Zastosowanie sterowania z modelem wewnętrznym opartego o sieci neuronowe dla napędu z elastycznym sprzęgłem

Transkrypt

1 Mateusz ŻYCHLEWICZ Piotr DERUGO Politechnika Wrocławska Katedra Maszyn Napędu i Poiarów Elektrycznych doi:0599/ Zastosowanie sterowania z odele wewnętrzny opartego o sieci neuronowe dla napędu z elastyczny sprzęgłe Streszczenie W artykule opisano sterowanie układe napędowy z połączenie sprężysty pętla regulacji prędkości została zaprojektowana w oparciu o dwa odele neuronowe Jeden z nich stanowi główny regulator natoiast drugi jest odele odniesienia wykorzystywany w trakcie obliczeń Adaptacja wag sieci neuronowych jest realizowana on-line Artykuł zawiera opis teoretyczny zaipleentowanej struktury a także badania syulacyjne oraz eksperyentalne zrealizowane z wykorzystanie procesora sygnałowego karty dspace03 Abstract Paper presents control syste applied for electrical drive with elastic connections Speed control loop of the whole structure is based on two neural odels One of the is applied as the ain controller the second is the internal odel of the plant used for calculations of control signal Adaptation of weights in neural networks is done in on-line ode Article contains theoretical description of ipleented control structure siulation tests as well as experiental tests using digital signal processor of dspace03 (Internal Model Control based on neural networks applied for drive with elastic coupling) Słowa kluczowe: rekurencyjne sieci neuronowe sterowanie adaptacyjne sterowanie z odele wewnętrzny układ dwuasowy Keywords: recurrent neural networks adaptive control internal odel control two-ass syste Wstęp Układy napędowe o złożonej części echanicznej uwzględniające nieliniowości w odelu ateatyczny lub elastyczny wał sprzęgający silnik z aszyną roboczą bardzo często wyagają zastosowania zaawansowanych algorytów sterowania [] [] Dodatkowy utrudnienie w realizacji założeń związanych z precyzyjną kontrolą ziennych stanu jest również wpływ błędnej identyfikacji paraetrów obiektu sterowanego [3] W takich przypadkach klasyczne układy wykorzystujące regulatory PI/PID ogą okazywać się niewystarczające do spełnienia założeń projektowych napędu W związku z powyżej przedstawionyi wyaganiai korzystny rozwiązanie jest aplikacja adaptacyjnych struktur sterowania Zakładają one dostrajanie regulatora do warunków pracy sterowanego procesu/obiektu W ten sposób uzyskiwana jest zwiększona dokładność kontroli sygnału (prędkości lub położenia) poprzez korektę nastaw regulatora w obecności zakłóceń pojawiających się w strukturze sterowania [4] Istotną grupę w algorytach adaptacyjnych w ty również często stosowanych dla napędu elektrycznego stanowią etody wykorzystujące logikę rozytą oraz sieci neuronowe [3]-[5] Zaletą regulatorów opartych o wyienione techniki jest brak konieczności posiadania równań ateatycznych oraz inforacji dotyczących stałych czasowych obiektu Założenie etod projektowania które zakładają wykorzystanie obserwacji działania sterowanego systeu do utworzenia bazy reguł regulatora (regulatory rozyte) lub dostrajanie znacznej liczby współczynników w celu reprezentacji odpowiedniego działania odelu (sieci neuronowe) jest wprowadzenie redukcji wpływu zian paraetrów na dokładność sterowania Prezentowany artykuł przedstawia analizę ożliwości zastosowania rekurencyjnej sieci neuronowej w układzie regulacji prędkości napędu elektrycznego W zadaniu wykorzystane zostały rekurencyjne sieci neuronowe (Recurrent Neural Networks) Charakterystyczny eleente struktury zastosowanych odeli jest występowanie dodatkowych wewnętrznych sprzężeń zwrotnych [6] Opisana odyfikacja w porównaniu z klasycznyi sieciai perceptronowyi (Multi- Layer Pereceptrons) a na celu poprawienie działania w trakcie przetwarzania sygnałów dynaicznych Wartość wyjściowa odelu neuronowego RNN w dany kroku obliczeń jest zależna od aktualnego stanu wektora ziennych wejściowych a także od wartości z poprzednich stanów pracy układu regulacji W wielu przypadkach aplikacji sieci MLP podobne działania realizowane są poprzez odpowiednie odyfikacje wektora wejściowego Jednak zasady w taki postępowaniu nie zostały precyzyjnie opisane w literaturze (np liczba dodatkowych opóźnień wejściowych) Ponadto liczba współczynników reprezentujących stan działania systeu w poprzedni cyklu pracy (opóźnień struktury sieci neuronowej) jest niejsza w przypadku odeli MLP [7] Ipleentacje rekurencyjnych sieci neuronowych w zastosowaniach związanych z napędai elektrycznyi są obecnie bardzo często opisywane Najczęściej wykorzystywanyi topologiai są sieci Jordana oraz Elana [8] [9] Pierwsza z nich wykorzystuje dodatkowe sprzężenie globalne odelu z wyjścia sieci neuronowej do wektora wejściowego Natoiast sieć Elana charakteryzuje się występowanie sprzężeń rekurencyjnych w poszczególnych neuronach warstwy ukrytej RNN spełniają funkcję regulatorów w napędach z silnikai indukcyjnyi [0] oraz prądu stałego [] Oddzielna część zastosowań dotyczy odtwarzania ziennych stanu [] [3] oraz kopensacji uchybów regulacji [4] W opisywanej pracy podstawową strukturę sterowania prędkością stanowi układ z odele wewnętrzny Internal Model Control Charakterystyczny założenie etody jest wprowadzenie dodatkowego odelu sterowanego procesu którego zadanie (rysunek ) poprzez interakcję z regulatore jest poprawienie działania (w porównaniu do sterowania bezpośredniego) w obecności zakłóceń [5] Pojawia się jednak kolejny proble projektowy dotyczący opracowania odelu wewnętrznego Możliwe jest wyznaczenie analityczne tej części układu regulacji [6] Jednak bardziej korzystne wydaje się wprowadzenie adaptacyjnego odelu neuronowego dostrajanego do reprezentacji obiektu [7] Jeśli trening sieci neuronowych realizowany jest on-line uproszczony zostaje etap projektowania (brak konieczności zbierania danych treningowych decydowania o złożoności odelu współczynników uczenia itp) oraz ożliwa jest reakcja na ziany stałych czasowych części echanicznej napędu Efektywne zastosowanie sieci neuronowych połączonych w strukturze sterowania z odele wewnętrzny dla serwoechanizu z silnikai PMSM przedstawiono w publikacji [8] Modele trenowane za poocą uproszczonego algorytu adaptacyjnego (Resilient PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY ISSN R 94 NR 5/08 63

2 BackPROPagation algorith) dostosowują się do realizacji zadania w trakcie pracy systeu bez dodatkowej wstępnej identyfikacji obiektu Prezentowany artykuł opisuje ożliwość aplikacji rekurencyjnych sieci neuronowych w strukturze sterowania układe dwuasowy W badaniach eksperyentalnych taki odel odpowiada części echanicznej napędu elektrycznego Kolejne rozdziały przedstawiają założenia analizowanej struktury sterowania oraz sposób obliczeń sieci rekurencyjnych W ostatnich rozdziałach publikacji zaieszczono wyniki badań syulacyjnych oraz weryfikację eksperyentalną Opis struktury sterowania Podstawową cechą wyróżniającą etodę sterowania IMC jest wykorzystanie inforacji o różnicy prędkości poiędzy obiekte oraz odele wewnętrzny Sygnał wykorzystywany jest w trakcie obliczeń błędu na wejściu regulatora prędkości (rysunek ) W opisywanych badaniach założono również wykorzystanie prędkości pierwszej napędu W ten sposób kontrola układu jest utrudniona jednak napęd nie wyaga dodatkowych układów poiarowych lub estyatorów Szczegóły analizowanej struktury sterowania zaprezentowano na rysunku W układzie wykorzystano sieci neuronowe z połączeniai rekurencyjnyi Rys Podstawowy scheat klasycznego sterowania ze sprzężenie zwrotny (a) oraz układ regulacji z odele wewnętrzny (b) obciążenia oraz stała czasowa eleentu sprężystego f f funkcje opisujące tarcie W opisie układu dwuasowego uwzględniono odel tarcia opisany za poocą równania [0]: () fi sign( i )( ci d) gdzie: c odpowiada współczynnikowi tarcia wiskotycznego a d tarcia Coulobowskiego W celu uproszczenia struktury część kształtująca oent elektroagnetyczny w wewnętrznej pętli sterowania została zastąpiona przez eleent inercyjny pierwszego rzędu: (3) G ( s) T s e e gdzie T e oznacza stałą czasową układu regulacji prądu Model rekurencyjnych sieci neuronowych wykorzystanych w adaptacyjny układzie regulacji z odele wewnętrzny Wykorzystywana sieć rekurencyjna składa się z dwóch liniowych neuronów w warstwie wejściowej pięciu neuronów warstwy ukrytej oraz neuronu wyjściowego Sygnałe wejściowy sieci jest sygnał: in ( t e (4) ref IM ref IM ) gdzie: ω ref wartość zadana prędkości ω IM wyjście odelu wewnętrznego Jako funkcję aktywacji neuronów w sieci użyto tangens hiperboliczny Opisywany jest on wzore: (5) x x x e e tanh( x) x e e Równania ateatyczne opisujące warstwę ukrytą sieci przedstawiają się następująco (6) hi w x ( ( b i h (7) ( f hi( ih ho i h gdzie: i h nuer wejścia oraz neuronu ukrytego x sygnał wejściowy w b wagi oraz bias dla poszczególnych neuronów Neuron wyjściowy reprezentują równania: (8) oi w ho( ( h o ho b o (9) ( f oi( onn Rys Struktura sterowania Układ dwuasowy opisany jest następujący układe równań [9]: () d dt T d dt s T c e d dt T s s L f gdzie: ω ω prędkości silnika i aszyny roboczej s e oent skrętny i elektroagnetyczny L oent obciążenia T T T c echaniczna stała czasowa silnika f gdzie: o= indeks neuronu wyjściowego Sygnał onn pełni również funkcję drugiego wejścia sieci Sygnał ten jest wcześniej nożony przez odpowiedni współczynnik wagowy zgodnie z (0) (0) in( onn( wrec ( Wszystkie wagi sieci (oznaczone w) podlegają adaptacji podczas pracy napędu zgodnie z równanie (): new () wij ( k ) wij wij gdzie: w ij wektor wag poiędzy warstwai i oraz j Δw ij poprawka wagi η współczynnik skalujący k nuer próbki Wprowadzona poprawka dla wag w warstwie ukrytej oraz wyjściowej obliczana jest na podstawie poniższych wzorów (-4): 64 PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY ISSN R 94 NR 5/08

3 () (3) ho E wij w E E onn oi w onn oi w ij ho Wagi oraz współczynnik uczenia obu odeli neuronowych zostały dobrane w ten sposób aby jak zinializować przeregulowanie oraz oscylacje które ogą pojawić się podczas uruchaiania struktury (4) E E ho hi w ho hi w ih hi Wartość pochodnej funkcji celu w stosunku do wyjścia opisywana jest zależnością (5): E (5) e ref onn gdzie: ref - prędkość odelu referencyjnego Jako transitancje referencyjną użyto obiektu inercyjnego drugiego rzędu o transitancji: (6) G ( s) r s rs r gdzie: ω r częstotliwość rezonansowa ξ współczynnik tłuienia przyjęto ω r = 40 rad/sec oraz ξ = wartości te gwarantują szybką odpowiedź przy braku przeregulowania Aktualizacja wagi połączenia rekurencyjnego odbywa się zgodnie ze wzorai: new (7) wrec ( k ) wrec wrec (8) wrec e onn( k) gdzie: α współczynnik uczenia dla wagi rekurencyjnej Należy zauważyć że struktura obu sieci neuronowych jest tożsaa z tą różnicą że wejścia sieci pełniącej rolę odelu wewnętrznego zdefiniowane są następująco: inn ( IM (9) e IM IM IM IM (0) inn ( onn ( wrec ( wrec ( i Sieci neuronowe były uczone w trybie on-line zgodnie z kryteriu: () f ref Rys3 Przebiegi prędkości silnika oraz obciążenia a także oentów: skrętnego s i elektroagnetycznego e Badania rozpoczęte zostały od testów wykonanych dla znaionowych paraetrów napędu Przeregulowanie w układzie występuje tylko w początkowej fazie działania napędu Dzięki adaptacji paraetrów regulatora oraz odelu wewnętrznego układ z wysoką dokładnością odtwarza prędkość zadaną Niewielkie zakłócenia w przebiegach ziennych stanu występują podczas załączania obciążenia Wpływ zian paraetrów układu dwuasowego na jakość sterowania został zaprezentowany na kolejnych przebiegach Po zwiększeniu stałej czasowej związanej z obciążenie (rysunek 4) zauważalne są zwiększone oscylacje w przebiegu prędkości podczas przełączania obciążenia Pojawia się niewielkie przeregulowanie które jest niwelowane w czasie dalszego działania układu Mio zian paraetrycznych układ nadal reaguje poprawnie na zadaną prędkość oraz oent obciążenia Po zniejszeniu stałej czasowej T (rysunek 5) brak jest oscylacji podczas działania napędu Prędkość kształtowana jest w sposób podobny jak w przypadku warunków znaionowych Napęd reaguje szybciej w stosunku do poprzednich przypadków podczas przełączania obciążenia Wyniki badań syulacyjnych Opisywana struktura została zaipleentowana w środowisku Matlab z wykorzystanie pakietu Siulink Zastosowano krok całkowania 0 s Przyjęto następujące paraetry układu dwuasowego: T = T = 003 s T c = s Zadano prędkość równą 5% prędkości znaionowej w testach wyuszano cykliczne nawroty W czasie t = 85 s następuje załączenie znaionowej wartości oentu obciążenia a w t = 95 s jest ono odłączane Dobór takich paraetrów odeli neuronowych jak współczynnik adaptacji oraz wagi początkowe oże być probleatyczny Wartości wag w stanie początkowy są często dobierane za poocą generatora liczb losowych takie podejście a jednak wpływ na późniejsze działanie układu regulacji Wartość współczynnika uczenia najczęściej dobierana jest w taki sposób aby w jak najszybszy sposób zniwelować przeregulowanie Kolejny kryteriu jest też zbieżność odpowiedzi układu napędowego z prędkością zadaną Rys4 Przebiegi ziennych stanu dla zwiększonej stałej czasowej aszyny roboczej T = T n Wyniki badań zrealizowanych po zwiększeniu stałej czasowej eleentu sprężystego T c przedstawione zostały na rysunku 6 Obserwowana jest większa rozbieżność w przebiegach ziennych obu prędkości w trakcie przełączania obciążenia Pojawia się również niewielkie przeregulowanie widoczne podczas dwóch pierwszych nawrotów Obniżenie wartości tej stałej czasowej również PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY ISSN R 94 NR 5/08 65

4 nie stanowi istotnego zakłócenia dla układu (rysunek 7) Zauważalna jest zniejszona wartość przeregulowania podczas pierwszego nawrotu Układ regulacji skutecznie tłui oscylacje w trakcie oddziaływania obciążenia Rys5 Przebiegi ziennych stanu dla zniejszonej stałej czasowej aszyny roboczej T = 05T n początkowych Różnica w przebiegach prędkości nie jest jednoznacznie widoczna na główny przebiegu Na podstawie przybliżenia ożna stwierdzić że wprowadzenie nawet jednego dodatkowego sprzężenia do sieci neuronowej poprawia działanie regulatora w stanach dynaicznych pracy napędu Reakcja układu regulacji jest szybsza w przypadku dokonywania nawrotów oraz przy zianach obciążenia Nakład obliczeniowy w porównaniu do klasycznej sieci neuronowej jest niewiele większy Kolejne testy przedstawiają przedstawione na rysunku 9 prezentują wpływ współczynnika uczenia regulatora neuronowego na działanie układu napędowego Różnica w przebiegach prędkości widoczna jest głównie przy dokonywaniu dwóch pierwszych nawrotów Przebiegi oznaczone kolore czerwony prezentują wolniejszy proces adaptacji oraz zwiększone przeregulowanie w stosunku do pozostałych przebiegów Kolor niebieski natoiast charakteryzuje się zwiększoną częstotliwością drgań Bez względu na wartość tego paraetru układ napędowy jest stabilny a odpowiedź na prędkość zadaną po dokonaniu kilku nawrotów jest tożsaa Rys6 Przebiegi prędkości silnika oraz obciążenia a także oentów: skrętnego s i elektroagnetycznego e zarejestrowane dla zwiększonej stałej czasowej eleentu sprężystego Rys8 Wpływ architektury sieci neuronowej włączonej do pętli sterowania prędkością Rys9 Wpływ współczynnika algorytu adaptacyjnego na działanie układu regulacji Rys7 Przebiegi ziennych stanu uzyskane dla T c = 05T cn Następne badania prezentują porównanie adaptacyjnych regulatorów prędkości wykorzystujących różne struktury neuronowe Testowano aplikację odelu rekurencyjnego oraz jednokierunkowej sieci Wyniki badań przedstawiono na rysunku 8 Należy zaznaczyć że w obu przypadkach wprowadzano identyczne wartości współczynnika algorytu adaptacyjnego oraz wag Ostatnia część badań syulacyjnych polegała na sprawdzeniu wpływu początkowych wag odelu neuronowego na reakcję badanego obiektu Kolore czerwony oznaczono wartości pięciokrotnie niejsze od wartości użytych w poprzednich badaniach Kolor niebieski reprezentuje wartości dwukrotnie większe Przy zbyt ałych wartościach początkowych zaobserwowano zwiększoną wartość przeregulowania Zwiększone wartości tych paraetrów skutkuje krótkotrwały uderzenie prędkości w kierunku przeciwny do zadanego oraz występowanie oscylacji po zadaniu oentu obciążenia w układzie 66 PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY ISSN R 94 NR 5/08

5 Rys0 Przebiegi prędkości aszyny roboczej uzyskane dla różnych wartości początkowych współczynników wagowych RNN Badania laboratoryjne Badania eksperyentalne zostały wykonane na stanowisku laboratoryjny składający się z dwóch silników prądu stałego (o ocy 500W każdy) Budowę rzeczywistego zestawu badawczego przedstawiono na rysunku Maszyny zostały sprzęgnięte za poocą elastycznego wału o długości 06 i średnicy 5 Stała czasową aszyny roboczej oże być odyfikowana poprzez zaontowanie dodatkowej tarczy na wale silnika Prędkość obu silników ierzono za poocą enkoderów inkreentalnych Poszczególne eleenty algorytu sterowania: regulator prędkości (odele neuronowe) pętla kontroli oentu elektroagnetycznego oraz obsługa układów zasilających energoelektronikę zostały zaipleentowane w procesorze karty DS03 Rys Przebiegi ziennych stanu w układzie napędowy badania eksperyentalne a) bez załączania obciążenia b) z obciążenie Rys3 Przebiegi prędkości napędu dla zwiększonej stałej czasowej obciążenia Rys Stanowisko laboratoryjne Wyniki serii badań eksperyentalnych zostały przedstawione poniżej Wykonano badania dla prędkości analogicznej do badań syulacyjnych dla warunków znaionowych oraz po założeniu dodatkowej tarczy na wał co skutkowało zwiększenie stałej czasowej Rysunek prezentuje uzyskane przebiegi ziennych stanu uzyskane dla warunków znaionowych Dynaika uzyskiwanych przebiegów jest zbliżona do tej uzyskiwanej w badaniach syulacyjnych Brak jest przeregulowań oraz uchybów prędkości Po załączeniu obciążenia silnik reaguje w sposób poprawny Ostatnie badania zostały przeprowadzone po zwiększeniu stałej czasowej silnika obciążającego (dodatkowa tarcza po stronie obciążenia) Na przebiegach (rysunek 3) widoczny jest proces adaptacji podczas pracy układu Na wykresach prędkości zauważalne jest przeregulowanie które ulega zniejszeniu wraz z dokonywanie kolejnych nawrotów w trakcie działania napędu Podsuowanie Niniejszy artykuł przedstawia wstępne wyniki badań dotyczących aplikacji rekurencyjnych sieci neuronowych w sterowaniu układe napędowy z silnikai prądu stałego zawierający elastyczne sprzęgło Testowane odele adaptacyjne zaipleentowano w strukturze sterowania wykorzystującej odel wewnętrzny Otrzyane wyniki syulacyjne oraz eksperyentalne uożliwiają przedstawienie poniższych konkluzji Zastosowanie sieci neuronowych zawierających wewnętrzne sprzężenia zwrotne uożliwia precyzyjne oraz dynaiczne sterowanie napęde elektryczny Uzyskane rezultaty badań przedstawiają szybszą reakcję regulatora na ziany ziennych stanu w porównaniu do klasycznych sieci perceptronowych zastosowanych w ty say zadaniu Testowana struktura sterowania wprowadza korekty nastaw uożliwiające redukcję uchybu prędkości pojawiającą się w wyniku zian paraetrów układu dwuasowego Wprowadzenie neuronowego odelu wewnętrznego a w szczególności adaptowanego on-line do układu regulacji prędkości wprowadza istotne uproszczenia projektowe które związane są z brakie konieczności wyznaczania paraetrów tego eleentu struktury Przedstawione PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY ISSN R 94 NR 5/08 67

6 założenie oże prowadzić do większej odporności układu na zakłócenia pojawiające się w obiekcie Autorzy: gr inż Mateusz Żychlewicz dr Piotr Derugo Politechnika Wrocławska Katedra Maszyn Napędów i Poiarów Elektrycznych ul Soluchowskiego Wrocław E-ail: ateuszzychlewicz@pwredupl piotrderugo@pwredupl LITERATURA [] Derugo P Szabat K Daping of torsional vibrations of twoass syste using adaptive low coputational cost fuzzy PID controller IEEE International Conference on Power Electronics and Drive Systes (05) 6-65 [] Serkies P Szabat K Predictive position control of the induction two-ass syste drive IEEE International Syposiu on Industrial Electronics (ISIE) (04) [3] Kainski M Orlowska-Kowalska T FPGA Ipleentation of ADALINE-Based Speed Controller in a Two-Mass Syste IEEE Transactioncs on Industrial Inforatics 9 (03) n [4] Yousefi F Alipour K Tarvirdizadeh B Hadi A Knee Rehabilitation Robot Control by Sliding-Backstepping and Adittance Control Artificial Intelligence and Robotics (07) 5-57 [5] Nowopolski K Wicher B Łuczak D Siwek P Recursive neural network as speed controller for two-sided electrical drive with coples echanical structure International Conference on Methods and Models in Autoation and Robotics (MMAR) (07) [6] Benabrouk Z Abid A Ben Haed M Sbita L Speed control of DC achine using adaptive neural IMC controller based on recurrent neural network International Conference on Systes and Control (ICSC) (06) [7] Guo B Hu L Bai Y PMSM servo syste based on dynaic Recurrent Neural Networks PID controller Proceedings of International Power Electronics and Motion Control Conference 4 (0) 47-4 [8] Kaiński M Recurrent neural controller applied for two-ass syste International Conference on Methods and Models in Autoation and Robotics (MMAR) (06) 8-33 [9] El-Sousy F F M Intelligent Optial Recurrent Wavelet Elan Neural Network Control Syste for Peraent-Magnet Synchronous Motor Servo Drive IEEE Transaction on Industrial Inforatics 9 (03) n [0] Wai R-J Lin F-J Adaptive recurrent-neural-network control for linear induction otor IEEE Transactions on Aerospace and Electronics Systes 37 (00) n [] Castaneda C Lopez-Mancilla D Garcia J H Zarate R C Position Control of DC Motor based on Recurrent High Order Neural Networks IEEE International Syposiu on Intelligent Control (00) [] Tsai C-H Neural Network Application for Flux and Speed Estiation in the Sensorless Decoupling Induction Drive IEEE International Conference on Systes Man and Cybernetics (SMC) (006) [3] El-Sousy F F M Abuhasel K A Adaptive nonlinear disturbance observer using double loop self-organizing recurrent wavelet-neural-network for two-axis otion control syste IEEE Industry Applications Society Annual Meeting (06) -4 [4] Lin F-J Lin C-H Hong C-M Robust control of linear synchronous otor servodrive using disturbance observer and recurrent neural network copensator IEE Proceedings Electric Power Applications 47 (000) n [5] Francis B Wonha W The internal odel principle of control theory Autoatica (976) n [6] D Chao Zhonggang Y Yanqing Z Xiangdong S Jing L Yanru Z Decoupled Current Control of Induction Motors Drives with Internal Model Based on Active Disturbance Rejection Control Strategy International Conference on Electrical Machines and Systes (ICEMS) 06-6 [7] Li H-X Deng H An Approxiate Internal Model-Based Neural Control for Unknown Nonlinear Discrete Processes IEEE Transactions on Neural Networks 7 (006) n [8] Pajchrowski T Application of an Internal Model Speed Control for PMSM with variable echanical paraeters International Conference on Cybernetics (CYBCONF) (05) 46-4 [9] Wróbel K Adaptacyjne sterowanie rozyte ze zbiorai typu II złożonego układu napędowego pracującego w zakresie prędkości niskiej Prace Naukowe Instytutu Maszyn Napędów i Poiarów Elektrycznych Politechniki Wrocławskiej Studia i Materiały 7 (05) nr [0] Bona B Indri M Friction Copensation in Robotics: an Overview IEEE Conference on Decision and Control (005) PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY ISSN R 94 NR 5/08