EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015"

Transkrypt

1 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R MAJ 0

2 Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania Zadanie (0 ) Wymagania ogólne II Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Wymagania szczegółowe Liczby rzeczywiste Zdający wykorzystuje pojęcie wartości bezwzględnej i jej interpretację geometryczną, zaznacza na osi liczbowej zbiory opisane za pomocą równań i nierówności typu: x a = b, x a > b, x a < b (R) Poprawna odp ( p) D Zadanie (0 ) II Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Równania i nierówności Zdający rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną (R9) A Zadanie (0 ) II Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Wyrażenia algebraiczne Zdający używa wzorów skróconego mnożenia na ( a± b ) oraz a ± b (R) C Zadanie 4 (0 ) II Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji 6 Trygonometria Zdający rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne (R66) A Zadanie (0 ) II Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji 8 Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej Zdający oblicza odległość punktu od prostej (R84) B Strona z 6

3 Zadanie 6 (0 ) n + 6n+ n + n+ Oblicz granicę lim n W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę 6n + n 4 jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku II Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Odpowiedź Ciągi Zdający oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu n, oraz z twierdzeń o działaniach na n granicach ciągów (R) 4 Zadanie 7 (0 ) Liczby ( ) i są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej f Oblicz f f ( 6) ( ) II Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji 4 Funkcje Zdający interpretuje współczynników występujących we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci iloczynowej (40) Rozwiązanie (I sposób) Zapisujemy trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej f ( x) = a( x+ )( x ), gdzie a 0 Stąd zaś wynika, że f ( 6) a 7 7 = = f a 9 Schemat oceniania ( ) 9 Zdający otrzymuje p gdy wykorzysta postać iloczynową funkcji kwadratowej i zapisze f ( ) f ( ) = a 9 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy 6 = a 7 lub Zdający otrzymuje p gdy obliczy wartość f f ( 6 ) 7 = ( ) 9 Strona z 6

4 Rozwiązanie (II sposób) Z wzorów Viète a otrzymujemy b a = oraz c = a Stąd b = a oraz c = a Wzór funkcji f możemy zapisać w postaci f ( x) = ax ax a Obliczamy wartości funkcji dla argumentów 6 i f ( 6) = 6a a a = a oraz f ( ) = 44a 4a a = 7a f ( 6) a 7 Zatem = = f 7a 9 ( ) Schemat oceniania Zdający otrzymuje p gdy wykorzysta wzory Viète a i zapisze f ( 6) = 6a a a lub ( ) i na tym zakończy lub dalej popełni błędy f = 44a 4a a Zdający otrzymuje p gdy obliczy wartość f f ( 6 ) 7 = ( ) 9 Zadanie 8 (0 ) Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność 4 x x x + > 0 V Rozumowanie i argumentacja Wyrażenia algebraiczne Zdający dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli wyrażenia wymierne; rozszerza i (w łatwych przykładach) skraca wyrażenia wymierne; używa wzory a± b, a skróconego mnożenia na ( ) b (R6, ) Rozwiązanie (I sposób) Przekształćmy nierówność równoważnie w następujący sposób 4 x x + + x x+ + > 0, ( x ) ( x ) + + > 0 Lewa strona tej nierówności jest sumą trzech składników, z których dwa pierwsze są nieujemne, a trzeci dodatni, więc suma ta jest dodatnia dla każdej liczby rzeczywistej x Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje p gdy zapisze nierówność w postaci, z której lewą stronę łatwo można zapisać w postaci sumy 4 składników nieujemnych: x x + + x x+ + > 0 Zdający otrzymuje p gdy zapisze nierówność w postaci: ( x ) ( x ) nierówności + + > 0 i nie uzasadni prawdziwości tej Strona 4 z 6

5 Zdający otrzymuje p gdy przeprowadzi pełne rozumowanie Rozwiązanie (II sposób) Przekształćmy nierówność równoważnie w następujący sposób 4 x x x+ + > 0, x x x + > 0, Ponieważ ( x ) 0 oraz ( ) ( ) ( x ) ( x ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( x ) x ( x ) x x x x + + > 0, ( ) 0 ( x )( x + x ) + > 0, ( x )( x x x ) ( x )( x ( x ) ( x )) ( ) ( x ) ( x ( x )) ( x ) ( x x ) + + >, + + > 0, + + > 0 ( x ) x ( x ) ( x )( x ) > 0, > 0, > 0, ( ) ( x ) ( x ) > 0 x + + > 0 dla każdej liczby rzeczywistej x, więc iloczyn + + jest nieujemny Stąd wynika, że lewa strona nierówności jest dodatnia dla każdej liczby rzeczywistej x Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje p gdy zapisze nierówność w postaci: x ( x ) ( x ) + > 0 Zdający otrzymuje p gdy zapisze nierówność w postaci: ( x ) ( x x ) tej nierówności > 0 i nie uzasadni prawdziwości Zdający otrzymuje p gdy przeprowadzi pełne rozumowanie Rozwiązanie (III sposób) 4 Rozważmy wielomian f ( x) = x x x+ Pochodna tego wielomianu jest równa f ( x) = 4x x dla każdej liczby rzeczywistej x Ponieważ f () = 4 = 0, więc wielomian f jest podzielny przez dwumian x Wykorzystując schemat Hornera, otrzymujemy Strona z 6

6 = + + Wyróżnik trójmianu kwadratowego 4x + 4x+ jest Zatem f ( x) ( x )( 4x 4x ) równy Δ= < 0, współczynnik przy liczby rzeczywistej x Wynika stąd, że f x = wtedy i tylko wtedy, gdy x =, ( ) 0 ( x) 0 ( x) 0 f > wtedy i tylko wtedy, gdy x >, x jest dodatni, więc 4x 4x > dla każdej f < wtedy i tylko wtedy, gdy x < To oznacza, że w punkcie x = wielomian f osiąga minimum lokalne, które jest jednocześnie jego najmniejsza wartością, gdyż w przedziale (, wielomian f jest funkcją malejącą, a w przedziale,+ ) rosnącą 4 Ponieważ f () = + =, więc f ( x) f ( ) każdej liczby rzeczywistej x To kończy dowód = > 0, czyli x 4 x x+ > 0 dla Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje p 4 gdy obliczy pochodną wielomianu ( ) pierwiastkiem pochodnej: f ( x) = 4x x, () f x = x x x+, zapisze, że liczba jest f = 4 = 0 Zdający otrzymuje p = + + i zbada znak pochodnej, ale nie przeprowadzi rozumowania do końca lub przeprowadzi je z błędem gdy zapisze pochodną w postaci : f ( x) ( x )( 4x 4x ) Zdający otrzymuje p gdy przeprowadzi pełne rozumowanie Strona 6 z 6

7 Zadanie 9 (0 ) Dwusieczne czworokąta ABCD wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych punktach: P, Q, R, S (zobacz rysunek) A S D B P Q R C Wykaż, że na czworokącie PQRS można opisać okrąg V Rozumowanie i argumentacja 7 Planimetria Zdający stosuje twierdzenia charakteryzujące czworokąty wpisane w okrąg i czworokąty opisane na okręgu (R7) Rozwiązanie (I sposób) Oznaczmy BAP = PAD = α oraz CBP = ABP = β Ponieważ czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg, więc 80 α 80 β BCR = = 90 α oraz ADR = = 90 β Zauważmy, że AQD = 80 DAQ + ADQ = 80 α + 90 β = 90 α + β oraz Zatem D A S α α P R β β Q B C ( ) ( ( )) ( ) (( ) ) BSC = 80 BCR + CBP = α + β = 90 + α β ( ) ( ) PQR + PSR = 90 α + β α β = 80 Strona 7 z 6

