EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2014 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

Transkrypt

1 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 0 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ 04. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 9 stron (zadania ). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego egzamin.. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj w miejscu na to przeznaczonym.. Pamiętaj, że pominięcie argumentacji lub istotnych obliczeń w rozwiązaniu zadania otwartego może spowodować, że za to rozwiązanie nie otrzymasz pełnej liczby punktów. 4. Pisz czytelnie i używaj tylko długopisu lub pióra z czarnym tuszem lub atramentem. 5. Nie używaj korektora, a błędne zapisy wyraźnie przekreśl. 6. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie będą oceniane. 7. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora. 8. Na karcie odpowiedzi wpisz swój numer PESEL i przyklej naklejkę z kodem. 9. Nie wpisuj żadnych znaków w części przeznaczonej dla egzaminatora. Czas pracy: 80 minut Liczba punktów do uzyskania: 50 MMA-R_P-4

2 Poziom rozszerzony Zadanie. (4 pkt) x x Dana jest funkcja f określona wzorem f( x) dla każdej liczby rzeczywistej x x 0. Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.

3 Poziom rozszerzony Odpowiedź:.... Wypełnia egzaminator Nr zadania. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana liczba pkt

4 4 Poziom rozszerzony Zadanie. (6 pkt) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja kwadratowa f ( x) x (m ) x m 5 ma dwa różne pierwiastki x, x takie, że suma kwadratów odległości punktów A x,0 i B x,0 od prostej o równaniu x y 0 jest równa 6.

5 Poziom rozszerzony 5 Odpowiedź:.... Wypełnia egzaminator Nr zadania. Maks. liczba pkt 6 Uzyskana liczba pkt

6 6 Poziom rozszerzony Zadanie. (4 pkt) Rozwiąż równanie cos x sin x w przedziale 0,. Odpowiedź:....

7 Poziom rozszerzony 7 Zadanie 4. ( pkt) Udowodnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych dodatnich x y nierówność x y y x. x, y prawdziwa jest Wypełnia egzaminator Nr zadania. 4. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana liczba pkt

8 8 Poziom rozszerzony Zadanie 5. (5 pkt) Dane są trzy okręgi o środkach A, B, C i promieniach równych odpowiednio r, r, r. Każde dwa z tych okręgów są zewnętrznie styczne: pierwszy z drugim w punkcie K, drugi z trzecim w punkcie L i trzeci z pierwszym w punkcie M. Oblicz stosunek pola trójkąta KLM do pola trójkąta ABC.

9 Poziom rozszerzony 9 Odpowiedź:.... Wypełnia egzaminator Nr zadania 5. Maks. liczba pkt 5 Uzyskana liczba pkt

10 0 Poziom rozszerzony Zadanie 6. ( pkt) Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg o środku S. Kąty wewnętrzne CAB, ABC i BCA tego trójkąta są równe, odpowiednio,, i 4. Wykaż, że trójkąt ABC jest rozwartokątny, i udowodnij, że miary wypukłych kątów środkowych ASB, ASC i BSC tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny.

11 Poziom rozszerzony Odpowiedź:.... Wypełnia egzaminator Nr zadania 6. Maks. liczba pkt Uzyskana liczba pkt

12 Poziom rozszerzony Zadanie 7. (6 pkt) Ciąg geometryczny a n ma 00 wyrazów i są one liczbami dodatnimi. Suma wszystkich wyrazów o numerach nieparzystych jest sto razy większa od sumy wszystkich wyrazów o numerach parzystych oraz log alog a log a log a Oblicz a. Odpowiedź:....

13 Poziom rozszerzony Zadanie 8. (4 pkt) Punkty A, B, C, D, E, F są kolejnymi wierzchołkami sześciokąta foremnego, przy czym A 0,, B, 0, a C leży na osi Ox. Wyznacz równanie stycznej do okręgu opisanego na tym sześciokącie przechodzącej przez wierzchołek E. Odpowiedź:.... Wypełnia egzaminator Nr zadania Maks. liczba pkt 6 4 Uzyskana liczba pkt

14 4 Poziom rozszerzony Zadanie 9. (6 pkt) Oblicz objętość ostrosłupa trójkątnego ABCS, którego siatkę przedstawiono na rysunku. 65 C A 48 B 65

15 Poziom rozszerzony 5 Odpowiedź:.... Wypełnia egzaminator Nr zadania 9. Maks. liczba pkt 6 Uzyskana liczba pkt

16 6 Poziom rozszerzony Zadanie 0. (5 pkt) Wyznacz wszystkie całkowite wartości parametru m, dla których równanie x x x x mxm m 0 ma trzy, parami różne, pierwiastki rzeczywiste, takie że jeden z nich jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych.

17 Poziom rozszerzony 7 Odpowiedź:.... Wypełnia egzaminator Nr zadania 0. Maks. liczba pkt 5 Uzyskana liczba pkt

18 8 Poziom rozszerzony Zadanie. (4 pkt) Z urny zawierającej 0 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od do 0 losujemy jednocześnie trzy kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że numer jednej z wylosowanych kul jest równy sumie numerów dwóch pozostałych kul. Odpowiedź:.... Wypełnia egzaminator Nr zadania. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana liczba pkt

19 Poziom rozszerzony 9 BRUDNOPIS

20 ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMAT PUNKTOWANIA Zadanie. (0 4) Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony x x Dana jest funkcja f określona wzorem f( x) dla każdej liczby rzeczywistej x x 0. Wyznacz zbiór wartości tej funkcji. Obszar standardów Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Opis wymagań Wykorzystanie pojęcia wartości bezwzględnej i jej interpretacji geometrycznej. Sporządzanie wykresu, odczytywanie własności i rozwiązywanie zadań umieszczonych w kontekście praktycznym związanych z proporcjonalnością odwrotną. (II..f, 4.m) Rozwiązanie Wzór funkcji f możemy zapisać w każdym ze zbiorów:,,, \ 0 symbolu wartości bezwzględnej. Wówczas czyli Wykres ma więc postać x x,, bez dla x, x xx f( x) dla x, 00,, x xx dla x, x dla x, 6 f( x) dla x,00,. x dla x, y x Zbiorem wartości funkcji f jest,,. -6

21 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Zdający: zapisze przedziały:,,,,, i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy, np. przy korzystaniu z definicji wartości bezwzględnej zaznaczy na osi liczbowej przedziały:,,,,, i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy, np. przy korzystaniu z definicji wartości bezwzględnej. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt x x Zdający zapisze licznik ułamka w przedziałach,,,,, x bez użycia symbolu wartości bezwzględnej, np.: x x xx dla x,, x x x x dla,0 0, x, x x xx dla x,. Nie wymagamy, żeby zdający rozpatrując funkcję f w przedziale x 0., zapisał warunek Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający zapisze wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach popełniając błąd rachunkowy i konsekwentnie do popełnionego błędu poda jej zbiór wartości poprawnie narysuje wykres funkcji f i błędnie odczyta zbiór wartości (np. R ). Rozwiązanie pełne... 4 pkt Zdający poda zbiór wartości funkcji f:,,. Jeżeli zdający narysuje poprawnie wykres funkcji i nie poda zbioru jej wartości, to otrzymuje punkty.

