Falki, transformacje falkowe i ich wykorzystanie

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Falki, transformacje falkowe i ich wykorzystanie"

Transkrypt

1 Falki, transformacje falkowe i ich wykorzystanie Wstęp Praca próbuje opisać czym jest falka oraz podać zastosowania falek w praktyce. Na wstępie w Postaci matematycznej falki zaprezentujemy czym jest problem analizy lokalnej sygnału, pojęcie transformacji oraz dwa podejścia zmierzenia się problemem analizy lokalnej: krótkoczasową transformację Fouriera (STFT) oraz transformację falkową. Omawiając STFT przypomnimy wzór na transformatę Fouriera z której jest wyprowadzana oraz zdefiniujemy samą STFT. Następnie opiszemy falki, ciągłą transformację falkową (CWT) i jej zastosowania oraz dyskretną transformację falkową (DWT), mającą o wiele praktyczniejsze zastosowanie od transformacji ciągłej. Z uwagi na dużą złożoność matematyczną DWT ograniczymy się w jej przypadku głównie do przykładów zastosowań. Postać matematyczna falki Analiza lokalna Uwagi ogólne Referat rozpoczniemy od analizy lokalnej sygnału, czyli problemu polegającego na określeniu wartości sygnału w pewnym określonym punkcie czasu. Będziemy reprezentowali sygnał jako funkcję f(t), gdzie t oznacza czas, ponadto zakładamy, zę sygnał jest ciągły w całej swojej dziedzinie. Transformacje Co to jest transformacja Przez transformacje F sygnału f(t) rozumiemy przekształcenie : gdzie g(u) jest to funkcją analityczna (może być funkcją zespoloną, kreska nad g to sprzężenie zespolone). g może także zależeć od pewnych parametrów (np. częstotliwości). ~ 1 ~

2 Transformacje, ogólnie rzecz biorąc, służą temu by przekształcić sygnał f(t) do reprezentacji, która zawiera w sobie wymagane przez nas informacje o sygnale w zwięzły sposób. Zauważmy do tego, że każdy transformacji którą będziemy rozpatrywać jest odwracalna - znając funkcję transformującą jesteśmy w stanie odtworzyć oryginalny sygnał. Transformacje są nazywane lokalnymi jeżeli oprócz pomiaru częstotliwości, czy wielkości szczegółów (detail sizes) wskazują również, gdzie one się znajdują w sygnale f(t) (można porównać analizę lokalną do zapisania piosenki w postaci nut). Transformacja Fouriera Transformata Fouriera dostarcza informacji o tym jaki wpływ na sygnał ma dolożenie do niego określonych częstotliwości. Transformacja Fouriera służy wprawdzie do globalnego przedstawienia sygnału f(u), jednak przypominamy ją, gdyż będziemy z niej wyprowadzać wzór na krótko-czasową transformatę Fouriera. Reprezentacja sygnału za pomocą transformaty Fouriera, dla częstotliwości sygnału analitycznego równej : W przypadku transformaty Fouriera.Taka ogólna postać jest niedokładna jeżeli chcemy znać dokładny przebieg sygnału w pewnym oknie czasowym ponieważ transformacja Fouriera reprezentuje sygnał na całym przedziale czasowym, co prowadzi do tego, że np. gwałtowne skoki napięcia zostają wygładzone. Ogólnie rzecz biorąc transformata Fouriera nadaje się dobrze do znajdowania globalnych cech sygnału oraz dobrze radzi sobie z sygnałami stacjonarnymi. Krótko-czasowa transformata Fouriera (Short Time Fourier Transformation) STFT jest narzędziem do analizy lokalnej, została opracowana przed pojawieniem się falek. STFT, zwana również WFT(Windowed Fourier Transformation), będziemy używać tych oznaczeń zamiennie, jest niczym innym jak transformacją Fouriera zawężoną do pewnego okna czasowego. SFTP szuka wystąpienia pewnej kołowej częstotliwości w pewnym określonym czasie t. SFTP jest dana wzorem: ~ 2 ~

3 W przypadku WFT funkcja analityczna przyjmuje postać:, przez w oznaczamy okno czasowe, t pozwala na przesuwanie okna czasowego do wymaganego miejsca, w którym chcemy przeprowadzić analizę lokalną. Widzimy więc, że sygnał w tym przypadku zależy nie tylko od częstotliwości, ale również od czasu, dzięki czemu jesteśmy w stanie za pomocą STFT przeprowadzić analizę lokalną. Wadą metody STFT jest fakt, że szerokość okna czasowego jest stała i nieadaptywna, by zwiększyć dokładność opisu sygnału zwiększać musimy częstotliwość funkcji analitycznej. Oraz nawet jeżeli jesteśmy zainteresowani tylko małym wycinkiem z obszaru okna przeanalizować musimy całe okno. Transformata falkowa (wreszcie) Fig 1. Typowy kształt okien czasowych dla WFT Transformacja falkowa zachowuje się podobnie do transformacji WFT, z tą różnicą, że posiada ona zdolność przybliżania (zooming property) (analogią może być przybliżanie z czegoś za pomocą mikroskopu). W przeciwieństwie do transformaty Fouriera nie przestawia ona sygnału w zależności od częstotliwości, ale pozwala sprawdzić czy w sygnale występują szczegóły(details) określonej wielkości i jak wpływają na sygnał. Transformacje falkowe dane są następującymi wzorem(dla ciągłej transformacji): a jest czynnikiem skalującym(scale factor) określającym stopień zbliżenia, czyli długość rozpatrywanego wycinka sygnału. Niska wartość a (czyli wysoka szczegółowość) odpowiada wysokiej częstotliwości, a jest więc odwrotnie proporcjonalne do. Jest to opisane za pomocą współczynnika b takiego że. Funkcja analityczna g oscyluje wzdłuż osi u (zatem maleje dla. Funkcję spełniającą powyższe wiadomości nazywamy falką. Natomiast funkcję g z której tworzona jest cała rodzina funkcji macierzystą. W szczególności falkami są funkcje należące do rodziny: ) oraz gwałtownie nazywamy falką, ~ 3 ~

4 falki z tej rodziny tworzone są odpowiednio przez przesunięcie falki macierzystej g o t oraz przeskalowanie jej zależnie od współczynnika a. Zauważmy, że wszystkie falki z tej samej rodziny mają ten sam kształt, z dokładnością do translacji i skalowania. Typowy kształt okien czasowych utworzonych z falek, g(x) jest falką macierzystą, widoczne tu funkcje są nazywane mexican hat functions Porównanie transformaty Fouriera z transformacją falkową Przykładowy agresywny sygnał Rekonstrukcja sygnału atakującego. Linia przerywana - uzyskana z transformaty Fouriera Linia z plusami - uzyskana przy pomocy falki db-4 Przykład falki - falka Haara Falka Haara, znana również jako falka D2, jest najprostszą z falek, została zaproponowana w roku 1909 przez Alfreda Haara, jest uważana za pierwszą sformułowaną funkcję falkową. Falki Haara są to funkcje należące do rodziny utworzonej z falki macierzystej danej wzorem: ~ 4 ~

