Analiza dokładności polskiej sieci niwelacji precyzyjnej I klasy wzorami Vignala

PRACE IN S T Y T U T U GEODEZJI I K AR T O G R A FII Тот XVI, Zeszyt 3/39, 1969 TADEUSZ WYRZYKOWSKI 528.38.088.3 Analiza dokładności polskiej sieci niwelacji precyzyjnej I klasy wzorami Vignala 1. Wstęp Pom iar niw elacyjny, ze w zględu na swą specyfikę, nie jest ła tw y do oceny dokładnościowej. Specyfika ta, to m. in. fakt, że przyn ajm n iej częściow o niezależne konirale dotyczą tu nie kilku w ielkości obserw owanych w ielokrotnie jak to ma m iejsce np. w triangulacji lecz paru w yzn a czeń ich sumy, składającej się z w ielu pojedynczych elem entów ob serw o wanych, tj. sumy w yznaczonych przew yższeń na w ielu stanowiskach m iędzy Sąsiednimi reperam i, czy też na całej linii. Fakt ten pociąga za sobą dużą niepewność oceny błędu pomiaru i w yn ików n iw elacji, a w zależności od p rzyjętego sposobu tej oceny, daje możność uzyskania w yraźn ie różnych charakteryzujących ją liczbow o w ielkości. Początkow o pom iary dużych sieci n iw elacji p recyzyjn ej ch arakteryzowane b yły jedynie średnim błędem całkow itym, którego w yznaczenie oparte było na różnicach m iędzy w ynikam i dw u pom iarów ( ta m i z p ow rotem ) odcinków lub linii, oraz na niezamknięciach poligonów niw elacyjnych. Następną, lepszą już aproksymację w ystępujących zw iązków m iędzy różnicam i wielkości m ierzonych, a ich błędami, dały w zo ry opracowane przez geodetę francuskiego Ch. Lallem anda. W zory te, zalecone do stosowania przez M iędzynarodow ą A socjację G eodezji (M A G ) w 1912 r., w y dzielają dw ie części całkow itego błędu n iw ela cji błąd przypadkow y (ri) i błąd system atyczny (o). Jednak i te w zo ry w zbudzały pewne zastrzeżenia w związku ze sw ym i upraszczającym i założeniami. Celem uniknięcia tych założeń i oparcia analizy dokładności sieci niw elacyjn ej o większą ilość charakteryzujących ją elem entów, prof. J. V i- gnal rów nież Francuz zaproponował cały zespół w zorów i dodatkowe kryteria.л) W zory te zostały zaakceptowane przez M A G w czasie Ogólnego J) Jean Vignal, profesor fizyki Szkoły Politechnicznej w Paryżu, główny inżynier górniczy, wybitny specjalista z zakresu teorii niwelacji precyzyjnej, piastujący

4 Tadeusz Wyrzykowski Zgromadzenia M iędzynarodow ej U nii G eodezyjno-g eofizycznej (M U G G ) w 1948 r. w Oslo. Dokładność pomiaru linii polskiej sieci niw elacji p recyzyjn ej I klasy, pom ierzonej w latach 1952 1955, w m om encie je j opracow yw ania oceniana była w zoram i Lallem anda, co jest praw ie powszechnie stosowane. C e low e w ięc jest bardzo powtórne wykonanie analizy dokładności tej sieci, tym razem wzoram i Vignala. Tym bardziej, że pierwsza analiza sieci nie była pełna. A naliza sieci w zoram i Vignala pozw oli na ocenę przydatności tych w zorów do innych tego typu analiz oraz na określenie stopnia zbieżności ich oceny dokładności sieci niw elacyjn ej z oceną w zoram i Lallem anda i innymi. A naliza państw ow ej sieci niw elacji precyzyjn ej I klasy w zoram i V ign a la pierwsza tego rodzaju analiza sieci w Polsce pozw oli też m. in. na porównanie dokładności, a właściw ie wyznaczonych dla niej błędów, z analogicznym i błędami podstawowej sieci niw elacji p recyzyjn ej CSRS, której charakterystyka dokładności dokonana została tym i sam ymi w zo ram i [ 1 ]. Całość opracowania tego tematu wykonana została w Pracow n i N iw e lacji P recyzyjn ej i Ruchów Skorupy Ziem skiej IG ik w latach 1967 1969, p rzy czym jeden z etapów wstępnych (w yznaczenie w ielkości Z) opracowano już w roku 1966. Tem at prow adzony był przez dr inż. T. W y r z y kowskiego, a część obliczeniow a w przew ażającej części wykonana została przez m gr inż. T. Baranowską i techn. Z. Stelmaszuk. Fragm ent dotyczący w yrów nania sieci w ykonany został p rzy udziale Zakładu R a chunków i Obliczeń G eodezyjnych IG ik (w yrów nanie sieci na maszynie elektronow ej). 2. Ogólna charakterystyka sieci Polska sieć niw elacji precyzyjn ej I klasy pomierzona została w całości w latach 1952 1955. Składają się na nią linie tworzące 8 dużych poligonów i 4 m ałe przy punktach w iekow ych oraz 17 krótkich lin ii dogranicznych. Ogólna długość linii sieci w ynosi około 5500 km [2], [6 ], [7]. Do pomiaru używane b y ły następujące typ y n iw elatorów p recyzyjprzez wiele lat wysokie godności w Międzynarodowej Asocjacji Geodezji, zmarł 29 lutego 1969 r. W sprawach teoretycznych problemów, związanych z zastosowaniem wzorów Vignala do polskiej sieci niwelacji precyzyjnej I klasy, autor niniejszego opracowania korespondował z twórcą tych wzorów prof. J. Vignalem. Przyjęta koncepcja opracowania analizy, odpowiednia do specyfiki tej sieci, znalazła jego poparcie.

Analiza dokładności niw elacji wzorami Vignala 5 nych: a) W ild N III, z kom pletam i łat inw arow ych o podziale 10-milimetrow ym, b) radzieckie N A-1, z łatami inw arow ym i o podziale 5-m ilim e- trow ym. N orm alnie stosowano celow e o długości 40 m; dopuszczalna najkrótsza długość celow ej 8 m. N ajn iższy przebieg celow ej ponad ziemią 0,8 m (w w yjątkow ych przypadkach 0,5 m). Do 1954 r., czyli przy pom iarze zachodniej części sieci, stosowana była m etoda pomiaru przy użyciu 2 klinów, od 1954 r. (wschodnia część sieci) stosowano m etodę pomiaru na 4 kliny. Kom parację lat w ykonyw ano w G łów nym U rzędzie M iar, ze średnim błędem ±0,03 mm/m, przed i po sezonie pom iarow ym. Zam ierzoną dokładność pomiaru sieci charakteryzują następujące p rz y jęte k ryteria [8 ]: a) różnice przew yższeń ((?), w yznaczonych dla odcinka m iędzy sąsiednim i reperam i z pomiaru ta m i z pow rotem, m usiały być m niejsze niż ± 2 mm j/ R, gdzie R długość odcinka w km, b) suma różnic e dla danej linii, lub sekcji, nie m ogła przekraczać w ie l kości ± 3 mm ]/L, gdzie L długość lin ii lub sekcji w km, c) średni błąd pomiaru 1 km sekcji, obliczany w edług w zoru: (1) gdzie n R ilość odcinków, musiał być m niejszy od ±0,50 mm, d) średnie błędy obliczane w edług w zorów Lallem anda dla poszczególnych linii pow inny być: błąd przypadkow y r ^ 0,75 mm/km, (2) błąd system atyczny o ^ 0,2 0 mm/km. (3) Uzyskaną dokładność pomiaru niw elacji charakteryzują następujące błędy średnie 1 km linii, wyznaczone dla całej sieci z różnic m ięd zy w y n i kam i pomiaru tam i z pow rotem. Z różnic na poszczególnych odcinkach: mm, (4) gdzie nr = 4202, z różnic na liniach: mm (5) gdzie n L = 2 0 0,

6 Tadeusz Wyrzykowski z niezamknięć poligonów: 2) m 3 = ± j / [ - y ] -J - = + 0,723 mm, (6 ) gdzie n F = 13 (łącznie z poligonem obw odow ym ). Dokładność pomiaru 1 km linii, w zględnie sekcji, oceniana była w zora m i Lallem anda, określającym i średni błąd przypadkow y (t^) i system atyczny (o). W artości tych błędów w odniesieniu do całej sieci w yniosły: średni błąd przypadkow y: - ± 1 1 / ш - й М й - ± 0 '373 mm- (7) gdzie przeciętna długość odcinka linii, dla którego wyznaczano linię w yrów nującą w ynosiła L m' = 29 km, a ich suma: [L] = 5650 km, średni błąd system atyczny: oraz 1 л / 1. a, = ± ~ V 7 Г 7 - И = ±0 Д 31 m m, (8 ) 2 l ' [L] Ll J o, = = ± у = ± 0 1 1 4 m m ( 9 ) (łącznie z poligonem obw odow ym ). Om awiana sieć niw elacji p recyzyjn ej I klasy została początkow o ob liczona w systemie wysokości ortom etrycznych norm alnych, jako sieć niezależna odniesiona do punktu w yjściow ego Toruń Ratusz (punkt g łó w ny sieci niw elacji I rzędu z lat 1926 37), którego wysokość w yrażona była w poziom ie N. N. (N orm al-n u ll) [2]. Ostatecznie m ateriał sieci został ob liczony w systemie wysokości norm alnych w odniesieniu do poziomu zera łaty w odow skazow ej w Kronsztadzie. 3. Charakterystyka sieci pod kątem zastosowania analizy dokładności wzorami Vignala W zo ry V ignala służą do określenia zespołu w ielkości błędów praw dopodobnych, w oparciu o wartości średnie wyznaczone z m ateriału całej badanej sieci n iw elacji precyzyjnej. Poniew aż wartości średnie są tym pew niejsze z im w iększej ilości pojedynczych elem entów są wyznaczane, w obec tego i analiza sieci n iw elacyjn ej w zoram i V ignala jest tym p e w niejsza im obszerniejszego i bardziej jednorodnego m ateriału dotyczy. 2) Po wprowadzeniu poprawek w systemie wysokości normalnych.

Analiza dokładności niw elacji wzorami Vignala 7 Pod tym w zględem polska państwowa sieć n iw ela cji p recy zy jn ej I k la sy, m ierzona w latach 1952 1955, ma dwa zasadnicze m ankam enty. P ierw szy to to, że pomiar sieci, w je j części zachodniej i wschodniej, był w yk on yw an y dwom a różnym i m etodam i (pom iar na 2 i 4 kliny). O trzym any w ten sposób m ateriał pom iarow y sieci nie jest w ięc jednorodny. Drugą ujemną cechą analizowanego materiału sieci jest n iew ielka ilość zam kniętych poligonów (osiem). W ynika stąd m niejsza pewność oceny dokładności sieci w oparciu o w ielkości błędów niezam knięć (<{ ) tej n iew ielk iej ilości stosunkowo dużych poligonów, a pośrednio i w oparciu 0 popraw ki linii otrzym ane z w yrów nania. M ała ilość poligonów w iąże się też bezpośrednio z w ystępow aniem bardzo długich lin ii n iw elacyjn ych 1 niew ielką ich ilością. Sieć o tak m ałej gęstości lin ii i znacznej ich długości nie tw o rzy d o godnego m ateriału do analizy w zoram i Vignala. Z jed n ej Strony bow iem nie pozwala na określenie wartości Z na podstawie w ielkości u F, gdyż brak jest w ystarczającej ilości poligonów o różnych przejściow ych długościach. Z dru giej sitrony, m ała ilość lin ii nie daje pew n ego m ateriału X2 u.2 dla w yznaczenia średnich wartości oraz. L j L J Ze w zględu w ięc na niejednorodność m ateriału pom iarow ego, należało rozbić go przy analizie na d w ie części, osobno obliczając niektóre elem enty dla zachodniej części sieci, m ierzonej przy użyciu 2 klinów, oraz osobno dla części wschodniej, m ierzonej p rzy użyciu 4 klinów. Celem ujednolicenia m ateriału nie uwzględnione zostały w analizie linie wiszące (dograniczne), które nie w chodziły do w yrów nania sieci, a tym samym nie m ogłyb y być analizowane w szystkim i w zoram i Vignala. Z materiału sieci zostały też odrzucone bardzo krótkie linie tworzące 4 małe, kilkunasto- i kilkudziesięcio kilom etrow e poligoniki p rzy punktach w iekow ych (Łęczyca,.Taroty, W ilk o w o i B orów ). W łączenie ich stw o rzyłoby bardzo niejednorodny pod w zględ em długości lin ii m ateriał. Ogólna długość około 5650 km lin ii sieci została w ięc zm niejszona o około 830 km i ostatecznie analizie podlegał m ateriał ponad 4820 km lin ii niw elacyjnych. 4. Określenie wartości Z O kreślenie w artości Z, tj. długości lin ii p o w yżej k tórej błędy system a tyczne nabierają charakteru błędów przypadkow ych potrzebne dla w łaściw ego ustawienia dalszej analizy sieci w ykonane zostało w sposób następujący.

