0, 4 0, 3 A = 0, 4 0, 7. Wyznaczyć rozkład ludności po roku oraz po trzech latach wiedzac, że stan poczatkowy jest następujacy: 0, 1 0, 2 0, 9 0, 6

Transkrypt

1 Zastosowania Zadanie. Macierz migracji między dwoma miastami ma postać: 0, 0, 3 0, 4 0, 7 Wyznaczyć rozkład ludności po roku oraz po trzech latach wiedzac, że stan poczatkowy jest następujacy: 0, x(0) = 0, 4 Wyznaczyć wektor równowagi. Zadanie 2. Macierz migracji ludności między miastem a wsia ma postać: 0, 9 0, 0, 0, 4 Wyznaczyć poczatkowy rozkład ludności wiedzac, że po roku jest on następujacy: Zadanie 3. Niech x() = [ 0, 7 0, 3 [ 0, 0, 2 0, 4 0, 3 będzie macierza przepływu międzygałęziowego systemu składajacego się zdwóch gałęzi przemysłu, zaś 000 d = 200 wektorem zapotrzebowań zewnętrznych. Wyznaczyć wektor produkcji tak, aby system znajdował się w równowadze. Zadanie 4. Dane sa równania popytu i podaży pewnego towaru PP(c) = 50 5c, PD(c) = 2 + 3c. Znajdź cenę równowagi rynkowej. Zadanie 5. Popyt na pewien towar jest funkcja liniowa ceny i wyraża się wzorem PP(c) = 40 8c. Znajdź cenę, przy której dochód D(c) = PP(c)c ze sprzedaży tego towaru będzie maksymalny. Zadanie. Zmienne X i X 2 opisuja papiery wartościowe dwóch różnych spółek. Stopy zwrotu wynosza odpowiednio EX = 0, 05 oraz EX 2 = 0, 07, zaś ryzyko - D 2 X = 0, 02 oraz D 2 X 2 = 0, 03. Współczynnik korelacji jest równy ρ(x, X 2 ) = 0, 5. W jakiej proporcji należy zbudować portfel inwestycyjny z akcji obu spółek, aby zminimalizować ryzyko? Zadanie 7. Pewien bank oferuje 9-miesięczna lokatę progresywna. Wysokość oprocentowania (w skali roku) w kolejnych miesiacach ilustruje poniższa tabela. miesiac I II III IV V VI VII VIII IX % 0,75 0,75 0,95,5,35,55,75 2,35 3,00 Obliczyć średnie oprocentowanie tej lokaty w stosunku rocznym, jeżeli odsetki doliczane sa na koniec trwania lokaty (a nie po każdym miesiacu). Obliczyć średnie oprocentowanie przy założeniu, że odsetki doliczane sa po każdym miesiacu. Zadanie 8. Pan X zaciagn ał kredyt w wysokości 0000zł. Będzie go spłacał przez rok w stałych comiesięcznych ratach. Oprocentowanie wynosi 0% w skali roku. Ile wynosić bedzie miesięczna rata oraz całkowity koszt kredytu? Zadanie 9. Pan Y zaciagn ał kredyt w wysokości 0000zł. Będzie go spłacał co miesiac przez rok w ratach malejacych. Oprocentowanie wynosi 0% w skali roku. Ile wynosić beda kolejne raty oraz całkowity koszt kredytu? ]. ]

2 2 Kombinatoryka Zadanie 0. Ile liczb pięciocyfrowych można utworzyć z cyfr (i),2,3,4,5 (ii) 0,,2,3,4 (iii),2,3,4,5, (każdej podanej cyfry można użyć tylko raz)? Zadanie. Ile parzystych liczb trzycyfrowych (o różnych cyfrach) można utworzyć z elementów zbioru {, 2, 3, 4, 5}? Zadanie 2. Na ile sposobów można ustawić na półce 0-tomowe dzieło, jeśli. tomy I, II i III maja stać obok siebie, niekoniecznie w takiej kolejności, 2. tomy I i II maja nie stać obok siebie? Zadanie 3. Ile liczb sześciocyfrowych można utworzyć z cyfr (i),,3,3,4,5 (ii) 0,,,3,3,4? Zadanie 4. Mała Hania ma 0 koralików: 3 czerwone, 3 niebieskie, 2 żólte i 2 zielone. Ile różnych wzorów może uzyskać dziewczynka nawlekajac je na sznurek? Zadanie 5. Ile pięciocyfrowych liczb nieparzystych można utworzyć z cyfr,,2,3,4? Zadanie. Ile jest liczb pięciocyfrowych, których pierwsza i ostatnia cyfra sa takie same? Zadanie 7. Ile sześciocyfrowych liczb parzystych można utworzyć z cyfr,2,2,3,4,4? Zadanie 8. W ilu permutacjach zbioru {,2,3,4,5} jedynka stoi przed (niekoniecznie bezpośrednio) dwójka? Zadanie 9. Na ile sposobów można przy okragłym stole posadzić 0 osób, jeśli dwie z nich chca koniecznie siedzieć obok siebie? Zadanie 20. Z talii 52 kart losujemy kart. Ile jest możliwych wyników, w których wylosujemy dokładnie 3 asy? Zadanie 2. Z talii 52 kart losujemy 8 kart. Ile jest możliwych wyników, w których. wylosujemy co najmniej 2 asy 2. wylosujemy jedna damę i 2 króle 3. nie wylosujemy żadnego asa? Zadanie 22. Ile jest czterocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występuja dwie pary różnych cyfr? Zadanie 23. Ilu uczniów jest w klasie, jeśli wiadomo, że dwuosobowa "delegację z kwiatkiem" można wybrać na 300 sposobów? Zadanie 24. Na przyjęciu spotkało się n osób. Wszyscy znajomi przywitali się podaniem ręki. Nastapiło 0 powitań. Ile osób się spotkało? Zadanie 25. Ile elementów ma zbiór A, jeżeli zawiera on dokładnie 7 podzbiorów o co najwyżej dwóch elementach? Zadanie 2. Rozmieszczamy losowo 0 ponumerowanych kul w trzech szufladach.. Ile jest możliwych sposobów rozmieszczenia? 2. Ile jest możliwych sposobów rozmieszczenia, jeśli co najmniej jedna szuflada ma pozostać pusta? 3. Ile jest możliwych sposobów rozmieszczenia, jeśli dokładnie jedna szuflada ma pozostać pusta? 4. Ile jest możliwych sposobów rozmieszczenia, jeśli żadna szuflada ma nie być pusta? Zadanie 27. Rozmieszczamy losowo 0 jednakowych kul w trzech szufladach.. Na ile sposobów można to zrobić? 2. Na ile sposobów można to zrobić, jeśli co najmniej jedna szuflada ma pozostać pusta? 3. Na ile sposobów można to zrobić, jeśli dokładnie jedna szuflada ma pozostać pusta? 4. Na ile sposobów można to zrobić, jeśli żadna szuflada ma nie być pusta? 2

3 3 Rachunek prawdopodobieństwa, zmienne losowe Zadanie 28. Niech A i B będa zdarzeniami. Za pomoca działań na zbiorach zapisać następujace zdarzenia:. zaszło A lub B, 2. zaszły oba, 3. nie zaszło żadne z nich, 4. zaszło tylko A. Zadanie 29. Dwaj piłkarze chodza niezbyt regularnie na treningi. Pierwszy chodzi na co drugi trening, drugi opuszcza 0% treningów, zaś na 45% treningów obecni sa obaj. Obliczyć prawdopodobieństwo, że. chociaż jeden z nich jest na treningu, 2. dokładnie jeden z nich jest na treningu, 3. żadnego z nich nie ma na treningu. Zadanie 30. Rzucamy 3 razy moneta. Skonstruować zbiór zdarzeń elementarnych. Określamy zmienna losowa X jako ilość wyrzuconych reszek. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X i narysować wykres jej dystrybuanty. Obliczyć wartość oczekiwana. Zadanie 3. Rzucamy 2 razy kostka. Określamy zmienna losowa X jako sumę wyrzuconych oczek. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X i narysować wykres jej dystrybuanty. Obliczyć wartość oczekiwana. Zadanie 32. Dystrybuanta zmiennej losowej X dana jest wzorem 0 dla t < 0 0, + t dla 0 x < 0, 5 F(t) = 0, 4 + t dla 0, 5 x < 0, 55 dla x 0, 55 Obliczyć P(X < 0, 55), P(X > 0, 55), P(X = 2 ), P(0, 5 < X < 0, 55). Zadanie 33. W urnie sa 2 kule białe i 4 kule czarne. Losujemy 2 kule bez zwracania. Co jest bardziej prawdopodobne: wyciagnięcie dwóch kul tego samego koloru czy wyciagnięcie dwóch kul różnych kolorów? Zadanie 34. Rzucamy moneta do chwili wyrzucenia orła. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia polegajacego na tym, że liczba rzutów będzie parzysta? Zadanie 35. Rzucamy moneta do chwili aż upadnie dwa razy po kolei ta sama strona do góry. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia polegajacego na tym, że rzucamy parzysta ilość razy? Zadanie 3. Ile osób powinna liczyć grupa, aby prawdopodobieństwo, że wśród nich znajda się dwie osoby obchodzace urodziny tego samego dnia było większe niż 0, 5? Zadanie 37. Z talii 24 kart wybieramy 5. Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymamy dwie pary (dokładnie dwie pary, nie fulla ani karetę)? Zadanie 38. Z talii 52 kart losujemy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych kart sa zarówno czerwone jak i czarne? Zadanie 39. Urzadzenie elektryczne składa się z czterech podzespołów, z których każdy charakteryzuje się niezawodnościa 0, 85. Jakie jest prawdopodobieństwo, że urzadzenie zadziała, jeżeli działa ono:. tylko wtedy, gdy wszystkie podzespoły sa sprawne 2. gdy przynajmniej jeden podzespół jest sprawny? Zadanie 40. Ilu szóstek można się spodziewać w losowaniu Lotto, jeżeli kuponów jest ok. 0 7? Zadanie 4. Obliczyć w przybliżeniu prawdopodobieństwo, że wśród 35 osób trzy urodziły się 0 lub lutego. Zadanie 42. Niech X bedzie zmienna losowa o rozkładzie jednostajnym na przedziale [0, ]. Znaleźć jej dystrybuantę. Zadanie 43. Niech X bedzie zmienna losowa o następujacym rozkładzie: x i p i Wyznaczyć rozkład zmiennej X 2. Zadanie 44. Załóżmy, że zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ =. Obliczyć P( 2 X 4). 3

4 4 Rozkład normalny Zadanie 45. Niech Z będzie standaryzowana zmienna losowa normalna.. Oblicz P(Z 0, 89). 2. Oblicz P( 2, < Z). 3. Oblicz P( < Z < ). Zadanie 4. Niech X bedzie normalna zmienna losowa o średniej µ = 40 i odchyleniu standardowym σ = 2. Znajdź P(407 X 45). Zadanie 47. Dla normalnej zmiennej losowej X o średniej µ = 44 i odchyleniu standardowym σ = znajdź P(X > 0). Zadanie 48. Czas zrealizowania przelewu bankowego ma rozkład normalny N(7, 2). Określić: prawdopodobieństwo uzyskania pieniędzy na koncie w czasie nie dłuższym niż 3 dni jaki procent zleceń jest realizowany w czasie od 0 do 4 dni. Zadanie 49. Automat produkuje części, których długość (w cm) jest zmienna losowa o rozkładzie N(2; 0, 2). Wyznaczyć prawdopodobieństwo wyprodukowania braku, jeżeli dopuszczalna długość części powinna zawierać się w przedziale (, 7; 2, 3). Zadanie 50. Czas przejazdu pociagu między dwiema stacjami jest normalna zmienna losowa o średniej 29 minut i nieznanej wariancji. W 30% przypadków przejazd pociagu trwa więcej niż 42 minuty. Znajdź wariancję czasu przejazdu. Zadanie 5. Waga pewnego tropikalnego owocu hodowanego eksperymentalnie w Stanach Zjednoczonych ma rozkład normalny z wariancja 0, 04 i nieznana średnia. Wiadomo, że 5% owoców waży mniej niż 0, 5 funta. Jaka jest oczekiwana waga losowo wybranego owocu? Zadanie 52. Waga towarów wysyłanych w kontenerach określonych wymiarów jest normalna zmienna losowa. Wiadomo, że 5% kontenerów wykazuje wagę netto ponad 4, 9 tony, a 25% kontenerów - wagę netto mniejsza 4, 2 tony. Znajdź średnia i odchylenie standardowe wagi towarów wysyłanych w tego typu kontenerach. 5 Percentyle, miary tendencji centralnej, miary zmienności Zadanie 53. Dla następujacych danych: 38, 4, 44, 45, 45, 52, 54, 5, 0, 4, 9, 7, 7, 77, 78, 79, 80, 8, 87, 88, 90, 98 oblicz medianę, pierwszy i trzeci kwartyl, 30-ty i 0-ty percentyl oraz odstęp międzykwartylowy. Znajdź dominantę. Zadanie 54. Dla następujacych danych: oblicz średnia, wariancję i odchylenie standardowe. 2, 3, 2, 4, 3, 5,,,, 4, 7, 2, 5,, Zadanie 55. Z partii bawełny pobrano próbkę złożona z 4 włókien, a następnie zmierzono długości tych włókien (w mm). Po uporzadkowaniu otrzymano następujace wyniki: 4, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 0, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 5,,,, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 20, 20, 20, 2, 2, 2, 2, 22, 22, 22, 23, 23, 23, 23, 23, 23, 24, 24, 24, 24, 24, 25, 25, 25, 2, 27, 27, 28, 28, 29, 29, 29, 29, 3, 3, 3, 32, 32, 33, 35 Zbuduj szereg rozdzielczy, przyjmujac liczbę klas k = 8 i jako poczatek pierwszej klasy liczbę 3, 5. Dla szeregu oblicz medianę, średnia, odchylenie standardowe. Narysuj histogram. 4

5 Zadanie 5. W poniższej tabeli umieszczono wyniki podzielone na klasy. Oblicz średnia i odchylenie standardowe. Znajdź klasę dominujac a, klasę medialna i medianę. klasa liczebność Zadanie 57. Poniższa tabela przedstawia procentowa zawartość skrobi w każdym z 80 ziemniaków wylosowanych z pratii ziemniaków. Oblicz średnia i odchylenie standardowe. Znajdź klasę dominujac a, klasę medialna i medianę. zaw. % skrobi liczba ziemniaków Przedziały ufności Zadanie 58. W 00 losowo wybranych gospodarstwach domowych średnia miesięczna opłata za energię elektryczna wyniosła 74 zł, a odchylenie standardowe zł. Wyznacz 90% przedział ufności dla średnich miesięcznych wydatków na prad w całej populacji. Zadanie 59. Dla 20 losowo wybranych uczniów pewnej wiejskiej szkoły podstawowej średni czas dojazdu do szkoły wynosi 45 minut, a odchylenie standardowe 7 minut. Oszacuj za pomoca przedziału ufności przeciętny czas dojazdu w całej populacji uczniów tej szkoły przyjmujac poziom ufności 0, 85 7 Korelacja, regresja Zadanie 0. W poniższej tabeli umieszczono wyniki pomiarów cechy X oraz cechy Y. Oblicz współczynnik korelacji tych dwóch cech. Oszacuj parametry linii regresji cechy Y względem cechy X. cecha X cecha Y