Janusz Górczyński. Moduł 4. Badanie, czy trend zjawiska jest liniowy lub wykładniczy.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Janusz Górczyński. Moduł 4. Badanie, czy trend zjawiska jest liniowy lub wykładniczy."

Transkrypt

1 Materiały pomocnicze do e-learningu Prognozowanie i symulacje Janusz Górczyński Moduł 4. Badanie, czy trend zjawiska jest liniowy lub wykładniczy. Wyższa Szkoła Zarządzania i Marketingu Sochaczew 2012

2 2 Od Autora Treści zawarte w tym materiale były pierwotnie opublikowane w serii wydawniczej Wykłady ze statystyki i ekonometrii, a obecne ich wydanie zostało dostosowane do potrzeb kursu e-learningowego Prognozowanie i symulacje przygotowanego dla studentów kierunku zarządzanie. Prace nad wykorzystaniem komputerów i Internetu w dydaktyce zostały uruchomione w naszej Uczelni praktycznie od momentu jej utworzenia. Początkowo było to realizowane głównie poprzez przygotowywanie przez wykładowców różnego rodzaju materiałów dydaktycznych w wersji cyfrowej (pokazy PowerPoint, dokumenty Worda czy Excela), które były i są udostępniane w zakładce download. Kolejny krok to przygotowanie autorskiej platformy testów internetowych (zakładka Testy). Od 2011 roku została uruchomiona w pełni profesjonalna platforma e- learningowa, w której do weryfikacji wiedzy przekazywanej w kolejnych modułach zaadaptowane zostały wspomniane wcześniej testy internetowe. Treści zawarte w tym materiale zostały tak przygotowane, aby ułatwić tym z Was, którzy z różnych powodów mają problemy z matematyką, statystyką i ekonometrią, przypomnienie i zrozumienie materiału z zakresu wykorzystania wybranych fragmentów tej wiedzy do zastosowań praktycznych związanych z budowaniem modeli prognostycznych. Jak korzystać z tych materiałów? Sądzę, że dobrym rozwiązaniem będzie spokojne przeczytanie poszczególnych tematów, prześledzenie przykładowych zadań, a następnie trzeba je samemu rozwiązać. Weryfikatorem przyswojonej wiedzy jest w pewnym stopniu interaktywny test komputerowy. W ramach każdego modułu użytkownik dostaje pewną liczbę pytań pokrywających materiał modułu. W pierwszym podejściu próg zaliczenia ustawiany jest z reguły na 50% pozytywnych odpowiedzi, a w przypadku niezaliczenia testu próg jest podnoszony o 5% w każdej kolejnej próbie. Janusz Górczyński

3 3 Spis treści 1 WSTĘP CZY TREND ZJAWISKA JEST LINIOWY? CZY TREND ZJAWISKA JEST WYKŁADNICZY? PRZYKŁAD BADANIA, CZY TREND ZJAWISKA JEST LINIOWY WYKORZYSTANIE PRZYROSTÓW ABSOLUTNYCH ESTYMACJA MODELU LINIOWEGO W ARKUSZU LINIOWA PREDYKACJA W ARKUSZU LINIOWA WYKORZYSTANIE TESTU SERII PRZYKŁAD BADANIA, CZY TREND ZJAWISKA JEST WYKŁADNICZY? ESTYMACJA PARAMETRÓW MODELU WYKŁADNICZEGO WYKONANIE PROGNOZY PRZYKŁAD PSZENICY TREND WYKŁADNICZY CZY LINIOWY? LITERATURA... 21

4 4 1 Wstęp Wiemy z dotychczasowych rozważań, że testem serii jesteśmy w stanie odpowiedzieć na pytanie, czy uprawniony był wybór takiego a nie innego modelu do opisu zależności między zmienną objaśnianą a zmienną czy zmiennymi objaśniającymi. Odpowiedź pozytywna nie jest jednak jednoznaczna, być może do opisania badanej zależności można wykorzystać inny model. W przypadku, gdy wartości zmiennej objaśnianej zmieniają się o stałą wartość i gdy chcemy uzyskać odpowiedź co do wyboru modelu liniowego lub wykładniczego, to możemy wykorzystać własności matematyczne obu funkcji. W praktyce będziemy mieć taką możliwość w sytuacji, gdy dane empiryczne będą tworzyć szereg czasowy. 1.1 Czy trend zjawiska jest liniowy? W przypadku funkcji liniowej równa: y ) = f ( x) = b0 + b x mamy, że różnica jej wartości w punkach x 0 i x0 + x jest y = f ( x + x) f ( x ) = b + b ( x + x b b x = b x (1) Dla przyrostu argumentu x = 1 mamy, że y = b 1 (2) czyli przyrosty wartości funkcji są stałe. Własność tę możemy wykorzystać w praktyce, ale tylko w tych sytuacjach, w których dane empiryczne tworzą szereg czasowy (ogólnie: wartości zmiennej niezależnej tworzą szereg arytmetyczny, a próba uporządkowana jest rosnąca względem zmiennej niezależnej). W takiej sytuacji musimy wyznaczyć przyrosty absolutne zmiennej zależnej jako różnice między obserwacją i+1 a obserwacją i-tą: yi+ 1 = yi+ 1 yi (3) Otrzymane w ten sposób obserwacje ( t; yt ), gdzie t = 2, 3,,,,,, n możemy wykorzystać do estymacji modelu liniowego postaci y t 1 = b0 + b t (4) który dopuszcza istnienie związku funkcyjnego między przyrostami wartości funkcji a zmienną niezależną t. Warto zauważyć, że liczebność tak przygotowanego zestawu danych jest o jedną pozycję mniejsza niż danych oryginalnych. Estymacja modelu 4 jest nam potrzebna w jednym celu ma pozwolić na weryfikację H b 0 wobec 0 : 1 = 0 : b 1 = alternatywy H 1 : b 1 0. W sytuacji, gdy nie będziemy mieli podstaw do odrzucenia H 0, co będzie równoznaczne z tym, że przyrosty wartości funkcji są stałe, będziemy mogli wnioskować, że trend zjawiska może być opisany modelem liniowym. Możemy wtedy wrócić do oryginalnych danych i wykorzystać je do przeprowadzenia estymacji modelu liniowego wraz z jego dalszym wykorzystaniem do budowania prognoz. W przypadku odrzucenia H 0 : b 1 = 0 dla modelu 4 na rzecz hipotezy alternatywnej H 1 : b 1 0 uzyskujemy informację, że trend zjawiska nie może być opisany modelem liniowym.

5 5 1.2 Czy trend zjawiska jest wykładniczy? Funkcja wykładnicza o podstawie naturalnej dana jest wzorem x0 + x i x 0 jest równa: b1 x f ( x) b0 e =, a różnica jej wartości w punkach b ( x + x) b x b x b x b x b x b x y = f ( x + x) f ( x ) = b e b e = b e e b e = b e ( e 1) (5) Jak widzimy różnice wartości funkcji nie są stałe, lecz są funkcją argumentu x (zmiennej niezależnej). Rozwiązaniem będzie wyznaczenie przyrostu względnego zmiennej zależnej y w punkcie x0 + x względem punktu x 0, który definiujemy jako stosunek przyrostu absolutnego do wartości funkcji w punkcie x0 + x : y f ( x0 + x) f ( x0) δ y = = (6) f x + x) f ( x + ) ( 0 0 x W przypadku funkcji wykładniczej o podstawie naturalnej przyrost względny przy założeniu, że x = 1 dany jest wzorem: y b1 x0 b1 b1 x0 b1 b1 0 e ( e 1) b0 e ( e 1) e 1 = = b1 ( x0 + 1) b1 x0 b1 b1 b0 e b0 e e e b δ = (7) Jak widzimy z wzoru 7 przyrosty względne nie są funkcją argumentu (zmiennej niezależnej), są stałe i tę własność wykorzystamy do ustalenia, czy trend zjawiska może być opisany funkcją wykładniczą o podstawie naturalnej. W takiej sytuacji musimy wyznaczyć przyrosty względne zmiennej zależnej jako różnice między obserwacją i+1 a obserwacją i-tą w szeregu czasowym: yi+ 1 yi y i + 1 = yi+ 1 δ (8) Otrzymane w ten sposób obserwacje ( t; δ yt ), gdzie t = 2, 3,,,,,, n możemy wykorzystać do estymacji modelu liniowego postaci δ b + b t (9) y t = 0 1 który dopuszcza istnienie związku funkcyjnego między przyrostami względnymi wartości funkcji a zmienną niezależną t. Warto zauważyć, że liczebność tak przygotowanego zestawu danych jest o jedną pozycję mniejsza niż danych oryginalnych. Estymacja modelu 9 jest nam potrzebna w jednym celu ma pozwolić na weryfikację H b 0 wobec 0 : 1 = 0 : b 1 = alternatywy H 1 : b 1 0. W sytuacji, gdy nie będziemy mieli podstaw do odrzucenia H 0, co będzie równoznaczne z tym, że przyrosty względne wartości funkcji są stałe, będziemy mogli wnioskować, że trend zjawiska może być opisany modelem wykładniczym o podstawie naturalnej. Możemy wtedy wrócić do oryginalnych danych i wykorzystać je do przeprowadzenia estymacji modelu wykładniczego wraz z jego dalszym wykorzystaniem do budowania prognoz. W przypadku odrzucenia H 0 : b 1 = 0 dla modelu 9 na rzecz hipotezy alternatywnej H 1 : b 1 0 uzyskujemy informację, że trend zjawiska nie może być opisany modelem wykładniczym o podstawie naturalnej.