8 Tadeusz Wyrzykowski Z całego m ateriału sieci niw elacji precyzyjn ej I klasy zostały w ybrane 34 odcinki, m ające początkow o po 90 km, a następnie uzupełnione do 120 km. Z ogólnej ilości 34 odcinków 14 było pom ierzonych m etodą na 2 klin y (m etoda A ), a 20 metodą na 4 klin y (m etoda B). Odcinki te zostały osobno zgrupowane, stanowiąc oddzielne m ateriały do analizy. W celu wyznaczenia zmienności w ar tości w ielkości ul = ± p / ś r.- ^ - oraz v L = ± - f - 1 / śr. ; jako funkcji długości linii niw elacyjn ej, z caij f Ij łych 120-kilom etrowych odcinków w ydzielono odcinki 10, 20, 30... 120 k i lom etrowe. Dla tak utworzonych i pokryw ających się częściowo odcinków, wartości u L-i v L obliczone były jako: (101 oraz jako: (11) gdzie: i i / m 3 V [L] h suma różnic przew yższeń z pomiaru ta m i z pow rotem ob liczona dla odcinka o długości L, czyli l = [o], u - analogiczna suma różnic przew yższeń wyznaczona za pomocą linii w yrów n u jącej dla długości L. Zestawienie w ym ienionych pow yżej wartości ul i v L, dla długości lin ii 10 ^ L ^ 120 km, z rozbiciem na metodę A i В oraz dla całego materiału, zaw iera tablica 1. W arto zaznaczyć, iż linie w yrów nu jące dla obliczenia w artości vl' i v L" wyznaczane tu b y ły w sposób przybliżony, tzn. metodą graficzną. W ykres zmienności wartości u L' dla dw u grup lin ii m ierzonych ró ż nym i m etodam i, przedstaw iony jest na rysunku 1. Analogicznie na rysunku 2 przedstawiono zmienność wartości vl', a na rysunku 3 zmienność wartości ul' i v L', obliczonych dla całości m ateria łu.3) N ależy stwierdzić, że w yk resy zmienności w artości ul' i vl' nie w skazują na w ystępow anie w yraźn ej granicy (Z), począw szy od której błędy s) Na rys. 1, 2 i 3 naniesione zostały jedynie wykresy wartości ul' i vl', gdyż wartości ul" i vl" były prawie identyczne. <12) (13)

Zestawienie wartości wielkości, ujj, Uj* v^ i vl dla różnych długości linii Tablica 1 L (km ) 10 20 30 40 W ielkość UL II U T L VL VL UL II UL v ' L II VL UL u "l VL 11 VL UL u 'l VL 11 VL D la pomiaru: m etodą A m etodą В 0,292 0,324 0,293 0,324 0,220 0,279 0,220 0,279 0,361 0,355 0,361 0,355 0,355 0,306 0,355 0,306 0,350 0,359 0,351 0,361 0,343 0,319 0,345. 0,320 0,399 0,351 0,399 0,351 0,345 0,306 0,345 0,306 Cała sieć 0,311 0,311 0,256 0,256 0,357 0,357 0,327 0,327 0,355 0,357 0,329 0,330 0,372 0,372 0,323 0,323 L (km ) 50 60 70 80 W ielkość UL UL 1 VL 11 VL UL n UL VL 1 VL UL II ul VL v" L UL UL VL 11 VL D la pomiaru: m etodą A m etodą В 0,348 0,359 0,348 0,359 0,320 0,314 0,320 0,314 0,361 0,402 0,358 0,398 0,339 0,349 0,335 0,346 0,368 0,395 0,372 0,399 0,304 0,349 0,308 0,353 0,379 0,399 0,387 0,408 0,322 0,342 0,329 0,349 Cała sieć 0,355 0,355 0,316 0,317 0,385 0,382 0,345 0,342 0,384 0,388 0,331 0,335 0,391 0,399 0,334 0,341 L (km ) 90 100 110 120 W ielkość UL WL VL II VL UL 11 UL VL 11 VL UL u"l VL. VL UL UL VL U VL D la pomiaru: m etodą A m etodą В 0,408 0,418 0,410 0,420 0,354 0,353 0,356 0,355 0,370 0,458 0,371 0,458 0,367 0,381 0,367 0,381 0,390 0,466 0,390 0,466 0,383 0,403 0,383 0,403 0,380 0,469 0,381 0,470 0,362 0,412 0,363 0,413 Cała sieć 0,414 0,416 0,353 0,355 0,424 0,424 0,375 0,375 0,437 0,437 0,395 0,395 0,435 0,436 0,392 0,393 (w mm/km)

Analiza dokładności niw elacji ivzorami Vignala 9 U'l (mm/k m ) ------------- pomiary wykonane metodą A (n a 2 klin y), ------------ pom iary wykonane metodą В (n a 4 k lin y ). Rys. 1. Wykres zmienności wartości ul w zależności od długości linii niwelacyjnych i metody pomiaru (metoda A i B)

10 Tadeusz Wyrzykowski (mm/k m ) -------------- pom iary wykonane metoda A (n a 2 k lin y ), ------------- pom iary wykonane metodą В (n a 4 -k lin y ). Rys. 2. Wykres zmienności wartości v L w zależności od długości linii niwelacyjnych i metody pomiaru (metoda A i B) system atyczne nabierają charakteru błędów przypadkowych. W artości ul' i v L' w zasadzie rosną powoli, począw szy od lin ii o długościach 2 0 km aż do lin ii o długościach 120 km. M ożna jednak uważać, że długość 60 km jest charakterystyczna dla w ykresu i przyjąć ją za odpowiadającą w p rz y bliżeniu wartości Z,

Analiza dokładności niw elacji wzorami Vignala 11 Analizu jąc w ykresy można zauważyć, że bardziej praw idłow y przebieg ma krzyw a dla pom iarów w ykonyw anych przy użyciu 2 klinów (bardzo m ały w zrost wartości ul' i v L' w raz ze wzrostem długości L). (mm/km) ------------- wykres w artości u [, ---------- wykres wartości v L, Rys. 3. Wykres zmienności wartości ul i v'l w zależności od długości linii niwelacyjnych. Łączne zestawienie dla pomiarów obu metodami (metoda A i B)

12 Tadeusz Wyrzykowski 5. Analiza dokładności metod wyznaczania linii wyrównujących Następnym wstępnym etapem do w łaściw ej analizy dokładności sieci w zoram i Vignala była analiza dokładności różnych m etod wyznaczania lin ii w yrów nujących. Dokładność ich w yznaczenia rzutuje bow iem na dokładność określenia wartości v i v ". W grę w chodziła też i strona ekonomiczna pracochłonności różnych m ożliw ych do zastosowania metod. W zięto pod uwagę 4 m etody: a) m etodę graficzną, b) m etcdę graficzno-analityczną K. K u ćery, c) ścisłą m etcdę analityczną, d) uproszczoną m etodę graficzno-analityczną (T. W yrzykow skiego). M etoda graficzna P olega na w yznaczeniu jednej lin ii prostej, m o żliw ie najlepiej aproksym ującej linię łamaną w ykresu w artości [o]. W yzn a cza się ją,,na ok o za pomocą liniału, w taki sposób by pola zaw arte m iędzy obiema liniam i z obu stron lin ii w yrów n u jącej b yły m ożliw ie m ałe i rów ne sobie. M etoda graficzno-analityczna K. K u ćery Polega na analitycznym określeniu lin ii w yrów n u jącej w oparciu o uproszczone w zory: K + P = q-[s] + yo + j/n = 2 2 (n -H ) К - P 6 [is ]-3 (fc + l)-[s ]. '14) - = b, 2 k 1 К = a + Ъ, P = a b, W Ц = K - P, (16) gdzie: P, К poszukiwane rzędne początkow ego i końcow ego punktu linii w yrów nującej, n ilość odcinków m iędzy sąsiednimi reperam i na danej linii, к ilość odcinków o rów nej długości, na które została podzielona cała długość (L ) linii n iw elacyjn ej, 2 n q = X s wartość rzędnej środka lin ii w yrów n u jącej, w yznaczonej m e todą graficzną dla odcinka lin ii n iw elacyjn ej o długości d, у o rzędna początkowego punktu w ykresu wartości [(>], (y 0 0), yn rzędna końcowego punktu w ykresu (y = [o] = л),

1 Lp. N azw a linii linii Ocena dokładności graficznej m etody wyznaczania linii wyrównujących T a b l i c a 2 Metoda g raficzna Długość W yznaczenie T. W. W yznaczenie T. B. W yznaczenie Z. S. km wykresu [0] К P H- odchyłki V К P И- odchyłki V К P [Л odch yłki V H- średnie M etoda ścisła К P V- 1 Stargard 106,4 dość płyn n y - 1 1,8 + 1,5-1 3,3-2,9-0,1-1 0,1 + 0,1 10,2 4-0,2 + 3,0-8, 6-1, 0-7,6 + 2,8 + 5,6 10,4-1 1,4 7 + 1,78-1 3,2 5 Buślary 2 103,4 dość duża zmienność + 0,8-4,3 + 5,1 + 2,1-4,1-1, 0-2, 5 + 1,5-1, 5-7, 7 ю <o O co 1 i + 2,5-0, 5-6,7 + 3,0 4-2,62-6,6 0 + 9,22 Sławno 3 92,2 dość duża zmienność 4-18,8 + 4,9 + 13,9 + 0,9 + 0,5 + 15,6 + 3,5 + 12,1-0,9 1,3 + 19,4 + 6,3 + 13,1 + 0,1-0, 3 + 13,0 + 18.95 + 5.50 + 13,45 G odętow o 4 119,4 średnia zmienność 7,9 + 1,8-9,7 1,7-0, 5-7,0 + 0,6-7, 6 + 0,4 + 1,6-5, 9 + 0,7-6, 6 + 1,4 + 2,6-8, 0-7,8 7 + 1.28-9,1 5 Czarlin [1 1] 7,6 5,2 3,0 13,6 4,8 15,2 Średnio: m% = ± / [w] ± 2,3 ± 1,0 ± 1,8 ± 1,8 У n - 1 то, = ±. / [se] ' n ± 2,1 ± 4,3 ± 4,6 ± 3,8 (w m ilim etrach)

Analisa dokładności niw elacji wzorami Vignala 13 i k olejn y numer odcinka, na które podzielona została cała linia niwelacyjna. Ścisła m etoda analityczna Polega na określeniu równania lin ii w y rów nującej, typu y a + bx, (17) z zależności: a = -г- ( [z z ] [y ] - [x ] [ x y ] ), 1 (18) b = -д (-[х ]-[г / ] + п -[ху]), A = n -[x x ] [x ]J, gdzie: n ilość reperów na linii n iw elacyjn ej, x współrzędna odpowiadająca odległości г-tego punktu od punktu początkowego, у współrzędna odpow iadająca w artości [o] liczonej od punktu p o czątkow ego do г-tego punktu linii. W tedy: и = b L. (19) Uproszczona metoda graficzno-analityczna (T. W yrzykow skiego) polega ona na: a) w ykreśleniu ciągłej lin ii łamanej, składającej się z odcinków lin ii prostej w yznaczonych m etodą graficzną aproksym ujących charakterystyczne części w ykresu wartości [q] (odcinki te odpow iadają kilku odcinkom lin ii n iw elacyjn ej i nie muszą być jednakow ej długości, jak to przew idu je m etoda K. Kućery), b) na wyznaczeniu ostatecznej linii w yrów n u jącej m etodą ścisłą, biorąc pod uwagę współrzędne punktów załamania uprzednio w yznaczonej linii aproksym ującej, których ilość jest kilkakrotnie m niejsza, niż ilość punktów lin ii n iw elacyjn ej (uproszczenie obliczeń w stosunku do m etody ścisłej). C elem określenia w ielkości błędów m etody graficznej, w ykonane zostały tą m etodą w yznaczenia 4 lin ii w yrów nu jących, niezależnie przez 3 osoby (T. W., T. B. i Z. S.), a jednocześnie te same 4 linie w yrów nujące wyznaczone zostały ścisłą metodą analityczną. Dla w ykresów wartości [(?] przyjm ow an o Skalę 10 : 1, przy skali odległości 1 : 100 000. O trzym ane w y niki zestawiono w tablicy 2. Na ich podstawie można w yciągnąć następujące wnioski:

