Falki, transformacje falkowe i ich wykorzystanie

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Falki, transformacje falkowe i ich wykorzystanie"

Transkrypt

1 Falki, transformacje falkowe i ich wykorzystanie Wstęp Praca próbuje opisać czym jest falka oraz podać zastosowania falek w praktyce. Na wstępie w Postaci matematycznej falki zaprezentujemy czym jest problem analizy lokalnej sygnału, pojęcie transformacji oraz dwa podejścia zmierzenia się problemem analizy lokalnej: krótkoczasową transformację Fouriera (STFT) oraz transformację falkową. Omawiając STFT przypomnimy wzór na transformatę Fouriera z której jest wyprowadzana oraz zdefiniujemy samą STFT. Następnie opiszemy falki, ciągłą transformację falkową (CWT) i jej zastosowania oraz dyskretną transformację falkową (DWT), mającą o wiele praktyczniejsze zastosowanie od transformacji ciągłej. Z uwagi na dużą złożoność matematyczną DWT ograniczymy się w jej przypadku głównie do przykładów zastosowań. Postać matematyczna falki Analiza lokalna Uwagi ogólne Referat rozpoczniemy od analizy lokalnej sygnału, czyli problemu polegającego na określeniu wartości sygnału w pewnym określonym punkcie czasu. Będziemy reprezentowali sygnał jako funkcję f(t), gdzie t oznacza czas, ponadto zakładamy, zę sygnał jest ciągły w całej swojej dziedzinie. Transformacje Co to jest transformacja Przez transformacje F sygnału f(t) rozumiemy przekształcenie : gdzie g(u) jest to funkcją analityczna (może być funkcją zespoloną, kreska nad g to sprzężenie zespolone). g może także zależeć od pewnych parametrów (np. częstotliwości). ~ 1 ~

2 Transformacje, ogólnie rzecz biorąc, służą temu by przekształcić sygnał f(t) do reprezentacji, która zawiera w sobie wymagane przez nas informacje o sygnale w zwięzły sposób. Zauważmy do tego, że każdy transformacji którą będziemy rozpatrywać jest odwracalna - znając funkcję transformującą jesteśmy w stanie odtworzyć oryginalny sygnał. Transformacje są nazywane lokalnymi jeżeli oprócz pomiaru częstotliwości, czy wielkości szczegółów (detail sizes) wskazują również, gdzie one się znajdują w sygnale f(t) (można porównać analizę lokalną do zapisania piosenki w postaci nut). Transformacja Fouriera Transformata Fouriera dostarcza informacji o tym jaki wpływ na sygnał ma dolożenie do niego określonych częstotliwości. Transformacja Fouriera służy wprawdzie do globalnego przedstawienia sygnału f(u), jednak przypominamy ją, gdyż będziemy z niej wyprowadzać wzór na krótko-czasową transformatę Fouriera. Reprezentacja sygnału za pomocą transformaty Fouriera, dla częstotliwości sygnału analitycznego równej : W przypadku transformaty Fouriera.Taka ogólna postać jest niedokładna jeżeli chcemy znać dokładny przebieg sygnału w pewnym oknie czasowym ponieważ transformacja Fouriera reprezentuje sygnał na całym przedziale czasowym, co prowadzi do tego, że np. gwałtowne skoki napięcia zostają wygładzone. Ogólnie rzecz biorąc transformata Fouriera nadaje się dobrze do znajdowania globalnych cech sygnału oraz dobrze radzi sobie z sygnałami stacjonarnymi. Krótko-czasowa transformata Fouriera (Short Time Fourier Transformation) STFT jest narzędziem do analizy lokalnej, została opracowana przed pojawieniem się falek. STFT, zwana również WFT(Windowed Fourier Transformation), będziemy używać tych oznaczeń zamiennie, jest niczym innym jak transformacją Fouriera zawężoną do pewnego okna czasowego. SFTP szuka wystąpienia pewnej kołowej częstotliwości w pewnym określonym czasie t. SFTP jest dana wzorem: ~ 2 ~

3 W przypadku WFT funkcja analityczna przyjmuje postać:, przez w oznaczamy okno czasowe, t pozwala na przesuwanie okna czasowego do wymaganego miejsca, w którym chcemy przeprowadzić analizę lokalną. Widzimy więc, że sygnał w tym przypadku zależy nie tylko od częstotliwości, ale również od czasu, dzięki czemu jesteśmy w stanie za pomocą STFT przeprowadzić analizę lokalną. Wadą metody STFT jest fakt, że szerokość okna czasowego jest stała i nieadaptywna, by zwiększyć dokładność opisu sygnału zwiększać musimy częstotliwość funkcji analitycznej. Oraz nawet jeżeli jesteśmy zainteresowani tylko małym wycinkiem z obszaru okna przeanalizować musimy całe okno. Transformata falkowa (wreszcie) Fig 1. Typowy kształt okien czasowych dla WFT Transformacja falkowa zachowuje się podobnie do transformacji WFT, z tą różnicą, że posiada ona zdolność przybliżania (zooming property) (analogią może być przybliżanie z czegoś za pomocą mikroskopu). W przeciwieństwie do transformaty Fouriera nie przestawia ona sygnału w zależności od częstotliwości, ale pozwala sprawdzić czy w sygnale występują szczegóły(details) określonej wielkości i jak wpływają na sygnał. Transformacje falkowe dane są następującymi wzorem(dla ciągłej transformacji): a jest czynnikiem skalującym(scale factor) określającym stopień zbliżenia, czyli długość rozpatrywanego wycinka sygnału. Niska wartość a (czyli wysoka szczegółowość) odpowiada wysokiej częstotliwości, a jest więc odwrotnie proporcjonalne do. Jest to opisane za pomocą współczynnika b takiego że. Funkcja analityczna g oscyluje wzdłuż osi u (zatem maleje dla. Funkcję spełniającą powyższe wiadomości nazywamy falką. Natomiast funkcję g z której tworzona jest cała rodzina funkcji macierzystą. W szczególności falkami są funkcje należące do rodziny: ) oraz gwałtownie nazywamy falką, ~ 3 ~

