Teoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 4. Siła wyrazu rachunku λ

Transkrypt

1 Teoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 4. Siła wyrazu rachunku λ Zdzisław Spławski Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 4. Siła wyrazu rachunku λ 1

2 Wstęp Wartości logiczne Liczby naturalne jako liczebniki Churcha Kombinatory punktu stałego Reguły delta Reprezentowalność funkcji rekurencyjnych w λ-rachunku Kombinator punktu stałego w OCamlu Semantyka prostego języka imperatywnego PJI Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 4. Siła wyrazu rachunku λ 2

3 Wstęp Język funkcyjny można potraktować jak rachunek lambda (beztypowy lub z typami) z wybraną semantyką redukcyjną, dodanymi stałymi (z odpowiednimi regułami redukcji) i dużą ilością lukru syntaktyczego. Te rozszerzenia rachunku lambda stosuje się w celu ułatwienia pisania programów, polepszenia ich czytelności i zwiększenia efektywności. Logicznie nie są one koniecznie. Jako przykłady zostaną zdefiniowane wartości logiczne i liczby naturalne z odpowiednimi funkcjami jako termy rachunku lambda. Zostaną też podane najważniejsze twierdzenia świadczące o sile wyrazu rachunku lambda. Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 4. Siła wyrazu rachunku λ 3

4 Wartości logiczne Specyfikacja algebraiczna: if true M N = M if false M N = N Odpowiednie termy można zdefiniować na przykład tak: true λxy.x false λxy.y if λbuv.buv ( η λb.b) Udowodnimy, że spełnione jest pierwsze równanie specyfikacji. if true M N (λbuv.b u v) true M N β (λuv.true u v)m N β (λv.true M v) N β true M N (λxy.x) M N β (λy.m)n β M Analogicznie wygląda dowód drugiego równania. W celu zwiększenia czytelności czasem zamiast if B M N będziemy pisali if BthenM elsen. Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 4. Siła wyrazu rachunku λ 4

5 Liczby naturalne jako liczebniki Churcha Specyfikacja algebraiczna: { Iter 0 M N = N Iter (suc n) M N = M(Iter n M N) Odpowiednie termy można zdefiniować na różne sposoby, np. liczebniki Churcha są zdefiniowane następująco: 0 λfx.x 1 λfx.fx 2 λfx.f(fx) itd. Możemy to uogólnić i zauważyć, że liczebnik reprezentujący liczbę n będzie miał postać λfx.f n x, czyli jest iteratorem. Wobec tego definiujemy: suc λnfx.f(nfx) Iter λnfa.nfa ( η λn.n) lub suc λnfx.nf(fx) Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 4. Siła wyrazu rachunku λ 5

6 Kombinatory punktu stałego Równania stałopunktowe w matematyce. Rozważmy równania algebraiczne, np. x = 5/x czy x = 6 x Problem rozwiązania tych równań można też sformułować jako problem znalezienia punktów stałych funkcji: f 1 λx.5/x i f 2 λx.6 x Punktem stałym funkcji jest wartość należąca do dziedziny funkcji, odwzorowywana przez funkcję na siebie. Poszukujemy więc takich wartości w 1 i w 2, że f 1 w 1 = w 1 i f 2 w 2 = w 2 Oczywiście w 1 = 5 i w 2 = 3. Punkt stały może być jeden, może ich być wiele (nawet nieskończenie wiele), może też nie być żadnego. Istnienie i liczba punktów stałych funkcji istotnie zależy od jej dziedziny. Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 4. Siła wyrazu rachunku λ 6

7 Kombinatory punktu stałego Równania stałopunktowe w programowaniu. Podobny problem pojawia się przy definicjach funkcji rekurencyjnych, np. lub inaczej: s(n) = if n = 0 then 1 else n s(n 1) s = λn.if n = 0 then 1 else n s(n 1) Z matematycznego punktu widzenia jest to równanie (wyższego rzędu) z jedną niewiadomą s. Symbol = oznacza tu β (lub βη) konwersję. Problem rozwiązania tego równania, tj. znalezienia lambda termu, spełniającego równanie, sprowadza się do znalezienia punktu stałego funkcjonału: F λfn.if n = 0 then 1 else n f(n 1) Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 4. Siła wyrazu rachunku λ 7