22 4 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony Zadanie. (0 6) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja kwadratowa f ( x) x (m ) x m 5 ma dwa różne pierwiastki x, x takie, że suma kwadratów B x,0 od prostej o równaniu x y 0 jest równa 6. odległości punktów A x,0 i Obszar standardów Użycie i tworzenie strategii Opis wymagań Rozwiązywanie zadań (również umieszczonych w kontekście praktycznym), prowadzących do badania funkcji kwadratowej. Obliczanie odległości punktu od prostej. (IV.4.l, 8.c) I sposób rozwiązania Funkcja kwadratowa f ma dwa różne pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek 0. Zatem Odległość punktu A x,0 m m 4 5 0, 4m 6 0, 4 m m 0,, m,. od prostej o równaniu x y 0 jest równa x 0 x d. od tej prostej jest równa d x. Suma kwadratów tych odległości jest równa 6, więc otrzymujemy równość x x 6. Przekształcając równoważnie tę równość otrzymujemy x x 6, x xx x, x x x x 0 0, Analogicznie odległość punktu B x,0 x x x x x x 0 0. Wykorzystując wzory Viete a otrzymujemy równanie z niewiadomą m m m m 5 0 0, 4m 8m 4 4m 0 4m 4 0 0, 4m 8m 0, m m 0, m m 0.

23 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony 5 Stąd m lub m. Tylko dla m istnieją pierwiastki x, x. II sposób rozwiązania Funkcja kwadratowa f ma dwa różne pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek 0. Zatem m 4m50, 4m 6 0, 4m m 0, m,,. Odległość punktu A x,0 od prostej o równaniu x y 0 jest równa x 0 x d. Analogicznie odległość punktu B x,0 od tej prostej jest równa d x. Suma kwadratów tych odległości jest równa 6, więc otrzymujemy równość x x 6, czyli x x 6. Pierwiastki x, x są równe: m 4m 6 m 4m 6 x m m 4 oraz x m m 4. Otrzymujemy więc równanie z niewiadomą m m m 4 m m 4 6, m m m m 4 4, m m 8, m m m m m m m m , m 4m4 m 0 0, m m 0, m m 0. Stąd m lub m. Tylko dla m istnieją pierwiastki x, x. Schemat oceniania I i II sposobu oceniania Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów. Pierwszy z nich polega na rozwiązaniu nierówności 0 :,, m.

24 6 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje punkt. Jeżeli zdający zapisze 0, to za tę część otrzymuje 0 punktów. Drugi etap polega na rozwiązaniu równania d d 6. Za tę część rozwiązania zdający otrzymuje 4 punkty. Podział punktów za drugi etap rozwiązania: punkt zdający otrzymuje za zapisanie odległości punktu A lub B od prostej o równaniu x y 0 w zależności od pierwszej współrzędnej punktu: x d, d x. punkty zdający otrzymuje za zapisanie x x x x x x wyrażenia d d równości d d, w postaci równoważnej, np.: w postaci: 6 x x x x x x 0 0 równania z niewiadomą m w postaci: m m 4 m m 4 6. punkty zdający otrzymuje za zapisanie równania stopnia drugiego z jedną niewiadomą m, np.: m m m m m lub 4 punkty zdający otrzymuje za rozwiązanie tego równania: m lub m. Trzeci etap polega na wyznaczeniu części wspólnej rozwiązań nierówności z etapu pierwszego i drugiego: m. Rozwiązanie pełne (trzeci etap)... 6 pkt Wyznaczenie części wspólnej zbiorów rozwiązań nierówności i równania oraz podanie odpowiedzi: m. Za ostatni etap punkt może zostać przyznany tylko wówczas, gdy zdający poprawnie wykona etapy I i II rozwiązania poprawnie wykona etap I i popełnia błędy w rozwiązaniu równania z etapu II, gdy popełnia błędy w etapie I i dobrze rozwiąże równanie z etapu II.

25 Zadanie. (0 ) Rozwiąż równanie Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony cos x sin x w przedziale 0,. 7 Obszar standardów Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Opis wymagań Rozwiązywanie równań i nierówności trygonometrycznych. (II.6.e.R) I sposób rozwiązania Równanie zapisujemy w postaci równoważnej cosx sinx. Dzieląc obie strony równania przez otrzymujemy cos x sin x. Ponieważ sin oraz cos, więc równanie możemy zapisać w postaci sin cos x cos sin x. Ze wzoru na sinus różnicy dostajemy sin x. Stąd x k lub x k, gdzie k jest liczbą całkowitą, 6 6 czyli x k 6 lub x k. W przedziale 0, są tylko dwa rozwiązania tego równania: x, x. 6 Równanie cos x sin x możemy również zapisać w postaci równoważnej cos cos xsin sin x, 6 6 a następnie zastosować wzór na cosinus sumy. Wtedy otrzymujemy cosx. 6

26 8 Stąd więc Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony x k lub x k, gdzie k jest liczbą całkowitą, 6 6 x k lub x k, gdzie k jest liczbą całkowitą. 6 Do równania elementarnego, np. sin x możemy również dojść nieco inaczej. sin Zauważmy, że tg, czyli. Zatem równanie cosx sinx możemy cos zapisać w postaci równoważnej sin cos x sin x cos, sin x. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Zdający zapisze równanie w postaci równoważnej, np.: sin cos x cos sin x lub sin cos cos xsin sin x lub cos x sin x 6 6 cos. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający zapisze równanie w postaci równoważnej: sin x lub cosx. 6 Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający rozwiąże równanie w zbiorze R: x k 6 lub x k, gdzie k jest liczbą całkowitą. Rozwiązanie pełne... 4 pkt Zdający poda wszystkie rozwiązania równania z przedziału 0, : x, x. 6 Jeżeli zdający zapisze tylko jedną serię rozwiązań równania elementarnego i konsekwentnie poda tylko jedno rozwiązanie z przedziału 0,, to otrzymuje punkty. II sposób rozwiązania

