RADIACYJNA WYMIANA CIEPŁA

Transkrypt

1 RADIACYJNA WYMIANA CIEPŁA WYKŁAD 0 Dariusz Mikielewicz Politechnika Gdańska ska Wydział Mechaniczny Katedra Techniki Cieplnej

2 Wstęp W nagrzanym ciele zachodzi szereg złożonych procesów molekularnych i atomowych, w wyniku których energia wewnętrzna ciała zamienia się w energię promieniowania rozumianą jako energia fotonów lub fal elektromagnetycznych Nośniki energii - fale elektromagnetyczne, w których widmie wyróżniamy przede wszystkim zakres promieniowania podczerwonego, promieniowania widzialnego i mikrofal radiowych, rozchodzą się w próżni z prędkością światła c m/s i charakteryzują się długością fali oraz częstością drgań ν, przy czym wielkości te związane są ze sobą zależnością c ν Promieniowanie cieplne przenoszone jest przez fale o długościach 08 μm 00 μm

3 Wstęp Ciała stałe wypromieniowują i pochłaniają energię przy każdej częstotliwości, stąd też mówi się, iż posiadają one ciągłe spektrum promieniowania W odróżnieniu od nich, gazy promieniują i pochłaniają energię jedynie przy pewnych określonych częstościach, mają więc selektywny charakter widma promieniowania Ponadto, ciała stałe promieniują i pochłaniają energię powierzchnią (cienką warstwą), natomiast gazy - objętością promieniowanie gamma promieniowanie widzialne promieniowanie fioletowe promieniowanie cieplne

4 Wstęp Nagrzane ciało, emitując moc promienistą (strumień energii) uzyskuje równowagę termodynamiczną z otoczeniem Wyróżniamy przy tym dwa rodzaje emisji - emisję (promieniowanie) temperaturową, rozumianą jako emisję ciała nagrzanego do temperatury wyższej od zera bezwzględnego, oraz emisję (promieniowanie) luminescencyjną, będącą nadwyżką energii promienistej nad emisją temperaturową, pobudzoną w różny sposób Promieniowanie posiada, oprócz natury falowej, także i naturę korpuskularną, w związku z czym można je traktować jako strumień cząstek fotonów, których energia związana jest z częstotliwością drgań ekwiwalentnego pola elektromagnetycznego: E hν gdzie h jest stałą Plancka h Js Fale elektromagnetyczne (fotony), poza energią, posiadają również pęd równy hν/c

5 Wstęp Wymiana ciepła przez promieniowanie między dwoma ciałami o temperaturach T it to emisja przez każde z ciał do otoczenia energii w postaci fal elektromagnetycznych, a zatem i fotonów, które z kolei przenoszą je do drugiego ciała, gdzie zachodzi zamiana energii promieniowania na energię wewnętrzną Temperatura ciała odbierającego, przy tym, podwyższa się Taki proces to pochłanianie (absorpcja) Jeśli temperatury ciał są jednakowe, T T, energia wewnętrzna i temperatura ciał wskutek emisji i pochłaniania energii od drugiego ciała nie będą ulegały zmianie Fale elektromagnetyczne niosą różne wielkości energii w zależności od częstości drgań Ilość przenoszonej energii uzależniona jest także od temperatury i własności ciała promieniującego energię Ciało, które przy danej temperaturze wypromieniowuje i pochłania największą energię, taką samą przy każdej częstotliwości, jest idealizacją ciała rzeczywistego i nosi nazwę ciała czarnego

6 Pojęcia podstawowe Podstawowymi pojęciami w zagadnieniach promieniowania, podobnie jak w innych procesach wymiany ciepła, są strumień energii i jego gęstość Strumień energii (inaczej: strumień promienisty bądź całkowita moc promienista) definiuje się tu jako ilość energii wypromieniowaną przez ciało w jednostce czasu &Q p dq p dτ [W] Definicja gęstości strumienia energii, różni się natomiast od poprzednich W przypadku radiacyjnej wymiany ciepła, gęstość strumienia promieniowania energii (inaczej: całkowita emitancja promienista) wychodzącą z jednostki powierzchni we wszystkich możliwych kierunkach w przedziale półsferycznego kąta bryłowego wyraża się: dq d Q p p W E &, da dadt m gdzie Q p - energia wypromieniowana w jednostce czasu, A - powierzchnia ciała promieniującego

7 Pojęcia podstawowe W przypadku promieniowania objętościowego, gęstość strumienia promieniowania jednostki objętości V we wszystkich kierunkach wyraża się η dq & dv dqp, dvdτ gdzie V oznacza objętość ciała promieniującego p Rozróżnia się również promieniowanie monochromatyczne (promieniowanie przy określonej częstości) oraz całkowite - promieniowanie dla wszystkich możliwych częstości Gęstość strumienia promieniowania o określonym kierunku, którego osią jest wektor przechodzący przez jednostkową powierzchnię do niego prostopadłą nazywamy intensywnością lub też jasnością promieniowania i określamy wyrażeniem J S dq& da dω S dq& da cosθdω, gdzie dω jest elementarnym kątem bryłowym, który można określić jako stosunek elementarnej powierzchni da, wyznaczonym elementarnym kątem bryłowym na kuli do kwadratu jej promienia r, a zatem da dω r θ da S J A θ r da dω J S da

