Badania w zakresie zaawansowanej infrastruktury sieci fotonicznych (COST-291)

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Badania w zakresie zaawansowanej infrastruktury sieci fotonicznych (COST-291)"

Transkrypt

1 Zakład Teletransmisji i Technik Optycznych (Z-14) Badania w zakresie zaawansowanej infrastruktury sieci fotonicznych (COST-91) Etap 1: Badania nowych formatów modulacji w systemach łączności optycznej Praca nr Warszawa, grudzień 008

2 Badania w zakresie zaawansowanej infrastruktury sieci fotonicznych (COST-91) Etap 1: Badania nowych formatów modulacji w systemach łączności optycznej Praca nr Słowa kluczowe (maksimum 5 słów): Kierownik pracy: doc. dr hab. Marian Marciniak Wykonawcy pracy: dr inż. Marek Jaworski spec. Hanna Skrobek mgr inż. Olga Bolszo mgr inż. Mariusz Zdanowicz Kierownik Zakładu: doc. dr hab. Marian Marciniak Copyright by Instytut Łączności, Warszawa 008

3 SPIS TREŚCI 1. Wprowadzenie Kompensacja nieliniowego szumu fazowego SPM dla przypadku granicznego Detekcja PSK Detekcja DPSK Uzyskane wyniki symulacji Nieliniowy szum fazowy indukowany modulacją skrośną XPM Model "pompa-sonda" Kaskadowe połączenie odcinków regeneracyjnych WDM Prawdopodobieństwo błędu dla modulacji DPSK Wpływ szumu fazowego lasera na różnicową detekcję M-DPSK Wpływ wewnątrz-kanałowego mieszania czterofalowego Podsumowanie Badanie efektywnych obliczeniowo metod symulacji propagacji sygnału w światłowodzie... Bibliografia

4 1. Wprowadzenie W sprawozdaniu przedstawiono wyniki prac prowadzonych w ramach Akcji COST 91 "Badania w zakresie zaawansowania infrastruktury sieci fotonicznych", objętych projektem badawczym specjalnym pt."badanie zaawansowanych formatów modulacji optycznej, metod symulacji propagacji sygnału oraz mechanizmów zapewnienia jakości usług w sieciach z grupową komutacją pakietów (OBS), stosowanych w optycznych sieciach telekomunikacyjnych", w zakresie dotyczącym zadania 1 "Badanie wielopoziomowych formatów modulacji optycznej": etap 1: "Opracowanie modeli symulacji formatów modulacji i okreslenie ograniczeń spowodowanych niedoskonałością poszczególnych elementów systemu" etap : "Weryfikacja opracowanych modeli" Całość projektu realizowana jest w okresie Niniejsze sprawozdanie obejmuje rezultaty prac prowadzonych w I i II kwartale 008 roku. Zadanie realizowane jest w ramach grupy roboczej WG1 COST 91 Przetwarzanie optyczne w sieciach cyfrowych ( Optical Processing for Digital Network Performance ). Grupa robocza WG1 COST 91 zajmuje się, między innymi, charakterystykami transmisyjnymi łączy optycznych w sieci WDM.. Kompensacja nieliniowego szumu fazowego SPM dla przypadku granicznego W poprzednim sprawozdaniu [6] (rozdział 3) przedstawiono statystyczne metody szacowania wpływu zniekształceń nieliniowych spowodowanych efektem Kerra w systemach z modulacją fazy. Przedmiotem analizy był system składający się z kaskadowego połączenia odcinków regeneracyjnych, zawierających wzmacniacze optyczne, będące źródłem szumów ASE. Poniżej przedstawiamy rozwinięcie tych metod, umożliwiające oszacowanie skuteczności kompensacji nieliniowego szumu fazowego SPM. W pracy posłużyliśmy się modelem opisanym w [4], rozszerzając jego funkcjonalność na analizę wielostanowych formatów modulacji M-PSK i M-DPSK. Korzystając z opisanego modelu zrealizowano symulator nieliniowego szumu fazowego, indukowanego szumem kaskady wzmacniaczy optycznych, łącznie z modelem układu kompensacji tego nieliniowego szumu. Nieliniowe przesunięcie fazy jest sumą składowych pochodzących od skończonej liczby odcinków regeneracyjnych. Dla bardzo dużej liczby odcinków regeneracyjnych sumowanie można zastąpić całkowaniem [7]. Taki ciągły model, z rozproszonym wzmocnieniem, opisywany jest za pomocą stochastycznego procesu Wienera [1], [4]. Aby uprościć analizę wprowadzana jest normalizacja, gdyż właściwości poszukiwanego rozkładu prawdopodobieństwa nieliniowego przesunięcia fazy zależą tylko od dwóch parametrów: stosunku mocy sygnału do szumu ρ s oraz średniego przesunięcia fazy Φ NL. W rozpatrywanym procesie Wenera stosowana jest jednostkowa amplituda sygnału i jednostkowa wariancja szumu Zależność między zmienną losową Φ, stosowaną w analizie teoretycznej a rzeczywistym nieliniowym przesunięciem fazy Φ NL jest następująca: Φ NL Φ NL = Φ. (1) 1 ρ s + Dla systemów jednokanałowych możliwa jest częściowa kompensacja nieliniowego szumu fazowy spowodowanego samomodulacją fazy (SPM), gdyż wartość średnia szumu fazy Φ NL jest skorelowana z mocą sygnału P N. 4

5 .1 Detekcja PSK Najprostszą metodą kompensacji jest zastosowanie korekcyjnego przesunięcia fazy o wartość proporcjonalną do mocy chwilowej: Φ α =Φ αr =Φ αy, () gdzie Φ α jest odbieraną fazą po korekcji, Y mocą odbieranego sygnału, R jest jego amplitudą pola elektrycznego, oraz α jest współczynnikiem proporcjonalności. Jest to przykład kompensacji liniowej, gdyż występuje tu liniowa zależność między wprowadzaną korekcją fazy a mocą Y. Dokładniejszą kompensację można uzyskać stosując wielomian wyższego rzędu, lepiej dopasowany do korelacji między fazą a amplitudą odbieranego sygnału. Optymalizacja kompensacji liniowej polega na dobraniu wartości współczynnika α. Jako kryterium można przyjąć minimalizację wariancji nieliniowego szumu fazowego po korekcji lub minimalizację stopy błędów. To pierwsze podejście (zwane MMSE Minimum Mean Square Error) jest łatwiejsze do analizy teoretycznej, a jednocześnie daje zadowalające rezultaty w praktyce. Drugie podejście (zwane ML Minimum Likelihood) jest trudne do analizy teoretycznej i w większości przypadków nie znajduje praktycznego zastosowania. Wartość średnia fazy sygnału po korekcji wyznaczana jest jako pochodna funkcji charakterystycznej [4]: d 1 Φ α = j Ψ Φ ( v) = ρs + α( ρs + 1) (3) α dv v= 0 Wariancja fazy sygnału po korekcji wyznaczana jest jako różnica drugiej pochodnej funkcji charakterystycznej i kwadratu średniej [4]: d 1 1 σ Φ = Ψ ( v) s s ( s 1) α Φ Φ α α = ρ + ρ + α + ρ + α. (4) dv v= 0 Minimalną wartość wariancji znajdujemy szukając miejsca zerowego pochodnej wyrażenia (4), dσφ dα = 0 : α 1 1 ρs + 3 αmse = 1 ρs +. (5) Dla dużego odstępu sygnał/szum αmse 1. Dla optymalnie dobranego współczynnika α mse wartość średnia i wariancja nieliniowej fazy po korekcji wynoszą odpowiednio: Φ = α σ mse 1 ρ + ρ + 1 s 3 s 6 1 ρs + 1 ρ + ρ + 1 s s 6 α = mse 1 6 ρs +, (6). (7) W [4] wyznaczono również funkcję charakterystyczną rozkładu prawdopodobieństwa odbieranej skompensowanej fazy, potrzebną do wyznaczenia stopy błędów: m ΦNL m ΦNL Ψ Φ ( m) =Ψ,,,, cm Φ Y Θ α m n 1 1 (8) ρs + ρs + gdzie: 3/ πγv, ω γv, ω γv, ω γv, ω Ψ Φ, Y, Θ ( v, ω, m) =Ψ ( v) exp n Φ γv + Im 1 + Im+ 1 γ v (9) 5

6 jest wspólną funkcją charakterystyczną nieliniowego szumu fazy, amplitudy sygnału i fazy szumu wzmacniacza, oraz: jv γv = ρs, (10) sin jv γ v, ω = ( ) jv ( jv jω tan jv ) sin ( jv ) ( ) sec exp tan ρ, (11) Ψ Φ jν = jν ρ jν jν Prawdopodobieństwo błędnego odebrania sygnału dla detekcji synchronicznej PSK wynosi: gdzie c s s. (1) ( θ) π θ c pe 1 p d π θ Φcm c = θ, (13) ± π θ stanowi progowe wartości fazy, a θ c jest jej wartością średnią, stąd korzystając z rozwinięcia funkcji charakterystycznej ( m) otrzymujemy: gdzie: k = 0 ( 1) k Ψ w szereg Fouriera, Φcm * j( k+ 1) θc { Φ ( 1) } cm 1 pe = R Ψ k+ e, (14) π k + 1 ( k 1) 3/ π r * r k, k, NL rk, r ω ω + Φ ω k, ω Ψ Φ ( k+ 1) = exp r cm k + Ψ Φ I 1 k + Ik+ 1, (15) rk ρs + oraz: ( k + 1) ΦNL j 1 ρs + rk = ρs, (16) ( k + 1) Φ NL sin j 1 ρ s + rk rk, ω =. (17) ( k+ 1) Φ NL ( k+ 1) Φ NL 1+ α j tan j 1 1 ρs + ρ s + Aby kryteria optymalizacji MMSE były spełnione, należy przyjąć α = α oraz Φ θc = Φ RES = Φ ρ s NL 1 + α mse mse. (18) Jeśli zakładamy niezależność nieliniowego szumu fazy i szumu wzmacniaczy, to zależność (18) upraszcza się do postaci: ( 1) k 1 ρ exp s ρs ρs ρs e k + k+ 1 π k = 0 k + 1 p I I. (19) ( k + 1) ΦNL j( k+ 1) Φ RES R ΨΦ e α mse ρs + 1 6

7 Zależność (19) uogólniamy dla dowolnego formatu różnicowej detekcji M-DPSK z M-stanowym kluczowaniem fazy: 1 ρ sin s ρ ( mπ M) s ρs ρs 1 exp I m 1 + I m+ 1 1 M π m= 1 m pe log ( M ), (0) m Φ NL jm Φ RES R ΨΦ e α mse ρs + 1 gdzie M jest liczbą stanów symbolu. Czynnik 1log ( M ) wynika z faktu, że przy kodowaniu Graya błąd symbolu pociąga za sobą przekłamanie tylko jednego z log ( M ) bitów informacji.. Detekcja DPSK Dla detekcji różnicowej DPSK z kompensacją, faza różnicowa wynosi: Φ = Φ t Φ t T = Θ t Φ t Θ t T + Φ t T (1) () ( ) () () ( ) ( ) cm cm cm n RES n RES gdzie T jest czasem trwania bitu. Fazy w momentach t i t T są niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie. Suma dwóch zmiennych losowych posiada funkcję charakterystyczną będącą iloczynem funkcji charakterystycznych tych funkcji, stąd: 1 1 p Φ ( θ) = + ( m) cos( mθ) cm ΨΦ. () cm π π Rozkład prawdopodobieństwa p ( θ ) Φ jest symetryczny względem θ = 0. cm Prawdopodobieństwo błędu obliczane jest z ogólnej zależności: m= 1 π c π ( θ) p = 1 p dθ. (3) e Φcm Przy założeniu niezależności zmiennych losowych można aproksymować zależnością: Θ n i k ( 1) ( k 1) Φ NL prawdopodobieństwo błędu ρs 1 ρse ρs ρs + ΦNL pe Ik + Ik= 1 ΨΦ α mse k = 0 k + 1 ρs + 1. (4) Zależność (4) uogólniamy dla dowolnego formatu różnicowej detekcji M-DPSK z M-stanowym kluczowaniem fazy: p ( mπ M) 1 σ e sin σ σ =, (5) σ s s s s 1 Im 1 + Im 1 1 M m= 1 m e, fl log ( M ) m Φ NL ΨΦ αmse ρs + 1 gdzie M jest liczbą stanów symbolu. Czynnik 1log ( M ) wynika z faktu, że przy kodowaniu Graya błąd symbolu pociąga za sobą przekłamanie tylko jednego z log ( M ) bitów informacji..3 Uzyskane wyniki symulacji Bazując na modelu (37) przedstawionym w sprawozdaniu [6] zrealizowano symulator nieliniowych zniekształceń fazy spowodowanych szumem kaskady wzmacniaczy optycznych, 7

