serię symulacji dla detekcji M-PSK i M-DPSK (dla M =, 4, 8, 16, 3, 64). Mając materiał do porównań zmodyfikowano zależności (19) i (4), określające BER dla detekcji PSK i DPSK, uogólniając je dla dowolnego M (0) i (5). Dla modulacji PSK jest to stosunkowo proste, gdyż wykorzystać można symetryczność konstelacji kodowej względem środka układu współrzędnych. Wszystkie punkty kodowe mają w tym przypadku identyczne własności szumowe. Uzyskane wyniki potwierdzają słuszność przyjętych założeń teoretycznych. W tym miejscu pojawił się jednak problem ze zbieżnością obliczeń nieskończonego szeregu w wyrażeniach (14), (19), (0), (4), (5). Stosowane jest tu sumowanie na przemian dodatnich i ujemnych wartości zmodyfikowanej funkcji Bessela pierwszego rodzaju i kolejnych rzędów. Utworzona w ten sposób suma powinna mieć wartość nieznacznie mniejszą niż 1 1 M, gdyż obliczana stopa błędów jest właśnie różnicą między tą wartością a 1 1 M. Taka metoda wyznaczania stopy błędu powoduje, że: po pierwsze, uzyskiwane wartości w optymalnych warunkach dla małego ρ s, są dokładne co najwyżej do poziomu BER = 10-1, a po drugie dla dużych wartości ρ s nie uzyskuje się w ogóle zbieżności obliczeń, ze względu na przekroczenie zakresu liczb podwójnej precyzji w procesorze. Sprowadzono do tej pory implementację zmodyfikowanej funkcji Bessela pierwszego rodzaju w dostępnych programach obliczeniowych: LabView, Mathematica i Matlab, nie uzyskując zadowalającego rezultatu. Konieczna jest w tym przypadku dokładniejsza analiza przyczyn braku stabilności obliczeń i zastosowanie odpowiedniego algorytmu []. W symulatorze zastosowano z konieczności skończoną liczbę N A wzmacniaczy będących źródłem szumu, podczas gdy w analizie teoretycznej znacznie łatwiej posługiwać się modelem granicznym (ciągłym), w którym szumy rozłożone są w sposób ciągły wzdłuż linii transmisyjnej odpowiada to, innymi słowy, nieskończonej liczbie wzmacniaczy [3]. Zbadano jaka jest wystarczająca liczba wzmacniaczy (źródeł szumu) by błąd symulacji był pomijalnie mały. Okazuje się, że już dla N A = 3 różnica jest praktycznie niezauważalna (ginie w szumach metody), dlatego wszystkie symulacje przeprowadzano dla takiej właśnie liczby wzmacniaczy. Uzyskiwany zasięg transmisji zależy głównie od właściwości szumowych wzmacniaczy. Zależność między współczynnikiem szumów wzmacniacza F E a współczynnikiem inwersji G 1 n sp jest następująca: E FE = nsp nsp, gdzie G E >> 1 jest wzmocnieniem. Typowa G E wartość współczynnika inwersji wynosi n sp = 1, 41, co odpowiada współczynnikowi szumów F E = 4,5dB. Całkowita moc szumów dla linii o długości L, tłumienności α = 0,5 db/km i paśmie optycznego kanału vopt = 4,7 GHz, wynosi: σ ν sp optα = h n v L. (6) Dla takiego ciągłego modelu wartość średnia nieliniowego przesunięcia fazy wynosi Φ = Pγ L, (7) NL gdzie P jest mocą sygnału oraz γ = 1, 1/(W km) jest współczynnikiem nieliniowości. Dla wyżej określonych danych wejściowych przeprowadzono symulację mającą na celu określenie maksymalnego zasięgu transmisji dla systemów M-PSK i M-DPSK (dla M =, 4, 8, 16, 3, 64) z kompensacją dyspersji, a równocześnie optymalnej mocy sygnału. W tym celu wstępnie dobrano długości linii, zakładając, ze dwukrotny wzrost przepływności 9

10 powoduje również dwukrotne zmniejszenie zasięgu. Dla każdego przypadku symulację przeprowadzano wielokrotnie, zmieniając moc sygnału. Wyniki dla modulacji M-PSK przedstawiono na rys.. -log(ber) M= Moc kanału [dbm] Rys.. Optymalizacja mocy dla formatu M-PSK (L = km). Z wykresu wynika, że przyjęte założenie było słuszne, o czym świadczy minimalna stopa błędów SER (rzędu 4, ), praktycznie taka sama dla wszystkich przypadków. Podobne symulacje przeprowadzono dla systemu M-DPSK (dla M =, 4, 8, 16, 3, 64) z kompensacją dyspersji. -log(ber) M= Moc kanału [dbm] Rys. 3. Optymalizacja mocy dla formatu M-PSK (L = km). W celu zwiększenia dokładności wyznaczenia optymalnej mocy, symulację powtórzono ze zmniejszonym do 0,5 db krokiem zmian mocy i nieznacznie większym szumem, co związane jest z wydłużeniem o 10% długości linii. 10

11 -log(ber) M= Moc kanału [dbm] Rys. 4. Optymalizacja mocy dla formatu M-PSK (L = km). Stopa błędów BER jest dla modulacji wielopoziomowej mniejsza niż SER, gdyż przy kodowaniu Graya obowiązuje zależność: SER BER =. (8) log ( M ) Na rys. 5 przedstawiono maksymalne zasięgi transmisji dla systemów M-PSK i M-DPSK wynikające z symulacji, skorygowane o zależność (8) dla stopy błędów SER = 4, Zasięg [km] Przepływność bitowa [GHz] Rys. 5. Maksymalny zasięg transmisji dla systemów M-PSK i M-DPSK w zależności od przepływności bitowej dla systemu 40 Gsymb/s (SER = 4,5 10-5). Ze zmniejszaniem się zasięgu rośnie optymalna moc z -9 dbm dla systemu -PSK do 4 dbm dla systemu 64-PSK, oraz z -8 dbm dla systemu -DPSK do 6 dbm dla systemu 64-DPSK. Odpowiednią charakterystykę zmian mocy przedstawiono na rys