8 Pojęcia podstawowe Promieniowanie, którego intensywność nie zależy od miejsca, czyli współrzędnych powierzchni da ani od kierunku (kąta ) nazywamy dyfuzyjnym, tzn J S J W przyrodzie jednak nie spotyka się ciał, które promieniują dyfuzyjnie Zależności dla promieniowania dyfuzyjnego można zapisać w postaci: E π J S cosθdω Powyższy związek przedstawia zależność między gęstością strumienia promieniowania E i intensywnością półsferycznego promienia dyfuzyjnego J Ilość energii promienistej wypromieniowanej przez jednostkę powierzchni ciała w granicach jednostkowego kąta bryłowego w jednostce czasu można wyrazić jako Dla promieniowania dyfuzyjnego J θ można wyrazić poprzez ilość energii wypromieniowanej w kierunku normalnym do powierzchni J n J cos θ π 0 π E J dφ sinθ cosθdθ πj Stanowi to treść prawa Lamberta (prawa cosinusów), które mówi, iż ilość energii 0 θ J n J dq ΩdA θ wypromieniowanej w kierunku tworzącym kąt θ z normalną do płaszczyzny promieniującej jest równa iloczynowi energii wypromieniowanej w kierunku normalnej i cosinusa kąta θ Prawo to słuszne jest dla idealnie dyfuzyjnie promieniujących ciał czarnych, ale spełnione jest także dla wielu ciał szarych Dla ciał rzeczywistych, wielkość promieniowania dyfuzyjnego J θ zależy od kąta θ i wyznaczana jest doświadczalnie,

9 Pojęcia podstawowe Wyniki eksperymentów dla takich przypadków przedstawia się z w postaci zależności J θ ε f ( θ ), θ J gdzie ε θ -względna intensywność promieniowania, J cz - promieniowanie ciała idealnie czarnego Prawo Lamberta potwierdza się eksperymentalnie w przypadku ciał o powierzchni niepolerowanej w zakresie kąta 60 o, natomiast dla powierzchni polerowanych istnieją większe rozbieżności Metale, na przykład wykazują dość znaczne odchylenia od wspomnianego prawa W ogólności, strumień promieniowania padający na dowolne ciało Q pad może rozdzielić się na trzy części, a mianowicie pochłoniętą przez ciało- Q A, odbitą- Q R oraz tę, która przechodzi przez ciało- Q D W związku z tym, zgodnie z zasadą zachowania energii możemy zapisać: Następnie wprowadzając oznaczenia gdzie: a - zdolność absorpcyjna (pochłaniania), r - zdolność refleksyjna, d - zdolność przenikania, cz Qpad QA + QR + QD Q Q Q Q Q Q A pad R pad D pad a r d a + r + d

10 Pojęcia podstawowe W szczególnych przypadkach mamy do czynienia z: -ciałem doskonale czarnym, pochłaniającym całą padającą na niego energię, gdy a, r 0, d 0, -ciałem doskonale białym (zwierciadlanym), odbijającym całą padającą energię a 0, r 0, d 0 -ciałem doskonale przezroczystym (przepuszczalnym), które całkowicie przepuszcza przez siebie całą padającą energię, gdy a 0, r 0, d Są to jednakże modele idealne, bowiem w przyrodzie nie ma ciał doskonale białych, czarnych bądź przepuszczalnych Współczynniki a, r, d zależą od struktury ciała, jego temperatury oraz długości fali promieniowania Niektóre ciała przepuszczają pewien rodzaj promieniowania, zaś pochłaniają inny, czego przykładem może być kwarc, który jest praktycznie nieprzepuszczalny dla promieni cieplnych, a przepuszczalny dla promieniowania świetlnego i ultrafioletowego Zarówno zjawiska pochłaniania i odbicia, w dużym stopniu zależą od charakteru powierzchni, a zatem między innymi od jej gładkości Właściwość tę wykorzystuje się często, kiedy istotne jest powiększenie zdolności pochłaniania, wtedy bowiem powierzchnię pokrywa się ciemną chropowatą farbą Stąd też pojęcie ciała doskonale czarnego, którego powierzchnia nie odbija promieniowania ma istotne znaczenie Ponadto, jego wymiary muszą być takie, aby przenikanie promieniowania było niemożliwe

11 Pojęcia podstawowe Odbicie energii może być zarówno zwierciadlane, rysa, jak i idealnie rozproszone, rysb Jednakże, ciała rzeczywiste odbijają energię w sposób pośredni między oba tymi skrajnymi przypadkami α α Rys53b Idealnie rozproszone odbicie energii Bliższym, od przedstawionych modeli, rzeczywistości jest model ciała szarego, dla którego zdolność absorpcyjna nie zależy od długości fali Taki model ciała obejmuje zarówno ciała białe, jak i ciała czarne, wówczas a a