8 w którym generowany jest szum fazowy skorelowany z szumem amplitudowym wzmacniaczy. Dodatkowo wzmacniacze są również źródłem szumu fazowego (liniowego). Tak skonstruowany sygnał poddawany jest detekcji synchronicznej PSK lub różnicowej DPSK. W symulatorze obliczana jest bitowa stopa błędów transmisji bitów (BER) lub symboli (SER). Ze względu na stosowaną metodę Monte-Carlo dolnym pułapem uzyskiwanych wartości jest BER = Wiarygodny wynik na tym poziomie BER uzyskuje się przy 10 7 powtórzeń [5]. Ze względu na stosowane obecnie powszechnie kodowanie z detekcją błędów (kod Reeda-Solomona) przed detekcją blokową, poziom BER = 10-6 jest akceptowalny w praktyce. Działanie symulatora zostało zweryfikowane najpierw dla systemów PSK i DPSK bez korekcji nieliniowości fazy, poprzez porównanie uzyskiwanych charakterystyk BER w funkcji stosunku sygnału do szumu dla różnych mocy sygnału, a co za tym idzie dla różnych wartości nieliniowego szumu fazy, z zależnościami teoretycznymi (68), (70), (7), przedstawionymi w sprawozdaniu [6]. Uzyskano dobrą zgodność teorii z symulacją, zarówno dla detekcji synchronicznej PSK i różnicowej DPSK (rys. 1). Następnie symulator wyposażono w moduł kompensacji liniowej MMSE, w którym wykorzystywane są zależności przedstawione w punkcie.1. Zweryfikowano skuteczność kompensacji, porównując wyniki symulacji z zależnościami teoretycznymi (14) i (19) dla detekcji synchronicznej i (4) dla detekcji DPSK. Uzyskano dobrą zgodność wyników symulacji i teorii (rys. 1). DPSK PSK Rys. 1. Symulowana (punkty) i obliczona teoretycznie zależność stopy błędów transmisji od stosunku sygnału do szumu dla modulacji PSK i DPSK z kompensacją nieliniowych zniekształceń fazy (linia przerywana) i bez kompensacji dla Φ = 1, 4 rad. NL 8

9 W następnym etapie przystosowano symulator do detekcji formatów wielopoziomowych (M-PSK i M-DPSK) i przeprowadzono serię symulacji dla detekcji M-PSK i M-DPSK (dla M =, 4, 8, 16, 3, 64). Mając materiał do porównań zmodyfikowano zależności (19) i (4), określające BER dla detekcji PSK i DPSK, uogólniając je dla dowolnego M (0) i (5). Dla modulacji PSK jest to stosunkowo proste, gdyż wykorzystać można symetryczność konstelacji kodowej względem środka układu współrzędnych. Wszystkie punkty kodowe mają w tym przypadku identyczne własności szumowe. Uzyskane wyniki potwierdzają słuszność przyjętych założeń teoretycznych. W tym miejscu pojawił się jednak problem ze zbieżnością obliczeń nieskończonego szeregu w wyrażeniach (14), (19), (0), (4), (5). Stosowane jest tu sumowanie na przemian dodatnich i ujemnych wartości zmodyfikowanej funkcji Bessela pierwszego rodzaju i kolejnych rzędów. Utworzona w ten sposób suma powinna mieć wartość nieznacznie mniejszą niż 1 1 M, gdyż obliczana stopa błędów jest właśnie różnicą między tą wartością a 1 1 M. Taka metoda wyznaczania stopy błędu powoduje, że: po pierwsze, uzyskiwane wartości w optymalnych warunkach dla małego ρ s, są dokładne co najwyżej do poziomu BER = 10-1, a po drugie dla dużych wartości ρ s nie uzyskuje się w ogóle zbieżności obliczeń, ze względu na przekroczenie zakresu liczb podwójnej precyzji w procesorze. Sprowadzono do tej pory implementację zmodyfikowanej funkcji Bessela pierwszego rodzaju w dostępnych programach obliczeniowych: LabView, Mathematica i Matlab, nie uzyskując zadowalającego rezultatu. Konieczna jest w tym przypadku dokładniejsza analiza przyczyn braku stabilności obliczeń i zastosowanie odpowiedniego algorytmu []. W symulatorze zastosowano z konieczności skończoną liczbę N A wzmacniaczy będących źródłem szumu, podczas gdy w analizie teoretycznej znacznie łatwiej posługiwać się modelem granicznym (ciągłym), w którym szumy rozłożone są w sposób ciągły wzdłuż linii transmisyjnej odpowiada to, innymi słowy, nieskończonej liczbie wzmacniaczy [3]. Zbadano jaka jest wystarczająca liczba wzmacniaczy (źródeł szumu) by błąd symulacji był pomijalnie mały. Okazuje się, że już dla N A = 3 różnica jest praktycznie niezauważalna (ginie w szumach metody), dlatego wszystkie symulacje przeprowadzano dla takiej właśnie liczby wzmacniaczy. Uzyskiwany zasięg transmisji zależy głównie od właściwości szumowych wzmacniaczy. Zależność między współczynnikiem szumów wzmacniacza F E a współczynnikiem inwersji G 1 n sp jest następująca: E FE = nsp nsp, gdzie G E >> 1 jest wzmocnieniem. Typowa G E wartość współczynnika inwersji wynosi n sp = 1, 41, co odpowiada współczynnikowi szumów F E = 4,5dB. Całkowita moc szumów dla linii o długości L, tłumienności α = 0,5 db/km i paśmie optycznego kanału vopt = 4,7 GHz, wynosi: σ ν sp optα = h n v L. (6) Dla takiego ciągłego modelu wartość średnia nieliniowego przesunięcia fazy wynosi Φ = Pγ L, (7) NL gdzie P jest mocą sygnału oraz γ = 1, 1/(W km) jest współczynnikiem nieliniowości. Dla wyżej określonych danych wejściowych przeprowadzono symulację mającą na celu określenie maksymalnego zasięgu transmisji dla systemów M-PSK i M-DPSK (dla M =, 4, 8, 16, 3, 64) z kompensacją dyspersji, a równocześnie optymalnej mocy sygnału. W tym celu wstępnie dobrano długości linii, zakładając, ze dwukrotny wzrost przepływności 9

10 powoduje również dwukrotne zmniejszenie zasięgu. Dla każdego przypadku symulację przeprowadzano wielokrotnie, zmieniając moc sygnału. Wyniki dla modulacji M-PSK przedstawiono na rys.. -log(ber) M= Moc kanału [dbm] Rys.. Optymalizacja mocy dla formatu M-PSK (L = km). Z wykresu wynika, że przyjęte założenie było słuszne, o czym świadczy minimalna stopa błędów SER (rzędu 4, ), praktycznie taka sama dla wszystkich przypadków. Podobne symulacje przeprowadzono dla systemu M-DPSK (dla M =, 4, 8, 16, 3, 64) z kompensacją dyspersji. -log(ber) M= Moc kanału [dbm] Rys. 3. Optymalizacja mocy dla formatu M-PSK (L = km). W celu zwiększenia dokładności wyznaczenia optymalnej mocy, symulację powtórzono ze zmniejszonym do 0,5 db krokiem zmian mocy i nieznacznie większym szumem, co związane jest z wydłużeniem o 10% długości linii. 10

11 -log(ber) M= Moc kanału [dbm] Rys. 4. Optymalizacja mocy dla formatu M-PSK (L = km). Stopa błędów BER jest dla modulacji wielopoziomowej mniejsza niż SER, gdyż przy kodowaniu Graya obowiązuje zależność: SER BER =. (8) log ( M ) Na rys. 5 przedstawiono maksymalne zasięgi transmisji dla systemów M-PSK i M-DPSK wynikające z symulacji, skorygowane o zależność (8) dla stopy błędów SER = 4, Zasięg [km] Przepływność bitowa [GHz] Rys. 5. Maksymalny zasięg transmisji dla systemów M-PSK i M-DPSK w zależności od przepływności bitowej dla systemu 40 Gsymb/s (SER = 4,5 10-5). Ze zmniejszaniem się zasięgu rośnie optymalna moc z -9 dbm dla systemu -PSK do 4 dbm dla systemu 64-PSK, oraz z -8 dbm dla systemu -DPSK do 6 dbm dla systemu 64-DPSK. Odpowiednią charakterystykę zmian mocy przedstawiono na rys

12 Moc [dbm] Przepływność bitowa [GHz] Rys. 6. Optymalna moc kanału dla systemów M-PSK i M-DPSK w zależności od przepływności bitowej dla systemu 40 Gsymb/s (SER = 4,5 10-5). 3. Nieliniowy szum fazowy indukowany modulacją skrośną XPM W systemach wielokanałowych (WDM) występuje zjawisko skrośnej modulacji fazy (XPM Cross-Phase Modulation). Polega ono na fluktuacji fazy w danym kanale spowodowanej fluktuacją mocy w sąsiednich kanałach. Zniekształcenie to ma swoje źródło w nieliniowości Kerra. Systemy z kluczowaniem fazy (bezpośrednim M-PSK i różnicowym M-DPSK) cechują się stałą amplitudą sygnału (dla formatu modulacji NRZ), dlatego przesunięcie fazy ma stałą wartość i nie wpływa na pogorszenie jakości transmisji. W technice światłowodowej jest to podstawowa przewaga modulacji czysto fazowej nad modulacją amplitudowo-fazową QAM. W modulacji QAM amplituda poszczególnych bitów jest różna (np. dla modulacji 16-QAM wyróżnić można 3 poziomy mocy) i przypadkowe sekwencje bitów przesyłanych w kanałach sąsiednich powodują przypadkowe zmiany fazy w danym kanale jest to główna przyczyna niestosowania modulacji QAM w systemach WDM. Chociaż systemy PSK są pozbawione tej wady to występuje w tym przypadku efekt drugiego rzędu, a mianowicie szum fazowy spowodowany szumem amplitudowym tzw. efekt Gordona-Mollenauera. W transmisji jednokanałowej spowodowane jest to samomodulacją fazy (SPM Self-Phase Modulation), a w przypadku systemów WDM szum fazowy jest zwiększony w wyniku występowania modulacji skrośnej XPM. Poziom tego szumu rośnie bardzo szybko przy kaskadowym połączeniu odcinków regeneracyjnych, jeśli występuje w nich całkowita kompensacja dyspersji szumy sumują się wtedy koherentnie i stają się wielokrotnie większe od szumów indukowanych przez SPM. W światłowodzie na skutek dyspersji chromatycznej impulsy w poszczególnych kanałach WDM propagują z różną prędkością. Różnica prędkości (walk-off) jest proporcjonalna do współczynnika dyspersji D i odległości kanałów λ, stąd parametr walk-off wynosi d1 = D λ. Istotnym czynnikiem wpływającym na siłę występowania nieliniowego szumu fazowego XPM jest długość drogi przenikania impulsów L = d1 T, jest ona tym krótsza W 1

13 im krótszy impuls. Jak pokażemy dalej siła oddziaływania modulacji skrośnej jest odwrotnie proporcjonalna do L W. Oznacza to, że systemy o większej przepływności (np. 40 Gbit/s) są bardziej odporne na nieliniowy szum XPM niż systemy 10 Gbit/s. 3.1 Model "pompa-sonda" Do obliczenia wariancji nieliniowego szumu XPM stosowany jest dwukanałowy model "pompa-sonda" [9], w którym kanał o znacznie większej mocy (pompujący) oddziałuje na kanał o mocy na tyle małej (sondujący), że nie mającej wpływu na kanał pompujący. Przy takim założeniu nieliniowe przesunięcie fazy w kanale pierwszym (sondującym) wynosi: L Φ ( ) ( ) NL = γ E 0 1 z E z + dz, (9) gdzie E 1 oraz E oznaczają pole elektryczne w kanale sondującym i pompującym. Jeśli prędkości propagacji dla obu kanałów są identyczne (brak dyspersji) to wpływ pompy jest dwukrotnie większy niż SPM sondy. W światłowodzie z dyspersją składnik XPM jest wielkością uśrednianą w czasie (lub na drodze propagacji): (, ) = γ L ( 0, + ) L t P t d z e α z φ dz 1, XPM 0 1, (30) gdzie P ( z, t ) jest mocą kanału w funkcji położenia z i czasu t, γ jest współczynnikiem nieliniowości światłowodu oraz α i L odpowiednio jego tłumiennością i długością. Zakłada P z, t = P 0, t z v propaguje bez zniekształceń z się, że moc chwilowa w kanale ( ) ( ) prędkością v. Efekt przenikania przez siebie impulsów uwzględniony jest w parametrze d 1. Przy założeniu, że gęstość widmowa mocy kanału wynosi Φ P ( f ), gęstość widmowa fazy w kanale 1 wyznaczana jest jako transformata Fouriera funkcji autokorelacji: L z j fd z H1 f e dz 0 α + π 1 gdzie ( ) ( f ) ( f ) H ( f ) 1 P =, a po scałkowaniu: φ 1 Φ =Φ, (31) ( α+ π ) j fd1 L 1 e H1 ( f ) = γ. (3) α j π fd1 W odbiorniku DPSK po asymetrycznym interferometrze Macha-Zehndera różnicowy φ L, t = φ L, t φ L, t T jest sumowany z nieliniowy szum fazowy ( ) ( ) ( ) 1, XPM 1, XPM 1, XPM różnicową fazą sygnału, gdzie T jest czasem trwania symbolu kodowego. Rozkład gęstości widmowej tego szumu ma postać: φ ( f ) 4 ( ) ( ) ( ) 1 P f H 1 f sin π ft W przypadku, gdy moc pompy zawiera szum to P ( 0, t) E N Φ = Φ. (33) = +, gdzie E i N są polem elektrycznym odpowiednio sygnału i szumu. * * Moc P( 0, t) = E + EN + EN + N zawiera: składową stałą E powodującą powstanie stałego przesunięcia fazowego składnik ten nie jest źródłem szumu, składową * * zdudnienia sygnału i szumu EN + EN o gęstości widmowej E S jest to sp dominujący składnik szumu, oraz N o gęstości widmowej S sp v opt, gdzie S sp i vopt jest odpowiednio gęstością widmową i pasmem optycznym szumu wzmacniacza. Stosunek 13

14 optycznego sygnału do szumu wynosi SNRO E ( Ssp vopt ) = >> 1, stąd składnik S sp v opt jest pomijalnie mały. Dla wejściowej mocy P 0 i szumu pojedynczego wzmacniacza optycznego o mocy S sp,1 gęstość widmowa mocy kanału Φ f = PS + S v σ P nie zależy od częstotliwości. ( ) P 0 sp,1 sp,1 opt n 0 Dla systemu NRZ (Non Return to Zero) E jest składową stałą i nie wnosi szumu, a jedynie stałe przesunięcie fazy. Dla częściej stosowanej modulacji (RZ)-DPSK E jest okresową funkcją czasu o okresie T i jej rozkład spektralny mocy zawiera prążki widma o częstotliwościach kt, gdzie k jest liczbą całkowitą. Różnicowa charakterystyka przejściowa 4sin ( ft ) π tłumi prążki spektralne o częstotliwościach kt i w rezultacie niweluje przesunięcie fazy dla modulacji RZ. Ponadto jeśli impulsy RZ ulegną poszerzeniu na skutek występowania dyspersji, również i w tym przypadku przesunięcie fazy jest eliminowane, pod warunkiem, że jest to zjawisko liniowe tzn. zachodzenie na siebie impulsów nie powoduje dodatkowych zniekształceń nieliniowych. Wariancja fazy w funkcji różnicy częstotliwości (lub długości fali) między kanałami wynosi: 1 T ( ) 4 ( ) sin ( ) σ λ = Φ H f π ft df, (34) XPM,0 P 1 T 1 gdzie zakres całkowania został zredukowany z ± do, ± 1 T przez wzięcie pod uwagę szumu fazy tylko w paśmie ograniczonym przepływnością kanału. Wariancja szumu fazy indukowanego przez SPM może być wyznaczona z (34), przyjmując λ = 0 : 1 8σγ n PL 0 eff σspm = σ XPM,0 ( 0) =, (35) 4 T L gdzie Leff = ( 1 e α ) α jest efektywną nieliniową długością odcinka regeneracyjnego. Czynnik 1/4 wynika z dwukrotnie silniejszego oddziaływania efektu XPM w porównaniu z SPM. Dla długiego odcinka L >> 1 α i dużej wartości współczynnika d 1 stosunek wariancji szumu fazy indukowanych przez XPM i SPM wynosi: σ XPM,0 ( λ) 1 T sin ( π ft ) = 8α T df 0 σ α + π fd SPM = 8α T sin ( π ft ) ( π fd ) ( ) 1 0 α + 1 df (36) W α L 1 W e α ( ) =, gdzie LW = d1 T jest długością drogi przenikania impulsów, tzn. długością drogi propagacji, na której dwa impulsy o czasie trwania T i prędkości względnej d 1 przenikną całkowicie przez siebie. Z powyższej zależności widać, że wartość wariancji nieliniowego szumu fazowego XPM zależna jest jedynie od parametru L. W Pewnej dyskusji w tym miejscu wymaga wpływ dyspersji chromatycznej. W powyższym modelu założono, że impulsy w kanale pompy propagują bez zniekształceń. Konsekwencją dyspersji chromatycznej w systemach WDM są dwa efekty: rozszerzanie impulsów (efekt wewnątrz-kanałowy) i przenikanie z impulsami z sąsiednich kanałów (efekt zewnątrzkanałowy zwany walk-off). Ze względu na fakt, że odległość między kanałami jest zawsze 14

15 większa niż pasmo kanału, różnice prędkości propagacji są większe w przypadku efektu zewnątrz-kanałowego, a więc uwzględnienie efektu walk-off jest w tym przypadku wystarczające. 3. Kaskadowe połączenie odcinków regeneracyjnych WDM W (M+1) kanałowym systemie WDM wariancja nieliniowego szumu XPM w najbardziej zaszumionym, centralnym kanale, po jednym odcinku wynosi: M XPM,1,0 k = 1 XPM ( k ), (37) σ = σ λ gdzie λ jest odległością pomiędzy sąsiednimi kanałami. Dla kanałów odległych o k λ oddziaływanie jest k słabsze niż dla odległości λ. Stąd, dla bardzo dużej liczby kanałów, korzystając z zależności: 1 π = (38) k 1 k 6 otrzymamy σ XPM,1 π lim α L L ( 1 W W e α ). (39) M σ SPM 3 Dla systemu z N A odcinkami, zakumulowana wariancja nieliniowego szumu fazy XPM zależy od przyjętego modelu kompensacji dyspersji. Analogicznie do (34) możemy zapisać, że: ( κ) ( κ) sin N Aπ f 1 d1l Φ N, ( f ) 4 ( ) ( ) ( ) 1 1 sin A φ = ΦP f H f π ft, (40) sin π f 1 d1l gdzie κ jest współczynnikiem kompensacji dyspersji chromatycznej odcinka regeneracyjnego, tzn. κ = 1 dla idealnej (100%) kompensacji oraz κ = 0 przy braku kompensacji. Zależność (40) opisuje kaskadowe połączenie N A identycznych odcinków. Dla najgorszego przypadku idealnej kompensacji wariancja szumu rośnie N A -krotnie po N A odcinkach i ostatecznie wynosi: ( N 1) σ = N σ + σ + + σ, (41) XPM,max A XPM,1 A XPM, XPM, N A gdzie σ XPM,1 oznacza nieliniową fazę indukowaną w pierwszym odcinku regeneracyjnym, itp. Z powodu idealnej kompensacji dyspersji szum z pierwszego wzmacniacza jest powielony we wszystkich pozostałych odcinkach, szum drugiego wzmacniacza jest powielony ( N A 1) krotnie, itp. Maksymalna wariancja tak powstałego szumu wynosi: 1 σ XPM,max = NA ( NA 1)( NA + 1) σ XPM,1, (4) 6 przy założeniu, że wszystkie wzmacniacze mają identyczne szumy. Dla rozpatrywanego przypadku idealnej kompensacji dyspersji stosunek szumu indukowanego przez XPM i SPM (39) pozostaje stały, niezależnie od liczby odcinków regeneracyjnych. Jeżeli współczynniki kompensacji κ są dobrane losowo to szum pochodzący z poszczególnych wzmacniaczy nie jest skorelowany i wtedy: lub dla identycznych wzmacniaczy: ( N 1) σ = N σ + σ + + σ (43) XPM, ind A XPM,1 A XPM, XPM, N A 15

16 1 σxpm, ind = NA ( NA 1) σxpm,1 (44) i wtedy stosunek wartości maksymalnej wariancji do typowej wartości szumu fazowego indukowanego przez XPM: σ XPM,max 1 = ( N A + 1 ). (45) σ XPM, ind 3 Dalsza redukcja wpływu XPM jest możliwa poprzez odpowiednie dobieranie parametru kompensacji dyspersjiκ, tak by charakterystyka przejściowa sin NAπ f ( 1 κ) d1l (46) sin π f ( 1 κ) d1l miała maksima na częstotliwościach odpowiadających minimom funkcji sin ( ft ) Dla krótkiej drogi przenikania L W π. << L optymalny okazuje się współczynnik W κ = 1 L. (48) L Na rys. 7 przedstawiono zależność stosunku σ XPM σ SMP od długości drogi przenikania L W dla nieskończonej liczby kanałów oraz maksymalnej i typowej wartości szumu fazowego indukowanego przez XPM. σxpm/σspm maksymalna N ch = typowa N ch = Długość drogi przenikania impulsów (walk-off) [km] Rys. 7. Stosunek σ XPM /σ SPM w zależności od długości drogi przenikania impulsów. Dla typowego przypadku systemu o przepływności 10 Gbit/s i odstępie 50 GHz oraz światłowodu z niezerową przesuniętą dyspersją (NZDSF) D = 4ps ( nm km) droga przenikania wynosi 6,5 km. Natomiast dla systemu o przepływności 40 Gbit/s i odstępie 100 Gbit/s L W = 7,8 km. Z rezultatów przedstawionych na wykresie można wyciągnąć wniosek, że przy prawidłowym zaprojektowaniu traktu WDM nieliniowy szum fazowy indukowany przez XPM może być w większości przypadków skutecznie wyeliminowany i 16

17 dominującym szumem fazowym pozostaje indukowany przez SPM, tak jak w systemie jednokanałowym. Wariancja szumu indukowanego przez SPM wynosi: 4 Φ NL σ SPM, (49) 3ρs gdzie ρ s jest stosunkiem sygnału do szumu dla jednej polaryzacji. Korzystając z (39) i (49) można wyznaczyć wariancję nieliniowego szumu fazy indukowanego przez XPM. 3.3 Prawdopodobieństwo błędu dla modulacji DPSK k ( 1) ( k 1) σ s 1 σse σs σs + ΦNL espm, = k + k+ 1 ΨΦ k = 0 k + 1 σ s + 1 p I I (50) Przy sumowaniu wielu niezależnych szumów fazowych pochodzących z różnych źródeł, współczynnikami rozwinięcia Fouriera sumy szumów są iloczyny odpowiednich współczynników pochodzących od poszczególnych źródeł. Powstaje w ten sposób składowa szumu fazowego o rozkładzie Gaussa (ostatni czynnik w poniższym wzorze): σ k s 1 σ ( 1 se ) σs σs pexpm, = Ik + Ik+ 1 k = 0 k + 1 (51) ( k + 1) ΦNL k + 1 ΨΦ exp σ XPM σ s + 1 Szum fazowy indukowany przez XPM powstaje w wyniku oddziaływania wielu kanałów WDM, dlatego obowiązuje w tym przypadku centralne twierdzenie graniczne [1]. Jeśli droga przenikania L jest krótka, szum fazowy jest indukowany przez przynajmniej W Leff L W niezależnych bitów z dwóch sąsiednich kanałów. Jeśli natomiast L W jest duże wiele sąsiednich kanałów indukuje mniej więcej taką samą wartość szumu fazowego. W obu przypadkach centralne twierdzenie graniczne prowadzi do rozkładu normalnego SMP L W = 6,5km SMP L W =15km 31,3 6,5 BER ,8 15,6 31, e ρ s e ρ s a) XPM max b) XPM ind Rys. 8. Bitowa stopa błędów transmisji w funkcji stosunku sygnału do szumu, dla szumu XPM: a) maksymalnego, b) typowego (szumy sumowane niekoherentnie). 4. Wpływ szumu fazowego lasera na różnicową detekcję M-DPSK Formaty modulacji z kluczowaniem fazy są bardziej wrażliwe na szum fazowy źródła niż tradycyjnie stosowane systemy z modulacją amplitudową. Poniżej rozpatrujemy detekcję 17

18 w odbiorniku zrównoważonym z zastosowaniem asymetrycznego interferometru Macha- Zehndera. W odróżnieniu od detekcji synchronicznej nie występuje w tym przypadku laser pełniący rolę lokalnej heterodyny detekcja różnicowa wykorzystuje sygnał optyczny opóźniony o czas T trwania jednego symbolu kodowego. Sygnał ten podawany jest na wejście odbiornika równocześnie (synfazowo) z sygnałem bezpośrednim. Na jakość detekcji mają więc wpływ fluktuacje fazowe źródła występujące w czasie T. Dla źródła optycznego o szerokości spektralnej f wariancja tych fluktuacji wynosi: L σ φee = π f T. (5) Do wyznaczenia stopy błędów transmisji należy scałkować iloczyn p ( θ ) p ( φ ) pełnym zakresie fazy: gdzie e( e) a p ( φ ) e e p ( φ ) π L ( ) ( ) e e Φ e e w pe θe p φ e e dφ π Φ e, (53) p θ jest rozkładem prawdopodobieństwa błędu w zależności od fazy szumu, Φ jest rozkładem prawdopodobieństwa fazy szumu. Zakładając gaussowski rozkład Φ e e stopa błędów transmisji dla formatu DPSK wynosi: k ( 1) ( k 1) σ s 1 σse σs σs + π flt pe, f = I L k + Ik+ 1 e k = 0 k + 1. (54) Powyższą zależność uogólniamy dla dowolnego formatu różnicowej detekcji M-DPSK z M-stanowym kluczowaniem fazy: 1 σ s 1 σ sin ( ) se mπ M σs σs m π flt pe, f = 1 I L m 1 + Im 1 e log ( M) M m= 1 m, (55) gdzie M jest liczbą stanów symbolu. Czynnik 1log ( M ) wynika z faktu, że przy kodowaniu Graya błąd symbolu pociąga za sobą przekłamanie tylko jednego z log ( M ) bitów informacji. Na rys. 9 przedstawiono wynik symulacji stopy błędów transmisji w systemie z modulacją M-DPSK (M =, 4, 8, 16, 3, 64). Dla modulacji -DPSK pogorszenie czułości o 1 db obserwowane jest dla iloczynu flt = 3, rad. Aby uzyskać podobną czułość uzyskać Zwiększając krotność modulacji należy proporcjonalnie zmniejszać szerokość spektralną i wtedy utrzymany jest warunek 1 db pogorszenia czułości. Znajduje to potwierdzenie w wynikach symulacji jak i analizie teoretycznej (55). Wystąpił tu problem (przedstawiony ze szczegółami w punkcie.3) ze zbieżnością obliczeń nieskończonego szeregu (55), dlatego obliczenia są możliwe dla M <

19 -log(ser) M = SNR [db] Rys. 9. Stopa błędów transmisji w systemie z modulacją M-DPSK (M =, 4, 8, 16, 3, 64). Linia ciągła wg. (55), linia przerywana wg. (55) flt =0, linie kropkowane wyniki symulacji. 5. Wpływ wewnątrz-kanałowego mieszania czterofalowego Wewnątrz-kanałowe mieszanie czterofalowe (IFWM Intra-channel Four Wave Mixing) występuje na skutek zachodzenia na siebie impulsów w kanale transmisyjnym z spowodowanego występowaniem dyspersji chromatycznej. W dziedzinie czasu IFWM objawia się w postaci powstania impulsów-widm (ghost-pulses), które obserwowane są przy modulacji amplitudowej w miejscu występowania bitów "0". W modulacji fazowej, ze względu na występowanie nieprzerwanego ciągu impulsów, takie impulsy-widma nie są obserwowane. W widmie kanału powstaje natomiast dodatkowy szumu amplitudowy. Warunkiem koniecznym powstania IFWM jest zachodzenie na siebie impulsów, stąd jeśli dyspersja światłowodu transmisyjnego jest mała efekt ten nie występuje. Efekt IFWM został dokładnie przeanalizowany w literaturze [4], [7]. Na rys. 10 przedstawiono rezultaty tej analizy. Wartość skuteczna szumu fazy [rad] 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 T 0 = 5 ps IFWM SPM NRZ SPM + IXPM SPM T 0 = 7,5 ps T 0 = 5 ps Współczynnik dyspersji D [ps/(nm km)] Rys. 10. Wartość skuteczna szumu fazy w zależności od współczynnika dyspersji światłowodu, indukowana przez IFWM, IXPM i SMP. 19

20 Pokazana jest tu wartość skuteczna szumów fazy pochodząca od IFWM oraz ISPM i IXPM dla systemu RZ-DPSK o przepływności 40 Gbit/s, dla średniego nieliniowego przesunięcia fazy Φ NL = 1rad oraz dla dwóch szerokości impulsów: T 0 = 5 ps i T 0 = 7,5 ps. Pokazano również, dla porównania, wartość skuteczną nieliniowego szumu fazy dla systemu NRZ (z mocą ciągłą), analizowaną przez nas w punkcie 1. Wpływ wewnątrz-kanałowego mieszania czterofalowego IFWM na poziom szumu fazowego jest kilkukrotne mniejszy niż wewnątrz-kanałowej modulacji skrośnej IXPM i samomodulacji fazy SPM. Dla małych wartości dyspersji dominujący jest szum SPM (dla D = 0 SPM oraz IXPM oznacza to samo zjawisko), podczas gdy IFWM narasta od wartości zerowej (z powodu braku zachodzenia impulsów) do pewnej wartości stałej (w sytuacji silnego zachodzenia impulsów wytwarza się stan równowagi). Ze wzrostem dyspersji, na skutek zmniejszania się szczytowej mocy impulsów, w sposób monotoniczny spada oddziaływanie SPM oraz IXPM. Należy zwrócić uwagę, że stosowanie krótszych impulsów jest korzystne, gdyż poziom nieliniowych szumów fazy spada przy tym dla wszystkich oddziaływań. Innym, istotnym wnioskiem jest stwierdzenie, że stosowana przez nas analiza nieliniowych szumów fazy, zakładająca stałą moc sygnału (format NRZ a nie RZ), jest przydatna również dla badania właściwości systemów z modulacją RZ, gdyż dla stosowanych w praktyce światłowodów o dyspersji od 5 ps/(nm km) do 17 ps/(nm km), średni poziom nieliniowych szumów fazy jest podobny, niezależnie od stosowania modulacji impulsowej RZ. Z tego względu w pierwszej kolejności zajęliśmy się badaniem wpływu zniekształceń nieliniowych na różne wielopoziomowe formaty modulacji fazowej w wariancie NRZ, tzn. ze stałą mocą sygnału. 6. Podsumowanie Przedmiotem analizy był system DWDM z wielopoziomowym kluczowaniem fazy, składający się z kaskadowego połączenia odcinków regeneracyjnych, zawierających wzmacniacze optyczne, będące źródłem szumów ASE. Modele teoretyczne, analizowane w pierwszym etapie projektu, stanowiły podstawę do opracowania następujących narzędzi, użytecznych w badaniu zniekształceń nieliniowych wielopoziomowych formatów modulacji optycznej M-DPSK: modelu teoretycznego i symulatora nieliniowego szumu fazowego indukowanego samomodulacją fazy oraz układu kompensacji tych szumów, analizy teoretycznej wpływu modulacji skrośnej na jakość transmisji DWDM, modelu teoretycznego i symulatora wpływu szumu fazowego lasera na detekcję różnicową. Przeprowadzono symulacje weryfikujące poprawność opracowanych modeli w oparciu o doniesienia z literatury na temat systemów eksperymentalnych i opublikowanych wyników innych symulacji systemów DWDM z modulacją DPSK, a następnie modele te zostały zastosowane do badania wielopoziomowych formatów modulacji M-DPSK (M =, 4, 8, 16, 3, 64). Wyniki pracy: A) Opisano metody umożliwiające oszacowanie skuteczności kompensacji nieliniowego szumu fazowego indukowanego samomodulacją fazy (efekt Gordona-Mollenauera). Posłużyliśmy się modelem opisanym znanym z literatury, rozszerzając jego funkcjonalność na analizę wielostanowych formatów modulacji M-PSK i M-DPSK. Korzystając z opisanego modelu zrealizowano symulator nieliniowego szumu fazowego, 0

21 indukowanego szumem kaskady wzmacniaczy optycznych, łącznie z modelem układu kompensacji tego nieliniowego szumu. B) Przedstawiono także teoretyczną analizę wpływu modulacji skrośnej na jakość transmisji WDM. Stosowany jest tu dwukanałowy model "pompa-sonda", w którym kanał o znacznie większej mocy (pompujący) oddziałuje na kanał o mocy na tyle małej (sondujący), że nie mającej wpływu na kanał pompujący. Z analizy tej wynika, że w systemie składającym się z kaskadowego połączenia odcinków regeneracyjnych wielkość nieliniowego szumu fazowego indukowanego przez XPM silnie zależy od właściwości dyspersyjnych łącza. Przy prawidłowym zaprojektowaniu traktu WDM nieliniowy szum fazowy indukowany przez XPM może być w większości przypadków skutecznie wyeliminowany i dominującym szumem fazowym pozostaje ten indukowany przez SPM, tak jak w systemie jednokanałowym. C) Następnym analizowanym zagadnieniem był wpływ szumu fazowego lasera na różnicową detekcję M-DPSK. Przedstawiony w literaturze model teoretyczny, obejmujący analizę systemu DPSK rozszerzono również na system M-DPSK. Szum fazowy lasera ma rozkład gaussowski, co upraszcza analizę. Rozważania teoretyczne poparto symulacją. Zwiększanie krotności powoduje, że dopuszczalna szerokość spektralna lasera maleje z kwadratem krotności. D) Na koniec, przedstawiono pobieżną analizę wpływu wewnątrz-kanałowego mieszania czterofalowego (IFWM) na jakość transmisji w systemach z kluczowaniem fazy. Analiza ta wykazuje, że wpływ IFWM na poziom szumu fazowego jest kilkukrotne mniejszy niż wewnątrz-kanałowej modulacji skrośnej IXPM i samomodulacji fazy SPM. Ponadto stwierdzono, że stosowana przez nas analiza nieliniowych szumów fazy, zakładająca stałą moc sygnału (format NRZ a nie RZ), jest przydatna również dla badania właściwości systemów z modulacją RZ. Wyniki uzyskano w oparciu o analizę matematyczną (z wykorzystaniem programu Mathematica), oraz symulujące numeryczne (z wykorzystaniem programu LabView z językiem graficznego programowania G). Rezultaty pracy przedstawiono w publikacji: M. Jaworski, M Marciniak: SPM nonlinear noise compensation in multilevel phasemodulated optical systems, in Proceedings of 10th Anniversary International Conference on Transport Optical Networks, ICTON 008, Athens, Greece, -6 June 008, IEEE, 008, vol. 4, pp (Załącznik 1.1) 1

