Temat 2. Synteza układów kombinacyjnych z bramek logicznych

Transkrypt

1 Temat 2. Synteza układów kombinacyjnych z bramek logicznych Spis treści do tematu Wprowadzenie 2.2. Metoda tablic Karnaugha - przykład pełnego projektu Metoda Quine a-mcluskey a(q-m) 2.4. Literatura fizyka.p.lodz.pl/pl/dla-studentow/tc/ T2-

2 2.. Wprowadzenie Układ logiczny (ang. logic circuit) zbiór funktorów logicznych połączonych ze sobą w określony sposób, tak aby realizować przyjętą funkcję. Układ kombinacyjny (ang. combinational logic circuits) szczególny typ układu logicznego w którym bieżący stan wyjść układu jest jednoznacznie określony przez bieżący stan jego wejść. Metody opisu układów kombinacyjnych: opis słowny tablica prawdy zbiór jedynek funkcji F (albo zer F ) funkcja boolowska (przełączająca, logiczna) - postać kanoniczna sumy, - postać kanoniczna iloczynu, - postać zminimalizowana. schemat układu złożonego z podstawowych funktorów logicznych, inne. Metody minimalizacji wyrażeń logicznych: przekształcenia na podst. praw algebry oole a, metoda tablic (siatek) Karnaugha, metoda Quine a-mcluskey a (Q-M), metoda Kazakowa, metoda Tablic Niezgodności (TN), metoda bezpośredniego przeszukiwania (P), inne. T2-2

3 Opis słowny układu kombinacyjnego W instalacji przemysłowej dane są dwa podobne zbiorniki, z których każdy zawiera po dwa czujniki poziomu cieczy. zujnik znajdujący się powyżej poziomu cieczy wysyła sygnał o wartości, natomiast sygnał oznacza zanurzenie czujnika w cieczy. Zaprojektować układ, który steruje pompą P, według następujących reguł: - jeżeli w zb. jest więcej cieczy niż w zbiorniku 2, to włącz pompę, - jeżeli w zb. jest mniej cieczy lub poziomów nie można odróżnić, to wyłącz pompę. Odbiór cieczy ze zbiornika 2 zapewnia inny układ, który nie jest przedmiotem tego projektu. Oznaczenia czujników przedstawiono na rysunku: Rys. 2..Schemat instalacji do słownego opisu kombinacyjnego układu sterowania. T2-3

4 Opis słowny układu nie zawsze zapewnia projektantowi pełne i jednoznaczne dane. W opisanym układzie może dojść do awarii czujnika, która przejawi się poprzez załączenie czujnika leżącego wyżej przy niezałączonym czujniku leżącym niżej. Potrzebna jest decyzja dotycząca zachowania się układu sterowania w sytuacji awaryjnej, np.: nie rozważamy stanów awaryjnych (wariant najprostszy), wyłączenie pompy w każdej możliwej do wykrycia sytuacji awaryjnej, dodajemy do układu sterowania wyjście do sygnalizowania stanów awaryjnych dla nadzoru technicznego, dodajemy do układu sterowania dwa wyjścia do sygnalizowania stanów awaryjnych osobno dla zbiornika i osobno dla, inne. alej rozważymy najprostszy wariant Rys. 2.2.Przykładowe sytuacje, w których możliwe jest wykrycie awarii czujnika poziomu cieczy. T2-4

5 Tabela 2.. Tablica prawdy dla układu sterowania z rys. 2.. P P gdzie symbolem () oznaczono stany nieokreślone.. P = Postać kanoniczna sumy, to suma iloczynów pełnych zmiennych lub ich negacji. Można ją otrzymać wprost z tablicy prawdy, biorąc pod uwagę jedynie te wiersze, dla których wartość funkcji P= i przypisując: wartościom argumentu zmienne niezanegowane (,,, ), wartościom argumentu zmienne zanegowane (,,, ) Postać kanoniczna iloczynu, to iloczyn sum pełnych ze zmiennych lub ich negacji. Każda suma pełna odpowiada jednej linii w tablicy prawdy, dla której funkcja przyjmuje wartość zero ). )( )( ( ) )( )( ( P = T2-5

6 Każą funkcję logiczną można przedstawić w postaci kanonicznej, jednakże zazwyczaj nie jest to postać minimalna tej funkcji. Przykład minimalizacji postaci kanonicznej sumy przez bezpośrednie wykorzystanie praw algebry oole a, P= = = ( ) = = = = ( ) = = ( ) przemienność iloczynu logicznego, rozdzielność sumy logicznej względem iloczynu prawo wyłączonego środka przemienność iloczynu logicznego, rozdzielność sumy logicznej względem iloczynu tożsamość pomocnicza (Shannona) (2.) Funkcję nazywamy zupełną jeżeli jest jednoznacznie określona dla wszystkich kombinacji swoich argumentów. Funkcję nieokreśloną dla niektórych kombinacji argumentów nazywamy funkcją niezupełną (np. funkcja z tabeli 3.). Uwaga: Postać kanoniczna sumy i postać kanoniczna iloczynu dla funkcji niezupełnej nie są równoważne. T2-6