12 Prawa promieniowania cieplnego Ilość energii wypromieniowanej przez jednostkę powierzchni we wszystkich kierunkach w jednostce czasu, dla całego zakresu długości fal 0 nazywamy natężeniem promieniowania Jednakże promieniowanie posiada widmo, tzn dla każdego kierunku w którym promieniuje jest zależne od długości fali lub częstotliwości ν Określa się zatem pojęcie intensywności spektralnej J stosunek energii wypromieniowanej z jednostkowej powierzchni i z jednostkową długością fali dq J da d S Planck w 900 r, w oparciu o hipotezę kwantów energii, znalazł teoretyczną zależność intensywności spektralnej promieniowania J 0, od długości fali elektromagnetycznej dla ciał doskonale czarnych hc J, 0, hν 5 kt e gdzie k J/K jest stałą Boltzmanna

13 Prawa promieniowania cieplnego Gęstość półsferycznego monochromatycznego promieniowania (monochromatyczna emitancja promienista) ciała czarnego, dla danej długości fali w postaci C πhc E πj, 0, 0, C E πj 0, 0, hν 5 5 kt T e e 6 hc C hc π W m, C 0 m K k Jak wynika z rozkładu funkcji Plancka, całkowita gęstość promieniowania wzrasta wraz z temperaturą dla każdej długości fali, maksymalna wartość intensywności promieniowania J 0, (gęstości promieniowania E 0, ) przemieszcza się w kierunku krótszych fal wraz ze wzrostem temperatury, przy czym E 0, osiąga maksimum dla długości fali m, m T 8903 mk Powyższa zależność, teoretycznie wynikająca z prawa Plancka, została uzyskana eksperymentalnie przez Wiena, stąd też nazywana jest prawem Wiena Wien stwierdził również, iż iloczyn gęstości promieniowania E 0, dla długości fali m - i piątej potęgi temperatury bezwzględnej ciała jest wartością stałą: E T const 8 0 W μm m 5 0, m K

14 Prawa promieniowania cieplnego Gęstość strumienia promieniowania własnego E 0 powierzchni doskonale czarnej dla danej temperatury T E E d σ T 0 0, 0 0 gdzie C 0 σ W/m K nosi nazwę technicznej stałej promieniowania ciała doskonale czarnego Zależność na E 0 została otrzymana najpierw eksperymentalnie przez Stefana, a dwa lata później teoretycznie przez Boltzmanna, dlatego też nazywana jest prawem Stefana - Boltzmanna, zaś stała σ 0 -stałą Boltzmanna (stałą promieniowania ciała doskonale czarnego) Prawo Stefana-Boltzmanna w zasadzie obowiązuje dla ciała doskonale czarnego E 5 T const 8 0 0, m Doświadczenia wykazują, że jest ono słuszne także dla ciał szarych Mimo, iż równanie Plancka otrzymano 30 lat później, po jego scałkowaniu można uzyskać równanie na E 0 Emisyjność - zdolność do maksymalnej emitancji niezależnie od kierunku i długości fali, i pochłanialność, dowolnego ciała związane są ze sobą prawem Kirchoffa

15 Prawa promieniowania cieplnego Zakładamy, że dwa ciała o jednakowej temperaturze znajdują się w równowadze termodynamicznej i tworzą układ odosobniony W takim przypadku, dla każdego z nich promieniowanie własne jest równe promieniowaniu pochłoniętemu z zewnątrz Stosunek gęstości monochromatycznego strumienia promieniowania własnego E do ilości energii promieniowania pochłoniętej a nie zależy od natury ciała, lecz jedynie od długości fali i temperatury T, i równa jest emisyjnej zdolności promieniowania ciała doskonale czarnego: E a E ( T, ), 0, dla promieniowania całkowitego stosunek ten zależy jedynie od temperatury E a E 0 ( T ) Równanie pierwsze jest treścią wspomnianego prawa Kirchoffa i spełnione jest tylko wtedy, gdy istnieje równowaga termodynamiczna W przeciwnym przypadku, tzn przy braku równowagi termodynamicznej, obliczenia znacznie się komplikują, ponieważ zdolność pochłaniania energii cieplnej ciała jest zależna nie tylko od temperatury i od długości fali Dlatego też, dla uproszczenia obliczeń stosuje się model ciała szarego, którego zdolność pochłaniania nie zależy od długości fali (aa )