22 7. Badanie efektywnych obliczeniowo metod symulacji propagacji sygnału w światłowodzie Sprawozdanie z prac prowadzonych w roku 008 w ramach realizacji projektu "Badania w zakresie zaawansowanej infrastruktury sieci fotonicznych (COST-91) ", zadanie 3 wg. projektu badawczego specjalnego Nr COST/51/006. W grudniu 007 opublikowaliśmy efektywną metodę symulacji propagacji sygnału WDM w światłowodzie z zastosowaniem dwukrokowej metody Fouriera (S-SSFM Symmetrized- Split-Step-Fourier-Method) i wstępnej symulacji z wykorzystaniem uśredniania widma z równoczesną kontrolą błędu lokalnego (PsLEM Pre-simulated Local-Error-Method) [9]. Metoda ta daje ok. 50% wzrost efektywności obliczeń w porównaniu ze stosowaną do tej pory metodą walk-off. Jednocześnie kontynuowane były prace mające na celu optymalizację rozkładu długości kroku stosowanego w metodzie S-SSFM. Zastosowaliśmy aproksymację rozkładu uzyskiwanego w trakcje symulacji wstępnej PsLEM rozkładem logarytmicznym. Rozkładem logarytmicznym posłużono się w pracy [10], w celu ograniczenia powstawania fałszywych produktów mieszania czterofalowego (FWM). Przedstawiono tam analizę teoretyczną, opisującą powstawanie fałszywych produktów FWM w metodzie S-SSFM, na przykładzie dwóch niemodulowanych sygnałów nośnych. Jednak zaproponowane w [10] nachylenie rozkładu logarytmicznego nie jest optymalne dla sygnałów WDM. Zbudowaliśmy model odtwarzający symulacje z [10], a następnie uogólniliśmy go przez zastosowanie dowolnego nachylenia charakterystyki logarytmicznej rozkładu długości kroków i posługując się tym modelem poszukiwaliśmy nachylenia minimalizującego błąd metody S-SSFM. Optymalne wartości nachylenia zależą od oczekiwanego błędu globalnego i postaci sygnału wejściowego. Dla błędu globalnego <10-6 i systemu jednokanałowego optymalne nachylenie wynosi ok. 0,33α, gdzie α jest tłumiennością światłowodu. W styczniu 008 ukazała się publikacja [11], w której autorzy, wychodząc od teoretycznej analizy błędów metody S-SSFM, przeprowadzonej dla symulacji propagacji pojedynczego impulsu w światłowodzie, otrzymali rezultaty zbieżne z naszymi wynikami, uzyskanymi metodą eksperymentalną. Według [11] krok symulacji powinien wynosić h= A 3 P() t, a ponieważ P P ( α z ) = exp 0 to optymalne nachylenie wynosi 1/3α 0,33α tak jak wynika z przeprowadzonych przez nas symulacji. Przedstawiona w [11] analiza błędu jest poprawna dla przypadku propagacji pojedynczego impulsu. W systemie WDM zachodzą jednak dodatkowo efekty wynikające z dyspersji, manifestujące się różną prędkością propagacji sygnałów o różnej długości fali. Jest to efekt przenikania przez siebie impulsów (walk-off) i związane z tym efekty skrośnej modulacji fazy (XFM) i mieszania czterofalowego (FWM) nie uwzględnione w analizie przeprowadzonej w [11]. Wykonaliśmy symulacje pokazujące kumulowanie błędu metody S-SSFM wzdłuż symulowanej linii. Dla systemu jednokanałowego błędy powstające w kolejnych krokach sumują się (błąd globalny jest sumą błędów lokalnych). Diametralnie inna sytuacja jest w przypadku transmisji WDM błąd lokalny jest tu dużo większy, a błąd globalny narasta dużo wolniej niż wynikałoby z prostego sumowania błędów lokalnych. Okazuje się, że błędy w poszczególnych krokach są ze sobą skorelowane i dla pewnej długości kroków korelacja ta może być ujemna.

23 Stąd powstaje potrzeba optymalizacji nachylenia rozkładu długości kroków. Opracowany przez nas model bazuje na, sprawdzonym wcześniej, pomyśle symulacji wstępnej, z wykorzystaniem uśredniania widma sygnału [9, 14]. Początkowo wykonywana jest symulacja z uśrednionym widmem sygnału i liczbą kroków 5n wynik tej symulacji traktowany jest jako odniesienie. Następnie wykonywane jest 10 symulacji z uśrednionym widmem i liczbą kroków n, ze zmiennym nachyleniem rozkładu długości kroku A = (0,1...1,0) i dalej do właściwej symulacji wybierany jest parametr A dający najmniejszy błąd symulacji wstępnej. Ta, wydawałoby się, skomplikowana procedura symulacji wstępnej trwa stosunkowo krótko, bo dzięki operacji uśredniania widma zajmuje ok. 10% całkowitego czasu symulacji. Dodatkowo daje ona stosunkowo dokładne oszacowanie globalnego błędu symulacji, a jest to bardzo istotny parametr konieczny do rzetelnej oceny właściwości symulowanego obiektu [13]. Dzięki zastosowaniu optymalizacji nachylenia logarytmicznego rozkładu długości kroku opracowana przez nas metoda jest bardziej efektywna niż publikowana ostatnio [10] metoda, w której krok jest odwrotnie proporcjonalny do pierwiastka sześciennego mocy chwilowej sygnału. Analityczne oszacowanie błędu lokalnego metody SSFM W [10] oszacowano, stosując zależność Bakera Hausdorffa dla nieprzemiennych operatorów [14], błędy numeryczne metody niesymetrycznej (standardowej) i symetrycznej SSFM, które wynoszą odpowiednio: ( ) ( ) ( ) ξ = γ λ. (56) N PmaxD f h z max 3 ξs = γp D λ f h z, (57) Przedstawiona w [11] analiza błędu jest poprawna dla przypadku propagacji pojedynczego impulsu. W systemie WDM zachodzą jednak dodatkowo efekty wynikające z dyspersji, manifestujące się różną prędkością propagacji sygnałów o różnej długości fali. Jest to efekt przenikania przez siebie impulsów (walk-off) i związane z tym efekty skrośnej modulacji fazy (XFM) i mieszania czterofalowego (FWM) nie uwzględnione w analizie przeprowadzonej w [11]. W metodzie niesymetrycznej (standardowej) na przemian stosowane są operatory dyspersji i nieliniowości, działające na całej długości kroku h. Z (56) wynika, że błąd lokalny metody niesymetrycznej jest rzędu O( h ). W metodzie symetrycznej operator ˆN działa na sygnał w płaszczyźnie z+ h, a operator ˆD działa w dwóch krokach o długości h /, rozłożonych symetryczne wokół z+ h. Z (57) wynika, że błąd lokalny metody symetrycznej jest rzędu 3 O( h ). Stąd wniosek, że symetryczna metoda dwukrokowa jest dokładniejsza od metody niesymetrycznej dla kroku mniejszego niż ξs < ξn co jest spełnione dla h< 1 4D λ f c 4D f λ. W praktyce, np. dla D = 4 ps/nm/km, f = 40 GHz, ( ) ( 0 ) λ 0 = 1550 nm h powinno być mniejsze niż 5 km, co jest zawsze spełnione, gdyż z kolei dla h = 5 km błąd lokalny wynosi 10% i jest niedopuszczalnie duży. W systemie WDM impulsy poruszają się względem siebie z prędkością di, j= D λ jest to efekt walk-off. Przykładowo, dla D = 4 ps/nm/km, λ = 10 nm mamy d i, j= 0.0 ns/km, tj. wzajemne przesunięcie impulsów o ns po 100 km propagacji w światłowodzie. W systemie 10 Gbit/s odpowiada to przeniknięciu impulsu przez kolejnych 0 sąsiednich impulsów na całym dystansie propagacji. Długość kroku powinna uwzględniać to zjawisko. Krok powinien 3

24 być o rząd wielkości krótszy niż hwalk off t di, j, gdzie t jest okresem bitu. W naszym przypadku krok powinien być krótszy niż 500 m. Efektywność FWM maleje monotonicznie w miarę zwiększania odstępu międzykanałowego. W metodzie SSFM ze stałą długością kroku, duża wartość h prowadzi do pojawienia się charakterystycznych rezonansów zależnych od długości kroku [10]. Efekt sztucznego zawyżenia mocy produktów FWM bardzo obniża dokładność symulacji, szczególnie dla szerokopasmowych systemów WDM. Należy temu przeciwdziałać, stosując skrócenie kroku, tak by pierwszy rezonans fp 1 = 1 ( π h β ) = c ( h D λ0 ) wypadał poza symulowanym pasmem, gdzie c jest prędkością światła w próżni. Stąd, by zachodziło c fp 1 f = λ, krok powinien spełniać warunek hfwm << 1 ( π β f ) = λ0 ( D λ c). λ0 Przykładowo, dla D = 4 ps/nm/km, λ = 10 nm krok powinien być krótszy niż 0 m. Z powyższych szacunków wynika, że efekt walk-off ma mniejsze znaczenie niż fałszywe produkty FWM. Przedstawione kryteria odnoszą się do metody o stałej długości kroku. W praktyce stosowana bywa metoda o kroku zmiennym, zależnym od maksymalnego nieliniowego przesunięcia fazy [13] ( γ P ) h<φ. (58) NLmax max lub jej modyfikacja, polegająca na zastosowaniu kroku odwrotnie proporcjonalnego do pierwiastka sześciennego mocy chwilowej sygnału [10]: ξ 3 S h< A γ P max, gdzie A = 3 = const wynika z (57). D λ f ( ) Współczynnik potęgi równy 3 wynika z zależności lokalnego błędu symetrycznej metody O h. W [10] przyjęto, że optymalny jest jednolity, stały błąd 3 SSFM od długości kroku ( ) lokalny, oraz że błąd globalny jest sumą błędów lokalnych, tzn. ma charakter deterministyczny i jest addytywny. Założenie to jest słuszne dla transmisji jednokanałowej. Dla transmisji WDM ujawnia się zaleta stosowania kroku o zmiennej długości, jednak błąd lokalny jest znacznie większy niż w przypadku transmisji jednokanałowej. Efekty walk-off i FWM powodują, że nie jest on addytywny, tzn. błąd globalny jest znacznie mniejszy niż suma błędów lokalnych. Błąd lokalny w kolejnych krokach jest skorelowany ujemnie, stąd narastanie błędu globalnego jest znacznie wolniejsze. Szczegółowe rezultaty prac prowadzonych w ramach Zadania 3 "Badanie efektywnych obliczeniowo metod symulacji propagacji sygnału w światłowodzie" w roku 008 przedstawione zostały w 3 publikacjach: A. M. Jaworski: "Step-size distribution strategies in SSFM simulation of DWDM links", in Proc. of ICTON-MW 008, Marrakech, Morocco, paper FrA.1, pp. 1-9, Dec (Załącznik 1.) B. M. Jaworski: "Split-step-Fourier-method in modeling of WDM links", to be published in COST91 Final Report, Part III, Chap. 1. (Załącznik 1.3) C. M. Jaworski: "Methods of step-size distribution optimisation used in S-SSFM simulations of WDM systems", to be published in Journal of Telecommunications and Information Technology. (Załącznik 1.4) 4