6 6 2 Przykład badania, czy trend zjawiska jest liniowy Na przestrzeni lat obserwowano średnie plony jabłek deserowych (w tonach/ha). Zebrane dane tworzą szereg czasowy, interesuje nas odpowiedź na pytanie, czy trend tego zjawiska może być opisany linową funkcją czasu. Poniżej widok zgromadzonych danych, na potrzeby tej publikacji dane zostały zestawione w trzech grupach lat. Bez utraty informacji możemy wprowadzić zmienną czas o wartościach dyskretnych 1, 2, 3 itd., możemy także dane zapisać w postaci trzech kolumn (rok, czas, plon), co ułatwi wykonywanie dalszych obliczeń. Kolejny zrzut ekranowy pokazuje tak przygotowane dane, jest tam także sporządzony wykres typu XY ilustrujący rozrzut plonu w funkcji czasu. Interesuje nas odpowiedź na pytanie, czy trend badanego zjawiska może być opisany modelem liniowym postaci y = b 0 + b t? 2.1 Wykorzystanie przyrostów absolutnych Badanie, czy trend zjawiska przeprowadzimy pośrednio poprzez wyznaczanie przyrostów absolutnych zmiennej zależnej, a następnie ustalenie, czy są one funkcją liniową zmiennej niezależnej czy też nie. Do obliczeń wykorzystamy tym razem skoroszyt Liniowa.xls.

7 7 Poniżej pokazany jest widok arkusza SzeregCzasowyPlonu z dodaną kolumną Delta(y) z formułą (w D2) postaci =C3-C2, którą następnie skopiowano na pozostałe wiersze obszaru danych. Do estymacji modelu y = B0 + B1 t przy pomocy skoroszytu Liniowa.xls wykorzystamy dane z obszarów B1; B3:B57; D1; D3:D57, które musimy skopiować do schowka. Wskazane obszary są rozłączne, stąd przy ich zaznaczaniu musimy wykorzystać klawisz Ctrl (zaznaczamy pierwszy obszar, wciskamy klawisz Ctrl i zaznaczamy pozostałe obszary). Przed zaznaczeniem tych obszarów musimy otworzyć skoroszyt Liniowa.xls, zobaczymy sytuację taką jak pokazana obok. Arkusz ten wymaga, aby w kolumnie A były dane odpowiadające zmiennej niezależnej, a w kolumnie B zmiennej zależnej, przy czym komórki A1 i B1 muszą zawierać etykiety danych. Po przejściu do skoroszytu zawierającego przyrosty absolutne zaznaczamy potrzebne obszary danych i wywołujemy polecenie Kopiuj, a następnie przechodzimy do skoroszytu Liniowa.xls. Ustawiamy wskaźnik myszy w komórce A1 i wywołujemy polecenia Wklej specjalnie/wartości, po wklejeniu danych wszystkie obliczenia związane z estymacją modelu i weryfikacją hipotezy o nieistotności regresji są już zrobione. Poniżej widok skoroszytu Liniowa.xls po wklejeniu danych, interesujący nas obszar wyników został pogrubiony. W komórce H17 mamy wyznaczoną wartość krytycznego poziomu istotności dla hipotezy zerowej H B 0 0 : 1 = przy alternatywie H 1 : B1 0 (p-value). Jak widzimy jest to wartość większa od umownego α = 0, 05, tym samym nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Upoważnia nas to do opisania trendu badanej cechy za pomocą liniowej funkcji czasu.

8 8 2.2 Estymacja modelu liniowego w arkuszu Liniowa Do estymacji modelu = b b t wykorzystamy oryginalne dane z obszaru B1:C57 arkusza y SzeregCzasowyPlonu, które skopiujemy do skoroszytu Liniowa.xls zaczynając od A1. Po wklejeniu danych mamy wykonane wszystkie potrzebne obliczenia, pozostaje jedynie dokonanie interpretacji wyników estymacji modelu = b b t. y W obszarze E17:E18 mamy oceny modelu, a w obszarze F17:F18 błędy standardowe tych ocen. Ocena współczynnika regresji jest równa 0,2562 i możemy nadać jej następującą interpretację: średniorocznie plony jabłek wzrastają o 0,2562 t/ha. W komórce G17 wyznaczona jest wartość empiryczna statystyki t-studenta dla weryfikacji hipotezy o nieistotności regresji H 0 : b 1 = 0 przy alternatywie H 1 : b 1 0. Wartość tej statystyki jest bardzo duża, ale do podjęcia decyzji weryfikacyjnej potrzebna jest znajomość wartości krytycznej wyznaczonej przy danych poziomie istotności alfa i liczbie stopni swobody n-2, gdzie n jest liczebnością próby (w naszym przykładzie n=57).

9 9 Decyzja weryfikacyjna może być także podjęta na podstawie wyznaczonego krytycznego poziomu istotności dla danej hipotezy (p-value), wystarczy tylko sprawdzić, czy p-value jest mniejsze od ustalonego alfa. W naszym przypadku jest taka właśnie sytuacja, tym samym odrzucamy hipotezę H 0 : b 1 = 0 na rzecz alternatywy H 1 : b 1 0. Merytorycznie oznacza to, że istnieje istotny statystycznie trend liniowy opisany równaniem mˆ ( t) = 0, , 2562t. Hipoteza o nieistotności regresji jest także weryfikowana testem F w metodzie analizy wariancji, ale decyzja weryfikacyjna jest oczywiście taka sama. W komórce F31 mamy wyznaczoną wartość współczynnika determinacji, można nadać jej następującą interpretację: zmienność średniego plonu jabłek jest w 82,6 % wyjaśniona wpływem czasu. Dokładniej jest to wpływ tych wszystkich czynników, które są reprezentowane przez zmienną czas: będą to takie elementy jak nowe odmiany, nowe nasadzenia, poziom kultury sadowniczej, poziom ochrony i nawożenia. 2.3 Predykacja w arkuszu Liniowa Pozostaje wyznaczenie przewidywanych średnich plonów jabłek w 2006 i 2007 roku. Skoroszyt Liniowa.xls pozwala na wykonanie prognozy niejako automatycznie, wystarczy do obszaru zaczynającego się od komórki D42 wpisać wartości tych argumentów, dla których chcemy wykonać prognozę. W naszym przypadku do D42 została wpisana wartość 57 jako odpowiednik roku 2006, a do D43 liczba 58 (to jest wartość zmiennej czas dla roku 2007). Jeżeli zachodzi potrzeba, to formuły z obszaru E42:K42 kopiujemy w dół i mamy wykonaną prognozę. Wyniki prognozy z obszaru E42:K42 możemy zinterpretować następująco: gdyby rok 2006 (czas = 57) mógł się powtórzyć nieskończenie wiele razy, to średni plon jabłek byłby równy 13,64 t/ha z błędem ± 0,52 t/ha. Wykorzystując przedział ufności dla wartości regresyjnej możemy powiedzieć, że z p-stwem 0,95 mamy prawo oczekiwać, że ten średni plon będzie nie mniejszy niż 12,59 t/ha, ale nie większy niż 14,69 t/ha. Oczywiście rok 2006 może być tylko raz, a wtedy z p-stwem 0,95 mamy prawo oczekiwać, że plon jabłek będzie nie mniejszy niż 9,62 t/ha, ale nie większy niż 17,66 t/ha. Podobnie można zinterpretować wyniki prognozy dla roku 2007 (czas = 58). 2.4 Wykorzystanie testu serii Przypuszczenie, że trend zjawiska może być opisany liniową funkcją czasu możemy także zweryfikować za pomocą testu serii dostępnego w skoroszycie o tej samej nazwie, czyli TestSerii.xls. Procedura VBA zaszyta w tym skoroszycie weryfikuje hipotezę o poprawności doboru modelu na podstawie wektora reszt losowych. W naszym przypadku wystarczy wykorzystać wbudowane funkcje Excela i do wykresu szeregu czasowego dodać liniową funkcję trendu z opcją pokazania równania oraz wartości współczynnika determinacji.