12 Moc [dbm] Przepływność bitowa [GHz] Rys. 6. Optymalna moc kanału dla systemów M-PSK i M-DPSK w zależności od przepływności bitowej dla systemu 40 Gsymb/s (SER = 4,5 10-5). 3. Nieliniowy szum fazowy indukowany modulacją skrośną XPM W systemach wielokanałowych (WDM) występuje zjawisko skrośnej modulacji fazy (XPM Cross-Phase Modulation). Polega ono na fluktuacji fazy w danym kanale spowodowanej fluktuacją mocy w sąsiednich kanałach. Zniekształcenie to ma swoje źródło w nieliniowości Kerra. Systemy z kluczowaniem fazy (bezpośrednim M-PSK i różnicowym M-DPSK) cechują się stałą amplitudą sygnału (dla formatu modulacji NRZ), dlatego przesunięcie fazy ma stałą wartość i nie wpływa na pogorszenie jakości transmisji. W technice światłowodowej jest to podstawowa przewaga modulacji czysto fazowej nad modulacją amplitudowo-fazową QAM. W modulacji QAM amplituda poszczególnych bitów jest różna (np. dla modulacji 16-QAM wyróżnić można 3 poziomy mocy) i przypadkowe sekwencje bitów przesyłanych w kanałach sąsiednich powodują przypadkowe zmiany fazy w danym kanale jest to główna przyczyna niestosowania modulacji QAM w systemach WDM. Chociaż systemy PSK są pozbawione tej wady to występuje w tym przypadku efekt drugiego rzędu, a mianowicie szum fazowy spowodowany szumem amplitudowym tzw. efekt Gordona-Mollenauera. W transmisji jednokanałowej spowodowane jest to samomodulacją fazy (SPM Self-Phase Modulation), a w przypadku systemów WDM szum fazowy jest zwiększony w wyniku występowania modulacji skrośnej XPM. Poziom tego szumu rośnie bardzo szybko przy kaskadowym połączeniu odcinków regeneracyjnych, jeśli występuje w nich całkowita kompensacja dyspersji szumy sumują się wtedy koherentnie i stają się wielokrotnie większe od szumów indukowanych przez SPM. W światłowodzie na skutek dyspersji chromatycznej impulsy w poszczególnych kanałach WDM propagują z różną prędkością. Różnica prędkości (walk-off) jest proporcjonalna do współczynnika dyspersji D i odległości kanałów λ, stąd parametr walk-off wynosi d1 = D λ. Istotnym czynnikiem wpływającym na siłę występowania nieliniowego szumu fazowego XPM jest długość drogi przenikania impulsów L = d1 T, jest ona tym krótsza W 1

13 im krótszy impuls. Jak pokażemy dalej siła oddziaływania modulacji skrośnej jest odwrotnie proporcjonalna do L W. Oznacza to, że systemy o większej przepływności (np. 40 Gbit/s) są bardziej odporne na nieliniowy szum XPM niż systemy 10 Gbit/s. 3.1 Model "pompa-sonda" Do obliczenia wariancji nieliniowego szumu XPM stosowany jest dwukanałowy model "pompa-sonda" [9], w którym kanał o znacznie większej mocy (pompujący) oddziałuje na kanał o mocy na tyle małej (sondujący), że nie mającej wpływu na kanał pompujący. Przy takim założeniu nieliniowe przesunięcie fazy w kanale pierwszym (sondującym) wynosi: L Φ ( ) ( ) NL = γ E 0 1 z E z + dz, (9) gdzie E 1 oraz E oznaczają pole elektryczne w kanale sondującym i pompującym. Jeśli prędkości propagacji dla obu kanałów są identyczne (brak dyspersji) to wpływ pompy jest dwukrotnie większy niż SPM sondy. W światłowodzie z dyspersją składnik XPM jest wielkością uśrednianą w czasie (lub na drodze propagacji): (, ) = γ L ( 0, + ) L t P t d z e α z φ dz 1, XPM 0 1, (30) gdzie P ( z, t ) jest mocą kanału w funkcji położenia z i czasu t, γ jest współczynnikiem nieliniowości światłowodu oraz α i L odpowiednio jego tłumiennością i długością. Zakłada P z, t = P 0, t z v propaguje bez zniekształceń z się, że moc chwilowa w kanale ( ) ( ) prędkością v. Efekt przenikania przez siebie impulsów uwzględniony jest w parametrze d 1. Przy założeniu, że gęstość widmowa mocy kanału wynosi Φ P ( f ), gęstość widmowa fazy w kanale 1 wyznaczana jest jako transformata Fouriera funkcji autokorelacji: L z j fd z H1 f e dz 0 α + π 1 gdzie ( ) ( f ) ( f ) H ( f ) 1 P =, a po scałkowaniu: φ 1 Φ =Φ, (31) ( α+ π ) j fd1 L 1 e H1 ( f ) = γ. (3) α j π fd1 W odbiorniku DPSK po asymetrycznym interferometrze Macha-Zehndera różnicowy φ L, t = φ L, t φ L, t T jest sumowany z nieliniowy szum fazowy ( ) ( ) ( ) 1, XPM 1, XPM 1, XPM różnicową fazą sygnału, gdzie T jest czasem trwania symbolu kodowego. Rozkład gęstości widmowej tego szumu ma postać: φ ( f ) 4 ( ) ( ) ( ) 1 P f H 1 f sin π ft W przypadku, gdy moc pompy zawiera szum to P ( 0, t) E N Φ = Φ. (33) = +, gdzie E i N są polem elektrycznym odpowiednio sygnału i szumu. * * Moc P( 0, t) = E + EN + EN + N zawiera: składową stałą E powodującą powstanie stałego przesunięcia fazowego składnik ten nie jest źródłem szumu, składową * * zdudnienia sygnału i szumu EN + EN o gęstości widmowej E S jest to sp dominujący składnik szumu, oraz N o gęstości widmowej S sp v opt, gdzie S sp i vopt jest odpowiednio gęstością widmową i pasmem optycznym szumu wzmacniacza. Stosunek 13