4 falki z tej rodziny tworzone są odpowiednio przez przesunięcie falki macierzystej g o t oraz przeskalowanie jej zależnie od współczynnika a. Zauważmy, że wszystkie falki z tej samej rodziny mają ten sam kształt, z dokładnością do translacji i skalowania. Typowy kształt okien czasowych utworzonych z falek, g(x) jest falką macierzystą, widoczne tu funkcje są nazywane mexican hat functions Porównanie transformaty Fouriera z transformacją falkową Przykładowy agresywny sygnał Rekonstrukcja sygnału atakującego. Linia przerywana - uzyskana z transformaty Fouriera Linia z plusami - uzyskana przy pomocy falki db-4 Przykład falki - falka Haara Falka Haara, znana również jako falka D2, jest najprostszą z falek, została zaproponowana w roku 1909 przez Alfreda Haara, jest uważana za pierwszą sformułowaną funkcję falkową. Falki Haara są to funkcje należące do rodziny utworzonej z falki macierzystej danej wzorem: ~ 4 ~

5 Falka ma zwarty suport na [0,1], jednak jest ona nieciągła, więc i nieróżniczkowalna na całym, stosowana do kompresji obrazów i dźwięku. Falka macierzysta Haara: Ciągła transformacja falkowa (CWT - Continious Wavelet Transformation) Na początku zdefiniujemy raz jeszcze ograniczenia nakładane na funkcję falkową: Warunek dopuszczalności (amissablility condition), dla funkcji skończonej energii (finite energy function) : formuła ta w szczególności spełniona jest dla wcześniej wspomnianych falek, takich że: warunek ten, jest wystarczający dla falek wykorzystywanych w praktyce (zapewnia, że będzie ona oscylować wzdłuż osi czasu, a z faktu że funkcja jest skończonej energii wynika, że przy wartość falki dążyć będzie do zera). Każda funkcja skończonej energii spełniająca ten warunek jest falką. ~ 5 ~

6 CWT oznaczamy przez, jest ona równa: gdzie jest funkcją skończonej energii. Uwagi odnośnie złożoności i zastosowań CWT Zauważmy, że próbkując sygnał f f razy możemy reprezentować go w postaci: zatem można przechowywać dane odnośnie sygnału w wektorze o długości N. Wykonując na tym wektorze algorytm CWT, dla M współczynników skali a otrzymujemy macierz wartości CWT o wielkości. Oznacza to, że sygnał początkowo reprezentowany przez N wartości, jest po wykonaniu na nim CWT reprezentowany przez MN wartości! Z tego powodu ciągła transformacja falkowa jest dobra w analizie sygnału, jednak nie sprawdza się dobrze w innych praktycznych zastosowaniach, ze względu na pamięć wymaganą do przechowywania sygnału po transformacji oraz koszty związane z liczeniem całek. Poza tym reprezentacja sygnału za pomocą CWD jest redundantna. Przykłady falek - falki z M zanikającymi momentami Jak było wspomniane znakomita większość falek w zastosowaniach praktycznych spełnia warunek dopuszczalności, jeżeli całka z nich jest równa zero oraz funkcja falkowa dąży do zera dążąc do plus/minus nieskończoności. Uogólniając fakt, że całka z falki jest równa zero konstruujemy falki z M zanikającymi momentami (M vanishing moments). Zasada konstrukcji falek z M zanikającymi momentami Oznaczmy przez kawałkami gładką funkcję, m-różniczkowalną i spełniającą pewne dodatkowe techniczne ograniczenia. Zdefiniujmy falkę jako: można dla niej wykazać, że spełnia ona warunek dopuszczalności dla każdego m. W szczególności dla m=1 falka będzie falką Haara, a dla m=2 tz. meksykańskim kapeluszem (mexican hat function). ~ 6 ~

7 Falka Haara oraz meksykański kapelusz Implementacja zanikających momentów w praktyce oraz reprezentacja sygnału Przypomnijmy wzór na CWT, dla pewnego ustalonego współczynnika skali a i danego czasu t: Zauważmy, że wpływ na wynik mają jedynie wartości u. Załóżmy, że wartości u stanowią pewien interwał. Załóżmy, że ma M zanikających momentów i sygnał f(u) na może zostać zamodelowany przez wielomian stopnia k, k<m. Możemy wykazać wtedy, że. Można rozumieć to w następujący sposób: Załóżmy, że każda gładka część sygnału może być reprezentowana przez pewien wielomian, a zmiany sygnału są modelowane poprzez przełączenie pomiędzy wielomianami. Czyli oznacza to, że sygnał można zamodelować poprzez kawałkami wielomianowe funkcje. Zatem, jeżeli falka posiada wystarczająco wiele zanikających momentów to zmiany sygnału będą mogły zostać dobrze zlokalizowane przez jej ciągłą transformację(cwt), ponieważ CWT będzie zanikać tam gdzie funkcja f jest gładka (dla odpowiednio dużego M) i CWT będzie skoncentrowane w otoczeniu wartości czasu t, gdzie zachodzą zmiany sygnału. ~ 7 ~

8 Inny przykład (bez wzorów) Przybliżenie sygnału danego wzorem : za pomocą ciągłej transformacji z użyciem falki db2 oraz falki db4, częstotliwość próbkowania w każdym z przypadków wynosił odpowiednio,, sekund: Porównanie CWT z użyciem falek db2 i db4 ~ 8 ~

9 Przykład zastosowania CWT w analizie sygnałów otrzymywanych z sensorów robotów Uwagi wstępne: rozważamy robota, który za pomocą sensora zbiera informacje na temat odległości od przeszkód (wykonując sensorem poprzeczne, oscylacyjne ruchy dookoła pewnej osi). Ponadto analizowane sygnały mogą być uzyskiwane z jednej z 3 technologii (nie będziemy się wdawać w ich szczegóły): MSG, MAG, WIG. Przykład analizy za pomocą STFT: Wykres fazowy uzyskany z STFT, sygnał ma taką właściwość, że początkowo ma częstotliwość równą 3Hz, a w ok. 3 sekundzie zwiększa się ona do 6Hz co jest uchwycone przez STFT. ~ 9 ~

10 Wykresy skalowe uzyskane z sygnałów po przeprowadzeniu CWT,: Mimo, że sygnały są wizualnie podobne, analiza za pomocą CWT jednoznacznie wskazuje, że zostały ne zebrane w różnych technologiach. Zauważmy ponadto, że pojawiają się na wykresie białe paski, dla współczynnika skali równego długości fali. ~ 10 ~