10 10 Dla weryfikacji przypuszczenia, że trend plonu jabłek jest liniowy musimy wykonać następujące kroki: 1. W nowym arkuszu lub innym obszarze przygotować dwie kolumny danych empirycznych, pierwsza zawiera zmienną czas, druga obserwowane średnie plony jabłek w danym punkcie czasowym. W naszym przypadku dane te zostały przygotowane w obszarze A1:B57 arkusza DoTestuSerii skoroszytu PlonyJablek.xls. 2. Po zaznaczeniu obszaru danych (A1:B57) wykonujemy wykres typu XY z podtypem tylko punkty empiryczne. Wskazując jeden z punktów prawym przyciskiem myszy dodajemy trend liniowy z pokazaniem równania i R W komórce C1 wpisujemy etykietę wartości teoretycznych, np. yt, a w D1 etykietę reszt losowych, np. et. W komórce C2 wpisujemy formułę wyznaczającą teoretyczną wartość plonu jabłek wg równania z wykresu, czyli =0,2562*A2-0,9648. W D2 wpisujemy formułę wyliczającą reszty losowe =B2-C2. Po zaznaczeniu obszaru C2:D2 kopiujemy obie formuły do wiersza 57 (na cały obszar danych). 4. Jeżeli skoroszyt TestSerii nie był otwarty, to otwieramy go pamiętając o włączeniu makropoleceń. 5. Wracamy do arkusza DoTestuSerii po reszty losowe, zaczynamy od zaznaczenia obszaru D1:D57, a następnie kopiujemy dane do schowka Windows. 6. Przechodzimy do skoroszytu TestSerii, ustawiamy kursor w komórce A1 i wywołujemy polecenia Wklej specjalnie i dalej Wartości. 7. Klik przycisku Oblicz uruchamia procedurę weryfikującą losowość reszt przy pomocy testu serii, w przypadku, gdy nie są dostępne krytyczne liczby serii procedura przechodzi na rozkład normalny standardowy. Po wykonaniu tych siedmiu kroków widzimy taki efekt, jak na pokazanym niżej (kolejna strona) zrzucie ekranowym. W kolumnie A mamy wklejone wartości reszt losowych, w kolumnie B procedura wstawiła liczbę 1 dla reszty dodatniej lub liczbę 0 dla reszty ujemnej, a w kolumnie C została policzona liczba serii. Końcowe wyniki mamy podane w obszarze E2:F4, wiemy ile było serii, ile było reszt dodatnich, a ile reszt ujemnych. Niestety, w dostępnych tablicach nie ma wartości krytycznych testu serii, stąd normalizacja liczby serii. Wartość empiryczna standardowej zmiennej normalnej jest równa -1,61081, co nie przeczy hipotezie o losowości reszt. Inaczej mówiąc model liniowy może być zastosowany do estymacji trendu badanego zjawiska.

11 11 Test serii pozostaje praktycznie jedynym dostępnym narzędziem statystycznym do ustalenia, czy estymowany model był poprawnie wybrany w większości przypadków, dotyczy to także modelu liniowego czy wykładniczego w tych przypadkach, gdy dane empiryczne nie tworzą szeregu czasowego.

12 12 3 Przykład badania, czy trend zjawiska jest wykładniczy? Interesuje nas dynamika średniej ceny pszenicy obserwowana na rynkach w okresie styczeń 2004 do wrzesień Chcemy ustalić, czy trend tego zjawiska może być opisany funkcją wykładniczą o podstawie naturalnej. Poniżej widok arkusza PszenicaDane w skoroszycie Pszenica.xls z danymi szeregu czasowego opisującego zmianę ceny pszenicy w kolejnych miesiącach. Sporządzony wykres rozrzutu punktów empirycznych nie `1 wyklucza, że do opisania trendu można użyć modelu wykładniczego postaci y = b 0 e = b 0 exp( b 1 t). b t Podobnie jak w poprzednim przykładzie możemy dokonać linearyzacji modelu wykładniczego poprzez obustronne logarytmowanie logarytmem naturalnym: ln( y) = ln( b0) + b1t otrzymując formalnie model liniowy. Estymację parametrów tego modelu możemy wykonać przy pomocy procedury Liniowa ze skoroszytu StatystykaJG z jednoczesnym badaniem poprawności modelu (liniowego po logarytmowaniu, a nie wykładniczego). Odpowiedz pozytywna oznacza, że model liniowy (a więc i wykładniczy) jest właściwy do opisania trendu badanego zjawiska. Co jednak zrobić, jeżeli nie dysponujemy procedurą Liniowa (lub podobną do niej)? Warto zauważyć, że wartości zmiennej niezależnej (czasu) zmieniają się o stałą wartość, co pozwala nam na skorzystanie ze znanej własności funkcji wykładniczej (przyrosty względne zmiennej y-ek są stałe. Własność powyższą możemy w naszym przykładzie wykorzystać następująco: 1. Wyznaczymy przyrosty względne ceny pszenicy tworząc yt yt 1 nowa zmienną dy(t) wg formuły dyt = dla t > 1. yt Obok widok arkusza z formułą wyliczającą przyrost względny (kolumna D). 2. Wykorzystując utworzoną zmienną (dane z obszaru B3, B5:B24; D3 i D5:D24) i skoroszyt Liniowa.xls wyestymujemy parametry modelu dy( t) = b0 + b1t, co pozwoli nam na weryfikację hipotezy zerowej H b 0 wobec alternatywy H b 0. 1 : 1 0 : 1 =

13 13 3. Brak możliwości odrzucenia H 0 : b 1 = 0 oznacza, że przyrosty względne są stałe, co jak wiemy ma miejsce wtedy, gdy zmienna y jest związana ze zmienną x funkcją wykładniczą. 4. Odrzucenie H 0 : b 1 = 0 na rzecz H 1 : b 1 0 oznacza, że przyrosty względne zmiennej y są funkcją x, tym samym zmienne y i x nie mogą być związane funkcją wykładniczą. Poniżej widok skoroszytu Liniowa.xls z wklejonymi danymi odpowiadającymi wartościom przyrostów względnych ceny pszenicy. Kursor wskazuje komórkę H17 zawierającą krytyczny poziom istotności dla hipotezy H b 0 wobec 0 : 1 = H 1 : b 1 0, jak widzimy jest to bardzo duże p-stwo, tym samym nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Merytorycznie oznacza to, że przyrosty względne ceny pszenicy są stałe (w czasie), tym samym do opisania trendu możemy wykorzystać funkcję wykładniczą. 3.1 Estymacja parametrów modelu wykładniczego Model y = b 0 exp( b 1 x) nie może być (bezpośrednio) estymowany metodą najmniejszych kwadratów, wcześniej musimy przeprowadzić jego linearyzację poprzez obustronne logarytmowanie przy podstawie naturalnej otrzymując model postaci ln( y) = ln( b0) + b1 x. Wprowadzając podstawienia z = ln(y) oraz B 0 = ln( b 0 ) mamy formalnie model liniowy z = B0 + b1 x, którego parametry możemy oszacować MNK. Wymaga to wstępnego przygotowania danych empirycznych poprzez wprowadzenie zmiennej z = ln(y), na kolejnym zrzucie ekranowym zostało to zrobione w kolumnie E. W komórce E3 została wpisana etykieta nowej zmiennej zależnej, a w komórce E4 formuła =LN(C4), która została następnie skopiowana na obszar E4:E24. Dane z obszaru (rozłącznego) B3:B24; E3:E24 zostaną wykorzystane do estymacji parametrów modelu z = B0 + b1 x jak i weryfikacji hipotezy o nieistotności regresji, a po wyestymowaniu modelu zostanie wykonana prognoza ceny pszenicy (dokładniej logarytmu naturalnego ceny pszenicy) w kolejnym punkcie czasowym, czyli w październiku 2005 roku.