14 optycznego sygnału do szumu wynosi SNRO E ( Ssp vopt ) = >> 1, stąd składnik S sp v opt jest pomijalnie mały. Dla wejściowej mocy P 0 i szumu pojedynczego wzmacniacza optycznego o mocy S sp,1 gęstość widmowa mocy kanału Φ f = PS + S v σ P nie zależy od częstotliwości. ( ) P 0 sp,1 sp,1 opt n 0 Dla systemu NRZ (Non Return to Zero) E jest składową stałą i nie wnosi szumu, a jedynie stałe przesunięcie fazy. Dla częściej stosowanej modulacji (RZ)-DPSK E jest okresową funkcją czasu o okresie T i jej rozkład spektralny mocy zawiera prążki widma o częstotliwościach kt, gdzie k jest liczbą całkowitą. Różnicowa charakterystyka przejściowa 4sin ( ft ) π tłumi prążki spektralne o częstotliwościach kt i w rezultacie niweluje przesunięcie fazy dla modulacji RZ. Ponadto jeśli impulsy RZ ulegną poszerzeniu na skutek występowania dyspersji, również i w tym przypadku przesunięcie fazy jest eliminowane, pod warunkiem, że jest to zjawisko liniowe tzn. zachodzenie na siebie impulsów nie powoduje dodatkowych zniekształceń nieliniowych. Wariancja fazy w funkcji różnicy częstotliwości (lub długości fali) między kanałami wynosi: 1 T ( ) 4 ( ) sin ( ) σ λ = Φ H f π ft df, (34) XPM,0 P 1 T 1 gdzie zakres całkowania został zredukowany z ± do, ± 1 T przez wzięcie pod uwagę szumu fazy tylko w paśmie ograniczonym przepływnością kanału. Wariancja szumu fazy indukowanego przez SPM może być wyznaczona z (34), przyjmując λ = 0 : 1 8σγ n PL 0 eff σspm = σ XPM,0 ( 0) =, (35) 4 T L gdzie Leff = ( 1 e α ) α jest efektywną nieliniową długością odcinka regeneracyjnego. Czynnik 1/4 wynika z dwukrotnie silniejszego oddziaływania efektu XPM w porównaniu z SPM. Dla długiego odcinka L >> 1 α i dużej wartości współczynnika d 1 stosunek wariancji szumu fazy indukowanych przez XPM i SPM wynosi: σ XPM,0 ( λ) 1 T sin ( π ft ) = 8α T df 0 σ α + π fd SPM = 8α T sin ( π ft ) ( π fd ) ( ) 1 0 α + 1 df (36) W α L 1 W e α ( ) =, gdzie LW = d1 T jest długością drogi przenikania impulsów, tzn. długością drogi propagacji, na której dwa impulsy o czasie trwania T i prędkości względnej d 1 przenikną całkowicie przez siebie. Z powyższej zależności widać, że wartość wariancji nieliniowego szumu fazowego XPM zależna jest jedynie od parametru L. W Pewnej dyskusji w tym miejscu wymaga wpływ dyspersji chromatycznej. W powyższym modelu założono, że impulsy w kanale pompy propagują bez zniekształceń. Konsekwencją dyspersji chromatycznej w systemach WDM są dwa efekty: rozszerzanie impulsów (efekt wewnątrz-kanałowy) i przenikanie z impulsami z sąsiednich kanałów (efekt zewnątrzkanałowy zwany walk-off). Ze względu na fakt, że odległość między kanałami jest zawsze 14

15 większa niż pasmo kanału, różnice prędkości propagacji są większe w przypadku efektu zewnątrz-kanałowego, a więc uwzględnienie efektu walk-off jest w tym przypadku wystarczające. 3. Kaskadowe połączenie odcinków regeneracyjnych WDM W (M+1) kanałowym systemie WDM wariancja nieliniowego szumu XPM w najbardziej zaszumionym, centralnym kanale, po jednym odcinku wynosi: M XPM,1,0 k = 1 XPM ( k ), (37) σ = σ λ gdzie λ jest odległością pomiędzy sąsiednimi kanałami. Dla kanałów odległych o k λ oddziaływanie jest k słabsze niż dla odległości λ. Stąd, dla bardzo dużej liczby kanałów, korzystając z zależności: 1 π = (38) k 1 k 6 otrzymamy σ XPM,1 π lim α L L ( 1 W W e α ). (39) M σ SPM 3 Dla systemu z N A odcinkami, zakumulowana wariancja nieliniowego szumu fazy XPM zależy od przyjętego modelu kompensacji dyspersji. Analogicznie do (34) możemy zapisać, że: ( κ) ( κ) sin N Aπ f 1 d1l Φ N, ( f ) 4 ( ) ( ) ( ) 1 1 sin A φ = ΦP f H f π ft, (40) sin π f 1 d1l gdzie κ jest współczynnikiem kompensacji dyspersji chromatycznej odcinka regeneracyjnego, tzn. κ = 1 dla idealnej (100%) kompensacji oraz κ = 0 przy braku kompensacji. Zależność (40) opisuje kaskadowe połączenie N A identycznych odcinków. Dla najgorszego przypadku idealnej kompensacji wariancja szumu rośnie N A -krotnie po N A odcinkach i ostatecznie wynosi: ( N 1) σ = N σ + σ + + σ, (41) XPM,max A XPM,1 A XPM, XPM, N A gdzie σ XPM,1 oznacza nieliniową fazę indukowaną w pierwszym odcinku regeneracyjnym, itp. Z powodu idealnej kompensacji dyspersji szum z pierwszego wzmacniacza jest powielony we wszystkich pozostałych odcinkach, szum drugiego wzmacniacza jest powielony ( N A 1) krotnie, itp. Maksymalna wariancja tak powstałego szumu wynosi: 1 σ XPM,max = NA ( NA 1)( NA + 1) σ XPM,1, (4) 6 przy założeniu, że wszystkie wzmacniacze mają identyczne szumy. Dla rozpatrywanego przypadku idealnej kompensacji dyspersji stosunek szumu indukowanego przez XPM i SPM (39) pozostaje stały, niezależnie od liczby odcinków regeneracyjnych. Jeżeli współczynniki kompensacji κ są dobrane losowo to szum pochodzący z poszczególnych wzmacniaczy nie jest skorelowany i wtedy: lub dla identycznych wzmacniaczy: ( N 1) σ = N σ + σ + + σ (43) XPM, ind A XPM,1 A XPM, XPM, N A 15