14 Tadeusz Wyrzykowski 1) Przeciętna odchyłka pojedynczego wyznaczenia ja od wartości średniej, w yznaczonej też z m etody graficznej, jest rzędu ± 1,2 m m / 1 0 0 km. Przeciętna odchyłka pojedynczego wyznaczenia u od w artości w yznaczonej m etodą ścisłą jest rzędu ±2,7 mm/100 km. 2) Odpowiednie do poprzednio w ym ienionych błędy średnie wynoszą: m 0v = ±1,7 mm/100 km, т й_ = ±3,6 mm/100 km. 3) W ym ienione pow yżej wartości wskazują, że średni błąd pojedynczego wyznaczenia błędu system atycznego [a] w oparciu o graficzną m e todę określenia linii w yrów nującej rów ny jest około 35% określanej wielkości tego błędu (w tym przypadku: o ±0,05 mm/km). D la poszczególnych linii błąd może być jednak nawet kilkakrotnie w iększy od samego błędu o (np. tabl. 2, linia 2 w yznaczenie Т. B. i Z. S.). 4) Porów nując błędy pozorne z rzeczyw istym i w idzim y, że te ostatnie są dw u krotnie większe. Św iadczy to o system atycznych tendencjach błędów m etody graficznej. Zauważyć tu można np. tendencję graficznego wyznaczania linii w yrów nującej o m niejszym pochyleniu, niż to wynika z m etody ścisłej. 5) O gólnie biorąc, w yn ik i m etody graficznego wyznaczania linii w y rów nującej są w znacznym stopniu zależne od indyw idualnych predyspozycji osoby w yznaczającej. W skazuje na to porównanie wyznaczeń T. W. z w yznaczeniam i Т. B. i Z. S. (tabl. 2). Prócz określenia linii w yrów nujących metodą graficzną i ścisłą (tabl. 2), dla tych samych 4 linii niw elacyjnych wyznaczone zostały linie w y ró w nujące rów nież i dwom a pozostałym i metodami poprzednio opisanymi (tabl. 3). W m etodzie K. K u ćery w ykonyw ano po 3 obliczenia dla każdej linii, zm ieniając za każdym razem ilość odcinków (к). O trzym ane w yn ik i można podsumować w sposób następujący: 1. Metoda K. K u ćery i tzw. metoda uproszczona dają rezultaty dużo bliższe metodzie ścisłej, niż metoda graficzna. Średnie błędy wyznaczone z obliczonych przykładów b yły kilkakrotnie m niejsze; dla m etody K. K u ćery?по ^ ±0,5 mm/100 km, / 1 0 0 km. 2. Obie te m etody dają dużo m niejszy rozrzut błędów niż m etoda graficzna. dla m etody uproszczonej m 0 s=* ±0,7 mm/' 3. Średni błąd pojedynczego w yznaczenia błędu systematycznego (o) jest tu rów ny około 5% w ielkości samego błędu a, czyli około ±0,003 mm/ /km. 4. Porów nanie m etody K. K u ćery z tzw. metodą uproszczoną przem a wia za tą pierwszą (nieco m niejszy błąd, przy tym samym nakładzie pracy obliczeniow ej). Dla pełniejszej ch arakterystyki obu m etod należy dodać, że p rzy me-

Porównanie wyników wyznaczeń linii wyrównujących różnymi metodami T a b Ji с a 3 P +1,57 w (m ilim etrach) Analiza dokładności niwelacji wzorami Vignala Linia L km Metoda graficzna Metoda ścisła Metoda K. Kućery Metoda uproszczona T.W. T.B. z.s. k 1 16 18 20 1 Stargard K\ -1 1,8-10,1-8,6 n - 62, К -11,47 d 1 6,65 5,91 5,32 1 śr. n = 14, К ] -11,58 P 1 106,4 + 1,5 +0,1-1,0 P + 1,78 «1 11,81 11,76 11.77 j -11,78 P + 0,62 V- 1-1 3,3-1 0,2 7,6 S* -13,25 +1,63 1.52 1,61 j + 1,59-12,20 ^ i -13,44 13,28 13,38 1-13,37 n =, 39, К -11,43 Buślary Sławno n = 1, śr. -1 0,4 V- -13,00 «1 00 O + k 16 18 20 1 n = 26, К + 2,53 1,0-0,5 n = 59, К + 2,62 d 6,47 5,75 5,17 j śr. P -5,9 0 103,4 **1-4,3-2,5-3,0 P -6,6 0 К + 2,51 2.63 2,57 1 + 2,57 [Л + 8,43 s* 1 + 5,1 + 1,5 + 2,5 V- + 9,22 P -6,51 6,54 6,56 1-6,5 4 n = 1, śr. + 3,0 [X + 9,02 9,17 9,13 1 + 9,11 k 13 15 17 1 n = 27, К + 18,99 k \ + 18,8 + 15,6 + 19,4 n = 51, К i +18,95 d 7,09 6,14 5,42 1 śr. P + 4,90 Godętowo 92,2 119,4 p \ +4,9 + 3,5 + 6,3 P I +5,50 К + 18,57 18,55 18,59 1 + 18,57 1* V- 1 + 13,9 + 12,1 + 13,1 u. 1 +13,45 P + 6,11 6,15 6,07 1 + 6,11 n = 1, śr. + 13,0 (X + 12,46 12,40 12,52 + 12,46 Czarlin n = 1, śv. -8,0 k 24 30 36 j + 14,09 n = 82, К -7,8 7 d 4,98 3,98 3,32 j śr. n = 33, К -7,3 8 К - 7,9-7,0-5,9 P + 1,28 к 7,55 7,53 7,56 1-7,55 P + 1,12 p + 1,8 + 0,6 + 0,7 Iх -9,15 P + 1,23 1.21 1,24 1 + 1,23 V- -8,50 H- -9,7-7,6-6,6 s* -8,78 8,74 8,80 1 8,78

16 Tadeusz Wyrzykowski todzie K. K u ćery dzielono linie na odcinki pomocnicze o rów nej długości, których ilość (к) wynosiła około 35% ogólnej ilości odcinków wchodzących do obliczeń metodą ścisłą. P r z y m etodzie uproszczonej ilość odcinków p o m ocniczych w ynosiła odpowiednio około 40%. 6. Wyznaczenie wielkości wyjściowych do analizy sieci wzorami Vignala 6.1. Podział sieci na elem enty do analizy Jak już było powiedziane w rozdziale 3, polska sieć n iw elacji p re cy zy j nej I klasy nie była w ygodna do analizy w zoram i Vignasla. M a ona bow iem przeciętnie bardzo długie linie (230 km ) i niew ielką ich ilość (21 linii). W zięcie ich więc, jako podstawowych elem entów do analizy, pociągałoby za sobą oparcie tej analizy o niepewną statystycznie ilość elem entów. W dodatku przeciętna długość tych lin ii znacznie przekracza wielkość Z 60 km. Przystępu jąc do w yznaczeń wielkości! ~ oraz y -----w ystępu ją- L j L j R eych dalej w e wzorach Vignala należało określić jakich przeciętnych długości L będą one dotyczyć. P rzyjęto koncepcję podziału linii m iędzy w ęzłam i sieci w taki sposób by uzyskać większą ilość krótszych linii, przy zachowaniu jednak ogólnego warunku L m > Z. 2 1 linii, tworzących obwodnice 8 poligonów sieci, zostało w ięc podzielone na 52 krótsze linie (rys. 4) o przeciętnej długości L m 93 km, zachow ując tym samym wspomniany warunek L m > Z. P rz y podziale kierowano się dwom a zasadami: a) każda nowo utworzona linia musiała być fragm entem jednej tylko lin ii daw nej, łączącej punkty w ęzłow e sieci, b) musiała ona być utworzona z odcinków dla których uprzednio oddzielnie obliczono średni błąd przypadkow y i systematyczny, w zoram i Lallem anda (przeciętna ich długość wynosiła L m' 29 km). 6.2. Określenie sum w artości Q, w artości oraz u W artości X2 J-, oraz zostały w zięte z operatów obliczeniow ych Państw ow ego Przedsiębiorstw a G eodezyjnego (P P G ) [5], dotyczących tej sieci, p rzygotow yw a n ej do pierw szego je j w yrów nania w system ie w y sokości ortom etrycznych normalnych. Ten właśnie m ateriał b ył potem m a-

V, Lesięcin p У 1 ( ;! \ ; J Myślibórz^ \ 4 69 \ Ч \ ^ S k w ie rz y n a 1 - f V 136 J Zielona G óra o^ л \ / / Г M >.107 ) ч ;-------- P o z n a n / /,117 I / / I 4 5 1 5 3 t \I / { / T o ru ń _ \KonmII 83 K o n in Г " / / / 1 103 ^ v. SmardzeyJ i! b Lubin 57 / ( \ \1QÊ \\ V D z ie rz o n iô v i > \ j S L ' " s L a sk o w ic e. lin ie m ie rzo n e m etodą na 2 k lin y (m eto da A ), lin ie m ierzone m eto da na 4 klin y (m etoda B ), d łu g o ś ć o d c in k a, w k m. I «^Wieluń 136 \ / V, \ У с ^ ^-""^ZabeiKow \ 95 i \ 4 123 N ( \ _ \S.e ewierz S - x96 r >10L ^ \ i v - Żywiec. 1 'Л Działdowo \ 4'*.88 ł 4 wjbazar ; / / 1» t WARSZAWA ^ Grochów ------ T-Ÿi5s---- - Woi3 / /46 ' 87 1 07 I I I 1i ' ^Miedzyrzec 1C3 * / P o d la su i \ ß i c.su I ^Podl3sU» j \ / Ц Bzin Г'ч \, ' 7 2 ł / Jędrzejów ( b tr o w e c / 4^S»N4'1oUrZybU. (? ii 4 >89 S4C< Racławice "*'*-*<^KraUó w ч \ / *78 W arzyca Noidr v 8 3 - - - < *.. 4./ v 4 \ Nwy Sącz \ 97 'ч Y Rabka /o ' ---- Y - o y \Za> 75 ч i / Rys. 4. Szkic linii sieci niwelacji precyzyjnej I klasy, wykorzystanych jako materiał do analizy dokładności wzorami Vignala. Podział na krótsze linie, dla których wyznaczane były linie wyrównujące

Analiza dokładności niw elacji wzorami Vignala 17 teriałem w yjściow ym do ponownego obliczenia sieci w system ie w ysokości norm alnych i ten tylk o zaw ierał obliczone już wartości ^lj oraz X8 dla poszczególnych odcinków, stanowiących podstawę dla obliczenia JLt średnich błędów przypadkow ych i system atycznych w zoram i Lallem anda. W artości д. poniew aż w operacie P P G zostały one w yznaczone dla w yżej w ym ienionych krótkich odcinków, o przeciętnej długości L m ~ 29 km, przybliżoną metodą graficzną zostały w yznaczone w P ra co w ni N. P. i R. S. Z. IG ik dla n ow o utw orzonych lin ii (L m = 93 km ) ścisłą metodą analityczną, rezygnując ostatecznie w tym przypadku z analizow anych uprzednio m etod przybliżonych. M etoda ścisła pozw ala bowiem na uniknięcie błędów p rzy określaniu pochylenia lin ii w yrów n u jącej, a tym samym na uniknięcie błędów w określeniu system atycznych i przypadkow ych błędów pomiaru niw elacji, o które w tej analizie głów nie chodziło. 6.3. Niezam knięcia poligonów i w yrów nanie sieci D alszym i w ielkościam i w chodzącym i do w zorów Vignala są w ielkości niezam knięć poligonów i w ielkości popraw ek do przew yższeń lin ii, o trzy mane z w yrów nania sieci. W tym przypadku m ateriałem opracowyw anym b yły przew yższenia na liniach, m ięd zy punktam i w ęzło w y m i sieci, obliczone w system ie w ysokości norm alnych, tj. w p rzy jęty m ostatecznie w Polsce system ie w y sokości. W stosunku do m ateriału, jaki w szedł poprzednio do w yrów n an ia podstaw ow ej sieci n iw ela cji p recyzyjn ej obliczonej w systemie wysokości n ormalnych, w ystąpiły tu czasem drobne różnice w wartościach przew yższeń lin ii i zamknięciach poligonów spowodowane: a) odrzuceniem paru bardzo krótkich linii, tw orzących m ałe poligoniki p rzy punktach w iek ow ych sieci, b) sporadycznym i przypadkam i w prow adzenia do sieci w yn ik ó w d rob nych pom iarów popraw kow ych, c) w przypadku jednej lin ii w prow adzeniem w yn ik ów dru giej kom- paracji łat (czego uprzednio nie zrobiono). Pon iew aż do wziorów V ignala potrzebne są w artości -, gdzie у poprawka z w yrów nania dla danej lin ii L, w yrów nano w ięc sieć analizowaną, jako niezależną, opartą na w ysokości jednego punktu w yjściow ego (daw -! Prace Instytutu Geodezji