27 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony Ponieważ prawa strona równania cos x sin x jest nieujemna, więc równanie ma rozwiązania tylko wtedy, gdy cos x 0. Wówczas podnosząc obie strony równania do kwadratu otrzymujemy równanie równoważne cos x sin x sin x. Stąd i z jedynki trygonometrycznej otrzymujemy sin x sin x sin, x 4sin x sin x 0, sin x sin x 0. Podstawiając t sin x otrzymujemy równanie kwadratowe t t 0, tt 0. Stąd t lub t. Zatem sin x lub sin x. Rozwiązaniem pierwszego z tych równań jest każda liczba x k, gdzie k jest liczbą 5 całkowitą. Rozwiązaniem drugiego jest każda liczba x k lub x k, gdzie 6 6 k jest liczbą całkowitą. 5 5 Ponieważ dla każdego k jest liczbą całkowitą mamy cos k cos 0, więc żadna z liczb x k nie jest rozwiązaniem naszego równania. Spośród pozostałych 6 rozwiązań, w przedziale 0, znajdują się tylko dwie takie liczby: x, x. 6 Zamiast przekształcać równanie cos x sin x w sposób równoważny do układu równania cos x sin x sin x i nierówności cos x 0 możemy wyznaczyć wszystkie liczby z przedziału 0,, spełniające równanie cos x sin x sin x, 5 a więc liczby x, x, x, a następnie sprawdzić, które z nich spełniają 6 6 równanie cos x sin x. Wówczas dla x lewa strona równania jest równa 6 cos, a prawa sin, więc liczba x jest rozwiązaniem równania cos x sin x. Dla x lewa strona równania jest równa cos 6, a prawa sin, więc liczba x nie jest 6 6 9

28 0 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony rozwiązaniem równania cos x sin x. Dla x lewa strona równania cos 0 0, a prawa sin 0, więc liczba x jest rozwiązaniem równania. W przedziale 0, znajdują się dwa rozwiązania: x, x. 6 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Zdający zapisze założenie cos x 0, a następnie zapisze równanie w postaci równoważnej, np.: sin xsin x 0. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający zapisze alternatywę równań: sin x lub sin x. Wystarczy, że zdający zapisze t lub t, jeśli wykonał podstawienie. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający rozwiąże równania sin x, sin x w zbiorze R: 5 x k, x k, x k, gdzie k jest liczbą całkowitą. 6 6 Rozwiązanie pełne... 4 pkt Zdający poda wszystkie rozwiązania równania z przedziału 0, : x, x. 6 Jeżeli zdający zapisze tylko jedną serię rozwiązań spośród x k, x k, 6 i konsekwentnie poda tylko jedno rozwiązanie z przedziału 0,, to otrzymuje punkty. III sposób rozwiązania Dopisując do równania cosx sinx jedynkę trygonometryczną otrzymujemy układ równań cosx sinx sin xcos x z niewiadomymi sin x i cos x.

29 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony Rozwiązując ten układ dostajemy kolejno: sin x cos x cos x cos x sin x cos x 4cos x cosx 0 sin x cos x 4cosx cosx 0 sin x cos x cos x0 lub cos x sin x sin x lub cos x 0 cos x Rozwiązując otrzymane równania elementarne mamy 5 x k x k lub x k 6 6 lub, gdzie k jest liczbą całkowitą. x k x k lub x k 6 6 Stąd x k lub x k, gdzie k jest liczbą całkowitą. 6 W przedziale 0, znajdują się dwa rozwiązania: x, x. 6 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Zdający zapisze układ równań, w którym jedno z równań zawiera tylko jedną niewiadomą cos x lub sin x, np.: sin x cos x cos x cos x Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający zapisze alternatywę elementarnych równań trygonometrycznych wynikających z otrzymanego układu, np.: cos x 0 lub cos x. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt

30 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony Zdający rozwiąże otrzymane równania w zbiorze R: x k lub x k lub x k lub 6 6 całkowitą. 5 x k, gdzie k jest liczbą 6 Rozwiązanie pełne... 4 pkt Zdający poda wszystkie rozwiązania równania z przedziału 0, : x, x. 6 Jeżeli zdający zapisze tylko jedną serię rozwiązań równania elementarnego i konsekwentnie poda tylko jedno rozwiązanie z przedziału 0,, to otrzymuje punkty. IV sposób rozwiązania Narysujmy w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji cos gxsin x określonych w przedziale 0,. y f x x oraz y=g(x) 0 x - y= f (x) - W przedziale 0, funkcja f jest malejąca, a jej wartości maleją od do 0, natomiast funkcja g jest w tym przedziale rosnąca, a jej wartości rosną od do. Zatem równanie f x gx ma w tym przedziale jedno rozwiązanie. Rozwiązaniem tym jest x, gdyż 6 f cos oraz g sin. Drugim rozwiązaniem równania f x gx w przedziale 0, jest x. Jest to wspólne miejsce zerowe funkcji f i g. Zatem w przedziale 0, znajdują się dwa rozwiązania równania: x, x. 6 Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Zdający rozważy dwie funkcje: f x cosx oraz g x sin x i narysuje wykres jednej z nich.

31 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony Zdający może rozważać funkcje określone na dowolnym zbiorze zawierającym przedział 0,. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający rozważy dwie funkcje: f x cosx oraz g x sin x i narysuje w jednym układzie współrzędnych wykresu obu tych funkcji. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający poda rozwiązania równania z przedziału 0, : x, x, ale nie sprawdzi, 6 że f g. 6 6 Rozwiązanie pełne... 4 pkt Zdający poda wszystkie rozwiązania równania z przedziału 0, : x, x 6 i uzasadni, że są to wszystkie rozwiązania równania w tym przedziale, np. wykona sprawdzenie f g. 6 6 Jeżeli zdający poda tylko jedno poprawne rozwiązanie równania z przedziału 0, : x 6 x i wykona odpowiednie sprawdzenie, to otrzymuje punkty. Zadanie 4. (0 ) Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich x y x y y x. x, y prawdziwa jest nierówność Obszar standardów Rozumowanie i argumentacja Opis wymagań Przeprowadzenie dowodu twierdzenia związanego z działaniami na wyrażeniach wymiernych: dodawaniem, odejmowaniem, mnożeniem i dzieleniem wyrażeń wymiernych, skracaniem, rozszerzaniem wyrażeń wymiernych. (V..f) Rozwiązanie I sposób Przekształcając nierówność x y x y y x w sposób równoważny otrzymujemy x x y y xy, x x y y xy, x xy y x y 0, x y x y 0.

32 4 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony Ostatnia nierówność jest prawdziwa, gdyż x y 0 natomiast x 0 i y dla dowolnych liczb rzeczywistych, 0, gdyż liczby x i y są dodatnie. To kończy dowód. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy zapisze lewą stronę nierówności w postaci równoważnej: x y x y poprzestanie lub dalej popełnia błędy. 0 i na tym Zdający otrzymuje... pkt gdy uzasadni prawdziwość nierówności x y x y 0, np. stwierdzi, że x y 0 dla dowolnych liczb rzeczywistych oraz x 0 i y 0 dla liczb dodatnich x i y. Rozwiązanie II sposób Ponieważ x 0 i y 0, więc x i y. Stąd wynika, że x y x y x y x y. y x y x y x Suma x y to suma liczby dodatniej i jej odwrotności, więc jest co najmniej równa, czyli y x x y x y. W rezultacie x y y x y x, co kończy dowód. x y Nierówność wynika również wprost z twierdzenia o średniej arytmetycznej y x x y y x x y x y i geometrycznej:. Stąd. y x y x Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt x y x y gdy zapisze, że x y i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. y x y x Zdający otrzymuje... pkt x y gdy uzasadni prawdziwość nierówności, np. stwierdzi, że suma liczby dodatniej y x i jej odwrotności jest zawsze co najmniej równa lub wykorzysta nierówność między średnią arytmetyczną i średnią geometryczną.

33 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony Rozwiązanie III sposób x y Przekształcając nierówność x y y x w sposób równoważny otrzymujemy x x y y, y y x x x y x y. y x y x Suma x y to suma liczby dodatniej i jej odwrotności, więc jest co najmniej równa, y x x y natomiast suma jest dodatnia, gdyż jest sumą dwóch dodatnich składników. Zatem y x x y x y nierówność jest prawdziwa. To kończy dowód. y x y x x y Nierówność wynika również wprost z twierdzenia o średniej arytmetycznej y x x y y x x y x y i geometrycznej:. Stąd. y x y x Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt x x y y gdy zapisze lewą stronę nierówności w postaci równoważnej: y y x x x y i w dalszym rozumowaniu dąży do wykazania, że suma jest nie mniejsza niż, ale y x popełnia błędy. Zdający otrzymuje... pkt x y x y x y gdy uzasadni prawdziwość nierówności, np. stwierdzi, że jest y x y x y x prawdziwa dla dowolnych liczb dodatnich, co wynika z twierdzenia o sumie liczby dodatniej x i jej odwrotności oraz 0 y i y 0 dla liczb rzeczywistych dodatnich x i y. x 5

34 6 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony Zadanie 5. (0 5) Dane są trzy okręgi o środkach A, B, C i promieniach równych odpowiednio r, r, r. Każde dwa z tych okręgów są zewnętrznie styczne: pierwszy z drugim w punkcie K, drugi z trzecim w punkcie L i trzeci z pierwszym w punkcie M. Oblicz stosunek pola trójkąta KLM do pola trójkąta ABC. Obszar standardów Opis wymagań Modelowanie matematyczne Znajdowanie związków miarowych w figurach płaskich, także z zastosowaniem trygonometrii, również w zadaniach umieszczonych w kontekście praktycznym. (III.7.c) I sposób rozwiązania Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. r M r A r K C r L r r B Pole trójkąta AMK jest równe PAMK AM AK sin r sin, pole trójkąta ABC jest równe PABC AC AB sin 4rrsin r sin. Zatem r sin PAMK. P ABC r sin Podobnie, pole trójkąta BKL jest równe PBKL BK BL sin r sin 4r sin, natomiast pole trójkąta ABC jest równe PABC BA BC sin r5rsin 5r sin,

35 więc Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony 4 r sin 4 5 PBKL. PABC 5r sin Pole trójkąta CLM jest równe PCLM CM CL sin r sin 9r sin, natomiast pole trójkąta ABC jest równe PABC CA CB sin 4r5rsin 0r sin, Zatem P 9 r sin CLM 9. P ABC 0r sin 0 Pole trójkąta KLM jest więc równe 4 9 PKLM PABC PAMK PBKL PCLM PABC PABC PABC PABC PABC, czyli PKLM. P 5 ABC 7 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Zdający wyrazi pole trójkąta KLM jako różnicę pól odpowiednich trójkątów: P P P P P. KLM ABC AMK BKL CLM Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający wyrazi pole co najmniej jednego z trójkątów AMK, BKL lub CLM w zależności od r i sinusa odpowiedniego kąta trójkąta ABC. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający wyznaczy pole co najmniej jednego z trójkątów AMK, BKL lub CLM w zależności od 4 9 pola trójkąta ABC, np.: PAMK PABC, PBKL PABC, PCLM PABC. 5 0 Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... 4 pkt Zdający wyznaczy pole każdego z trójkątów AMK, BKL lub CLM w zależności od pola trójkąta 4 9 ABC, np.: P P, P P, P P i na tym poprzestanie AMK ABC BKL 5 ABC obliczy stosunek pola trójkąta KLM do pola trójkąta ABC, popełniając błędy rachunkowe (nawet na wcześniejszych etapach rozwiązania). CLM 0 ABC

36 8 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony Rozwiązanie pełne... 5 pkt PKLM Zdający obliczy stosunek pola trójkąta KLM do pola trójkąta ABC:. P 5 II sposób rozwiązania Długości boków trójkąta ABC są równe AB r, AC 4r i BC 5r. Ponieważ AB AC r r r r r r BC, więc trójkąt ABC jest prostokątny. Zatem 4r 4 r sin, sin oraz PABC r 4 r 6 r. 5r 5 5r 5 Pole trójkąta prostokątnego AMK jest równe PAMK AM AK r. Pole trójkąta BKL jest równe 4 8 PBKL BK BL sin r sin 4r r, 5 5 a pole trójkąta CLM jest równe 7 PCLM CM CL sin r sin 9r r. 5 0 Pole trójkąta KLM jest więc równe 8 7 PKLM PABC PAMK PBKL PCLM 6r r r r PABC, czyli PKLM. P 5 ABC Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Zdający zapisze, że trójkąt ABC jest prostokątny wyrazi pole trójkąta KLM jako różnicę pól odpowiednich trójkątów: P P P P P. KLM ABC AMK BKL CLM Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający 4 obliczy sinusy kątów ostrych trójkąta ABC: sin 5, sin wyznaczy pole trójkąta ABC w zależności od r: wyznaczy pole trójkąta AMK w zależności od r: PABC PAMK 6r r. 5 ABC

37 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający wyznaczy pole trójkąta ABC i pole jednego z trójkątów AMK, BKL, CLM 8 7 w zależności od r: PABC 6r, PAMK r, PBKL r, PCLM r. 5 0 Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... 4 pkt Zdający wyznaczy pole każdego z trójkątów ABC, AMK, BKL lub CLM w zależności od r i na tym poprzestanie obliczy stosunek pola trójkąta KLM do pola trójkąta ABC, popełniając błędy rachunkowe (nawet na wcześniejszych etapach rozwiązania). Rozwiązanie pełne... 5 pkt PKLM Zdający obliczy stosunek pola trójkąta KLM do pola trójkąta ABC:. P 5 III sposób rozwiązania Niech AB, r BC 5, r CA 4r AK AM r, BK BL r, CL CM r Zauważamy, że BAC 90, ponieważ r 4r 5r, zatem ABC 9 KM r r r. r cos CBA, cos ACB 5r 5 Zatem z twierdzenia kosinusów mamy 4 5 KL 4r 4r r r r 5 5 4r 4 5r LM 9r 9r r r r 5 5 Obliczamy cos KLM : cos r KM ML KL ML KL KLM 8r 6r r cos KLM r r cos KLM Zatem cos KLM 4 5, więc 4 5 sin KLM.

38 0 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony Wobec tego r P KLM r r Ponieważ P r 4 r 6 r P więc otrzymujemy P ABC, KLM ABC. 5 Można obliczyć miarę kąta KLM KLM ABC 80 ACB ABC ACB 9045 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Zdający wyznaczy jeden z boków trójkąta KLM. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający wyznaczy trzy boki trójkąta KLM. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający wyznaczy kosinus jednego z kątów trójkąta KLM, np. cos KLM. Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... 4 pkt Zdający wyznaczy sinus jednego z kątów trójkąta KLM, np. sin KLM. Rozwiązanie pełne... 5 pkt PKLM Zdający obliczy stosunek pól trójkątów KLM i ABC:. P 5 ABC

39 Zadanie 6. (0 ) Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg o środku S. Kąty wewnętrzne CAB, ABC i BCA tego trójkąta są równe odpowiednio, i 4. Wykaż, że trójkąt ABC jest rozwartokątny i udowodnij, że miary wypukłych kątów środkowych ASB, ASC i BSC tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny. Obszar standardów Rozumowanie i argumentacja Opis wymagań Badanie czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny. Korzystanie ze związków między kątem środkowym, kątem wpisanym i kątem między styczną a cięciwą okręgu (V.5.b, 7.a) Rozwiązanie Suma kątów trójkąta jest równa 80. Zatem 4 80, więc Stąd oraz To oznacza, że trójkąt ABC jest rozwartokątny. C 4 B A S Z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym wynika, że BSC BAC oraz ASC ABC 4. Ponadto, wypukły kąt środkowy ASB ma miarę równą ASB BSC ASC 6. jest arytmetyczny, a jego różnica jest równa Ciąg 6,4,. To kończy dowód. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt 5 gdy obliczy miarę kąta CAB: i uzasadni, że trójkąt ABC jest 7 rozwartokątny.

40 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony Zdający nie musi obliczać miary kąta CAB. Wystarczy, że zapisze Zdający otrzymuje... pkt gdy rozważy poprawnie wpisany w okrąg trójkąt ABC i wykorzysta twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym do wyznaczenia miary kątów środkowych ASC i BSC w zależności od : ASC 4 oraz BSC. Zdający otrzymuje... pkt gdy wyznaczy miary wypukłych kątów środkowych ASB, ASC i BSC i stwierdzi, że tworzą one w podanej kolejności ciąg arytmetyczny: ASB 6, ASC 4, BSC. Jeżeli zdający nie uzasadni, że trójkąt ABC jest rozwartokątny, a udowodni, że miary kątów tworzą ciąg arytmetyczny, to otrzymuje punkty. Zadanie 7. (0 6) Ciąg geometryczny a n ma 00 wyrazów i są one liczbami dodatnimi. Suma wszystkich wyrazów o numerach nieparzystych jest sto razy większa od sumy wszystkich wyrazów o numerach parzystych oraz log alog a log a log a Oblicz a. Obszar standardów Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Opis wymagań Badanie czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny. Stosowanie wzorów na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego. (II.5.b, c) Rozwiązanie Ponieważ wszystkie wyrazy ciągu a n są dodatnie i suma wszystkich jego wyrazów o numerach nieparzystych jest 00 razy większa od sumy wszystkich wyrazów o numerach parzystych, więc ciąg ten nie jest stały. Zauważmy, że ciąg, którego kolejnymi wyrazami są wyrazy ciągu geometrycznego o numerach nieparzystych również jest geometryczny, a jego iloraz jest równy q, gdzie q oznacza iloraz ciągu a n. Tak samo ciąg, którego kolejnymi wyrazami są wyrazy ciągu an o numerach parzystych jest geometryczny i jego iloraz również jest równy q. Każdy z tych ciągów ma po 50 wyrazów. Ze wzoru na sumę n-początkowych wyrazów ciągu geometrycznego otrzymujemy równanie Stąd mamy 00 q q a 00a. q q a a, czyli a 00aq. Zatem q, gdyż a 0. 00

41 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony Ponieważ log alog a log a log a00 00, więc z własności logarytmów otrzymujemy log a a a a Z definicji logarytmu otrzymujemy więc 00 a a a a00 0. Stąd i ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego dostajemy równanie z niewiadomą a a a a a 0, a Ze wzoru na sumę n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego mamy Stąd a, a, a Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Zdający zauważy, że ciąg, którego kolejnymi wyrazami są wyrazy ciągu geometrycznego o numerach nieparzystych jest geometryczny oraz ciąg, którego kolejnymi wyrazami są wyrazy ciągu an o numerach parzystych jest geometryczny, a iloraz każdego z tych ciągów jest taki sam zapisze równość aaa5 a99 00aq aqa5qa99q wykorzysta wzór na sumę logarytmów i definicję logarytmu oraz zapisze równość 00 log a log a log a log a 00 w postaci: a a a a Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający zapisze równanie z niewiadomymi a i q: q q a 00a q q

42 4 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony zapisze równość a a a a 00qa a a a zapisze równość a a q a q a q Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 4 pkt Zdający zapisze równanie z niewiadomą a, np.: 99 a a a a zapisze zależności a q 0 i q. 00 Jeżeli zdający obliczy iloraz ciągu geometrycznego: popełnia błędy rzeczowe, to otrzymuje punkty. 00 q i na tym poprzestanie lub dalej 00 Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... 5 pkt Zdający zapisze równanie w postaci popełnia błędy a i na tym zakończy lub dalej 00 Rozwiązanie pełne... 6 pkt 00 Zdający obliczy pierwszy wyraz ciągu: a 0. Zadanie 8. (0 4) Punkty A, B, C, D, E, F są kolejnymi wierzchołkami sześciokąta foremnego, przy czym A 0,, B, 0, a C leży na osi Ox. Wyznacz równanie stycznej do okręgu opisanego na tym sześciokącie przechodzącej przez wierzchołek E. Obszar standardów Użycie i tworzenie strategii Opis wymagań Rozwiązywanie zadań dotyczących wzajemnego położenia prostej i okręgu. (IV.8.b.R) Rozwiązanie Obliczmy długość boku sześciokąta AB 4. Ponieważ wierzchołek C tego sześciokąta leży na osi Ox, więc C 6,0.

43 y Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony 5 F E A S D 0 B C x Środek S okręgu opisanego na tym sześciokącie ma zatem współrzędne S 4,. Punkt S jest środkiem przekątnej BE sześciokąta, więc xb xe yb ye xe 0 ye S,,. Zatem x E ye 4 i. Stąd xe 6 i ye 4, więc E 6, 4. Styczna do okręgu opisanego na sześciokącie foremnym ABCDEF poprowadzona przez wierzchołek E tego sześciokąta jest prostopadła do prostej BE. Ponieważ współczynnik kierunkowy prostej BE jest równy ye yb 4 0, x x 6 E B więc współczynnik kierunkowy stycznej jest równy. Zatem styczna ma równanie y x6 4, czyli y x 6. Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Zdający zapisze długość boku sześciokąta ABCDEF: AB 4 zapisze współrzędne środka S okręgu opisanego na sześciokącie: S 4,

44 6 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony obliczy lub poda współczynnik kierunkowy prostej BE:. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający obliczy lub poda współczynnik kierunkowy prostej BE: i obliczy lub poda współrzędne wierzchołka E: E 6, 4 zapisze, że prosta AC jest równoległa do stycznej obliczy lub poda współczynnik kierunkowy prostej AC:. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający obliczy współczynnik kierunkowy stycznej:. Jeśli zdający obliczy współczynnik kierunkowy stycznej, ale nie obliczy współrzędnych punktu E, to otrzymuje punkty. Rozwiązanie pełne... 4 pkt Zdający zapisze równanie stycznej: y x 6 lub y x6 4. Zadanie 9. (0 6) Oblicz objętość ostrosłupa trójkątnego ABCS, którego siatka została przedstawiona na rysunku. 65 C A 48 B 65 Obszar standardów Opis wymagań Modelowanie matematyczne Wyznaczanie związków miarowych w wielościanach i bryłach obrotowych z zastosowaniem trygonometrii. (III.9.b) I sposób rozwiązania Przyjmijmy, że podstawą ostrosłupa jest trójkąt ABC. Wówczas każda z krawędzi bocznych AS, BS i CS ma długość 65. Pozostałe oznaczenia przyjmijmy takie jak na rysunku.

45 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony S R C O D 0 E 4 0 A Ponieważ wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa mają tę samą długość, więc spodek O wysokości SO ostrosłupa jest punktem przecięcia symetralnych boków jest podstawy, a więc jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC. Obliczmy promień R tego okręgu. Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ADC otrzymujemy AD DC AC, czyli 4 DC 40. Stąd DC Trójkąty OEC i ADC są podobne (oba są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy wierzchołku C), więc OC AC R 40, czyli. CE CD 0 Stąd R 5. Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta COS otrzymujemy OC SO CS, czyli 5 h 65. Stąd h Pole trójkąta ABC jest równe PABC AB CD Objętość ostrosłupa jest więc równa VABCS PABC h Pole trójkąta ABC możemy obliczyć stosując wzór Herona PABC p pa pb pc. Promień R okręgu opisanego na trójkącie ABC możemy obliczyć wykorzystując wzór h h h B

46 8 Stąd Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony P ABC abc. 4R abc R 5. 4P 4768 ABC Schemat punktowania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Zdający obliczy jedną z wielkości potrzebnych do obliczenia pola trójkąta ABC, np. DC obwód tego trójkąta. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający obliczy pole trójkąta ABC: P 768 ABC obliczy wysokość trójkąta ABC opuszczoną z wierzchołka C oraz zapisze, że spodek O wysokości SO ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa. Wystarczy, że zdający oblicza promień okręgu opisanego na trójkącie ABC. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający zapisze równanie pozwalające obliczyć promień okręgu opisanego na trójkącie ABC, R 40 np.: 768 lub. 4 R 0 Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... 5 pkt Zdający obliczy wysokość ostrosłupa i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy: h 60 obliczy objętość popełniając błędy rachunkowe (nawet na wcześniejszych etapach rozwiązania) pominie we wzorze na objętość współczynnik i otrzyma: VABCS pominie we wzorze na pole trójkąta współczynnik i otrzyma: PABC 56, VABCS 070. Jeżeli zdający obliczy promień okręgu opisanego na trójkącie ABC: R 5 oraz zapisze równanie pozwalające obliczyć wysokość ostrosłupa, np.: 5 h 65 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy, to otrzymuje 4 punkty. Rozwiązanie pełne... 6 pkt Zdający obliczy objętość ostrosłupa: VABCS 560.

47 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony 9 Jeżeli zdający pominie we wzorze na objętość ostrosłupa współczynnik i pominie współczynnik we wzorze na pole trójkąta, to otrzymuje co najwyżej punkty za całe zadanie. II sposób rozwiązania Przyjmijmy, że podstawą ostrosłupa jest trójkąt ABC. Wówczas każda z krawędzi bocznych AS, BS i CS ma długość 65. Pozostałe oznaczenia przyjmijmy takie jak na rysunku. S h h h B C O x D 0 E 4 0 A Ponieważ krawędzie podstawy AC i BC mają równe długości i krawędzie boczne AS i BS mają równe długości, więc spodek O wysokości SO ostrosłupa leży na symetralnej CD odcinka AB. Odcinek CD jest również wysokością trójkąta ABC opuszczoną z wierzchołka C. Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ADC otrzymujemy AD DC AC, czyli 4 DC 40. Stąd DC Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ADS otrzymujemy AD DS AS, czyli 4 h 65. Stąd h Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów DOS i COS otrzymujemy czyli DO SO SD oraz x x 4 OC SO CS, h 649 oraz x h 65. h 649 oraz 64xx h 65.

48 0 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony Stąd więc 64x , x 7, h Pole trójkąta ABC jest równe PABC AB CD Objętość ostrosłupa jest więc równa VABCS PABC h Możemy też przyjąć, że podstawą tego ostrosłupa jest trójkąt ABS i wówczas wysokość ostrosłupa będzie odcinkiem CM, gdzie punkt M leży na wysokości SD tej podstawy. Tak jak w II sposobie rozwiązania obliczamy CD oraz SD 649. Oznaczając MD y oraz CM h, a następnie stosując twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta MDC i trójkąta ASM otrzymujemy MD CM CD oraz SM CM CS, czyli y h oraz 649 y h 65, y h 04 oraz y y h 45, Stąd y 04 45, 4 y Zatem h 04 y Pole trójkąta ABC jest równe PABS AB SD Objętość ostrosłupa jest więc równa 90 VABSC PABS h Schemat punktowania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Zdający obliczy jedną z wielkości potrzebnych do obliczenia pola trójkąta ABC, np. DC obwód tego trójkąta.

49 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający obliczy pole trójkąta ABC: P ABC 768 obliczy wysokość trójkąta ABS opuszczoną z wierzchołka S oraz wysokość trójkąta ABC opuszczoną z wierzchołka C: SD 649, DC. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający zapisze układ równań pozwalający obliczyć wysokość ostrosłupa opuszczoną na podstawę ABC z wierzchołka S: x h 649 i x h 65 zapisze układ równań pozwalający obliczyć wysokość ostrosłupa opuszczoną na podstawę ABS z wierzchołka C: x h i 649 x h 65. Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... 5 pkt Zdający obliczy wysokość ostrosłupa opuszczoną na podstawę ABC z wierzchołka S i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy: h 60 obliczy wysokość ostrosłupa opuszczoną na podstawę ABS z wierzchołka C i na tym 90 poprzestanie lub dalej popełnia błędy: h 649 obliczy objętość popełniając błędy rachunkowe (nawet na wcześniejszych etapach rozwiązania) pominie we wzorze na objętość współczynnik i otrzyma: VABCS pominie we wzorze na pole trójkąta współczynnik i otrzyma: PABC 56, VABCS 070. Jeżeli zdający obliczy długość odcinka OD: x 7 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy, to otrzymuje 4 punkty. Podobnie jeśli zdający obliczy długość odcinka MD: 4 y i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy, to otrzymuje 4 punkty 649 Rozwiązanie pełne... 6 pkt Zdający obliczy objętość ostrosłupa: VABCS 560.

50 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony Jeżeli zdający pominie we wzorze na objętość ostrosłupa współczynnik i pominie współczynnik we wzorze na pole trójkąta, to otrzymuje co najwyżej punkty za całe rozwiązanie. Zadanie 0. (0 5) Wyznacz wszystkie całkowite wartości parametru m, dla których równanie x x x x mxm m 0 ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste takie, że jeden z nich jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych. Obszar standardów Opis wymagań Modelowanie matematyczne Stosowanie twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych. (III..c.R) I sposób rozwiązania Zauważmy, że jednym z pierwiastków równania jest liczba, gdyż 0. Pozostałe pierwiastki wielomianu równania to pierwiastki trójmianu kwadratowego P x x m xm m. Ponieważ m 4 m m 4m 4m4m 4m, więc tymi m m pierwiastkami są liczby x m, x m. Wyznaczmy wszystkie wartości parametru m, dla których jeden z pierwiastków wielomianu W x jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych. Mamy więc m m m m lub m lub m. Stąd m lub m 0 lub m. Ponieważ m jest liczbą całkowitą, więc istnieją dwie szukane wartości parametru m: m 0 lub m. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Zdający sprawdzi, że jednym z pierwiastków równania jest. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający stwierdzi, że pozostałymi pierwiastkami równania są pierwiastki trójmianu x m xm m kwadratowego Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt

51 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony Zdający wyznaczy wszystkie pierwiastki wielomianu poprzestanie lub dalej popełnia błędy. W x :, m, m i na tym Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... 4 pkt Zdający zapisze równania pozwalające obliczyć szukane wartości parametru m: mm m m lub m lub m zapisze jedno z równań i konsekwentnie obliczy wartość parametru m (w przypadku mm równania sformułuje wniosek, że nie istnieje taka całkowita wartość parametru m) rozwiąże zadanie do końca z błędami rachunkowymi, konsekwentnie formułując końcowy wniosek. Rozwiązanie pełne... 5 pkt Zdający wyznaczy szukane całkowite wartości parametru: m, m 0. Jeżeli zdający zapisze równania pozwalające obliczyć szukane wartości parametru m: mm m m lub m lub m, rozwiąże je i nie odrzuci m, to otrzymuje 4 punkty. II sposób rozwiązania ( wzory Viete a ) Zauważmy, że jednym z pierwiastków równania jest liczba, gdyż 0. Pozostałe pierwiastki wielomianu równania to pierwiastki trójmianu kwadratowego P x x m xm m. Ponieważ m 4 m m 4m 4m4m 4m, więc ten trójmian ma dwa różne pierwiastki x i x, spełniające zależności: xx m, x x m m. Wyznaczymy teraz wszystkie wartości parametru m, dla których jeden z pierwiastków wielomianu W x jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych. Zapisujemy więc równości x x x x lub x lub x. Uwzględniając wzory Viete a, z pierwszego równania otrzymujemy m. Ponieważ m jest liczba całkowitą, więc to rozwiązanie odrzucamy. Z drugiego równania wyznaczamy x x, a następnie ze wzoru Viete a na sumę pierwiastków otrzymujemy x m. Po podstawieniu tej zależności do wzoru Viete a na iloczyn pierwiastków otrzymujemy równanie:

52 4 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony m mm m. Po przekształceniach to równanie przyjmuje postać: m m 0. Równanie to ma dwa rozwiązania: oraz 0, stanowiące szukane całkowite wartości parametru. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Zdający sprawdzi, że jednym z pierwiastków równania jest Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający stwierdzi, że pozostałymi pierwiastkami równania są pierwiastki trójmianu x m xm m. kwadratowego Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt x x x x Zdający zapisze równanie i co najmniej jedno z równań x, x oraz oba równania wynikające z wzorów Viete a: xx m i x x m m. x x Jeżeli zdający zapisze jedynie równanie, rozwiąże je, otrzymując m, i odrzuci ten wynik, to otrzymuje punkty. Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe). 4 pkt Zdający doprowadzi układ równań, np. x x x x m x x m m 4 do równania kwadratowego z niewiadomą m, np. m mm m. Rozwiązanie pełne... 5 pkt Zdający wyznaczy szukane całkowite wartości parametru: m, m 0.