16 1 σxpm, ind = NA ( NA 1) σxpm,1 (44) i wtedy stosunek wartości maksymalnej wariancji do typowej wartości szumu fazowego indukowanego przez XPM: σ XPM,max 1 = ( N A + 1 ). (45) σ XPM, ind 3 Dalsza redukcja wpływu XPM jest możliwa poprzez odpowiednie dobieranie parametru kompensacji dyspersjiκ, tak by charakterystyka przejściowa sin NAπ f ( 1 κ) d1l (46) sin π f ( 1 κ) d1l miała maksima na częstotliwościach odpowiadających minimom funkcji sin ( ft ) Dla krótkiej drogi przenikania L W π. << L optymalny okazuje się współczynnik W κ = 1 L. (48) L Na rys. 7 przedstawiono zależność stosunku σ XPM σ SMP od długości drogi przenikania L W dla nieskończonej liczby kanałów oraz maksymalnej i typowej wartości szumu fazowego indukowanego przez XPM. σxpm/σspm maksymalna N ch = typowa N ch = Długość drogi przenikania impulsów (walk-off) [km] Rys. 7. Stosunek σ XPM /σ SPM w zależności od długości drogi przenikania impulsów. Dla typowego przypadku systemu o przepływności 10 Gbit/s i odstępie 50 GHz oraz światłowodu z niezerową przesuniętą dyspersją (NZDSF) D = 4ps ( nm km) droga przenikania wynosi 6,5 km. Natomiast dla systemu o przepływności 40 Gbit/s i odstępie 100 Gbit/s L W = 7,8 km. Z rezultatów przedstawionych na wykresie można wyciągnąć wniosek, że przy prawidłowym zaprojektowaniu traktu WDM nieliniowy szum fazowy indukowany przez XPM może być w większości przypadków skutecznie wyeliminowany i 16

17 dominującym szumem fazowym pozostaje indukowany przez SPM, tak jak w systemie jednokanałowym. Wariancja szumu indukowanego przez SPM wynosi: 4 Φ NL σ SPM, (49) 3ρs gdzie ρ s jest stosunkiem sygnału do szumu dla jednej polaryzacji. Korzystając z (39) i (49) można wyznaczyć wariancję nieliniowego szumu fazy indukowanego przez XPM. 3.3 Prawdopodobieństwo błędu dla modulacji DPSK k ( 1) ( k 1) σ s 1 σse σs σs + ΦNL espm, = k + k+ 1 ΨΦ k = 0 k + 1 σ s + 1 p I I (50) Przy sumowaniu wielu niezależnych szumów fazowych pochodzących z różnych źródeł, współczynnikami rozwinięcia Fouriera sumy szumów są iloczyny odpowiednich współczynników pochodzących od poszczególnych źródeł. Powstaje w ten sposób składowa szumu fazowego o rozkładzie Gaussa (ostatni czynnik w poniższym wzorze): σ k s 1 σ ( 1 se ) σs σs pexpm, = Ik + Ik+ 1 k = 0 k + 1 (51) ( k + 1) ΦNL k + 1 ΨΦ exp σ XPM σ s + 1 Szum fazowy indukowany przez XPM powstaje w wyniku oddziaływania wielu kanałów WDM, dlatego obowiązuje w tym przypadku centralne twierdzenie graniczne [1]. Jeśli droga przenikania L jest krótka, szum fazowy jest indukowany przez przynajmniej W Leff L W niezależnych bitów z dwóch sąsiednich kanałów. Jeśli natomiast L W jest duże wiele sąsiednich kanałów indukuje mniej więcej taką samą wartość szumu fazowego. W obu przypadkach centralne twierdzenie graniczne prowadzi do rozkładu normalnego SMP L W = 6,5km SMP L W =15km 31,3 6,5 BER ,8 15,6 31, e ρ s e ρ s a) XPM max b) XPM ind Rys. 8. Bitowa stopa błędów transmisji w funkcji stosunku sygnału do szumu, dla szumu XPM: a) maksymalnego, b) typowego (szumy sumowane niekoherentnie). 4. Wpływ szumu fazowego lasera na różnicową detekcję M-DPSK Formaty modulacji z kluczowaniem fazy są bardziej wrażliwe na szum fazowy źródła niż tradycyjnie stosowane systemy z modulacją amplitudową. Poniżej rozpatrujemy detekcję 17