18 Tadeusz Wyrzykowski ny punkt głów ny: Toruń Ratusz). Na sieć (rys. 5) składa się: 8 poligonów (o przeciętnej długości 885 km), 22 linie, oraz 14 punktów w ęzłow ych. Sieć została przygotow ana do w yrów nania w Pracow ni N. P. i R. S. Z. IG ik. Samo w yrów n an ie zostało wykonane na m aszynie elektronow ej < \! / -v ti L / 'v Ш п m â / s/ v ( I Skwierzyna V II,78 I \ I ' ' *25,17 1038 -au ( \ (D&Toruń é ь V 8,32-4.2 2 952 rnjs/m Üôiâ *11.19 * / ад ' ßrochi)v /Г* 0,22-17.66 856 'rzec (ч 4 Ys. I \ К +25.21 1067 f Is \* *41,78 foin f. j -"M a! 4 w ilm n *, é \ \ ( i,- 12.35 y/ 4 \ ). -j J G Laskowi ^,Ц Гн -6.64 6 *% J : * tm i f Ж^ŁMÓW 578 0!?" m & ). *12.65 _ Unie mierzone metoda A ±1Щ'$ --------- Unie mierzone metodq B niezamkniçcie poligonu z poprawka + 417ß у grawimetryczną, w mm, 891 długość poligonu, n km, - 2 M poprawka z wyrównania w mm + U J H _ ś re d n i błąd wyznaczenia wysokości punktu węzłowego, w mm. Q ) numer punktu węzłowego А / Rys. 5. Szkic linii sieci włączonych do wyrównania. Podano: wartości niezamknięć poligonów i ich długości, wartości poprawek do przewyższeń linii oraz średnie błędy punktów węzłowych w Zakładzie Rachunków i Obliczeń G eodezyjnych IG ik. W yznaczono: a) popraw ki do przew yższeń linii, b) popraw ki do wysokości punktów w ęzłow ych, c) średni błąd pomiaru 1 km linii, k tóry w yniósł m 0 +0,837 mm, d) średnie błędy w yznaczenia w ysokości punktów w ęzłow ych sieci.

Analiza dokładności niw elacji wzorami Vignala 19 7. Omówienie zespołu wzorów Vignala A n aliza dokładności sieci n iw ela cyjn ej w zoram i Vignala operuje szeregiem now ych pojęć i określeń. W yd a je się w ięc celow e pokrótce je om ó wić. T ym bardziej, że polska literatura geodezyjna nie posiada dotychczas takiego omówienia. Zrobim y to w oparciu o tekst zaw arty m. in. w uchwałach M A G, przyjętych w czasie Ogólnego Zgrom adzenia M U G G w Oslo w 1948 r. [4]. Zaczniem y od zestawienia w ielkości w ystępujących w tych wzorach, od ich oznaczeń i określeń. ri w spółczynnik charakterystyczny błędów przypadkow ych, zw any prawdopodobnym błędem przypadkow ym na kilom etr. D la dow oln ej długości L w yn iesie on r) \^L. Ç w spółczynnik charakterystyczny błędów system atycznych, zw any wartością prawdopodobną przypadkową graniczną (na kilom etr) błędu system atycznego. D la długości L ^ Z błąd ten w yn iesie Ç ]/L. D la dłu gości L < Z prawdopodobny błąd system atyczny będzie rów n y przy czym w spółczynnik ÇL w zrasta od 0 do Ç, gdy L w zrasta od 0 do Z. x == i/yjs _j_ współczynnik charakterystyczny błędu całkow itego, zw an y w artością prawdopodobną przypadkow ą graniczną (na kilom etr) błędu całkow itego albo: praw dopodobn y całk ow ity błąd graniczny na kilom etr, u R, ul, uf, uf^ ta sama co uprzednio w ielkość, w yprow adzona z odcinków R, L i F oraz z wartości: Q, X, <p i y, gdzie: R (km ) długość odcinka m iędzy sąsiednimi reperam i, L (km ) długość dow oln ego odcinka n iw ela cji (linii lub sekcji), F (km ) długość zam kniętego poligonu, q (m m ) różnica m iędzy w yn ikiem pom iaru ta m i z pow rotem, w odniesieniu do R, X (m m ) ta sama różnica w odniesieniu d o L, Ф (m m ) niezam knięcie poligonu, po w prow adzeniu popraw ek ze w zględu na system w y sokości, Y (mm) popraw ka z w yrów nania w odniesieniu do długości L,

20 Tadeusz Wyrzykowski U granica w ielkości u L, u F, ufy dla L m, v L wielkość wyprowadzona z ul, zastępując elem enty przez elem enty u, gdzie: ц (m m) różnica, dla ciągłego odcinka 0 długości L, m ięd zy sk rajnym i rzędnym i lin ii w y ró w nującej, w ykreślonej na podstawie w ykresu sum różnic p, 1 odchylającej się m inim alnie od niego, V granica w ielkości v L dla L m > Z. P o om ówieniu w ielkości występujących w e w zorach V ign ala p rzejd ziem y do nich samych. A. W spółczynnik t, prawdopodobna przypadkowa w artość graniczna, na kilom etr, błędu całkowitego, lub prawdopodobny całkow ity błąd graniczny na kilom etr. Zostaje on określony jako: oraz: x U (20) (21) przy: U lim ul, uf, u Fy dla L m, F m ^ Z, V = lim v h dla L m ^ Z. (22) (23) Poszczególne w ielkości: u L, vl, uf i uf.( można w yzn aczyć ogólnie jako: (24) (25) (26) (27)

Analiza dokładności niw elacji wzorami Vignala 21 ^2 2 ф2 poszczególne w artości, i m ają w agi jednakow e (p = 1 ), lub że L i L i F w agi te są proporcjonalne do długości L i F. O trzym u jem y w ięc dw a odpowiadające sobie zestaw y w zorów : a) dla w ag jednakow ych (p = 1 ): u L '2 = 1 9nL (24a) V? = b) dla w ag niejednakowych, rów nych L i F: Ł U 2 = F 1 9 rtl И ' 4 9nF м - (25a) (26a) u " 2 = 1 [X2] 9 ' M (24b) lin 1 [t^2] V 2 = L 9 ' [L ] (25b) lin u F 4 [? a] 9 ' [F ] (26b) B. W spółczynnik T], czyli praw dopodobny błąd przypadkow y na k ilo m etr, w yznacza się jako: gdzie: Ч* = г - С 4 2, (28) < *» oraz : f = śr. R, (30) współczynnik К 2 lub 3.4) (31) I tak jak poprzednio, ze w zględu na różny sposób wagow ania, będziem y m ieli: a) dla w ag jednakow ych (p = 1 )» = 9 s r [ i ] ' ( 2 9 a ) 4) К = cr0*: j > gdzie Co2 nachylenie stycznej w początkowym punkcie krzywej L wykresu wartości wia

22 Tadeusz Wyrzykowski oraz: b) dla w ag niejednakowych, rów nych R Я = ~. (30a) л nr oraz: * i ' T H (29b) (30b) C. W spółczynnik Ç, czyli wartość prawdopodobna przypadkow a graniczna (na kilom etr) błędu system atycznego, w yrażon y jest jako: q = U 3-7)2, (32) lub 4 = (33) D. Zestaw iając rów nanie (32) lub (33) z równaniem (28), można w yzn a czyć w artość i] i Ç z układu dwu równań z dw om a niewiadom ym i. O dpowiednio podstawiając i przekształcając, otrzym ujem y: u % - f - U 2 > (34) lub u l - f - V 2 nl = - - fi» (35) oraz: U 2- u l % = I Z #. (36) lub 5 R 4 = --------g-----. (37) 1-jf Z e w zględu na różny sposób w agow ania będziem y m ieli: a) dla w ag jednakow ych (p = 1 ) u '2 -p.u '2

Analiza dokładności niw elacji wzorami Vignala 23 lub W2 -i'2. y '2 4? - 6 - (35a) 1 - т Я oraz: lub U'= - u 1 t [ --JZfr-. <3 6 a > v'2- f ^ С? = --------- 1-------. (37aï b) dla w ag niejednakow ych lub oraz: U" ff. 2_ i "2.77 2 4? - Л., -----. (34b) 1-3 j," 2 _ ^ '2. y 2 7]"2 = R \ ------- -, (35b) 1 - T r* U " 2 u1'2 C"2 =,, R-, (36b) lub V " 2- - - u " 2 c = 1.м2 1 5 3 (37b) E. W racając do w spółczynnika т w zór (21) można go przedstawić w innej form ie, podstawiając na r\2 prawą stronę równania (35). M am y w tedy ( L _ j * ). y * _ i - u 2r x2 U 2 -------------^------------ (38) 1 _ У ^ D la w ag jednakow ych (p = 1) będzie

24 Tadeusz Wyrzykowski a dla w ag niejednakowych: /л -rr2\ rrf/ 2 ^ n2 (l-j )-V - - - u R tt 2 т т " 2 э V = u ; = -------------- g - (38b)! ------,-.2 F. O bliczając wartość uf w g w zoru (26), a w łaściw ie w artość u / w g w zoru (26a) oraz wartość uf" w g w zoru (26b), zaleca się w łączyć do o b liczeń rów nież i poligon obw odow y o długości F e i niezamlknięciu <peф2 P rz y przyjęciu rów nych w ag wielkości, m am y F У J ii a p rzy założeniu w ag w ielkości Ф F rów nych F, m am y 2 4 I [ f ]?e U* 9(nF+ l ) r F ' [F] + F e (39b) G. W a rto zauważyć, że podstawiając do w zorów (34) i (36) wartości U wyznaczone z w zoru ( 2 2 ), otrzym ujem y dla obu sposobów w agow ań i obu w artości К w wyniku tożsamości f l l + ą = x2 = U 2, (40) a podstawiając do w zorów (34) i (36) wartości U u wyznaczone w g w zoru (38), otrzym ujem y oraz = ^ = (41) f\\+ą = n\+{-ą. (42) W tym drugim przypadku zachodzi bowiem równość: (43) A b y w ięc nie liczyć dw ukrotnie tych samych wartości, p rzyjęto w tej analizie podstawiać do w zorów (34) i (36) wartość U w yznaczoną w g w zoru (22) spełniającą tym samym rów nanie (40). W artości r 2 i X,2 wyznaczone z w zorów (35) i (37), spełniają natomiast rów nanie П 1 + % = *1 = Щ - (44)

Analiza dokładności niw elacji wzorami Vignala 25 8. Charakterystyka dokładności polskiej sieci niwelacji precyzyjnej I klasy wzorami Vignala 8.1. Zestaw ienie obliczonych w artości w yjściow ych Poniżej zestawione zostały w artości w yjściow e, obliczone na podstawie m ateriału polskiej sieci n iw ela cji p re cy zy jn e j I M asy. Są one oznaczone symbolami, które w ystępują d alej w e wzorach Vignala, analizujących błędy sieci n iw elacyjnej. 8.1.1. Zachodnia część sieci (pom iar m etodą A ) nl 22, [L ] - - 2156,45 km, L m = 98,02 km, ^- = 23,3105, [X2] = 2081,737, j j j j = 24,2296, [ц2] = 2280,111, Щ = 1109,554, [ç2] = 1558,894, [R 2] = 3550,285, nr 1644, Rm = 1,312 km, 8.1.2. W schodnia część sieci (pom iar m etodą B ) nl = 30, [L ] 2667,82 km, L m = 88,93 km, = 50,9431, [X2] = 4619,981, И = 55,4453, [ л*] = 4917,609, И = 1158,320, [p2] = 1708,475, [R ] 4529,472, nr = 1924, Rm 1.387 km.