8 Kombinatory punktu stałego Kombinator punktu stałego Definicja. Kombinatorem punktu stałego nazywamy każdy term M taki, że F.MF = F (MF ). Twierdzenie o punkcie stałym. Dowód. (i) F. X.X = F X (ii) Istnieje kombinator punktu stałego Y λf.(λx.f(xx))(λx.f(xx)) taki, że YF = F (YF ). (i) Niech W λx.f (xx) i X W W. Wówczas X W W (λx.f (xx))w F (W W ) F X (ii) YF (λf.(λx.f(xx))(λx.f(xx)))f β (λx.f (xx))(λx.f (xx)) β F ((λx.f (xx))(λx.f (xx))) = β F ((λf.(λx.f(xx))(λx.f(xx)))f ) F (YF ) Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 4. Siła wyrazu rachunku λ 8

9 Kombinatory punktu stałego Kombinator Turinga Czasem potrzebujemy kombinatora punktu stałego M z nieco mocniejszą własnością: F.MF β F (MF ). Turing zaproponował następujący kombinator: Θ AA gdzie A λxy.y(xxy). ΘF (λxy.y(xxy))af β (λy.y(aay))f β F (AAF ) F (ΘF ) Zauważ, że dla kombinatora Y można udowodnić tylko YF = β F (YF ). Istnieje nieskończenie wiele kombinatorów punktu stałego. Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 4. Siła wyrazu rachunku λ 9

10 Kombinatory punktu stałego Przykład użycia kombinatora punktu stałego: silnia. Teraz możemy zdefiniować lambda term dla silni jako: s Y F gdzie F λfn.if n = 0 then 1 else n f(n 1) Uwaga. Przy wartościowaniu tego termu należy stosować redukcję normalną. s n (Y F ) n = β F (Y F ) n (λfn.if n = 0 then 1 else n f(n 1))(Y F ) n β if n = 0 then 1 else n (Y F )(n 1) if n = 0 then 1 else n s(n 1) Oczywiście, możliwa jest inna definicja silni za pomocą iteratora, co odpowiadałoby rekursji ogonowej. Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 4. Siła wyrazu rachunku λ 10

11 Kombinatory punktu stałego Powyższy przykład możemy uogólnić. Twierdzenie. Niech C C[f, x] będzie termem ze zmiennymi wolnymi f i x. Wówczas: (i) F. N.F N = C[F, N] (ii) F. N.F N β C[F, N] Dowód. W obu przypadkach możemy wziąć F Θ(λf x.c[f, x]). Zauważ, że dla przypadku (i) wystarczy wziąć Y. Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 4. Siła wyrazu rachunku λ 11

12 Reguły delta Reguły delta Definicja. (i) Niech δ będzie pewną stałą. Wówczas Λδ jest zbiorem λ-termów zbudowanych ze zmiennych i stałej δ za pomocą aplikacji i abstrakcji w zwykły sposób. (ii) Analogicznie definiuje się Λ δ, gdzie δ oznacza ciąg stałych. (iii) Niech M oznacza ciąg zamkniętych λ-termów w postaci normalnej. δ-redukcja ma postać δ M f( M). Dla zadanej funkcji f δ-redukcja nie jest pojedynczą regułą, lecz schematem reguł. Tak wzbogacony system nazywamy rachunkiem λδ. Relacje kontrakcji i redukcji są oznaczane odpowiednio przez βδ i βδ. Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 4. Siła wyrazu rachunku λ 12

13 Reguły delta Reguły delta Twierdzenie. Niech f będzie funkcją na zamkniętych λ-termach w postaci normalnej. Wówczas relacja redukcji βδ spełnia twierdzenie Churcha-Rossera. Pojęcie redeksu, postaci normalnej i strategii redukcji w sposób naturalny uogólnia się na rachunek λδ. Prawdziwe jest też twierdzenie o standardyzacji. Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 4. Siła wyrazu rachunku λ 13

14 Reguły delta Przykład: test na zero W wielu funkcjach konieczne jest sprawdzenie, czy liczba jest równa zeru. Specyfikacja takiego predykatu wygląda następujaco: { iszero 0 = true iszero (suc n) = false Spełnia ona wymagania twierdzenia z poprzedniej strony ( przy założeniu, że n oznacza term zamknięty), więc moglibyśmy dodać do λ-termów stałą iszero oraz dwie reguły redukcji, nie troszcząc się o znalezienie termu, spełniającego powyższą specyfikację. My jednak podamy ten term. iszero λn.iter n (λb.false) true Łatwo pokazać, że spełnia on powyższą specyfikację. Analogicznie należy rozumieć następny przykład. Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 4. Siła wyrazu rachunku λ 14