18 w odbiorniku zrównoważonym z zastosowaniem asymetrycznego interferometru Macha- Zehndera. W odróżnieniu od detekcji synchronicznej nie występuje w tym przypadku laser pełniący rolę lokalnej heterodyny detekcja różnicowa wykorzystuje sygnał optyczny opóźniony o czas T trwania jednego symbolu kodowego. Sygnał ten podawany jest na wejście odbiornika równocześnie (synfazowo) z sygnałem bezpośrednim. Na jakość detekcji mają więc wpływ fluktuacje fazowe źródła występujące w czasie T. Dla źródła optycznego o szerokości spektralnej f wariancja tych fluktuacji wynosi: L σ φee = π f T. (5) Do wyznaczenia stopy błędów transmisji należy scałkować iloczyn p ( θ ) p ( φ ) pełnym zakresie fazy: gdzie e( e) a p ( φ ) e e p ( φ ) π L ( ) ( ) e e Φ e e w pe θe p φ e e dφ π Φ e, (53) p θ jest rozkładem prawdopodobieństwa błędu w zależności od fazy szumu, Φ jest rozkładem prawdopodobieństwa fazy szumu. Zakładając gaussowski rozkład Φ e e stopa błędów transmisji dla formatu DPSK wynosi: k ( 1) ( k 1) σ s 1 σse σs σs + π flt pe, f = I L k + Ik+ 1 e k = 0 k + 1. (54) Powyższą zależność uogólniamy dla dowolnego formatu różnicowej detekcji M-DPSK z M-stanowym kluczowaniem fazy: 1 σ s 1 σ sin ( ) se mπ M σs σs m π flt pe, f = 1 I L m 1 + Im 1 e log ( M) M m= 1 m, (55) gdzie M jest liczbą stanów symbolu. Czynnik 1log ( M ) wynika z faktu, że przy kodowaniu Graya błąd symbolu pociąga za sobą przekłamanie tylko jednego z log ( M ) bitów informacji. Na rys. 9 przedstawiono wynik symulacji stopy błędów transmisji w systemie z modulacją M-DPSK (M =, 4, 8, 16, 3, 64). Dla modulacji -DPSK pogorszenie czułości o 1 db obserwowane jest dla iloczynu flt = 3, rad. Aby uzyskać podobną czułość uzyskać Zwiększając krotność modulacji należy proporcjonalnie zmniejszać szerokość spektralną i wtedy utrzymany jest warunek 1 db pogorszenia czułości. Znajduje to potwierdzenie w wynikach symulacji jak i analizie teoretycznej (55). Wystąpił tu problem (przedstawiony ze szczegółami w punkcie.3) ze zbieżnością obliczeń nieskończonego szeregu (55), dlatego obliczenia są możliwe dla M <

19 -log(ser) M = SNR [db] Rys. 9. Stopa błędów transmisji w systemie z modulacją M-DPSK (M =, 4, 8, 16, 3, 64). Linia ciągła wg. (55), linia przerywana wg. (55) flt =0, linie kropkowane wyniki symulacji. 5. Wpływ wewnątrz-kanałowego mieszania czterofalowego Wewnątrz-kanałowe mieszanie czterofalowe (IFWM Intra-channel Four Wave Mixing) występuje na skutek zachodzenia na siebie impulsów w kanale transmisyjnym z spowodowanego występowaniem dyspersji chromatycznej. W dziedzinie czasu IFWM objawia się w postaci powstania impulsów-widm (ghost-pulses), które obserwowane są przy modulacji amplitudowej w miejscu występowania bitów "0". W modulacji fazowej, ze względu na występowanie nieprzerwanego ciągu impulsów, takie impulsy-widma nie są obserwowane. W widmie kanału powstaje natomiast dodatkowy szumu amplitudowy. Warunkiem koniecznym powstania IFWM jest zachodzenie na siebie impulsów, stąd jeśli dyspersja światłowodu transmisyjnego jest mała efekt ten nie występuje. Efekt IFWM został dokładnie przeanalizowany w literaturze [4], [7]. Na rys. 10 przedstawiono rezultaty tej analizy. Wartość skuteczna szumu fazy [rad] 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 T 0 = 5 ps IFWM SPM NRZ SPM + IXPM SPM T 0 = 7,5 ps T 0 = 5 ps Współczynnik dyspersji D [ps/(nm km)] Rys. 10. Wartość skuteczna szumu fazy w zależności od współczynnika dyspersji światłowodu, indukowana przez IFWM, IXPM i SMP. 19

20 Pokazana jest tu wartość skuteczna szumów fazy pochodząca od IFWM oraz ISPM i IXPM dla systemu RZ-DPSK o przepływności 40 Gbit/s, dla średniego nieliniowego przesunięcia fazy Φ NL = 1rad oraz dla dwóch szerokości impulsów: T 0 = 5 ps i T 0 = 7,5 ps. Pokazano również, dla porównania, wartość skuteczną nieliniowego szumu fazy dla systemu NRZ (z mocą ciągłą), analizowaną przez nas w punkcie 1. Wpływ wewnątrz-kanałowego mieszania czterofalowego IFWM na poziom szumu fazowego jest kilkukrotne mniejszy niż wewnątrz-kanałowej modulacji skrośnej IXPM i samomodulacji fazy SPM. Dla małych wartości dyspersji dominujący jest szum SPM (dla D = 0 SPM oraz IXPM oznacza to samo zjawisko), podczas gdy IFWM narasta od wartości zerowej (z powodu braku zachodzenia impulsów) do pewnej wartości stałej (w sytuacji silnego zachodzenia impulsów wytwarza się stan równowagi). Ze wzrostem dyspersji, na skutek zmniejszania się szczytowej mocy impulsów, w sposób monotoniczny spada oddziaływanie SPM oraz IXPM. Należy zwrócić uwagę, że stosowanie krótszych impulsów jest korzystne, gdyż poziom nieliniowych szumów fazy spada przy tym dla wszystkich oddziaływań. Innym, istotnym wnioskiem jest stwierdzenie, że stosowana przez nas analiza nieliniowych szumów fazy, zakładająca stałą moc sygnału (format NRZ a nie RZ), jest przydatna również dla badania właściwości systemów z modulacją RZ, gdyż dla stosowanych w praktyce światłowodów o dyspersji od 5 ps/(nm km) do 17 ps/(nm km), średni poziom nieliniowych szumów fazy jest podobny, niezależnie od stosowania modulacji impulsowej RZ. Z tego względu w pierwszej kolejności zajęliśmy się badaniem wpływu zniekształceń nieliniowych na różne wielopoziomowe formaty modulacji fazowej w wariancie NRZ, tzn. ze stałą mocą sygnału. 6. Podsumowanie Przedmiotem analizy był system DWDM z wielopoziomowym kluczowaniem fazy, składający się z kaskadowego połączenia odcinków regeneracyjnych, zawierających wzmacniacze optyczne, będące źródłem szumów ASE. Modele teoretyczne, analizowane w pierwszym etapie projektu, stanowiły podstawę do opracowania następujących narzędzi, użytecznych w badaniu zniekształceń nieliniowych wielopoziomowych formatów modulacji optycznej M-DPSK: modelu teoretycznego i symulatora nieliniowego szumu fazowego indukowanego samomodulacją fazy oraz układu kompensacji tych szumów, analizy teoretycznej wpływu modulacji skrośnej na jakość transmisji DWDM, modelu teoretycznego i symulatora wpływu szumu fazowego lasera na detekcję różnicową. Przeprowadzono symulacje weryfikujące poprawność opracowanych modeli w oparciu o doniesienia z literatury na temat systemów eksperymentalnych i opublikowanych wyników innych symulacji systemów DWDM z modulacją DPSK, a następnie modele te zostały zastosowane do badania wielopoziomowych formatów modulacji M-DPSK (M =, 4, 8, 16, 3, 64). Wyniki pracy: A) Opisano metody umożliwiające oszacowanie skuteczności kompensacji nieliniowego szumu fazowego indukowanego samomodulacją fazy (efekt Gordona-Mollenauera). Posłużyliśmy się modelem opisanym znanym z literatury, rozszerzając jego funkcjonalność na analizę wielostanowych formatów modulacji M-PSK i M-DPSK. Korzystając z opisanego modelu zrealizowano symulator nieliniowego szumu fazowego, 0