14 14 Poniżej widok arkusza Liniowa.xls z wklejonymi od komórki A1 danymi (wklejenie poprzez polecenie Wklej specjalnie/wartości z uwagi na formuły opisujące wartości zmiennej zależnej). Model jest oczywiście istotny (oczywiście, bo wiemy o tym z badania, czy może to być model wykładniczy), jego współczynnik regresji jest równy 0,0523 (z dokładnością do 4 miejsc). Z uwagi na estymowany model można mu nadać taką interpretację: średniomiesięcznie logarytm naturalny ceny pszenicy wzrasta o 0,0523 jednostek.

15 Wykonanie prognozy Mając wyestymowany model postaci z = B0 + b1 x możemy przejść do wykonania prognozy w punkcie t=22 (październik 2005), z uwagi jednak na zamiar przygotowania wykresu pokazującego ceny empiryczne, ceny teoretyczne oraz przedziały ufności dla wartości regresyjnej i predykcji wyznaczymy prognozę dla wartości czasu od t=1 do t=22. Poniżej widok skoroszytu Liniowa.xls z wpisanymi od komórki D42 wartościami czasu i skopiowanymi formułami z obszaru E42:K42. Dane te opisują prognozę logarytmu naturalnego ceny pszenicy w kolejnych punktach czasu (w kolejnych miesiącach). Dla wykonania wykresu cen empirycznych, cen teoretycznych wynikających z modelu wykładniczego oraz dolnych i górnych granic przedziałów ufności dla wartości regresyjnej i dla predykcji musimy retransformować wyniki prognozy wg formuły = EXP(zˆ ) gdzie ẑ jest prognozą uzyskaną z modelu zˆ = 5, , t. W naszym przypadku taką retransformację najwygodniej będzie wykonać w nowym arkuszu Prognoza skoroszytu Pszenica.xls, ponieważ w skoroszycie Liniowa.xls nie możemy wstawić (wykonać) wykresu z powodu zablokowania arkusza. Do tego arkusza wkleimy wyniki estymacji z arkusza Liniowa, z tym, że musimy korzystać z polecenie Wklej specjalnie/wartości. W naszym przypadku wyniki prognozy zostały wklejone od komórki A2. Retransformacji poddamy dane z kolumny B (teoretyczne wartości logarytmu naturalnego ceny pszenicy) oraz kolumn E do H (kolejno dolna i górna granica przedziału ufności dla wartości regresyjnej, dolna i górna granica przedziału predykcji). Poniżej widok arkusza Prognoza z obszarem zawierającym wyniki retransformacji prognoz dla kolejnych wartości zmiennej czasowej. W kolumnie A wpisano wartości czasu, ostatnia wartość odpowiada październikowi 2005 roku. W wierszu 39 wpisano etykiety poszczególnych kolumn, a w C40 formułę pokazaną na zrzucie ekranowym.

16 16 W komórce B31 wpisujemy =EXP(B4) i po zatwierdzeniu kopiujemy na obszar B32:B52. Podobną formułę wpisujemy w E31 (=EXP(E4), którą kopiujemy w dół do wiersza 52, a następnie w prawo do kolumny H. Nie można w analogiczny sposób retransformować błędów wartości regresyjnej (kolumna C) ani błędu predykcji (kolumna D). Te dwa błędy możemy odtworzyć z granic odpowiednich przedziałów ufności. Stosowne formuły zainteresowany Czytelnik znajdzie w przykładowym arkuszu Pszenica.xls. W kolumnie I wklejono na potrzeby wykresu obserwowane ceny pszenicy, stąd komórka I52 jest pusta (bo nie znamy tej ceny, wyniki naszej próby nie obejmowały tego miesiąca). W wierszu 52 na pokazanym wyżej fragmencie arkusza Prognoza mamy wynik prognozy dla miesiąca października w 2005 roku. Wykorzystując granice przedziału ufności dla predykcji możemy powiedzieć, że z p-stwem 0,95 mamy prawo oczekiwać, że przeciętna cena 1 tony pszenicy w październiku 2005 będzie nie mniejsza niż 613,8 zł, ale nie większa niż 832,7 zł. Pozostaje nam już tylko przygotowanie wykresu typu XY w oparciu o dane obszarów A30:B52 i E30:I52 (obszary rozłączne zaznaczamy z klawiszem Ctrl). Poniżej pokazany jest gotowy wykres, punkty pokazują empiryczne ceny pszenicy, środkowa linia (yt) pokazuje teoretyczne wartości ceny, dwie wewnętrzne linie pokazują dolną (dgu) i górną (ggu) granicę ufności dla wartości regresyjnej (średniej). Dwie zewnętrzne linie (dgp) i (ggp) pokazują dolną i górną granicę przedziału ufności dla realizacji pojedynczej wartości zmiennej losowej (predykcji) yt dgu ggu dgp ggp y

17 17 Na zakończenie jeszcze zrzut ekranu z pokazaniem zaznaczonych rozłącznych obszarów, po ich zaznaczeniu wywołujemy polecenie zrobienia wykresu XY. W ramach typu XY wybieramy podtyp z wygładzonymi liniami (zrzut z Excela 2003, w 2007 czy nowszych jest podobny wybór). Klik przycisku Zakończ wstawia wykres, który musimy sformatować tak, aby seria danych opisana symbolem y (obserwowane ceny pszenicy) była reprezentowana nie przez linię, lecz przez punkty. Na pokazanym wykresie seria ta została zaznaczona, co nam pozwala na jej sformatowanie poprzez wywołanie z menu kontekstowego polecenia Formatowanie serii danych.

18 Bezpośrednio po zbudowaniu wykresu z wygładzonymi liniami w grupie Linie włączona była opcja Automatycznie, a w grupie Znacznik aktywna była opcja Brak. Ustawienie takie, jak pokazane niżej rozwiązuje nasz problem. 18

19 Przykład pszenicy trend wykładniczy czy liniowy? Przykład z analizą dynamiki ceny pszenicy pozwala na rozważenie jeszcze jednego problemu. Zaczynając omawianie tego przykładu założyliśmy, że interesuje nas odpowiedź na pytanie, czy badana zależność może być opisana modelem wykładniczym o podstawie naturalnej. Wyznaczyliśmy przyrosty względne ceny pszenicy i wykazaliśmy, że są one stałe, co automatycznie prowadzi nas do wniosku, że wybór modelu wykładniczego był uprawniony. Dla przypomnienia poniżej wyniki estymacji modelu δ b + b t i weryfikacji H b 0 wobec H b 0 (obliczenia były wykonane w arkuszu Liniowa). y t = : 1 = 1 : 1 Ponieważ p-value (zobacz kom. H17) jest znacznie większe niż alfa, to nie mieliśmy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej i automatycznie uznaliśmy, że powinniśmy wybrać model wykładniczy. W arkuszu PszenicaDane zostały wyznaczone najpierw przyrosty absolutne cen pszenicy (kolumna D), a dopiero po nich przyrosty względne (kolumna E), które zostały wykorzystane w powyższym badaniu. Można postawić takie pytanie: a co się stanie, jeżeli takie badanie przeprowadzimy w oparciu o przyrosty absolutne? Jak wiemy z pierwszego rozdziału, gdyby te przyrosty absolutne były stałe, to badaną zależność można by opisać modelem liniowym bez potrzeby sięgania po model wykładniczy. W naszym przypadku uzyskamy pokazane niżej wyniki. Proszę zauważyć, estymowany był model y t = b0 + b1 t, a wyniki weryfikacji hipotezy H 0 : b 1 = 0 wobec H 1 : b 1 0 nie dają podstaw do jej odrzucenia. Inaczej mówiąc, badaną zależność można spokojnie opisać modelem liniowym bez potrzeby sięgania po model wykładniczy!