11 Tu natomiast widzimy, że każdy z sygnałów zebrany został w technologii WIG, o czym świadczy rozmieszczenie białych plam dla wartości a = 6[s]. Zauważmy przy tym, że w ostatnim przypadku sensor, w przeciwieństwie do dwóch pierwszych był unieruchomiony (dlatego też dla a=1 nie ma białego paska w ostatnim odczycie) Przykład zastosowania CWT w analizie i klasyfikacji sygnałów akustycznych Przykład dotyczy klasyfikacji sygnałów dźwiękowych jako tych przyjemnych i nieprzyjemnych dla ludzkiego ucha. Procedura: 1. Lokalna transformacja sygnału jest próbkowana za pomocą siatki (grid) dyskretnych wartości. 2. Utworzenie wektora z wartości próbkowanych, będącego wejściem do dalszej procedury klasyfikującej 3. Sygnał jest klasyfikowany zależnie od odległości jego wyniku od wartości dobrych ~ 11 ~

12 ~ 12 ~

13 Dyskretna transformacja falkowa(dwt - Descrete Wavelet Transformation) DWT polega na dyskretnym próbkowaniu falki. Przy transformacji ciągłej staraliśmy się przedstawić sygnał jak najdokładniej, natomiast w przypadku transformacji dyskretnej staramy się zminimalizować ilość danych potrzebnych do reprezentacji sygnału. Zatem próbujemy znaleźć falki siatce t-a, dając w wyniku około N wartości zostać z nich zrekonstruowany., takie że CWT z f jest obliczone wyłącznie na dyskretnej takich, że początkowy wektor f może Innymi słowy transformacja ta dekomponuje sygnał na wzajemnie ortogonalne zbiory falek lub implementuje algorytm CWT dla dyskretnych szeregów czasowych. W dyskretnej transformacji falkowej wybieramy za współczynnik skali współczynnik przesunięcia, gdzie., a za DWT nazywamy funkcję, która generuje rzadki(sparse) zbiór wartości na płaszczyżnie czasskala. Do reprezentowania wartości falki w punktach, danych wzorem: używamy współczynników Ponadto wiemy, że informacja przechowywana we współczynnikach jest wystarczająca do dokładnej odbudowy sygnału (PR - perfect reconstruction), co więcej wystarczy do tego N współczynników N-próbkowanego sygnału. Próbkowanie sygnałów By transformacja falkowa mogła zostać obliczona przez komputer dane muszą zostać zdyskretyzowane. W przypadku transformacji Fouriera i STFT częstotliwość próbkowania jest jednorodna, natomiast w przypadku falek może on zmieniać się, gdy zmienia się skala. Większa skala, będzie miała mniejszą częstotliwość próbkowania(sampling rate). Nowa częstotliwość próbkowania może zostać wyznaczona ze wzoru, gdzie oznaczają współczynniki skali. ~ 13 ~

14 Dekompozycja falkowa Dyskretna transformata falkowa (DWT) pozwala przedstawić sygnał f(t) L2 w postaci liniowej kombinacji współczynników aj(k), dj(k). Rozwinięcia w szereg funkcji f(t) dokonuje się w oparciu o dwie spokrewnione ze sobą funkcje bazowe tzw. kwadratowe filtry lustrzane: funkcję falkową Ψ(t) oraz funkcję skalującą φ(t) Współczynniki dj,k zawierają informację o wysokich częstotliwościach oraz tworzą zbiór detali. Natomiast współczynniki ak zawierają informację dolnoprzepustową wraz ze składową stałą, czyli stanowią aproksymację sygnału. Dekompozycja wykorzystuje własność, że dla ustalonej skali j składowa detali reprezentuje rzut ortogonalny funkcji f na podprzestrzeń Wj L2. Wówczas zachodzi związek: Gdzie Vj+1 jest ortogonalnym dopełnieniem W j+1 w przestrzeni Vj Dekompozycja sygnału - ludzkim językiem DWT jest obliczana za pomocą zespołów filtrów (filter banks). Filtry różnych przedziałów (podpasm) częstotliwości analizują sygnał za pomocą różnych skal. Zatem rozdzielczość jest zmieniana przez filtrowanie. Jeżeli sygnał zostanie przepuszczony przez dwa filtry, jeden o wysokiej częstotliwości i drugi o niskiej częstotliwości, wtedy zostaje on efektywnie zdekomponowany na dwie części szczegółową (nie zawierającą informacji pochodzącej z niskiej częstotliwości) oraz przybliżającą (nie posiadającą informacji z wysokiej częstotliwości). Podsygnał uzyskany z niskoczęstotliwościowego filtra (low filter), będzie miał najwyższą częstotliwość równą połowie oryginalnej. Oznacza to (z próbkowania Nyquista), że tylko połowa z oryginalnych próbkowań jest wymagana do idealnego odtworzenia sygnału, co pozwala, innymi słowy, na usunięcie co drugiego próbkowania. Przejście przez taki zespół filtrów jest równoważne podwojeniu skali. Dekompozycja sygnału może być wykonywana wielokrotnie, za każdym razem zmniejsza się rozdzielczość czasowa, ale zwiększa częstotliwościowa. ~ 14 ~

15 Dekompozycja sygnału wg schematu Mallata DWT otrzymujemy poprzez zebranie współczynników ostatecznego podsygnału aproksymującego oraz wszystkich szczegółowych podsygnałów. Wartość oryginalną można uzyskać poprzez dodanie do siebie wszystkich sygnałów. Wygładzanie sygnałów Wysokie częstotliwości wykrywają cechy lokalne, niskie częstotliwości - cechy globalne. Szum jest cechą lokalna. Aby się go pozbyć, wystarczy usunąć współczynniki krótkich falek. ~ 15 ~