21 indukowanego szumem kaskady wzmacniaczy optycznych, łącznie z modelem układu kompensacji tego nieliniowego szumu. B) Przedstawiono także teoretyczną analizę wpływu modulacji skrośnej na jakość transmisji WDM. Stosowany jest tu dwukanałowy model "pompa-sonda", w którym kanał o znacznie większej mocy (pompujący) oddziałuje na kanał o mocy na tyle małej (sondujący), że nie mającej wpływu na kanał pompujący. Z analizy tej wynika, że w systemie składającym się z kaskadowego połączenia odcinków regeneracyjnych wielkość nieliniowego szumu fazowego indukowanego przez XPM silnie zależy od właściwości dyspersyjnych łącza. Przy prawidłowym zaprojektowaniu traktu WDM nieliniowy szum fazowy indukowany przez XPM może być w większości przypadków skutecznie wyeliminowany i dominującym szumem fazowym pozostaje ten indukowany przez SPM, tak jak w systemie jednokanałowym. C) Następnym analizowanym zagadnieniem był wpływ szumu fazowego lasera na różnicową detekcję M-DPSK. Przedstawiony w literaturze model teoretyczny, obejmujący analizę systemu DPSK rozszerzono również na system M-DPSK. Szum fazowy lasera ma rozkład gaussowski, co upraszcza analizę. Rozważania teoretyczne poparto symulacją. Zwiększanie krotności powoduje, że dopuszczalna szerokość spektralna lasera maleje z kwadratem krotności. D) Na koniec, przedstawiono pobieżną analizę wpływu wewnątrz-kanałowego mieszania czterofalowego (IFWM) na jakość transmisji w systemach z kluczowaniem fazy. Analiza ta wykazuje, że wpływ IFWM na poziom szumu fazowego jest kilkukrotne mniejszy niż wewnątrz-kanałowej modulacji skrośnej IXPM i samomodulacji fazy SPM. Ponadto stwierdzono, że stosowana przez nas analiza nieliniowych szumów fazy, zakładająca stałą moc sygnału (format NRZ a nie RZ), jest przydatna również dla badania właściwości systemów z modulacją RZ. Wyniki uzyskano w oparciu o analizę matematyczną (z wykorzystaniem programu Mathematica), oraz symulujące numeryczne (z wykorzystaniem programu LabView z językiem graficznego programowania G). Rezultaty pracy przedstawiono w publikacji: M. Jaworski, M Marciniak: SPM nonlinear noise compensation in multilevel phasemodulated optical systems, in Proceedings of 10th Anniversary International Conference on Transport Optical Networks, ICTON 008, Athens, Greece, -6 June 008, IEEE, 008, vol. 4, pp (Załącznik 1.1) 1

22 7. Badanie efektywnych obliczeniowo metod symulacji propagacji sygnału w światłowodzie Sprawozdanie z prac prowadzonych w roku 008 w ramach realizacji projektu "Badania w zakresie zaawansowanej infrastruktury sieci fotonicznych (COST-91) ", zadanie 3 wg. projektu badawczego specjalnego Nr COST/51/006. W grudniu 007 opublikowaliśmy efektywną metodę symulacji propagacji sygnału WDM w światłowodzie z zastosowaniem dwukrokowej metody Fouriera (S-SSFM Symmetrized- Split-Step-Fourier-Method) i wstępnej symulacji z wykorzystaniem uśredniania widma z równoczesną kontrolą błędu lokalnego (PsLEM Pre-simulated Local-Error-Method) [9]. Metoda ta daje ok. 50% wzrost efektywności obliczeń w porównaniu ze stosowaną do tej pory metodą walk-off. Jednocześnie kontynuowane były prace mające na celu optymalizację rozkładu długości kroku stosowanego w metodzie S-SSFM. Zastosowaliśmy aproksymację rozkładu uzyskiwanego w trakcje symulacji wstępnej PsLEM rozkładem logarytmicznym. Rozkładem logarytmicznym posłużono się w pracy [10], w celu ograniczenia powstawania fałszywych produktów mieszania czterofalowego (FWM). Przedstawiono tam analizę teoretyczną, opisującą powstawanie fałszywych produktów FWM w metodzie S-SSFM, na przykładzie dwóch niemodulowanych sygnałów nośnych. Jednak zaproponowane w [10] nachylenie rozkładu logarytmicznego nie jest optymalne dla sygnałów WDM. Zbudowaliśmy model odtwarzający symulacje z [10], a następnie uogólniliśmy go przez zastosowanie dowolnego nachylenia charakterystyki logarytmicznej rozkładu długości kroków i posługując się tym modelem poszukiwaliśmy nachylenia minimalizującego błąd metody S-SSFM. Optymalne wartości nachylenia zależą od oczekiwanego błędu globalnego i postaci sygnału wejściowego. Dla błędu globalnego <10-6 i systemu jednokanałowego optymalne nachylenie wynosi ok. 0,33α, gdzie α jest tłumiennością światłowodu. W styczniu 008 ukazała się publikacja [11], w której autorzy, wychodząc od teoretycznej analizy błędów metody S-SSFM, przeprowadzonej dla symulacji propagacji pojedynczego impulsu w światłowodzie, otrzymali rezultaty zbieżne z naszymi wynikami, uzyskanymi metodą eksperymentalną. Według [11] krok symulacji powinien wynosić h= A 3 P() t, a ponieważ P P ( α z ) = exp 0 to optymalne nachylenie wynosi 1/3α 0,33α tak jak wynika z przeprowadzonych przez nas symulacji. Przedstawiona w [11] analiza błędu jest poprawna dla przypadku propagacji pojedynczego impulsu. W systemie WDM zachodzą jednak dodatkowo efekty wynikające z dyspersji, manifestujące się różną prędkością propagacji sygnałów o różnej długości fali. Jest to efekt przenikania przez siebie impulsów (walk-off) i związane z tym efekty skrośnej modulacji fazy (XFM) i mieszania czterofalowego (FWM) nie uwzględnione w analizie przeprowadzonej w [11]. Wykonaliśmy symulacje pokazujące kumulowanie błędu metody S-SSFM wzdłuż symulowanej linii. Dla systemu jednokanałowego błędy powstające w kolejnych krokach sumują się (błąd globalny jest sumą błędów lokalnych). Diametralnie inna sytuacja jest w przypadku transmisji WDM błąd lokalny jest tu dużo większy, a błąd globalny narasta dużo wolniej niż wynikałoby z prostego sumowania błędów lokalnych. Okazuje się, że błędy w poszczególnych krokach są ze sobą skorelowane i dla pewnej długości kroków korelacja ta może być ujemna.