5 Falka ma zwarty suport na [0,1], jednak jest ona nieciągła, więc i nieróżniczkowalna na całym, stosowana do kompresji obrazów i dźwięku. Falka macierzysta Haara: Ciągła transformacja falkowa (CWT - Continious Wavelet Transformation) Na początku zdefiniujemy raz jeszcze ograniczenia nakładane na funkcję falkową: Warunek dopuszczalności (amissablility condition), dla funkcji skończonej energii (finite energy function) : formuła ta w szczególności spełniona jest dla wcześniej wspomnianych falek, takich że: warunek ten, jest wystarczający dla falek wykorzystywanych w praktyce (zapewnia, że będzie ona oscylować wzdłuż osi czasu, a z faktu że funkcja jest skończonej energii wynika, że przy wartość falki dążyć będzie do zera). Każda funkcja skończonej energii spełniająca ten warunek jest falką. ~ 5 ~

6 CWT oznaczamy przez, jest ona równa: gdzie jest funkcją skończonej energii. Uwagi odnośnie złożoności i zastosowań CWT Zauważmy, że próbkując sygnał f f razy możemy reprezentować go w postaci: zatem można przechowywać dane odnośnie sygnału w wektorze o długości N. Wykonując na tym wektorze algorytm CWT, dla M współczynników skali a otrzymujemy macierz wartości CWT o wielkości. Oznacza to, że sygnał początkowo reprezentowany przez N wartości, jest po wykonaniu na nim CWT reprezentowany przez MN wartości! Z tego powodu ciągła transformacja falkowa jest dobra w analizie sygnału, jednak nie sprawdza się dobrze w innych praktycznych zastosowaniach, ze względu na pamięć wymaganą do przechowywania sygnału po transformacji oraz koszty związane z liczeniem całek. Poza tym reprezentacja sygnału za pomocą CWD jest redundantna. Przykłady falek - falki z M zanikającymi momentami Jak było wspomniane znakomita większość falek w zastosowaniach praktycznych spełnia warunek dopuszczalności, jeżeli całka z nich jest równa zero oraz funkcja falkowa dąży do zera dążąc do plus/minus nieskończoności. Uogólniając fakt, że całka z falki jest równa zero konstruujemy falki z M zanikającymi momentami (M vanishing moments). Zasada konstrukcji falek z M zanikającymi momentami Oznaczmy przez kawałkami gładką funkcję, m-różniczkowalną i spełniającą pewne dodatkowe techniczne ograniczenia. Zdefiniujmy falkę jako: można dla niej wykazać, że spełnia ona warunek dopuszczalności dla każdego m. W szczególności dla m=1 falka będzie falką Haara, a dla m=2 tz. meksykańskim kapeluszem (mexican hat function). ~ 6 ~

7 Falka Haara oraz meksykański kapelusz Implementacja zanikających momentów w praktyce oraz reprezentacja sygnału Przypomnijmy wzór na CWT, dla pewnego ustalonego współczynnika skali a i danego czasu t: Zauważmy, że wpływ na wynik mają jedynie wartości u. Załóżmy, że wartości u stanowią pewien interwał. Załóżmy, że ma M zanikających momentów i sygnał f(u) na może zostać zamodelowany przez wielomian stopnia k, k<m. Możemy wykazać wtedy, że. Można rozumieć to w następujący sposób: Załóżmy, że każda gładka część sygnału może być reprezentowana przez pewien wielomian, a zmiany sygnału są modelowane poprzez przełączenie pomiędzy wielomianami. Czyli oznacza to, że sygnał można zamodelować poprzez kawałkami wielomianowe funkcje. Zatem, jeżeli falka posiada wystarczająco wiele zanikających momentów to zmiany sygnału będą mogły zostać dobrze zlokalizowane przez jej ciągłą transformację(cwt), ponieważ CWT będzie zanikać tam gdzie funkcja f jest gładka (dla odpowiednio dużego M) i CWT będzie skoncentrowane w otoczeniu wartości czasu t, gdzie zachodzą zmiany sygnału. ~ 7 ~

8 Inny przykład (bez wzorów) Przybliżenie sygnału danego wzorem : za pomocą ciągłej transformacji z użyciem falki db2 oraz falki db4, częstotliwość próbkowania w każdym z przypadków wynosił odpowiednio,, sekund: Porównanie CWT z użyciem falek db2 i db4 ~ 8 ~

9 Przykład zastosowania CWT w analizie sygnałów otrzymywanych z sensorów robotów Uwagi wstępne: rozważamy robota, który za pomocą sensora zbiera informacje na temat odległości od przeszkód (wykonując sensorem poprzeczne, oscylacyjne ruchy dookoła pewnej osi). Ponadto analizowane sygnały mogą być uzyskiwane z jednej z 3 technologii (nie będziemy się wdawać w ich szczegóły): MSG, MAG, WIG. Przykład analizy za pomocą STFT: Wykres fazowy uzyskany z STFT, sygnał ma taką właściwość, że początkowo ma częstotliwość równą 3Hz, a w ok. 3 sekundzie zwiększa się ona do 6Hz co jest uchwycone przez STFT. ~ 9 ~

10 Wykresy skalowe uzyskane z sygnałów po przeprowadzeniu CWT,: Mimo, że sygnały są wizualnie podobne, analiza za pomocą CWT jednoznacznie wskazuje, że zostały ne zebrane w różnych technologiach. Zauważmy ponadto, że pojawiają się na wykresie białe paski, dla współczynnika skali równego długości fali. ~ 10 ~

11 Tu natomiast widzimy, że każdy z sygnałów zebrany został w technologii WIG, o czym świadczy rozmieszczenie białych plam dla wartości a = 6[s]. Zauważmy przy tym, że w ostatnim przypadku sensor, w przeciwieństwie do dwóch pierwszych był unieruchomiony (dlatego też dla a=1 nie ma białego paska w ostatnim odczycie) Przykład zastosowania CWT w analizie i klasyfikacji sygnałów akustycznych Przykład dotyczy klasyfikacji sygnałów dźwiękowych jako tych przyjemnych i nieprzyjemnych dla ludzkiego ucha. Procedura: 1. Lokalna transformacja sygnału jest próbkowana za pomocą siatki (grid) dyskretnych wartości. 2. Utworzenie wektora z wartości próbkowanych, będącego wejściem do dalszej procedury klasyfikującej 3. Sygnał jest klasyfikowany zależnie od odległości jego wyniku od wartości dobrych ~ 11 ~

