Składki zaufania z zastosowaniem niesymetrycznych funkcji strat

Transkrypt

1 Helena Jasiulewicz Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Instytut Nauk Ekonomicznych i Społecznych Wojciech Kordecki Wyższa Szkoła Handlowa we Wrocławiu Katedra Ekonomi i Rachunkowości Składki zaufania z zastosowaniem niesymetrycznych funkcji strat Zagadnienia Aktuarialne Wrocław, 6-8 września 2010

2 Teoria zaufania (credibility theory) Teoria zaufania odnosi się do portfeli niejednorodnych. Teoria zaufania jest jedną z teorii dostarczających ilościowych narzędzi, które pozwalają dopasować przyszłe składki, opierając się na wiedzy historycznej o polisie i wiedzy o całym portfelu. Według tej teorii składka jest wypukłą kombinacją średniej arytmetycznej X z bieżącej obserwacji polisy X 1,..., X n i średniej a priori portfela m, tzn. zx + (1 z) m, gdzie współczynnik zaufania z (0, 1). Składka taka nazywa się składką zaufania (credibility premium).

3 Albert H. Mowbray i Albert W. Whitney Teorię zaufania rozpoczęły dwa artykuły w czasopiśmie Proceedings of the Casualty Actuarial and Statistical Society of America: 1. A. H. Mowbray (1914), How Extensive a Payroll Exposure is necessary to give a dependable Pure Premium. 2. A. W. Whithey (1918), The Theory of Experience Rating. A. H. Mowbray,

4 Casualty Actuarial and Statistical Society, May 26 and 27, 1916 A. W. Whithey 21.

5 A. Bailey (1950) A. Bailey pierwszy wprowadził metodologię bayesowską do teorii zaufania. Pokazał, że składki zaufania są estymatorami bayesowskimi z kwadratową funkcją straty dla rozkładów sprzężonych: gamma Poisson, beta Bernoulli. Prace Baileya spowodowały lawinę prac dotyczących estymatorów bayesowskich będących składkami zaufania.

6 Składka zaufania Nie każdy estymator bayesowski jest estymatorem liniowym. W dalszym rozwoju teorii zaufania kamieniem milowym była praca Bühlmann, 1967, Experience Rating and Credibility, ASTIN Bulletin. Teorii zaufania z wykorzystaniem kwadratowej funkcji straty poświęcone są monografie Bühlmann i Gisler, 2005 i Jasiulewicz, H. Bühlmann

7 Kwadratowa funkcja straty Kwadratowa funkcja straty L (x) = L SQR (x) = x 2, oznacza, że przeszacowanie i niedoszacowanie nieznanego parametru o tę samą wartość dla podejmowania decyzji ma takie samo znaczenie. Jednak od wielu lat pojawiają się prace naukowe, wskazujące na potrzebę stosowania niesymetrycznej funkcji straty w odniesieniu do podejmowania decyzji w świecie realnym.

8 Varian, 1974 niesymetryczna funkcja straty Varian 1974, badając straty ponoszone przy niewłaściwej wycenie nieruchomości zauważył, że niedoszacowanie realnego majątku daje w przybliżeniu liniową stratę dochodu, podczas gdy przeszacowanie majątku prowadzi do strat w przybliżeniu wykładniczych, spowodowanych różnego rodzaju sporami sądowymi i odwołaniami. W tym przypadku przeszacowanie jest surowiej karane niż niedoszacowanie majątku.

9 Zellner, 1986 niesymetryczna funkcja straty c.d. Zellner (1986) zauważył, że niedoszacowanie i przeszacowanie poziomu lustra wody zbiorników retencyjnych o tę samą wartość, prowadzi do różnych konsekwencji ekonomicznych i społecznych. Po raz pierwszy wprowadził niesymetryczną funkcję straty asymptotycznie wykładniczą z jednej strony zera i asymptotycznie liniową z drugiej strony zera, czyli stratę LINEX

10 Ubezpieczenia strata niesymetryczna W ubezpieczeniach, niedoszacowanie lub przeszacowanie składki o tę samą wielkość, może prowadzić do różnych konsekwencji finansowych. Gdy ubezpieczony jest niedoszacowany, to ubezpieczyciel traci swoje pieniądze, podczas gdy składka jest przeszacowana, to ubezpieczyciel może stracić polisę. Pierwszy zwrócił uwagę na ten problem Ferreira, Niesymetryczną funkcję straty dla systemu Bonus-Malus stosowali Lemaire, 1979, Denuit i Dhaene, 2001, Bermúdez i inni, 2001, Pérez i inni, Z polskich autorów należy wspomnieć o pracach: Niemiro, 2006 i Boratyńska, 2008.

11 Niesymetryczne funkcje straty Rodzinę niesymetrycznych funkcji strat zdefiniowali Thomson i Basu, Funkcja straty L (x) z tej rodziny ma własności: 1 L (0) = 0, 2 L (x) > 0 dla x 0, 3 L (x) jest wypukła, 4 L (x) jest rosnąca z jednej strony zera i malejąca z drugie strony zera, 5 szybkości zmian wartości funkcji L (x) po obu stronach zera są różne.

12 LINEX (1) Niesymetryczna funkcja straty jest alternatywą do kwadratowej funkcji straty: ( ) L (θ, d) = b e c(θ d) + c (θ d) 1, θ - nieznany parametr, d wartość estymatora tego parametru. Funkcję tę nazywa się LINEX (Linear-Exponential), bo z jednej strony zera jest prawie liniowa, a z drugiej prawie wykładnicza. c 0 jest parametrem kształtu, b > 0 jest parametrem skali. Zakłada się, że b = 1. Znak c odzwierciedla kierunek asymetrii. Jeżeli c > 0, to przeszacowanie jest bardziej poważne w skutkach niż niedoszacowanie. Jeśli c < 0, to niedoszacowanie rodzi większe konsekwencje niż przeszacowanie. Stała c jest związana z miarą awersji do ryzyka Arrowa-Pratto, 0.4 c Im większe c, tym bardziej funkcja LINEX jest asymetryczna.

13 LINEX (2) Niech x = θ d. Wówczas L (θ, d) = L LINEX (x) = e cx + cx 1. Dla małych c, funkcja LINEX jest prawie symetryczna, przy czym dla c 0 2L LINEX (x) L SQR (x), tzn. 2L LINEX (x) L SQR (x) 1.

14 Wykresy L LINEX (x) dla c = 1, c = 1.5 c = 1, c = 1.5.

15 Wykresy L LINEX (x) dla c = 1, c = 1.5 c = 1, c = 1.5.

16 Inne funkcje straty Błąd estymacji można mierzyć nie tylko odległością różnicy x = θ d od zera, ale również odległością ilorazu x = θ/d od jedynki. W tym drugim przypadku należy określić rodzinę funkcji strat nieco inaczej niż to zrobił Thomson i Basu, Mianowicie, funkcja straty L (x), x > 0 musi spełniać następujące własności: 1 L (1) = 0, 2 L (x) > 0 dla x 1, 3 L (x) jest rosnąca z jednej strony jedynki i malejąca z drugiej strony jedynki, 4 szybkości zmian wartości funkcji L (x) po obu stronach jedynki są różne. Niech L będzie rodziną takich funkcji strat.

17 Przykłady funkcji strat z rodziny L Przykład 1. Funkcja straty ENTROPY jest określona wzorem: L (θ, d) = d θ ln d θ 1 = x 1 ln x 1 1 dla x > 0, gdzie x = θ/d. Funkcja ta nie jest funkcją wypukłą i ma punkt przegięcia dla x = 2.

18 Wykres funkcji ENTROPY

19 Wykres w skali logarytmicznej funkcji ENTROPY

20 Przykłady funkcji strat z rodziny L c.d. Przykład 2. Funkcja straty STEIN jest określona wzorem: dla x > 0, gdzie x = θ/d. L (θ, d) = θ d ln θ d 1 = x ln x 1 Funkcja ta jest funkcją wypukłą.

21 Wykres funkcji STEIN

22 Wykres w skali logarytmicznej funkcji STEIN

23 ENTROPY i STEIN Funkcje straty ENTROPY i STEIN można zapisać ogólniej jednym wzorem L (θ, d) = L ENT (x) = x c ln x c 1 dla x > 0, gdzie x = θ/d, c 0. Dla c = 1 otrzymujemy funkcję ENTROPY, a dla c = 1 funkcję STEIN. Funkcja straty ENTROPY jest szczególnym przypadkiem miary ilości informacji Kullbacka-Leiblera (patrz np. Parsian i Nematollahi, 1996). Zauważmy też, że dla x > 0 L ENT (x) = L LINEX (ln x).

24 Interpretacja Jeśli funkcja straty jest dana wzorem L (x) = x c ln x c 1, gdzie x = θ/d, to interpretacja stałej c jest taka sama jak dla funkcji LINEX. Jeżeli c > 0, to przeszacowanie jest bardziej poważne w skutkach niż niedoszacowanie. Natomiast jeśli c < 0, to niedoszacowanie rodzi większe konsekwencje niż przeszacowanie.

25 Portfel niejednorodny Θ zmienna losowa opisująca strukturę ryzyka portfelu, θ parametr będący realizacją zmiennej losowej Θ reprezentuje nieobserwowalne bezpośrednio cechy ubezpieczonego. Informacje o θ są zawarte w obserwacjach ubezpieczonego. X 1,..., X n oznaczają całkowitą liczbę roszczeń lub całkowitą kwotę roszczeń w kolejnych latach ubezpieczenia dla ubezpieczonego o parametrze ryzyka θ. Zmienne losowe X 1,..., X n są zależne poprzez wspólne parametr θ, ale ich rozkłady warunkowe przy danym θ są niezależne, tzn. Pr (X 1 < x 1,..., X n < x n Θ = θ) = Pr (X 1 < x 1 θ)... Pr (X n < x n θ) dla każdego x 1,... x n R.

26 Składka netto w portfelu niejednorodnym Warunkowa wartość oczekiwana m i (θ) = E (X i Θ = θ) jest składką netto w i-tym roku dla ubezpieczonego o parametrze ryzyka θ. Składka ta jest nieznana, bo nieznany jest parametr θ. Składkę netto m n+1 (θ) w roku n + 1 należy oszacować na podstawie obserwacji ubezpieczonego do roku n. Niech δ = δ (X 1,..., X n ) będzie estymatorem parametru m (θ). Szukamy takiego estymatora δ exp, żeby wartość oczekiwana funkcji straty LINEX była najmniejsza przy ograniczeniu takim, aby równowaga finansowa ubezpieczyciela była zachowana.

27 Zagadnienie optymalizacji Zatem E L LINEX (m n+1 (Θ), δ exp ) = min δ E L LINEX (m (Θ), δ), przy ograniczeniu dla i = 1, 2,..., gdzie E m i (Θ) = E X i L LINEX (m (θ), δ) = e c(m(θ) δ) + c (m (θ) δ) 1. Przy tym ograniczeniu zagadnienie optymalizacji sprowadza się do szukania δ exp takiego, żeby E e c(m n+1(θ) δ exp) = min δ E e c(m n+1(θ) δ). (*)

28 Estymator bayesowski składki zaufania Twierdzenie Dla funkcji straty LINEX, minimum wartości oczekiwanej straty E L LINEX (m n+1 (Θ), δ) = E e c(m m+1(θ) δ) + c (m m+1 (Θ) δ) 1 w zbiorze funkcji mierzalnych δ : R n R spełniających ograniczenie E m i (Θ) = E X i = m i dla i = 1, 2,... jest osiągnięte dla δ exp (X 1,..., X n ) = m n )) (ln c E E (e cmn+1(θ) X 1..., X n 1 ( ) c ln E e cmn+1(θ) X 1,..., X n. (**)

29 Składka zaufania przy funkcji straty LINEX Jeżeli estymator bayesowski δ exp (X 1,..., X n ) składki netto jest wypukłą kombinacją średniej z obserwacji i średniej portfela, czyli δ exp (X 1,..., X n ) = z exp X + (1 z exp ) m, gdzie z exp (0, 1), to mówimy, że δ exp (X 1,..., X n ) jest składką zaufania przy funkcji straty LINEX. W tym przypadku z exp jest wyrażony w postaci analitycznej.

30 Przykład składki zaufania przy kryterium LINEX Założenia. Θ ma rozkład gamma, E Θ = α/β, Var α/β = α/β 2. X i przy warunku Θ = θ ma rozkład Poissona z parametrem θ, m (θ) = θ. Estymator składki netto m (θ) wyznaczony ze wzoru (**) jest postaci: δ exp (X 1,..., X n ) = z exp X + (1 z exp ) α β, gdzie współczynnik zaufania jest równy z exp = n ( c ln 1 + c ), β + n (patrz Bermúdez i inni, 2001).

31 Estymator δ sqr Jest dobrze znany fakt że minimalna strata przy funkcji kwadratowej jest osiągana dla estymatora δ sqr będącego wartością oczekiwaną rozkładu a posteriori, tzn. δ sqr (X 1,..., X n ) = E (Θ X 1,..., X n ). Przy założeniach, że zmienna Θ ma rozkład gamma z parametrami α i β, a zmienna X przy warunku Θ = θ ma rozkład Poissona z parametrem θ, wzór ten ma postać δ sqr (X 1,..., X n ) = z sqr X + (1 z sqr ) α β, gdzie współczynnik zaufania wyraża się wzorem z sqr = n n + β.

32 Relacja między z exp i z sqr z exp = n ( c ln 1 + c ) n + β n n + β = z sqr. Przy funkcji straty LINEX, mniejszą wagę przykłada się do historii, niż przy kwadratowej funkcji straty: oraz tak, że Ponadto pochodna lim c 0 δ exp = δ sqr lim z exp = 0 c δ exp α β. dz exp < 0. dc Oznacza to, że gdy parametr c rośnie, to waga przykładana do historii ubezpieczonego maleje przy funkcji straty LINEX.

33 Przedziały (x L (θ), x U (θ)) Podamy przedziały (x L (θ), x U (θ)) takie, że Pr (x L < θ δ < x U ) 1 γ = 0.95, dla danych realizacji θ. Ponieważ rozkład nie jest symetryczny, to przyjmujemy Pr (θ δ > x L ) 1 γ 2, Pr (θ δ < x U ) 1 γ 2, dla estymatorów δ = δ sqr i δ = δ exp. Niech z oznacza z exp lub z sqr. Najpierw wyznaczymy x L. Pr (x L θ + (1 z) αβ ) < zx 1 γ 2.

34 Lewy koniec: x L Ponieważ nx ma rozkład Poissona z parametrem λ = nθ, to przyjmując v L = nθ (1 z) α β x L, z wyznaczymy v L ze związku v L k=0 λ k (1 k! γ ) e λ, 2 gdzie x oznacza część całkowitą liczby x. Stąd x L = θ (1 z) α β zv L n.

35 Prawy koniec: x U Analogicznie wyznaczymy v U ze związku v L k=0 λ k k! γ 2 eλ, gdzie Stąd v U = nθ (1 z) α β x U. z x U = θ (1 z) α β zv U n.

36 Przykład dla (x L (θ), x U (θ)) Przyjmiemy skąd n = 10, α = 0.962, β = 4.076, E Θ = α/β = , Var Θ = α/β 2 = Dla δ exp przyjmiemy c = 5 i c = 5. Przedziały (x L, x U ) dla funkcji strat L SQR i L LINEX różnią się nieznacznie nawet dla realizacji θ zmiennej losowej Θ, znacznie większych od E Θ.

37 (x L (θ), x U (θ)) w zależności od θ, c = 5 L SQR, L LINEX

38 (x L (θ), x U (θ)) w zależności od θ, c = 5 L SQR, L LINEX

39 Porównanie δ sqr i δ exp Dla danych realizacji x średniej obserwowanej X, wartości estymatorów δ sqr i δ exp różnią się znacząco. Pokazują to wykresy estymatorów δ jako funkcji obserwowanej średniej x. Przyjęto te same parametry i oznaczenia co poprzednio: n = 10, α = 0.962, β = 4.076, E Θ = α/β = , Var Θ = α/β 2 =

40 δ sqr i δ exp w zależności od x, dla c = 5 δ sqr, δ exp

41 δ sqr i δ exp w zależności od x, dla c = 5 δ sqr, δ exp

42 Różnice między δ sqr i δ exp Wniosek Dla wartości x = 1 przekraczającej E Θ = ponad czterokrotnie, różnica między δ sqr i δ exp osiąga ponad 10%, co jest z praktycznego punktu widzenia różnicą bardzo istotną.

43 Liniowy estymator Bayesowski w modelu Bühlmanna Estymator bayesowski δ exp (X 1,..., X n ) nie dla każdej pary rozkładów zmiennej losowej Θ i zmiennej losowej X przy danym Θ = θ jest liniowy. Gdy nie jest on liniowy, to nie jest składką zaufania. Z tego powodu, poszukiwania δ exp ograniczymy do klasy estymatorów liniowych δ (X 1,... X n ) = a 0 + a 1 X 1 + a 2 X a n X n. Przy założeniach modelu Bühlmanna, obserwacje (X 1,..., X n ) są symetryczne (równoprawne), estymatory liniowe dają się zapisać w postaci: δ (X 1..., X n ) = a + bx, gdzie X = 1 n n X i. i=1

44 Szukamy minimum ryzyka bayesowskiego Zagadnienie (*) sprowadza się do szukania stałych c i b takich, aby min a,b E e c(m(θ) (a+b)x) = E e c(m(θ) δexp) przy ograniczeniu E m (Θ) = E X = m. Ponieważ E m (Θ) = E ( c + bx ), więc m = c + bm. Stąd c = (1 b) m. Szukamy minimum funkcji jednej zmiennej f (b) = E e c((m(θ) m) b(x m)) ( = E e c(m(θ) m) e d(x m)), gdzie d = cb.

45 Rozkład lognormalny Zmienna losowa X ma rozkład lognormalny, gdy Y = ln X ma rozkład normalny, Y N (m, σ), gdzie E Y = m, Var Y = σ 2. Zmienna losowa o rozkładzie lognormalnym ma wartość oczekiwaną E (X ) = e m+σ2 /2 i wariancję ( ) Var (X ) = e 2m+σ2 e σ2 1. Zmienna losowa dwuwymiarowa (X, Y ) ma rozkład łączny lognormalny, gdy zmienna losowa (ln X, ln Y ) ma dwuwymiarowy rozkład normalny.

46 Szczególny przypadek Wprowadzimy następujące oznaczenia na zmienne losowe: Z = e c(m(θ) m), W = e d(x m). Załóżmy, że zmienna losowa dwuwymiarowa (Z, W ) ma rozkład łączny lognormalny. Szukamy parametrów rozkładu zmiennej losowej (ln Z, ln W ).

47 Parametry rozkładu łącznego Twierdzenie Dwuwymiarowa zmienna losowa o łącznym rozkładzie normalnym (ln Z, ln W ), ma rozkład z parametrami: E ln Z = E ln W = 0, (A) gdzie ψ = Var E (X Θ), gdzie ϕ = E Var (X Θ) oraz Var ln Z = c 2 ψ, Var ln W = c 2 b 2 ( ψ + ϕ n (B) ), (C) ρ = ρ (ln Z, ln W ) = { nψ ϕ+nψ dla b > 0, nψ ϕ+nψ dla b < 0. (D)

48 Dowód wzoru (A) Ponieważ ln Z = ln e c(m(θ) m) = c (m (Θ) m), to ze względu na otrzymujemy E m i (Θ) = E X i E ln Z = c (E m (Θ) m) = 0. Analogicznie ln W = ln e d(x m) = d ( X m ), skąd E ln W = 0.

49 Dowód wzorów (B) i (C) Var (ln Z) = Var (c (m (Θ) m)) = c 2 Var m (Θ) = c 2 Var E (X Θ), co po skorzystaniu ze wzoru ϕ = E Var (X Θ) daje (B). Podobnie, Var ln W = Var d ( X m ) = d 2 Var X. Ponieważ Var X = E ( Var ( X Θ )) + Var ( E ( X Θ )) = 1 n Var (X Θ) + Var E (X Θ) = ϕ n + ψ, gdzie ϕ = E Var (X Θ), to otrzymujemy (C).

50 Dowód wzoru (D) mianownik Współczynnik korelacji ρ = ρ (ln Z, ln W ) = Cov (ln Z, ln W ) Var ln Z Var ln W. Ze wzorów (B) i (C) otrzymujemy mianownik, równy ( c 2 ψd 2 ψ + ϕ ) = cd ψ 1 + ϕ n nψ.

51 Dowód wzoru (D) licznik Cov (ln Z, ln W ) = Cov ( c (m (Θ) m), d ( X m )) = E ( c (m (Θ) m) d ( X m )) + E c (m (Θ) m) E ( d ( X m )) = cd E ( (m (Θ) m) ( X m )) = cd Cov ( m (Θ), X ). Ponieważ Cov ( m (Θ), X Θ ) = E ((m (Θ) E (m (Θ) Θ))) ( X E ( X Θ )) = 0, gdyż E (m (Θ) Θ) = m (Θ) oraz E ( X Θ ) = E (X Θ), to Cov ( m (Θ), X ) = E ( Cov ( m (Θ), X Θ )) + Cov ( E (m (Θ) Θ), E ( X Θ )) Zatem = Cov (m (Θ), E (X Θ)) = Cov (m (Θ), m (Θ)) = Var m (Θ) = Var E (X Θ) = ψ. cdψ ρ (ln Z, ln W ) = cd ψ 1 + ϕ nψ co dowodzi Helena wzoru Jasiulewicz, (D). Wojciech Kordecki = c2 b nψ c 2 b ϕ + nψ,

52 Iloczyn U = ZW Lemat Niech Z = e c(m(θ) m), W = e d(x m). Złóżmy, że zmienne losowa (Z, W ) ma łączny rozkład lognormalny. Wtedy zmienna losowa U = ZW ma rozkład lognormalny LN (0, σ), gdzie σ 2 = c 2 ( 1 b 2) ψ + c 2 b 2 ϕ n. W dowodzie wykorzystuje się fakt, że Var ln U = Var ln Z + Var ln W + 2 Cov (ln Z, ln W ).

53 Postać liniowego estymatora w modelu Bühlmanna Twierdzenie Przy założeniu, że rozkład zmiennej losowej ( Θ, X ) jest normalny składka zaufania przy funkcji straty LINEX jest postaci gdzie δ exp = nψ nψ + ϕ X + ϕ nψ + ϕ m, ϕ = E Var (X Θ), ψ = Var E (X Θ), m = E X. Jeżeli za nieznane parametry struktury ϕ, ψ i m wstawi się ich estymatory, to estymator δ exp nazywa się empirycznym estymatorem bayesowskim składki zaufania.

54 Dowód Z lematu mamy, że zmienna losowa U ma rozkład LN (0, σ). Zatem jej wartość oczekiwana wynosi ( 1 ( ( E U = e σ2 /2 = exp 2 c2 b 2 ψ + ϕ ) 2ψb + ψ) ). n Funkcja f (b) = E U osiąga minimum w punkcie b opt = ψ ψ + ϕ n. Ponieważ a opt = (1 b opt ) m, więc dla estymatora liniowego δ exp = a opt + b opt X przeciętna strata funkcji LINEX jest najmniejsza w klasie estymatorów liniowych.

55 Inne szacowanie składki zaufania Na koniec należy wspomnieć pracę Najafabadi, Dla pewnej klasy rozkładów zmiennych Θ i X przy ustalonym Θ = θ, A. T. P. Najafabadi przybliża estymatory bayesowskie składki netto przy niesymetrycznych funkcjach straty przez wypukłą kombinację średniej z obserwacji polisy i średniej a priori portfela. Tę kombinację nazywa przybliżoną formułą zaufania.

56 Literatura Bermúdez, L., Denuit, M., Dhaene, J. (2001). Exponential bonus-malus systems integrating a priori risk classification. Journal of Actuarial Practice, 9: Boratyńska, A. (2008). Posterior regret gamma-minimax estimation of insurance premium in collective risk model. ASTIN Bulletin, 38: Bühlmann, H. (1967). Experience rating and credibility. ASTIN Bulletin, 4: Bühlmann, H., Gisler, A. (2005). A Course in Credibility Theory and its Applications. Springer-Verlag, Berlin.

57 Literatura Denuit, M., Dhaene, J. (2001). Bonus-malus scales using exponential loss functions. Blätter der DGVFM, 25: Ferreira, J. (1977). Identifying equitable insurance premiums for risk classes: an alternative to the classic approach. [w:] XXIIIth International Meeting of the Institute of Management Sciences, Athens. Jasiulewicz, H. (2005). Teoria zaufania. Modele aktuarialne. Wyd. AE, Wrocław. Lemaire, J. (1979). How to define a Bonus-Malus system with an exponential utility function. Astin Bull., 10:

58 Literatura Najafabadi, A. P. (2010). A new approach to the credibility formula. Insurance Math. Econom., 46: Niemiro, W. (2006). Bayesian prediction with an asymmetric criterion in a nonparametric model of insurance risk. Statistics, 40: Parsian, A., Nematollahi, N. (1996). Estimation of scale parameter under entropy loss function. J. Stat. Plann. Inference, 52: Pérez, J., Gómez, E., Vázquez, F. (2002). An alternative solution to the problem of overcharges in the bonus-malus system. [w:] 6th International Congress on Insurance: Mathematics & Economics.

59 Literatura Thomson, R. D., Basu, A. P. (1996). Asymmetric loss functions for estimating system reliability. [w:] Berry, D. A., Chaloner, K. M., Geweke, J. K., redaktorzy, Bayesian Analysis in Statistics and Econometics in Honor of Arnold Zellner. John Wiley & Sons, New York. Varian, H. R. (1974). A bayesian approach to real estate assessment. [w:] Fienberg, S. E., Zellner, A., redaktorzy, Studies in Bayesian Econometrics and Statistics in Honor of Leonard J. Savage, str North Holland, Amsterdam. Zellner, A. (1986). Bayesian estimation and prediction using asymetric loss functions. J. Amer. Statist. Assoc., 81: