Miejsca zerowe funkcji - Metoda Newtona

Transkrypt

1 Artykuł pobrano ze strony eioba.pl Miejsca zerowe funkcji - Metoda Newtona Mamy daną funkcję f(x), jeden punkty startowy x o i przedział <a,b> poszukiwań pierwiastka, do którego należy punkt x o. W przedziale poszukiwań pierwiastka funkcja musi spełniać następujące warunki: Funkcja f(x) jest określona. Funkcja f(x) jest ciągła. Funkcja f(x) na krańcach przedziału <a,b> przyjmuje różne znaki. W przedziale <a,b> pierwsza pochodna f '(x) jest różna od zera. Gdy funkcja f(x) spełnia podane warunki, to w przedziale <a,b> istnieje pierwiastek i możemy go wyszukać metodą Newtona. Jeśli we wzorze metody siecznych: punkty x i-1 i x i-2 zaczną się do siebie zbliżać dążąc w granicy do równości, to ułamek tam występujący przejdzie w odwrotność pochodnej funkcji f(x) w punkcie x i-1 : Sieczna w granicy stanie się styczną. Otrzymany wzór nosi nazwę wzoru Newtona. Pozwala on wyliczyć punkt przecięcia stycznej do wykresu funkcji w punkcie x i-1 z osią OX. Do wyznaczenia kolejnego przybliżenia pierwiastka x i potrzebujemy tylko jednego punktu, który został wyznaczony w poprzednim obiegu - w metodzie siecznych potrzebne były dwa punkty. Zaletą metody Newtona jest bardzo szybka zbieżność. Wadą - we wzorze występuje pochodna, której obliczenie może być trudne dla niektórych funkcji. Jednakże metodę Newtona najczęściej stosuje się do wielomianów, których pochodne są bardzo proste i liczy się je algorytmicznie.

2 Zasada metody Newtona jest następująca: Obliczenia rozpoczynamy od punktu x o leżącego dostatecznie blisko poszukiwanego pierwiastka funkcji. W przedziale pomiędzy punktem x o a docelowym pierwiastkiem funkcja musi posiadać niezerową pierwszą pochodną. Pożądane jest również, aby w punkcie x o druga pochodna miała ten sam znak, co funkcja f(x). W przeciwnym razie metoda Newtona zamiast zbliżać się do punktu pierwiastka ucieknie od niego. Obliczamy nowy punkt x o zgodnie ze wzorem i sprawdzamy, czy wartość funkcji w tym punkcie jest dostatecznie bliska 0. Jeśli tak, kończymy. W przeciwnym razie wyznaczony kolejny punkt x o wykorzystując ostatnio wyliczony. Działania te prowadzimy dotąd, aż zbliżymy się dostatecznie do pierwiastka funkcji - różnica pomiędzy dwoma kolejno wyznaczonymi pierwiastkami będzie dostatecznie mała. Ponieważ metoda Newtona może być rozbieżna przy źle wybranym punkcie startowym, będziemy zliczali obiegi - jeśli rozwiązanie nie pojawi się po wykonaniu zadanej ich liczby, przerwiemy obliczenia. Znanym przykładem zastosowania metody Newtona jest rekurencyjne wyliczanie pierwiastka kwadratowego z danej liczby p. Wartość pierwiastka jest miejscem zerowym funkcji: f(x) = x 2 - p Pochodna tej funkcji jest bardzo prosta i wyraża się wzorem: f '(x) = 2x Przyjmijmy za punkt startowy pewną liczbę x. Wtedy pierwsze przybliżenie otrzymamy wg wzoru: Kolejne przybliżenie otrzymamy podstawiając we wzorze za x otrzymane x 1. Wg tej metody postępujemy dotąd, aż różnica dwóch ostatnich przybliżeń będzie mniejsza od pożądanej dokładności

3 wyznaczenia pierwiastka. Dla przykładu wyznaczmy tą metodą pierwiastek z liczby 5 z dokładnością do 0,01. Za punkt początkowy przyjmijmy 5. Sprawdźmy: 2, = 5, Przybliżenie jest zatem bardzo dobre! Dane wejściowe f(x) -funkcja, której pierwiastek liczymy. Musi być ciągła i określona w przedziale poszukiwań pierwiastka. f p (x)-pierwsza pochodna funkcji f(x). W przedziale poszukiwań pierwiastka nie może przyjmować wartości 0. x o -punkt startowy, od którego rozpoczynamy obliczenia pierwiastka funkcji f(x). x o R Dane wyjściowe x o -pierwiastek funkcji f(x) Zmienne pomocnicze i funkcje x 1 - poprzednie przybliżenie pierwiastka funkcji f(x). x 1 R f o - wartość funkcji w punkcie x o. f o R f 1 - wartości pierwszej pochodnej funkcji punkcie x o. f 1 R ε o - określa dokładność porównania z zerem. ε o = ε x - określa dokładność wyznaczania pierwiastka x o. ε x = krok 1:Odczytaj x o krok 2:x 1 x o - 1; f o f(x o ); i 64 krok 3:Dopóki i > 0 x 1 - x o > ε x f o > ε o : wykonuj kroki krok 4: f 1 f p (x o ) krok 5: Jeśli f 1 < ε o, pisz "Zły punkt startowy" i zakończ algorytm krok 6: krok 7: i i - 1 krok 8:Jeśli i = 0, pisz "Przekroczony limit obiegów" i zakończ algorytm krok 9:Pisz x o i zakończ algorytm

4 Algorytm wyznaczania pierwiastka funkcji metodą Newtona rozpoczyna się od odczytu punktu startowego x o. W następnym kroku ustalamy wartość punktu x 1 - będzie on przechowywał poprzednie przybliżenie pierwiastka. Jednakże na początku "poprzednie" przybliżenie jeszcze nie zostało policzone, zatem zmiennej x 1 nadajemy taką wartość, aby wykonała się pętla wyliczająca pierwiastek funkcji. Dodatkowo do zmiennej f o wpisujemy wartość funkcji w punkcie x o oraz ustalamy maksymalną liczbę obiegów pętli na 64 w zmiennej i. Rozpoczynamy pętlę wyliczającą kolejne przybliżenia pierwiastka. Pętla jest przerywana w następujących przypadkach: 1. Licznik i osiągnął 0. Oznacza to, iż algorytm nie wyznaczył pierwiastka w zadanej liczbie obiegów. Ponieważ metoda Newtona jest bardzo szybko zbieżna, to sytuacja taka może wystąpić tylko wtedy, gdy pomiędzy punktem startowym, a pierwiastkiem pierwsza pochodna zeruje się (styczna staje się równoległa do osi OX). W tej sytuacji algorytm wypisuje odpowiedni komunikat i kończy pracę. 2. Kolejne dwa przybliżenia różnią się o mniej niż ε x. Kończymy algorytm wypisując wyznaczone w poprzednim obiegi x o. 3. Jeśli wyznaczona w poprzednim obiegu wartość funkcji w punkcie x o jest równa zero z dokładnością do ε o. Kończymy algorytm wypisując x o. Jeśli nie zajdzie żadna z opisanych powyżej trzech sytuacji, Wyznaczamy wartość pierwszej pochodnej w punkcie x o i umieszczamy wynik w zmiennej f 1. Następnie sprawdzamy, czy wyliczona pochodna jest równa zero. Jeśli tak, musimy zakończyć algorytm z odpowiednim komunikatem, ponieważ we wzorze na przybliżony pierwiastek f 1 występuje w mianowniku ułamka. Sytuacja taka może pojawić się przy źle dobranym punkcie startowym x o. Przesuwamy x o do x 1 zapamiętując w ten sposób poprzednio wyznaczony pierwiastek przybliżony funkcji. Obliczamy nowe przybliżenie pierwiastka i umieszczamy wynik w zmiennej x o. Wyznaczamy wartość funkcji w punkcie x o i umieszczamy wynik w zmiennej f o. Na końcu pętli zmniejszamy licznik i wykonujemy kolejny obieg. Poniższe, przykładowe programy są praktyczną realizacją omawianego w tym rozdziale algorytmu. Zapewne można je napisać bardziej efektywnie. To już twoje zadanie. Dokładny opis stosowanych środowisk programowania znajdziesz we wstępie. Programy przed opublikowaniem w serwisie edukacyjnym zostały dokładnie przetestowane. Jeśli jednak znajdziesz jakąś usterkę (co zawsze może się zdarzyć), to prześlij o niej informację do autora. Pozwoli to ulepszyć nasze artykuły. Będziemy Ci za to wdzięczni. Programy wyznaczają miejsce zerowe funkcji: f(x) = x 3 (x + sin(x 2-1) - 1) - 1 Pierwiastków należy poszukiwać w przedziałach <-1,0> i <1,2>.

5 Wydruk z uruchomionego programu Obliczanie pierwiastka funkcji - metoda Newtona f(x) = x^3*(x+sin(x^2-1)-1) (C)2006 mgr Jerzy Wałaszek I LO w Tarnowie Podaj punkt startowy x0 = WYNIK: x0 = 1, Koniec. Naciśnij klawisz Enter... Microsoft Visual Basic 2005 Express Edition Borland Delphi 7.0 Personal Edition // Program znajduje miejsce zerowe funkcji f(x) // za pomocą algorytmu Newtona // // (C)2006 mgr J.Wałaszek I LO w Tarnowie program mzf1; $APPTYPE CONSOLE uses math; const EPS0 = ; // dokładność porównania z zerem EPSX = ; // dokładność wyznaczenia pierwiastka // Funkcja, której miejsce zerowe obliczamy // f(x) = x^3*(x+sin(x^2-1)-1)-1 // <-1,0> i <1,2> // function f(x : real) : real; begin Result := x * x * x * (x + sin(x * x - 1) - 1) - 1; end; // Oblicza pochodną funkcji f(x) // f'(x) =2x^4*COS(x^2-1) + 3x^2*SIN(x^2-1) + 4x^3-3x^ function fp(x : real) : real; begin Result := x * x * (2 * x * x * cos(x * x - 1) + 3 * sin(x * x - 1) + 4 * x - 3) end; // Program główny var x0,x1,f0,f1 : real; i : integer; begin writeln('obliczanie pierwiastka funkcji - metoda Newtona'); writeln('f(x) = x^3*(x+sin(x^2-1)-1)-1'); writeln(' '); writeln('(c)2006 mgr Jerzy Walaszek I LO w Tarnowie'); writeln; write('podaj punkt startowy x0 = '); readln(x0); writeln; writeln(' '); writeln('wynik:'); writeln; x1 := x0-1; f0 := f(x0); i := 64; while (i > ) and (abs(x1 - x0) > EPSX) and (abs(f0) > EPS0) do begin f1 := fp(x0); if abs(f1) < EPS0 then begin writeln('zly punkt startowy'); i := ; break; end; x1 := x0; x0 := x0 - f0 / f1; f0 := f(x0); dec(i); if i = then writeln('przekroczony limit obiegow'); end; if i > then writeln('x0 = ',x0:15:8); writeln; writeln(' '); writeln('koniec. Nacisnij klawisz Enter...'); readln; end.

6 Borland C++ Builder 6.0 Personal Edition // Program znajduje miejsce zerowe funkcji f(x) // za pomocą algorytmu Newtona // // (C)2006 mgr J.Wałaszek I LO w Tarnowie #include <iostream> #include <iomanip> #include <math> using namespace std; const double EPS0 = ; // dokładność porównania z zerem const double EPSX = ; // dokładność wyznaczenia pierwiastka // Funkcja, której miejsce zerowe obliczamy // f(x) = x^3*(x+sin(x^2-1)-1)-1 // <-1,0> i <1,2> // double f(double x) return x * x * x * (x + sin(x * x - 1) - 1) - 1; // Oblicza pochodną funkcji f(x) // f'(x) =2x^4*COS(x^2-1) + 3x^2*SIN(x^2-1) + 4x^3-3x^ double fp(double x) return x * x * (2 * x * x * cos(x * x - 1) + 3 * sin(x * x - 1) + 4 * x - 3); // Program główny int main(int argc, char* argv[]) double x0,x1,f0,f1; int i; cout.precision(8); // 8 cyfr po przecinku cout.setf(ios::fixed); // format stałoprzecinkowy cout << "Obliczanie pierwiastka funkcji - metoda Newtona\n" "f(x) = x^3*(x+sin(x^2-1)-1)-1\n" " \n" "(C)2006 mgr Jerzy Walaszek I LO w Tarnowie\n\n" "Podaj punkt startowy x0 = "; cin >> x0; cout << "\n \n\n" "WYNIK:\n\n"; x1 = x0-1; f0 = f(x0); i = 64; while (i && (fabs(x1 - x0) > EPSX) && (fabs(f0) > EPS0)) f1 = fp(x0); if(fabs(f1) < EPS0) cout << "Zly punkt startowy\n"; i = ; break; x1 = x0; x0 = x0 - f0 / f1; f0 = f(x0); if(!(--i)) cout << "Przekroczony limit obiegow\n"; if(i) cout << "x0 = " << setw(15) << x0 << endl; cout << "\n \n"; system("pause"); return ;

7 Microsoft Visual Basic 2005 Express Edition ' Program znajduje miejsce zerowe funkcji f(x) ' za pomocą algorytmu Newtona ' ' (C)2006 mgr J.Wałaszek I LO w Tarnowie Module Module1 Const EPS0 = ' dokładność porównania z zerem Const EPSX = ' dokładność wyznaczenia pierwiastka ' Funkcja, której miejsce zerowe obliczamy ' f(x) = x^3*(x+sin(x^2-1)-1)-1 ' <-1,0> i <1,2> ' Function f(byval x As Double) As Double Return x * x * x * (x + Math.Sin(x * x - 1) - 1) - 1 End Function ' Oblicza pochodną funkcji f(x) ' f'(x) =2x^4*COS(x^2-1) + 3x^2*SIN(x^2-1) + 4x^3-3x^2 ' Function fp(byval x As Double) As Double Return x * x * (2 * x * x * Math.Cos(x * x - 1) + _ 3 * Math.Sin(x * x - 1) + 4 * x - 3) End Function ' ' Program główny ' Sub Main() Dim x0, x1, f0, f1 As Double Dim i As Integer Console.WriteLine("Obliczanie pierwiastka funkcji - metoda Newtona") Console.WriteLine("f(x) = x^3*(x+sin(x^2-1)-1)-1") Console.WriteLine(" ") Console.WriteLine("(C)2006 mgr Jerzy Wałaszek I LO w Tarnowie") Console.WriteLine() Console.Write("Podaj punkt startowy x0 = ") : x0 = Val(Console.ReadLine) Console.WriteLine() Console.WriteLine(" ") Console.WriteLine() Console.WriteLine("WYNIK:") Console.WriteLine() x1 = x0-1 : f0 = f(x0) : i = 64 While (i > ) And (Math.Abs(x1 - x0) > EPSX) And (Math.Abs(f0) > EPS0) f1 = fp(x0) If Math.Abs(f1) < EPS0 Then Console.WriteLine("Zły punkt startowy") i = Exit While End If x1 = x0 x0 = x0 - f0 / f1 f0 = f(x0) i -= 1 If i = Then Console.WriteLine("Przekroczony limit obiegów") End While If i > Then Console.WriteLine("x0 = 0,15:F8", x0) Console.WriteLine() Console.WriteLine(" ") Console.WriteLine("Koniec. Naciśnij klawisz Enter...") Console.ReadLine() End Sub End Module

8 Python # -*- coding: cp1250 -*- # Program znajduje miejsce zerowe funkcji f(x) # za pomocą algorytmu Newtona # # (C)2006 mgr J.Wałaszek I LO w Tarnowie import math EPS0 = # dokładność porównania z zerem EPSX = # dokładność wyznaczenia pierwiastka # Funkcja, której miejsce zerowe obliczamy # f(x) = x^3*(x+sin(x^2-1)-1)-1 # <-1,0> i <1,2> # def f(x): return x * x * x * (x + math.sin(x * x - 1) - 1) - 1 # Oblicza pochodną funkcji f(x) # f'(x) =2x^4*COS(x^2-1) + 3x^2*SIN(x^2-1) + 4x^3-3x^2 # def fp(x): return x*x*(2*x*x*math.cos(x*x - 1) + 3*math.sin(x*x - 1) + 4*x - 3) # # Program główny # print "Obliczanie pierwiastka funkcji - metoda Newtona" print "f(x) = x^3*(x+sin(x^2-1)-1)-1" print " " print "(C)2006 mgr Jerzy Walaszek I LO w Tarnowie" print x0 = float(raw_input("podaj punkt startowy x0 = ")) print print " " print print "WYNIK:" print x1, f0, i = x0-1, f(x0), 64 while (i > ) and (abs(x1 - x0) > EPSX) and (abs(f0) > EPS0): f1 = fp(x0) if abs(f1) < EPS0: print "Zly punkt startowy" i = break x1 = x0 x0 = x0 - f0 / f1 f0 = f(x0) i -= 1 if i == : print "Przekroczony limit obiegow" if i > : print "x0 = %15.8f" % x0 print print " " raw_input("koniec. Nacisnij klawisz Enter...")

9 JavaScript <html> <head> </head> <body> <form style="border-right: #ff9933 1px outset; PADDING-RIGHT: 4px; BORDER-TOP: #ff9933 1px outset; PADDING-LEFT: 4px; PADDING-BOTTOM: 1px; BORDER-LEFT: #ff9933 1px outset; PADDING-TOP: 1px; BORDER-BOTTOM: #ff9933 1px outset; BACKGROUND-COLOR: #ffcc66" name="frmbincode"> <h3 style="text-align: center"> Obliczanie pierwiastka funkcji metodą Newtona </h3> <p style="text-align: center"> <i>f(x) = x<sup>3</sup>(x + sin(x<sup>2</sup> - 1) - 1) - 1</i> </p> <p style="text-align: center"> (C)2006 mgr Jerzy Wałaszek I LO w Tarnowie </p> <hr> <p style="text-align: center"> Wpisz do pola edycyjnego punkt startowy </p> <div align="center"> <table border="0" id="table144" cellpadding="8" style="border-collapse: collapse"> <tr> <td> x<sub></sub> = <input type="text" name="wsp_x0" size="20" value="1" style="text-align: right"> </td> <td> <input type="button" value="szukaj pierwiastka" name="b1" onclick="main()"> </td> </tr> </table> </div> <div id="out" align=center>...</div> </form> <script language=javascript> // Program znajduje miejsce zerowe funkcji f(x) // za pomocą algorytmu Newtona // // (C)2006 mgr J.Wałaszek I LO w Tarnowie var EPS0 = ; // dokładność porównania z zerem var EPSX = ; // dokładność wyznaczenia pierwiastka // Funkcja, której miejsce zerowe obliczamy // f(x) = x^3*(x+sin(x^2-1)-1)-1 // <-1,0> i <1,2> // function f(x) return x * x * x * (x + Math.sin(x * x - 1) - 1) - 1; // Oblicza pochodną funkcji f(x) // f'(x) =2x^4*COS(x^2-1) + 3x^2*SIN(x^2-1) + 4x^3-3x^ function fp(x) return x * x * (2 * x * x * Math.cos(x * x - 1) + 3 * Math.sin(x * x - 1) + 4 * x - 3); // Program główny function main() var x0,x1,f0,f1,i,t; x0 = parsefloat(document.frmbincode.wsp_x0.value); if(isnan(x0)) t = "<font color=red><b>błędne dane wejściowe</b></font>"; else x1 = x0-1; f0 = f(x0); i = 64; while (i && (Math.abs(x1 - x0) > EPSX) && (Math.abs(f0) > EPS0)) f1 = fp(x0); if(math.abs(f1) < EPS0) t = "<font color=red><b>zly punkt startowy</b></font>"; i = ; break; x1 = x0; x0 = x0 - f0 / f1; f0 = f(x0); if(!(--i)) t = "<font color=red><b>przekroczony limit obiegow</b></font>"; if(i) t = "x<sub>0</sub> = " + x0; document.getelementbyid("out").innerhtml = t; </script> </div> </body> </html> Dokument ten rozpowszechniany jest zgodnie z zasadami licencji GNU Free Documentation License. document.frmadmin .admin _tytul.value = parent.document.title + " : " + document.tit

10 Autor: mgr Jerzy Wałaszek Przedruk ze strony: Artykuł pobrano ze strony eioba.pl