20 20 Mamy więc dylemat, które z postępowań było poprawne i który model (liniowy czy wykładniczy) powinniśmy wykorzystać? W arkuszu LinowyCzyWykladniczy skoroszytu Pszenica.xls zamieściłem wyniki badań obu modeli wykonane w arkuszu Liniowa. W obu przypadkach dochodzimy do wniosków, że przyrosty absolutne jak i względne są stałe, czyli zarówno model liniowy jak i wykładniczy mogą być użyte do opisania badanej zależności. Warto jednak zauważyć, że krytyczny poziom istotności dla przyrostów względnych jest znacznie większy niż dla przyrostów absolutnych, co wskazuje na pierwszeństwo modelu wykładniczego przez liniowym.

21 21 4 Literatura 1. Aczel A. D., Statystyka w zarządzaniu, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa Borkowski B., Dudek H., Szczęsny W., Ekonometria. Wybrane zagadnienia. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa Nowak E., (red.), Prognozowanie gospodarcze. Metody, modele, zastosowania, przykłady. Agencja Wydawnicza PLACET, Warszawa, Górczyński J,. Wybrane wzory i tablice statystyczne, Wyd. III poprawione i uzupełnione. Wyższa Szkoła Zarządzania i Marketingu, Sochaczew, Górczyński J., Podstawy statystyki, Wyd. II poprawione i uzupełnione. Wyższa Szkoła Zarządzania i Marketingu, Sochaczew, Górczyński J., Podstawy ekonometrii. Wyższa Szkoła Zarządzania i Marketingu, Sochaczew, Górczyński J., Procedury VBA i Microsoft Excel w badaniach statystycznych. Wyższa Szkoła Zarządzania i Marketingu, Sochaczew, Pawełek B., Wanat ST., Zeliaś A., Prognozowanie ekonomiczne. Teoria, przykłady, zadania. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa Welfe A., Ekonometria, Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa 2003

parametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających,

parametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, 诲 瞴瞶 瞶 ƭ0 ƭ 瞰 parametrów strukturalnych modelu Y zmienna objaśniana, = + + + + + X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, α 0, α 1, α 2,,α k parametry strukturalne modelu, k+1 parametrów

Bardziej szczegółowo

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie: ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie

Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie Materiał dla studentów Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie (studium przypadku) Część 3: Przykłady testowania niestacjonarności Nazwa przedmiotu: ekonometria finansowa I (22204), analiza

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Regresja liniowa, współczynnik zmienności, współczynnik korelacji liniowej, współczynnik korelacji wielorakiej

Ekonometria. Regresja liniowa, współczynnik zmienności, współczynnik korelacji liniowej, współczynnik korelacji wielorakiej Regresja liniowa, współczynnik zmienności, współczynnik korelacji liniowej, współczynnik korelacji wielorakiej Paweł Cibis pawel@cibis.pl 23 lutego 2007 1 Regresja liniowa 2 wzory funkcje 3 Korelacja liniowa

Bardziej szczegółowo

Dopasowywanie modelu do danych

Dopasowywanie modelu do danych Tematyka wykładu dopasowanie modelu trendu do danych; wybrane rodzaje modeli trendu i ich właściwości; dopasowanie modeli do danych za pomocą narzędzi wykresów liniowych (wykresów rozrzutu) programu STATISTICA;

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy

Bardziej szczegółowo

Przy dokonywaniu analiz ekonomicznych, np. sprzedażowych, bardzo

Przy dokonywaniu analiz ekonomicznych, np. sprzedażowych, bardzo Sprawdź, jak możesz przewidzieć wartość sprzedaży w nadchodzących okresach Prognozowanie w Excelu Systemy informatyczne w zarządzaniu 13/01 Przy dokonywaniu analiz ekonomicznych, np. sprzedażowych, bardzo

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie. Paweł Cibis pawel@cibis.pl. 1 kwietnia 2007

Ekonometria. Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie. Paweł Cibis pawel@cibis.pl. 1 kwietnia 2007 Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie Paweł Cibis pawel@cibis.pl 1 kwietnia 2007 1 Współczynnik zmienności Współczynnik zmienności wzory Współczynnik zmienności funkcje 2 Korelacja

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE STATYSTYKA WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE ESTYMACJA oszacowanie z pewną dokładnością wartości opisującej rozkład badanej cechy statystycznej. WERYFIKACJA HIPOTEZ sprawdzanie słuszności przypuszczeń dotyczących

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp.

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp. Sprawdzian 2. Zadanie 1. Za pomocą KMNK oszacowano następującą funkcję produkcji: Gdzie: P wartość produkcji, w tys. jp (jednostek pieniężnych) K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys.

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie: Wybrane zagadnienia z korelacji i regresji.

Ćwiczenie: Wybrane zagadnienia z korelacji i regresji. Ćwiczenie: Wybrane zagadnienia z korelacji i regresji. W statystyce stopień zależności między cechami można wyrazić wg następującej skali: Skala Guillforda Przedział Zależność Współczynnik [0,00±0,20)

Bardziej szczegółowo

TEST STATYSTYCZNY. Jeżeli hipotezę zerową odrzucimy na danym poziomie istotności, to odrzucimy ją na każdym większym poziomie istotności.

TEST STATYSTYCZNY. Jeżeli hipotezę zerową odrzucimy na danym poziomie istotności, to odrzucimy ją na każdym większym poziomie istotności. TEST STATYSTYCZNY Testem statystycznym nazywamy regułę postępowania rozstrzygająca, przy jakich wynikach z próby hipotezę sprawdzaną H 0 należy odrzucić, a przy jakich nie ma podstaw do jej odrzucenia.

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów modeli liniowych oraz ocena jakości dopasowania modeli do danych empirycznych

Estymacja parametrów modeli liniowych oraz ocena jakości dopasowania modeli do danych empirycznych Estymacja parametrów modeli liniowych oraz ocena jakości dopasowania modeli do danych empirycznych 3.1. Estymacja parametrów i ocena dopasowania modeli z jedną zmienną 23. Właściciel komisu w celu zbadania

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 ceny mieszkań

Przykład 1 ceny mieszkań Przykład ceny mieszkań Przykład ceny mieszkań Model ekonometryczny zaleŝności ceny mieszkań od metraŝu - naleŝy do klasy modeli nieliniowych. - weryfikację empiryczną modelu przeprowadzono na przykładzie

Bardziej szczegółowo

Przykład 2. Stopa bezrobocia

Przykład 2. Stopa bezrobocia Przykład 2 Stopa bezrobocia Stopa bezrobocia. Komentarz: model ekonometryczny stopy bezrobocia w Polsce jest modelem nieliniowym autoregresyjnym. Podobnie jak model podaŝy pieniądza zbudowany został w

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Regresja liniowa, współczynnik zmienności, współczynnik korelacji, współczynnik korelacji wielorakiej. Paweł Cibis

Ekonometria. Regresja liniowa, współczynnik zmienności, współczynnik korelacji, współczynnik korelacji wielorakiej. Paweł Cibis Regresja liniowa, współczynnik zmienności, współczynnik korelacji, współczynnik korelacji wielorakiej Paweł Cibis pcibis@o2.pl 9 marca 2006 1 Regresja liniowa 2 wzory funkcje 3 Korelacja liniowa wzory