8 Suma wszystkich kątów czworokąta jest równa 60, więc suma pozostałych dwóch kątów czworokąta PQRS także jest równa 80 To oznacza, że na czworokącie PQRS można opisać okrąg, co kończy dowód Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje p gdy przyjmie oznaczenia dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych czworokąta ABCD (lub oznaczy połowy tych kątów) np: BAP = PAD = α, CBP = ABP = β oraz zapisze dwa pozostałe kąty wewnętrzne tego czworokąta (lub ich połowy) w zależności od α i β : BCR = DCR = 90 α, CDR = ADR = 90 β Zdający otrzymuje p gdy wyznaczy dwa przeciwległe kąty czworokąta PQRS w zależności od α i β : AQD = 90 α + β, BSC = 90 + α β Zdający otrzymuje p gdy wykaże, że suma dwóch przeciwległych kątów wewnętrznych czworokąta PQRS jest równa 80 Rozwiązanie (II sposób) Oznaczmy BAP = PAD = α oraz CBP = ABP = β A α α P β β B Q Ponieważ czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg, więc 80 α 80 β BCR = DCR = = 90 α oraz CDR = ADR = = 90 β Zauważmy, że SPQ = APB = 80 ( ABP + BAP ) = 80 ( α + β ) oraz SRQ = CRD = 80 ( DCR + CDR ) = 80 (( 90 α ) + ( 90 β )) = α + β Zatem SPQ + SRQ = 80 ( α + β) + α + β = 80 Suma wszystkich kątów czworokąta jest równa 60, więc suma pozostałych dwóch kątów czworokąta PQRS także jest równa 80 To oznacza, że na czworokącie PQRS można opisać okrąg, co kończy dowód R C D Strona 8 z 6

9 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje p gdy przyjmie oznaczenia dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych czworokąta ABCD (lub oznaczy połowy tych kątów) np: BAP = PAD = α, CBP = ABP = β oraz zapisze dwa pozostałe kąty wewnętrzne tego czworokąta (lub ich połowy) w zależności od α i β : BCR = DCR = 90 α, CDR = ADR = 90 β Zdający otrzymuje p gdy wyznaczy dwa przeciwległe kąty czworokąta PQRS w zależności od α i β : ( ) SPQ = 80 α + β, SRQ = α + β Zdający otrzymuje p gdy wykaże, że suma dwóch przeciwległych kątów wewnętrznych czworokąta PQRS jest równa 80 Rozwiązanie (III sposób) Oznaczmy: BAP = DAP = α, CBP = ABP = β, DCR = BCR = γ, ADR = CDR = δ A α α P R β β Q B γ γ C Suma kątów czworokąta ABCD jest równa α + β + γ + δ = 60 Stąd () α + β + γ + δ = 80 Z bilansu kątów w trójkątach ADQ i BCS otrzymujemy AQD = 80 ( α + δ) oraz BSC = 80 ( β + γ) Suma przeciwległych kątów PQR i PSR czworokąta PQRS jest więc równa PQR + PSR = 80 ( α + δ) + 80 ( β + γ) = 60 ( α + β + γ + δ ) Stąd i z () otrzymujemy PQR + PSR = = 80 To oznacza, że suma pozostałych dwóch kątów czworokąta PQRS także jest równa 80 Zatem na czworokącie PQRS można opisać okrąg To kończy dowód S δ δ D Strona 9 z 6

10 Rozwiązanie (IV sposób) Oznaczmy: BAP = DAP = α, CBP = ABP = β, DCR = BCR = γ, ADR = CDR = δ A α α P R β β Q B γ γ C Suma kątów czworokąta ABCD jest równa α + β + γ + δ = 60 Stąd () α + β + γ + δ = 80 Z bilansu kątów w trójkątach ABP i CDR otrzymujemy BPA = 80 ( α + β ) oraz CRD = 80 ( γ + δ ) Kąty BPA i SPQ są wierzchołkowe, podobnie jak kąty CRD i SRQ Zatem SPQ = 80 ( α + β ) oraz SRQ = 80 ( γ + δ ) Suma przeciwległych kątów SPQ i SRQ czworokąta PQRS jest więc równa SPQ + SRQ = 80 ( α + β) + 80 ( γ + δ) = 60 ( α + β + γ + δ ) Stąd i z () otrzymujemy SPQ + SRQ = = 80 To oznacza, że suma pozostałych dwóch kątów czworokąta PQRS także jest równa 80 Zatem na czworokącie PQRS można opisać okrąg To kończy dowód Schemat oceniania III i IV sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje p gdy przyjmie oznaczenia kątów wewnętrznych czworokąta ABCD (lub oznaczy połowy tych kątów), np: BAP = DAP = α, CBP = ABP = β, DCR = BCR = γ, ADR = CDR = δ i zapisze: że ich suma jest równa 60 : α + β + γ + δ = 60 wyznaczy dwa przeciwległe kąty PQR i PSR czworokąta PQRS w zależności od α, β,γ i δ : PQR = 80 ( α + δ), PSR = 80 ( β + γ) wyznaczy dwa przeciwległe kąty SPQ i SRQ czworokąta PQRS w zależności od SPQ = 80 α + β SRQ = 80 γ + δ α, β,γ i δ : ( ), ( ) Zdający otrzymuje p gdy zapisze, że α + β + γ + δ = 60 oraz wyznaczy dwa przeciwległe kąty PQR i PSR czworokąta PQRS w zależności od PQR = 80 α + δ PSR = 80 β + γ α, β,γ i δ : ( ), ( ) S δ δ D Strona 0 z 6

11 wyznaczy dwa przeciwległe kąty SPQ i SRQ czworokąta PQRS w zależności od SPQ = 80 α + β SRQ = 80 γ + δ α, β,γ i δ : ( ), ( ) Zdający otrzymuje p gdy wykaże, że suma dwóch przeciwległych kątów wewnętrznych czworokąta PQRS jest równa 80 Zadanie 0 (0 4) Długości boków czworokąta ABCD są równe: AB =, BC =, CD = 4, DA = Na czworokącie ABCD opisano okrąg Oblicz długość przekątnej AC tego czworokąta IV Użycie i tworzenie strategii 7 Planimetria Zdający stosuje twierdzenia charakteryzujące czworokąty wpisane w okrąg i czworokąty opisane na okręgu; znajduje związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów (R7, R7) Rozwiązanie (I sposób) Przyjmijmy oznaczenia a = AB =, b= BC =, c= CD = 4, d = DA =, x = AC, α = ABC jak na rysunku D β c C d x b α a B A Ponieważ na czworokącie ABCD jest opisany okrąg, więc CDA = 80 α Z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta ABC otrzymujemy: () AC AC = AB + BC AB BC cosα, = + cosα Teraz ponownie zastosujemy twierdzenie cosinusów, tym razem do trójkąta ACD : () AC ( ) AC = CD + DA CD DA cos 80 α, = cosα Porównujemy prawe strony równań () i (): + cosα = cosα, cosα = cosα Strona z 6