7 2.. Metoda tablic Karnaugha Kopia tabeli 2.(od zadania z pompą). P P Wartości argumentów uporządkowane wg. kodu Graya (RG), w którym każde dwie kolejne wartości różnią się dokładnie jednym bitem. Metoda tablic Karanauga wykorzystuje zdolność ludzi do rozpoznawania geometrycznych wzorów. Tablica Karanugha jest to specyficznie ułożona tablica prawdy Etap. Kopiowanie danych do tablicy Karnaugha. Tabela 2.2.Tablica Karnaughaodpowiadająca tabeli prawdy 2.. T2-7

8 Etap 2. Grupowanie (lub ). Kolejnym etapem jest grupowanie jedynek (alternatywnie zer) w sąsiednich komórkach. Obowiązują następujące reguły: tworzymy tylko prostokątne obszary zawierające 2 n sąsiednich komórek (n - liczba naturalna), wszystkie (alternatywne ) trzeba włączyć do któregoś obszaru, daną komórkę można włączyć do więcej niż jednego obszaru, komórki ze stanem nieokreślonym ( ) można ale nie trzeba łączyć z jedynkami albo zerami. tablica Karanugha nie ma brzegów, przeciwlegle krawędzie widoczne na rysunku tablicy traktujemy jak sklejone ze sobą. Rys Przykłady optymalnego grupowania jedynek oraz zer na tablicy Karnaugha dotyczącej zadania z pompą. Zasady OPTYMLNEGO grupowania: staramy się zgrupować wszystkie (alternatywnie ) wewnątrz możliwie najmniejszej liczby pętli, pętle o większych rozmiarach są korzystniejsze od pętli mniejszych. T2-8

9 Etap 3. Synteza funkcji logicznej odpowiadającej zakreślonym obszarom. Przypadek grupowania jedynek Każda grupa jedynek i znaków ( ) odpowiada iloczynowi tych spośród argumentów,,,, które mają ustaloną wartość na wszystkich komórkach w pętli. Zmienne do iloczynu podstawiamy wprost albo zanegowane, tak by iloczyn dawał wynik dla wszystkich komórek w odpowiadającej mu pętli. Kompletną funkcję logiczną budujemy jako sumę iloczynów odpowiadających wszystkim pętlom. Rys. 2.3.Przykład konstrukcji wyrażenia odpowiadającego pętli zielonej grupującej jedynki. Razem dla obu zaznaczonych pętli otrzymujemy P = (2.2) T2-9

10 Przypadek grupowania zer Każda grupa zer i znaków ( ) odpowiada sumie tych spośród argumentów,,,, które mają ustaloną wartość na wszystkich komórkach w pętli. Zmienne do sumy podstawiamy wprost albo zanegowane, tak by suma dawała wynik dla wszystkich komórek w odpowiadającej jej pętli. Kompletną funkcję logiczną budujemy jako iloczyn sum odpowiadających wszystkim pętlom. Rys. 2.4.Przykład konstrukcji wyrażenia odpowiadającego pętli zielonej grupującej zera. Razem dla wszystkich zaznaczonych pętli otrzymujemy P = ( ) (2.3) T2-

11 Porównanie schematów układów kombinacyjnych Przypadek grupowania jedynek Układ zbudowano na podstawie funkcji: P = Przypadek grupowania zer Układ zbudowano na podstawie funkcji: P = ( ) Rys. 2.5.Schematy układów sterowania pompąotrzymane metodątablic Karnaugha dla przypadków grupowania jedynek oraz grupowania zer. T2-

12 Tablice Karnaugha dla dużej liczby zmiennych la 5 i więcej zmiennych nie można na płaszczyźnie narysować obok siebie wszystkich komórek sąsiadujących w tablicy Karnaugha. Tablicę przedstawiamy wtedy w postaci rozciętej na kilka płaszczyzn 4 4. Rys. 2.6.Przykład transformacji tablicy Karnaughadla 6-ciu zmiennych między rozkładem na płaszczyźnie a kostkąw 3-trzech wymiarach przestrzennych. Kostka Ograniczono się do grupowania komórek z pętli liliowej. T2-2

13 2.3. Metoda Quine a-mcluskey a (Q-M) Tabela 2.2. Porównanie cech metody tablic Karnaugha i metody Quine a- Mcluskey a(q-m) echa Metoda Karnaugha Metoda Q-M Przystępność dla człowieka Opis w algorytmie komputerowym liczba zmiennych minimalizacja funkcji niezupełnych czytelna forma graficzna trudny powyżej 6 wymagana wyobraźnia w przestrzenniach >3 wymiarowych łatwa mało przystępna względnie łatwy algorytm uniwersalny ale dla dużej liczby zmiennych koszt wykonania rośnie bardzo szybko przypadki stanów nieokreślonych nie są uwzględnione; wstępnie łączymy ( ) z F albo F T2-3

14 Przykład minimalizacji funkcji metodą Q-M Niech dana będzie funkcja logiczna F(X, Y, Z, W) określona zbiorem jedynek F ={2,3,6,7,9,3,4,5}. Rozwiązanie przebiega w następujących krokach: ). Wypisujemy wszystkie wektory zbioru F 2). Grupujemy wektory wg. liczby jedynek jedna jedynka dwie jedynki trzy jedynki cztery jedynki F (dziesiętnie) XYZW (binarnie) różnica na tylko jednej pozycji - kombinacje do połączenia więcej różnic - nie można połączyć T2-4

15 u użyte (pochłonięte) podczas łączenia Każdy element może być sklejany dowolną liczbę razy Następny cykl łączenia Kopia tabeli z pkt. 2 u u u u u u u u jedna jedynka dwie jedynki trzy jedynki cztery jedynki u użyte (pochłonięte) podczas łączenia Zbiór prostych implikantów danej funkcji (elementów które nie uległy połączeniom) 3). Łączenie kombinacji, które na jednej pozycji mają różne cyfry i. 2,3 - u 2,6 - u jedna jedynka 3,7 - u 6,7 - u przykład łączenia 6,4 - u 9,3 - dwie jedynki 7,5 - u 3,5-4,5 - u trzy jedynki 2,3,6,7 -- jedna jedynka 6,7,4,5 -- dwie jedynki nie ma już nic do połączenia Powtarzamy sklejanie kombinacji aż do wyczerpania możliwości dalszego łączenia T2-5

16 4). Poszukiwanie minimalnego zbioru prostych implicentów. Tworzymy tablicę pokrycia, której wiersze odpowiadają prostym implikanom (znalezionym na poprzednim etapie), zaś kolumny wszystkim wektorom funkcji F (czyli implikantom elementarnym). We wnętrzu tabeli stawiamy tam gdzie wektor funkcji F jest zgodny z implikantem. F (XYZW ) G i ,3,6,7 6,7,4,5 9,3 3,5 - elementy konieczne, wchodzą w skład wierszy zasadniczych. Najpierw wybieramy wiersze zasadnicze, których obecność jest konieczna. Następnie decydujemy o wyborze innych wierszy koniecznych do zapewnienia we wszystkich kolumnach tabeli. W rozważonym przypadku wiersz 4 w tabeli pokrycia nie jest potrzebny. Funkcję budujemy analogicznie jak dla pętli na tablicy Karnaugha F ( X, Y, Z, W ) G G G = XZ YZ XZW (2.4) = 2 3 Metodę Q-M można zastosować także do zbioru zer F danej funkcji (zmiany analogiczne jak w metodzie tablic Karanugha). T2-6

17 Zastosowanie arkusza MS Excel do testowania wyrażeń logicznych rkusz kalkulacyjny Excel posiada tylko 3 podstawowe predefiniowane funkcje oole a: funkcja Excel PL =nie(a) =lub(a; a2; ) =oraz(a; a2; ) równoważna bramka log. NOT OR N Edytor makrodefinicji w języku Visual SI pozwala na łatwe rozszerzenie zestawu dostępnych funkcji. Przykład definicji funkcji EXOR, EXNOR, NN i NOR: etap etap 2 T2-7

18 2.4. Literatura [] P. Misiurewicz, Układy automatyki cyfrowej, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa, 984. [2] H. Kamionka-Mikuła, H. Małysiak,. Pochopień, Synteza i analiza układów cyfrowych, Wydawnictwo Pracowni Komputerowej Jacka Skamierskiego, Gliwice 26. [3] W. Głocki, Układy cyfrowe, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa, 28. [4]. Skorupski, Podstawy techniki cyfrowej, WKiŁ, Warszawa 24. [5] W. Traczyk, Układy cyfrowe. Podstawy teoretyczne i metody syntezy, WNT, Warszawa 986. [6] M. Molski, Wstęp do techniki cyfrowej, WKiŁ, Warszawa 989. [7] R. Ćwirko, M. Rusek, W. Marciniak, Układy scalone w pytaniach i odpowiedziach, WNT, Warszawa, 987. [8] J. Kalisz, Podstawy elektroniki cyfrowej, WKiŁ, Warszawa 22. [9] P. Horowitz, W. Hill, Sztuka elektroniki, WKiŁ, Warszawa 2. [] U. Tietze, h. Schenk, Układy półprzewodnikowe, WNT, Warszawa 29. []. arczak, J. Florek, T. Sydoruk, Elektroniczne techniki cyfrowe, VIZJ PRESS&IT Sp. z o.o., Warszawa 26. T2-8