Bardziej szczegółowo

Analiza Statystyczna

Analiza Statystyczna Lekcja 5. Strona 1 z 12 Analiza Statystyczna Do analizy statystycznej wykorzystać można wbudowany w MS Excel pakiet Analysis Toolpak. Jest on instalowany w programie Excel jako pakiet dodatkowy. Oznacza

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA KORELACJE I REGRESJA LINIOWA Korelacje i regresja liniowa Analiza korelacji: Badanie, czy pomiędzy dwoma zmiennymi istnieje zależność Obie analizy się wzajemnie przeplatają Analiza regresji: Opisanie modelem

Bardziej szczegółowo

JAK PROSTO I SKUTECZNIE WYKORZYSTAĆ ARKUSZ KALKULACYJNY DO OBLICZENIA PARAMETRÓW PROSTEJ METODĄ NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW

JAK PROSTO I SKUTECZNIE WYKORZYSTAĆ ARKUSZ KALKULACYJNY DO OBLICZENIA PARAMETRÓW PROSTEJ METODĄ NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW JAK PROSTO I SKUTECZNIE WYKORZYSTAĆ ARKUSZ KALKULACYJNY DO OBLICZENIA PARAMETRÓW PROSTEJ METODĄ NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Z tego dokumentu dowiesz się jak wykorzystać wbudowane funkcje arkusza kalkulacyjnego

Bardziej szczegółowo

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Regresja liniowa, dobór postaci analitycznej, transformacja liniowa. Paweł Cibis 24 marca 2007

Ekonometria. Regresja liniowa, dobór postaci analitycznej, transformacja liniowa. Paweł Cibis 24 marca 2007 Regresja liniowa, dobór postaci analitycznej, transformacja liniowa Paweł Cibis pawel@cibis.pl 24 marca 2007 1 Regresja liniowa 2 Metoda aprioryczna Metoda heurystyczna Metoda oceny wzrokowej rozrzutu

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie Excela w matematyce

Zastosowanie Excela w matematyce Zastosowanie Excela w matematyce Komputer w dzisiejszych czasach zajmuje bardzo znamienne miejsce. Trudno sobie wyobrazić jakąkolwiek firmę czy instytucję działającą bez tego urządzenia. W szkołach pierwsze

Bardziej szczegółowo

Kilka uwag o testowaniu istotności współczynnika korelacji

Kilka uwag o testowaniu istotności współczynnika korelacji 341 Zeszyty Naukowe Wyższej Szkoły Bankowej we Wrocławiu Nr 20/2011 Piotr Peternek Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Marek Kośny Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Kilka uwag o testowaniu istotności

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 8

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 8 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 8 Regresja wielokrotna Regresja wielokrotna jest metodą statystyczną, w której oceniamy wpływ wielu zmiennych niezależnych (X 1, X 2, X 3,...) na zmienną zależną (Y).

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde

Bardziej szczegółowo

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski Narzędzia statystyczne i ekonometryczne Wykład 1 dr Paweł Baranowski Informacje organizacyjne Wydział Ek-Soc, pok. B-109 pawel@baranowski.edu.pl Strona: baranowski.edu.pl (w tym materiały) Konsultacje:

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych

Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych dr Piotr Sulewski POMORSKA AKADEMIA PEDAGOGICZNA W SŁUPSKU KATEDRA INFORMATYKI I STATYSTYKI Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych Wprowadzenie Obecnie bardzo

Bardziej szczegółowo

Analiza wariancji. dr Janusz Górczyński

Analiza wariancji. dr Janusz Górczyński Analiza wariancji dr Janusz Górczyński Wprowadzenie Powiedzmy, że badamy pewną populację π, w której cecha Y ma rozkład N o średniej m i odchyleniu standardowym σ. Powiedzmy dalej, że istnieje pewien czynnik

Bardziej szczegółowo

MODELE LINIOWE. Dr Wioleta Drobik

MODELE LINIOWE. Dr Wioleta Drobik MODELE LINIOWE Dr Wioleta Drobik MODELE LINIOWE Jedna z najstarszych i najpopularniejszych metod modelowania Zależność między zbiorem zmiennych objaśniających, a zmienną ilościową nazywaną zmienną objaśnianą

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego

Testowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego Testowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego Ze względu na jakość uzyskiwanych ocen parametrów strukturalnych modelu oraz weryfikację modelu, metoda najmniejszych

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITECHNIKA OPOLSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Technologii Maszyn i Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Inżynierii Jakości Ćwiczenie nr 4 Temat: Analiza korelacji i regresji dwóch zmiennych

Bardziej szczegółowo

Praktyczne wykorzystanie arkusza kalkulacyjnego w pracy nauczyciela część 1

Praktyczne wykorzystanie arkusza kalkulacyjnego w pracy nauczyciela część 1 Praktyczne wykorzystanie arkusza kalkulacyjnego w pracy nauczyciela część 1 Katarzyna Nawrot Spis treści: 1. Podstawowe pojęcia a. Arkusz kalkulacyjny b. Komórka c. Zakres komórek d. Formuła e. Pasek formuły

Bardziej szczegółowo

Informatyka Arkusz kalkulacyjny Excel 2010 dla WINDOWS cz.3

Informatyka Arkusz kalkulacyjny Excel 2010 dla WINDOWS cz.3 Wyższa Szkoła Ekologii i Zarządzania Informatyka Arkusz kalkulacyjny Excel 2010 dla WINDOWS cz.3 Slajd 1 Excel Slajd 2 Adresy względne i bezwzględne Jedną z najważniejszych spraw jest tzw. adresacja. Mówiliśmy

Bardziej szczegółowo

EXCEL. Diagramy i wykresy w arkuszu lekcja numer 6. Instrukcja. dla Gimnazjum 36 - Ryszard Rogacz Strona 20

EXCEL. Diagramy i wykresy w arkuszu lekcja numer 6. Instrukcja. dla Gimnazjum 36 - Ryszard Rogacz Strona 20 Diagramy i wykresy w arkuszu lekcja numer 6 Tworzenie diagramów w arkuszu Excel nie jest sprawą skomplikowaną. Najbardziej czasochłonne jest przygotowanie danych. Utworzymy następujący diagram (wszystko

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej

Bardziej szczegółowo

1. Eliminuje się ze zbioru potencjalnych zmiennych te zmienne dla których korelacja ze zmienną objaśnianą jest mniejsza od krytycznej:

1. Eliminuje się ze zbioru potencjalnych zmiennych te zmienne dla których korelacja ze zmienną objaśnianą jest mniejsza od krytycznej: Metoda analizy macierzy współczynników korelacji Idea metody sprowadza się do wyboru takich zmiennych objaśniających, które są silnie skorelowane ze zmienną objaśnianą i równocześnie słabo skorelowane

Bardziej szczegółowo

TABELE I WYKRESY W EXCELU I ACCESSIE

TABELE I WYKRESY W EXCELU I ACCESSIE TABELE I WYKRESY W EXCELU I ACCESSIE 1. Tabele wykonane w Excelu na pierwszych ćwiczeniach Wielkość prób samce samice wiosna/lato 12 6 jesień 6 7 zima 10 9 Średni ciężar osobnika SD ciężaru osobnika samce

Bardziej szczegółowo

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 21.06.2005 r. 4. Planowanie eksperymentów symulacyjnych Podczas tego etapu ważne jest określenie typu rozkładu badanej charakterystyki. Dzięki tej informacji

Bardziej szczegółowo

TEMAT : Przykłady innych funkcji i ich wykresy.