25 Bibliografia [1] A. Papoulis: Probability, random variables, and stochastic processes, McGraw Hill, New York, [] D.E. Amos: A portable package for Bessel functions of a complex argument and nonnegative order, ACM Trans. on Math. Software, pp , [3] A.P. Tao-Lau, J.M. Kahn: Signal design and detection in presence of nonlinear phase noise, J. Lightwave Technol., pp , 007. [4] K-P. Ho: "Phase-modulated optical communication systems", Springer Science- Business Media, 005. [5] M.C. Jeruchim, P. Balaban, K.S. Shanmugan: Simulation of communication systems, New York, Kluwer Academic Publishers, 00. [6] M. Jaworski: Sprawozdanie z pracy "Badania w zakresie zaawansowanej infrastruktury sieci fotonicznych (COST-91)" Zadanie 1 (Badanie wielopoziomowych formatów modulacji optycznej), Instytut Łączności, Warszawa, grudzień 007. [7] X. Wei, X. Liu, Analysis of intrachannel four-wave mixing in differential phase-shift keying transmission with large dispersion, Opt. Lett., pp , 003. [8] J. Leibrich, J. Wree, W. Rosenkranz: CF-RZ-DPSK for suppression of XPM on dispersion-managed long-haul optical WDM transmission on standard single-mode fiber, Photon. Technol. Lett., pp , 00. [9] M. Jaworski, M. Marciniak: Pre-simulated Local-Error-Method for modelling of light propagation in Wavelength-Division-Multiplexed links, in Proc. of ICTON-MW 007, Sousse, Tunisia, paper Fr4B.4, pp. 1-4, Dec [10] G. Bosco, A. Carena, V. Curri, R. Gaudino, P. Poggiolini, S. Benedetto: Suppression of spurious tones induced by the split-step method in fiber systems simulation, IEEE Photon. Technol. Lett., vol. 1, pp , May 000. [11] Qun Zhang, M. I. Hayee: Symmetrized split-step Fourier scheme to control global simulation accuracy in fiber-optic communication systems, J. of Lightwave Technology, vol. 6, no., pp , Jan [1] C.J. Rasmussen: Simple and fast method for step size determination in computations of signal propagation through nonlinear fibres, in Proc. of OFC 001,WDD9-1. [13] O.V. Sinkin, R. Holzlöhner, J. Zweck, C.R. Menyuk: Optimization of the split-step Fourier method in modeling optical-fiber communications systems, J. of Lightwave Technology, vol. 1, no. 1, pp , Jan [14] G.P. Agrawal, Nonlinear Fiber Optics, 3rd ed. San Diego, CA, Academic Press,

Charakteryzacja telekomunikacyjnego łącza światłowodowego

Charakteryzacja telekomunikacyjnego łącza światłowodowego Charakteryzacja telekomunikacyjnego łącza światłowodowego Szybkości transmisji współczesnych łączy światłowodowych STM 4 622 Mbps STM 16 2 488 Mbps STM 64 9 953 Mbps Rekomendacje w stadium opracowania

Bardziej szczegółowo

Systemy i Sieci Radiowe

Systemy i Sieci Radiowe Systemy i Sieci Radiowe Wykład 2 Wprowadzenie część 2 Treść wykładu modulacje cyfrowe kodowanie głosu i video sieci - wiadomości ogólne podstawowe techniki komutacyjne 1 Schemat blokowy Źródło informacji

Bardziej szczegółowo

SPECYFIKACJA ZASIĘGU POŁĄCZEŃ OPTYCZNYCH

SPECYFIKACJA ZASIĘGU POŁĄCZEŃ OPTYCZNYCH Lublin 06.07.2007 r. SPECYFIKACJA ZASIĘGU POŁĄCZEŃ OPTYCZNYCH URZĄDZEŃ BITSTREAM Copyright 2007 BITSTREAM 06.07.2007 1/8 SPIS TREŚCI 1. Wstęp... 2. Moc nadajnika optycznego... 3. Długość fali optycznej...

Bardziej szczegółowo

Transmisja przewodowa

Transmisja przewodowa Warszawa, 2.04.20 Transmisja przewodowa TRP Ćwiczenie laboratoryjne nr 3. Jakość transmisji optycznej Autorzy: Ł. Maksymiuk, G. Stępniak, E. Łukowiak . Teoria Do podstawowych metod oceny transmisji sygnałów

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do światłowodowych systemów WDM

Wprowadzenie do światłowodowych systemów WDM Wprowadzenie do światłowodowych systemów WDM WDM Wavelength Division Multiplexing CWDM Coarse Wavelength Division Multiplexing DWDM Dense Wavelength Division Multiplexing Współczesny światłowodowy system

Bardziej szczegółowo

Parametry i technologia światłowodowego systemu CTV

Parametry i technologia światłowodowego systemu CTV Parametry i technologia światłowodowego systemu CTV (Światłowodowe systemy szerokopasmowe) (c) Sergiusz Patela 1998-2002 Sieci optyczne - Parametry i technologia systemu CTV 1 Podstawy optyki swiatlowodowej:

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Systemy transmisji o bardzo dużych zasięgach i przepływnościach Wykład 19 SMK

Systemy transmisji o bardzo dużych zasięgach i przepływnościach Wykład 19 SMK Systemy transmisji o bardzo dużych zasięgach i przepływnościach Wykład 19 SMK Literatura: J. Siuzdak, Wstęp do telekomunikacji światłowodowej, WKŁ W-wa 1999 W nowoczesnych systemach transmisji (transoceanicznych)

Bardziej szczegółowo

Układy transmisji bezprzewodowej w technice scalonej, wybrane zagadnienia

Układy transmisji bezprzewodowej w technice scalonej, wybrane zagadnienia Układy transmisji bezprzewodowej w technice scalonej, wybrane zagadnienia Evatronix S.A. 6 maja 2013 Tematyka wykładów Wprowadzenie Tor odbiorczy i nadawczy, funkcje, spotykane rozwiazania wady i zalety,

Bardziej szczegółowo

Systemy i Sieci Radiowe

Systemy i Sieci Radiowe Systemy i Sieci Radiowe Wykład 3 Media transmisyjne część 1 Program wykładu transmisja światłowodowa transmisja za pomocą kabli telekomunikacyjnych (DSL) transmisja przez sieć energetyczną transmisja radiowa

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -1-

Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -1- Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -1- Filtry cyfrowe cz. Zastosowanie funkcji okien do projektowania filtrów SOI Nierównomierności charakterystyki amplitudowej filtru cyfrowego typu SOI można

Bardziej szczegółowo

Projektowanie układów regulacji w dziedzinie częstotliwości. dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ

Projektowanie układów regulacji w dziedzinie częstotliwości. dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ Projektowanie układów regulacji w dziedzinie częstotliwości dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ Wprowadzenie Metody projektowania w dziedzinie częstotliwości mają wiele zalet: stabilność i wymagania

Bardziej szczegółowo

Charakterystyka amplitudowa i fazowa filtru aktywnego

Charakterystyka amplitudowa i fazowa filtru aktywnego 1 Charakterystyka amplitudowa i fazowa filtru aktywnego Charakterystyka amplitudowa (wzmocnienie amplitudowe) K u (f) jest to stosunek amplitudy sygnału wyjściowego do amplitudy sygnału wejściowego w funkcji

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE

Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE 1. 1. W p r owadze n ie 1 Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE 1.1. WPROWADZENIE SYGNAŁ nośnik informacji ANALIZA SYGNAŁU badanie, którego celem jest identyfikacja własności, cech, miar sygnału; odtwarzanie

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY FIZYKI LASERÓW Wstęp

PODSTAWY FIZYKI LASERÓW Wstęp PODSTAWY FIZYKI LASERÓW Wstęp LASER Light Amplification by Stimulation Emission of Radiation Składa się z: 1. ośrodka czynnego. układu pompującego 3.Rezonator optyczny - wnęka rezonansowa Generatory: liniowe

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

Praca dyplomowa magisterska

Praca dyplomowa magisterska Praca dyplomowa magisterska Implementacja algorytmów filtracji adaptacyjnej o strukturze transwersalnej na platformie CUDA Dyplomant: Jakub Kołakowski Opiekun pracy: dr inż. Michał Meller Plan prezentacji

Bardziej szczegółowo

2007-10-27. NA = sin Θ = (n rdzenia2 - n płaszcza2 ) 1/2. L[dB] = 10 log 10 (NA 1 /NA 2 )

2007-10-27. NA = sin Θ = (n rdzenia2 - n płaszcza2 ) 1/2. L[dB] = 10 log 10 (NA 1 /NA 2 ) dr inż. Krzysztof Hodyr Technika Światłowodowa Część 2 Tłumienie i straty w światłowodach Pojęcie dyspersji światłowodów Technika zwielokrotnienia WDM Źródła strat tłumieniowych sprzężenia światłowodu

Bardziej szczegółowo

Stabilność. Krzysztof Patan

Stabilność. Krzysztof Patan Stabilność Krzysztof Patan Pojęcie stabilności systemu Rozważmy obiekt znajdujący się w punkcie równowagi Po przyłożeniu do obiektu siły F zostanie on wypchnięty ze stanu równowagi Jeżeli po upłynięciu

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE nr 3. Badanie podstawowych parametrów metrologicznych przetworników analogowo-cyfrowych

ĆWICZENIE nr 3. Badanie podstawowych parametrów metrologicznych przetworników analogowo-cyfrowych Politechnika Łódzka Katedra Przyrządów Półprzewodnikowych i Optoelektronicznych WWW.DSOD.PL LABORATORIUM METROLOGII ELEKTRONICZNEJ ĆWICZENIE nr 3 Badanie podstawowych parametrów metrologicznych przetworników

Bardziej szczegółowo

METODY CHEMOMETRYCZNE W IDENTYFIKACJI ŹRÓDEŁ POCHODZENIA

METODY CHEMOMETRYCZNE W IDENTYFIKACJI ŹRÓDEŁ POCHODZENIA METODY CHEMOMETRYCZNE W IDENTYFIKACJI ŹRÓDEŁ POCHODZENIA AMFETAMINY Waldemar S. Krawczyk Centralne Laboratorium Kryminalistyczne Komendy Głównej Policji, Warszawa (praca obroniona na Wydziale Chemii Uniwersytetu

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 4. Wartości własne i wektory własne 4.1. Podstawowe definicje, własności i twierdzenia 4.2. Lokalizacja wartości własnych 4.3. Metoda potęgowa znajdowania

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

FTF-S1XG-S31L-010D. Moduł SFP+ 10GBase-LR/LW, jednomodowy, 10km, DDMI. Referencja: FTF-S1XG-S31L-010D

FTF-S1XG-S31L-010D. Moduł SFP+ 10GBase-LR/LW, jednomodowy, 10km, DDMI. Referencja: FTF-S1XG-S31L-010D FTF-S1XG-S31L-010D Moduł SFP+ 10GBase-LR/LW, jednomodowy, 10km, DDMI Referencja: FTF-S1XG-S31L-010D Opis: Moduł SFP+ FTF-S1XG-S31L-010D to interfejs 10Gb przeznaczony dla urządzeń pracujących w sieciach

Bardziej szczegółowo

Tranzystorowe wzmacniacze OE OB OC. na tranzystorach bipolarnych

Tranzystorowe wzmacniacze OE OB OC. na tranzystorach bipolarnych Tranzystorowe wzmacniacze OE OB OC na tranzystorach bipolarnych Wzmacniacz jest to urządzenie elektroniczne, którego zadaniem jest : proporcjonalne zwiększenie amplitudy wszystkich składowych widma sygnału

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie: ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość

Bardziej szczegółowo

Przetworniki A/C. Ryszard J. Barczyński, 2010 2015 Materiały dydaktyczne do użytku wewnętrznego

Przetworniki A/C. Ryszard J. Barczyński, 2010 2015 Materiały dydaktyczne do użytku wewnętrznego Przetworniki A/C Ryszard J. Barczyński, 2010 2015 Materiały dydaktyczne do użytku wewnętrznego Parametry przetworników analogowo cyfrowych Podstawowe parametry przetworników wpływające na ich dokładność

