WPŁYW OPORÓW RUCHU W PRZEGUBACH UKŁADU ZMIANY WYSIĘGU ŻURAWIA SAMOJEZDNEGO NA JEGO DRGANIA POPRZECZNE

Transkrypt

1 MODELOWANIE INŻYNIERSKIE 2016 nr 58, ISSN X WPŁYW OPORÓW RUCHU W PRZEGUBACH UKŁADU ZMIANY WYSIĘGU ŻURAWIA SAMOJEZDNEGO NA JEGO DRGANIA POPRZECZNE Wojciech Sochacki 1a, Marta Bold 1b 1 Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, Politechnika Częstochowska a sochacki@imipkm.pcz.pl, b bold@imipkm.pcz.pl Streszczenie W niniejszej pracy sformułowano i rozwiązano zagadnienie poprzecznych drgań tłumionych układu zmiany wysięgu żurawia samochodowego. Dyssypacja energii w czasie zmiany wysięgu następuje na skutek oporów ruchu w miejscach mocowania siłownika i wysięgnika do ramy obrotowej żurawia. Miejsca te zamodelowano jako podpory przegubowe z rotacyjnymi tłumikami wiskotycznymi i rotacyjnymi sprężynami o charakterystyce liniowej. W pracy obliczono wartości własne układu przy jego zmiennej geometrii i wybranych wartościach współczynników tłumienia oraz sztywności sprężyn. Porównano wpływ w/w współczynników na tłumione częstości drgań i stopień zaniku amplitud drgań. Słowa kluczowe: drgania tłumione, tłumiki drgań, żuraw samochodowy INFLUENCE OF MOVEMENT RESISTANCE IN THE SUPPORTS ON TRANSVERSE VIBRATION OF THE TRUCK CRANE RADIUS CHANGE SYSTEM Summary In the present work, the problem of transverse damping vibration of truck crane radius change system was formulated and solved. The energy dissipation during changes in overhang is a result of taken into account the movement resistance in the supports of the cylinder and crane boom to the bodywork frame of the crane. Those supports were modelled by the rotational viscous damper and rotational spring with linear characteristic. In this work the results of numerical research taking into consideration influence of changes in geometry of the system and the variable values of damping coefficient and spring rigidity coefficient were presented. The influence on the damped vibration frequency and the degree of vibration amplitude decay of both coefficients were presented. Keywords: damped vibrations, telescopic crane boom, truck crane 1. WSTĘP Układ zmiany wysięgu jako wyszczególniony podzespół żurawia samochodowego jest układem o wysokim stopniu złożoności, a badaniu jego dynamiki poświęcony został szereg prac. Cenne źródło informacji na temat drgań żurawi samochodowych oraz ich elementów stanowią prace [1-10]. Monografię [1] oraz pracę [2] w całości poświęcono modelowaniu i badaniom dynamiki żurawi samochodowych oraz ich elementów. W pracy [3] analizowano wpływ zmiany konfiguracji układu nośnego żurawia samochodowego na jego drgania własne. Metody pozycjonowania położenia ładunku oraz wpływ jego ruchu na drgania żurawi samochodowych zaprezentowano w pracach [4-7]. Badania drgań układu zmiany wysięgu jako wyodrębnionego układu żurawia samocho- 123

2 WPŁYW OPORÓW RUCHU W PRZEGUBACH UKŁADU ZMIANY WYSIĘGU ŻURAWIA ( ) dowego przedstawiono w pracach [8-10]. Są to prace, w których badane są drgania swobodne i/lub parametrycz- liniowej bądź ne takiego układu o charakterystycee nieliniowej. W wyżej wymienionych pracach pomijano wpływ tłumienia w układzie. Rozważania dotyczące zagadnienia tłumienia drgań przedstawiono w pracach [11-15]. Rozważania wpływu tłumienia konstrukcyjnego modelowanego tłumikami rotacyjnymi przedstawiono w pracach [11,12]. W pracy [11] przedstawiono wpływ tłumienia konstrukcyjnego mocowań na drgania swobodne prostej belki Bernoulle- mo- go-eulera. Wpływowi tłumienia konstrukcyjnego cowań na drgania układu zmiany wysięgu żurawia samochodowego poświęcone zostały badania zawarte w pracy [12]. W pracach [13,14] przedstawiono analizę drgań prostych belek z dodatkowymi elementami dys- kretnymi, gdzie tłumienie w układzie zamodelowano tłumikami translacyjnymi. Porównanie nia konstrukcyjnego, pochodzącego od do układu tłumików translacyjnych lub rotacyjnych, na drgania prostej belki oraz drgania struny zaprezentowa- analizy drgań no w pracy [15]. Niniejsza praca dotyczy tłumionych układu zmiany wysięgu żurawia samocho- rozproszenie dowego DST0285. W przyjętym modelu energii drgań w czasie zmiany wysięgu żurawia następu- w przegubach je na skutek występowania oporów ruchu mocujących siłownik i wysięgnik do ramy obrotowej żurawia. Opory te zamodelowane zostały rotacyjnymi tłumikami wiskotycznymi oraz rotacyjnymi sprężynami o charakterystyce liniowej. W pracy przedstawiono zależność między zmianą wartości sztywności sprężyn i współczynników tłumienia a stopniem zaniku amplitudy drgań. Wyniki badań przedstawiono za pomocą trójwymiarowych wykresów. 2. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU 2.1 MODEL FIZYCZNY UKŁADU wpływu tłumiewprowadzonych Model fizyczny układu zmiany wysięgu żurawia przedstawiono na rys.1. W przyjętym modelu uwzględniono rzeczywistą geometrię układu określoną kątami i, sztywność zastępczą układu, siłę oddziaływania ładunku zawieszonego na linie na głowicę wysięgnika (P) oraz oddziaływanie cieczy na tłok i cylinder i zwajemne oddziaływanie cylindra z tłokiem. Zmiany wysięgu (kąta pochylenia wysięgnika) dokonuje się siłownikiem hydraulicznym zamocowanym do ramy obrotowej wysięgnika. Rys. 1. Model układu zmiany wysięgu żurawia samochodowego W podporach mocujących układ zmiany wysięgu do ramy nadwozia zamodelowano rotacyjne tłumiki wiskotyczne (CR) oraz sprężyny rotacyjne (K) oznaczone indeksami odpowiednio 11 dla podpory siłownika i 31 dla podpory wysięgnika. 2.2 MODEL MATEMATYCZNY UKŁADU Równania ruchu poszczególnych belek modelujących układ zmiany wysięgu żurawia można zapisać jako:,, 0 (1), gdzie: m = 1,2,3 ; n = 1,2 Wmn (x,t) przemieszczenia poprzeczne belek, Emn moduły Younga poszczególnych belek, Fmn pola przekrojów belek, Jmn momenty bezwładności przekrojów belek, mn gęstości materiału belek, Pmn siły wzdłużne w belkach modelujących wysięgnik i siłownik zmiany wysięgu (P12 = 0), x współrzędna przestrzenna, t czas, Rozwiązania równań (1) mają postać, %& (2) gdzie * to zespolona wartość własna układu,!", $ $1 Podstawiając (2) do (1) otrzymuje się: 124

3 WOJCIECH SOCHACKI, MARTA BOLD gdzie: () * + (( $, 0 (3), -. & / 0 ; * 1 2 / 0 ; * 3+ 0 (4) Warunki brzegowe geometryczne i ciągłości mają postać: , , ( ( 3+ 0, , , , ( ( ++ 0, , , ( ( 5+ 0 (5a) Naturalne warunki brzegowe badanego układu są następujące: (( 33 0 $ : 33 ( 33 0 ; <33 ( 33 0, (( 53 0 $ : 53 ( 53 0 ; <53 ( 53 0, (( (( 3+ 0, (( , (( , (( (( , (( , (( (( 5+ 0, (( , ((( , ((( ( $ ((( ((( ( +3 0, ((( ((( ((( ( , ((( $ ((( 5+ 0 = ((( ( > A9, 0 (5b) Rozwiązaniem równań (3) są funkcje: ; 3 B ; + CB ; 5 %B D ; E C%B D (6) Znalezienie zespolonych wartości własnych macierzy A( * ) prowadzi do wyznaczenia tłumionych częstości drgań oraz stopnia zaniku amplitud drgań rozpatrywanego układu. W zależności od przyjętej postaci rozwiązania części rzeczywiste i urojone wartości własnych mogą przyjmować dodatnie lub ujemne wartości i mogą reprezentować tłumioną częstość drgań lub współczynnik zaniku amplitud drgań. W niniejszej pracy część rzeczywista Re( * ) rozwiązania odpowiada częstości tłumionej natomiast część urojona Im( * ) charakteryzuje stopień zaniku amplitud drgań. Do prezentacji wyników przyjęto dodatnie wartości części rzeczywistej i urojonej rozwiązań. 3. WYNIKI OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH Obliczenia przeprowadzono dla układu zamiany wysięgu żurawia samochodowego DST0285 obciążonego siłą P=50kN przy zmiennej geometrii układu (zmiana kąta pochylenia i rozsunięcia wysięgnika) oraz zmiennym tłumieniu i sztywności sprężyn. 3.1 PARAMETRY BADANEGO UKŁADU W pracy przyjęto bezwymiarowe parametry tłumienia konstrukcyjnego odpowiednio µ11 dla tłumika w podporze siłownika i µ31 dla tłumika w podporze wysięgnika oraz sztywności sprężyn rotacyjnych, K11 dla sprężyny w podporze siłownika i K31 dla sprężyny w podporze wysięgnika. Długość rozsunięcia wysięgnika oznaczona została LC, natomiast rozsunięcie siłownika (LS) decyduje o kącie jego pochylenia. gdzie: F G$ H + 1H E,, W 33 X YZZ X, W [ \]- ZZ. ZZ / ZZ 0 53 Y^Z (11) ZZ [ _]-^Z.^Z /^Z 0^Z : 33 `ZZ[ \ / ZZ 0 ZZ, : 53 `^Z[ \ /^Z 0^Z (12) F G H + 1H E, (7) W 33 W 53 W, : 33 : 53 : (13) Podstawiając (6) do (5a-b), otrzymano jednorodny układ równań względem nieznanych stałych Ckmn, który w postaci macierzowej można zapisać jako: gdzie: =J> ; 0 (8) J KL MN O,P, Q 1 $ 24,; =; T > U,? 1 $ 4 (9) Układ posiada nietrywialnie rozwiązanie, gdy wyznacznik macierzy współczynników przy stałych Ckmn jest równy zeru. Tabela 1. Przyjęte dane geometryczne i materiałowe Długość członu stałego wysięgnika ls1[m] 7,95 Długość członu wysuwnego 2. wysięgnika Lw2[m] Długość członu wysuwnego 3. wysięgnika Lw3[m] Długość całkowita wysięgnika Lc[m] Zadawana długość wysuwu siłownika teleskopowania lz[m] Wysokość zewnętrzna członu podstawowego wysięgnika H1[m] Wysokość zewnętrzna członu 2. wysięgnika H2[m] 8,3 8,2 zmienne zmienne 0,6 0,521 VJ 0 (10) 125

4 WPŁYW OPORÓW RUCHU W PRZEGUBACH UKŁADU ZMIANY WYSIĘGU ŻURAWIA ( ) Tabela 1. cd. Wysokość zewnętrzna członu 3. wysięgnika H3[m] Wysokość wewnętrzna członu podstawowego wysięgnika h1[m] Wysokość wewnętrzna członu 2-go wysięgnika h2[m] Wysokość wewnętrzna członu 3-go wysięgnika h3[m] Szerokość zewnętrzna członu podstawowego wysięgnika B1[m] Szerokość zewnętrzna członu 2-go wysięgnika B2[m] Szerokość zewnętrzna członu 3-go wysięgnika B3[m] Szerokość wewnętrzna członu podstawowego wysięgnika b1[m] Szerokość wewnętrzna członu 2-go wysięgnika b2[m] Szerokość wewnętrzna członu 3-go wysięgnika b3[m] Moduł Younga materiału wysięgnika i siłownika Emn[Pa] 0,452 0,58 0,505 0,438 0,401 0,359 0,315 0,387 0,345 0, x Moduł sprężystości postaciowej cieczy EC[Pa] 1.25 x 10 9 Gęstość materiału wysięgnika i siłownika mn [kg/m 3 ] 7860 Gęstość cieczy w siłowniku 0 [kg/m 3 ] 890 Kąt pochylenia wysięgnika [ ] Długość rozsunięcia siłownika LS[m] zmienne zmienne Średnica zewnętrzna cylindra D11 = D12[m] 0,277 Średnica wewnętrzna cylindra d11 = d12[m] 0,25 Średnica zewnętrzna tłoczyska D21 = D22[m] 0,16 Średnica wewnętrzna tłoczyska d21 = d22[m] 0,128 Siła obciążająca układ P[N] GRAFICZNE OPRACOWANIE WYNIKÓW BADAŃ Wyniki obliczeń przedstawiono na rysunkach Pierwszą i drugą wartość własną układu z podziałem na część rzeczywistą oraz urojoną przedstawiono na oddzielnych rysunkach ze względu na znaczne różnice w ich wartościach. W celu kompleksowego przedstawienia jednoczesnego wpływu parametrów tłumienia konstrukcyjnego mocowań oraz parametrów sztywności sprężyn, na drgania układu zmiany wysięgu, przy zmiennej geometrii tegoż układu, wyniki obliczeń przedstawiono za pomocą wykresów przestrzennych. Na rysunkach 2 i 3 przedstawiono wyniki badań drgań układu bez uwzględnienia tłumienia. Wyniki obliczeń przedstawiające zależność pierwszej częstości drgań układu zmiany wysięgu od stopnia rozsunięcia wysięgnika LC i kąta jego pochylenia zaprezentowano na rys.2., natomiast na rys.3. - drugą częstość drgań układu, której charakterystyka zależna jest od tych samych parametrów. W badanym przypadku pominięto wpływ tłumienia i sztywności sprężyn (µ=µ11=µ31=0 i K=K11=K31=0). Rys. 2. Zależność pierwszej częstości drgań od zmiany długości wysięgnika LC i kąta jego pochylenia Rys. 3. Zależność drugiej częstości drgań od zmiany długości wysięgnika LC i kąta jego pochylenia Zależność wartości własnych układu zmiany wysięgu od stopnia rozsunięcia wysięgnika LC i kąta jego pochylenia przy wybranym współczynniku tłumienia µ=µ11=µ31=1 i sztywności =K11=K31=2 przedstawiono na rysunkach 4-7. (rys.8-11). Na rys. 4 zaprezentowano charakterystykę części rzeczywistej, a na rys. 5 części urojonej pierwszej wartości własnej układu. Rys. 4. Zależność części rzeczywistej Re( * ) pierwszej wartości własnej układu od zmiany długości wysięgnika LC i kąta jego pochylenia 126

5 WOJCIECH SOCHACKI, MARTA BOLD W dalszych badaniach wyznaczono zależność części rzeczywistej Re( * ) i części urojonej Im( * ) pierwszej i drugiej wartości własnej układu zmiany wysięgu od zmiany współczynników tłumienia µ=µ11=µ31 oraz zmiany współczynników sztywności =K11=K31 przy wybranej długości całkowitej wysięgnika LC=18,89m oraz kącie jego pochylenia =38 (rys.8-10). Rys. 5. Zależność części urojonej (Im( * )) pierwszej wartości własnej układu od zmiany długości wysięgnika LC i kąta jego pochylenia Rysunki 6 oraz 7 przedstawiają zależności między zmianą geometrii a częścią rzeczywistą oraz urojoną drugiej wartości własnej układu zmiany wysięgu żurawia samochodowego. Rys. 8. Zależność części rzeczywistej (Re( * )) pierwszej wartości własnej układu od zmiany współczynników tłumienia i sztywności Rys. 6. Zależność części rzeczywistej (Re( * )) drugiej wartości własnej układu od zmiany długości wysięgnika LC i kąta jego pochylenia Rys. 9. Zależność części urojonej (Im( * )) pierwszej wartości własnej układu od zmiany współczynników tłumienia i sztywności Rys. 7. Zależność części urojonej (Im( * )) drugiej wartości własnej układu od zmiany długości wysięgnika LC i kąta jego pochylenia Rys. 10. Zależność części rzeczywistej (Re( * )) drugiej wartości własnej układu od zmiany współczynników tłumienia i sztywności 127

6 WPŁYW OPORÓW RUCHU W PRZEGUBACH UKŁADU ZMIANY WYSIĘGU ŻURAWIA ( ) Rys. 11. Zależność części urojonej (Im( * )) drugiej wartości własnej układu od zmiany współczynników tłumienia i sztywności Rys. 14. Zależność części rzeczywistej (Re( * )) drugiej wartości Na kolejnych rysunkach przedstawiono zależność wartości własnych układu zmiany wysięgu od stopnia rozsunięcia wysięgnika LC i sztywności =K11=K31 przy wybranym kącie jego pochylenia =38 i współczynnikach tłumienia µ=µ11=µ31=1 (rys.12-15). Rysunki 12 i 13 przedstawiają pierwszą wartość własną układu, odpowiednio jej część rzeczywistą i urojoną, natomiast na rysunkach 14 i 15 zaprezentowano drugą wartość własną układu (również część rzeczywistą oraz urojoną rozwiązania). Rys. 15. Zależność części urojonej (Im( * )) drugiej wartości Rys. 12. Zależność części rzeczywistej (Re( * )) pierwszej wartości Zależność części rzeczywistej Re( * ) i części urojonej Im( * ) pierwszej i drugiej wartości własnej układu zmiany wysięgu od stopnia rozsunięcia wysięgnika LC i zmiany współczynników tłumienia µ=µ11=µ31 przy wybranym kącie jego pochylenia =38 i sztywności =K11=K31=2 zaprezentowano na kolejnych rysunkach. Rysunki 16 i 17 przedstawiają pierwszą wartość własną układu, odpowiednio jej część rzeczywistą i urojoną, natomiast na rysunkach 18 i 19 zaprezentowano drugą wartość własną układu (również część rzeczywistą oraz urojoną rozwiązania). Rys. 13. Zależność części urojonej (Im( * )) pierwszej wartości Rys. 16. Zależność części rzeczywistej (Re( * )) pierwszej wartości 128

7 WOJCIECH SOCHACKI, MARTA BOLD oraz rotacyjną sprężynę o charakterystyce liniowej. Współczynniki tłumienia i sztywności sprężyn zmieniano tak, aby wyraźnie wykazać ich wpływ na zachowanie się układu (jego wartości własne). W celu uzupełnienia wyników badań przedstawionych na rysunkach 8-11, na rysunkach zaprezentowano wyszczególnienie wpływu sztywności sprężyn na wartości własne układu przy wybranym rozsunięciu wysięgnika LC=18.89 [m] i kącie jego pochylenia =38 dla dwóch wybranych wartości współczynnika tłumienia µ=1 i µ=3. Rys. 17. Zależność części urojonej (Im( * )) pierwszej wartości Rysunki 20 i 21 przedstawiają odpowiednio wpływ sztywności sprężyn na część rzeczywistą oraz część urojoną pierwszej wartości własnej układu, a rysunki 22 i 23 analogiczną zależność dla drugiej wartości własnej układu. Rys. 18. Zależność części rzeczywistej (Re( * )) drugiej wartości Rys. 20. Zależność części rzeczywistej (Re( * )) pierwszej wartości własnej układu od zmiany sztywności Rys. 21. Zależność części urojonej (Im( * )) pierwszej wartości własnej układu od zmiany sztywności Rys. 19. Zależność części urojonej (Im( * )) drugiej wartości Zaproponowany w pracy model, obrazujący opory ruchu w mocowaniach wysięgnika i siłownika do ramy obrotowej żurawia, ma na celu pełniejsze opisanie zjawisk dynamicznych zachodzących w przegubach układu zmiany wysięgu, podczas pracy rzeczywistej maszyny. Do opisu oporów ruchu w przegubach wykorzystano model lepkosprężysty, tj. rotacyjny tłumik wiskotyczny Rys. 22. Zależność części rzeczywistej (Re( * )) drugiej wartości własnej układu od zmiany sztywności 129

8 WPŁYW OPORÓW RUCHU W PRZEGUBACH UKŁADU ZMIANY WYSIĘGU ŻURAWIA ( ) Część urojona rozwiązania zagadnienia brzegowego stanowi stopień zaniku amplitudy drgań Im( * ). Istotne zmiany można zauważyć w zmianach stopnia zaniku amplitudy drgań zarówno pierwszej jak i drugiej wartości własnej Im( * ) w przypadku zmiany wartości współczynników tłumienia i sztywności sprężyn jak również zmiany geometrii układu. Rys. 23. Zależność części urojonej (Im( * )) drugiej wartości własnej układu od zmiany sztywności Ograniczenie zakresu badań do analizy zmian dwóch pierwszych wartości własnych układu zmiany wysięgu ze zmianą geometrii i tłumienia oraz sztywności sprężyn w układzie wynika z ich podstawowego znaczenia w praktyce inżynierskiej. 4. PODSUMOWANIE Zaprezentowany w pracy model belkowy układu wysięgnik teleskopowy - siłownik hydrauliczny zbudowany został na podstawie układu rzeczywistego żurawia samochodowego DST0285. W pracy badano wpływ zmiany parametrów tłumienia konstrukcyjnego i sztywności sprężyn w podporach na wartości własne układu przy jego zmiennej geometrii i pod zadanym obciążeniem. Na podstawie przeprowadzonych obliczeń można stwierdzić, że uwzględnienie w rozważaniach drgań układu zmiany wysięgu żurawia wpływu oporów ruchu, występujących w przegubach mocujących w/w układ do ramy nadwozia, powoduje zmiany w wartościach własnych analizowanego układu. Porównując pierwszą i drugą częstość drgań w układzie, w którym pominięto wpływ oporów ruchu w przegubach z częściami rzeczywistymi pierwszej i drugiej wartości własnej układu, w którym wpływ taki uwzględniono, zaobserwowano jedynie niewielki wzrost wartości bez zmian w samym przebiegu (rys. 2 i 4 oraz 3 i 6). Podobnie zachowują się części rzeczywiste pierwszej i drugiej wartości własnej w czasie zmiany wysięgu żurawia i sztywności sprężyn oraz współczynników tłumienia. Porównać można charakterystyki z rysunków 12 i 16 oraz 14 i 18, gdzie obserwowano jedynie wzrost samych wartości częstości bez zmian w przebiegu. W przypadku pierwszej wartości własnej część urojona Im( * ) wraz ze wzrostem współczynnika tłumienia również wzrasta osiągając maksimum, po czym nieznacznie maleje (rys.9 i 17) zarówno w przypadku zmiany sztywności jak i w przypadku zmiany długości rozsunięcia wysięgnika LC. Zmiany współczynnika Im( * ) są szczególnie widoczne w przypadku drugiej wartości własnej układu. Jak przedstawiono na rysunkach 11 oraz 19 ze wzrostem tłumienia konstrukcyjnego następuje wzrost wartości współczynnika zaniku amplitud drgań Im( * ) do wartości maksymalnych, po czym Im( * ) 0 gdy, zarówno w przypadku zmiany sztywności jak i w przypadku zmiany długości rozsunięcia wysięgnika LC. Wpływ sztywności sprężyn na części rzeczywiste oraz urojone pierwszej i drugiej wartości własnej układu przy zmianie wartości współczynnika tłumienia i geometrii układu zaprezentowano na rysunkach Zwiększanie sztywności sprężyn przy wybranej wartości tłumienia konstrukcyjnego (rys. 8-11) powoduje znacznie mniejsze zmiany w wartościach własnych układu niż w przypadku odwrotnym (zmiana wartości współczynnika przy wybranej wartości K). Wpływ zmiany sztywności sprężyn na wartość części rzeczywistych pierwszej i drugiej wartości własnej układu przy równoczesnej zmianie stopnia rozsunięcia wysięgnika jest nieznaczny (rys.12 i 14) i powoduje jedynie niewielkie zmiany. Zmiany w części urojonej zarówno pierwszej jak i drugiej wartości własnej układu, przedstawione na rysunkach 13 i 15, wynikają z usztywniania się przegubów podczas zwiększania sztywności sprężyn. Zwiększanie sztywności sprężyn oraz wartości współczynników tłumienia powoduje ciągłe obniżanie wartości stopnia zaniku amplitudy drgań. Spowodowane jest to coraz większym usztywnianiem się przegubów mocujących układ, a co za tym idzie, jest swoistą ingerencją w warunki brzegowe układu. Uwzględnienie w rozwiązaniu zagadnienia brzegowego drgań układu zmiany wysięgu żurawia samochodowego zjawisk zachodzących w podporach tegoż układu umożliwia określenie długości rozsunięcia wysięgnika, kąta pochylenia wysięgnika oraz wartości sztywności sprężyn i tłumienia, dla której stopnień zaniku amplitudy drgań jest największy i pozwala na wyznaczenie optymalnych długości siłownika i wysięgnika ze względu na minimalne amplitudy drgań układu. Zastosowanie samych rotacyjnych tłumików drgań można również rozważać jako dodatkowy sposób sterowania dynamiką badanego układu. Praca finansowana przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego w roku

9 WOJCIECH SOCHACKI, MARTA BOLD Literatura 1. Posiadała B.: Modelowanie, identyfikacja modeli i badania dynamiki żurawi samojezdnych. Warszawa: WNT, Sochacki W.: The dynamic stability of a laboratory model of a truck crane. Thin-Walled Structures 2007, Vol. 45, p Geisler T.: Analiza drgań swobodnych układu nośnego żurawia samochodowego DST-0285 z uwzględnieniem zmiany konfiguracji układu. Acta Mechanica et Automatica 2010, nr 1, vol. 4, s Maczyński A.: Pozycjonowanie i stabilizacja położenia ładunku żurawi wysięgnikowych. Bielsko-Biała: Wyd. Nauk. Akad. Tech. Human., Rozprawy naukowe 14. czych. Częstochowa: Wyd. Pol. Częstoch., Seria Monografie nr Geisler T., Sochacki W.: Modelling and research into the vibrations of truck crane. Scientific Research of the Institute of Mathematics and Computer Science 2011, 1, Vol. 10, p Kilicaslan S., Balkan T., Ider S.K.: Tipping load of mobile cranes with flexible booms. Journal of Sound and Vibration 1999, No. 4, Vol. 223, p Sochacki W.: Stateczność dynamiczna dyskretno-ciągłych układów mechanicznych jako modeli maszyn robo- 8. Chin C., Nayfeh A. H., Abdel-Rahman E.: Nonlinear dynamics of a boom crane. Journal Vibration Control 2001, Vol. 7, p tions. Journal of Sound and Vibration 1997, Vol. 200, p Sochacki W., Tomski L.: Free and parametric vibration of the system: telescopic boom-hydraulic cylinder (chang- consideration of the ing the crane radius). The Archive of Mechanical Engineering 1999, 46, p Cekus D., Posiadała B.: Discrete model of vibration of truck crane telescopic boom with hydraulic cylinder of crane radius change in the rotary plane. Automation in Construction 2008, Vol. 17, p Oliveto G., Santini A., Tripodi E.: Complex modal analysis of flexural vibrating beam with viscous end condi- 12. Sochacki W., Bold M.: Wpływ tłumienia konstrukcyjnego mocowań na drgania układu zmiany wysięgu żurawia. Modelowanie Inżynierskie 2013, No. 16, Vol. 47, s Gurgoze M., Erol H.: Dynamic response of a viscously damped cantilever with a viscous end condition, Journal of Sound and Vibration 2006, Vol. 298, p Wu J.-S., Chen D.-W.: Dynamic analysis of a uniform cantilever beam carrying a number of elastically mounted point masses with dampers, Journal of Sound and Vibration 2000, Vol. 229, p Krenk S.: Complex modes and frequencies in damped structural vibrations. Journal of Sound and Vibration 2004, Vol. 270, p Ten artykuł dostępny jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów. Treść licencji jest dostępna na stronie /pl/ 131