16 Falkowa reprezentacja obrazów DWT jest stosowany do analizy sygnałów dwuwymiarowych (obrazów). Dzięki algorytmowi Mallata można wykorzystać falki do wielorozdzielczej reprezentacji obrazów. Wielorozdzielczość jest to podział sygnału w ciąg sygnałów o stopniowo zmniejszającej się rozdzielczości. Algorytm Mallata dzieli obraz na cztery obrazy, a każdy z nich ma rozmiar równy 1/4 rozmiaru obrazu dzielonego, czyli jego rozdzielczość jest liniowo dwa razy mniejsza niż dekomponowany obraz. Każda składowa może być następnie dzielona w ten sam sposób przez co powstaje reprezentacja na wielu poziomach rozdzielczości. Realizacja dekompozycji polega na sekwencyjnym filtrowaniu górno- i dolno- przepustowym, osobno wzdłuż kolumn a osobno wzdłuż wierszy obrazu, przy jednoczesnym zmniejszaniu rozdzielczości. W zależności od rodzaju i kolejności filtrów powstają obrazy składowe: LL- filtr dolnoprzepustowy dla wierszy i kolumn, LH- dla wierszy filtr dolnoprzepustowy a górnoprzepustowy dla kolumn, HL odwrotnie niż LH, HH dwa razy filtr górnoprzepustowy. Komponent LL jest obrazem powstającym na drodze obliczania wartości średniej z rozłącznych grup pikseli o rozmiarze 2x2 (wykorzystuje transformację Haara). Stanowi zatem uproszczoną reprezentację transformowanego obrazu. Kolejne komponenty eksponują krawędzie pionowe (LH), poziome (HL) i diagonalne (HH) wraz z ich mocą. Mamy do czynienia z trzema składowymi zawierającymi komplementarne w stosunku do obrazu średniego detale. Na podstawie tych składowych można obliczyć parametry charakteryzuje energię krawędzi w trzech kierunkach. Można także analizować rozkład energii w każdym komponencie. Odstępstwa od rozkładu modelowego są podstawą do wnioskowania o potencjale informacyjnym lub jego zaburzeniach. Wizualna oceny komponentów falkowych pozwala niejednokrotnie wykrywać zaburzenia, niewidoczne przy obserwacji obrazu w klasycznej postaci. Destrukcyjne efekty kompresji stratnej algorytmem JPEG sa łatwiej zauważalne w komponencie HH niż przy obserwacji obrazu w klasycznej postaci. Zastosowanie kompresji w praktyce - biblioteka odcisków palców FBI Dawno temu (przed komputeryzacją) FBI miało 200 mln zbiorów odcisków palców, do czego dzienni dochodziło do odcisków dziennie, przez co przeszukiwanie ich zajmowało o wiele za dużo czasu. Obliczono, że by przechowywać je w pamięci komputera potrzebne by było 2000 terabajtów (sic!) pamięci, a porównanie każdego z odcisków zajmowałoby 600 KB pamięci operacyjnej. Dzięki użyciu falek udało się zmniejszyć zajętość każdego z obrazów do 7% i zachować wymaganą dokładność (kompresja JPG dała radę tylko do 10%). Lokalizacja anomalii/zaburzeń w pracy silnika Falki są wykorzystywane do analizy danych dotyczących silników, aby wykryć ewentualne uszkodzenia. Na wykresie transformaty Fouriera można zauważyć zaburzenia w wypadku gdy silnik jest uszkodzony. Zaburzenia nie są równoznaczne z uszkodzeniem silnika, jedynie wskazują miejsce podejrzane o uszkodzenie, co pozwala zawężyć analizę danych do pewnego przedziału. Transformata falkowa zawiera nie tylko informacje o częstotliwości sygnału, ale tez o rozkładzie częstotliwości w czasie. ~ 16 ~

17 Wykresy przedstawiają współczynniki transformaty falkowej dla silnika uszkodzonego i nieuszkodzonego. Na wykresie widać, ze współczynniki sie różnią (jasny kolor oznacza większą wartość bezwzględną danego współczynnika). Niska skala na wykresie określa, ze mamy do czynienia ze współczynnikami odpowiadającymi wysokim częstotliwościom, a wiec cechom lokalnym sygnału (np. z szumem). Wysoka skala mówi, ze mamy do czynienia z niskimi częstotliwościami, a wiec z cechami globalnymi sygnału (np. z okresowością). Kompresja obrazu Zerując współczynniki w transformacie falkowej, pozbywamy sie części informacji. Jednak usuniecie nawet bardzo dużej części informacji pozostaje niezauważalna dla ludzkiego oka. ~ 17 ~

18 Monitorowanie tętna i oddychania: ~ 18 ~

19 Astronomia: Za pomocą falek odkryto okresowość oscylacji pola mgnetycznego słońca. Biliografia: 1. Hans-Georg Stark, Wavelets and Signal Processing, An Aplication-Based Introduction, Schmid & Vöckler GbR, 2005, ISBN Ingrid Daubechies, Ten lectures on wavelets, SIAM, 1992, ISBN Karen Lees, Image Compression Using Wavelets, 2002 ~ 19 ~

LABORATORIUM AKUSTYKI MUZYCZNEJ. Ćw. nr 12. Analiza falkowa dźwięków instrumentów muzycznych. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE ANALIZY FALKOWEJ.

LABORATORIUM AKUSTYKI MUZYCZNEJ. Ćw. nr 12. Analiza falkowa dźwięków instrumentów muzycznych. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE ANALIZY FALKOWEJ. LABORATORIUM AKUSTYKI MUZYCZNEJ. Ćw. nr 1. Analiza falkowa dźwięków instrumentów muzycznych. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE ANALIZY FALKOWEJ. Transformacja falkowa (ang. wavelet falka) przeznaczona jest do analizy

Bardziej szczegółowo

ANALIZA SEMANTYCZNA OBRAZU I DŹWIĘKU

ANALIZA SEMANTYCZNA OBRAZU I DŹWIĘKU ANALIZA SEMANTYCZNA OBRAZU I DŹWIĘKU obraz dr inż. Jacek Naruniec Analiza Składowych Niezależnych (ICA) Independent Component Analysis Dąży do wyznaczenia zmiennych niezależnych z obserwacji Problem opiera

Bardziej szczegółowo

EKSTRAKCJA CECH TWARZY ZA POMOCĄ TRANSFORMATY FALKOWEJ

EKSTRAKCJA CECH TWARZY ZA POMOCĄ TRANSFORMATY FALKOWEJ Janusz Bobulski Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska ul. Dąbrowskiego 73 42-200 Częstochowa januszb@icis.pcz.pl EKSTRAKCJA CECH TWARZY ZA POMOCĄ TRANSFORMATY FALKOWEJ

Bardziej szczegółowo

8. Analiza widmowa metodą szybkiej transformaty Fouriera (FFT)

8. Analiza widmowa metodą szybkiej transformaty Fouriera (FFT) 8. Analiza widmowa metodą szybkiej transformaty Fouriera (FFT) Ćwiczenie polega na wykonaniu analizy widmowej zadanych sygnałów metodą FFT, a następnie określeniu amplitud i częstotliwości głównych składowych

Bardziej szczegółowo

Definicja. x(u)h (u t)e i2πuf du. F x (t,f ;h) = Krótko czasowa transformata Fouriera Ciągłą transformata falkowa

Definicja. x(u)h (u t)e i2πuf du. F x (t,f ;h) = Krótko czasowa transformata Fouriera Ciągłą transformata falkowa Definicja Krótko czasowa transformata Fouriera(STFT) może być rozumiana jako seria transformat Fouriera wykonanych na sygnale okienkowanym, przy czym położenie okienka w czasie jest w ramach takiej serii

Bardziej szczegółowo

Systemy akwizycji i przesyłania informacji

Systemy akwizycji i przesyłania informacji Politechnika Rzeszowska im. Ignacego Łukasiewicza w Rzeszowie Wydział Elektryczny Kierunek: Informatyka Systemy akwizycji i przesyłania informacji Projekt zaliczeniowy Temat pracy: Okna wygładzania ZUMFL

Bardziej szczegółowo

CZWÓRNIKI KLASYFIKACJA CZWÓRNIKÓW.

