Fizyka ćwiczenia laboratoryjne

Transkrypt

1 Fizyka ćwiczenia laboratoryjne JOLANTA RUTKOWSKA, TOMASZ KOSTRZYŃSKI, KONRAD ZUBKO SKRYPT WAT, WARSZAWA Teoria zjawisk fizycznych została pogrupowana w następujące działy: Mechanika Drgania i Fale Elektryczność i agnetyz Optyka Jądro, ato, ciało stałe Ciecze i gazy Inforacje przydatne w dany ćwiczeniu ogą znajdować się w różnych działach. MECHANIKA Spis treści I. Działanie wagi belkowej... II. Wyznaczanie gęstości ciał...4 III. Siła Coriolisa...6 IV. Zderzenie centralne: sprężyste i niesprężyste...8 V. Moduły Younga i Kirchoffa, współczynnik Poissona...0 VI. Moent bezwładności bryły sztywnej... VII. Środek asy i twierdzenie Steinera...4 VIII. Wyznaczanie deforacji, pracy, aksyalnej siły i odułu Younga w czasie zderzenia sprężystego...7 IX. Wyznaczanie odułu Kirchoffa podczas drgań haronicznych pręta...0 X. Wyznaczanie transforacji energii echanicznej w krążku Maxwella... XI. Wyznaczanie oentu bezwładności ciał za poocą aszyny Atwooda...5 XII. Wyznaczenie prędkości lotu ciała...8

2 I. Działanie wagi belkowej Opis użyteczny do zrozuienia ćwiczenia nr oraz innych. Rys. I.. Odchylenie ciała od pierwotnego toru OA 3 w prawo spowodowane siłą Coriolisa. Łuki A B, A B, A 3 B 3 są drogai przebytyi przez ciało pod wpływe tej siły odpowiednio po czasach t, t, 3t. Analityczne wagi belkowe działają w oparciu o zasadę dźwigni równoraiennej. Składa się z belki opartej w środku na ostrzu pryzatu i szalek zawieszonych na jej końcach również na precyzyjnych ostrzach. Wahanie wagi odbywa się w jednej płaszczyźnie. Aby waga wytrącona z położenia równowagi saodzielnie do niego powracała (stanowiła układ o równowadze trwałej), belka wagi usi ieć taki kształt, aby jej środek ciężkości był położony poniżej punktu podparcia. W zrównoważonej wadze równoraiennej następuje zrównoważenie oentów sił ciężkości g l = g l co gwarantuje równość as =. (I.) Wynika stąd, że za poocą wagi belkowej porównujey asy dwu ciał: ciała ważonego i odważników. Najważniejszy paraetre wagi określający zakres jej stosowalności jest tzw. czułość wagi. Jeżeli na jednej z szalek uieściy nadiarową asę, to belka odchyli się od pozioego położenia równowagi o pewien kąt i zatrzya się w ty położeniu, jako w nowy położeniu równowagi (rys.). Warunek równości oentów sił przyjie wówczas postać: G l cos b g S sin G l cos g l cos (I.) gdzie: b asa belki wagi, l długość raienia belki, S odległość środka ciężkości belki od punktu podparcia belki, G ciężar szalki z odważnikai w stanie zrównoważony wagi (patrz rys. I.). stąd: l tg (I.3) bs Jeżeli kąt jest ały (co zwykle a iejsce), ożey zastąpić tg przez, a za iarę tego kąta przyjąć ilość podziałek a o którą odchyla się wskazówka wagi. Przy tych uproszczeniach otrzyujey: l a (I.3) S b Z powyższej uproszczonej zależności widziy, że odchylenie wskazówki wagi jest proporcjonalne do nadiarowej asy i długości raienia belki, a odwrotnie proporcjonalne do asy belki i odległości środka ciężkości belki od punktu zawieszenia belki. Paraetry l, S i b są paraetrai konstrukcyjnyi wagi, dlatego powyższą równość najczęściej zapisuje się w postaci:

3 l gdzie C nazyway czułością wagi. S b a C (I.4) a Jeśli zapiszey ją w jeszcze innej forie: C, to jasno zobaczyy, że czułość wagi [g] podaje o ile działek przesunie się wskazówka wagi przy nadwadze g. Stosowane w pracowni podzialka wagi analityczne pozwalają ważyć z dokładnością do 0, g i ają czułość rzędu. 0, g Rys. I.. Równowaga belki wagi odchylonej od poziou. 3

4 II. Wyznaczanie gęstości ciał Opis użyteczny do zrozuienia ćwiczenia nr oraz innych. Jedną z podstawowych etod laboratoryjnych wyznaczania gęstości ciał jest etoda piknoetryczna. Pod pojęcie gęstości ciała rozuiey asę jednostkowej objętości tego ciała. Jeśli ciało jest jednorodne, to jego gęstość ożey znaleźć dzieląc asę ciała przez jego objętość V: V (II.) Piknoetr jest specjalny naczynie gwarantujący stałość objętości wypełniającego go ośrodka, przy zachowaniu stałości teperatury. Jest to niewielkie naczynie szklane (o objętości około 50 c 3 ) na ogół w kształcie kolby z dokładnie doszlifowany korkie. Przez środek korka przechodzi otworek, który wypływa nadiar cieczy. Średnica tego kanalika powinna być jak najniejsza. Zabezpiecza to zawartą w piknoetrze ciecz przed parowanie. Przy badaniu cieczy o dużej lotności (jak np. eter) dodatkowo nakłada się warstwę ochronną z oleju na powierzchnię kanalika. Metoda piknoetryczna jest etodą porównawczą. W przypadku wyznaczanie gęstości cieczy należy określić następujące asy:. C asę badanej cieczy uieszczonej w piknoetrze. W asę cieczy wzorcowej wypełniającej piknoetr Znając gęstość cieczy wzorcowej W oraz asę W ożna ustalić z dużą dokładnością objętość piknoetru: W Vp (II.) Jako cieczy wzorcowej najczęściej używa się wody destylowanej, gdyż dobrze znana jest zależność jej gęstości od teperatury. Gęstość badanej cieczy znajdujey z wyrażenia: C V C P W praktyce należy wykonać następujące ważenia: P pustego piknoetru Wówczas: PW piknoetru wypełnionego cieczą wzorcową PC piknoetru wypełnionego cieczą o nieznanej gęstości C W PC PW P P W C W W (II.3) (II.4) (II.5) i zgodnie z zależnością (II.3) po podstawieniu powyższych relacji, gęstość cieczy określay z wyrażenia: PC P C W (II.6) PW P 4

5 W celu wyznaczenia gęstości ciała stałego należy dodatkowo wykonać ważenie: S ciała stałego PWS piknoetru z wodą z zanurzony w niej ciałe stały Oznaczając przez V S objętość ciała stałego, jego asę ożna wyrazić zależnością: gdzie S PWS ( PW VS W V W jest asą wody wypartej z piknoetru przez ciało. Po przekształceniu otrzyujey wzór na objętość ciała stałego: S PWS VS W Na bazie definicji gęstości ożey ostatecznie napisać: S S PWS PW ) PW (II.7) (II.8) S S S W (II.9) V Ponieważ objętość piknoetru jest znacznie większa od objętości odważników należy zastanowić się czy w powyższych rozważaniach nie należałoby uwzględnić siły wyporu, która powoduje, że asa rzeczywista ciała ważonego * jest większa niż asa odważników O : * ρ ( V V ) O p odw gdzie: V objętość ciała ważonego, V odw objętość odważników, Poddajy powyższy wzór kilku przekształcenio: * * C odw CV O ρ p V Vodw C odw odwvodw gdzie: ρ C gęstość ciała ważonego, ρ odw gęstość odważników. O O ρ p gęstość powietrza. O P P C odw (II.0) Wielkość poprawki (wyrażenie w nawiasie) zależy od gęstości ciała ważonego ρ C. Ze względu na syetrię wzoru (II.7) dwie takie poprawki uwzględnione przy ważeniu cieczy badanej i cieczy wzorcowej wzajenie znoszą się, jeśli tylko gęstości obu cieczy nie różnią się dużo (gdyż we wzorze II.7 występuje stosunek as obu cieczy). I ta różnica jest niejsza, ty niejszy jest błąd systeatyczny etody piknoetrycznej. Powyższy wniosek ożna uogólnić na wszystkie etody porównawcze, przy stosowaniu, których zawsze dążyy do takiej sytuacji, aby wielkości szukana i wzorcowa były ożliwie zbliżone wartościai. Zastosowanie etody porównawczej do wyznaczenia gęstości cieczy przynosi dwie korzyści: nie jest potrzebna znajoość dokładnej pojeności piknoetru oraz nie zachodzi konieczność uwzględniania poprawki spowodowanej wypore powietrza. W przypadku wyznaczenia gęstości ciała stałego nie a potrzeby uwzględniania oawianej poprawki, gdyż jego objętość jest ała (bliska objętości odważników). Zate wyprowadzone wcześniej wzory (II.6) i (II.9) są z dobry przybliżenie słuszne i stanowią podstawę do obliczeń. 5

6 III. Siła Coriolisa Opis użyteczny do zrozuienia ćwiczenia nr 3 oraz innych. Wyobraźy sobie obserwatora siedzącego w środku obracającej się tarczy nadającego piłce prędkość początkową skierowaną wzdłuż proienia tarczy. Obserwator zewnętrzny (znajdujący się poza obracający kołe) nie zobaczy w ty procesie nic szczególnego. Piłka poruszała się po prostej ruche jednostajny (rys. III.a). Natoiast obserwator siedzący na tarczy zauważył, że piłka wcale nie poruszała się (względe jego i tarczy) po prostej OD, ale po łuku OLC (rys. III.b). Rys. III.. Ruch piłki po wirującej tarczy: a) dla obserwatora zewnętrznego, b) dla obserwatora związanego z tarczą. W układzie wirujący dla obserwatora związanego z ty układe pojawia się pewna siła powodująca zakrzywienie toru ruchu ciała poruszającego się po proieniu na zewnątrz tarczy. Ciało to odchylała się od pierwotnego toru OD w prawo (na tarczy obracającej się niezgodnie ze wskazówkai zegara), czyli siła działa w prawo, czyli prostopadle do wektora prędkości v. Siłę tę od nazwiska odkrywcy nazyway siłą Coriolisa. Należy jeszcze raz ocno podkreślić, że nie istnieje ona w układzie nieruchoego (zewnętrznego) obserwatora. Zajijy się teraz ateatyczny opise tego zjawiska; niech na tarczy obracającej się ruche jednostajny, piłka znajduje się w jej środku (w punkcie O, rys. III..). Nadajy piłce prędkość v o skierowaną ku punktowi A 3. W układzie nieruchoy tore piłki będzie prosta OA A A 3, natoiast na obracającej się tarczy piłka zakreśli łuk OB B B 3, odchylony od OA 3 w kierunku przeciwny do kierunku ruchu tarczy. Jeśli w układzie nieruchoy odcinek OA = s został przebyty przez piłkę w czasie t, to w ty say czasie punkt A tarczy przebył drogę A B. Fakt ten pozwala na napisać dwa równania: s v t (III.) i A B s t (III.) gdzie oznacza prędkość kątową tarczy. Podstawiając s wyrażone pierwszy równanie do drugiego, otrzyay A B v ( t (III.3) ) Z zależności tej widziy, że w układzie obserwatora związanego z tarczą drogę A B piłka przebywa ruche jednostajnie przyśpieszony, gdyż droga rośnie z kwadrate czasu. Aby lepiej to zrozuieć, zauważy, że odcinki OA, A A i A A 3 są sobie równe, zate przesunięcie piłki w kierunku proienia, poiędzy sąsiednii okręgai kół, dokonuje się w równych czasach t. 6

7 W ty say czasie t tarcza zakreśla kąt t, co na rys. III.. pokazano trzy razy. Kolejne drogi A B, A B, A 3 B 3 pozostają do siebie w stosunku kwadratów kolejnych liczb całkowitych ( : 4 : 9 :...). Długość łuku AB = r. W ty say czasie t, gdy np. rośnie dwa razy, także r rośnie dwa razy, więc długość łuku rośnie czterokrotnie. Fakt taki obserwator ruchoy oże przypisać tylko działaniu stałej siły. W czasie t a ona kierunek A B, a więc jest prostopadła do wektora prędkości v. Wywołuje ona przyśpieszenie, które obliczyy ze wzoru na drogę przebytą w ruchu jednostajnie przyspieszony: A B ac ( t) (III.4) Przyrównując do siebie oba ostatnie wzory (III.3) i (III.4) otrzyujey: a c v (III.5) Jest to wzór na tzw. przyśpieszenie Coriolisa. Siła Coriolisa, która działając na ciało wywołuje to przyśpieszenie, opisana jest wzore: F c v (III.6) Wzór ten wyraża tylko wartość siły Coriolisa, brak w ni jakichkolwiek inforacji o ty, że siła ta jest prostopadła do osi obrotu i wektora prędkości v, oraz jaki jest jej zwrot. Obie te inforacje tkwić będą w say wzorze, jeśli napiszey go w sybolice wektorowej. Przyśpieszenie Coriolisa jest iloczyne wektorowy, ze współczynnikie, wektorów prędkości liniowej v ciała i prędkości kątowej obracającego się układu: a v c (III.7) Jeśli obie strony tego wzoru ponożyy przez asę ciała, otrzyay wzór na siłę Coriolisa F ( c v ) (III.8) Łatwo sprawdzić, że kierunek i zwrot siły Coriolisa w oówiony przez nas wypadku zgadza się z kierunkie i zwrote v (reguła śruby prawoskrętnej). Obliczy odchylenie AB ciała pod wpływe siły Coriolisa. Przez analogię do wzoru (III.4) ożna napisać: AB ac t (III.9) gdzie: t czas ruchu ciała od środka tarczy wynosi s v. Podstawiając tę zależność do (III.9) i korzystając ze wzoru (III.5) otrzyujey: AB s v (III.0) Funkcja AB f s ) jest liniowa. Na jej podstawie ożna wyznaczyć z poiarów przyśpieszenie i siłę Coriolisa podczas ruchu piłki po obracającej się tarczy. ( 7

8 IV. Zderzenie centralne: sprężyste i niesprężyste Opis użyteczny do zrozuienia ćwiczeń nr 33, 39 oraz innych. Dwie jednorodne kule poruszają się w ty say kierunku ruche postępowy wzdłuż prostej wyznaczonej przez ich środki geoetryczne. Niech jedna z kul o asie porusza się z prędkością V, a druga o asie z prędkością V V (rys. IV.). Przedstawione założenia dotyczą zderzenia centralnego kul. Rys. IV.. Zderzenie centralne (sytuacja przed zderzenie). Jeżeli kule wykonane są z ateriału niesprężystego tzn. po zderzeniu odkształcenie będzie trwałe i kule złączone w chwili zderzenia poruszać się będą ze wspólną prędkością V (rys. IV.). Zjawisko takie nazyway zderzenie niesprężysty. Rys. IV.. Zderzenie niesprężyste (stan po zderzeniu). Rozpatrując obydwie kule jako zaknięty układ ciał, ożna z zasady zachowania pędu wyznaczyć wartość prędkości V połączonych kul: stąd: V V V ( ) V (IV.) V V (IV.) Jeżeli zderzające się kule wykonane są z ateriału sprężystego (np. ze stali) to w chwili zderzenia następuje ich odkształcenie, poruszają się przez pewien czas raze z prędkością V, następnie wskutek działania sił sprężystości wracają do pierwotnej postaci odpychając się od siebie, co powoduje, że poruszają się z prędkościai prędkość V V. V i V (rys. IV.3) przy czy prędkość V V, a Rys. IV.3. Zderzenie sprężyste (stan po zderzeniu). 8

9 Zderzenie sprężyste charakteryzuje się ty, że oprócz pędu podczas pędu zostaje zachowana również energia kinetyczna: V V ( V ) ( V V V V V Rozwiązując ten układ równań względe prędkości kulek po zderzeniu V i V : (V V ) (V V ) (V V ) (V V ) (V V ) (V V ) V V V V ) (IV.3) (IV.4) (IV.5) (IV.6) V (IV.7) V V V V V V V V V (IV.8) (IV.9) V ) ( V V V V otrzyuje się ostatecznie następujące wyrażenia na prędkości obu kulek po zderzeniu: V V ( ) V V - V ( ) V V - V (IV.) (IV.) (IV.0) W czasie zderzenia sprężystego kulek ich energia kinetyczna zostaje zieniona na energię sprężystości kulek, którą po zderzeniu znajdujey z powrote w ich energii kinetycznej. Przekazywanie energii odbywa się w czasie T. 9

10 V. Moduły Younga i Kirchhoffa, współczynnik Poissona Opis użyteczny do zrozuienia ćwiczeń nr 36, 39, 40, 4 oraz innych. Rozważy przypadek, gdy siły działające na ciało powodują jego sprężyste odkształcenie tzn. deforacja zanika po ustąpieniu siły odkształcającej F. W zależności od kąta utworzonego przez wektory siły działającej z powierzchnią ciała odkształconego rozróżniay siły F n działające prostopadle do powierzchni (siły noralne)oraz siły F s działające stycznie do powierzchni (siły styczne). Siły te przedstawione są na rys. V.. Rys. V.. Działanie na ciało sił stycznych F S do powierzchni. Naprężenie noralne to stosunek siły noralnej do pola powierzchni, na którą ta siła działa: F n (V.) S Miarą odkształcenia, jakiego ciało doznaje pod wpływe takiej siły jest wielkość odkształcenie względnego, będąca stosunkie ziany długości ciała z w kierunku zgodny z kierunkie działania siły do długości początkowej z. z (V.) z Między wielkościai i zachodzi związek znany jako prawo Hooke a Cauchy ego: E (V.3) Współczynnik proporcjonalności E zwany odułe Younga jest równy liczbowo naprężeniu, które powoduje odkształcenie względe danego ciała równe jedności (dwukrotne wydłużenie). Jest współczynnikie ateriałowy (charakterystyczny dla danego ateriału) o wyiarze [N - ]. Równanie (V.3) to podstawowe prawo teorii sprężystości wiążące odkształcenia echaniczne ciała stałego z siłai (naprężeniai), które te odkształcenia wywołują. W najprostszy (przytoczony tu) sforułowaniu stwierdza ono, że odkształcenie ciał jest wprost proporcjonalne do wywołującej je siły. Prawu Hooke a Cauchy ego podlegają wszystkie ciała sprężyste w zakresie naprężeń nie przekraczających pewnej wartości zwanej granicą proporcjonalności. Naprężenie styczne jest to stosunek siły stycznej F s do powierzchni S, na którą ta siła działa. Efekt działania takiego naprężenia nazyway ścinanie prosty: 0

11 F s (V.4) S Odkształcenie względne ierzy się za poocą tzw. kąta ścinania (kąta poiędzy płaszczyzną pierwotną a płaszczyzną odwróconą na skutek ścinania (rys. V.)). Prawo Hooke a przyjuje wówczas postać: G (V.5) Współczynnik G, zwany odułe sprężystości lub odułe Kirchhoffa, a wyiar [N - rad - ]. Podczas odkształcenia sprężystego następującego pod wpływe działania sił noralnych zachodzi ziana wszystkich wyiarów ciała. Względne zwężenie jest proporcjonalne do względnego wydłużenia ciała: y z (V.6) y z Wielkość nazywana jest współczynnikie Poissona. Poiędzy wprowadzonyi współczynnikai G, oraz odułe Younga E zachodzi związek: E G ( ) (V.7)

12 VI. Moent bezwładności bryły sztywnej Opis użyteczny do zrozuienia ćwiczeń nr 4, 5, 36, 39, 40, 4, 4 oraz innych. Zdefiniujy oent bezwładności bryły sztywnej. Załóży, że bryła obraca się wokół osi L ze stałą prędkością kątową i składa się z n as punktowych i (rys. VI.). Rys. VI.. Bryła sztywna w ruchu obrotowy wokół osi L. Każda z tych as posiada prędkość liniową v i zależną od jej odległości od osi obrotu r i : v i ri oraz energię kinetyczną E ki : E ki i vi i ri (VI.) Energia kinetyczna całej bryły jest suą energii kinetycznych poszczególnych as punktowych: n n EkO Eki i ri (VI.) i i Z porównania wzoru (VI.) z wyrażenie na energię kinetyczną w ruchu postępowy: Ekp v (VI.3) wynika wniosek, że odpowiednikie prędkości liniowej v jest prędkość kątowa, a asy całej bryły wielkość oent bezwładności J względe ustalonej osi obrotu zdefiniowany jako: J n i r i i (VI.4) Uwzględniając wyrażenie (VI.4) wzór na energię kinetyczną w ruchu obrotowy przyjuje postać: E ko J (VI.5) Moent bezwładności względe wybranej osi obrotu zgodnie ze wzore (VI.4) zależy od wyboru osi obrotu oraz od sposobu rozłożenia względe niej asy ciała, czyli od kształtu ciała. Wychodząc z definicji (VI.4) ożna teoretycznie obliczyć oenty bezwładności dla wielu regularnych brył, uzależniając je od całkowitej asy i od ich roziarów geoetrycznych. Na

13 przykład oenty bezwładności względe osi przechodzących przez środek ciężkości wynoszą dla: walca J R gdzie R proień walca, kuli J R 5 gdzie R proień kuli, pierścienia J ( R R ) gdzie R, R proienie pierścienia. 3

14 VII. Środek asy i twierdzenie Steinera Opis użyteczny do zrozuienia ćwiczeń nr 36, 39, 40, 4, 4 oraz innych. Twierdzenie Steinera zwane twierdzenie o osiach równoległych dotyczy związku poiędzy oente bezwładności danej bryły sztywnej względe dowolnej osi równoległej do osi przechodzącej przez środek asy bryły, a oente bezwładności tej bryły względe osi przechodzącej przez środek asy. Dla stosowanie tego twierdzenia niezbędna jest znajoość położenia środka asy danej bryły sztywnej. Dla układu dyskretnego składającego się z N as o wartościach i asa całego układu M jest suą as składowych i a środek asy układu wyznacza się następująco. Należy obrać dowolny punkt w przestrzeni, będący punkte odniesienia, względe którego określone zostanie położenie środka asy. Wektory r i xi, yi, zi opisują położenia poszczególnych as i względe punktu odniesienia. Odległość środka asy od punktu odniesienia określona wektore r x, y, z zgodnie z definicją wyznaczana jest zależności: c c c c r c N r M i i którą ożna rozłożyć na trzy następujące wyrażenia: i (VII.) x y z c c c M M M N i N i N i x i y z i i i i i (VII.a) (VII.b) (VII.c) W przypadku ciała rozciągłego, aby wyznaczyć jego środek asy należy rozłożyć ciało na nieskończenie wiele as d, których położenia względe punktu odniesienia są określa wektor r x, y, z. Wówczas we wzorach (VII.) suy przyjują postać całek po wszystkich eleentach d, czyli po całej objętości ciała sztywnego: r c M r d (VII.) to znaczy x c M x d (VII.a) y c y d M (VII.b) z c z d M (VII.c) W szczególny przypadku, gdy punkt odniesienia pokrywa się ze środkie asy, wówczas wektor r 0, 0, 0 i spełnione są zależności: C x d 0 ; y d 0 ; z d 0 (VII.3) 4

15 Wielkość fizyczna zwana oente bezwładności określa bezwładność ciała sztywnego podczas wykonywania ruchu obrotowego. Wartość oentu bezwładności zależy od osi, wokół której odbywa się obrót ciała. Jeżeli znany jest oent bezwładności ciała względe osi obrotu przechodzącej przez środek asy ciała, to za poocą twierdzenia Steinera ożna wyznaczyć oente bezwładności tego ciała względe innej osi równoległej do niej. Dla ciała przedstawionego na powyższy rysunku znany oent bezwładności względe osi obrotu przechodzącej przez jego środek asy (oś Z) wyraża się całką: J Z ( x y ) d (VII.4) Wyrażenie x określa kwadrat odległości eleentu d od osi Z. y Moent bezwładności względe osi obrotu Z * równoległej do osi Z i oddalonej od niej o d x c y c, gdzie współrzędne x c i y c określają położenie środka asy rozpatrywanego ciała w nowy układzie współrzędnych związany z osią Z * wyrazić ożna następująco: * J Z ( x y ) d (VII.5) Rys. VII.. Rysunek do wyprowadzenia twierdzenia Steinera. Wyrażenie x y określa odległość eleentu d od nowej osi Z *, poiędzy współrzędnyi zachodzą następujące związki: x xc x y yc y (VII.6) Podstawiając wzory (VII.6) do (VII.5) otrzyuje się wyrażenie: J z xc x yc y d xc xcx x yc yc y y dalej grupując wyrażenia * J x y d xc yc d xc xd yc d (VII.7) y d (VII.8) z 5

16 W wyrażeniu (VII.8) pierwsza całka (zgodnie z VII.4) odpowiada oentowi bezwładności względe osi przechodzącej przez środek asy J. Z kolei ponieważ spełnione są zależności x C yc d i d M druga całka w wyrażeniu (VII.8) przyjuje postać: x y d d M C C z (VII.9) Natoiast dwie ostatnie całki w wyrażeniu (VII.8) są równe zero, gdyż spełniony jest warunek (3) tzn. położenie środka asy w układzie odniesienia związany z osią Z określa wektor r 0, 0, 0. Reasuując równanie (VII.7) przyjuje ostatecznie postać: c J z J z M d (VII.0) Zależność (VII.0) wyraża twierdzenie Steinera opisujące związek iędzy oentai bezwładności J z i J z. 6

17 VIII. Wyznaczanie deforacji, pracy, aksyalnej siły i odułu Younga w czasie zderzenia sprężystego Opis użyteczny do zrozuienia ćwiczeń nr 33, 39 oraz innych. Rozpatrujey centralne zderzenie sprężyste jednorodnych kul. W czasie zderzenia kule deforują się. Deforacja polega na wgnieceniu do wnętrza kuli części objętości ającej kształt czaszy o wysokości h i proieniu r (rys. VIII.). Proień r jest największy proienie koła zetknięcia kul. Rys. VIII.. Deforacja kuli w czasie zderzenia. Wielkość deforacji kuli h ożna obliczyć zakładając, że od chwili zetknięcia się kul ich ruch jest T ruche jednostajnie opóźniony i po czasie t prędkość kul aleje do zera: a t h vot (VIII.) Opóźnienie ruchu jednostajnie opóźnionego znajduje się z zależności: 0 v o a t (VIII.) Wobec tego: v t v t h v t o o o (VIII.3) t Prędkość v o wyznacza się z zasady zachowania energii echanicznej w polu grawitacyjny Ziei. Rozpatrzy dwie kule, które w chwili początkowej kule znajdują się o H wyżej od ich położenia najniższego (rys. VIII.). Energia potencjalna kul zostaje w oencie zderzenia zaieniona na energię kinetyczną: v g h o (VIII.4) Stąd ożna wyznaczyć prędkość kulek w oencie zderzenia: v o g H (VIII.5) 7

18 Wstawiając do wyrażenia (VIII.3) w iejsce v o wyrażenie określone wzore (VIII.5), a w iejsce t połowę czasu trwania zdarzenia otrzyuje się wyrażenie opisujące aksyalną wielkość v wgniecenia kuli h jako: ot g H T h (VIII.6) Rys. VIII.. Określenie różnicy wysokości położenia kul przed i podczas zderzenia H=H -H. Zachodzące odkształcenie kul podczas zderzenia jest przypadkie złożony i nie da się w prosty sposób wyprowadzić z prawa Hooke a Cauchy ego, ale ożna dopatrzyć się tu pewnych analogii. Występujące przy zderzeniu skrócenie proienia kuli o wartość h ożna powiązać ze współczynnikai ateriałowyi odułe Younga i współczynnikie Poissona wówczas: 3 Fh h (VIII.7) 4 E r Stąd przybliżony oduł Younga w analizowany przypadku, gdy przyjiey, że rozpatrywane kule wykonane są ze stali (μ=0,6) ożna wyrazić jako: gh E,389 (VIII.8) rh Proień r ożna wyznaczyć z twierdzenia Pitagorasa (rys. VIII.): R k ( R h) r stąd: r Rk h h k (VIII.9) (VIII.0) Ze względu na ałą wysokość czaszy kulistej h drugi wyraz w powyższy wzorze ożna zaniedbać jako bardzo ały w porównaniu z pierwszy i stąd otrzyuje się: r R h (VIII.) k 8

19 Zderzające się kule działają na siebie siłą F( x) kx rosnąco liniowo wraz z deforacją do wartości F h dla x h, wykonując przy ty pracę: h h W F x dx ( ) kx dx k h Fh 0 0 h (VIII.) Zgodnie z obowiązującą podczas zderzenia sprężystego zasadą zachowania energii praca ta w chwili zderzenia jest równa energii kinetycznej kulek, a ta energii potencjalnej: g h Fh h (VIII.3) Stąd otrzyuje się wyrażenie na aksyalną siłę nacisku kul podczas zderzenia: g H F h (VIII.4) h 9

20 IX. Wyznaczanie odułu Kirchoffa podczas drgań haronicznych pręta Opis użyteczny do zrozuienia ćwiczenia nr 40 oraz innych. Jeśli jeden z końców długiego jednorodnego pręta sztywno zaocować, a do drugiego przyłożyć skręcający oent sił M, to koniec ten przekręci się o kąt, zgodnie z zależnością: M D (IX.) Dla danego zaocowanego pręta stała wielkość D nosi nazwę odułu skręcenia lub oentu kierującego. Liniowa zależność poiędzy M i wyrażona wzore (IX.) zachodzi tylko dla niewielkich wartości M. W ogólny przypadku zależność ta oże być nieliniowa lub nawet niejednoznaczna. Wielkość D charakteryzuje badaną konstrukcję, ale nie właściwości ateriału podczas skręcenia. Dla scharakteryzowania właściwości ateriału wprowadza się wielkość nazwaną odułe sprężystości (odułe Kirchoffa) G. Wprowadziy teraz zależność wiążącą oduł sprężystości G oraz oduł skręcenia D. Po odchyleniu ciała o kąt od położenia równowagi wytwarza się nowy stan równowagi, w który reakcja pręta oent M równoważy oent siły zewnętrznej M z. Po uwolnieniu ciała powstają drgania pod wpływe oentu siły M z : D (IX.) M z zawsze zwracającego ciało do położenia równowagi. Równanie ruchu a postać analogiczną do równania ruchu (drgań) wahadła grawitacyjnego: d J D dt (IX.3) Okres drgań dla tego ruchu wyraża się wzore: T J D (IX.4) gdzie J jest oente bezwładności drgającej bryły względe zadanej osi obrotu. Wielkość odułu skręcenia D należy określić w zależności od narzuconych warunków fizycznych. Wielkość G oże zostać wyznaczona przez wykorzystanie drgań haronicznych pręta etalowego zachodzących pod wpływe sił sprężystości. Każdy z eleentów badanego drutu, skręconego przez siłę zewnętrzną, podlega deforacji ścinania prostego. Jako reakcja na tę siłę pojawia się w pręcie siła sprężystości powodująca powrót do położenia równowagi i w konsekwencji wywołująca zjawisko drgań. Sposób wyznaczenia zależności iędzy odułe sprężystości G a oente sił działający na skręcony pręt przedstawiono poniżej. Przediote rozważań jest cylindryczny eleent pręta o proieniu wewnętrzny r, grubości dr i długości całego pręta l r (rys. IX.). Dla pierścienia pokazanego na rysunku ay: s G G (IX.5) l s gdzie s jest eleente łuku, ale r, a więc spełniony jest związek G. r l 0

21 Rys. IX.. Skręcenie pręta Powierzchnia ds przekroju pierścienia ograniczonego obwode o proieniu r i r dr. Wartość siły stycznej działającej na taki pierścień wyraża się wzore: r dr wynosi r df s ds r dr G (IX.6) l a oent tej siły wyrażenie: 3 ( r ) dm dfs r G dr (IX.7) l Całkując wyrażenie (IX.7) w granicach od zera do r, otrzyuje się wartość oentu siły działającej na powierzchnię przekroju poprzecznego drutu: M 0 ( r ) G l 3 dr G r l Drugą zasadę Newtona ożna dla tego przypadku zapisać w postaci: d G r M J dt l 4 4 D J l stąd: T J D 4 G r Mierząc okres T ożna wyznaczyć wartość odułu sprężystości G ze wzoru: (IX.8) (IX.9) (IX.0) 8 l J G 4 (IX.) T r Zależność iędzy odułe skręcenia a odułe sprężystości wynika z zależności (IX.0) i jest następująca: 4 G r D (IX.) l

22 X. Wyznaczanie transforacji energii echanicznej w krążku Maxwella Opis użyteczny do zrozuienia ćwiczenia nr 4 oraz innych. Krążek Maxwella jest to asywne ciało (np. koło zaachowe) osadzone na cienki pręcie (ośce). Pręt przechodzi przez środek asy krążka i wystaje z obu jego stron. Do każdej części pręta (po obu stronach krążka) są uocowane cienkie linki. Pręt oże wisieć na dwu linkach w ten sposób, że zachowuje pozycję pozioą, a linki ożey nawijać na oś podnosząc krążek do góry. Gdy z górnego położenia puściy krążek swobodnie, linki zaczynają się odwijać z osi, a całość opada ku dołowi ruche jednostajnie przyśpieszony. Rys. VIII.. Przykładowe kształty ciał, których oenty bezwładności ożna wyznaczyć opisaną etodą: a) oś obrotu przebija prostopadle walec w środku asy, b) oś obrotu przebija prostopadle trójkątną płytę w środku asy. Jednostajnie przyśpieszoneu ruchowi postępoweu ku dołowi towarzyszy jednostajnie przyśpieszony ruch obrotowy krążka. Przyśpieszenie kątowe ruchu obrotowego związane jest z przyśpieszenie liniowy ruchu postępowego a zależnością: a ε (X.) R gdzie R proień osi, na którą nawinięte są linki. Zastosujy zasadę zachowania energii echanicznej dla krążka Maxwella spadającego z wysokości h. Jego początkowa energia potencjalna gh podczas ruchu w dół zostaje całkowicie v zaieniona na energię kinetyczną ruchu postępowego oraz na energię kinetyczną ruchu J obrotowego o : V J0 gh (X.) gdzie: asa krążka raze z osią, J o oent bezwładności krążka z ośką względe osi obrotu, v prędkość liniowa ruchu postępowego, prędkość liniowa ruchu obrotowego Następuje więc podział początkowej energii układu (ającej postać energii potencjalnej w jednorodny polu grawitacyjny Ziei) na dwie postacie energii kinetycznej. W celu wyznaczenia ich wartości należy w pierwszy kroku wyznaczyć oent bezwładności krążka J o względe centralnej osi obrotu.

23 v Wstawiając związek poiędzy prędkością ruchu postępowego i obrotowego postaci: do R zasady zachowania energii (X.) otrzyujey: J o gh v (X.3) R i stąd po przekształceniach ożna obliczyć oent bezwładności J o : gh J o R (X.4) v Moent bezwładności krążka Maxwella ożna określić też na innej drodze. A ianowicie rozpatrując jego chwilowy ruch obrotowy względe osi przebiegającej przez punkt styczności nici z pręte (rys. X.). Rys. X.. Chwilowy ruch obrotowy krążka względe osi przebiegającej przez punkt styczności z nicią zaznaczony literą A. Stosując drugą zasadę dynaiki dla ruchu obrotowego otrzyujey: gr ε J (X.5) gdzie: gr oent siły obracający ciało względe osi A, J oent bezwładności krążka z osią względe osi A. Na podstawie twierdzenia Steinera o osiach równoległych oenty bezwładności J i J o są związane ze sobą zależnością: J J o R (X.6) w efekcie: gr ε (X.7) J o R i stąd po przekształceniach: g J o R R (X.8) ε 3

24 Wyznaczając ε ożna zate znaleźć J o oent bezwładności ciała (tu krążka z osią) względe osi przechodzącej przez jego środek asy. Zaprezentowana etoda dobrze nadaje się do eksperyentalnego wyznaczania oentów bezwładności względe osi przechodzących przez środek asy ciała, przy czy nie jest wyagana kołowa syetria badanego ciała. 4

25 XI. Wyznaczanie oentu bezwładności ciał za poocą aszyny Atwooda Opis użyteczny do zrozuienia ćwiczenia nr 36 oraz innych. Maszyna Atwooda służy do doświadczalnego sprawdzania praw kineatyki i dynaiki. W najprostszy wykonaniu składa się ona z bloczka (K) (rys. XI.) zaocowanego w górnej części pionowego pręta ze skalą (S). Przez bloczek przechodzi cienka i ocna nić z zawieszonyi na końcach asai (M). Dodatkowe obciążenie jednego z końców nici jest realizowane za poocą jednakowych ciężarków o asie. Ciężar tych dodatkowych ciężarków jest przyczyną wprowadzającą układ ciężarki-nić-bloczek w ruch jednostajnie przyśpieszony. W aszynie Atwooda ay do czynienia z dwoa rodzajai ruchu jednostajnie przyśpieszonego: prostoliniowy ciężarków i obrotowy bloczka. W ruchu prostoliniowy bezwładność ciała charakteryzowana jest przez jego asę. Znajduje to odzwierciedlenie w drugiej zasadzie dynaiki dla tego ruchu, zgodnie z którą siła F nadaje ciału ruch o przyśpieszeniu a wprost proporcjonalny do tej siły i odwrotnie proporcjonalny do asy ciała: F a (XI.) W ruchu obrotowy bezwładność ciała charakteryzowana jest przez jego oent bezwładności J względe osi obrotu. Znajduje to odzwierciedlenie w drugiej zasadzie dynaiki dla tego ruchu, zgodnie z którą oent siły N nadaje ciału ruch o przyśpieszeniu kątowy wprost proporcjonalny do oentu siły i odwrotnie proporcjonalny do oentu bezwładności: N (XI.) J Na ciężarek A działają siły: ciężkości M g i naprężenia nici T. Pod wpływe wypadkowej tych sił ciężarek porusza się do góry z przyśpieszenie a. Zgodnie z II prawe Newtona dla ruchu postępowego (XI.) otrzyuje się następujące równanie ruchu: ( T M g) M a (XI.3) Ciężarek B porusza się, ale do dołu pod wpływe wypadkowej siły ciężkości równej ( M g g) i siły naprężenia nici T. Analogicznie zgodnie z II prawe Newtona dla ruchu postępowego równanie ruchu ciężarka B przyjuje postać: ( M ) g T ( M ) a (XI.4) 5

26 Rys. XI.. Maszyna Atwooda oraz siły działające na ciężarki i bloczek Przyśpieszenia obu ciężarków są jednakowe i wynoszą a (gdyż nić jest nierozciągliwa), ale ają jednak inne zwroty. Siły naprężenia nici T i T działają prostopadle do proienia r bloczka. Wytwarzają wypadkowy oent siły równy ( T T ) r, który będzie obracał krążek z przyśpieszenie kątowy. Zgodnie z II prawe Newtona dla ruchu obrotowego (XI.) otrzyuje się równanie: ( T T ) r J (XI.5) Po wstawieniu do wzoru (XI.5) zależności poiędzy przyspieszenie liniowy i kątowy w postaci otrzyuje się: J ( T T ) a (XI.6) r Wyliczając T i T ze wzorów (XI.4), (XI.5) i wstawiając do wzoru (XI.6) otrzyuje się wyrażenie na przyśpieszenie w ruchu ciężarków w aszynie Atwooda : g a J M (XI.7) r Z analizy wzoru (XI.7) wynika, że dla M przyśpieszenie a jest znacznie niejsze od przyśpieszenia zieskiego g. Fakt ten pozwala na łatwiejszy, w stosunku do poiaru przyspieszenia przy spadku swobodny, poiar przyspieszenia układu przy stosunkowo niewielkiej wysokości przyrządu Atwooda. Jeżeli dokona się poiaru przyśpieszenia a ożna wyznaczyć oent bezwładności bloczka K: 6

27 g M a a J r (XI.8) a Przyśpieszenie a wyznaczay ierząc czas t, w który ciężarki pokonują stałą drogę S. Otrzyanie dokładnych wyników jest uzależnione od dokładnych poiarów czasu przeprowadzonych z niewielkii niepewnościai. Aby to osiągnąć w zastosuje się elektroniczne ierniki czasu. Ponieważ ciężarki rozpoczynają ruch bez prędkości początkowej, przyśpieszenie a wyznaczay z zależności: S a (XI.9) t Uieszczając na osi bloczka dodatkowe ciało (etalowy pierścień), korzystając z wyprowadzonych zależności, ożna wyznaczyć oent bezwładności J c, będący suą oentu bezwładności bloczka J u i dodatkowego ciała J b : Jc Ju J b (XI.0) Dokonując poiarów oentu bezwładności bloczka bloczka raze z pierścienie J c i J u ożna wyznaczyć oentu bezwładności pierścienia J b dodatkowo uieszczonego na osi bloczka: Jb Jc Ju (XI.) 7

28 XII. Wyznaczenie prędkości lotu ciała Opis użyteczny do zrozuienia ćwiczenia nr 33 oraz innych. Bezpośredni poiar prędkości lecącego ciała jest niełatwy zadanie, jeżeli prędkość ta osiąga stosunkowo duże wartości lub odbywa się na krótki odcinku. Dlatego do tego rodzaju poiarów stosuje się etody pośrednie. Jedna z takich etod wykorzystuje zjawisko zderzenia niesprężystego ciał. Niech lecące ciało zderzy się idealnie niesprężyście z inny ciałe o znacznie większej asie. Obie połączone asy zaczną się poruszać z prędkością tyle razy niejszą od prędkości badanego ciała, ile razy jego asa jest niejsza od asy ciała większego (co wynika z prawa zachowania pędu). Tą już znacznie niejszą prędkość jest już łatwo określić i na podstawie jej znajoości ożna obliczyć szukaną prędkość badanego ciała. Przedstawiona pokrótce idea a zastosowanie w etodzie wahadła balistycznego. Scheat wahadła balistycznego przedstawiony jest na rysunku XII.. Lecąca pozioo z prędkością v kula o asie zderza się niesprężyście z wahadłe balistyczny o asie M. Ponieważ środek ciężkości układu wahadło i kula nie pokrywa się z proienie zderzenia L, do wyznaczenia prędkości v kuli należy zastosować zasadę zachowania oentu pędu w postaci: stąd szukana prędkość: L v R (M ) V (XII.) R (M )V v (XII.) L Rys. XII. Scheatyczny rysunek wahadła balistycznego. Prędkość V jaką uzyskuje środek ciężkości układu wahadło-kula w chwili tuż po uderzeniu kuli ożna wyznaczyć z prawa zachowania energii napisanego dla środka ciężkości. Nabyta po zderzeniu energia kinetyczna w iarę odchylania się wahadła od pionu przekształca się w postać potencjalną, aż przy aksyalny wychyleniu o kąt proces ten dobiegnie końca i wahadło na 8

29 oent się zatrzya. W wyniku środek ciężkości wahadła został uniesiony na wysokość h. To oznacza, że słuszna jest zależność: V g h (XII.3) Między wysokością h, a kąte istnieje prosty związek, a ianowicie: h R ( cos ) R sin (XII.4) Uwzględniając dwa powyższe związki wzór na szukaną prędkość uzyskuje ostateczną postać: R (M ) v g R sin (XII.5) L Z zasady zachowania energii dla procesu zderzenia wynika, że: E k kulki E wahadla E k (XII.6) gdzie E jest stratą energii zużytej na odkształcenie się kuli w wyniku zderzenia niesprężystego. Zgodnie z wcześniejszyi oznaczeniai energia ta wynosi: v E M gh (XII.7) Korzystając z wyznaczonej wartości v (XII.5) i zierzonej wysokości h (XII.4) ożna wyznaczyć energię strat zderzenia niesprężystego. 9