12 8 7 cosα = = Podstawiamy otrzymaną wartość do równania () i otrzymujemy: AC = = + = = Stąd wynika, że długość przekątnej AC jest równa: AC = Uwaga Układ równań () i () możemy rozwiązać rugując cosα Wtedy mnożymy obie strony równania () przez 0, a obie strony równania ( ) przez i mamy 0x = cosα oraz x = cosα Dodając stronami otrzymane równania mamy x = Stąd x= AC = Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania p Zdający zapisze równanie wynikające z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta ABC do trójkąta CDA : x = + cosα i na tym zakończy lub dalej popełni błędy x = cosβ Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp p Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np: + cosα = cos 80 α ( ) układ równań w postaci: 0x = cosα i x = cosα i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Pokonanie zasadniczych trudności zadania p Zdający obliczy cosinus kąta ABC: 7 cos a = zapisze równanie z niewiadomą x, np: x = Rozwiązanie pełne 4 p Zdający obliczy długość przekątnej AC: AC = Strona z 6

13 Rozwiązanie (II sposób) Przyjmijmy oznaczenia x = AC y = BD jak na rysunku i niech R oznacza promień okręgu opisanego na czworokącie ABCD D B A Z twierdzenia Ptolemeusza otrzymujemy równanie xy = 4 +, xy = Okrąg opisany na czworokącie ABCD jest jednocześnie okręgiem opisanym na każdym z trójkątów ABC, BCD, CDA i ABD Pole czworokąta ABCD możemy zapisać na dwa sposoby PABCD = PABC + PCDA = PBCD + PABD abc Stąd i ze wzoru na pole trójkąta P = otrzymujemy równanie 4R x 4 x y 4 y + = +, 4R 4R 4R 4R 6x = y, y = x Stąd i z równości xy = otrzymujemy x x=, x =, x = Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania p Zdający zapisze równanie wynikające z twierdzenia Ptolemeusza: xy = 4 + x y 4 C Strona z 6

14 pole czworokąta ABCD na dwa sposoby i zapisze PABC + PCDA = PBCD + PABD lub x 4 x y 4 y + = + 4R 4R 4R 4R i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp p Zdający zapisze układ równań z niewiadomymi x i y: xy = 4 + oraz x + 4 x= y+ 4 y i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Pokonanie zasadniczych trudności zadania p Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np: x x= lub y y = Rozwiązanie pełne 4 p Zdający obliczy długość przekątnej AC: x= AC = Strona 4 z 6

15 Zadanie (0 4) W pierwszej urnie umieszczono kule białe i kul czarnych, a w drugiej urnie 7 kul białych i kule czarne Losujemy jedną kulę z pierwszej urny, przekładamy ją do urny drugiej i dodatkowo dokładamy do urny drugiej jeszcze dwie kule tego samego koloru, co wylosowana kula Następnie losujemy dwie kule z urny drugiej Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że obie kule wylosowane z drugiej urny będą białe IV Użycie i tworzenie strategii 0 Elementy statystyki opisowej Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka Zdający korzysta z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym (R0) Rozwiązanie (I sposób) Przyjmijmy następujące oznaczenia zdarzeń: A - zdarzenie polegające na tym, że z drugiej urny wylosujemy dwie kule białe, B - zdarzenie polegające na tym, że z pierwszej urny wylosujemy kulę białą B - zdarzenie polegające na tym, że z pierwszej urny wylosujemy kulę czarną Wówczas B B = oraz B B =Ω Następnie P( B ) = > 0 oraz P( B ) = > Zatem spełnione są założenia twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym Obliczamy teraz prawdopodobieństwa warunkowe: 0 ( ) ( ) P( A B ) = = oraz ( ) 7 ( ) ( ) 7 P A B = = Z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym otrzymujemy P( A) = P( A B) P( B) + P( A B) P( B) = + = = = Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania p Zdający opisze zdarzenia A, B i B Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp p Zdający obliczy prawdopodobieństwa P( B ) = oraz P( B ) = obliczy prawdopodobieństwa P( A B ) =, P( A B ) = obliczy prawdopodobieństwa P( B ) = oraz ( ) 8 P A B = Strona z 6

16 obliczy prawdopodobieństwa P( B ) = oraz ( ) 8 7 P A B = Pokonanie zasadniczych trudności zadania p Zdający obliczy prawdopodobieństwa: P( B ) =, P( B ) =, P( A B ) =, P( A B ) = Rozwiązanie pełne 4 p Zdający obliczy prawdopodobieństwo: P( A ) = Rozwiązanie (II sposób) Przyjmijmy, że A to zdarzenie polegające na tym, że z drugiej urny wylosujemy dwie kule białe Rysujemy drzewo z istotnymi gałęziami 0 ( ) ( ) b b 8 8 B B 7 ( ) ( ) b b Losowanie kuli z pierwszej urny Losowanie dwóch kul z drugiej urny lub B B 7 Losowanie kuli z pierwszej urny 9 b c 6 b c b c b c b c b c Losowanie pierwszej kuli z drugiej urny Losowanie drugiej kuli z drugiej urny Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe ( ) P A = + = = = Strona 6 z 6

17 lub P( A ) = + = = = Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania p Zdający narysuje drzewo ilustrujące losowanie (na rysunku muszą wystąpić wszystkie istotne gałęzie) Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp p Zdający zapisze prawdopodobieństwa przynajmniej na wszystkich istotnych odcinkach jednego z etapów lub na jednej z istotnych gałęzi Pokonanie zasadniczych trudności zadania p Zdający zapisze prawdopodobieństwa na wszystkich istotnych gałęziach: 8, 0, 9 oraz 8, 7, 6 lub 8, 0 oraz 7 8, Rozwiązanie pełne 4 p Zdający obliczy prawdopodobieństwo: P( A ) = Uwaga Jeżeli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma prawdopodobieństwo ujemne lub większe od, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów Zadanie (0 4) Funkcja f określona jest wzorem f ( x) = x x + dla każdej liczby rzeczywistej x Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji f, które są równoległe do prostej o równaniu y = 4x IV Użycie i tworzenie strategii Rachunek różniczkowy Zdający korzysta z geometrycznej i fizycznej interpretacji pochodnej (R) 8 Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej Zdający wyznacza równania prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany punkt (8) Rozwiązanie Aby styczne były równoległe do prostej o równaniu y = 4x, ich współczynnik kierunkowy musi być równy 4 Obliczamy pochodną funkcji f: f '( x) = x 4x Współczynnik kierunkowy stycznej jest równy wartości pierwszej pochodnej funkcji w punkcie styczności Stąd 4 = f ( x 0 ) Wówczas Strona 7 z 6

18 x0 4x0 = 4, x0 4x0 4= 0, Δ= 64, x 0 = lub x 0 = Istnieją zatem dwie styczne do wykresu funkcji f równoległe do prostej o równaniu y = 4x w punktach P = (, 7) oraz P = (,) Styczne mają zatem równania postaci y+ = 4 7 ( x+ ) oraz y = 4( x ), czyli y+= 4x oraz y = 4x 7 67 Odp Równania prostych stycznych mają postać: y = 4 x + oraz y = 4x 7 7 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania p Zdający obliczy pochodną funkcji f: f '( x) = x 4x f x 0 = 4 zapisze warunek ( ) Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp p Zdający obliczy pochodną funkcji f: f '( x) x 4x f x 0 = 4 = i zapisze warunek ( ) Pokonanie zasadniczych trudności zadania p Zdający rozwiąże równanie x 4x = 4 i obliczy współrzędne obu punktów styczności: 0 0 P =, 7, P ( ) =, Uwaga Jeżeli zdający korzysta ze wzoru y = f ( x0 ) x+ b, gdzie b= f ( x0) f ( x0) x0, to obliczenie współczynnika b traktujemy jak obliczenie drugiej współrzędnej punktu styczności Rozwiązanie pełne 4 p 67 Wyznaczenie równań stycznych: y = 4 x + i y = 4x 7 7 Uwaga Jeżeli zdający wyznaczy poprawnie współrzędne tylko jednego punktu styczności i w konsekwencji wyznaczy poprawnie równanie jednej stycznej, to otrzymuje punkty Strona 8 z 6