CZWÓRNIKI KLASYFIKACJA CZWÓRNIKÓW. CZWÓRNK jest to obwód elektryczny o dowolnej wewnętrznej strukturze połączeń elementów, mający wyprowadzone na zewnątrz cztery zaciski uporządkowane w dwie pary, zwane bramami : wejściową i wyjściową,

Bardziej szczegółowo

Przedmowa Wykaz oznaczeń Wykaz skrótów 1. Sygnały i ich parametry 1 1.1. Pojęcia podstawowe 1 1.2. Klasyfikacja sygnałów 2 1.3.

Przedmowa Wykaz oznaczeń Wykaz skrótów 1. Sygnały i ich parametry 1 1.1. Pojęcia podstawowe 1 1.2. Klasyfikacja sygnałów 2 1.3. Przedmowa Wykaz oznaczeń Wykaz skrótów 1. Sygnały i ich parametry 1 1.1. Pojęcia podstawowe 1 1.2. Klasyfikacja sygnałów 2 1.3. Sygnały deterministyczne 4 1.3.1. Parametry 4 1.3.2. Przykłady 7 1.3.3. Sygnały

Bardziej szczegółowo

Analiza i modelowanie przepływów w sieci Internet. Andrzej Andrijew

Analiza i modelowanie przepływów w sieci Internet. Andrzej Andrijew Analiza i modelowanie przepływów w sieci Internet Andrzej Andrijew Plan referatu Samopodobieostwo w sieci Internet Samopodobne procesy stochastyczne Metody sprawdzania samopodobieostwa Modelowanie przepływów

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

Zmiany fazy/okresu oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego.

Zmiany fazy/okresu oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego. Strona 1 z 38 Zmiany fazy/okresu oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego. Alicja Rzeszótko alicja@cbk.waw.pl 2 czerwca 2006 1 Omówienie danych 3 Strona główna Strona 2 z 38 2

Bardziej szczegółowo

Zwój nad przewodzącą płytą METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH

Zwój nad przewodzącą płytą METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH (2) (3) (10) (11) Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 1 Rozwiązania równań (10-11) mają ogólną postać: (12) (13) Modelowanie i symulacje obiektów w

Bardziej szczegółowo

dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 311

dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 311 dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 311 Politechnika Gdaoska, 2011 r. Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej w

Bardziej szczegółowo

IMPLEMENTATION OF THE SPECTRUM ANALYZER ON MICROCONTROLLER WITH ARM7 CORE IMPLEMENTACJA ANALIZATORA WIDMA NA MIKROKONTROLERZE Z RDZENIEM ARM7

IMPLEMENTATION OF THE SPECTRUM ANALYZER ON MICROCONTROLLER WITH ARM7 CORE IMPLEMENTACJA ANALIZATORA WIDMA NA MIKROKONTROLERZE Z RDZENIEM ARM7 Łukasz Deńca V rok Koło Techniki Cyfrowej dr inż. Wojciech Mysiński opiekun naukowy IMPLEMENTATION OF THE SPECTRUM ANALYZER ON MICROCONTROLLER WITH ARM7 CORE IMPLEMENTACJA ANALIZATORA WIDMA NA MIKROKONTROLERZE

Bardziej szczegółowo

Zygmunt Wróbel i Robert Koprowski. Praktyka przetwarzania obrazów w programie Matlab

Zygmunt Wróbel i Robert Koprowski. Praktyka przetwarzania obrazów w programie Matlab Zygmunt Wróbel i Robert Koprowski Praktyka przetwarzania obrazów w programie Matlab EXIT 2004 Wstęp 7 CZĘŚĆ I 9 OBRAZ ORAZ JEGO DYSKRETNA STRUKTURA 9 1. Obraz w programie Matlab 11 1.1. Reprezentacja obrazu

Bardziej szczegółowo

Narzędzia matematyczne zastosowane w systemie biomonitoringu wody

Narzędzia matematyczne zastosowane w systemie biomonitoringu wody Narzędzia matematyczne zastosowane w systemie biomonitoringu wody Piotr Przymus Krzysztof Rykaczewski Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika Toruń 1 of 24 18 marca 2009 Cel referatu

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

Dźwięk podstawowe wiadomości technik informatyk

Dźwięk podstawowe wiadomości technik informatyk Dźwięk podstawowe wiadomości technik informatyk I. Formaty plików opisz zalety, wady, rodzaj kompresji i twórców 1. Format WAVE. 2. Format MP3. 3. Format WMA. 4. Format MIDI. 5. Format AIFF. 6. Format

Bardziej szczegółowo

Stabilność. Krzysztof Patan

Stabilność. Krzysztof Patan Stabilność Krzysztof Patan Pojęcie stabilności systemu Rozważmy obiekt znajdujący się w punkcie równowagi Po przyłożeniu do obiektu siły F zostanie on wypchnięty ze stanu równowagi Jeżeli po upłynięciu

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Analiza korespondencji

Analiza korespondencji Analiza korespondencji Kiedy stosujemy? 2 W wielu badaniach mamy do czynienia ze zmiennymi jakościowymi (nominalne i porządkowe) typu np.: płeć, wykształcenie, status palenia. Punktem wyjścia do analizy

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy

Bardziej szczegółowo

Podstawy OpenCL część 2

Podstawy OpenCL część 2 Podstawy OpenCL część 2 1. Napisz program dokonujący mnożenia dwóch macierzy w wersji sekwencyjnej oraz OpenCL. Porównaj czasy działania obu wersji dla różnych wielkości macierzy, np. 16 16, 128 128, 1024

Bardziej szczegółowo

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L 2 (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

Wzmacniacz jako generator. Warunki generacji

Wzmacniacz jako generator. Warunki generacji Generatory napięcia sinusoidalnego Drgania sinusoidalne można uzyskać Poprzez utworzenie wzmacniacza, który dla jednej częstotliwości miałby wzmocnienie równe nieskończoności. Poprzez odtłumienie rzeczywistego