12 ~ 12 ~

13 Dyskretna transformacja falkowa(dwt - Descrete Wavelet Transformation) DWT polega na dyskretnym próbkowaniu falki. Przy transformacji ciągłej staraliśmy się przedstawić sygnał jak najdokładniej, natomiast w przypadku transformacji dyskretnej staramy się zminimalizować ilość danych potrzebnych do reprezentacji sygnału. Zatem próbujemy znaleźć falki siatce t-a, dając w wyniku około N wartości zostać z nich zrekonstruowany., takie że CWT z f jest obliczone wyłącznie na dyskretnej takich, że początkowy wektor f może Innymi słowy transformacja ta dekomponuje sygnał na wzajemnie ortogonalne zbiory falek lub implementuje algorytm CWT dla dyskretnych szeregów czasowych. W dyskretnej transformacji falkowej wybieramy za współczynnik skali współczynnik przesunięcia, gdzie., a za DWT nazywamy funkcję, która generuje rzadki(sparse) zbiór wartości na płaszczyżnie czasskala. Do reprezentowania wartości falki w punktach, danych wzorem: używamy współczynników Ponadto wiemy, że informacja przechowywana we współczynnikach jest wystarczająca do dokładnej odbudowy sygnału (PR - perfect reconstruction), co więcej wystarczy do tego N współczynników N-próbkowanego sygnału. Próbkowanie sygnałów By transformacja falkowa mogła zostać obliczona przez komputer dane muszą zostać zdyskretyzowane. W przypadku transformacji Fouriera i STFT częstotliwość próbkowania jest jednorodna, natomiast w przypadku falek może on zmieniać się, gdy zmienia się skala. Większa skala, będzie miała mniejszą częstotliwość próbkowania(sampling rate). Nowa częstotliwość próbkowania może zostać wyznaczona ze wzoru, gdzie oznaczają współczynniki skali. ~ 13 ~

14 Dekompozycja falkowa Dyskretna transformata falkowa (DWT) pozwala przedstawić sygnał f(t) L2 w postaci liniowej kombinacji współczynników aj(k), dj(k). Rozwinięcia w szereg funkcji f(t) dokonuje się w oparciu o dwie spokrewnione ze sobą funkcje bazowe tzw. kwadratowe filtry lustrzane: funkcję falkową Ψ(t) oraz funkcję skalującą φ(t) Współczynniki dj,k zawierają informację o wysokich częstotliwościach oraz tworzą zbiór detali. Natomiast współczynniki ak zawierają informację dolnoprzepustową wraz ze składową stałą, czyli stanowią aproksymację sygnału. Dekompozycja wykorzystuje własność, że dla ustalonej skali j składowa detali reprezentuje rzut ortogonalny funkcji f na podprzestrzeń Wj L2. Wówczas zachodzi związek: Gdzie Vj+1 jest ortogonalnym dopełnieniem W j+1 w przestrzeni Vj Dekompozycja sygnału - ludzkim językiem DWT jest obliczana za pomocą zespołów filtrów (filter banks). Filtry różnych przedziałów (podpasm) częstotliwości analizują sygnał za pomocą różnych skal. Zatem rozdzielczość jest zmieniana przez filtrowanie. Jeżeli sygnał zostanie przepuszczony przez dwa filtry, jeden o wysokiej częstotliwości i drugi o niskiej częstotliwości, wtedy zostaje on efektywnie zdekomponowany na dwie części szczegółową (nie zawierającą informacji pochodzącej z niskiej częstotliwości) oraz przybliżającą (nie posiadającą informacji z wysokiej częstotliwości). Podsygnał uzyskany z niskoczęstotliwościowego filtra (low filter), będzie miał najwyższą częstotliwość równą połowie oryginalnej. Oznacza to (z próbkowania Nyquista), że tylko połowa z oryginalnych próbkowań jest wymagana do idealnego odtworzenia sygnału, co pozwala, innymi słowy, na usunięcie co drugiego próbkowania. Przejście przez taki zespół filtrów jest równoważne podwojeniu skali. Dekompozycja sygnału może być wykonywana wielokrotnie, za każdym razem zmniejsza się rozdzielczość czasowa, ale zwiększa częstotliwościowa. ~ 14 ~

15 Dekompozycja sygnału wg schematu Mallata DWT otrzymujemy poprzez zebranie współczynników ostatecznego podsygnału aproksymującego oraz wszystkich szczegółowych podsygnałów. Wartość oryginalną można uzyskać poprzez dodanie do siebie wszystkich sygnałów. Wygładzanie sygnałów Wysokie częstotliwości wykrywają cechy lokalne, niskie częstotliwości - cechy globalne. Szum jest cechą lokalna. Aby się go pozbyć, wystarczy usunąć współczynniki krótkich falek. ~ 15 ~

16 Falkowa reprezentacja obrazów DWT jest stosowany do analizy sygnałów dwuwymiarowych (obrazów). Dzięki algorytmowi Mallata można wykorzystać falki do wielorozdzielczej reprezentacji obrazów. Wielorozdzielczość jest to podział sygnału w ciąg sygnałów o stopniowo zmniejszającej się rozdzielczości. Algorytm Mallata dzieli obraz na cztery obrazy, a każdy z nich ma rozmiar równy 1/4 rozmiaru obrazu dzielonego, czyli jego rozdzielczość jest liniowo dwa razy mniejsza niż dekomponowany obraz. Każda składowa może być następnie dzielona w ten sam sposób przez co powstaje reprezentacja na wielu poziomach rozdzielczości. Realizacja dekompozycji polega na sekwencyjnym filtrowaniu górno- i dolno- przepustowym, osobno wzdłuż kolumn a osobno wzdłuż wierszy obrazu, przy jednoczesnym zmniejszaniu rozdzielczości. W zależności od rodzaju i kolejności filtrów powstają obrazy składowe: LL- filtr dolnoprzepustowy dla wierszy i kolumn, LH- dla wierszy filtr dolnoprzepustowy a górnoprzepustowy dla kolumn, HL odwrotnie niż LH, HH dwa razy filtr górnoprzepustowy. Komponent LL jest obrazem powstającym na drodze obliczania wartości średniej z rozłącznych grup pikseli o rozmiarze 2x2 (wykorzystuje transformację Haara). Stanowi zatem uproszczoną reprezentację transformowanego obrazu. Kolejne komponenty eksponują krawędzie pionowe (LH), poziome (HL) i diagonalne (HH) wraz z ich mocą. Mamy do czynienia z trzema składowymi zawierającymi komplementarne w stosunku do obrazu średniego detale. Na podstawie tych składowych można obliczyć parametry charakteryzuje energię krawędzi w trzech kierunkach. Można także analizować rozkład energii w każdym komponencie. Odstępstwa od rozkładu modelowego są podstawą do wnioskowania o potencjale informacyjnym lub jego zaburzeniach. Wizualna oceny komponentów falkowych pozwala niejednokrotnie wykrywać zaburzenia, niewidoczne przy obserwacji obrazu w klasycznej postaci. Destrukcyjne efekty kompresji stratnej algorytmem JPEG sa łatwiej zauważalne w komponencie HH niż przy obserwacji obrazu w klasycznej postaci. Zastosowanie kompresji w praktyce - biblioteka odcisków palców FBI Dawno temu (przed komputeryzacją) FBI miało 200 mln zbiorów odcisków palców, do czego dzienni dochodziło do odcisków dziennie, przez co przeszukiwanie ich zajmowało o wiele za dużo czasu. Obliczono, że by przechowywać je w pamięci komputera potrzebne by było 2000 terabajtów (sic!) pamięci, a porównanie każdego z odcisków zajmowałoby 600 KB pamięci operacyjnej. Dzięki użyciu falek udało się zmniejszyć zajętość każdego z obrazów do 7% i zachować wymaganą dokładność (kompresja JPG dała radę tylko do 10%). Lokalizacja anomalii/zaburzeń w pracy silnika Falki są wykorzystywane do analizy danych dotyczących silników, aby wykryć ewentualne uszkodzenia. Na wykresie transformaty Fouriera można zauważyć zaburzenia w wypadku gdy silnik jest uszkodzony. Zaburzenia nie są równoznaczne z uszkodzeniem silnika, jedynie wskazują miejsce podejrzane o uszkodzenie, co pozwala zawężyć analizę danych do pewnego przedziału. Transformata falkowa zawiera nie tylko informacje o częstotliwości sygnału, ale tez o rozkładzie częstotliwości w czasie. ~ 16 ~