26 Tadeusz Wyrzykowski 8.1.3. Cała sieć nl 52, L m 92,77 km, [L ] = 4824,27 km, ^ J = 74,2536, [X2] = 6701,718, [ i ~ l = 79,6749, [[i2] = 7197,720, Ее2] = 3267,369, nr 3568, nf = 8, - 2267,874, [R 2] = 8079,757, R m 1,352 km, 21 5,6081, [<p2] = 3564,460, = 3,8725, <pe +58,34 mm, [F ] = 7080,29 km, F e 2566,57 km, F m 885,04 km. 8. 2. W y n ik i analizy dokładności sieci przy założeniu jednakow ych wag Jako pierwsza zostanie przedstawiona analiza sieci p rzy założeniu jed- ^2 2 ф2-2 nakow ych w ag poszczególnych wartości:, -7 -, i R. Określane Li Li г К wielkości będą w ięc zgodnie z p rzyjętą symboliką w zorów Vignala oznaczane znaczkiem p rim. 8.2.1. Wstępna, oddzielna analiza dwu części sieci Jak już wspomniano uprzednio, zachodnia część sieci została pom ierzona metodą przy użyciu 2 klin ów (metoda A ), a część wschodnia p rzy użyciu 4 klinów (metoda B). Wstępną w ięc część analizy wykonano oddzielnie dla tych dw u części sieci. D la zachodniej części sieci, m ierzonej metodą A, otrzym ano następujące wartości: ul' ±0,343 mm/km, (24a) v L' ±0,350 mm/km, ur = ±0,274 mm/km. (25a) (29a)

Analiza dokładności niw elacji wzorami Vignala 27 D la wschodniej części sieci, m ierzonej m etodą B, otrzym ano analogicznie: ul' = ± 0,434 mm/km, (24a) v L' ±0,453 mm/km, ur ±0,259 mm/km. (25a) (29a) 8.2.2. Analiza m ateriału całej sieci Dalsza analiza dotyczyła już całego m ateriału sieci. Otrzym ano, na te same co poprzednio w ielkości, następujące wartości: ul' ± 0,398 mm/km, v L' ±0,413 mm/km, u R' = ±0,266 mm/km. (24a) (25a) (29a) W oparciu o wartości niezamknięć 9 poligonów łącznie z poligonem obw odow ym (rys. 5) w yznaczono u / = ± 0,507 mm/km. (39a) W yrów n an ie sieci (patrz punkt 6.3) pozw oliło na określenie wartości uf, opartej na wartościach popraw ek (y) do przew yższeń lin ii Upr ±0,558 mm/km. (27) Pon iew aż przy wyznaczaniu pow yższych w artości zachowany został warunek L m, F m ^ Z, wolbec tego zgodnie z w zorem (20) i (22), p rzy jm u jąc m aksym alną wartość, m ożna napisać oraz zgodnie z rów naniem (23) U ' ±0,558 mm/km, (20a) V ' = ±0,413 mm/km. (23a) Dalsze w ielkości charakteryzujące błędy sieci n iw ela cyjn ej w yznacza się z w zorów, do których w chodzi pomocnicza w ielkość j, obliczana z kolei z w zoru (30), w którym w ystępuje współczynnik К = 2 lub К = 3. Chcąc określić w p ły w przyjęcia na w ielkość К liczb y 2 lub 3, w ykonano dalszy rachunek w dw u w ariantach raz przyjm u jąc К 2, a drugi raz К = 3. 8.2.2.1. W ielkości charakterystyczne sieci, określone przy przy jęciu w spółczynnika К = 2 P rzyjm u ją c К = 2 oraz określoną uprzednio rozdział 4 wartość Z = 60 km, m am y p = o,045070. (30a)

28 Tadeusz Wyrzykowski Prawdopodobny przypadkow y błąd na kilom etr, w yznaczony w opar^ ciu O' w ielkość U', w yniesie w tedy ri/ = ±0,243 mm/kim, (34a) a ta sama w ielkość wyznaczona w oparciu о V będzie rów na y]2' = ±0,258 mm/km. (35a) Z kolei na wartość prawdopodobną przypadkową graniczną (na kilom etr) błędu system atycznego, w oparciu o w ielkość U otrzym u jem y Ç/ ±0,502 mm/km, (36a) a w oparciu o w ielkość V ' ±0,301 mm/km. (37a) Ostatecznie zgodnie z w zorem (38a) określim y prawdopodobny całkow ity błąd graniczny na kilom etr, jako т/ = U i ±0,396 mm/km. (38a) 8.2.2.2. W ielkości charakterystyczne sieci, określone przy p rzy jęciu w spółczynnika К = 3 P rzy jm u ją c do obliczeń w spółczynnik К = 3, otrzym ano analogicznie jak w paragrafie 8.2.2.1. następujące wartości: P = 0,067605, t\i = ±0,230 mm/km, x\2' ±0,254 mm/kim, t,i = ±0,508 mm/km, t,2' ±0,305 mm/km, Ti = U i = ±0,397 mm/km. (30a) (34a) (35a) (36a) (37a) (38a) 8.3. W y n ik i analizy dokładności sieci przy założeniu niejednakow ych wag W poprzedniej części tego rozdziału (8.2.) analizowano dokładność p olskiej sieci niw elacji p recyzyjn ej I klasy, przy założeniu że w ystępujące 2 2 p2 w nich elem enty:, -7 -, i i? m ają jednakowe w agi. Druga L i L i Г l i analogiczna do poprzedniej część analizy w zoram i Vignala wykonana będzie p rzy założeniu, że w ym ienione uprzednio elem enty m ają w agi odpow iednio proporcjonalne do długości L, F i R. Poniew aż pom iędzy obu w yznaczeniam i odpow iednich w artości zacho

Analiza dokładności niw elacji wzorami Vignala 29 dzi analogia postępowania, ograniczym y się praw ie w yłącznie do podania w yn ik ów liczbowych. 8.3.1. Wstępna, oddzielna analiza dwu części sieci Dla zachodniej części sieci, m ierzonej m etodą A, w oparciu o w zory (24b), (25b) i (29b), otrzym ano: ul" = ±0,328 mm/km, v L" = ±0,343 mm/km, ur" ±0,283 mm/km. (24b) (25b) (29b) D la wschodniej części sieci, m ierzon ej m etodą B, otrzym an o odpow iedn io-. ul" = ±0,439 mm/km, (24b) v L" = ±0,452 mm/km, (25b) hr " = ±0,267 mm/km. (29b) 8.3.2. A naliza m ateriału całej sieci W yznaczenie tych samych co uprzednio w ielkości, na podstaw ie m a teriału całej sieci, dało następujące wartości: ul" = ±0,393 mm/km, v L" = ±0,407 mm/km, ur" ±0,274 mm/km. (24b) (25b) (29b) Z niezam knięć 9 poligonów łącznie z poligonem obw odow ym wyznaczono u? " = ±0,514 mm/km. (39lb) W spólną granicą w artości ul", u F" i uft (w artość uf_t = 0,558 mm/km jest dla obu analiz wspólna) i w tym przypadku będzie x " U " = ±0,558 mm/km, (20b) oraz zgodnie z rów naniem (23) V " ± 0,407 mm/kim. (23lb) 8.3.2.1. W ielkości charakterystyczne sieci, określone p rzy p rzy jęciu w spółczynnika К = 2 Analogicznie jak uprzednio w punkcie 8.2.2.1, przyjm u jąc К = 2 oraz określoną w rozdziale 4 wartość Z ~ 60 km, m am y w oparciu o w zór (30b) j"2 = 0,055827. (3'0b)

30 Tadeusz Wyrzykowski Praw dopodobny przypadkow y błąd na kilom etr, w yznaczony w oparciu o wartość U ", wynosi r)i" ±0,248 mm/km, (34b) a w yznaczony w oparciu o wartość V " r]2" = ±0,266 mm/km. (35b) Na w artość prawdopodobną przypadkową graniczną (na kilom etr) błędu system atycznego, w oparciu o w ielkość U ", otrzym u jem y W ' = ±0,500 mm/km, (36b) a w oparciu o wielkość V " 'Ç2" = ±0,284 mm/km. (37b) Zgodnie z w zorem (38b), określim y prawdopodobny całkow ity błąd graniczny na kilom etr, jako г/' = U i ' ±0,389 mm/km. (38b) 8.3.2.2. W ielkości charakterystyczne sieci, określone przy p rzy jęciu w spółczynnika К 3 P rzyjm u ją c do obliczeń współczynnik К = 3, otrzym u jem y tak jak w punkcie 8.3.2.1. przy współczynniku К = 2 następujące, analogiczne do poprzednich w ielkości: j " 2 = 0,083741, r\i" = ±0,232 mm/km, r\2" ±0,261 mm/km, 'Ci" = ±0,508 mm/km, (30!b) (34b) (35b) (36b) ^2" ±0,290 mm/km, (37b) Tj" U i ' = ±0,390 mm/km. (38b) 9. Omówienie wyników analizy dokładności polskiej sieci niwelacji precyzyjnej I klasy wzorami Vignala 9.1. O m ów ienie w yników analizy dotyczącej całej sieci Przystępu jąc do om awiania w yn ików analizy trzeba na wstępie p ow iedzieć, że na ostateczną ocenę błędów pom iaru n iw ela cji i błędów sieci niw ela cyjn ej m ały w p ły w m iały 2 różne sposoby w agow ania (rozdz. 8.2.

Analiza dokładności niw elacji wzorami Vignala 31 i 8.3.) i przyjęte 2 różne w spółczynniki К (К 2 i К = 3). U tw orzone w ten sposób 4 w arianty obliczeń dały bardzo zbliżone do siebie obrazy rozkładu błędów. M ożna w ięc w yn ik i analizy uogólnić, om aw iając tylk o jeden, dow oln y wariant. P rzy omawianiu pow oływ ać się będziem y na dane odnoszące się do analizy przy założeniu rów nych w ag i współczynnika К = 2 (rozdz. 8.2.2. i 8.2.2.1.). W yn ik i analizy przedstaw iają się ogólnie jako logiczn y układ w yzn a czonych wartości. N ajm niejszą w artość wśród, błędów o charakterze błędów całkow itych jak tego należało się spodziewać otrzym ano na w ielkość ur' (±0,266 mm/km). W ielkość ta bowiem, w yznaczona na podstaw ie stop 2 sunków ^r-, p rzy przeciętnej długości odcinka R m 1,35 km, charaktery- R żuje w zasadzie praw ie w yłączn ie prawdopodobny błąd przypadkow y. W ielkości ul' i v L' m ają już większe i podobne do siebie wartości (±0,398 i ±0,413 mm/km), gdyż podobne są w artości l i (x w yznaczone dla poszczególnych analizowanych linii, o przeciętnej długości L m = 93 km. W ielkości te zaw ierają już oczyw iście, prócz błędów przypadkowych, w p ływ błędów systematycznych. One też chyba dobrze charakteryzują błąd, k tóry m ożna by nazwać prawdopodobnym całkow itym błędem pomiaru n iw ela cji linii. Z kolei w ielkości u / i uf^ m ają też podobne do siebie wartości (±0,507 i ±0,558 mm/km), jeszcze w iększe od poprzednich. Podobieństw o ich wartości w yn ika z analogicznych w arunków geom etrycznych (zam knięcia poligonów ), z których bezpośrednio lub pośrednio zostały w yzn a czone. W zrost ich wartości, w stosunku do w artości ul' i vl', w yn ika z czterech przyczyn: a) z dodatkow ego źródła błędu zw iązanego z niejednoczesnością p o miaru lin ii poligonu, a w ięc z ruchami końcow ych punktów lin ii (w spółczesne pionow e ruchy skorupy ziem skiej i ruchy pow ierzchniow e), b) z niedoskonałości w prow adzonych popraw ek ze w zględu na p rzy ję ty system wysokości, c) z błędów kom paracji m etra łat, d) ze w zrostu w p ływ u błędów system atycznych w raz ze w zrostem długości linii, na co- wskazuje m im o p rzyjęcia um ownej granicy Z 60 km pow oln y w zrost w artości u L i v L w raz ze w zrostem L m (rys. 1, 2 i 3). P rzejd zie m y teraz do tzw. praw dopodobnego całkow itego błędu granicznego na kilom etr, oznaczonego przez т. M ożna go było w yznaczyć dw u krotnie, otrzym ując d w ie w yra źn ie różne wartości: a) jako graniczna wartość т' = U ' = lim ul', u /, uf^ dla L m, F m ^ Z, otrzym ując: x' = U ' ±0,558 mm/km,

32 Tadeusz Wyrzykowski b) jako funkcja т/ = U x' = j (V ', ur', /), otrzym ując: т/ = U / = = ±0,396 mm/km. Znaczne różnice m iędzy tym i w artościam i w yn ikają z tego, iż w pierw szym przypadku otrzym ujem y całkow ity błąd obejm ujący źródła błędu w ym ienione uprzednio w punktach a), b), c) i d), a w dru gim przypadku bez. tych źródeł błędów. W związku z pow yższym proponuje się p rzyjęcie dw u odrębnych określeń dla obu tych wielkości, a m ianowicie: a) dla T = U = lim ul, u F, u F, p rzy L m, F m ^ Z, przyjęcie określenia prawdopodobny całkow ity błąd graniczny, na kilom etr, sieci niwelacyjnej, b) dla Tx = U i = f (V, ur, j), przy L m ^ Z, p rzyjęcie określenia p ra w dopodobny całkow ity błąd graniczny, na kilom etr, linii niw elacyjnej. N ależy zw rócić uwagę na dużą zbieżność wartości т/ = ± 0,396 mm/km z wartościam i ul' i v L' (±0,398 i ±:0,413 mm/km), co w skazyw ałoby d o datkow o na słuszność przyjęcia proponowanego określenia dla w ielkości x {. D w ie w ielkości t x i t j w iążą sobą w ielkości błędów przypadkow ych (ri) i system atycznych (Ç) poprzez równania: *2 = *i? +q, (40) Ti = 7]i+ ^ 2 - (44) Tak jak w poprzednim przypadku dla r, proponuje się dw u różnym wielkościom błędów przypadkow ych (r)1( ti2) i systematycznych ('Çb Ç2) dać dw a odrębne określenia, a m ianowicie: г)! prawdopodobny błąd przypadkow y (na kilom etr) sieci niwelacyjnej, y]2 prawdopoddbny błąd przypadkow y (na kilom etr) linii niwelacyjnej, wartość prawdopodobna graniczna (na kilom etr) błędu system atycznego sieci niwelacyjnej, Ç2 wartość prawdopodobna graniczna (na kilom etr) błędu system atycznego linii niwelacyjnej. Na prawdopodobny błąd przypadkow y sieci otrzym ano r\i = ±0,243 mm/km, a na analogiczny błąd linii, r]2' ± 0,258 mm/km, a w ięc wartości bardzo sobie bliskie i bliskie wartości ur = ± 0,266 mm/ /km, co przem aw ia za przypadkow ym charakterem tego błędu. Inaczej przedstawia się sprawa z prawdopodobną graniczną wartością ( na kilom etr) błędu systematycznego, która jest bardziej zróżnicowana: dla sieci Qi = ±0,502 mm/km, dla lin ii ±0,301 mm/km. W i dzim y, że w artości "Qi i Ç2 są w yraźn ie duże, a nawet większe od w yznaczonych błędów przypadkowych. W ym aga to pew nego om ówienia. Otóż:

Analiza dokładności niw elacji wzorami Vignola 33 a) Ç jest współczynnikiem charakterystycznym błędów system atycznych i zgodnie z założeniam i V ignala jest współczynnikiem p rzy pierw iastku z długości linii, a nie p rzy samej je j długości (jak to ma m ie j sce w teorii Lallem anda), stąd jego większa wartość, b) zakłada się tu, że błąd całk ow ity n iw elacji składa się jed yn ie z b łędów przypadkow ych i system atycznych, a w ięc to co n ie mieści się w w y znaczonym błędzie przypadkow ym jest błędem system atycznym. Stąd w w yznaczonym błędzie system atycznym dla sieci jest w p ływ wspom nianych ju ż ruchów końcow ych punktów linii, niedoskonałości popraw ek graw im etrycznych, błędu m etra i podziału łaty oraz błędów w y n i kających z niewprowadzania popraw ek ze w zględu na dobow e zm iany kierunku lin ii pionu [3]. W błędzie system atycznym w yznaczonym dla lin ii tk w i część tych błędów. 9.2. O m ów ienie w yników oddzielnej analizy dwu części sieci, m ierzonych różn ym i m etodam i Zestawienie danych dotyczących zachodniej i wschodniej części sieci, m ierzonych różnym i m etodam i p rzy w ykorzystaniu 2 i 4 klin ów w skazywało, że obie te części m ają nieco inne składowe elem enty. Przypom n ijm y: Zachodnia część sieci (Pom iar na 2 klin y; m etoda A ) [L ] = 2156 km, nl - 2 2, L m 98,02 km, R m = 1,312 km, Wschodnia część sieci (Pom iar na 4 klin y; metoda B) [L ] = 2668 km, nl 30, L m = 88,93 km. R m 1,387 km, Różnice w ystępują jednak szczególnie w obliczonych wartościach ur, ul i vl. M am y bowiem : Zachodnia część sieci ur = ± 0,274 mm/km, ul' = ±0,343 mm/km, vl' = ±0,350 mm/km, ur" = ±0,283 mm/km, ul" = ±0,328 mm/km, v L" = ±0,343 mm/km, Wschodnia część sieci ur' = ±0,259 mm/km, ul' = ±0,434 mm/km, v L' ±0,453 mm/km, ur" ±0,267 mm/k/m, ul" ±0,439 mm/km, v L" ±0,452 mm/km. W idzim y, że zachodnia część sieci, m ierzona m etodą na 2 klin y, przy nieco w iększym błędzie w yznaczonym z odcinków (u R) co sugeruje nieco w iększy błąd przypadkow y m iała zdecydow anie m n iejszy błąd w yzn a czony z linii, m im o że średnia długość lin ii była tu większa. Sugerow ałoby s Prace Instytutu Geodezji

34 Tadeusz Wyrzykowski to z kolei w ystępow anie znacznie m niejszego błędu systematycznego, niż w e wschodniej części sieci, m ierzonej metodą przy użyciu 4 klinów. Dla ewentualnego potw ierdzenia tej sugestii, w oparciu o pierw szy sposób w a- gowania i jedną wartość К (К = 2) pom ijając elem enty obliczane na podstawie m ateriału całej sieci dla obu części oddzielnie wyznaczono błędy przypadkowe, system atyczne i błąd całkowity. W z o ry (35a), (37a) i (38a). Otrzym ano: Zachodnia część sieci y\2 ±0,271 mm/km, = ±0,185 mm/km, т/ = U i ±0,328 mm/km, Wschodnia część sieci x)2' = ±0,246 mm/km, ±0,364 mm/km, г/ = U i = ±0,440 mm/km. Potw ierdzon e w ięc zostało w yraźn ie przypuszczenie o znacznie m n iejszym błędzie system atycznym linii niw elacyjnej (Ç2) w zachodniej części sieci. Błąd całkow ity lin ii (tj) rów nież w ypadł dla tej części sieci m niejszy. W yn ik i te wskazują zdecydowanie na przew agę m etody pomiaru p rzy użyciu 2 klinów. 10. Charakterystyka dokładności sieci w oparciu o inne wzory Celem ułatwienia dokonania oceny dokładności analizowanego m ateriału sieci n iw elacji precyzyjn ej I klasy oraz ułatwienia oceny przydatności samych w zorów Yignala, podam y tu wartości błędów tej sieci ocenione innym i wzoram i, w tym i w zoram i Lallem anda. 5) W szystkie one w odróżnieniu od w zorów Vignala będą tu podane w kategorii błędów średnich. Celem porównania tych błędów z błędam i prawdopodobnym i, odpow iednie w artości podane zostały w nawiasach. Dokładność pom iaru sieci charakteryzują następujące błędy średnie 1 km linii, wyznaczone z różnic m iędzy pom iarem ta m i,,z pow rotem. Z różnic na poszczególnych odcinkach gdzie nr = 3568, z różnic na liniach 6) 5) W odróżnieniu od analogicznych wartości podanych w rozdz. 2, dotyczących całego materiału sieci, tu podane zostają wartości błędów wyznaczone tylko z materiału wykorzystanego przy analizie wzorami Vignala. Różnica między całym materiałem sieci, a materiałem wykorzystanym omówiona została w rozdz. 3. 6) W tym przypadku dzięki stosowaniu zasady wyznaczania jednej linii w yrównującej dla każdej linii niwelacyjnej, o przeciętnej długości Lm = 93 km, we wzorach (46), (49) i (50) można było przyjąć L' = L.

Analiza dokładności niw elacji wzorami Vignala 35 gdzie nl = 52, m 2 = ± y y [ j ] = ±0,6 19(±0,4 13 ) m m, (46) z niezam knięć poligonów m 3 = ± l / [ y - ] ~ = ±0,7 6 0 (±0,5 0 7 ) m m, (47) gdzie nf = 9 (łącznie z poligonem obw odow ym ). N a leży tu zaznaczyć, że w ielkości błędów m b m 2 i m 3, w k ategorii b łędów średnich, odpow iadają ściśle wielkościom ur', v L' i uf\ w kategorii błędów prawdopodobnych. Średni błąd, obliczony z popraw ek po w yrów naniu, w yn iósł m 0 = ± i / = ±0,8 37(±0,5 58) mm/km, (48) odpow iadając w kategorii błędów prawdopodobnych w ielkości ufy, w g oznaczeń Vignala. Przechodząc do w zorów Lallem anda, m am y następujące błędy średnie (w nawiasie wartości błędów prawdopodobnych): błąd przypadkow y [ ] = ±0,4 03(±0,2 72) mm/km, (49) błąd system atyczny, obliczony dw om a drogam i oraz o, = ± \ j / ^ j [ * ] = ± 0,064(±0,043) mm/km, (50) o, = ± / ^ { ^ - ïî4 L ] } = ± 0,075(±0,051) m m/km. (51) Rozpatrując -oddzielnie zachodnią i wschodnią część sieci, otrzym ano: Zachopdnia część sieci W schodnia część sieci г) +0,420 (±0,28 3) mm/km, ц = ±0,389 (±0,26 2) mm/km, = ±0,053 (±0,0 3 6 ) mm/km, a = ±0,072 (±0,04 9) mm/km. Jak w id zim y, w artość błędu przypadkow ego otrzym ana z w zoru L a lle manda jest bardzo zbliżona do analogicznej w ielkości w yznaczonej ze w zorów Vignala. Natom iast w artości błędu system atycznego z uwagi na różnice w założeniach - są w yraźn ie rozbieżne. N a uwagę zasługuje uzyskanie dwukrotnie m niejszej w artości błędu system atycznego o obliczonego dla m ateriału sieci analizow anego w zo

36 Tadeusz Wyrzykowski ram i Vignala, p rzy L m' 93 km w zór (50) niż wartości tego samego błędu obliczonego dla m ateriału całej sieci w zór (8 ), przy L m' = 29 km. W idać tu w yraźną zależność m iędzy wyznaczaną w artością b łędu, a przeciętną długością lin ii w yrów nu jącej. Układ w ielkości odpowiednich błędów, wyznaczonych oddzielnie dla zachodniej i wschodniej części sieci, potw ierdza to samo zjawisko, które uprzednio zostało stw ierdzone w oparciu o w zoxy Vignala, a m ianowicie znacznie w iększy błąd system atyczny w e wschodniej części sieci. 11. Porównanie wyników analizy dokładności wzorami Vignala sieci polskiej i czechosłowackiej A naliza dokładności wzoram i Vignala, wykonana przez dr B. Kruisa [ 1], dotyczyła zachodniej części podstawow ej sieci niw elacji precyzyjn ej CSRS, pom ierzonej w latach 1939 1950. M etoda pomiaru była podobna do stosowanej w zachodniej części polskiej sieci (Stosowano od czyty łaty: w stecz wstecz w przód w przód). Celem scharakteryzowania tej sieci, podam y kilka danych ogólnych: [L] = 3384 km, nl = 54, L m = 62,66 km, nf 16, F m = 323 km, nr 6860, R m = 0,493 km. Z danych tych wynika, że sieć czechosłowacka jest dużo gęstsza niż polska, m ając znacznie krótsze linie, m niejsze poligony i znacznie krótsze przeciętne długości odcinków m iędzy reperam i. Analizując zmienność wartości ul, v L i u F^, w zależności od zmienności L m i F m, z dwu pierw szych w ielkości wyznaczono w yraźną granicę Z = = 50 km. Do obliczeń w zoram i V ignala p rzyjęto w spółczynnik К = 2. P rzytoczym y wartości błędów prawdopodobnych, otrzym ane w zoram i Vignala p rzy przyjęciu założenia rów nych w ag (wartości otrzym ane p rzy założeniu w ag niejednakow ych b y ły bardzo podobne): ur' ± 0,290 mm/km, (29а) ul' +0,265 mm/km, (24а) vl' = ±0,286 mm/km, u / = ±0,556 mm/km, u ±0,558 mm/km, F y * 1 (25а) (26а) (27) X ' = U ' = ±0,558 mm/km, ( 2 0 а)

Analiza dokładności niw elacji wzorami Vignala 37 rii' = ± 0,283 mm/km, Ç/ = ± 0,483 mim/km, V = U i = ±0,255 mm/km, y\2 = ± 0,290 mm/km, Cj = ±0,138- ÿ 1 mm/km. (34a) (36a) (38a) (35a) (37a) W zoram i Lallem anda otrzym ano następujące błędy średnie (w naw iasie w artości błędów prawdopodobnych): г} --- ±0,430 (±0,290) mm/km, o ^ ±0,053 (±0,036) mm/km, (49) (50) a p - ±0,064 (±0,04 3) mm/km. (51) O trzym ane.z analizy w zoram i Vignala błędy sieci n iw ela cji p re cyzy j nej CSRS można spróbować scharakteryzować i porównać z analogicznym i w ielkościam i sieci polskiej w sposób następujący. W sieci n iw elacyjn ej CSRS otrzym ano w iększy niż w sieci polskiej błąd w yznaczony z odcinków {ur'), a co ciekawsze w ypadł on w iększy niż błędy w yznaczone dla całych lin ii (ul', v L'), co w skazyw ałoby na brak b łędów system atycznych linii. W skazuje też na to m ała n ierzeczyw ista w a r tość błędu system atycznego lin ii (t,2') N a nierealność oceny błędu system atycznego lin ii w skazuje tu w a r tość błędu całkow itego m niejsza od sw ej składow ej, tj. od błędu p rzy padkow ego r]2'. Potw ierdza ją też duża rozbieżność m iędzy w artościam i Ci' i 'Ç2'. Ż e jednak w sieci CSRS w stosunku do Sieci polskiej m n iejszy jest błąd system atyczny, a nieco w iększy błąd przypadkow y, w skazują też na to i błędy w yznaczone w zoram i Lallem anda. B łędy przypadkow e w yd ają się w sieci C SRS tak jak i w sieci polskiej dobrze w yznaczone (zgodność m ięd zy wartościam i r\i, r\2 i u R'). A nalogicznie jak w sieci polskeij, w ytsą p iły tu duże rozbieżności m ięd zy odpow iednim i wartościam i błędów т i Ç obliczonym i z różnych elem entów składowych sieci z lin ii (т/, t,'2) i z zam kniętych poligonów (t, Ç/). B łędy obliczone z poligonów sieci b y ły dużo większe, na co w p ły w m iały zapewne te same czynniki, które w ym ieniono p rzy om awianiu w yn ik ów analizy sieci polskiej (rozdz. 9.1.). N a leży stw ierdzić dużą zgodność w artości błędów obu sieci, w yzn aczonych w zoram i opierającym i się o w iększe elem enty sieci, tj. o poligony (uf, uf, x U, r)!, 'Qi), oraz rozbieżność w artości błędów obu sieci, w y znaczonych w zoram i opierającym i się o -mniejsze ich elem enty, tj. o p o jedyncze linie (ul, v L, V, tj = U i, t]2, Ç2)> z tym jednak iż bliższe sobie są w artości błędów uzyskane z sieci C SRS i z zachodniej części sieci polskiej,

38 Tadeusz Wyrzykowski 00 w ynika prawdopodobnie z podobnych m etod pomiaru (pomiar na 2 klin y). 12. Podsumowanie wyników analizy. Wnioski Podsum owując w yn iki analizy dokładności w zoram i Vignala, polskiej sieci niw elacji p recyzyjn ej I klasy m ierzonej w latach 1952 1955, należy stwierdzić, że dały one logiczny obraz rozkładu błędów tej sieci. K o lejn e wartości błędów prawdopodobnych odpowiadające coraz to w iększym elem entom sieci (odcinki, linie, poligony) rosły, co odpowiada w ystęp o waniu w zrastającej ilości czynników, powodujących głów nie błędy systematyczne. T ym należy też tłum aczyć trudność w ustaleniu granicznej wartości Z, a wobec tego pewną sprzeczność z ogólnym i założeniam i teorii w zorów Vignala. Sprzeczność ta nie w yd aje się jednak zbyt groźna dla w yn ików tej analizy (m ały w p ływ wartości Z oraz w sieci polskiej Lm. ^ Z). W artości błędów przypadkowych otrzym ane w zoram i Vignala podobne są do wartości analogicznych błędów tej sieci określonych na podstawie w zorów Lallem anda. W przypadku błędów system atycznych należy w ziąć pod uwagę mnożnik ]/ L m. W yd zielen ie w analizie m ateriału zachodniej i wschodniej części sieci m ierzonych różnym i metodami pozw oliło na stw ierdzenie przew agi m etody pomiaru przy użyciu 2 klinów (część zachodnia sieci). Przew aga przypisyw ana sam ej m etodzie pomiaru może m ogłaby być jeszcze w y tłu maczona i innym i czynnikam i w wyniku dodatkowej, szczegółowej analizy m ateriału pomiarowego;. Zaletą w zorów V ignala jest m ożliwość w yodrębnienia dw u charakterystyk dokładności (błąd całkowity, przypadkow y i system atyczny); raz na podstawie danych dotyczących odcinków i oddzielnych linii, dru gi raz na podstawie danych dotyczących odcinków i zamkniętych poligonów. Za dodatkową zaletę w zorów Vignala może być uważane w prow adzenie do analizy błędów elem entów uzyskanych z w yrów nania sieci. Zw ykle, średni błąd obliczony na ich podstawie (m 0 w zór 48) nie jest w yk orzystyw any dalej dla oceny błędów przypadkow ych i systematycznych. Jak można stw ierdzić na podstawie w yn ik ów analizy sieci polskiej 1 czechosłowackiej, d w ie oddzielne analizy, oparte o w zo ry przy założeniach: X2 а2 Ф2 o2 a) rów nych w ag w yjściow ych elem entów:, y -, i R, oraz Lj Lj г R b) ich w ag proporcjonalnych do długości L, F i R, prowadzą do praw ie tych samych w yn ików liczbowych.

Analiza dokładności niwelacji wzorami Vignala 39 Założenie w ym ienione w punkcie a) daje teoretycznie nieco lepsze w y niki, co stw ierdza sam autor w zorów, a p rzy tym w zo ry z nich w yn ik a jące są pokrew ne w zorom wcześniej już stosowanym. Założenie w ym ienione w punkcie b) d aje podstawę w zorom prostszym w rachunku. W tym przypadku niesłuszne w yd a je się w agow an ie w ie l kości R dla w yznaczenia R m>w zór (30b). Elem ent ten, poprzez w ielkość j", ma jednak znikom y w p ły w na w yn ik analizy błędów. R ów nie znikome różnice w ostatecznych w ynikach analizy daje stosowanie dwu różnych w spółczynników К = 2 i К = 3 dla określenia w ielkości j ' i j". Ostatecznie w ięc, analizę dokładności sieci n iw ela cji p recyzyjn ej w zoram i V ignala m ożna w zasadzie opierać o w zo ry oparte tylk o na założeniu rów nych w ag w yjściow ych elem entów, przyjm u jąc jedną wartość współczynnika K. W zo ry V ignala w sposób cenny w zbogacają stosowany dotychczas r e pertuar w zorów dla oceny dokładności, w odniesieniu do dużych sieci niw ela cji precyzyjn ej. P o w in n y w ięc być szerzej stosowane by m ogły stać się powszechnym m iernikiem, służącym ujednoliceniu ocen dokładności n iw elacji precyzyjn ej. L IT E R A T U R A I IN N E ŹR Ó D ŁA 111 Kruis B.: Posouzeni presnosti nivelacnich zâkladû CSR, Zemëmërickÿ sbornik, Praha 1953. [2] Wyrzykowski T.: Porównanie poziomów dwu dawnych sieci niwelacji precyzyjnej na oibszarze Polski z poziomem obecnej sieci. Prace Inst. Geod. i Kart., t. IX, zeszyt 1 (19), Warszawa 1962. [3] Wyrzykowski T.: Poprawka niwelacyjna ze względu na dobowe zmiany kierunku linii pionu spowodowane przez Księżyc i Słońce. Prace Inst. Geod. i Kart., t. XV, zeszyt 3 (36), Warszawa 1968. [4] Bulletin Géodésique, N 13, Paris 1950. [5] Operaty obliczeniowe sieci niwelacji precyzyjnej I klasy. Państwowe Przedsiębiorstwo Geodezyjne, rękopisy i maszynopisy, Warszawa 1955. [6] Rapport sur les travaux géodésiques exécutés de 1945 à 1957. Sprawozdanie na X I Ogólne Zgromadzenie M U G G w Toronto, Warszawa 1957. [71 Rapport sur les travaux géodésiques exécutés en Pologne de 1957 à 1960. Sprawozdanie na X II Ogólne Zgromadzenie M U G G w Helsinkach, Warszawa 1960. [8] Tymczasowa instrukcja niwelacji precyzyjnej I i II klasy. Centr. Urząd Geod. i Kart., Warszawa 1956. Recenzował: dr inż. Jerzy Bokun Rękopis złożono w Redakcji w maju 1969 r.

ТАДЭУШ вы ж иковски А Н А Л И З ТО Ч Н О С ТИ П О Л Ь С К О Й П Р Е Ц И З И О Н Н О Й С ЕТИ Н И В Е Л И Р О В А Н И Я I К Л А С С А ПО Ф О Р М У Л А М В И Н Ь Я Л Я Резюме Анализ точности польской сети прецизионного нивелирования I класса по формулам Виньяля [4] проведен с целью практической проверки применения этих формул к анализу точности больших нивелирных сетей, а также сходимости их оценки с оценкой точности проводимой другими обще употребляемыми формулами. Сеть прецизионного нивелирования I клаоса измеренная в 1952 1955 гг. образует 8 больших полигонов, 4 малые полигоны при вековых пунктах, а также 17 коротких приграничных линии [2], [6], [7]. Общая длина линий сети 5,5 тыс. км. Сеть вычислена в системе нормальных высот М. С. Молоденского. Характеристика этой сети, принятые при е измерении критерии, а также полученные средние квадратические ошибки представлены во 2 главе. Перед приступлением к анализу точности сети проведено два вступительных анализа. А именно:,1. Проведено анализ изменяемости значений вспомогательных в формулах Виньяля величин ul и v l, в зависимости от длины нивелирных линий (L), с целью определения длины Z выше которой систематические ошибки имеют характер случайных ошибок (глава 4). Результаты показано на рисунках 1 и 2 при разделении всего нивелирного материала на 2 части измеряемые двумя различными методами: метод А измерение на двух клиньях (западная часть сети), метод В измерение на 4 клиньях (восточная часть сети). Рисунок 3 относится к всему нивелирному материалу. Принято Z = 60 км как характерную для графика, при дальнейшем постоянном но небольшом стремлении к росту величин ul и vl. 2. Сравнивая со строгим анализическим методом, проведено анализ ошибок 3 различных методов определения уравнивающих линий определяющих величину ц (глава 5). В графическом методе, проведенном здесь на 4 линиях и независимых определениях 3 лиц (табл. 2), средняя квадратическая ошибка определяемых величин ц была равна ±3,6 мм для 100 км нивелирной линии. Это соответствует приблизительно 35% систематической ошибки нивелирования. Ошибки двух графоаналитических методов (К. Кучеры и Т. Выжиковского) были значительно меньше: ±0,5 мм и ±0,7 мм на 100 км нивелирной линии. Они соответствуют около 5% полученной систематической ошибки нивелирования. Глава 6 посвящена определении исходных величин для анализа по формулам Виньяля, для главных линий оети, без приграничных линий и малых полигонов

Analiza dokładności niw elacji wzoram i Vignala 41 при вековых пунктах. На рисунке 4 показано схему анализированных линий сети, общей длины 4824 км, а также разделение на 52 короткие линии (Lm = 93 км) для которых определено уравнивающие линии строгим методом. На рисунке 5 показаны результаты уравнивания сети.,величины входящие в формулы Виньяля, их обозначения и определения, а также взаимные их отношения представлены в главе 7. Величины входящие в формулы Виньяля, их обозначения и определения, исходных величин; часть 8.2 результаты анализа точности при одинаковых X2 11* tû* Q2 весах соответствующих величин:,, -*=, -5- и R для коэффициента К = 2 Li Li Г К и К 3: часть 8.3 результаты такогоже анализа с весами прямо пропорциональными длинам L, F я R. Глава 9 посвящена обсуждению результатов анализа. На результаты анализа ничтожное влияние оказывали различные способы применения весов и различные коэффициенты К (и так здесь будет оговорена только часть 8.2.2. и 8.2.2.1.). Результаты анализа представляют собой логическое соотношение определяемых величин. Наименьшую величину, среди ошибок о свойстве общей ошибки, получено для «д (±0,266 мм/км), т.к. характеризует она в основном только вероятную случайную ошибку. Величины u'l и v'l имеют большие, но сходные с собой значения (±0,398 и ±0,413 мм/км) и содержат, кроме случайных ошибок, влияние систематических ошибок нивелирных линий. В овою очередь величины u'f и U'F^ имеют еще большие и тоже сходные с собой значения (±0,507 и ±0,558 мм/км). Рост величины этих ошибок в сравнении с прежними наступает из-за новых источников ошибок (влияние движения поверхности земной коры, ошибки компарирования реек и ошибки определения поправок в данной системе высот). Вероятную предельную общую ошибку на 1 километр (т) определено дважды: а) как предельная её величина %' = V lim u'l< u'f> u'f для Lm, Fm^ Z получая х' = U' ±0,558 мм/км, в) как функция х[ и[ = f(v, ur, j ) подучая Tj = u [ ±0,396 мм/км. Большие расхождения между величинами х' и х[ имеют место из-за того, что величина х = U' содержит тоже источники ошибок, которых нет в величине г I г I i i = U j и о которых была речь при величинах uf и ufy. В связи с выше изложеным предлагается принять для x = U название вероятная общая предельная ошибка на километр нивелирной сети, а для Tj = U1 такое-же название по отношений к нивелирной линии. -Связь значений х и ^ и величин случайных (ri) и систематических' (Ç) ошибок представляют уравнения: t* =» + {?, (40) Как раньше, предлагается величины и называть ка«относящееся к нивелирной сети, а величины т)2 и Ç2 к нивелирной линии. Получено: 11',= ±0,243 мм/км, 1^ = ±0,258 мм/км, те. величины очень близкие т

42 Tadeusz Wyrzykowski к себе и к значению ur = ±0,266 мм/км, что говорит о случайном характере этой ошибки. Систематические ошибки очень разные. Для сети Çj = ±0,502 мм/км, для линии Ç2 = ±0,301 мм/км. Большое значение получилось потому, что- согласно принципу формул Виньяля t является коэффициентом при квадратном корне с длины линии, а не при самой длине, как это имеет место в формулах Лаллемана. Анализируя отдельно материалы двух частей сети (пункт 9.2) измеряемых методом А (на 2 клинья) и методом В (на 4 клинья), получено: измерения методом А f][ = ±0,271 мм/км, измерения методом В f}2 ±0,246 мм/км, 4 = ±0,185 мм/км, 4 = ±0,364 мм/км, = и[ ~ ±0,328 мм/км, т' _ и' = ±о,440 мм/км. Этим подтверждается мнение о меньших систематических ошибках в методе измерения на 2 клинья; для этого метода общая ошибка тоже получалась меньше. В главе 10, к анализированному по формулам Виньяля материалу сети, помещено для сравнения сводку средних ошибок (в скобках значения вероятных ошибок) определенных формулами Лаллемана и другими. Необходимо обратить внимание на в двое раз меньшую систематическую ошибку «, вычисленную для данных анализированных по формулам Виньяля (50) при L'm = 93 км, чем такая ошибка вычисленная для всего материала сети (8) при L m = 29 км. Здесь заметная зависимость между определенным значением этой ошибки а средней длиной уровнивающей линии (Lm). Глава 11 содержит сравнение результатов анализа точности по формулам Виньяля польской и чехословацкой сетей [1]. Аналогично как в польской, в чехословацкой сети выступили значительные расхождения между соответствующими значениями ошибок т и Ç вычисленными из различных составных элементов сети из линии (т, {Q и из замкнутых полигонов (т' Ошибки вычисленные из полигонов были значительно больше. Необходимо заметить большое согласие значений ошибок двух сетей определенных формулами опирающимися на больших элементах сети, т.е. на полигонах (uf, Uf у i t = U, -ri!, Çj), a также различие ошибок двух сетей определенных на основании меньших элементов, т.е. одиночных линии {ul, vl, V, x1= U1, t i2,ç2). Формулы Виньяля ценным образом обогащают применяемый до сих пор состав формул для оценки точности, применительно' к большим сетям прецизионного нивелирования. Они должны быть применяемые шире, чтобы стать общим измерителем однородной оценки точности прецизионного нивелирования.

TADEUSZ W Y R Z Y K O W S K I A N A L Y S IS OF A C C U R A C Y OF P O L IS H N E T W O R K O F F IR S T -C L A S S P R E C IS IO N L E V E L L IN G M A D E B Y M E A N S OF V I G N A L S F O R M U L A E Summary The purpose of analyzing the accuracy of the Polish network of first-class precision levelling by the use of Vignal s [4] formulae was to determine practically, how far these formulae can be applied to analyses of the accuracy of large levelling networks and how far the results obtained agree with results from other commonly used formulae. The first-class precision levelling network surveyed in the period from 1952 to 1955 consisted of eight large polygons, four small polygons, and seventeen short boundary-directed lines [2], [6], [7]. The total lenght of this network was 5500 km, and it was calculated for M. S. Molodenski s system of normal altitudes. Chapter 2 reports the characteristic of this network, the criteria assumed for its survey, and the mean errors determined. Prior to his proper analysis of the accuracy of this network, the author made two preliminary determinations, namely: 1) he analyzed the variableness of the auxiliary values of magnitudes ul and vl in Vignal s formulae which depends on the lengths of the levelling lines (L); the purpose was to find that length Z beyond which the systematic errors rather assume the character of accidental errors (Chapter 4). The results of this analysis arę shown in Figs. 1 and 2; here all levelling data were subdivided into two parts surveyed by two different methods: method А -surveyed by the means of two wedges (western part of the network) and method В -surveyed by the means four wedges (eastern part of the network). Fig. 3 takes in the whole material covered by the levelling survey. Z = 60 km was chosen as the value characterizing the diagram; however, it appeared at the same time that the values ul and vl show a slight but constant tendency towards increasing. 2) he analyzed the errors which occur in the application of three different methods of determining compensating lines for defining the values ц in correlation with the errors found in the strictly analytical method (Chapter 5). For the graphic method, which here was verified on the basis of four survey lines and of observations made independently by three different operators (Table 2), the mean error in determining the value of ц for 100 tom levelling survey lines proved to be ±3,6 mm; this corresponds approximately to 35% of the systematic error determined in levelling surveys. The error resulting from two graphical-analytical methods (of K. K u- cera and T. Wyrzykowski) were much smaller: ±0,5 mm and ±0,7 mm respectively

44 Tadeusz Wyrzykowski per 100 km surveying line. These figures correspond to approximately 5% of the value of systematic error determined in levelling. In Chapter 6 the author discusses how to determine the initial values for analyses by means of Vignal s method a method embracing only the principal lines of the network, omitting the boundary-directed lines and any small polygons at the secular points. Fig. 4 illustrates the pattern of the analyzed network lines of 4824 km total length and its division into 52 shorter lines (Lm = 93 km each) for which compensating lines were determined by the precise method. Fig. 5 pictures the results obtained by compensating the network. The values appearing in Vignal s formulae, as w ell as the w ay how they were determined and defined, and their mutual interrelation are the topic dealt with in Chapter 7. Chapter 8 presents a list of the results obtained in the above analysis. In Part 8.1 the author gives the initial values, in 8.2 an analysis of the accuracy obtained for coefficients К 2 and К 3, assuming identical weights for each of the values, ^2 U.2 (D2 Q2 j -, ^ and R. Finalllyj IParit 8.3 brings the results of the same analysis of accuracy where, however, the particular weights were applied in due proportion to the lengths of L, F and R. In Chapter 9 the author discusses the results of the above analysis. He shows that unessential is the effect of the different ways how the weights were assumed, and how the value of coefficient К was schosen; for this reason he deals further in detail only with sub-parts 8.2.2. and 8.2.2.1. The results obtained in this analysis appear as a logical system of determined values. Lowest among the errors bearing the character of total errors is value ur' (±0,266 mm/km); this is understandable because fundamentally this value represents only the probable accidental error. The values Ul and vl' show higher figures and they resemble each other (±0,398 and ±0,413 mm/km); apart from the accidental errors they comprehend the effect of systematic errors of the levelling lines. Next in magnitude are the values uf' and m^t whose figures are higher yet and also resemble each other {±0,507 and ± 0,558 mm/km). The increased values of these errors, compared with the preceding errors, must be ascribed to the fact that new sources of errors have been added (the effect of movements of the Earth s crust, inaccuracies in comparing levelling rods, and errors in determining corrections in the given altitude system). The probable total limit error per kilometer (t) has been determined in a twofold way: a) as limit value x = U' = lim ul', uf', uf^ for Lm with Fm^ Z, which gave X = U' = ±0,558 mm/km, and b) as function V = U i' = f (V', ur', j'), giving Tl' = и / = ±0,396 mm/km. The considerable difference between values x' and т/ stems from the fact, that value x' = U' also contains the sources of errors mentioned in discussing uf' and ; value т/ = Ui is free of these error sources. In view of the above the author suggests for x = U the term probable total limit error per 1 km of the levelling network, and for xj = Ui an identical term but related to 1 km of a levelling line. In values x and tj are joined the accidental errors (r ) with the systematic errors

Analiza dokładności niwelacji wzorami Vignala 45 (Ç) by means of equations: Like before, the author proposes to relate the values tu and ti to the levelling network and the values r 2 and to a levelling line. Obtained were by this method: п/ ~ ±0,243 mm/km and ii2' = ±0,258 mm/km, thus valeus closely approaching each other and close to value Ur = ±0',266 mm/ikm; this implies that' this error is of an accidental character. The systematic errors are more diversified; for the network = ±0,502 mm/km, for a line Ç2' = ±0,301 mm/km. This high value of t, is due to the fact that in accordance with the assumptions made for Vignal s formulae t is a coefficient of the square root of the length of the line, not of the length of line itself, as is the case for Lallemand s formulaes. By analysing separately the data for two parts of the network (Part 9.2), surveyed by method A (two wedges) and then by method В (4 wedges) w e obtain: (40) (44) by method A т)2' = ±0,271 mm/km, = ± 0,185 mm/km, т/ = Ui ±0,328 imm/km, by method В т 2' = ±0,246 mm/km, = ±0,364 mm/km, = U x' = ±0,440 mm/km, This confirms the belief, that smaller systematic errors are obtained by the use of the 2-wedge method the method for which the total error also proved to be smaller. Chapter 10 refers to the network data analyzed iby VignaPs formulae; for comparison s sake also listed were the values for the mean errors (and, in brackets, for probable errors) as determined by Lallemand s and other formulae. Worthy of note is the value of the systematic error ap. calculated from the data analyzed by VignaPs formulae (50) for Lm' = 93 km, this value is barely one half the figure for the same error calculated from the material for the entire network (8), with Lm' = 29 km. Clearly noticeable is here the interrelation between the determined value of this error and the mean length of the compensating line (Lm'). Chapter 11 shows a comparison of the results of the analysis, made by the use of Vignals formulae, of the accuracy of the Polish and the Czechoslovakian network [1]. In the Czechoslovakian network, like in that of Poland, marked divergences appeared between the respective values of the errors x and %calculated from a variety of component elements of the network: from a line (x\, '2) and from closed polygons (t', %i ). The errors calculated from polygons were much greater. Worth mentioning is for both networks the high degree of concordance of errors determined by formulae based on larger elements of these networks, i. e. on the polygons (uf, UFy, x = U, til, ÇJ; also remarkable is the divergence found in both networks as to the errors determined by formulae based on minor elements, i. e. on particular lines (ul, vl, V, ti = Ult i\2, Ç2). In conclusion the author asserts that Vignal s formulae are valuable means for enriching the sum of formulae heretofore used for ascertaining the accuracy of wide networks of precision levelling. This is why he recommends them to be applied more extensively, so as to become a common gauge leading to standardizing estimates of the accuracy of precise levelling.