19 Zadanie (0 ) Dany jest trójmian kwadratowy f ( x) = ( m + ) x + ( m ) x m + 4 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których trójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x, x, 4 4 spełniające warunek x x = x x III Modelowanie matematyczne Równania i nierówności Zdający stosuje wzory Viète a (R) Rozwiązanie Z treści zadania wynika, że m + 0, czyli m Trójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, gdy jego wyróżnik jest dodatni, czyli Stąd m (,0 ) 7 (, + ) (, ) (,0 ) (, ) ( ( m )) m ( m ) Δ= 4 ( + ) + 4 > 0, 7 8m 8m > 0, 4 m m 7 > ( ) 0 D = + jest zbiorem wszystkich wartości parametru m, dla których funkcja f jest trójmianem kwadratowym i ma dwa różne pierwiastki 4 4 Warunek x x = x możemy zapisać w postaci równoważnej Stąd x x x = ( x + x )( x x ), ( x )( x + x )( ( x + x ) 0 x = x x 0 lub + x 0 = x lub ( + x ) 0 = x = Równość x x = 0 przeczy założeniu x x Ze wzoru Viète a na sumę pierwiastków trójmianu kwadratowego możemy równanie ( m ) x + x = 0 zapisać w postaci = 0 Stąd m = D m + Równanie ( x + x ) 0 możemy zapisać w postaci równoważnej = Ze wzorów Viète a otrzymujemy ( ) x + x x x = ( m ) m+ 4 =, m+ m+ 4( m 4m+ 4) m 8 + = 0, m + m + ( ) ( )( ) ( ) 4m 6m 6 m 8 m m =, m 4m+ 7= 0 Rozwiązaniami tego równania są liczby m = D oraz m = D Strona 9 z 6

20 + 09 Istnieje zatem jedna wartość parametru m =, dla której trójmian f ma dwa różne 4 4 pierwiastki rzeczywiste spełniające warunek x x = x x Schemat oceniania Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów Pierwszy z nich polega na rozwiązaniu nierówności > 0 Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje punkt Uwaga Jeżeli zdający zapisze Δ 0, to za tę część otrzymuje 0 punktów 4 4 Drugi etap polega na rozwiązaniu równania x x = x x Za tę część rozwiązania zdający otrzymuje punkty Podział punktów za drugi etap rozwiązania: punkt zdający otrzymuje za zapisanie równania w postaci: x x x + x x + x lub równoważnej ( )( )( ( ) 0 = m 7 + Δ : (,0) (, ) punkty zdający otrzymuje za: zapisanie równości x x = 0 i stwierdzenie, że przeczy ona założeniu x x ( m ) rozwiązanie równania = 0 : m = m + ( m ) m+ 4 zapisanie równania ( x + x ) = 0 w postaci, np: = m+ m+ punkty zdający otrzymuje za: ( m ) rozwiązanie równania = 0 : m = m + oraz ( m ) m rozwiązanie równania = : m =, m+ m m = + 09 Trzeci etap polega na wyznaczeniu szukanej wartości parametru m: m = Za ten etap zdający otrzymuje punkt, o ile poprawnie wykona etapy I i II rozwiązania poprawnie wykona etap I i popełnia błędy w rozwiązaniu równania z etapu II, gdy popełnia błędy w etapie I i dobrze rozwiąże równanie z etapu II Strona 0 z 6

21 Uwagi: Akceptujemy rozwiązania, w których zdający nie zapisuje założenia m + 0, które wynika ze sformułowania zadania Zdający nie musi rozwiązywać nierówności Δ > 0, o ile sprawdzi czy dla m =, m =, m = trójmian ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste 4 4 Jeżeli zdający podzieli obie strony równania x x = x przez x x bez x 09 stosownego założenia i rozwiąże równanie = x + x, otrzymując m = lub + 09 m =, to otrzymuje co najwyżej punkty za całe rozwiązanie, przy czym punkt może otrzymać za rozwiązanie nierówności Δ > 0, punkt za zapisanie równania = x + x w postaci równania wymiernego z jedną niewiadomą, ( m ) m+ 4 np: = oraz punkt za wyznaczenie tego rozwiązania m+ m+ równania, które spełnia nierówność Δ > 0 4 Jeżeli zdający nie rozwiązywał nierówności Δ > 0, ale rozwiązał równanie ( m ) m+ 4 = i sprawdził, dla której z otrzymanych wartości m trójmian ma m+ m+ pierwiastki rzeczywiste, to otrzymuje punkty Strona z 6

22 Zadanie 4 (0 ) Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD Krawędź boczna SD jest wysokością ostrosłupa, a jej długość jest dwa razy większa od długości krawędzi podstawy Oblicz sinus kąta między ścianami bocznymi ABS i CBS tego ostrosłupa IV Użycie i tworzenie strategii 9 Stereometria Zdający stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości (96) Rozwiązanie (I sposób) Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku S a a D a A Długość przekątnej podstawy ostrosłupa jest równa AC = a Trójkąty ADS i CDS są przystające (oba są prostokątne, mają wspólną przyprostokątną DS oraz AD = CD ), więc krawędzie boczne AS i CS ostrosłupa mają tę samą długość Z twierdzenia Pitagorasa ( ) SA = SC = a + a = a Trójkąt ABS jest prostokątny, więc z twierdzenia Pitagorasa C ( ) SB = a + a = a 6 Odcinek AE jest wysokością ściany bocznej ABS Jego długość możemy wyznaczyć zapisując np pole trójkąta ABS na dwa sposoby a a = a 6 AE, stąd AE = a = CE 6 Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta AEC otrzymujemy a = a + a a cosα Stąd cosα = Zatem sinα = α E B Strona z 6

23 Rozwiązanie (II sposób) Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku S a a D a A Długość przekątnej podstawy ostrosłupa jest równa AC = BD = a Trójkąty ADS i CDS są przystające (oba są prostokątne, mają wspólną przyprostokątną DS oraz AD = CD ), więc krawędzie boczne AS i CS ostrosłupa mają tę samą długość Z twierdzenia Pitagorasa ( ) SA = SC = a + a = a Trójkąt BDS jest prostokątny, więc z twierdzenia Pitagorasa ( ) ( ) SB = a + a = a 6 Odcinek AE jest wysokością ściany bocznej ABS Jego długość możemy wyznaczyć zapisując np pole trójkąta ABS na dwa sposoby a a = a 6 AE, stąd AE = a = CE 6 Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta AEC otrzymujemy a = a + a a cosα Stąd cosα = Zatem sinα = Rozwiązanie (III sposób) Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku Długość przekątnej podstawy ostrosłupa jest równa AC = BD = a Trójkąty ADS i CDS są przystające (oba są prostokątne, mają wspólną przyprostokątną DS oraz AD = CD ), więc krawędzie boczne AS i CS ostrosłupa mają tę samą długość Z twierdzenia Pitagorasa ( ) SA = SC = a + a = a Trójkąt BDS jest prostokątny, więc z twierdzenia Pitagorasa C ( ) ( ) SB = a + a = a 6 Strona z 6 α E B

24 S a O a D a A Odcinek AE jest wysokością ściany bocznej ABS Jego długość możemy wyznaczyć zapisując np pole trójkąta ABS na dwa sposoby a a = a 6 AE, stąd AE = a = CE 6 a sin α = = a 6 Zatem cosinus α α cos = sin = = Rozwiązanie (IV sposób) Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku α α 6 sinα = sin cos = = S C α E B a C O a D a A Długość przekątnej podstawy ostrosłupa jest równa AC = BD = a Trójkąty ADS i CDS są przystające (oba są prostokątne, mają wspólną przyprostokątną DS oraz AD = CD ), więc krawędzie boczne AS i CS ostrosłupa mają tę samą długość α E B Strona 4 z 6

25 Z twierdzenia Pitagorasa ( ) SA = SC = a + a = a Trójkąt BDS jest prostokątny, więc z twierdzenia Pitagorasa ( ) ( ) SB = a + a = a 6 Odcinek AE jest wysokością ściany bocznej ABS Jego długość możemy wyznaczyć zapisując np pole trójkąta ABS na dwa sposoby a a = a 6 AE, stąd AE = a = CE 6 Odcinek OE jest wysokością trójkąta AEC, więc OE = a Pole trójkąta AEC możemy zapisać na dwa sposoby AE CE sinα = AC OE, czyli a a sinα = a a 6 6 Stąd sinα = = Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania p Zdający wyznaczy długości krawędzi bocznych SA, SC i SB ostrosłupa ABCDS: SA = SC = a, SB = a 6 i na tym poprzestanie lub dalej popełnienie błędów zaznaczy poprawnie kąt między ścianami ABS i CBS Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp p Zdający wyznaczy długość odcinka AE : AE = CE = a zapisze jedną z funkcji trygonometrycznych połowy kąta α : np sin α = AO AE Pokonanie zasadniczych trudności zadania p Zdający zapisze równanie wynikającego z twierdzenia cosinusów dla trójkąta AEC: a = a + a a cosα Strona z 6 6

26 obliczy sinus połowy kąta α : obliczy wysokość OE trójkąta ACE: α sin = a OE = Rozwiązanie prawie pełne 4 p Zdający obliczy cosinus kąta AEC : cosα = zapisze równanie, z którego można obliczyć sinα : a a a sinα = a 6 6 Rozwiązanie pełne p 6 Wyznaczenie sinusa kąta AEC : sinα = Uwaga Jeżeli zdający błędnie interpretuje kąt między ścianami bocznymi ABS i BCS, to może otrzymać co najwyżej punkt za wyznaczenie długości krawędzi bocznych Strona 6 z 6

27 Zadanie (0 6) Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu W ( x) = x + ax + bx + c jest równa 0 Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej Oblicz współczynniki a, b i c Rozważ wszystkie możliwe przypadki IV Użycie i tworzenie strategii Ciągi Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego () Równania i nierówności Zdający korzysta z własności iloczynu przy rozwiązywaniu równań typu x( x+ )( x 7) = 0 (7) Rozwiązanie (I sposób) Suma współczynników wielomianu W ( x) = x + ax + bx + c jest równa + a + b + c = 0 Niech p oznacza najmniejszy pierwiastek wielomianu W Ponieważ pierwiastki wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy, więc pozostałe dwa pierwiastki są równe p + oraz p + 6 a) Wielomian możemy więc zapisać w postaci iloczynowej W ( x) = ( x p)( x p )( x p 6) Stąd W( x) = x px x px+ p + p x p 6, ( )( ) W ( x) = x px 6x px + p x + 6px + p x p 6p + px p 8p, W( x) = x + ( p 9) x + ( p + 8p+ 8) x+ ( p 9p 8p) Porównujemy współczynniki wielomianu, otrzymując układ równań: a = p 9 b = p + 8p + 8 c = p 9p 8p b) Możemy zapisać układ równań p + ap + bp+ c = 0 ( p+ ) + a( p+ ) + b( p+ ) + c = 0 ( p+ 6) + a( p+ 6) + b( p+ 6) + c = 0 Stąd po przekształceniach, otrzymujemy układ równań: a = p 9 b = p + 8p + 8 c = p 9p 8p c) Korzystając ze wzorów Viète a równań, otrzymując kolejno x+ x + x = a x x + x x + x x = b x x x = c, możemy zapisać układ Strona 7 z 6

28 p+ p+ + p+ 6= a p ( p + ) + p ( p + 6) + ( p + ) ( p + 6) = b p ( p + ) ( p + 6) = c a = p 9 b = p + 8p + 8 c = p 9p 8p Stąd i z równości + a+ b+ c= 0, otrzymujemy ( p ) ( p p ) ( p p p) = 0, p p p = 0 Liczba jest pierwiastkiem tego równania, więc z twierdzenia Bézouta wynika, że wielomian p + 6p + p 0 jest podzielny przez dwumian p Wykonujemy dzielenie, stosując np schemat Hornera Równanie możemy więc zapisać w postaci ( p )( p p ) = 0 Pozostałe rozwiązania równania p + 6p + p 0= 0 to pierwiastki trójmianu kwadratowego p + 7p+ 0, czyli liczby p =, p = Gdy p =, to wtedy a =, b = 9, c = 8 Gdy p =, to wtedy a = 6, b =, c = 0 Gdy p =, to wtedy a =, b = 6, c = 8 Odpowiedź: Współczynniki a, b, c są równe: a = b = 9 c = 8 lub a = b = 6 c = 8 lub a = 6 b = c = 0 Rozwiązanie (II sposób) Z równości + a+ b+ c= 0 otrzymujemy c= a b Wielomian W możemy zapisać w postaci W( x) = x + ax + bx a b, W( x) x ax a bx b = + +, ( )( ) ( ) ( ) = ( )( + ( + ) ) W( x) = x x + x+ + a x + b x, W( x) x x a x a b Stąd wynika, że liczba x = jest pierwiastkiem wielomianu W Dalszą część rozwiązania możemy przeprowadzić na dwa sposoby a) Pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej, więc mamy trzy takie ciągi (, 4, 7 ), (,, 4), (,,) Wielomian możemy wówczas zapisać Strona 8 z 6

29 w postaci iloczynowej, odpowiednio: W( x) = ( x )( x 4)( x 7), W( x) = ( x+ )( x )( x 4), W( x) = ( x+ )( x+ )( x ) Po doprowadzeniu do postaci uporządkowanej mamy W( x) = x x + 9x 8, W( x) = x x 6x+ 8, W( x) = x + 6x + x 0 Wyznaczamy odpowiednio współczynniki wielomianu W: ( a =, b = 9, c = 8 ) lub ( a =, b = 6, c = 8) lub ( a = 6, b =, c = 0 ) b) Niech x i x oznaczają pierwiastki trójmianu T( x) = x + ( a+ ) x+ a+ b+ Możemy założyć, że x x Pierwiastki wielomianu W tworzą ciąg arytmetyczny, więc z własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy np: ( x = 4, x = 7 ) lub ( x =, x = 4 ) lub ( x =, x = ) Korzystając ze wzorów Viète a, otrzymujemy trzy układy równań 4+ 7= ( a + ) + 4= ( a + ) lub 47 = a + b + lub = ( a + ) 4 = a + b + ( ) = a + b + ( a ) = + 8 = a+ b+ lub a = lub b = 9 Obliczamy odpowiednio c= a b: a = b = 9 lub c = 8 Rozwiązanie (III sposób) ( a ) = + 8 = a + b + a = b = 6 a = b = 6 c = 8 lub lub lub ( a ) 7= + 0 = a+ b+ a = 6 b = a = 6 b = c = 0 Suma współczynników wielomianu W ( x) = x + ax + bx + c jest równa + a + b + c = 0 Z równości + a+ b+ c= 0 wynika, że liczba jest pierwiastkiem wielomianu W Ponieważ pierwiastki wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy, to możemy zapisać,, 4, trzy ciągi arytmetyczne, których jednym z wyrazów jest liczba : (, 4, 7 ), ( ) (,,) Stąd wielomian W możemy więc zapisać w postaci: W( x) = ( x )( x 4)( x 7) lub W ( x) ( x )( x )( x 4) lub W ( x) = ( x+ )( x+ )( x ) = +, Po doprowadzeniu do postaci uporządkowanej mamy ( ) = lub W ( x) = x x 6x+ 8, lub ( ) W x x x x W x = x + 6x + x 0 Wyznaczamy współczynniki wielomianu W : ( a =, b = 9, c = 8 ) lub ( a =, b = 6, c = 8 ), lub ( a = 6, b =, c = 0 ) Strona 9 z 6

30 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania p Zdający zapisze wielomian W w postaci iloczynowej, np: W( x) ( x p)( x p )( x p 6) =, gdzie p jest pierwiastkiem wielomianu zapisze układ równań, gdzie p jest pierwiastkiem wielomianu p + ap + bp+ c = 0 ( p+ ) + a( p+ ) + b( p+ ) + c = 0 ( p+ 6) + a( p+ 6) + b( p+ 6) + c = 0 zapisze układ równań, korzystając ze wzorów Viète a p+ p+ + p+ 6= a p ( p + ) + p ( p + 6) + ( p + ) ( p + 6) = b p ( p + ) ( p + 6) = c wyznaczy c= a b i zapisze wielomian W w postaci W( x) = x + a x + b x ( ) ( ) Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp p Zdający zapisze a = p 9 układ równań: b = p + 8p + 8 c = p 9p 8p ( ) wielomian W w postaci iloczynu: ( ) ( ) W( x) = x x + a+ x+ a+ b+ zapisze, że z równości + a+ b+ c= 0 wynika, że liczba jest pierwiastkiem wielomianu W zapisze układ czterech równań z 4 niewiadomymi, np p+ p+ + p+ 6= a p ( p + ) + p ( p + 6) + ( p + ) ( p + 6) = b p ( p + ) ( p + 6) = c + a + b + c = 0 Strona 0 z 6

31 Pokonanie zasadniczych trudności 4 p Zdający wyznaczy wszystkie rozwiązania równania p p p = 0:,, zauważy, że liczba jest pierwiastkiem wielomianu W i zapisze trzy ciągi arytmetyczne o różnicy, których jednym z wyrazów jest liczba :,, 4,, (, 4, 7 ), ( ), ( ) zauważy, że liczba jest pierwiastkiem wielomianu W i zapisze jeden ciąg arytmetyczny o różnicy, w którym jednym z wyrazów jest liczba : np(,4,7 ) lub (,, 4), lub(,,) i dla tego ciągu obliczy współczynniki a, b, c wielomianu, to otrzymuje 4 punkty Uwagi: Jeżeli zdający wyznaczy jeden z pierwiastków wielomianu W i wykorzystuje informację, że pierwiastki wielomianu są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to otrzymuje punkty Jeżeli zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np p + 6p + p 0= 0, to otrzymuje punkty Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają lub poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) p Zdający rozwiąże zadanie do końca, popełniając błędy rachunkowe zapisze, że z równości + a+ b+ c= 0 wynika, że liczba jest pierwiastkiem wielomianu W, zapisze trzy ciągi arytmetyczne o różnicy, których jednym,, 4,, oraz zapisze, że z wyrazów jest liczba : (, 4, 7 ), ( ), ( ) W( x) = ( x )( x 4)( x 7) lub W ( x) ( x )( x )( x 4) lub W ( x) = ( x+ )( x+ )( x ) = +, wyznaczy współczynniki a, b, c wielomianu tylko dla dwóch ciągów Rozwiązanie pełne 6 p Zdający wyznaczy współczynniki wielomianu W: ( a =, b = 9, c = 8 ) lub ( a =, b = 6, c = 8), lub ( a = 6, b =, c = 0 ) Strona z 6

32 Zadanie 6 (0 7) Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 0 Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa Oblicz objętość tego stożka III Modelowanie matematyczne Rachunek różniczkowy Zdający stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych (R6) Rozwiązanie (I sposób) Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku h l Objętość stożka wyraża się wzorem V = π r h Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym, którego obwód jest równy 0, więc r+ l = 0, r+ l = 0, l = 0 r Stąd i z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy r + h = l, r = l h, ( 0 ) r = r h, h = 00 0r Zatem h= 00 0r Z geometrycznych warunków zadania otrzymujemy 0< r < Zapisujemy objętość stożka w zależności od zmiennej r V( r) = π r 00 0r, 4 Wzór tej funkcji zapiszemy w postaci V( r) = π 00r 0r dla 0< r < 4 Rozważmy funkcję pomocniczą określoną wzorem f ( r) = 00r 0r dla 0< r < r Strona z 6

33 Z faktu, że funkcja g() t = t jest rosnąca w 0, + ) wynika, że funkcje V oraz f są rosnące (malejące) w tych samych przedziałach oraz mają ekstrema lokalne (tego samego rodzaju) dla tych samych argumentów Wyznaczamy wartość największą funkcji f w przedziale ( 0, ) Obliczamy pochodną funkcji f: 4 f ( r) = 400r 00r 0, pochodna ma jedno miejsce zerowe r = 4 Ponadto W przedziale ( ) f () r > 0dla ( 0, 4) f () r < 0dla ( 4,) r, r Wynika stąd, że dla x = 4 funkcja f ma maksimum lokalne, które jest jednocześnie największą wartością funkcji V, bo w przedziale (0, 4 funkcja f jest rosnąca, a przedziale 4, 0 ) funkcja f jest malejąca Gdy r = 4, to h = = 0 =, natomiast objętość stożka jest wówczas równa: V π 4 = = ( ) π Odp: Największą objętość równą π Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów ma stożek o promieniu podstawy 4 i wysokości Pierwszy etap składa się z trzech części: oznaczenia promienia podstawy stożka, np r i wyznaczenia wysokości stożka w zależności od zmiennej r: h= 00 0r zapisania objętości V stożka jako funkcji jednej zmiennej V( r) = π r 00 0r, zapisania dziedziny funkcji V( r) = π r 00 0r : 0< r < Za drugą część tego etapu zdający może otrzymać punkt, o ile pierwszą cześć wykona bezbłędnie Punkt za cześć trzecią otrzymuje niezależnie od realizacji dwóch pierwszy części tego etapu Drugi etap składa się z trzech części: =, 4 4 wyznaczenia wzoru pochodnej funkcji f ( r) = 00r 0r : f ( r) 400r 00r obliczenia miejsc zerowych pochodnej: r = 0, r = 4, zbadania znaku pochodnej funkcji f : f () r 0 r 0, 4, f () r < 0dla > dla ( ) r ( 4,) i zapisania, że dla r = 4 funkcja V osiąga największą wartość Uwagi: Znak pochodnej zdający może zaznaczyć w inny sposób, np na rysunku szkicując krzywą zbliżoną do wykresu pochodnej Strona z 6

34 Jeśli zdający nie wyznaczy dziedziny funkcji V lub określi funkcję f na zbiorze szerszym od dziedziny funkcji V, to punkt za tę cześć może otrzymać jedynie wtedy, gdy wskazuje jako największą wartość funkcji tylko to maksimum, które funkcja f osiąga dla argumentu z dziedziny funkcji V Za poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje punkt, o ile poprzednia część etapu została zrealizowana bezbłędnie Trzeci etap Zapisanie, że promień stożka o największej objętości jest równy r = 4, wysokość π h = 0 = i obliczenie największej objętości stożka V ( 4) = Za realizację tego etapu zdający otrzymuje punkt Rozwiązanie (II sposób) Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku h l Objętość stożka wyraża się wzorem V = π r h Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym, którego obwód jest równy 0, więc r+ l = 0, r+ l = 0, l = 0 r Stąd i z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy r + h = l, r = l h, 00 h = = h ( 0 ) r = r h, h = 00 0r Zatem r 0 0 Z geometrycznych warunków zadania otrzymujemy 0< h < 0 Zapisujemy objętość stożka w zależności od zmiennej h V( h) = π h h, 0 4 V( h) = π h + h h= π h h + h dla < h < r Strona 4 z 6

35 Zauważamy, że wystarczy zbadać funkcję f ( h) h h h 400 ( 0,0 ) Funkcje V oraz f są rosnące (malejące) w tych samych przedziałach oraz mają ekstrema lokalne (tego samego rodzaju) dla tych samych argumentów Wyznaczamy pochodną funkcji f: 4 f ( h) = h + h 80 Następnie obliczamy miejsca zerowe pochodnej: 4 h + h = 0 i t = h 80 t t+ = 0 80 ( ) t Δ= 4 = = t = = 0, = = 00 h = 0 lub h = 00, = + określoną w przedziale h=, h=, h= 0, h= 0 Jedynym miejscem zerowym pochodnej funkcji f, które należy do przedziału ( 0,0) jest h = Ponadto: f h f ( ) > 0 gdy h ( 0, ), ( h) < 0 gdy (,0) h Stąd wynika, że dla h = funkcja f osiąga maksimum lokalne i jest to jednocześnie wartość największa, bo w przedziale (0, funkcja f jest rosnąca, a przedziale,0 ) funkcja f jest malejąca Gdy h =, to r = ( ) = 4 i objętość stożka jest wówczas równa: 0 π V ( ) = π 4 = Odp: Największą objętość równą π ma stożek, którego promień jest równy 4, a wysokość Strona z 6

36 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów Pierwszy etap składa się z trzech części: oznaczenia wysokości stożka, np h i wyznaczenia promienia podstawy stożka 00 h w zależności od zmiennej h: r = = h, 0 0 zapisania objętości V stożka jako funkcji jednej zmiennej 4 V( h) = π h + h h= π h h + h , π zapisania dziedziny funkcji ( ) V h = h h + h 400 : 0< h < 0 Za drugą część tego etapu zdający może otrzymać punkt, o ile pierwszą część wykona bezbłędnie Punkt za część trzecią otrzymuje niezależnie od realizacji dwóch pierwszy części tego etapu Drugi etap składa się z trzech części: wyznaczenia wzoru pochodnej funkcji ( ) f h h h h 400 = + : 4 f ( h) = h + h, 80 obliczenia miejsc zerowych pochodnej: h =, h =, h = 0, h = 0, zbadania znaku pochodnej funkcji f : f ( h) 0 h 0,, f ( h) < 0 dla > dla ( ) h (,0) i zapisania, że dla h = funkcja V osiąga największą wartość Uwagi: Znak pochodnej zdający może zaznaczyć w inny sposób, np na rysunku szkicując krzywą zbliżoną do wykresu pochodnej Jeśli zdający nie wyznaczy dziedziny funkcji V lub określi funkcję f na zbiorze szerszym od dziedziny funkcji V, to punkt za tę cześć może otrzymać jedynie wtedy, gdy wskazuje jako największą wartość funkcji tylko to maksimum, które funkcja f osiąga dla argumentu z dziedziny funkcji V, przy czym konieczne jest uzasadnienie, że jest to największa wartość funkcji V lub że funkcja V nie przyjmuje wartości dla liczb większych od 0 Za poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje punkt, o ile poprzednia część etapu została zrealizowana bezbłędnie Trzeci etap Zapisanie, że promień stożka o największej objętości jest równy r = 4, wysokość π h = 0 = i obliczenie największej objętości stożka V ( 4) = Za realizację tego etapu zdający otrzymuje punkt Strona 6 z 6

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 8

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 8

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R CZERWIEC 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 05 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi SIERPIEŃ 0 Zadanie. (0 ) Zakres umiejętności (standardy) Opis wymagań Wykonuje obliczenia procentowe;

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 3 4 6 7 8 9 0 3 4 6 7 8 9 0 D C D A A B D C C D B C A B B D B C A A Zadanie. (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 0/05 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 5 6 7 8 9

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy Matematyka dla klasy poziom podstawowy LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA 06 Kartoteka testu Nr zad Wymaganie ogólne. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.. II. Wykorzystanie i interpretowanie

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy LUELSK PRÓ PRZE MTURĄ 07 poziom podstawowy Schemat oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania (podajemy kartotekę zadań, gdyż łatwiej będzie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0-) Obszar standardów Modelowanie matematyczne

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 00 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od. do 5. podane były

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Matematyka rozszerzona matura 2017

Matematyka rozszerzona matura 2017 Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 9 MAJA 2016 POZIOM ROZSZERZONY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 9 MAJA 2016 POZIOM ROZSZERZONY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2011 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2011 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony Zadanie (0 4) Obszar standardów Użycie i tworzenie

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D B B C D C C D D A B D B B A C B C A Zadanie. (0-) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 00 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE

ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE Zad.1. (1p) Liczba 3 30 9 90 jest równa: A. 3 210 B. 3 300 C. 9 120 D. 27 2700 Zad.2. (1p) Liczba 3 8 3 3 9 2 jest równa: A. 3

Bardziej szczegółowo

Przedstawiamy Państwu propozycję sprawdzianu diagnostycznego na koniec klasy I szkoły ponadgimnazjalnej opracowanego na wzór arkusza maturalnego na

Przedstawiamy Państwu propozycję sprawdzianu diagnostycznego na koniec klasy I szkoły ponadgimnazjalnej opracowanego na wzór arkusza maturalnego na Przedstawiamy Państwu propozycję sprawdzianu diagnostycznego na koniec klasy I szkoły ponadgimnazjalnej opracowanego na wzór arkusza maturalnego na poziomie podstawowym. Narzędzie to było dostępne do pobrania

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 04 ( STR MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0

Bardziej szczegółowo

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2017 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 9 maja 2017

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1a, 1d, 1e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Liczby rzeczywiste

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1a, 1d, 1e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Liczby rzeczywiste Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1a, 1d, 1e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016 1.Liczby rzeczywiste 1. Podawanie przykładów liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania

Przykładowe rozwiązania Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt

Bardziej szczegółowo

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki)

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki) CZERWIEC 00 Prawidłowe odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr Zadania 3 4 8 9 0 3 4 8 9 0 3 4 Odpowiedź C D C D C D C C C C C D Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność x Schemat oceniania zadań otwartych x30 0.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie (0 ) Obszar standardów i tworzenie informacji

Bardziej szczegółowo

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH NR ZADANIA POPRAWNA ODPOWIEDŹ D C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 0 C B A 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 A 9 B 0 D Zadanie ( pkt) Okręgowa

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 06 Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność + 5 + 6

Bardziej szczegółowo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM PODSTAWOWY Katalog poziom podstawowy

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Standardy można pobrać (plik pdf) wybierając ten link: STANDARDY 2010 lub

Bardziej szczegółowo

Zdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki

Zdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki Standardy wymagań na egzaminie maturalnym z matematyki mają dwie części. Pierwsza część opisuje pięć podstawowych obszarów umiejętności matematycznych. Druga część podaje listę szczegółowych umiejętności.