17 Wykresy przedstawiają współczynniki transformaty falkowej dla silnika uszkodzonego i nieuszkodzonego. Na wykresie widać, ze współczynniki sie różnią (jasny kolor oznacza większą wartość bezwzględną danego współczynnika). Niska skala na wykresie określa, ze mamy do czynienia ze współczynnikami odpowiadającymi wysokim częstotliwościom, a wiec cechom lokalnym sygnału (np. z szumem). Wysoka skala mówi, ze mamy do czynienia z niskimi częstotliwościami, a wiec z cechami globalnymi sygnału (np. z okresowością). Kompresja obrazu Zerując współczynniki w transformacie falkowej, pozbywamy sie części informacji. Jednak usuniecie nawet bardzo dużej części informacji pozostaje niezauważalna dla ludzkiego oka. ~ 17 ~

18 Monitorowanie tętna i oddychania: ~ 18 ~

19 Astronomia: Za pomocą falek odkryto okresowość oscylacji pola mgnetycznego słońca. Biliografia: 1. Hans-Georg Stark, Wavelets and Signal Processing, An Aplication-Based Introduction, Schmid & Vöckler GbR, 2005, ISBN Ingrid Daubechies, Ten lectures on wavelets, SIAM, 1992, ISBN Karen Lees, Image Compression Using Wavelets, 2002 ~ 19 ~

POSZUKIWANIE FALKOWYCH MIAR POTENCJAŁU INFORMACYJNEGO OBRAZÓW CYFROWYCH JAKO WSKAŹNIKÓW JAKOŚCI WIZUALNEJ

POSZUKIWANIE FALKOWYCH MIAR POTENCJAŁU INFORMACYJNEGO OBRAZÓW CYFROWYCH JAKO WSKAŹNIKÓW JAKOŚCI WIZUALNEJ Krystian Pyka POSZUKIWANIE FALKOWYCH MIAR POTENCJAŁU INFORMACYJNEGO OBRAZÓW CYFROWYCH JAKO WSKAŹNIKÓW JAKOŚCI WIZUALNEJ Streszczenie. W pracy przedstawiono wyniki badań nad wykorzystaniem falek do analizy

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM AKUSTYKI MUZYCZNEJ. Ćw. nr 12. Analiza falkowa dźwięków instrumentów muzycznych. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE ANALIZY FALKOWEJ.

LABORATORIUM AKUSTYKI MUZYCZNEJ. Ćw. nr 12. Analiza falkowa dźwięków instrumentów muzycznych. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE ANALIZY FALKOWEJ. LABORATORIUM AKUSTYKI MUZYCZNEJ. Ćw. nr 1. Analiza falkowa dźwięków instrumentów muzycznych. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE ANALIZY FALKOWEJ. Transformacja falkowa (ang. wavelet falka) przeznaczona jest do analizy

Bardziej szczegółowo

2. Próbkowanie Sygnały okresowe (16). Trygonometryczny szereg Fouriera (17). Częstotliwość Nyquista (20).

2. Próbkowanie Sygnały okresowe (16). Trygonometryczny szereg Fouriera (17). Częstotliwość Nyquista (20). SPIS TREŚCI ROZDZIAŁ I SYGNAŁY CYFROWE 9 1. Pojęcia wstępne Wiadomości, informacje, dane, sygnały (9). Sygnał jako nośnik informacji (11). Sygnał jako funkcja (12). Sygnał analogowy (13). Sygnał cyfrowy

Bardziej szczegółowo

ANALIZA SEMANTYCZNA OBRAZU I DŹWIĘKU

ANALIZA SEMANTYCZNA OBRAZU I DŹWIĘKU ANALIZA SEMANTYCZNA OBRAZU I DŹWIĘKU obraz dr inż. Jacek Naruniec Analiza Składowych Niezależnych (ICA) Independent Component Analysis Dąży do wyznaczenia zmiennych niezależnych z obserwacji Problem opiera

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie falek w przetwarzaniu obrazów

Zastosowanie falek w przetwarzaniu obrazów Informatyka, S2 sem. Letni, 2013/2014, wykład#1 Zastosowanie falek w przetwarzaniu obrazów dr inż. Paweł Forczmański Katedra Systemów Multimedialnych, Wydział Informatyki ZUT 1 / 61 Alfréd Haar Alfréd

Bardziej szczegółowo

Przetwarzanie obrazów wykład 6. Adam Wojciechowski

Przetwarzanie obrazów wykład 6. Adam Wojciechowski Przetwarzanie obrazów wykład 6 Adam Wojciechowski Przykłady obrazów cyfrowych i ich F-obrazów Parzysta liczba powtarzalnych wzorców Transformata Fouriera może być przydatna przy wykrywaniu określonych

Bardziej szczegółowo

Kompresja Danych. Streszczenie Studia Dzienne Wykład 13, f(t) = c n e inω0t, T f(t)e inω 0t dt.

Kompresja Danych. Streszczenie Studia Dzienne Wykład 13, f(t) = c n e inω0t, T f(t)e inω 0t dt. 1 Kodowanie podpasmowe Kompresja Danych Streszczenie Studia Dzienne Wykład 13, 18.05.2006 1.1 Transformaty, próbkowanie i filtry Korzystamy z faktów: Każdą funkcję okresową można reprezentować w postaci

Bardziej szczegółowo

Podstawy Przetwarzania Sygnałów

Podstawy Przetwarzania Sygnałów Adam Szulc 188250 grupa: pon TN 17:05 Podstawy Przetwarzania Sygnałów Sprawozdanie 6: Filtracja sygnałów. Filtry FIT o skończonej odpowiedzi impulsowej. 1. Cel ćwiczenia. 1) Przeprowadzenie filtracji trzech

Bardziej szczegółowo

EKSTRAKCJA CECH TWARZY ZA POMOCĄ TRANSFORMATY FALKOWEJ

EKSTRAKCJA CECH TWARZY ZA POMOCĄ TRANSFORMATY FALKOWEJ Janusz Bobulski Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska ul. Dąbrowskiego 73 42-200 Częstochowa januszb@icis.pcz.pl EKSTRAKCJA CECH TWARZY ZA POMOCĄ TRANSFORMATY FALKOWEJ