16 Prawa promieniowania cieplnego Wprowadza się także pojęcie stopnia czarności ciała, zwanego inaczej zdolnością promieniowania (emisyjnością), który określa się jako stosunek intensywności promieniowania własnego ciała rzeczywistego w kierunku do promieniowania ciała doskonale czarnego dla tej samej temperatury i długości fali (, T, S ) J ε J 0 T (, ) Dla ciał szarych stopień czarności nie zależy od długości fali, a jedynie od temperatury i równy jest całkowitemu stopniowi czarności ε ( T ) ε ε, σ E0 T wobec czego prawo Stefana-Boltzmanna można zapisać w postaci E T εσ T εc Z kolei dla ciał rzeczywistych stopień czarności ε ε (T) zawsze jest mniejszy od jedności, ε, i wyznacza się go doświadczalnie Poniższa tablica zawiera wartości emisyjności dla niektórych ciał

17 Prawa promieniowania cieplnego metale: inne: Materiał Temperatura ε chrom miedź polerowana platyna polerowana stal utleniona żelazo utlenione azbest cegła czerwona drewno kwarc porcelana 09 woda

18 Wc w ośrodkach o rodkach przezroczystych Rozpatrzmy dwie równoległe płaszczyzny i, będące ciałami szarymi o nieograniczonych wymiarach i stałych temperaturach odpowiednio T i T (T >T ), o zdolnościach absorpcji a i a, rozdzielonych ośrodkiem przeźroczystym, a więc nie pochłaniającym i nie odbijającym, lecz jedynie przepuszczającym promieniowanie, rys Załóżmy, że wymiana ciepła na drodze przewodnictwa cieplnego i konwekcji jest pomijalna, i zachodzi wyłącznie na drodze promieniowania (radiacji) W celu wyznaczenia gęstości strumienia ciepła q -, przejmowanego od płaszczyzny do płaszczyzny, wprowadza się pojęcie strumienia efektywnego energii promieniowania (bądź też jasnością powierzchni), będącego sumą promieniowania własnego i odbitego E E E re ( a) E pad W przypadku rozpatrywanych płaszczyzn zachodzą związki E + E + ( a ) E, E E + ( a ) E E E pad E + E E T a T a q -

19 Wc w ośrodkach o rodkach przezroczystych Z bilansu energii przechodzącej przez osłonę diatermiczną wynika, iż gęstość strumienia ciepła netto, przechodząca w kierunku płaszczyzny wynosi ( a ) E q E + E lub z bilansu dla osłony diatermicznej q E E + E E W przypadku rozpatrywanych płaszczyzn zachodzą związki E + ( a ) E ( )( ), E + ( a ) E E E E a a E a a ( )( ) a E E E E (-a )E E (-a )E E (-a )E E E E E E E E E +(-a )E E

20 Wc w ośrodkach o rodkach przezroczystych gęstość strumienia ciepła w postaci q a E a E + a a Wykorzystując prawo Stefana-Boltzmanna dla ciał szarych (nieprzepuszczalnych): T T q, ε C gdzie ε - jest zastępczą emisyjnością układu ciał, wyrażającą się wzorem ε, + ε ε a ε, a ε Ten sam rezultat uzyskuje się przy zastosowaniu metody wielokrotnych odbić strumieni własnych między rozpatrywanymi ścianami i obliczaniu ilości energii pochłanianej przez każdą z nich przy kolejnych odbiciach Metoda ta może być stosowana przy bardziej złożonych przypadkach, gdzie pierwszym przybliżeniem może być pierwsze odbicie energii

21 Współczynniki konfiguracji Jeśli wymiana ciepła następuje między płaszczyznami o skończonych wymiarach, to wówczas wprowadza się współczynnik opromieniowania (inaczej: kierunkowy, kątowy lub konfiguracji) ϕ -, zależny od kształtu powierzchni, ich wymiarów, wzajemnego położenia oraz odległości między nimi, który uwzględnia jaka część energii ciała pada na ciało : ϕ cosα cosα dada Jak widać postać współczynnika jest dość skomplikowana, dlatego też zwykle wybiera się tę powierzchnię, dla której łatwiej go obliczyć Ilość ciepła wypromieniowana przez ciało czarne o powierzchni A w kierunku ciała czarnego można zapisać w postaci Q T E Aϕ C 0 0 Aϕ 00 ilość ciepła, jaka zostaje wypromieniowana przez ciało czarne w kierunku ciała czarnego w postaci Q T E Aϕ C 0 0 Aϕ 00 A A A πr, n n α α dω r da

22 Współczynniki konfiguracji Ilość ciepła netto, przechodząca od ciała do ciała wynosi zatem Q Q Q E 0 C 0 Aϕ T Aϕ 00 T Aϕ 00 W przypadku równowagi termodynamicznej pomiędzy obu ciałami, A ϕ E 0 A Aϕ C ϕ 0 T T Q 0, Ilość ciepła przechodzącą na drodze radiacji między dwoma ciałami doskonale czarnymi T T Q C Aϕ Z kolei w przypadku ciał szarych przy dyfuzyjnym odbiciu podlegającemu prawu Lamberta, współczynnik opromieniowania ϕ- jest wielkością geometryczną Wówczas ilość ciepła wymieniana między powierzchniami wynosi Q Q ϕ Q ϕ, E E

23 Współczynniki konfiguracji ϕ, ϕ są wartościami średnimi współczynników opromieniowania obu powierzchni i, zaś strumienie efektywne określa się z zależności Q Rozwiązując powyższy układ względem Q E i Q E uzyskuje się Q + ( a ) Q Q + ( a ) Q Q E Q E a a a a przybliżona zależność na ilość ciepła wymienioną między dwoma powierzchniami szarymi Z reguły Q + ( a ) Q, Q Q + ( a ) Q E E E E Q ( )( ), a a ϕ E 0 Aϕ ( a )( a ) E ϕ 0 Aϕ ϕ ϕ a a ( )( ), ϕ ϕ,

24 Współczynniki konfiguracji Przy rozpatrywaniu powierzchni zakrzywionych mamy do czynienia z tzw lokalnym współczynnikiem opromieniowania (współczynnikiem konfiguracji) W takim przypadku rozważa się dwie elementarne powierzchnie d A i d A, rys, wymieniające między sobą ciepło na drodze radiacyjnej, którego ilość określa zależność dq EE da ϕ da da Z drugiej strony, z prawa Lamberta wiemy, że dq E da d Ω E cos α π Porównując dwie powyższe zależności ϕ da da dω cosα cosα cos α π πr Średni współczynnik konfiguracji dla powierzchni skończonych wynosi ϕ A da A A A A ϕ da da da da, n n α α dω r da

25 Współczynniki konfiguracji Dla uproszczenia obliczeń korzysta się z pewnych własności tego współczynnika: - prawo wzajemności wynikające z prawa Kirchoffa -związek dla powierzchni otwartych, będących częścią powierzchni zamkniętej, gdzie w τ uwzględnia opromieniowanie powierzchni własnej, ϕ 0 ϕ w τ, -zależność dla powierzchni zamkniętych, wynikająca z bilansu energii -związek dla przypadku zamknięcia powierzchni otwartej A powierzchniami A i A A ϕ A ϕ, ϕ + ϕ + ϕ + + ϕ 3 n ϕ ϕ A AA AA A A A 3 A ' A " A n

26 Współczynniki konfiguracji -związek, zachodzący w przypadku powierzchni A podzielonej na kilka części A, A, ϕ ϕ ΔAA i A A Δ A Δ A Δ A 3 Δ A -zależność dla przypadku, kiedy między powierzchniami o nieskończonych wymiarach umieszczony jest ekran, ϕ ϕ e e A e A A Można wykazać, na podstawie przedstawionych własności, iż w przypadku dwu powierzchni określających zamknięty układ, z których jedna nie ma wklęsłości, zachodzą związki A ϕ ϕ A A ϕ ϕ,, A A A

27 Wsp Współczynniki konfiguracji czynniki konfiguracji Przypadek ten pozwala w praktyce zaanalizować zagadnienie przejmowania ciepła pomiędzy dwoma kulami, strumień ciepła wynosi Po odpowiednich przekształceniach otrzymujemy Bądź w innej postaci, gdzie wobec a ε oraz a ε A A Q Q Q E E ϕ, ϕ A A, ϕ ϕ a a A T A T C Q, T T C A Q ε, + ε ε ε A A Dla bardziej złożonych przypadków zagadnienie przejmowania ciepła, ze względu na ich trudność, rozwiązuje się metodami przybliżonymi

28 W ciepła a w ośrodkach o pochłaniaj aniających Dotychczas rozważano zagadnienia radiacyjnej wymiany ciepła w układzie, w którym dwie powierzchnie rozdzielone są ośrodkiem przeźroczystym W rzeczywistości, środowisko pomiędzy dwoma powierzchniami wymieniającymi ciepło nie jest przeźroczyste, a zatem należy wówczas uwzględniać zdolności pochłaniania energii przez takie ośrodki Rozróżnia się ośrodki: - osłabiające - takie, w których zachodzi pochłanianie i rozpraszanie energii promieniowania, - pochłaniające (absorbujące) - takie, w których zachodzi pochłanianie i generowanie energii, - rozpraszające - takie, w których zachodzi rozpraszanie enregii w różnych kierunkach oraz przy różnych częstotliwościach fal promieniowania Z punktu widzenia radiacyjnej wymiany ciepła, rozpatrzenia wszystkich własności optycznych ośrodka jednocześnie jest złożonym zagadnieniem Z tego względu, jako szczególnie istotne w praktyce rozpatrzymy jedynie pochłanianie promieniowania przez ośrodek, które na ogół występuje w gazach