Bardziej szczegółowo

REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH

REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Pojęcie

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia Wieczorowe Wykład 10, 2007

Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia Wieczorowe Wykład 10, 2007 1 Kompresja wideo Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia Wieczorowe Wykład 10, 2007 Dane wideo jako sekwencja skorelowanych obrazów (ramek). Specyfika danych wideo: drobne zmiany kolorów w kolejnych

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Pomiar drogi koherencji wybranych źródeł światła

Pomiar drogi koherencji wybranych źródeł światła Politechnika Gdańska WYDZIAŁ ELEKTRONIKI TELEKOMUNIKACJI I INFORMATYKI Katedra Optoelektroniki i Systemów Elektronicznych Pomiar drogi koherencji wybranych źródeł światła Instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego

Bardziej szczegółowo

Egzamin / zaliczenie na ocenę*

Egzamin / zaliczenie na ocenę* WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI Zał. nr 4 do ZW 33/01 KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW Nazwa w języku angielskim DIGITAL SIGNAL PROCESSING Kierunek studiów

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracyjnymi. Plan wykładu:

Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracyjnymi. Plan wykładu: Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracynymi Plan wykładu: 1. Przykłady macierzy rzadkich i formaty ich zapisu 2. Metody: Jacobiego, Gaussa-Seidla, nadrelaksaci 3. Zbieżność

Bardziej szczegółowo

Transformacja Fouriera i biblioteka CUFFT 3.0

Transformacja Fouriera i biblioteka CUFFT 3.0 Transformacja Fouriera i biblioteka CUFFT 3.0 Procesory Graficzne w Zastosowaniach Obliczeniowych Karol Opara Warszawa, 14 kwietnia 2010 Transformacja Fouriera Definicje i Intuicje Transformacja z dziedziny

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych 9. Minimalizacja: funkcje jednej zmiennej. P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/

Wstęp do metod numerycznych 9. Minimalizacja: funkcje jednej zmiennej. P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ Wstęp do metod numerycznych 9. Minimalizacja: funkcje jednej zmiennej P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2011 Lokalna minimalizacja ciagła Minimalizacja funkcji jest jedna z najważniejszych

Bardziej szczegółowo

INDUKOWANE REGUŁY DECYZYJNE ALORYTM APRIORI JAROSŁAW FIBICH

INDUKOWANE REGUŁY DECYZYJNE ALORYTM APRIORI JAROSŁAW FIBICH INDUKOWANE REGUŁY DECYZYJNE ALORYTM APRIORI JAROSŁAW FIBICH 1. Czym jest eksploracja danych Eksploracja danych definiowana jest jako zbiór technik odkrywania nietrywialnych zależności i schematów w dużych

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie: "Mierniki cyfrowe"

Ćwiczenie: Mierniki cyfrowe Ćwiczenie: "Mierniki cyfrowe" Opracowane w ramach projektu: "Informatyka mój sposób na poznanie i opisanie świata realizowanego przez Warszawską Wyższą Szkołę Informatyki. Zakres ćwiczenia: Próbkowanie

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie Informatyki w Medycynie

Zastosowanie Informatyki w Medycynie Zastosowanie Informatyki w Medycynie Dokumentacja projektu wykrywanie bicia serca z sygnału EKG. (wykrywanie załamka R) Prowadzący: prof. dr hab. inż. Marek Kurzyoski Grupa: Jakub Snelewski 163802, Jacek

Bardziej szczegółowo

Wartości i wektory własne

Wartości i wektory własne Dość często przy rozwiązywaniu problemów naukowych czy technicznych pojawia się konieczność rozwiązania dość specyficznego układu równań: Zależnego od n nieznanych zmiennych i pewnego parametru. Rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Analiza zależności liniowych

Analiza zależności liniowych Narzędzie do ustalenia, które zmienne są ważne dla Inwestora Analiza zależności liniowych Identyfikuje siłę i kierunek powiązania pomiędzy zmiennymi Umożliwia wybór zmiennych wpływających na giełdę Ustala

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Przetwarzanie analogowo-cyfrowe (A C)

Rozdział 5. Przetwarzanie analogowo-cyfrowe (A C) 5. 0. W p r ow adzen ie 1 2 1 Rozdział 5 Przetwarzanie analogowo-cyfrowe (A C) sygnał przetwarzanie A/C sygnał analogowy cyfrowy ciągły dyskretny próbkowanie: zamiana sygnału ciągłego na dyskretny konwersja

Bardziej szczegółowo

Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -1-

Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -1- Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -1- Filtry cyfrowe cz. Zastosowanie funkcji okien do projektowania filtrów SOI Nierównomierności charakterystyki amplitudowej filtru cyfrowego typu SOI można

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Biocentrum Ochota infrastruktura informatyczna dla rozwoju strategicznych kierunków biologii i medycyny POIG 02.03.00-00-003/09

Biocentrum Ochota infrastruktura informatyczna dla rozwoju strategicznych kierunków biologii i medycyny POIG 02.03.00-00-003/09 Biocentrum Ochota infrastruktura informatyczna dla rozwoju strategicznych kierunków biologii i medycyny POIG 02.03.00-00-003/09 Zadanie 6. Zastosowanie technologii informatycznych w medycynie Sprawozdanie

Bardziej szczegółowo

Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania

Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania Grupa ID308, Zespół 11 PRZETWARZANIE OBRAZÓW Sprawozdanie z ćwiczeń Ćwiczenie 6 Temat: Operacje sąsiedztwa wyostrzanie obrazu Wykonali: 1. Mikołaj Janeczek

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 1: Terminologia badań statystycznych dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka (1) Statystyka to nauka zajmująca się zbieraniem, badaniem

Bardziej szczegółowo

10. Wstęp do Teorii Gier

10. Wstęp do Teorii Gier 10. Wstęp do Teorii Gier Definicja Gry Matematycznej Gra matematyczna spełnia następujące warunki: a) Jest co najmniej dwóch racjonalnych graczy. b) Zbiór możliwych dezycji każdego gracza zawiera co najmniej

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle

Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle Paweł Szołtysek 12 czerwca 2008 Streszczenie Planowanie produkcji jest jednym z problemów optymalizacji dyskretnej,

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

Modyfikacja algorytmów retransmisji protokołu TCP.