Bardziej szczegółowo

VII Wybrane zastosowania. Bernard Ziętek

VII Wybrane zastosowania. Bernard Ziętek VII Wybrane zastosowania Bernard Ziętek 1. Medycyna Oddziaływanie światła z tkanką: 1. Fotochemiczne (fotowzbudzenie, fotorezonans, fotoaktywakcja, fotoablacja, fotochemoterapia, biostymulacja, synteza

Bardziej szczegółowo

Wzmacniacz jako generator. Warunki generacji

Wzmacniacz jako generator. Warunki generacji Generatory napięcia sinusoidalnego Drgania sinusoidalne można uzyskać Poprzez utworzenie wzmacniacza, który dla jednej częstotliwości miałby wzmocnienie równe nieskończoności. Poprzez odtłumienie rzeczywistego

Bardziej szczegółowo

Przetwarzanie sygnałów w telekomunikacji

Przetwarzanie sygnałów w telekomunikacji Przetwarzanie sygnałów w telekomunikacji Prowadzący: Przemysław Dymarski, Inst. Telekomunikacji PW, gm. Elektroniki, pok. 461 dymarski@tele.pw.edu.pl Wykład: Wstęp: transmisja analogowa i cyfrowa, modulacja

Bardziej szczegółowo

Instrukcja obsługi i instalacji repeatera światłowodowego BMK-32

Instrukcja obsługi i instalacji repeatera światłowodowego BMK-32 Instrukcja obsługi i instalacji repeatera światłowodowego e-mail: info@lanex.pl www.lanex.pl 1 1.Wstęp Modułowy repeater umożliwia połączenie siedmiu segmentów sieci Ethernet. Posiada możliwość zastosowania

Bardziej szczegółowo

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

Horyzontalne linie radiowe

Horyzontalne linie radiowe Horyzontalne linie radiowe Projekt Robert Taciak Ziemowit Walczak Michał Welc prowadzący: dr inż. Jarosław Szóstka 1. Założenia projektu Celem projektu jest połączenie cyfrową linią radiową punktów 51º

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM ELEKTROTECHNIKI POMIAR PRZESUNIĘCIA FAZOWEGO

LABORATORIUM ELEKTROTECHNIKI POMIAR PRZESUNIĘCIA FAZOWEGO POLITECHNIKA ŚLĄSKA WYDZIAŁ TRANSPORTU KATEDRA LOGISTYKI I TRANSPORTU PRZEMYSŁOWEGO NR 1 POMIAR PRZESUNIĘCIA FAZOWEGO Katowice, październik 5r. CEL ĆWICZENIA Poznanie zjawiska przesunięcia fazowego. ZESTAW

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

SCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO

SCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO SCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO. Rzeczywistość (istniejąca lub projektowana).. Model fizyczny. 3. Model matematyczny (optymalizacyjny): a. Zmienne projektowania

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Przewaga klasycznego spektrometru Ramana czyli siatkowego, dyspersyjnego nad przystawką ramanowską FT-Raman

Przewaga klasycznego spektrometru Ramana czyli siatkowego, dyspersyjnego nad przystawką ramanowską FT-Raman Porównanie Przewaga klasycznego spektrometru Ramana czyli siatkowego, dyspersyjnego nad przystawką ramanowską FT-Raman Spektroskopia FT-Raman Spektroskopia FT-Raman jest dostępna od 1987 roku. Systemy

Bardziej szczegółowo

WZORCOWANIE URZĄDZEŃ DO SPRAWDZANIA LICZNIKÓW ENERGII ELEKTRYCZNEJ PRĄDU PRZEMIENNEGO

WZORCOWANIE URZĄDZEŃ DO SPRAWDZANIA LICZNIKÓW ENERGII ELEKTRYCZNEJ PRĄDU PRZEMIENNEGO Mirosław KAŹMIERSKI Okręgowy Urząd Miar w Łodzi 90-132 Łódź, ul. Narutowicza 75 oum.lodz.w3@gum.gov.pl WZORCOWANIE URZĄDZEŃ DO SPRAWDZANIA LICZNIKÓW ENERGII ELEKTRYCZNEJ PRĄDU PRZEMIENNEGO 1. Wstęp Konieczność

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE POŁĄCZEŃ TYPU SWORZEŃ OTWÓR ZA POMOCĄ MES BEZ UŻYCIA ANALIZY KONTAKTOWEJ

MODELOWANIE POŁĄCZEŃ TYPU SWORZEŃ OTWÓR ZA POMOCĄ MES BEZ UŻYCIA ANALIZY KONTAKTOWEJ Jarosław MAŃKOWSKI * Andrzej ŻABICKI * Piotr ŻACH * MODELOWANIE POŁĄCZEŃ TYPU SWORZEŃ OTWÓR ZA POMOCĄ MES BEZ UŻYCIA ANALIZY KONTAKTOWEJ 1. WSTĘP W analizach MES dużych konstrukcji wykonywanych na skalę

Bardziej szczegółowo

Efekt Dopplera. dr inż. Romuald Kędzierski

Efekt Dopplera. dr inż. Romuald Kędzierski Efekt Dopplera dr inż. Romuald Kędzierski Christian Andreas Doppler W 1843 roku opublikował swoją najważniejszą pracę O kolorowym świetle gwiazd podwójnych i niektórych innych ciałach niebieskich. Opisał

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE WYBRANYCH SCHEMATÓW RÓŻNICO- WYCH NA PRZYKŁADZIE RÓWNANIA SELECTED DIFFERENTIAL SCHEMES COMPARISON BY MEANS OF THE EQUATION

PORÓWNANIE WYBRANYCH SCHEMATÓW RÓŻNICO- WYCH NA PRZYKŁADZIE RÓWNANIA SELECTED DIFFERENTIAL SCHEMES COMPARISON BY MEANS OF THE EQUATION Mirosław GUZIK Grzegorz KOSZŁKA PORÓWNANIE WYBRANYCH SCHEMATÓW RÓŻNICO- WYCH NA PRZYKŁADZIE RÓWNANIA SELECTED DIFFERENTIAL SCHEMES COMPARISON BY MEANS OF THE EQUATION W artykule przedstawiono niektóre

Bardziej szczegółowo

CHARAKTERYSTYKA WIĄZKI GENEROWANEJ PRZEZ LASER

CHARAKTERYSTYKA WIĄZKI GENEROWANEJ PRZEZ LASER CHARATERYSTYA WIĄZI GENEROWANEJ PRZEZ LASER ształt wiązki lasera i jej widmo są rezultatem interferencji promieniowania we wnęce rezonansowej. W wyniku tego procesu powstają charakterystyczne rozkłady

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

Fizyka (Biotechnologia)

Fizyka (Biotechnologia) Fizyka (Biotechnologia) Wykład I Marek Kasprowicz dr Marek Jan Kasprowicz pokój 309 marek.kasprowicz@ur.krakow.pl www.ar.krakow.pl/~mkasprowicz Marek Jan Kasprowicz Fizyka 013 r. Literatura D. Halliday,

Bardziej szczegółowo

Optotelekomunikacja. dr inż. Piotr Stępczak 1

Optotelekomunikacja. dr inż. Piotr Stępczak 1 Optotelekomunikacja dr inż. Piotr Stępczak 1 dr inż. Piotr Stępczak Falowa natura światła () ( ) () ( ) z t j jm z z z t j jm z z e e r H H e e r E E β ω β ω Θ ± Θ ± 1 0 0 1 0 1 1 zatem 0 n n n n gr λ

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY TELEKOMUNIKACJI Egzamin I - 2.02.2011 (za każde polecenie - 6 punktów)

PODSTAWY TELEKOMUNIKACJI Egzamin I - 2.02.2011 (za każde polecenie - 6 punktów) PODSTAWY TELEKOMUNIKACJI Egzamin I - 2.02.2011 (za każde polecenie - 6 punktów) 1. Dla ciągu danych: 1 1 0 1 0 narysuj przebiegi na wyjściu koderów kodów transmisyjnych: bipolarnego NRZ, unipolarnego RZ,

Bardziej szczegółowo

Systemy i Sieci Radiowe

Systemy i Sieci Radiowe Systemy i Sieci Radiowe Wykład 5 Sieci szkieletowe Program wykładu Standardy TDM Zwielokrotnianie strumieni cyfrowych PDH a SDH Ochrona łączy Synchronizacja Sieci SDH na różnych poziomach WDM i DWDM 1

Bardziej szczegółowo

Światłowodowy kanał transmisyjny w paśmie podstawowym

Światłowodowy kanał transmisyjny w paśmie podstawowym kanał transmisyjny w paśmie podstawowym Układ do transmisji binarnej w paśmie podstawowym jest przedstawiony na rys.1. Medium transmisyjne stanowi światłowód gradientowy o długości 3 km. Źródłem światła

Bardziej szczegółowo

System transakcyjny oparty na średnich ruchomych. ś h = + + + + gdzie, C cena danego okresu, n liczba okresów uwzględnianych przy kalkulacji.

System transakcyjny oparty na średnich ruchomych. ś h = + + + + gdzie, C cena danego okresu, n liczba okresów uwzględnianych przy kalkulacji. Średnie ruchome Do jednych z najbardziej znanych oraz powszechnie wykorzystywanych wskaźników analizy technicznej, umożliwiających analizę trendu zaliczyć należy średnie ruchome (ang. moving averages).

Bardziej szczegółowo

Potencjał pola elektrycznego

Potencjał pola elektrycznego Potencjał pola elektrycznego Pole elektryczne jest polem zachowawczym, czyli praca wykonana przy przesunięciu ładunku pomiędzy dwoma punktami nie zależy od tego po jakiej drodze przesuwamy ładunek. Spróbujemy

Bardziej szczegółowo

Wartości i wektory własne

Wartości i wektory własne Dość często przy rozwiązywaniu problemów naukowych czy technicznych pojawia się konieczność rozwiązania dość specyficznego układu równań: Zależnego od n nieznanych zmiennych i pewnego parametru. Rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Właściwości światła laserowego

Właściwości światła laserowego Właściwości światła laserowego Cechy charakterystyczne światła laserowego: rozbieżność (równoległość) wiązki, pasmo spektralne, gęstość mocy spójność (koherencja). Równoległość wiązki Dyfrakcyjną rozbieżność

Bardziej szczegółowo

Parametry częstotliwościowe przetworników prądowych wykonanych w technologii PCB 1 HDI 2

Parametry częstotliwościowe przetworników prądowych wykonanych w technologii PCB 1 HDI 2 dr inż. ALEKSANDER LISOWIEC dr hab. inż. ANDRZEJ NOWAKOWSKI Instytut Tele- i Radiotechniczny Parametry częstotliwościowe przetworników prądowych wykonanych w technologii PCB 1 HDI 2 W artykule przedstawiono

Bardziej szczegółowo

Światłowody. Telekomunikacja światłowodowa

Światłowody. Telekomunikacja światłowodowa Światłowody Telekomunikacja światłowodowa Cechy transmisji światłowodowej Tłumiennośd światłowodu (około 0,20dB/km) Przepustowośd nawet 6,875 Tb/s (2000 r.) Standardy - 10/20/40 Gb/s Odpornośd na działanie

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej

Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej Część I: Optyka, wykład 8 wykład: Piotr Fita pokazy: Andrzej Wysmołek ćwiczenia: Anna Grochola, Barbara Piętka Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski 2014/15

Bardziej szczegółowo

8. Analiza widmowa metodą szybkiej transformaty Fouriera (FFT)

8. Analiza widmowa metodą szybkiej transformaty Fouriera (FFT) 8. Analiza widmowa metodą szybkiej transformaty Fouriera (FFT) Ćwiczenie polega na wykonaniu analizy widmowej zadanych sygnałów metodą FFT, a następnie określeniu amplitud i częstotliwości głównych składowych

Bardziej szczegółowo

VI. Elementy techniki, lasery

VI. Elementy techniki, lasery Światłowody VI. Elementy techniki, lasery BERNARD ZIĘTEK http://www.fizyka.umk.pl www.fizyka.umk.pl/~ /~bezet a) Sprzęgacze czołowe 1. Sprzęgacze światłowodowe (czołowe, boczne, stałe, rozłączalne) Złącza,

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Przetwarzanie analogowo-cyfrowe (A C)

Rozdział 5. Przetwarzanie analogowo-cyfrowe (A C) 5. 0. W p r ow adzen ie 1 2 1 Rozdział 5 Przetwarzanie analogowo-cyfrowe (A C) sygnał przetwarzanie A/C sygnał analogowy cyfrowy ciągły dyskretny próbkowanie: zamiana sygnału ciągłego na dyskretny konwersja

Bardziej szczegółowo

Lekcja 19. Temat: Wzmacniacze pośrednich częstotliwości.

Lekcja 19. Temat: Wzmacniacze pośrednich częstotliwości. Lekcja 19 Temat: Wzmacniacze pośrednich częstotliwości. Wzmacniacze pośrednich częstotliwości zazwyczaj są trzy- lub czterostopniowe, gdyż sygnał na ich wejściu musi być znacznie wzmocniony niż we wzmacniaczu

Bardziej szczegółowo

Podstawy Transmisji Przewodowej Wykład 1

Podstawy Transmisji Przewodowej Wykład 1 Podstawy Transmisji Przewodowej Wykład 1 Grzegorz Stępniak Instytut Telekomunikacji, PW 24 lutego 2012 Instytut Telekomunikacji, PW 1 / 26 1 Informacje praktyczne 2 Wstęp do transmisji przewodowej 3 Multipleksacja

Bardziej szczegółowo

Instrukcja obsługi i instalacji repeatera światłowodowego BMK-29.

Instrukcja obsługi i instalacji repeatera światłowodowego BMK-29. Instrukcja obsługi i instalacji repeatera światłowodowego. 1.Wstęp Modułowy repeater światłowodowy umożliwia połączenie pięciu segmentów sieci Ethernet. Posiada cztery wymienne porty, które mogą zawierać

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

Technika regulacji automatycznej

Technika regulacji automatycznej Technika regulacji automatycznej Wykład 5 Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 38 Plan wykładu Kompensator wyprzedzający Kompensator opóźniający

Bardziej szczegółowo

KOOF Szczecin: www.of.szc.pl

KOOF Szczecin: www.of.szc.pl 3OF_III_D KOOF Szczecin: www.of.szc.pl XXXII OLIMPIADA FIZYCZNA (198/1983). Stopień III, zadanie doświadczalne D Źródło: Nazwa zadania: Działy: Słowa kluczowe: Komitet Główny Olimpiady Fizycznej; Waldemar

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania

Bardziej szczegółowo

Metoda elementów skończonych

Metoda elementów skończonych Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną

Bardziej szczegółowo

Dopasowanie prostej do wyników pomiarów.

Dopasowanie prostej do wyników pomiarów. Dopasowanie prostej do wyników pomiarów. Graficzna analiza zależności liniowej Założenie: każdy z pomiarów obarczony jest taką samą niepewnością pomiarową (takiej samej wielkości prostokąty niepewności).

Bardziej szczegółowo

Sympozjum Trwałość Budowli

Sympozjum Trwałość Budowli Sympozjum Trwałość Budowli Andrzej ownuk ROJEKTOWANIE UKŁADÓW Z NIEEWNYMI ARAMETRAMI Zakład Mechaniki Teoretycznej olitechnika Śląska pownuk@zeus.polsl.gliwice.pl URL: http://zeus.polsl.gliwice.pl/~pownuk

Bardziej szczegółowo

Zmiany fazy/okresu oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego.

Zmiany fazy/okresu oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego. Strona 1 z 38 Zmiany fazy/okresu oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego. Alicja Rzeszótko alicja@cbk.waw.pl 2 czerwca 2006 1 Omówienie danych 3 Strona główna Strona 2 z 38 2

Bardziej szczegółowo

FACULTY OF ADVANCED TECHNOLOGIES AND CHEMISTRY. Wprowadzenie Podstawowe prawa Przetwarzanie sygnału obróbka optyczna obróbka elektroniczna

FACULTY OF ADVANCED TECHNOLOGIES AND CHEMISTRY. Wprowadzenie Podstawowe prawa Przetwarzanie sygnału obróbka optyczna obróbka elektroniczna Interferometry światłowodowe Wprowadzenie Podstawowe prawa Przetwarzanie sygnału obróbka optyczna obróbka elektroniczna Wprowadzenie Układy te stanowią nową klasę czujników, gdzie podstawowy mechanizm

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

POMIARY WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH

POMIARY WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH POMIARY WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH Dr inż. Eligiusz PAWŁOWSKI Politechnika Lubelska Wydział Elektrotechniki i Informatyki Prezentacja do wykładu dla EMST Semestr letni Wykład nr 2 Prawo autorskie Niniejsze

Bardziej szczegółowo

Algorytmy genetyczne

Algorytmy genetyczne Algorytmy genetyczne Motto: Zamiast pracowicie poszukiwać najlepszego rozwiązania problemu informatycznego lepiej pozwolić, żeby komputer sam sobie to rozwiązanie wyhodował! Algorytmy genetyczne służą

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

Przedmowa Wykaz oznaczeń Wykaz skrótów 1. Sygnały i ich parametry 1 1.1. Pojęcia podstawowe 1 1.2. Klasyfikacja sygnałów 2 1.3.

Przedmowa Wykaz oznaczeń Wykaz skrótów 1. Sygnały i ich parametry 1 1.1. Pojęcia podstawowe 1 1.2. Klasyfikacja sygnałów 2 1.3. Przedmowa Wykaz oznaczeń Wykaz skrótów 1. Sygnały i ich parametry 1 1.1. Pojęcia podstawowe 1 1.2. Klasyfikacja sygnałów 2 1.3. Sygnały deterministyczne 4 1.3.1. Parametry 4 1.3.2. Przykłady 7 1.3.3. Sygnały

Bardziej szczegółowo

Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2015/2016 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody.

Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2015/2016 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody. Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 05/06 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody Przedmiot: MATEMATYKA Klasa I (60 godz) Rozdział. Liczby rzeczywiste Numer

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Metoda programowania dynamicznego........... 5

Bardziej szczegółowo

CHARAKTERYSTYKI BRAMEK CYFROWYCH TTL

CHARAKTERYSTYKI BRAMEK CYFROWYCH TTL CHARAKTERYSTYKI BRAMEK CYFROWYCH TTL. CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczenia jest poznanie zasad działania, budowy i właściwości podstawowych funktorów logicznych wykonywanych w jednej z najbardziej rozpowszechnionych

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych 9. Minimalizacja: funkcje jednej zmiennej. P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/

Wstęp do metod numerycznych 9. Minimalizacja: funkcje jednej zmiennej. P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ Wstęp do metod numerycznych 9. Minimalizacja: funkcje jednej zmiennej P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2011 Lokalna minimalizacja ciagła Minimalizacja funkcji jest jedna z najważniejszych

Bardziej szczegółowo

Podstawy systemów kryptograficznych z kluczem jawnym RSA

Podstawy systemów kryptograficznych z kluczem jawnym RSA Podstawy systemów kryptograficznych z kluczem jawnym RSA RSA nazwa pochodząca od nazwisk twórców systemu (Rivest, Shamir, Adleman) Systemów z kluczem jawnym można używać do szyfrowania operacji przesyłanych

Bardziej szczegółowo

ANALIZA WPŁYWU WYBRANYCH PARAMETRÓW SYGNAŁU WYMUSZAJĄCEGO NA CZAS ODPOWIEDZI OBIEKTU

ANALIZA WPŁYWU WYBRANYCH PARAMETRÓW SYGNAŁU WYMUSZAJĄCEGO NA CZAS ODPOWIEDZI OBIEKTU II Konferencja Naukowa KNWS'05 "Informatyka- sztuka czy rzemios o" 15-18 czerwca 2005, Z otniki Luba skie ANALIZA WPŁYWU WYBRANYCH PARAMETRÓW SYGNAŁU WYMUSZAJĄCEGO NA CZAS ODPOWIEDZI OBIEKTU Piotr Mróz

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do ćwiczenia nr 23. Pomiary charakterystyk przejściowych i zniekształceń nieliniowych wzmacniaczy mikrofalowych.

Instrukcja do ćwiczenia nr 23. Pomiary charakterystyk przejściowych i zniekształceń nieliniowych wzmacniaczy mikrofalowych. Instrukcja do ćwiczenia nr 23. Pomiary charakterystyk przejściowych i zniekształceń nieliniowych wzmacniaczy mikrofalowych. I. Wstęp teoretyczny. Analizator widma jest przyrządem powszechnie stosowanym

Bardziej szczegółowo

Excel - użycie dodatku Solver

Excel - użycie dodatku Solver PWSZ w Głogowie Excel - użycie dodatku Solver Dodatek Solver jest narzędziem używanym do numerycznej optymalizacji nieliniowej (szukanie minimum funkcji) oraz rozwiązywania równań nieliniowych. Przed pierwszym

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

WYBÓR PUNKTÓW POMIAROWYCH

WYBÓR PUNKTÓW POMIAROWYCH Scientific Bulletin of Che lm Section of Technical Sciences No. 1/2008 WYBÓR PUNKTÓW POMIAROWYCH WE WSPÓŁRZĘDNOŚCIOWEJ TECHNICE POMIAROWEJ MAREK MAGDZIAK Katedra Technik Wytwarzania i Automatyzacji, Politechnika

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 3: Analiza struktury zbiorowości statystycznej. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 3: Analiza struktury zbiorowości statystycznej. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin. Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 3: Analiza struktury zbiorowości statystycznej dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Zadania analityczne (1) Analiza przewiduje badanie podobieństw

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY MODELOWANIA UKŁADÓW DYNAMICZNYCH W JĘZYKACH SYMULACYJNYCH

PODSTAWY MODELOWANIA UKŁADÓW DYNAMICZNYCH W JĘZYKACH SYMULACYJNYCH PODSTAWY MODELOWANIA UKŁADÓW DYNAMICZNYCH W JĘZYKACH SYMULACYJNYCH ( Na przykładzie POWERSIM) M. Berndt-Schreiber 1 Plan Zasady modelowania Obiekty symbole graficzne Dyskretyzacja modelowania Predefiniowane

Bardziej szczegółowo

IMPLEMENTATION OF THE SPECTRUM ANALYZER ON MICROCONTROLLER WITH ARM7 CORE IMPLEMENTACJA ANALIZATORA WIDMA NA MIKROKONTROLERZE Z RDZENIEM ARM7

IMPLEMENTATION OF THE SPECTRUM ANALYZER ON MICROCONTROLLER WITH ARM7 CORE IMPLEMENTACJA ANALIZATORA WIDMA NA MIKROKONTROLERZE Z RDZENIEM ARM7 Łukasz Deńca V rok Koło Techniki Cyfrowej dr inż. Wojciech Mysiński opiekun naukowy IMPLEMENTATION OF THE SPECTRUM ANALYZER ON MICROCONTROLLER WITH ARM7 CORE IMPLEMENTACJA ANALIZATORA WIDMA NA MIKROKONTROLERZE

Bardziej szczegółowo

System bonus-malus z mechanizmem korekty składki

System bonus-malus z mechanizmem korekty składki System bonus-malus z mechanizmem korekty składki mgr Kamil Gala Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny dr hab. Wojciech Bijak, prof. SGH Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny, Szkoła Główna Handlowa Zagadnienia

Bardziej szczegółowo

Często spotykany jest również asymetryczny rozkład gamma (Г), opisany za pomocą parametru skali θ i parametru kształtu k:

Często spotykany jest również asymetryczny rozkład gamma (Г), opisany za pomocą parametru skali θ i parametru kształtu k: Statystyczne opracowanie danych pomiarowych W praktyce pomiarowej często spotykamy się z pomiarami wielokrotnymi, gdy podczas pomiaru błędy pomiarowe (szumy miernika, czynniki zewnętrzne) są na tyle duże,

Bardziej szczegółowo