Bardziej szczegółowo

8. Analiza widmowa metodą szybkiej transformaty Fouriera (FFT)

8. Analiza widmowa metodą szybkiej transformaty Fouriera (FFT) 8. Analiza widmowa metodą szybkiej transformaty Fouriera (FFT) Ćwiczenie polega na wykonaniu analizy widmowej zadanych sygnałów metodą FFT, a następnie określeniu amplitud i częstotliwości głównych składowych

Bardziej szczegółowo

Diagnostyka obrazowa

Diagnostyka obrazowa Diagnostyka obrazowa Ćwiczenie szóste Transformacje obrazu w dziedzinie częstotliwości 1 Cel ćwiczenia Ćwiczenie ma na celu zapoznanie uczestników kursu Diagnostyka obrazowa z podstawowymi przekształceniami

Bardziej szczegółowo

Definicja. x(u)h (u t)e i2πuf du. F x (t,f ;h) = Krótko czasowa transformata Fouriera Ciągłą transformata falkowa

Definicja. x(u)h (u t)e i2πuf du. F x (t,f ;h) = Krótko czasowa transformata Fouriera Ciągłą transformata falkowa Definicja Krótko czasowa transformata Fouriera(STFT) może być rozumiana jako seria transformat Fouriera wykonanych na sygnale okienkowanym, przy czym położenie okienka w czasie jest w ramach takiej serii

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera

Ćwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera 1. Podstawowe właściwości przekształcenia

Bardziej szczegółowo

Przetwarzanie obrazów rastrowych macierzą konwolucji

Przetwarzanie obrazów rastrowych macierzą konwolucji Przetwarzanie obrazów rastrowych macierzą konwolucji 1 Wstęp Obrazy rastrowe są na ogół reprezentowane w dwuwymiarowych tablicach złożonych z pikseli, reprezentowanych przez liczby określające ich jasność

Bardziej szczegółowo

Systemy akwizycji i przesyłania informacji

Systemy akwizycji i przesyłania informacji Politechnika Rzeszowska im. Ignacego Łukasiewicza w Rzeszowie Wydział Elektryczny Kierunek: Informatyka Systemy akwizycji i przesyłania informacji Projekt zaliczeniowy Temat pracy: Okna wygładzania ZUMFL

Bardziej szczegółowo

Transformata Laplace a to przekształcenie całkowe funkcji f(t) opisane następującym wzorem:

Transformata Laplace a to przekształcenie całkowe funkcji f(t) opisane następującym wzorem: PPS 2 kartkówka 1 RÓWNANIE RÓŻNICOWE Jest to dyskretny odpowiednik równania różniczkowego. Równania różnicowe to pewne związki rekurencyjne określające w sposób niebezpośredni wartość danego wyrazu ciągu.

Bardziej szczegółowo

BIBLIOTEKA PROGRAMU R - BIOPS. Narzędzia Informatyczne w Badaniach Naukowych Katarzyna Bernat

BIBLIOTEKA PROGRAMU R - BIOPS. Narzędzia Informatyczne w Badaniach Naukowych Katarzyna Bernat BIBLIOTEKA PROGRAMU R - BIOPS Narzędzia Informatyczne w Badaniach Naukowych Katarzyna Bernat Biblioteka biops zawiera funkcje do analizy i przetwarzania obrazów. Operacje geometryczne (obrót, przesunięcie,

Bardziej szczegółowo

4 Zasoby językowe Korpusy obcojęzyczne Korpusy języka polskiego Słowniki Sposoby gromadzenia danych...

4 Zasoby językowe Korpusy obcojęzyczne Korpusy języka polskiego Słowniki Sposoby gromadzenia danych... Spis treści 1 Wstęp 11 1.1 Do kogo adresowana jest ta książka... 12 1.2 Historia badań nad mową i językiem... 12 1.3 Obecne główne trendy badań... 16 1.4 Opis zawartości rozdziałów... 18 2 Wyzwania i możliwe

Bardziej szczegółowo

CZWÓRNIKI KLASYFIKACJA CZWÓRNIKÓW.

CZWÓRNIKI KLASYFIKACJA CZWÓRNIKÓW. CZWÓRNK jest to obwód elektryczny o dowolnej wewnętrznej strukturze połączeń elementów, mający wyprowadzone na zewnątrz cztery zaciski uporządkowane w dwie pary, zwane bramami : wejściową i wyjściową,

Bardziej szczegółowo

Akustyka muzyczna ANALIZA DŹWIĘKÓW MUZYCZNYCH

Akustyka muzyczna ANALIZA DŹWIĘKÓW MUZYCZNYCH Akustyka muzyczna ANALIZA DŹWIĘKÓW MUZYCZNYCH Dźwięk muzyczny Dźwięk muzyczny sygnał wytwarzany przez instrument muzyczny. Najważniejsze parametry: wysokość związana z częstotliwością podstawową, barwa

Bardziej szczegółowo

9. Dyskretna transformata Fouriera algorytm FFT

9. Dyskretna transformata Fouriera algorytm FFT Transformata Fouriera ma szerokie zastosowanie w analizie i syntezie układów i systemów elektronicznych, gdyż pozwala na połączenie dwóch sposobów przedstawiania sygnałów reprezentacji w dziedzinie czasu

Bardziej szczegółowo

W celu obliczenia charakterystyki częstotliwościowej zastosujemy wzór 1. charakterystyka amplitudowa 0,

W celu obliczenia charakterystyki częstotliwościowej zastosujemy wzór 1. charakterystyka amplitudowa 0, Bierne obwody RC. Filtr dolnoprzepustowy. Filtr dolnoprzepustowy jest układem przenoszącym sygnały o małej częstotliwości bez zmian, a powodującym tłumienie i opóźnienie fazy sygnałów o większych częstotliwościach.

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

Przedmowa Wykaz oznaczeń Wykaz skrótów 1. Sygnały i ich parametry 1 1.1. Pojęcia podstawowe 1 1.2. Klasyfikacja sygnałów 2 1.3.

Przedmowa Wykaz oznaczeń Wykaz skrótów 1. Sygnały i ich parametry 1 1.1. Pojęcia podstawowe 1 1.2. Klasyfikacja sygnałów 2 1.3. Przedmowa Wykaz oznaczeń Wykaz skrótów 1. Sygnały i ich parametry 1 1.1. Pojęcia podstawowe 1 1.2. Klasyfikacja sygnałów 2 1.3. Sygnały deterministyczne 4 1.3.1. Parametry 4 1.3.2. Przykłady 7 1.3.3. Sygnały

Bardziej szczegółowo

Analiza i modelowanie przepływów w sieci Internet. Andrzej Andrijew

Analiza i modelowanie przepływów w sieci Internet. Andrzej Andrijew Analiza i modelowanie przepływów w sieci Internet Andrzej Andrijew Plan referatu Samopodobieostwo w sieci Internet Samopodobne procesy stochastyczne Metody sprawdzania samopodobieostwa Modelowanie przepływów

Bardziej szczegółowo

Próbkowanie (ang. sampling) - kwantyzacja. Rastrowa reprezentacja obrazu 2D. Generowanie obrazu rastrowego 2D. Próbkowanie i integracja

Próbkowanie (ang. sampling) - kwantyzacja. Rastrowa reprezentacja obrazu 2D. Generowanie obrazu rastrowego 2D. Próbkowanie i integracja Próbkowanie (ang. sampling) - kwantyzacja Rastrowa reprezentacja obrazu 2D Próbkowanie - proces zamiany ciągłego sygnału f(x) na skończoną liczbę wartości opisujących ten sygnał. Kwantyzacja - proces zamiany

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1

Aproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1 Założenie: f(x) funkcja którą aproksymujemy X jest przestrzenią liniową Aproksymacja liniowa funkcji f(x) polega na wyznaczeniu współczynników a 0,a 1,a 2,...,a m funkcji: Gdzie: - są funkcjami bazowymi

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI)

Ćwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) 1. Filtracja cyfrowa podstawowe

Bardziej szczegółowo

uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem próbkowania t takim, że T = t N 1 t

uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem próbkowania t takim, że T = t N 1 t 4. 1 3. " P r ze c ie k " w idm ow y 1 0 2 4.13. "PRZECIEK" WIDMOWY Rozważmy szereg czasowy {x r } dla r = 0, 1,..., N 1 uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem

Bardziej szczegółowo

Zwój nad przewodzącą płytą METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH

Zwój nad przewodzącą płytą METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH (2) (3) (10) (11) Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 1 Rozwiązania równań (10-11) mają ogólną postać: (12) (13) Modelowanie i symulacje obiektów w

Bardziej szczegółowo

ANALIZA SYGNAŁÓ W JEDNÓWYMIARÓWYCH

ANALIZA SYGNAŁÓ W JEDNÓWYMIARÓWYCH ANALIZA SYGNAŁÓ W JEDNÓWYMIARÓWYCH Generowanie podstawowych przebiegów okresowych sawtooth() przebieg trójkątny (wierzhołki +/-1, okres 2 ) square() przebieg kwadratowy (okres 2 ) gauspuls()przebieg sinusoidalny

Bardziej szczegółowo

Pałkowa analiza sygnałów

Pałkowa analiza sygnałów Remigiusz J. RAK, Andrzej MAJKOWSKI Politechnika Warszawska, Instytut Elektrotechniki Teoretycznej i Systemów Informacyjno-Pomiarowych Pałkowa analiza sygnałów Streszczenie. Cechą charakterystyczną lalkowej

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie analizy falkowej do wykrywania uszkodzeń łożysk tocznych

Zastosowanie analizy falkowej do wykrywania uszkodzeń łożysk tocznych Paweł EWERT 1, Anna DOROSŁAWSKA 2 Politechnika Wrocławska, Wydział Elektryczny, Katedra Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych (1), Politechnika Wrocławska (2) doi:10.15199/48.2017.01.72 Zastosowanie

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA POZNAŃSKA

POLITECHNIKA POZNAŃSKA POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI I ELEKTRONIKI PRZEMYSŁOWEJ Zakład Elektrotechniki Teoretycznej i Stosowanej Laboratorium Podstaw Telekomunikacji Ćwiczenie nr 1 Temat: Pomiar widma częstotliwościowego

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

Przekształcenie Fouriera obrazów FFT

Przekształcenie Fouriera obrazów FFT Przekształcenie ouriera obrazów T 6 P. Strumiłło, M. Strzelecki Przekształcenie ouriera ourier wymyślił sposób rozkładu szerokiej klasy funkcji (sygnałów) okresowych na składowe harmoniczne; taką reprezentację

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 3,4. Analiza widmowa sygnałów czasowych: sinus, trójkąt, prostokąt, szum biały i szum różowy

Ćwiczenie 3,4. Analiza widmowa sygnałów czasowych: sinus, trójkąt, prostokąt, szum biały i szum różowy Ćwiczenie 3,4. Analiza widmowa sygnałów czasowych: sinus, trójkąt, prostokąt, szum biały i szum różowy Grupa: wtorek 18:3 Tomasz Niedziela I. CZĘŚĆ ĆWICZENIA 1. Cel i przebieg ćwiczenia. Celem ćwiczenia

Bardziej szczegółowo

Technika audio część 2

Technika audio część 2 Technika audio część 2 Wykład 12 Projektowanie cyfrowych układów elektronicznych Mgr inż. Łukasz Kirchner lukasz.kirchner@cs.put.poznan.pl http://www.cs.put.poznan.pl/lkirchner Wprowadzenie do filtracji

Bardziej szczegółowo

Zmiany fazy/okresu oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego.

Zmiany fazy/okresu oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego. Strona 1 z 38 Zmiany fazy/okresu oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego. Alicja Rzeszótko alicja@cbk.waw.pl 2 czerwca 2006 1 Omówienie danych 3 Strona główna Strona 2 z 38 2

Bardziej szczegółowo

Teoria sygnałów Signal Theory. Elektrotechnika I stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)

Teoria sygnałów Signal Theory. Elektrotechnika I stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny) . KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 Teoria sygnałów Signal Theory A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

IMPLEMENTATION OF THE SPECTRUM ANALYZER ON MICROCONTROLLER WITH ARM7 CORE IMPLEMENTACJA ANALIZATORA WIDMA NA MIKROKONTROLERZE Z RDZENIEM ARM7

IMPLEMENTATION OF THE SPECTRUM ANALYZER ON MICROCONTROLLER WITH ARM7 CORE IMPLEMENTACJA ANALIZATORA WIDMA NA MIKROKONTROLERZE Z RDZENIEM ARM7 Łukasz Deńca V rok Koło Techniki Cyfrowej dr inż. Wojciech Mysiński opiekun naukowy IMPLEMENTATION OF THE SPECTRUM ANALYZER ON MICROCONTROLLER WITH ARM7 CORE IMPLEMENTACJA ANALIZATORA WIDMA NA MIKROKONTROLERZE

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Przetwarzania Sygnałów Biomedycznych

Laboratorium Przetwarzania Sygnałów Biomedycznych Laboratorium Przetwarzania Sygnałów Biomedycznych Ćwiczenie 3 Analiza sygnału o nieznanej strukturze Opracowali: - prof. nzw. dr hab. inż. Krzysztof Kałużyński - mgr inż. Tomasz Kubik Politechnika Warszawska,

Bardziej szczegółowo

Narzędzia matematyczne zastosowane w systemie biomonitoringu wody

Narzędzia matematyczne zastosowane w systemie biomonitoringu wody Narzędzia matematyczne zastosowane w systemie biomonitoringu wody Piotr Przymus Krzysztof Rykaczewski Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika Toruń 1 of 24 18 marca 2009 Cel referatu