23 Stąd powstaje potrzeba optymalizacji nachylenia rozkładu długości kroków. Opracowany przez nas model bazuje na, sprawdzonym wcześniej, pomyśle symulacji wstępnej, z wykorzystaniem uśredniania widma sygnału [9, 14]. Początkowo wykonywana jest symulacja z uśrednionym widmem sygnału i liczbą kroków 5n wynik tej symulacji traktowany jest jako odniesienie. Następnie wykonywane jest 10 symulacji z uśrednionym widmem i liczbą kroków n, ze zmiennym nachyleniem rozkładu długości kroku A = (0,1...1,0) i dalej do właściwej symulacji wybierany jest parametr A dający najmniejszy błąd symulacji wstępnej. Ta, wydawałoby się, skomplikowana procedura symulacji wstępnej trwa stosunkowo krótko, bo dzięki operacji uśredniania widma zajmuje ok. 10% całkowitego czasu symulacji. Dodatkowo daje ona stosunkowo dokładne oszacowanie globalnego błędu symulacji, a jest to bardzo istotny parametr konieczny do rzetelnej oceny właściwości symulowanego obiektu [13]. Dzięki zastosowaniu optymalizacji nachylenia logarytmicznego rozkładu długości kroku opracowana przez nas metoda jest bardziej efektywna niż publikowana ostatnio [10] metoda, w której krok jest odwrotnie proporcjonalny do pierwiastka sześciennego mocy chwilowej sygnału. Analityczne oszacowanie błędu lokalnego metody SSFM W [10] oszacowano, stosując zależność Bakera Hausdorffa dla nieprzemiennych operatorów [14], błędy numeryczne metody niesymetrycznej (standardowej) i symetrycznej SSFM, które wynoszą odpowiednio: ( ) ( ) ( ) ξ = γ λ. (56) N PmaxD f h z max 3 ξs = γp D λ f h z, (57) Przedstawiona w [11] analiza błędu jest poprawna dla przypadku propagacji pojedynczego impulsu. W systemie WDM zachodzą jednak dodatkowo efekty wynikające z dyspersji, manifestujące się różną prędkością propagacji sygnałów o różnej długości fali. Jest to efekt przenikania przez siebie impulsów (walk-off) i związane z tym efekty skrośnej modulacji fazy (XFM) i mieszania czterofalowego (FWM) nie uwzględnione w analizie przeprowadzonej w [11]. W metodzie niesymetrycznej (standardowej) na przemian stosowane są operatory dyspersji i nieliniowości, działające na całej długości kroku h. Z (56) wynika, że błąd lokalny metody niesymetrycznej jest rzędu O( h ). W metodzie symetrycznej operator ˆN działa na sygnał w płaszczyźnie z+ h, a operator ˆD działa w dwóch krokach o długości h /, rozłożonych symetryczne wokół z+ h. Z (57) wynika, że błąd lokalny metody symetrycznej jest rzędu 3 O( h ). Stąd wniosek, że symetryczna metoda dwukrokowa jest dokładniejsza od metody niesymetrycznej dla kroku mniejszego niż ξs < ξn co jest spełnione dla h< 1 4D λ f c 4D f λ. W praktyce, np. dla D = 4 ps/nm/km, f = 40 GHz, ( ) ( 0 ) λ 0 = 1550 nm h powinno być mniejsze niż 5 km, co jest zawsze spełnione, gdyż z kolei dla h = 5 km błąd lokalny wynosi 10% i jest niedopuszczalnie duży. W systemie WDM impulsy poruszają się względem siebie z prędkością di, j= D λ jest to efekt walk-off. Przykładowo, dla D = 4 ps/nm/km, λ = 10 nm mamy d i, j= 0.0 ns/km, tj. wzajemne przesunięcie impulsów o ns po 100 km propagacji w światłowodzie. W systemie 10 Gbit/s odpowiada to przeniknięciu impulsu przez kolejnych 0 sąsiednich impulsów na całym dystansie propagacji. Długość kroku powinna uwzględniać to zjawisko. Krok powinien 3