29 W ciepła a w ośrodkach o pochłaniaj aniających Rozważmy zatem zjawisko radiacyjnej wymiany ciepła między dwoma równoległymi płaszczyznami i o nieograniczonych wymiarach rozdzielonych ośrodkiem pochłaniającym Temperatury płaszczyzn wynoszą odpowiednio T i T, T >T, a ich zdolności pochłaniania (absorpcyjności) określają liczby a i a Spektralna intensywność promieniowania J (x,θ) posiada składową J +( x,θ), skierowaną w kierunku dodatnim osi x oraz składową J - (x,θ) skierowaną przeciwnie, tzn w kierunku ujemnym osi x Spektralna intensywność promieniowania J + przechodząc przez elementarną warstwę dx, zmieni się o wartość dj + Zmiana następuje wskutek promieniowania własnego warstwy oraz wskutek pochłaniania energii przez warstwę, co można zapisać w formie dj + κ x E x dx κ x J dx ( ) 0 ( ) ( ), π cosθ cosθ κ (x) - spektralny współczynnik pochłaniania promieniowania + θ + J dω + J + + dj x dx l

30 W ciepła a w ośrodkach o pochłaniaj aniających Uzyskujemy równanie różniczkowe dla intensywności J +( x,θ) + dj cosθ dx κ( x) E ( x ) κ( x ) J + 0 π W analogiczny sposób otrzymuje się równanie różniczkowe dla intensywności J - (x,θ) dj cosθ dx κ( x) E ( x ) κ( x ) J 0 π gęstość strumienia ciepła q r dla całego widma promieniowania q rx, σ0 3κ ( x) T x gdzie κ jest średnim współczynnikiem pochłaniania,

31 W ciep W ciepła w o a w ośrodkach poch rodkach pochłaniaj aniających cych Na granicy rozdziału faz gaz - ciało stałe (ścianka) istnieje uskok temperatury, który określa się z równania skąd, na podstawie równania opisującego strumień cieplny, przy warunku znajdujemy rozkład temperatury w ośrodku w postaci gdzie T jest temperaturą ośrodka na płaszczyźnie, a stąd dla x mamy gdzie z kolei T jest temperaturą ośrodka na płaszczyźnie, 0 w r w a q T T σ κ κ const, 0 w r w a q T T σ ( ) ( ), 3 0 l q T T r σ κ

32 W ciepła a w ośrodkach o pochłaniaj aniających Skoki temperatury na obu powierzchniach, będą wynosić odpowiednio q ( ), r T T σ 0 a q σ 0 a r ( T ) T, gęstość strumienia ciepła q -, przechodzącego od powierzchni do powierzchni q r q σ 0 + a a ( T T ) 3 + κl W przypadku, dla κl 0, uzyskuje się zależność jak dla ośrodka przezroczystego Jeśli promieniowanie własne ośrodka jest znacznie mniej intensywne od promieniowania zewnętrznego, równanie przenoszenia się energii przyjmuje postać dj dx κ J i wyraża prawo Bugera Posługując się nim można określić zdolność pochłaniania energii przez ośrodek 0 gdzie J oznacza intensywność promieniowania na wejściu do warstwy, zaś J -nawyjściu z niej a J 0 J J J, J 0 0

33 e κ l W ciepła a w ośrodkach o pochłaniaj aniających Zapisując teraz prawo Bugera w postaci dj κ J dx i całkując je dla jednorodnego ośrodka ze stałym wzdłuż długości l współczynnikiem pochłaniania otrzymujemy ln J κ dx κ l + C, skąd, przy warunku brzegowym postaci l 0, C otrzymuje się rozwiązanie J κ e l 0 J Porównując równania na a i dj /J można zapisać związek określający zdolność pochłaniania ośrodka o grubości l w postaci: l 0 a J 0 e κ l Ponadto, jeśli warstwa rozpatrywanego ośrodka znajduje się w równowadze termodynamicznej, a zatem zachodzi równanie dq to stosując prawo Kirchoffa otrzymamy r 0, dx κ ε a e l, gdzie ε oznacza spektralny stopień czarności warstwy w tym kierunku, co spektralna zdolność pochłaniania

34 e κ l W ciepła a w ośrodkach o pochłaniaj aniających Para i gaz rzeczywisty pochłaniają i emitują promieniowanie selektywnie, a więc w określonych pasmach zmienności długości fali Na przykład, pasma promieniowania H O leżą w obszarach 37 μm, 8 85 μm, 5 μm pasma promieniowania CO w obszarach μm, 0 80 μm, 5 65 μm Energię promieniowania gazów oblicza się z zależności n E E Δ, i, Gazy trzyatomowe (o niesymetrycznej budowie cząstek tak jak np: CO czy H O) bądź węglowodory i alkohole, wypromieniowują i pochłaniają znaczną ilość energii, która nie może być pomijana Natomiast gazy jedno- i dwuatomowe są w zasadzie przepuszczalne dla energii promieniowania, stąd też w zakresie spotykanych w zagadnieniach technicznych temperatur można je traktować jako przezroczyste Δ E d Jak wykazują eksperymenty, gazy rzeczywiste nie stosują się do prawa Stefana- Boltzmanna, lecz do równań otrzymanych z doświadczenia, w których temperatura bezwzględna występuje w potędze niższej od oraz pojawia się wpływ kształtu masy gazu (grubości warstwy l) i ciśnienia p promieniującego gazu E

35 e κ l W ciepła a w ośrodkach o pochłaniaj aniających Dla przykładu, dla dwutlenku węgla równanie takie przyjmuje postać E CO 35 ( pl) T 00 Dla przykładu, dla dwutlenku węgla równanie takie przyjmuje postać E H O /3 W równaniach tych E wyrażone jest w kcal/m h, natomiast ciśnienie p jest ciśnieniem cząstkowym promieniującego gazu w mieszaninie i wyrażone jest w atmosferach Wymiar liniowy l oznacza grubość równoległościennej warstwy gazu i wyrażony jest w m W przypadku, gdy bryła promieniującego gazu ma inny kształt, wprowadza się zastępczą grubość (patrz tabela) V le 36 A, Należy zwrócić uwagę, iż zarówno (), jak i () dotyczą przypadków, kiedy rozpatrywany gaz zawiera tylko jeden składnik promieniujący, znajdujący się w mieszaninie gazów przezroczystych Natomiast, w przypadku istnienia więcej niż jednego gazu promieniującego w mieszaninie, zasada addytywności nie obowiązuje T 35p l 00 3,

36 e κ l W ciepła a w ośrodkach o pochłaniaj aniających Kształt ciała L kula ośrednicy d 060d sześcian o boku a 060a walec nieskończony o średnicy d 090d walec o wysokości hd, przy promieniowaniu na powierzchnię boczną 060d walec o wysokości hd, przy promieniowaniu na środek podstawy 077d warstwa o grubości δ znajdująca się między dwoma nieskończenie 8 δ dużymi płytami przestrzeń znajdująca się między pęczkami rur o średnicy d, których 8 x środki znajdują się w narożach trójkąta równobocznego; średnica rury równa jest odległości między ściankami

37 e κ l W ciepła a w ośrodkach o pochłaniaj aniających Przy wyznaczaniu strumienia ciepła wymienianego między masą gazu a ścianką zakłada się, że gaz i ścianka są izotermiczne Przyjmuje się także, iż gaz posiada temperaturę T, średni stopień czarności ε (T ) oraz pochłanialność a (T ), a ścianka - powierzchnię A, temperaturę T, średni stopień czarności ε (T ) oraz pochłanialność a (T ) Ilość ciepła przechodzącego od gazu do ścianki wyraża się Q Q E QE, gdzie Q Przyjmując dodatkowo, że Q + Q Q + Q ( ), Q + Q ( ) τ a E w odb Q E A Q Aεσ 0 T, Przyjmując dalej uproszczenia Otrzymujemy Q Otrzymuje się Q ε ( T ) a ( T ), ε ( T ) a ( T ), σ ( T ), Aa T 0 Stopień czarności gazu ε g występujący w powyższych równaniach jest funkcją temperatury, ciśnienia p i drogi optycznej l i znajduje się go na drodze eksperymentalnej Q E a ε ( T ) ε ( T ) σ T σ T 0 0 a ( T ) a ( T ) A + a ( T ) a ( T ) a + a a

38 e κ l W ciepła a w ośrodkach o pochłaniaj aniających W przypadku, gdy mamy do czynienia z konwekcyjno-radiacyjną wymianą ciepła pomiędzy masą gazu o temperaturze T a izotermiczną powierzchnią (ścianką) o temperaturze T, operuje się zastępczym współczynnikiem wnikania ciepła α z α α + α, z k r Gdzie α k to konwekcyjny, a α r współczynnik przejmowania ciepła Q α r A( T T ) lub α T T ( T + T )( T ) ε σ ε σ + T r 0 0 T T Metodę tę można stosować także w przypadku, kiedy gaz jest przezroczysty, a ścianka napromieniowana od innej powierzchni o tej samej temperaturze co gaz

39 e κ l Analogie prądowe W praktyce przemysłowej mamy z zasady do czynienia z układami zamkniętymi np: piecami, gdzie w wymianie ciepła biorą udział więcej jak dwie powierzchnie napromieniowujące się wzajemnie Określając zatem pojęcie mocy promienistej (ciepło wypromieniowane z powierzchni) jako Q σot A, gdzie oczywiście A jest powierzchnią, w przypadku istnienia większej ilości powierzchni wymieniających ciepło na drodze radiacji, możemy wyznaczyć, przy zastosowaniu prawa wzajemności, na przykład różnicę mocy promienistej Q emitowanej przez powierzchnię A i otrzymywanej od pozostałych powierzchni układu A,A 3 A i ΔQ ( T T ) ϕ N N σ T A o Aσ T ϕ σ A i o i i o i i i i Jeśli w układzie zamkniętym ciał czarnych znajduje się okno, to układ taki można traktować także jako ciało czarne o temperaturze otoczenia będącej zewnętrzną temperaturą układu Natomiast w przypadku przestrzeni zamkniętej z atmosferą gazową, jak już wspominaliśmy, gdzie ośrodek gazowy jest mało aktywny optycznie, zjawisko emisji i absorpcji gazu można pominąć