Bardziej szczegółowo

Cyfrowe przetwarzanie i kompresja danych. dr inż.. Wojciech Zając

Cyfrowe przetwarzanie i kompresja danych. dr inż.. Wojciech Zając Cyfrowe przetwarzanie i kompresja danych dr inż.. Wojciech Zając Wykład 7. Standardy kompresji obrazów nieruchomych Obraz cyfrowy co to takiego? OBRAZ ANALOGOWY OBRAZ CYFROWY PRÓBKOWANY 8x8 Kompresja danych

Bardziej szczegółowo

FFT i dyskretny splot. Aplikacje w DSP

FFT i dyskretny splot. Aplikacje w DSP i dyskretny splot. Aplikacje w DSP Marcin Jenczmyk m.jenczmyk@knm.katowice.pl Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii 10 maja 2014 M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 1 / 17 Transformata

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie: "Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego"

Ćwiczenie: Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego Ćwiczenie: "Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego" Opracowane w ramach projektu: "Informatyka mój sposób na poznanie i opisanie świata realizowanego przez Warszawską Wyższą Szkołę Informatyki. Zakres

Bardziej szczegółowo

Automatyczne rozpoznawanie mowy - wybrane zagadnienia / Ryszard Makowski. Wrocław, Spis treści

Automatyczne rozpoznawanie mowy - wybrane zagadnienia / Ryszard Makowski. Wrocław, Spis treści Automatyczne rozpoznawanie mowy - wybrane zagadnienia / Ryszard Makowski. Wrocław, 2011 Spis treści Przedmowa 11 Rozdział 1. WPROWADZENIE 13 1.1. Czym jest automatyczne rozpoznawanie mowy 13 1.2. Poziomy

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA MORSKA KATEDRA NAWIGACJI TECHNICZEJ

AKADEMIA MORSKA KATEDRA NAWIGACJI TECHNICZEJ AKADEMIA MORSKA KATEDRA NAWIGACJI TECHNICZEJ ELEMETY ELEKTRONIKI LABORATORIUM Kierunek NAWIGACJA Specjalność Transport morski Semestr II Ćw. 2 Filtry analogowe układy całkujące i różniczkujące Wersja opracowania

Bardziej szczegółowo

Zygmunt Wróbel i Robert Koprowski. Praktyka przetwarzania obrazów w programie Matlab

Zygmunt Wróbel i Robert Koprowski. Praktyka przetwarzania obrazów w programie Matlab Zygmunt Wróbel i Robert Koprowski Praktyka przetwarzania obrazów w programie Matlab EXIT 2004 Wstęp 7 CZĘŚĆ I 9 OBRAZ ORAZ JEGO DYSKRETNA STRUKTURA 9 1. Obraz w programie Matlab 11 1.1. Reprezentacja obrazu

Bardziej szczegółowo

Zakładamy, że są niezależnymi zmiennymi podlegającymi (dowolnemu) rozkładowi o skończonej wartości oczekiwanej i wariancji.

Zakładamy, że są niezależnymi zmiennymi podlegającymi (dowolnemu) rozkładowi o skończonej wartości oczekiwanej i wariancji. Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład Spis treści 1 Centralne Twierdzenie Graniczne 1.1 Twierdzenie Lindeberga Levy'ego 1.2 Dowód 1.2.1 funkcja tworząca sumy zmiennych niezależnych 1.2.2 pochodna funkcji

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015

Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane

Bardziej szczegółowo

Wektory, układ współrzędnych

Wektory, układ współrzędnych Wektory, układ współrzędnych Wielkości występujące w przyrodzie możemy podzielić na: Skalarne, to jest takie wielkości, które potrafimy opisać przy pomocy jednej liczby (skalara), np. masa, czy temperatura.

Bardziej szczegółowo

rezonansu rezonansem napięć rezonansem szeregowym rezonansem prądów rezonansem równoległym

rezonansu rezonansem napięć rezonansem szeregowym rezonansem prądów rezonansem równoległym Lekcja szósta poświęcona będzie analizie zjawisk rezonansowych w obwodzie RLC. Zjawiskiem rezonansu nazywamy taki stan obwodu RLC przy którym prąd i napięcie są ze sobą w fazie. W stanie rezonansu przesunięcie

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień. Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,

Bardziej szczegółowo

b n y k n T s Filtr cyfrowy opisuje się również za pomocą splotu dyskretnego przedstawionego poniżej:

b n y k n T s Filtr cyfrowy opisuje się również za pomocą splotu dyskretnego przedstawionego poniżej: 1. FILTRY CYFROWE 1.1 DEFIICJA FILTRU W sytuacji, kiedy chcemy przekształcić dany sygnał, w inny sygnał niezawierający pewnych składowych np.: szumów mówi się wtedy o filtracji sygnału. Ogólnie Filtracją

Bardziej szczegółowo

Obliczenia Naukowe. Wykład 12: Zagadnienia na egzamin. Bartek Wilczyński

Obliczenia Naukowe. Wykład 12: Zagadnienia na egzamin. Bartek Wilczyński Obliczenia Naukowe Wykład 12: Zagadnienia na egzamin Bartek Wilczyński 6.6.2016 Tematy do powtórki Arytmetyka komputerów Jak wygląda reprezentacja liczb w arytmetyce komputerowej w zapisie cecha+mantysa

Bardziej szczegółowo

Przetworniki cyfrowo analogowe oraz analogowo - cyfrowe

Przetworniki cyfrowo analogowe oraz analogowo - cyfrowe Przetworniki cyfrowo analogowe oraz analogowo - cyfrowe Przetworniki cyfrowo / analogowe W cyfrowych systemach pomiarowych często zachodzi konieczność zmiany sygnału cyfrowego na analogowy, np. w celu

Bardziej szczegółowo

PL B BUP 16/04. Kleczkowski Piotr,Kraków,PL WUP 04/09

PL B BUP 16/04. Kleczkowski Piotr,Kraków,PL WUP 04/09 RZECZPOSPOLITA POLSKA (12) OPIS PATENTOWY (19) PL (11) 201536 (13) B1 (21) Numer zgłoszenia: 358531 (51) Int.Cl. G10L 21/02 (2006.01) H03G 3/00 (2006.01) Urząd Patentowy Rzeczypospolitej Polskiej (22)

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 311

dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 311 dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 311 Politechnika Gdaoska, 2011 r. Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej w

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

Filtracja obrazu operacje kontekstowe

Filtracja obrazu operacje kontekstowe Filtracja obrazu operacje kontekstowe Podział metod filtracji obrazu Metody przestrzenne i częstotliwościowe Metody liniowe i nieliniowe Główne zadania filtracji Usunięcie niepożądanego szumu z obrazu

Bardziej szczegółowo

Dźwięk podstawowe wiadomości technik informatyk

Dźwięk podstawowe wiadomości technik informatyk Dźwięk podstawowe wiadomości technik informatyk I. Formaty plików opisz zalety, wady, rodzaj kompresji i twórców 1. Format WAVE. 2. Format MP3. 3. Format WMA. 4. Format MIDI. 5. Format AIFF. 6. Format

