ALGORYTM OBLICZENIOWY DRGAŃ SWOBODNYCH Ł OPATKI WIRNIKOWEJ

Transkrypt

1 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MARYNARKI WOJENNEJ ROK XLIX NR (73) Lesł aw Kyzioł Leszek Kubitz Akademia Marynarki Wojennej ALGORYTM OBLICZENIOWY DRGAŃ SWOBODNYCH Ł OPATKI WIRNIKOWEJ STRESZCZENIE Przedstawiono podstawowe zagadnienia związane z zastosowaniem metody elementów skończonych (MES) w analizie drgań swobodnych łopatki wirnikowej z wykorzystaniem elementów izoparametrycznych. Opracowano algorytm, w oparciu o który napisano program służący do obliczania częstości drgań własnych, modelując konstrukcję elementem izoparametrycznym płaskim czterowęzłowym trójwymiarowym, ośmiowęzłowym lub dwudziestowęzłowym. WSTĘP Obliczanie drgań własnych łopatek wirnikowych turbin gazowych i parowych jest skomplikowanym zagadnieniem, ponieważ należy uwzględnić złożoną konstrukcję łopatki. Łopatki wirnikowe obciążone są dużymi siłami masowymi ruchu obrotowego wirnika. Wyznaczenie częstości i postaci drgań łopatek maszyn wirnikowych umożliwia przeprowadzenie analizy rezonansowej, a tym samym zapewnienie bezpiecznej pracy maszyny. Zagadnieniu wyznaczania naprężeń, częstości i postaci drgań własnych łopatek wirnikowych poświęcona jest obszerna literatura [], [3], [], []. Rozwój metody elementów skończonych umożliwił analizę łopatek wirnikowych o dowolnym kształcie. Jako pierwsi MES do analizy dynamicznej wstępnie skręconych, wirujących łopatek zastosowali S. Rawtani i M. Dokainish []. Analizę dynamiki łopatek turbinowych za pomocą elementów trójwymiarowych przedstawiono w pracach [3], [6]. Obliczenia przeprowadzono dla wstępnie obciążonej łopatki o skomplikowanej geometrii w zakresie liniowej teorii sprężystości. W artykule, wykorzystując elementy izoparametryczne trójwymiarowe, przeprowadzono obliczenia własne częstości i postaci drgań własnych łopatki. Wyniki te 5

2 Lesław Kyzioł, Leszek Kubitz porównano z wartościami obliczeń uzyskanymi w oparciu o program komercyjny ABAQUS. Przedstawione wyniki obliczeń numerycznych w sposób nieznaczny różnią się od wartości wyznaczanych dla tych samych elementów za pomocą programu ABAQUS. Biorąc pod uwagę ceny licencji programów komercyjnych, niewątpliwą zaletą jest tworzenie własnych kodów obliczeniowych, które oprócz znacznego obniżenia kosztów pozwalają na całkowitą ingerencję w program, a tym samym jego modyfikację i dodawanie nowych procedur. Tak stwarzają możliwości rozwiązywania bardziej złożonych modeli numerycznych. Celem tego opracowania jest zaprezentowanie wykorzystania metody elementów skończonych do analizy rzeczywistych elementów konstrukcyjnych bez konieczności stosowania programów komercyjnych. ELEMENTY FUNKCJI KSZTAŁTU Element izoparametryczny pł aski Rozważmy element czterowęzłowy o grubości h, pokazany na rysunku. Element umieszczony jest w lokalnym układzie współrzędnych xˆ, ŷ w taki sposób, że początek układu znajduje się w jego środku ciężkości. Współrzędne wierzchołków elementu (węzłów) w układzie lokalnym są bezwymiarowe i przyjęte tak, by każdy z węzłów leżał w punkcie (±, ±). Przyjmujemy dwa stopnie swobody w węźle: u w kierunku osi xˆ oraz v w kierunku osi ŷ. Rys.. Element czterowęzłowy 6 Zeszyty Naukowe AMW