53 Zadanie. (0 4) Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony Z urny zawierającej 0 kul ponumerowanych liczbami od do 0 losujemy jednocześnie trzy kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że numer jednej z wylosowanych kul jest równy sumie numerów dwóch pozostałych. 5 Obszar standardów Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Opis wymagań Wykorzystanie własności prawdopodobieństwa i stosowanie twierdzenia znanego jako klasyczna definicja prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. (II.0.d) I sposób rozwiązania (model klasyczny-kombinacje) Zdarzeniami elementarnymi są trzyelementowe podzbiory abc,, zbioru,,, 0. Mamy do czynienia z modelem klasycznym. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa 0 0! ! 7! Niech A oznacza zdarzenie - wylosujemy takie trzy kule, że numer jednej z wylosowanych kul będzie równy sumie numerów dwóch pozostałych. Wystarczy wyznaczyć liczbę takich zbiorów abc,,, że a b c i a b c. Liczba a może przyjąć wszystkie wartości od 0 do włącznie. I tak: , więc są 4 takie podzbiory, gdzie a 0, , więc są 4 takie podzbiory, gdzie a 9, 8765, więc są takie podzbiory, gdzie a 8, 7654, więc są takie podzbiory, gdzie a 7, 654, więc są takie podzbiory, gdzie a 6, 54, więc są takie podzbiory, gdzie a 5, 4, więc jest taki podzbiór, gdzie a 4,, więc jest taki podzbiór, gdzie a. W rezultacie A Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest więc równe 0 PA ( ). 0 6 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Zdający 0 zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: abc,,, gdzie opisze zdarzenie elementarne sprzyjające zdarzeniu A, np. w postaci a b c i a b c.

54 6 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony Zdający może również zapisać a b c lub b a c lub c a b. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający opisze zdarzenia sprzyjające np. w postaci abc,,, gdzie a b c i a bcoraz obliczy ich liczbę: A 0 0 zapisze liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych: i opisze zdarzenia sprzyjające np. w postaci abc,,, gdzie a b c i a b c. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt 0 Zdający zapisze liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych: oraz opisze zdarzenia sprzyjające np. w postaci abc,,, gdzie a b c i a b c oraz obliczy ich liczbę: A 0. Rozwiązanie pełne... 4 pkt 0 Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: PA ( ). 0 6 Uwagi. Jeżeli zdający wypisując zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A pominie co najwyżej jeden przypadek i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje punkty.. Jeżeli zdający wypisując zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A zapisze podzbiór, który nie jest zdarzeniem elementarnym w przyjętym modelu, np. 0,5,5, to może otrzymać co najwyżej punkt, o ile poprawnie zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych.. Jeżeli zdający poprawnie poda liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych, poprawnie opisze zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A (lub je wypisze) i poda ich liczbę, ale popełni błędy rachunkowe i otrzymany wynik jest z przedziału (0,), to otrzymuje punkty. Jeżeli natomiast otrzyma wynik PA ( ), to otrzymuje 0 punktów za całe zadanie. II sposób rozwiązania (model klasyczny-wariacje) Niech zdarzeniem elementarnym będzie trzywyrazowy ciąg abc,,, którego wyrazami są liczby ze zbioru,,, 0 takie, że a b i a c i b c. Mamy do czynienia z modelem klasycznym. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa Niech A oznacza zdarzenie, że wylosujemy takie trzy kule, że numer jednej z wylosowanych kul będzie równy sumie numerów dwóch pozostałych. Wystarczy wyznaczyć liczbę takich ciągów abc,,, że a b c i a b c, czyli ciągów malejących. Liczba a może przyjąć wszystkie wartości od 0 do włącznie. I tak: , więc są 4 takie ciągi, gdzie a 0, , więc są 4 takie ciągi, gdzie a 9, 8765, więc są takie ciągi, gdzie a 8,

55 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony 7654, więc są takie ciągi, gdzie a 7, 654, więc są takie ciągi, gdzie a 6, 54, więc są takie ciągi, gdzie a 5, 4, więc jest taki ciąg, gdzie a 4,, więc jest taki ciąg, gdzie a. Z każdego takiego ciągu malejącego można utworzyć! 6 zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A. W rezultacie A! Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest więc równe 0 PA ( ) Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Zdający zapisze liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych: 09 8 opisze zdarzenie elementarne sprzyjające zdarzeniu A, np. w postaci abc,,, gdzie a b c lub ba c lub c a b. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający abc,,, gdzie a b c lub ba c lub opisze zdarzenia sprzyjające np. w postaci ca b oraz obliczy liczbę ciągów,, ab c i ab c): 49 opisze zdarzenia sprzyjające np. w postaci,, ca b oraz obliczy liczbę ciągów,, abc, gdzie a b c i a b c ( abc, gdzie a b c lub ba c lub abc w jednej z tych sytuacji, np. w sytuacji, gdy a b c zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: 09 8 i opisze zdarzenia sprzyjające zajściu zdarzenia A, np. w postaci abc,,, gdzie a b c lub b a c lub ca b. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: 09 8 oraz opisze zdarzenia sprzyjające zajściu zdarzenia A, np. w postaci abc,,, gdzie a b c lub ba c lub ca b oraz obliczy ich liczbę: A 60. Rozwiązanie pełne... 4 pkt Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: PA ( ). 6

56 8 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony Uwagi. Jeżeli zdający wypisując zdarzenia elementarne sprzyjające postaci,, abc, gdzie a b c i a b c ( ab c i a b c), pominie co najwyżej jedno i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje punkty.. Jeżeli zdający wypisując zdarzenia elementarne sprzyjające postaci abc,,, gdzie a b c i a b c ( ab c i a b c) zapisze ciąg, który nie jest zdarzeniem elementarnym w przyjętym modelu, np. 0,5,5, to może otrzymać co najwyżej punkt, o ile poprawnie zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych.. Jeżeli zdający poprawnie poda liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych, poprawnie opisze zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A (lub je wypisze) i poda ich liczbę, ale popełni błędy rachunkowe, jednak otrzymany wynik jest z przedziału (0,), to otrzymuje punkty. Jeżeli natomiast otrzyma wynik PA ( ), to otrzymuje 0 punktów za całe zadanie. 4. Jeżeli zdający stosuje różne modele probabilistyczne do obliczenia i A, to otrzymuje 0 punktów.