24 być o rząd wielkości krótszy niż hwalk off t di, j, gdzie t jest okresem bitu. W naszym przypadku krok powinien być krótszy niż 500 m. Efektywność FWM maleje monotonicznie w miarę zwiększania odstępu międzykanałowego. W metodzie SSFM ze stałą długością kroku, duża wartość h prowadzi do pojawienia się charakterystycznych rezonansów zależnych od długości kroku [10]. Efekt sztucznego zawyżenia mocy produktów FWM bardzo obniża dokładność symulacji, szczególnie dla szerokopasmowych systemów WDM. Należy temu przeciwdziałać, stosując skrócenie kroku, tak by pierwszy rezonans fp 1 = 1 ( π h β ) = c ( h D λ0 ) wypadał poza symulowanym pasmem, gdzie c jest prędkością światła w próżni. Stąd, by zachodziło c fp 1 f = λ, krok powinien spełniać warunek hfwm << 1 ( π β f ) = λ0 ( D λ c). λ0 Przykładowo, dla D = 4 ps/nm/km, λ = 10 nm krok powinien być krótszy niż 0 m. Z powyższych szacunków wynika, że efekt walk-off ma mniejsze znaczenie niż fałszywe produkty FWM. Przedstawione kryteria odnoszą się do metody o stałej długości kroku. W praktyce stosowana bywa metoda o kroku zmiennym, zależnym od maksymalnego nieliniowego przesunięcia fazy [13] ( γ P ) h<φ. (58) NLmax max lub jej modyfikacja, polegająca na zastosowaniu kroku odwrotnie proporcjonalnego do pierwiastka sześciennego mocy chwilowej sygnału [10]: ξ 3 S h< A γ P max, gdzie A = 3 = const wynika z (57). D λ f ( ) Współczynnik potęgi równy 3 wynika z zależności lokalnego błędu symetrycznej metody O h. W [10] przyjęto, że optymalny jest jednolity, stały błąd 3 SSFM od długości kroku ( ) lokalny, oraz że błąd globalny jest sumą błędów lokalnych, tzn. ma charakter deterministyczny i jest addytywny. Założenie to jest słuszne dla transmisji jednokanałowej. Dla transmisji WDM ujawnia się zaleta stosowania kroku o zmiennej długości, jednak błąd lokalny jest znacznie większy niż w przypadku transmisji jednokanałowej. Efekty walk-off i FWM powodują, że nie jest on addytywny, tzn. błąd globalny jest znacznie mniejszy niż suma błędów lokalnych. Błąd lokalny w kolejnych krokach jest skorelowany ujemnie, stąd narastanie błędu globalnego jest znacznie wolniejsze. Szczegółowe rezultaty prac prowadzonych w ramach Zadania 3 "Badanie efektywnych obliczeniowo metod symulacji propagacji sygnału w światłowodzie" w roku 008 przedstawione zostały w 3 publikacjach: A. M. Jaworski: "Step-size distribution strategies in SSFM simulation of DWDM links", in Proc. of ICTON-MW 008, Marrakech, Morocco, paper FrA.1, pp. 1-9, Dec (Załącznik 1.) B. M. Jaworski: "Split-step-Fourier-method in modeling of WDM links", to be published in COST91 Final Report, Part III, Chap. 1. (Załącznik 1.3) C. M. Jaworski: "Methods of step-size distribution optimisation used in S-SSFM simulations of WDM systems", to be published in Journal of Telecommunications and Information Technology. (Załącznik 1.4) 4

25 Bibliografia [1] A. Papoulis: Probability, random variables, and stochastic processes, McGraw Hill, New York, [] D.E. Amos: A portable package for Bessel functions of a complex argument and nonnegative order, ACM Trans. on Math. Software, pp , [3] A.P. Tao-Lau, J.M. Kahn: Signal design and detection in presence of nonlinear phase noise, J. Lightwave Technol., pp , 007. [4] K-P. Ho: "Phase-modulated optical communication systems", Springer Science- Business Media, 005. [5] M.C. Jeruchim, P. Balaban, K.S. Shanmugan: Simulation of communication systems, New York, Kluwer Academic Publishers, 00. [6] M. Jaworski: Sprawozdanie z pracy "Badania w zakresie zaawansowanej infrastruktury sieci fotonicznych (COST-91)" Zadanie 1 (Badanie wielopoziomowych formatów modulacji optycznej), Instytut Łączności, Warszawa, grudzień 007. [7] X. Wei, X. Liu, Analysis of intrachannel four-wave mixing in differential phase-shift keying transmission with large dispersion, Opt. Lett., pp , 003. [8] J. Leibrich, J. Wree, W. Rosenkranz: CF-RZ-DPSK for suppression of XPM on dispersion-managed long-haul optical WDM transmission on standard single-mode fiber, Photon. Technol. Lett., pp , 00. [9] M. Jaworski, M. Marciniak: Pre-simulated Local-Error-Method for modelling of light propagation in Wavelength-Division-Multiplexed links, in Proc. of ICTON-MW 007, Sousse, Tunisia, paper Fr4B.4, pp. 1-4, Dec [10] G. Bosco, A. Carena, V. Curri, R. Gaudino, P. Poggiolini, S. Benedetto: Suppression of spurious tones induced by the split-step method in fiber systems simulation, IEEE Photon. Technol. Lett., vol. 1, pp , May 000. [11] Qun Zhang, M. I. Hayee: Symmetrized split-step Fourier scheme to control global simulation accuracy in fiber-optic communication systems, J. of Lightwave Technology, vol. 6, no., pp , Jan [1] C.J. Rasmussen: Simple and fast method for step size determination in computations of signal propagation through nonlinear fibres, in Proc. of OFC 001,WDD9-1. [13] O.V. Sinkin, R. Holzlöhner, J. Zweck, C.R. Menyuk: Optimization of the split-step Fourier method in modeling optical-fiber communications systems, J. of Lightwave Technology, vol. 1, no. 1, pp , Jan [14] G.P. Agrawal, Nonlinear Fiber Optics, 3rd ed. San Diego, CA, Academic Press,