Fizyka dla informatyków Wykład 2: Kinematyka Katarzyna Weron. Wykład dla Matematyki Stosowanej

Transkrypt

1 Fizyka dla informatyków Wykład 2: Kinematyka Katarzyna Weron Wykład dla Matematyki Stosowanej

2 Kim jestem? Prof. dr hab. Katarzyna Weron (Sznajd- Weron w nauce/pub) Fizyk teoretyk, układy złożone (bio, socjo, ekono) Moje ulubione narzędzia: fizyka statystyczna modelowanie agentowe teoria przejść fazowych symulacje Monte Carlo Fizyka to sposób patrzenia 2017, Marcin Weron na świat

3 Podstawowa literatura D. Halliday, R. Resnick, J. Walker Podstawy fizyki (2007) R.P. Feynman, R.B. Leighton, M. Sands Feynman Lectures on Physics R. A. Freedman, L. Ford, H. D. Young, University Physics with Modern Physics (2011) R.A. Serway, J.W. Jewett, Jr. Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics 9th Ed. (2014) Źródło:

4 E-materiały z Fizyki Wykłady prof. Ewy Popko Feynman's Lectures on Physics, youtube 8.01 Physics I: Classical Mechanics, Fall 1999 (Complete Lectures by Walter Lewin) 6tJbr Flipping Physics, Veritasium, SciFun,

5 Fizyka dla tych co fizyki nie lubią (matematyków, informatyków?)

6 Warunki zaliczeń i zasady zajęć Prezentacje do wykładów i listy zadań na (Fizyka dla informatyków) Prezentacje nie są do nauki! Warunki zaliczeń Kolokwia x 2 (15pkt x 2=30pkt) Aktywność na ćwiczeniach (10pkt) Film (symulacja) na youtube 1-5 min (10pkt) ,5 4 4,5 5 5,5

7 Fizycy teoretycy to modelarze W fizyce karykatura zamiast dokładnego portretu Po co upraszczać? Jak być dobrym modelarzem? Wszystko powinno być tak proste, jak to tylko możliwe, ale nie prostsze Marcin Weron

8 Po co nam uproszczenia? Przykład z rozprawy doktorskiej Piotra Nyczki: Oryginalny obraz R, G, B [0,255] Zdjęto kolor jedna zmienna o 256 wartościach Coraz mniejsza liczba odcieni szarości, ostatecznie 2 Łatwiejsza analiza może nawet analityczna Większa kontrola (zrozumienie) Możliwość zupełnej analizy wrażliwości na zmianę parametrów (uwaga na przejścia fazowe!) +?

9 Punkt materialny - model Obiekt (układ) przesunięcia obroty, odkształcenia Punkt materialny (matematycznie): obiekt obdarzony masą mający nieskończenie małe rozmiary Model: cząstka, pojazd, planeta Tylko przesunięcia (translacje) Ruch zmiana położenia w czasie

10 Opis ruchu obiektu - kinematyka Zbiór kilku definicji te trzeba znać! Język mechaniki bez języka się nie porozumiemy Nie zadajemy pytania o przyczynę Trzeba pamiętać o tym, że RUCH JEST WZGLĘDNY W tym momencie poruszamy się z prędkością ok km/h względem słońca! Układ współrzędnych bardzo ważny!

11 Położenie i odległość Położenie: r = xi + yj + zk = (x, y, z) Odległość: Δr = r 2 r 1 = r t 2 r(t 1 ) UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

12 Prędkość Średnia prędkość: v av = r 2 r 1 = Δr t 2 t 1 Δt Prędkość: Δr v = lim Δt 0 Δt = dr dt Kierunek v to kierunek ruchu obiektu Długość v to szybkość

13 Prędkość to wektor, zwykle łatwiej pracować na współrzędnych Δr v = lim Δt 0 Δt = dr dt v = v x, v y, v z, v = v x x + v y y + v z z v x = dx dt x, v y = dy dt y, v z = dz dt z

14 Przyśpieszenie Δv a = lim Δt 0 Δt = dv dt = d2 r dt 2 a = a x, a y, a z, a = a x x + a y y + a z z a x = dv x dt a y = dv y dt a z = dv z dt = d2 x dt 2 = x, = d2 y dt 2 = y, = d2 z dt 2 = z,

15 Matematyka baaardzo ułatwia życie! Nie musicie się uczyć wzorów na pamięć Ruch jednostajny Ruch jednostajnie przyspieszony.. Możecie łatwo wszystko wyprowadzić Możecie rozważać bardziej skomplikowane problemy Wasza strategia Narysujcie układ współrzędnych Rozłóżcie ruch na składowe Zapiszcie równania różniczkowe Zapiszcie warunki początkowe Rozwiążcie równania różniczkowe

16 Ruch w jednym wymiarze Źródło: Physics for Scientists and Engineers 6E by Serway and Jewett

17 Spadek swobodny wybierz układ współrzędnych (to tylko wygoda) x[m] x[m] v = v x, v y, v z = ( v, 0,0) v = v x, v y, v z = (v, 0,0) a = a x, a y, a z = ( g, 0,0) a = a x, a y, a z = (g, 0,0)

18 Spadek swobodny wybierz układ współrzędnych (to tylko wygoda) x[m] a x = g dv x dt = g Rozdzielenie zmiennych dv x = gdt v t g dt dv x = gdt = v v v 0 = gt v = v 0 + gt t a = a x, a y, a z = ( g, 0,0) Ew. liczymy całkę nieoznaczoną i stałą wyznaczamy z warunku początkowego

19 Spadek swobodny wybierz układ współrzędnych (to tylko wygoda) x[m] x v = v 0 + gt dx dt = v 0 + gt dx = (v 0 +gt)dt t dx = (v 0 +gt)dt x 0 0 x x 0 = v 0 t gt2 a = a x, a y, a z = ( g, 0,0) x = x 0 + v 0 t gt2 Co by było, gdyby przyśpieszenie nie było stałe w czasie?

20 Angry bird wystrzelony do góry teraz spróbujemy z całkami nieoznaczonymi x[m] 0 v x 0 = v 0 x 0 = 0 dv x dt = g dv x = gdt dv x = g dt v x = gt + C Stałą C wyznaczamy z warunku początkowego: v x 0 = g 0 + C = C = v 0 dx = v dt 0 gt dx = v 0 dt g tdt x = v 0 t 1 2 gt2 + C x 0 = v g02 + C = C = 0 Równanie ruchu ptaka: x(t) = v 0 t 1 2 gt2

21 Czy faktycznie najpierw leci w górę a potem w dół? x[m] x t = v 0 t 1 2 gt2 = t v gt x = 0 dla t = 0 lub v gt = 0 t = 2v 0 g Najwyższy punkt z warunku: dx = v dt x = 0 v x = v 0 gt = 0 t = v 0 g 0 v x 0 = v 0 x 0 = 0 To nie zawsze będzie połowa czasu! Kiedy nie będzie? Jaki znak ma prędkość? v x = v 0 gt > 0 v 0 > gt t < v 0 g v x = v 0 gt < 0 v 0 < gt t > v 0 g

22 Ruch w dwóch wymiarach rzut ukośny

23 Ruch w dwóch wymiarach rzut ukośny

24 Rzut ukośny Nadawana jest prędkość początkowa Następnie podąża ścieżką (trajektorią) zależną wyłącznie od grawitacji i oporu powietrza Ruch można analizować niezależnie skł. x i y a x = 0 v x t = v x 0 a y = g v y t = v y 0 gt

25 Ruch w dwóch wymiarach obliczenia na tablicy y[m] dv x dt = 0 v x = const = v x (0) dv y dt = g v y = v y 0 gt t x[m]

26 Zasięg, rzut do celu itp. wyznacz równania ruchu y[m] v x = v x 0 = v 0 cosα x t = v 0 tcosα v y = v y 0 gt = v 0 sinα gt y t = v 0 tsinα 1 2 gt t x[m]

27 Zasięg, rzut do celu itp. (na tablicy) Wyznacz równania ruchu zgodne z warunkami początkowymi x t = v 0 tcosα, y t = v 0 tsinα 1 2 gt2 Warunek na zasięg (dlaczego?): y t = 0 t = 0, t = t R x = 0, x = R = x(t R ): R = v 0 2 g sin2α Warunek na max wysokość (dlaczego?): t = t h x = x(t h ) Czy x t h = 2R? Kiedy? dy t dt = v y t = 0 dy t dt = 0 Jak trafić do świni? Świnia znajduje się w punkcie (x s, y s ) y t = 0

28 Jak trafić do świni? Wyznacz równania ruchu zgodne z warunkami początkowymix t = v 0 tcosα, y t = v 0 tsinα 1 2 gt2 Świnia znajduje się w punkcie (x s, y s ) Tor ruchu musi przechodzić przez (x s, y s ) czyli musi istnieć takie t s, że: x t s = v 0 t s cosα = x s y t s = v 0 t s sinα 1 2 gt s 2 = y s Tor ruchu y = y(x) to też parabola Można też pytać o Kąt z jakim wystrzelić Prędkość z jaką wystrzelić

29 Zasięg, rzut do celu itp. R = v 0 2 g sin2α Max zasięg dla: sin2α = 1 x = v 0 tcosα t = x v 0 cosα y = v 0 tsinα 1 2 gt2 = x sinα cosα 1 gx 2 2 v 2 0 cos 2 α = 1 g 2 v 2 0 cos 2 α x2 + xtgα

30 Równania parametryczne kinematyczne równania ruchu (parametr to czas t) tor ruchu eliminacja t y = y(x)

31 Analogia: Równanie parametryczne okręgu y y 0 R x x y y 0 2 = R 2 Podstawmy: x x 0 = Rcosα y y 0 = Rsinα x 0 x Czyli: x = x 0 + Rcosα y = y 0 + Rsinα

32 Podsumowanie kinematyki Kinematyczne równania ruchu r = r t = x t, y t, z(t) Otrzymujemy z definicji a = dv dt, a = a x, a y, a z = dv x dt, dv y dt, dv x dt v = dr dt, v = v x, v y, v z = dx dt, dy dt, dz dt Skąd znamy a = a(t)? Musimy znać warunki początkowe

33 Ruch po okręgu więcej szczegółów Ruch jest przyśpieszony zmienia się prędkość Przyśpieszenie prostopadłe do toru ruchu (prędkości): zmienia kierunek wektora prędkości Przyśpieszenie równolegle do toru ruchu (prędkości): zmienia długość wektora prędkości UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

34 Ruch po okręgu ze stałą prędkością Ruch jest przyśpieszony zmienia się prędkość Nie zmienia się wartość wektora prędkości Zmienia się kierunek wektora prędkości a rad = v2 R UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

35 Skąd to się wzięło? Trygonometria v = v x x + v y y = vsinθ x + vcosθ y Z trójkąta prostokątnego na rys. a): sinθ = y p r, cosθ = x p r v = v y p r x + v x p r y a = dv dt = v dy p x + v dx p r dt r dt = v r v y x + v r v x y Z rys. b): v x = vsinθ, v y = vcosθ y =

36 Skąd to się wzięło? Trygonometria a = dv dt = v r v y x + v r v x y v x = vsinθ, v y = vcosθ a = a = v2 r cosθ x + v2 r sinθ a x 2 + a y 2 = v2 r a = v2 r y cos 2 θ + sin 2 θ

37 Ruch względny Flipping Physics: Introduction to Relative Motion using a Quadcopter Drone v PE prędkość Priusa w stosunku do ziemi (Earth) v ME prędkość Minivana w stosunku do ziemi (Earth) v PM =? prędkość Priusa w stosunku do Minivana v MP =? Prędkość Minivana w stosunku do Priusa Prius Minivan v PE = 60 km h, 0,0 v ME = 80 km h, 0,0

38 Prędkość Priusa w stosunku do Minivana Prius Minivan v PE = 60 km h, 0,0 v ME = 80 km h, 0,0 v ME v PE v MP v ME = v PE + v MP v MP = v ME v PE v PE = v EP v ME = v EM v MP = v ME + v EP v PM = v PE v ME = v ME + v PE = v ME v PE = v MP

39 Prędkość względna transformacja Galileusza x PA = x PB + x BA dx PA = dx PB + dx BA dt dt dt v PA x = v PB x + v BA x v BA x = v AB x r PA = r PB + r BA v PA = v PB + v BA A co dla baaardzo dużych prędkości? UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

40 Jak dotąd powinniście umieć D. Halliday, R. Resnick, J. Walker Podstawy fizyki (2007), Tom 1, Rozdziały 1-4

41 Zwiastun: Fizycy lubią pytać Dlaczego? Dlaczego satelita nie spada na Ziemię? Dlaczego astronauta na statku kosmicznym znajduje się w stanie nieważkości?