TEMAT : Przykłady innych funkcji i ich wykresy. Elżbieta Kołodziej e-mail: efreet@pf.pl matematyka, informatyka Gimnazjum Nr 5 37-450 Stalowa Wola ul. Poniatowskiego 55 SCENARIUSZ LEKCJI PRZEPROWADZONEJ W KLASIE III TEMAT : Przykłady innych funkcji

Bardziej szczegółowo

Wielowymiarowa analiza regresji. Regresja wieloraka, wielokrotna

Wielowymiarowa analiza regresji. Regresja wieloraka, wielokrotna Wielowymiarowa analiza regresji. Regresja wieloraka, wielokrotna Badanie współzależności zmiennych Uwzględniając ilość zmiennych otrzymamy 4 odmiany zależności: Zmienna zależna jednowymiarowa oraz jedna

Bardziej szczegółowo

Informatyka Arkusz kalkulacyjny Excel 2010 dla WINDOWS

Informatyka Arkusz kalkulacyjny Excel 2010 dla WINDOWS Wyższa Szkoła Ekologii i Zarządzania Excel Informatyka Arkusz kalkulacyjny Excel 2010 dla WINDOWS cz.4 Slajd 1 Slajd 2 Najlepszym sposobem prezentacji danych jest prezentacja graficzna. Z pomocą wykresu

Bardziej szczegółowo

3. Modele tendencji czasowej w prognozowaniu

3. Modele tendencji czasowej w prognozowaniu II Modele tendencji czasowej w prognozowaniu 1 Składniki szeregu czasowego W teorii szeregów czasowych wyróżnia się zwykle następujące składowe szeregu czasowego: a) składowa systematyczna; b) składowa

Bardziej szczegółowo

Excel zadania sprawdzające 263

Excel zadania sprawdzające 263 Excel zadania sprawdzające 263 Przykładowe zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie 1 Wpisać dane i wykonać odpowiednie obliczenia. Wykorzystać wbudowane funkcje Excela: SUMA oraz ŚREDNIA. Sformatować

Bardziej szczegółowo

Arkusz kalkulacyjny EXCEL

Arkusz kalkulacyjny EXCEL ARKUSZ KALKULACYJNY EXCEL 1 Arkusz kalkulacyjny EXCEL Aby obrysować tabelę krawędziami należy: 1. Zaznaczyć komórki, które chcemy obrysować. 2. Kursor myszy ustawić na menu FORMAT i raz kliknąć lewym klawiszem

Bardziej szczegółowo

Ekonometria ćwiczenia 3. Prowadzący: Sebastian Czarnota

Ekonometria ćwiczenia 3. Prowadzący: Sebastian Czarnota Ekonometria ćwiczenia 3 Prowadzący: Sebastian Czarnota Strona - niezbędnik http://sebastianczarnota.com/sgh/ Normalność rozkładu składnika losowego Brak normalności rozkładu nie odbija się na jakości otrzymywanych

Bardziej szczegółowo

Kolumna Zeszyt Komórka Wiersz Tabela arkusza Zakładki arkuszy

Kolumna Zeszyt Komórka Wiersz Tabela arkusza Zakładki arkuszy 1 Podstawowym przeznaczeniem arkusza kalkulacyjnego jest najczęściej opracowanie danych liczbowych i prezentowanie ich formie graficznej. Ale formuła arkusza kalkulacyjnego jest na tyle elastyczna, że

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych

Spis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych 1 Laboratorium III: Testy statystyczne Spis treści Laboratorium III: Testy statystyczne... 1 Wiadomości ogólne... 2 1. Krótkie przypomnienie wiadomości na temat testów statystycznych... 2 1.1. Weryfikacja

Bardziej szczegółowo

FORMUŁY AUTOSUMOWANIE SUMA

FORMUŁY AUTOSUMOWANIE SUMA Wskazówki do wykonania Ćwiczenia 1, ocena sprawdzianu (Excel 2007) Autor: dr Mariusz Giero 1. Pobierz plik do pracy. W pracy należy wykonać obliczenia we wszystkich żółtych polach oraz utworzyć wykresy

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia nr 4. Arkusz kalkulacyjny i programy do obliczeń statystycznych

Ćwiczenia nr 4. Arkusz kalkulacyjny i programy do obliczeń statystycznych Ćwiczenia nr 4 Arkusz kalkulacyjny i programy do obliczeń statystycznych Arkusz kalkulacyjny składa się z komórek powstałych z przecięcia wierszy, oznaczających zwykle przypadki, z kolumnami, oznaczającymi

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie

Bardziej szczegółowo

Testy nieparametryczne

Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne możemy stosować, gdy nie są spełnione założenia wymagane dla testów parametrycznych. Stosujemy je również, gdy dane można uporządkować według określonych kryteriów

Bardziej szczegółowo

Projekt okładki: Aleksandra Olszewska. Redakcja: Leszek Plak. Copyright: Wydawnictwo Placet Wydanie ebook. Wydawca

Projekt okładki: Aleksandra Olszewska. Redakcja: Leszek Plak. Copyright: Wydawnictwo Placet Wydanie ebook. Wydawca 1 Projekt okładki: Aleksandra Olszewska Redakcja: Leszek Plak Copyright: Wydawnictwo Placet 2011 Wydanie ebook Wszelkie prawa zastrzeżone. Publikacja ani jej części nie mogą być w żadnej formie i za pomocą

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Statystyka komputerowa Computer statistics Zarządzanie i Inżynieria Produkcji Management and Engineering of Production Rodzaj przedmiotu: Fakultatywny - oferta Poziom studiów:

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Weryfikacja modelu. Paweł Cibis pcibis@o2.pl. 6 kwietnia 2006

Ekonometria. Weryfikacja modelu. Paweł Cibis pcibis@o2.pl. 6 kwietnia 2006 Weryfikacja modelu Paweł Cibis pcibis@o2.pl 6 kwietnia 2006 1 Badanie istotności parametrów strukturalnych modelu Testy Pakiet Analiza Danych Uwagi 2 Test dla małej próby Test dla dużej próby 3 Test Durbina-Watsona

Bardziej szczegółowo

Trik 1 Edycja wykresu bezpośrednio w dokumencie Worda

Trik 1 Edycja wykresu bezpośrednio w dokumencie Worda :: Trik 1. Edycja wykresu bezpośrednio w dokumencie Worda :: Trik 2. Automatyczne usuwanie nadanych nazw zakresów :: Trik 3. Warunki przy określaniu jednostek miary :: Trik 4. Najszybszy sposób podświetlenia

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI. Do Czytelnika... 7

SPIS TREŚCI. Do Czytelnika... 7 SPIS TREŚCI Do Czytelnika.................................................. 7 Rozdział I. Wprowadzenie do analizy statystycznej.............. 11 1.1. Informacje ogólne..........................................

Bardziej szczegółowo

Wykład 4: Statystyki opisowe (część 1)

Wykład 4: Statystyki opisowe (część 1) Wykład 4: Statystyki opisowe (część 1) Wprowadzenie W przypadku danych mających charakter liczbowy do ich charakterystyki można wykorzystać tak zwane STATYSTYKI OPISOWE. Za pomocą statystyk opisowych można

Bardziej szczegółowo

Wykład 2: Grupowanie danych (szeregi statystyczne) + porady dotyczące analizy danych w programie STATISTICA

Wykład 2: Grupowanie danych (szeregi statystyczne) + porady dotyczące analizy danych w programie STATISTICA Wykład 2: Grupowanie danych (szeregi statystyczne) + porady dotyczące analizy danych w programie STATISTICA Dobór metody prezentacji danych Dobór metody prezentacji danych zależy od: charakteru danych

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład Parametry przedziałowe rozkładów ciągłych określane na podstawie próby (przedziały ufności) Przedział ufności dla średniej s X t( α;n 1),X + t( α;n 1) n s n t (α;

Bardziej szczegółowo

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska Równoważność metod??? 2 Zgodność wyników analitycznych otrzymanych z wykorzystaniem porównywanych

Bardziej szczegółowo

Temat: Arkusze kalkulacyjne. Program Microsoft Office Excel. Podstawy

Temat: Arkusze kalkulacyjne. Program Microsoft Office Excel. Podstawy Temat: Arkusze kalkulacyjne. Program Microsoft Office Excel. Podstawy Arkusz kalkulacyjny to program przeznaczony do wykonywania różnego rodzaju obliczeń oraz prezentowania i analizowania ich wyników.

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie: Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11

Bardziej szczegółowo

Temat: Organizacja skoroszytów i arkuszy

Temat: Organizacja skoroszytów i arkuszy Temat: Organizacja skoroszytów i arkuszy Podstawowe informacje o skoroszycie Excel jest najczęściej wykorzystywany do tworzenia skoroszytów. Skoroszyt jest zbiorem informacji, które są przechowywane w

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z informatyki dla klasy szóstej szkoły podstawowej.

