Liczby pierwsze - algorytm RSA
|
|
- Władysław Barański
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Artykuł pobrano ze strony eioba.pl Liczby pierwsze - algorytm RSA W roku 1977 trzej profesorowie z MIT w USA opublikowali nowy rodzaj szyfrowania danych, który nazwano od pierwszych liter ich nazwisk systemem RSA. R.L.Rivest Adi Shamir L. Adleman Twórcy algorytmu RSA W roku 1977 trzej profesorowie z MIT w USA, Ronald L. Rivest, Adi Shamir i Leonard Adleman, opublikowali nowy rodzaj szyfrowania danych, który nazwano od pierwszych liter ich nazwisk systemem RSA. Jest to niesymetryczny algorytm szyfrujący, którego zasadniczą cechą są dwa klucze: publiczny do kodowania informacji oraz prywatny do jej odczytywania. Klucz publiczny (można go udostępniać wszystkim zainteresowanym) umożliwia jedynie zaszyfrowanie danych i w żaden sposób nie ułatwia ich odczytania, nie musi więc być chroniony. Dzięki temu firmy dokonujące transakcji poprzez sieć Internet mogą zapewnić swoim klientom poufność i bezpieczeństwo. Drugi klucz (prywatny, przechowywany pod nadzorem) służy do odczytywania informacji zakodowanych przy pomocy pierwszego klucza. Klucz ten nie jest udostępniany publicznie. System RSA umożliwia bezpieczne przesyłanie danych w środowisku, w którym może dochodzić do różnych nadużyć. Bezpieczeństwo oparte jest na trudności rozkładu dużych liczb na czynniki pierwsze. Załóżmy, iż dysponujemy superszybkim komputerem, który jest w stanie sprawdzić podzielność miliarda dużych liczb w ciągu jednej sekundy. Aby złamać szyfr RSA należy rozbić klucz publiczny na dwie liczby pierwsze będące jego dzielnikami. Znajomość tych liczb pozwala rozszyfrować każdą informację zakodowaną kluczem prywatnym i publicznym. Brzmi dosyć prosto. Jednakże nie ma prostej metody rozbijania dużych liczb na czynniki pierwsze. Nie istnieje żaden wzór, do którego podstawiamy daną liczbę i w wyniku otrzymujemy wartości jej czynników pierwszych. Należy je znaleźć testując podzielność kolejnych liczb. Z rozważań o liczbach pierwszych wynika, iż w przypadku dwóch różnych dzielników pierwszych jeden musi leżeć poniżej wartości pierwiastka z danej liczby, a drugi powyżej (dlaczego?). Zatem, aby go znaleźć musimy wyliczyć pierwiastek z rozkładanej liczby, a następnie testować podzielność przez liczby nieparzyste leżące poniżej tego pierwiastka. Statystycznie poszukiwany czynnik pierwszy powinien znajdować się w górnej połówce zakresu od 2 do pierwiastka z n. Ile działań musimy wykonać? Policzmy. Klucz 128 bitowy. Pierwiastek jest liczbą 64 bitową. W zakresie od 2 do 2 64 co druga
2 liczba jest nieparzysta, zatem jest ich około 2 64 / 2 = Ponieważ interesuje nas tylko górna połówka, to ilość liczb do sprawdzenia jest dwa razy mniejsza, czyli wynosi 2 63 / 2 = Ile czasu zajmie naszemu superkomputerowi sprawdzenie podzielności przez około 2 62 liczb, jeśli w ciągu 1 sekundy wykonuje on miliard sprawdzeń? Odpowiedź brzmi: zajmie to około 2 62 / 10 9 = sekund = = minut = godzin = dni = 146 lat Czy sądzisz, że ktoś będzie czekał przez prawie dwa życia na złamanie szyfru? Zatem można podać do publicznej wiadomości liczbę będącą iloczynem dwóch dużych liczb pierwszych i mieć prawie pewność, iż nikt jej nie rozbije na czynniki pierwsze w rozsądnym czasie. Ostatecznie zamiast 128 bitów możemy zwiększyć klucz do np bitów, a wtedy czas łamania szyfru liczy się miliardami miliardów... miliardów lat. Algorytm RSA składa się z trzech podstawowych kroków: I II Fazy algorytmu RSA Generacja klucza publicznego i tajnego. Klucz publiczny jest przekazywany wszystkim zainteresowanym i umożliwia zaszyfrowanie danych. Klucz tajny umożliwia rozszyfrowanie danych zakodowanych kluczem publicznym. Jest trzymany w ścisłej tajemnicy. Użytkownik po otrzymaniu klucza publicznego, np. poprzez sieć Internet, koduje za jego pomocą swoje dane i przesyła je w postaci szyfru RSA do adresata dysponującego kluczem tajnym, np. do banku, firmy komercyjnej, tajnych służb. Klucz publiczny nie musi być chroniony, ponieważ nie umożliwia on rozszyfrowania informacji - proces szyfrowania nie jest odwracalny przy pomocy tego klucza. Zatem nie ma potrzeby jego ochrony i może on być powierzany wszystkim zainteresowanym bez ryzyka złamania kodu. III Adresat po otrzymaniu zaszyfrowanej wiadomości odczytuje ją za pomocą klucza tajnego. Generacja klucza publicznego i tajnego dla algorytmu RSA Znajdź dwie duże liczby pierwsze (mające np. po 1024 bity). Oznacz je jako p i q. Istnieją I specjalne algorytmy generujące duże liczby pierwsze. Oblicz: Ø = (p - 1) (q - 1) oraz II n = p q Wygenerowane liczby pierwsze usuń, aby nie wpadły w niepowołane ręce. Ø to tzw. funkcja Eulera, n jest modułem. Wykorzystując odpowiednio algorytm Euklidesa znajdź liczbę e, która jest względnie pierwsza z III wyliczoną wartością funkcji Eulera Ø (tzn. NWD(e, Ø) = 1) Liczba ta powinna również spełniać nierówność 1 < e < n. Nie musi ona być pierwsza lecz nieparzysta. Oblicz liczbę odwrotną modulo Ø do liczby e, czyli spełniającą równanie d e mod Ø = 1. IV Można to zrobić przy pomocy rozszerzonego algorytmu Euklidesa, który umieściliśmy w naszym opracowaniu. Klucz publiczny jest parą liczb (e, n), gdzie e nazywa się publicznym wykładnikiem. Możesz go V przekazywać wszystkim zainteresowanym. Klucz tajny to (d, n), gdzie d nazywa się prywatnym wykładnikiem. Klucz ten należy VI przechowywać pod ścisłym nadzorem.
3 p = 13 q = 11 Ø = 120 n = 143 e = 7 d = 103 Wybieramy dwie dowolne liczby pierwsze. W naszym przykładzie nie będą one duże, aby nie utrudniać obliczeń. W rzeczywistości liczby te powinny być ogromne. Obliczamy Ø = (p - 1) (q - 1), czyli tzw. funkcję Eulera: Ø = (13-1) (11-1) = = 120 Obliczamy moduł n: n = p q = = 143 Wyznaczamy wykładnik publiczny e. Ma on być względnie pierwszy z Ø czyli z liczbą 120. Warunek ten spełnia, np. liczba 7. Wyznaczamy następnie wykładnik prywatny, który ma być odwrotnością modulo Ø liczby e, czyli d 7 mod 120 = 1. Liczbą spełniającą ten warunek jest 103 (7,143) Klucz publiczny (e, n) (103,143) Klucz tajny (d, n) Szyfrowanie RSA I Otrzymujesz od adresata klucz publiczny w postaci pary liczb (e, n). Wiadomość do zaszyfrowania zamieniasz na liczby naturalne t, które muszą spełniać nierówność 0 < t < n Można tutaj skorzystać np. z łączenia kodów znaków. Oczywiście adresat musi znać użyty przez II ciebie sposób przekształcenia tekstu w liczbę, aby mógł on później odtworzyć otrzymaną wiadomość. Zwykle nie ma z tym problemu, ponieważ nadawca i odbiorca stosują wspólne oprogramowanie, które troszczy się za ciebie o takie szczegóły techniczne. Na tak otrzymanych liczbach wykonujesz operację szyfrowania i otrzymujesz liczby III c = t e mod n. Liczby c są zaszyfrowaną postacią liczb t i przekazuje się je adresatowi wiadomości. Klucz (e, n) IV umożliwił ich zaszyfrowanie, lecz nie pozwala ich rozszyfrować. e = 7 Otrzymaliśmy klucz publiczny (e, n). Przy jego pomocy możemy zakodować liczby od 0 do n = Zauważ, iż liczby 0 oraz 1 nie zostaną zakodowane (dlaczego?). c = 7 Załóżmy, iż chcemy przesłać adresatowi zaszyfrowaną liczbę t = 123. W tym celu musimy obliczyć wartość wyrażenia: c = mod 143 = mod 143 = 7 Wynik jest zaszyfrowaną liczbą 123. Przesyłamy go do adresata. Rozszyfrowywanie RSA Jesteś adresatem zaszyfrowanych wiadomości. Wcześniej wszystkim korespondentom przesłałeś wygenerowany klucz publiczny (e,n), za pomocą którego mogą oni szyfrować i przesyłać ci swoje I dane. Otrzymujesz więc zaszyfrowaną wiadomość w postaci liczb naturalnych c, które muszą spełniać warunek: 0 < c < n Liczbę c przekształcasz na pierwotną wartość t stosując wzór: II t = c d mod n Z otrzymanej liczby t odtwarzasz wg ustalonego systemu znaki tekstu. Teraz możesz odczytać III przesłaną wiadomość.