Bardziej szczegółowo

Szereg i transformata Fouriera

Szereg i transformata Fouriera Analiza danych środowiskowych III rok OŚ Wykład 3 Andrzej Leśniak KGIS, GGiOŚ AGH Szereg i transformata Fouriera Cel wykładu: Wykrywanie i analiza okresowości w szeregach czasowych Przepływ wody w rzece

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości

Bardziej szczegółowo

Stabilność. Krzysztof Patan

Stabilność. Krzysztof Patan Stabilność Krzysztof Patan Pojęcie stabilności systemu Rozważmy obiekt znajdujący się w punkcie równowagi Po przyłożeniu do obiektu siły F zostanie on wypchnięty ze stanu równowagi Jeżeli po upłynięciu

Bardziej szczegółowo

Walec na równi pochyłej

Walec na równi pochyłej Walec na równi pochyłej Program: Coach 6 Projekt: komputer H : C:\Program Files (x86)\cma\coach6\full.en\cma Coach Projects\PTSN Coach 6\Wideopomiary\Walec na rowni.cma Cel ćwiczenia Obserwacja ruchu postępowego

Bardziej szczegółowo

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Jeśli X jest przestrzenią o nieskończonej liczbie elementów:

Jeśli X jest przestrzenią o nieskończonej liczbie elementów: Logika rozmyta 2 Zbiór rozmyty może być formalnie zapisany na dwa sposoby w zależności od tego z jakim typem przestrzeni elementów mamy do czynienia: Jeśli X jest przestrzenią o skończonej liczbie elementów

Bardziej szczegółowo

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie

Bardziej szczegółowo

PL B1. Sposób i układ pomiaru całkowitego współczynnika odkształcenia THD sygnałów elektrycznych w systemach zasilających

PL B1. Sposób i układ pomiaru całkowitego współczynnika odkształcenia THD sygnałów elektrycznych w systemach zasilających RZECZPOSPOLITA POLSKA (12) OPIS PATENTOWY (19) PL (11) 210969 (13) B1 (21) Numer zgłoszenia: 383047 (51) Int.Cl. G01R 23/16 (2006.01) G01R 23/20 (2006.01) Urząd Patentowy Rzeczypospolitej Polskiej (22)

Bardziej szczegółowo

Analiza korespondencji

Analiza korespondencji Analiza korespondencji Kiedy stosujemy? 2 W wielu badaniach mamy do czynienia ze zmiennymi jakościowymi (nominalne i porządkowe) typu np.: płeć, wykształcenie, status palenia. Punktem wyjścia do analizy

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

3. Przetwarzanie analogowo-cyfrowe i cyfrowo-analogowe... 43

3. Przetwarzanie analogowo-cyfrowe i cyfrowo-analogowe... 43 Spis treści 3 Przedmowa... 9 Cele książki i sposoby ich realizacji...9 Podziękowania...10 1. Rozległość zastosowań i głębia problematyki DSP... 11 Korzenie DSP...12 Telekomunikacja...14 Przetwarzanie sygnału

Bardziej szczegółowo

Podstawy OpenCL część 2

Podstawy OpenCL część 2 Podstawy OpenCL część 2 1. Napisz program dokonujący mnożenia dwóch macierzy w wersji sekwencyjnej oraz OpenCL. Porównaj czasy działania obu wersji dla różnych wielkości macierzy, np. 16 16, 128 128, 1024

Bardziej szczegółowo

Przetwarzanie obrazu

Przetwarzanie obrazu Przetwarzanie obrazu Przekształcenia kontekstowe Liniowe Nieliniowe - filtry Przekształcenia kontekstowe dokonują transformacji poziomów jasności pikseli analizując za każdym razem nie tylko jasność danego

Bardziej szczegółowo

Aparat widzenia człowieka (ang. Human Visual System, HVS) Budowa oka. Komórki światłoczułe. Rastrowa reprezentacja obrazu 2D.

Aparat widzenia człowieka (ang. Human Visual System, HVS) Budowa oka. Komórki światłoczułe. Rastrowa reprezentacja obrazu 2D. 1/9 Aparat widzenia człowieka (ang. Human Visual System, HVS) Rastrowa reprezentacja obrazu 2D Radosław Mantiuk Wydział Informatyki Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie Courtesy of

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

Kompresja danych DKDA (7)

Kompresja danych DKDA (7) Kompresja danych DKDA (7) Marcin Gogolewski marcing@wmi.amu.edu.pl Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Poznań, 22 listopada 2016 1 Kwantyzacja skalarna Wprowadzenie Analiza jakości Typy kwantyzatorów

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITECHNIKA OPOLSKA KATEDRA MECHANIKI I PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN MECHATRONIKA Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych Analiza sygnałów czasowych Opracował: dr inż. Roland Pawliczek Opole 2016 1 2 1. Cel

Bardziej szczegółowo

Transformacje Fouriera * podstawowe własności

Transformacje Fouriera * podstawowe własności Transformacje Fouriera * podstawowe własności * podejście mało formalne Funkcja w domenie czasowej Transformacja Fouriera - wstęp Ta sama funkcja w domenie częstości Transformacja Fouriera polega na rozkładzie

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH

REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Pojęcie

Bardziej szczegółowo

Analizy Ilościowe EEG QEEG

Analizy Ilościowe EEG QEEG Analizy Ilościowe EEG QEEG Piotr Walerjan PWSIM MEDISOFT 2006 Piotr Walerjan MEDISOFT Jakościowe vs. Ilościowe EEG Analizy EEG na papierze Szacunkowa ocena wartości częstotliwości i napięcia Komputerowy

Bardziej szczegółowo

KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA

KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA I. Informacje ogólne I. 1 Nazwa modułu kształcenia Analiza i przetwarzanie sygnałów 2 Nazwa jednostki prowadzącej moduł (należy wskazać nazwę zgodnie ze Statutem PSW Instytut,

Bardziej szczegółowo

PRZENOŚNY MIERNIK MOCY RF-1000

PRZENOŚNY MIERNIK MOCY RF-1000 PRZENOŚNY MIERNIK MOCY RF-1000 1. Dane techniczne Zakresy pomiarowe: Dynamika: Rozdzielczość: Dokładność pomiaru mocy: 0.5 3000 MHz, gniazdo N 60 db (-50dBm do +10dBm) dla zakresu 0.5 3000 MHz 0.1 dbm

Bardziej szczegółowo

Właściwości sygnałów i splot. Krzysztof Patan

Właściwości sygnałów i splot. Krzysztof Patan Właściwości sygnałów i splot Krzysztof Patan Właściwości sygnałów Dla sygnału ciągłego x(t) można zdefiniować wielkości liczbowe charakteryzujące ten sygnał wartość średnia energia sygnału x sr = lim τ

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

Wzmacniacze operacyjne

Wzmacniacze operacyjne Wzmacniacze operacyjne Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest badanie podstawowych układów pracy wzmacniaczy operacyjnych. Wymagania Wstęp 1. Zasada działania wzmacniacza operacyjnego. 2. Ujemne sprzężenie

Bardziej szczegółowo