Wymagania edukacyjne z informatyki dla klasy szóstej szkoły podstawowej. Wymagania edukacyjne z informatyki dla klasy szóstej szkoły podstawowej. Dział Zagadnienia Wymagania podstawowe Wymagania ponadpodstawowe Arkusz kalkulacyjny (Microsoft Excel i OpenOffice) Uruchomienie

Bardziej szczegółowo

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy MODEL REGRESJI LINIOWEJ. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Analiza regresji zajmuje się badaniem zależności pomiędzy interesującymi nas wielkościami (zmiennymi), mające na celu konstrukcję modelu, który dobrze

Bardziej szczegółowo

Często spotykany jest również asymetryczny rozkład gamma (Г), opisany za pomocą parametru skali θ i parametru kształtu k:

Często spotykany jest również asymetryczny rozkład gamma (Г), opisany za pomocą parametru skali θ i parametru kształtu k: Statystyczne opracowanie danych pomiarowych W praktyce pomiarowej często spotykamy się z pomiarami wielokrotnymi, gdy podczas pomiaru błędy pomiarowe (szumy miernika, czynniki zewnętrzne) są na tyle duże,

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1

Zadanie 1. a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1 Zadanie 1 a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1 b) W naszym przypadku populacja są inżynierowie w Tajlandii. Czy można jednak przypuszczać, że na zarobki kobiet-inżynierów

Bardziej szczegółowo

SPOSÓB WYKONANIA OBLICZEŃ I FORMATOWANIA KOMÓREK

SPOSÓB WYKONANIA OBLICZEŃ I FORMATOWANIA KOMÓREK SPOSÓB WYKONANIA OBLICZEŃ I FORMATOWANIA KOMÓREK Tworzenie Listy wyboru Tworzenie obliczeo z wykorzystaniem adresowania mieszanego (symbol $) Tworzenie wykresu i zmiana jego parametrów Wszelkie wskazówki

Bardziej szczegółowo

REGRESJA I KORELACJA MODEL REGRESJI LINIOWEJ

REGRESJA I KORELACJA MODEL REGRESJI LINIOWEJ REGRESJA I KORELACJA MODEL REGRESJI LINIOWEJ Korelacja oznacza fakt współzależności zmiennych, czyli istnienie powiązania pomiędzy nimi. Siłę i kierunek powiązania określa się za pomocą współczynnika korelacji

Bardziej szczegółowo

Excel - użycie dodatku Solver

Excel - użycie dodatku Solver PWSZ w Głogowie Excel - użycie dodatku Solver Dodatek Solver jest narzędziem używanym do numerycznej optymalizacji nieliniowej (szukanie minimum funkcji) oraz rozwiązywania równań nieliniowych. Przed pierwszym

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI

WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI Regresja 1. Metoda najmniejszych kwadratów-regresja prostoliniowa 2. Regresja krzywoliniowa 3. Estymacja liniowej funkcji regresji 4. Testy istotności współczynnika regresji liniowej

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Dobór postaci analitycznej, transformacja liniowa i estymacja modelu KMNK. Paweł Cibis 23 marca 2006

Ekonometria. Dobór postaci analitycznej, transformacja liniowa i estymacja modelu KMNK. Paweł Cibis 23 marca 2006 , transformacja liniowa i estymacja modelu KMNK Paweł Cibis pcibis@o2.pl 23 marca 2006 1 Miary dopasowania modelu do danych empirycznych Współczynnik determinacji Współczynnik zbieżności 2 3 Etapy transformacji

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

najlepszych trików Excelu

najlepszych trików Excelu 70 najlepszych trików W Excelu 70 najlepszych trików w Excelu Spis treści Formatowanie czytelne i przejrzyste zestawienia...3 Wyświetlanie tylko wartości dodatnich...3 Szybkie dopasowanie szerokości kolumny...3

Bardziej szczegółowo

Projekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski

Projekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski Projekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski Zadanie 1 Eksploracja (EXAMINE) Informacja o analizowanych danych Obserwacje Uwzględnione Wykluczone Ogółem

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4. Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ

Bardziej szczegółowo

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje

Bardziej szczegółowo

Regresja wielokrotna. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Regresja wielokrotna. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Regresja wielokrotna Model dla zależności liniowej: Y=a+b 1 X 1 +b 2 X 2 +...+b n X n Cząstkowe współczynniki regresji wielokrotnej: b 1,..., b n Zmienne niezależne (przyczynowe): X 1,..., X n Zmienna

Bardziej szczegółowo

Matematyka grupa Uruchom arkusz kalkulacyjny. 2. Wprowadź do arkusza kalkulacyjnego wartości znajdujące się w kolumnach A i B.

Matematyka grupa Uruchom arkusz kalkulacyjny. 2. Wprowadź do arkusza kalkulacyjnego wartości znajdujące się w kolumnach A i B. Zadanie nr 1 Matematyka grupa 2 Wykonaj poniższe czynności po kolei. 1. Uruchom arkusz kalkulacyjny. 2. Wprowadź do arkusza kalkulacyjnego wartości znajdujące się w kolumnach A i B. A B 32 12 58 45 47

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 4 Wrocław, 17 października 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wartości oczekiwanej w dwóch populacjach o rozkładach normalnych. Model 3. Porównanie średnich

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADOWY TEST EGZAMINACYJNY

PRZYKŁADOWY TEST EGZAMINACYJNY European Computer Competence Certificate PRZYKŁADOWY TEST EGZAMINACYJNY Europejskiego Certyfikatu Kompetencji Informatycznych ECCC Moduł: IT M3 Arkusze kalkulacyjne Poziom: B Średniozaawansowany FUNDACJA

Bardziej szczegółowo

Sposoby prezentacji problemów w statystyce

Sposoby prezentacji problemów w statystyce S t r o n a 1 Dr Anna Rybak Instytut Informatyki Uniwersytet w Białymstoku Sposoby prezentacji problemów w statystyce Wprowadzenie W artykule zostaną zaprezentowane podstawowe zagadnienia z zakresu statystyki

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do MS Excel

Wprowadzenie do MS Excel Wprowadzenie do MS Excel Czym jest Excel? Excel jest programem umożliwiającym tworzenie tabel, a także obliczanie i analizowanie danych. Należy do typu programów nazywanych arkuszami kalkulacyjnymi. W

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

REGRESJA (postać liniowa funkcji) - ROZWIĄZANIA Komentarze kursywą, rozwiązania oraz treści zadań pismem prostym.

REGRESJA (postać liniowa funkcji) - ROZWIĄZANIA Komentarze kursywą, rozwiązania oraz treści zadań pismem prostym. REGRESJA (postać liniowa funkcji) - ROZWIĄZANIA Komentarze kursywą, rozwiązania oraz treści zadań pismem prostym. Zadanie 1 W celu ustalenia zależności między liczbą braków a wielkością produkcji części

Bardziej szczegółowo

Przewodnik dla każdego po: Dla każdego coś miłego Microsoft Excel 2010

Przewodnik dla każdego po: Dla każdego coś miłego Microsoft Excel 2010 Przewodnik dla każdego po: Dla każdego coś miłego Microsoft Excel 2010 Czym jest Excel 2010 Excel jest programem umożliwiającym tworzenie tabel, a także obliczanie i analizowanie danych. Należy do typu

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka - adres mailowy: scichocki@o2.pl - strona internetowa: www.wne.uw.edu.pl/scichocki - dyżur: po zajęciach lub po umówieniu mailowo - 80% oceny: egzaminy - 20% oceny:

Bardziej szczegółowo

TEMAT: Ilustracja graficzna układu równań.

TEMAT: Ilustracja graficzna układu równań. SCENARIUSZ LEKCJI PRZEPROWADZONEJ W KLASIE III TEMAT: Ilustracja graficzna układu równań. Cel ogólny: Uczeń rozwiązuje metodą graficzną układy równań przy użyciu komputera. Cele operacyjne: Uczeń: - zna

Bardziej szczegółowo