15 Reguły delta Przykład: poprzednik { pred 0 = 0 pred (suc n) = n Ideę obliczania poprzednika wyjaśnia poniższy program. } y := 0; 0, 0 z := 0; while y n do ( z = pred y ) begin } z := y; n-krotna iteracja operacji q q y, z suc y, y y := suc y; end ( z = pred n ) Teraz ten algorytm możemy zapisać w postaci lambda-termu. pred λn.snd (Iter n (λp.pair(suc(fst p))(fst p)) (pair 0 0)) Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 4. Siła wyrazu rachunku λ 15

16 Reprezentowalność funkcji rekurencyjnych w λ-rachunku Definicja. Funkcja częściowo rekurencyjna f : N k N jest definiowalna w beztypowym rachunku lambda, jeśli istnieje zamknięty term F, spełniający dla dowolnych n 1... n k N następujące warunki: (i) Jeśli f(n 1... n k ) = m, to F n 1... n k = β m; (ii) Jeśli wartość f(n 1... n k ) jest nieokreślona, to F n 1... n k nie ma postaci normalnej. Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 4. Siła wyrazu rachunku λ 16

17 Reprezentowalność funkcji rekurencyjnych w λ-rachunku Lemat. Funkcje bazowe (początkowe) Z, S, U i n są λ-definiowalne. Dowód. Weźmy następujące kombinatory jako termy definiujące. Z λn.0 suc λnfx.f(nfx) U i n λx 1... x n.x i Lemat. Funkcje λ-definiowalne są zamknięte ze względu na operację składania funkcji. Dowód. Niech funkcje g, h 1,..., h r będą λ-definiowalne odpowiednio za pomocą termów G, H 1,..., H r. Wówczas funkcja f( x) = g(h 1 ( x),..., h r ( x)) jest λ-definiowalna za pomocą termu F λ x.g(h 1 x)... (H r x) Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 4. Siła wyrazu rachunku λ 17

18 Reprezentowalność funkcji rekurencyjnych w λ-rachunku Lemat. Funkcje λ-definiowalne są zamknięte ze względu na rekursję { prostą. { Rec g h 0 x = g x f(0, x) = g( x), Rec g h (suc n) x = h n (Rec g h n x) x f(s(n), x) = h(n, f(n, x), x), Ideę obliczania rekursora wyjaśnia poniższy program (porównaj z programem dla poprzednika). } y := 0; 0, g( x) z := g( x); while y n do ( z = f(y, x) ) begin } n-krotna iteracja z := h(y, z, x); q y, z suc y, h(y, z, x) operacji q y := suc y; end ( z = f(n, x) ) Teraz ten algorytm możemy zapisać w postaci λ-termu. Rec λghn x.snd (Iter n (λp.pair (suc (fst p)) (h (fst p) (snd p) x)) (pair 0 (g x)) Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 4. Siła wyrazu rachunku λ 18

19 Reprezentowalność funkcji rekurencyjnych w λ-rachunku Lemat. Funkcje λ-definiowalne są zamknięte ze względu na operację minimum. Dowód. Niech funkcja g będzie λ-definiowalna za pomocą termu G. Wówczas funkcja f( x) = (µm.g( x, m) = 0) jest λ-definiowalna za pomocą termu mi λ x.szukaj 0 x ( η szukaj 0) gdzie szukaj Θ λfm x.if iszero (G x m) then m else f (suc m) x. Ponieważ Θ F F (Θ F ), to szukaj m x if iszero (G x m) then m else szukaj (suc m) x Wobec tego szukaj 0 x zaczynając od zera poszukuje najmniejszej liczby m takiej, że (G x m) = 0, co jest zgodne z definicją operacji minimum. Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 4. Siła wyrazu rachunku λ 19

20 Reprezentowalność funkcji rekurencyjnych w λ-rachunku Twierdzenie. Wszystkie funkcje częściowo rekurencyjne są λ-definiowalne. Teza Churcha [Churcha-Turinga]. Każda funkcja obliczalna w nieformalnym sensie jest λ-definiowalna (rekurencyjna). Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 4. Siła wyrazu rachunku λ 20

21 Kombinator punktu stałego w OCamlu Kombinator punktu stałego w OCamlu. I Bezpośrednia definicja kombinatora Y λf.(λx.f(xx))(λx.f(xx)) w języku OCaml spowoduje błąd typu. Możemy jednak zdefiniować typ danych: type a self = Fold of ( a self -> a);; let unfold (Fold t) = t;; a następnie funkcjonał fixl : ( a -> a) -> a let fixl f = let w = fun x -> f ( unfold x x) in w (Fold w);; który działa poprawnie dla dla języków z wartościowaniem leniwym. W OCamlu, który stosuje wartościowanie gorliwie, wartościowanie fixl nie kończy się i nie uda się nam zdefiniować np. nieskończonej listy jedynek (sprawdź to!): let ones = fixl (function x -> 1::x);; Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 4. Siła wyrazu rachunku λ 21

22 Kombinator punktu stałego w OCamlu Kombinator punktu stałego w OCamlu. II Można jednak nieco zmodyfikować powyższy funkcjonał i otrzymać funkcjonał: let fix f = let w = fun x y-> f (unfold x x) y in w (Fold w);; val fix : (( a -> b) -> a -> b) -> a -> b = <fun> który znajduje punkty stałe funkcji (ale już nie list!). Przekonaj się o tym, definiując funkcję obliczającą silnię zadanej liczby bez jawnego użycia rekursji. Funkcjonał fix : (( a -> b) -> a -> b) -> a -> b można też zdefiniować bez użycia typu a self, np. let fix f = let rec fixf x = f fixf x in fixf;; Można go teraz użyć do zdefiniowania silni bez użycia rekursji: let fact = fix (fun f n -> if n=0 then 1 else n*f(n-1));; Przekonaj się, że jest to rzeczywiście funkcja silni. Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 4. Siła wyrazu rachunku λ 22

23 Semantyka prostego języka imperatywnego PJI Składnia i semantyka prostego języka imperatywnego. I Składnia abstrakcyjna V Zmienna N Liczba B ::= true false B&&B B B not B E < E E = E E ::= N V E + E E E E E E C ::= skip C; C V := E if B then C else C fi while B do C od Semantykę denotacyjną języka zadaje się definiując funkcje semantyczne, które opisują, jak semantyka wyrażenia może być otrzymana z semantyki składowych tego wyrażenia (semantyka kompozycyjna). Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 4. Siła wyrazu rachunku λ 23

24 Semantyka prostego języka imperatywnego PJI Składnia i semantyka prostego języka imperatywnego. II Funkcja semantyczna dla instrukcji C jest funkcją częściową S C [C ], zmieniającą wektor stanu programu S (pamięć operacyjną). Dziedzinę S reprezentujemy za pomocą zbioru funkcji σ : Zmienna Z. Załóżmy dla uproszczenia, że funkcje semantyczne dla wyrażeń logicznych B i arytmetycznych E są znane. Zdefiniujemy funkcję semantyczną S C [C ] : S S dla instrukcji, a potem (pomijając pewne szczegóły formalne), zaprogramujemy ją w OCamlu. Teraz możemy to zrobić w czystym rachunku lambda. Semantyka denotacyjna S B [B ] : S B, gdzie B = {F, T} S E [E ] : S Z S C [skip]σ = σ S C [V := E ]σ σ[v S E [E ]σ] S C [C 1 ; C 2 ]σ S C [C 2 ](S C [C 1 ]σ) { SC [C S C [if B then C 1 else C 2 fi]σ 1 ]σ gdy S B [B ]σ = T S C [C 2 ]σ gdy S B [B ]σ = F Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 4. Siła wyrazu rachunku λ 24

25 Semantyka prostego języka imperatywnego PJI Składnia i semantyka prostego języka imperatywnego. III Wykonując jednokrotnie pętlę while otrzymujemy poniższe równanie dla funkcji semantycznej S C [while B do C od]: { SC [[while B do C od]](s S C [while B do C od]σ C [C]]σ) gdy S B [[B]]σ = T σ gdy S B [[B]]σ = F Z analogicznym problemem mieliśmy do czynienia w przypadku funkcji silnia. Należy znaleźć najmniejszy punkt stały funkcjonału: { f(sc [C ]σ) gdy S F λf.λσ. B [B ]σ = T σ gdy S B [B ]σ = F czyli, używając operatora punktu stałego fix: S C [while B do C od] fix F Powyżej są używane dwa funkcjonały F : [S S] [S S] i fix : [[S S] [S S]] [S S], znajdujący najmniejszy punkt stały zadanego funkcjonału. Jego istnienie gwarantuje teoria dziedzin. Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 4. Siła wyrazu rachunku λ 25