4 d = 103 Otrzymaliśmy zakodowaną wiadomość o wartości 7. Jesteśmy w posiadaniu klucza n = 143 prywatnego, który służy do rozszyfrowywania wiadomości zakodowanych kluczem c = 7 publicznym. t = 123 Wykonujemy następujące operacje: t = mod 143 Potęga jest zbyt duża, aby można ją było w normalny sposób obliczyć (języki programowania mają zwykle ograniczenia co do wielkości liczb całkowitych, np. w Pascalu liczby te nie mogą przekraczać wartości ). Jednakże nas nie interesuje wartość liczbowa potęgi, a jedynie reszta z dzielenia jej przez 143. Możemy więc rozłożyć potęgę na iloczyn składników o wykładnikach równych kolejnym potęgom liczby dwa: mod 143 = mod 143 = (7 64 mod 143) (7 32 mod 143) (7 4 mod 143) (7 2 mod 143) 7 mod mod 143 = mod 143 = (7 1 mod 143) 2 mod 143 = 49 mod 143 = mod 143 = (7 2 mod 143) 2 mod 143 = 49 2 mod 143 = mod 143 = (7 4 mod 143) 2 mod 143 = mod 143 = mod 143 = (7 8 mod 143) 2 mod 143 = 42 2 mod 143 = mod 143 = (7 16 mod 143) 2 mod 143 = 48 2 mod 143 = mod 143 = (7 32 mod 143) 2 mod 143 = 16 2 mod 143 = 113 Do wyliczenia potęgi bierzemy tylko te reszty, które występują w sumie potęg 2: (jeśli byłoby ich bardzo dużo, to każde mnożenie można wykonać z operacją modulo, dzięki czemu wynik nigdy nie wyjdzie poza wartość modułu) t = mod 143 = mod 143 = 123 Na podstawie podanych informacji napiszemy prostą aplikację, która pełnić będzie rolę kompletnego systemu szyfrowania RSA. Proces szyfrowania i rozszyfrowywania jest identyczny, różni się tylko rodzajem zastosowanego klucza. Dlatego w aplikacji występują jedynie dwie opcje: tworzenie kluczy RSA oraz szyfrowanie RSA. W pierwszym przypadku program generuje dwa klucze, publiczny oraz prywatny. Należy zapamiętać te dane, gdyż będą one potrzebne w drugiej opcji do szyfrowania lub rozszyfrowywania. Proponujemy zastosowanie tej aplikacji do prostej zabawy w klasie. Tworzymy jedną grupę uczniów, która utworzy klucz publiczny oraz prywatny. Klucz publiczny przekaże reszcie klasy, klucz prywatny zachowa dla siebie. Następnie pozostali uczniowie na podstawie otrzymanych kluczy publicznych mogą kodować swoje dane i przekazywać je pierwszej grupie, która za pomocą klucza prywatnego dokona rozszyfrowania wiadomości. Życzymy dobrej zabawy. Wydruk z uruchomionego programu System szyfrowania danych RSA (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek MENU ==== [ 0 ] - Koniec pracy programu [ 1 ] - Generowanie kluczy RSA [ 2 ] - Kodowanie RSA Generowanie kluczy RSA KLUCZ PUBLICZNY wykładnik e = 3 moduł n = 391 KLUCZ PRYWATNY wykładnik d = 235 Jaki jest twój wybór? (0, 1 lub 2) : Zapisz te dane i naciśnij Enter
5 Kodowanie danych RSA Podaj wykładnik = 3 Podaj moduł = Podaj kod RSA = 123 Wynik kodowania = 98 Kodowanie danych RSA Podaj wykładnik = 235 Podaj moduł = Podaj kod RSA = 98 Wynik kodowania = 123 Zapisz te dane i naciśnij Enter Zapisz te dane i naciśnij Enter Microsoft Visual Basic 2005 Express Edition
6 Borland Delphi 7.0 ******************************************************* Personal ** Przykładowa aplikacja obrazująca sposób działania ** Edition ** asymetrycznego systemu kodowania informacji RSA. ** ** ** ** (C)2003 mgr Jerzy Wałaszek ** ** I Liceum Ogólnokształcące ** ** im. Kazimierza Brodzińskiego ** ** w Tarnowie ** ******************************************************* program rsa; $APPTYPE CONSOLE // Procedura oczekuje na naciśnięcie klawisza Enter // po czym czyści ekran okna konsoli procedure Czekaj; i : integer; writeln('zapisz te dane i nacisnij Enter'); readln; for i := 1 to 500 do // Funkcja obliczająca NWD dla dwóch liczb function nwd(a,b : integer) : integer; t : integer; while b <> do t := b; b := a mod b; a := t nwd := a // Funkcja obliczania odwrotności modulo n function odwr_mod(a,n : integer) : integer; a0,n0,p0,p1,q,r,t : integer; p0 := ; p1 := 1; a0 := a; n0 := n; q := n0 div a0; r := n0 mod a0; while r > do t := p0 - q * p1; if t >= then t := t mod n else t := n - ((-t) mod n); p0 := p1; p1 := t; n0 := a0; a0 := r; q := n0 div a0; r := n0 mod a0; odwr_mod := p1; // Procedura generowania kluczy RSA // procedure klucze_rsa; const tp : array[..9] of integer = (11,13,17,19,23,29,31,37,41,43); p,q,phi,n,e,d : integer; writeln('generowanie kluczy RSA'); writeln(' '); // generujemy dwie różne, losowe liczby pierwsze repeat p := tp[random(10)]; q := tp[random(10)]; until p <> q; phi := (p - 1) * (q - 1); n := p * q; // wyznaczamy wykładniki e i d e := 3; while nwd(e,phi) <> 1 do inc(e,2); d := odwr_mod(e,phi); // gotowe, wypisujemy klucze writeln('klucz PUBLICZNY'); writeln('wykladnik e = ',e); writeln(' modul n = ',n); writeln('klucz PRYWATNY'); writeln('wykladnik d = ',d); Czekaj; // Funkcja oblicza modulo potęgę podanej liczby function pot_mod(a,w,n : integer) : integer; pot,wyn,q : integer; // wykładnik w rozbieramy na sumę potęg 2. Dla reszt // niezerowych tworzymy iloczyn potęg a modulo n. pot := a; wyn := 1; q := w; while q > do if (q mod 2) = 1 then wyn := (wyn * pot) mod n; pot := (pot * pot) mod n; // kolejna potęga q := q div 2; pot_mod := wyn; // Procedura kodowania danych RSA // procedure kodowanie_rsa; e,n,t : integer; writeln('kodowanie danych RSA'); writeln(' '); write('podaj wykladnik = '); readln(e); write(' Podaj modul = '); readln(n); writeln(' '); write('podaj kod RSA = '); readln(t); writeln('wynik kodowania = ',pot_mod(t,e,n)); Czekaj; // ******************** // ** Program główny ** // ******************** w : integer; randomize; repeat writeln('system szyfrowania danych RSA'); writeln(' '); writeln(' (C)2003 mgr Jerzy Walaszek '); writeln('menu'); writeln('===='); writeln('[ 0 ] - Koniec pracy programu'); writeln('[ 1 ] - Generowanie kluczy RSA'); writeln('[ 2 ] - Kodowanie RSA'); write('jaki jest twoj wybor? (0, 1 lub 2) : '); readln(w); case w of 1 : klucze_rsa; 2 : kodowanie_rsa; until w = ; end.
7 Borland /* C++ Builder ******************************************************* 6.0 ** Przykładowa aplikacja obrazująca sposób działania ** Personal ** asymetrycznego systemu kodowania informacji RSA. ** Edition ** ** ** (C)2003 mgr Jerzy Wałaszek ** ** I Liceum Ogólnokształcące ** ** im. Kazimierza Brodzińskiego ** ** w Tarnowie ** ******************************************************* */ #include <iostream> #include <iomanip> using namespace std; // Funkcja czeka na dowolny klawisz i czyści ekran void czekaj(void) char c[1]; cout << "nzapisz te danenn"; cin.getline(c,1); cin.getline(c,1); for(int i = 1; i < 500; i++) cout << endl; // Funkcja obliczająca NWD dla dwóch liczb int nwd(int a, int b) int t; while(b!= ) t = b; b = a % b; a = t; ; return a; // Funkcja obliczania odwrotności modulo n int odwr_mod(int a, int n) int a0,n0,p0,p1,q,r,t; p0 = ; p1 = 1; a0 = a; n0 = n; q = n0 / a0; r = n0 % a0; while(r > ) t = p0 - q * p1; if(t >= ) t = t % n; else t = n - ((-t) % n); p0 = p1; p1 = t; n0 = a0; a0 = r; q = n0 / a0; r = n0 % a0; return p1; // Procedura generowania kluczy RSA // void klucze_rsa() const int tp[10] = 11,13,17,19,23,29,31,37,41,43; int p,q,phi,n,e,d; cout << "Generowanie kluczy RSA\n" " \n\n"; // generujemy dwie różne, losowe liczby pierwsze do p = tp[rand() % 10]; q = tp[rand() % 10]; while (p == q); phi = (p - 1) * (q - 1); n = p * q; // wyznaczamy wykładniki e i d for(e = 3; nwd(e,phi)!= 1; e += 2); d = odwr_mod(e,phi); // gotowe, wypisujemy klucze cout << "KLUCZ PUBLICZNY\n" "wykladnik e = " << e << "\n modul n = " << n << "\n\nklucz PRYWATNY\n" "wykladnik d = " << d << endl; czekaj(); // Funkcja oblicza modulo potęgę podanej liczby int pot_mod(int a, int w, int n) int pot,wyn,q; // wykładnik w rozbieramy na sumę potęg 2 // przy pomocy algorytmu Hornera. Dla reszt // niezerowych tworzymy iloczyn potęg a modulo n. pot = a; wyn = 1; for(q = w; q > ; q /= 2) if(q % 2) wyn = (wyn * pot) % n; pot = (pot * pot) % n; // kolejna potęga return wyn; // Procedura kodowania danych RSA // void kodowanie_rsa() int e,n,t; cout << "Kodowanie danych RSA\n" " \n\n" "Podaj wykladnik = "; cin >> e; cout << " Podaj modul = "; cin >> n; cout << " \n\n" "Podaj kod RSA = "; cin >> t; cout << "\nwynik kodowania = " << pot_mod(t,e,n) << endl; czekaj(); // ******************** // ** Program główny ** // ******************** main() int w; srand((unsigned)time(null)); do cout << "System szyfrowania danych RSA\n" " \n" " (C)2003 mgr Jerzy Walaszek\n\n" "MENU\n" "====\n" "[ 0 ] - Koniec pracy programu\n" "[ 1 ] - Generowanie kluczy RSA\n" "[ 2 ] - Kodowanie RSA\n\n" "Jaki jest twoj wybor? (0, 1 lub 2) : "; cin >> w; cout << "\n\n\n"; switch (w) case 1 : klucze_rsa(); break; case 2 : kodowanie_rsa(); break; cout << "\n\n\n"; while(w!= );
8 Microsoft ' ******************************************************* Visual ' ** Przykładowa aplikacja obrazująca sposób działania ** Basic 2005 ' ** asymetrycznego systemu kodowania informacji RSA. ** Express ' ** ** Edition ' ** (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek ** ' ** I Liceum Ogólnokształcące ** ' ** im. Kazimierza Brodzińskiego ** ' ** w Tarnowie ** ' ******************************************************* Option Explicit On Module Module1 ' Procedura oczekuje na naciśnięcie klawisza Enter ' po czym czyści ekran okna konsoli ' Public Sub Czekaj() Console.WriteLine("Zapisz te dane i naciśnij Enter") Console.ReadLine() End Sub ' Funkcja obliczająca NWD dla dwóch liczb ' Public Function nwd(byval a As Integer, ByVal b As Integer) As Integer Dim t As Integer While b <> t = b b = a Mod b a = t End While Return a End Function ' Funkcja obliczania odwrotności modulo n ' Public Function odwr_mod(byval a As Integer, ByVal n As Integer) As Integer Dim a0, n0, p0, p1, q, r, t As Integer p0 = : p1 = 1 : a0 = a : n0 = n q = n0 \ a0 r = n0 Mod a0 While r > t = p0 - q * p1 If t >= Then t = t Mod n Else t = n - ((-t) Mod n) End If p0 = p1 : p1 = t n0 = a0 : a0 = r q = n0 \ a0 r = n0 Mod a0 End While Return p1 End Function ' Procedura generowania kluczy RSA ' Public Sub klucze_rsa() Dim tp() As Integer = 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 Dim p, q, phi, n, e, d As Integer Console.Clear() Console.WriteLine("Generowanie kluczy RSA") Console.WriteLine(" ") ' generujemy dwie różne, losowe liczby pierwsze Do p = tp(int(rnd() * 10)) q = tp(int(rnd() * 10)) Loop Until p <> q phi = (p - 1) * (q - 1) n = p * q ' wyznaczamy wykładniki e i d e = 3 While nwd(e, phi) <> 1 : e = e + 2 : End While d = odwr_mod(e, phi) ' gotowe, wypisujemy klucze Console.WriteLine("KLUCZ PUBLICZNY") Console.WriteLine("wykładnik e = 0,4", e) Console.WriteLine(" moduł n = 0,4", n) Console.WriteLine("KLUCZ PRYWATNY") Console.WriteLine("wykładnik d = 0,4", d) Czekaj() End Sub ' Funkcja oblicza modulo potęgę podanej liczby ' Public Function pot_mod(byval a As Integer, ByVal w As Integer, _ ByVal n As Integer) As Integer Dim pot, wyn, q As Integer ' wykładnik w rozbieramy na sumę potęg 2. Dla reszt ' niezerowych tworzymy iloczyn potęg a modulo n. pot = a : wyn = 1 : q = w While q > If (q Mod 2) = 1 Then wyn = (wyn * pot) Mod n pot = (pot * pot) Mod n ' kolejna potęga q = q \ 2 End While Return wyn End Function ' Procedura kodowania danych RSA ' Public Sub kodowanie_rsa() Dim e, n, t As Integer Console.Clear() Console.WriteLine("Kodowanie danych RSA") Console.WriteLine(" ") Console.Write("Podaj wykładnik = ") : e = Val(Console.ReadLine) Console.Write(" Podaj moduł = ") : n = Val(Console.ReadLine) Console.WriteLine(" ") Console.Write("Podaj kod RSA = ") : t = Val(Console.ReadLine) Console.WriteLine("Wynik kodowania = 0", pot_mod(t, e, n)) Czekaj() End Sub Sub main() Dim w As Integer Randomize() Do Console.Clear() Console.WriteLine("System szyfrowania danych RSA") Console.WriteLine(" ") Console.WriteLine(" (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek ") Console.WriteLine("MENU") Console.WriteLine("====") Console.WriteLine("[ 0 ] - Koniec pracy programu") Console.WriteLine("[ 1 ] - Generowanie kluczy RSA") Console.WriteLine("[ 2 ] - Kodowanie RSA") Console.Write("Jaki jest twój wybór? (0, 1 lub 2) : ") w = Val(Console.ReadLine) Select Case w Case 1 : klucze_rsa() Case 2 : kodowanie_rsa() End Select Loop Until w = End Sub End Module
9 Python Program należy uruchamiać z dysku przez podwójne kliknięcie myszką pliku ze skryptem. # -*- coding: cp1250 -*- # ******************************************************* # ** Przykładowa aplikacja obrazująca sposób działania ** # ** asymetrycznego systemu kodowania informacji RSA. ** # ** ** # ** (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek ** # ** I Liceum Ogólnokształcące ** # ** im. Kazimierza Brodzińskiego ** # ** w Tarnowie ** # ******************************************************* import random import os # Procedura wywołuje polecenie systemowe, które czyści # zawartość okienka konsoli znakowej. W systemie Windows # jest to cls. W systemie Unix clear # def cls(): os.system("cls") # Procedura oczekuje na naciśnięcie klawisza Enter # po czym czyści ekran okna konsoli # def Czekaj(): raw_input("zapisz te dane i nacisnij Enter") # Funkcja obliczająca NWD dla dwóch liczb # def nwd(a, b): while b: a, b = b, a % b return a # Funkcja obliczania odwrotności modulo n # def odwr_mod(a, n): p0, p1, a0, n0 =, 1, a, n q, r = n0 // a0, n0 % a0 while r: t = p0 - q * p1 if t >= : t = t % n else: t = n - ((-t) % n) p0, p1, n0, a0 = p1, t, a0, r q, r = n0 // a0, n0 % a0 return p1 # Procedura generowania kluczy RSA # def klucze_rsa(): tp = [11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43] cls() "Generowanie kluczy RSA" " " # generujemy dwie różne, losowe liczby pierwsze p = q = while p == q: p, q = tp[random.randint(, 9)], tp[random.randint(, 9)] phi, n = (p - 1) * (q - 1), p * q # wyznaczamy wykładniki e i d e = 3 while nwd(e, phi)!= 1: e += 2 d = odwr_mod(e, phi) # gotowe, wypisujemy klucze "KLUCZ PUBLICZNY" "wykladnik e = %4d" % e " modul n = %4d" % n "KLUCZ PRYWATNY" "wykladnik d = %4d" % d Czekaj() # Funkcja oblicza modulo potęgę podanej liczby # def pot_mod(a, w, n): # wykładnik w rozbieramy na sumę potęg 2. Dla reszt # niezerowych tworzymy iloczyn potęg a modulo n. pot, wyn, q = a, 1, w while q: if (q % 2) == 1: wyn = (wyn * pot) % n pot = (pot * pot) % n # kolejna potęga q //= 2 return wyn # Procedura kodowania danych RSA # def kodowanie_rsa(): cls() "Kodowanie danych RSA" " " e = int(raw_input("podaj wykladnik = ")) n = int(raw_input(" Podaj modul = ")) " " t = int(raw_input("podaj kod RSA = ")) "Wynik kodowania =", pot_mod(t, e, n) Czekaj() # ******************** # ** Program główny ** # ******************** w = 1 while w: cls() "System szyfrowania danych RSA" " " " (C)2005 mgr Jerzy Walaszek " "MENU" "====" "[ 0 ] - Koniec pracy programu" "[ 1 ] - Generowanie kluczy RSA" "[ 2 ] - Kodowanie RSA" w = int(raw_input("jaki jest twoj wybor? (0, 1 lub 2) : ")) if w == 1: klucze_rsa() elif w == 2: kodowanie_rsa()
10 JavaScript <html> <head> <title>algorytm RSA</title> </head> <body> <form style="border:2px outset #FFCC00; PADDING-RIGHT: 4px; PADDING-LEFT: 4px; PADDING-BOTTOM: 1px; PADDING-TOP: 1px; BACKGROUND-COLOR: #FFCC00" name="rsa"> <div align="center"><center> <h2>generator kluczy RSA</h2> <p>(c)2004 mgr Jerzy Wałaszek I LO w Tarnowie</p> <p> <input onclick="js_genkeys()" type="button" value="generuj klucze"> <input onclick="js_keyclr()" type="button" value="czyść klucze"> </p> <table cellspacing="4" cellpadding="4" bgcolor="#ff9933" border="0" style="border-collapse: collapse"> <th colspan="2">klucz publiczny</th> <th colspan="2">klucz prywatny</th> <td>wykładnik</td> <td id="gkey_e" style="text-align: center">...</td> <td>wykładnik</td> <td id="gkey_d" style="text-align: center">...</td> <td>moduł</td> <td id="gkey_n1" style="text-align: center">...</td> <td>moduł</td> <td id="gkey_n2" style="text-align: center">...</td> </table> <hr> <h2>koder szyfru RSA</h2> <p>(c)2004 mgr Jerzy Wałaszek I LO w Tarnowie</p> <table cellspacing="4" cellpadding="4" bgcolor="#ff9933" border="0" style="border-collapse: collapse"> <td>wykładnik</td> <td><input name="ed"></td> <td>moduł</td> <td><input name="n"></td> <td>wiadomość</td> <td><input name="m"></td> </table> <p> <input onclick="js_codersa()" type="button" value="koduj RSA"> <input onclick="js_codeclr()" type="button" value="czyść formularz"> </p> <p id="rsa_out">...</p> </center></div> </form> <script language="javascript"> // Funkcja obliczająca NWD dla dwóch liczb function nwd(a, b) t; while(b!= ) t = b; b = a % b; a = t; return a; // Funkcja obliczania odwrotności modulo n function odwr_mod(a, n) a0,n0,p0,p1,q,r,t; p0 = ; p1 = 1; a0 = a; n0 = n; q = Math.floor(n0 / a0); r = n0 % a0; while(r > ) t = p0 - q * p1; if(t >= ) t = t % n; else t = n - ((-t) % n); p0 = p1; p1 = t; n0 = a0; a0 = r; q = Math.floor(n0 / a0); r = n0 % a0; return p1; function js_genkeys() tp = new Array(11,13,17,19,23,29,31,37,41,43); p,q,phi,n,e,d; // generujemy dwie różne, losowe liczby pierwsze do p = tp[math.floor(math.random() * 10)]; q = tp[math.floor(math.random() * 10)]; while (p == q); phi = (p - 1) * (q - 1); n = p * q; // wyznaczamy wykładniki e i d for(e = 3; nwd(e,phi)!= 1; e += 2); d = odwr_mod(e,phi); // gotowe, wypisujemy klucze document.getelementbyid("gkey_e").innerhtml = e; document.getelementbyid("gkey_d").innerhtml = d; document.getelementbyid("gkey_n1").innerhtml = n; document.getelementbyid("gkey_n2").innerhtml = n; function js_keyclr() document.getelementbyid("gkey_e").innerhtml = " "; document.getelementbyid("gkey_d").innerhtml = " "; document.getelementbyid("gkey_n1").innerhtml = " "; document.getelementbyid("gkey_n2").innerhtml = " "; // Funkcja oblicza modulo potęgę podanej liczby function pot_mod(a, w, n) pot,wyn,q; // wykładnik w rozbieramy na sumę potęg 2. Dla reszt // niezerowych tworzymy iloczyn potęg a modulo n. pot = a; wyn = 1; for(q = w; q > ; q = Math.floor(q / 2)) if(q % 2) wyn = (wyn * pot) % n; pot = (pot * pot) % n; // kolejna potęga return wyn; function js_codersa() e,n,t,s; e = parseint(document.rsa.ed.value); n = parseint(document.rsa.n.value); t = parseint(document.rsa.m.value); if(isnan(e) isnan(n) isnan(t)) s = "Błąd danych"; else s = pot_mod(t,e,n); document.getelementbyid("rsa_out").innerhtml = s; function js_codeclr() document.rsa.ed.value = ""; document.rsa.n.value = ""; document.rsa.m.value = ""; document.getelementbyid("rsa_out").innerhtml = " "; </script> </body> </html>
11 Poniższe, przykładowe programy są praktyczną realizacją omawianego w tym rozdziale algorytmu. Zapewne można je napisać bardziej efektywnie. To już twoje zadanie. Dokładny opis stosowanych środowisk programowania znajdziesz we wstępie. Programy przed opublikowaniem w serwisie edukacyjnym zostały dokładnie przetestowane. Jeśli jednak znajdziesz jakąś usterkę (co zawsze może się zdarzyć), to prześlij o niej informację do autora. Pozwoli to ulepszyć nasze artykuły. Będziemy Ci za to wdzięczni. Dokument ten rozpowszechniany jest zgodnie z zasadami licencji GNU Free Documentation License. Autor: mgr Jerzy Wałaszek Przedruk ze strony: Artykuł pobrano ze strony eioba.pl
RSA. R.L.Rivest A. Shamir L. Adleman. Twórcy algorytmu RSA
RSA Symetryczny system szyfrowania to taki, w którym klucz szyfrujący pozwala zarówno szyfrować dane, jak również odszyfrowywać je. Opisane w poprzednich rozdziałach systemy były systemami symetrycznymi.