3 Algorytm obliczeniowy drgań swobodnych łopatki wirnikowej Niech funkcje przemieszczeń, określające położenie dowolnego punktu elementu, będą postaci: u xˆ, yˆ) = c + c xˆ + c yˆ c xy ˆˆ ( 3 + v xˆ, yˆ) = c + c xˆ + c yˆ + c xˆˆ. ( 3 y () Dokonując szeregu przekształceń z wykorzystaniem bogatej literatury, uzyskuje się bezwymiarowe funkcje kształtu N, N, N 3, N : N ( xˆ )( yˆ = ) N ( xˆ )( yˆ = + ) N ( xˆ )( yˆ 3 = + + ) N ( xˆ )( yˆ = + ). () Element izoparametryczny przestrzenny o ś miowę z ł owy Poszukiwanie funkcji kształtu dla elementu izoparametrycznego przestrzennego ośmiowęzłowego przebiega w sposób analogiczny jak dla elementu płaskiego. Obieramy lokalny układ współrzędnych xˆ, ŷ, ẑ tak, aby jego początek znajdował się w środku ciężkości elementu (rys..), a węzły miały współrzędne jak w tabeli. Tabela. Współrzędne węzłów elementu izoparametrycznego przestrzennego ośmiowęzłowego xˆ ŷ ẑ (73) 7

4 Lesław Kyzioł, Leszek Kubitz Rys.. Element ośmiowęzłowy Postępując analogicznie jak dla elementu izoparametrycznego płaskiego, otrzymujemy funkcje kształtu: N = N xˆ = + yˆ zˆ N xˆ 3 = + yˆ zˆ N xˆ = + yˆ zˆ N xˆ 5 = yˆ + zˆ N xˆ 6 = + yˆ + zˆ N xˆ 7 = + yˆ + zˆ N ˆ = x + yˆ + zˆ ( xˆ )( yˆ )( zˆ ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ). Następnie wyznaczamy macierz sztywności elementu izoparametrycznego płaskiego, której ostateczna postać jest następująca [7]: abh = ˆ ˆ, T k B DBdxdy () A Zeszyty Naukowe AMW (3)

5 Algorytm obliczeniowy drgań swobodnych łopatki wirnikowej (73) 9 gdzie: a, b, h wymiary elementu w układzie globalnym; B macierz odpowiednich pochodnych cząstkowych funkcji kształtu [7]; D macierz sprężystości postaci [7]. gdzie: ν współczynnik Poissona; E moduł sprężystości podłużnej. Przy wyznaczaniu macierzy sztywności elementu izoparametrycznego przestrzennego należy uwzględnić dodatkowy wymiar, co znajdzie swoje odbicie w postaci wersora odkształceń ε, naprężeń σ, a następnie macierzy B oraz D. Macierz sztywności określona jest jako [7]: Macierz mas dla elementu izoparametrycznego płaskiego ma postać [7]: Dla elementu izoparametrycznego przestrzennego macierz mas ma postać [7]:, = v v v E v D (5) =. ˆ ˆ ˆ dxdydz abc T v DB B k (6).. 9 = sym ρ c m (7) { } { } {} {} {} {}, ~ ~ ~ 7 = m m m m ρ ()

6 Lesław Kyzioł, Leszek Kubitz gdzie m~ = sym.. (9) WYNIKI OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH W celu sprawdzenia poprawności wyników otrzymywanych za pomocą programu własnego wyznaczono przykładowo w sposób analityczny częstości drgań własnych nieruchomej belki o przekroju prostokątnym, niezmiennym wzdłuż długości o parametrach: dane geometryczne xx [mm]; dane materiałowe E =. [Pa], G =,6. [Pa], ρ = 7,6. 3 [kg/m 3 ]. Częstości drgań własnych belki określone ą następującymi zależnościami []: dla drgań giętnych EI ω n = ( λnl), dla n = λ () l =,75; ρal dla drgań skrętnych π G ωn = ( n ), () ρl gdzie G [Pa] moduł sprężystości poprzecznej; dla drgań podłużnych π E ωn = ( n ). () ρl 3 Zeszyty Naukowe AMW

7 Algorytm obliczeniowy drgań swobodnych łopatki wirnikowej Z przedstawionych zależności wynika, że właściwości materiałowe mają istotny wpływ na częstości drgań własnych elementu belkowego. Zmiana modułu Younga lub modułu sprężystości poprzecznej ma wpływ na wartość częstości drgań własnych. Obliczenia przeprowadzono w oparciu o program napisany przez autorów oraz komercyjny ABAQUS, wyznaczając sześć pierwszych częstotliwości drgań własnych rozpatrywanej belki. Wyniki obliczeń przedstawiono w tabelach 5, przy czym w tabelach. i 3. przedstawiono częstotliwości drgań własnych wyznaczone analitycznie oraz numerycznie za pomocą programów ABAQUS oraz własnego, uzyskując pierwszą częstotliwość drgań giętnych względem osi z oraz y, częstotliwość drgań skrętnych, drugą częstotliwość drgań giętnych względem osi z, y oraz częstotliwość drgań podłużnych. Ponadto w tabelach podano rodzaj elementu izoparametrycznego, jakim modelowano belkę oraz wartość błędu względnego obliczeń numerycznych. W tabelach 3. i 6. zawarto dodatkową informację o gęstości siatki, jaką dyskretyzowana była belka. Poszczególne liczby pokazują, ile elementów występuje na kierunkach x, y, z głównych osi układu współrzędnych. W tabeli. przedstawiono otrzymane częstotliwości drgań własnych dla belki modelowanej elementem izoparametrycznym dwuwymiarowym czterowęzłowym. Dla tego typu elementu wartości częstotliwości drgań własnych obliczone programem ABAQUS oraz programem własnym różnią się od kilku do kilkudziesięciu procent (7,%) w stosunku do wartości wyznaczonych analitycznie. Tabela. Częstotliwości drgań własnych belki modelowanej elementem izoparametrycznym analitycznie ABAQUS MES ABAQUS MES element d-node d-node błąd względny błąd względny [Hz] [Hz] [Hz] [%] [%] giętna z 69,3 53,79 6,56 5,56, giętna y 69,3 59,5,5 skrętna 55,5 753,7 76,77 6,6,76 giętna z,5 5,63 7, giętna y,5 5, 5,9 podłużna 6, 6, 69,33,5,3 W tabeli 3. zestawiono wyniki dla tej samej belki modelowanej elementem izoparametrycznym trójwymiarowym ośmiowęzłowym. Otrzymane wyniki są w przypadku obu programów zbliżone do wartości częstotliwości drgań wyznaczonych metodą analityczną. (73) 3

8 Lesław Kyzioł, Leszek Kubitz Tabela 3. Częstotliwości drgań własnych belki modelowanej elementem izoparametrycznym ośmiowęzłowym analitycznie ABAQUS MES ABAQUS MES element 3d-Node 3d-Node błąd względny błąd względny siatka xx xx xx xx [Hz] [Hz] [Hz] [%] [%] giętna z 69,3 6,9 7,63,69 5,3 giętna y 69,3 6,9 7,63,69 5,3 skrętna 55,5 6379, 7,95,, giętna z,5 599, 93,67 5,79 7, giętna y,5 599, 93,67 5,79 7, podłużna, 65, 763,3,59, W tabelach. oraz 5. przedstawiono wyniki otrzymane dla belki modelowanej siatką niesymetryczną. Można zaobserwować, że w efekcie zastosowania niesymetrycznej siatki występuje różnica pomiędzy wartościami częstotliwości drgań własnych, które dla siatki symetrycznej stanowią podwójną częstotliwość drgań. Wynika to z różnej sztywności belki na odpowiednich kierunkach głównych osi współrzędnych. Tabela. Częstotliwości drgań własnych belki przy niesymetrycznej siatce x3x, 3d-Node analitycznie ABAQUS MES ABAQUS MES [Hz] [Hz] [Hz] [%] [%] giętna z 69,3 6,7 7,79,76,3 giętna y 69,3 6,5 7,3, 5,3 skrętna 55,5 656,5 7677,96,5,6 giętna z,5 593,6 93,9 5,,9 giętna y,5 79,9 939,63 3,3 7,96 podłużna 6, 65, 6,,59, Tabela 5. Częstotliwości drgań własnych belki przy niesymetrycznej siatce xx, 3d-Node analitycznie ABAQUS MES ABAQUS MES [Hz] [Hz] [Hz] [%] [%] giętna z 69,3 55, 667,69 35,5,35 giętna y 69,3 55,5 7,96,7, skrętna 55,5 5, 7,9 35,3, giętna z,5 5657, 9,5,59, giętna y,5 35, 957,5 7, 9,3 podłużna 6, 65, 7,,59,5 3 Zeszyty Naukowe AMW

9 Algorytm obliczeniowy drgań swobodnych łopatki wirnikowej W tabeli 6. w celach porównawczych zawarto wyniki otrzymane z programu ABAQUS dla elementu izoparametrycznego dwudziestowęzłowego. Element dwudziestowęzłowy dokładniej przybliża drgania belek i łopatek wirnikowych [9]. Tabela 6. Częstotliwości drgań własnych belki modelowanej elementem ośmio- i dwudziestowęzłowym analitycznie ABAQUS ABAQUS ABAQUS ABAQUS element 3d-Node 3d-Node 3d-Node 3d-Node siatka xx xx xx xx [Hz] [Hz] [Hz] [%] [%] giętna z 69,3 599,9 597,7,,97 giętna y 69,3 599,9 597,7,,97 skrętna 55,5 6966, 75,3 3,5,3 giętna z,5 6,7 6,33 5,6 5,66 giętna y,5 6,7 6,33 5,39 5,66 podłużna 6, 6, 66,,59,6 Z kolei w tabeli 7. zawarto wartości częstotliwości drgań własnych dla rozpatrywanej belki modelowanej elementami izoparametrycznymi dwudziestowęzłowymi, wyznaczone za pomocą programu własnego oraz ABAQUS. Z przedstawionych danych wynika, że wartości częstotliwości uzyskane w oparciu o własny program są zgodne z częstotliwościami obliczonymi za pomocą programu komercyjnego. Tabela 7. Częstotliwości drgań własnych belki modelowanej elementem dwudziestowęzłowym przy siatce xx analitycznie ABAQUS MES ABAQUS MES element 3d-Node 3d-Node 3d-Node 3d-Node [Hz] [Hz] [Hz] [%] [%] giętna z 69,3 597,7 597,7,97,97 giętna y 69,3 597,7 597,7,97,97 skrętna 55,5 75,3 75,,3,3 giętna z,5 6,33 6,3 5,66 5,66 giętna y,5 6,33 6,3 5,66 5,66 podłużna 6, 66, 66,3,6,6 Na rysunkach 3 6 przedstawiono formy własne dla poszczególnych częstotliwości drgań otrzymane z programu ABAQUS. Są to odpowiednie postacie drgań giętnych, skrętnej oraz podłużnej dla belki modelowanej elementem izoparametrycznym ośmiowęzłowym (tabela 6.). (73) 33

10 Lesław Kyzioł, Leszek Kubitz Rys. 3. Pierwsza forma drgań giętnych belki o przekroju prostokątnym względem osi z oraz y Rys.. Forma drgań skrętnych belki o przekroju prostokątnym Rys. 5. Druga forma drgań giętnych belki o przekroju prostokątnym względem osi z oraz y Rys. 6. Forma drgań podłużnych belki o przekroju prostokątnym 3 Zeszyty Naukowe AMW

11 Algorytm obliczeniowy drgań swobodnych łopatki wirnikowej CZĘSTOTLIWOŚCI DRGAŃ ORAZ POSTACIE WŁASNE ŁOPATKI WIRNIKOWEJ Aby zaprezentować praktyczne możliwości wynikające z zastosowania metody elementów skończonych w analizie drgań swobodnych łopatek wirnikowych przy wykorzystaniu modeli izoparametrycznych, wyznaczono cztery pierwsze częstości drgań własnych oraz postacie własne rzeczywistej niewirującej łopatki wirnikowej o następujących parametrach: dane geometryczne 5 69 [mm]; dane materiałowe E = [Pa], ρ = [kg/m 3 ]. Parametry geometryczne rozważanej łopatki podano w tabeli. Na rysunku 7. przedstawiono wykreślony na podstawie współrzędnych profil łopatki. Linią ciągłą oznaczono krawędź podciśnienia, linią przerywaną krawędź naporu. Poniżej przedstawiono wyniki otrzymane za pomocą programu ABAQUS oraz formy drgań. Tabela. Współrzędne powierzchni podciśnienia ss i naporu pf rozpatrywanego profilu x ss y ss x pf y pf 3,3,7 3,96,7,59,69,3,63 6,9,33,55,6,7,995,,5 5,3 3,6,333,7,5,33 6,35,93,75,76,35,63,7,635,95,39 3,,66 7,93,3 35,9,7 3,5,65 39,,7 35,5,9,9 3,77 3,7,77,9 3,9,,5 7,53,55 5,53,336 9,9,73,,6 5,53,77 5,66,7 (73) 35

12 Lesław Kyzioł, Leszek Kubitz Rys. 7. Profil łopatki Na rysunkach przedstawiono kolejno: pierwszą formę drgań giętnych; formę drgań skrętnych; drugą formę drgań giętnych; trzecią formę drgań giętnych. Rys.. Pierwsza forma drgań własnych łopatki turbiny Rys. 9. Druga forma drgań własnych łopatki turbiny Rys.. Trzecia forma drgań własnych łopatki turbiny Rys.. Czwarta forma drgań własnych łopatki turbiny Na rysunku. przedstawiono łopatkę wirnikową, dla której wyznaczono częstości drgań własnych oraz ich formy. Łopatka była modelowana elementami izoparametrycznymi przestrzennymi dwudziestowęzłowymi i utwierdzona u podstawy. Wykorzystując program ABAQUS oraz program własny, wyznaczono cztery pierwsze częstości drgań własnych. Wyniki obliczeń przedstawiono w tabeli Zeszyty Naukowe AMW

13 Algorytm obliczeniowy drgań swobodnych łopatki wirnikowej Na kolejnych rysunkach (3 6) przedstawiono poszczególne postacie drgań własnych otrzymane na podstawie własnego programu. Analizując wyniki obliczeń zawarte w tabeli 9., można zaobserwować, że częstości otrzymane w oparciu o własny program są identyczne z wartościami obliczonymi za pomocą programu komercyjnego. Rys.. Rzeczywista łopatka wirnikowa Podobne obliczenia przeprowadzono dla tej samej łopatki wirnikowej ze stopką. Otrzymane wyniki oraz postacie drgań przedstawiono poniżej. W tabeli. przedstawiono dziesięć pierwszych częstości drgań własnych rozpatrywanej łopatki oraz procentową różnicę pomiędzy wartościami uzyskanymi w oparciu o program ABAQUS i program własny. Na rysunku. pokazano przykładowo cztery pierwsze formy własne wyznaczone za pomocą programu własnego. W tym przypadku procentowa różnica pomiędzy wynikami obu programów dla pierwszej częstości wynosi około 3%, a dla wyższych nie przekracza %. Tabela 9. Cztery pierwsze częstotliwości drgań własnych rzeczywistej łopatki wirnikowej (rys..) Lp. ABAQUS MES [Hz] [Hz]. 33,39 33,39. 37,6 37,6 3.,5,5. 36,5 36,5 (73) 37

14 Lesław Kyzioł, Leszek Kubitz Rys. 3. Pierwsza postać drgań własnych łopatki wirnikowej Rys.. Druga postać drgań własnych łopatki wirnikowej Tabela. Częstotliwości drgań własnych rzeczywistej łopatki wirnikowej (rys. 7.). Lp. ABAQUS MES [Hz] [Hz] [%]. 3, 3,9,93.,5 9,9, , 66,6,9. 3,,55, , 353,53, 6., 6,39, , 6,93,6. 676, 6755,33,9 9. 9, 93,3,. 9,7 96,3,5 Rys. 5. Trzecia postać drgań własnych łopatki wirnikowej Rys. 6. Czwarta postać drgań własnych łopatki wirnikowej 3 Zeszyty Naukowe AMW

15 Algorytm obliczeniowy drgań swobodnych łopatki wirnikowej Rys. 7. Rzeczywista łopatka wirnikowa ze stopką a) b) (73) 39

16 Lesław Kyzioł, Leszek Kubitz c) d) Rys.. Postacie form własnych rzeczywistej łopatki wirnikowej WNIOSKI Opracowany własny program komputerowy w niczym nie ustępuje programom komercyjnym i umożliwia na przykład analizę drgań swobodnych oraz zagadnień statyki konstrukcji modelowanych elementami izoparametrycznymi dwu- i trójwymiarowymi. Program przetestowano do obliczeń wartości częstotliwości drgań własnych belki, które porównano z wynikami programu ABAQUS oraz wartościami wyznaczonymi w sposób analityczny. Wyniki obliczeń były bardzo zbliżone. Zeszyty Naukowe AMW

17 Algorytm obliczeniowy drgań swobodnych łopatki wirnikowej Przeprowadzone obliczenia wartości częstotliwości drgań własnych rzeczywistej łopatki wirnikowej za pomocą programu własnego i komercyjnego ABAQUS wykazały zgodność wyników, co jest dowodem poprawnego opracowania własnego programu. BIBLIOGRAFIA [] Czyż W., Drgania mechaniczne, [w:], Mechanika ogólna, cz. IVa, Drgania mechaniczne teoria drgań, AMW, Gdynia 99. [] Dokumaci E., Thomas J., Carnegie W., Matrix Displacement Analysis of CoupledBending Bending Vibrations of Pretwisted Blading, Journal Mechanical Engineering Science, 967, Vol. 9. [3] Janecki S., Krawczuk M., Dynamics of Rotor Steam Turbine Blading, Part One, Single Blades and Packets, [w:], Maszyny przepływowe, t., Ossolineum, Wrocław 99. [] Krupka R., A. Baumanie, Bending Bending Mode of a Rotating Tapered TwistedBlade Including Rotatory Intertia and Shear Deformation, Journal of Engineering for Industry, 969, ASME. [5] Kubitz L., Drgania swobodne łopatki wirnikowej, praca dyplomowa, AMW, Gdynia. [6] Mazurkiewicz M., Obliczanie wytrzymałości i drgań własnych łopatek wirnikowych maszyn przepływowych metodą elementów skończonych, praca doktorska, IMP PAN, Gdańsk 979. [7] Rakowski G., Kacprzyk Z. Metoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 993. [] Rawtani S., Dokainish M., Bending of Pretwisted Cantilever Plater, CASI Transactions, 969, Vol.. [9] Rządkowski R., Dynamics of Rotor Steam Turbine Blading, Part Two, Bladed Discs, [w:], Maszyny przepływowe, t., Ossolineum, Wrocław 99. (73)

18 Lesław Kyzioł, Leszek Kubitz ABSTRACT The paper presents the basic issues related to use of finite element method for analysis of free vibrations of rotor blade with isoparametric elements. An algorithm was developed and was used to write a program to calculate frequency of own vibrations, modelling the structure with three-dimensional four-knot, eight-knot or twenty-knot isoparametric element. Recenzent prof. dr hab. inż. Jan Kiciński Zeszyty Naukowe AMW