Modyfikacja algorytmów retransmisji protokołu TCP. Modyfikacja algorytmów retransmisji protokołu TCP. Student Adam Markowski Promotor dr hab. Michał Grabowski Cel pracy Celem pracy było przetestowanie i sprawdzenie przydatności modyfikacji klasycznego

Bardziej szczegółowo

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO ĆWICZENIE 53 PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO Cel ćwiczenia: wyznaczenie wartości indukcyjności cewek i pojemności kondensatorów przy wykorzystaniu prawa Ohma dla prądu przemiennego; sprawdzenie prawa

Bardziej szczegółowo

A B. Modelowanie reakcji chemicznych: numeryczne rozwiązywanie równań na szybkość reakcji chemicznych B: 1. da dt. A v. v t

A B. Modelowanie reakcji chemicznych: numeryczne rozwiązywanie równań na szybkość reakcji chemicznych B: 1. da dt. A v. v t B: 1 Modelowanie reakcji chemicznych: numeryczne rozwiązywanie równań na szybkość reakcji chemicznych 1. ZałóŜmy, Ŝe zmienna A oznacza stęŝenie substratu, a zmienna B stęŝenie produktu reakcji chemicznej

Bardziej szczegółowo

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący: Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Grafika 2D. Animacja Zmiany Kształtu. opracowanie: Jacek Kęsik

Grafika 2D. Animacja Zmiany Kształtu. opracowanie: Jacek Kęsik Grafika 2D Animacja Zmiany Kształtu opracowanie: Jacek Kęsik Wykład przedstawia podstawy animacji zmiany kształtu - morfingu Animacja zmiany kształtu Podstawowe pojęcia Zlewanie (Dissolving / cross-dissolving)

Bardziej szczegółowo

Podstawy działań na wektorach - dodawanie

Podstawy działań na wektorach - dodawanie Podstawy działań na wektorach - dodawanie Metody dodawania wektorów można podzielić na graficzne i analityczne (rachunkowe). 1. Graficzne (rysunkowe) dodawanie dwóch wektorów. Założenia: dane są dwa wektory

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE

Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE 1. 1. W p r owadze n ie 1 Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE 1.1. WPROWADZENIE SYGNAŁ nośnik informacji ANALIZA SYGNAŁU badanie, którego celem jest identyfikacja własności, cech, miar sygnału; odtwarzanie

Bardziej szczegółowo

Spis treści. I. Skuteczne. Od autora... Obliczenia inżynierskie i naukowe... Ostrzeżenia...XVII

Spis treści. I. Skuteczne. Od autora... Obliczenia inżynierskie i naukowe... Ostrzeżenia...XVII Spis treści Od autora..................................................... Obliczenia inżynierskie i naukowe.................................. X XII Ostrzeżenia...................................................XVII

Bardziej szczegółowo

PageRank i HITS. Mikołajczyk Grzegorz

PageRank i HITS. Mikołajczyk Grzegorz PageRank i HITS Mikołajczyk Grzegorz PageRank Metoda nadawania indeksowanym stronom internetowym określonej wartości liczbowej, oznaczającej jej jakość. Algorytm PageRank jest wykorzystywany przez popularną

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Wektory

Bardziej szczegółowo

1. Wprowadzenie. 2. Struktura obrazowej bazy danych

1. Wprowadzenie. 2. Struktura obrazowej bazy danych WYZNACZANIE FAKTUR WE WSTĘPNYM PRZYGOTOWANIU OBRAZÓW DLA CELÓW OBRAZOWEJ BAZY DANYCH Tatiana Jaworska Instytut Badań Systemowych, Polska Akademia Nauk, ul. Newelska 6, 01-447 Warszawa, W artykule przedstawiono

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

METODY CHEMOMETRYCZNE W IDENTYFIKACJI ŹRÓDEŁ POCHODZENIA

METODY CHEMOMETRYCZNE W IDENTYFIKACJI ŹRÓDEŁ POCHODZENIA METODY CHEMOMETRYCZNE W IDENTYFIKACJI ŹRÓDEŁ POCHODZENIA AMFETAMINY Waldemar S. Krawczyk Centralne Laboratorium Kryminalistyczne Komendy Głównej Policji, Warszawa (praca obroniona na Wydziale Chemii Uniwersytetu

Bardziej szczegółowo

Sposoby prezentacji problemów w statystyce

Sposoby prezentacji problemów w statystyce S t r o n a 1 Dr Anna Rybak Instytut Informatyki Uniwersytet w Białymstoku Sposoby prezentacji problemów w statystyce Wprowadzenie W artykule zostaną zaprezentowane podstawowe zagadnienia z zakresu statystyki

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Potencjał pola elektrycznego

Potencjał pola elektrycznego Potencjał pola elektrycznego Pole elektryczne jest polem zachowawczym, czyli praca wykonana przy przesunięciu ładunku pomiędzy dwoma punktami nie zależy od tego po jakiej drodze przesuwamy ładunek. Spróbujemy

Bardziej szczegółowo

Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących

Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących Cezary Dendek Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych PW Plan prezentacji Plan prezentacji Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1) ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Telewizji Cyfrowej

Laboratorium Telewizji Cyfrowej Laboratorium Telewizji Cyfrowej Badanie wybranych elementów sieci TV kablowej Jarosław Marek Gliwiński Robert Sadowski Przemysław Szczerbicki Paweł Urbanek 14 maja 2009 1 Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia

Bardziej szczegółowo

Metrologia: organizacja eksperymentu pomiarowego

Metrologia: organizacja eksperymentu pomiarowego Metrologia: organizacja eksperymentu pomiarowego (na podstawie: Żółtowski B. Podstawy diagnostyki maszyn, 1996) dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Teoria eksperymentu: Teoria eksperymentu

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Konwencje zastosowane w książce...5. Dodawanie stylów do dokumentów HTML oraz XHTML...6. Struktura reguł...9. Pierwszeństwo stylów...

Spis treści. Konwencje zastosowane w książce...5. Dodawanie stylów do dokumentów HTML oraz XHTML...6. Struktura reguł...9. Pierwszeństwo stylów... Spis treści Konwencje zastosowane w książce...5 Dodawanie stylów do dokumentów HTML oraz XHTML...6 Struktura reguł...9 Pierwszeństwo stylów... 10 Klasyfikacja elementów... 13 Sposoby wyświetlania elementów...

Bardziej szczegółowo

Kolumna Zeszyt Komórka Wiersz Tabela arkusza Zakładki arkuszy

Kolumna Zeszyt Komórka Wiersz Tabela arkusza Zakładki arkuszy 1 Podstawowym przeznaczeniem arkusza kalkulacyjnego jest najczęściej opracowanie danych liczbowych i prezentowanie ich formie graficznej. Ale formuła arkusza kalkulacyjnego jest na tyle elastyczna, że

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ

ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTEP Zadanie minimalizacji bez ograniczeń f(ˆx) = min x R nf(x) f : R n R funkcja ograniczona z dołu Algorytm rozwiazywania Rekurencyjny

Bardziej szczegółowo

(12) TŁUMACZENIE PATENTU EUROPEJSKIEGO (19) PL (11) PL/EP 2113444. (96) Data i numer zgłoszenia patentu europejskiego: 17.04.2009 09158145.

(12) TŁUMACZENIE PATENTU EUROPEJSKIEGO (19) PL (11) PL/EP 2113444. (96) Data i numer zgłoszenia patentu europejskiego: 17.04.2009 09158145. RZECZPOSPOLITA POLSKA (12) TŁUMACZENIE PATENTU EUROPEJSKIEGO (19) PL (11) PL/EP 2113444 (96) Data i numer zgłoszenia patentu europejskiego: 17.04.09 09814.4 (13) (1) T3 Int.Cl. B62D /04 (06.01) Urząd Patentowy

Bardziej szczegółowo

Charakterystyka amplitudowa i fazowa filtru aktywnego

Charakterystyka amplitudowa i fazowa filtru aktywnego 1 Charakterystyka amplitudowa i fazowa filtru aktywnego Charakterystyka amplitudowa (wzmocnienie amplitudowe) K u (f) jest to stosunek amplitudy sygnału wyjściowego do amplitudy sygnału wejściowego w funkcji

Bardziej szczegółowo

Efekt Dopplera. dr inż. Romuald Kędzierski

Efekt Dopplera. dr inż. Romuald Kędzierski Efekt Dopplera dr inż. Romuald Kędzierski Christian Andreas Doppler W 1843 roku opublikował swoją najważniejszą pracę O kolorowym świetle gwiazd podwójnych i niektórych innych ciałach niebieskich. Opisał

Bardziej szczegółowo

Przedmowa 11 Ważniejsze oznaczenia 14 Spis skrótów i akronimów 15 Wstęp 21 W.1. Obraz naturalny i cyfrowe przetwarzanie obrazów 21 W.2.

Przedmowa 11 Ważniejsze oznaczenia 14 Spis skrótów i akronimów 15 Wstęp 21 W.1. Obraz naturalny i cyfrowe przetwarzanie obrazów 21 W.2. Przedmowa 11 Ważniejsze oznaczenia 14 Spis skrótów i akronimów 15 Wstęp 21 W.1. Obraz naturalny i cyfrowe przetwarzanie obrazów 21 W.2. Technika obrazu 24 W.3. Normalizacja w zakresie obrazu cyfrowego

Bardziej szczegółowo

Konwersja dźwięku analogowego do postaci cyfrowej

Konwersja dźwięku analogowego do postaci cyfrowej Konwersja dźwięku analogowego do postaci cyfrowej Schemat postępowania podczas przetwarzania sygnału analogowego na cyfrowy nie jest skomplikowana. W pierwszej kolejności trzeba wyjaśnić kilka elementarnych

Bardziej szczegółowo

BADANIE STATYCZNYCH WŁAŚCIWOŚCI PRZETWORNIKÓW POMIAROWYCH

BADANIE STATYCZNYCH WŁAŚCIWOŚCI PRZETWORNIKÓW POMIAROWYCH BADAIE STATYCZYCH WŁAŚCIWOŚCI PRZETWORIKÓW POMIAROWYCH 1. CEL ĆWICZEIA Celem ćwiczenia jest poznanie: podstawowych pojęć dotyczących statycznych właściwości przetworników pomiarowych analogowych i cyfrowych

Bardziej szczegółowo

1.7. Eksploracja danych: pogłębianie, przeszukiwanie i wyławianie

1.7. Eksploracja danych: pogłębianie, przeszukiwanie i wyławianie Wykaz tabel Wykaz rysunków Przedmowa 1. Wprowadzenie 1.1. Wprowadzenie do eksploracji danych 1.2. Natura zbiorów danych 1.3. Rodzaje struktur: modele i wzorce 1.4. Zadania eksploracji danych 1.5. Komponenty

Bardziej szczegółowo

Regresja wielokrotna. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Regresja wielokrotna. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Regresja wielokrotna Model dla zależności liniowej: Y=a+b 1 X 1 +b 2 X 2 +...+b n X n Cząstkowe współczynniki regresji wielokrotnej: b 1,..., b n Zmienne niezależne (przyczynowe): X 1,..., X n Zmienna

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Metoda programowania dynamicznego........... 5

Bardziej szczegółowo

Ruch drgający i falowy

Ruch drgający i falowy Ruch drgający i falowy 1. Ruch harmoniczny 1.1. Pojęcie ruchu harmonicznego Jednym z najbardziej rozpowszechnionych ruchów w mechanice jest ruch ciała drgającego. Przykładem takiego ruchu może być ruch

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Przejścia optyczne w strukturach niskowymiarowych

Przejścia optyczne w strukturach niskowymiarowych Współczynnik absorpcji w układzie dwuwymiarowym można opisać wyrażeniem: E E gdzie i oraz f są energiami stanu początkowego i końcowego elektronu, zapełnienie tych stanów opisane jest funkcją rozkładu

Bardziej szczegółowo

Julia 4D - raytracing

Julia 4D - raytracing i przykładowa implementacja w asemblerze Politechnika Śląska Instytut Informatyki 27 sierpnia 2009 A teraz... 1 Fraktale Julia Przykłady Wstęp teoretyczny Rendering za pomocą śledzenia promieni 2 Implementacja

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

Algorytmy genetyczne w interpolacji wielomianowej

Algorytmy genetyczne w interpolacji wielomianowej Algorytmy genetyczne w interpolacji wielomianowej (seminarium robocze) Seminarium Metod Inteligencji Obliczeniowej Warszawa 22 II 2006 mgr inż. Marcin Borkowski Plan: Przypomnienie algorytmu niszowego

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do MES. Krzysztof Banaś. 24 października 2012

Wprowadzenie do MES. Krzysztof Banaś. 24 października 2012 Wprowadzenie do MES Krzysztof Banaś 24 października 202 MES (Metoda Elementów Skończonych 2 ) jest jednym z podstawowych narzędzi komputerowego wspomagania badań naukowych i analiz inżynierskich, o bardzo

Bardziej szczegółowo

SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJ

SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJ SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU BUDOWNICTWA WNT UWM W ROKU AKADEMICKIM 2012/2013 Nazwa przedmiotu: Zajęcia wyrównawcze z matematyki Rodzaj studiów:

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo