Wpływ macierzy przejścia systemu bonus-malus ubezpieczeń komunikacyjnych OC na jego efektywność taryfikacyjną

Transkrypt

1 Wpływ macierzy przejścia systemu bonus-malus ubezpieczeń komunikacyjnych OC na jego efektywność taryfikacyjną Anna Szymańska Katedra Metod Statystycznych Uniwersytet Łódzki

2 Taryfikacja w ubezpieczeniach komunikacyjnych OC Taryfikacja a priori Taryfikacja a posteriori

3 Łańcuch Markowa jako model przejść pomiędzy klasami systemu bonus-malus dla pojedynczego ubezpieczonego Załóżmy, że portfel to zbiór ubezpieczonych podzielonych w wyniku taryfikacji a priori na grupy taryfowe, a następnie w wyniku taryfikacji a posteriori na klasy taryfowe. Liczba klas taryfowych jest skończona i wynosi s. Oznaczmy przez S={1,2,...,s} zbiór numerów klas taryfowych. Przyjmijmy, że klasa j=1 jest obciążana największymi zwyżkami, natomiast j=s największymi zniżkami. Przynależność ubezpieczonego do klasy i w danym roku zależy od klasy, w której znajdował się w roku poprzednim oraz liczby szkód spowodowanych w roku poprzednim. Przy czym ubezpieczeni bez historii szkodowości trafiają do klasy startowej. Niech C t będzie zmienną losową oznaczającą klasę do której należy ubezpieczony w okresie ( t 1, t]. Każdej i-tej klasie taryfowej przyporządkowana jest stawka składki b i, i = 1,...,s stanowiąca procent składki podstawowej. Liczba szkód w danym roku dla dowolnego ubezpieczonego z danej klasy jest zmienną losową o znanym i stałym w czasie rozkładzie prawdopodobieństwa.

4 Łańcuch Markowa jako model przejść pomiędzy klasami systemu bonus-malus dla pojedynczego ubezpieczonego Modelem systemu bonus-malus dla pojedynczego ubezpieczonego o stałym współczynniku intensywności szkód λ>0 jest jednorodny łańcuch Markowa {C t } tєn o przestrzeni stanów S={1,2,...,s}, macierzy prawdopodobieństw przejścia: M( ) pk ( ) T( k) (1) k0 oraz prawdopodobieństwie przejścia ubezpieczonego z klasy taryfowej C i do klasy C j w jednym roku: p ij k0 ( k) ( ) p ( ) t, (2) gdzie pk () jest prawdopodobieństwem, że ubezpieczony w ciągu roku spowoduje ( k) 1 dla Tk i j k szkód oraz tij tij ( k) dla i,jєs, k = 0,1,2,... Funkcję T: S S, 0 dla Tk i j S={1,2,...,s} nazywamy funkcją transformacji, przy czym T k (i) = j oznacza, że ubezpieczony przechodzi z klasy i do klasy j, gdy spowodował k szkód w ciągu jednego roku. k ij

5 Łańcuch Markowa jako model przejść pomiędzy klasami systemu bonus-malus dla pojedynczego ubezpieczonego Zasady przejścia można zapisać w postaci k zerojedynkowych macierzy: t11 t12 t1s T(k) = [ t ( )] ij k. t s1 ts2 tss Dla każdego nierozkładalnego, ergodycznego łańcucha Markowa istnieje rozkład stacjonarny postaci: (3) a ( ) [ a1( ),..., a ( )], (4) n gdzie a j ( ) lim p ( ) oraz p n () jest prawdopodobieństwem przejścia n ij ij ubezpieczonego w okresie n-lat z klasy C i do klasy C j. Rozkład stacjonarny uzyskuje się rozwiązując równanie: gdzie s j1 a j s i1 s a j ( ) ai ( ) pij( ), j 1,..., s, (5) () 1, oraz a j () są frakcją ubezpieczonych znajdujących się w klasie C j po osiągnięciu przez system stanu stacjonarnego lub prawdopodobieństwem, że ubezpieczony znajdzie się w klasie C j po n okresach, gdy liczba okresów dąży do nieskończoności. Przy powyższych założeniach wektor a(λ) można wyznaczyć jako unormowany lewostronny wektor własny macierzy przejść M.

6 Miary efektywności taryfikacyjnej systemów bonus-malus Efektywność Loimaranty (ang. elasticity of the mean stationary premium with respect to the claim frequency) jest określona wzorem: db( ) d ( ), (6) B( ) gdzie oczekiwana stacjonarna składka za pojedynczy okres po osiągnięciu przez system stanu stacjonarnego wynosi: s B( ) a j ( ) b j. (7) i1

7 Miary efektywności taryfikacyjnej systemów bonus-malus Elastyczność ogólna (łączna):. ) ( ) ( 0 d (8) Załóżmy, że rozkład liczby szkód jest Poissona, a parametr intensywności szkód ma rozkład gamma. Całkę we wzorze (8) można przybliżyć wyznaczając całkę w d 0 ) ( ) ( (9) gdzie całkę we wzorze (9) można obliczyć za pomocą metody trapezów. Przybliżenie całki jest postaci k i k i k i k i k d k w i w ) ( ) ( 1 0 (10) Do obliczeń przyjęto w=3 i k=500. Zwiększenie wartości parametrów w i k poprawia dokładność aproksymacji na dziewiątym miejscu po przecinku.

8 Miary efektywności taryfikacyjnej systemów bonus-malus Względny stacjonarny oczekiwany poziom składki (ang. relative stationary average level) RSAL: RSAL( B( ) min j ( b j ) ). max j ( b j ) min j ( b j ) (11)

9 Przykładowe systemy bonus-malus Tabela nr 1. BMS PZU Nr klasy BM C j Liczba szkód w Stawka składki roku [%] 0 1 i więcej 1 C C C C C C C C C C C C C

10 Przykładowe systemy bonus-malus Tabela nr 2. BMS I Nr klasy BM C j Stawka składki Liczba szkód w roku [%] i więcej 1 C C C C C C C C C C C C C

11 Przykładowe systemy bonus-malus Tabela nr 3. BMS II Nr klasy BM C j Stawka składki Liczba szkód w roku [%] i więcej 1 C C C C C C C C C C C C C

12 Przykładowe systemy bonus-malus Tabela nr 4. BMS III Nr klasy BM C j Stawka składki Liczba szkód w roku [%] i więcej 1 C C C C C C C C C C C C C

13 Przykładowe systemy bonus-malus Tabela nr 5. BMS IV Nr Klasy BM C j Stawka składki Liczba szkód w roku [%] i więcej 1 C C C C C C C C C C C C C C C C C C

14 Przykładowe systemy bonus-malus Tabela nr 6. BMS V Nr klasy BM C j Stawka składki Liczba szkód w roku [%] i więcej 1 C C C C C C C C C C C C C C C C C C

15 Przykładowe systemy bonus-malus Tabela nr 7. BMS VI Nr klasy BM C j Stawka składki Liczba szkód w roku [%] i więcej 1 C C C C C C C C C C C C C C C C C C

16 Ocena efektywności taryfikacyjnej badanych systemów bonus-malus Tabela nr 8. Miary efektywności taryfikacyjnej systemów bonus-malus System Miara efektywności taryfikacyjnej systemu bonus-malus () () B RSAL () BMS PZU 0, , , , BMS I 0, , , , BMS II 0, , , , BMS III 0, , , , BMS IV 0, , , , BMS V 0, , , , BMS VI 0, , , ,108860

17 Ocena efektywności taryfikacyjnej badanych systemów bonus-malus 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 η(λ) η B(λ) RSAL miara efektywności BMS PZU BMS I BMS II BMS III BMS IV BMS V BMS VI

18 Ocena efektywności taryfikacyjnej badanych systemów bonus-malus System bonus-malus PZU, BMS I, BMS II, BMS IV i BMS V charakteryzują się niską efektywnością taryfikacyjną. W tych systemach stawki składki nie będą odpowiednie do ryzyka, jakie reprezentują ubezpieczeni a polisy będą się koncentrować w klasach zniżkowych, co może być powodem braku równowagi finansowej w portfelu. Systemy bonus-malus BMS III i BMS VI będą lepiej spełniać funkcję taryfikacyjną niż pozostałe badane systemy - oczekiwana stacjonarna składka będzie większa, a skoncentrowanie polis w klasach zniżkowych mniejsze. Miary efektywności taryfikacyjnej wskazują na lepszą elastyczność stawek względem intensywności szkód w tych systemach.

19 Wnioski Zwiększenie liczby klas systemu przy tych samych zasadach przejścia pomiędzy klasami, nie zawsze poprawia jego efektywność taryfikacyjną, czego przykładem są systemy: BMS IV w stosunku do BMS I oraz BMS V w porównaniu z BMS II. W wymienionych parach systemów wszystkie oceniane miary efektywności taryfikacyjnej mają mniejsze wartości nawet po zwiększeniu liczby klas, co świadczy o zmniejszeniu ich efektywności taryfikacyjnej. Wyjątek stanowi tutaj system BMS VI w stosunku do BMS III, czyli systemy bardzo surowo karzące ubezpieczonych zgłaszających szkody. Zwiększenie liczby klas dla takich systemów znacznie poprawia efektywność taryfikacyjną

20 Wnioski Niewielkie zaostrzenie kar, w porównaniu z systemem PZU, tylko dla ubezpieczonych powodujących w roku co najmniej dwie szkody, jak w systemach BMS I i BMS IV nie poprawia efektywności taryfikacyjnej systemu, a wręcz powoduje pogorszenie jego efektywności taryfikacyjnej. Należy tutaj zauważyć, że system BMS IV ma mniejsze wartości efektywności: Loimaranty i ogólnej, w porównaniu z BMS I i PZU, przy takich samych zasadach przejścia pomiędzy klasami i większej liczbie klas.

21 Wnioski Zaostrzenie kar dla wszystkich ubezpieczonych zgłaszających szkody przy tej samej liczbie klas, jak w systemach BMS I, BMS II i BMS III oraz BMS IV, BMS V i BMS VI, poprawia efektywność taryfikacyjną systemu. Należy jednak zauważyć, że w przypadku systemów z większą liczbą klas poprawa funkcji taryfikacyjnej jest większa.

22 Bibliografia Antonio K., Valez E., Statistical concepts of a priori and a posteriori risk classification in insurance, AStA Adv Stat Anal 2012, vol.96, s Bonsdorff H., On the Convergence rate of bonus-malus Systems, ASTIN Bulletin 1992, vol.22, s Denuit M., Marechal X., Pitrebois S., Walhin J., Actuarial Modelling of Claim Counts. Risk Classification, Credibility and Bonus-Malus Systems, Wiley, England 2007, s Lemaire J., Bonus-Malus Systems in Automobile Insurance, Kluwer, Boston, Niemiec M., Bonus-Malus Systems as Markov Set-Chains, ASTIN Bulletin 2007, vol. 37, s Podgórska M., Śliwka P., Tobolewski M., Wrzosek M., Łańcuchy Markowa w teorii i w zastosowaniach, Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa 2002, s.16 Szymańska A., Małecka M., Zastosowanie metody trapezów w ocenie efektywności taryfikacyjnej systemów bonus-malus ubezpieczeń komunikacyjnych OC, w: Z. Zieliński (red.), Rola informatyki w naukach ekonomicznych i społecznych. Innowacje i implikacje interdyscyplinarne, Wydawnictwo Wyższej Szkoły Handlowej, Kielce 2013, s