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Spis treści

Spis treści. Spis treści Spis treści 3 Spis treści I. Liczby rzeczywiste 1. Liczby naturalne, całkowite, wymierne... 5 2. Potęga o wykładniku naturalnym, całkowitym, wymiernym... 9 3. Pierwiastki, liczby niewymierne... 13 4. Wyrażenia

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA LICEUM. 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń:

MATEMATYKA LICEUM. 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: MATEMATYKA LICEUM Stopień niedostateczny otrzymuje uczeń, który nie opanował wiadomości i umiejętności określonych w podstawie programowej i braki uniemożliwiają dalsze zdobywanie wiedzy z tego przedmiotu,

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Obszar standardów Modelowanie matematyczne

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 05 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 5 maja

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 010 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 010 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od 1. do 5. podane

Bardziej szczegółowo

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych Odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 Odpowiedź A C C B C A B C A D B C D B D C A B A A A C B A A Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6. ( pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h) Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony (według podręczników z serii MATeMAtyka) Klasa I (90 h) Temat Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁ O 04 ( STR MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 06 Ogólne zasady oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Kartoteka

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Zasady oceniania zadań

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Zasady oceniania zadań PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Numer

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013 Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) =. x x I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2011 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2011 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY entralna Komisja Egzaminacyjna rkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny KE 00 KO WPISUJE ZJĄY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D D B C B B A A A D C D C D B A C A C Zadanie. (pkt) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 06 Ogólne zasady oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja Zadanie ( pkt) Wyznacz wszystkie rozwiązania równania, π sin 7cos = należące do przedziału Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja cos 7 cos = trygonometryczna

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRZED MATURĄ MAJ 2017 POZIOM PODSTAWOWY Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron (zadania 1 33). 2. Rozwiązania zadań wpisuj

Bardziej szczegółowo

Zakres materiału obowiązujący do próbnej matury z matematyki

Zakres materiału obowiązujący do próbnej matury z matematyki ZAKRES PODSTAWOWY Zakres materiału obowiązujący do próbnej matury z matematyki 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁA OD 015 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R1 MAJ 017 Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2015/2016 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody.

Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2015/2016 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody. Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 05/06 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody Przedmiot: MATEMATYKA Klasa I (60 godz) Rozdział. Liczby rzeczywiste Numer

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 01 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi ZERWIE 01 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 1. (0 1) Obszar standardów i interpretowanie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA ARKUSZE MMA-P SIERPIEŃ 05 Matura z matematyki poziom podstawowy 05

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Rozwiąż nierówność x x x Obszar standardów

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2015/2016 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2015/2016 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z NOWĄ ERĄ 05/06 MTEMTYK POZIOM POSTWOWY Zasady oceniania rozwiązań zadań opyright by Nowa Era Sp. z o.o. Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE zakres podstawowy dla poszczególnych klas

WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE zakres podstawowy dla poszczególnych klas WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE zakres podstawowy dla poszczególnych klas - klasy pierwsze kolor zielony + gimnazjum - klasy drugie kolor zielony + kolor czerwony + gimnazjum, - klasy maturalne cały materiał 1.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2014 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2014 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2013 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 010 Instrukcja dla zdającego Czas pracy 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2014 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2014 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 0 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń używa języka matematycznego

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 2 CZERWCA 2015. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 2 CZERWCA 2015. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego 1. Liczby rzeczywiste P1.1. Przedstawianie liczb rzeczywistych w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego,

Bardziej szczegółowo

3 D. Wymagania ogólne II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych.

3 D. Wymagania ogólne II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. Przykładowe zadania z rozwiązaniami: poziom podstawowy. Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym wraz z rozwiązaniami Zadanie. (0 ) Liczba 8 9 jest równa A. B. 9 C. D. 5. Zdający oblicza

Bardziej szczegółowo

D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A. Schemat oceniania zadań otwartych

D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A. Schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych TECHNIKUM Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A Zadanie (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU

III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU Egzamin maturalny z matematyki jest egzaminem pisemnym sprawdzającym wiadomości i umiejętności określone w Standardach wymagań egzaminacyjnych i polega na rozwiązaniu zadań

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite. Liczby wymierne Liczby niewymierne Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej Pierwiastek

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne

IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystywanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje

Bardziej szczegółowo

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 2 6 + 3 1. Oblicz 3. 3 x 1 3x 2. Rozwiąż nierówność > x. 2 3 3. Funkcja f przyporządkowuje każdej

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA IV etap edukacyjny. I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.

MATEMATYKA IV etap edukacyjny. I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Cele kształcenia wymagania ogólne MATEMATYKA IV etap edukacyjny I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje otrzymany wynik. Uczeń

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 2

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 015 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 5 sierpnia

Bardziej szczegółowo

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.)

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.) IV etap edukacyjny Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.01 r.) Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń

Bardziej szczegółowo

Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę

Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę 1. Omówienie programu. Zaznajomienie uczniów ze źródłami finansowania

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zad Odp. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D C A B B A B A C D A Nr zad Odp. 13 14 15

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

Matura 2014 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy

Matura 2014 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Wypełnia uczeń Numer PESEL Kod ucznia Matura 0 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera stron. Ewentualny brak stron lub

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Schemat oceniania. Poziom Podstawowy

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Schemat oceniania. Poziom Podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Poziom Podstawowy sierpień 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 5 6 7 8 9 0 3 5 6 7 8 9 0 3 Odpowiedź A C A A D B A A C A B D D C D C C C C B

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowe Ocenianie Z Matematyki - Technikum. obowiązuje w roku szkolnym 2016 / 2017

Przedmiotowe Ocenianie Z Matematyki - Technikum. obowiązuje w roku szkolnym 2016 / 2017 Przedmiotowe Ocenianie Z Matematyki - Technikum obowiązuje w roku szkolnym 2016 / 2017 1. Rok szkolny dzieli się na dwa semestry. Każdy semestr kończy się klasyfikacją. 2. Na początku roku szkolnego informuję

Bardziej szczegółowo

IV etap edukacyjny. Cele kształcenia wymagania ogólne

IV etap edukacyjny. Cele kształcenia wymagania ogólne IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne I. Wykorzystywanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje otrzymany wynik. Uczeń używa prostych,

Bardziej szczegółowo

Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji)

Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji) Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji) Od roku 2010 matematyka będzie obowiązkowo zdawana przez wszystkich maturzystów. W ślad za tą decyzją podjęto prace nad

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka zakres rozszerzony

MATeMAtyka zakres rozszerzony MATeMAtyka zakres rozszerzony Proponowany rozkład materiału kl. I (160 h) (Na czerwono zaznaczono treści z zakresu rozszerzonego) Temat lekcji Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 9

Bardziej szczegółowo