Bardziej szczegółowoLiczby pierwsze - generacja liczb pierwszych
Artykuł pobrano ze strony eioba.pl Liczby pierwsze - generacja liczb pierwszych Do generacji liczb pierwszych wykorzystamy podaną w poprzednim rozdziale definicję liczby pierwszej. Algorytm będzie składał
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne - metoda prostokątów
Artykuł pobrano ze strony eioba.pl Całkowanie numeryczne - metoda prostokątów W metodzie prostokątów korzystamy z definicji całki oznaczonej Riemanna, w której wartość całki interpretowana jest jako suma
Bardziej szczegółowoPrzeliczanie na zapis stałoprzecinkowy
Artykuł pobrano ze strony eioba.pl Przeliczanie na zapis stałoprzecinkowy Nasz problem polega na znalezieniu reprezentacji danej liczby dziesiętnej w docelowym systemie pozycyjnym o podstawie p. Część
Bardziej szczegółowoMiejsca zerowe funkcji - Metoda połowienia
Artykuł pobrano ze strony eioba.pl Miejsca zerowe funkcji - Metoda połowienia Mamy daną funkcję f(x) oraz przedział , w którym będziemy poszukiwali miejsca zerowego (czyli pierwiastka funkcji f(x)).
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne - metoda Simpsona
Artykuł pobrano ze strony eioba.pl Całkowanie numeryczne - metoda Simpsona TRUDNE! Metoda Simpsona jest najdokładniejszą z dotąd poznanych przez nas metod przybliżonego całkowania. W metodzie prostokątów
Bardziej szczegółowoMiejsca zerowe funkcji - Metoda Newtona
Artykuł pobrano ze strony eioba.pl Miejsca zerowe funkcji - Metoda Newtona Mamy daną funkcję f(x), jeden punkty startowy x o i przedział poszukiwań pierwiastka, do którego należy punkt x o. W przedziale
Bardziej szczegółowoLiczby pierwsze - sito Eratostenesa
Artykuł pobrano ze strony eioba.pl Liczby pierwsze - sito Eratostenesa Już w czasach starożytnych znano metodę opisaną przez greckiego uczonego Eratostenesa z Cyreny. Podszedł on do rozwiązania od drugiej
Bardziej szczegółowoIlość cyfr liczby naturalnej
Ilość cyfr liczby naturalnej Użytkownik wprowadza liczbę naturalną n. Podaj algorytm znajdowania ilości cyfr liczby n. (Np.: po wprowadzeniu liczby 2453, jako wynik powinna zostać podana liczba 4). Specyfikacja
Bardziej szczegółowobinit - binary digit, bigit - binary digit
Artykuł pobrano ze strony eioba.pl Kody binarne Historia rozwoju komputerów pokazuje nam, iż system binarny nie został od razu wybrany jako podstawowy system reprezentacji liczb w maszynach cyfrowych.
Bardziej szczegółowoSortowanie stogowe Heap Sort
Prezentowane materiały są przeznaczone dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych. Autor artykułu: mgr Jerzy Wałaszek, Wersja 4.1 Sortowanie stogowe Heap Sort Podrozdziały Tematy pokrewne Algorytm rozbioru kopca
Bardziej szczegółowoPodstawy systemów kryptograficznych z kluczem jawnym RSA
Podstawy systemów kryptograficznych z kluczem jawnym RSA RSA nazwa pochodząca od nazwisk twórców systemu (Rivest, Shamir, Adleman) Systemów z kluczem jawnym można używać do szyfrowania operacji przesyłanych
Bardziej szczegółowoZastosowanie teorii liczb w kryptografii na przykładzie szyfru RSA
Zastosowanie teorii liczb w kryptografii na przykładzie szyfru RSA Grzegorz Bobiński Uniwersytet Mikołaja Kopernika Toruń, 22.05.2010 Kodowanie a szyfrowanie kodowanie sposoby przesyłania danych tak, aby
Bardziej szczegółowoSzyfrowanie RSA (Podróż do krainy kryptografii)
Szyfrowanie RSA (Podróż do krainy kryptografii) Nie bójmy się programować z wykorzystaniem filmów Academy Khana i innych dostępnych źródeł oprac. Piotr Maciej Jóźwik Wprowadzenie metodyczne Realizacja
Bardziej szczegółowon = p q, (2.2) przy czym p i q losowe duże liczby pierwsze.
Wykład 2 Temat: Algorytm kryptograficzny RSA: schemat i opis algorytmu, procedura szyfrowania i odszyfrowania, aspekty bezpieczeństwa, stosowanie RSA jest algorytmem z kluczem publicznym i został opracowany
Bardziej szczegółowoLICZBY PIERWSZE. Jan Ciurej Radosław Żak
LICZBY PIERWSZE Jan Ciurej Radosław Żak klasa IV a Katolicka Szkoła Podstawowa im. Świętej Rodziny z Nazaretu w Krakowie ul. Pędzichów 13, 31-152 Kraków opiekun - mgr Urszula Zacharska konsultacja informatyczna
Bardziej szczegółowoINFORMATYKA WYBRANE ALGORYTMY OPTYMALIZACYJNE KRYPTOLOGIA.
INFORMATYKA WYBRANE ALGORYTMY OPTYMALIZACYJNE KRYPTOLOGIA http://www.infoceram.agh.edu.pl Klasy metod algorytmicznych Metoda TOP-DOWN (zstępująca, analityczna) Metoda BOTTOM-UP (wstępująca, syntetyczna)
Bardziej szczegółowoZarys algorytmów kryptograficznych
Zarys algorytmów kryptograficznych Laboratorium: Algorytmy i struktury danych Spis treści 1 Wstęp 1 2 Szyfry 2 2.1 Algorytmy i szyfry........................ 2 2.2 Prosty algorytm XOR......................
Bardziej szczegółowoKryptologia przykład metody RSA
Kryptologia przykład metody RSA przygotowanie: - niech p=11, q=23 n= p*q = 253 - funkcja Eulera phi(n)=(p-1)*(q-1)=220 - teraz potrzebne jest e które nie jest podzielnikiem phi; na przykład liczba pierwsza
Bardziej szczegółowoKryptografia. z elementami kryptografii kwantowej. Ryszard Tanaś Wykład 5
Kryptografia z elementami kryptografii kwantowej Ryszard Tanaś http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Wykład 5 Spis treści 9 Algorytmy asymetryczne RSA 3 9.1 Algorytm RSA................... 4 9.2 Szyfrowanie.....................
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do programowania w języku Visual Basic. Podstawowe instrukcje języka
Wprowadzenie do programowania w języku Visual Basic. Podstawowe instrukcje języka 1. Kompilacja aplikacji konsolowych w środowisku programistycznym Microsoft Visual Basic. Odszukaj w menu startowym systemu
Bardziej szczegółowoPuTTY. Systemy Operacyjne zaawansowane uŝytkowanie pakietu PuTTY, WinSCP. Inne interesujące programy pakietu PuTTY. Kryptografia symetryczna
PuTTY Systemy Operacyjne zaawansowane uŝytkowanie pakietu PuTTY, WinSCP Marcin Pilarski PuTTY emuluje terminal tekstowy łączący się z serwerem za pomocą protokołu Telnet, Rlogin oraz SSH1 i SSH2. Implementuje
Bardziej szczegółowo0 --> 5, 1 --> 7, 2 --> 9, 3 -->1, 4 --> 3, 5 --> 5, 6 --> 7, 7 --> 9, 8 --> 1, 9 --> 3.
(Aktualizacja z dnia 3 kwietnia 2013) MATEMATYKA DYSKRETNA - informatyka semestr 2 (lato 2012/2013) Zadania do omówienia na zajęciach w dniach 21 i 28 kwietnia 2013 ZESTAW NR 3/7 (przykłady zadań z rozwiązaniami)
Bardziej szczegółowoWyszukiwanie największej spośród czterech liczb. Przykładowe rozwiązanie
Wyszukiwanie największej spośród czterech liczb Użytkownik podaje cztery liczby rzeczywiste. Podaj algorytm znajdowania największej spośród nich. (Np.: po wprowadzeniu liczb: 12 7 18.5 9 program powinien
Bardziej szczegółowoPalindromy. Przykładowe rozwiązanie
Palindromy Palindromem (z greckiego) nazywamy wyraz, który tak samo brzmi, gdy jest czytany wspak. Palindromami są na przykład takie wyrazy, jak kajak, zaraz, oko, zakaz, mam itp. Użytkownik wprowadza
Bardziej szczegółowoWykład VI. Programowanie III - semestr III Kierunek Informatyka. dr inż. Janusz Słupik. Wydział Matematyki Stosowanej Politechniki Śląskiej
Wykład VI - semestr III Kierunek Informatyka Wydział Matematyki Stosowanej Politechniki Śląskiej Gliwice, 2013 c Copyright 2013 Janusz Słupik Podstawowe zasady bezpieczeństwa danych Bezpieczeństwo Obszary:
Bardziej szczegółowoInformacje wstępne #include <nazwa> - derektywa procesora umożliwiająca włączenie do programu pliku o podanej nazwie. Typy danych: char, signed char
Programowanie C++ Informacje wstępne #include - derektywa procesora umożliwiająca włączenie do programu pliku o podanej nazwie. Typy danych: char, signed char = -128 do 127, unsigned char = od
Bardziej szczegółowoKryptografia-0. przykład ze starożytności: około 489 r. p.n.e. niewidzialny atrament (pisze o nim Pliniusz Starszy I wiek n.e.)
Kryptografia-0 -zachowanie informacji dla osób wtajemniczonych -mimo że włamujący się ma dostęp do informacji zaszyfrowanej -mimo że włamujący się zna (?) stosowaną metodę szyfrowania -mimo że włamujący
Bardziej szczegółowoKodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 15, Kryptografia: algorytmy asymetryczne (RSA)
Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 15, 19.06.2005 1 Kryptografia: algorytmy asymetryczne (RSA) Niech E K (x) oznacza szyfrowanie wiadomości x kluczem K (E od encrypt, D K (x)
Bardziej szczegółowoKodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 14, Kryptografia: algorytmy asymetryczne (RSA)
Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 14, 7.06.2005 1 Kryptografia: algorytmy asymetryczne (RSA) Niech E K (x) oznacza szyfrowanie wiadomości x kluczem K (E od encrypt, D K (x)
Bardziej szczegółowoWybrane zagadnienia teorii liczb
Wybrane zagadnienia teorii liczb Podzielność liczb NWW, NWD, Algorytm Euklidesa Arytmetyka modularna Potęgowanie modularne Małe twierdzenie Fermata Liczby pierwsze Kryptosystem RSA Podzielność liczb Relacja
Bardziej szczegółowoAlgorytmy asymetryczne
Algorytmy asymetryczne Klucze występują w parach jeden do szyfrowania, drugi do deszyfrowania (niekiedy klucze mogą pracować zamiennie ) Opublikowanie jednego z kluczy nie zdradza drugiego, nawet gdy można
Bardziej szczegółowoFunkcje i instrukcje języka JavaScript
Funkcje i instrukcje języka JavaScript 1. Cele lekcji a) Wiadomości Uczeń : zna operatory i typy danych języka JavaScript, zna konstrukcję definicji funkcji, zna pętlę If i For, Do i While oraz podaje
Bardziej szczegółowoLICZBY PIERWSZE. 14 marzec 2007. Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F.
Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F. Gauss (1777-1855) 14 marzec 2007 Zasadnicze twierdzenie teorii liczb Zasadnicze twierdzenie teorii liczb Ile jest liczb
Bardziej szczegółowoInstrukcje sterujące mgr Tomasz Xięski, Instytut Informatyki, Uniwersytet Śląski Katowice, 2012
Instrukcje sterujące mgr Tomasz Xięski, Instytut Informatyki, Uniwersytet Śląski Katowice, 2012 if (warunek) instrukcja1; if (warunek) instrukcja1; else instrukcja2; if (warunek) instrukcja1; else if (warunek2)
Bardziej szczegółowoAtaki na RSA. Andrzej Chmielowiec. Centrum Modelowania Matematycznego Sigma. Ataki na RSA p. 1
Ataki na RSA Andrzej Chmielowiec andrzej.chmielowiec@cmmsigma.eu Centrum Modelowania Matematycznego Sigma Ataki na RSA p. 1 Plan prezentacji Wprowadzenie Ataki algebraiczne Ataki z kanałem pobocznym Podsumowanie
Bardziej szczegółowoZałóżmy, że musimy zapakować plecak na wycieczkę. Plecak ma pojemność S. Przedmioty mają objętości,,...,, których suma jest większa od S.
Załóżmy, że musimy zapakować plecak na wycieczkę. Plecak ma pojemność S. Przedmioty mają objętości,,...,, których suma jest większa od S. Plecak ma być zapakowany optymalnie, tzn. bierzemy tylko te przedmioty,
Bardziej szczegółowoJęzyk programowania PASCAL
Język programowania PASCAL (wersja podstawowa - standard) Literatura: dowolny podręcznik do języka PASCAL (na laboratoriach Borland) Iglewski, Madey, Matwin PASCAL STANDARD, PASCAL 360 Marciniak TURBO
Bardziej szczegółowoSystemy Operacyjne zaawansowane uŝytkowanie pakietu PuTTY, WinSCP. Marcin Pilarski
Systemy Operacyjne zaawansowane uŝytkowanie pakietu PuTTY, WinSCP Marcin Pilarski PuTTY PuTTY emuluje terminal tekstowy łączący się z serwerem za pomocą protokołu Telnet, Rlogin oraz SSH1 i SSH2. Implementuje
Bardziej szczegółowoWykład VII. Kryptografia Kierunek Informatyka - semestr V. dr inż. Janusz Słupik. Gliwice, 2014. Wydział Matematyki Stosowanej Politechniki Śląskiej
Wykład VII Kierunek Informatyka - semestr V Wydział Matematyki Stosowanej Politechniki Śląskiej Gliwice, 2014 c Copyright 2014 Janusz Słupik Problem pakowania plecaka System kryptograficzny Merklego-Hellmana
Bardziej szczegółowoInformatyka dla klas I wykresy funkcji
2013 mgr Jerzy Wałaszek I LO w Tarnowie Informatyka dla klas I wykresy funkcji Prezentowane materiały są przeznaczone dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych. Autor artykułu: mgr Jerzy Wałaszek, wersja1.0
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3 (13 MARZEC 2014) LICZBY CAŁKOWITE I RZECZYWISTE. Bartosz Łakomy i Dariusz Dobiesz
WYKŁAD 3 (13 MARZEC 2014) LICZBY CAŁKOWITE I RZECZYWISTE Bartosz Łakomy i Dariusz Dobiesz SPIS TREŚCI: Liczby parzyste i nieparzyste Liczby podzielne lub niepodzielne przez zadane podzielniki NWD algorytm
Bardziej szczegółowoI - Microsoft Visual Studio C++
I - Microsoft Visual Studio C++ 1. Nowy projekt z Menu wybieramy File -> New -> Projekt -> Win32 Console Application w okienku Name: podajemy nazwę projektu w polu Location: wybieramy miejsce zapisu i
Bardziej szczegółowo5. Rekurencja. Przykłady
5. Rekurencja Uwaga! W tym rozdziale nie są omówione żadne nowe konstrukcje języka C++. Omówiona jest za to technika wykorzystująca funkcje, która pozwala na rozwiązanie pewnych nowych rodzajów zadań.
Bardziej szczegółowoLiczby całkowite i rzeczywiste
Wykład 4(20 marzec 2014r.) Liczby całkowite i rzeczywiste Paulina Rogowiecka Klaudia Kamińska Adrianna Znyk 1 Spis treści: Czynniki pierwsze metoda próbnych dzieleń Pierwszość liczby naturalnej algorytmy
Bardziej szczegółowoLuty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl
System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy
Bardziej szczegółowoDr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska
Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik
Bardziej szczegółowoKryptografia publiczna (asymetryczna) Szyfrowanie publiczne (asym) Problem klucza publicznego. Podpisujemy cyfrowo. Jak zweryfikować klucz publiczny?
Kryptografia publiczna (asymetryczna) Wykład 7 Systemy kryptograficzne z kluczem publicznym Wiedza o kluczu szyfrującym nie pozwala odgadnąć klucza deszyfrującego Odbiorca informacji generuje parę kluczy
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania
wykład 3 Agata Półrola Wydział Matematyki i Informatyki UŁ sem. zimowy 2017/2018 Instrukcja wielokrotnego wyboru Instrukcja wielokrotnego wyboru switch umożliwia podejmowanie decyzji na podstawie wartości
Bardziej szczegółowoZadanie 1: Protokół ślepych podpisów cyfrowych w oparciu o algorytm RSA
Informatyka, studia dzienne, inż. I st. semestr VI Podstawy Kryptografii - laboratorium 2010/2011 Prowadzący: prof. dr hab. Włodzimierz Jemec poniedziałek, 08:30 Data oddania: Ocena: Marcin Piekarski 150972
Bardziej szczegółowo2.8. Algorytmy, schematy, programy
https://app.wsipnet.pl/podreczniki/strona/38766 2.8. Algorytmy, schematy, programy DOWIESZ SIĘ co oznaczają pojęcia: algorytm, schemat blokowy, język programowania, jakie są sposoby obliczania największego
Bardziej szczegółowoAlgorytmika i programowanie. Wykład 2 inż. Barbara Fryc Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania w Rzeszowie
Algorytmika i programowanie Wykład 2 inż. Barbara Fryc Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania w Rzeszowie Tablice Tablica jest zbiorem elementów tego samego typu. Każdy element jest identyfikowany (numer
Bardziej szczegółowoOperacje arytmetyczne w systemie dwójkowym
Artykuł pobrano ze strony eioba.pl Operacje arytmetyczne w systemie dwójkowym Zasady arytmetyki w systemie binarnym są identyczne (prawie) jak w dobrze nam znanym systemie dziesiętnym. Zaletą arytmetyki
Bardziej szczegółowoProgramowanie komputerowe. Zajęcia 1
Programowanie komputerowe Zajęcia 1 Code::Blocks - tworzenie projektu Create New Project Console Application -> C++ Wybierz nazwę projektu Stworzy się nowy projekt z wpisaną funkcją main Wpisz swój program
Bardziej szczegółowoPrzewodnik użytkownika
STOWARZYSZENIE PEMI Przewodnik użytkownika wstęp do podpisu elektronicznego kryptografia asymetryczna Stowarzyszenie PEMI Podpis elektroniczny Mobile Internet 2005 1. Dlaczego podpis elektroniczny? Podpis
Bardziej szczegółowoPodstawy programowania. 1. Operacje arytmetyczne Operacja arytmetyczna jest opisywana za pomocą znaku operacji i jednego lub dwóch wyrażeń.
Podstawy programowania Programowanie wyrażeń 1. Operacje arytmetyczne Operacja arytmetyczna jest opisywana za pomocą znaku operacji i jednego lub dwóch wyrażeń. W językach programowania są wykorzystywane
Bardziej szczegółowoProgramowanie. programowania. Klasa 3 Lekcja 9 PASCAL & C++
Programowanie Wstęp p do programowania Klasa 3 Lekcja 9 PASCAL & C++ Język programowania Do przedstawiania algorytmów w postaci programów służą języki programowania. Tylko algorytm zapisany w postaci programu
Bardziej szczegółowoCzęść 4 życie programu
1. Struktura programu c++ Ogólna struktura programu w C++ składa się z kilku części: część 1 część 2 część 3 część 4 #include int main(int argc, char *argv[]) /* instrukcje funkcji main */ Część
Bardziej szczegółowo1 Podstawy c++ w pigułce.
1 Podstawy c++ w pigułce. 1.1 Struktura dokumentu. Kod programu c++ jest zwykłym tekstem napisanym w dowolnym edytorze. Plikowi takiemu nadaje się zwykle rozszerzenie.cpp i kompiluje za pomocą kompilatora,
Bardziej szczegółowoProgramowanie - wykład 4
Programowanie - wykład 4 Filip Sośnicki Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski 20.03.2019 Przypomnienie Prosty program liczący i wyświeltający wartość silni dla wprowadzonej z klawiatury liczby: 1 # include
Bardziej szczegółowoCopyright by K. Trybicka-Francik 1
Bezpieczeństwo systemów komputerowych Algorytmy kryptograficzne (2) mgr Katarzyna Trybicka-Francik kasiat@zeus.polsl.gliwice.pl pok. 503 Szyfry wykładnicze Pohlig i Hellman 1978 r. Rivest, Shamir i Adleman
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA INSTALACJI I OBSŁUGI GPG4Win
INSTRUKCJA INSTALACJI I OBSŁUGI GPG4Win Łukasz Awsiukiewicz Solid Security wew 1211 l.awsiukiewicz@solidsecurity.pl wersja 1.0 Pobieramy program gpg4win ze strony http://www.gpg4win.org/download.html.
Bardziej szczegółowoAlgorytmy w teorii liczb
Łukasz Kowalik, ASD 2004: Algorytmy w teorii liczb 1 Algorytmy w teorii liczb Teoria liczb jest działem matemtyki dotyczącym własności liczb naturalnych. Rozważa się zagadnienia związane z liczbami pierwszymi,
Bardziej szczegółowoLISTA 5. C++ PETLE for, while, do while
WSTEP DO INFORMATYKI I PROGRAMOWANIA LISTA 5. C++ PETLE for, while, do while Zadanie. Przeanalizuj działanie poniższego programu. cout
Bardziej szczegółowoProgramowanie w C++ Wykład 2. Katarzyna Grzelak. 5 marca K.Grzelak (Wykład 1) Programowanie w C++ 1 / 41
Programowanie w C++ Wykład 2 Katarzyna Grzelak 5 marca 2018 K.Grzelak (Wykład 1) Programowanie w C++ 1 / 41 Reprezentacje liczb w komputerze K.Grzelak (Wykład 1) Programowanie w C++ 2 / 41 Reprezentacje
Bardziej szczegółowoMACIERZE. Sobiesiak Łukasz Wilczyńska Małgorzata
MACIERZE Sobiesiak Łukasz Wilczyńska Małgorzata Podstawowe pojęcia dotyczące macierzy Nie bez przyczyny zaczynamy od pojęcia macierzy, które jest niezwykle przydatne we wszystkich zastosowaniach, obliczeniach
Bardziej szczegółowoAlgorytm. a programowanie -
Algorytm a programowanie - Program komputerowy: Program komputerowy można rozumieć jako: kod źródłowy - program komputerowy zapisany w pewnym języku programowania, zestaw poszczególnych instrukcji, plik
Bardziej szczegółowoCzym jest kryptografia?
Szyfrowanie danych Czym jest kryptografia? Kryptografia to nauka zajmująca się układaniem szyfrów. Nazwa pochodzi z greckiego słowa: kryptos - "ukryty", gráphein "pisać. Wyróżniane są dwa główne nurty
Bardziej szczegółowoKryptografia systemy z kluczem publicznym. Kryptografia systemy z kluczem publicznym
Mieliśmy więc...... system kryptograficzny P = f C = f 1 P, gdzie funkcja f składała się z dwóch elementów: Algorytm (wzór) np. C = f(p) P + b mod N Parametry K E (enciphering key) tutaj: b oraz N. W dotychczasowej
Bardziej szczegółowoBezpieczeństwo danych, zabezpieczanie safety, security
Bezpieczeństwo danych, zabezpieczanie safety, security Kryptologia Kryptologia, jako nauka ścisła, bazuje na zdobyczach matematyki, a w szczególności teorii liczb i matematyki dyskretnej. Kryptologia(zgr.κρυπτός
Bardziej szczegółowoPodstawy programowania obiektowego
Podstawy programowania obiektowego wykład 2 // na poprzednim wykładzie: using System; namespace ConsoleApplication1 class Program Console.Write("Podaj liczbę > "); // wczytywanie int x = int.parse(console.readline());
Bardziej szczegółowoCopyright by K. Trybicka-Francik 1
Bezpieczeństwo systemów komputerowych Algorytmy kryptograficzne (2) Szyfry wykładnicze Pohlig i Hellman 1978 r. Rivest, Shamir i Adleman metoda szyfrowania z kluczem jawnym DSA (Digital Signature Algorithm)
Bardziej szczegółowoWyrażenie include(sciezka_do_pliku) pozwala na załadowanie (wnętrza) pliku do skryptu php. Plik ten może zawierać wszystko, co może się znaleźć w
Wyrażenie include(sciezka_do_pliku) pozwala na załadowanie (wnętrza) pliku do skryptu php. Plik ten może zawierać wszystko, co może się znaleźć w obrębie skryptu. Wyrażenia include() i require() są niemal
Bardziej szczegółowoZamiana porcji informacji w taki sposób, iż jest ona niemożliwa do odczytania dla osoby postronnej. Tak zmienione dane nazywamy zaszyfrowanymi.
Spis treści: Czym jest szyfrowanie Po co nam szyfrowanie Szyfrowanie symetryczne Szyfrowanie asymetryczne Szyfrowanie DES Szyfrowanie 3DES Szyfrowanie IDEA Szyfrowanie RSA Podpis cyfrowy Szyfrowanie MD5
Bardziej szczegółowoProgramowanie w Turbo Pascal
Skróty: ALT + F9 Kompilacja CTRL + F9 Uruchomienie Struktura programu: Programowanie w Turbo Pascal Program nazwa; - nagłówek programu - blok deklaracji (tu znajduje się VAR lub CONST) - blok instrukcji
Bardziej szczegółowoKonstrukcje warunkowe Pętle
* Konstrukcje warunkowe Pętle *Instrukcja if sposób na sprawdzanie warunków *Konstrukcja: if(warunek) else { instrukcje gdy warunek spełniony} {instrukcje gdy warunek NIE spełniony} * 1. Wylicz całkowity
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów
Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie
Bardziej szczegółowoSzyfrowanie RSA. Liczba pierwsza jest liczbą naturalną posiadającą dokładnie dwa różne podzielniki - 1 oraz samą siebie.
Szyfrowanie RSA Liczby pierwsze Na początek przypomnijmy sobie parę użytecznych wiadomości o liczbach pierwszych. Są one znane od starożytności a ich znaczenie jest ogromne w matematyce i tym bardziej
Bardziej szczegółowoRozwiązanie. #include <cstdlib> #include <iostream> using namespace std;
Programowanie C++ Zadanie 1 Napisz program do obliczenia sumy i iloczynu ciągu liczb zakooczonego liczbą zero. Zakładamy, że ciąg zawiera co najmniej jedną liczbę (założenie to jest konieczne przy obliczeniu
Bardziej szczegółowoPodstawy Programowania Podstawowa składnia języka C++
Podstawy Programowania Podstawowa składnia języka C++ Katedra Analizy Nieliniowej, WMiI UŁ Łódź, 3 października 2013 r. Szablon programu w C++ Najprostszy program w C++ ma postać: #include #include
Bardziej szczegółowoINŻYNIERIA BEZPIECZEŃSTWA LABORATORIUM NR 2 ALGORYTM XOR ŁAMANIE ALGORYTMU XOR
INŻYNIERIA BEZPIECZEŃSTWA LABORATORIUM NR 2 ALGORYTM XOR ŁAMANIE ALGORYTMU XOR 1. Algorytm XOR Operacja XOR to inaczej alternatywa wykluczająca, oznaczona symbolem ^ w języku C i symbolem w matematyce.
Bardziej szczegółowoZaawansowane algorytmy i struktury danych
Zaawansowane algorytmy i struktury danych u dr Barbary Marszał-Paszek Opracowanie pytań praktycznych z egzaminów. Strona 1 z 12 Pytania praktyczne z kolokwium zaliczeniowego z 19 czerwca 2014 (studia dzienne)
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Wykład 11: Kryptografia z kluczem publicznym. Gniewomir Sarbicki
Matematyka dyskretna Wykład 11: Kryptografia z kluczem publicznym Gniewomir Sarbicki Idea kryptografii z kluczem publicznym: wiadomość f szyfrogram f 1 wiadomość Funkcja f (klucz publiczny) jest znana
Bardziej szczegółowo2 Kryptografia: algorytmy symetryczne
1 Kryptografia: wstęp Wyróżniamy algorytmy: Kodowanie i kompresja Streszczenie Wieczorowe Studia Licencjackie Wykład 14, 12.06.2007 symetryczne: ten sam klucz jest stosowany do szyfrowania i deszyfrowania;
Bardziej szczegółowoWykład II PASCAL - podstawy składni i zmienne, - instrukcje wyboru, - iteracja, - liczby losowe
Podstawy programowania Wykład II PASCAL - podstawy składni i zmienne, - instrukcje wyboru, - iteracja, - liczby losowe 1 I. Składnia Składnia programu Program nazwa; Uses biblioteki; Var deklaracje zmiennych;
Bardziej szczegółowoInstrukcja generowania certyfikatu PFRON i podpisywania dokumentów aplikacji SODiR w technologii JS/PKCS 12
Instrukcja generowania certyfikatu PFRON i podpisywania dokumentów aplikacji SODiR w technologii JS/PKCS 12 Wersja 3.0 02-03-2017 Spis treści Instrukcja generowania certyfikatu PFRON i podpisywania dokumentów
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i język C++
Wykład 6 Wskaźniki Wskaźnik nie przechowuje wartości zmiennej ale, podobnie jak tablica, wskazuje miejsce w pamięci, w którym znajduje się zmienna danego typu. W poniższym przykładzie symbol * pomiędzy
Bardziej szczegółowo2. W oknie dialogowym Choose Toolbox Items w zakładce.net Framework Components naciskamy przycisk Browse...
KORZYSTANIE Z KONTROLKI.NET LENDEVICERS232 DODAWANIE KONTROLKI DO ZBIORU KOMPONENTÓW DOSTĘPNYCH W PALECIE TOOLBOX (ŚRODOWISKA PROGRAMISTYCZNE FIRMY MICROSOFT) W środowisku programistycznym (Visual C++,
Bardziej szczegółowoMateriały do zajęć III
Materiały do zajęć III Instrukcja wyboru if Spis treści I. Instrukcja wyboru if II. Wybór wielowariantowy III. Czy liczba podana przez użytkownika jest parzysta? IV. Wyjątki V. Instrukcje iteracji pętle
Bardziej szczegółowoSposoby tworzenia projektu zawierającego aplet w środowisku NetBeans. Metody zabezpieczenia komputera użytkownika przed działaniem apletu.
Sposoby tworzenia projektu zawierającego aplet w środowisku NetBeans. Metody zabezpieczenia komputera użytkownika przed działaniem apletu. Dr inż. Zofia Kruczkiewicz Dwa sposoby tworzenia apletów Dwa sposoby
Bardziej szczegółowoProgramowanie w C++ Wykład 2. Katarzyna Grzelak. 4 marca K.Grzelak (Wykład 1) Programowanie w C++ 1 / 44
Programowanie w C++ Wykład 2 Katarzyna Grzelak 4 marca 2019 K.Grzelak (Wykład 1) Programowanie w C++ 1 / 44 Na poprzednim wykładzie podstawy C++ Każdy program w C++ musi mieć funkcję o nazwie main Wcięcia
Bardziej szczegółowo1. Wypisywanie danych
1. Wypisywanie danych Przykłady 1.1. Napisz program, który wypisze na ekran słowa Hello, world!. 1 // Przyklad 1: Hello, world! 3 using namespace std; 5 int main() { 6 cout
Bardziej szczegółowo3. Instrukcje warunkowe
. Instrukcje warunkowe Przykłady.1. Napisz program, który pobierze od użytkownika liczbę i wypisze na ekran słowo ujemna lub nieujemna, w zależności od tego czy dana liczba jest ujemna czy nie. 1 #include
Bardziej szczegółowoProste programy w C++ zadania
Proste programy w C++ zadania Zbiór zadao do samodzielnego rozwiązania stanowiący powtórzenie materiału. Podstawy C++ Budowa programu w C++ Dyrektywy preprocesora Usunięcie dublujących się nazw Częśd główna
Bardziej szczegółowoWHILE (wyrażenie) instrukcja;
INSTRUKCJE ITERACYJNE WHILE, DO WHILE, FOR Instrukcje iteracyjne pozwalają powtarzać daną instrukcję programu określoną liczbę razy lub do momentu osiągnięcia określonego skutku. Pętla iteracyjna while
Bardziej szczegółowoPłace Optivum. Jakie czynności musi wykonać pracownik, aby otrzymywać drogą elektroniczną paski z list płac?
Płace Optivum Jakie czynności musi wykonać pracownik, aby otrzymywać drogą elektroniczną paski z list płac? Program Płace Optivum umożliwia wysyłanie pracownikom pasków z list płac drogą elektroniczną.
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i złożoności Wykład 5. Haszowanie (hashowanie, mieszanie)
Algorytmy i złożoności Wykład 5. Haszowanie (hashowanie, mieszanie) Wprowadzenie Haszowanie jest to pewna technika rozwiązywania ogólnego problemu słownika. Przez problem słownika rozumiemy tutaj takie
Bardziej szczegółowoAplikacje WWW - laboratorium
Aplikacje WWW - laboratorium JavaServer Pages Celem ćwiczenia jest zbudowanie kilku prostych stron internetowych z użyciem technologii JSP. Podczas ćwiczenia wykorzystany zostanie algorytm sortowania bąbelkowego
Bardziej szczegółowo