40 e κ l Analogie prądowe Zagadnienie radiacyjnej wymiany ciepła w przestrzeni zamkniętej powierzchniami czarnymi można rozwiązać nie tylko analitycznie, ale i przy zastosowaniu analogu elektrycznego Jeśli bowiem przyjmiemy, że układ zamknięty tworzą dwie powierzchnie czarne A i A, to z równania różnicy mocy promienistej ΔQ uzyskujemy ΔQ σ Aϕ ( T ) o T Z drugiej strony mamy równanie przepływu prądu elektrycznego I ( V V ) R Pomiędzy powyższymi równaniami istnieje analogia, gdyż można przypisać podobieństwo między wielkościami: różnica mocy promienistej jest analogiem prądu stałego, iloczyn powierzchni A i współczynnika napromieniowania - - analogiem odwrotności rezystancji (przewodności elektrycznej), zaś iloczyn stałej Stefana- Boltzmanna i różnicy czwartych potęg temperatur - analogiem różnicy potencjałów prądu ΔQ I, Aϕ, σ V 0 R ( T T ) ( V )

41 e κ l Analogie prądowe Schemat powyższego analogu elektrycznego R V V σt (A ϕ - ) σt W przypadkach, kiedy układ składa się z trzech powierzchni biorących udział w radiacyjnej wymianie ciepła, to stosuje się analog elektryczny jak na rys b Przy większej ilości powierzchni w układzie, opis radiacyjnej wymiany ciepła jest dość skomplikowany, gdyż należy uwzględniać fakt wymiany ciepła nie tylko między bezpośrednio sąsiadującymi, ale i między bardziej oddalonymi od siebie powierzchniami Dla przykładu na rys c pokazano analogię prądową dla układu zamkniętego złożonego z czterech powierzchni σt /(A ϕ -3 ) σt 3 σt 3 /(A ϕ -3 ) /(A ϕ -3 ) /(A 3 ϕ -3 ) /(A ϕ - ) /(A ϕ - ) /(A 3 ϕ 3- ) σt /(A ϕ - ) σt σt /(A ϕ - ) σt

42 e κ l Techniczne ciało o czarne Techniczne ciało czarne stanowi model ciała czarnego Najczęściej jest to ciało wykonane z metali i stopów żaroodpornych lub ceramiki Jak wspominano wcześniej, emisyjność każdego ciała występującego w naturze, a więc ciała rzeczywistego jest zawsze mniejsza od jedności W związku z tym, przy wykonywaniu technicznego ciała czarnego dąży się do tego, aby efektywna emisyjność jego powierzchni emitującej była jak najbliższa jedności W tym celu, w praktyce wykorzystuje się tzw efekt wnęki (mały otwór w ściance wydrążonego wewnątrz ciała), kiedy energia promieniowania wpadającego przez otwór zostaje, poprzez wielokrotne odbicie, praktycznie całkowicie pochłonięta wewnątrz Powierzchnia otwarta emitującego otworu A 0 ma znacznie większą emisyjność niż powierzchnia rzeczywista A rz wnęki i rośnie wraz ze wzrostem ich stosunku γ w Arz A 0, który określa się wnękowością W technice najczęściej stosuje się wnęki o kształcie cylindrycznym, stożkowym bądź też kulistym

43 e κ l Techniczne ciało o czarne A 0 A 0 A 0 A rz A rz A rz Istotnym jest kierunek padania strumienia promieniowania do wnęki, gdyż jak wykazują doświadczenia, emisja wnęki nie jest jednakowa, ponieważ stopień czarności każdego punktu zależy od jego położenia we wnęce Stąd też emisyjność efektywna zależy od odległości pomiędzy otworem promieniującym a układem detekcyjnym Ponadto, wnęki powinny mieć wymiary bardzo duże w stosunku do długości emitowanych fal Rozważania teoretyczne i eksperymenty potwierdziły, iż mikrownęki, dla których przynajmniej jeden z wymiarów nie spełnia tego wymagania, nie stosują się do praw Stefana-Boltzmanna i Plancka Dla warunku T l <<, gdzie T jest temperaturą wnęki w K, a l - najmniejszym wymiarem wnęki w cm, mogą pojawić się odchylenia od promieniowania temperaturowego

44 e κ l Techniczne ciało o czarne Rozróżnia się trzy grupy technicznych ciał czarnych, a mianowicie ciała: - do pracy w określonym zakresie temperatur (niskich rzędu K, średnich K, wysokich K i bardzo wysokich - ok K), - do pracy w stałej temperaturze (przy wykorzystaniu m in stałości temperatury topnienia niektórych metali i niemetali), -o dużej powierzchni emitującej (szerokie zastosowanie w termowizji jako ciała referencyjne)